VARIACION DEL ESFUERZO CON LA ORIENTACION DEL ELEMENTO

La magnitud y tipo de esfuerzo depende de la orientación o inclinación del elemento.

P4 a b P1 a P 1

A R σ E P 2

P3 P2 a b a

b P1

τ σ A R N

P2

E T b

Así, podemos concluir que para un mismo punto de una masa sometido a un estado de esfuerzo, los esfuerzos varían según la orientación del elemento diferencial que se considere en dicho punto.

Se estudiará como varían los esfuerzos con la orientación del elemento, para determinar en que plano se presentan los esfuerzos máximos y mínimos, así como calcular sus valores.

1. ESFUERZO EN UN PUNTO

A

Y

dy σx dz x y X O z Z

El esfuerzo en un punto define el esfuerzo medio uniformemente distribuido sobre un elemento diferencial de área.

En la figura, por ejemplo, el esfuerzo normal en la dirección X que existe en un punto de coordenadas x, y, z mide el esfuerzo uniforme que actúa sobre el área diferencial dy dz.

Y σy τyx σx

σx τxy τxy

τyx σy O X Z

En el espacio dicho punto sometido a esfuerzo puede representarse por un diferencial de volumen sometido a los esfuerzos σx, σy, τxy, τyx.

Para nuestros fines solo se considera el estado plano o bidimensional de esfuerzos, así:

σy

τyx

σx σx

τxy τxy

τyx

σy

2. VARIACION DEL ESFUERZO DE UN PUNTO

CALCULO ANALITICO

Y . Los esfuerzos varían con la orientación σy de los planos que pasan por el punto.

τyx N

τxy ɵ σ ɵ

σx σx X

τ τyx

τyx

σy

Los esfuerzos normales máximo y mínimo se llaman esfuerzos principales.

CIRCULO DE MOHR

Los esfuerzos pueden relacionarse mediante las siguientes ecuaciones, por lo que la transformamos para identificar la figura que representa:

σ−σ X+σY2

=σ X−σY2

cos2θ−τ XY sen2θ (a)

τ=σ x+σ y2

sen2θ+τ xycos 2θ (b)

Elevamos al cuadrado, sumamos y simplificamos:

(σ−σ x+σ y2 )2

+τ2=( σ x−σ y2 )2

+(τ xy)2(c )

σ x , σ y y τ xy son constantes que definen el estado plano de esfuerzos σ y τ son

variables

Por lo tanto:σ x+σ y2

es una constante, lo denominamos c

El segundo miembro de (c) también es una constante, será R

Así la ecuación (c) se transforma en:

(σ−c )2+τ2=R2

Que es de la forma (x−c)2+ y2=R2

Y es una circunferencia de radio R=√( σ x−σ y2 )2

+( τxy )

Con centro en (c ,o )=σ x+σ y2

, o

EJEY

EJE X

R

Graficamente:

Y σy

τ yx

σx X

τ xy

τ

σx

A

τ xy σy

C 2θ o σ

σ x−σ y2

τ yx

B

σ x+σ y2

Reglas para la aplicación del círculo de Mohr

1. Sobre un sistema de ejes coordenados rectangulares σ y τ, se sitúan los puntos de

coordenadas (σx, τxy) y (σy, τyx). Estos puntos representan los esfuerzos normales y cortantes que actúan sobre las caras X y Y de un elemento. Se considera positiva la tensión y negativa la compresión, el esfuerzo cortante es positivo si el momento respecto del centro del elemento es en el sentido del reloj.*

2. Se unen los puntos situados mediante una recta. El segmento de dicha recta comprendido entre los dos puntos es el diámetro de una circunferencia cuyo centro es la intersección con el eje σ.

3. Para los diferentes planos que pasan por el punto en estudio, los componentes del esfuerzo, normal y cortante, están representadas por las coordenadas de un punto que se mueve a lo largo del círculo de Mohr.

4. El radio de la circunferencia, correspondiente a un punto dado de ella, representa el eje normal al plano cuyas componentes de esfuerzo vienen dadas por las coordenadas de ese punto del círculo.

5. El ángulo entre los radios de dos puntos del círculo de Mohr es el doble del ángulo entre los normales a los dos planos que representan estos dos puntos. El sentido de rotación del ángulo es el mismo en la circunferencia que en la realidad.