Capitolul 3
Statistic descriptiv
3.1 Noiuni fundamentale
Analiza experimental a unei mrimi const n efectuarea a numeroase
msurtori i nregistrarea rezultatelor obinute. Mulimea elementelor
luate n studiu poart denumirea de populaie statistic,
colectivitatea statistic. sau lot.Un element al populaiei
statistice se numete unitate statistic sau individ statistic.
In funcie de numrul indivizilor statistici populaia statistic
poate fi finit sau infinit.O populaie poate fi omogen dac
elementele componente sunt de acelai tip, sau neomogen la care
elementele componente sunt de tipuri diferite.Aplicaia 3.1 Un lot
de bucse cu diametrul de 100,1 produse prin sinterizare reprezint
opopulaie statistic omogen. Mulimea bucselor produse de SC Sinterom
SA ntr-
o lun reprezint o populaie neomogen; Datele experimentele
provenite din msurarea forei de achiere la rectificarereprezint o
populaie statistic omogen. Datele experimentale provenite din
msurarea regimului de achiere (s,t,v) la rectificare reprezint o
populaie neomogen.Metodele statistice se aplic numai populaiilor
omogene.
Proprietatea comun tuturor unitilor statistice provenite dintr-o
populaie omogen poart denumirea de caracteristic, sau variabil. O
populaie poate
avea una sau mai multe caracteristici. Notarea acestora se face
cu liter mare.
Caracteristicile pot fi:
- cantitative - exprimate prin valori numerice
- calitative - exprimate prin atribute ca bun - defect;
satisfctor - nesatisfctor etc.
Caracteristicile cantitative pot fi
- discrete - numerele care le reprezint aparin mulimii numerelor
ntregi sau raionale (numrul de piese defecte dintr-un lot)-
continue - dac ntr-un interval se poate obine orice valoare real
pentru caracteristic.Datele experimentele pot fi culese printr-o
cercetare:
- complet, n cazul msurrii caracteristicii fiecrui individ
statistic
- selectiv, n cazul msurrii caracteristicilor pentru un anumit
numr de indivizi statistici care formeaz un eantion sau o
selecie.Valoarea numeric a unei caracteristici cantitative
referitoare la o unitate statistic se numete valoare observat.
Totalitatea valorilor observate formeaz datele experimentale.
3.2 Repartiii experimentale
3.2.1 Tabele
Colectarea datelor experimentale se face n scopul determinrii
caracteristicilor populaiilor statistice, formarea unor concluzii
privind comportamentul populaie i lurii unor decizii.Statistica
descriptiv reprezint forma cea mai simpl de analiz a
caracteristicilor unei populaii. Ea include colectarea de date,
prezentarea lor sub form de tabele, ntocmirea unor reprezentri
grafice i stabilirea indicatorilor statistici.Tabelele trebuie n aa
fel ntocmite nct s permit o interpretare direct i uoar fr a mai
necesita texte aplicative suplimentare. Tabelele sunt formate
dintr- o reea de linii i coloane n care sunt trecute valorile
obinute ale caracteristicii.Primul tabel care se ntocmete este
tabelul datelor primare n care sunt
trecute n ordinea msurrii caracteristicile cercetate.
Capitolul 354
60777174786676748269737261766773756872793.1 Tabelul datelor
primare
71698272628373687472
73836785707563767277
69717276678073776574
Aceleai valori aranjate n ordine cresctoare astfel ca ntre dou
valori
Statistic descriptiv55consecutive s existe relaia(xi < xi +
1)
(3.1)
formeaz tabelul valorilor ordonate (Tab.3.2). Totalitatea
valorilor unei caracteristici scrise ntr-o anumit ordine
(cresctoare sau descresctoare) formeaz un irstatistic
Tab.3.2 Tabelul valorilor ordonate
60626465656667676768
68696969707171717272
72727272737373737374
74747475757676767677
77777879808282838385
3.2.2 Frecvene i intervaleIn tabelul valorilor ordonate se
observ c unele valori se repet. In consecin este posibil alctuirea
unui nou tabel n care s fie puse n eviden numrul de apariii a unei
valori. Un astfel de tabel poart denumirea de tabel cu simpl
intrare. Construcia acestor tabele se mai poate realiza i prin
mprirea amplitudinii msurtorii ntr-un numr de intervale disjuncte.
Mrimea intervalelor se ia n general egal cu excepia intervalelor
extreme pentru care uneori se pot adopta valori diferite.
Amplitudinea msurtorii se determin ca diferen ntre valoarea maxim i
minim:A = X max X min
(3.2)
Numrul intervalelor se determin cu:
1. Relaia lui H.A.Sturges:m = 1 + 3,322 lg nn care n reprezint
numrul total al datelor de observaie.
2. Relaia lui H.B.Mann i A. Wald pentru n>100:
(3.3)
1m = 4 1(n 1 5
) 4
(3.4)
3. Prin adoptarea numrului ntreg dat de relaia:m = n
(3.5)
In general s-a constatat c pentru n ( xi x )i =1
(3.35)Deci suma abaterii ptratice este minim dac:x 0 = x
(3.36)3. Abaterile n raport cu o constant oarecare X0 sunt
folosite uneori pentru simplificarea unor calcule. Astfel valoarea
medie a caracteristicii se obine mai uor dac se calculeaz suma
abaterilor xi =xi-x0 adoptndu-se astfel ordinul de mrime cel mai
convenabil:
n n n
de unde:
x' = 1 x'n i =1 i
= 1 ( xn i =1 i
x0
) = 1 xn i =1 0
x0
= x x0
(3.37)
x = x0
1 n+ x' in i =1
= x0
x'
(3.38)
4. Dispersia i abaterea standard sunt cei mai utilizai
indicatori de variaie.
3.3 Momente
Pentru stabilirea formei funciei de repartiie experimentale i a
unor particulariti a acesteia s-a introdus noiunea de moment. Intre
acetia i indicatorii de baz exist o strns legtur. Momentele se
mpart n dou categorii:- momente absolute de ordinul k la care
valorile sunt considerate n raport cu
originea;
- momente centrate de ordinul k (la care valorile sunt exprimate
n raport cu o valoare arbitrar)
3.3.1 Moment absolut de ordinul K
Statistic descriptiv65Prin definiie momentul absolut de ordinul
k este dat de relaia:
1m k =
n
i x k
(3.39)n i =1unde x1, x2,...,xn, sunt valorile msurate, ale
caracteristicii X. Momentul absolut de
ordinul k poate fi exprimat i cu ajutorul frecvenelor absolute
sau relative.
n n k k
1mk = n
x i a i = x i f i
(3.40)i = 1
i = 1
Se observ c momentul absolut de ordinul 1 reprezint media
aritmetic.
1m1 = n
n x i = xi = 1
(3.41)De asemenea momentul absolut de ordinul 2 este egal cu
ptratul mediei
ptratice.
1 n 2 2m 2 = n
x ii = 1
= M p
(3.42)
3.3.2 Momentul centrat de ordinul kPrin definiie, momentul
centrat de ordinul k n raport cu o origine arbitrar
este:
kM = 1
n ( xi )k
(3.43)
sau n funcie de frecven:
n i =1M = 1
n ( x )k a
n= ( x )k
f i
(3.44)
kn i =1 i
i ii =1
Momentul centrat de ordinul k n raport cu media aritmetic se
noteaz cu Mk
i este dat de expresia:
1 n k
sau:
M k = ( xi x )
ni =1
(3.45)
Capitolul 366
1 n k
n k
nM k = ( xi x )i =1
ai = ( xi x )i =1
f i
(3.46)
Momentul centrat de ordinul 2 este egal cu dispersia:
[ ]1 n 2M = ( x x ) = D x2 n i =1 i
(3.47)
Intre momentele absolute i cele centrate se pot scrie urmtoarele
relaii:M 1 = 0
1M 2 = m2
m2 = D[x]
1M 3 = m3
3 m1 m2
+ 2 m3
(3.48)M 4 = m4 4 m1 m3 + 6 m1 m2 3 m1
3.3.3 Corecia momentelor
In general gruparea valorilor pe clase conduce la anumite erori,
deoarece n calculele indicatorilor statistici frecvena este
considerat corespunztoare valorii centrale a intervalului de
grupare. Aceast consideraie presupune o repartiie uniform a datelor
n interiorul clasei, lucru rar ntlnit. Corectarea valorilor din
acest punct de vedere este cunoscut sub numele de corecia Sheppard.
Media nunecesit nici o corecie deoarece:
n nx = 1 xn i =1 i
= + 1 ( xn i =1 i
)
(3.49)
Nici momentul absolut de ordinul trei nu necesit corecii.
Momentele absolute de ordinul 2 i 4 se corecteaz conform
relaiilor:
1m2 = m2 2121 7
(3.50)m4 = m4
m2 +2
4240unde reprezint amplitudinea intervalului de grupare.3.3.4
Indicatori pentru asimetrie i aplatizareExist diferite moduri prin
care se poate aprecia asimetria unei repartiii: Cel mai utilizat
este coeficientul de asimetrie i coeficientul de exces exprimat de
relaiile: = M 3 = M 3
M1 3 / 22
D[x]3
(3.51) = M 4 3 = M 4 3
M22 2 D[x]2
(3.52)
Coeficientul de asimetrie indic tipul de asimetrie, conform
celor prezentate n
figura 9.9.
Statistic descriptiv67
1>0
Fig.3.9 a Asimetrie dreapta
1=0
Fig.3.9 b Simetrie
1
