Cap03-ComportamientoMecánicoDeConductores (UMSS)

8/17/2019 Cap03-ComportamientoMecánicoDeConductores (UMSS)

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CAPITULO 3

COMPORTAMIENTO MECANICO DE CONDUCTORES

Los cables conductores son elementos activos de transporte de energia y son

sometidas a tensiones elevadas, todos los demas elementos de transmisión deben serdimensionados en funcion de estas tensiones, como tambien en funcion de las

solicitaciones mecanicas que estas transmiten a las estructuras. Por esa razoncomensaremos con el estudio del comportamiento mecánico de los conductores.

3.1 COMPORTAMIENTO DE CABLES SUSPENDIDOS-VANOS

AISLADOS

Un cable extendido entre dos puntos suficientemente elevados, para que no se

apoye sobre sobre el suelo , adquiere una forma caracteristica que recibe el nombre de“Catenaria”. Los conductores de las líneas aéreas de transmisión, normalmente

constituidas por cables, describen curvas semejantes a la Catenaria.

Los puntos de suspensión de los conductores de una línea aérea, pueden estar a

una misma altura o, como ocurre mas frecuentemente, a alturas diferentes. Estudiaremos

los dos casos separadamente.

3.1.1 Soportes a las Mismas Alturas

La Fig. 3.1, representa un conductor suspendido en dos soportes rígidos, A y B,separados entre si por una distancia “A”. Esta distancia comúnmente recibe el nombre

de “Vano”. Como los puntos A y B estan a una misma altura ,la curva descrita por los

conductores será simétrica, en su punto mas bajo, o vértice O, encontrándose sobre un

eje que pasa a media distancia entre AyB.

La distancia OF = f recibe el nombre de “Flecha”. En las líneas de transmisión,las alturas de suspensión (H) de los conductores estan directamente relacionados con el

valor de las flechas y con las distancias de los vértices de las curvas al suelo (hs).

Fig. 3.1 Conductor Suspendido en Dos Soportes de la Misma Altura.

La flecha como veremos, depende del vano, la temperatura y del valor de


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CAPITULO 3

tracción aplicada al cable en su fijación entre A y B . La altura (hs), denominada

“Altura de Seguridad” es establecida por normas en función del nivel de tensión de la

línea, del tipo y accidentes topográficos del terreno.

Entonces tenemos:

P[kgf/m] peso unitario del conductor

L[m] longitud del conductor

Siendo:

L>A

Consideremos los ejes OX y OY los cuales vamos a relacionar con la ecuación

de equilibrio. Sea M un punto cualquiera limitando la longitud del conductor OM = s.Este segmento del conductor estará en equilibrio con la fuerza que se ejercen sobre ella,

representada por el peso del conductor ps, la traccion en el punto O, designada por T o

y cuya direccion es tangente a la curva en O , o sea horizontal , y la traccion T , cuya

direccion es tangente a la curva en M , haciendo con la horizontal un ángulo '

Proyectando esas fuerzas sobre el eje OY, tenemos:

Tsen ' = p*s (3.1) Y sobre el eje OX

Tcos ' =T O (3.2)

Si en lugar de considerar un segmento de longitud “ s” de la curva,

consideraremos todo un tramo OB = L/2 de la curva, el punto M se desplazará al punto

B y la fuerza T pasará a ser tangente de la curva en B. En esa condición

Tsen =2

pl (3.3)

Tcos = To. (3.4)

Fig.3.2 Fuerzas Actuantes

Una vez que la fuerza T equilibra a las demás, ella es representada por la reacción


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CAPITULO 3

de la estructura, al sistema de fuerzas actuantes:

a) Una fuerza horizontal y constante T o = T cos

h) Una fuerza vertical V = T sen = pL/ 2, por tanto igual al peso del semivano del

conductor , referido a su longitud real

T=' COS

T O (3.5)

Si dividimos la Ec.(3.1) por la Ec. (3.2), tenemos:

tg ' =oT

ps (3.6)

' =arct tg

oT

ps (3.7)

Estas expresiones muestran que siendo To constante, lo mismo no ocurre con T,que varía a lo largo de la curva, en función del la distancia s , del punto considerado al

vértice de la catenaria. Ella será mínima para =O (en el punto 0), cuando entonces T

=To, será máxima en A o B, cuando:

' = =arctg

To

pL

2 (3.8)

Siendo T la fuerza de tracción axial en el cable, su relacion de trabajo ( )

también varía, desde un mínimo, junto al vértice de la curva, hasta un máximo, junto a

los puntos de suspensión .Por cuestiones de seguridad, las diverzas normas establecen limitaciones para losmáximos esfuerzos de tracción aceptables, en los cables conductores, en función de la

carga de ruptura de los cables.

Tmax= k Trup

Donde k representa el coeficiente de reduccion, variable para diversos

condiciones de funcionamiento, que se discutirá más adelante.

La variación de T en líneas usuales es bastante pequeño, principalmente cuandolos soportes estan en el mismo nivel y los vanos tienen valores normales, pues los

ángulos también son pequeños. En los cálculos despreciamos esta variacion.

Ejemplo 3.1

Una línea de transmisión de 115 kV debe ser construida con cables de aluminiocon alma de acero (ACSR), compuesto de 30 hebras de aluminio y 7 hebras de acero

galvanizado, con una sección de 210,3 mm2. (Especificado bajo el código Oriole)


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CAPITULO 3

seccion 336.400 CM * la carga de ruptura es igual a 7.735 kgf, su peso de 0,7816 kgf./

m. Admitiendo el conductor tensionado para una tracción To = 1.545 kgf, calcular el

valor de traccion T en los puntos de suspensión , en un vano de 350 m y un vano de1.000 m.

Solucion:

Debemos usar las Ecs. (3.7) y (3.8), admitiendo, para el efecto comparativo, L A.a) Para el vano de 350m :

=arctgTo

pL

2=arctg

1545*2

350*781,0

= 5,05925

Luego

T = cos

To=

05925,5cos

1545=1551,0428kgf

Aumento de tracción %391,0T

b) para el vano de 1.000 m

1545*2

1000*7816,0

2arctg

To

pLarctg

19494,14 y

6592,159319494,14cos

1545

cos

ToT kgf

Aumento de la tracción %1495,3T

Analizando los resultados obtenidos, verificamos que en el primer caso, el

aurnento del traccion es absolutamente despreciable, mientras que en el Segundo caso,merece mayor atencion . Un vano de 350 m podría ser considerado normal en líneas de

esta tension, en cuanto que el vano de 1.000 m sería excepcional en cualquier línea.

Ejemplo 3.2

¿Admitiendo que la longitud desarrollada de los cables es aproximadamente igual al los

vanos horizontales, con que valor del vano de la línea del ejemplo anterior, sufriráruptura el conductor?

Solucion :

Por la Ec.(3.5)


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CAPITULO 3

T

ToT To cos

para

kg To 1545 y kgf T 7735 (tension de ruptura del cable )

4782,78199741.077351545cos

por la Ec (3.6)

p

Totg A

To

pLtg

2,

2 (L A)

Luego:

mtg

A 95,193937816,0

*1545*2

Por tanto, con un vano del orden de 19.400 m, con una tracción To, junto al

vertice de la parabola , no superior a 1.545 kgf, es decir, aproximadamente 20% de latraccion de ruptura, el cable no resistiría los esfuerzos de traccion junto a los apoyos, y

ocurriria la ruptura (teóricamente ).

a) Ecuaciones de Cables Suspendidos. Cálculo de Flechas

Consideraremos nuevamente el sistema de la fig. 3.1: vemos que

To

pstg

'

(3.9)

siendo

z dx

dy

tg

'

(3.10)

podemos escribir

To

ps z (3.11)

Diferenciando encontraremos

dZ= 22 dydxTo

pds

To

p

o

21 Z To

p

dx

dZ

donde

dxTo

p

Z

dZ

21 (3.12)

Integrando la Ec.(3.12), tenemos


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CAPITULO 3

xTo

P Z Z e )1(log

2 (3.13)

cuya constante de integracion es nula, para X=0, Z= 0.De la Ec.(3.13)

podemos obtener xTo pe Z Z )/(21

xTo pe Z Z )/(21

Restando miembro a miembro

2

)/()/( xTo P xTo P ee Z

(3.14)

Como dxdy Z / , obtenemos, por integración

C pTo

x

p

To y

/cosh

para 0 x ; 0 y ; 10cosh ;luego, ./1 pToC por tanto

1

/cosh*

pTo

x

p

To y (3.15)

que es la ecuación catenaria

Designando pToC /1 tenemos

1cosh

1

1C

xC y (3.16 a )

el termino cosh/

x

To p

se puede desarrollar en la siguiente serie

2 4

2 4

1 1 1 1

cosh 1 ........2 4! !

n

n

x x x x

C C C n C

(3.17)

En las lineas de transmisión el valor de 1C , es siempre muy grande, del orden

superior a 1000 , lo que hace que esa serie sea rapidamente convergente, como

muestra la expresion 3.3. En esas condiciones es suficiente considerar los dos primeros

terminos de la serie, haciendo esta sustitución en la Ec. (3.16), obtenemos:

To

px

C

x y

22

2

1

2

que es la ecuación de una Parábola


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CAPITULO 3

Calculamos ahora las expresiones para las flechas . Para la catenaria hacemos en ( 3.16a)

2

A x ; ; f y

1

2cosh

1

1C

AC f (3.16b)

Para la parábola, usando el mismo raciocinio que en (1.18 a), tenemos

To

pA f

8

2

(3.18b)

Ejemplo 3.3

Verificar la convergencia de la serie y calcular las flechas de la líneadescritos en el ejemplo 3.1.

Solución

7144,19767816,0

15451

p

ToC

Usando el mayor valor de x en la línea que es igual a A/2 podemos calcular:

26

1

6

6

1

6

4

1

4

4

1

4

2

1

2

12

2

46080!6;

384!4;

82 C

A

C

x

C

A

C

x

C

A

C

x

Para el efecto comparativo de los vanos de 350 y 1000 m, encontraremoslos valores indicados en la tabla, que muestra la convergencia rápida de las

condiciones de la serie. Muestra, igualmente. que el error que cometemos al usarla ecuación de la paràbola en lugar de la ecuación de la catenaria es

insignificante: 5,1 mm en los vanos de 350m y 337.8 mm en los vanos de 1000m,

respectivamente, es decir 0,066% y 0,53% del valor calculado por la ecuaciónexacta .Siendo errores que pueden ser perfectamente tolerados en problemas

prácticos de transmisión.

Vanos

A

[m]

10 C

p

T

12

2

8C

A

14

4

384C

A

16

6

46080C

A

Flechas[m]

Eq(1.16b) Eq(1.18b)

350

1000

1976,7144

1976,7144

3919*10 6

31990*10 6

2*20 6

170*10 6 0

0

7,7515

63,5741

7,746

63,2363


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CAPITULO 3

b) Cálculo de Longitud de los Cables

La longitud desarrollada por una curva cualquiera, de acuerdo a la GeometríaAnalítica, esta dado por :

dxdx

dy L x

x

2/1

22

1

1

(3.19)

De acuerdo con la Ec.(3.14)

1C

x senh

dx

dy

Como

1

2

1

1coshC

x senh

C

x

Integrando, encontraremos la longitud entre el vértice y un punto de la abscisa:

1

1C

x senhC L x (3.20)

Considerado la curva entera, en el vano A, tendremos,

mC

A senhC L

1

12

2 (3.21)

Efectuando el desarrollo en serie, obtenemos:

n

C

A

nC

A

C

A

C

AC L

1

5

1

3

11

12!

1...

!5

1

2!3

1

22 (3.22)

Una vez más estamos frente a una serie rápidamente convergente. En la mayoría de loscasos, es suficiente considerar solo los dos primeros términos:

2

23

2

1

3

2424 To

p A A

C

A A L (3.23)

Como To p A f 8/2 [Ec.(3.18)], tenemos

m A

f A L

3

8 2 (3.24)

que es la ecuación de la longitud de una parábola , desarrollada en función de la

flecha y de su abertura.


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CAPITULO 3

Ejemplo 3.4

Cuales son los valores de las longitudes de los cables de la línea descritas en el

anterior Ejemplo 3.1, en los vanos de 350 m y 1000m. calculados a través del procesoexacto y el proceso aproximado.

Solución

a) Cálculo por el proceso exacto, del ejemplo3.2 7144,19761 C

Luego

1

12

2C

A senhC L

7144,1976*27144,1976*2

A senh L

;1000)1 m ParaAa

m L 6977,10101000

m ParaAa 350)2

4573,350350 L

b) cálculos por el proceso aproximado:

m A

f A L

3

8 2 (3.24)

Del Ejemplo3.3 7464,7350 f e m f 2363,631000 ; luego

)1b

350*3

)7464,7(*8350

2

350 L

;4572,350350 m L

)2b1000*3

)2363,63(81000

2

1000 L


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CAPITULO 3

L 1000 = 1010,6635 m

Comparando los resultados, verificamos que, si calculamos las longitudes usando

las ecuaciones simplificadas, los errores serian ,:

a) vano 350m , error de 0,002m, o sea ,0,0006% b)vano 1000m, error de 0, 034m, o sea , 0,003 38%

Lo que demuestra que los procesos de calculo aproximados, representados porlas ecuaciones de las parabolas , son plenamente satisfactorias.

3.2 SOPORTES A ALTURAS DIFERENTES

La Fig. 3.3 muestra el cable extendidó entre dos apoyos rígidos cuyas alturas A

y B son diferentes entre si , siendo el vano medido con la horizontal igual a A. Sea h la

diferencia de alturas entre A y B.

Fig. 3.3 Cable Suspendido entre Soportes con Alturas Diferente

Si prolongamos la curva AB hasta el punto B ' , situado a una misma altura que el punto

A obtenemos un vano nivelado e A , llamado “Vano Equivalente”, y la catenaria

correspondiente a ese vano, de acuerdo con la Ec (3.16 a ), tenemos

1cosh1cosh

1

2

1

1121

C

x

C

xC y yh


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CAPITULO 3

O

1

2

1

11 coshcosh

C

x

C

xC h

que puede ser transformada en:

1

21

1

211

222

C

x x senh

C

x x senhC h

o de acuerdo Fig. 3.3

1

'

1

122

2C

A senh

C

A senhC h (3.25)

De esta ecuación podemos obtener

11

1

11

'

2cos

2

2

1

22 C

Aech

C

h

C

A senh

C

h

C

A senh (3.26)

resolviendo esta ecuación obtenemos A ' , y, consecuentemente, el vano equivalente,

que de acuerdo con la Fig. 3.3, será' A A Ae

De la serie de senohiperbolica

...;!5!3

53

x x

x senhx

entonces

...

!3

1

2

'

22

3

11

'

1

'

C

A

C

A

C

A senh

Usando la serie de co – secante

...;360

7

6

1cos

3

x x

xech ,

...122/

1

2cos

111

C

A

C AC

Aech

Tomando solamente las primeros terminos , y sustituyendo en la Ec.(3.26)

Tenemos eliminadas las funciones trigonometricas

;2 1' C A

h A (3.28)

y el vano equivalente sera

m A

hC A Ae

12


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CAPITULO 3

m Ap

hTo A Ae

2 (3.29)

La carga vertical en el punto de suspension A, sera

kgf p Ap

hTo A p AV e A

2

2

1

2

1

o

kgf A

hTo ApV A

2 (3.30a)

En el punto inferior B tenemos

pC A

h

A

hC A p A AV e B

1

1' 2

22

1

o

kgf A

hTo ApV B

2 (3.31a)

Las cargas verticales tambien pueden ser cal culadas, en la forma siguiente:

a) Actuando sobre el soporte superior:

p AV e A2

1 (3.30b)

b) actuando sobre el soporte inferior

b 1 ) cuando :2/ E A A

kgf p A A

V e B

2

(3.31b)

c)cuando :2/e A A

kgf p A

AV e B

2 (3.31b)

Esa segunda manera de calcular es preferida en la fase del proyecto, una vez

que 2/e A es facil de determinar gráficamente durante la localizacion de las estructuras

sobre los perfiles. Las ecuaciones son equivalentes y ellos llevan a los mismos

resultados.

Como To es constante en cualquier punto de la curva, mientras que la tracción

axial en el cable no será constante, su valor podra calcularse por la suma vectorial de

To con los componentes verticales AV y BV .Con cierto trabajo podemos hacer la

siguiente demostración


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CAPITULO 3

22

0

2

A A V T T O

2

0

2

0

1

T

V

T

T A A

Entonces2/1

2

0

1

T

V

T

T A

O

A

Desarrollando esta ecuación en serie binominal, obtenemos

...4*2

1

2

111

4

0

2

0

2/12

0

T

V

T

V

T

V A A A

Tomando los dos primeros terminos que2

00 211

T

V T T A A O

0

2

02T V T T A A

Note que de la Ec. (3.30b)

2

p AV e A

por tanto

;882 0

2

0

22

0

2

p f pT

p A

T

p A

T

V e

ee A

finalmente para el punto mas alto p f T T e A 0 (3.32)

De la misma manera, para el punto mas bajo, llegamos a

ph f T T e B 0 (3.33)donde

0

2

8T

p A f

e

e

es la flecha correspondiente al vano equivalente e A

Ejemplo 3.5

Dos apoyos de la línea de 138 kV descrita en el ejemplo. 3.1 en alturasdiferentes, la diferencia de altura del vano horizontal de 350m, es igual a 40m. Calcular

las fuerzas verticales y axiales en los puntos A y B,siendo A el punto más alto.


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CAPITULO 3

Solucion

De los ejemplos anteriores: kgf T 15450 7144,19761 C e kgf p 7816,0

Tenemos)a Fuerzas verticales

)1a Soporte superior [Ec.(3.30)]

kgf A

hT ApV A 3514,313

350

1545*40

2

7816,0*350

2

0

)2a soporte inferior [Ec.(3.31)]

kgf A

hT ApV B 791,39

2

1545*40

2

7816,0*350

2

0

El signo negativo significa que la traccion BV esta dirigida de abajo para arriba y que

2/e A A

Veamos entonces :

Ap

hT A Ae

02 (3.29)

m Ae 820,8017816,0*350

1545*40*2350

luego

2

350 e A

A

De otra manera, podemos usar las Ecs. (3.30b) y (3.31b):

kgf p AV e A 3514,3137816.0*8204,801*2

1

2

1

kgf p A A

V e B 7914,397816,0*3502

8204,801

2

que confirman lo que fue expuesto anteriormente

)b Fuerzas axiales en el cable

)1b En el soporte superior [Ec.(3.32)]:

p f T T e A 0

donde

m

T

p A f

e

e 65,401545*8

7816,0*8204,801

8

2

0

2

kgf T A 772,15767816.0*65,401545 Otra opcion de cálculo seria usar el teorema de Pitágoras para calcular la resultante en el

punto A:


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CAPITULO 3

kgf T V T T A A A 46,157635,31315452

222

0

2

)2b En en el soporte inferior [Ec. (3.33)]:

,508,1545*4065,4015450 kgf ph f T T e B Tambien

kgf T V T T B B B 51,154579.3915452222

0

2

Se verifica que, junto al soporte superior, la tracción en el cable es

aproximadamente 1,95% mayor que T 0 , en otros términos, la tracción equivalente en el

vértice de la catenaria. En los casos de desniveles muy acentuado, este hecho deberáser tomado en consideración en los cálculos, porque puede redundar en factores de

trabajo mayores, que aquellas establecidas por las normas .

3.2.1 Longitudes de Cables en Vanos en Desnivel

Consideraremos el vano en desnivel de la Fig. 3.4. la ecuación referida al eje

111 Y X O puede derivarse de la Ec. (1.16):

1

111 cosh

C

X C y

Sea 0 x e 0 y las coordenadas del punto A en ese sistema, efectuemos un cambio

de los ejes de coordenados, de forma que su origen coincida con A. Tendremos el

sistema AXY. Donde x e y son las coordenadas de un punto cualquiera de la curva

Figura 3.4 Vano en Desnivelrelativo al nuevo sistema de coordenadas .La ecuación de la curva que sustituye a (3.20)

sera:

1

0

1

0 coshcoshC

x

C

x xC y (3.34)


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CAPITULO 3

Consideremos el punto B(A,B): para ese punto la ecuación sera :

1

0

1

01 coshcosh

C

x

C

x AC B (3.35)

Sea ds una longitud elemental del conductor . Tenemos

1

0

2/12

cosh1C

x x

dx

dy

dx

ds

y, consecuentemente

1

0

1

0

0

1C

x senh

C

x A senhC ds L

A

(3.36)

Resolviendo, simultáneamente, (3.34) y (3.36), obtendremos el valor de L. Para ello

elevar ambas expresiones al cuadrado y hacer la diferencia 22 B L - recordando, que

1cosh 22 x senh x , obtenemos

1

0

1

0

1

0

1

01

222 coshcosh12C

x senh

C

x A senh

C

x

C

x AC B L

Podemos simplificar esta ecuación utilizando las conocidas fórmulas de suma y

sustracción de los arcos hiperbolicos. Obtenemos finalmente

1

1222 cosh12C AC B L (3.37)

Pero

12cosh2 2 x x senh ;1

2

1 221cosh

C

A senh

C

A

luego

1

21

222

24

C

A senhC B L

O

1

21

22

24

C

A senhC B L (3.38)

Si desarrollamos en série el término hiperbólico de la Ec. (3.37) tendremos


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CAPITULO 3

14

4

12

2

1222

242112

C

A

C

AC B L

1

2

22

1

2

4222

12

1

12 C

A A

C

A A B L

12

222

121

C

A A B L (3.39)

Para esta ecuación, empleamos solamente dos terminos de la serie, y ella representa la

longitud del conductor en forma parabólica

Ejemplo 3.6

Calcular la longitud del conductor para la situación descrita en el ejemplo 3.5Empleando las ecuaciones (3.38) y (3.39)Solucion

Son datos : 7144,19761 C m A 350 e m B 40

a) Por la ecuación Ecuación (3.38)

m senh L7144,19762

3507144,1976440 2

22

m L 73272,352 luego

b)Por la ecuación (3.39)

m L

2

222

7144,197612

350135040

m L 73225,352 Vemos que tambien que en este caso ambas ecuaciones dan resultados dentro de

la tolerancias normales de problemas práctico de Ingenieria . En el caso, la relación ah / es relativamente pequeña, por ser líneas reales tipicas. Sin embargo, en el caso de

relaciones ah / elevadas , el error puede ser mayor y afectar los valores de las flechassignificativamente.

3.2.2 Flechas en Vanos Inclinados

En el caso de dos vanos inclinados hay dos formas de medir las flechas, y eso

puede ser de interés práctico, como muestran las Fig. (3.3) y (3.4)


18/54

CAPITULO 3

a) la flecha s f , representada por la mayor distancia vertical entre la linea que

une los puntos de apoyo del cable en un punto de la curva; esta flecha es importante,

cuando el perfil del terreno es mas o menos paralelo a la linea entre los puntos de apoyo

b) la flecha f o medida entre una línea horizontal que pasa por el apoyo inferiory el punto mas bajo de la curva del cable: hay situaciones en que ella es importante,

pues define el levantamiento del cables a obstáculos que la línea cruza en ese punto.Veremos las mismas:

Caso (a)

El cálculo riguroso de la lecha s f es muy trabajoso.Podemos simplificar

sustituyendo la catenaria por la parábola. Por tanto hacemos el desarrollo de la serie del

segundo miembro de la Ecuacion (3.34) de la cual emplearemos apenas los dos primeros terminos . Tenemos :

1

0

1

2

2

02

12

2

01

*

222 C

x x

C

x

C

x

C

x xC y

(3.40)

Para el punto B, con la misma aproximacion B y ; luego,

1

0

1

2

2 C

Ax

C

A B (3.41)

Eliminando 0 x de las ecuaciones (3.40) y (3.41) encotramos

A

B

C

A x

C

x y

11

2

22 (3.42)

que es la ecuación de parábola en desnivel , con el origen de las coordenadas en A

Con esta ecuacion podemos construir la curva por puntos.

El coeficiente angular de la tangente en un punto de esa parabola es obtenido derivandola ecuacion (3.42)

A

B

C

A

C

x

dx

dy

11 2 (3.43)

En el punto P, correspondiente a s f y la tangente es paralela a la recta AB ; luego , su

coeficiente angular es igual a A B / .Igualando la(3.43) a A B / obtenemos

2

A x

Sustituyendo ese valor en la (3.42) obtenemos

A

B

C

A A

C

A y p

11

3

228 (3.44)

De la Fig. 3.4 podemos verificar

p s y B

f 2

(3.45)


19/54

CAPITULO 3

Como p y es negativa , tenemos

A

B

C

A A

C

A B f s

11

3

2282

y, simplificando, el obtenemos

0

2

1

2

88 T

p A

C

A f s , (3.46)

la ecuación que, vemos es identica a la Ec. (3.18b). Esto nos permite concluir que el

valor de la flecha máxima en un vano desnivelado tiene el mismo valor que la flecha en

un vano igual , pero nivelado

Caso b).

De la Fig. 3.4 tenemos que

hT

p Ah f f ee 20

2

08

(3.47)

por la Ec.(3.29)

Ap

hT A Ae

02 (3.48)

que sustituida en la anterior nos da , tomando en cuenta (3.46)

s s s s

s f

h

f

h f

h

f

h f f

2161

216 2

22

0 (3.49)

y finalmente2

04

1

s

s f

h f f (3.50)

Ejemplo 3.7

Determinar los valores de las flechas s f y 0 f para la situacion descrita en el ejemplo 3.5

Soluciona) por las Ecs.(3.18) y (3.46) tenemos

m

T

p A f s 746,7

1545*8

7816,0*350

8

2

0

2

b) Por la Ec. (3.50)22

07464,7*4

4017464,7

41

s

s f

B f f


20/54

CAPITULO 3

m f 6556,00

3.3 VANOS CONTINUOS

Los vanos aislados son relativamente poco frecuente en las líneas de transmision,que en la realidad, se constituyen en una sucesión de un numero grande de vanos

que no pueden tratarse separadamente, porque los puntos de la suspensión no estánrígidos, como admitimos en los conductores aislados desde el punto de vista

mecanico. Los esfuerzos son transmitidos de un vano para otro. Dé ahí la necesidad

de considerar la sucesión de vanos.

Retornemos a la Fig. 3.1 e imaginemos que en el vano A, intercalados n

soportes de la misma altura , resultando n+1 vanos de longitudes 1/ n Aa comomuestra la Fig3.5 .Admitamos tambien que los soportes intermediarios sean rigidos

y que el cable pueda deslizarse libremente sobre estos soportes intermediarios .En

esas condiciones se tomara en cada uno de los vanos intermediarios , curvas iguales.

Fig. 3.5 División de un Vano por n Apoyos Intermediarios Igualmente

Espaciados

Esta division de vanos afecta a los valores de las fuerzas verticales y tambien

a las fuerzas axiales T. Las fuerzas verticales en los apoyos pueden ser calculados por

22

pa pl V V B A . (3.51)

las fuerzas axiales seran entonces

cos

0T T T B A

para

02T

paarctg (3.52)

En cada estructura intermediaria actuarán simplemente las fuerzas verticales, una


21/54

CAPITULO 3

vez que los componentes horizontales T0 de las tracciones se anulan. Las fuerzas

verticales serán, entonces,

pa pl V (3.53)

Ejemplo 3.8

Imaginemos que un vano aislado de 1 000 m. cuyos valores fueron calculadas en los

ejemplos anteriores, se subdivide en cinco vanos iguales de 200m, de las mismas alturasque A y B. Cuales son los esfuerzos que actúan en las estructuras terminales A y B y

sobre las estructuras intermedias ?

Solución:

De los ejemplos anteriores para el vano de 1 000 rn, la tracción horizontal era

kgf T 15450 después de la subdivisión, nosotros necesitamos calcular el nuevo0

T de

la línea. Para eso, nosotros podemos usar el raciocinio que sigue.Para el vano aislado, la longitud del cable esta dado por (3.24):

;3

8 2

A

f A L

Después de ser subdividido tenemos 5/' A A e 5/' L L ; luego

53

8

55

2'

A

f A L

A

f A L

3

258 2'

y por tanto 2'2 25 f f , donde

5

' f f

para el vano aislado la flecha del cable esta dado por (3.18b)

0

2

8T

pA f

después de la subdivisión tenemos 5/' f f e 5/' A A luego

To

A p f

8

5

5

2

0

2

58 T

pA f


22/54

CAPITULO 3

y por tanto 00 5T T `, donde

5

0

0

T T

a) Estructuras terminales)1a fuerzas verticales

kgf a p

V 16,782

200*7816,0

2

*

)2a fuerzas axiales

cos

0T T T B A

194,14

5

15452

200*7816,0

2 0 arctg

T

paarctg

donde

kgf T T B A 72,3189695,0

5/1545

)b Estructuras Intermediarias

)1b Fuerzas verticales

kgf apV 32,156200*7816,0

)2b Fuerzas axiales

Las mismas que en las estructuras terminales . Comparando estos resultados conaquellos obtenidos en el Ej. 3.1, verificamos que la subdivisión del vano no sólo trajo

una reducción en las cargas verticales, como era de espera, sino también en las cargas

axiales, en otros términos, la solicitaciones en los cables.Las flechs a su vez, se reducieron, en este caso:

5

' f f

Veamos lo que pasa cuando el vano A es subdividido por estructurasdesigualmente espaciadas. Para la comodidad de razonar las consideremos, con las

mismas alturas, como la Fig. 3.6.


23/54

CAPITULO 3

Fig. 3.6 Subdivisión de un Vano por n Vanos Desiguales

Las fuerzas horizontales 0T son constantes y iguales en todas las estructuras y ellos

están absortos por las estructuras terminales, mientras, que en las estructuras intermediarias,

ellas se anulan. Las fuerzas verticales en las estructuras terminales son proporcionales a los

semivanos vecinos,

pa

V A2

1 y pa

V B2

3

mientras que las fuerzas verticales que actúan en las estructuras intermediarias soniguales a la suma de los pesos de los cables de los dos semivanos vecinos,

222

323232

aa p

aa pV V V c

o, genéricamente,

kgf aa

pV ji

2 (3.54)

Las tracciones axiales iT y J T serian también diferentes siendo mayores en los

cables en los lados de los vanos mas grandes

Por su parte las flechas, se distribuirá en la razón de los cuadrados de los vanos. Ellosserán más grandes en los vanos más grandes o sea

2

j

i ji

a

a f f (3.55)


24/54

CAPITULO 3

Ejemplo 3.9

Calcular las fuerzas verticales y axiales de los conductores cerca al punto de suspensión

de un estructura que es flanqueada de vanos ma 3001 y ma 5002 y cuyasestructuras adyacentes están en la misma altura. El cable es el mismo de los ejemplos

anteriores y la tracción horizontal es de 1 545 [kgf]

Solución

)a Por la Ec.(3.54)

kgf aa

pV 64,3122

5003007816,0

2

21

)b Fuerzas axiales, lado del vano menor 1T

3395,41545*2

300*7816,0,

cos

01 arctg

T T

luego

kgf T 44,15499971,0

15451

El lado del vano más grande (T 2 ):

2081,7

1545*2

500*7816,0 arctg

luego

kpT 3073,15572

flechasc)

;6913,5

1545*8

300*7816,0

8

2

0

12

1 mT

pa f

;809,15

1545*8

500*7816,0

8

2

0

22

2 mT

pa f

Por los resultados de (b) vemos que los cables en los lados de los vanos más

grande son los más solicitados, asi como las estructura de suspension.

Finalmente, analizaremos el caso más general y tambien el mas frecuente en laslineas transmisión; una sucesión de vanos desiguales y los cables suspendidos en alturas

diferentes . La Fig 3.7 muestra una linea de transmisión que atrabiesa un terreno


25/54

CAPITULO 3

accidentado lo cual examinemos caso por caso.

Estructura Terminal A

Sometida a una traccion horizontal 0T y una fuerza de compresión , vertical de arriba para abajo , cuyo valor puede ser calculado por las Ecs. (3.31a) o (3.32b) para cada uno

de los conductores

pnV aao

La fuerza de traccion del conductor AT puede ser calculada con auxilio de lasEc. (3.33) y aO y el vértice de la catenaria equivalente.

Estructura Intermediaria B

Actuan las fuerzas verticales BAV y BC V . Como bce a A 2/ , el vértice de la

catenaria equivalente esta “atrás” del soporte B ; luego 0 BC V .La fuerza verticalactuante por cada conductor sera:

kgf nm pV V V bb BC BA B Los cables son solicitados a la traccion, en la suspensión en B, por la fuerza BAT ,

que solicita a los cables del vano del vano ABa y por la fuerza BC T que solicita los cables

de lado del vano BC a .Que pueden ser calculados de forma ya vista

Fig. 3.7 Sucesión de Vanos Desiguales a Alturas Desiguales.


26/54

CAPITULO 3

Estructura Intermedia C

Actua sobre la estructura la fuerza vertical C V , resultante de la suma CBV y

CDV , debidas a cada uno de los conductores:

kgf nm pV V V ccCDCBC Las fuerzas axiales en lo cables son BC T y CDT , respectivamente en los vanos BC a y

CDa

Estructuras Intermedia D

La fuerza vertical sobre la estructura y por conductor sera:

kgf nm pV V V cd DE DC D Las fuerzas axiales en los cables son

DC

T y DE

T , respectivamente del lado de los

vanos CDa y BE a

Estructura Intermedia E

El vértice de la catenaria en el vano DE a coincide con el punto de suspensión de

los conductores. Por lo tanto no colabora con la componente de la fuerza vertical

actuando sobre la estructura. Luego ,

kgf pnV V e EF E Las fuerzas axiales en el cable son 0T T ED y EF T respectivamente, en el lado de los

vanos DE a y EF a A esta altura , cabe la introducción de dos conceptos bastante importantes para los

proyectos de líneas: vano Medio y vano Gravante de una estructura

Vano Medio de una Estructura

Es igual a la semisuma de los vanos adyacentes a ella

maa

a ji

n2

(3.56).

Llamado tambien ¨Vano Viento¨

Vano Gravante ( Peso) de una Estructura

Es un vano ficticio Ga que multiplicado por el peso unitario de los conductoresindica el valor de la fuerza vertical que un cable transmite a la estructura que lo

soporta.Tambien denominado “vano de peso”


27/54

CAPITULO 3

Así, de acuerdo Fig. 3.6,tendremos los siguientes vanos gravantes:

Estructura A , aGC na ;

Estructura B, bbGB nma ;

Estructura C C C GC nma ;

Estructura D DE d d d GD amnma ;

Estructura E eGE na

El ultimo caso de vanos desiguales con alturas desiguales , por proposito no seincluyó en el analisis anterior , y es aquella ilustrado en la Fig3.8. En una situación que

debe ser evitado siempre que sea posible en las lineas reales principalmente en las de

tensiones mas elevadas En general, por errores en la selección de la ruta y las fallas de

orientación apropiada de los topógrafos encargados de los trabajos de exploracion ,reconocimiento y levantamientos, fijan los puntos obligatorios de la línea, como, por

ejemplo , vértices entre las alineaciones, en lugares inadecuados.

La estructura B sera solicitada, en este caso, por dos fuerzas verticales

BAV y BC V , dirigidas de abajo para arriba tendiendo a suspenderla:

BC BA B V V V Esa situación es conocida en la práctica como “arrancamento” o

“colgado”. Ella es inadmisible en los aisladores pendientes que en su caso

pierden su verticalidad . Con aisladores de pins , podra tolerarse en pequeño

grado , en caso de absoluta necesidad .No ocurre tanto en las lineas primariasrurales , siendo raro observar a uno o mas aisladores arrancados de sus pins y

colgados los conductores aproximadamente 0,5 o incluso 1,0 m sobre eltravesaño de la estructura.

Fig. 3.8 Situacion de Arrancamiento.


28/54

CAPITULO 3

Ejemplo 3.10

En el tramo de la línea ilustrado en Fig. 3.7, fueron medidos en escala, lassiguientes distancias :

;234ma AB mh AB 45,15 ; ;31mn

a mm

b 203 ma BC 175 mh BC 30,25 ; mnb 95 mmc 276

;476maCD mhCD 75,14 ; mnc 197 ; mmd 290

;152ma DE mh DE 20,8 ; mnd 152 ; mme 0

mne 214

La componente horizontal de la traccion en los cables en la condicion de la

flecha maxima, sin viento es de 1020kp. Calcular:

)a vanos medios ;

)b vanos gravantes

)c cargas verticales sobre las estructuras

)d tracciones en los cables junto a los soportes.

Solucion:

)a Vanos medios de acuerdo con la Ec.(3.56), tenemos :

)1a estructura A

ma

a ABm 1172

234

2

0

;

)2a estructura B

maa

a BC ABm 5,204

2

175235

2

)3a estructura C

maa

a CD BC m 5,3252

476175

2

)4a estructura D

maa

a DE CDm 0,3142

152476

2

)b vanos gravantes; de acuerdo con la definición de vano gravante

)1b estructura A,

mna aG 31

)2b estructura B,

mnma bbG 10895203

)3b estructura C

mnma C C G 473197276


29/54

CAPITULO 3

)4b estructura D

;442152290 mnma d d G

)5b estructura E

mna eG 21421400

)c Cargas verticales sobre las estructuras, por conductor

)1c estructura A

;22,2431*7816,0 kgf paV G A

)2c estructurasB

kgf paV G B 41,84108*7816,0

)3c estructura C

;70,369473*7816,0 kgf paV GC

)4c estructura D

kgf paV G D 47,345442*7816,0

d) Tracciones en los cables, cerca de los soportes- debemos emplear las Ecs. (3.32) para

los soportes superiores y (3.33) para los soportes inferiores, haciendo los cálculos,

primeramente de los vanos equivalentes (3.29) y las flechas que corresponden a los

vanos equivalentes:

)1d estructura A- vano equivalente:

7816,0*234

1020*45,15*2234

2 0

pa

T ha A

ab

ababeAB

m AeAB 00,406

flecha del vano equivalente (3.18b)

;79,15

1020*8

4067816,0

8

2

0

2

mT

pA f

e

eAB

luego por la Ec. (3.33)

;3,10207816,0*45,1579,1510200 kgf ph f T T ABeAB AB

)2d estructura B: traccion en el cable del vano B-A (3.32);34,10327816,0*79,1510200 kgf p f T T e BA

traccion en el vano B-C

;34,5527816,0*175

1020*30,25*2175

2 0 m pa

T ha A

bc

bcabeBC


30/54

CAPITULO 3

;22,29

1020*8

34,5527816,0

8

2

0

2

mT

pA f

eBC

eBC

luego

;07,10237816,0*253022,2910200 Kgf ph f T T BC eBC BC

)3d estructuras C traccion en el cable del vano C-B

TBC = To + f eBC*p = 100 + 29.22 * 0.7816 = 1042.82 kgfTraccion en el cable en el vano C-D

;88,5567816,0*476

1020*75,14*2476

2 0 m pa

T ha A

cd

cd cd eCD

;70,29

1020*8

88,5567816,0

8

2

0

2

mT

pA f

eCD

eCD

luego,

kgf; 68,10317816,0)75,1470,29(1020)(0 ph f T T cd eCDCD d4) Estructura D: tracción en el vano D – C,

kgf;21,10437816,070,2910200 p f T T eCD DC

tracción en el vano D – E,

m;21,810208

)8,292(7816,0

8

m;80,2927816152

102030,82152

2

2

0

2

0

T

pA f

pa

T ha A

edeeDE

de

dedeeDE

luego

.kgf 4,102621,87816,01020

kgf;1020)20820,8(1020)(

0

0

p f T T

p ph f T T

ede DE

deede ED

Ejemplo 3.11

Tres soportes de una línea, A, B y C, presentan una condición de arranque como

se muestra en la Fig. 3.8. La condición de flecha máxima, a tracción en los cables es de

1020 kgf. y la condición de flecha mínima a tracción es de 2120 kgf. Calcular las formasde arrancamiento y las tracciones axiales de los cables en las condiciones dadas. El

cable es el mismo de los ejemplos anteriores. Son datos (obtenidos gráficamente).

;6,19;154

;8,22;197

mh ma

mh ma

bcbc

abab

Solución:

1. Fuerzas verticales

La fuerza axial vertical transmitida individualmente por los cables a la estructura

B esta dada por BC BA B V V V , siendo V BA y V BC calculables por medio de la Ec.

(3.31a):


31/54

CAPITULO 3

.0

22

0

bc

bcbc BC

ab

abab BA

a

T h paV y

a

T h paV

a) Condición de flecha máxima:

kgf;30,41197

10206,19

2

7816,0154

kgf;06,41197

10208,222

7816,0197

BA

BA

V

V

luego

.V B kgf 36,82min O sea, la estructura deberá absorber, en cada punto de fijación de los cables, unafuerza vertical, dirigida de abajo para arriba, de 83.36 kgf.

b)

Condición de flecha mínima:

kgf;63,209154

21206,29

2

7816,0154

;kgf 37,168197

21208,22

2

7816,0197

BC

BA

V

V

luego

kp.V B 378min La condición de flecha mínima es como veremos mas adelante, aquella que ocurre

bajo temperaturas ambientales mínimas de la región atravesada por las líneas. Enesas condiciones el arranque es máximo.

2. Fuerzas axiales en los conductoresPara su cálculo, emplearemos la Ec. (3.33). Para aplicarla debemos calcular los

vanos y flechas equivalentes, empleando las ecuaciones (3.29) y (3.18):

pa

T ha A y

pa

T ha E

bc

bcbceBC

ab

ababeAB

00 22


.m19,4867816,0154

102060,192154

m;07,4997816,019710208,222197

eBC

eAB

A

A


32/54

CAPITULO 3

b) Condición de flecha mínima:

. A

A

eAB

eAB

m43,8447816,0154

212060,192

154

m;84,8247816,0197

21208,222197

3. Flechas en los vanos equivalentes


.m64,22

10208

19,4867816,0

8

m;86,2310208

07,4997816,0

8

2

0

2

2

0

2

T

A p f

T

A p f

eBC eBC

eABeAB


m.86,32

21208

43,8447816,0

8

m;35,3121208

84,8247816,0

8

2

0

2

2

0

2

T

A p f

T

A p f

eBC eBC

eABeAB

4) Fuerzas axiales en los cables

Despues de los valores anteriores podemos calcular las fuerzas axiales que actúan enlos cables junto a la estructura B. Por la Ec. (3.33), tenemos:


kgf. 10207816,0)8,2286,23(10200 ph f T T BAeBA BA y

kgf. 38,10227816,0)6,1964,22(10200 ph f T T BC eBC BC b) Condición de flecha mínima:

kgf. 68,21267816,0)8,2235,31(21200 ph f T T BAeBA BA y

kgf. 36,21307816,0)6,1986,32(21200 ph f T T BC eBC BC Observamos que, en este caso, a pesar de que las fuerzas de arranque son

considerables, las fuerzas axiales de tracción aumentaran relativamente poco.

3.4

EFECTO DE LOS CAMBIOS DE DIRECCION

Las líneas de transmisión son siempre proyectadas para transportar la energíaeléctrica entre dos puntos bien definidos de un sistema. Lo mas conveniente es que su

longitud sea el mas corto posible, siendo el ideal aquel que sigue el curso de una línea

recta. En la práctica, sin embargo, esto es raramente posible, debido a muchos factores,

tales como obstáculos naturales o los provocados por el hombre cuyo desalojo no es


33/54

CAPITULO 3

posible o resulta demasiado costoso. Las dificultades de transporte de material y

equipamiento durante el trabajo así como la facilidad de acceso de los equipos de

mantenimiento pueden igualmente cambiar el trazado de la dirección ideal de una líneade transmisión. En esas condiciones nosotros debemos aproximar a un polígono mas

corto posible. Los vértices de ese polígono constituyen puntos obligatorios de la línea yexistirá obligatoriamente una estructura. Esta estructura soportara adicionalmente en los

puntos de suspensión de los conductores, una fuerza horizontal cuya dirección es la

Fig. 3.9 Fuerzas Transmitidas por los Conductores a las Estructuras por Cambio de

Dirección.

bisectriz del ángulo α definido por las dos alineaciones, siendo dirigida hacia el interior

como muestra la Fig. 3.9. Su valor se puede calcular por la ecuación:

,2

sin2 0 Kg T F A

(3.57)

Donde es el ángulo de deflexcion que existe entre las dos alineaciones del ejede la línea en el vértice considerado.

Alineamiento Atrás

Alineamiento

Adelante

Esfuerzo debido al

cambio de dirección

de la línea


34/54

CAPITULO 3

Ejemplo 3.12

Supongamos que la estructura B de la Fig. 3.8, cuyo alineamiento de la línea sufreuna deflexión de 22° a la derecha. Cual es el valor de la fuerza horizontal que cada

conductor transmite a la estructura en la condición de flecha máxima y en la condiciónde flecha mínima? – Use los valores del ejemplo del Ej. 3.11

Solución

Las componentes horizontales de tracción en los cables son, para las condiciones

de flecha máxima y mínima respectivamente,

Y

a) Condición de flecha

máxima [por la Ec. (3.57)]:

conductor. porkgf 25,38911sin102022

sin2 0min

T F A


conductor. porkgf 03,80911sin212022

sin2 max0max

T F A

Para los valores anteriores, vemos que las fuerzas horizontales transmitidas por los

conductores a las estructuras de ángulo, que deben absorberlas, son considerables y

dependen de las tracciones 0T en los cables y del valor de la deflexión de la línea.

3.5 INFLUENCIA DE AGENTES EXTERNOS

Además de los esfuerzos que acabamos de analizar y que son de naturaleza

permanente, los conductores de las líneas aéreas de transmisión están expuestos a otros

esfuerzos, de carácter transitorio y que también transmiten a sus soportes, que deben serabsorbidos. Podemos clasificarlos en tres tipos: a) Aquellos que ocurren frecuentemente

durante toda la vida de la línea, b) aquellas que ocurren durante el trabajo de montaje y

mantenimiento y c) aquellas que se espera que nunca ocurran, pero por remota que esta

sea, el proyectista deberá considerar para fines de calculo.

En el primer grupo podemos clasificar las cargas debidas a factoresmeteorológicos, como la fuerza resultante de la presión del viento sobre los conductoresy aquella que ocurre por la reducción de la temperatura de los conductores durante su

tensión. En los países donde el invierno es elevado, se debe incluir, además la capa de

hielo que se forma en torno a los conductores en consecuencia de la caída de la nieve.

Son condiciones que podemos clasificar como normales debido a su frecuencia.

kgf; 2120

kgf 1020

max0

min0

T

T


35/54

CAPITULO 3

Durante la fase de montaje y durante los servicios de mantenimiento, los cables

pueden ser expuestos a fuerzas adicionales, como aquellas que ocurren durante su pre –

tensión y por cargas verticales concentradas, como aquellas debidos a los carritos de lalínea, usados de los operarios, y deslizados por los conductores. Estas son posibles

sobrecargas que pueden ocurrir y sus efectos deben ser previstos.

Finalmente, en el ultimo grupo, encontramos las sobrecargas excepcionales, oaccidentales. Están constituidas por esfuerzos de tracción unilaterales de gran intensidad,

pudiendo someter a las estructuras a grandes esfuerzos de tracción. Ocasionalmente

producidos por la ruptura de uno o más cables. Si bien son muy raras las veces queocurren, estos deben ser previstos en los proyectos.

Las normas de los diversos países son bastante precisas en la forma como se deben

calcular estos esfuerzos y también en cuanto los esfuerzos admisibles de los conductoresy piezas estructurales y en cuanto a su ocurrencia.

3.5.1

Efecto del Viento sobre los Conductores

El viento, soplando sobre los conductores, encuentra una resistencia, que se

manifiesta en forma de presión. Esta es proporcional a la velocidad del viento y su

resultante es una fuerza perpendicular el eje longitudinal de los cables y que estransferida por los mismos hacia la estructura.

Las normas técnicas de los diversos países establecen la manera de calcular esafuerza y las formulas que deben se empleadas para ese fin, en función de la velocidad

del viento que debe ser usado en el calculo del proyecto. Establecen igualmente la forma

de determinar esta última.

El viento actuante perpendicularmente en dirección de los cables de las líneas y

ejerciendo una presión, se puede calcular por:

22 /0045,0 mkmV pv (3.58)

Donde:

V es la velocidad del viento del proyecto, en Km/h;

es un coeficiente de efectividad del viento. Representa un factor de corrección para adecuar la ecuación a las condiciones reales en la que operan las líneas, diferentes

de aquellas existentes en los túneles de viento donde se originan. Pretende tambiéncompensar por el hecho de que los frentes de viento son, en general, menores que los

vanos de las líneas. El valor mínimo admisible, es 0.80.Si d es el diámetro de los cables, la fuerza resultante de la presión del viento, será

d p f vv . (3.59)


36/54

CAPITULO 3

O

mkgf d V f v /0045.02

(3.60)

Esa fuerza se distribuye uniformemente a lo largo del conductor y se ejerce en la

horizontal en el sentido transversal al eje longitudinal de los cables. Si consideramossolamente el efecto de la fuerza del viento actuando, el cable pasará a describir unacatenaria en el plano horizontal, en el caso de los soportes ubicados a la misma altura. El

efecto del peso de los conductores, actuando vertical y simultáneamente, hará que la

catenaria se estabilice, en un plano inclinado con un ángulo , en relación al plano

vertical que pasa por los soportes, como muestra la Fig. 3.10(b).

Fig. 3.10 Efecto de la Presión del Viento sobre los Conductores

Bajo la acción simultánea del peso propio y de la fuerza del viento, el cable sufre

un aumento virtual en su peso, que pasa a actuar en el plano de la catenaria modificada.De acuerdo con la Fig. 3.10(a), el peso virtual sera:

mkgf f p p vr /22 (3.61)

Ese aumento virtual de peso provoca un aumento en las tracciones T y T 0 en los

cables y la aparición de una fuerza horizontal transversal, F VC , en los puntos de

suspensión, que la estructura deberá absorber, La flecha máxima de la catenaria en el

nuevo plano también aumenta, pasando a ser:

,8

´20

2

mT

A p f r (3.62)

En la cual20

T es el nuevo valor de la componente horizontal de la tracción en los

cables.

Pr


37/54

CAPITULO 3

En los vanos aislados, la fuerza resultante horizontal ( F V ) transmitida a la

estructura es calculada por la expresión

Kgf f

A F

vv 2

(3.63)

y, en el caso de vanos continuos, si ai y a j son los vanos adyacentes en una estructura

intermedia, la fuerza transmitida la misma será:

,.2

v

ji

v f aa

F

(3.64)

o sea:

.vmv f a F (3.65)

Ejemplo 3.13

Cual es el valor de la presión del viento y de la fuerza resultante debido a la acción

del viento sobre los conductores de línea del Ej. 3.1? Admitiendo una estructura de final

de la línea, con un vano adyacente de 300 m y una estructura intermedia con vanosadyacentes de 280 y 420 m. Calcular los esfuerzos transversales que los conductores

transmiten a las estructuras debido a la fuerza del viento. Calcular, también, la flecha de

la catenaria en reposo y bajo la acción del viento, sabiendo que la tracción kgf 15450 T

sin viento y kgf 5,2029'0 T con viento a 110 ,hkm a una misma temperatura, en el vano

de 420 m.

Solución

a) De acuerdo con la Ec. (3.59):

.mkgf 56,438.0)110(0045,00045,0 222 V P V b) Siendo d = 0.01883 m (de catálogos de conductores):

.mkgf 8202,001883,056,43 d P f V v c) Una estructura de fin de línea se comporta como una estructura de vano aislado:

luego, por la Ec. (3.63),

,kgf 123,030,82022300

2 vV f

A F

que es el valor de la fuerza horizontal transversal que cada conductor transmite a la

estructura.d) Para la estructura intermedia, la fuerza transmitida será:


38/54

CAPITULO 3

kgf. 07,2878202,02

420280

2

v

ji

V f aa

F

e)

Las flechas serán:e1) Sin viento,

m; 1549,11

15458

4207816,0

8

2

0

2

T

pa f

e2) Con viento de 110 hkm [Ec. (3.62)],

;'8

'0

2

T

a p f r

como

m. 3095,125,20298

)420(133,1'

,mkgf 133,1

,8202,07816,0

2

2222

f

p

f p p

r

vr

Nota. La tracción 5,2029'0 T kgf. bajo la acción del viento fue calculada de la forma

que será expuesta en el ítem 3.5.3.

Examinemos ahora el caso de vanos desnivelados. Ya vimos que, bajo la acción

del peso, la curva descrita por el cable puede ser representada por un segmento de lacatenaria de un vano nivelado mas largo, que designaremos vano equivalente Ae. Esa

catenaria se sitúa en el plano vertical, y su posición de su vértice es variable de cuerdo a

la relación desnivel vano . Si consideramos ahora el conductor sometido apenas a la

acción del viento, la catenaria resultante será simétrica con relaciona los soportes, y sesituara en un plano inclinado a un ángulo Ψ con relación al plano horizontal (Fig. 3.3).

En esas condiciones, el cable transmite a cada uno de los soportes, la mitad de la fuerza

total resultante de la acción del viento; por tanto como en el caso de los vanos nivelados.Cuando el desnivel es demasiado, la mayor longitud del vano inclinado deberá ser

considerado. Tenemos entonces, para vanos aislados,

kgf f A

F vv cos2

(3.66)

y para vanos continuos,

.cos2cos2

kgf f aa

F v j

j

i

iv

(3.67)


39/54

CAPITULO 3

La catenaria resultante por la acción simultánea del peso del conductor y de la

fuerza debido a la acción del viento se fijara en un nuevo plano, haciendo un ángulo

con la horizontal y un ángulo con la vertical. Su vértice se ubicara en un punto entre

los vértices de las catenarias actuales de las acciones individuales de las fuerzas

actuantes.

Conocidos los nuevos valores T 0 bajo la acción del viento, podemos calcular los

valores de la tracción axial T en esas condiciones, de la forma ya conocida.

Los esfuerzos verticales actuantes en los puntos de suspensión de los conductores

se mantienes inalterados, es decir son los mismos calculados en ausencia del viento

Ejemplo 3.14

Supongamos que el trecho de línea ilustrados en la Fig. 3.7 esté sometido a la

acción de un viento de hkm 110 , permaneciendo las demás condiciones inalterados.La componente horizontal de la tracción en esas condiciones es de 2029.5 kgf.

Determinar, para las estructuras A y B, las fuerzas horizontales transversales en los puntos de suspensión.

Solución

Del Ej. 3.10, obtenemos

m; 75,25 m, 45,15 m, 175 m,234 BC AB BC AB hhaa del Ej. 3.11,.mkgf 8202,0v f

Las fuerzas horizontales transversales serán:

Estructura A (terminal)

De acuerdo con la Ec. (3.63), tenemos

kgf; 96,958202,02

234

2 V AV f

A F

por la Ec. (3.66), considerando el desnivel

kgf, 96,1730,82022cos3,78

234

cos2

v

AB

V f A

F

siendo

.78,3234

15,45arctg AB

Estructura B (intermedia)Por la Ec. (3.64),

kgf; 73,1678202,02

175234

2

v

BC AB

V f aa

F B

por la Ec. (3.66),


40/54

CAPITULO 3

8202,037,8cos2

175

78,3cos2

234

cos2cos2

v

BC

BC

AB

ABV f

aa F

B

Donde

kgf. 71,168

;37,8175

75,25arctg

BV

BC

F

Observación. Comparando los resultados obtenidos por las expresiones (3.64) y

(3.66), verificamos que las diferencias en los valores son insignificantes, de forma queestas fuerzas pueden ser calculadas normalmente a través de la Ec. (3.64), reserv2ando

la Ec. (13.66) para relaciones ah bastante elevadas, que en la práctica no ocurren a

menudo.

3.5.2 Efecto de la Variación de la Temperatura

Los conductores de las líneas de transmisión están sujetos a variaciones de

temperatura bastante elevadas. Su temperatura depende, a cada instante, del equilibrio

entre el calor ganado y el calor cedido al medio ambiente. La ganancia de calor que

experimenta se debe principalmente al efecto Joule de la corriente y también alcalentamiento por el calor solar. Ellos pierden calor hacia el medio ambiente por

radiación y por convección. Las pérdidas por radiación dependen de la diferencia de

temperatura del conductor y del medio ambiente, y las pérdidas por convección, de esamisma diferencia y tambien de la velocidad del viento que los envuelve. La

determinación exacta de su temperatura para las diversas situaciones de combinaciones

de los valores de esos elementos es muy trabajoso y debido a su complejidad solo puede

ser resuelto en términos estadísticos, con base a modelos meteorológicos, de las cargaseléctricas, de los sistemas y de la probabilidad de ocurrir simultáneamente.

En los cálculos mecánicos de los conductores, es usual atribuir a los mismos latemperatura del medio ambiente, con incrementos en el caso de las temperaturas

externas superiores, pues de estos dependen los valores de las flechas máximas, que, en

la fase de proyecto, sirven para escoger opciones de la posición de las estructuras,

verificando que la altura de seguridad mínima este asegurada en las condiciones masdesfavorables: sol intenso y cargas eléctricas elevadas, con ausencia de viento..

Los coeficientes de dilatación térmica lineal de los materiales con que los cables

son fabricados tienen valores significativos, provocando contracciones y dilatacionesconsiderables bajo la acción de la variación de temperatura. Un aumento de temperatura

provoca su dilatación y una reducción de temperatura provoca su contracción. Esas

variaciones de longitud de los conductores son directamente proporcionales a suscoeficientes de dilatación térmica y la variación de temperatura. Sabiendo que la flecha

del conductor depende de su longitud, esta variara de acuerdo con la variación de la

temperatura. Por otro lado, la tracción T 0 es inversamente proporcional al valor de la


41/54

CAPITULO 3

flecha; por lo tanto el valor de T 0 variara también con la variación de temperatura del

conductor. Es decir aumentara con la reducción de la temperatura y viceversa.

La forma mas adecuada de calcular esa variación es a través de las llamadas

“ecuaciones de cambio de estado”

. Estas ecuaciones permiten igualmente incluir elefecto del viento sobre los conductores y la variación simultanea de la temperatura y de

las fuerzas del viento.

a) Ecuación de Cambio de Estado – Vano AisladoConsideremos inicialmente un vano aislado de una línea de transmisión, de

longitud A. Sea L1 la longitud del conductor a una temperatura conocida t i. Supongamos

que el conductor este apoyado entre dos estructuras niveladas.

Si la temperatura varia, pasando a un valor t 2, la longitud del conductor variara deigual forma, pasando a

(1.68) [m], 12112 t t L L L t

donde C1 t es el coeficiente de dilatación térmica lineal del conductor.

Estando el cable sujeto en los apoyos, la variación de la longitud que ira a sufrir

esta acompañada de una variación en el valor de la tracción, que pasara al valor .20

T Un

aumento de temperatura provoca un aumento de la longitud del cable y,

consecuentemente, una reducción en la tracción, y viceversa. Esta variación obedece laley de Hooke: “Las deformaciones elásticas son proporcionales a las tensiones

aplicadas”.

Siendo 2mmkgf E el modulo de elasticidad del conductor y 2mmS es el área

de su sección transversal, la deformación elástica en virtud de la variación de la fuerza

de tracción será

(1.69) 12001

ES

T T L

Por tanto la variación de la temperatura del conductor provoca una variación total en su

longitud igual a

(1.70) .12 00112112 ES

T T Lt t L L L

t

Antes de la variación de la temperatura, la longitud del conductor era, de

acuerdo con la Ec, (3.21),

1

112

senh2C

AC L

(3.68)

(3.69)

(3.70)


42/54

CAPITULO 3

y, después de esa variación, la longitud será

,2

senh22

22C

AC L

donde respectivamente,

.y 210

2

0

1 p

T C

p

T C

La variación de la longitud será, entonces,

(1.71) .2

senh2

senh21

1

2

212

C

AC

C

AC L L

Para el sistema en equilibrio, obtenemos, igualando (3.70) y (3.71),

)72.1( .2

senh2

senh21

1

2

2

001

12112

C

AC

C

AC

ES

T T Lt t L t

Esta ecuación es trascendente y solo puede ser resuelto por proceso iterativo suponiendo

valores para .20

T Podemos simplificarlo, obteniendo, después de reordenarlo,

(1.73) ,11

2senh

2senh

112 00

1

1

2

2

12

T T ES

C

AC

C

AC

t t

t

la que no elimina las necesidades de procesos iterativos de solución.

Ejemplo 3.15

Un cable Oriole fue tendida entre dos soportes, distanciados entre si 350 m, a una

temperatura de 20 °C, con una tracción horizontal de 1545 kgf. Cual será el valor de la

tracción en ese cable cuando ocurre un descenso de la temperatura de 25 °C

Solución

Los siguientes son datos del cable:

(3.71)

(3.72)

(3.73)


43/54

CAPITULO 3

;C11018

;mmkgf 8086

;mm3,210

m;kgf 7816,0

6

2

2

t

E

S

p

Para aplicar la Ec. (3.63), debemos calcular:

.22721,17508853,0senh7144,19762

senh2

;78,136

5588,2

350

2C

A ;27943,1

7816,0

;08853,07144,19762

350

2C

A ;7144,1976

7816,0

1545

1

11

002

0

00

2

1

0

1

22

2

22

1

C

AC

L

T T T

T

p

T C

p

T C

Luego

.122721,17518

10

;0,15453,2108086

11

;7829,136

senh27943,12

senhC

m; 454420,350

6

12

000

0

0

2

2

1

212

2

2

N M

t t t

N T T T ES

M T

T C

A

L

Para ,25 C t dando diversos valores a ,20T obtendremos valores para ,t como

muestra la tabla, hasta llegar a la convergencia con el grado de precisión deseado:

kp20

T M N Ct

1800 175,168467 0,00014996 -26,955

1790 175,170354 0,00014407 -26,030

1785 175,171310 0,00014114 -25,637

1780 175,172275 0,00013819 -25,0951779 175,172468 0,00013761 -25,001

Respuesta

kgf. 177920 T


44/54

CAPITULO 3

Conforme se verifica el ejemplo anterior, ese proceso es bastante laborioso y lento

para cálculos manuales, incluso cuando se dispone de las modernas calculadoras de

bolsillo programables. Encontramos un lenguaje con un numero razonable de procesossemigráficos para la solución de ecuaciones de cambio de estado, como, los de Thomas

y Martín.

Si en lugar de calcular por la Ec. (3.21) las longitudes de los cables, empleamos laEc. (3.24) de la parábola,

,24

13

88

3

82

0

22

2

0

2

2

1

1

1

T

A p A

A

T

PA

A A

f A L

,24

12

0

22

2

2

T

A p A L

la variación de longitud será, entonces,

(1.74) ,11

24 20

2

0

32

12

12

T T

A p L L

que igualamos con la Ec. (3.70), para obtener

(1.75) .11

24 20

20

32001

121

12

12

T T

A p

ES

T T Lt t L t

Como la diferencia entre los valores de los vanos A y de las longitudes de los cables L1es muy pequeña, podemos efectuar la sustitución de L1 por A en la Ec. (3.75), que tomara

la forma

(1.76) 2424

22

01220

222

03

0 1

1

22

A ESpT t t ES

T

A ESpT T t

que, como vemos, es una ecuación incompleta de 3er grado, para cuya solución también

son necesarios procesos iterativos, esto hace posible realizarlo de manera más fácil y

rápida.

Ejemplo 3.16

Calcular, usando la Ec. (3.76), la tracción en el cable en las condiciones del

ejemplo anterior.

(3.74)

(3.75)

(3.76)


45/54

CAPITULO 3

Solución:

92222

22

0122

0

222

0

3

0

10302,524

3507816,03,210808624

2424 11

22

A ESp

A ESpT t t ES

T

A ESpT T t

;2186,76520510183,2108086

,3142,2221)1545(24

6

12

2

22

t t ES

A ESp

t

Luego:

.10302,59044,88 9203

0 22 T T

Resolviendo por tanteo, obtenemos:

20T 2

02T 2029044,88 T

302

T

2000

18001780

1778

1775

1774

4 × 10

3,24 × 106

3,168 × 106

3,161 × 106

3,151 × 106

3,147 × 106

-0,35562 × 10

-0,28805 × 109

-0,28168 × 109

-0,28105 × 109

-0,28014 × 109

-0,27989 × 109

8,00 × 10

5,832 × 109

5,640 × 109

5,621 × 109

5,592 × 109

5,583 × 109

7,6444 ×10

5,5440 ×109

5,3583 ×109

5,3400 ×109

5,3119 ×109

5,3031 ×109

Respuesta

kgf. 177420 T

Comparando los resultados obtenidos por los dos métodos verificamos que el errores de orden de 0.28%, o sea, en valor absoluto, de 5 kgf. Ese error es insignificante en

términos prácticos, en cuanto el tiempo de cálculo es mucho menor por el método que

emplea la ecuación de la parábola. La diferencia en los valores de las flechas calculadas

con ambos métodos es de 0.018 m, inferior a 0,03% de la flecha total. Errores mayoresque estos ocurren durante el nivelado de los cables (acierto de la flecha para la

temperatura del momento) en el momento de montaje.

3.5.3 Influencia de la Variación Simultánea de la Temperatura y de la Carga de

Viento – Vano Aislado

Vimos en 3.5.1 que la presión del viento sobre los conductores es experimentado

por estos como un aumento virtual en su peso, reflejándose en un aumento de lastracciones en los cables. Por tanto es necesario que se puedan calcular los nuevos valores

de tracción cuando se considera el efecto de la presión del viento, a partir de una

condición o “estado” conocido, es decir, conociendo, por ejemplo, la tracción10

T de los

conductores de una línea, a una determinada temperatura, sin viento, y se desea conocer

la tracción20

T a esa misma temperatura, o a temperaturas diferentes, cuando la línea


46/54

CAPITULO 3

estuviera sometido a la acción de un viento cuya velocidad esté especificada. O

viceversa: si se conoce la tracción en los cables bajo la acción del viento10

T y se desea

conocer la tracción en un nuevo estado, es decir, sin viento o con una velocidad de

viento diferente y en cualquier temperatura.

Por lo tanto, podemos fácilmente adaptar las ecuaciones de “cambio de estado”,

que acabamos de plantear.

Consideremos un conductor de peso virtual unitario ,mkgf 1 p donde p1 podrá ono considerar el efecto del viento, a una temperatura t 1 [°C], conocida, estando sometido

a una fuerza ,10

T también conocida. Ese es su “estado de referencia”.

Su longitud, por las ecuaciones. (3.21) y (3.24) será, respectivamente:

.24

1y2

senh22

0

221

1

0

1

1

0

1

11

1

T

A p A L

T

Ap

p

T L

Supongamos, ahora, que deseamos determinar el valor de20

T en un nuevo

“estado”, es decir, cuando el peso virtual del cable, bajo la acción de un viento o no,

fuera igual a ,mkgf 2 p a una temperatura prefijada t 2 [°C].En esas condiciones, la longitud respectiva pasara a ser

.24

1y2

senh2

22

2

0

22

22

0

2

2

0

2

T

A p A L

T

Ap

p

T L

Escribiendo las ecuaciones para la diferencia e igualando a la Ec. (3.70),obtenemos:

a)

Para la Ec. (3.73),

(1.77) ,11

2senh

2senh

112 00

1

1

2

2

12

T T ES

C

AC

C

AC

t t t t

en la cual debemos emplear

(1.78) .y2

0

2

1

0

121

p

T C

p

T C

b)

Para la Ec. (3.76), encontraremos

(1.79) 2424

222

01220

2212

03

0 1

1

22

A ESpT t t ES

T

A ESpT T t

En ambas ecuaciones, (3.77) y (3.79), tanto p1 como p2 pueden representar solo el

peso ,mkgf p del conductor como también pr de la Ec. (3.61).

(3.77)

(3.78)

(3.79)


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CAPITULO 3

Ejemplo 3.17

Cual es el valor de la tracción en el cable Oriole de una línea que fue tendida, a

20 °C, con una tracción de 1545 kgf., con vano de 350 m, sin viento, cuando ese mismocable estuviera sometido a la acción de un viento de 110 km/h y a la temperatura de 10

°C. Calcular por las ecuaciones (3.77) y (3.79) y comparar los resultados.

Solución

a) Datos de “estado de referencia”:

m. 350

;mkgf 7816,0

;mkgf 0

C;20

kgf; 1545

1

1

01

A

p p

f

t

T

v

b) Datos de “nuevo estado”:

m. 350

);1.11ejemplover( mkgf 133,1

);1.11ejemplover( mkgf ,82020

C;10

(?);

2

02

A

p

f

t

T

r

v

c)

Solución por la Ec. (3.77), tenemos:

;11,19767816.0

1545

1

0

11

p

T C

;8826,0133,1

2

22

0

0

2

0

2 T T

p

T C

.18

10

3,2108086

00,15451

22,3952

350senh1,1976

7652,1

350senh8826,0

600

0

22

2

T T

T

t

Resolviendo para C102010 t , obtenemos

kp. 212120 T

d) Solución por la Ec. (3.79):

3.11);

3.11);


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CAPITULO 3

.087,3061080863,2101018

,10142,1124

350133,13,2108086

24

1.15),Ej.(del 3142,222124

6

12

9

2222

2

2

0

22

1

t t ES

A ESp

T

A ESp

t

luego,

.10142,112272,370 9203

0 22 T T

Resolviendo, obtenemos

kgf. 211720 T

e) Comparando los resultados, vemos, una vez más, que el error cometido con el

empleo de la ecuación de la parábola es perfectamente despreciable, de forma que, para

la gran mayoría de los casos prácticos, la Ec. (3.79) es suficientemente precisa

Ejemplo 3.18

Supongamos ahora que tenemos escogido como “estado de referencia” lassiguientes condiciones:

1.11).Ej.(del kgf 133,1

;hkm110decon viento kgf, 2117

C;10

1

0

1

1

p

T

t

El “nuevo estado” par a el cual deseamos conocer la tracción es el siguiente:

(?)

;sin viento m,kgf 7816,0

C;60

10

2

2

T

p

t

Empleando la ecuación de cambio de estado (3.79), tenemos

,

24

3507816,080863,210

2117106080863,2101018211724

350133,180863,210

22

6

2

22

2

0

3

0 22

T T

o

3.15),

3.11),


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CAPITULO 3

.1030233,55,1899 9203

0 22 T T

Resolviendo, encontramos

kgf. 128920 T

3.5.4 Influencia de la Variación de la Temperatura y de la Carga de Viento sobre

Estructuras en Angulo

Vimos, en la secc

Documents

Cap03-ComportamientoMecánicoDeConductores (UMSS)