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Ferdinand P. Beer
E. Russell Johnston, Jr.
CAPÍTULO
Terceira Edição
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Torção em Seções Circulares
Resistên
ciad
os M
ateriais
3 - 2
Capítulo 3 – Torção em Seções Circulares
3.1 – Introdução
3.2 – Análise Preliminar das Tensões
3.3 – Deformações em Eixos Circulares
3.4 – Tensões no Regime Elástico
3.5 – Ângulo de Torção no Regime Elástico
3.6 – Projeto de Eixo de Transmissão
Resistên
ciad
os M
ateriais
3 - 3
3.1 - Introdução
• Tensões e deformações de eixos ou peças de seção transversal circular sujeitos à ação de conjugados ou torques;
O gerador cria um torque igual e oposto T’, chamado momento torçor.
O eixo transmite o torque no gerador;
A turbina exerce um torque T no eixo;
• Exemplo: “eixos de transmissão”.
Efeitos da torção:• Tensões de cisalhamento nas diversas seções transversais do eixo;• Produz um deslocamento angular de uma seção transversal em relação à
outra.
Resistên
ciad
os M
ateriais
3 - 4
3.2 – Análise Preliminar das Tensões
dAdFT
• A resultante das tensões de cisalhamento, geram um torque interno igual e oposto ao torque externo aplicado
• Embora a resultante do torque devido às tensões de cisalhamento seja conhecida, a distribuição das tensões ainda não o é.
• Diferentemente da distribuição das tensões normais devido à cargas axiais, a distribuição das tensões de cisalhamento devido ao torque não pode ser considerada uniforme.
• A determinação da distribuição das tensões de cisalhamento é estaticamente indeterminada, deve-se considerar as deformações do eixo para a sua solução.
Resistên
ciad
os M
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3 - 5
3.2 – Análise Preliminar das Tensões
• O torque aplicado na barra circular produz tensões de cisalhamento nas faces perpendiculares ao eixo axial.
• Demonstração:
considerando que a barra é feita de tiras axiais;
• As condições de equilíbrio requerem a existência de tensões iguais nas faces dos dois planos que contêm o eixo da barra.
uma lâmina desliza com relação a outra quando torques iguais e opostos são aplicados nas extremidades do eixo.
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• O ângulo de torção do eixo é proporcional ao torque aplicado e ao comprimento do eixo.
L
T
3.3 – Deformações em Eixos Circulares
• Toda seção circular do eixo permanece planae sem distorção quando a torção é aplicada.
• Seções transversais de eixos não-circulares são distorcidas quando sujeitas a torção.
• Logo, o eixo circular é definido como axissimétrico (a aparência é a mesma quando o eixo é observado de algum ponto).
Resistên
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3 - 7
3.3 – Deformações em Eixos Circulares
• Considere um elemento no interior de uma seção de um eixo, submetido a um torque T.
Logo, a deformação de cisalhamento máxima será:
Então:
• Desde que a extremidade do elemento perma-nece plana, a deformação de cisalhamento é proporcional ao ângulo de torção.
e
ou
AA L AA
LL
max max e c
L c
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3.4 – Tensões no Regime Elástico
maxG Gc
max e Tc T
J J
Jc
dAc
dAT max2max
• Como a soma dos momentos internos causados pela tensão de cisalhamento deve ser igual ao torque externo,
421 cJ
41
422
1 ccJ • Os resultados são conhecidos como fórmulas de torção
elástica,
• Pela lei de Hooke para o cisalhamento,
logo,
A tensão de cisalhamento varia linearmente com a distância radial na seção.
1max min max
2
c
c c
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Exemplo 3.1
Para o eixo vazado de aço, determinar: (a) o maior momento de torção T que pode ser aplicado para que as tensões de cisalhamento não excedam 120 MPa; (b) o valor mínimo da tensão de cisalhamento para resposta do item (a).
Resistên
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3 - 10
Tensões em Planos Ortogonais ao Eixo
Elementos com faces perpendiculares e paralelas ao eixo axial, estão submetidas a cisalhamento puro.
Tensões normais e tensões de cisalhamento são encontradas para outras orientações.
max0
0max45
0max0max
2
2
245cos2
o
A
A
A
F
AAF
• Considere um elemento a 45o do eixo axial,
Elemento ‘a’ está sob cisalhamento puro.
Elemento ‘c’ está submetido a tração em duas de suas faces e a compressão nas outras duas.
Resistên
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3 - 11
Falhas sob torção
Materiais dúcteis geralmente falham por cisalhamento.
Materiais frágeis são menos resistentes à tração (tensão normal) do que ao cisalhamento.
• Na torção, os materiais dúcteis rompem no plano onde ocorre a tensão de cisalhamento máxima (plano perpendicular ao eixo axial).
• Na torção, os materiais frágeis rompem em um plano onde ocorre a tensão normal máxima (plano que forma 45o com eixo axial).
Cisalhamento puro
Tensões de tração e
compressão
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3 - 12
O eixo BC é oco com diâmetro interno de 90 mm e diâmetro externo de 120 mm. Os eixos AB e CD são cheios e de diâmetro d. Para o carregamento mostrado, determine: (a) as tensões de cisalhamento mínima e máxima no eixo BC, (b) o diâmetro d necessário para os eixos AB e CD, se a tensão admissível ao cisalhamento para o material do eixo é de 65 MPa.
Exemplo 3.2
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3 - 13
O projeto preliminar de um eixo de transmissão levou à escolha de uma barra de seção vazada, com diâmetro interno de 100 mm e diâmetro externo de 150 mm. Pede-se determinar o máximo torque que poderá ser transmitido, sendo a tensão admissível do material 83 MPa, nas seguintes situações: (a) do projeto preliminar; (b) supondo um eixo sólido maciço de mesmo peso daquele do anteprojeto.
Exemplo 3.3
Resistên
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3.5 – Ângulo de Torção no Regime Elástico
• Sabemos que o ângulo de torção e a deformação de cisalhamento estão relacionadas por:
L
c max
• Pela lei de Hooke para o cisalhamento:
JG
Tc
G max
max
• Igualando as equações e resolvendo para o ângulo de torção:
JG
TL
• Se o torque, a seção, o material ou o compri-mento variam ao longo do eixo:
i ii
ii
GJ
LT
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3 - 15
Exemplo 3.4
Determine o valor do momento de torção que deve ser aplicado à extremidade do eixo circular mostrado de modo que o ângulo de torção produzido seja de 2º. Dado: G = 80 GPa.
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3 - 16
Exemplo 3.5
Para o eixo de seção vazada cujo material tem G = 80 GPa, calcular o valor do ângulo de torção que provoca uma tensão de cisalhamento de 70 MPa na face interna do eixo.
Resistên
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os M
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3 - 17
• Ex: Dado o eixo da figura, desejamos determinar os torque reativos em A e B.
Eixos Estaticamente Indeterminados
• Da análise do D.C.L. do eixo:
90lb ft (1)A BT T
1 2
2 1
90 lb ft (2)A A
L JT T
L J
• Substituindo na equação de equilíbrio,
ABBA T
JL
JLT
GJ
LT
GJ
LT
12
21
2
2
1
121 0
• Dividindo o eixo em duas partes, as quais precisam ter compatibilidade de deformações,
O número de incógnitas a encontrar é maior que o número de equações da estática aplicáveis.
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Exemplo 3.6
Dois eixos sólidos de aço são conectados por engrenagens. Sabendo que o material dos eixos tem G = 11,2 x 106 psi e tensão admissível ao cisalhamento de 8 ksi, determine: (a) o torque máximo T0 que pode ser aplicado em A; (b) o correspondente ângulo de torção em A.
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SOLUÇÃO:
• Análise de equilíbrio estático nos dois eixos para encontrar uma relação entre TCD e T0 .
0
0
0 0,875in.
0 2,45in.
2,8
B
C CD
CD
M F T
M F T
T T
• Análise da cinemática para relacionar a rotação angular das engrenagens.
2,45in.
0,875in.
2,8
B B C C
CB C C
B
B C
r r
r
r
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SOLUÇÃO:
• Encontre T0 para a tensão máxima admissível em cada eixo – escolha o menor deles.
0max 4
2
0
0.375in.8000
0.375in.
663lb in
AB
AB
TT cpsi
J
T
inlb5610 T
0max 4
2
0
2.8 0.5in.8000
0.5in.
561lb in
CD
CD
TT cpsi
J
T
• Eixo AB:
• Eixo CD
• O menor valor:
Resistên
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SOLUÇÃO:
• Encontre o ângulo de torção em cada eixo e a rotação da extremidade A.
/ 4 6
2
o
2.8 561lb in. 36in.
0.5in. 11.2 10 psi
0.514 rad 2.95
CDC D
CD
T L
J G
o48.10A
• Eixo AB:
• Eixo CD
/ 4 6
2
o
561lb in. 24in.
0.375in. 11.2 10 psi
0.387 rad 2.22
ABA B
AB
T L
J G
o o
o o/
2.8 2.8 2.95 8.26
8.26 2.22
B C
A B A B
• Partindo do ponto Dfixo:
o/
0
2.95
D
C C D
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3.6 – Projeto de Eixo de Transmissão
• O projeto de eixos de transmissão (árvores) baseia-se na potênciatransmitida e na velocidade de rotação do eixo.
• O torque aplicado é uma função da potência e da velocidade de rotação,
2 W
N.m2
P T f T
P PT
f
• O projetista precisa selecionar o material e calcular adequadamente a seção do eixo, sem que exceda a tensão admissível do material e o ângulo de torção máximo permitido para a aplicação.
• A seção do eixo é encontrada, igualando-se a tensão máxima à tensão admissível do material,
maxmax
3
max
4 42 1
2 2 max
eixo sólido2
eixo oco2
Tcc J
J TJ T
cc
J Tc c
c c
Resistên
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Exemplo 3.7
Determinar o diâmetro que deve ser usado para o eixo do rotor de uma máquina de 5 hp, operando a 3600 rpm, se a tensão de cisalhamento não pode exceder 59 MPa.
Exemplo 3.8
Um eixo é construído por um tubo de aço de 50 mm de diâmetro externo e deve transmitir 100 kW de potência a uma frequência de 20 Hz. Determinar a espessura do tubo para que a tensão máxima de cisalhamento não exceda 60 MPa.
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