1CAPITOLUL 7

Elemente de fizica corpului solid

In capitolele precedente am introdus o teorie, noua fata de mecanica cla-sica si electromagnetism, care trateaza particulele microscopice. Am studiatunele aplicatii simple ale acestei teorii pentru o particula libera, am descriselectronul n cel mai simplu atom din natura, atomul de hidrogen. De aici amtrecut la o descriere simplificata a atomilor cu mai multi electroni, bazandu-ne pe principiul de excluziune al lui Pauli. Totusi, atomii izolati nu constituesisteme care ne intereseaza n mod special; scopul nostru este de a studiacomportamentul electronilor n solide deoarece componentele electronice uti-lizeaza tocmai proprietatile electronilor n materiale conductoare si semicon-ductoare. Din fericire, ntelegerea multor proprietati fizice ale cristaleloreste facilitata de structura lor periodica. In cele ce urmeaza vom prezentanotiunile fundamentale legate de cristale.

7.1. Structura cristalina

Solidele se prezinta n natura sub doua forme:

a) amorfe, n care dispunerea atomilor sau moleculelor este aleatoare

b) cristalina, n care atomii, n pozitiile lor de echilibru, sunt dispusiordonat, ntr-o structura periodica numita retea.

Solidele pe care le vom analiza sunt cele cu structura cristalina. Mai multdecat structura lor, vom ilustra unele consecinte legate de regularitatea dis-punerii atomilor n cristal; n particular, scopul nostru este de a ntelege de ceunele materiale sunt conductoare, altele sunt semiconductoare sau izolatoare.

Structura tuturor cristalelor se poate descrie n termenii unei retele si aunei baze. Reteaua este o repetare periodica a unor noduri, dispuse ordonatn spatiu unul n urma celuilalt. Baza este un atom, un grup de atomi saumolecule, pozitionati n nodurile retelei.

2Cristalul se obtine prin repetarea n spatiu a unei baze. In practica,nu este simplu sa se creasca un monocristal de dimensiuni mai mari decatcativa centimetri, chiar daca, n principiu, nu exista limite n ceea ce privestedimensiunea monocristalului.

O retea tridimesionala este definita de trei vectori fundamentali de translatie,a,b, c, astfel ncat pozitia nodurilor din retea (si, deci, a atomilor din struc-tura cristalina) este data de combinatii ale vectorilor a,b, c, numiti vectoride translatie ai retelei, de forma

t =n1a+n2b+n3c, cun1, n2, n3 ntregi, pozitivisaunegativi.7.1(1)

Semnificatia relatiei (7.1) este ilustrata n Fig. 7.1, pentru o retea bidimen-sionala.

Fig.7.1Structura cristalina se obtine asociind retelei o baza; aceasta poate fi

constituita din acelasi atom, din atomi diferiti sau molecule.Periodicitatea pozitiilor atomilor poate fi descrisa prin intermediul celulei

elementare, care reprezinta paralelipipedul construit cu vectorii a,b si c.Pentru fiecare cristal, reteaua, baza si celula elementara nu sunt univoc deter-minate. De exemplu, daca ne referim la reteaua bidimensionala din Fig.7.1,este evident faptul ca daca alegem ca vectori fundamentali a1 si b1 sau a2 sib2, ei definesc aceeasi retea. Sa notam, nsa, ca reteaua individualizata devectorii a2 si b2 contine un numar mai mic de puncte decat cea descrisa devectorii a1 si b1; deci, bazele care li se asociaza sunt diferite.

In natura, sistemul cristalin cel mai simplu este sistemul cubic, carecuprinde trei retele diferite:

a) Reteaua cubica simpla (CS)Nodurile retelei sunt numai n varfurile cubului; celula primitiva este un

cub deoarece fiecare din cele 8 varfuri este n comun cu 8 celule vecine. Inafara de poloniu, nu se cunoaste un alt cristal cu astfel de retea.

b) Reteaua cubica cu volum centrat (CVC)In afara nodurilor din varfurile cubului, mai exista un alt atom n centru;

presupunand ca baza este constituita dintr-un singur tip de atomi, cristalelecu o astfel de retea au 8 atomi n varfuri si un atom n centru si evident,celula primitiva nu este cubul. Metalele alcaline au o astfel de structuracrsitalina.

c) Reteaua cubica cu fete centrate (CFC)Nodurile retelei sunt n varfurile cubului si n centrul fiecarei fete. La

fel ca si n structura CVC, cubul nu este celula primitiva deoarece contine 4

3atomi (1/8 din atom pentru fiecare varf + 1/2 din atom pentru fiecare fata).Aceasta este reteaua metalelor nobile (Au, Ag, Cu).

Tot n sistemul cubic cristalizeaza si cea mai mare parte a materialelorsemiconductoare, n particular siliciu si germaniu, care au reteaua diaman-tului constituita din doua retele CFC deplasate cu 1/4 n lungul diagonaleiprincipale, ca n Fig.7.2.

Deoarece materialele conductoare si semiconductoare de care suntem interesaticristalizeaza n sistemul cubic, n cele ce urmeaza ne vom referi numai lacristale de tip cubic. Pentru cristalul cubic, lungimea laturii cubului, a,reprezinta constanta retelei.

7.2. Reteaua reciproca - zona Brillouin

Referindu-ne la un cristal cubic, toti parametri interni ai cristalului auperiodicitatea retelei (de exemplu, pentru potential, V (r+ t) = V(r)).

Sa consideram o retea unidimensionala: faptul ca potentialul este periodicn interiorul cristalului nseamna ca

V (x+ t) = V (x+ n1a) = V (x)

Deoarece V (x) este periodic, se poate dezvolta n serie Fourier:

V (x) = V0 +n>0

[an cos(n

2pi

ax) + bn sin(n

2pi

ax)

]7.2 (2)

Coeficientul 2piadin argumentul functiilor cosinus, respectiv sinus, realizeaza

conditia de periodicitate V (x+ n1a) = V (x).

V (x+ n1a) = V0 +n>0

{an cos

[n2pi

a(x+ n1a)

]+ bn sin

[n2pi

a(x+ n1a)

]}=

= V0 +n>0

[an cos(n

2pi

ax) + bn sin(n

2pi

ax)

].7.3 (3)

Marimile gn = n2piaau ca dimensiune inversul lungimii; punctul de abscisa

n2piaeste un nod n spatiul Fourier al cristalului numit spatiu reciproc. Acest

spatiu este periodic, cu perioada 2pia.

4Deci, retelei directe, n spatiul real al lungimilor care au perioada a (nu-mita retea Bravais) i corespunde o retea cu perioada A = 2pi

anumita retea

reciproca. Zona cuprinsa ntre a2si a

2apartinand retelei directe constituie

celula primitiva; analog, zona cuprinsa ntre piasi pi

adin reteaua reciproca

constituie celula primitiva, care este numita prima zona Brillouin.

Asa cum reteaua directa este definita de celula primitiva si de periodic-itate, reteaua reciproca este definita de prima zona Brillouin si de period-icitate. Marimile fizice ale cristalului care se obtin asociind retelei o baza,sunt periodice n spatiul direct; asadar, este suficienta descrierea lor n celulaprimitiva pentru a le cunoaste n ntreg cristalul. Similar, este suficientadescrierea imaginilor lor n prima zona Brillouin pentru a avea imagineacristalului n spatiul inversului lungimilor.

7.3. Tipuri de cristale

Asa cum am vazut, solidul cristalin este caracterizat de faptul ca atomii(sau moleculele) sunt dispusi n nodurile unei retele periodice. Rezultatuleste un ansamblu ordonat de nuclee si de electroni legati ntre ei, n principal,prin forte coulombiene (se analizeaza particule ncarcate electric). In general,aceste forte ar trebui cunoscute; nsa, interactiile dintre particule sunt foartecomplicate si fortele nu pot fi calculate cu exactitate. Pentru simplificare, seface urmatoarea aproximatie:

i) electronii foarte apropiati de nucleu vor fi asociati acestuia; nucleul sielectronii interni constituie un ion; ionii sunt n echilibru n nodurile reteleicristaline

ii) electronii din exterior vor fi considerati particule cvasi-libere, care semisca n campul creat de ioni.

Pornind de la aceasta simplificare, solidele se clasifica n functie de com-portarea electronilor din exterior astfel:

1.Cristale moleculare. Baza acestor cristale este constituita din molecule.Fortele de legatura din interiorul moleculelor sunt mari si electronii din exte-rior sunt toti legati de atomii care alcatuiesc moleculele. Fortele de legaturadintre molecule sunt slabe, interactiile fiind de dipol electric (forte van derWaals). Procesul de solidificare pentru astfel de cristale se face numai latemperaturi joase, atunci cand agitatia termica nu poate distruge legaturile

5dintre molecule.

2. Cristale ionice. Reteaua cristalina este formata din ioni pozitivi sinegativi care se atrag reciproc deoarece electronii din exterior trec de la unatom la altul. Cristalele ionice tipice sunt NaCl, LiF, KBr, n care singurulelectron exterior al atomului de Na, Li sau K trece cu usurinta la elementulelectronegativ (Cl, F, Br) care are 7 electroni externi si care, cu cel de-al op-tulea electron ajunge ntr-o configuratie electronica stabila. In aceste cristale,electronii din exterior nu se ndeparteaza mult de atomii carora le apartindeoarece se leaga de atomii adiacenti. La temperatura joasa, cristalele ionicesunt izolatoare deoarece nu au electroni liberi care sa se miste n interiorulretelei.

3. Cristale covalente. Sunt constituite din elemente ca germaniu, carbon,siliciu, etc., ai caror atomi au 4 electroni externi pe care i pun n comun cu4 atomi vecini, realizand legaturi covalente. Proprietatile de conductie aleacestor cristale depind de cat de puternica este legatura care tine electronii devalenta n vecinatatea atomilor; pentru diamant, aceasta legatura este foarteputernica si el este izolator; pentru staniu, legatura este slaba si el este con-ductor; pentru Ge si si, taria legaturii este medie astfel ncat, la temperaturacamerei, acestea sunt semiconductoare. In aceste materiale, datorita agitatieitermice, o parte din electronii externi pot rupe legaturile si se pot misca ninteriorul cristalului. In afara proprietatilor de conductie, aceste cristale ausi alte proprietati interesante care deriva din natura legaturii covalente.

4. Metale. Sunt alcatuite din elemente electropozitive. Legatura poatefi privita ca un caz limita al legaturii covalente n care electronii externi aifiecarui atom sunt n comun pentru toti ionii cristalului si sunt liberi sa semute de la un ion la altul, pentru tot cristalul. In acest sens, electronii secomporta ca un gaz de electroni. Ei se misca n campul potential rezul-tant al tuturor ionilor pozitivi si exercita forte atractive asupra fiecarui ion,forte mai puternice decat cele repulsive dintre ioni; acestia vor fi mentinuntiastfel n pozitii de echilibru n nodurile retelei cristaline. Imediat ce ionii sedeplaseaza din pozitiile lor de echilibru, electronii liberi, prin miscarea lor, seredistribuie n interiorul cristalului astfel ncat fortele care apar readuc ioniin pozitiile de echilibru.

7.4. Electronii n metale. Modelul electronului liber

6Un solid metalic este alcatuit dintr-o retea n nodurile careia se gasescioni pozitivi imaginati ca niste sfere, iar n jurul lor se misca electronii caresunt numiti electroni de conductie. Fortele coulombiene care se exercita ntregazul de electroni si ionii din nodurile retelei mentin starea de solid. Pentrusolidul izotrop, aceasta forta de interactie este si ea izotropa si uniformasi actioneaza ca o forta de presiune ce compacteaza electronii obligandu-i sa ocupe cel mai mic spatiu posibil, adica de tipul structurii cubice cufete centrate (CFC), structura caracteristica metalelor cu o conductibilitateelectrica ridicata.

Deoarece suntem interesati sa analizam proprietatile de conductie alesolidelor metalice, ne putem limita la descrierea gazului de electroni deconductie. Pentru aceasta ar trebui sa scriem ecuatia Schrodinger relativa latoti electronii de conductie, tinand cont de toate interactiile dintre particuleleprezente n solide. Stiind ca un metal contine 1022 1023 electroni pe cm3,va fi imposibil sa se evalueze toate interactiile din solid; n aceste conditii,solutia este utilizarea metodelor aproximative.

Un model simplu care, limitandu-se la metale, conduce la rezultate ndeplin acord cu observatiile experimentale este modelul electronului liber.Simplificarile care stau la baza acestui model sunt urmatoarele:

1. Se considera un singur electron n interactie cu ionii solidului, si nutot gazul de electroni de conductie, adica se neglijeaza interactiile dintreelectroni. Cu alte cuvinte, presupunem ca, n medie, repulsia dintre electronieste anulata de atractia lor de catre ioni.

2. Se considera ca ionii sunt ficsi n pozitiile lor de echilibru din nodurileretelei cristaline, adica neglijam interactia dintre ei. Potentialul creat va fi ofunctie de pozitie V (r).

3.Se considera ca potentialul n care se gaseste electronul n interiorulsolidului este constant si n spatiu, nu numai n timp, V (r) = const., adicaneglijam faptul ca V (r) n cristal este periodic cu periodicitatea retelei.

Este evident faptul ca, tinand cont de ipotezele 1, 2 si 3, electronul pe carel consideram este un electron care se misca liber n interiorul cristalului (deunde si numele de modelul electronului liber). Peretii cristalului vor fi ca nistepereti ai unei gropi de potential tridimensionale (Fig.7.3, reprezentare uni-dimensionala), adica n imediata vecinatate a peretilor electronii sunt supusiunei forte atractive din partea retelei cristaline, forta care mpiedica electroniisa paraseasca metalul.

Fig.7.3.V0 reprezinta adancimea gropii de potential iar L este lungimea cristalului

7ntr-o dimensiune; n trei dimensiuni, groapa va avea dimensiunile maroscop-ice reale ale cristalului, de exemplu Lx, Ly, Lz.

Deoarece am presupus faptul ca electronii nu interactioneaza ntre ei,rezultatele pe care le vom obtine sunt valabile pentru oricare dintre elec-tronii ce alcatuiesc gazul de electroni de conductie. Cum V (r) nu depinde detimp, ecuatia Schrodinger pe care trebuie sa o rezolvam este cea a starilorstationare:

~2

2m2(x, y, z) = E(x, y, z), 7.4 (4)

n care ne limitam la analiza cazului n care 0 < E < V0 deoarece pentru E >V0 electronul nu mai este legat n interiorul metalului. Ecuatia (7.4) a fostrezolvata n capitolul precedent; ntr-o cutie dreptunghiulara de dimensiuniLx, Ly, Lz. Ca solutie a ecuatiei (7.4) cautam o functie proprie de forma

(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z)7.5 (5)

iar functiile X(x), Y (y) si Z(z) trebuie sa satisfaca ecuatiile

~2

2m

d2X(x)

dx2= E1X(x)7.6 (6)

~2

2m

d2Y (y)

dy2= E2Y (y)7.7 (7)

~2

2m

d2Z(z)

dz2= E3Z(z), 7.8 (8)

cu E = E1 + E2 + E3.Oricare din cele trei ecuatii de mai sus admite solutii de tipul

(xi) = Aieikixi +Bie

ikixi , 7.9 (9)

unde xi poate fi x sau y sau z si (xi) poate fi X(x) sau Y (y) sau Z(z); Aisi Bi sunt coeficienti constanti.

Asa cum am vazut, solutiile ecuatiei Schrodinger trebuie sa satisfacaconditiile la limita n punctele de discontinuitate ale potentialului (conti-nuitatea functiei (xi) si a derivatei sale de ordinul ntai). Analiza oricareicomponente (X(x), Y (y), Z(z)) este identica cu cea facuta n cazul gropii depontential unidimensionale de naltime finita. Asadar, impunand conditiilela limita deja mentionate se obtin functii de unda n interiorul gropii depotential, functii de forma undelor stationare (Bi = Ai) iar vectorii de

8unda permisi sunt n numar finit. Ecuatia care permite determinarea vec-torilor de unda permisi este o ecuatie implicita, care nu se poate rezolvaanalitic ci numai prin calcul numeric sau prin metode grafice. Insa, vectoriide unda permisi determinati prin aceste metode complicate practic coincid cucei obtinuti analitic n cazul unei gropi de pontential infinite, daca naltimeaV0 a gropii de potential este mult mai mare decat energia E a electronului.Cum aceasta este chiar situatia electronilor de conductie ntr-un metal sepoate, cu o aproximatie foarte buna, nlocui groapa reala de potential cuo groapa de naltime infinita pentru a se calcula vectorii de unda permisi.Conditiile la limita, n acest caz, se reduc la anularea functiei de unda peperetii conductorului, adica pentru x = 0 si x = Lx, y = 0 si y = Ly, z = 0si z = Lz. Impunand aceste conditii functiilor (7.9) rezulta ca Ai = Bi iarcomponentele vectorilor de unda permisi trebuie sa verifice relatiile:

kx = nxpi

Lx,ky = ny

pi

Ly,kz = nz

pi

Lz,7.10 (10)

unde nx, ny si nz sunt numere ntregi, pozitive.Functia de unda va avea expresia:

(x, y, z) = A sin (kxx) sin (kyy) sin (kzz) .7.11 (11)

Aproximatia gropii de potential de naltime infinita precum si rezultatele(7.10) si (7.11) nu sunt suficiente pentru explicarea, ntr-o maniera simpla,a unor proprietati ale materialelor cristaline, cum ar fi conductia electrica.Pentru aceasta se foloseste metoda Born von Karman.

Metoda consta n cautarea solutiilor ecuatiei Schrodinger nu ca undestationare, ci sub forma undelor progresive. Aceasta metoda este n modparticular folosita daca cristalul nu este izolat (aproximatia potentialuluicu o groapa cu pereti infiniti) sau daca, de exemplu, studiem proprietatileunui cub de latura L aflat n interiorul metalului. In acest caz solutia ecuatieiSchrodinger poate fi scrisa, folosind metoda separarii variabilelor, sub formaunei unde progresive. Unidimensional, solutia este

= Aeikxx7.12 (12)

Numarul de unda k poate fi atat un numar pozitiv (unda plana care sepropaga n sensul pozitiv al axei x) cat si negativ (propagarea undei n sensopus).

9Doarece cautam solutii periodice cu perioada L, conditiile la limita nmetoda Born - von Karman se scriu:

(x+ L) = (x), 7.13 (13)

relatie care conduce la cuantificarea numarului de unda k: eikxL = 1, sau

kx =2pi

Lnx, 7.14 (14)

cu nx ntreg, pozitiv sau negativ. Notam faptul ca nx = n > 0 si nx = n serefera la doua functii de unda complet diferite. De fapt, nx > 0 corespundeunei particule care se deplaseaza n sensul pozitiv al axei x, avand impulsul~kx > 0, n timp ce nx < 0 corespunde unei particule care se deplaseaza nsens opus. In trei dimensiuni, cuantificarea vectorului de unda este

ky =2pi

Lny , kz =

2pi

Lnz.7.14

(15)

Energia este legata de vectorul de unda prin relatia:

E =~2k2

2m.7.15 (16)

Aceasta relatie nu depinde de conditiile la limita sau de tipul solutiei ecuatieiSchrodinger (unda stationara sau unda progresiva); pentru o particula deBroglie energia si impulsul sunt proportionale cu pulsatia, respectiv cu numarulde unda.

In figura de mai jos este reprezentata energia nivelelor n functie de nu-merele de unda accesibile electronilor ntr-un metal, n cazul unidimesional:

Fig.7.4In cele ce urmeaza vom utiliza rezultatele obtinute cu metoda Born

von Karman.Modulul vectorului de unda este

k2 = k2x + k2y + k

2z = (2pi)

2(n2x + n

2y + n

2z)

L2.7.16 (17)

Cu conditiile la limita periodice, nx, ny, nz pot fi pozitivi, negativi sau nuli;ei corespund undelor care se propaga n lungul x,y,z. Rezulta, deci, can spatiul lui k, starile permise se gasesc n varfurile unei retele formate dincuburi elementare de latura 2pi/L, ca n Fig.7.5.

10

Fig.7.5.Asa cum se observa, exista un nod al retelei pentru fiecare element de

volum (2pi/L)3 din spatiul reciproc. De fapt, fiecare nod se poate consideran centrul unui cub de latura 2pi/L; este suficient sa deplasam cuburile dinfigura cu pi/L n oricare din cele trei dimensiuni.

Expresia energiei asociata fiecarei functii proprii este:

E =~2

2m

4pi2

L2(n2x + n

2y + n

2z) =

~2

2m

4pi2

L2n2.7.17 (18)

Energiile din relatia (7.17) sunt, evident, cuantificate. Deci, pentru o valoarea energiei fixata arbitrar, nu nseamna (sau este foarte putin probabil) caexista o stare avand exact aceasta energie. Sau, daca se fixeaza un intervalde energie (E,E+dE), se vor gasi mai multe stari ale caror energii se gasescn acest interval. Numarul de stari pe unitatea de energie reprezinta o marimeimportanta n analiza pe care o vom face si se numeste densitate de stari.

Intorcandu-ne la spatiul vectorilor de unda k, observam ca relatia (7.15)nu este altceva decat ecuatia unei sfere de raza |k| = k:

k2x + k2y + k

2z = k

2 =2mE

~2.7.18 (19)

Asadar, suprafetele de egala energie sunt suprafete sferice. Pentru a gasi den-sitatea de stari vom considera doua astfel de sfere avand razele k, respectivk + dk si energiile E, respectiv E + dE. Volumul cuprins ntre aceste douasfere este 4pik2dk.

Cum vectorii de unda k sunt cuantificati, fiecare punct reprezentativ alunei stari a sistemului n spatiul vectorilor de unda ocupa, asa cum amvazut, un volum (2pi/L)3 (V = L3 = volumul cristalului) egal cu volumulocupat de un cub elementar n spatiul vectorilor de unda.

Asadar, n volumul 4pik2dk cuprins ntre doua suprafete sferice de raze ksi k + dk este un numar dNs de puncte (ce corespund la dNs stari diferite)dat de relatia:

dNs =V olumuldintredouasuprafetedeaceeasienergiedistantatecudE

V olumulocupatdeostare

dNs =4pik2dk(2pi)3

V

=k2V dk/2

pi2.7.19 (20)

11

Pentru a obtine expresia lui dNs n functie de E se exprima k n functie deE

k2 =2mE

~2 k = (2m)

1/2

~E1/2 dk = (2m)

1/2

~1

2E1/2dE

si, substituind ultima relatie n ecuatia (7.19) rezulta

dNs =4piV

(2pi)32mE

~2(2m)1/2

~1

2E1/2dE =

V

(2pi)2

(2m

~2

)3/2E1/2dE = D(E)dE.7.20

(21)In (7.20) am introdus notatiaD(E) pentru densitatea de stari, adica numarulde stari pe unitatea de energie

D(E) =V

(2pi)2

(2m

~2

)3/2E1/2.7.21 (22)

De fapt, prin definitie, D(E) multiplicata cu variatia infinitezimala de energiedE trebuie sa fie egala cu numarul de stari cu energia cuprinsa n dE, adicanumarul de stari n dE este chiar dNs = D(E)dE.

Conform principiului de excluziune Pauli, fiecare stare individualizataprintr-un vector de unda poate contine doi electroni avand componenta z amomentului de spin ms = +

12, respectiv ms = 12 . Deci, daca se tine cont de

spinul electronului, numarul de stari accesibile pentru electronii de conductieai unui metal tratati ca un gaz de electroni n modelul electronului liber esteegal cu de 2 ori numarul de puncte reprezentative din spatiul vectorilor deunda. Asadar, tinand cont de spin, se defineste o alta densitate de stariD(E) = 2D(E) :

D(E) = 2V

(2pi)2

(2m

~2

)3/2E1/2.7.22 (23)

Notam faptul ca, uneori, n locul lui D(E) se utilizeaza densitatea de staripe unitatea de volum a carei expresie este

D(E) =1

(2pi)2

(2m

~

)3/2E1/2.7.23 (24)

Observatie: conditiile la limita periodice sunt conditii artificiale compara-tiv cu cele reale conform carora functiile de unda se anuleaza pe peretiigropii de potential care schematizeaza cristalul. Motivul pentru care se uti-lizeaza conditiile periodice atunci cand se analizeaza electronii aflati la o

12

anumita distanta de peretii gropii este simplitatea calculului, conservandtotusi proprietatile esentiale necesare ntelegerii tuturor efectelor din cristal.In particular, conditiile Born von Kraman conduc la un numar corect destari stationare si la aceeasi densitate de stari ca n cazul adevaratelor staristationare.

7.5. Nivelul Fermi. Distributia Fermi-Dirac

Sa consideram un cristal metalic real, continand N atomi: daca atomiisunt monovalenti, n cristal vor fi N ioni si N electroni de conductie; dacaatomii sunt bivalenti, numarul de ioni este tot N , dar numarul de electroniva fi 2N .

In general, numarul de electroni este egal cu numarul de atomi nmultitcu valenta; deci, numarul de electroni de conductie este foarte mare (ntr-un metal obisnuit, concentratia, adica numarul de electroni de conductie peunitatea de volum este n ' 1023cm3).

Energia oricarui electron, conform modelului electronului liber, este datade relatia (7.17). Deoarece electronii sunt particule de spin semintreg, ei sesupun principiului de excluziune Pauli: ntr-o stare caracterizata de acelasiset nx, ny, nz, pot exista cel mult doi electroni cu spin antiparalel. Dis-punerea electronilor pe diferite nivele de energie este statistica si depinde detemperatura la care se gaseste cristalul.

Vom analiza doua situatii distincte: T = 0K si T > 0K

1. T = 0K

La zero absolut sistemul se va gasi n configuratia care realizeaza energiamini-ma posibila. Conform principiului de excluziune Pauli, nu este posibil catoti electronii sa se gaseasa n starea cu energia cea mai mica, corespunzatoarevalorii minime a modulului vectorului de unda. Deci, pornind de la stareade energie minima, electronii vor ocupa starile permise pana la un anumitn (nx, ny, nz) care se noteaza cu nF si caruia i corespunde energia numitaenergia Fermi EF .

Asadar, daca Ne este numarul total de electroni de conductie din metal,acesta este legat de numarul Ns de stari din spatiul k cu energia E < EF prinrelatia Ne = 2Ns, unde factorul 2 tine cont de spinul electronului. Cum Neeste un numar foarte mare, energia ultimului nivel ocupat poate fi destul de

13

mare chiar si la zero absolut, situatie imposibila pentru un gaz de particuleclasice. De fapt, n cazul clasic,la zero absolut toti electronii s-ar afla penivelul cu energia cea mai joasa. Analizand nsa particule cuantice de spinsemintreg, nu pot exista mai mult de doi electroni pe aceasi stare si, deci,chiar la zero absolut se vor gasi electroni pe nivele de energie mai mare.In figura 7.6 este prezentata, ntr-o singura dimensiune, o schematizare anivelelor energetice electronice ocupate la zero absolut.

Fig.7.6Diferenta dintre adancimea V0 a gropii de potential si energia ultimului

nivel ocupat se numeste lucru mecanic de extractie al metalului si core-spunde energiei minime care trebuie furnizata unui electron pentru a fi extrasdin metal:

= V0 EF .7.24 (25)Pentru a calcula EF consideram, n spatiul vectorilor de unda, sfera de raza|kF | = kF , numita raza sferei Fermi, corespunzatoare nivelului EF . Aceastasfera contine un anumit numar de stari,adica de vectori k, fiecareia asociindu-se doi electroni cu spinul opus. Deoarece toti electronii din metal au energiamai mica decat EF , numarul de stari va fi Ns = Ne/2. Dar Ns trebuie sa fieegal si cu raportul dintre volumul sferei si volumul ocupat de o stare:

Ns =Ne2

=43pik3F(2piL

)3 = 4V pik3F3(2pi)3 k3F = 3NeV pi2 kF = (3pi2ne)1/3, 7.25 (26)

unde ne reprezinta concentratia electronilor de conductie, ne =NeV.

Utilizand relatia dintre energie si numarul de unda, se obtine urmatoareaexpresie pentru energia nivelului Fermi:

EF =~2

2m(3pi2ne)

2/3.7.26 (27)

Asa cum se observa, EF depinde numai de concentratia de electroni si esteo caracteristica a metalului. Cateva valori tipice:

kF ' 1 108cm1EF ' 5eV.

Dupa modul n care a fost definita EF putem afirma ca la zero absolut toatestarile cu energia mai mica decat EF sunt ocupate iar cele cu energia mai

14

mare decat EF sunt libere. In spatiul k este definita o suprafata Fermi carereprezinta conturul sferei Fermi de raza kF .

Fig.7.7

2. T > 0KLa o temperatura mai mare decat zero absolut trebuie sa luam n con-

siderare si energia de agitatie termica care se adauga energiei de origine purcuantica, astfel ncat electronii pot ocupa stari cu energia mai mare decatEF..

Inainte de a calcula numarul de electroni care ocupa starile de mai sus,sa facem cateva observatii calitative. Pentru EF ' 5eV si kT ' 140eV (latemperatura camerei), distributia de energie nu poate varia semnificativ latemperaturi obisnuite. La cresterea temperaturii, numai electronii cu energi-ile apropiate de EF pot ocupa starile cu E > EF deoarece energia termicanu este destul de mare pentru a ajuta electronii cu energia cea mai mica saocupe o stare libera cu E > EF . Deci, variatia lui D(E) n functie de E vaarata astfel:

Fig.7.8unde starile neocupate cu energia mai mica decat EF trebuie, evident, com-pensate de starile ocupate cu E > EF . Efectul creste la cresterea tempera-turii.

Pentru a descrie riguros acest fenomen trebuie sa gasim o expresie care saexprime numarul de electroni care au energia cuprinsa ntr-un interval binedeterminat atunci cand metalul este la temperatura T .

Atunci cand sistemele sunt alcatuite dintr-un numar mare de particule,modul de dispunere a acestor particule pe nivelele de energie permise variazan functie de caracteristicile proprii ale particulelor. Probabilitatea ca o par-ticula a sistemului sa se afle pe nivelul de energie E la temperatura T estedescrisa de o functie de distributie f(E, T ).

1. Sistemele de particule discernabile sunt descrise de statistica Maxwell-Boltzmann.

Functia de distributie fMB(E, T ) care descrie un sistem de particule cla-sice discernabile este data de expresia studiata n statistica clasica:

fMB(E, T ) = AeE/kT , 7.27 (28)

unde A este o constanta de normare care depinde de numarul de particuleprezente.

Ecuatia (7.27) a fost obtinuta facandu-se ipoteza ca particulele identice(de exemplu, electronii cu acelasi spin) sunt discernabile. Aceasta presupune

15

este adevarata pentru particulele care se supun legilor mecanicii clasice darnu este adevarata pentru particulele cae se supun legilor mecanicii cuantice.

Sa consideram, de exemplu, un sistem format din doua particule identice,adica cu aceasi masa, sarcina, spin, etc. (1 si 2), (vezi Fig.7.9). Clasic, dacase masoara pozitia initiala la t0, putem identifica fiecare particula; la oricemoment ulterior, miscarea lor se desfasoara de-a lungul unor traiectorii binedeterminate si, deci, se poate stii ntotdeauna care este particula 1, respectivcare este particula 2. Cuantic, sistemul este descris de o functie de unda; dacase masoara pozitia n momentul t0 si se gaseste pentru particula 1 pozitiar1 si pentru particula 2 pozitia r2, conform principiului de nedeterminareHeisenberg impulsul este complet nedeterminat; n orice moment succesiv,nu va exista un echivalent al traiectoriei clasice.

O noua masuratoare de pozitie poate indica doua noi valori r1 si r2, dar

nu va exista nici o indicatie referitoare la care dintre cele doua particule seafla n r1,respectiv n r

2. Cu alte cuvinte, daca schimbam pozitiile celor doua

particule, aceasta schimbare nu poate fi evidentiata experimental. Asadar,n mecanica cuantica particulele identice sunt indiscernabile.

Fig.7.9Sistemele de particule identice indiscernabile, adica descrise de legile

mecanicii cuantice, sunt de doua feluri, cu proprietati mult diferite.2. Sistemele de particule indiscernabile cu spin semintreg (fermioni),

care verifica principiul de excluziune Pauli, sunt descrise de statistica Fermi-Dirac. Functia de distributie corespunzatoare fFD(E, T ), care reprezintaprobabilitatea ca o particula sa ocupe nivelul de energie E la temperaturaTeste data de

fFD(E, T ) =1

1 + eEEFkT

, 7.28 (29)

unde EF este energia nivelului Fermi care se obtine impunand conditia denormare a functiei de distributie.

Se verifica usor faptul ca, pentru E < EF si EF E kT , functia dedistributie (7.28) este practic egala cu 1 (e(EEF )/kT 1 n relatia (7.28)).Daca E > EF si E EF kT , functia de distributie tinde la zero.

3. Sistemele de particule indiscernabile cu spin intreg (bozoni) sunt de-scrise de statistica Bose-Einstein:

fBE(E, T ) =1

eEkT 1

, 7.29 (30)

unde se determina din conditia de normare.

16

Cum caracteristica ce impune tipul de statistica ce poate descrie sis-temele de particule identice indiscernabile este spinul, apare evident faptul cafunctiile de distributie fFD(E, T ) si fBE(E, T ) sunt pentru particule cuantice.Se poate verifica usor ca pentru energii foarte mari (E EF sau E ),atat fFD cat si fBE tind la fMB, adica la limita n care particulele cuanticese comporta ca si particulele clasice, statistica folosita este cea clasica.

Intorcandu-ne la problema noastra legata de modul n care se dispunelectronii de conductie ai unui metal pe nivelele de energie permise la o tem-peratura T > 0K, este evident ca functia de distributie care exprima proba-bilitatea ca un electron sa aiba energia E la temperatura T este fFD(E, T ),electronii avand spinul 1/2.

Sa analizam expresia fFD(E, T ) data de ralatia (7.28). La T = 0K, fFDare doua valori:

fFD(E, T ) = { 1pentruE < EF0pentruE > EF 7.30 (31)

si are forma de treapta ca n figura 7.10.

Fig.7.10

Asadar, regasim rezultatul pentru T = 0K din moment ce probabilitateaca un electron sa aiba E < EF este 1 iar probabilitatea de a avea E > EFeste zero; cu alte cuvinte, la T = 0K toate nivelele cu energia mai micadecat EF sunt ocupate, n timp ce toate nivelele cu energia mai mare decatEF sunt libere. In figura 7.10 este reprezentata fFD(E, T ) si pentru alte douatemperaturi T2 < T1.

Sa notam faptul ca oricare ar fi temperatura T > 0K, fFD(E = EF , T ) =12. Putem,asadar, da o noua definitie nivelului Fermi, ca fiind acel nivel de

energie care are probabilitatea 1/2 de a fi ocupat, pentru orice temperaturaT > 0K. Asa cum o sa constatam, aceasta definitie are avantajul de a fivalabila nu numai pentru metale, dar si pentru semiconductori. In metale,EF este si nivelul de energie maxima permisa la T = 0K, asa cum am vazutdeja.

O alta observatie importanta este ca intervalul de energie centrat n EFn care fFD(E, T ) difera semnificativ de fFD(E, T = 0K) este de ordinul acativa kT . In figura 7.10, daca pentru EF luam o valoare rezonabila pentrumetale (de exemplu, EF = 5eV ), se observa imediat faptul ca, la temperaturacamerei (T ' 1

40eV ' 0.026eV ), nu este prea mare diferenta dintre curba

punctata si cea continua corespunzatoare distributiei reale.

17

In acest mod cunoastem atat densitatea de stari data de relatia (7.23)cat si probabilitatea ca un electron sa ocupe o stare data de relatia (7.28);putem, asadar, calcula numarul de electroni, pe unitatea de volum de metal,care au o energie bine determinata E la temperatura T . De fapt, numarulde electroni dNe pe unitatea de volum cu energia cuprinsa ntre E si E+ dEeste egal cu de doua ori numarul de stari permise ocupate cuprinse ntre Esi E + dE pe unitatea de volum; acesta la randul sau, este egal cu produsuldintre densitatea de stari permise pe unitatea de volum si probabilitatea deocupare a unei stari:

dNe(E, T ) = 2D(E)fFD(E, T )dE.7.31 (32)

In figura 7.11 sunt reprezentate D(e) si fFD(E, T ) n functie de E.Fig.7.11.

Graficul produsului lor este reprezentat n figura 7.12.

FIG7.12

Integrand relatia (7.31) pe ntreg intervalul de energie se obtine numarulne de electroni pe unitatea de volum (concentratia electronilor de conductie):

ne =

dNe(E, T ) =

0

2D(E)fFD(E, T )dE =2

(2pi)2

(2m

~2

)1/2 0

E1/2dE

1 + eEEFkT

.7.32

(33)In general, ne se determina experimental si, utilizand relatia (7.32) se poatedetermina valoarea EF precum si dependenta ei de temperatura. In acestmod se gaseste ca, la temperaturi obisnuite, EF depinde slab de temperaturasi coincide, practic, cu valoarea calculata la T = 0K (7.26).

Ca o simpla aplicatie, putem calcula energia medie E a electronilor deconductie dintr-un metal. Energia totalaEtot a tuturor electronilor de conductieeste:

Etot =

0

2ED(E)fFD(E, T )dE.7.33 (34)

Energia medie pe electron E este data de energia totala mpartita la numarultotal de electroni:

EtotNtot

, 7.34 (35)

18

adica

E =

0

2ED(E)fFD(E, T )dE

0

2D(E)fFD(E, T )dE

7.35 (36)

fFD(E, T ) poate fi aproximata, asa cum am vazut deja, cu o functie treaptapentru o temperatura obisnuita iar relatia (7.35) se poate aproxima cu:

E =

EF0

ED(E)dE

EF0

D(E)dE

=

AEF0

E E1/2dE

AEF0

E1/2dE

=

EF0

E3/2dE

EF0

E1/2dE

=3

5EF .7.36 (37)

Cu toate ca este foarte simplu, modelul electronului liber poate explicamulte rezultate experimentale (calduri specifice, paramagnetism, emisia ter-moionica, etc). Insa, cu acest model nu se poate explica fenomenul deconductie electrica care apare atunci cand metalul este supus actiunii unuicamp electric extern. Cu mici modificari ale modelului vom vedea ca se poateexplica conductibilitatea electrica a metalelor

7.6 Conductia electrica n metale

Daca un conductor nu este supus actiunii unui camp electric extern, elec-tronii sai de conductie se distribuie pe nivelele de energie permise pana lavaloarea maxima EF , riguros daca T = 0K. si aproximativ pentru T > 0K(variatia este mica pentru T > 0 rezonabile). Pentru a ntelege mecan-ismul conductiei este mai util sa folosim metoda Born von Karman nlocul aproximatiei undelor stationare ntr-o groapa de potential. Cu aceastametoda se observa imediat ca exista tot atatea stari ocupate cu vectorul kpozitiv cate sunt ocupate cu k negativ. Adica, pentru fiecare electron carese deplaseaza ntr-o anumita directie cu o viteza bine determinata exista unalt electron care se deplaseaza n sens opus, dar cu aceeasi viteza. In medie,viteza rezultanta este nula si, deci, nu exista curent electric.

Atunci cand metalul este supus actiunii unui camp electric extern, trebuierezolvata ecuatia Schrodinger pentru un potential descris n figura 7.13 care

19

este, asa cum se poate observa, similar potentialului folosit n metoda Born von Karman.

FIG.7.13Solutia acestei probleme este complicata, dar pe noi ne interereseaza nu-

mai sublinierea faptului ca n acest caz este favorizata propagarea undelorn sens negativ al axei x. In timp ce pentru potentialul constant numarulde stari cu k < 0 ocupate coincide cu numarul de stari cu k > 0 ocupate,acum acest lucru nu mai este adevarat: la un anumit moment de timp t dupaaplicarea campului electric extern, situatia n care se afla sistemul poate fireprezentata ca n figura 7.14.

FIG.7.14Problema acestui model este ca diferenta dintre valorile pozitive si nega-

tive ale vectorului de unda creste liniar cu timpul, pana la valori foarte mari.O modalitate cvasi-clasica de abordare a acestei probleme consta n faptul caatunci cand se aplica un camp electric E, fiecare electron al metalului simteactiunea unei forte F=-eE. Daca presupunem ca aplicarea campului externse face pe directia x, atunci

F = dV (x)dt

=dp

dt=~dkdt

= eE7.37 (38)

Prin integrarea relatiei (7.37) rezulta:

k = k(t) k(t = 0) = eEt~

7.38 (39)

adica k creste liniar cu timpul aplicarii campului electric extern.Aceeasi problema o putem aborda si ntr-o maniera diferita, asa cum am

ilustrat n figura 7.15.FIG.7.15In absenta unui camp electric exista o distributie izotropa de vectori de

unda k corespunzatori starilor ocupate, pana la valoarea kF care se aflape suprafata sferei Fermi (suprafata Fermi). Dupa un timp t de la apli-carea campului, fiecare vector de unda este translatat cu k, echivalent cudeplasarea ntregii sfere Fermi (desenul din dreapta Fig.7.15). Distributiastarilor ocupate nu mai este izotropa si, daca facem media vitezelor tuturorelectronilor, aceasta este diferita de zero si, deci, va exista un curent electric.

Sa ncercam sa ntelegem mai bine ce nseamna ca electronii de conductiedintr-un metal au un comprtament cuantic, cum este cu siguranta adevarat

20

dim moment ce au energiile de origine pur cuantica mult mai mare decat ener-

gia termica kT . In spatiul vectorilor k, suprafata de ecuatie EF =~2k2F2m

separastarile ocupate (din interiorul sferei Fermi) de cele libere (din exteriorul sfereiFermi). deoarece n modelul nostru am presupus potentialul constant ninteriorul metalului, fiecare electron trebuie sa se afle ntr-o stare descrisade functia proprie k(r) = Ae

ikr (unda plana monocromatica). Stim, nsa,ca aceasta functie nu poate descrie starea reala a unui electron, descriereacorecta fiind data de suprapunerea tuturor functiilor k(r) cu diferiti k, deexemplu variind ntr-un interval mic, [k0 k, k0 + k]. Functia de undarezultanta este pachetul de unde de forma

(r,t) =

k+kkk

Aei(krt)dk.7.39 (40)

Acestui pachet de unde i corespunde o viteza de grup scrisa n forma unidi-mensionala ca

vg =

ddkk=k0

=1

~

dEdkk=k0

=~k0m

7.40 (41)

si pe care o vom considera ca viteza proprie a unui electron.Relatia (7.40) afirma ca ntr-un metal viteza pe care o are un electron

aflat ntr-o stare definita de (7.39) este proportionala cu vectorul de unda.Cu toate ca vg nu este o viteza n sensul clasic (adica, nu se poate exprimaca dr

dtdeoarece pozitia nu poate fi determinata cu precizie), putem folosi

rationamentul care ne-a condus la relatia (7.37) si, deci, la (7.38) ca si ncazul clasic.

Problema acestui model al gazului de electroni care se misca liberi nmetal, atat din punct de vedere clasic cat si cuantic, este ca n prezentaunui camp electric extern are loc o deplasare continua a sferei Fermi n timp.Acest lucru contrazice legea lui Ohm conform careia, dupa un timp suficientde lung se stabileste un curent constant n interiorul metalului. La limita,relatia (7.38) poate conduce la un rezultat absurd: cresterea infinita a lui knseamna o viteza v > c.

Aceasta dificultate se poate depasi introducand n model ciocnirile asacum s-a facut si clasic. In acest caz, termenul ciocnire va avea o semnificatiemai larga, de interactie a electronilor cu variatia de potential din interiorulmetalului. Ipotezele facute n modelul electronului liber se modifica astfel:

21

i) ionii nu sunt ficsi n pozitiile lor de echilibru;ii) potentialul pe care l produc nu este perfect periodic si constant n

timp.Astfel, electronii care se gasesc ntr-o stare k bine definita sufera cicniri

care le schimba starea n k, stare care nu este legata prin nici un fel de relatiecu vectorul k al starii precedente; efectul campului exista numai pentru untimp dintre doua ciocniri, si nu pe toata durata n care este aplicat campulextern.

Sa presupunem ca electronii parcurg o distanta l (drum liber mediu) ntredoua ciocniri. Deoarece starile libere se gasesc cu usurinta n apropiereasuprefetei Fermi, putem considera ca viteza electronilor este vF , corespunzatoareenergiei Fermi. vF , comparata cu orice modificare de viteza care poate fiprodusa de un camp electric extern de intensitate rezonabila (adica, infe-rior campului de strapungere a materialului!) este foarte mare ( 106m/s),astfel ncat putem presupune ca modulul vitezei electronului ramane practicnemodificat ntre doua ciocniri; timpul dintre doua ciocniri succesive esteaproximativ un timp mediu dat de relatia

=l

vF7.41 (42)

si (7.38) devine

k = eE~

= eEl~vF

.7.42 (43)

Asadar, viteza medie pe care o vor avea electronii n prezenta unui camp elec-tric extern (care, atunci cand se analizeaza conductia electrica n materialeleconductoare este numita viteza de drift vd) este

vd = eEm

, 7.43 (44)

si verifica relatia ~k =mvd.Folosind expresia densitatii de curent J = nevd se obtine imediat ex-

presia rezistivitatii unui metal:

=mvFnee2l

=m

nee2, 7.44 (45)

unde ne este concentratia electronilor de conductie.Subliniem faptul ca relatia (7.44) este formal identica cu cea obtinuta

utilizand modelul clasic al gazului de electroni, cu o deosebire nsa. In cazul

22

clasic, n locul vitezei Fermi apare viteza termica care este data de statisticaMaxwell Boltzman (vT (3kT/2m)1/2. In cazul cuantic, nsa, apareviteza Fermi vF care nu depinde de temperatura.

Daca potentialul n care se afla electronii ar fi fost riguros periodic, sepoate demonstra ca nu ar exista ciocniri. Deci, pentru a discuta conductian metale sau, echivalent, rezistivitatea electrica, trebuie sa tinem cont deimperfectiunile care distrug periodocitatea cristalului.

Imperfectiunile mai importante sunt de doua tipuri:1. Vibratiile termice ale retelei care mpiedica ionii sa se afle n nodurile

retelei n acelasi timp. Acest tip de imperfectiuni sunt ntotdeauna prezentedaca temperatura este diferita de zero absolut.

2. Impuritati, adica atomi diferiti de cei ai bazei cristalului.

7.7. Semiconductoare

Modelul electronului liber care explica destul de bine comportarea elec-tronilor de conductie ntr-un metal, nu permite ntelegerea faptului ca unelesolide sunt buni conductori n timp ce altele sunt izolatoare.

Pentru a explica aceste lucruri trebuie sa abandonam ipoteza ca potentialuleste constant n interiorul cristalului. Inainte de a face acest pas, sa rezumamrezultatele importante obtinute cu modelul electronului liber:

1. functiile proprii sunt de tipul:

k(r) = Aeikr7.45 (46)

si reprezinta unde deplasandu-se cu impulsul p =~k.2. valorile permise ale energiei sunt distribuite ntr-un mod cvasi-continuu

de la 0 la si sunt:

E|k| =~2

2m(k2x + k

2y + k

2z) =

~2k2

2m.7.46 (47)

3. valorile lui k sunt cuantificate si, cu conditiile periodice la limita, auexpresiile:

kx = nx2pi

Lx, ky = ny

2pi

Ly, kz = nz

2pi

Lz, 7.47 (48)

cu nx, ny, nz numere ntregi.

23

Sa vedem cum se schimba rezultatele 1, 2 si 3 (exprimate de ecuatiile 7.45,7.46 si 7.47) daca tinem cont de periodicitatea potentialului care, desigur,este legata de periodocitatea retelei cristaline:

V (r+ t) =V (r), 7.48 (49)

unde vectorul t a fost definit la nceputul capitolului. Potentialul poate fireprezentat prin repetarea unei functii definita pe celula elementara a retelei.Deoarece toate celulele elementare sunt congruente, pentru electron nu esteatat de importanta pozi-tia sa fata de originea sistemului de referinta alescat pozitia sa n interiorul celulei n care se afla.

Se poate demonstra ca amplitudinea functiei proprii este periodica cuperioada retelei iar partea spatiala a functiei de unda a unui electron ntr-oretea periodica are forma:

k(r) =u(r)eikr , u(r+ t) =n(r)7.49 (50)

(r) data de relatia (7.49) se numeste unda Bloch. Solutiile generale aleecuatiei starilor stationare

~2

2m2(r)+V (r)(r) =E(r)7.50 (51)

cu V (r) periodic cu periodicitatea retelei cristaline (V (r+ t) =V (r)) sunt detipul ecuatiei (7.49).

Ecuatia (7.50) este dificil de rezolvat; n paragraful urmator vom gasi osolutie n cazul n care V (r) are o expresie simpla. Acum, fara demonstratii,vom enunta si comenta rezultatele semnificative n cazul unidimensional, ex-tinderea la cazul tridimensional fiind imediata.

Consideram o retea de dimensiune finita (L) si fie a dimensiunea celuleielementare. Rezulta, deci, ca aceasta retea este alcatuita din N celule cu

N = L/a, 7.51 (52)

asa cum este reprezentat schematic n figura 7.16.FIG.7.16Fiecare celula elementara contine un atom. Conditiile la limita periodice

pe care le verifica functia de unda sunt:

(x+ L) = (x+Na) = (x).7.52 (53)

24

Cum solutia ecuatiei Schrodinger este o unda Bloch, atunci

(x+Na) = eikNa(x)7.53 (54)

si

eikNa = 1 k = 2pimNa

=2pim

L, 7.54 (55)

unde m este un numar ntreg.Ca prima concluzie, aceasta conditie de cuantificare a vectorilor de unda

coincide cu cea gasita anterior pentru conductoare, n ipoteza potentialuluiconstant. Relatia (7.54) exprima faptul ca, la fel ca n modelul electronuluiliber, impunand conditiile la limita gasim cuantificarea valorilor posibile alevectorilor de unda. Deoarece valorile lui k sunt cuprinse n intervalul pi

a 0 pentru electroni n banda de conductie.

mg > 0 pentru goluri n banda de valenta.

Observatii:

1. Dupa cum am spus, masa efectiva este constanta numai n extremitatilebenzilor si, si schimba semnul trecand de la minimul la maximul benzii.In general, me si m

g sunt acceptate ca si cum ar fi valori constante car-

acteristice ale benzii de conductie, respectiv al benzii de valenta. Aceastaeste o aproximatie destul de corecta deoarece electronii din BC sunt oricumconcentrati n partea de jos a benzii n timp ce golurile din BV sunt concen-trate n partea de sus a benzii.

2. Este evident din definitia (7.79) ca, cu cat este mai ngusta parabola,cuatat este mai mare d

2Edk2

si cu atat este mai larga parabola cu atat este maimare masa efectiva.

Sa reamintim schematic, n figura 7.29, relatiile dintre energiile electron-ilor si cele ale golurilor. Atunci cand energia unui electron creste, nseamnaca electronul poate sari pe nivele mai nalte din BC; cand nsa energia unuigol creste, cum acesta are sarcina pozitiva, el se va deplasa spre nivele maijoase din BV.

FIG.7.29

Distanta dintre minimul benzii de conductie si maximul benzii de valentaeste Eg, largimea benzii interzise. Minimul lui BC l notam cu Ec; Ec core-spunde energiei potentiale a unui electron iar energia cinetica a electronuluieste masurata n sensul pozitiv al axei energiei, pornind de la Ec. MaximulBV l notam cu Ev ; Ev corespunde energiei potentiale a unui gol iar energiacinetica a unui gol este masurata n sensul negativ al axei energiei, pornindde la Ev.

7.11. Concentratia purtatorilor de sarcina si pozitia nivelu-lui Fermi ntr-un semiconductor intrinsec

Pentru a calcula concentratia n a electronilor din banda de conductie aunui semiconductor intrinsec vom utiliza acelasi procedeu ca si la metale. Latemperatura T , n este dat de produsul dintre densitatea de stari si probabil-

36

itatea de ocupare, integrat pe ntreg intervalul de energie, adica

n =

EmaxEc

2D(E)f(E)dE, 7.82 (83)

unde Ec reprezinta energia corespunzatoare minimului benzii de conductie,Emax este valoarea maxima a energiei n banda de conductie, D(E) este den-sitatea de stari din banda de conductie si f(E) este functia de distributieFermi-Dirac. Functia de distributie f(E) este identica cu cea folosita ncazul conductoarelor; de fapt, aceasta functie este o proprietate statistica cedepinde numai de spinul particulelor si nu depinde de caracteristicile mediu-lui. Densitatea de stari nsa depinde de caracteristicile benzii de conductie.Deoarece la temperaturi obisnuite numai starile care corespund unei energiiputin mai mari decat Ec (corespunzatoare minimului benzii de conductie)sunt ocupate, se poate nlocui expresia exacta a functiei E(k) cu aproximatiaei parabolica:

E(k) = Ec +~2k2

2me, 7.83 (84)

unde am folosit definitia masei efective din relatia (7.79).Densitatea de stari D(E) din banda de conductie poate fi calculata uti-

lizand aceeasi metoda ca si n cazul conductoarelor. De fapt, relatia (7.79)este formal identica cu aceea obtinuta pentru semiconductoare daca se facnlocuirile E(k) E(k)Ec si me me. In consecinta, densitatea de starielectronice D(E) din banda de conductie este:

D(E) =1

(2pi)2

(2me~2

)3/2(E Ec)1/27.84 (85)

care, introdusa n relatia (7.82) mpreuna cu expresia explicita a lui f(E)conduc la expresia:

n =

EmaxEc

21

(2pi)2

(2me~2

)3/2(E Ec)1/2 1

1 + eEEFkT

dE.7.85 (86)

Calculul integralei (7.85) nu este imediat, dar se pot face cateva aproximatiicare sa o reduca la o forma mai simpla. Functia f(E) este simetrica fata

37

de nivelul Fermi si, datorita termenului exponential,se poate aproxima deforma:

eEEF

kt pentru E EF > 3kT 7.86 (87)F (E,E) ' {

1 e (EEF )kT pentru E EF < 3kT 7.87 (88)

Expresia (7.87) poate fi privita si ca probabilitatea ca un gol sa ocupe ostare cu energie E la temperatura T ; de fapt, probabilitatea de a gasi ungol ntr-o anumita stare este egala cu probabiltatea ca un electron sa nuse afle n aceeasi stare, adica 1 f(E, T ). In figura 7.30 sunt reprezentateschematic benzile de energie, densitatea de stari, distributia Fermi-Dirac siconcentratia de purtatori de sarcina (n sau p, concentratia de electroni, re-spectiv concentratia de goluri).

FIG.7.30Calitativ, putem spune ca n BC se afla multe stari permise dar un numar

mic de electroni, asa ncat probabilitatea ca o stare sa fie ocupata este mica.Insa, n banda de valenta aproape toate starile sunt ocupate de electroni iarprobabiltatea este aproape 1, adica sunt putine goluri.

Pentru determinarea concentratiei n putem calcula integrala (7.85) naproximatia (7.86) (n BC si la temperaturi obisnuite E EF 3kT ) sinlocuind limita superioara a integraleiEmax cu. Aceasta ultima aproximatieeste justificata deoarece f(E, T ) este o functie exponentiala care descresterapid cu cresterea energiei si care devine neglijabila pentru E = Emax.Introducand notatia x = EEc

kTobtinem:

n =2

(2pi)2

(2me~2

)3/2(kT )3/2e

EEckT

0

x1/2exdx.7.88 (89)

Integrala din (7.88) este egala cupi2

si rezulta ca

n = NceEEF

kT 7.89 (90)

unde

Nc = 2

(2pimekT

~2

)3/2, 7.90 (91)

se numeste densitatea echivalenta de stari din banda de conductie.

38

De exemplu, pentru siliciu Nc la temperatura camerei este 2.81019cm3.Nc este de acelasi ordin de marime cu densitatea electronilor de conductientr-un conductor, iar n este cu cateva ordine de marime mai mic din cauzafactorului exponential din (7.79). De asemenea, n timp ce n cazul con-ductoarelor densitatea electronilor de conductie nu depinde de temperatura,n cazul materialelor semiconductoare aceasta creste exponential cu temper-atura.

Notand faptul ca n unele manuale se alege ca nivel de zero al energieivaloarea Ec corespunzatoare minimului energiei benzii de conductie, adicaEc = 0; n consecinta, relatia (7.89) devine:

n = NceEFkT .7.91 (92)

Procedand n acelasi fel, putem gasi concentratia de goluri din banda devalenta:

p = NveEFEv

kT , 7.92 (93)

unde Ev reprezinta energia corespunzatoare maximului benzii de valenta iar

Nv = 2

(2pimgkT

~2

)3/2se numeste densitatea echivalenta de stari din banda de valenta.

Pentru siliciu la temperatura camerei Nv = 1.04 1019cm3. Pentru unsemiconductor intrinsec, evident

n = p.7.94 (94)

De fapt, fiecare electron care trece n banda de conductie lasa un loc liber nbanda de valenta, adica un gol. Numarul electronilor de conductie trebuiesa coincida cu numarul golurilor.

Aceasta valoare comuna se numeste concentratia purtatorilor intrinsecisi se noteaza cu ni. Introducand n (7.94) relatiile (7.89) si (7.92) obtinem,dupa calcule simple, expresia nivelului Fermi ntr-un semiconductor intrinsec:

EF =Ec + Ev

2+kT

2ln

(NvNc

)=

Ec + Ev2

+3

4kT ln

(mgme

)7.95 (95)

Din analiza relatiei (7.95) putem deduce cateva concluzii importante:

39

a) EF nu depinde de concentratia purtatorilor de sarcina, nici de a elec-tronilor n nici de a golurilor p.

b) Pentru T = 0K, nivelul Fermi se afla exact la mijlocul benzii interzise.De fapt

Eg = Ec Ev Ec = Eg + Ev EF = Eg + Ev + Ev2

=Eg2

+ Ev

si, cum de obicei se alege Ev ca origine a axei energiei, EF =Eg2.

c) La cresterea temperaturii, EF se deplaseaza dinspreEg2

nsprevalorimaimaridacamg > me

nsprevalorimaimicidacamg < me.

DeoareceNc siNv depind de masele efective, f(E, T ) (sau 1f(E, T )) trebuiesa aiba o valoare mai mare atunci cand densitatea de stari este mai mica astfelncat, oricare ar fi temperatura T, sa se verifice ntotdeauna egalitatea n = p.

d) Din relatiile (7.89) si (7.92) rezulta ca:

n2i = np = NcNveEcEF

kT eEFEv

kT = NcNveEg

kT 7.96 (96)

si, deci,

ni =NcNve

EgkT , 7.97 (97)

unde Eg = Ec Ec.Egalitatea np = n2i este cunoscuta ca legea actiunii masei si se poate

demonstra ca este valabila atat pentru semiconductoarele intrinseci cat sipentru semiconductoarele dopate, care vor fi prezentate n paragraful urmator.

Pentru siliciu la temperatura camerei, ni ' 1.45 1010cm3.

7.12. Semiconductoare dopate

In paragrafele anterioare am analizat semiconductoarele ca si cum arfi fost cristale cu o retea perfecta si substante pure din punct de vederechimic. In realitate, semiconductoarele, la fel ca si alte solide cristaline, auntotdeauna imperfectiuni structurale si impuritati. Deoarece impuritatilemodifica proprietatile electrice ale semiconductoarelor, acestea pot fi adaugate

40

intentionat n matricea cristalina a semiconductorului printr-un proces numitdopaj. Sa analizam acest proces pornind de la un semiconductor intrinsectipic cum ar fi siliciul si sa folosim ca impuritati de dopare atomi pentavalenti(ca fosforul, arseniul, etc) sau atomi trivalenti ( ca bariul, aluminiul, etc).Siliciul este un element tetravalent. Reteaua sa cristalina este tetraedricaca si aceea a carbonului sau a germaniului, dar, pentru simplificare, o vomreprezenta grafic ca o structura bidimensionala. Fiecare atom al Si pune ladispuzitie 4 electroni pentru formarea legaturilor covalente cu 4 atomi vecini.Sa nlocuim un atom de si, de exemplu, cu un atom de As pentavalent sivedem ce se ntampla la T = 0K.(figura 7.31)

FIG.7.31Acest atom foloseste 4 dintre electronii sai de valenta n legaturi covalente

pe care le formeaza cu 4 atomi vecini de si; al cincilea electron nu poateramane pe un nivel din banda de valenta deoarece acestea sunt deja ocupatesi nici pe un nivel din banda de conductie deoarece, la zero absolut, nu areenergia de agitatie termica necesara pentru a depasi banda interzisa. Fatade situatia n care atomul este liber, energia de legatura ED a electronuluisuplimentar este mult mai mica n cristal din cauza constantei dielectrice maria cristalului care reduce forta atractiva coulombiana. Atomul pentavalentintrodus n semiconductorul intrinsec n locul atomului tetravalent poate,asadar, pierde cu usurinta al cincilea electron de valenta; din acest motivacest atom se numeste atom donor de electroni. Al cincilea electron se gasesten campul de forta electrostatica creat de un nucleu cu sarcina +Ze si de(Z 1) electroni cu sarcina e(Z 1); campul rezultant este acela al uneisarcini pozitive +e, similar aceluia n care se gaseste electronul n atomul dehidrogen. Cum ecuatia Schrodinger pentru atomul de hidrogen am rezolvat-odeja, vom folosi rezultatele obtinute n acel model cu unele modificari legatede problema pe care o analizam.

In atomul de hidrogen, electronul se gaseste n vid si nivelele sale deenergie sunt date de relatia:

En = me4

820h2

1

n2

Nivelul zero al energiei este acela corespunzator ionizarii atomului, adicasituatiei n care electronul nu mai este legat de proton, ci liber n vid. Functiasa de unda n acest caz este aceea a particulei libere:

(r) =Aeikr.

41

Al cincelea electron al atomului de As se gaseste n campul produs de osarcina pozitiva, dar ntr-un mediu de constanta dielectrica Si = 0r diferitade 0 prin factorul r care, pentru siliciu, este ' 12. Nivele sale energeticevor fi, ntr-o evaluare aproximativa:

E n = me4

8202rh

2

1

n2=

1

2rEn.7.98 (98)

Este evident ca |E n| |En|. Nivelul zero de energie al acestui electronnu este nivelul de vid, ci se afla n partea de jos a benzii de conductie asiliciului intrinsec, adica atunci cand electronul se desprinde de atomul deAs nu se gaseste ca o particula libera n vid, ci ca un electron n BC asemiconductorului intrinsec. Functia sa de unda (atunci cand se gaseste nbanda de conductie) este,asadar, o functie Bloch:

k(r) =uk(r)eikr.

In figura 7.32 sunt reprezentate, pentru a fi comparate, nivelele energeticeEn si E

n

FIG.7.32

iar n figura 7.33 este reprezentata o schema unidimensionala a benzilorunui semiconductor dopat cu atomi donori de electroni la T = 0K.

FIG.7.33

Liniutele din figura 7.33 care reprezenta nivelele de energie create prindopare sunt separate spatial pentru a indica faptul ca functiile de unda re-spective nu se suprapun, adica fiecare atom de impuritate este independentde ceilalti.

La cresterea temperaturi este evident ca electroni n exces creati de atomiidonori pot trece mai usor n banda de conductie decat electronii din banda devalenta ai siliciului (ED = EcEd Eg = EcEv); asadar,cristalul devineconductor la o temperatura mai scazuta decat siliciul pur (semiconductorintrinsec). Aceasta conductibilitate datorata impuritatilor este numita ex-trinseca iar semiconductorul se numeste extrinsec.

Obeservatii legate de folosirea modelului atomului de hidrogen:

Prima aproximatie facuta n acest model este urmatoarea:

1. electronul de valenta n exces al atomului pentavalent introdus nmatricea cristalina a solidului tetravalent vede numai ionul sau si, deci, nusimte potentialul creat de alte impuritati. Cu alte cuvinte, fiecare atom de

42

impuritati este un atom hidrogenoid cu nivelele sale energetice independentede alti atomi.

2. Cu acest tip de dopare sunt create nivele energetice permise n bandainterzisa la T = 0K.Aceste nivele se afla la cateva sutimi de eV fata deEc n timp ce largimea benzii interzise (de exemplu, pentru si la T = 0K)este de ordinul 1.2eV . Este evident ca energia termica necesara conductiei(adica energia necesara unui electron pentru a trece n banda de conductie)ntr-un semiconductor dopat cu atomi donori este mult mai mica decat aceeanecesara unui semiconductor intrinsec. Mai jos sunt redate cateva valori alelui E 0 pentru siliciu dopat cu diferiti atomi pentavalenti:

E 0 = 0.045eV pentruP= 0.049eV pentruAs= 0.039eV pentruSb

Asa cum se observa, E 0 este comparabila cu valoarea kT la temperaturacamerei (kT ' 0.025 eV ) si, deci, este de asteptat ca destul de multi electronilegati de atomii de P , As sau Sb sa poata trece n banda de conductie.

3. Celui de-al cincelea electron al atomului donor i sunt permise niveleenergetice din banda interzisa (unde nu se gasesc stari permise pentru elec-tronii atomilor semiconductoarelor intrinseci), putin sub Ec. Aceste starielectronice nu sunt reprezentate de unde Bloch deoarece electronii n excesse gasesc localizati n apropierea impuritatii. Daca temperatura creste siacesti electroni pot trece n banda de conductie, atunci ei se vor afla subactiunea aceluiasi potential ca si electronii siliciului care pot trece n bandade conductie si care sunt descrisi de unde Bloch.

Atomul donor caruia i apartine electronul de acest tip nu va mai aveanici o influenta asupra acestuia care, de fapt, devine electron liber (ca sielectronul atomului de hidrogen ionizat). Altfel spus, relatia:

E n = mee

4

8202rh

2

1

n27.99 (99)

este valabila atata timp cat electronii sunt legati de atomul de la care provinsi nu cand electronii trec n BC.

In mod asemanator, o impuritate trivalenta se comporta n reteaua sili-ciului ca un acceptor de electroni. Referindu-ne la figura 7.34, putem spuneca electronul care lipseste este nlocuit de un electron al siliciului proveninddin banda de valenta iar atomul acceptor devine ion negativ.

43

FIG7.34In cazul unidimensional, structura de benzi poate fi schematizata ca n

figura 7.35FIG.7.35La o temperatura mai scazuta decat cea necesara trecerii electronilor

din BV n BC a siliciului, electronii din BV pot trece pe nivelele atomiloracceptori ( EA = EaEv Eg = EcEv), lasand goluri n banda de valentacare pot conduce curentul. Ca si n cazul precedent, aceasta conductie senumeste extrinseca iar semiconductorul se numeste extrinsec.

Observatii privind doparea cu atomi acceptori1. nivelul de energie introdus de impuritatile trivalente este interpretat caenergia necesara formarii unui ion negativ. Cateva valori tipice ale lui E 0 ncazul impuritatilor trivalente n siliciu sunt:

E 0 = 0.045eV pentruB= 0.057eV pentruAl= 0.016eV pentrun

2. Deoarece nivelele de energie introduse de impuritatile trivalente sunt putindeasupra lui Ev, electronii vad o banda interzisa destul de mare si, deci,nu pot trece n BC. Acesta este motivul pentru care conductia este creata degoluri n BV.

In timp ce ntr-un semiconductor pur sau intrinsec numarul de electronin BC este ntotdeauna egal cu numarul de goluri din BV, n = p = ni, ntr-unsemiconductor dopat sau extrinsec, n functie de numarul atomilor donori siacceptori pot exista mai multi electroni de conductie decat goluri; n acestcaz, purtatorii majoritari de sarcina sunt electronii cu sarcina negativa iarsemiconductorul se numeste de tip n. Daca numarul golurilor este mai maredecat cel al electronilor, atunci purtatorii majoritari de sarcina sunt golurilecu sarcina pozitiva iar semiconductorul se numeste de tip p.

In rezumat,i) doparea cu impuritati pentavalente conduce la cresterea numarului de

electroni n BC, electronii devin preponderenti fata de golurile din BV,In acest caz, electronii se numesc purtatori majoritari si

golurile se numesc purtatori minoritari iarsemiconductorul se numeste de tip n.ii) doparea cu impuritati trivalente introduce un nivel energetic n apropierea

BV care, la temperatura camerei, va fi ocupat de electroni ai siliciului provenind

44

din BV; acesti electroni se fixeaza la atomii acceptori si lasa goluri n BV acaror concentratie va fi, evident, mai mare decat a electronilor din BC.

In acest caz, golurile se numesc purtatori majoritarii sielectronii se numesc purtatori minoritari iar

semiconductorul se numeste de tip p.Afirmatia ca n semiconductoarelor de tip n si p conductivitatea este data,

n mod esential, de purtatorii majoritari, nu nseamna ca purtatorii minori-tari pot fi neglijati complet. De fapt, atunci cand se efectueaza combinatiide semiconductoare de tipuri diferite sau dopate diferit fluxul de purtatoriminoritari are o importanta fundamentala n determinarea proprietatilor dis-pozitivului, asa cum se ntampla n jonctiuni.

7.13. Concentratia purtatorilor de sarcina ntr-un semi-conductor extrinsec

Intr-un semiconductor dopat oarecare, nivelul Fermi trebuie sa fie pozitionatastfel ncat sa se asigure neutralitatea sistemului, oricare ar fi temperatura.Ecuatia de neutraliatea n forma sa generala este:

n+NA = p+N+D , 7.100 (100)

unde n este concentratia de elctroni din BC, p este concentratia de goluri dinBV, N+D este concentratia de atomi donori care au pierdut un electron carea trecut n BC, NA este concentratia de atomi acceptori care au primit unelectron din BV si care a lasat n locul lui un gol.

Ecuatia (7.100) este o consecinta directa a faptului ca suma tuturorsarcinilor electrice prezenta ntr-un semiconductor neutru trebuie sa fie egalacu zero.

Pentru a determina separat n si p este necesara o alta relatie, numitalegea actiunii masei:

n2i = np.7.101 (101)

Aceasta lege, pe care am gasit-o deja pentru un semiconductor intrinsec,se poate explica observand faptul ca variatia numarului de electroni dinbanda de conductie n unitatea de timp (dn/dt) este data de doua fenomene.Primul fenomen consta n recombinarea unui electron din BC cu un gol din

45

BV: variatia concentratiei de electroni n unitatea de timp legata de acestfenomen este proportionala cu produsul concentratiilor electronilor din bandade conductie, respectiv a golurilor din banda de valenta, adica anp, undea este o constanta pozitiva. semnul arata ca n procesul de recombinareconcentratia electronilor scade. Al doilea fenomen consta n trecerea unuielectron din banda de valenta n banda de conductie; concentratia de elec-troni care, n unitatea de timp, trec n BC este proportionala cu concentratiade electroni din BV (care nu este mult diferita n semiconductoarele de tip nfata de cele de tip p) si o notam cu b, constanta pozitiva.

Rezulta, deci:dn

dt= anp+ b

La echilibru, dn/dt = 0 si rezulta ca np = b/a = cons tan t = n2i , deoarecetrebuie sa fie o relatie valabila si pentru semiconductorul intrinsec.

Asadar, putem sa ntelegem cum variaza cu temperatura conductia nsemiconductoarele dopate; ecuatiile (7.100) si (7.101) sunt suficiente pentrudeterminarea separata a lui n si a lui p; acesta este primul lucru care trebuieclarificat n studiul unui semiconductor la echilibru.

Sa simplificam forma ecuatiei (7.100) n diferite cazuri:1.Semiconductor de tip nIn acest caz ND NA astfel ncat ecuatia de neutralitate a sistemului

are forma:n = p+N+D7.102 (102)

Pentru a gasi variatia diferitilor parametri cu temperatura observam carelatia (7.102) poate fi aproximata cu diferite expresii n functie de inter-valul de temperatura considerat.

In cazul temperaturilor foarte scazute, adica cele pentru care 0 kT ED = Ec Ed Eg, p este cu siguranta neglijabil deoarece probabilitateaca un electron din banda de valenta sa treaca n banda de conductie esteneglijabila, deci (7.102) devine:

n = N+D .7.103 (103)

La T = 0K nici un atom donor nu este ionizat si n = 0; la cresterea temper-aturii T , numarul N+D de atomi donori ionizati creste rapid si, deci, crestesi numarul de electroni din banda de conductie; expresia exacta (nedemon-strata) este

N+D =

NcND2

eEcEd2kT 7.104 (104)

46

Pentru ED kT Eg, p ramane neglijabil dar toti atomii donori pot cedaelectronul lor n exces astfel ncat n = N+D = ND. La cresterea temperaturii,pentru kT Eg, nu mai putem neglija p n relatia (7.102). Folosind relatiile

n = p+N+Dnp = n2i

introducand expresia lui p din cea de-a doua relatie n prima, obtinem

n =n2in

+N+D n2 N+Dn n2i = 0.7.105 (105)

deoarece n reprezinta o concentratie, singura solutie acceptata a ecuatiei(7.105) este aceea care corespunde valorii n pozitive, adica

n =N+D2

(1 +

1 +

4n2iN+2D

).7.106 (106)

Relatia (7.106) se poate aproxima cu expresii mai simple pentru doua limite:

temperaturi intermediare si ni =NcNve

Eg2kT ND

4n2iN+2D

1 n = N+D

2(1 + 1) = N+D = ND.7.107 (107)

Asa cum se observa, n aceasta regiune regasim acelasi rezultat ca si n cazultemperaturilor joase n cazul kT ED.

temperaturi nalte si ni =NcNve

Eg2kT ND.

In acest caz numarul de electroni care trec din banda de valenta n bandade conductie este foarte mare si depaseste numarul atomilor donori prezenti(ni N+D ). Deci,

4n2iN+2D

1 n N+D

2

(2 +

2niN+D

) ni

NcNve

Eg2kT .7.108 (108)

Relatia (7.107) exprima legatura cu regimul de temperaturi joase atunci candp este neglijabil iar atomii donori sunt toti ionizati.

Relatia (7.108) exprima faptul ca la temperaturi nalte chiar si electroniidin BV a semiconductorului intrinsec pot trece ntr-un numar mare n BC,conductibilitatea fiind data, n mod esential, de purtatorii intrinseci. Este

47

important sa constantam ca acest ultim caz limita este practic neobservabiln semiconductoare ca siliciul dopat cu un numar de atomi donori ND =1015atomi/cm3 deoarece temperaturile care statisfac conditia ni ND suntfoarte ridicate.

Intr-o maniera similara se poate analiza un2.Semiconductor de tip ppentru care ecuatia de neutraliate a sistemului (7.100) devine

p = n+NA , 7.109 (109)

si facand substituirile necesare se obtin rezultate echivalente.

7.14. Aplicatii

In acest paragraf vom prezenta, n mod calitativ si, deci, foarte simplificat,aplicatiile cele mai importante n technologia semiconductoarelor

1. Jonctiunea p-n

O jonctiune p n (sau dioda p n) provine dintr-un cristal unic, ncare o parte este dopata de tip p iar cealalta parte de tip n. Suprafata deseparare dintre cele doua zone se numeste jonctiune. In oricare dintre zone seafla contacte metalice pentru aplicarea unei diferente de potential pe dioda.In figura 7.36 sunt reprezentate cateva tipuri de diode. Notam cu Vp(Vn)potentialul aplicat pe zona p(n): dioda este polarizata direct daca Vp > Vnsi polarizata invers daca Vp < Vn.

FIG.7.36Vom analiza pe scurt functionarea diodei p n n functie de diferenta

de potential aplicata pe electrozi. Ne vom referi la o dioda cu geometriaplana, asa cum este cea de tipul A din figura 7.36.

Cazul a) polarizarea directa Diferenta de potential aplicata creeazaun camp electric ndreptat dinspre zona p spre zona n: golurile (din zonap sau din n) se deplaseaza n directia campului iar electronii n sens opus.Electrodul de pe zona n creeaza n mod continuu electroni iar cel din zona p

48

i atrage, furnizand goluri. Va exista un curent care poate sa ajunga la valorimari chiar si pentru diferente de potential mici aplicate. Dioda se comportaca un scurt circuit. Un calcul teoretic exact conduce la urmatoarea relatiecurent-tensiune: i = i0(e

qV/kT1), unde V este diferenta de potential aplicatasi i0 o constanta care depinde de tipul diodei.

Cazul b) polarizarea inversa Diferenta de potential aplicata creeazainitial un camp electric care tinde sa ndeparteze electronii si golurile dejonctiune. In apropierea jonctiunii se creeaza, asadar, o regiune saraca npurtatori mobili de sarcina, zona n care raman sarcinile fixe (cristalulinitial este neutru), cu concentratia eNA n zona p si eND n zona n.Miscarea sarcinilor este oprita (dupa un timp foarte scurt) atunci cand campulelectric din zona nesaracita este nul, adica atunci cand toata caderea depotential este pe zona saracita. Cand se ajunge la echilibru, dioda practic, numai conduce, exceptand un mic curent (curentul invers) care este exprimatprin aceeasi formula i = i0(e

qV/kT 1), unde, de aceasta data, V < 0.

2. Celula solara

Modelul cel mai simplu de celula solara consta ntr-o dioda de tip B dinfigura 7.36, n care grosimea zonei p este de circa 0.1 1m. Cele doua zoneale diodei sunt nchise prin exterior cu o rezistenta R iar n serie cu aceasta sepoate lega un ampermetru. Daca dioda se afla n intuneric, curentul masuratde ampermetru este nul. In aceasta situatie, n apropierea jonctiunii existao mica zona saracita de sarcini deoarece, datorita agitatiei termice, golurilepot patrunde n zona n si se recombina cu electronii prezenti. Similar, uniielectroni din zona n difuzeaza n zona p si acolo se recombina cu golurileprezente. Acest mecanism genereaza n zona saracita un camp electric.

Daca se ilumineaza regiunea p a diodei si daca radiatia incidenta areo astfel de frecventa ncat h > Eg (banda interzisa de energie), se vorcrea perechi electron-gol care, care sub actiunea campului electric genereazacurentul masurat de ampermetru. In celulele solare cu siliciu (Eg = 1.21eV )iluminate cu radiatie solara, aproximativ 10% din energia incidenta estetransformata n energie electrica.

3. Tranzistorul cu efect de camp

49

Tranzistorul cu efect de camp (figura 7.37,a) este un dispozitiv alcatuitdin 3 electrozi, numiti sursa(S), colector(C) si poarta(P).

FIG7.37Regiunea dintre sursa si colector (numita uneori canal) este un semi-

conductor dopat: n cazul prezentat n figura, acest semiconductor este detip n. Poarta este fixata lateral pe un semiconductor p, formandu-se astfel,ntre canal si porta o jonctiune p n. Tranzistorul va functiona prin apli-carea unei diferente de potential ntre sursa (VS) si colector (VC > VS). Dacapoarta nu este conectata la o sursa, potentialul sau va fi aproximativ egal cuV0 = (VS + VD)/2; n acest caz se va crea n jurul jonctiunii o mica regiunesaracita de sarcini (regiunea alba din figura b). Rezistenta electrica dintre Ssi C este, cu o buna aproximatie, egala cu L/A, unde este rezistivitateasemiconductorilor de tip n, A este sectiunea canalului si L lungimea sa.Atunci cand se aplica pe poarta o tensiune putin mai mica decat V0, situatianu se schimba iar tranzistorul va avea o rezistenta mica ntre sursa si colector(stare de conductie).

Daca, nsa, pe poarta se aplica o tensiune negativa (fata de V0) destulde mare, atunci joctiunea p n este polarizata invers si zona saracita seextinde pana la inchiderea completa a canalului (figura c): n acest caz,rezistenta dintre S si C va avea valori foarte mari (chiar G) si tranzistorulnu va functiona. Se realizeaza, asadar, un ntrerupator de dimensiuni foartereduse ( 10 100m). O alta utilizare importanta a tranzistorului esteaceea de amplificare.