cap.1 din 6 - aparate electrice

1 PROCESE TERMICE IcircN APARATELE ELECTRICE Icircn aparatele electrice (dar şi icircn motoarele electrice sau orice alt dispozitiv ce foloseşte energia electrică) se dezvoltă necontenit căldură datorită transformării unei părţi din energia electromagnetică icircn energie termică Principalele surse de căldură dintr-un parat electricsunt conductoarele parcurse de curentul electric miezurile de fier străbătute de fluxuri magnetice variabile icircn timp arcul electric (dintre piesele de contact deschise) pierderile de putere activă din izolaţii şi ciocnirile mecanice Celelalte elemente ale aparatului care nu sunt surse de căldură pot fi puternic solicitate termic prin propagarea căldurii de la un corp la altul prin conducţie termică Căldura ce se dezvoltată icircn aparatele electrice face ca temperaturile diferitelor părţi ale acestora să crească icircn timp pacircnă la o valoare staţionară (corespunzătoare regimului staţionar) cacircnd icircntreaga căldură produsă icircn aparat se cedează mediului ambiant prin convecţie Pentru a se asigura o funcţionare sigură şi de durată a aparatelor elctrice (din punctul de vedere al solicitărilor termice) standardele impun (ca icircn funcţie de materialele utilizate şi condiţiile de exploatare ale aparatului electric) anumite limite maxim admisibile pentru temperaturile din regimul staţionar

11 Cacircmpul termic

Temperatura ca mărime de stare ce caracterizează energia internă a unui corp este principalul factor ce influenţează durata de viaţă şi stabilitatea icircn funcţionare a unui aparat electric Rezultă că este necesară cunoaşterea variaţiei icircn timp şi a repartiţiei spaţiale a temperaturii Repartiţia temperaturilor icircntr-un corp este o funcţie de spaţiu şi timp adică θ = θ(x y z t) [degC] (11) Pentru un cacircmp termic staţionar (invariabil icircn timp) se obţine o repartiţie doar spaţială a temperaturii care se exprimă astfel θ = θ(x y z) [degC] (12)

Deoarece temperatura este o mărime care poate fi caracterizată icircntr-un sistem de măsură dat printr-un singur număr nefiind legată de noţiunea de direcţie şi sens cacircmpul de temperaturi este un cacircmp scalar Definim supratemperatura sau icircncălzirea (τ) ca diferenţa dintre temperatura corpului (θ) şi temperatura mediului ambiant (θa) τ = θ ndash θa = T ndash Ta [degC] [K] (13) icircn care temperaturile θ şi θa se măsoară icircn grade Celsius iar temperaturile absolute T şi Ta icircn Kelvin Icircncălzirea fiind o diferenţă de temperaturi se măsoară icircn grade Celsius [degC] sau Kelvin Icircn regim staţionar relaţia (13) devine τs = θsndash θa (14) unde τs şi θs sunt icircncălzirea şi respectiv temperatura icircn regim staţionar Supratemperatura staţionară la care ajung diferitele părţi ale aparatului depinde de regimul de funcţionare a acestuia şi de temperatura mediului ambiant Valorile temperaturii mediului ambiant sunt stabilite prin standarde pentru diferite zone climatice Valorile temperaturilor maxim admisibile pentru diversele subansamble care compun aparatul icircn regimul de funcţio-nare normal sau de avarie depind de materialele folosite la construcţia sa şi sunt date icircn standarde Deoarece puterea aparatului este determinată de supratemperaturile maxim admisibile icircn diferitele lui părţi rezultă că icircncălzirea admisă pentru un anumit element al aparatului trebuie aleasă icircn aşa fel icircncacirct să asigure o putere maximă la o durată de funcţionare prestabilită (prin standarde sau de beneficiari) Verificarea supratemperaturii maxime admise se va face asupra celor mai sensibile părţi ale aparatului căilor de curent izolaţiile electrice elementelor elastice lipituri şi contacte Pentru ca icircncălzirea nici unui punct din aparat să nu depăşească limitele admise de standarde este necesar ca disiparea căldurii către mediul ambiant să fie cacirct mai activă Condiţiile de disipare a căldurii dintr-un aparat electric către mediul ambiant reprezintă unul din criteriile fundamentale de dimensio-nare a aparatelor electrice şi de aceea este necesară cunoaşterea surselor de icircncălzire şi transferul de căldură icircn aparat şi spre mediul ambiant Prin studiul solicitărilor termice ale aparatelor electrice se urmăreşte determinarea prin calcul a icircncălzirii diferitelor părţi ale aparatului la un anumit regim de funcţionare şi icircn icircn comndiţii bine determinate Totalitatea punctelor cu aceiaşi temperatură dintr-un cacircmp termic formează o suprafaţă izotermă sau suprafaţă de nivel Pentru a ajunge de la o izotermă la o altă izotermă pe drumul cel mai scurt se utilizează vectorul gradient (grad θ) definit astfel

kz

jy

ix

grad sdotpartθpart

+sdotpartθpart

+sdotpartθpart

=θ [grdm] (15)

Astfel se asociază fiecarui punct al cacircmpului de temperatură θ(x y z) o valoare determinată pentru vectorul grad θ iar funcţia grad θ = f(x y z) reprezintă un cacircmp vectorial plan al gradienţilor de temperatură Sensul pozitiv al gradientului de temperatură este sensul icircn care temperatura creşte de la o izotermă la alta iar direcţiile grad θ şi a izotermelor icircn fiecare punct sunt perpendiculare Conform legilor calorimetriei icircntre două puncte icircnvecinate cu temperaturi diferite energia calorică se propagă de la punctul cu temperatură mai mare spre punctul cu temperatură mai mică Sensul acestei energii de egalizare (caracterizat de un flux termic P) coincide cu sensul descreşterii temperaturii Definim drept cădere de temperatură (∆θ) valoarea negativă a gradientului de temperatură ∆θ = ndashgrad θ [degC] (16) Dacă raportăm căldura transmisă icircntre două izoterme (dQ) la timpul icircn care are loc acest transfer de căldură obţinem fluxul termic P

dtdQP = [W] (17)

Raportacircnd fluxul termic la unitatea de suprafaţă se obţine densitatea fluxului termic (q )

]mW[dAdPq 2= (18)

Pentru un flux omogen adică un flux care are aceeaşi valoare icircn toate punctele suprafeţei A rezultă

]mW[APq 2= (19)

Icircntre punctele cu temperaturi diferite dintr-un aparat electric are loc o egalizare a energiilor calorice care se poate caracteriza matematic prin densitatea de flux termic ( q ) Aceasta pe lacircngă valoarea numerică are o direcţie şi un sens bine determinat icircn spaţiu adică este o mărime vectorială Rezultă că icircn cazul general funcţia q = f(x y z t) reprezintă un cacircmp vectorial spaţio-temporal care indică sensul de propagare a căldurii Icircn regim staţionar cacircmpul vectorial al dennsităţii de flux termic este doar o funcţie spaţialăq = f(x y z)

Figura 11 Mărimile ce caracterizează transferul de căldură icircntre două

suprafeţe izoterme Icircn figura 11 este reprezentată propagarea prin conducţie a căldurii printr-o suprafaţă elementară de aria dA icircntre două suprafeţe izoterme după direcţia versorului normalei la izotermă n Se observă că vectorul q are sens contrar cu versorul n şi gradθ iar propagarea căldurii avacircnd loc de la suprafaţa cu temperatură mai mare (θ + dθ) la suprafaţa cu temperatura mai mică (θ) Principala sursă de icircncălzire icircn aparatele electrice o constituie dezvoltarea căldurii prin efect electrocaloric (Joule-Lenz) icircn conductoarele parcurse de curent Expresia energiei transformate icircn căldură icircn conductoarele parcurse de curent electric este dată de Legea transformării energiei icircn conductoare sau forma locală a legii lui JoulendashLenz jEp sdot= [Wm3] (110) Adică puterea specifică p dezvoltată icircn unitatea de volum a conductorului icircn procesul de conducţie electrică este dată de produsul scalar dintre intensitatea cacircmpului electric E [Vm] şi densitatea de curent j [Am2] Puterea specifică se poate măsura şi icircn [WKg] Ţinacircnd cont de Legea lui Ohm Ej sdotσ= [Am2] (111) şi de expresia conductivităţii electrice σ = ρndash1 (112) rezultă p = j2 middot ρ (113) Icircn care σ [Sm] este conductivitatea electrică iar ρ [Ω middot m] este rezistivitatea electrică a materialului conductor

Pentru a obţine forma integrală a Legii transformării energiei icircn conductoare filiforme (adică considerăm densitatea de curent constantă icircn secţiunea transversală a conductorului) integrăm relaţia (113) pe volumul V al conductorului obţinacircnd puterea P produsă prin efect electrocaloric (ire-versibil) ]W[iRiudliEdlAjEdVjEP 2

lV V

sdot=sdot=sdotsdot=sdotsdot=sdot= intint int (114)

icircn care A ndash aria secţiunii transversale a conductorului u ndash tensiunea electrică R ndash rezistenţa electrică a conductorului i ndash curentul electric prin conductor Consideracircnd fluxul termic P căldura dezvoltată icircn intervalul de timp dt se scrie int sdot= dtPQ (115) Dacă fluxul termic P este constant icircn timp rezultă Q = P dt ecuaţie echivalentă cu (17)

12 Ecuaţiile cacircmpului termic

Pe baze empirice s-a dedus legătura dintre densitatea de flux termic q şi cacircmpul vectorial grad θ sub forma unei dependenţe liniare q = ndashλ middot grad θ (116) Rezultă că densitatea fluxului termic q este proporţională cu căderea de temperatură ∆θ (conform figurii 11) adică direcţiile celor două mărimi coincid Rezultă că propagarea căldurii se face perpendicular pe izoterme după direcţia gradientului de temperatură Constanta de proporţionalitate λ [Wmmiddotgrd] se numeşte conductivitate termică şi caracterizează materialele din punctul de vedere al conducţiei termice Pentru un mediu izotrop şi omogen λ este constantă icircn orice direcţie şi icircn orice punct al corpului Deşi λ depinde de temperatură icircn majoritatea aplicaţiilor se neglijează această dependenţă şi se consideră λ ca o constantă de material Dacă mediul nu este omogen λ este o funcţie de punct λ = λ(x y z) iar dacă mediul este şi anizotrop λ este un tensor adică λ depinde de direcţie astfel icircntr-un sistem de axe carteziene λx λy şi λz reprezintă conductivităţile termice după direcţia axelor x y şi z Icircn acest caz icircn locul relaţiei (116) se pot scrie relaţiile

z

qy

qx

q zzyyxx partθpart

sdotλminus=partθpart


sdotλminus= (117)

Rezultacircnd

sdot

partθpart

sdotλ+sdotpartθpart


sdotλminus=sdot+sdot+sdot= kz

jy

ix

kqjqiqq zyxzyx (118)

Deoarece divergenţa densităţii de flux termic q reprezintă o măsură pentru sursa de căldură din unitatea de volum (adică pentru căldura specifică p) putem scrie div q = nabla middot q = p (119) icircn care s-a notat cu nabla operatorul de derivare

kz

jy

ix

sdotpartpart

+sdotpartpart

+sdotpartpart

=nabla (120)

Rezultă

pzyx

q 2

2

z2

2

y2

2

x =

partθpart

sdotλ+partθpart

sdotλ+partθpart

sdotλminus=sdotnabla (121)

Se obţine astfel o ecuaţie tip Poisson pentru medii anizotrope care determină cacircmpul termic icircn mediile cu surse de căldură

0pzyx 2

2

z2

2

y2

2

x =+partθpart

sdotλ+partθpart

sdotλ+partθpart

sdotλ (122)

Pentr corpurile izotrope unde λx = λy = λz = λ se obţine a doua formă mai simplă a ecuaţiei lui Poisson

0pzyx 2

2

2

2

2

2

=λ

+partθpart

+partθpart

+partθpart (123)

Menţionăm că pierderile specifice p din ecuaţiile Poisson nu reprezintă neapărat pierderi prin efect electrocaloric (definite de relaţia 113) ci pot reprezenta şi pierderi icircn miezurile feromagnetice (prin histerezis sau curenţi turbionari) sau chiar pierderi de putere activă icircn izolaţii dar exprimate icircn [Wm3] Pentru cazul corpurilor cu secţiune circulară se folosesc coordonatele cilindrice definite astfel x = r middot cos ϕ y = r middot sin ϕ z = z (124) Scriind ecuaţia lui Poisson icircn coordonate cilindrice pentru un mediu izotrop se obţine relaţia

0pzr

1rr

1r 2

2

2

2

22

2

=λ

+partθpart

+ϕpartθpart

sdot+partθpart

sdot+partθpart (125)

Icircn cazul corpurilor fără surse interne de căldură pentru care p = 0 Laplace a obţinut ecuaţiile care icirci poartă numele şi care sunt cazuri

particulare ale ecuaţiilor lui Poisson Astfel pentru corpuri anizotrope icircn coordonate carteziene ecuaţia lui Laplace are forma

0zyx 2

2

z2

2

y2

2

x =partθpart

sdotλ+partθpart

sdotλ+partθpart

sdotλ (126)

Pentru corpuri izotrope icircn coordonate carteziene ecuaţia Laplace este

0zyx 2

2

2

2

2

2

=partθpart

+partθpart

+partθpart (127)

Pentru corpuri izotrope icircn coordonate cilindrice ecuaţia lui Laplace este

0zr

1rr

1r 2

2

2

2

22

2

=partθpart

+ϕpartθpart

sdot+partθpart


Ecuaţiile Poisson şi Laplace descriu cacircmpul termic icircn regim staţionar Dacă distribuţia temperaturii icircn corp nu este staţionară cacircmpul termic satisface o ecuaţie de tip Fourier dedusă pe baza Legii conservării energiei şi care este de forma

partθpart

+partθpart

+partθpart

sdot=partθpart

2

2

2

2

2

2

zyxa

t (129)

icircn care s-a notat cu a difuzivitatea termică care are expresia

]sm[c

a 2

dρsdotλ

= (130)

Difuzivitatea termică caracterizează inerţia termică a corpurilor Conductivitatea termică s-a notat cu λ [W m middot grd] c [Wmiddots kgmiddotgrd] este căldura specifică masică iar ρd [kg m3] este densitatea corpului Se observă că icircn regim staţionar ecuaţia lui Fourier (129) se reduce la ecuaţia lui Laplace pentru medii izotrope icircn coordonate carteziene (127) Prin rezolvarea ecuaţiilor Laplace Poisson sau Fourier icircn condiţii de frontieră şi iniţiale cunoscute se poate obţine cacircmpul termic al unui aparat Pentru corpurile cu o structură complexă se fac aproximări ale geometriei acestora sau se folosesc metode numerice de calcul a cacircmpului termic

13 Transmisia termică

Cacircmpul termic icircntr-un aparat electric depinde atacirct de sursele de icircncălzire cacirct şi de disiparea căldurii icircn mediul ambiant prin transmisivitate termică Prin suprafaţa corpului care se află icircn contact cu un gaz sau lichid de o altă temperatură decacirct corpul are loc un schimb de căldură Cu cacirct diferenţa de temperatură este mai mare cu atacirct transmisia termică este mai

intensă Din momentul icircn care cantitatea de căldură produsă devine egală cu cantitatea de căldură disipată icircn exterior se stabileşte regimul staţionar Transmisia căldurii se poate face icircn trei moduri prin conducţie prin convec-ţie şi prin radiaţie Icircntr-un aparat electric apar icircn general toate cele trei moduri de transmisie a căldurii dar deoarece predomină unul sau două dintre acestea icircn unele cazuri celelalte feluri de transmisivităţi se pot neglija Transmisia termică prin conducţie este fenomenul propagării căldurii prin masa corpurilor solide lichide sau gazoase sau icircntre aceste corpuri aflate icircn contact intim prin egalizarea energiei cinetice a moleculelor lor Pornind de la relaţia (116) şi conform notaţiilor din figura 11 putem scrie

ndndgradq sdotθ

sdotλminus=θsdotλminus= ndtdA

QdndAdP 2

sdotsdot

minus=sdotminus= (131)

Rezultă pentru căldura transmisă prin conducţie mediului ambiant expresia

dtdAdndQ sdotsdotθ

sdotλ= intint (132)

Căldura cedată mediului ambiant prin conducţie Q depinde de proprietăţile mediului icircn care are loc procesul de transmitere a căldurii şi de valoarea gradientului de temperatură Transmisia termică prin convecţie este fenomenul de transmitere a căldurii la suprafaţa de contact dintre un corp şi mediul fluid cu care se află icircn contact Iniţial are loc un transfer de căldură prin conducţie de la mediul solid la moleculele lichidului sau gazului cu care se află icircn contact Fluidul din zona de contact icircşi micşorează densitatea şi fiind icircmpins de masa de fluid mai rece icircn sus iau naştere curenţi de fluid care extrag căldura din corp prin transfer de masă a fluidului Dacă acest proces nu este influenţat icircn mod voit constituie transmisivitatea termică prin convecţie naturală Icircn cazul unui suflaj forţat din exterior a fluidului de răcire se obţine o intensificare a convecţiei prin aşa numita convecţie artificială Icircn cazul gazelor convecţia artificială se obţine prin ventilare iar pentru lichide prin pompe de circulare a lichidului de răcire Fluxul termic obţinut prin convecţie nu poate fi separat de cel prin conducţie şi deci rezultă qc = αc middot (θc ndash θa) = αc middot (Tc ndash Ta) = αc middot τ [W m2] (133) Am notat cu αc [W m2middotgrd] transmisivitatea termică prin conducţie şi convecţie Această transmisivitate depinde de foarte mulţi factori cum ar fi de temperatura corpului temperatura fluidului de răcire natura fluidului de răcire forma dimensiunea şi orientarea suprafeţei prin care se cedează

căldura lichidului de răcire Valorile lui αc se dau icircn literatura de specialitate Pentru a ameliora condiţiile de răcire prin conducţie şi convecţie a aparatelor se recomandă convecţia forţată şi forme adecvate ale suprafeţei de răcire Căldura totală transmisă prin conducţie şi convecţie de la aparat mediu-lui ambiant este dtdS)(Q acC c

sdotsdotθminusθsdotα= intint [J] (134) Am notat cu S este suprafaţa de răcire prin conducţie şi convecţie Transmisia termică prin radiaţie este fenomenul de transmitere a căldurii de la un corp cu temperatura diferită de zero absolut prin radiaţie electromagnetică Energia radiaţiilor electromagnetice captate de un corp cu temperatura mai redusă conduce la icircncălzirea sa Acest proces are loc prin tranziţia electronilor din atomi de pe nivele energetice superioare spre cele inferioare Această tranziţiei duce la emisia de cuante de energie Capacitatea corpului de a emite sau absorbi unde electromagnetice depinde icircn primul racircnd de diferenţa de temperatură de suprafaţa laterală de poziţionarea suprafeţei laterale de culoarea acesteia şide calitatea ei (rugozitatea ei) Densitatea fluxului termic cedat prin radiaţie mediului ambiant (qr) se obţine pe baza Legii lui StefanndashBoltzman qr = αr middot (θc ndash θa) = αr middot (Tc ndash Ta) = αr middot τ [W m2] (135) Am notat cu αr [W m2 middot grd] trasmisivitatea termică prin radiaţie a cărei expresie este

minus

sdotεsdot=

4a

4c

0r 100T

100TCq (136)

Rezultă pentru transmisivitatea termică prin radiaţie expresia

ac

4a

4c

0r TT100T

100T

Cminus

minus

sdotεsdot=α [W m2 middot grd] (137)

S-au făcut următoarele notaţii ndash C0 = 577 [W m2grd2] este coeficientul de radiaţie al corpului absolut negru ε ndash coeficientul de radiaţie sau absorbţie al corpului θc ndash temperatura corpului icircn [degC] respectiv [K] θa ndash temperatura mediului ambiant icircn [degC] respectiv [K] Tc ndash temperatura absolută a corpului icircn [K]

Ta ndash temperatura absolută a mediului icircn [K] Valoarea coeficientul de radiaţie ε al corpului este dată icircn tabele icircn funcţie de aspectul culoarea şi rugozitatea suprafeţei de cedare a căldurii prin radiaţie Trebuie avut icircn vedere că suprafaţa radiantă Sr este numai

suprafaţa care radiază icircn spaţiul liber (a cărei normală nu intersectează din nou corpul) şi care este mai mică decacirct suprafaţa laterală icircn cazul carcaselor profilate Este de asemenea avantajos să vopsim suprafeţele exterioare ale corpului icircn culori mate şi icircnchise care favorizează cedarea de căldură prin radiaţie Căldura totală transmisă prin radiaţie de un corp mediului ambiant este dtdS)(Q racrr sdotsdotθminusθsdotα= intint [J] (138) Schimbul real de căldură are loc prin radiaţie convecţie şi conducţie Ponderea celor trei fenomene diferind de la un aparat la altul Luacircnd icircn considerare toate cele trei tipuri de transmisivităţi termice obţinem pentru densitatea fluxului termic global expresia q = qr + qc = αr middot (θc ndash θa) + αc middot (θc ndash θa) = (αr + αc) middot (θc ndash θa) [W m2] (139) Notacircnd cu α [W m2 grad] transmisivitate termică globală rezultantă q = α middot (θc ndash θa) [W m2] (140) Cantitatea totală de căldură disipată prin transmisivitate termică de la aparat spre mediul ambiant este

dtdS)(dtdS)(Q racrSrS

cacc sdotsdotθminusθsdotα+sdotsdotθminusθsdotα= intintintint [J] (141)

14 Cacircmpul de temperatură icircn regim staţionar

Regimul staţionar (permanent) are loc cacircnd icircntreaga cantitate de căldură ce se dezvoltă icircn aparat se cedează mediului ambiant prin transmisivitate termică Icircn acest caz temperatura aparatului rămacircne constantă icircn timp la valoarea staţionară θs Datorită neomogenităţii aparatelor electrice temperaturile diferă de la un punct la altul deşi sunt constante icircn timp Este necesar din punct de vedere tehnic să determinăm repartiţia spaţială a cacircmpului termic icircn cele mai frecvent icircntacirclnite cazuri icircn aparatele electrice Determinarea cacircmpului termic θ = θ(x y z) se face separat pentru medii fără surse interne de căldură şi pentru mediile cu sursă internă de căldură

141 Cacircmpul termic al pereţilor plani paraleli fără surse interne de

căldură

Considerăm un perete plan paralel de grosime δ spălat icircn stacircnga de un fluid cu o temperatură θ1 şi icircn dreapta de un fluid cu temperatura mai mică θ2 Icircntre fluide şi perete are loc un schimb de căldură prin transmisie termică α1

şi respectiv α2 astfel icircncacirct temperaturile la extremitatea peretelui sunt θ1 şi θ2

Figura 12 Cacircmpul de temperatură icircntr-un perete plan paralel fără surse

interne de căldură Peretele neavacircnd surse interne de căldură (p = 0) şi fiind omogen rezultă că conductivitatea termică este constantă (λ = ct) Consideracircnd peretele de extensie infinită rezultă că transmiterea căldurii are loc perpendicular pe perete (q=qx) Cazul studiat este o simplificare care modelează cazul carcaselor plane sau al pereţilor plani ai cuptoarelor Dorim să determinăm repartiţia temperaturilor icircn acest perete Pornind de la ecuaţia lui Lapace (127) şi ţinacircnd cont că iqq x sdot= rezultă că ecuaţia ce trebuie integrată este

0dxd

2

2

=θ (142)

Prin două integrări succesive se obţine

1Cdxd

=θ (143)

θ = C1 middot x + C2 (144) Se observă că variaţia temperaturii icircn perete este liniară (ca icircn figura 12) Determinarea constantelor de integrare C1 şi C2 se face din condiţiile de limită pentru x=x1 avem θ = θ 1 iar pentru x=x2 avem θ = θ 2 Rezultă pentru constante expresiile

21

211 xx

Cminusθminusθ

= (145)

12

21122 xx

xxCminus

θminusθ= (146)

Scriind relaţia (131) sub forma

dxdq θ

λminus= 12

12

xx minusθminusθ

λminus= (147)

şi făcacircnd notaţiile θ1 ndash θ2 = ∆θ căderea de temperatură x1 ndash x2 = δ grosimea peretelui Rezultă relaţia

qRq t sdot=sdotλδ

=θ∆ (148)

care poate fi interpretată (prin analogie cu circuitele electrice de curent continuu) ca o Lege a lui Ohm pentru transmiterea căldurii S-a făcut notaţia Rt = δ λ (149) Rt poartă denumirea de rezistenţă termică Analogia dintre circulaţia fluxului termic (q) prin pereţi plani paraleli şi circuitele electrice de cc permite calculul rapid al căderilor de temperatură pentru pereţii formaţi din mai multe straturi Pentru aceasta se realizează scheme electrice echivalente ale circuitului termic pe baza echivalenţelor Iq harr Uharrθ∆ RR t harr (150) Dacă peretele este constituit din mai multe straturi plan paralele cu rezistenţele termice Rt1 Rt2 Rtn atunci căderea totală de temperatură este

qn

n

2

2

1

1n21 sdot

λδ

++λδ

+λδ

=θ∆++θ∆+θ∆=θ∆ (151)

Pe baza analogiilor (150) se pot calcula relativ uşor căderile de temperatură pe straturi conductivităţile termice echivalente şi rezistenţele termice totale

142 Cacircmpul termic icircn pereţi cilindrici fără surse interne de căldură Consideracircnd un perete cilindric de lungime mare icircn raport cu diametrul se poate admite că transmisia căldurii prin conducţie are loc numai icircn direcţie radială adică q=qr (se neglijează efectul de capăt) Acest caz este o modelare simplificată a cazului carcaselor cilindrice ale motoarelor şi aparatelor electrice a izolaţiilor cablurilor electrice sau a unor etuve cilindrice

Figura 13 Pereţi cilindrici fără surse interne de căldură Consideracircnd peretele omogen (λ = ct) fără surse interne de căldură şi avacircnd simetrie axială cacircmpul termic va satisface o ecuaţie de tip Laplace icircn coordonate cilindrice

0rr

1r2

2

=partθpart


Integracircnd ecuaţia diferenţială (152) de două ori obţinem succesiv formele

0drd

r1

drd

drd

=θ

sdot+

θ (153)

0drd

drd

drdr =

θ+

θ

sdot (154)

0drdr

drd

=

θsdot (155)

1Cdrdr =θ

sdot (156)

r

drCd 1 sdot=θ (157)

θ = C1 middot ln r + C2 (158) Condiţiile de frontieră sunt la r = r1 avem θ = θ1 şi la r = r2 avem θ = θ2 Impunacircnd condiţiile de frontieră ecuaţiei (158) rezultă θ1 = C1 middot ln r1 + C2 (159) θ2 = C1 middot ln r2 + C2 (160) Prin rezolvarea sistemului de mai sus se obţin constantele de integrare

2

1

211

rrC

ln

θminusθ= (161)

2

1

21122

rr

rrCln

lnln θminussdotθ= (162)

care icircnlocuite icircn relaţia (158) conduc la forma finală a variaţiei cacircmpului termic icircn funcţie de raza r

2

1

12

21

rr

rr

rr

ln

lnln sdotθminussdotθ=θ (163)

Rezultă o variaţie logaritmică a temperaturii icircn funcţie de rază

143 Cacircmpul termic icircntr-un conductor lung de secţiune dreptunghiulară cu surse interne de căldură

Acest caz modelează căile de curent sub formă de bare bobinele de formă plată şi plăcile electroizolante icircn care se dezvoltă pierderi dielectrice Considerăm că sursele de căldură sunt uniform repartizate icircn masa conductorului iar cantitatea de căldură dezvoltată icircn unitatea de volum şi uni-tatea de timp este egală cu pierderile specifice volumice p [W m3]

Icircncălzirea fiind icircn regim staţionar cacircmpul termic este un cacircmp spaţial invariabil icircn timp Conductorul avacircnd dimensiunile transversale mult mai mari ca grosimea luăm icircn considerare doar componenta transversală a densităţii de flux termic q = q(x) Cacircmpul de temperatură se obţine prin integrarea ecuaţiei Poisson icircn coordonate carteziene (122) care pentru λ=ct obţine forma

0pdxd

2

2

=λ

+θ (164)

Figura 14 Pereţi plani cu surse interne de căldură Prin integrări succesive se obţine

1Cxpdxd

+sdotλ

minus=θ (165)

21

2

CxC2

xp+sdot+

λsdotsdot

minus=θ (166)

Condiţiile de frontieră sunt la x = 0 avem θ = θ1 la x = δ avem θ = θ2 Icircnlocuind aceste condiţii icircn relaţia (166) rezultă constantele de integrare

C2 = θ1 iar δθminusθ

minusδsdotλsdot

= 211 2

pC (167)

Iar ecuaţia finală a cacircmpului termic este

1212 x

2px

2p

θ+sdot

δθminusθ

minusδsdotλsdot

+sdotλsdot

minus=θ (168)

Solicitarea maximă va avea loc la x = xm iar maximă a temperaturii va fi θ = θm Pentru a afla temperatura maximă ţinem cont că la

x = xm avem 0dxd

mxx

=

θ

=

(169) Icircnlocuind icircn relaţia (165) rezultă

1m Cxp=sdot

λ (170)

Adică ( )21m p2x θminusθsdot

δsdotλ

minusδ

= (171)

Icircnlocuind icircn (168) rezultă valoarea maximă a temperaturii

1m21

2m

m x2

p2

xpθ+sdot

δθminusθ

minusδsdotλsdot

+λsdot

sdotminus=θ (172)

Aceasta este valoarea la care trebuie verificat materialul conductorului Variaţia parabolică a temperaturii este reprezentată icircn figura 14 Un caz frecvent icircntacirclnit este acela cacircnd temperaturile celor două suprafeţe laterale sunt egale Icircn acest caz θ1 = θ2 = θa adică

2

xmδ

= (173)

2

1m 22p

δsdot

λsdot+θ=θ (174)

Icircn acest caz variaţia temperaturii este

12 x

2px

2p

θ+sdotδsdotλsdot

+sdotλsdot

minus=θ (175)

144 Cacircmpul termic icircntr-un conductor circular cu sursă internă de

căldură Considerăm un conductor de rază mică icircn raport cu lungimea sa (adică putem aproxima temperatura ca fiind constantă icircntr-o secţiune transversală) şi făcacircnd abstracţie de efectul de capăt cacircmpul termic icircn conductor satisface o ecuaţie Poisson icircn coordonate cilindrice (relaţia 125) Icircn ipotezele menţionate cacircmpul termic va depinde doar de rază

0prr

1r2

2

=λ

+partθpart


Neglijacircnd variaţia cu temperatura a rezistivităţii electrice adică consideracircnd p = j2 middot ρ = ct rezultă prin integrare

2rp

rC

2rpC

r1

drd 1

2

1 sdotλ

minus=

sdot

λminussdot=

θ (177)

2

2

1 C4

rprC +λsdotsdot

minussdot=θ ln (178)

Pentru determinarea constantelor de integrare se folosesc condiţiile la

limită şi anume la r = 0 avem θ = θmax şi deci 0drd

0r

=

θ

=

iar la r = r1 θ = θ1

Din relaţia (177) rezultă C1 = 0 (179) iar din relaţia (178) rezultă

λsdotsdot

+θ=4

rpC2

112 (180)

Rezultă că ecuaţia cacircmpului termic este

( ) 122

1 rr4

pθ+minussdot

λsdot=θ (181)

Figura 15 Cacircmpul termic icircntr-un conductor cilindric cu surse interne de căldură

Variaţia parabolică a temperaturii cu raza conductorului este reprezentată icircn figura 15 Temperatura maximă ce apare icircn conductor va apare icircn axa conductorului (la r = 0) şi va avea valoarea

211 r

4p

sdotλsdot

+θ=θmax (182)

Supratemperatura maximă ce apare icircn conductor va fi

21r4

psdot

λsdot=τ=θ∆ max (183)

145 Cacircmpul termic icircn conductoarele cu izolaţie

Consideracircnd un conductor izolat parcurs de curent acesta se icircncălzeşte avacircnd temperatura maximă icircn axa conductorului (θmax) Cum căderea de tem-

peratură icircn secţiunea transversală a conductorului este neglijabilă datorită conductivităţii termice foarte mari ne propunem să determinăm temperatura de la suprafaţa de separaţie dintre conductor şi izolaţie (θ1) care este cea mai mare temperatură care solicită izolaţia Căderea de temperatură icircn stratul de izolaţie (θ1 ndash θ2) variază după o funcţie logaritmică aşa cum s-a determinat icircn cazul transmisiei căldurii printr-un perete cilindric conform relaţiei (163)

Figura 16 Conductor izolat de secţiune circulară

Considerăm un conductor cilindric de diametru d acoperit cu un strat de izolaţie de grosime (D ndash d) 2 şi a cărui lungime este l Neglijacircnd efectul de capăt densitatea de flux termic q este orientată radial

drdQ)r(qq sdotλminus== (184)

Rezultă că fluxul termic P ce străbate conductorul este P = q middot S (184) S-a notat cu S suprafaţa laterală curentă (situată la distanţa r de axă) prin care căldura trece de la conductor la izolaţie Rezultă

drdlr2P θsdotsdotsdotπsdotsdotλminus= (185)

r

drl2

Pd sdotλsdotsdotπsdot

minus=θ (186)

Integracircnd relaţia (186) rezultă

intint sdotλsdotπsdotminus=θ

θ

θ

2d

2D rdr

l2Pd

2

1

(187)

Rezultă

dD

l2P

21 lnsdotsdotλsdotπsdot

+θ=θ (188)

Cedarea căldurii de la suprafaţa exterioară a conductorului spre mediul ambiant (de temperatură θa) se face conform ecuaţiei transmisiei căldurii (140) q = α middot (θ2 ndash θa) (189) S-a notat cu α transmisivitatea termică globală Rezultă

1

aa2 SPqsdotα

+θ=α

+θ=θ (190)

Suprafaţa laterală de cedare a căldurii către mediul ambiant este S1 = π middot D middot 1 (191) Icircnlocuind icircn relaţia (190)

lD

Pa2 sdotsdotπsdotα+θ=θ (192)

Icircnlocuind (188) rezultă

dD

l2P

lDP

a1 lnsdotsdotλsdotπsdot

+sdotsdotπsdotα

+θ=θ (193)

Folosind relaţia (182) rezultă că temperatura maximă din conductor (care este icircn axa conductorului circular) este

l4

pdD

l2P

lDP

a sdotλsdotπsdot+sdot

sdotλsdotπsdot+

sdotsdotπsdotα+θ=θ lnmax (194)

Izolaţia va fi verificată la temperatura θ1 calculată cu relaţia (193) Consideracircnd cazul unui conductor dreptunghiular de secţiune A times B cu grosimea izolaţiei δ şi de lungime 1 ca cel din figura 17 ne propunem să calculăm solicitarea termică maximă a izolaţiei şi temperatura maximă din conductor Dacă temperaturile celor două suprafeţe limită ale izolaţiei sunt θ1 şi θ2 fluxul termic va fi

( ) ( )[ ]x2B2x2A2ldxdP sdot+sdot+sdot+sdotsdotsdotθ

sdotλminus= (195)

( )[ ]x8BA2ldxdP sdot++sdotsdotsdotθ

sdotλminus= (196)

( )[ ] dxx8BA2l

Pd sdotsdot++sdotsdotsdotλ

minus=θ (197)

Figura 17 Conductor izolat de secţiune dreptunghiulară

Integracircnd relaţia (197) de la θ2 la θ1 şi de la x = 0 la x = δ rezultă

( )

( )intint

+sdot

δsdot++sdot

θ

θ sdotλsdotminus=θ

BA2

8BA2 udu

l8Pd1

2 (198)

Făcacircnd notaţiile 2 middot (A + B) + 8 middot x = u şi 8 middot dx = du (199) Rezultă

( )( )BA2

8BA2l8

P21 +sdot

δsdot++sdotsdot

sdotλsdot=θminusθ ln (1100)

+δsdot

+sdotsdotλsdot

+θ=θBA

41l8

P21 ln (1101)

Făcacircnd aproximaţia

BA

4BA

41+δsdot

cong

+δsdot

+ln (1102)

Rezultă

( )BAl2P

21 +sdotsdotλsdotδsdot

+θ=θ (1103)

Ceea ce reprezintă solicitarea termică maximă la care este solicitată izolaţia Dacă căldura este cedată mediului ambiant (θ2= θa) rezultă că această solicitare maximă va fi

( )[ ] ( )BAl2P

l8BA2P

a1 +sdotsdotλsdotδsdot

+sdotδsdot++sdotsdotα

+θ=θ (1104)

Calculul prezentat este acoperitor deoarece se disipează căldură şi prin capetele conductorului

146 Cacircmpul termic icircn bobine

Calculul cacircmpului termic icircn bobine reprezintă o importanţă tehnică deosebită deoarece este des icircntacirclnit şi este relativ complex Caracteristic unei bobine este faptul că structura ei este neomogenă Aşa cum rezultă din secţiunea longitudinală din figura 18 o bobină este formată din conductoare active izolaţia conductoarelor izolaţia dintre straturi lacul de impregnare şi carcasa bobinei Fiecare din aceste elemente este caracterizat prin conductivitatea termică şi căldura specifică proprie Această neomogenitate nu permite un calcul analitic exacz a cacircmpukui termic ci este necesară omogenizarea aproximativă prin medierea constantelor de material

Figura 18 Secţiune longitudinală printr-o bobină

Icircn conductorul de bobinaj se dezvoltă căldură prin efect JoulendashLenz iar icircn izolaţii dacă se neglijează pierderile de putere activă prin polarizare nu se dezvoltă căldură (adică sunt medii fără surse interne de căldură) Icircn cazul icircn care bobina are miez de fieromagnetic icircn curent alternativ se produce căldură

prin curenţi turbionari şi histerezis Din aceste motive calculul analitic al cacircmpului termic al bobinelor icircn regim staţionar se poate face doar prin acceptarea unor ipoteze simplificatoare cum ar fi ndash bobina se consideră omogenă adică p = ct ndash se consideră o conductivitate termică medie λm pentru materialul bobinei format din conductoare şi izolaţie ndash căldura se evacuează din bobină numai prin suprafeţele cilindrice laterale şi nu prin suprafeţele frontale (se neglijează efectele de capăt) ndash pe suprafeţele laterale admitem transmisivitate termică medie λm Icircn aceste ipoteze rezultă că densitatea fluxului termic q este orientată icircn direcţie radială q = q(r) Icircn acest fel problema este analoagă matematic cu icircncălzirea unui conductor cilindric schimbacircndu-se numai condiţiile de frontieră Se icircntacirclnesc două situaţii distincte ndash cazul bobinelor fără miez de feromagnetic sau al bobinelor cu miez de feromagnetic alimentate icircn curent continuu cacircnd deoarece miezul nu are surse interne de căldură cedarea căldurii se face atacirct prin suprafaţa cilindrică exterioară (2 middot π middot r2 middot 1) cacirct şi prin suprafaţa interioară (2 middot π middot r1 middot 1) ndash cazul bobinelor cu miez de feromagnetic alimentate icircn curent alternativ cacircnd cedarea căldurii se face numai prin suprafaţa cilindrică exterioară (2 middot π middot r2 middot 1) deoarece din cauza curenţilor turbionari şi a pierderilor prin histerezis miezul magnetic se icircncălzeşte şi apare un flux termic suplimentar dirijat de la miez spre icircnfăşurarea de curent alternativ Condiţiile de frontieră pentru cele două cazuri fiind diferite şi conduc la cacircmpuri termice diferite Icircn cazul bobinelor fără miez de feromagnetic sau alimentate icircn cc densitatea de flux termic este orientată radial spre exteriorul şi interiorul bo-binei Rezultă că temperatura maximă se obţine undeva icircn interiorul bobinei (icircn dreptul razei rm) Cunoscacircnd temperaturile suprafeţelor interioare şi exterioare (θ1 respectiv θ2) ne propunem să determinăm legea de variaţie θ =θ (r) precum şi valoarea temperaturii maxime θm la raza rm Ca o concluzie practică se recomandă ca icircn cazul bobinelor de curent continuu cu miez feromagnetic să se realizeze un contact termic bun icircntre miez şi bobinaj pentru o mai bună cedare a căldurii Pornind de la relaţia (178) vom determina constantele de integrare pe baza condiţiile de frontieră la r = r1 θ = θ1 iar la r = r2 θ = θ2

care introduse icircn relaţia (178) permit determinarea celor două constante sub forma

( ) ( )

θminusθminusminussdot

λsdotsdot= 21

21

22

m

1

21 rr

4p

rr

1Cln

(1105)

( ) ( )


λsdotsdotminus

λsdotsdot

+θ= 212

122

m

1

2

2

m

22

22 rr4

p

rrr

4rpC

ln

ln (1106)

Figura 18 Cacircmpul de temperatură icircntr-o bobină fără miez de feromagnetic

sau alimentată icircn cc

Pentru a determina raza rm la care se obţine temperatura maximă şi temperatura maximă θm folosind relaţia (177) şi punacircnd condiţia (dθ dr)r =r m = 0 rezultă

02

rprC

m

m

m

1 =λsdotsdot

minus p

C2r m1m

λsdotsdot= (1107)

Temperatura maximă va avea valoarea

2m

2m

m1m C4

rprC +λsdotsdot


Ţinacircnd seama de (1107) obţinem expresia θm = C1 middot (ln rm ndash 05) + C2 (1109) Icircnlocuind constantele C1 şi C2 icircn relaţia (178) se poate determina distribuţia radială a temperaturii (reprezentată icircn figura 19) şi prin icircnlocuirea icircn relaţia (1108) se determină temperatura maximă Icircn cazul bobinelor cu miez de feromagnetic alimentate icircn curent alternativ miezul feromagnetic constituie o sursă suplimentară de căldură foarte importantă datorită curenţilor turbionari care circulă icircn materialul miezului şi a pierderilor prin histerezis Din cauza căldurii dezvoltate icircn miez se consideră că bobina poate ceda căldură numai prin suprafaţa ei exterioară iar la limita dintre miez şi bobină temperatura θ1 este temperatura maximă pentru bobină adică temperatura la care trebuie să reziste izolaţiile Ca o concluzie practică rezultă că icircn cazul bobinelor de curent alternativ cu miez feromagnetic se recomandă izolarea termică cu materiale electroizolante a bobinajului faţă de miez

Figura 110 Cacircmpul de temperatură icircntr-o bobină de ca cu miez de feromagnetic Pentru bobina din figura 110 vom determina legea de variaţie a temperaturii funcţie de rază pornind de la relaţia (178) obţinută prin integrarea ecuaţiei Poisson icircn coordonate cilindrice (125) Determinarea constantelor de integrare din relaţia (178) se va face icircn următoarele condiţii de frontieră la r = r1 θ = θ1 = θmax (dθ dr)r = r1 = 0 iar la r = r2 θ = θ2 Din relaţia (177) rezultă

m

1

1

1

2rp

rC

λsdotsdot

minus (1110)

m

21

1 2rpCλsdotsdot

= (1111)

care icircnlocuită icircn relaţia (178) rezultă

m

22

2m

21

22 4rpr

2rpC

λsdotsdot

+sdotλsdotsdot

minusθ= ln (1112)

Ecuaţia cacircmpului termic al bobinei este dată de relaţia

( )222

m2m

21

2 rr4

prr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

+θ=θ ln (1113)

Reprezentarea grafică a variaţiei temperaturii ca raza este dată icircn figura 110 Notacircnd cu ∆θ = θ1 ndash θ2 căderea de temperatură icircn direcţia radială se obţine prin icircnlocuirea icircn relaţia (1113) a lui r cu r1 şi θ cu θ1

( )21

22

m2

1

m

21 rr

4p

rr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

=θ∆ ln (1114)

Pentru utilizarea practică a relaţiilor deduse anterior este necesară aproximarea conductivităţii termice medii λm ce apare icircn expresia cacircmpului termic Icircn practică se utilizează mai multe aproximări deduse empiric dintre care cele mai des utilizate sunt pentru conductoare rotunde

δsdot

sdotλsdot=λ2d60 im (1115)

pentru conductoare dreptunghiulare

∆λ∆

+λsdot

+λδsdot

∆+sdot+δsdot=λ

bi

m b22b22481 (1116)

sau

δsdotδsdot+

sdotδsdot+

sdotλ=λ2

2B2A

Aim (1117)

S-au făcut notaţiile δ ndash grosimea stratului de izolaţie b ndash grosimea echivalentă a stratului dintre conductoare umplut cu aer sau masă de impregnare ∆ ndash grosimea izolaţiei dintre straturi d ndash diametrul conductorului neizolat A B ndash dimensiunile conductorului dreptunghiular după direcţia axială respectiv radială λi ndash conductivitatea termică a materialului izolaţiei λb

ndash conductivitatea termică a masei de impregnare λ∆ ndash conductivitatea termică a izolaţiei dintre straturi Calcularea cacircmpului termic din bobine făcută anterior este acoperitoare deoarece icircn cazurile reale cedarea căldurii se produce şi prin suprafeţele

frontale ale bobinei şi deci distribuţia temperaturii pe icircnălţimea bobinei va fi neuniformă şi inferioară celei calculate Acest lucru se poate evidenţia experimental

15 Cacircmpul termic icircn regim tranzitoriu

Definim regimul tranzitoriu ca acel regim icircn care cacircmpul de temperatură este funcţie atacirct de coordonatele spaţiale cacirct şi de timp θ = f(x y z t) Căldura care se dezvoltă icircn aparate contribuie la creşterea temperaturii corpului icircn timp iar transmisia căldurii către mediul ambiant se face combinat prin conducţie convecţie şi radiaţie Determinarea repartiţiei spaţio-temporale a temperaturilor se poate face ţinacircnd cont de dependenţa de temperatură a bdquoconstantelorldquo de material (conductivitatea termică transmisivitatea termică rezistivitatea electrică etc) conform teoriei moderne a icircncălzirii Conform acestei teorii dependenţa de temperatură se face polinomial (empiric) sau exponenţial Astfel dacă considerăm o variaţie liniară cu temperatura a rezistivităţii Rezultă ρ = ρ0 middot (1 + α ρ τ) (1118) Teoria modernă a icircncălzirii este mai precisă dar necesită un volum mai mare de calcule şi este folosită mai ales icircn proiectarea asistată pe baza metodelor numerice O metodă mai simplă de calcul a cacircmpului termic icircn regim tranzitoriu este teoria clasică a icircncălzirii icircn care se neglijează dependenţa de temperatură a constantelor de material Tot pentru simplificarea calculelor se fac şi următoarele ipoteze simplificatoare ndash corpul este omogen ndash pierderile icircn unitatea de volum sunt constante (p = ct) ndash temperatura mediului ambiant este constantă (θa = ct) Icircn regim nestaţionar cacircmpul termic este descris de ecuaţii diferenţiale deduse pe baza bilanţului termic adică forme particulare ale Legii conservării energiei

151 Ecuaţia generală a bilanţului termic

Pornind de la Legea conservării energiei şi folosind ipotezele teoriei clasice a icircncălzirii putem găsi o ecuaţie generală de bilanţ termic (ecuaţii tip

Fourier) prin integrarea căreia să obţinem o soluţie analitică a fenomenului de difuzivitate termică Majoritatea cazurilor practice de regimuri tranzitorii pot fi reduse la cazul conductorului drept de secţiune constantă cu răcire naturală sau forţată Conform teoriei clasice a icircncălzirii (şi acceptacircnd ipotezele ei simplifica-toare) se consideră un conductor cilindric (ca icircn figura 111) rectiliniu şi omogen de lungime infinită şi cu diametru suficient de mic pentru a putea aproxima aceeaşi temperatură icircntr-o secţiune oarecare Conductorul este parcurs de un curent electric ce dezvoltă o putere p icircn unitatea de volum Se ţine cont de efectul de capăt consideracircnd că la origine existacirc o sursă suplimentară de căldură care dă naştere la un flux termic longitudinal Temperatura corpului nefiind constantă de-a lungul conductorului există tendinţa de uniformizare a temperaturilor prin conductivitate termică Datorită ariei transversale mici considerăm că fluxul termic este axial icircn direcţia x iar conductorul cedează căldură mediului ambiant doar prin suprafaţa laterală care are o temperatură constantă Icircn aceste condiţii tem-peratura conductorului va fi o funcţie de lungimea axială x şi de timp θ = f(x t)

Figura 111 Bilanţul termic a unui conductor drept de secţiune constantă

Legea conservării energiei icircn elementul infinitezimal dx din conductorul drept de secţiune constantă şi mică A reprezentat icircn figura 111 are expresia dQ1 + dQ2 = dQ3 + dQ4 + dQ5 (1119) S-au făcut notaţiile ndash dQ1 este cantitatea de căldură dezvoltată icircn elementul de volum (A middot dx) icircn timpul dt dQ1 = p middot A middot dx middot dt = j2 middot ρ middot A middot dx middot dt (1120)

ndash dQ2 este cantitatea de căldură datorată fluxului termic longitudinal ce intră pe calea conducţiei prin secţiunea transversală A icircn timpul dt şi care conform (132) este

dtx

AdQ2 sdotpartθpart

sdotsdotλminus= (1121)

ndash dQ3 este cantitatea de căldură ce iese prin conducţiei din elementul de volum (A middot dx) icircn timpul dt care conform (132) este

dtdxxx

AdQ3 sdot

sdot

partθpart

+θsdotpartpart


ndash dQ4 este cantitatea de căldură cedată mediului ambiant prin transmisivitate termică combinată prin suprafaţa laterală S icircn timpul dt care conform (141) este dQ4 = α middot S middot (θ ndash θa) middot dt = α middot lp middot (θ ndash θa) middot dx middot dt (1123) unde s-a notat cu lp perimetrul secţiunii transversale ndash dQ5 este cantitatea de căldură icircnmagazinată icircn elementul infinitezimal de volum (A middot dx) icircn timpul dt şi care are expresia

dtdxt

AcddMcdQ d5 sdotsdotpartθpart

sdotsdotρsdot=θsdotsdot= (1124)

unde c este căldura specifică iar dM = ρd middot A middot dx este masa elementului infinitezimal şi ρd densitatea materialului conductorului Icircnlocuind icircn relaţia (1119) vom obţine

( ) dtdxt

Acdtdxl

dtdxx

Ax

A

dtdx

AdtdxAj

dap

2

2

2

sdotsdotpartθpart

sdotsdotρsdot+sdotsdotθminusθsdotsdotα+

+sdotsdotpartθpart

sdotsdotλminuspartθpart

sdotsdotλminus=

=sdotθpart

sdotsdotλminussdotsdotsdotρsdot

(1125)

Simplificacircnd cu Amiddotdxmiddotdt rezultă

( )ap2

2

2

d Al

jxt

c θminusθsdotαminusρsdot+partθpart

sdotλ=partθpart

sdotρsdot (1126)

Icircmpărţind cu cmiddotρd şi ţinacircnd cont că difuzitivitatea termică are conform (130) expresia a = λ c middot ρd se obţine ecuaţia diferenţială cu derivate parţiale a transmisiei căldurii sub forma

( )ad

p

d

2

2

2

Acl

cj

xa

tθminusθsdot

sdotρsdotsdotα

minusρsdotρsdot

+partθpart

sdot=partθpart (1127)

Pornind de la această ecuaţie se pot deduce alte ecuaţii particulare ce se folosesc icircn practică la determinarea cacircmpurilor termice icircn regim nestaţionar Icircn practică de cele mai multe ori se studiază separat procesele de

icircncălzire faţă de cele de distribuţie spaţială a cacircmpului termic De exemplu icircn procesul de icircncălzire icircn regim staţionar (θ = θs) temperatura conductorului

are o valoare bine determinată independentă de x şi t

=

partθpart

=partθpart 0

x0

t 2

2

şi

deci relaţia (1127) va deveni sd

p

d

2

Acl

cj

τsdotsdotρsdot

α=

ρsdotρsdot

(1128) Supratemperatura staţionară va fi τs = θs ndash θa (1129)

llA

lAIl

Aj

p2

2

p

2

s sdotsdotαsdotsdotsdotρsdot

=sdotαsdotρsdot

=τ (1130)

Deoarece rezistenţa electrică are expresia R = ρ middot 1 A suprafaţa laterală de cedare a căldurii către mediul ambiant este S= lpmiddot l iar fluxul termic este P = I2 middot R rezultă că supratemperatura staţionară are expresia

S

Ps sdotα=τ (1131)

152 Icircncălzirea corpurilor icircn regim de durată

Pentru determinarea ecuaţiei icircncălzirii unui corp icircn regim de durată vom porni de la relaţia (1127) şi vom neglija căderea de temperatură icircn conductor obţinacircnd relaţia

τsdotsdotρsdot

sdotαminus

ρsdotρsdot

=θ

Acl

cj

dtd

d

p

d

2

(1132)

Deoarece dθ = dτ (1133) Rezultă

dtAc

ldt

cjd

d

p

d

2

sdotτsdotsdotρsdot

sdotαminus

ρsdotρsdot

=τ (1134)

dtMcSdt

McPd sdotτsdot

sdotsdotα

minussdotsdot

=τ (1135)

P middot dt ndash α middot S middot τ middot dt = c middot M middot dτ (1136) Relaţia (1136) nu este alceva decacirct Legea conservării energiei care se poate enunţa astfel cantitatea de căldură icircnmagazinată icircn corp este diferenţa dintre căldura dezvoltată prin efect electrocaloric icircn corp şi căldura cedată mediului ambiant prin transmisivitate termică Am dovedit astfel că ecuaţiile

de bilanţ termic sunt forme particulare ale Legii conservării energiei icircn ipoteze simplificatoare Deoarece P = α middot S middot τs relaţia (1136) se mai poate scrie α middot S middot (τs ndash τ) middot dt = c middot M middot dτ (1137) Definim constanta termică de timp prin expresia

S

McTsdotαsdot

= [s] (1138)

Folosind expresia constantei termice de timp ecuaţia (1137) se poate scrie succesiv

τminusτ

τ=

s

dTdt (1139)

Tdtd

s

minus=τminusττ (1140)


( ) CTt

s +τminusτ=minus ln (1141)

Constanta de integrare se deduce din condiţiile de limită la t = o r = r0 Rezultă C = ndashln(τ ndash τs) (1142) Adică relaţia (1141) prin icircnlocuire devine

s0

s

Tt

τminusττminusτ

=minus ln (1143)

s0

sTt

eτminusττminusτ

=minus

(1144)

minussdotτ+sdotτ=τ

minusminusTt

sTt

0 e1e (1145)

Relaţia (1145) reprezintă ecuaţia de icircncălzire icircn timp a corpului icircn cazul cel mai general Dacă icircn momentul iniţial (t = 0) temperatura conductorului este egală cu temperatura mediului ambiant θ(0) = θa şi deci supratemperatura iniţială este nulă (τ0 = 0) se obţine o lege de variaţie de forma

minussdotτ=τ

minusTt

s e1 (1146)

Reprezentacircnd grafic curbele de icircncălzire date de relaţiile (1145) şi (1146) sunt reprezentate icircn figura 112 prin curbele 1 şi respectiv 2 constatacircndu-se că ambele curbe au aceeaşi supratemepratură staţionară τs

Pentru a evidenţia o propietate importantă a curbelor de icircncălzire se ia un punct arbitrar M pe curba de icircncălzire din figura 112 Conform relaţiei (1140) se poate scrie

Tdt

d s τminusτ=

τ (1147)

Din reprezentarea grafică a curbei de icircncălzire din figura 112 rezultă

ABAM

dtd

=τ (1148)

deoarece AM = τs ndash τ rezultă că AB = T Segmentul T ca subtangentă la curba de icircncălzire corespunzătoare punctului M rămacircne mereu constantă pentru orice poziţie a punctului M pe curbă Constanta termică de timp T = c middot M α middot S poate fi luată constantă numai dacă α şi c nu depind de tem-peratură şi are dimensiunea unui timp Cu ajutorul ei se poate trasa simplu curba de icircncălzire aşa cum rezultă icircn figura 113

Figura 112 Curbele de icircncălzire a unui corp

Din relaţia (1146) scrisă sub forma

Tt

s

e1minus

minus=ττ (1149)

Se poate calcula τ τs pentru t T =0 1 2 3 4 şamd Se reprezintă punctele corespunzătoare (064 086 095 098 etc) şi avacircnd icircn vedere că subtangenta la curbă T = const se trasează curba universală a icircncălzirii (adimensională)

Deşi teoretic icircncălzirea staţionară se atinge după un timp infinit practic se constată că regimul staţionar se icircncheie după aproximativ 4 constante termice de timp Icircn cazul corpurilor cu masă mare icircncălzirea icircn regim permanent se atinge după un număr mare de ore (10 ndash 20) datorită inerţiei termice mari De aceea pentru a reduce timpul necesar determinării experimentale a curbei de icircncălzire se foloseşte construcţia grafică prezentată icircn figura 114 care are la bază următoarele considerente

Figura 113 Curba universală de icircncălzire a corpurilor

Figura 114 Deteminarea grafondashanalitică a supratemperaturii staţionare a

corpurilor cu inerţie termică mare Derivacircnd relaţia (1146) se obţine

Tt

s eT1

dtd minus

sdotτsdot=τ (1150)

Rezultă succesiv

s

sTt

eττminusτ

=minus

(1151)

( )τminusτsdot=τ

sT1

dtd sau (1152)

dtdTsτ

sdotminusτ=τ (1153)


t

Ts ∆τ∆


rezultă că la ∆t =constant τ = f(∆τ) este ecuaţia unei drepte care taie axa ordonatelor la ∆τ = 0 adică τ = τs Astfel prin determinarea experimentală a porţiunii OD din curba de icircncălzire la intervale de timp egale ∆t se determină creşterile de supratemperatură ∆τ1 ∆τ2 ∆τ3 corespunzător punctelor A B C se determină icircn sistemul de axe τ = f(∆τ) punctele A B şi

C şi ducacircnd dreapta ce uneşte aceste puncte acolo unde intersectează axa ordonatelor se obţine icircncălzirea staţionară τs

153 Răcirea corpurilor Dacă icircntr-un conductor s-a atins temperatura staţionară atunci icircntreaga căldură dezvoltată ]n conductor este cedată mediului ambiant Dacă icircncetează dezvoltarea de căldură icircn conductor (p = 0) din acel moment icircncepe procesul de răcire care constă icircn cedarea căldurii acumulate icircn conductor mediului ambiant Cacircnd temperatura conductorului atinge temperatura mediului ambiant icircntreaga cantitate de căldură se consideră complet evacuată şi procesul de răcire icircncheiat Pornind de la ecuaţia bilanţului termic (1136) icircn ipoteza p = 0 se obţine ndashc middot M middot dτ = α middot S middot τ middot dt (1155) Adică

Tdtd

minus=ττ (1156)


ClnTtC

Ttln +minus=+minus=τ (1157)

Adică TtCln

Tdt

eCeminus+minus

sdot==τ (1158) Consideracircnd că la t = 0 τ = τs rezultă ecuaţia curbei de răcire sub forma

Tt

s eminus

sdotτ=τ (1159) Dacă la t = 0 supratemperatura τ are o valoare oarecare τi atunci răcire va avea expresia

Tt

i eminus

sdotτ=τ (1160) Reprezentarea grafică a relaţiilor (1159) şi (1160) este dată icircn figura 115 Proprietăţile curbei de icircncălzire sunt valabile şi pentru curba exponenţială de răcire adică subtangenta la curba de răcire icircn orice punct M al curbei este o constantă egală cu constanta termică de timp T Deşi matematic procesul de răcire se icircncheie icircntr-un timp infinit de lung practic după 4 constante termice de timp el poate fi considerat icircncheiat Constanta termică de timp a unui corp este aceeaşi la icircncălzirea şi răcirea corpului cu condiţia ca atacirct icircncălzirea cacirct şi răcirea să aibă loc icircn aceleaşi condiţii

Astfel dacă răcirea este forţată prin ventilare sau prin circularea artificială a fluidului de răcire constanta termică de timp T se modifică

Figura 115 Curbe de răcire a unui corp

154 Icircncălzirea unui corp icircn regim de scurtă durată

Icircntr-un regim de scurtă durată procesul de icircncălzire durează mult mai puţin decacirct constanta de timp termică T După o scurtă perioadă de icircncălzire alimentarea aparatului se icircntrerupe pentru o durată suficient de mare ca el să se răcească pacircnă la temperatura mediului ambiant (τ = 0) Icircn figura 116 am reprezentat curbele de icircncălzire şi răcire corespunzătoare acestui regim de funcţionare Dacă puterea care se dezvoltă icircn regim de scurtă durată (RSD) este PSD se constată că supratemperatura maximă care se atinge icircn acest regim este τ SD mai mică decacirct supratemeratura care s-ar atinge icircn regim de durată şi care corespunde temperaturii maxime admisibile Putem concluziona că icircn acest regim se poate aplica o suprasarcină fără a periclita stabilitatea termică a aparatului Folosirea aparatului icircn regim de scurtă durată la o putere mai mare decacirct cea icircn regim permanent este recomandabilă pentru a mări eficienţa economică a aparatului şi a obţine reducerea costurilor Definim coeficientul de suprasarcină termică admisibilă icircn regim de scurtă durată astfel

D

SD

SD

sp P

Pk =ττ

= (1161)

Figura 116 Icircncălzirea unui corp icircn regim de scurtă durată

Scriind ecuaţia curbei de icircncălzire (1146) pentru regimul de scurtă durată

minussdotτ=τ

minusTt

sSD

i

e1 (1162)

Am notat cu ti timpul de icircncălzire icircn regim de scurtă durată Rezultă pentru coeficientul de suprasarcină expresia

Ttp i

e1

1kminus

minus= (1163)

Pentru a obţine o expresie mai simplă pentru Kp dezvoltăm icircn serie

Taylor pe Tti

eminusşi reţinem primi doi termeni

Tt1e iT

t1

minusasympminus

(1164)

Rezultă pentru Kp expresia

i

P tTk = (1165)

Deoarece pierderile specifice sunt proporţionale cu pătratul curentului coeficientul de suprasarcină pentru curent (kI) este

i

PI tTkk == (1166)

Rezultă că icircn regim de scurtă durată pentru ca aparatul să nu se icircncălzească peste temperatura admisibilă el poate fi străbătut de un curent de kI ori mai mare decacirct curentul din regim de permanent

155 Icircncălzirea corpurilor icircn regim de scurtcircuit

Un caz specific al regimului de scurtă durată de o deosebită importanţă tehnică corespunde regimului de scurtcircuit care se caracterizează prin curenţi de intensitate foarte mare de 10 ndash 20 de ori mai mari decacirct curenţii nominali sau chiar mai mari şi o durată foarte scurtă (005 divide 2 s) deoarece aparatele de protecţie elimină defectul De aceea acest regim se poate considera adiabatic icircntreaga căldură care se dezvoltă icircn aparat icircn regim de scurtcircuit acumulacircndu-se icircn aparat neavacircnd loc cedare de căldură către mediul ambiant Icircn figura 117 am reprezentat icircncălzirea unui corp icircn regim de scurtcircuit după un regim permanent (cazul cel mai frecvent icircntacirclnit icircn practică)

Figura 117 Icircncălzirea unui corp icircn regim de scurtcircuit

Ecuaţia diferenţială a bilanţului termic (1136) devine icircn acest caz (α=0) P middot dt = c middot M middot dτ (1167) Deoarece

P = α middot S middot rs (1168) T = c middot M α middot S (1169) Rezultă

s

dTdt

ττ

= (1170)


Tt

s sdotτ=τ (1171)

Se observă că temperatura variază liniar cu timpul Reprezentarea grafică (figura 117) a regimului de scurtcircuit declanşat la momentul t1

cacircnd corpul se găseşte la temperatura staşionară τs şi care durează pacircnă la momentul t2 Deoarece durata regimului (t2 ndash t1) este foarte scurtă supratemperatura maximă τm depăşeşte de 2 divide 3 ori supratemperatura icircn regim staţionar Evident scurtcircuitul poate apare icircnainte de atingerea regimului staţionar sau putem conecta un aparat direct icircn regim de scurtcircuit icircn care caz temperatura va varia după o curbă paralelă cu cea din figură dar deplasată corespunzător icircn jos Conform relaţiei (1171) se poate da o interpretare fizică constantei termice de timp T după cum urmează constanta termică de timp este acel interval de timp icircn care conductorul fără icircncălzire iniţială şi fără schimb de căldură cu mediul ambiant se icircncălzeşte la pierderi constante (p=ct) pacircnă la supratemperatura τs din regim staţionar Conductoarele parcurse de curentul de scurtcircuit se icircncălzesc puternic ceea ce poate duce la topirea lor şi la avarii grave icircn instalaţii Rezultă că este de dorit ca aparatele de protecţie să elimine cacirct mai rapid defectul de scurtcircuit icircnainte ca conductoarele să fie avariate prin efectul cumulativ al căldurii icircnmagazinate

156 Icircncălzirea unui conductor icircn regim periodic intermitent

Icircn numeroase aplicaţii tehnice aparatele sunt alimentate periodic deoarece sarcina aparatului variază periodic Astfel după o perioadă de icircncălzire urmează o perioadă de răcire ciclul repetacircndu-se la intervale de timp egale Regimul se numeşte periodic intermitent (RPI) cacircnd alimentarea şi repaosul aparatului se succed icircn mod periodic

Icircn figura 118 sunt prezentate intervale de timp de icircncălzire ti şi de răcire tr Aparatul se va icircncălzi treptat după o curbă icircn zig-zag tinzacircnd să se stabilizeze din punct de vedere termic icircntre două temperaturi τmin şi τ max Intervalul de timp ti + tr = tc se numeşte durata unui ciclu şi trebuie să icircndeplinească condiţia tc lt 10 min Raportul

r1

iA tt

tD+

= (1172)

se numeşte durată de anclanşare (acţionare) iar raportul

100tt

tDri

iA sdot

+=[] (1173)

poartă denumirea de bdquoDurată relativă de anclanşareldquo iar valorile ei sunt standardizate la 10 25 60 şi 100 Pentru a determina legea de variaţie τ = f(t) icircn regim periodic intermitent am reprezentat icircn figura 118 curbele de icircncălzire paralele cu curba τi şi curbele de răcire paralele cu curba τr icircn ipoteza că T are aceiaşi valoare la icircncălzire şi răcire (lucru care este adevărat doar pentru aparatele care nu sunt cu convecţie forţată)

Figura 118 Icircncălzirea corpurilor icircn Regim periodic intermitent

Folosind ecuaţiile ce descriu icircncălzirea (1145) şi răcirea corpurilor (1158) vom putea scrie pentru RPI prezentat icircn figura 118

minussdotτ=τ

minusTt

s1

i

e1 (1174)

Tt

12

i

eminus

sdotτ=τ (1175)


minusminusTt

sTt

43

ii

e1e (1176)

Tt

34

r

eminus

sdotτ=τ (1177)

Tt

n2n2

r

eminus

sdotsdot sdotτ=τ (1178)


minusminus

sdot+sdotTt

sTt

n21n2

ii

e1e (1179)

După un număr suficient de mare de cicluri icircncălzire-răcire ale RPI se stabileşte un regim periodic staţionar (supratemperatura oscilează icircntre valoarea maximă τmax şi valoarea minimă τmin Rezultă că τ2n ndash 1 = τ2n + 1 (1180) Se observă că τ2n = τmin adică

Tt

Tt

Tt

c

cr

e1

eeminus

minusminus

minus

minus=τmin (1181)

Prin icircnlocuire icircn (1179) rezultă

sTt

Tt

c

i

e1

e1τsdot

minus

minus=τ

minus

minus

max (1182)

Valorile determinate pentru τmax şi τmin determină domeniul icircn care variază temperatura corpului după un număr foarte mare de cicluri ale RPI Dacă icircn RPI avem tr = 0 rezultă τmax = τmin = τs şi regăsim regimul permanent ca un caz particular al RPI fără intervalul de răcire De importanţă tehnică este determinarea Coeficientul de suprasarcină admisibilă Kp definit prin relaţia (1161) şi care icircn RPI devine

Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=cong

minusminus

minusminus

congminus

minus=

ττ

=minus

minus

(1183)

Coeficientul suprasarcină icircn curent definit prin relaţia (1166) devine icircn RPI

A

pr D1kk == (1184)

Icircn exploatare se va avea icircn vedere faptul că orice aparat construit pentru un regim permanent poate fi supraicircncărcat icircn RPI cu o suprasarcină cel mult egală cu cea dată de coeficientul de suprasarcină Prin supraicircncărcare aparatul nu va depăşi solicitările maxime admisibile şi va fi folosit icircntr-un mod mai eficient

16 Stabilitatea termică a aparatelor electrice

Icircncălzirea reprezintă una din solicitările cele mai importante la care sunt supuse aparatele electrice icircn timpul exploatării lor Limita de icircncălzire şi deci temperatura cea mai mare pe care o atinge un aparat electric icircntr-un punct al său este determinată de următorii factorii ndash necesitatea conservaării proprietăţilor fizicondashmecanice şi chimice ale conductoarelor ndash conservarea proprietăţilor electroizolante ale izolaţiilor şi o durată de viaţă cacirct mai mare a acestora ndash conservarea propietăţilor icircmbinărilor prin lipire şi sudare ndash menţinerea calităţii contactelor electrice icircn limitele admisibile Limitele de temperatură (maxime şi minime) ale aparatelor electrice sunt date icircn standarde şi trebuiesc respectate cu rigurozitate pentru ca nici una din caracteristicile tehnice ale aparatului să nu sufere vreo icircnrăutăţire care să-i prejudicieze funcţionarea sau care să-i reducă durata de viaţă prestabilită Putem defini bdquoStabilitatea termicăldquo a unui aparat icircn regim permanent ca fiind proprietatea aparatului de a suporta solicitările termice ale unui anumit curent un timp oricacirct de lung fără ca icircncălzirea diferitelor părţi ale aparatului să depăşească temperaturile maxim admisibile sau să producă degradarea inadmisibilă a oricărei caracteristici tehnice a sa Stabilitatea termică a unui aparat este caracterizată icircn regim permanent de către curentul nominal al aparatului (In) care este icircn cc valoarea maximă

a curentului iar icircn curent alternativ valoarea efectivă maximă denumită curent echivalent termic Acest curent este valabil atacircta timp cacirct condiţiile termice exterioare sau de răcire sunt cele prescrise icircn standarde Icircn caz contrar trebuieşte adaptat regimul de lucru la noile condiţii termice Deoarece fenomenele termice sunt cumulative icircn regim tranzitoriu valorile maxime admisibile vor fi şi icircn funcţie de timpul cacirct aparatul va fi solicitat termic Astfel pentru curentul de scurtcircuit care apare icircn general după funcţionarea aparatului icircn regim nominal de durată icircncălzirea va depinde şi de temperatura avută de aparat anterior regimului de avarie Deoarece durata scurtcircuitului este mică se admite o icircncălzire mai mare decacirct icircncălzirea staţionară din regim nominal fără a exista pericolul de degradare a aparatului Proprietatea aparatului de a suporta solicitările termice ale curenţilor de scurtcircuit pentru o durată bine precizată fără deteriorări inadmisibile ale niciuneia din caracteristicile sale tehnice se numeşte bdquoStabilitate termicăldquo a aparatelor electrice icircn regim de avarie şi se exprimă prin curentul de stabilitate termică (Ist) Valoarea lui este prevăzută icircn standarde raportată la numite intervale de timp 10 secunde 5 secunde sau 1 secundă Alegerea curenţilor de stabilitate termică pentru un aparat se face ţinacircnd seama de valorile maxime ale curentului de scurtcircuit (icircn cazul cel mai defavorabil) şi de durata maximă posibilă a acestui curent ţinacircnd cont de caracteristicile schemei de protecţie Calcularea curentului de stabilitate termică pentru o valoare nestandardizată a timpului de acţionare a curentului de scurtcircuit (tx) se obţine din condiţia I2 middot t = ct (1185) cu formula

x

stNstx tNII sdot= (1186)

icircn care N este cea mai apropiată valoare standardizată a duratei curentului de scurtcircuit de timpul tx iar N isin1510

Test minimal de verificare a cunoştinţelor

Pe baza noţiunilor tehnice prezentate icircn capitolul bdquoProcese termice icircn aparate electriceldquo răspundeţi la următoarele icircntrebări

1 Ce surse de căldură există icircn aparatele electrice 2 Ce este efectul electrocaloric 3 Ce pierderi apar icircn miezurile feromagnetice 4 Ce pierderi apar icircn izolaţii 5 Definiţi supratemperatura 6 Ce subansamble ale aparatelor electrice se verifică la icircncălzire 7 Ce este o izotermă 8 Care este ecuaţia unei izoterme 9 Care este Legea transformării energiei icircn conductoarele parcurse de

curent 10 Icircn ce se măsoară pierderile specifice 11 Icircn ce se măsoară fluxul termic 12 Definiţi densitatea de flux termic 13 Icircn ce se măsoară densitatea de flux termic 14 Care este legătura empirică icircntre densitatea de flux termic şi

temperatură 15 Ce măsoară divergenţa densităţii de flux termic 16 Definiţi conductivitatea termică 17 Icircn ce se măsoară conductivitatea termică 18 Definiţi coordonatele cilindrice icircn funcţie de coordonatele

carteziene 19 Definiţi operatorul Laplace icircn coordonate carteziene 20 Definiţi operatorul Laplace icircn coordonate cilindrice 21 Scrieţi ecuaţia Poisson icircn coordonate carteziene icircntr-un mediu

izotrop 22 Scrieţi ecuaţia Poisson icircn coordonate carteziene icircntr-un mediu

anizotrop 23 Scrieţi ecuaţia Poisson icircn coordonate cilindrice 24 Scrieţi ecuaţia Laplace icircn coordonate carteziene icircntr-un mediu

izotrop 25 Scrieţi ecuaţia Laplace icircn coordonate carteziene icircntr-un mediu

anizotrop 26 Scrieţi ecuaţia Laplace icircn coordonate cilindrice 27 Scrieţi ecuaţia Fourier pentru regimul termic nestaţionar

28 Definiţi difuzivitatea termică 29 Icircn ce se măsoară difuzivitatea termică 30 Cacircte tipuri de transmisivităţi termice cunoaşteţi 31 Care este expresia căldurii cedată mediului ambiant prin

conducţie 32 Care este expresia căldurii cedată mediului ambiant prin

convecţie 33 Ce este convecţia forţată 34 Cum se poate realiza răcirea forţată icircn aer 35 Cum se poate realiza răcirea forţată icircn ulei 36 Care este Legea lui Stefan Boltzmann 37 Cacirct este transmisivitatea termică prin radiaţie 38 Care este expresia căldurii cedate mediului ambiant prin radiaţie 39 Cum trebuiesc vopsite carcasele pentru o răcire cacirct mai intensă

prin radiaţie 40 Care este transmisivitatea termică totală 41 Care este Legea lui Ohm pentru transmiterea căldurii 42 Care este expresia rezistenţei termice 43 Icircn ce se măsoară rezistenţa termică 44 Ce sunt condiţiile de limită 45 Pe baza căror echivalenţe se realizează circuitul electric

echivalent transmisiei căldurii 46 La ce bobine trebuie să izolăm termic bobinajul de miezul

feromagnetic 47 Care este ecuaţia generală a bilanţului termic a unui conductor 48 Cum variază rezistivitatea electrică cu temperatura 49 Definiţi regimul termic staţionar 50 Care este expresia supratemperaturii staţionare 51 Care este expresia constantei termice de timp 52 Icircn ce se măsoară constanta termică de timp 53 Care este interpretarea matematică a constantei termice de timp 54 Care este interpretarea fizică a constantei termice de timp 55 Care este ecuaţia icircncălzirii unui corp cu supratemepratură

iniţială 56 Care este ecuaţia icircncălzirii unui corp fără supratemepratură

iniţială 57 Care este ecuaţia răcirii unui corp 58 Definiţi regimul termic de scurtă durată 59 Cacirct este coeficientul de suprasarcină termică icircn regim de scurtă

durată

60 Cacirct este coeficientul de suprasarcină pentru curent icircn regim de scurtă durată

61 Cum variază temepratura icircn regim de scurtcircuit 62 Definiţi Regimul periodic intermitent 63 Definiţi durata relativă de anclanşare 64 Cacirct este coeficientul de suprasarcină termică icircn regim periodic

intermitent 65 Cacirct este coeficientul de suprasarcină pentru curent icircn regim

periodic intermitent 66 Ce este stabilitatea termică a unui aparat 67 Ce mărime caracterizeză stabilitatea termică a unui aparat icircn

regim permanent 68 Ce mărime caracterizeză stabilitatea termică a unui aparat icircn

regim de avarie 69 Ce timpi s-au standardizat pentru stabilitatea termică la

scurtcircuit 70 Cu ce formulă se echivalează curenţii de stabilitate termică la

scurtcircuit

Deoarece temperatura este o mărime care poate fi caracterizată icircntr-un sistem de măsură dat printr-un singur număr nefiind legată de noţiunea de direcţie şi sens cacircmpul de temperaturi este un cacircmp scalar Definim supratemperatura sau icircncălzirea (τ) ca diferenţa dintre temperatura corpului (θ) şi temperatura mediului ambiant (θa) τ = θ ndash θa = T ndash Ta [degC] [K] (13) icircn care temperaturile θ şi θa se măsoară icircn grade Celsius iar temperaturile absolute T şi Ta icircn Kelvin Icircncălzirea fiind o diferenţă de temperaturi se măsoară icircn grade Celsius [degC] sau Kelvin Icircn regim staţionar relaţia (13) devine τs = θsndash θa (14) unde τs şi θs sunt icircncălzirea şi respectiv temperatura icircn regim staţionar Supratemperatura staţionară la care ajung diferitele părţi ale aparatului depinde de regimul de funcţionare a acestuia şi de temperatura mediului ambiant Valorile temperaturii mediului ambiant sunt stabilite prin standarde pentru diferite zone climatice Valorile temperaturilor maxim admisibile pentru diversele subansamble care compun aparatul icircn regimul de funcţio-nare normal sau de avarie depind de materialele folosite la construcţia sa şi sunt date icircn standarde Deoarece puterea aparatului este determinată de supratemperaturile maxim admisibile icircn diferitele lui părţi rezultă că icircncălzirea admisă pentru un anumit element al aparatului trebuie aleasă icircn aşa fel icircncacirct să asigure o putere maximă la o durată de funcţionare prestabilită (prin standarde sau de beneficiari) Verificarea supratemperaturii maxime admise se va face asupra celor mai sensibile părţi ale aparatului căilor de curent izolaţiile electrice elementelor elastice lipituri şi contacte Pentru ca icircncălzirea nici unui punct din aparat să nu depăşească limitele admise de standarde este necesar ca disiparea căldurii către mediul ambiant să fie cacirct mai activă Condiţiile de disipare a căldurii dintr-un aparat electric către mediul ambiant reprezintă unul din criteriile fundamentale de dimensio-nare a aparatelor electrice şi de aceea este necesară cunoaşterea surselor de icircncălzire şi transferul de căldură icircn aparat şi spre mediul ambiant Prin studiul solicitărilor termice ale aparatelor electrice se urmăreşte determinarea prin calcul a icircncălzirii diferitelor părţi ale aparatului la un anumit regim de funcţionare şi icircn icircn comndiţii bine determinate Totalitatea punctelor cu aceiaşi temperatură dintr-un cacircmp termic formează o suprafaţă izotermă sau suprafaţă de nivel Pentru a ajunge de la o izotermă la o altă izotermă pe drumul cel mai scurt se utilizează vectorul gradient (grad θ) definit astfel

kz

jy

ix

grad sdotpartθpart

+sdotpartθpart

+sdotpartθpart

=θ [grdm] (15)


dtdQP = [W] (17)


]mW[dAdPq 2= (18)


]mW[APq 2= (19)





lV V





z

qy

qx

q zzyyxx partθpart



sdotλminus= (117)

Rezultacircnd

sdot

partθpart




jy

ix



kz

jy

ix

sdotpartpart

+sdotpartpart

+sdotpartpart

=nabla (120)

Rezultă

pzyx

q 2

2

z2

2

y2

2

x =

partθpart

sdotλ+partθpart

sdotλ+partθpart



0pzyx 2

2

z2

2

y2

2

x =+partθpart

sdotλ+partθpart

sdotλ+partθpart

sdotλ (122)


0pzyx 2

2

2

2

2

2

=λ

+partθpart

+partθpart

+partθpart (123)


0pzr

1rr

1r 2

2

2

2

22

2

=λ

+partθpart

+ϕpartθpart

sdot+partθpart




0zyx 2

2

z2

2

y2

2

x =partθpart

sdotλ+partθpart

sdotλ+partθpart

sdotλ (126)


0zyx 2

2

2

2

2

2

=partθpart

+partθpart

+partθpart (127)


0zr

1rr

1r 2

2

2

2

22

2

=partθpart

+ϕpartθpart

sdot+partθpart



partθpart

+partθpart

+partθpart

sdot=partθpart

2

2

2

2

2

2

zyxa

t (129)


]sm[c

a 2

dρsdotλ

= (130)





ndndgradq sdotθ


QdndAdP 2

sdotsdot



dtdAdndQ sdotsdotθ





minus

sdotεsdot=

4a

4c

0r 100T

100TCq (136)


ac

4a

4c

0r TT100T

100T

Cminus

minus










căldură





0dxd

2

2

=θ (142)


1Cdxd

=θ (143)


21

211 xx

Cminusθminusθ

= (145)

12

21122 xx

xxCminus

θminusθ= (146)


dxdq θ

λminus= 12

12

xx minusθminusθ

λminus= (147)


qRq t sdot=sdotλδ

=θ∆ (148)


qn

n

2

2

1

1n21 sdot

λδ

++λδ

+λδ

=θ∆++θ∆+θ∆=θ∆ (151)




0rr

1r2

2

=partθpart



0drd

r1

drd

drd

=θ

sdot+

θ (153)

0drd

drd

drdr =

θ+

θ

sdot (154)

0drdr

drd

=

θsdot (155)

1Cdrdr =θ

sdot (156)

r



2

1

211

rrC

ln

θminusθ= (161)

2

1

21122

rr

rrCln



2

1

12

21

rr

rr

rr

ln






0pdxd

2

2

=λ

+θ (164)


1Cxpdxd

+sdotλ

minus=θ (165)

21

2

CxC2

xp+sdot+

λsdotsdot

minus=θ (166)



minusδsdotλsdot

= 211 2

pC (167)


1212 x

2px

2p

θ+sdot

δθminusθ

minusδsdotλsdot

+sdotλsdot

minus=θ (168)


x = xm avem 0dxd

mxx

=

θ

=


1m Cxp=sdot

λ (170)


δsdotλ

minusδ

= (171)


1m21

2m

m x2

p2

xpθ+sdot

δθminusθ

minusδsdotλsdot

+λsdot

sdotminus=θ (172)


2

xmδ

= (173)

2

1m 22p

δsdot

λsdot+θ=θ (174)


12 x

2px

2p

θ+sdotδsdotλsdot

+sdotλsdot

minus=θ (175)



0prr

1r2

2

=λ

+partθpart



2rp

rC

2rpC

r1

drd 1

2

1 sdotλ

minus=

sdot

λminussdot=

θ (177)

2

2

1 C4

rprC +λsdotsdot




0r

=

θ

=



λsdotsdot

+θ=4

rpC2

112 (180)


( ) 122

1 rr4

pθ+minussdot

λsdot=θ (181)



211 r

4p

sdotλsdot

+θ=θmax (182)


21r4

psdot










r

drl2


minus=θ (186)



θ

θ

2d

2D rdr

l2Pd

2

1

(187)

Rezultă

dD

l2P


+θ=θ (188)


1

aa2 SPqsdotα

+θ=α

+θ=θ (190)


lD



dD

l2P

lDP


+sdotsdotπsdotα

+θ=θ (193)


l4

pdD

l2P

lDP


sdotλsdotπsdot+




sdotλminus= (195)


sdotλminus= (196)

( )[ ] dxx8BA2l


minus=θ (197)



( )

( )intint

+sdot

δsdot++sdot

θ


BA2

8BA2 udu

l8Pd1

2 (198)


( )( )BA2

8BA2l8

P21 +sdot

δsdot++sdotsdot


+δsdot

+sdotsdotλsdot

+θ=θBA

41l8

P21 ln (1101)


BA

4BA

41+δsdot

cong

+δsdot

+ln (1102)

Rezultă

( )BAl2P


+θ=θ (1103)


( )[ ] ( )BAl2P

l8BA2P



+θ=θ (1104)








( ) ( )


λsdotsdot= 21

21

22

m

1

21 rr

4p

rr

1Cln

(1105)

( ) ( )


λsdotsdotminus

λsdotsdot

+θ= 212

122

m

1

2

2

m

22

22 rr4

p

rrr

4rpC

ln

ln (1106)




02

rprC

m

m

m

1 =λsdotsdot

minus p

C2r m1m

λsdotsdot= (1107)


2m

2m

m1m C4

rprC +λsdotsdot




m

1

1

1

2rp

rC

λsdotsdot

minus (1110)

m

21

1 2rpCλsdotsdot

= (1111)


m

22

2m

21

22 4rpr

2rpC

λsdotsdot

+sdotλsdotsdot

minusθ= ln (1112)


( )222

m2m

21

2 rr4

prr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

+θ=θ ln (1113)


( )21

22

m2

1

m

21 rr

4p

rr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

=θ∆ ln (1114)


δsdot



∆λ∆

+λsdot

+λδsdot

∆+sdot+δsdot=λ

bi

m b22b22481 (1116)

sau

δsdotδsdot+

sdotδsdot+

sdotλ=λ2

2B2A

Aim (1117)












dtx

AdQ2 sdotpartθpart



dtdxxx

AdQ3 sdot

sdot

partθpart

+θsdotpartpart



dtdxt




( ) dtdxt

Acdtdxl

dtdxx

Ax

A

dtdx

AdtdxAj

dap

2

2

2

sdotsdotpartθpart


+sdotsdotpartθpart


sdotsdotλminus=

=sdotθpart


(1125)


( )ap2

2

2

d Al

jxt


sdotλ=partθpart

sdotρsdot (1126)


( )ad

p

d

2

2

2

Acl

cj

xa

tθminusθsdot

sdotρsdotsdotα

minusρsdotρsdot

+partθpart





=

partθpart

=partθpart 0

x0

t 2

2

şi


p

d

2

Acl

cj

τsdotsdotρsdot

α=

ρsdotρsdot


llA

lAIl

Aj

p2

2

p

2


=sdotαsdotρsdot

=τ (1130)


S

Ps sdotα=τ (1131)



τsdotsdotρsdot

sdotαminus

ρsdotρsdot

=θ

Acl

cj

dtd

d

p

d

2

(1132)


dtAc

ldt

cjd

d

p

d

2


sdotαminus

ρsdotρsdot

=τ (1134)

dtMcSdt

McPd sdotτsdot

sdotsdotα

minussdotsdot

=τ (1135)



S

McTsdotαsdot

= [s] (1138)


τminusτ

τ=

s

dTdt (1139)

Tdtd

s



( ) CTt



s0

s

Tt

τminusττminusτ

=minus ln (1143)

s0

sTt

eτminusττminusτ

=minus

(1144)


minusminusTt

sTt

0 e1e (1145)


minussdotτ=τ

minusTt

s e1 (1146)



Tdt

d s τminusτ=

τ (1147)


ABAM

dtd

=τ (1148)




Tt

s

e1minus

minus=ττ (1149)






Tt

s eT1

dtd minus


Rezultă succesiv

s

sTt

eττminusτ

=minus

(1151)

( )τminusτsdot=τ

sT1

dtd sau (1152)

dtdTsτ



t

Ts ∆τ∆





Tdtd

minus=ττ (1156)


ClnTtC


Adică TtCln

Tdt

eCeminus+minus


Tt

s eminus


Tt

i eminus






D

SD

SD

sp P

Pk =ττ

= (1161)



minussdotτ=τ

minusTt

sSD

i

e1 (1162)


Ttp i

e1

1kminus

minus= (1163)


Taylor pe Tti


Tt1e iT

t1

minusasympminus

(1164)


i

P tTk = (1165)


i

PI tTkk == (1166)







s

dTdt

ττ

= (1170)


Tt

s sdotτ=τ (1171)






r1

iA tt

tD+

= (1172)


100tt

tDri

iA sdot

+=[] (1173)




minussdotτ=τ

minusTt

s1

i

e1 (1174)

Tt

12

i

eminus

sdotτ=τ (1175)


minusminusTt

sTt

43

ii

e1e (1176)

Tt

34

r

eminus

sdotτ=τ (1177)

Tt

n2n2

r

eminus



minusminus

sdot+sdotTt

sTt

n21n2

ii

e1e (1179)


Tt

Tt

Tt

c

cr

e1

eeminus

minusminus

minus

minus=τmin (1181)


sTt

Tt

c

i

e1

e1τsdot

minus

minus=τ

minus

minus

max (1182)


Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=cong

minusminus

minusminus

congminus

minus=

ττ

=minus

minus

(1183)


A

pr D1kk == (1184)





x





















durată








scurtcircuit

kz

jy

ix

grad sdotpartθpart

+sdotpartθpart

+sdotpartθpart

=θ [grdm] (15)


dtdQP = [W] (17)


]mW[dAdPq 2= (18)


]mW[APq 2= (19)





lV V





z

qy

qx

q zzyyxx partθpart



sdotλminus= (117)

Rezultacircnd

sdot

partθpart




jy

ix



kz

jy

ix

sdotpartpart

+sdotpartpart

+sdotpartpart

=nabla (120)

Rezultă

pzyx

q 2

2

z2

2

y2

2

x =

partθpart

sdotλ+partθpart

sdotλ+partθpart



0pzyx 2

2

z2

2

y2

2

x =+partθpart

sdotλ+partθpart

sdotλ+partθpart

sdotλ (122)


0pzyx 2

2

2

2

2

2

=λ

+partθpart

+partθpart

+partθpart (123)


0pzr

1rr

1r 2

2

2

2

22

2

=λ

+partθpart

+ϕpartθpart

sdot+partθpart




0zyx 2

2

z2

2

y2

2

x =partθpart

sdotλ+partθpart

sdotλ+partθpart

sdotλ (126)


0zyx 2

2

2

2

2

2

=partθpart

+partθpart

+partθpart (127)


0zr

1rr

1r 2

2

2

2

22

2

=partθpart

+ϕpartθpart

sdot+partθpart



partθpart

+partθpart

+partθpart

sdot=partθpart

2

2

2

2

2

2

zyxa

t (129)


]sm[c

a 2

dρsdotλ

= (130)





ndndgradq sdotθ


QdndAdP 2

sdotsdot



dtdAdndQ sdotsdotθ





minus

sdotεsdot=

4a

4c

0r 100T

100TCq (136)


ac

4a

4c

0r TT100T

100T

Cminus

minus










căldură





0dxd

2

2

=θ (142)


1Cdxd

=θ (143)


21

211 xx

Cminusθminusθ

= (145)

12

21122 xx

xxCminus

θminusθ= (146)


dxdq θ

λminus= 12

12

xx minusθminusθ

λminus= (147)


qRq t sdot=sdotλδ

=θ∆ (148)


qn

n

2

2

1

1n21 sdot

λδ

++λδ

+λδ

=θ∆++θ∆+θ∆=θ∆ (151)




0rr

1r2

2

=partθpart



0drd

r1

drd

drd

=θ

sdot+

θ (153)

0drd

drd

drdr =

θ+

θ

sdot (154)

0drdr

drd

=

θsdot (155)

1Cdrdr =θ

sdot (156)

r



2

1

211

rrC

ln

θminusθ= (161)

2

1

21122

rr

rrCln



2

1

12

21

rr

rr

rr

ln






0pdxd

2

2

=λ

+θ (164)


1Cxpdxd

+sdotλ

minus=θ (165)

21

2

CxC2

xp+sdot+

λsdotsdot

minus=θ (166)



minusδsdotλsdot

= 211 2

pC (167)


1212 x

2px

2p

θ+sdot

δθminusθ

minusδsdotλsdot

+sdotλsdot

minus=θ (168)


x = xm avem 0dxd

mxx

=

θ

=


1m Cxp=sdot

λ (170)


δsdotλ

minusδ

= (171)


1m21

2m

m x2

p2

xpθ+sdot

δθminusθ

minusδsdotλsdot

+λsdot

sdotminus=θ (172)


2

xmδ

= (173)

2

1m 22p

δsdot

λsdot+θ=θ (174)


12 x

2px

2p

θ+sdotδsdotλsdot

+sdotλsdot

minus=θ (175)



0prr

1r2

2

=λ

+partθpart



2rp

rC

2rpC

r1

drd 1

2

1 sdotλ

minus=

sdot

λminussdot=

θ (177)

2

2

1 C4

rprC +λsdotsdot




0r

=

θ

=



λsdotsdot

+θ=4

rpC2

112 (180)


( ) 122

1 rr4

pθ+minussdot

λsdot=θ (181)



211 r

4p

sdotλsdot

+θ=θmax (182)


21r4

psdot










r

drl2


minus=θ (186)



θ

θ

2d

2D rdr

l2Pd

2

1

(187)

Rezultă

dD

l2P


+θ=θ (188)


1

aa2 SPqsdotα

+θ=α

+θ=θ (190)


lD



dD

l2P

lDP


+sdotsdotπsdotα

+θ=θ (193)


l4

pdD

l2P

lDP


sdotλsdotπsdot+




sdotλminus= (195)


sdotλminus= (196)

( )[ ] dxx8BA2l


minus=θ (197)



( )

( )intint

+sdot

δsdot++sdot

θ


BA2

8BA2 udu

l8Pd1

2 (198)


( )( )BA2

8BA2l8

P21 +sdot

δsdot++sdotsdot


+δsdot

+sdotsdotλsdot

+θ=θBA

41l8

P21 ln (1101)


BA

4BA

41+δsdot

cong

+δsdot

+ln (1102)

Rezultă

( )BAl2P


+θ=θ (1103)


( )[ ] ( )BAl2P

l8BA2P



+θ=θ (1104)








( ) ( )


λsdotsdot= 21

21

22

m

1

21 rr

4p

rr

1Cln

(1105)

( ) ( )


λsdotsdotminus

λsdotsdot

+θ= 212

122

m

1

2

2

m

22

22 rr4

p

rrr

4rpC

ln

ln (1106)




02

rprC

m

m

m

1 =λsdotsdot

minus p

C2r m1m

λsdotsdot= (1107)


2m

2m

m1m C4

rprC +λsdotsdot




m

1

1

1

2rp

rC

λsdotsdot

minus (1110)

m

21

1 2rpCλsdotsdot

= (1111)


m

22

2m

21

22 4rpr

2rpC

λsdotsdot

+sdotλsdotsdot

minusθ= ln (1112)


( )222

m2m

21

2 rr4

prr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

+θ=θ ln (1113)


( )21

22

m2

1

m

21 rr

4p

rr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

=θ∆ ln (1114)


δsdot



∆λ∆

+λsdot

+λδsdot

∆+sdot+δsdot=λ

bi

m b22b22481 (1116)

sau

δsdotδsdot+

sdotδsdot+

sdotλ=λ2

2B2A

Aim (1117)












dtx

AdQ2 sdotpartθpart



dtdxxx

AdQ3 sdot

sdot

partθpart

+θsdotpartpart



dtdxt




( ) dtdxt

Acdtdxl

dtdxx

Ax

A

dtdx

AdtdxAj

dap

2

2

2

sdotsdotpartθpart


+sdotsdotpartθpart


sdotsdotλminus=

=sdotθpart


(1125)


( )ap2

2

2

d Al

jxt


sdotλ=partθpart

sdotρsdot (1126)


( )ad

p

d

2

2

2

Acl

cj

xa

tθminusθsdot

sdotρsdotsdotα

minusρsdotρsdot

+partθpart





=

partθpart

=partθpart 0

x0

t 2

2

şi


p

d

2

Acl

cj

τsdotsdotρsdot

α=

ρsdotρsdot


llA

lAIl

Aj

p2

2

p

2


=sdotαsdotρsdot

=τ (1130)


S

Ps sdotα=τ (1131)



τsdotsdotρsdot

sdotαminus

ρsdotρsdot

=θ

Acl

cj

dtd

d

p

d

2

(1132)


dtAc

ldt

cjd

d

p

d

2


sdotαminus

ρsdotρsdot

=τ (1134)

dtMcSdt

McPd sdotτsdot

sdotsdotα

minussdotsdot

=τ (1135)



S

McTsdotαsdot

= [s] (1138)


τminusτ

τ=

s

dTdt (1139)

Tdtd

s



( ) CTt



s0

s

Tt

τminusττminusτ

=minus ln (1143)

s0

sTt

eτminusττminusτ

=minus

(1144)


minusminusTt

sTt

0 e1e (1145)


minussdotτ=τ

minusTt

s e1 (1146)



Tdt

d s τminusτ=

τ (1147)


ABAM

dtd

=τ (1148)




Tt

s

e1minus

minus=ττ (1149)






Tt

s eT1

dtd minus


Rezultă succesiv

s

sTt

eττminusτ

=minus

(1151)

( )τminusτsdot=τ

sT1

dtd sau (1152)

dtdTsτ



t

Ts ∆τ∆





Tdtd

minus=ττ (1156)


ClnTtC


Adică TtCln

Tdt

eCeminus+minus


Tt

s eminus


Tt

i eminus






D

SD

SD

sp P

Pk =ττ

= (1161)



minussdotτ=τ

minusTt

sSD

i

e1 (1162)


Ttp i

e1

1kminus

minus= (1163)


Taylor pe Tti


Tt1e iT

t1

minusasympminus

(1164)


i

P tTk = (1165)


i

PI tTkk == (1166)







s

dTdt

ττ

= (1170)


Tt

s sdotτ=τ (1171)






r1

iA tt

tD+

= (1172)


100tt

tDri

iA sdot

+=[] (1173)




minussdotτ=τ

minusTt

s1

i

e1 (1174)

Tt

12

i

eminus

sdotτ=τ (1175)


minusminusTt

sTt

43

ii

e1e (1176)

Tt

34

r

eminus

sdotτ=τ (1177)

Tt

n2n2

r

eminus



minusminus

sdot+sdotTt

sTt

n21n2

ii

e1e (1179)


Tt

Tt

Tt

c

cr

e1

eeminus

minusminus

minus

minus=τmin (1181)


sTt

Tt

c

i

e1

e1τsdot

minus

minus=τ

minus

minus

max (1182)


Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=cong

minusminus

minusminus

congminus

minus=

ττ

=minus

minus

(1183)


A

pr D1kk == (1184)





x





















durată








scurtcircuit




lV V





z

qy

qx

q zzyyxx partθpart



sdotλminus= (117)

Rezultacircnd

sdot

partθpart




jy

ix



kz

jy

ix

sdotpartpart

+sdotpartpart

+sdotpartpart

=nabla (120)

Rezultă

pzyx

q 2

2

z2

2

y2

2

x =

partθpart

sdotλ+partθpart

sdotλ+partθpart



0pzyx 2

2

z2

2

y2

2

x =+partθpart

sdotλ+partθpart

sdotλ+partθpart

sdotλ (122)


0pzyx 2

2

2

2

2

2

=λ

+partθpart

+partθpart

+partθpart (123)


0pzr

1rr

1r 2

2

2

2

22

2

=λ

+partθpart

+ϕpartθpart

sdot+partθpart




0zyx 2

2

z2

2

y2

2

x =partθpart

sdotλ+partθpart

sdotλ+partθpart

sdotλ (126)


0zyx 2

2

2

2

2

2

=partθpart

+partθpart

+partθpart (127)


0zr

1rr

1r 2

2

2

2

22

2

=partθpart

+ϕpartθpart

sdot+partθpart



partθpart

+partθpart

+partθpart

sdot=partθpart

2

2

2

2

2

2

zyxa

t (129)


]sm[c

a 2

dρsdotλ

= (130)





ndndgradq sdotθ


QdndAdP 2

sdotsdot



dtdAdndQ sdotsdotθ





minus

sdotεsdot=

4a

4c

0r 100T

100TCq (136)


ac

4a

4c

0r TT100T

100T

Cminus

minus










căldură





0dxd

2

2

=θ (142)


1Cdxd

=θ (143)


21

211 xx

Cminusθminusθ

= (145)

12

21122 xx

xxCminus

θminusθ= (146)


dxdq θ

λminus= 12

12

xx minusθminusθ

λminus= (147)


qRq t sdot=sdotλδ

=θ∆ (148)


qn

n

2

2

1

1n21 sdot

λδ

++λδ

+λδ

=θ∆++θ∆+θ∆=θ∆ (151)




0rr

1r2

2

=partθpart



0drd

r1

drd

drd

=θ

sdot+

θ (153)

0drd

drd

drdr =

θ+

θ

sdot (154)

0drdr

drd

=

θsdot (155)

1Cdrdr =θ

sdot (156)

r



2

1

211

rrC

ln

θminusθ= (161)

2

1

21122

rr

rrCln



2

1

12

21

rr

rr

rr

ln






0pdxd

2

2

=λ

+θ (164)


1Cxpdxd

+sdotλ

minus=θ (165)

21

2

CxC2

xp+sdot+

λsdotsdot

minus=θ (166)



minusδsdotλsdot

= 211 2

pC (167)


1212 x

2px

2p

θ+sdot

δθminusθ

minusδsdotλsdot

+sdotλsdot

minus=θ (168)


x = xm avem 0dxd

mxx

=

θ

=


1m Cxp=sdot

λ (170)


δsdotλ

minusδ

= (171)


1m21

2m

m x2

p2

xpθ+sdot

δθminusθ

minusδsdotλsdot

+λsdot

sdotminus=θ (172)


2

xmδ

= (173)

2

1m 22p

δsdot

λsdot+θ=θ (174)


12 x

2px

2p

θ+sdotδsdotλsdot

+sdotλsdot

minus=θ (175)



0prr

1r2

2

=λ

+partθpart



2rp

rC

2rpC

r1

drd 1

2

1 sdotλ

minus=

sdot

λminussdot=

θ (177)

2

2

1 C4

rprC +λsdotsdot




0r

=

θ

=



λsdotsdot

+θ=4

rpC2

112 (180)


( ) 122

1 rr4

pθ+minussdot

λsdot=θ (181)



211 r

4p

sdotλsdot

+θ=θmax (182)


21r4

psdot










r

drl2


minus=θ (186)



θ

θ

2d

2D rdr

l2Pd

2

1

(187)

Rezultă

dD

l2P


+θ=θ (188)


1

aa2 SPqsdotα

+θ=α

+θ=θ (190)


lD



dD

l2P

lDP


+sdotsdotπsdotα

+θ=θ (193)


l4

pdD

l2P

lDP


sdotλsdotπsdot+




sdotλminus= (195)


sdotλminus= (196)

( )[ ] dxx8BA2l


minus=θ (197)



( )

( )intint

+sdot

δsdot++sdot

θ


BA2

8BA2 udu

l8Pd1

2 (198)


( )( )BA2

8BA2l8

P21 +sdot

δsdot++sdotsdot


+δsdot

+sdotsdotλsdot

+θ=θBA

41l8

P21 ln (1101)


BA

4BA

41+δsdot

cong

+δsdot

+ln (1102)

Rezultă

( )BAl2P


+θ=θ (1103)


( )[ ] ( )BAl2P

l8BA2P



+θ=θ (1104)








( ) ( )


λsdotsdot= 21

21

22

m

1

21 rr

4p

rr

1Cln

(1105)

( ) ( )


λsdotsdotminus

λsdotsdot

+θ= 212

122

m

1

2

2

m

22

22 rr4

p

rrr

4rpC

ln

ln (1106)




02

rprC

m

m

m

1 =λsdotsdot

minus p

C2r m1m

λsdotsdot= (1107)


2m

2m

m1m C4

rprC +λsdotsdot




m

1

1

1

2rp

rC

λsdotsdot

minus (1110)

m

21

1 2rpCλsdotsdot

= (1111)


m

22

2m

21

22 4rpr

2rpC

λsdotsdot

+sdotλsdotsdot

minusθ= ln (1112)


( )222

m2m

21

2 rr4

prr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

+θ=θ ln (1113)


( )21

22

m2

1

m

21 rr

4p

rr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

=θ∆ ln (1114)


δsdot



∆λ∆

+λsdot

+λδsdot

∆+sdot+δsdot=λ

bi

m b22b22481 (1116)

sau

δsdotδsdot+

sdotδsdot+

sdotλ=λ2

2B2A

Aim (1117)












dtx

AdQ2 sdotpartθpart



dtdxxx

AdQ3 sdot

sdot

partθpart

+θsdotpartpart



dtdxt




( ) dtdxt

Acdtdxl

dtdxx

Ax

A

dtdx

AdtdxAj

dap

2

2

2

sdotsdotpartθpart


+sdotsdotpartθpart


sdotsdotλminus=

=sdotθpart


(1125)


( )ap2

2

2

d Al

jxt


sdotλ=partθpart

sdotρsdot (1126)


( )ad

p

d

2

2

2

Acl

cj

xa

tθminusθsdot

sdotρsdotsdotα

minusρsdotρsdot

+partθpart





=

partθpart

=partθpart 0

x0

t 2

2

şi


p

d

2

Acl

cj

τsdotsdotρsdot

α=

ρsdotρsdot


llA

lAIl

Aj

p2

2

p

2


=sdotαsdotρsdot

=τ (1130)


S

Ps sdotα=τ (1131)



τsdotsdotρsdot

sdotαminus

ρsdotρsdot

=θ

Acl

cj

dtd

d

p

d

2

(1132)


dtAc

ldt

cjd

d

p

d

2


sdotαminus

ρsdotρsdot

=τ (1134)

dtMcSdt

McPd sdotτsdot

sdotsdotα

minussdotsdot

=τ (1135)



S

McTsdotαsdot

= [s] (1138)


τminusτ

τ=

s

dTdt (1139)

Tdtd

s



( ) CTt



s0

s

Tt

τminusττminusτ

=minus ln (1143)

s0

sTt

eτminusττminusτ

=minus

(1144)


minusminusTt

sTt

0 e1e (1145)


minussdotτ=τ

minusTt

s e1 (1146)



Tdt

d s τminusτ=

τ (1147)


ABAM

dtd

=τ (1148)




Tt

s

e1minus

minus=ττ (1149)






Tt

s eT1

dtd minus


Rezultă succesiv

s

sTt

eττminusτ

=minus

(1151)

( )τminusτsdot=τ

sT1

dtd sau (1152)

dtdTsτ



t

Ts ∆τ∆





Tdtd

minus=ττ (1156)


ClnTtC


Adică TtCln

Tdt

eCeminus+minus


Tt

s eminus


Tt

i eminus






D

SD

SD

sp P

Pk =ττ

= (1161)



minussdotτ=τ

minusTt

sSD

i

e1 (1162)


Ttp i

e1

1kminus

minus= (1163)


Taylor pe Tti


Tt1e iT

t1

minusasympminus

(1164)


i

P tTk = (1165)


i

PI tTkk == (1166)







s

dTdt

ττ

= (1170)


Tt

s sdotτ=τ (1171)






r1

iA tt

tD+

= (1172)


100tt

tDri

iA sdot

+=[] (1173)




minussdotτ=τ

minusTt

s1

i

e1 (1174)

Tt

12

i

eminus

sdotτ=τ (1175)


minusminusTt

sTt

43

ii

e1e (1176)

Tt

34

r

eminus

sdotτ=τ (1177)

Tt

n2n2

r

eminus



minusminus

sdot+sdotTt

sTt

n21n2

ii

e1e (1179)


Tt

Tt

Tt

c

cr

e1

eeminus

minusminus

minus

minus=τmin (1181)


sTt

Tt

c

i

e1

e1τsdot

minus

minus=τ

minus

minus

max (1182)


Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=cong

minusminus

minusminus

congminus

minus=

ττ

=minus

minus

(1183)


A

pr D1kk == (1184)





x





















durată








scurtcircuit


lV V





z

qy

qx

q zzyyxx partθpart



sdotλminus= (117)

Rezultacircnd

sdot

partθpart




jy

ix



kz

jy

ix

sdotpartpart

+sdotpartpart

+sdotpartpart

=nabla (120)

Rezultă

pzyx

q 2

2

z2

2

y2

2

x =

partθpart

sdotλ+partθpart

sdotλ+partθpart



0pzyx 2

2

z2

2

y2

2

x =+partθpart

sdotλ+partθpart

sdotλ+partθpart

sdotλ (122)


0pzyx 2

2

2

2

2

2

=λ

+partθpart

+partθpart

+partθpart (123)


0pzr

1rr

1r 2

2

2

2

22

2

=λ

+partθpart

+ϕpartθpart

sdot+partθpart




0zyx 2

2

z2

2

y2

2

x =partθpart

sdotλ+partθpart

sdotλ+partθpart

sdotλ (126)


0zyx 2

2

2

2

2

2

=partθpart

+partθpart

+partθpart (127)


0zr

1rr

1r 2

2

2

2

22

2

=partθpart

+ϕpartθpart

sdot+partθpart



partθpart

+partθpart

+partθpart

sdot=partθpart

2

2

2

2

2

2

zyxa

t (129)


]sm[c

a 2

dρsdotλ

= (130)





ndndgradq sdotθ


QdndAdP 2

sdotsdot



dtdAdndQ sdotsdotθ





minus

sdotεsdot=

4a

4c

0r 100T

100TCq (136)


ac

4a

4c

0r TT100T

100T

Cminus

minus










căldură





0dxd

2

2

=θ (142)


1Cdxd

=θ (143)


21

211 xx

Cminusθminusθ

= (145)

12

21122 xx

xxCminus

θminusθ= (146)


dxdq θ

λminus= 12

12

xx minusθminusθ

λminus= (147)


qRq t sdot=sdotλδ

=θ∆ (148)


qn

n

2

2

1

1n21 sdot

λδ

++λδ

+λδ

=θ∆++θ∆+θ∆=θ∆ (151)




0rr

1r2

2

=partθpart



0drd

r1

drd

drd

=θ

sdot+

θ (153)

0drd

drd

drdr =

θ+

θ

sdot (154)

0drdr

drd

=

θsdot (155)

1Cdrdr =θ

sdot (156)

r



2

1

211

rrC

ln

θminusθ= (161)

2

1

21122

rr

rrCln



2

1

12

21

rr

rr

rr

ln






0pdxd

2

2

=λ

+θ (164)


1Cxpdxd

+sdotλ

minus=θ (165)

21

2

CxC2

xp+sdot+

λsdotsdot

minus=θ (166)



minusδsdotλsdot

= 211 2

pC (167)


1212 x

2px

2p

θ+sdot

δθminusθ

minusδsdotλsdot

+sdotλsdot

minus=θ (168)


x = xm avem 0dxd

mxx

=

θ

=


1m Cxp=sdot

λ (170)


δsdotλ

minusδ

= (171)


1m21

2m

m x2

p2

xpθ+sdot

δθminusθ

minusδsdotλsdot

+λsdot

sdotminus=θ (172)


2

xmδ

= (173)

2

1m 22p

δsdot

λsdot+θ=θ (174)


12 x

2px

2p

θ+sdotδsdotλsdot

+sdotλsdot

minus=θ (175)



0prr

1r2

2

=λ

+partθpart



2rp

rC

2rpC

r1

drd 1

2

1 sdotλ

minus=

sdot

λminussdot=

θ (177)

2

2

1 C4

rprC +λsdotsdot




0r

=

θ

=



λsdotsdot

+θ=4

rpC2

112 (180)


( ) 122

1 rr4

pθ+minussdot

λsdot=θ (181)



211 r

4p

sdotλsdot

+θ=θmax (182)


21r4

psdot










r

drl2


minus=θ (186)



θ

θ

2d

2D rdr

l2Pd

2

1

(187)

Rezultă

dD

l2P


+θ=θ (188)


1

aa2 SPqsdotα

+θ=α

+θ=θ (190)


lD



dD

l2P

lDP


+sdotsdotπsdotα

+θ=θ (193)


l4

pdD

l2P

lDP


sdotλsdotπsdot+




sdotλminus= (195)


sdotλminus= (196)

( )[ ] dxx8BA2l


minus=θ (197)



( )

( )intint

+sdot

δsdot++sdot

θ


BA2

8BA2 udu

l8Pd1

2 (198)


( )( )BA2

8BA2l8

P21 +sdot

δsdot++sdotsdot


+δsdot

+sdotsdotλsdot

+θ=θBA

41l8

P21 ln (1101)


BA

4BA

41+δsdot

cong

+δsdot

+ln (1102)

Rezultă

( )BAl2P


+θ=θ (1103)


( )[ ] ( )BAl2P

l8BA2P



+θ=θ (1104)








( ) ( )


λsdotsdot= 21

21

22

m

1

21 rr

4p

rr

1Cln

(1105)

( ) ( )


λsdotsdotminus

λsdotsdot

+θ= 212

122

m

1

2

2

m

22

22 rr4

p

rrr

4rpC

ln

ln (1106)




02

rprC

m

m

m

1 =λsdotsdot

minus p

C2r m1m

λsdotsdot= (1107)


2m

2m

m1m C4

rprC +λsdotsdot




m

1

1

1

2rp

rC

λsdotsdot

minus (1110)

m

21

1 2rpCλsdotsdot

= (1111)


m

22

2m

21

22 4rpr

2rpC

λsdotsdot

+sdotλsdotsdot

minusθ= ln (1112)


( )222

m2m

21

2 rr4

prr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

+θ=θ ln (1113)


( )21

22

m2

1

m

21 rr

4p

rr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

=θ∆ ln (1114)


δsdot



∆λ∆

+λsdot

+λδsdot

∆+sdot+δsdot=λ

bi

m b22b22481 (1116)

sau

δsdotδsdot+

sdotδsdot+

sdotλ=λ2

2B2A

Aim (1117)












dtx

AdQ2 sdotpartθpart



dtdxxx

AdQ3 sdot

sdot

partθpart

+θsdotpartpart



dtdxt




( ) dtdxt

Acdtdxl

dtdxx

Ax

A

dtdx

AdtdxAj

dap

2

2

2

sdotsdotpartθpart


+sdotsdotpartθpart


sdotsdotλminus=

=sdotθpart


(1125)


( )ap2

2

2

d Al

jxt


sdotλ=partθpart

sdotρsdot (1126)


( )ad

p

d

2

2

2

Acl

cj

xa

tθminusθsdot

sdotρsdotsdotα

minusρsdotρsdot

+partθpart





=

partθpart

=partθpart 0

x0

t 2

2

şi


p

d

2

Acl

cj

τsdotsdotρsdot

α=

ρsdotρsdot


llA

lAIl

Aj

p2

2

p

2


=sdotαsdotρsdot

=τ (1130)


S

Ps sdotα=τ (1131)



τsdotsdotρsdot

sdotαminus

ρsdotρsdot

=θ

Acl

cj

dtd

d

p

d

2

(1132)


dtAc

ldt

cjd

d

p

d

2


sdotαminus

ρsdotρsdot

=τ (1134)

dtMcSdt

McPd sdotτsdot

sdotsdotα

minussdotsdot

=τ (1135)



S

McTsdotαsdot

= [s] (1138)


τminusτ

τ=

s

dTdt (1139)

Tdtd

s



( ) CTt



s0

s

Tt

τminusττminusτ

=minus ln (1143)

s0

sTt

eτminusττminusτ

=minus

(1144)


minusminusTt

sTt

0 e1e (1145)


minussdotτ=τ

minusTt

s e1 (1146)



Tdt

d s τminusτ=

τ (1147)


ABAM

dtd

=τ (1148)




Tt

s

e1minus

minus=ττ (1149)






Tt

s eT1

dtd minus


Rezultă succesiv

s

sTt

eττminusτ

=minus

(1151)

( )τminusτsdot=τ

sT1

dtd sau (1152)

dtdTsτ



t

Ts ∆τ∆





Tdtd

minus=ττ (1156)


ClnTtC


Adică TtCln

Tdt

eCeminus+minus


Tt

s eminus


Tt

i eminus






D

SD

SD

sp P

Pk =ττ

= (1161)



minussdotτ=τ

minusTt

sSD

i

e1 (1162)


Ttp i

e1

1kminus

minus= (1163)


Taylor pe Tti


Tt1e iT

t1

minusasympminus

(1164)


i

P tTk = (1165)


i

PI tTkk == (1166)







s

dTdt

ττ

= (1170)


Tt

s sdotτ=τ (1171)






r1

iA tt

tD+

= (1172)


100tt

tDri

iA sdot

+=[] (1173)




minussdotτ=τ

minusTt

s1

i

e1 (1174)

Tt

12

i

eminus

sdotτ=τ (1175)


minusminusTt

sTt

43

ii

e1e (1176)

Tt

34

r

eminus

sdotτ=τ (1177)

Tt

n2n2

r

eminus



minusminus

sdot+sdotTt

sTt

n21n2

ii

e1e (1179)


Tt

Tt

Tt

c

cr

e1

eeminus

minusminus

minus

minus=τmin (1181)


sTt

Tt

c

i

e1

e1τsdot

minus

minus=τ

minus

minus

max (1182)


Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=cong

minusminus

minusminus

congminus

minus=

ττ

=minus

minus

(1183)


A

pr D1kk == (1184)





x





















durată








scurtcircuit

z

qy

qx

q zzyyxx partθpart



sdotλminus= (117)

Rezultacircnd

sdot

partθpart




jy

ix



kz

jy

ix

sdotpartpart

+sdotpartpart

+sdotpartpart

=nabla (120)

Rezultă

pzyx

q 2

2

z2

2

y2

2

x =

partθpart

sdotλ+partθpart

sdotλ+partθpart



0pzyx 2

2

z2

2

y2

2

x =+partθpart

sdotλ+partθpart

sdotλ+partθpart

sdotλ (122)


0pzyx 2

2

2

2

2

2

=λ

+partθpart

+partθpart

+partθpart (123)


0pzr

1rr

1r 2

2

2

2

22

2

=λ

+partθpart

+ϕpartθpart

sdot+partθpart




0zyx 2

2

z2

2

y2

2

x =partθpart

sdotλ+partθpart

sdotλ+partθpart

sdotλ (126)


0zyx 2

2

2

2

2

2

=partθpart

+partθpart

+partθpart (127)


0zr

1rr

1r 2

2

2

2

22

2

=partθpart

+ϕpartθpart

sdot+partθpart



partθpart

+partθpart

+partθpart

sdot=partθpart

2

2

2

2

2

2

zyxa

t (129)


]sm[c

a 2

dρsdotλ

= (130)





ndndgradq sdotθ


QdndAdP 2

sdotsdot



dtdAdndQ sdotsdotθ





minus

sdotεsdot=

4a

4c

0r 100T

100TCq (136)


ac

4a

4c

0r TT100T

100T

Cminus

minus










căldură





0dxd

2

2

=θ (142)


1Cdxd

=θ (143)


21

211 xx

Cminusθminusθ

= (145)

12

21122 xx

xxCminus

θminusθ= (146)


dxdq θ

λminus= 12

12

xx minusθminusθ

λminus= (147)


qRq t sdot=sdotλδ

=θ∆ (148)


qn

n

2

2

1

1n21 sdot

λδ

++λδ

+λδ

=θ∆++θ∆+θ∆=θ∆ (151)




0rr

1r2

2

=partθpart



0drd

r1

drd

drd

=θ

sdot+

θ (153)

0drd

drd

drdr =

θ+

θ

sdot (154)

0drdr

drd

=

θsdot (155)

1Cdrdr =θ

sdot (156)

r



2

1

211

rrC

ln

θminusθ= (161)

2

1

21122

rr

rrCln



2

1

12

21

rr

rr

rr

ln






0pdxd

2

2

=λ

+θ (164)


1Cxpdxd

+sdotλ

minus=θ (165)

21

2

CxC2

xp+sdot+

λsdotsdot

minus=θ (166)



minusδsdotλsdot

= 211 2

pC (167)


1212 x

2px

2p

θ+sdot

δθminusθ

minusδsdotλsdot

+sdotλsdot

minus=θ (168)


x = xm avem 0dxd

mxx

=

θ

=


1m Cxp=sdot

λ (170)


δsdotλ

minusδ

= (171)


1m21

2m

m x2

p2

xpθ+sdot

δθminusθ

minusδsdotλsdot

+λsdot

sdotminus=θ (172)


2

xmδ

= (173)

2

1m 22p

δsdot

λsdot+θ=θ (174)


12 x

2px

2p

θ+sdotδsdotλsdot

+sdotλsdot

minus=θ (175)



0prr

1r2

2

=λ

+partθpart



2rp

rC

2rpC

r1

drd 1

2

1 sdotλ

minus=

sdot

λminussdot=

θ (177)

2

2

1 C4

rprC +λsdotsdot




0r

=

θ

=



λsdotsdot

+θ=4

rpC2

112 (180)


( ) 122

1 rr4

pθ+minussdot

λsdot=θ (181)



211 r

4p

sdotλsdot

+θ=θmax (182)


21r4

psdot










r

drl2


minus=θ (186)



θ

θ

2d

2D rdr

l2Pd

2

1

(187)

Rezultă

dD

l2P


+θ=θ (188)


1

aa2 SPqsdotα

+θ=α

+θ=θ (190)


lD



dD

l2P

lDP


+sdotsdotπsdotα

+θ=θ (193)


l4

pdD

l2P

lDP


sdotλsdotπsdot+




sdotλminus= (195)


sdotλminus= (196)

( )[ ] dxx8BA2l


minus=θ (197)



( )

( )intint

+sdot

δsdot++sdot

θ


BA2

8BA2 udu

l8Pd1

2 (198)


( )( )BA2

8BA2l8

P21 +sdot

δsdot++sdotsdot


+δsdot

+sdotsdotλsdot

+θ=θBA

41l8

P21 ln (1101)


BA

4BA

41+δsdot

cong

+δsdot

+ln (1102)

Rezultă

( )BAl2P


+θ=θ (1103)


( )[ ] ( )BAl2P

l8BA2P



+θ=θ (1104)








( ) ( )


λsdotsdot= 21

21

22

m

1

21 rr

4p

rr

1Cln

(1105)

( ) ( )


λsdotsdotminus

λsdotsdot

+θ= 212

122

m

1

2

2

m

22

22 rr4

p

rrr

4rpC

ln

ln (1106)




02

rprC

m

m

m

1 =λsdotsdot

minus p

C2r m1m

λsdotsdot= (1107)


2m

2m

m1m C4

rprC +λsdotsdot




m

1

1

1

2rp

rC

λsdotsdot

minus (1110)

m

21

1 2rpCλsdotsdot

= (1111)


m

22

2m

21

22 4rpr

2rpC

λsdotsdot

+sdotλsdotsdot

minusθ= ln (1112)


( )222

m2m

21

2 rr4

prr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

+θ=θ ln (1113)


( )21

22

m2

1

m

21 rr

4p

rr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

=θ∆ ln (1114)


δsdot



∆λ∆

+λsdot

+λδsdot

∆+sdot+δsdot=λ

bi

m b22b22481 (1116)

sau

δsdotδsdot+

sdotδsdot+

sdotλ=λ2

2B2A

Aim (1117)












dtx

AdQ2 sdotpartθpart



dtdxxx

AdQ3 sdot

sdot

partθpart

+θsdotpartpart



dtdxt




( ) dtdxt

Acdtdxl

dtdxx

Ax

A

dtdx

AdtdxAj

dap

2

2

2

sdotsdotpartθpart


+sdotsdotpartθpart


sdotsdotλminus=

=sdotθpart


(1125)


( )ap2

2

2

d Al

jxt


sdotλ=partθpart

sdotρsdot (1126)


( )ad

p

d

2

2

2

Acl

cj

xa

tθminusθsdot

sdotρsdotsdotα

minusρsdotρsdot

+partθpart





=

partθpart

=partθpart 0

x0

t 2

2

şi


p

d

2

Acl

cj

τsdotsdotρsdot

α=

ρsdotρsdot


llA

lAIl

Aj

p2

2

p

2


=sdotαsdotρsdot

=τ (1130)


S

Ps sdotα=τ (1131)



τsdotsdotρsdot

sdotαminus

ρsdotρsdot

=θ

Acl

cj

dtd

d

p

d

2

(1132)


dtAc

ldt

cjd

d

p

d

2


sdotαminus

ρsdotρsdot

=τ (1134)

dtMcSdt

McPd sdotτsdot

sdotsdotα

minussdotsdot

=τ (1135)



S

McTsdotαsdot

= [s] (1138)


τminusτ

τ=

s

dTdt (1139)

Tdtd

s



( ) CTt



s0

s

Tt

τminusττminusτ

=minus ln (1143)

s0

sTt

eτminusττminusτ

=minus

(1144)


minusminusTt

sTt

0 e1e (1145)


minussdotτ=τ

minusTt

s e1 (1146)



Tdt

d s τminusτ=

τ (1147)


ABAM

dtd

=τ (1148)




Tt

s

e1minus

minus=ττ (1149)






Tt

s eT1

dtd minus


Rezultă succesiv

s

sTt

eττminusτ

=minus

(1151)

( )τminusτsdot=τ

sT1

dtd sau (1152)

dtdTsτ



t

Ts ∆τ∆





Tdtd

minus=ττ (1156)


ClnTtC


Adică TtCln

Tdt

eCeminus+minus


Tt

s eminus


Tt

i eminus






D

SD

SD

sp P

Pk =ττ

= (1161)



minussdotτ=τ

minusTt

sSD

i

e1 (1162)


Ttp i

e1

1kminus

minus= (1163)


Taylor pe Tti


Tt1e iT

t1

minusasympminus

(1164)


i

P tTk = (1165)


i

PI tTkk == (1166)







s

dTdt

ττ

= (1170)


Tt

s sdotτ=τ (1171)






r1

iA tt

tD+

= (1172)


100tt

tDri

iA sdot

+=[] (1173)




minussdotτ=τ

minusTt

s1

i

e1 (1174)

Tt

12

i

eminus

sdotτ=τ (1175)


minusminusTt

sTt

43

ii

e1e (1176)

Tt

34

r

eminus

sdotτ=τ (1177)

Tt

n2n2

r

eminus



minusminus

sdot+sdotTt

sTt

n21n2

ii

e1e (1179)


Tt

Tt

Tt

c

cr

e1

eeminus

minusminus

minus

minus=τmin (1181)


sTt

Tt

c

i

e1

e1τsdot

minus

minus=τ

minus

minus

max (1182)


Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=cong

minusminus

minusminus

congminus

minus=

ττ

=minus

minus

(1183)


A

pr D1kk == (1184)





x





















durată








scurtcircuit


0zyx 2

2

z2

2

y2

2

x =partθpart

sdotλ+partθpart

sdotλ+partθpart

sdotλ (126)


0zyx 2

2

2

2

2

2

=partθpart

+partθpart

+partθpart (127)


0zr

1rr

1r 2

2

2

2

22

2

=partθpart

+ϕpartθpart

sdot+partθpart



partθpart

+partθpart

+partθpart

sdot=partθpart

2

2

2

2

2

2

zyxa

t (129)


]sm[c

a 2

dρsdotλ

= (130)





ndndgradq sdotθ


QdndAdP 2

sdotsdot



dtdAdndQ sdotsdotθ





minus

sdotεsdot=

4a

4c

0r 100T

100TCq (136)


ac

4a

4c

0r TT100T

100T

Cminus

minus










căldură





0dxd

2

2

=θ (142)


1Cdxd

=θ (143)


21

211 xx

Cminusθminusθ

= (145)

12

21122 xx

xxCminus

θminusθ= (146)


dxdq θ

λminus= 12

12

xx minusθminusθ

λminus= (147)


qRq t sdot=sdotλδ

=θ∆ (148)


qn

n

2

2

1

1n21 sdot

λδ

++λδ

+λδ

=θ∆++θ∆+θ∆=θ∆ (151)




0rr

1r2

2

=partθpart



0drd

r1

drd

drd

=θ

sdot+

θ (153)

0drd

drd

drdr =

θ+

θ

sdot (154)

0drdr

drd

=

θsdot (155)

1Cdrdr =θ

sdot (156)

r



2

1

211

rrC

ln

θminusθ= (161)

2

1

21122

rr

rrCln



2

1

12

21

rr

rr

rr

ln






0pdxd

2

2

=λ

+θ (164)


1Cxpdxd

+sdotλ

minus=θ (165)

21

2

CxC2

xp+sdot+

λsdotsdot

minus=θ (166)



minusδsdotλsdot

= 211 2

pC (167)


1212 x

2px

2p

θ+sdot

δθminusθ

minusδsdotλsdot

+sdotλsdot

minus=θ (168)


x = xm avem 0dxd

mxx

=

θ

=


1m Cxp=sdot

λ (170)


δsdotλ

minusδ

= (171)


1m21

2m

m x2

p2

xpθ+sdot

δθminusθ

minusδsdotλsdot

+λsdot

sdotminus=θ (172)


2

xmδ

= (173)

2

1m 22p

δsdot

λsdot+θ=θ (174)


12 x

2px

2p

θ+sdotδsdotλsdot

+sdotλsdot

minus=θ (175)



0prr

1r2

2

=λ

+partθpart



2rp

rC

2rpC

r1

drd 1

2

1 sdotλ

minus=

sdot

λminussdot=

θ (177)

2

2

1 C4

rprC +λsdotsdot




0r

=

θ

=



λsdotsdot

+θ=4

rpC2

112 (180)


( ) 122

1 rr4

pθ+minussdot

λsdot=θ (181)



211 r

4p

sdotλsdot

+θ=θmax (182)


21r4

psdot










r

drl2


minus=θ (186)



θ

θ

2d

2D rdr

l2Pd

2

1

(187)

Rezultă

dD

l2P


+θ=θ (188)


1

aa2 SPqsdotα

+θ=α

+θ=θ (190)


lD



dD

l2P

lDP


+sdotsdotπsdotα

+θ=θ (193)


l4

pdD

l2P

lDP


sdotλsdotπsdot+




sdotλminus= (195)


sdotλminus= (196)

( )[ ] dxx8BA2l


minus=θ (197)



( )

( )intint

+sdot

δsdot++sdot

θ


BA2

8BA2 udu

l8Pd1

2 (198)


( )( )BA2

8BA2l8

P21 +sdot

δsdot++sdotsdot


+δsdot

+sdotsdotλsdot

+θ=θBA

41l8

P21 ln (1101)


BA

4BA

41+δsdot

cong

+δsdot

+ln (1102)

Rezultă

( )BAl2P


+θ=θ (1103)


( )[ ] ( )BAl2P

l8BA2P



+θ=θ (1104)








( ) ( )


λsdotsdot= 21

21

22

m

1

21 rr

4p

rr

1Cln

(1105)

( ) ( )


λsdotsdotminus

λsdotsdot

+θ= 212

122

m

1

2

2

m

22

22 rr4

p

rrr

4rpC

ln

ln (1106)




02

rprC

m

m

m

1 =λsdotsdot

minus p

C2r m1m

λsdotsdot= (1107)


2m

2m

m1m C4

rprC +λsdotsdot




m

1

1

1

2rp

rC

λsdotsdot

minus (1110)

m

21

1 2rpCλsdotsdot

= (1111)


m

22

2m

21

22 4rpr

2rpC

λsdotsdot

+sdotλsdotsdot

minusθ= ln (1112)


( )222

m2m

21

2 rr4

prr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

+θ=θ ln (1113)


( )21

22

m2

1

m

21 rr

4p

rr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

=θ∆ ln (1114)


δsdot



∆λ∆

+λsdot

+λδsdot

∆+sdot+δsdot=λ

bi

m b22b22481 (1116)

sau

δsdotδsdot+

sdotδsdot+

sdotλ=λ2

2B2A

Aim (1117)












dtx

AdQ2 sdotpartθpart



dtdxxx

AdQ3 sdot

sdot

partθpart

+θsdotpartpart



dtdxt




( ) dtdxt

Acdtdxl

dtdxx

Ax

A

dtdx

AdtdxAj

dap

2

2

2

sdotsdotpartθpart


+sdotsdotpartθpart


sdotsdotλminus=

=sdotθpart


(1125)


( )ap2

2

2

d Al

jxt


sdotλ=partθpart

sdotρsdot (1126)


( )ad

p

d

2

2

2

Acl

cj

xa

tθminusθsdot

sdotρsdotsdotα

minusρsdotρsdot

+partθpart





=

partθpart

=partθpart 0

x0

t 2

2

şi


p

d

2

Acl

cj

τsdotsdotρsdot

α=

ρsdotρsdot


llA

lAIl

Aj

p2

2

p

2


=sdotαsdotρsdot

=τ (1130)


S

Ps sdotα=τ (1131)



τsdotsdotρsdot

sdotαminus

ρsdotρsdot

=θ

Acl

cj

dtd

d

p

d

2

(1132)


dtAc

ldt

cjd

d

p

d

2


sdotαminus

ρsdotρsdot

=τ (1134)

dtMcSdt

McPd sdotτsdot

sdotsdotα

minussdotsdot

=τ (1135)



S

McTsdotαsdot

= [s] (1138)


τminusτ

τ=

s

dTdt (1139)

Tdtd

s



( ) CTt



s0

s

Tt

τminusττminusτ

=minus ln (1143)

s0

sTt

eτminusττminusτ

=minus

(1144)


minusminusTt

sTt

0 e1e (1145)


minussdotτ=τ

minusTt

s e1 (1146)



Tdt

d s τminusτ=

τ (1147)


ABAM

dtd

=τ (1148)




Tt

s

e1minus

minus=ττ (1149)






Tt

s eT1

dtd minus


Rezultă succesiv

s

sTt

eττminusτ

=minus

(1151)

( )τminusτsdot=τ

sT1

dtd sau (1152)

dtdTsτ



t

Ts ∆τ∆





Tdtd

minus=ττ (1156)


ClnTtC


Adică TtCln

Tdt

eCeminus+minus


Tt

s eminus


Tt

i eminus






D

SD

SD

sp P

Pk =ττ

= (1161)



minussdotτ=τ

minusTt

sSD

i

e1 (1162)


Ttp i

e1

1kminus

minus= (1163)


Taylor pe Tti


Tt1e iT

t1

minusasympminus

(1164)


i

P tTk = (1165)


i

PI tTkk == (1166)







s

dTdt

ττ

= (1170)


Tt

s sdotτ=τ (1171)






r1

iA tt

tD+

= (1172)


100tt

tDri

iA sdot

+=[] (1173)




minussdotτ=τ

minusTt

s1

i

e1 (1174)

Tt

12

i

eminus

sdotτ=τ (1175)


minusminusTt

sTt

43

ii

e1e (1176)

Tt

34

r

eminus

sdotτ=τ (1177)

Tt

n2n2

r

eminus



minusminus

sdot+sdotTt

sTt

n21n2

ii

e1e (1179)


Tt

Tt

Tt

c

cr

e1

eeminus

minusminus

minus

minus=τmin (1181)


sTt

Tt

c

i

e1

e1τsdot

minus

minus=τ

minus

minus

max (1182)


Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=cong

minusminus

minusminus

congminus

minus=

ττ

=minus

minus

(1183)


A

pr D1kk == (1184)





x





















durată








scurtcircuit


ndndgradq sdotθ


QdndAdP 2

sdotsdot



dtdAdndQ sdotsdotθ





minus

sdotεsdot=

4a

4c

0r 100T

100TCq (136)


ac

4a

4c

0r TT100T

100T

Cminus

minus










căldură





0dxd

2

2

=θ (142)


1Cdxd

=θ (143)


21

211 xx

Cminusθminusθ

= (145)

12

21122 xx

xxCminus

θminusθ= (146)


dxdq θ

λminus= 12

12

xx minusθminusθ

λminus= (147)


qRq t sdot=sdotλδ

=θ∆ (148)


qn

n

2

2

1

1n21 sdot

λδ

++λδ

+λδ

=θ∆++θ∆+θ∆=θ∆ (151)




0rr

1r2

2

=partθpart



0drd

r1

drd

drd

=θ

sdot+

θ (153)

0drd

drd

drdr =

θ+

θ

sdot (154)

0drdr

drd

=

θsdot (155)

1Cdrdr =θ

sdot (156)

r



2

1

211

rrC

ln

θminusθ= (161)

2

1

21122

rr

rrCln



2

1

12

21

rr

rr

rr

ln






0pdxd

2

2

=λ

+θ (164)


1Cxpdxd

+sdotλ

minus=θ (165)

21

2

CxC2

xp+sdot+

λsdotsdot

minus=θ (166)



minusδsdotλsdot

= 211 2

pC (167)


1212 x

2px

2p

θ+sdot

δθminusθ

minusδsdotλsdot

+sdotλsdot

minus=θ (168)


x = xm avem 0dxd

mxx

=

θ

=


1m Cxp=sdot

λ (170)


δsdotλ

minusδ

= (171)


1m21

2m

m x2

p2

xpθ+sdot

δθminusθ

minusδsdotλsdot

+λsdot

sdotminus=θ (172)


2

xmδ

= (173)

2

1m 22p

δsdot

λsdot+θ=θ (174)


12 x

2px

2p

θ+sdotδsdotλsdot

+sdotλsdot

minus=θ (175)



0prr

1r2

2

=λ

+partθpart



2rp

rC

2rpC

r1

drd 1

2

1 sdotλ

minus=

sdot

λminussdot=

θ (177)

2

2

1 C4

rprC +λsdotsdot




0r

=

θ

=



λsdotsdot

+θ=4

rpC2

112 (180)


( ) 122

1 rr4

pθ+minussdot

λsdot=θ (181)



211 r

4p

sdotλsdot

+θ=θmax (182)


21r4

psdot










r

drl2


minus=θ (186)



θ

θ

2d

2D rdr

l2Pd

2

1

(187)

Rezultă

dD

l2P


+θ=θ (188)


1

aa2 SPqsdotα

+θ=α

+θ=θ (190)


lD



dD

l2P

lDP


+sdotsdotπsdotα

+θ=θ (193)


l4

pdD

l2P

lDP


sdotλsdotπsdot+




sdotλminus= (195)


sdotλminus= (196)

( )[ ] dxx8BA2l


minus=θ (197)



( )

( )intint

+sdot

δsdot++sdot

θ


BA2

8BA2 udu

l8Pd1

2 (198)


( )( )BA2

8BA2l8

P21 +sdot

δsdot++sdotsdot


+δsdot

+sdotsdotλsdot

+θ=θBA

41l8

P21 ln (1101)


BA

4BA

41+δsdot

cong

+δsdot

+ln (1102)

Rezultă

( )BAl2P


+θ=θ (1103)


( )[ ] ( )BAl2P

l8BA2P



+θ=θ (1104)








( ) ( )


λsdotsdot= 21

21

22

m

1

21 rr

4p

rr

1Cln

(1105)

( ) ( )


λsdotsdotminus

λsdotsdot

+θ= 212

122

m

1

2

2

m

22

22 rr4

p

rrr

4rpC

ln

ln (1106)




02

rprC

m

m

m

1 =λsdotsdot

minus p

C2r m1m

λsdotsdot= (1107)


2m

2m

m1m C4

rprC +λsdotsdot




m

1

1

1

2rp

rC

λsdotsdot

minus (1110)

m

21

1 2rpCλsdotsdot

= (1111)


m

22

2m

21

22 4rpr

2rpC

λsdotsdot

+sdotλsdotsdot

minusθ= ln (1112)


( )222

m2m

21

2 rr4

prr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

+θ=θ ln (1113)


( )21

22

m2

1

m

21 rr

4p

rr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

=θ∆ ln (1114)


δsdot



∆λ∆

+λsdot

+λδsdot

∆+sdot+δsdot=λ

bi

m b22b22481 (1116)

sau

δsdotδsdot+

sdotδsdot+

sdotλ=λ2

2B2A

Aim (1117)












dtx

AdQ2 sdotpartθpart



dtdxxx

AdQ3 sdot

sdot

partθpart

+θsdotpartpart



dtdxt




( ) dtdxt

Acdtdxl

dtdxx

Ax

A

dtdx

AdtdxAj

dap

2

2

2

sdotsdotpartθpart


+sdotsdotpartθpart


sdotsdotλminus=

=sdotθpart


(1125)


( )ap2

2

2

d Al

jxt


sdotλ=partθpart

sdotρsdot (1126)


( )ad

p

d

2

2

2

Acl

cj

xa

tθminusθsdot

sdotρsdotsdotα

minusρsdotρsdot

+partθpart





=

partθpart

=partθpart 0

x0

t 2

2

şi


p

d

2

Acl

cj

τsdotsdotρsdot

α=

ρsdotρsdot


llA

lAIl

Aj

p2

2

p

2


=sdotαsdotρsdot

=τ (1130)


S

Ps sdotα=τ (1131)



τsdotsdotρsdot

sdotαminus

ρsdotρsdot

=θ

Acl

cj

dtd

d

p

d

2

(1132)


dtAc

ldt

cjd

d

p

d

2


sdotαminus

ρsdotρsdot

=τ (1134)

dtMcSdt

McPd sdotτsdot

sdotsdotα

minussdotsdot

=τ (1135)



S

McTsdotαsdot

= [s] (1138)


τminusτ

τ=

s

dTdt (1139)

Tdtd

s



( ) CTt



s0

s

Tt

τminusττminusτ

=minus ln (1143)

s0

sTt

eτminusττminusτ

=minus

(1144)


minusminusTt

sTt

0 e1e (1145)


minussdotτ=τ

minusTt

s e1 (1146)



Tdt

d s τminusτ=

τ (1147)


ABAM

dtd

=τ (1148)




Tt

s

e1minus

minus=ττ (1149)






Tt

s eT1

dtd minus


Rezultă succesiv

s

sTt

eττminusτ

=minus

(1151)

( )τminusτsdot=τ

sT1

dtd sau (1152)

dtdTsτ



t

Ts ∆τ∆





Tdtd

minus=ττ (1156)


ClnTtC


Adică TtCln

Tdt

eCeminus+minus


Tt

s eminus


Tt

i eminus






D

SD

SD

sp P

Pk =ττ

= (1161)



minussdotτ=τ

minusTt

sSD

i

e1 (1162)


Ttp i

e1

1kminus

minus= (1163)


Taylor pe Tti


Tt1e iT

t1

minusasympminus

(1164)


i

P tTk = (1165)


i

PI tTkk == (1166)







s

dTdt

ττ

= (1170)


Tt

s sdotτ=τ (1171)






r1

iA tt

tD+

= (1172)


100tt

tDri

iA sdot

+=[] (1173)




minussdotτ=τ

minusTt

s1

i

e1 (1174)

Tt

12

i

eminus

sdotτ=τ (1175)


minusminusTt

sTt

43

ii

e1e (1176)

Tt

34

r

eminus

sdotτ=τ (1177)

Tt

n2n2

r

eminus



minusminus

sdot+sdotTt

sTt

n21n2

ii

e1e (1179)


Tt

Tt

Tt

c

cr

e1

eeminus

minusminus

minus

minus=τmin (1181)


sTt

Tt

c

i

e1

e1τsdot

minus

minus=τ

minus

minus

max (1182)


Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=cong

minusminus

minusminus

congminus

minus=

ττ

=minus

minus

(1183)


A

pr D1kk == (1184)





x





















durată








scurtcircuit



minus

sdotεsdot=

4a

4c

0r 100T

100TCq (136)


ac

4a

4c

0r TT100T

100T

Cminus

minus










căldură





0dxd

2

2

=θ (142)


1Cdxd

=θ (143)


21

211 xx

Cminusθminusθ

= (145)

12

21122 xx

xxCminus

θminusθ= (146)


dxdq θ

λminus= 12

12

xx minusθminusθ

λminus= (147)


qRq t sdot=sdotλδ

=θ∆ (148)


qn

n

2

2

1

1n21 sdot

λδ

++λδ

+λδ

=θ∆++θ∆+θ∆=θ∆ (151)




0rr

1r2

2

=partθpart



0drd

r1

drd

drd

=θ

sdot+

θ (153)

0drd

drd

drdr =

θ+

θ

sdot (154)

0drdr

drd

=

θsdot (155)

1Cdrdr =θ

sdot (156)

r



2

1

211

rrC

ln

θminusθ= (161)

2

1

21122

rr

rrCln



2

1

12

21

rr

rr

rr

ln






0pdxd

2

2

=λ

+θ (164)


1Cxpdxd

+sdotλ

minus=θ (165)

21

2

CxC2

xp+sdot+

λsdotsdot

minus=θ (166)



minusδsdotλsdot

= 211 2

pC (167)


1212 x

2px

2p

θ+sdot

δθminusθ

minusδsdotλsdot

+sdotλsdot

minus=θ (168)


x = xm avem 0dxd

mxx

=

θ

=


1m Cxp=sdot

λ (170)


δsdotλ

minusδ

= (171)


1m21

2m

m x2

p2

xpθ+sdot

δθminusθ

minusδsdotλsdot

+λsdot

sdotminus=θ (172)


2

xmδ

= (173)

2

1m 22p

δsdot

λsdot+θ=θ (174)


12 x

2px

2p

θ+sdotδsdotλsdot

+sdotλsdot

minus=θ (175)



0prr

1r2

2

=λ

+partθpart



2rp

rC

2rpC

r1

drd 1

2

1 sdotλ

minus=

sdot

λminussdot=

θ (177)

2

2

1 C4

rprC +λsdotsdot




0r

=

θ

=



λsdotsdot

+θ=4

rpC2

112 (180)


( ) 122

1 rr4

pθ+minussdot

λsdot=θ (181)



211 r

4p

sdotλsdot

+θ=θmax (182)


21r4

psdot










r

drl2


minus=θ (186)



θ

θ

2d

2D rdr

l2Pd

2

1

(187)

Rezultă

dD

l2P


+θ=θ (188)


1

aa2 SPqsdotα

+θ=α

+θ=θ (190)


lD



dD

l2P

lDP


+sdotsdotπsdotα

+θ=θ (193)


l4

pdD

l2P

lDP


sdotλsdotπsdot+




sdotλminus= (195)


sdotλminus= (196)

( )[ ] dxx8BA2l


minus=θ (197)



( )

( )intint

+sdot

δsdot++sdot

θ


BA2

8BA2 udu

l8Pd1

2 (198)


( )( )BA2

8BA2l8

P21 +sdot

δsdot++sdotsdot


+δsdot

+sdotsdotλsdot

+θ=θBA

41l8

P21 ln (1101)


BA

4BA

41+δsdot

cong

+δsdot

+ln (1102)

Rezultă

( )BAl2P


+θ=θ (1103)


( )[ ] ( )BAl2P

l8BA2P



+θ=θ (1104)








( ) ( )


λsdotsdot= 21

21

22

m

1

21 rr

4p

rr

1Cln

(1105)

( ) ( )


λsdotsdotminus

λsdotsdot

+θ= 212

122

m

1

2

2

m

22

22 rr4

p

rrr

4rpC

ln

ln (1106)




02

rprC

m

m

m

1 =λsdotsdot

minus p

C2r m1m

λsdotsdot= (1107)


2m

2m

m1m C4

rprC +λsdotsdot




m

1

1

1

2rp

rC

λsdotsdot

minus (1110)

m

21

1 2rpCλsdotsdot

= (1111)


m

22

2m

21

22 4rpr

2rpC

λsdotsdot

+sdotλsdotsdot

minusθ= ln (1112)


( )222

m2m

21

2 rr4

prr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

+θ=θ ln (1113)


( )21

22

m2

1

m

21 rr

4p

rr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

=θ∆ ln (1114)


δsdot



∆λ∆

+λsdot

+λδsdot

∆+sdot+δsdot=λ

bi

m b22b22481 (1116)

sau

δsdotδsdot+

sdotδsdot+

sdotλ=λ2

2B2A

Aim (1117)












dtx

AdQ2 sdotpartθpart



dtdxxx

AdQ3 sdot

sdot

partθpart

+θsdotpartpart



dtdxt




( ) dtdxt

Acdtdxl

dtdxx

Ax

A

dtdx

AdtdxAj

dap

2

2

2

sdotsdotpartθpart


+sdotsdotpartθpart


sdotsdotλminus=

=sdotθpart


(1125)


( )ap2

2

2

d Al

jxt


sdotλ=partθpart

sdotρsdot (1126)


( )ad

p

d

2

2

2

Acl

cj

xa

tθminusθsdot

sdotρsdotsdotα

minusρsdotρsdot

+partθpart





=

partθpart

=partθpart 0

x0

t 2

2

şi


p

d

2

Acl

cj

τsdotsdotρsdot

α=

ρsdotρsdot


llA

lAIl

Aj

p2

2

p

2


=sdotαsdotρsdot

=τ (1130)


S

Ps sdotα=τ (1131)



τsdotsdotρsdot

sdotαminus

ρsdotρsdot

=θ

Acl

cj

dtd

d

p

d

2

(1132)


dtAc

ldt

cjd

d

p

d

2


sdotαminus

ρsdotρsdot

=τ (1134)

dtMcSdt

McPd sdotτsdot

sdotsdotα

minussdotsdot

=τ (1135)



S

McTsdotαsdot

= [s] (1138)


τminusτ

τ=

s

dTdt (1139)

Tdtd

s



( ) CTt



s0

s

Tt

τminusττminusτ

=minus ln (1143)

s0

sTt

eτminusττminusτ

=minus

(1144)


minusminusTt

sTt

0 e1e (1145)


minussdotτ=τ

minusTt

s e1 (1146)



Tdt

d s τminusτ=

τ (1147)


ABAM

dtd

=τ (1148)




Tt

s

e1minus

minus=ττ (1149)






Tt

s eT1

dtd minus


Rezultă succesiv

s

sTt

eττminusτ

=minus

(1151)

( )τminusτsdot=τ

sT1

dtd sau (1152)

dtdTsτ



t

Ts ∆τ∆





Tdtd

minus=ττ (1156)


ClnTtC


Adică TtCln

Tdt

eCeminus+minus


Tt

s eminus


Tt

i eminus






D

SD

SD

sp P

Pk =ττ

= (1161)



minussdotτ=τ

minusTt

sSD

i

e1 (1162)


Ttp i

e1

1kminus

minus= (1163)


Taylor pe Tti


Tt1e iT

t1

minusasympminus

(1164)


i

P tTk = (1165)


i

PI tTkk == (1166)







s

dTdt

ττ

= (1170)


Tt

s sdotτ=τ (1171)






r1

iA tt

tD+

= (1172)


100tt

tDri

iA sdot

+=[] (1173)




minussdotτ=τ

minusTt

s1

i

e1 (1174)

Tt

12

i

eminus

sdotτ=τ (1175)


minusminusTt

sTt

43

ii

e1e (1176)

Tt

34

r

eminus

sdotτ=τ (1177)

Tt

n2n2

r

eminus



minusminus

sdot+sdotTt

sTt

n21n2

ii

e1e (1179)


Tt

Tt

Tt

c

cr

e1

eeminus

minusminus

minus

minus=τmin (1181)


sTt

Tt

c

i

e1

e1τsdot

minus

minus=τ

minus

minus

max (1182)


Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=cong

minusminus

minusminus

congminus

minus=

ττ

=minus

minus

(1183)


A

pr D1kk == (1184)





x





















durată








scurtcircuit







căldură





0dxd

2

2

=θ (142)


1Cdxd

=θ (143)


21

211 xx

Cminusθminusθ

= (145)

12

21122 xx

xxCminus

θminusθ= (146)


dxdq θ

λminus= 12

12

xx minusθminusθ

λminus= (147)


qRq t sdot=sdotλδ

=θ∆ (148)


qn

n

2

2

1

1n21 sdot

λδ

++λδ

+λδ

=θ∆++θ∆+θ∆=θ∆ (151)




0rr

1r2

2

=partθpart



0drd

r1

drd

drd

=θ

sdot+

θ (153)

0drd

drd

drdr =

θ+

θ

sdot (154)

0drdr

drd

=

θsdot (155)

1Cdrdr =θ

sdot (156)

r



2

1

211

rrC

ln

θminusθ= (161)

2

1

21122

rr

rrCln



2

1

12

21

rr

rr

rr

ln






0pdxd

2

2

=λ

+θ (164)


1Cxpdxd

+sdotλ

minus=θ (165)

21

2

CxC2

xp+sdot+

λsdotsdot

minus=θ (166)



minusδsdotλsdot

= 211 2

pC (167)


1212 x

2px

2p

θ+sdot

δθminusθ

minusδsdotλsdot

+sdotλsdot

minus=θ (168)


x = xm avem 0dxd

mxx

=

θ

=


1m Cxp=sdot

λ (170)


δsdotλ

minusδ

= (171)


1m21

2m

m x2

p2

xpθ+sdot

δθminusθ

minusδsdotλsdot

+λsdot

sdotminus=θ (172)


2

xmδ

= (173)

2

1m 22p

δsdot

λsdot+θ=θ (174)


12 x

2px

2p

θ+sdotδsdotλsdot

+sdotλsdot

minus=θ (175)



0prr

1r2

2

=λ

+partθpart



2rp

rC

2rpC

r1

drd 1

2

1 sdotλ

minus=

sdot

λminussdot=

θ (177)

2

2

1 C4

rprC +λsdotsdot




0r

=

θ

=



λsdotsdot

+θ=4

rpC2

112 (180)


( ) 122

1 rr4

pθ+minussdot

λsdot=θ (181)



211 r

4p

sdotλsdot

+θ=θmax (182)


21r4

psdot










r

drl2


minus=θ (186)



θ

θ

2d

2D rdr

l2Pd

2

1

(187)

Rezultă

dD

l2P


+θ=θ (188)


1

aa2 SPqsdotα

+θ=α

+θ=θ (190)


lD



dD

l2P

lDP


+sdotsdotπsdotα

+θ=θ (193)


l4

pdD

l2P

lDP


sdotλsdotπsdot+




sdotλminus= (195)


sdotλminus= (196)

( )[ ] dxx8BA2l


minus=θ (197)



( )

( )intint

+sdot

δsdot++sdot

θ


BA2

8BA2 udu

l8Pd1

2 (198)


( )( )BA2

8BA2l8

P21 +sdot

δsdot++sdotsdot


+δsdot

+sdotsdotλsdot

+θ=θBA

41l8

P21 ln (1101)


BA

4BA

41+δsdot

cong

+δsdot

+ln (1102)

Rezultă

( )BAl2P


+θ=θ (1103)


( )[ ] ( )BAl2P

l8BA2P



+θ=θ (1104)








( ) ( )


λsdotsdot= 21

21

22

m

1

21 rr

4p

rr

1Cln

(1105)

( ) ( )


λsdotsdotminus

λsdotsdot

+θ= 212

122

m

1

2

2

m

22

22 rr4

p

rrr

4rpC

ln

ln (1106)




02

rprC

m

m

m

1 =λsdotsdot

minus p

C2r m1m

λsdotsdot= (1107)


2m

2m

m1m C4

rprC +λsdotsdot




m

1

1

1

2rp

rC

λsdotsdot

minus (1110)

m

21

1 2rpCλsdotsdot

= (1111)


m

22

2m

21

22 4rpr

2rpC

λsdotsdot

+sdotλsdotsdot

minusθ= ln (1112)


( )222

m2m

21

2 rr4

prr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

+θ=θ ln (1113)


( )21

22

m2

1

m

21 rr

4p

rr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

=θ∆ ln (1114)


δsdot



∆λ∆

+λsdot

+λδsdot

∆+sdot+δsdot=λ

bi

m b22b22481 (1116)

sau

δsdotδsdot+

sdotδsdot+

sdotλ=λ2

2B2A

Aim (1117)












dtx

AdQ2 sdotpartθpart



dtdxxx

AdQ3 sdot

sdot

partθpart

+θsdotpartpart



dtdxt




( ) dtdxt

Acdtdxl

dtdxx

Ax

A

dtdx

AdtdxAj

dap

2

2

2

sdotsdotpartθpart


+sdotsdotpartθpart


sdotsdotλminus=

=sdotθpart


(1125)


( )ap2

2

2

d Al

jxt


sdotλ=partθpart

sdotρsdot (1126)


( )ad

p

d

2

2

2

Acl

cj

xa

tθminusθsdot

sdotρsdotsdotα

minusρsdotρsdot

+partθpart





=

partθpart

=partθpart 0

x0

t 2

2

şi


p

d

2

Acl

cj

τsdotsdotρsdot

α=

ρsdotρsdot


llA

lAIl

Aj

p2

2

p

2


=sdotαsdotρsdot

=τ (1130)


S

Ps sdotα=τ (1131)



τsdotsdotρsdot

sdotαminus

ρsdotρsdot

=θ

Acl

cj

dtd

d

p

d

2

(1132)


dtAc

ldt

cjd

d

p

d

2


sdotαminus

ρsdotρsdot

=τ (1134)

dtMcSdt

McPd sdotτsdot

sdotsdotα

minussdotsdot

=τ (1135)



S

McTsdotαsdot

= [s] (1138)


τminusτ

τ=

s

dTdt (1139)

Tdtd

s



( ) CTt



s0

s

Tt

τminusττminusτ

=minus ln (1143)

s0

sTt

eτminusττminusτ

=minus

(1144)


minusminusTt

sTt

0 e1e (1145)


minussdotτ=τ

minusTt

s e1 (1146)



Tdt

d s τminusτ=

τ (1147)


ABAM

dtd

=τ (1148)




Tt

s

e1minus

minus=ττ (1149)






Tt

s eT1

dtd minus


Rezultă succesiv

s

sTt

eττminusτ

=minus

(1151)

( )τminusτsdot=τ

sT1

dtd sau (1152)

dtdTsτ



t

Ts ∆τ∆





Tdtd

minus=ττ (1156)


ClnTtC


Adică TtCln

Tdt

eCeminus+minus


Tt

s eminus


Tt

i eminus






D

SD

SD

sp P

Pk =ττ

= (1161)



minussdotτ=τ

minusTt

sSD

i

e1 (1162)


Ttp i

e1

1kminus

minus= (1163)


Taylor pe Tti


Tt1e iT

t1

minusasympminus

(1164)


i

P tTk = (1165)


i

PI tTkk == (1166)







s

dTdt

ττ

= (1170)


Tt

s sdotτ=τ (1171)






r1

iA tt

tD+

= (1172)


100tt

tDri

iA sdot

+=[] (1173)




minussdotτ=τ

minusTt

s1

i

e1 (1174)

Tt

12

i

eminus

sdotτ=τ (1175)


minusminusTt

sTt

43

ii

e1e (1176)

Tt

34

r

eminus

sdotτ=τ (1177)

Tt

n2n2

r

eminus



minusminus

sdot+sdotTt

sTt

n21n2

ii

e1e (1179)


Tt

Tt

Tt

c

cr

e1

eeminus

minusminus

minus

minus=τmin (1181)


sTt

Tt

c

i

e1

e1τsdot

minus

minus=τ

minus

minus

max (1182)


Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=cong

minusminus

minusminus

congminus

minus=

ττ

=minus

minus

(1183)


A

pr D1kk == (1184)





x





















durată








scurtcircuit


căldură





0dxd

2

2

=θ (142)


1Cdxd

=θ (143)


21

211 xx

Cminusθminusθ

= (145)

12

21122 xx

xxCminus

θminusθ= (146)


dxdq θ

λminus= 12

12

xx minusθminusθ

λminus= (147)


qRq t sdot=sdotλδ

=θ∆ (148)


qn

n

2

2

1

1n21 sdot

λδ

++λδ

+λδ

=θ∆++θ∆+θ∆=θ∆ (151)




0rr

1r2

2

=partθpart



0drd

r1

drd

drd

=θ

sdot+

θ (153)

0drd

drd

drdr =

θ+

θ

sdot (154)

0drdr

drd

=

θsdot (155)

1Cdrdr =θ

sdot (156)

r



2

1

211

rrC

ln

θminusθ= (161)

2

1

21122

rr

rrCln



2

1

12

21

rr

rr

rr

ln






0pdxd

2

2

=λ

+θ (164)


1Cxpdxd

+sdotλ

minus=θ (165)

21

2

CxC2

xp+sdot+

λsdotsdot

minus=θ (166)



minusδsdotλsdot

= 211 2

pC (167)


1212 x

2px

2p

θ+sdot

δθminusθ

minusδsdotλsdot

+sdotλsdot

minus=θ (168)


x = xm avem 0dxd

mxx

=

θ

=


1m Cxp=sdot

λ (170)


δsdotλ

minusδ

= (171)


1m21

2m

m x2

p2

xpθ+sdot

δθminusθ

minusδsdotλsdot

+λsdot

sdotminus=θ (172)


2

xmδ

= (173)

2

1m 22p

δsdot

λsdot+θ=θ (174)


12 x

2px

2p

θ+sdotδsdotλsdot

+sdotλsdot

minus=θ (175)



0prr

1r2

2

=λ

+partθpart



2rp

rC

2rpC

r1

drd 1

2

1 sdotλ

minus=

sdot

λminussdot=

θ (177)

2

2

1 C4

rprC +λsdotsdot




0r

=

θ

=



λsdotsdot

+θ=4

rpC2

112 (180)


( ) 122

1 rr4

pθ+minussdot

λsdot=θ (181)



211 r

4p

sdotλsdot

+θ=θmax (182)


21r4

psdot










r

drl2


minus=θ (186)



θ

θ

2d

2D rdr

l2Pd

2

1

(187)

Rezultă

dD

l2P


+θ=θ (188)


1

aa2 SPqsdotα

+θ=α

+θ=θ (190)


lD



dD

l2P

lDP


+sdotsdotπsdotα

+θ=θ (193)


l4

pdD

l2P

lDP


sdotλsdotπsdot+




sdotλminus= (195)


sdotλminus= (196)

( )[ ] dxx8BA2l


minus=θ (197)



( )

( )intint

+sdot

δsdot++sdot

θ


BA2

8BA2 udu

l8Pd1

2 (198)


( )( )BA2

8BA2l8

P21 +sdot

δsdot++sdotsdot


+δsdot

+sdotsdotλsdot

+θ=θBA

41l8

P21 ln (1101)


BA

4BA

41+δsdot

cong

+δsdot

+ln (1102)

Rezultă

( )BAl2P


+θ=θ (1103)


( )[ ] ( )BAl2P

l8BA2P



+θ=θ (1104)








( ) ( )


λsdotsdot= 21

21

22

m

1

21 rr

4p

rr

1Cln

(1105)

( ) ( )


λsdotsdotminus

λsdotsdot

+θ= 212

122

m

1

2

2

m

22

22 rr4

p

rrr

4rpC

ln

ln (1106)




02

rprC

m

m

m

1 =λsdotsdot

minus p

C2r m1m

λsdotsdot= (1107)


2m

2m

m1m C4

rprC +λsdotsdot




m

1

1

1

2rp

rC

λsdotsdot

minus (1110)

m

21

1 2rpCλsdotsdot

= (1111)


m

22

2m

21

22 4rpr

2rpC

λsdotsdot

+sdotλsdotsdot

minusθ= ln (1112)


( )222

m2m

21

2 rr4

prr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

+θ=θ ln (1113)


( )21

22

m2

1

m

21 rr

4p

rr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

=θ∆ ln (1114)


δsdot



∆λ∆

+λsdot

+λδsdot

∆+sdot+δsdot=λ

bi

m b22b22481 (1116)

sau

δsdotδsdot+

sdotδsdot+

sdotλ=λ2

2B2A

Aim (1117)












dtx

AdQ2 sdotpartθpart



dtdxxx

AdQ3 sdot

sdot

partθpart

+θsdotpartpart



dtdxt




( ) dtdxt

Acdtdxl

dtdxx

Ax

A

dtdx

AdtdxAj

dap

2

2

2

sdotsdotpartθpart


+sdotsdotpartθpart


sdotsdotλminus=

=sdotθpart


(1125)


( )ap2

2

2

d Al

jxt


sdotλ=partθpart

sdotρsdot (1126)


( )ad

p

d

2

2

2

Acl

cj

xa

tθminusθsdot

sdotρsdotsdotα

minusρsdotρsdot

+partθpart





=

partθpart

=partθpart 0

x0

t 2

2

şi


p

d

2

Acl

cj

τsdotsdotρsdot

α=

ρsdotρsdot


llA

lAIl

Aj

p2

2

p

2


=sdotαsdotρsdot

=τ (1130)


S

Ps sdotα=τ (1131)



τsdotsdotρsdot

sdotαminus

ρsdotρsdot

=θ

Acl

cj

dtd

d

p

d

2

(1132)


dtAc

ldt

cjd

d

p

d

2


sdotαminus

ρsdotρsdot

=τ (1134)

dtMcSdt

McPd sdotτsdot

sdotsdotα

minussdotsdot

=τ (1135)



S

McTsdotαsdot

= [s] (1138)


τminusτ

τ=

s

dTdt (1139)

Tdtd

s



( ) CTt



s0

s

Tt

τminusττminusτ

=minus ln (1143)

s0

sTt

eτminusττminusτ

=minus

(1144)


minusminusTt

sTt

0 e1e (1145)


minussdotτ=τ

minusTt

s e1 (1146)



Tdt

d s τminusτ=

τ (1147)


ABAM

dtd

=τ (1148)




Tt

s

e1minus

minus=ττ (1149)






Tt

s eT1

dtd minus


Rezultă succesiv

s

sTt

eττminusτ

=minus

(1151)

( )τminusτsdot=τ

sT1

dtd sau (1152)

dtdTsτ



t

Ts ∆τ∆





Tdtd

minus=ττ (1156)


ClnTtC


Adică TtCln

Tdt

eCeminus+minus


Tt

s eminus


Tt

i eminus






D

SD

SD

sp P

Pk =ττ

= (1161)



minussdotτ=τ

minusTt

sSD

i

e1 (1162)


Ttp i

e1

1kminus

minus= (1163)


Taylor pe Tti


Tt1e iT

t1

minusasympminus

(1164)


i

P tTk = (1165)


i

PI tTkk == (1166)







s

dTdt

ττ

= (1170)


Tt

s sdotτ=τ (1171)






r1

iA tt

tD+

= (1172)


100tt

tDri

iA sdot

+=[] (1173)




minussdotτ=τ

minusTt

s1

i

e1 (1174)

Tt

12

i

eminus

sdotτ=τ (1175)


minusminusTt

sTt

43

ii

e1e (1176)

Tt

34

r

eminus

sdotτ=τ (1177)

Tt

n2n2

r

eminus



minusminus

sdot+sdotTt

sTt

n21n2

ii

e1e (1179)


Tt

Tt

Tt

c

cr

e1

eeminus

minusminus

minus

minus=τmin (1181)


sTt

Tt

c

i

e1

e1τsdot

minus

minus=τ

minus

minus

max (1182)


Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=cong

minusminus

minusminus

congminus

minus=

ττ

=minus

minus

(1183)


A

pr D1kk == (1184)





x





















durată








scurtcircuit

0dxd

2

2

=θ (142)


1Cdxd

=θ (143)


21

211 xx

Cminusθminusθ

= (145)

12

21122 xx

xxCminus

θminusθ= (146)


dxdq θ

λminus= 12

12

xx minusθminusθ

λminus= (147)


qRq t sdot=sdotλδ

=θ∆ (148)


qn

n

2

2

1

1n21 sdot

λδ

++λδ

+λδ

=θ∆++θ∆+θ∆=θ∆ (151)




0rr

1r2

2

=partθpart



0drd

r1

drd

drd

=θ

sdot+

θ (153)

0drd

drd

drdr =

θ+

θ

sdot (154)

0drdr

drd

=

θsdot (155)

1Cdrdr =θ

sdot (156)

r



2

1

211

rrC

ln

θminusθ= (161)

2

1

21122

rr

rrCln



2

1

12

21

rr

rr

rr

ln






0pdxd

2

2

=λ

+θ (164)


1Cxpdxd

+sdotλ

minus=θ (165)

21

2

CxC2

xp+sdot+

λsdotsdot

minus=θ (166)



minusδsdotλsdot

= 211 2

pC (167)


1212 x

2px

2p

θ+sdot

δθminusθ

minusδsdotλsdot

+sdotλsdot

minus=θ (168)


x = xm avem 0dxd

mxx

=

θ

=


1m Cxp=sdot

λ (170)


δsdotλ

minusδ

= (171)


1m21

2m

m x2

p2

xpθ+sdot

δθminusθ

minusδsdotλsdot

+λsdot

sdotminus=θ (172)


2

xmδ

= (173)

2

1m 22p

δsdot

λsdot+θ=θ (174)


12 x

2px

2p

θ+sdotδsdotλsdot

+sdotλsdot

minus=θ (175)



0prr

1r2

2

=λ

+partθpart



2rp

rC

2rpC

r1

drd 1

2

1 sdotλ

minus=

sdot

λminussdot=

θ (177)

2

2

1 C4

rprC +λsdotsdot




0r

=

θ

=



λsdotsdot

+θ=4

rpC2

112 (180)


( ) 122

1 rr4

pθ+minussdot

λsdot=θ (181)



211 r

4p

sdotλsdot

+θ=θmax (182)


21r4

psdot










r

drl2


minus=θ (186)



θ

θ

2d

2D rdr

l2Pd

2

1

(187)

Rezultă

dD

l2P


+θ=θ (188)


1

aa2 SPqsdotα

+θ=α

+θ=θ (190)


lD



dD

l2P

lDP


+sdotsdotπsdotα

+θ=θ (193)


l4

pdD

l2P

lDP


sdotλsdotπsdot+




sdotλminus= (195)


sdotλminus= (196)

( )[ ] dxx8BA2l


minus=θ (197)



( )

( )intint

+sdot

δsdot++sdot

θ


BA2

8BA2 udu

l8Pd1

2 (198)


( )( )BA2

8BA2l8

P21 +sdot

δsdot++sdotsdot


+δsdot

+sdotsdotλsdot

+θ=θBA

41l8

P21 ln (1101)


BA

4BA

41+δsdot

cong

+δsdot

+ln (1102)

Rezultă

( )BAl2P


+θ=θ (1103)


( )[ ] ( )BAl2P

l8BA2P



+θ=θ (1104)








( ) ( )


λsdotsdot= 21

21

22

m

1

21 rr

4p

rr

1Cln

(1105)

( ) ( )


λsdotsdotminus

λsdotsdot

+θ= 212

122

m

1

2

2

m

22

22 rr4

p

rrr

4rpC

ln

ln (1106)




02

rprC

m

m

m

1 =λsdotsdot

minus p

C2r m1m

λsdotsdot= (1107)


2m

2m

m1m C4

rprC +λsdotsdot




m

1

1

1

2rp

rC

λsdotsdot

minus (1110)

m

21

1 2rpCλsdotsdot

= (1111)


m

22

2m

21

22 4rpr

2rpC

λsdotsdot

+sdotλsdotsdot

minusθ= ln (1112)


( )222

m2m

21

2 rr4

prr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

+θ=θ ln (1113)


( )21

22

m2

1

m

21 rr

4p

rr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

=θ∆ ln (1114)


δsdot



∆λ∆

+λsdot

+λδsdot

∆+sdot+δsdot=λ

bi

m b22b22481 (1116)

sau

δsdotδsdot+

sdotδsdot+

sdotλ=λ2

2B2A

Aim (1117)












dtx

AdQ2 sdotpartθpart



dtdxxx

AdQ3 sdot

sdot

partθpart

+θsdotpartpart



dtdxt




( ) dtdxt

Acdtdxl

dtdxx

Ax

A

dtdx

AdtdxAj

dap

2

2

2

sdotsdotpartθpart


+sdotsdotpartθpart


sdotsdotλminus=

=sdotθpart


(1125)


( )ap2

2

2

d Al

jxt


sdotλ=partθpart

sdotρsdot (1126)


( )ad

p

d

2

2

2

Acl

cj

xa

tθminusθsdot

sdotρsdotsdotα

minusρsdotρsdot

+partθpart





=

partθpart

=partθpart 0

x0

t 2

2

şi


p

d

2

Acl

cj

τsdotsdotρsdot

α=

ρsdotρsdot


llA

lAIl

Aj

p2

2

p

2


=sdotαsdotρsdot

=τ (1130)


S

Ps sdotα=τ (1131)



τsdotsdotρsdot

sdotαminus

ρsdotρsdot

=θ

Acl

cj

dtd

d

p

d

2

(1132)


dtAc

ldt

cjd

d

p

d

2


sdotαminus

ρsdotρsdot

=τ (1134)

dtMcSdt

McPd sdotτsdot

sdotsdotα

minussdotsdot

=τ (1135)



S

McTsdotαsdot

= [s] (1138)


τminusτ

τ=

s

dTdt (1139)

Tdtd

s



( ) CTt



s0

s

Tt

τminusττminusτ

=minus ln (1143)

s0

sTt

eτminusττminusτ

=minus

(1144)


minusminusTt

sTt

0 e1e (1145)


minussdotτ=τ

minusTt

s e1 (1146)



Tdt

d s τminusτ=

τ (1147)


ABAM

dtd

=τ (1148)




Tt

s

e1minus

minus=ττ (1149)






Tt

s eT1

dtd minus


Rezultă succesiv

s

sTt

eττminusτ

=minus

(1151)

( )τminusτsdot=τ

sT1

dtd sau (1152)

dtdTsτ



t

Ts ∆τ∆





Tdtd

minus=ττ (1156)


ClnTtC


Adică TtCln

Tdt

eCeminus+minus


Tt

s eminus


Tt

i eminus






D

SD

SD

sp P

Pk =ττ

= (1161)



minussdotτ=τ

minusTt

sSD

i

e1 (1162)


Ttp i

e1

1kminus

minus= (1163)


Taylor pe Tti


Tt1e iT

t1

minusasympminus

(1164)


i

P tTk = (1165)


i

PI tTkk == (1166)







s

dTdt

ττ

= (1170)


Tt

s sdotτ=τ (1171)






r1

iA tt

tD+

= (1172)


100tt

tDri

iA sdot

+=[] (1173)




minussdotτ=τ

minusTt

s1

i

e1 (1174)

Tt

12

i

eminus

sdotτ=τ (1175)


minusminusTt

sTt

43

ii

e1e (1176)

Tt

34

r

eminus

sdotτ=τ (1177)

Tt

n2n2

r

eminus



minusminus

sdot+sdotTt

sTt

n21n2

ii

e1e (1179)


Tt

Tt

Tt

c

cr

e1

eeminus

minusminus

minus

minus=τmin (1181)


sTt

Tt

c

i

e1

e1τsdot

minus

minus=τ

minus

minus

max (1182)


Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=cong

minusminus

minusminus

congminus

minus=

ττ

=minus

minus

(1183)


A

pr D1kk == (1184)





x





















durată








scurtcircuit

qn

n

2

2

1

1n21 sdot

λδ

++λδ

+λδ

=θ∆++θ∆+θ∆=θ∆ (151)




0rr

1r2

2

=partθpart



0drd

r1

drd

drd

=θ

sdot+

θ (153)

0drd

drd

drdr =

θ+

θ

sdot (154)

0drdr

drd

=

θsdot (155)

1Cdrdr =θ

sdot (156)

r



2

1

211

rrC

ln

θminusθ= (161)

2

1

21122

rr

rrCln



2

1

12

21

rr

rr

rr

ln






0pdxd

2

2

=λ

+θ (164)


1Cxpdxd

+sdotλ

minus=θ (165)

21

2

CxC2

xp+sdot+

λsdotsdot

minus=θ (166)



minusδsdotλsdot

= 211 2

pC (167)


1212 x

2px

2p

θ+sdot

δθminusθ

minusδsdotλsdot

+sdotλsdot

minus=θ (168)


x = xm avem 0dxd

mxx

=

θ

=


1m Cxp=sdot

λ (170)


δsdotλ

minusδ

= (171)


1m21

2m

m x2

p2

xpθ+sdot

δθminusθ

minusδsdotλsdot

+λsdot

sdotminus=θ (172)


2

xmδ

= (173)

2

1m 22p

δsdot

λsdot+θ=θ (174)


12 x

2px

2p

θ+sdotδsdotλsdot

+sdotλsdot

minus=θ (175)



0prr

1r2

2

=λ

+partθpart



2rp

rC

2rpC

r1

drd 1

2

1 sdotλ

minus=

sdot

λminussdot=

θ (177)

2

2

1 C4

rprC +λsdotsdot




0r

=

θ

=



λsdotsdot

+θ=4

rpC2

112 (180)


( ) 122

1 rr4

pθ+minussdot

λsdot=θ (181)



211 r

4p

sdotλsdot

+θ=θmax (182)


21r4

psdot










r

drl2


minus=θ (186)



θ

θ

2d

2D rdr

l2Pd

2

1

(187)

Rezultă

dD

l2P


+θ=θ (188)


1

aa2 SPqsdotα

+θ=α

+θ=θ (190)


lD



dD

l2P

lDP


+sdotsdotπsdotα

+θ=θ (193)


l4

pdD

l2P

lDP


sdotλsdotπsdot+




sdotλminus= (195)


sdotλminus= (196)

( )[ ] dxx8BA2l


minus=θ (197)



( )

( )intint

+sdot

δsdot++sdot

θ


BA2

8BA2 udu

l8Pd1

2 (198)


( )( )BA2

8BA2l8

P21 +sdot

δsdot++sdotsdot


+δsdot

+sdotsdotλsdot

+θ=θBA

41l8

P21 ln (1101)


BA

4BA

41+δsdot

cong

+δsdot

+ln (1102)

Rezultă

( )BAl2P


+θ=θ (1103)


( )[ ] ( )BAl2P

l8BA2P



+θ=θ (1104)








( ) ( )


λsdotsdot= 21

21

22

m

1

21 rr

4p

rr

1Cln

(1105)

( ) ( )


λsdotsdotminus

λsdotsdot

+θ= 212

122

m

1

2

2

m

22

22 rr4

p

rrr

4rpC

ln

ln (1106)




02

rprC

m

m

m

1 =λsdotsdot

minus p

C2r m1m

λsdotsdot= (1107)


2m

2m

m1m C4

rprC +λsdotsdot




m

1

1

1

2rp

rC

λsdotsdot

minus (1110)

m

21

1 2rpCλsdotsdot

= (1111)


m

22

2m

21

22 4rpr

2rpC

λsdotsdot

+sdotλsdotsdot

minusθ= ln (1112)


( )222

m2m

21

2 rr4

prr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

+θ=θ ln (1113)


( )21

22

m2

1

m

21 rr

4p

rr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

=θ∆ ln (1114)


δsdot



∆λ∆

+λsdot

+λδsdot

∆+sdot+δsdot=λ

bi

m b22b22481 (1116)

sau

δsdotδsdot+

sdotδsdot+

sdotλ=λ2

2B2A

Aim (1117)












dtx

AdQ2 sdotpartθpart



dtdxxx

AdQ3 sdot

sdot

partθpart

+θsdotpartpart



dtdxt




( ) dtdxt

Acdtdxl

dtdxx

Ax

A

dtdx

AdtdxAj

dap

2

2

2

sdotsdotpartθpart


+sdotsdotpartθpart


sdotsdotλminus=

=sdotθpart


(1125)


( )ap2

2

2

d Al

jxt


sdotλ=partθpart

sdotρsdot (1126)


( )ad

p

d

2

2

2

Acl

cj

xa

tθminusθsdot

sdotρsdotsdotα

minusρsdotρsdot

+partθpart





=

partθpart

=partθpart 0

x0

t 2

2

şi


p

d

2

Acl

cj

τsdotsdotρsdot

α=

ρsdotρsdot


llA

lAIl

Aj

p2

2

p

2


=sdotαsdotρsdot

=τ (1130)


S

Ps sdotα=τ (1131)



τsdotsdotρsdot

sdotαminus

ρsdotρsdot

=θ

Acl

cj

dtd

d

p

d

2

(1132)


dtAc

ldt

cjd

d

p

d

2


sdotαminus

ρsdotρsdot

=τ (1134)

dtMcSdt

McPd sdotτsdot

sdotsdotα

minussdotsdot

=τ (1135)



S

McTsdotαsdot

= [s] (1138)


τminusτ

τ=

s

dTdt (1139)

Tdtd

s



( ) CTt



s0

s

Tt

τminusττminusτ

=minus ln (1143)

s0

sTt

eτminusττminusτ

=minus

(1144)


minusminusTt

sTt

0 e1e (1145)


minussdotτ=τ

minusTt

s e1 (1146)



Tdt

d s τminusτ=

τ (1147)


ABAM

dtd

=τ (1148)




Tt

s

e1minus

minus=ττ (1149)






Tt

s eT1

dtd minus


Rezultă succesiv

s

sTt

eττminusτ

=minus

(1151)

( )τminusτsdot=τ

sT1

dtd sau (1152)

dtdTsτ



t

Ts ∆τ∆





Tdtd

minus=ττ (1156)


ClnTtC


Adică TtCln

Tdt

eCeminus+minus


Tt

s eminus


Tt

i eminus






D

SD

SD

sp P

Pk =ττ

= (1161)



minussdotτ=τ

minusTt

sSD

i

e1 (1162)


Ttp i

e1

1kminus

minus= (1163)


Taylor pe Tti


Tt1e iT

t1

minusasympminus

(1164)


i

P tTk = (1165)


i

PI tTkk == (1166)







s

dTdt

ττ

= (1170)


Tt

s sdotτ=τ (1171)






r1

iA tt

tD+

= (1172)


100tt

tDri

iA sdot

+=[] (1173)




minussdotτ=τ

minusTt

s1

i

e1 (1174)

Tt

12

i

eminus

sdotτ=τ (1175)


minusminusTt

sTt

43

ii

e1e (1176)

Tt

34

r

eminus

sdotτ=τ (1177)

Tt

n2n2

r

eminus



minusminus

sdot+sdotTt

sTt

n21n2

ii

e1e (1179)


Tt

Tt

Tt

c

cr

e1

eeminus

minusminus

minus

minus=τmin (1181)


sTt

Tt

c

i

e1

e1τsdot

minus

minus=τ

minus

minus

max (1182)


Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=cong

minusminus

minusminus

congminus

minus=

ττ

=minus

minus

(1183)


A

pr D1kk == (1184)





x





















durată








scurtcircuit

0drd

drd

drdr =

θ+

θ

sdot (154)

0drdr

drd

=

θsdot (155)

1Cdrdr =θ

sdot (156)

r



2

1

211

rrC

ln

θminusθ= (161)

2

1

21122

rr

rrCln



2

1

12

21

rr

rr

rr

ln






0pdxd

2

2

=λ

+θ (164)


1Cxpdxd

+sdotλ

minus=θ (165)

21

2

CxC2

xp+sdot+

λsdotsdot

minus=θ (166)



minusδsdotλsdot

= 211 2

pC (167)


1212 x

2px

2p

θ+sdot

δθminusθ

minusδsdotλsdot

+sdotλsdot

minus=θ (168)


x = xm avem 0dxd

mxx

=

θ

=


1m Cxp=sdot

λ (170)


δsdotλ

minusδ

= (171)


1m21

2m

m x2

p2

xpθ+sdot

δθminusθ

minusδsdotλsdot

+λsdot

sdotminus=θ (172)


2

xmδ

= (173)

2

1m 22p

δsdot

λsdot+θ=θ (174)


12 x

2px

2p

θ+sdotδsdotλsdot

+sdotλsdot

minus=θ (175)



0prr

1r2

2

=λ

+partθpart



2rp

rC

2rpC

r1

drd 1

2

1 sdotλ

minus=

sdot

λminussdot=

θ (177)

2

2

1 C4

rprC +λsdotsdot




0r

=

θ

=



λsdotsdot

+θ=4

rpC2

112 (180)


( ) 122

1 rr4

pθ+minussdot

λsdot=θ (181)



211 r

4p

sdotλsdot

+θ=θmax (182)


21r4

psdot










r

drl2


minus=θ (186)



θ

θ

2d

2D rdr

l2Pd

2

1

(187)

Rezultă

dD

l2P


+θ=θ (188)


1

aa2 SPqsdotα

+θ=α

+θ=θ (190)


lD



dD

l2P

lDP


+sdotsdotπsdotα

+θ=θ (193)


l4

pdD

l2P

lDP


sdotλsdotπsdot+




sdotλminus= (195)


sdotλminus= (196)

( )[ ] dxx8BA2l


minus=θ (197)



( )

( )intint

+sdot

δsdot++sdot

θ


BA2

8BA2 udu

l8Pd1

2 (198)


( )( )BA2

8BA2l8

P21 +sdot

δsdot++sdotsdot


+δsdot

+sdotsdotλsdot

+θ=θBA

41l8

P21 ln (1101)


BA

4BA

41+δsdot

cong

+δsdot

+ln (1102)

Rezultă

( )BAl2P


+θ=θ (1103)


( )[ ] ( )BAl2P

l8BA2P



+θ=θ (1104)








( ) ( )


λsdotsdot= 21

21

22

m

1

21 rr

4p

rr

1Cln

(1105)

( ) ( )


λsdotsdotminus

λsdotsdot

+θ= 212

122

m

1

2

2

m

22

22 rr4

p

rrr

4rpC

ln

ln (1106)




02

rprC

m

m

m

1 =λsdotsdot

minus p

C2r m1m

λsdotsdot= (1107)


2m

2m

m1m C4

rprC +λsdotsdot




m

1

1

1

2rp

rC

λsdotsdot

minus (1110)

m

21

1 2rpCλsdotsdot

= (1111)


m

22

2m

21

22 4rpr

2rpC

λsdotsdot

+sdotλsdotsdot

minusθ= ln (1112)


( )222

m2m

21

2 rr4

prr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

+θ=θ ln (1113)


( )21

22

m2

1

m

21 rr

4p

rr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

=θ∆ ln (1114)


δsdot



∆λ∆

+λsdot

+λδsdot

∆+sdot+δsdot=λ

bi

m b22b22481 (1116)

sau

δsdotδsdot+

sdotδsdot+

sdotλ=λ2

2B2A

Aim (1117)












dtx

AdQ2 sdotpartθpart



dtdxxx

AdQ3 sdot

sdot

partθpart

+θsdotpartpart



dtdxt




( ) dtdxt

Acdtdxl

dtdxx

Ax

A

dtdx

AdtdxAj

dap

2

2

2

sdotsdotpartθpart


+sdotsdotpartθpart


sdotsdotλminus=

=sdotθpart


(1125)


( )ap2

2

2

d Al

jxt


sdotλ=partθpart

sdotρsdot (1126)


( )ad

p

d

2

2

2

Acl

cj

xa

tθminusθsdot

sdotρsdotsdotα

minusρsdotρsdot

+partθpart





=

partθpart

=partθpart 0

x0

t 2

2

şi


p

d

2

Acl

cj

τsdotsdotρsdot

α=

ρsdotρsdot


llA

lAIl

Aj

p2

2

p

2


=sdotαsdotρsdot

=τ (1130)


S

Ps sdotα=τ (1131)



τsdotsdotρsdot

sdotαminus

ρsdotρsdot

=θ

Acl

cj

dtd

d

p

d

2

(1132)


dtAc

ldt

cjd

d

p

d

2


sdotαminus

ρsdotρsdot

=τ (1134)

dtMcSdt

McPd sdotτsdot

sdotsdotα

minussdotsdot

=τ (1135)



S

McTsdotαsdot

= [s] (1138)


τminusτ

τ=

s

dTdt (1139)

Tdtd

s



( ) CTt



s0

s

Tt

τminusττminusτ

=minus ln (1143)

s0

sTt

eτminusττminusτ

=minus

(1144)


minusminusTt

sTt

0 e1e (1145)


minussdotτ=τ

minusTt

s e1 (1146)



Tdt

d s τminusτ=

τ (1147)


ABAM

dtd

=τ (1148)




Tt

s

e1minus

minus=ττ (1149)






Tt

s eT1

dtd minus


Rezultă succesiv

s

sTt

eττminusτ

=minus

(1151)

( )τminusτsdot=τ

sT1

dtd sau (1152)

dtdTsτ



t

Ts ∆τ∆





Tdtd

minus=ττ (1156)


ClnTtC


Adică TtCln

Tdt

eCeminus+minus


Tt

s eminus


Tt

i eminus






D

SD

SD

sp P

Pk =ττ

= (1161)



minussdotτ=τ

minusTt

sSD

i

e1 (1162)


Ttp i

e1

1kminus

minus= (1163)


Taylor pe Tti


Tt1e iT

t1

minusasympminus

(1164)


i

P tTk = (1165)


i

PI tTkk == (1166)







s

dTdt

ττ

= (1170)


Tt

s sdotτ=τ (1171)






r1

iA tt

tD+

= (1172)


100tt

tDri

iA sdot

+=[] (1173)




minussdotτ=τ

minusTt

s1

i

e1 (1174)

Tt

12

i

eminus

sdotτ=τ (1175)


minusminusTt

sTt

43

ii

e1e (1176)

Tt

34

r

eminus

sdotτ=τ (1177)

Tt

n2n2

r

eminus



minusminus

sdot+sdotTt

sTt

n21n2

ii

e1e (1179)


Tt

Tt

Tt

c

cr

e1

eeminus

minusminus

minus

minus=τmin (1181)


sTt

Tt

c

i

e1

e1τsdot

minus

minus=τ

minus

minus

max (1182)


Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=cong

minusminus

minusminus

congminus

minus=

ττ

=minus

minus

(1183)


A

pr D1kk == (1184)





x





















durată








scurtcircuit


0pdxd

2

2

=λ

+θ (164)


1Cxpdxd

+sdotλ

minus=θ (165)

21

2

CxC2

xp+sdot+

λsdotsdot

minus=θ (166)



minusδsdotλsdot

= 211 2

pC (167)


1212 x

2px

2p

θ+sdot

δθminusθ

minusδsdotλsdot

+sdotλsdot

minus=θ (168)


x = xm avem 0dxd

mxx

=

θ

=


1m Cxp=sdot

λ (170)


δsdotλ

minusδ

= (171)


1m21

2m

m x2

p2

xpθ+sdot

δθminusθ

minusδsdotλsdot

+λsdot

sdotminus=θ (172)


2

xmδ

= (173)

2

1m 22p

δsdot

λsdot+θ=θ (174)


12 x

2px

2p

θ+sdotδsdotλsdot

+sdotλsdot

minus=θ (175)



0prr

1r2

2

=λ

+partθpart



2rp

rC

2rpC

r1

drd 1

2

1 sdotλ

minus=

sdot

λminussdot=

θ (177)

2

2

1 C4

rprC +λsdotsdot




0r

=

θ

=



λsdotsdot

+θ=4

rpC2

112 (180)


( ) 122

1 rr4

pθ+minussdot

λsdot=θ (181)



211 r

4p

sdotλsdot

+θ=θmax (182)


21r4

psdot










r

drl2


minus=θ (186)



θ

θ

2d

2D rdr

l2Pd

2

1

(187)

Rezultă

dD

l2P


+θ=θ (188)


1

aa2 SPqsdotα

+θ=α

+θ=θ (190)


lD



dD

l2P

lDP


+sdotsdotπsdotα

+θ=θ (193)


l4

pdD

l2P

lDP


sdotλsdotπsdot+




sdotλminus= (195)


sdotλminus= (196)

( )[ ] dxx8BA2l


minus=θ (197)



( )

( )intint

+sdot

δsdot++sdot

θ


BA2

8BA2 udu

l8Pd1

2 (198)


( )( )BA2

8BA2l8

P21 +sdot

δsdot++sdotsdot


+δsdot

+sdotsdotλsdot

+θ=θBA

41l8

P21 ln (1101)


BA

4BA

41+δsdot

cong

+δsdot

+ln (1102)

Rezultă

( )BAl2P


+θ=θ (1103)


( )[ ] ( )BAl2P

l8BA2P



+θ=θ (1104)








( ) ( )


λsdotsdot= 21

21

22

m

1

21 rr

4p

rr

1Cln

(1105)

( ) ( )


λsdotsdotminus

λsdotsdot

+θ= 212

122

m

1

2

2

m

22

22 rr4

p

rrr

4rpC

ln

ln (1106)




02

rprC

m

m

m

1 =λsdotsdot

minus p

C2r m1m

λsdotsdot= (1107)


2m

2m

m1m C4

rprC +λsdotsdot




m

1

1

1

2rp

rC

λsdotsdot

minus (1110)

m

21

1 2rpCλsdotsdot

= (1111)


m

22

2m

21

22 4rpr

2rpC

λsdotsdot

+sdotλsdotsdot

minusθ= ln (1112)


( )222

m2m

21

2 rr4

prr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

+θ=θ ln (1113)


( )21

22

m2

1

m

21 rr

4p

rr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

=θ∆ ln (1114)


δsdot



∆λ∆

+λsdot

+λδsdot

∆+sdot+δsdot=λ

bi

m b22b22481 (1116)

sau

δsdotδsdot+

sdotδsdot+

sdotλ=λ2

2B2A

Aim (1117)












dtx

AdQ2 sdotpartθpart



dtdxxx

AdQ3 sdot

sdot

partθpart

+θsdotpartpart



dtdxt




( ) dtdxt

Acdtdxl

dtdxx

Ax

A

dtdx

AdtdxAj

dap

2

2

2

sdotsdotpartθpart


+sdotsdotpartθpart


sdotsdotλminus=

=sdotθpart


(1125)


( )ap2

2

2

d Al

jxt


sdotλ=partθpart

sdotρsdot (1126)


( )ad

p

d

2

2

2

Acl

cj

xa

tθminusθsdot

sdotρsdotsdotα

minusρsdotρsdot

+partθpart





=

partθpart

=partθpart 0

x0

t 2

2

şi


p

d

2

Acl

cj

τsdotsdotρsdot

α=

ρsdotρsdot


llA

lAIl

Aj

p2

2

p

2


=sdotαsdotρsdot

=τ (1130)


S

Ps sdotα=τ (1131)



τsdotsdotρsdot

sdotαminus

ρsdotρsdot

=θ

Acl

cj

dtd

d

p

d

2

(1132)


dtAc

ldt

cjd

d

p

d

2


sdotαminus

ρsdotρsdot

=τ (1134)

dtMcSdt

McPd sdotτsdot

sdotsdotα

minussdotsdot

=τ (1135)



S

McTsdotαsdot

= [s] (1138)


τminusτ

τ=

s

dTdt (1139)

Tdtd

s



( ) CTt



s0

s

Tt

τminusττminusτ

=minus ln (1143)

s0

sTt

eτminusττminusτ

=minus

(1144)


minusminusTt

sTt

0 e1e (1145)


minussdotτ=τ

minusTt

s e1 (1146)



Tdt

d s τminusτ=

τ (1147)


ABAM

dtd

=τ (1148)




Tt

s

e1minus

minus=ττ (1149)






Tt

s eT1

dtd minus


Rezultă succesiv

s

sTt

eττminusτ

=minus

(1151)

( )τminusτsdot=τ

sT1

dtd sau (1152)

dtdTsτ



t

Ts ∆τ∆





Tdtd

minus=ττ (1156)


ClnTtC


Adică TtCln

Tdt

eCeminus+minus


Tt

s eminus


Tt

i eminus






D

SD

SD

sp P

Pk =ττ

= (1161)



minussdotτ=τ

minusTt

sSD

i

e1 (1162)


Ttp i

e1

1kminus

minus= (1163)


Taylor pe Tti


Tt1e iT

t1

minusasympminus

(1164)


i

P tTk = (1165)


i

PI tTkk == (1166)







s

dTdt

ττ

= (1170)


Tt

s sdotτ=τ (1171)






r1

iA tt

tD+

= (1172)


100tt

tDri

iA sdot

+=[] (1173)




minussdotτ=τ

minusTt

s1

i

e1 (1174)

Tt

12

i

eminus

sdotτ=τ (1175)


minusminusTt

sTt

43

ii

e1e (1176)

Tt

34

r

eminus

sdotτ=τ (1177)

Tt

n2n2

r

eminus



minusminus

sdot+sdotTt

sTt

n21n2

ii

e1e (1179)


Tt

Tt

Tt

c

cr

e1

eeminus

minusminus

minus

minus=τmin (1181)


sTt

Tt

c

i

e1

e1τsdot

minus

minus=τ

minus

minus

max (1182)


Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=cong

minusminus

minusminus

congminus

minus=

ττ

=minus

minus

(1183)


A

pr D1kk == (1184)





x





















durată








scurtcircuit

1212 x

2px

2p

θ+sdot

δθminusθ

minusδsdotλsdot

+sdotλsdot

minus=θ (168)


x = xm avem 0dxd

mxx

=

θ

=


1m Cxp=sdot

λ (170)


δsdotλ

minusδ

= (171)


1m21

2m

m x2

p2

xpθ+sdot

δθminusθ

minusδsdotλsdot

+λsdot

sdotminus=θ (172)


2

xmδ

= (173)

2

1m 22p

δsdot

λsdot+θ=θ (174)


12 x

2px

2p

θ+sdotδsdotλsdot

+sdotλsdot

minus=θ (175)



0prr

1r2

2

=λ

+partθpart



2rp

rC

2rpC

r1

drd 1

2

1 sdotλ

minus=

sdot

λminussdot=

θ (177)

2

2

1 C4

rprC +λsdotsdot




0r

=

θ

=



λsdotsdot

+θ=4

rpC2

112 (180)


( ) 122

1 rr4

pθ+minussdot

λsdot=θ (181)



211 r

4p

sdotλsdot

+θ=θmax (182)


21r4

psdot










r

drl2


minus=θ (186)



θ

θ

2d

2D rdr

l2Pd

2

1

(187)

Rezultă

dD

l2P


+θ=θ (188)


1

aa2 SPqsdotα

+θ=α

+θ=θ (190)


lD



dD

l2P

lDP


+sdotsdotπsdotα

+θ=θ (193)


l4

pdD

l2P

lDP


sdotλsdotπsdot+




sdotλminus= (195)


sdotλminus= (196)

( )[ ] dxx8BA2l


minus=θ (197)



( )

( )intint

+sdot

δsdot++sdot

θ


BA2

8BA2 udu

l8Pd1

2 (198)


( )( )BA2

8BA2l8

P21 +sdot

δsdot++sdotsdot


+δsdot

+sdotsdotλsdot

+θ=θBA

41l8

P21 ln (1101)


BA

4BA

41+δsdot

cong

+δsdot

+ln (1102)

Rezultă

( )BAl2P


+θ=θ (1103)


( )[ ] ( )BAl2P

l8BA2P



+θ=θ (1104)








( ) ( )


λsdotsdot= 21

21

22

m

1

21 rr

4p

rr

1Cln

(1105)

( ) ( )


λsdotsdotminus

λsdotsdot

+θ= 212

122

m

1

2

2

m

22

22 rr4

p

rrr

4rpC

ln

ln (1106)




02

rprC

m

m

m

1 =λsdotsdot

minus p

C2r m1m

λsdotsdot= (1107)


2m

2m

m1m C4

rprC +λsdotsdot




m

1

1

1

2rp

rC

λsdotsdot

minus (1110)

m

21

1 2rpCλsdotsdot

= (1111)


m

22

2m

21

22 4rpr

2rpC

λsdotsdot

+sdotλsdotsdot

minusθ= ln (1112)


( )222

m2m

21

2 rr4

prr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

+θ=θ ln (1113)


( )21

22

m2

1

m

21 rr

4p

rr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

=θ∆ ln (1114)


δsdot



∆λ∆

+λsdot

+λδsdot

∆+sdot+δsdot=λ

bi

m b22b22481 (1116)

sau

δsdotδsdot+

sdotδsdot+

sdotλ=λ2

2B2A

Aim (1117)












dtx

AdQ2 sdotpartθpart



dtdxxx

AdQ3 sdot

sdot

partθpart

+θsdotpartpart



dtdxt




( ) dtdxt

Acdtdxl

dtdxx

Ax

A

dtdx

AdtdxAj

dap

2

2

2

sdotsdotpartθpart


+sdotsdotpartθpart


sdotsdotλminus=

=sdotθpart


(1125)


( )ap2

2

2

d Al

jxt


sdotλ=partθpart

sdotρsdot (1126)


( )ad

p

d

2

2

2

Acl

cj

xa

tθminusθsdot

sdotρsdotsdotα

minusρsdotρsdot

+partθpart





=

partθpart

=partθpart 0

x0

t 2

2

şi


p

d

2

Acl

cj

τsdotsdotρsdot

α=

ρsdotρsdot


llA

lAIl

Aj

p2

2

p

2


=sdotαsdotρsdot

=τ (1130)


S

Ps sdotα=τ (1131)



τsdotsdotρsdot

sdotαminus

ρsdotρsdot

=θ

Acl

cj

dtd

d

p

d

2

(1132)


dtAc

ldt

cjd

d

p

d

2


sdotαminus

ρsdotρsdot

=τ (1134)

dtMcSdt

McPd sdotτsdot

sdotsdotα

minussdotsdot

=τ (1135)



S

McTsdotαsdot

= [s] (1138)


τminusτ

τ=

s

dTdt (1139)

Tdtd

s



( ) CTt



s0

s

Tt

τminusττminusτ

=minus ln (1143)

s0

sTt

eτminusττminusτ

=minus

(1144)


minusminusTt

sTt

0 e1e (1145)


minussdotτ=τ

minusTt

s e1 (1146)



Tdt

d s τminusτ=

τ (1147)


ABAM

dtd

=τ (1148)




Tt

s

e1minus

minus=ττ (1149)






Tt

s eT1

dtd minus


Rezultă succesiv

s

sTt

eττminusτ

=minus

(1151)

( )τminusτsdot=τ

sT1

dtd sau (1152)

dtdTsτ



t

Ts ∆τ∆





Tdtd

minus=ττ (1156)


ClnTtC


Adică TtCln

Tdt

eCeminus+minus


Tt

s eminus


Tt

i eminus






D

SD

SD

sp P

Pk =ττ

= (1161)



minussdotτ=τ

minusTt

sSD

i

e1 (1162)


Ttp i

e1

1kminus

minus= (1163)


Taylor pe Tti


Tt1e iT

t1

minusasympminus

(1164)


i

P tTk = (1165)


i

PI tTkk == (1166)







s

dTdt

ττ

= (1170)


Tt

s sdotτ=τ (1171)






r1

iA tt

tD+

= (1172)


100tt

tDri

iA sdot

+=[] (1173)




minussdotτ=τ

minusTt

s1

i

e1 (1174)

Tt

12

i

eminus

sdotτ=τ (1175)


minusminusTt

sTt

43

ii

e1e (1176)

Tt

34

r

eminus

sdotτ=τ (1177)

Tt

n2n2

r

eminus



minusminus

sdot+sdotTt

sTt

n21n2

ii

e1e (1179)


Tt

Tt

Tt

c

cr

e1

eeminus

minusminus

minus

minus=τmin (1181)


sTt

Tt

c

i

e1

e1τsdot

minus

minus=τ

minus

minus

max (1182)


Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=cong

minusminus

minusminus

congminus

minus=

ττ

=minus

minus

(1183)


A

pr D1kk == (1184)





x





















durată








scurtcircuit


2rp

rC

2rpC

r1

drd 1

2

1 sdotλ

minus=

sdot

λminussdot=

θ (177)

2

2

1 C4

rprC +λsdotsdot




0r

=

θ

=



λsdotsdot

+θ=4

rpC2

112 (180)


( ) 122

1 rr4

pθ+minussdot

λsdot=θ (181)



211 r

4p

sdotλsdot

+θ=θmax (182)


21r4

psdot










r

drl2


minus=θ (186)



θ

θ

2d

2D rdr

l2Pd

2

1

(187)

Rezultă

dD

l2P


+θ=θ (188)


1

aa2 SPqsdotα

+θ=α

+θ=θ (190)


lD



dD

l2P

lDP


+sdotsdotπsdotα

+θ=θ (193)


l4

pdD

l2P

lDP


sdotλsdotπsdot+




sdotλminus= (195)


sdotλminus= (196)

( )[ ] dxx8BA2l


minus=θ (197)



( )

( )intint

+sdot

δsdot++sdot

θ


BA2

8BA2 udu

l8Pd1

2 (198)


( )( )BA2

8BA2l8

P21 +sdot

δsdot++sdotsdot


+δsdot

+sdotsdotλsdot

+θ=θBA

41l8

P21 ln (1101)


BA

4BA

41+δsdot

cong

+δsdot

+ln (1102)

Rezultă

( )BAl2P


+θ=θ (1103)


( )[ ] ( )BAl2P

l8BA2P



+θ=θ (1104)








( ) ( )


λsdotsdot= 21

21

22

m

1

21 rr

4p

rr

1Cln

(1105)

( ) ( )


λsdotsdotminus

λsdotsdot

+θ= 212

122

m

1

2

2

m

22

22 rr4

p

rrr

4rpC

ln

ln (1106)




02

rprC

m

m

m

1 =λsdotsdot

minus p

C2r m1m

λsdotsdot= (1107)


2m

2m

m1m C4

rprC +λsdotsdot




m

1

1

1

2rp

rC

λsdotsdot

minus (1110)

m

21

1 2rpCλsdotsdot

= (1111)


m

22

2m

21

22 4rpr

2rpC

λsdotsdot

+sdotλsdotsdot

minusθ= ln (1112)


( )222

m2m

21

2 rr4

prr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

+θ=θ ln (1113)


( )21

22

m2

1

m

21 rr

4p

rr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

=θ∆ ln (1114)


δsdot



∆λ∆

+λsdot

+λδsdot

∆+sdot+δsdot=λ

bi

m b22b22481 (1116)

sau

δsdotδsdot+

sdotδsdot+

sdotλ=λ2

2B2A

Aim (1117)












dtx

AdQ2 sdotpartθpart



dtdxxx

AdQ3 sdot

sdot

partθpart

+θsdotpartpart



dtdxt




( ) dtdxt

Acdtdxl

dtdxx

Ax

A

dtdx

AdtdxAj

dap

2

2

2

sdotsdotpartθpart


+sdotsdotpartθpart


sdotsdotλminus=

=sdotθpart


(1125)


( )ap2

2

2

d Al

jxt


sdotλ=partθpart

sdotρsdot (1126)


( )ad

p

d

2

2

2

Acl

cj

xa

tθminusθsdot

sdotρsdotsdotα

minusρsdotρsdot

+partθpart





=

partθpart

=partθpart 0

x0

t 2

2

şi


p

d

2

Acl

cj

τsdotsdotρsdot

α=

ρsdotρsdot


llA

lAIl

Aj

p2

2

p

2


=sdotαsdotρsdot

=τ (1130)


S

Ps sdotα=τ (1131)



τsdotsdotρsdot

sdotαminus

ρsdotρsdot

=θ

Acl

cj

dtd

d

p

d

2

(1132)


dtAc

ldt

cjd

d

p

d

2


sdotαminus

ρsdotρsdot

=τ (1134)

dtMcSdt

McPd sdotτsdot

sdotsdotα

minussdotsdot

=τ (1135)



S

McTsdotαsdot

= [s] (1138)


τminusτ

τ=

s

dTdt (1139)

Tdtd

s



( ) CTt



s0

s

Tt

τminusττminusτ

=minus ln (1143)

s0

sTt

eτminusττminusτ

=minus

(1144)


minusminusTt

sTt

0 e1e (1145)


minussdotτ=τ

minusTt

s e1 (1146)



Tdt

d s τminusτ=

τ (1147)


ABAM

dtd

=τ (1148)




Tt

s

e1minus

minus=ττ (1149)






Tt

s eT1

dtd minus


Rezultă succesiv

s

sTt

eττminusτ

=minus

(1151)

( )τminusτsdot=τ

sT1

dtd sau (1152)

dtdTsτ



t

Ts ∆τ∆





Tdtd

minus=ττ (1156)


ClnTtC


Adică TtCln

Tdt

eCeminus+minus


Tt

s eminus


Tt

i eminus






D

SD

SD

sp P

Pk =ττ

= (1161)



minussdotτ=τ

minusTt

sSD

i

e1 (1162)


Ttp i

e1

1kminus

minus= (1163)


Taylor pe Tti


Tt1e iT

t1

minusasympminus

(1164)


i

P tTk = (1165)


i

PI tTkk == (1166)







s

dTdt

ττ

= (1170)


Tt

s sdotτ=τ (1171)






r1

iA tt

tD+

= (1172)


100tt

tDri

iA sdot

+=[] (1173)




minussdotτ=τ

minusTt

s1

i

e1 (1174)

Tt

12

i

eminus

sdotτ=τ (1175)


minusminusTt

sTt

43

ii

e1e (1176)

Tt

34

r

eminus

sdotτ=τ (1177)

Tt

n2n2

r

eminus



minusminus

sdot+sdotTt

sTt

n21n2

ii

e1e (1179)


Tt

Tt

Tt

c

cr

e1

eeminus

minusminus

minus

minus=τmin (1181)


sTt

Tt

c

i

e1

e1τsdot

minus

minus=τ

minus

minus

max (1182)


Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=cong

minusminus

minusminus

congminus

minus=

ττ

=minus

minus

(1183)


A

pr D1kk == (1184)





x





















durată








scurtcircuit



211 r

4p

sdotλsdot

+θ=θmax (182)


21r4

psdot










r

drl2


minus=θ (186)



θ

θ

2d

2D rdr

l2Pd

2

1

(187)

Rezultă

dD

l2P


+θ=θ (188)


1

aa2 SPqsdotα

+θ=α

+θ=θ (190)


lD



dD

l2P

lDP


+sdotsdotπsdotα

+θ=θ (193)


l4

pdD

l2P

lDP


sdotλsdotπsdot+




sdotλminus= (195)


sdotλminus= (196)

( )[ ] dxx8BA2l


minus=θ (197)



( )

( )intint

+sdot

δsdot++sdot

θ


BA2

8BA2 udu

l8Pd1

2 (198)


( )( )BA2

8BA2l8

P21 +sdot

δsdot++sdotsdot


+δsdot

+sdotsdotλsdot

+θ=θBA

41l8

P21 ln (1101)


BA

4BA

41+δsdot

cong

+δsdot

+ln (1102)

Rezultă

( )BAl2P


+θ=θ (1103)


( )[ ] ( )BAl2P

l8BA2P



+θ=θ (1104)








( ) ( )


λsdotsdot= 21

21

22

m

1

21 rr

4p

rr

1Cln

(1105)

( ) ( )


λsdotsdotminus

λsdotsdot

+θ= 212

122

m

1

2

2

m

22

22 rr4

p

rrr

4rpC

ln

ln (1106)




02

rprC

m

m

m

1 =λsdotsdot

minus p

C2r m1m

λsdotsdot= (1107)


2m

2m

m1m C4

rprC +λsdotsdot




m

1

1

1

2rp

rC

λsdotsdot

minus (1110)

m

21

1 2rpCλsdotsdot

= (1111)


m

22

2m

21

22 4rpr

2rpC

λsdotsdot

+sdotλsdotsdot

minusθ= ln (1112)


( )222

m2m

21

2 rr4

prr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

+θ=θ ln (1113)


( )21

22

m2

1

m

21 rr

4p

rr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

=θ∆ ln (1114)


δsdot



∆λ∆

+λsdot

+λδsdot

∆+sdot+δsdot=λ

bi

m b22b22481 (1116)

sau

δsdotδsdot+

sdotδsdot+

sdotλ=λ2

2B2A

Aim (1117)












dtx

AdQ2 sdotpartθpart



dtdxxx

AdQ3 sdot

sdot

partθpart

+θsdotpartpart



dtdxt




( ) dtdxt

Acdtdxl

dtdxx

Ax

A

dtdx

AdtdxAj

dap

2

2

2

sdotsdotpartθpart


+sdotsdotpartθpart


sdotsdotλminus=

=sdotθpart


(1125)


( )ap2

2

2

d Al

jxt


sdotλ=partθpart

sdotρsdot (1126)


( )ad

p

d

2

2

2

Acl

cj

xa

tθminusθsdot

sdotρsdotsdotα

minusρsdotρsdot

+partθpart





=

partθpart

=partθpart 0

x0

t 2

2

şi


p

d

2

Acl

cj

τsdotsdotρsdot

α=

ρsdotρsdot


llA

lAIl

Aj

p2

2

p

2


=sdotαsdotρsdot

=τ (1130)


S

Ps sdotα=τ (1131)



τsdotsdotρsdot

sdotαminus

ρsdotρsdot

=θ

Acl

cj

dtd

d

p

d

2

(1132)


dtAc

ldt

cjd

d

p

d

2


sdotαminus

ρsdotρsdot

=τ (1134)

dtMcSdt

McPd sdotτsdot

sdotsdotα

minussdotsdot

=τ (1135)



S

McTsdotαsdot

= [s] (1138)


τminusτ

τ=

s

dTdt (1139)

Tdtd

s



( ) CTt



s0

s

Tt

τminusττminusτ

=minus ln (1143)

s0

sTt

eτminusττminusτ

=minus

(1144)


minusminusTt

sTt

0 e1e (1145)


minussdotτ=τ

minusTt

s e1 (1146)



Tdt

d s τminusτ=

τ (1147)


ABAM

dtd

=τ (1148)




Tt

s

e1minus

minus=ττ (1149)






Tt

s eT1

dtd minus


Rezultă succesiv

s

sTt

eττminusτ

=minus

(1151)

( )τminusτsdot=τ

sT1

dtd sau (1152)

dtdTsτ



t

Ts ∆τ∆





Tdtd

minus=ττ (1156)


ClnTtC


Adică TtCln

Tdt

eCeminus+minus


Tt

s eminus


Tt

i eminus






D

SD

SD

sp P

Pk =ττ

= (1161)



minussdotτ=τ

minusTt

sSD

i

e1 (1162)


Ttp i

e1

1kminus

minus= (1163)


Taylor pe Tti


Tt1e iT

t1

minusasympminus

(1164)


i

P tTk = (1165)


i

PI tTkk == (1166)







s

dTdt

ττ

= (1170)


Tt

s sdotτ=τ (1171)






r1

iA tt

tD+

= (1172)


100tt

tDri

iA sdot

+=[] (1173)




minussdotτ=τ

minusTt

s1

i

e1 (1174)

Tt

12

i

eminus

sdotτ=τ (1175)


minusminusTt

sTt

43

ii

e1e (1176)

Tt

34

r

eminus

sdotτ=τ (1177)

Tt

n2n2

r

eminus



minusminus

sdot+sdotTt

sTt

n21n2

ii

e1e (1179)


Tt

Tt

Tt

c

cr

e1

eeminus

minusminus

minus

minus=τmin (1181)


sTt

Tt

c

i

e1

e1τsdot

minus

minus=τ

minus

minus

max (1182)


Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=cong

minusminus

minusminus

congminus

minus=

ττ

=minus

minus

(1183)


A

pr D1kk == (1184)





x





















durată








scurtcircuit







r

drl2


minus=θ (186)



θ

θ

2d

2D rdr

l2Pd

2

1

(187)

Rezultă

dD

l2P


+θ=θ (188)


1

aa2 SPqsdotα

+θ=α

+θ=θ (190)


lD



dD

l2P

lDP


+sdotsdotπsdotα

+θ=θ (193)


l4

pdD

l2P

lDP


sdotλsdotπsdot+




sdotλminus= (195)


sdotλminus= (196)

( )[ ] dxx8BA2l


minus=θ (197)



( )

( )intint

+sdot

δsdot++sdot

θ


BA2

8BA2 udu

l8Pd1

2 (198)


( )( )BA2

8BA2l8

P21 +sdot

δsdot++sdotsdot


+δsdot

+sdotsdotλsdot

+θ=θBA

41l8

P21 ln (1101)


BA

4BA

41+δsdot

cong

+δsdot

+ln (1102)

Rezultă

( )BAl2P


+θ=θ (1103)


( )[ ] ( )BAl2P

l8BA2P



+θ=θ (1104)








( ) ( )


λsdotsdot= 21

21

22

m

1

21 rr

4p

rr

1Cln

(1105)

( ) ( )


λsdotsdotminus

λsdotsdot

+θ= 212

122

m

1

2

2

m

22

22 rr4

p

rrr

4rpC

ln

ln (1106)




02

rprC

m

m

m

1 =λsdotsdot

minus p

C2r m1m

λsdotsdot= (1107)


2m

2m

m1m C4

rprC +λsdotsdot




m

1

1

1

2rp

rC

λsdotsdot

minus (1110)

m

21

1 2rpCλsdotsdot

= (1111)


m

22

2m

21

22 4rpr

2rpC

λsdotsdot

+sdotλsdotsdot

minusθ= ln (1112)


( )222

m2m

21

2 rr4

prr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

+θ=θ ln (1113)


( )21

22

m2

1

m

21 rr

4p

rr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

=θ∆ ln (1114)


δsdot



∆λ∆

+λsdot

+λδsdot

∆+sdot+δsdot=λ

bi

m b22b22481 (1116)

sau

δsdotδsdot+

sdotδsdot+

sdotλ=λ2

2B2A

Aim (1117)












dtx

AdQ2 sdotpartθpart



dtdxxx

AdQ3 sdot

sdot

partθpart

+θsdotpartpart



dtdxt




( ) dtdxt

Acdtdxl

dtdxx

Ax

A

dtdx

AdtdxAj

dap

2

2

2

sdotsdotpartθpart


+sdotsdotpartθpart


sdotsdotλminus=

=sdotθpart


(1125)


( )ap2

2

2

d Al

jxt


sdotλ=partθpart

sdotρsdot (1126)


( )ad

p

d

2

2

2

Acl

cj

xa

tθminusθsdot

sdotρsdotsdotα

minusρsdotρsdot

+partθpart





=

partθpart

=partθpart 0

x0

t 2

2

şi


p

d

2

Acl

cj

τsdotsdotρsdot

α=

ρsdotρsdot


llA

lAIl

Aj

p2

2

p

2


=sdotαsdotρsdot

=τ (1130)


S

Ps sdotα=τ (1131)



τsdotsdotρsdot

sdotαminus

ρsdotρsdot

=θ

Acl

cj

dtd

d

p

d

2

(1132)


dtAc

ldt

cjd

d

p

d

2


sdotαminus

ρsdotρsdot

=τ (1134)

dtMcSdt

McPd sdotτsdot

sdotsdotα

minussdotsdot

=τ (1135)



S

McTsdotαsdot

= [s] (1138)


τminusτ

τ=

s

dTdt (1139)

Tdtd

s



( ) CTt



s0

s

Tt

τminusττminusτ

=minus ln (1143)

s0

sTt

eτminusττminusτ

=minus

(1144)


minusminusTt

sTt

0 e1e (1145)


minussdotτ=τ

minusTt

s e1 (1146)



Tdt

d s τminusτ=

τ (1147)


ABAM

dtd

=τ (1148)




Tt

s

e1minus

minus=ττ (1149)






Tt

s eT1

dtd minus


Rezultă succesiv

s

sTt

eττminusτ

=minus

(1151)

( )τminusτsdot=τ

sT1

dtd sau (1152)

dtdTsτ



t

Ts ∆τ∆





Tdtd

minus=ττ (1156)


ClnTtC


Adică TtCln

Tdt

eCeminus+minus


Tt

s eminus


Tt

i eminus






D

SD

SD

sp P

Pk =ττ

= (1161)



minussdotτ=τ

minusTt

sSD

i

e1 (1162)


Ttp i

e1

1kminus

minus= (1163)


Taylor pe Tti


Tt1e iT

t1

minusasympminus

(1164)


i

P tTk = (1165)


i

PI tTkk == (1166)







s

dTdt

ττ

= (1170)


Tt

s sdotτ=τ (1171)






r1

iA tt

tD+

= (1172)


100tt

tDri

iA sdot

+=[] (1173)




minussdotτ=τ

minusTt

s1

i

e1 (1174)

Tt

12

i

eminus

sdotτ=τ (1175)


minusminusTt

sTt

43

ii

e1e (1176)

Tt

34

r

eminus

sdotτ=τ (1177)

Tt

n2n2

r

eminus



minusminus

sdot+sdotTt

sTt

n21n2

ii

e1e (1179)


Tt

Tt

Tt

c

cr

e1

eeminus

minusminus

minus

minus=τmin (1181)


sTt

Tt

c

i

e1

e1τsdot

minus

minus=τ

minus

minus

max (1182)


Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=cong

minusminus

minusminus

congminus

minus=

ττ

=minus

minus

(1183)


A

pr D1kk == (1184)





x





















durată








scurtcircuit

Rezultă

dD

l2P


+θ=θ (188)


1

aa2 SPqsdotα

+θ=α

+θ=θ (190)


lD



dD

l2P

lDP


+sdotsdotπsdotα

+θ=θ (193)


l4

pdD

l2P

lDP


sdotλsdotπsdot+




sdotλminus= (195)


sdotλminus= (196)

( )[ ] dxx8BA2l


minus=θ (197)



( )

( )intint

+sdot

δsdot++sdot

θ


BA2

8BA2 udu

l8Pd1

2 (198)


( )( )BA2

8BA2l8

P21 +sdot

δsdot++sdotsdot


+δsdot

+sdotsdotλsdot

+θ=θBA

41l8

P21 ln (1101)


BA

4BA

41+δsdot

cong

+δsdot

+ln (1102)

Rezultă

( )BAl2P


+θ=θ (1103)


( )[ ] ( )BAl2P

l8BA2P



+θ=θ (1104)








( ) ( )


λsdotsdot= 21

21

22

m

1

21 rr

4p

rr

1Cln

(1105)

( ) ( )


λsdotsdotminus

λsdotsdot

+θ= 212

122

m

1

2

2

m

22

22 rr4

p

rrr

4rpC

ln

ln (1106)




02

rprC

m

m

m

1 =λsdotsdot

minus p

C2r m1m

λsdotsdot= (1107)


2m

2m

m1m C4

rprC +λsdotsdot




m

1

1

1

2rp

rC

λsdotsdot

minus (1110)

m

21

1 2rpCλsdotsdot

= (1111)


m

22

2m

21

22 4rpr

2rpC

λsdotsdot

+sdotλsdotsdot

minusθ= ln (1112)


( )222

m2m

21

2 rr4

prr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

+θ=θ ln (1113)


( )21

22

m2

1

m

21 rr

4p

rr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

=θ∆ ln (1114)


δsdot



∆λ∆

+λsdot

+λδsdot

∆+sdot+δsdot=λ

bi

m b22b22481 (1116)

sau

δsdotδsdot+

sdotδsdot+

sdotλ=λ2

2B2A

Aim (1117)












dtx

AdQ2 sdotpartθpart



dtdxxx

AdQ3 sdot

sdot

partθpart

+θsdotpartpart



dtdxt




( ) dtdxt

Acdtdxl

dtdxx

Ax

A

dtdx

AdtdxAj

dap

2

2

2

sdotsdotpartθpart


+sdotsdotpartθpart


sdotsdotλminus=

=sdotθpart


(1125)


( )ap2

2

2

d Al

jxt


sdotλ=partθpart

sdotρsdot (1126)


( )ad

p

d

2

2

2

Acl

cj

xa

tθminusθsdot

sdotρsdotsdotα

minusρsdotρsdot

+partθpart





=

partθpart

=partθpart 0

x0

t 2

2

şi


p

d

2

Acl

cj

τsdotsdotρsdot

α=

ρsdotρsdot


llA

lAIl

Aj

p2

2

p

2


=sdotαsdotρsdot

=τ (1130)


S

Ps sdotα=τ (1131)



τsdotsdotρsdot

sdotαminus

ρsdotρsdot

=θ

Acl

cj

dtd

d

p

d

2

(1132)


dtAc

ldt

cjd

d

p

d

2


sdotαminus

ρsdotρsdot

=τ (1134)

dtMcSdt

McPd sdotτsdot

sdotsdotα

minussdotsdot

=τ (1135)



S

McTsdotαsdot

= [s] (1138)


τminusτ

τ=

s

dTdt (1139)

Tdtd

s



( ) CTt



s0

s

Tt

τminusττminusτ

=minus ln (1143)

s0

sTt

eτminusττminusτ

=minus

(1144)


minusminusTt

sTt

0 e1e (1145)


minussdotτ=τ

minusTt

s e1 (1146)



Tdt

d s τminusτ=

τ (1147)


ABAM

dtd

=τ (1148)




Tt

s

e1minus

minus=ττ (1149)






Tt

s eT1

dtd minus


Rezultă succesiv

s

sTt

eττminusτ

=minus

(1151)

( )τminusτsdot=τ

sT1

dtd sau (1152)

dtdTsτ



t

Ts ∆τ∆





Tdtd

minus=ττ (1156)


ClnTtC


Adică TtCln

Tdt

eCeminus+minus


Tt

s eminus


Tt

i eminus






D

SD

SD

sp P

Pk =ττ

= (1161)



minussdotτ=τ

minusTt

sSD

i

e1 (1162)


Ttp i

e1

1kminus

minus= (1163)


Taylor pe Tti


Tt1e iT

t1

minusasympminus

(1164)


i

P tTk = (1165)


i

PI tTkk == (1166)







s

dTdt

ττ

= (1170)


Tt

s sdotτ=τ (1171)






r1

iA tt

tD+

= (1172)


100tt

tDri

iA sdot

+=[] (1173)




minussdotτ=τ

minusTt

s1

i

e1 (1174)

Tt

12

i

eminus

sdotτ=τ (1175)


minusminusTt

sTt

43

ii

e1e (1176)

Tt

34

r

eminus

sdotτ=τ (1177)

Tt

n2n2

r

eminus



minusminus

sdot+sdotTt

sTt

n21n2

ii

e1e (1179)


Tt

Tt

Tt

c

cr

e1

eeminus

minusminus

minus

minus=τmin (1181)


sTt

Tt

c

i

e1

e1τsdot

minus

minus=τ

minus

minus

max (1182)


Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=cong

minusminus

minusminus

congminus

minus=

ττ

=minus

minus

(1183)


A

pr D1kk == (1184)





x





















durată








scurtcircuit



( )

( )intint

+sdot

δsdot++sdot

θ


BA2

8BA2 udu

l8Pd1

2 (198)


( )( )BA2

8BA2l8

P21 +sdot

δsdot++sdotsdot


+δsdot

+sdotsdotλsdot

+θ=θBA

41l8

P21 ln (1101)


BA

4BA

41+δsdot

cong

+δsdot

+ln (1102)

Rezultă

( )BAl2P


+θ=θ (1103)


( )[ ] ( )BAl2P

l8BA2P



+θ=θ (1104)








( ) ( )


λsdotsdot= 21

21

22

m

1

21 rr

4p

rr

1Cln

(1105)

( ) ( )


λsdotsdotminus

λsdotsdot

+θ= 212

122

m

1

2

2

m

22

22 rr4

p

rrr

4rpC

ln

ln (1106)




02

rprC

m

m

m

1 =λsdotsdot

minus p

C2r m1m

λsdotsdot= (1107)


2m

2m

m1m C4

rprC +λsdotsdot




m

1

1

1

2rp

rC

λsdotsdot

minus (1110)

m

21

1 2rpCλsdotsdot

= (1111)


m

22

2m

21

22 4rpr

2rpC

λsdotsdot

+sdotλsdotsdot

minusθ= ln (1112)


( )222

m2m

21

2 rr4

prr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

+θ=θ ln (1113)


( )21

22

m2

1

m

21 rr

4p

rr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

=θ∆ ln (1114)


δsdot



∆λ∆

+λsdot

+λδsdot

∆+sdot+δsdot=λ

bi

m b22b22481 (1116)

sau

δsdotδsdot+

sdotδsdot+

sdotλ=λ2

2B2A

Aim (1117)












dtx

AdQ2 sdotpartθpart



dtdxxx

AdQ3 sdot

sdot

partθpart

+θsdotpartpart



dtdxt




( ) dtdxt

Acdtdxl

dtdxx

Ax

A

dtdx

AdtdxAj

dap

2

2

2

sdotsdotpartθpart


+sdotsdotpartθpart


sdotsdotλminus=

=sdotθpart


(1125)


( )ap2

2

2

d Al

jxt


sdotλ=partθpart

sdotρsdot (1126)


( )ad

p

d

2

2

2

Acl

cj

xa

tθminusθsdot

sdotρsdotsdotα

minusρsdotρsdot

+partθpart





=

partθpart

=partθpart 0

x0

t 2

2

şi


p

d

2

Acl

cj

τsdotsdotρsdot

α=

ρsdotρsdot


llA

lAIl

Aj

p2

2

p

2


=sdotαsdotρsdot

=τ (1130)


S

Ps sdotα=τ (1131)



τsdotsdotρsdot

sdotαminus

ρsdotρsdot

=θ

Acl

cj

dtd

d

p

d

2

(1132)


dtAc

ldt

cjd

d

p

d

2


sdotαminus

ρsdotρsdot

=τ (1134)

dtMcSdt

McPd sdotτsdot

sdotsdotα

minussdotsdot

=τ (1135)



S

McTsdotαsdot

= [s] (1138)


τminusτ

τ=

s

dTdt (1139)

Tdtd

s



( ) CTt



s0

s

Tt

τminusττminusτ

=minus ln (1143)

s0

sTt

eτminusττminusτ

=minus

(1144)


minusminusTt

sTt

0 e1e (1145)


minussdotτ=τ

minusTt

s e1 (1146)



Tdt

d s τminusτ=

τ (1147)


ABAM

dtd

=τ (1148)




Tt

s

e1minus

minus=ττ (1149)






Tt

s eT1

dtd minus


Rezultă succesiv

s

sTt

eττminusτ

=minus

(1151)

( )τminusτsdot=τ

sT1

dtd sau (1152)

dtdTsτ



t

Ts ∆τ∆





Tdtd

minus=ττ (1156)


ClnTtC


Adică TtCln

Tdt

eCeminus+minus


Tt

s eminus


Tt

i eminus






D

SD

SD

sp P

Pk =ττ

= (1161)



minussdotτ=τ

minusTt

sSD

i

e1 (1162)


Ttp i

e1

1kminus

minus= (1163)


Taylor pe Tti


Tt1e iT

t1

minusasympminus

(1164)


i

P tTk = (1165)


i

PI tTkk == (1166)







s

dTdt

ττ

= (1170)


Tt

s sdotτ=τ (1171)






r1

iA tt

tD+

= (1172)


100tt

tDri

iA sdot

+=[] (1173)




minussdotτ=τ

minusTt

s1

i

e1 (1174)

Tt

12

i

eminus

sdotτ=τ (1175)


minusminusTt

sTt

43

ii

e1e (1176)

Tt

34

r

eminus

sdotτ=τ (1177)

Tt

n2n2

r

eminus



minusminus

sdot+sdotTt

sTt

n21n2

ii

e1e (1179)


Tt

Tt

Tt

c

cr

e1

eeminus

minusminus

minus

minus=τmin (1181)


sTt

Tt

c

i

e1

e1τsdot

minus

minus=τ

minus

minus

max (1182)


Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=cong

minusminus

minusminus

congminus

minus=

ττ

=minus

minus

(1183)


A

pr D1kk == (1184)





x





















durată








scurtcircuit







( ) ( )


λsdotsdot= 21

21

22

m

1

21 rr

4p

rr

1Cln

(1105)

( ) ( )


λsdotsdotminus

λsdotsdot

+θ= 212

122

m

1

2

2

m

22

22 rr4

p

rrr

4rpC

ln

ln (1106)




02

rprC

m

m

m

1 =λsdotsdot

minus p

C2r m1m

λsdotsdot= (1107)


2m

2m

m1m C4

rprC +λsdotsdot




m

1

1

1

2rp

rC

λsdotsdot

minus (1110)

m

21

1 2rpCλsdotsdot

= (1111)


m

22

2m

21

22 4rpr

2rpC

λsdotsdot

+sdotλsdotsdot

minusθ= ln (1112)


( )222

m2m

21

2 rr4

prr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

+θ=θ ln (1113)


( )21

22

m2

1

m

21 rr

4p

rr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

=θ∆ ln (1114)


δsdot



∆λ∆

+λsdot

+λδsdot

∆+sdot+δsdot=λ

bi

m b22b22481 (1116)

sau

δsdotδsdot+

sdotδsdot+

sdotλ=λ2

2B2A

Aim (1117)












dtx

AdQ2 sdotpartθpart



dtdxxx

AdQ3 sdot

sdot

partθpart

+θsdotpartpart



dtdxt




( ) dtdxt

Acdtdxl

dtdxx

Ax

A

dtdx

AdtdxAj

dap

2

2

2

sdotsdotpartθpart


+sdotsdotpartθpart


sdotsdotλminus=

=sdotθpart


(1125)


( )ap2

2

2

d Al

jxt


sdotλ=partθpart

sdotρsdot (1126)


( )ad

p

d

2

2

2

Acl

cj

xa

tθminusθsdot

sdotρsdotsdotα

minusρsdotρsdot

+partθpart





=

partθpart

=partθpart 0

x0

t 2

2

şi


p

d

2

Acl

cj

τsdotsdotρsdot

α=

ρsdotρsdot


llA

lAIl

Aj

p2

2

p

2


=sdotαsdotρsdot

=τ (1130)


S

Ps sdotα=τ (1131)



τsdotsdotρsdot

sdotαminus

ρsdotρsdot

=θ

Acl

cj

dtd

d

p

d

2

(1132)


dtAc

ldt

cjd

d

p

d

2


sdotαminus

ρsdotρsdot

=τ (1134)

dtMcSdt

McPd sdotτsdot

sdotsdotα

minussdotsdot

=τ (1135)



S

McTsdotαsdot

= [s] (1138)


τminusτ

τ=

s

dTdt (1139)

Tdtd

s



( ) CTt



s0

s

Tt

τminusττminusτ

=minus ln (1143)

s0

sTt

eτminusττminusτ

=minus

(1144)


minusminusTt

sTt

0 e1e (1145)


minussdotτ=τ

minusTt

s e1 (1146)



Tdt

d s τminusτ=

τ (1147)


ABAM

dtd

=τ (1148)




Tt

s

e1minus

minus=ττ (1149)






Tt

s eT1

dtd minus


Rezultă succesiv

s

sTt

eττminusτ

=minus

(1151)

( )τminusτsdot=τ

sT1

dtd sau (1152)

dtdTsτ



t

Ts ∆τ∆





Tdtd

minus=ττ (1156)


ClnTtC


Adică TtCln

Tdt

eCeminus+minus


Tt

s eminus


Tt

i eminus






D

SD

SD

sp P

Pk =ττ

= (1161)



minussdotτ=τ

minusTt

sSD

i

e1 (1162)


Ttp i

e1

1kminus

minus= (1163)


Taylor pe Tti


Tt1e iT

t1

minusasympminus

(1164)


i

P tTk = (1165)


i

PI tTkk == (1166)







s

dTdt

ττ

= (1170)


Tt

s sdotτ=τ (1171)






r1

iA tt

tD+

= (1172)


100tt

tDri

iA sdot

+=[] (1173)




minussdotτ=τ

minusTt

s1

i

e1 (1174)

Tt

12

i

eminus

sdotτ=τ (1175)


minusminusTt

sTt

43

ii

e1e (1176)

Tt

34

r

eminus

sdotτ=τ (1177)

Tt

n2n2

r

eminus



minusminus

sdot+sdotTt

sTt

n21n2

ii

e1e (1179)


Tt

Tt

Tt

c

cr

e1

eeminus

minusminus

minus

minus=τmin (1181)


sTt

Tt

c

i

e1

e1τsdot

minus

minus=τ

minus

minus

max (1182)


Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=cong

minusminus

minusminus

congminus

minus=

ττ

=minus

minus

(1183)


A

pr D1kk == (1184)





x





















durată








scurtcircuit



( ) ( )


λsdotsdot= 21

21

22

m

1

21 rr

4p

rr

1Cln

(1105)

( ) ( )


λsdotsdotminus

λsdotsdot

+θ= 212

122

m

1

2

2

m

22

22 rr4

p

rrr

4rpC

ln

ln (1106)




02

rprC

m

m

m

1 =λsdotsdot

minus p

C2r m1m

λsdotsdot= (1107)


2m

2m

m1m C4

rprC +λsdotsdot




m

1

1

1

2rp

rC

λsdotsdot

minus (1110)

m

21

1 2rpCλsdotsdot

= (1111)


m

22

2m

21

22 4rpr

2rpC

λsdotsdot

+sdotλsdotsdot

minusθ= ln (1112)


( )222

m2m

21

2 rr4

prr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

+θ=θ ln (1113)


( )21

22

m2

1

m

21 rr

4p

rr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

=θ∆ ln (1114)


δsdot



∆λ∆

+λsdot

+λδsdot

∆+sdot+δsdot=λ

bi

m b22b22481 (1116)

sau

δsdotδsdot+

sdotδsdot+

sdotλ=λ2

2B2A

Aim (1117)












dtx

AdQ2 sdotpartθpart



dtdxxx

AdQ3 sdot

sdot

partθpart

+θsdotpartpart



dtdxt




( ) dtdxt

Acdtdxl

dtdxx

Ax

A

dtdx

AdtdxAj

dap

2

2

2

sdotsdotpartθpart


+sdotsdotpartθpart


sdotsdotλminus=

=sdotθpart


(1125)


( )ap2

2

2

d Al

jxt


sdotλ=partθpart

sdotρsdot (1126)


( )ad

p

d

2

2

2

Acl

cj

xa

tθminusθsdot

sdotρsdotsdotα

minusρsdotρsdot

+partθpart





=

partθpart

=partθpart 0

x0

t 2

2

şi


p

d

2

Acl

cj

τsdotsdotρsdot

α=

ρsdotρsdot


llA

lAIl

Aj

p2

2

p

2


=sdotαsdotρsdot

=τ (1130)


S

Ps sdotα=τ (1131)



τsdotsdotρsdot

sdotαminus

ρsdotρsdot

=θ

Acl

cj

dtd

d

p

d

2

(1132)


dtAc

ldt

cjd

d

p

d

2


sdotαminus

ρsdotρsdot

=τ (1134)

dtMcSdt

McPd sdotτsdot

sdotsdotα

minussdotsdot

=τ (1135)



S

McTsdotαsdot

= [s] (1138)


τminusτ

τ=

s

dTdt (1139)

Tdtd

s



( ) CTt



s0

s

Tt

τminusττminusτ

=minus ln (1143)

s0

sTt

eτminusττminusτ

=minus

(1144)


minusminusTt

sTt

0 e1e (1145)


minussdotτ=τ

minusTt

s e1 (1146)



Tdt

d s τminusτ=

τ (1147)


ABAM

dtd

=τ (1148)




Tt

s

e1minus

minus=ττ (1149)






Tt

s eT1

dtd minus


Rezultă succesiv

s

sTt

eττminusτ

=minus

(1151)

( )τminusτsdot=τ

sT1

dtd sau (1152)

dtdTsτ



t

Ts ∆τ∆





Tdtd

minus=ττ (1156)


ClnTtC


Adică TtCln

Tdt

eCeminus+minus


Tt

s eminus


Tt

i eminus






D

SD

SD

sp P

Pk =ττ

= (1161)



minussdotτ=τ

minusTt

sSD

i

e1 (1162)


Ttp i

e1

1kminus

minus= (1163)


Taylor pe Tti


Tt1e iT

t1

minusasympminus

(1164)


i

P tTk = (1165)


i

PI tTkk == (1166)







s

dTdt

ττ

= (1170)


Tt

s sdotτ=τ (1171)






r1

iA tt

tD+

= (1172)


100tt

tDri

iA sdot

+=[] (1173)




minussdotτ=τ

minusTt

s1

i

e1 (1174)

Tt

12

i

eminus

sdotτ=τ (1175)


minusminusTt

sTt

43

ii

e1e (1176)

Tt

34

r

eminus

sdotτ=τ (1177)

Tt

n2n2

r

eminus



minusminus

sdot+sdotTt

sTt

n21n2

ii

e1e (1179)


Tt

Tt

Tt

c

cr

e1

eeminus

minusminus

minus

minus=τmin (1181)


sTt

Tt

c

i

e1

e1τsdot

minus

minus=τ

minus

minus

max (1182)


Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=cong

minusminus

minusminus

congminus

minus=

ττ

=minus

minus

(1183)


A

pr D1kk == (1184)





x





















durată








scurtcircuit


( ) ( )


λsdotsdot= 21

21

22

m

1

21 rr

4p

rr

1Cln

(1105)

( ) ( )


λsdotsdotminus

λsdotsdot

+θ= 212

122

m

1

2

2

m

22

22 rr4

p

rrr

4rpC

ln

ln (1106)




02

rprC

m

m

m

1 =λsdotsdot

minus p

C2r m1m

λsdotsdot= (1107)


2m

2m

m1m C4

rprC +λsdotsdot




m

1

1

1

2rp

rC

λsdotsdot

minus (1110)

m

21

1 2rpCλsdotsdot

= (1111)


m

22

2m

21

22 4rpr

2rpC

λsdotsdot

+sdotλsdotsdot

minusθ= ln (1112)


( )222

m2m

21

2 rr4

prr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

+θ=θ ln (1113)


( )21

22

m2

1

m

21 rr

4p

rr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

=θ∆ ln (1114)


δsdot



∆λ∆

+λsdot

+λδsdot

∆+sdot+δsdot=λ

bi

m b22b22481 (1116)

sau

δsdotδsdot+

sdotδsdot+

sdotλ=λ2

2B2A

Aim (1117)












dtx

AdQ2 sdotpartθpart



dtdxxx

AdQ3 sdot

sdot

partθpart

+θsdotpartpart



dtdxt




( ) dtdxt

Acdtdxl

dtdxx

Ax

A

dtdx

AdtdxAj

dap

2

2

2

sdotsdotpartθpart


+sdotsdotpartθpart


sdotsdotλminus=

=sdotθpart


(1125)


( )ap2

2

2

d Al

jxt


sdotλ=partθpart

sdotρsdot (1126)


( )ad

p

d

2

2

2

Acl

cj

xa

tθminusθsdot

sdotρsdotsdotα

minusρsdotρsdot

+partθpart





=

partθpart

=partθpart 0

x0

t 2

2

şi


p

d

2

Acl

cj

τsdotsdotρsdot

α=

ρsdotρsdot


llA

lAIl

Aj

p2

2

p

2


=sdotαsdotρsdot

=τ (1130)


S

Ps sdotα=τ (1131)



τsdotsdotρsdot

sdotαminus

ρsdotρsdot

=θ

Acl

cj

dtd

d

p

d

2

(1132)


dtAc

ldt

cjd

d

p

d

2


sdotαminus

ρsdotρsdot

=τ (1134)

dtMcSdt

McPd sdotτsdot

sdotsdotα

minussdotsdot

=τ (1135)



S

McTsdotαsdot

= [s] (1138)


τminusτ

τ=

s

dTdt (1139)

Tdtd

s



( ) CTt



s0

s

Tt

τminusττminusτ

=minus ln (1143)

s0

sTt

eτminusττminusτ

=minus

(1144)


minusminusTt

sTt

0 e1e (1145)


minussdotτ=τ

minusTt

s e1 (1146)



Tdt

d s τminusτ=

τ (1147)


ABAM

dtd

=τ (1148)




Tt

s

e1minus

minus=ττ (1149)






Tt

s eT1

dtd minus


Rezultă succesiv

s

sTt

eττminusτ

=minus

(1151)

( )τminusτsdot=τ

sT1

dtd sau (1152)

dtdTsτ



t

Ts ∆τ∆





Tdtd

minus=ττ (1156)


ClnTtC


Adică TtCln

Tdt

eCeminus+minus


Tt

s eminus


Tt

i eminus






D

SD

SD

sp P

Pk =ττ

= (1161)



minussdotτ=τ

minusTt

sSD

i

e1 (1162)


Ttp i

e1

1kminus

minus= (1163)


Taylor pe Tti


Tt1e iT

t1

minusasympminus

(1164)


i

P tTk = (1165)


i

PI tTkk == (1166)







s

dTdt

ττ

= (1170)


Tt

s sdotτ=τ (1171)






r1

iA tt

tD+

= (1172)


100tt

tDri

iA sdot

+=[] (1173)




minussdotτ=τ

minusTt

s1

i

e1 (1174)

Tt

12

i

eminus

sdotτ=τ (1175)


minusminusTt

sTt

43

ii

e1e (1176)

Tt

34

r

eminus

sdotτ=τ (1177)

Tt

n2n2

r

eminus



minusminus

sdot+sdotTt

sTt

n21n2

ii

e1e (1179)


Tt

Tt

Tt

c

cr

e1

eeminus

minusminus

minus

minus=τmin (1181)


sTt

Tt

c

i

e1

e1τsdot

minus

minus=τ

minus

minus

max (1182)


Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=cong

minusminus

minusminus

congminus

minus=

ττ

=minus

minus

(1183)


A

pr D1kk == (1184)





x





















durată








scurtcircuit

02

rprC

m

m

m

1 =λsdotsdot

minus p

C2r m1m

λsdotsdot= (1107)


2m

2m

m1m C4

rprC +λsdotsdot




m

1

1

1

2rp

rC

λsdotsdot

minus (1110)

m

21

1 2rpCλsdotsdot

= (1111)


m

22

2m

21

22 4rpr

2rpC

λsdotsdot

+sdotλsdotsdot

minusθ= ln (1112)


( )222

m2m

21

2 rr4

prr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

+θ=θ ln (1113)


( )21

22

m2

1

m

21 rr

4p

rr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

=θ∆ ln (1114)


δsdot



∆λ∆

+λsdot

+λδsdot

∆+sdot+δsdot=λ

bi

m b22b22481 (1116)

sau

δsdotδsdot+

sdotδsdot+

sdotλ=λ2

2B2A

Aim (1117)












dtx

AdQ2 sdotpartθpart



dtdxxx

AdQ3 sdot

sdot

partθpart

+θsdotpartpart



dtdxt




( ) dtdxt

Acdtdxl

dtdxx

Ax

A

dtdx

AdtdxAj

dap

2

2

2

sdotsdotpartθpart


+sdotsdotpartθpart


sdotsdotλminus=

=sdotθpart


(1125)


( )ap2

2

2

d Al

jxt


sdotλ=partθpart

sdotρsdot (1126)


( )ad

p

d

2

2

2

Acl

cj

xa

tθminusθsdot

sdotρsdotsdotα

minusρsdotρsdot

+partθpart





=

partθpart

=partθpart 0

x0

t 2

2

şi


p

d

2

Acl

cj

τsdotsdotρsdot

α=

ρsdotρsdot


llA

lAIl

Aj

p2

2

p

2


=sdotαsdotρsdot

=τ (1130)


S

Ps sdotα=τ (1131)



τsdotsdotρsdot

sdotαminus

ρsdotρsdot

=θ

Acl

cj

dtd

d

p

d

2

(1132)


dtAc

ldt

cjd

d

p

d

2


sdotαminus

ρsdotρsdot

=τ (1134)

dtMcSdt

McPd sdotτsdot

sdotsdotα

minussdotsdot

=τ (1135)



S

McTsdotαsdot

= [s] (1138)


τminusτ

τ=

s

dTdt (1139)

Tdtd

s



( ) CTt



s0

s

Tt

τminusττminusτ

=minus ln (1143)

s0

sTt

eτminusττminusτ

=minus

(1144)


minusminusTt

sTt

0 e1e (1145)


minussdotτ=τ

minusTt

s e1 (1146)



Tdt

d s τminusτ=

τ (1147)


ABAM

dtd

=τ (1148)




Tt

s

e1minus

minus=ττ (1149)






Tt

s eT1

dtd minus


Rezultă succesiv

s

sTt

eττminusτ

=minus

(1151)

( )τminusτsdot=τ

sT1

dtd sau (1152)

dtdTsτ



t

Ts ∆τ∆





Tdtd

minus=ττ (1156)


ClnTtC


Adică TtCln

Tdt

eCeminus+minus


Tt

s eminus


Tt

i eminus






D

SD

SD

sp P

Pk =ττ

= (1161)



minussdotτ=τ

minusTt

sSD

i

e1 (1162)


Ttp i

e1

1kminus

minus= (1163)


Taylor pe Tti


Tt1e iT

t1

minusasympminus

(1164)


i

P tTk = (1165)


i

PI tTkk == (1166)







s

dTdt

ττ

= (1170)


Tt

s sdotτ=τ (1171)






r1

iA tt

tD+

= (1172)


100tt

tDri

iA sdot

+=[] (1173)




minussdotτ=τ

minusTt

s1

i

e1 (1174)

Tt

12

i

eminus

sdotτ=τ (1175)


minusminusTt

sTt

43

ii

e1e (1176)

Tt

34

r

eminus

sdotτ=τ (1177)

Tt

n2n2

r

eminus



minusminus

sdot+sdotTt

sTt

n21n2

ii

e1e (1179)


Tt

Tt

Tt

c

cr

e1

eeminus

minusminus

minus

minus=τmin (1181)


sTt

Tt

c

i

e1

e1τsdot

minus

minus=τ

minus

minus

max (1182)


Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=cong

minusminus

minusminus

congminus

minus=

ττ

=minus

minus

(1183)


A

pr D1kk == (1184)





x





















durată








scurtcircuit


m

1

1

1

2rp

rC

λsdotsdot

minus (1110)

m

21

1 2rpCλsdotsdot

= (1111)


m

22

2m

21

22 4rpr

2rpC

λsdotsdot

+sdotλsdotsdot

minusθ= ln (1112)


( )222

m2m

21

2 rr4

prr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

+θ=θ ln (1113)


( )21

22

m2

1

m

21 rr

4p

rr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

=θ∆ ln (1114)


δsdot



∆λ∆

+λsdot

+λδsdot

∆+sdot+δsdot=λ

bi

m b22b22481 (1116)

sau

δsdotδsdot+

sdotδsdot+

sdotλ=λ2

2B2A

Aim (1117)












dtx

AdQ2 sdotpartθpart



dtdxxx

AdQ3 sdot

sdot

partθpart

+θsdotpartpart



dtdxt




( ) dtdxt

Acdtdxl

dtdxx

Ax

A

dtdx

AdtdxAj

dap

2

2

2

sdotsdotpartθpart


+sdotsdotpartθpart


sdotsdotλminus=

=sdotθpart


(1125)


( )ap2

2

2

d Al

jxt


sdotλ=partθpart

sdotρsdot (1126)


( )ad

p

d

2

2

2

Acl

cj

xa

tθminusθsdot

sdotρsdotsdotα

minusρsdotρsdot

+partθpart





=

partθpart

=partθpart 0

x0

t 2

2

şi


p

d

2

Acl

cj

τsdotsdotρsdot

α=

ρsdotρsdot


llA

lAIl

Aj

p2

2

p

2


=sdotαsdotρsdot

=τ (1130)


S

Ps sdotα=τ (1131)



τsdotsdotρsdot

sdotαminus

ρsdotρsdot

=θ

Acl

cj

dtd

d

p

d

2

(1132)


dtAc

ldt

cjd

d

p

d

2


sdotαminus

ρsdotρsdot

=τ (1134)

dtMcSdt

McPd sdotτsdot

sdotsdotα

minussdotsdot

=τ (1135)



S

McTsdotαsdot

= [s] (1138)


τminusτ

τ=

s

dTdt (1139)

Tdtd

s



( ) CTt



s0

s

Tt

τminusττminusτ

=minus ln (1143)

s0

sTt

eτminusττminusτ

=minus

(1144)


minusminusTt

sTt

0 e1e (1145)


minussdotτ=τ

minusTt

s e1 (1146)



Tdt

d s τminusτ=

τ (1147)


ABAM

dtd

=τ (1148)




Tt

s

e1minus

minus=ττ (1149)






Tt

s eT1

dtd minus


Rezultă succesiv

s

sTt

eττminusτ

=minus

(1151)

( )τminusτsdot=τ

sT1

dtd sau (1152)

dtdTsτ



t

Ts ∆τ∆





Tdtd

minus=ττ (1156)


ClnTtC


Adică TtCln

Tdt

eCeminus+minus


Tt

s eminus


Tt

i eminus






D

SD

SD

sp P

Pk =ττ

= (1161)



minussdotτ=τ

minusTt

sSD

i

e1 (1162)


Ttp i

e1

1kminus

minus= (1163)


Taylor pe Tti


Tt1e iT

t1

minusasympminus

(1164)


i

P tTk = (1165)


i

PI tTkk == (1166)







s

dTdt

ττ

= (1170)


Tt

s sdotτ=τ (1171)






r1

iA tt

tD+

= (1172)


100tt

tDri

iA sdot

+=[] (1173)




minussdotτ=τ

minusTt

s1

i

e1 (1174)

Tt

12

i

eminus

sdotτ=τ (1175)


minusminusTt

sTt

43

ii

e1e (1176)

Tt

34

r

eminus

sdotτ=τ (1177)

Tt

n2n2

r

eminus



minusminus

sdot+sdotTt

sTt

n21n2

ii

e1e (1179)


Tt

Tt

Tt

c

cr

e1

eeminus

minusminus

minus

minus=τmin (1181)


sTt

Tt

c

i

e1

e1τsdot

minus

minus=τ

minus

minus

max (1182)


Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=cong

minusminus

minusminus

congminus

minus=

ττ

=minus

minus

(1183)


A

pr D1kk == (1184)





x





















durată








scurtcircuit

m

22

2m

21

22 4rpr

2rpC

λsdotsdot

+sdotλsdotsdot

minusθ= ln (1112)


( )222

m2m

21

2 rr4

prr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

+θ=θ ln (1113)


( )21

22

m2

1

m

21 rr

4p

rr

2rp

minussdotλsdot

+sdotλsdotsdot

=θ∆ ln (1114)


δsdot



∆λ∆

+λsdot

+λδsdot

∆+sdot+δsdot=λ

bi

m b22b22481 (1116)

sau

δsdotδsdot+

sdotδsdot+

sdotλ=λ2

2B2A

Aim (1117)












dtx

AdQ2 sdotpartθpart



dtdxxx

AdQ3 sdot

sdot

partθpart

+θsdotpartpart



dtdxt




( ) dtdxt

Acdtdxl

dtdxx

Ax

A

dtdx

AdtdxAj

dap

2

2

2

sdotsdotpartθpart


+sdotsdotpartθpart


sdotsdotλminus=

=sdotθpart


(1125)


( )ap2

2

2

d Al

jxt


sdotλ=partθpart

sdotρsdot (1126)


( )ad

p

d

2

2

2

Acl

cj

xa

tθminusθsdot

sdotρsdotsdotα

minusρsdotρsdot

+partθpart





=

partθpart

=partθpart 0

x0

t 2

2

şi


p

d

2

Acl

cj

τsdotsdotρsdot

α=

ρsdotρsdot


llA

lAIl

Aj

p2

2

p

2


=sdotαsdotρsdot

=τ (1130)


S

Ps sdotα=τ (1131)



τsdotsdotρsdot

sdotαminus

ρsdotρsdot

=θ

Acl

cj

dtd

d

p

d

2

(1132)


dtAc

ldt

cjd

d

p

d

2


sdotαminus

ρsdotρsdot

=τ (1134)

dtMcSdt

McPd sdotτsdot

sdotsdotα

minussdotsdot

=τ (1135)



S

McTsdotαsdot

= [s] (1138)


τminusτ

τ=

s

dTdt (1139)

Tdtd

s



( ) CTt



s0

s

Tt

τminusττminusτ

=minus ln (1143)

s0

sTt

eτminusττminusτ

=minus

(1144)


minusminusTt

sTt

0 e1e (1145)


minussdotτ=τ

minusTt

s e1 (1146)



Tdt

d s τminusτ=

τ (1147)


ABAM

dtd

=τ (1148)




Tt

s

e1minus

minus=ττ (1149)






Tt

s eT1

dtd minus


Rezultă succesiv

s

sTt

eττminusτ

=minus

(1151)

( )τminusτsdot=τ

sT1

dtd sau (1152)

dtdTsτ



t

Ts ∆τ∆





Tdtd

minus=ττ (1156)


ClnTtC


Adică TtCln

Tdt

eCeminus+minus


Tt

s eminus


Tt

i eminus






D

SD

SD

sp P

Pk =ττ

= (1161)



minussdotτ=τ

minusTt

sSD

i

e1 (1162)


Ttp i

e1

1kminus

minus= (1163)


Taylor pe Tti


Tt1e iT

t1

minusasympminus

(1164)


i

P tTk = (1165)


i

PI tTkk == (1166)







s

dTdt

ττ

= (1170)


Tt

s sdotτ=τ (1171)






r1

iA tt

tD+

= (1172)


100tt

tDri

iA sdot

+=[] (1173)




minussdotτ=τ

minusTt

s1

i

e1 (1174)

Tt

12

i

eminus

sdotτ=τ (1175)


minusminusTt

sTt

43

ii

e1e (1176)

Tt

34

r

eminus

sdotτ=τ (1177)

Tt

n2n2

r

eminus



minusminus

sdot+sdotTt

sTt

n21n2

ii

e1e (1179)


Tt

Tt

Tt

c

cr

e1

eeminus

minusminus

minus

minus=τmin (1181)


sTt

Tt

c

i

e1

e1τsdot

minus

minus=τ

minus

minus

max (1182)


Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=cong

minusminus

minusminus

congminus

minus=

ττ

=minus

minus

(1183)


A

pr D1kk == (1184)





x





















durată








scurtcircuit










dtx

AdQ2 sdotpartθpart



dtdxxx

AdQ3 sdot

sdot

partθpart

+θsdotpartpart



dtdxt




( ) dtdxt

Acdtdxl

dtdxx

Ax

A

dtdx

AdtdxAj

dap

2

2

2

sdotsdotpartθpart


+sdotsdotpartθpart


sdotsdotλminus=

=sdotθpart


(1125)


( )ap2

2

2

d Al

jxt


sdotλ=partθpart

sdotρsdot (1126)


( )ad

p

d

2

2

2

Acl

cj

xa

tθminusθsdot

sdotρsdotsdotα

minusρsdotρsdot

+partθpart





=

partθpart

=partθpart 0

x0

t 2

2

şi


p

d

2

Acl

cj

τsdotsdotρsdot

α=

ρsdotρsdot


llA

lAIl

Aj

p2

2

p

2


=sdotαsdotρsdot

=τ (1130)


S

Ps sdotα=τ (1131)



τsdotsdotρsdot

sdotαminus

ρsdotρsdot

=θ

Acl

cj

dtd

d

p

d

2

(1132)


dtAc

ldt

cjd

d

p

d

2


sdotαminus

ρsdotρsdot

=τ (1134)

dtMcSdt

McPd sdotτsdot

sdotsdotα

minussdotsdot

=τ (1135)



S

McTsdotαsdot

= [s] (1138)


τminusτ

τ=

s

dTdt (1139)

Tdtd

s



( ) CTt



s0

s

Tt

τminusττminusτ

=minus ln (1143)

s0

sTt

eτminusττminusτ

=minus

(1144)


minusminusTt

sTt

0 e1e (1145)


minussdotτ=τ

minusTt

s e1 (1146)



Tdt

d s τminusτ=

τ (1147)


ABAM

dtd

=τ (1148)




Tt

s

e1minus

minus=ττ (1149)






Tt

s eT1

dtd minus


Rezultă succesiv

s

sTt

eττminusτ

=minus

(1151)

( )τminusτsdot=τ

sT1

dtd sau (1152)

dtdTsτ



t

Ts ∆τ∆





Tdtd

minus=ττ (1156)


ClnTtC


Adică TtCln

Tdt

eCeminus+minus


Tt

s eminus


Tt

i eminus






D

SD

SD

sp P

Pk =ττ

= (1161)



minussdotτ=τ

minusTt

sSD

i

e1 (1162)


Ttp i

e1

1kminus

minus= (1163)


Taylor pe Tti


Tt1e iT

t1

minusasympminus

(1164)


i

P tTk = (1165)


i

PI tTkk == (1166)







s

dTdt

ττ

= (1170)


Tt

s sdotτ=τ (1171)






r1

iA tt

tD+

= (1172)


100tt

tDri

iA sdot

+=[] (1173)




minussdotτ=τ

minusTt

s1

i

e1 (1174)

Tt

12

i

eminus

sdotτ=τ (1175)


minusminusTt

sTt

43

ii

e1e (1176)

Tt

34

r

eminus

sdotτ=τ (1177)

Tt

n2n2

r

eminus



minusminus

sdot+sdotTt

sTt

n21n2

ii

e1e (1179)


Tt

Tt

Tt

c

cr

e1

eeminus

minusminus

minus

minus=τmin (1181)


sTt

Tt

c

i

e1

e1τsdot

minus

minus=τ

minus

minus

max (1182)


Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=cong

minusminus

minusminus

congminus

minus=

ττ

=minus

minus

(1183)


A

pr D1kk == (1184)





x





















durată








scurtcircuit





dtx

AdQ2 sdotpartθpart



dtdxxx

AdQ3 sdot

sdot

partθpart

+θsdotpartpart



dtdxt




( ) dtdxt

Acdtdxl

dtdxx

Ax

A

dtdx

AdtdxAj

dap

2

2

2

sdotsdotpartθpart


+sdotsdotpartθpart


sdotsdotλminus=

=sdotθpart


(1125)


( )ap2

2

2

d Al

jxt


sdotλ=partθpart

sdotρsdot (1126)


( )ad

p

d

2

2

2

Acl

cj

xa

tθminusθsdot

sdotρsdotsdotα

minusρsdotρsdot

+partθpart





=

partθpart

=partθpart 0

x0

t 2

2

şi


p

d

2

Acl

cj

τsdotsdotρsdot

α=

ρsdotρsdot


llA

lAIl

Aj

p2

2

p

2


=sdotαsdotρsdot

=τ (1130)


S

Ps sdotα=τ (1131)



τsdotsdotρsdot

sdotαminus

ρsdotρsdot

=θ

Acl

cj

dtd

d

p

d

2

(1132)


dtAc

ldt

cjd

d

p

d

2


sdotαminus

ρsdotρsdot

=τ (1134)

dtMcSdt

McPd sdotτsdot

sdotsdotα

minussdotsdot

=τ (1135)



S

McTsdotαsdot

= [s] (1138)


τminusτ

τ=

s

dTdt (1139)

Tdtd

s



( ) CTt



s0

s

Tt

τminusττminusτ

=minus ln (1143)

s0

sTt

eτminusττminusτ

=minus

(1144)


minusminusTt

sTt

0 e1e (1145)


minussdotτ=τ

minusTt

s e1 (1146)



Tdt

d s τminusτ=

τ (1147)


ABAM

dtd

=τ (1148)




Tt

s

e1minus

minus=ττ (1149)






Tt

s eT1

dtd minus


Rezultă succesiv

s

sTt

eττminusτ

=minus

(1151)

( )τminusτsdot=τ

sT1

dtd sau (1152)

dtdTsτ



t

Ts ∆τ∆





Tdtd

minus=ττ (1156)


ClnTtC


Adică TtCln

Tdt

eCeminus+minus


Tt

s eminus


Tt

i eminus






D

SD

SD

sp P

Pk =ττ

= (1161)



minussdotτ=τ

minusTt

sSD

i

e1 (1162)


Ttp i

e1

1kminus

minus= (1163)


Taylor pe Tti


Tt1e iT

t1

minusasympminus

(1164)


i

P tTk = (1165)


i

PI tTkk == (1166)







s

dTdt

ττ

= (1170)


Tt

s sdotτ=τ (1171)






r1

iA tt

tD+

= (1172)


100tt

tDri

iA sdot

+=[] (1173)




minussdotτ=τ

minusTt

s1

i

e1 (1174)

Tt

12

i

eminus

sdotτ=τ (1175)


minusminusTt

sTt

43

ii

e1e (1176)

Tt

34

r

eminus

sdotτ=τ (1177)

Tt

n2n2

r

eminus



minusminus

sdot+sdotTt

sTt

n21n2

ii

e1e (1179)


Tt

Tt

Tt

c

cr

e1

eeminus

minusminus

minus

minus=τmin (1181)


sTt

Tt

c

i

e1

e1τsdot

minus

minus=τ

minus

minus

max (1182)


Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=cong

minusminus

minusminus

congminus

minus=

ττ

=minus

minus

(1183)


A

pr D1kk == (1184)





x





















durată








scurtcircuit


dtx

AdQ2 sdotpartθpart



dtdxxx

AdQ3 sdot

sdot

partθpart

+θsdotpartpart



dtdxt




( ) dtdxt

Acdtdxl

dtdxx

Ax

A

dtdx

AdtdxAj

dap

2

2

2

sdotsdotpartθpart


+sdotsdotpartθpart


sdotsdotλminus=

=sdotθpart


(1125)


( )ap2

2

2

d Al

jxt


sdotλ=partθpart

sdotρsdot (1126)


( )ad

p

d

2

2

2

Acl

cj

xa

tθminusθsdot

sdotρsdotsdotα

minusρsdotρsdot

+partθpart





=

partθpart

=partθpart 0

x0

t 2

2

şi


p

d

2

Acl

cj

τsdotsdotρsdot

α=

ρsdotρsdot


llA

lAIl

Aj

p2

2

p

2


=sdotαsdotρsdot

=τ (1130)


S

Ps sdotα=τ (1131)



τsdotsdotρsdot

sdotαminus

ρsdotρsdot

=θ

Acl

cj

dtd

d

p

d

2

(1132)


dtAc

ldt

cjd

d

p

d

2


sdotαminus

ρsdotρsdot

=τ (1134)

dtMcSdt

McPd sdotτsdot

sdotsdotα

minussdotsdot

=τ (1135)



S

McTsdotαsdot

= [s] (1138)


τminusτ

τ=

s

dTdt (1139)

Tdtd

s



( ) CTt



s0

s

Tt

τminusττminusτ

=minus ln (1143)

s0

sTt

eτminusττminusτ

=minus

(1144)


minusminusTt

sTt

0 e1e (1145)


minussdotτ=τ

minusTt

s e1 (1146)



Tdt

d s τminusτ=

τ (1147)


ABAM

dtd

=τ (1148)




Tt

s

e1minus

minus=ττ (1149)






Tt

s eT1

dtd minus


Rezultă succesiv

s

sTt

eττminusτ

=minus

(1151)

( )τminusτsdot=τ

sT1

dtd sau (1152)

dtdTsτ



t

Ts ∆τ∆





Tdtd

minus=ττ (1156)


ClnTtC


Adică TtCln

Tdt

eCeminus+minus


Tt

s eminus


Tt

i eminus






D

SD

SD

sp P

Pk =ττ

= (1161)



minussdotτ=τ

minusTt

sSD

i

e1 (1162)


Ttp i

e1

1kminus

minus= (1163)


Taylor pe Tti


Tt1e iT

t1

minusasympminus

(1164)


i

P tTk = (1165)


i

PI tTkk == (1166)







s

dTdt

ττ

= (1170)


Tt

s sdotτ=τ (1171)






r1

iA tt

tD+

= (1172)


100tt

tDri

iA sdot

+=[] (1173)




minussdotτ=τ

minusTt

s1

i

e1 (1174)

Tt

12

i

eminus

sdotτ=τ (1175)


minusminusTt

sTt

43

ii

e1e (1176)

Tt

34

r

eminus

sdotτ=τ (1177)

Tt

n2n2

r

eminus



minusminus

sdot+sdotTt

sTt

n21n2

ii

e1e (1179)


Tt

Tt

Tt

c

cr

e1

eeminus

minusminus

minus

minus=τmin (1181)


sTt

Tt

c

i

e1

e1τsdot

minus

minus=τ

minus

minus

max (1182)


Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=cong

minusminus

minusminus

congminus

minus=

ττ

=minus

minus

(1183)


A

pr D1kk == (1184)





x





















durată








scurtcircuit



=

partθpart

=partθpart 0

x0

t 2

2

şi


p

d

2

Acl

cj

τsdotsdotρsdot

α=

ρsdotρsdot


llA

lAIl

Aj

p2

2

p

2


=sdotαsdotρsdot

=τ (1130)


S

Ps sdotα=τ (1131)



τsdotsdotρsdot

sdotαminus

ρsdotρsdot

=θ

Acl

cj

dtd

d

p

d

2

(1132)


dtAc

ldt

cjd

d

p

d

2


sdotαminus

ρsdotρsdot

=τ (1134)

dtMcSdt

McPd sdotτsdot

sdotsdotα

minussdotsdot

=τ (1135)



S

McTsdotαsdot

= [s] (1138)


τminusτ

τ=

s

dTdt (1139)

Tdtd

s



( ) CTt



s0

s

Tt

τminusττminusτ

=minus ln (1143)

s0

sTt

eτminusττminusτ

=minus

(1144)


minusminusTt

sTt

0 e1e (1145)


minussdotτ=τ

minusTt

s e1 (1146)



Tdt

d s τminusτ=

τ (1147)


ABAM

dtd

=τ (1148)




Tt

s

e1minus

minus=ττ (1149)






Tt

s eT1

dtd minus


Rezultă succesiv

s

sTt

eττminusτ

=minus

(1151)

( )τminusτsdot=τ

sT1

dtd sau (1152)

dtdTsτ



t

Ts ∆τ∆





Tdtd

minus=ττ (1156)


ClnTtC


Adică TtCln

Tdt

eCeminus+minus


Tt

s eminus


Tt

i eminus






D

SD

SD

sp P

Pk =ττ

= (1161)



minussdotτ=τ

minusTt

sSD

i

e1 (1162)


Ttp i

e1

1kminus

minus= (1163)


Taylor pe Tti


Tt1e iT

t1

minusasympminus

(1164)


i

P tTk = (1165)


i

PI tTkk == (1166)







s

dTdt

ττ

= (1170)


Tt

s sdotτ=τ (1171)






r1

iA tt

tD+

= (1172)


100tt

tDri

iA sdot

+=[] (1173)




minussdotτ=τ

minusTt

s1

i

e1 (1174)

Tt

12

i

eminus

sdotτ=τ (1175)


minusminusTt

sTt

43

ii

e1e (1176)

Tt

34

r

eminus

sdotτ=τ (1177)

Tt

n2n2

r

eminus



minusminus

sdot+sdotTt

sTt

n21n2

ii

e1e (1179)


Tt

Tt

Tt

c

cr

e1

eeminus

minusminus

minus

minus=τmin (1181)


sTt

Tt

c

i

e1

e1τsdot

minus

minus=τ

minus

minus

max (1182)


Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=cong

minusminus

minusminus

congminus

minus=

ττ

=minus

minus

(1183)


A

pr D1kk == (1184)





x





















durată








scurtcircuit


S

McTsdotαsdot

= [s] (1138)


τminusτ

τ=

s

dTdt (1139)

Tdtd

s



( ) CTt



s0

s

Tt

τminusττminusτ

=minus ln (1143)

s0

sTt

eτminusττminusτ

=minus

(1144)


minusminusTt

sTt

0 e1e (1145)


minussdotτ=τ

minusTt

s e1 (1146)



Tdt

d s τminusτ=

τ (1147)


ABAM

dtd

=τ (1148)




Tt

s

e1minus

minus=ττ (1149)






Tt

s eT1

dtd minus


Rezultă succesiv

s

sTt

eττminusτ

=minus

(1151)

( )τminusτsdot=τ

sT1

dtd sau (1152)

dtdTsτ



t

Ts ∆τ∆





Tdtd

minus=ττ (1156)


ClnTtC


Adică TtCln

Tdt

eCeminus+minus


Tt

s eminus


Tt

i eminus






D

SD

SD

sp P

Pk =ττ

= (1161)



minussdotτ=τ

minusTt

sSD

i

e1 (1162)


Ttp i

e1

1kminus

minus= (1163)


Taylor pe Tti


Tt1e iT

t1

minusasympminus

(1164)


i

P tTk = (1165)


i

PI tTkk == (1166)







s

dTdt

ττ

= (1170)


Tt

s sdotτ=τ (1171)






r1

iA tt

tD+

= (1172)


100tt

tDri

iA sdot

+=[] (1173)




minussdotτ=τ

minusTt

s1

i

e1 (1174)

Tt

12

i

eminus

sdotτ=τ (1175)


minusminusTt

sTt

43

ii

e1e (1176)

Tt

34

r

eminus

sdotτ=τ (1177)

Tt

n2n2

r

eminus



minusminus

sdot+sdotTt

sTt

n21n2

ii

e1e (1179)


Tt

Tt

Tt

c

cr

e1

eeminus

minusminus

minus

minus=τmin (1181)


sTt

Tt

c

i

e1

e1τsdot

minus

minus=τ

minus

minus

max (1182)


Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=cong

minusminus

minusminus

congminus

minus=

ττ

=minus

minus

(1183)


A

pr D1kk == (1184)





x





















durată








scurtcircuit


Tdt

d s τminusτ=

τ (1147)


ABAM

dtd

=τ (1148)




Tt

s

e1minus

minus=ττ (1149)






Tt

s eT1

dtd minus


Rezultă succesiv

s

sTt

eττminusτ

=minus

(1151)

( )τminusτsdot=τ

sT1

dtd sau (1152)

dtdTsτ



t

Ts ∆τ∆





Tdtd

minus=ττ (1156)


ClnTtC


Adică TtCln

Tdt

eCeminus+minus


Tt

s eminus


Tt

i eminus






D

SD

SD

sp P

Pk =ττ

= (1161)



minussdotτ=τ

minusTt

sSD

i

e1 (1162)


Ttp i

e1

1kminus

minus= (1163)


Taylor pe Tti


Tt1e iT

t1

minusasympminus

(1164)


i

P tTk = (1165)


i

PI tTkk == (1166)







s

dTdt

ττ

= (1170)


Tt

s sdotτ=τ (1171)






r1

iA tt

tD+

= (1172)


100tt

tDri

iA sdot

+=[] (1173)




minussdotτ=τ

minusTt

s1

i

e1 (1174)

Tt

12

i

eminus

sdotτ=τ (1175)


minusminusTt

sTt

43

ii

e1e (1176)

Tt

34

r

eminus

sdotτ=τ (1177)

Tt

n2n2

r

eminus



minusminus

sdot+sdotTt

sTt

n21n2

ii

e1e (1179)


Tt

Tt

Tt

c

cr

e1

eeminus

minusminus

minus

minus=τmin (1181)


sTt

Tt

c

i

e1

e1τsdot

minus

minus=τ

minus

minus

max (1182)


Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=cong

minusminus

minusminus

congminus

minus=

ττ

=minus

minus

(1183)


A

pr D1kk == (1184)





x





















durată








scurtcircuit





Tt

s eT1

dtd minus


Rezultă succesiv

s

sTt

eττminusτ

=minus

(1151)

( )τminusτsdot=τ

sT1

dtd sau (1152)

dtdTsτ



t

Ts ∆τ∆





Tdtd

minus=ττ (1156)


ClnTtC


Adică TtCln

Tdt

eCeminus+minus


Tt

s eminus


Tt

i eminus






D

SD

SD

sp P

Pk =ττ

= (1161)



minussdotτ=τ

minusTt

sSD

i

e1 (1162)


Ttp i

e1

1kminus

minus= (1163)


Taylor pe Tti


Tt1e iT

t1

minusasympminus

(1164)


i

P tTk = (1165)


i

PI tTkk == (1166)







s

dTdt

ττ

= (1170)


Tt

s sdotτ=τ (1171)






r1

iA tt

tD+

= (1172)


100tt

tDri

iA sdot

+=[] (1173)




minussdotτ=τ

minusTt

s1

i

e1 (1174)

Tt

12

i

eminus

sdotτ=τ (1175)


minusminusTt

sTt

43

ii

e1e (1176)

Tt

34

r

eminus

sdotτ=τ (1177)

Tt

n2n2

r

eminus



minusminus

sdot+sdotTt

sTt

n21n2

ii

e1e (1179)


Tt

Tt

Tt

c

cr

e1

eeminus

minusminus

minus

minus=τmin (1181)


sTt

Tt

c

i

e1

e1τsdot

minus

minus=τ

minus

minus

max (1182)


Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=cong

minusminus

minusminus

congminus

minus=

ττ

=minus

minus

(1183)


A

pr D1kk == (1184)





x





















durată








scurtcircuit



Tt

s eT1

dtd minus


Rezultă succesiv

s

sTt

eττminusτ

=minus

(1151)

( )τminusτsdot=τ

sT1

dtd sau (1152)

dtdTsτ



t

Ts ∆τ∆





Tdtd

minus=ττ (1156)


ClnTtC


Adică TtCln

Tdt

eCeminus+minus


Tt

s eminus


Tt

i eminus






D

SD

SD

sp P

Pk =ττ

= (1161)



minussdotτ=τ

minusTt

sSD

i

e1 (1162)


Ttp i

e1

1kminus

minus= (1163)


Taylor pe Tti


Tt1e iT

t1

minusasympminus

(1164)


i

P tTk = (1165)


i

PI tTkk == (1166)







s

dTdt

ττ

= (1170)


Tt

s sdotτ=τ (1171)






r1

iA tt

tD+

= (1172)


100tt

tDri

iA sdot

+=[] (1173)




minussdotτ=τ

minusTt

s1

i

e1 (1174)

Tt

12

i

eminus

sdotτ=τ (1175)


minusminusTt

sTt

43

ii

e1e (1176)

Tt

34

r

eminus

sdotτ=τ (1177)

Tt

n2n2

r

eminus



minusminus

sdot+sdotTt

sTt

n21n2

ii

e1e (1179)


Tt

Tt

Tt

c

cr

e1

eeminus

minusminus

minus

minus=τmin (1181)


sTt

Tt

c

i

e1

e1τsdot

minus

minus=τ

minus

minus

max (1182)


Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=cong

minusminus

minusminus

congminus

minus=

ττ

=minus

minus

(1183)


A

pr D1kk == (1184)





x





















durată








scurtcircuit



Tdtd

minus=ττ (1156)


ClnTtC


Adică TtCln

Tdt

eCeminus+minus


Tt

s eminus


Tt

i eminus






D

SD

SD

sp P

Pk =ττ

= (1161)



minussdotτ=τ

minusTt

sSD

i

e1 (1162)


Ttp i

e1

1kminus

minus= (1163)


Taylor pe Tti


Tt1e iT

t1

minusasympminus

(1164)


i

P tTk = (1165)


i

PI tTkk == (1166)







s

dTdt

ττ

= (1170)


Tt

s sdotτ=τ (1171)






r1

iA tt

tD+

= (1172)


100tt

tDri

iA sdot

+=[] (1173)




minussdotτ=τ

minusTt

s1

i

e1 (1174)

Tt

12

i

eminus

sdotτ=τ (1175)


minusminusTt

sTt

43

ii

e1e (1176)

Tt

34

r

eminus

sdotτ=τ (1177)

Tt

n2n2

r

eminus



minusminus

sdot+sdotTt

sTt

n21n2

ii

e1e (1179)


Tt

Tt

Tt

c

cr

e1

eeminus

minusminus

minus

minus=τmin (1181)


sTt

Tt

c

i

e1

e1τsdot

minus

minus=τ

minus

minus

max (1182)


Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=cong

minusminus

minusminus

congminus

minus=

ττ

=minus

minus

(1183)


A

pr D1kk == (1184)





x





















durată








scurtcircuit





D

SD

SD

sp P

Pk =ττ

= (1161)



minussdotτ=τ

minusTt

sSD

i

e1 (1162)


Ttp i

e1

1kminus

minus= (1163)


Taylor pe Tti


Tt1e iT

t1

minusasympminus

(1164)


i

P tTk = (1165)


i

PI tTkk == (1166)







s

dTdt

ττ

= (1170)


Tt

s sdotτ=τ (1171)






r1

iA tt

tD+

= (1172)


100tt

tDri

iA sdot

+=[] (1173)




minussdotτ=τ

minusTt

s1

i

e1 (1174)

Tt

12

i

eminus

sdotτ=τ (1175)


minusminusTt

sTt

43

ii

e1e (1176)

Tt

34

r

eminus

sdotτ=τ (1177)

Tt

n2n2

r

eminus



minusminus

sdot+sdotTt

sTt

n21n2

ii

e1e (1179)


Tt

Tt

Tt

c

cr

e1

eeminus

minusminus

minus

minus=τmin (1181)


sTt

Tt

c

i

e1

e1τsdot

minus

minus=τ

minus

minus

max (1182)


Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=cong

minusminus

minusminus

congminus

minus=

ττ

=minus

minus

(1183)


A

pr D1kk == (1184)





x





















durată








scurtcircuit

D

SD

SD

sp P

Pk =ττ

= (1161)



minussdotτ=τ

minusTt

sSD

i

e1 (1162)


Ttp i

e1

1kminus

minus= (1163)


Taylor pe Tti


Tt1e iT

t1

minusasympminus

(1164)


i

P tTk = (1165)


i

PI tTkk == (1166)







s

dTdt

ττ

= (1170)


Tt

s sdotτ=τ (1171)






r1

iA tt

tD+

= (1172)


100tt

tDri

iA sdot

+=[] (1173)




minussdotτ=τ

minusTt

s1

i

e1 (1174)

Tt

12

i

eminus

sdotτ=τ (1175)


minusminusTt

sTt

43

ii

e1e (1176)

Tt

34

r

eminus

sdotτ=τ (1177)

Tt

n2n2

r

eminus



minusminus

sdot+sdotTt

sTt

n21n2

ii

e1e (1179)


Tt

Tt

Tt

c

cr

e1

eeminus

minusminus

minus

minus=τmin (1181)


sTt

Tt

c

i

e1

e1τsdot

minus

minus=τ

minus

minus

max (1182)


Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=cong

minusminus

minusminus

congminus

minus=

ττ

=minus

minus

(1183)


A

pr D1kk == (1184)





x





















durată








scurtcircuit

i

PI tTkk == (1166)







s

dTdt

ττ

= (1170)


Tt

s sdotτ=τ (1171)






r1

iA tt

tD+

= (1172)


100tt

tDri

iA sdot

+=[] (1173)




minussdotτ=τ

minusTt

s1

i

e1 (1174)

Tt

12

i

eminus

sdotτ=τ (1175)


minusminusTt

sTt

43

ii

e1e (1176)

Tt

34

r

eminus

sdotτ=τ (1177)

Tt

n2n2

r

eminus



minusminus

sdot+sdotTt

sTt

n21n2

ii

e1e (1179)


Tt

Tt

Tt

c

cr

e1

eeminus

minusminus

minus

minus=τmin (1181)


sTt

Tt

c

i

e1

e1τsdot

minus

minus=τ

minus

minus

max (1182)


Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=cong

minusminus

minusminus

congminus

minus=

ττ

=minus

minus

(1183)


A

pr D1kk == (1184)





x





















durată








scurtcircuit


s

dTdt

ττ

= (1170)


Tt

s sdotτ=τ (1171)






r1

iA tt

tD+

= (1172)


100tt

tDri

iA sdot

+=[] (1173)




minussdotτ=τ

minusTt

s1

i

e1 (1174)

Tt

12

i

eminus

sdotτ=τ (1175)


minusminusTt

sTt

43

ii

e1e (1176)

Tt

34

r

eminus

sdotτ=τ (1177)

Tt

n2n2

r

eminus



minusminus

sdot+sdotTt

sTt

n21n2

ii

e1e (1179)


Tt

Tt

Tt

c

cr

e1

eeminus

minusminus

minus

minus=τmin (1181)


sTt

Tt

c

i

e1

e1τsdot

minus

minus=τ

minus

minus

max (1182)


Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=cong

minusminus

minusminus

congminus

minus=

ττ

=minus

minus

(1183)


A

pr D1kk == (1184)





x





















durată








scurtcircuit


r1

iA tt

tD+

= (1172)


100tt

tDri

iA sdot

+=[] (1173)




minussdotτ=τ

minusTt

s1

i

e1 (1174)

Tt

12

i

eminus

sdotτ=τ (1175)


minusminusTt

sTt

43

ii

e1e (1176)

Tt

34

r

eminus

sdotτ=τ (1177)

Tt

n2n2

r

eminus



minusminus

sdot+sdotTt

sTt

n21n2

ii

e1e (1179)


Tt

Tt

Tt

c

cr

e1

eeminus

minusminus

minus

minus=τmin (1181)


sTt

Tt

c

i

e1

e1τsdot

minus

minus=τ

minus

minus

max (1182)


Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=cong

minusminus

minusminus

congminus

minus=

ττ

=minus

minus

(1183)


A

pr D1kk == (1184)





x





















durată








scurtcircuit


minussdotτ=τ

minusTt

s1

i

e1 (1174)

Tt

12

i

eminus

sdotτ=τ (1175)


minusminusTt

sTt

43

ii

e1e (1176)

Tt

34

r

eminus

sdotτ=τ (1177)

Tt

n2n2

r

eminus



minusminus

sdot+sdotTt

sTt

n21n2

ii

e1e (1179)


Tt

Tt

Tt

c

cr

e1

eeminus

minusminus

minus

minus=τmin (1181)


sTt

Tt

c

i

e1

e1τsdot

minus

minus=τ

minus

minus

max (1182)


Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=cong

minusminus

minusminus

congminus

minus=

ττ

=minus

minus

(1183)


A

pr D1kk == (1184)





x





















durată








scurtcircuit

Ai

c

i

c

Tt

Tt

max

sp D

1tt

Tt11

Tt11

e1

e1ki

c

=cong

minusminus

minusminus

congminus

minus=

ττ

=minus

minus

(1183)


A

pr D1kk == (1184)





x





















durată








scurtcircuit


x





















durată








scurtcircuit



















durată








scurtcircuit









durată








scurtcircuit








scurtcircuit

Documents

cap.1 din 6 - aparate electrice