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INSTITUTO TECNOLÓGICO AUTÓNOMO DE MÉXICO
Departamento Académico de Economía
Economía V
Capítulo 6
Modelo de Intercambio Intertemporal Puro1
INTRODUCCIÓN
En este capítulo estudiaremos el modelo macroeconómico dinámico más sencillo, que servirá
como base para los que se desarrollarán en el resto del curso. La simpli�cación más importante es
que en este modelo no habrá ni empresas ni producción. Las únicas actividades económicas que se
llevarán a cabo son el intercambio de bienes y el consumo de éstos. En este modelo los individuos
reciben �del cielo�dotaciones de bienes, sin que tengan que realizar esfuerzo alguno para obtenerlas.
Las cantidades que reciben no pueden ser modi�cadas a través de la propia conducta.
La característica esencial del modelo es que los individuos viven varios períodos, y en cada período
reciben una dotación de bienes (posiblemente distinta de un período a otro). Como es costumbre
en los modelos macroeconómicos, supondremos que los individuos reciben un solo bien de consumo
agregado. Al haber en la economía un sólo bien en cada momento, no será posible para los individuos
llevar a cabo un intercambio convencional de bienes. Como veremos, el único tipo de intercambio
que será posible es de carácter intertemporal, por medio del cual adquieren (o venden) unidades del
bien en el presente a cambio de entregar (o recibir) unidades del bien en algún momento en el futuro.
Estudiaremos inicialmente un modelo con sólo dos períodos. Este modelo será útil para describir
con detalle el problema que enfrentan los consumidores, estudiar las relaciones básicas del modelo
y entender la manera en que los precios se determinan en equilibrio. Posteriormente extenderemos
el modelo a economías que viven más de dos períodos. Con esto, y con la introducción de algunas
técnicas matemáticas que se discutirán más a fondo en el apéndice, estudiaremos �nalmente la de-
terminación de precios y cantidades de equilibrio en economías que viven una in�nidad de períodos.
Este último modelo, conocido en la literatura como el modelo de horizonte in�nito, resultará espe-
cialmente útil en capítulos posteriores cuando introduzcamos otras variables, como la inversión y
el dinero, ya que en estos modelos más ricos, la existencia de un período terminal de la economía
accarea características no desables para el análisis.
1Esta nota fue elaborada por el Prof. Alejandro Hernández D. para el uso exclusivo de los alumnos inscritos enel curso Economía V en el Instituto Tecnológico Autónomo de México. El autor agradece los comentarios de losprofesores Germán Rojas e Ignacio Trigueros.
1
6.1 MODELO DE DOS PERÍODOS
En esta sección consideraremos una economía que vive dos períodos (que identi�caremos por
medio de t = 1; 2) y donde habitan I consumidores. En cada período hay un único bien de consumo.
Cada individuo (que identi�caremos de forma genérica con el índice i = 1; : : : I) recibe una dotación
de bienes (yi1; yi2), y
it � 0, donde el subíndice t se re�ere al período t = 1; 2 y el superíndice i se
re�ere al individuo. Supondremos que, aunque la dotación yi2 se recibe en el futuro (el período 2),
en el período 1 los individuos conocen con certeza el valor de las dotaciones presente y futura2 . Una
de las formas en que los individuos en esta economía pueden diferir entre sí es en la dotación de
bienes que cada uno recibe, ya que para cada individuo, su dotación puede ser cualquier punto en
el cuadrante positivo de R2. Supondremos que el bien de consumo es perecedero, de manera que el
bien en t = 1 no se puede almacenar para su consumo en el segundo período. Lo que no se consume
en el primer período simplemente se pierde.
6.1.1. PREFERENCIAS
Los individuos valoran su consumo en cada período, cit. Supondremos que cada individuo tiene
preferencias por su consumo a lo largo de su vida, descritas por la función de utilidad Ui(ci1; ci2),
donde Ui es una función que puede variar de un individuo a otro, y que cumple con las propiedades
usuales de una función de utilidad con dos bienes. Es decir, supondremos que la función Ui es
monótona creciente en cada bien (el individuo pre�ere más consumo que menos en cada momento
en el tiempo), lo que implica que las curvas de indiferencia entre ci1 y ci2 tienen pendiente negativa;
supondremos también que Ui cuasicóncava, lo que implica que las curvas de indiferencia son convexas
al origen. También supondremos que Ui es continua y diferenciable respecto a sus dos argumentos.
Es importante enfatizar que (ci1; ci2) representa un plan de consumo para toda la vida del consumidor
(en este caso de dos períodos). La función de utilidad Ui evalúa planes de consumo (o estilos de
vida). Dicho de otra manera, nuestros consumidores son previsores y se preocupan por lo que
consumirán en el presente pero también en el futuro. En la grá�ca 6.1 se muestra un mapa de
curvas de indiferencia convencional. En los ejes aparece el bien de consumo presente y el bien de
consumo futuro, respectivamente.
2En este texto limitamos nuestro análisis exclusivamente a modelos determinísticos, donde los individuos tienencerteza absoluta sobre el futuro. Se trata desde luego, de una simpli�cación poco realista pero que permitirá establecerla esencia del análisis macroeconómico dinámico. La extensión del modelo a entornos con incertidumbre es, enla mayoría de los casos sencilla, aunque en ocasiones, la presencia de incertidumbre genera problemas económicostrascendentes.
2
Grá�ca 6.1
i
i
Como puede apreciarse, la convexidad al origen de las curvas de indiferencia (supuesto usual en
la teoría del consumidor) sugiere que, en general, el individuo pre�ere planes de consumo balancea-
dos sobre planes de consumo que asignen mucho consumo en un período y poco en el otro. Esta
preferencia por planes de consumo balanceados se conoce en la literatura macroeconómica como la
propiedad de suavización del consumo. Nótese que no es un supuesto en sí, sino una consecuencia
de la cuasiconcavidad de la función de utilidad.
En principio, la función Ui puede ser cualquier función de utilidad con dos bienes. Sin embargo,
con la �nalidad de obtener resultados sencillos que puedan ser contrastados con la evidencia empírica,
la mayoría de los modelos macroeconómicos supone una familia especí�ca de funciones de utilidad,
conocidas como preferencias separables y aditivas en el tiempo, que están de�nidas por
Ui(ci1; c
i2) = ui(c
i1) + �ui(c
i2);
donde ui es una función monótona creciente y cóncava (u0i > 0, u00i < 0) y � es una constante
positiva y menor a uno, 0 < � < 1. La función ui determina la satisfacción instantánea que el
individuo experimenta al consumir en un período en especí�co. La grá�ca 6.2 muestra una función
ui que satisface las propiedades de monotonicidad y concavidad. El que la función ui tome valores
negativos y positivos no representará ningún problema, ya que, tratándose de funciones de utilidad,
la cardinalidad no es importante.
3
Grá�ca 6.2
i
t
Nótese la diferencia entre la función de utilidad Ui que mide el nivel de felicidad ex-ante que pro-
duce un plan de consumo para toda la vida, y la función ui que sólo mide la satisfacción inmedia-ta
de consumir. Un individuo cuyas preferencias pertenezcan a esta familia valora la utilidad que le
brinda un plan de consumo sumando la satisfacción instantánea de cada consumo, pero multipli-
cando la satisfacción del segundo período por un factor � menor que uno. Es decir, los individuos
�descuentan� la satisfacción futura. Con esto se trata de representar cierto grado de impaciencia
por parte de los consumidores quienes valoran más el consumo en el presente.
Ocasionalmente representaremos al factor de descuento � por medio de la identidad
� =1
1 + �;
donde � > 0. Entre mayor sea �, menor será �, lo que quiere decir que el individuo descontará más
fuertemente el futuro, es decir es más impaciente. A � se le conoce como el factor de descuento,
mientras que a � se le conoce como la tasa de descuento.
Para esta familia de preferencias, la tasa marginal de sustitución es, como siempre, la utilidad
marginal respecto al bien 1 dividida entre la utilidad marginal respecto al bien 2. En este caso,
TMS =u0i(c
i1)
�u0i(ci2):
Una propiedad de estas preferencias es que independientemente de la función ui, a lo largo de la línea
de 45� donde ci1 = ci2, la tasa marginal de sustitución es igual al recíproco del factor de descuento,
independientemente del nivel de consumo de los bienes.
4
Ejemplo 1. (Preferencias Cobb-Douglas)
Sea
ui(ct) = ln ct;
lo que implica que
TMS(c1; c2) =c2�c1
= (1 + �)c2c1:
�
Ejemplo 2. (Preferencias CES)
Sea
ui(ct) =[ct]
1� 1� � 1
1� 1
�
;
donde � > 0, � 6= 1. En este caso � representa la elasticidad de sustitución intertemporal (es decir
entre consumo presente y futuro). La tasa marginal de sustitución es:
TMS(c1; c2) =1
�
�c2c1
� 1�
= (1 + �)
�c2c1
� 1�
:
�
Nótese que en ambos ejemplos, ya sea tratándose de preferencias logarítmicas (Cobb-Douglas) o
de elasticidad de sustitución constante (CES), la tasa marginal de sustitución depende de c1 y de c2
sólo a través del cociente c2=c1. Lo que esto implica es que a lo largo de cualquier rayo desde el origen
(en el que, por de�nición, c2=c1 es constante e igual a la pendiente del rayo), la tasa marginal de
sustitución es la misma. A esta propiedad se le conoce como la homoteticidad de las preferencias. No
todas las funciones de utilidad satisfacen esta propiedad; pero sí la cumplen la familia de preferencias
que utilizaremos a lo largo de este texto:
5
Grá�ca 6.3
i
i
6.1.2 INTERCAMBIO
Todos los individuos tienen la opción de consumir su dotación. Alternativamente, pueden tratar
de intercambiar parte de su dotación del bien en un período por unidades del bien en el otro de
acuerdo a alguna tasa de intercambio de mercado. Lo peculiar de este modelo es que el intercambio
se realiza entre bienes que no están disponibles en el mismo momento en el tiempo. Es decir, si un
individuo cede bienes en el presente para adquirir bienes en el futuro, lo que en el presente recibe es
una promesa de entrega de dichos bienes. Supondremos que dichas promesas siempre son cumplidas
(quizá porque el castigo de no cumplirlas es muy grande). Expresaremos las oportunidades de
intercambio de los individuos por medio de dos restricciones presupuestarias, una para cada período:
ci1 + bi = yi1
ci2 = yi2 + (1 + r)bi;
donde bi denota las unidades del bien que el individuo cede en el primer período a cambio de recibir
(1 + r)bi unidades en el segundo período. Decimos que bi son �bonos� que el individuo adquiere
y que le dan derecho a recibir bienes en el futuro. Los bonos son un mecanismo que le permite al
individuo implementar el intercambio de bienes para llegar a un plan de consumo deseado. No es
una variable que al individuo le preocupe en sí (no entra en su función de utilidad). Como vehículo
de intercambio, es una variable de decisión del individuo que puede ser positiva negativa o cero. Si
bi > 0, el individuo cede bienes en el presente para recibir bienes en el futuro (ci1 < yi1 y c
i2 > y
i2);
si bi < 0, el individuo recibe bienes en el presente a cambio de ceder bienes en el futuro (ci1 > yi1 y
ci2 < yi2); y si b
i = 0, el individuo consume en ambos perídos su dotación (cit = yit, t = 1; 2). En el
6
primer caso (bi > 0), decimos que el individuo es un ahorrador; en el segundo (bi < 0), decimos que
que el individuo es un deudor; y si bi = 0 decimos que el individuo está en autarquía. Es pertinente
notar que el individuo siempre puede elegir no participar en el intercambio intertemporal de bienes
(bi = 0), por lo que si lo hace (ya sea eligiendo una bi positiva o una negativa) es sólo para mejorar
su bienestar.
A cambio de ceder bonos en el presente, el individuo recibe un premio en el futuro. Dicho premio
es la tasa real de interés r3 . Es importante enfatizar que la tasa de interés es una variable de
mercado que el individuo competitivo toma como dada. En principio, no hay razón para suponer
que dicha tasa real de interés deba tomar un valor especí�co. Como veremos, las condiciones de
oferta y demanda serán las que determinen el valor de equilibrio de esta variable, que puede tomar
cualquier valor positivo o incluso negativo (aunque tiene que ser estrictamente mayor a �1, ya que
de lo contrario en lugar de recibir bienes en el segundo período a cambio de cederlos en el primero, el
individuo también cedería bienes en el segundo período). Como veremos más adelante, la impaciencia
de los individuos, que hemos modelado a través del factor de descuento 0 < � < 1 (o � > 0) en la
función de utilidad, va a ser un factor importante para que en equilibrio la tasa de interés tienda a
ser positiva (en cuyo caso los individuos efectivamente reciben un premio por posponer su consumo).
Sin embargo, el valor de equilibrio de la tasa de interés dependerá también de las condiciones de
abundacia y escasez relativa de los bienes, por lo que aún con individuos impacientes, la tasa de
interés de equilibrio puede ser negativa. Decimos que la tasa es real, porque el premio está medido en
bienes (a diferencia de las tasas de interés expresadas en dinero que veremos en capítulos posteriores
cuando introduzcamos dinero al modelo).
En algunos modelos, resulta más útil representar las restricciones presupuestarias anteriores
utilizando bonos cupón cero que se adquieren a un precio a descuento. Lo que esto quiere decir es
ci1 + q~bi = yi1
ci2 = yi2 +~bi;
donde cada bono da derecho a recibir una unidad del bien en el período 2 y q es el precio unitario de
cada bono, expresado en unidades del bien de consumo en el primer período. La variable ~bi denota
la cantidad de bonos cupón cero que el individuo adquiere (o vende si ~bi es negativa), por lo que q~bi
denota el ahorro en el primer período. Es decir, ~bi representa la compra a futuro de ~bi unidades del
bien, y q es el precio unitario de dicha compra. El mismo argumento que hicimos anteriormente al
hablar de la tasa de interés nos llevaría a pensar que, en general, la impaciencia de los individuos será
una fuerza importante para que en equilibrio q tienda a ser menor que uno. De hecho, comparando3Decimos que una variable de mercado (por ejemplo un precio o la tasa de interés) es real, cuando dicha variable
está expresada en unidades del bien de consumo. En capítulos posteriores hablaremos también de variables nominales,que estarán medidas en unidades de dinero.
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las restricciones presupuestarias cuando utilizamos bonos convencionales o bonos a descuento, se
deduce de manera inmediata que
q~bi = bi y ~bi = (1 + r)bi
lo que se cumple de forma simultánea si y sólo si
q =1
1 + r:
Esto implica que si r > 0, entonces q < 1. Es decir, si en el modelo con bonos convencionales es
positiva la tasa de interés, en el modelo con bonos cupón cero, los individuos habrían de pagar una
cantidad menor a uno en el presente por el derecho a recibir una unidad en el futuro (se dice que el
individuo cadquiere bonos �a descuento"). Nótese el paralelismo que existe entre la relación entre r
y q y la que de�nimos anteriormente entre � y �.
Ya sea que utilicemos las restricciones presupuestarias en términos de (1 + r) o en términos de
q, si despejamos los bonos en la restricción del segundo período y los sustituimos en la restricción
del primer período, colapsamos ambas restricciones en una sola:
ci1 +ci21 + r
= yi1 +yi21 + r
;
o si se pre�ere,
ci1 + qci2 = y
i1 + qy
i2:
En cualquiera de las dos versiones, esta expresión, que en lo sucesivo llamaremos la restricción
presupuestaria intertemporal, tiene la forma convencional de una restricción presupuestaria. En
el lado izquierdo aparece el valor del plan de consumo, donde q = (1 + r)�1 es el precio relativo
del bien en el futuro con respecto al bien en el presente. En el lado derecho aparece la riqueza
del individuo, que en este caso se de�ne como el valor de mercado de la dotación. Nótese que, a
diferencia de la teoría clásica del consumidor, la riqueza es función de la tasa de interés. Ello no
impedirá que utilicemos los resultados ya conocidos para obtener el óptimo de consumo para un
valor dado de la tasa de interés, ya que en ese caso la riqueza se convierte en una variable exógena.
Sin embargo, al someter nuestro análisis a cambios en la tasa de interés, será necesario reconocer que
estos cambios también inciden sobre la riqueza del individuo. Este tipo de situaciones no deben de
resultar novedosas. Lo mismo sucedió en el modelo estático de producción y consumo del capítulo 3,
en donde el valor de la dotación del individuo (que en ese caso estaba integrada por su disponibilidad
de tiempo y por su participación en el capital accionario de las empresas) dependía del salario de
equilibrio (que determinaba a la vez el valor del tiempo y las ganancias óptimas de las empresas).
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La representación de la restricción presupuestaria aparece en la grá�ca 6.4. Como en cualquier
restricción presupuestaria de dos bienes, la pendiente de la línea presupuestaria está dada por el
negativo del cociente de dividir el precio del bien 1 entre el precio del bien 2. Es decir:
pendiente = � 11
1 + r
= �(1 + r) = �q�1:
Una vez que conocemos la pendiente, lo único que resta para poder gra�car la restricción presupues-
taria es determinar su ubicación en el plano. Para ello, basta notar que el consumidor siempre tiene
la opción de no acudir al mercado y consumir su dotación, independientemente de la tasa de interés
r. Por lo tanto, el punto ci1 = yi1 y ci2 = yi2 debe estar sobre la restricción presupuestaria. En
otras palabras, independientemente del valor de la tasa de interés, la restricción presupuestaria debe
pasar por la dotación (yi1; yi2). Cambios en la tasa de interés implican la rotación de la restricción
presupuestaria tomando como punto de pivote la dotación del individuo.
Grá�ca 6.4
i
i
La representación grá�ca de la restricción presupuestaria intertemporal nos provee también in-
formación sobre el valor de bi, aún cuando esta variable no aprece explícitamente. Como lo muestra
la grá�ca 6.5, un punto sobre la línea presupuestaria que esté arriba y a la izquierda de la dotación
necesariamente implica que bi > 0 (ya que un punto a la izquierda de la dotación signi�ca ci1 < yi1),
en el cual el individuo ahorra en el presente para adquirir bienes de consumo en el futuro. Lo con-
trario sucede en un punto sobre la línea que esté abajo y a la derecha de la dotación, en el cual el
indivuo se endeuda contra su ingreso futuro para adquirir más bienes de consumo en el presente.
9
Grá�ca 6.5
i
i
El problema del consumidor consiste en maximizar su utilidad sujeto a las restricciones pre-
supuestarias correspondientes. Para ello hay dos opciones: plantear la restricción presupuestaria
intertemporal, o someter al individuo a una restricción presupuestaria en cada período. El primer
enfoque es más sencillo, ya que involucra una sola restricción presupuestaria que tiene una forma con-
vencional. Plantearemos primeramente este problema. Posteriormente analizaremos el problema con
las restricciones presupuestarias de cada período, que nos ofrecerá algunas enseñanzas adicionales.
De tal forma, el problema del consumidor que enfrenta la restricción presupuestaria intertemporal
es
maxc1;c2 ui(c1) +ui(c2)
1 + �s.a.
c1 +c21 + r
= yi1 +yi21 + r
:
Nótese el paralelismo, y a la vez la diferencia, entre la tasa de descuento intertemporal � y la tasa
de interés r. Para descontar �ujos futuros de bienes (ya sea dotaciones o consumos) los individuos
utilizan la tasa de interés de mercado, ya que ésta determina el precio relativo entre bienes en el
presente y bienes en el futuro. Sin embargo, para descontar �ujos futuros de utilidad los individuos
utilizan su propia tasa de descuento �, que es un parámetro subjetivo de preferencias. La diferencia
es clara. El valor de los bienes en el futuro se determina utilizando una tasa objetiva de mercado,
sin embargo la utilidad futura se descuenta por medio de un factor subjetivo y personal.
Las condiciones de primer orden del Lagrangiano asociado al problema de maximización son:
u0i(ci�1 ) = �i�
u0i(ci�2 )
1 + �=
�i�
1 + r
10
donde �i� es el valor que toma en el óptimo el multiplicador de Lagrange asociado a la restricción
presupuestaria intertemporal. Dividiendo las dos condiciones de primer orden entre si se obtiene
la condición de e�ciencia intertemporal, que establece que la tasa marginal de sustitución entre
consumo presente y futuro debe ser igual a la razón de precios:
(1 + �)u0i(c
i�1 )
u0i(ci�2 )
= 1 + r:
Esta condición, expresada de la siguiente manera, se conoce como la ecuación de Euler :
u0i(ci�1 ) = u
0i(c
i�2 )1 + r
1 + �= �u0i(c
i�2 ) (1 + r) :
Indica que, en el óptimo, el costo y el bene�cio marginales de aplazar el consumo deben ser iguales.
Supongamos que un consumidor contempla la posibilidad de dejar de consumir una unidad en el
presente con la �nalidad de incrementar su consumo futuro. El lado izquierdo de la ecuación de
Euler muestra el costo, en términos de la utilidad perdida que el individuo incurre en el presente.
El lado derecho muestra el bene�cio futuro, que es igual a la utilidad marginal multiplicada por uno
más la tasa de interés, ya que por cada unidad ahorrada el individuo obtiene 1 + r en el futuro
(recordemos que la utilidad marginal en el futuro es igual a la derivada de la función ui multiplicada
por el factor de descuento).
La condición de e�ciencia y la restricción presupuestaria de�nen un sistema de dos ecuaciones
con dos incógnitas de donde obtenemos las ecuaciones de demanda c�t , t = 1; 2.
Ejemplo 1 (Preferencias Cobb-Douglas)
Sea
ui(ct) = ln ct;
Por lo tanto, la ecuación de Euler implica que
1
ci�1=
1
ci�2
1 + r
1 + �;
de donde
ci�2 = ci�1
1 + r
1 + �:
Sustituyendo en la restricción presupuestaria intertemporal se obtiene que
ci�1 +ci�11 + �
= yi1 +yi21 + r
;
de donde
ci�1 = ci1(r) =
1 + �
2 + �
�yi1 +
yi21 + r
�=
1
1 + �
�yi1 +
yi21 + r
�:
11
Nótese que ésta es precisamente la función de demanda que se obtiene para preferencias Cobb-
Douglas, para el caso en que el parámetro del bien en t = 1 en la función de utilidad es 1, el
parámetro del bien en t = 2 en la función de utilidad es �, el ingreso es yi1 + yi2=(1 + r), y el precio
del bien en t = 1 es igual a 1.
Sustituyendo ci�1 en la ecuación de Euler, o simplemente a partir de nuestro conocimiento de las
funciones de demanda para preferencias Cobb-Douglas, reconociendo en este caso que el precio del
bien en el segundo período es 1=(1 + r), el consumo óptimo en el segundo período queda dado por:
ci�2 = ci2(r) =
1
2 + �(1 + r)
�yi1 +
yi21 + r
�=
�
1 + �(1 + r)
�yi1 +
yi21 + r
�:
�
Ejemplo 2 (Preferencias CES)
Sea
ui(ct) =(ct)
1� 1� � 1
1� 1
�
;
Por lo tanto, la condición de e�ciencia implica que�ci�2ci�1
� 1�
= �(1 + r);
de donde
ci�2 = ci�1 [�(1 + r)]
�:
Sustituyendo en la restricción presupuestaria intertemporal se obtiene que
ci�1 +ci�1 [�(1 + r)]
�
1 + r= yi1 +
yi21 + r
;
y por lo tanto
ci�1 = ci1(r) =
1
1 + ��(1 + r)��1
�yi1 +
yi21 + r
�y
ci�2 = ci2(r) =
[�(1 + r)]�
1 + ��(1 + r)��1
�yi1 +
yi21 + r
��
En los ejemplos anteriores hemos escrito las funciones de demanda explícitamente como funciones
de r exclusivamente. De la teoría del consumidor sabemos que las funciones de demanda en un
modelo con dos bienes son funciones de los precios de cada bien y del ingreso. En este caso, el precio
del bien de consumo en t = 1 es siempre igual a uno, mientras que el precio del bien en t = 2, así
como el ingreso, son funciones exclusivamente de la tasa de interés (suponiendo que las dotaciones
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individuales no cambian). Es por ello que de forma sintética expresamos a las demandas en función
exclusivamente de la tasa de interés.
Una propiedad fundamental de las funciones de demanda que obtuvimos en los ejemplos ante-
riores es que el consumo óptimo en cada período depende de la riqueza total del individuo, entendida
como el valor presente de la dotación a lo largo de la vida, y no del ingreso del período en curso, como
sucede en otros paradigmas macroeconómicos. Dos individuos que tuvieran las mismas preferencias
y distintas dotaciones, pero tales que el valor presente de su riqueza fuera el mismo, demandarían
exactamente lo mismo, independientemente de la dotación que reciban en cada período.
Hemos resuelto el problema del consumidor escrito en términos de la restricción presupuestaria
intertemporal. Resulta natural preguntarse de qué manera el análisis puede cambiar si en lugar de
mirar este problema nos concentramos en el problema original con una restricción presupuestaria en
cada período:maxc1;c2;b ui(c1) + �ui(c2)s.a.
c1 + b = yi1
c2 = yi2 + (1 + r)b:
Como veremos, la solución es exactamente la misma, y tiene que ser así por que los dos problemas
son equivalentes. No obstante, el análisis de las condiciones de primer orden es valioso porque conlleva
enseñanzas económicas que serán útiles más adelante en modelos dinámicos más complejos.
Al tener dos restricciones, debemos plantear un Lagrangiano con dos multiplicadores, cada uno
asociado a una restricción:
maxL(c1; c2; b; �1; �2) = ui(c1) + �ui(c2)� �i1�c1 + b� yi1
�� �i2
�c2 � yi2 � (1 + r)b
�;
donde �i1 y �i2 son los multiplicadores asociados a la restricción en t = 1 y en t = 2 respectivamente.
Las condiciones de primer orden de este problema son (a la izquierda de cada condición se especi�ca
respecto a qué variable se deriva):
c1 : u0i(ci�1 ) = �i�1
c2 : �u0i(ci�2 ) = �i�2
b : �i�1 = �i�2 (1 + r)
�i1 : ci�1 + bi� = yi1
�i2 : ci2 = yi2 + (1 + r)bi�
Sustituyendo las dos primeras en la tercera se obtiene la ecuación de Euler que describimos
anteriormente:
u0i(ci�1 ) = �u
0i(c
i�2 )(1 + r):
13
Similarmente, despejando bi� en la última condición de primer orden y sustituyéndola en la penúltima
obtenemos la misma restricción presupuestaria intertemporal, por lo que los consumos óptimos deben
ser exactamente los mismos que en el modelo anterior ci�1 = ci1(r), ci�2 = ci2(r). A partir de esta
solución, podemos encontrar el valor óptimo de los bonos:
bi� = bi(r) = yi1 � ci1(r):
Como mencionamos anteriormente, ci1(r) no depende directamente del ingreso (es decir, la dotación)
del primer período, ya que lo que determina esta variable es la riqueza total del individuo, entendida
como el valor presente de las dotaciones presente y futura. Sin embargo, bi� sí depende del ingreso
presente. Un individuo que quiere consumir una cierta cantidad en el presente, en función de su
riqueza total, tendría una bi� pequeña (posiblemente negativa) si su ingreso en el presente es pequeño,
y grande si el ingreso presente es grande.
6.1.3 EQUILIBRIO
Una vez que hemos caracterizado la forma en que los individuos toman sus decisiones, podemos
proceder a calcular el equilibrio de la economía. Supondremos que hay I individuos en la economía,
cada uno con sus preferencias y dotaciones, potencialmente distintas. La tasa real de interés de
equilibrio r� se de�ne como aquella tasa de interés que vacía los mercados de bienes y de crédito.
Resalta el hecho de que tenemos un sólo precio relativo (1=(1+ r)) y tres mercados (el bien en t = 1,
el bien en t = 2 y los bonos en t = 1). Sin embargo, como veremos en un momento, el mercado de
bonos no es más que un espejo del mercado de bienes en t = 1, por lo que en realidad tenemos dos
mercados y un solo precio relativo (ya que hemos estandarizado el precio del bien en t = 1 igual a
1). El equilibrio en el mercado de bienes en t = 1 implica que
IXi=1
ci1(r�) =
IXi=1
yi1 = Y1:
El lado izquierdo de esta ecuación es la demanda agregada en el período inicial, mientras que el
lado derecho es la oferta agregada, que en este caso es perfectamente inelástica e igual a la dotación
agregada. Manipulando esta expresión se obtiene que:
0 =
IXi=1
�yi1 � ci1(r�)
�=
IXi=1
bi(r�):
Es decir, el equilibrio en el mercado de bienes implica el equilibrio en el mercado de bonos. El vaciado
en el mercado de bonos exige que la cantidad agregada de bonos sea cero. La razón es la siguiente.
Para que un individuo pueda ahorrar una cierta cantidad (y recibir el interés correspondiente), se
requiere que uno o varios individuos estén dispuestos a endeudarse y tomar como préstamo lo que
14
el primer individuo quiere ahorrar. Como los ahorros se representan como bi > 0 y las deudas como
bi < 0, el equilibrio se obtiene precisamente cuando la suma de los bonos es igual a cero.
Finalmente, el equilibrio en el mercado de bonos implica también el equilibrio en el mercado de
bienes en el segundo período, ya que
IXi=1
ci2(r�) =
IXi=1
�yi2 + (1 + r
�)bi(r�)�
=IXi=1
yi2 + (1 + r�)
IXi=1
bi(r�) =IXi=1
yi2 = Y2:
Por lo tanto, cuando la tasa de interés r� vacía un mercado, automáticamente vacía los otros dos.
Este argumento no es sino la formalización de la Ley de Walras que, como se ve, es consecuencia
directa de la estructura de las restricciones presupuestarias.
La condición de e�ciencia de cada individuo implica que cuando la tasa de interés es igual a r�,
u0i(ci1(r
�))
�u0i(ci2(r
�))= 1 + r�;
por lo que todos los individuos igualan su tasa marginal de sustitución a 1 + r�. Esto implica que
todas las tasas marginales de sustitución son iguales entre sí. Como además, por de�nición, la
asignación de equilibrio vacía los mercados, podemos concluir que el equilibrio competitivo es un
óptimo de Pareto.
La tasa de interés de equilibrio r� se obtiene sustituyendo las ecuaciones de demanda de cada
individuo en la condición de vaciado del mercado de bienes en el período inicial:
Ejemplo (Dos consumidores, mismas preferencias Cobb-Douglas):
Supongamos que ambos individuos tienen preferencias
ln c1 + � ln c2:
Los individuos di�eren entre sí por sus dotaciones. Sea (yi1; yi2) la dotación a lo largo de la vida del
individuo i. La dotación agregada en cualquiera de los dos períodos es
Yt = y1t + y
2t :
Anteriormente obtuvimos que las funciones de demanda de los individuos en el primer período están
dadas por
ci1(r) =1
1 + �
�yi1 +
yi21 + r
�:
Sustituyendo estas funciones de demanda en la condición de equilibrio
c11(r�) + c21(r
�) = y11 + y21 = Y1;
15
obtenemos que1
1 + �
�y11 +
y121 + r�
�+
1
1 + �
�y21 +
y221 + r�
�= Y1:
Factorizando el lado izquierdo,
1
1 + �
�y11 + y
21 +
y121 + r�
+y22
1 + r�
�= Y1
1
1 + �
�Y1 +
1
1 + r�Y2
�= Y1:
De donde concluimos que
1 + r� =Y2�Y1
= (1 + �)Y2Y1:
�
6.1.4 AGENTE REPRESENTATIVO
Los modelos con agente representativo son ampliamente utilizados en macroeconomía por la
sencillez con la que en estos modelos se calcula el equilibrio. En estricto sentido, mantenemos el
supuesto de que la economía tiene un número I de consumidores, donde I es un número muy grande.
La diferencia es que todos los individuos son iguales entre sí, tanto por sus preferencias como por sus
dotaciones. Como todos los individuos enfrentan exactamente el mismo problema de maximización,
ya que todos tienen la misma función objetivo y la misma restricción presupuestaria intertemporal,
todos los individuos eligen el mismo consumo óptimo
ci�t = cit(r) = ct(r); t = 1; 2:
En igualdad anterior eliminamos el superíndice i para hacer explícito que la demanda individual es
la misma para todos. La demanda agregada, como función de la tasa de interés, es por tanto
IXi=1
cit(r) = Ict(r); t = 1; 2:
Por otro lado, como la dotación en cada período es la misma para todos los individuos, la dotación
agregada esIXi=1
yit = Iyt; t = 1; 2;
donde yt indica que la dotación per cápita que es igual para todos. La condición de vaciado de
mercados implica que la tasa de interés de equilibrio debe ser tal que
IXi=1
ci1(r�) =
IXi=1
yi1;
16
que en este caso implica
Ic1(r�) = Iy1
y por lo tantoc1(r
�) = y1;
b(r�) = 0:
Esta condición implica que la tasa de interés de equilibrio debe ser aquella a la cual el consumidor
voluntariamente consuma su dotación y no pretenda realizar intercambio alguno. La razón por la
que esto debe ser así es por que, al ser todos los individuos iguales, si la tasa de interés fuera tal
que un individuo deseara consumir más que su dotación en alguno de los dos períodos, todos los
individuos querrían hacer lo mismo, lo que evidentemente no puede constituir un equilibrio ya que
la dotación agregada de bienes no alcanzaría para satisfacer los deseos de todos.
Para que consumir su dotación sea óptimo para el individuo, la tasa de interés debe ser tal que
se satisfaga su condición de e�ciencia intertemporal cuando consume su dotación. Es decir,
1 + r� =u0(y1)
�u0(y2);
donde hemos eliminado el subíndice i de la función de utilidad, ya que todos los individuos en la
economía tienen las mismas preferencias. Ésta es la ecuación que determina la tasa de interés de
equilibrio. Basta conocer la función de utilidad y las dotaciones presente y futura para conocer la
tasa de interés que equilibra el mercado.
Ejemplo (Preferencias CES):
El consumidor representativo tiene preferencias dadas por
u(c1) + �u(c2);
donde
u(c) =c1�
1� � 1
1� 1�
:
Por lo tanto,
1 + r� =1
�
�y2y1
� 1�
= (1 + �)
�y2y1
� 1�
;
La expresión y2=y1 se puede expresar como uno más la tasa de crecimiento de la dotación, que
denotamos anteriormente como y2,
1 + y2 �y2y1:
Sustituyendo esta identidad en la determinación de la tasa de interés de equilibrio, y aplicando
logaritmos en ambos lados de la ecuación, se obtiene que
ln(1 + r�) = ln(1 + �) +ln(1 + y2)
�:
17
Aplicando la aproximación de Taylor ln(1 + x) ' x, para x su�cientemente pequeña, obtenemos
�nalmente que
r� ' �+ y2�:
�
La determinación grá�ca de la tasa de interés de equilibrio se muestra en la grá�ca 6.6. Si 1 + r
es igual a la pendiente de la curva de indiferencia que pasa por la dotación, entonces la restricción
presupuestaria que el individuo enfrentaría es tal que consumir su dotación resulte óptimo.
Grá�ca 6.6
A partir de la ecuación que determina la tasa de interés de equilibrio, podemos preguntarnos
cómo reacciona esta variable ante cambios súbitos en las dotaciones. Un incremento transitorio en
la dotación presente del agente representativo (es decir, la dotación futura no cambia), reduce el
valor de u0(y1) (ya que la utilidad marginal es decreciente), y por lo tanto reduce el valor de equilibrio
de la tasa de interés. La intuición económica de este resultado es la siguiente. Un incremento en y1
representa un incremento en la riqueza (es decir el valor presente de las dotaciones). Como ambos
bienes son normales, el efecto riqueza se mani�esta como un incremento en el consumo deseado en
el presente y en el futuro. Para poder implementar este nuevo plan de consumo, el individuo debe
consumir parte de la dotación incremental en el presente (ya que c1 aumenta), y ahorrar la otra parte
(ya que de lo contario no podría incrementar c2). Por lo tanto b > 0. Como sabemos que esto no
puede ser un equilibrio, ya que como todos los individuos experimentan el mismo incremento en y1,
todos quieren ahorrar y no habría nadie dispuesto a pedir prestado y pagar el interés correspondiente.
18
Para restablecer el equilibrio, la tasa de interés debe caer, lo que lleva a los individuos a ahorrar
menos, sustituyendo consumo presente en lugar de consumo futuro (que se vuelve más caro), hasta
llegar al punto en que los individuos voluntariamente consumen en el presente todo el incremento
en su dotación. El efecto se presenta en la grá�ca 6.7.
Grá�ca 6.7
De forma similar, un incremento transitorio en la dotación futura y2 reduce el valor de u0(y2), lo
que se traduce en un incremento en la tasa de interés de equilibrio. Nuevamente, podemos entender
fácilmente este resultado a partir de lo que sucede en el mercado crediticio. Al saberse más rico
en el futuro, el agente representativo buscar incrementar su consumo en ambos períodos (es decir,
�suavizar�su consumo), para lo cual debe tranferir parte de esa riqueza al presente recurriendo al
endeudamiento. Como todos los individuos quieren endeudarse al mismo tiempo, no habría quien les
prestara. La forma de restablecer el equilibrio en el mercado crediticio es a través de un incremento
en la tasa de interés que inhibe el endeudamiento y que, al reducir el precio relativo del bien en
el futuro, induce una sustitución de consumo futuro en lugar de consumo presente, hasta llegar al
punto en que los individuos consuman en el futuro todo el incremento en la dotación futura.
Un incremento permanente en la dotación (digamos que la dotación en ambos períodos se in-
crementa en la misma proporción), reduce tanto u0(y1) como u0(y2). El efecto �nal dependerá de
la forma especí�ca de la función u, pero en cualquier caso esperaríamos que el efecto sobre la tasa
de interés de equilibrio fuera de menor magnitud. En particular, para el caso CES (del cual el
Cobb-Douglas es un caso particular), que de�ne un mapa de cuvas de indiferencia homotéticas, si
las dotaciones en t = 1 y t = 2 se incrementan en la misma proporción, los efectos se cancelan y por
19
lo tanto la tasa de interés de equilibrio no se ve alterada. Recordemos que en este caso es que la tasa
marginal de sustitución evaluada en la dotación depende exclusivamente del cociente y2=y1, mismo
que no se modi�ca si ambas cantidades se incrementan (decrementan) en la misma proporción.
Los efectos que cambios transitorios o permanentes en la dotación agregada tienen sobre la tasa
de interés de equilibrio pueden explicarse también de una forma intuitiva a partir del cambio en la
condición de abundancia o escasez relativa de bienes. Supongamos que Y1 aumenta mientras que Y2
permanece sin cambios. El bien 1 se vuelve relativamente más abundante y el bien 2 más escaso.
Por lo tanto, el bien 2 debe volverse relativamente más caro. Recordemos que su precio relativo
de equilibrio es q� = (1 + r�)�1. Por lo tanto, la tasa de interés debe caer. Lo contrario sucede
cuando Y2 se incrementa mientras que Y1 permanece sin cambios. Consideremos ahora un cambio
permanente, de manera que tanto Y1 como Y2 se incrementan. La relación de abundancia y escasez
relativa de bienes no se altera (ambos bienes son más abundantes en términos absolutos, pero en
términos relativos sigue siendo más abundante el que lo era antes del cambio). Por lo tanto, el precio
relativo de estos no debería verse afectado.
6.2 MODELO DE MÚLTIPLES PERÍODOS
Consideraremos ahora una economía muy similar a la de la sección anterior, sólo que en lugar
de vivir 2 períodos vive T > 2. Los I individuos en la economía viven durante todos los períodos
(nacen en el período 1 y mueren en el período T ). Al igual que en el modelo anterior, los individuos
reciben dotaciones, sólo que ahora la dotación de cada persona es un vector con T componentes
(yi1; yi2; : : : ; y
iT ), donde cada y
it � 0.
A los individuos les interesa de�nir un plan de consumo para toda la vida, (ci1; ci2; : : : ; c
iT ), que
sea óptimo en el sentido de que, dadas las oportunidades que el mercado les brinda, no les sea posible
adquirir otro plan que les dé mayor utilidad. Las preferencias que consideraremos serán similares a
las de la sección anterior, pero extendidas a T períodos. Es decir, consideraremos que la función de
utilidad del individuo i sobre sus planes de consumo es del tipo:
Ui(ci1; c
i2; : : : ; c
iT ) = ui(c
i1) + �ui(c
i2) + �
2ui(ci3) + : : :+ �
T�1ui(ciT )
=TXt=1
�t�1ui(cit):
El parámetro 0 < � < 1 tiene la misma interpretación que antes. Actúa como un factor de
descuento que el individuo i aplica al �ujo de utilidad de un período (medido por la función ui), y
de esta manera hace comparables los �ujos de utilidad de distintos períodos. Como la función de
utilidad Ui está contemplada desde el inicio de la vida del individuo en t = 1, lo que le interesa es
20
hacer comparables todos los �ujos futuros de utilidad con el del período inicial. Como � descuenta
el �ujo de utilidad del período inmediato siguiente, para traer al presente �ujos de utilidad que
ocurren en períodos más distantes, digamos un período t cualquiera, es necesario aplicar el factor
de descuento t� 1 veces. Siendo una operación multiplicativa el resultado es que al �ujo de utilidad
del período t se le aplica el factor de descuento �t�1. Nótese que, como 0 < � < 1, cada vez que
elevamos � a una potencia mayor, el resultado es un número más chico. En otras palabras:
1 > � > �2 > : : : > �T�1 > 0:
Al ser impacientes los individuos (� < 1), descuentan con mayor fuerza �ujos de utilidad más
distantes. Finalmente, nótese que en la expresión sintética a través de la sumatoria, el �ujo de
utilidad presente, ui(ci1), está multiplicado por �0 = 1, es decir, el presente no se descuenta.
Vamos a describir inicialmente las oportunidades de intercambio que el mercado le da a los
individuos por medio de una sucesión de restricciones presupuestarias, en donde en cada período
el individuo distribuye su ingreso entre consumo, ct, y ahorro, bt (o deuda, si bt es negativo). A
diferencia del modelo de dos períodos, los bonos se identi�can con el subíndice t ya que en cada
período el individuo adquiere o emite bonos para transferir posibilidades de consumo entre ese
período y el inmediato subsecuente. El subíndice que acompaña a los bonos se re�ere al período en
que éstos se compran o se venden. El ingreso disponible de los individuos en cualquier período t está
dado por la dotación del período, yit, más el ahorro del período anterior multiplicado por el factor
de interés correspondiente. Si en lugar de ahorrar en el período anterior el individuo se endeuda,
sus obligaciones �nancieras se deducen de su dotación en el período t. En resumen, la restricción
presupuestaria del período t está dada por:
ct + bt = yit + (1 + rt�1)bt�1:
La tasa de interés rt�1 es la que se pactó en el período en el que el individuo adquirió o emitió
los bonos bt�1. El subíndice en rt�1 indica que el valor de la tasa de interés puede ser distinto para
distintos períodos. Como veremos, esta situación surgirá naturalmente en el equilibrio. La tasa de
interés determinará el precio relativo de los bienes entre dos períodos contiguos. Dicho precio estará
determinado por condiciones de abundancia y escasez relativa de los bienes. En la medida que el
comportamiento dinámico de la dotación agregada presente variaciones en el tiempo, éstas habrán
de verse re�ejadas en las tasas de interés.
Nótese que al escribir esta misma manera la restricción presupuestaria en el período 1, en el lado
derecho aparece el término (1+r0)b0. Podemos suponer simplemente que b0 = 0. Alternativamente,
b0 puede tomar algún valor positivo o negativo, representando decisiones pasadas del individuo.
21
En caso de ser así, la dotación neta del período 1 sería y1 + (1 + r0)b0, que reconoce el ahorro o
el endeudamiento acarreado del pasado. Esta cifra es la que debe considerarse al contabilizar la
riqueza del individuo.
Por otro lado, si también escribimos la restricción del período T de la forma anterior, en el
lado izquierdo aparece el término bT que requiere una explicación adicional. Recordemos que el
término bt indica el ahorro en el período t (o endeudamiento si esta cifra es negativa). Siendo
T el último período de esta economía, los individuos estarían dispuestos a contratar cantidades
ilimitadas de deuda, ya que nunca llegaría el momento de pagarlas. De tal manera, si queremos
mantener la misma notación para todas las restricciones presupuestarias es necesario agregar la
restricción adicional bT � 0, ya que de lo contrario el problema del consumidor no tendría una
solución. Desde luego, es evidente que bT > 0 no puede ser óptimo para el individuo. ¿Qué sentido
tiene ahorra si nunca llega el momento de disfrutar los frutos del ahorro? En lugar de ahorrar en
el período �nal el individuo puede incrementar su consumo en dicho período y elevar con ello su
nivel de utilidad. De tal forma, lo más razonable es eliminar bT del problema del consumidor (lo
que implícitamente hicimos en el modelo de dos períodos en donde no le dábamos la oportunidad al
individuo ni de ahorra ni de endeudarse en el período �nal. No obstante, por razones que quedarán
claras en el modelo con horizonte in�nito, donde por de�nición no hay período �nal, resultará útil
incluir bT y acostumbrarnos a imponer la condición terminal bT � 0.
Tenemos ya todos los elementos para plantear el problema que el consumidor enfrenta al inicio
de su vida:
max(c1;:::;cT ;b1;:::;bT )
TXt=1
�t�1ui(ct)
s.a.c1 + b1 = y
i1
c2 + b2 = yi2 + (1 + r1)b1
...ct + bt = y
it + (1 + rt�1)bt�1
...cT + bT = y
iT + (1 + rT�1)bT�1
bT � 0:Nótese que las restricciones presupuestarias tienen la misma forma en todos los períodos con
excepción del primero. El lado derecho de la restricción en el primer período no acarrea ahorro del
pasado, ya que es el inicio de la economía. En el caso en que la economía sí tuviera pasado podríamos
haber agregado un término (1 + r0)b0 para identi�car el ahorro o las deudas heredadas del pasado.
Es importante señalar que b0 no sería una variable de decisión ya que ésta ya habría ocurrido en el
22
pasado (de la misma manera, no tendríamos que calcular el valor de equilibrio de r0, ya que dicha
tasa ya se pactó y es historia).
Hemos agregado la restricción terminal bT � 0 para evitar que el individuo deje el mundo con
deudas. Si no impusiéramos esta restricción, el individuo podría �nanciar cantidades ilimitadas de
consumo adquiriendo cantidades ilimitadas de deuda en el período �nal. Como nunca llegaría el
momento de pagarlas, tal estrategia no representaría costo alguno para el individuo. Desde luego,
habría que preguntarnos quién estaría dispuesto a prestarle sabiendo que nunca habría de recibir
una retribución futura. Por otro lado, debe resultar evidente que ningún individuo racional elegiría
bT > 0, ya que ello implicaría dejar de consumir a cambio de nada. Por esta razón, a lo largo de
esta sección suopondremos simplemente que bT = 0, eliminado el ahorro del último período como
variable de decisión y representando el problema de la siguiente manera:
max(c1;:::;cT ;b1;:::;bT�1)
TXt=1
�t�1ui(ct)
s.a.ct + bt = y
it + (1 + rt�1)bt�1; t = 1; 2; : : : ; T;
donde adicionalmente requerimos que b0 = bT = 0 (esta simpli�cación no será posible cuando el
horizonte de planeación sea in�nito, lo que nos obligará a recurrir a otras técnicas).
La manera en que las restricciones están planteadas permiten cualquier tipo de transferencia
intertemporal de ingreso, siempre que sea presupuestariamente factible. Por ejemplo, supongamos
que el individuo desea adquirir una unidad más de consumo en el presente utilizando parte de su
ingreso en un período futuro � > 2. Para ello, el individuo se endeuda en una unidad en t = 1.
Al llegar t = 2 el individuo se ve forzado a pagar el interés más principal de su deuda, 1 + r1. Sin
embargo, recordemos que su intención original era �nanciar el consumo en el presente exclusivamente
con el ingreso de � y no de otros períodos. Por lo tanto, lo que tiene que hacer en t = 2 es aquirir
una nueva deuda precisamente igual a 1 + r1 para cumplir sus obligaciones del pasado. Es decir
adquiere deuda nueva para pagar íntegramente (principal e intereses) la deuda vieja. En la literatura
�nanciera esto se conoce como hacer un roll-over de la deuda. Al llegar t = 3, el individuo tiene
ahora obligaciones �nancieras iguales a (1 + r1)(1 + r2), esto es debido a que debe pagar principal
e intereses (a la tasa r2) de la deuda del período anterior, que era igual a 1 + r1. El argumento
continúa, ya que el individuo puede continuar haciendo el roll-over de su deuda hasta llegar a t = � ,
en donde las obligaciones �nancieras del individuo son (1 + r1)(1 + r2) � � � (1 + r��1) que paga con
parte de su ingreso en � como originalmente lo había previsto.
Al multiplicar factores de interés (1 + r1)(1 + r2) � � � (1 + rt�1) lo que obtenemos es el factor
de interés compuesto que se obtiene por una unidad de ahorro en el presente que se reinvierte
sucesivamente hasta que en el perído t se retira para destinar los recursos al consumo. Como las
23
tasas anuales pueden ser distintas, podemos de�nir la tasa de interés �promedio� de la siguiente
manera
1 + �r1;t�1 = [(1 + r1)(1 + r2) � � � (1 + rt�1)]1
t�1 ;
donde �r1;t�1 indica la tasa de interés promedio que recibe el ahorro a largo plazo que inicia en el
primer período y se reinvierte por última vez en el período t� 1.
Al igual que en el caso de dos períodos, el modelo pudo haber sido planteado utilizando bonos
a descuento (aquellos que le pagan a su tenedor una unidad del bien el próximo período) que se
adquieren a un precio qt = 1=(1+ rt). Como veremos, esta versión resulta más sencilla para algunos
cálculos. En ese caso, el problema de maximización es
max(c1;:::;cT ;b1;:::;bT�1)
TXt=1
�t�1ui(ct)
s.a.ct + qt~bt = y
it +
~bt�1; t = 1; 2; : : : ; T:
Independientemente de que el problema del consumidor se plantee con uno u otro tipo de bonos
(es decir, que explícitamente aparezcan las rt o las qt), el modelo supone implícitamente que el
individuo conoce los rendimientos futuros de todos los bonos. Es decir, implícitamente suponemos
que en t = 1, cuando el individuo está de�niendo su plan de consumo óptimo, conoce los valores
futuros de todas las rt (o las qt), ya que de lo contrario el problema de maximización no estaría bien
de�nido. Este supuesto de modelización, que en ingles se conoce como perfect foresight (previsión
perfecta) parece excesivo, al menos al contrastarlo con la vida real, ya que el futuro es desconocido
y está lleno de sorpresas. Sin embargo, desde un punto de vista teórico, el supuesto es razonable en
cuanto a que mantiene la coherencia de un modelo que es puramente determinístico. Si aceptamos
que el individuo conoce sus dotaciones futuras con certeza, suponer que también conoce los precios
no resulta menos realista. Las versiones estocásticas del modelo (que se estudiarán en cursos más
avanzados) reconocen que el futuro es incierto. En ese caso, el supuesto que se requiere es que los
individuos sean capaces de anticipar cuáles serían las tasas de interés futuras para cada escenario
factible, entendiendo cómo se determinarían los precios en equilibrio en cada eventualidad (esto es
lo que se conoce como expectativas racionales).
La solución al problema del consumidor (para el modelo de�nido en términos de las tasas de
interés), se obtiene maximizando el Lagrangiano asociado.
maxL(c1; : : : ; cT ; b1; : : : bT�1;�1; : : : ; �T ) =TXt=1
�t�1ui(ct)�TXt=1
�t�ct + bt � yit � (1 + rt�1)bt�1
�;
donde �t es el multiplicador asociado a la restricción presupuestaria en el período t.
24
La condición de primer orden con respecto a ct es:
�t�1u0i(c�t )� ��t = 0;
donde el superíndice � indica que la ecuación debe ser satisfecha por los valores óptimos. Por su
parte, la condición de primer órden con respecto a bt es:
���t + ��t+1(1 + rt) = 0:
Nótese que estas condiciones de primer orden son válidas para cualquier período t, por lo que obten-
emos T condiciones de primer orden similares a la primera al derivar con respecto a los consumos,
y T � 1 similares a la segunda al derivar con respecto a los bonos.
Las condiciones de primer orden con respecto a los multiplicadores resulta, como ya es sabido,
en las propias restricciones presupuestarias, lo que completa el sistema de 3T � 1 ecuaciones con
igual número de incógnitas. Como suele hacerse en estos problemas, el primer paso para encontrar
la solución es sustituir entre sí las condiciones de primer orden para eliminar los multiplicadores,
dando lugar a lo que conocemos como condiciones de e�ciencia. En este caso,
�t�1u0i(c�t ) = �
tu0i(c�t+1)(1 + rt)
o, lo que es lo mismo,
u0i(c�t ) = �u
0i(c
�t+1)(1 + rt):
Esta última ecuación es misma ecuación de Euler, que habíamos de�nido para el modelo de dos
períodos, aplicada a un modelo con un número arbitrario de períodos. La interpretación económica
es la misma. El lado izquierdo es el costo que enfrentaría un individuo que considera sacri�car una
unidad de consumo en el período t en favor de un mayor consumo en t + 1. El lado derecho es
el bene�cio, que es igual al �ujo marginal de utilidad del período, multiplicado por el número de
unidades que se reciben (1 + rt) y descontado una vez para hacer comparable el �ujo de utilidad en
t+ 1 con el de t.
Al eliminar los multiplicadores reducimos el sistema a uno de 2T �1 ecuaciones (T �1 ecuaciones
de Euler y T restricciones presupuestarias) con 2T �1 incógnitas (T consumos y T �1 bonos (hemos
supuesto que bT = 0)). El siguiente paso es despejar sucesivamente los bonos, ya que estos son
variables que no entran en la función objetivo. Esto se puede lograr fácilmente iniciando con la
restricción del último período, en la que sólo aparece b�T�1 en el lado derecho, lo que nos permite
despejar
b�T�1 =1
1 + rT�1
�c�T � yiT
�:
25
sustituyendo esta expresión en el lado izquierdo de la restricción en T � 1 obtenemos que
c�T�1 +1
1 + rT�1
�c�T � yiT
�= yiT�1 + (1 + rT�2)b
�T�2;
de donde
b�T�2 =1
1 + rT�2
�c�T�1 � yiT�1
�+
1
(1 + rT�2) (1 + rT�1)
�c�T � yiT
�:
Como puede apreciarse, cada vez que se itera este procedimiento, se despejan los bonos del
período anterior, por lo que la aplicación sucesiva de este proceso nos permite expresar todas estas
variables en función de los consumos y de las tasas de interés futuras. El procedimiento culmina con
la obtención de b�1,
b�1 =1
1 + r1
�c�2 � yi2
�+
1
(1 + r1) (1 + r2)
�c�3 � yi3
�+
+ � � �+ 1
(1 + r1) (1 + r2) � � � (1 + rT�1)�c�T � yiT
�:
Sustituyendo esta última expresión en la restricción del período inicial, y acomodando términos,
se obtiene que:
c�1 +1
1 + r1c�2 +
1
(1 + r1) (1 + r2)c�3+
+ � � �+ 1
(1 + r1) (1 + r2) � � � (1 + rT�1)c�T = yi1 +
1
1 + r1yi2 +
1
(1 + r1) (1 + r2)yi3+
+ � � �+ 1
(1 + r1) (1 + r2) � � � (1 + rT�1)yiT :
Como puede apreciarse, el resultado de despejar y sustituir sucesivamente los bonos resulta en
una única restricción presupuestaria intertemporal en la cual el valor presente del consumo a lo largo
de toda la vida debe ser igual al valor presente del ingreso a lo largo de toda la vida. De forma
abreviada, escribiremos esta expresión como
PV (c�) = PV (yi);
donde PV ( �) indica valor presente. Alternativamente, ocasionalmente representaremos de forma
abreviada la restricción presupuestaria intertemporal como
TXt=1
ptc�t =
TXt=1
ptyit;
dondep1 � 1
pt �1
(1 + r1) � � � (1 + rt�1); t = 2; 3; : : : ; T:
26
La restricción presupuestaria intertemporal tiene la forma de una restricción presupuestaria con-
vencional, en donde en el lado izquierdo aparece el valor de la canasta de consumo y en el lado
derecho la riqueza. El precio relativo del bien de consumo en el período t es el recíproco de los
factores de interés desde el período inicial hasta el período t� 1 que, como argumentamos anterior-
mente, equivale al interés compuesto que genera una unidad de ahorro en el período inicial que se
reinvierte sucesivamente para destinarla al consumo en t. Tal y como sucedió en el modelo de dos
períodod, la riqueza que aparece en la restricción presupuestaria es función de las tasas de interés.
Con la restricción presupuestaria intertemporal y las T � 1 ecuaciones de Euler obtenemos un
sistema de T ecuaciones con T incógnitas (los consumos, exclusivamente). Éste es exactamente el
mismo sistema que obtendríamos en un problema del consumidor en el que, en lugar de plantear las
restricciones presupuestarias período a período, lo enfrentamos solamente a la restricción presupues-
taria intertemporal:
max(c1;:::;cT )
TXt=1
�t�1ui(ct)
s.a.TXt=1
ptct =TXt=1
ptyit:
La maximización de este problema, que al estar sujeto a una sola restricción tiene asociado un
único multiplicador de Lagrange, da lugar a las condiciones de primer orden
�t�1u0i(c�t ) = �
�pt; t = 1; 2; : : : ; T
Dividiendo la condición de primer orden del período t y la del período t+ 1 se obtiene que
�t�1u0i(c�t )
�tu0i(c�t+1)
=ptpt+1
;
lo que implica, a partir de la de�nición de los precios en valor presente pt que
u0i(c�t ) = �(1 + rt)u
0i(c
�t+1);
que es la misma ecuación de Euler que habíamos obtenido para el problema del consumidor con una
sucesión de restricciones presupuestarias.
La solución al problema del consumidor se obtiene al resolver simultáneamente las T�1 ecuaciones
de Euler y la restricción presupuestaria intertemporal. En general, éste no es un problema sencillo.
Ni siquiera podemos a�rmar que siempre existan soluciones analíticas. Sin embargo, para el caso de
algunas funciones de utilidad sencillas, los resultados convencionales de la teoría del consumidor nos
permiten dar resultados precisos.
27
Ejemplo (Preferencias Cobb-Douglas):
Las preferencias del consumidor están dadas por
Ui(c1; c2; : : : ; cT ) =TXt=1
�t�1 ln ct:
Sabemos que una transformación monótona de una función de utilidad no cambia la relación de orden
entre canastas de consumo. Aplicando la exponencial obtenemos otra representación equivalente de
la relación de preferencias:
Vi(c1; c2; : : : ; cT ) = c1 (c2)�(c3)
�2 � � � (cT )�T�1
;
que identi�camos como una función de utilidad Cobb-Douglas con T bienes. Sabemos que las
funciones de demanda de cada bien se obtienen en este caso dividiendo el parámetro de preferencias
de cada bien entre la suma de los parámetros, multiplicando este cociente por el ingreso y dividiéndolo
entre el precio del bien. Es decir,
c1(r1; r2; : : : ; rT�1) =1
1 + � + �2 + � � �+ �T�1TXt=1
ptyit;
y en general, para cualquier t:
ct(r1; r2; : : : ; rT�1) =�t(1 + r1) � � � (1 + rt�1)1 + � + �2 + � � �+ �T�1
TXt=1
ptyit:
Podemos veri�car fácilmente que las soluciones anteriores satisfacen las ecuaciones de Euler del
problema de maximización. Para el caso Cobb-Douglas, u(ct) = ln ct, por lo que las ecuaciones de
Euler implican quec�t+1c�t
= �(1 + rt);
condición que en efecto es satisfecha por ct(r1; r2; : : : ; rT�1) y ct+1(r1; r2; : : : ; rT�1).
�
En el ejemplo anterior resulta evidente que la función de demanda del individuo en cualquiera
de los períodos, digamos t, es función no del ingreso del periódo yit sino del valor presente de ingreso
a lo largo de toda la vida (lo que llamaremos la riqueza del individuo). Claramente, los resultados
que se obtienen en este modelo serán distintos a otros en los que, a partir de algún supuesto ad-
hoc, el consumo de cada período es función del ingreso del propio período. En nuestro modelo, un
incremento esperado en cualquiera de las dotaciones futuras, que da lugar a una mayor riqueza,
provoca un desplazamiento en la función de demanda de todos los períodos, ya que todos los bienes
son normales. Si el incremento en la riqueza es debido a un incremento en alguna dotación futura,
28
entonces el incremento en la demanda del bien de consumo en el presente da lugar a una disminución
en el ahorro del individuo. Por el contrario, si el incremento en la riqueza es debido a una mayor
dotación en el presente, al ahorro del individuo debe subir, para �nanciar a través de éste el mayor
consumo en el futuro.
6.2.1. EQUILIBRIO
Habiendo caracterizado plenamente las decisiones de los individuos, podemos proceder a la de-
terminación de las tasas de interés de equilibrio y las cantidades consumidas en el equilibrio. Inicial-
mente haremos un planteamiento general para una economía poblada por I individuos. De�nimos
un equilibrio competitivo como un vector de tasas de interés, (r�1 ; r�2 ; : : : ; r
�T�1), y una asignación de
consumo, ci�t ; t = 1; 2; : : : ; T ; i = 1; 2; : : : ; I, tales que:
i) cada ci�t es óptimo para las tasas de interés (r�1 ; r�2 ; : : : ; r
�T�1); es decir:
ci�t = cit(r
�1 ; r
�2 ; : : : ; r
�T�1)
ii) todos los mercados de bienes se vacían:
IXi=1
ci�1 =IXi=1
yi1
IXi=1
ci�2 =IXi=1
yi2
......
IXi=1
ci�T =
IXi=1
yiT :
Estas dos condiciones de equilibrio de�nen un sistema de T ecuaciones con T � 1 incógnitas:IXi=1
ci1(r�1 ; r
�2 ; : : : ; r
�T�1) =
IXi=1
yi1
IXi=1
ci2(r�1 ; r
�2 ; : : : ; r
�T�1) =
IXi=1
yi2
......
IXi=1
ciT (r�1 ; r
�2 ; : : : ; r
�T�1) =
IXi=1
yiT ;
donde las incógnitas son los valores de equilibrio de las tasas de interés. Es importante enfatizar que
las tasas de interés se determinan de forma simultánea a través de este sistema de ecuaciones. Sería
incorrecto pretender encontrar la tasa de interés de equilibrio en un período cualquiera t mirando
exclusivamente la condición de vaciado de mercados de ese período. El consumo en t es función de
29
todas las tasas de interés, no sólo la del período, ya que por un lado el vector completo de tasas de
interés determina el valor presente de la riqueza a lo largo de toda la vida, y, por el otro, el precio
relativo del bien de consumo en el período t respecto al bien de consumo en el período inicial es
función de las tasas de interés de todos los períodos anteriores. Por otro lado, el consumo en todos
los demás períodos también es función de rt y por lo tanto la determinación de esta variable afecta
la condición de vaciado de mercados en todos los períodos. Este enfoque metodológico por el cual se
determinan simultáneamente todos los precios de equilibrio, o en este caso todas las tasas de interés
de equilibrio, se conoce como el enfoque de equilibrio general, y no es más que el reconocimiento
de relaciones de sustitutabilidad o complementariedad entre los bienes que exige que el vaciado de
todos los mercados se resuelva de forma conjunta.
Nótese que el sistema de ecuaciones que de�ne las tasas de interés de equilibrio tiene T ecuaciones
(la condición de vaciado de mercado en cada período) pero sólo T � 1 variables (las tasas de interés
de equilibrio). Lo que sucede es que las T ecuaciones no son linealmente independientes. La ley
de Walras nos dice que si los primeros T � 1 mercados están en equilibrio, el ultimo también lo
está. Formalmente, si multiplicamos ambos lados de cada ecuación por el correspondiente pt y las
sumamos, ambos lados de dicha suma serían idénticos, en virtud de las restricciones presupuestarias
individuales. En otras palabras, nos sobra un mercado. La manera de proceder es mirar las condi-
ciones de vaciado de mercado de los primeros T � 1 períodos, con la certeza de que si todas éstas se
cumplen, automáticamente se cumple la del último período.
Hemos de�nido el equilibrio exclusivamente en función de los mercados de bienes, ignorando lo
que sucede en el mercado de bonos. Esto es resultado de que al escribir la restricción presupuestaria
intertemporal los bonos desaparecen por completo del modelo. Para estudiar explícitamente los
mercados de bonos, basta sustituir de forma iterada los valores óptimos de los consumos. De la
restricción presupuestaria en el período inicial obtenemos que para cualquier individuo i,
bi1(r1; r2; : : : ; rT�1) = yi1 � ci1(r1; r2; : : : ; rT�1);
para todo (r1; r2; : : : ; rT�1). Una vez obtenido bi1(r1; r2; : : : ; rT�1), podemos encontrar la demanda
de bonos en el segundo período despejando esta variable de la restricción presupuestaria en t = 2:
bi2(r1; r2; : : : ; rT�1) = yi2 + (1 + r1)b
i1(r1; r2; : : : ; rT�1)� ci2(r1; r2; : : : ; rT�1);
y así sucesivamente.
La condición de equilibrio en el mercado del bien en t = 1 implica que
IXi=1
bi1(r�1 ; r
�2 ; : : : ; r
�T�1) =
IXi=1
yi1 �IXi=1
ci1(r�1 ; r
�2 ; : : : ; r
�T�1) = 0:
30
Es decir, el equilibrio en el mercado del bien en el período inicial implica que el mercado de bonos
debe también debe de estar en equilibrio. Ello es así porque el mercado de bonos no es sino un
espejo del mercado de bienes. De forma análoga se obtiene que, en equilibrio:
IXi=1
bi2(r�1 ; r
�2 ; : : : ; r
�T�1) =
IXi=1
yi2 + (1 + r1)IXi=1
bi1(r�1 ; r
�2 ; : : : ; r
�T�1)�
IXi=1
ci2(r�1 ; r
�2 ; : : : ; r
�T�1) = 0:
Aplicando iteradamente este proceso obtenemos que el vaciado de los mercados de bienes para todo
t implica el vaciado de los mercados de bonos en todo t.
El sistema de T�1 ecuaciones que de�ne las tasa de interés de equilibrio es, en general, un sistema
de ecuaciones no lineales (incluso en el caso Cobb-Douglas que es el más simple). Además, si T es
grande, la dimensionalidad del problema es muy grande. Para encontrar la solución es necesario
utilizar algún método de solución numérica en un equipo con gran capacidad de procesamiento. En
términos generales, no podemos decir nada más sobre la solución al sistema.
Sin embargo, existen casos para los cuales podemos calcular soluciones cerradas. Uno de éstos, de
gran uso en la literatura macroeconómica, ocurre cuando suponemos que la economía está poblada
por un gran número de consumidores idénticos (con las mismas preferencias y las mismas dotaciones).
En ese caso, el comercio intertemporal resulta imposible en el equilibrio, ya que todos agentes
querrían tomar las mismas acciones y no habría nadie en la contraparte. Por ello, un modelo con
consumidores idénticos es metodológicamente equivalente a un modelo con con un solo individuo
(el agente representativo) siempre que se mantenga el supuesto de que dicho agente, aunque único,
es competitivo en cuanto a que toma los precios de mercado como dados. Presentaremos en el
siguiente ejemplo la solución para el caso particular en que las preferencias son logarítmicas (Cobb-
Douglas). Posteriormente, discutiremos una manera más simple para obtener las tasas de equilibrio
para cualquier tipo de preferencias.
Ejemplo (Preferencias Cobb-Douglas):
Las condiciones de vaciado de mercado para el caso de un agente representativo son:
c1(r�1 ; r
�2 ; : : : ; r
�T�1) = y1
c2(r�1 ; r
�2 ; : : : ; r
�T�1) = y2
......
cT (r�1 ; r
�2 ; : : : ; r
�T�1) = yT ;
condiciones que son drásticamente más simples que en el caso de múltiples agentes. Sustituyendo
31
las ecuaciones de demanda obtenidas anteriormente, se obtiene que:
1
1 + � + �2 + � � �+ �T�1TXt=1
p�t yt = y1
�(1 + r�1)
1 + � + �2 + � � �+ �T�1TXt=1
p�t yt = y2
......
�T�1(1 + r�1)(1 + r�2) � � � (1 + r�T�1)
1 + � + �2 + � � �+ �T�1TXt=1
p�t yt = yT ;
donde p�1 � 1 y p�t ��(1 + r�1)(1 + r
�2) � � � (1 + r�t�1)
��1. Dividiendo la condición para t = 2 entre la
de t = 1 se obtiene que
1 + r�1 =y2�y1
= (1 + �)y2y1:
Similarmente, al dividir la condición de vaciado de mercado para t = 3 entre la de t = 2 se obtiene
que
1 + r�2 =y3�y2
= (1 + �)y3y2;
y así sucesivamente. En general,
1 + r�t =yt+1�yt
= (1 + �)yt+1yt:
Estas ecuaciones determinan el valor de equilibrio de las tasas de interés en función de los
parámetros del modelo.
�
Las ecuaciones del ejemplo anterior que determinan las tasas de interés de equilibrio son de una
sencillez asombrosa. La tasa de interés de equilibrio en t es función exclusivamente de la dotación en
t, de la dotación en t+1 y del factor de descuento � (o alternativamente de la tasa pura de preferencia
intertemporal �). Sin embargo, si pensamos con más detenimiento cuáles son las fuerzas económicas
detrás de este resltado, éste no debe resultar tan sorprendente. Si ct(r�1 ; r�2 ; : : : ; r
�T�1) = yt, es decir
consumir en todo momento la dotación es óptimo cuando las tasas de interés son r�1 ; r�2 ; : : : ; r
�T�1,
entonces, como las ecuaciones de Euler son condiciones necesarias en el proceso de maximización,
éstas deben satisfechas cuando el individuo consume su dotación y las tasas son r�1 ; r�2 ; : : : ; r
�T�1.
Esto implica que
u0(yt) = �(1 + r�t )u
0(yt+1) =1 + r�t1 + �
u0(yt+1):
Por lo tanto,
1 + r�t = (1 + �)u0(yt)
u0(yt+1)
32
De aquí concluimos que, independientemente de la función u, la tasa de interés de equilibrio en el
período t se determina por la dotación en ese período y en el inmediato subsecuente.
Ejemplo (Preferencias CES):
La función de utilidad ex-post para las preferencias CES es:
u(ct) =(ct)
1� 1� � 1
1� 1�
;
lo que implica que
u0(ct) = (ct)� 1� :
Por lo tanto
1 + r�t = (1 + �)
�yt+1yt
� 1�
:
�
Recordemos que la tasa de crecimiento porcentual de una variable en el tiempo se de�ne como
yt+1 �yt+1 � yt
yt;
por lo queyt+1yt
= 1 + yt+1:
De aquí concluimos que para el caso CES (que incluye el Cobb-Douglas cuando � = 1),
1 + r�t = (1 + �) (1 + yt+1)1� :
Utilizando la aproximación logarítmica,
r�t ' �+yt+1�:
Cuando la economía experimenta un crecimiento positivo en el producto, la tasa de interés de
equilibrio estará por arriba de la tasa pura de preferencia intertemporal. Por el contrario, períodos
de decrecimiento en el producto darán lugar a una tasa de interés de equilibrio menor a la tasa
de preferencia intertemporal. La intuición de este resultado es la misma que discutimos para una
economía de dos períodos: cuando yt+1 > 0, los individuos esperan un mayor ingreso en t + 1 que
en t. Como los individuos pre�eren tener un consumo suave, a la tasa de interés anterior preferirían
endeudarse en t para consumir más de lo que su dotación les permite (a cambio de reducir su consumo
en el futuro). Como en equilibrio esto no es factible, la tasa de interés debe subir para inhibir sus
deseos de endeudamiento y sustituir su consumo en favor del bien en t+1 que es ahora más barato.
33
La elasticidad de sustitución juega un papel de magni�cación o de amortiguación de los cambios
en el producto (dependiendo de si � es menor o mayor a uno). Cuando � < 1 (estudios empíricos
sitúan esta variable alrededor de 0.4 para economías en desarrollo), un incremento en la tasa de
crecimiento en la economía tiene un efecto magni�cado sobre las tasas de interés de equilibrio. La
intuición económica de este resultado es la siguiente. Ante un incremento en la tasa de crecimiento
esperado de la economía, las tasas de interés de equilibrio deben aumentar para lograr que el indi-
viduo voluntariamente consuma su dotación (que ahora crece más en el tiempo). Sin embargo, si la
elasticidad de sustitución es muy pequeña, cambios en la tasa de interés provocan cambios pequeños
en el punto óptimo de consumo, y por ello se necesita un incremento grande en las tasas de interés.
Con esta metodología estamos en condiciones de analizar qué le sucede a las variables de equilibrio
cuando la economía se ve sujeta a �uctuaciones, ya sean de carácter transitorio o permanente.
Decimos que un choque en el producto es de carácter transitorio cuando sólo el ingreso en un
período se ve afectado, digamos �yt > 0 y �y� = 0 para todo � 6= t. Por el contrario, un choque
es de caracter permanente cuando �y� > 0 para todo � . Desde luego, podemos considerar casos
intermedios, como pueden ser choques que tengan efecto durante un cierto número de períodos
o choques que tengan un componente transitorio y uno permanente, de manera que en todos los
períodos el producto se incremente, pero que en el corto plazo el incremento sea aún mayor.
Lo primero que debemos de notar es que en la determinación de la tasa de interés de equilibrio
del período t, sólo intervienen la dotación del período t y la del período t+ 1, ya que, en el modelo
general:
1 + r�t = (1 + �)u0(yt)
u0(yt+1);
minetras que para preferencias CES tenemos que
1 + r�t = (1 + �)
�yt+1yt
� 1�
Por lo tanto, un incremento transtitorio �yt > 0 para t � 2, provocaría solamente dos efectos sobre
las tasas de interés: un incremento en r�t�1 y un decremento en r�t . El ajuste en las tasas de interés
debe ser tal que en el nuevo equilibrio el consumo en t se incremente justo en la misma magnitud
en que se incrementó la dotación yt, y a la vez, ningún otro consumo se vea afectado (ya que las
dotaciones en los demás períodos no se han visto afectadas).
La forma en que las nuevas tasas de interés operan sobre los consumos es un tanto peculiar. Para
entender esto con más profundidad, concentrémonos en el caso Cobb-Douglas, en donde como vimos
anteriormente las funciones de demanda están dadas por:
ct(r1; r2; : : : ; rT�1) =�t�1
1 + � + �2 + : : :+ �T�1PV (y)
pt;
34
donde PV (y) es la riqueza del individuo, de�nida como el valor presente de las dotaciones
PV (y) =TX�=1
p�yt
y
pt =1
(1 + r1)(1 + r2) � � � (1 + rt�1)p1 = 1:
Consideremos lo que le sucede a la demanda del bien de consumo en un período � < t. Por un
lado, el incremento en yt sugiere que debería generarse un efecto riqueza positivo sobre el consumo
de todos los períodos. Por otro lado, como las tasas de interés para los períodos iniciales no se ven
afectadas, p� no se modi�ca, lo que nos llevaría a predecir un incremento en c� lo que destruiría el
equilibrio. En realidad lo que sucede es que el cambio en r�t�1 y en r�t tienen la propiedad de anular
el efecto del incremento en yt de manera que PV (y) no se ve afectado. Para ver esto, consideremos,
para un período � cualquiera el valor presente de equilibrio de la dotación del período � :
p��y� =1
(1 + r�1)(1 + r�2) � � � (1 + r���1)
y� :
Sustituyendo el valor de equilibrio de las tasas de interés (para el caso Cobb-Douglas) obtenemos
que
p��y� =y1
(1 + �)y2
y2(1 + �)y3
� � � y��1(1 + �)y�
y� ;
lo que implica que en equilibrio
p��y� =y1
(1 + �)��1
independientemente del valor de yt. En resumen, en equilibrio el valor presente de la dotación a lo
largo de toda la vida está dado exclusivamente por el valor de la dotación inicial multiplicado por
la suma de los factores de descuento:
TXt=1
p�t yt =TXt=1
y1(1 + �)t�1
:
Lo que esta expresión indica es que, en equilibrio, el valor presente de la riqueza agregada de la
economía no se ve afectado por incrementos o decrementos en dotaciones futuras. La razón es que
si una dotación en el futuro se incrementa, la abundancia relativa de dicho bien hará que su precio
baje. En el caso Cobb-Douglas, el incremento en la dotación exactamente compensa la caída en el
precio, de manera que el valor presente de la dotación no se ve afectado.
En resumen, la única forma de generar un incremento en el valor presente de la riqueza agregada
de la economía, valuada siempre a los precios de equilibrio, es a través de un incremento en la
dotación inicial. Por lo tanto, como el precio del bien de consumo en el período inicial permanece
35
�jo e igual a uno, la única forma de generar un incremento en el consumo de equilibrio en dicho
período es como respuesta a un incremento en la dotación inicial.
Como un incremento en la dotación agregada yt no genera un cambio en la riqueza del consumidor
representativo, el valor de equilibrio de la tasa de interés r� no se ve alterado para cualquier � < t�1.
Por otro lado, la condición de vaciado de mercado en t exige que c�t se incremente en la misma
cantidad que se incrementó yt. Como el valor presente de la riqueza no cambia, el ajuste debe darse
a través de una caída en su precio. Recordemos que
pt =1
(1 + r1)(1 + r2) � � � (1 + rt�1):
Acabamos de argumentar que r1; r2; : : : rt�2 no cambian. De manera que el incremento en rt�1 es
precisamente lo que da lugar al incremento en c�t . Como habíamos visto anteriormente, el incremento
en rt�1 se da ya que su valor de equilibrio está dado por
1 + r�t�1 = (1 + �)ytyt�1
Finalmente, veamos qué sucede en t+ 1. Como el incremento en la dotación fue temporal, yt+1
toma el mismo valor que tenía antes. La condición de vaciado de mercado exige que c�t+1 no cambie.
Nuevamente, como el valor presente de la riqueza se mantiene constante, para que c�t+1 no cambie,
se requiere que su precio no cambie (recordemos que las funciones de demanda Cobb-Douglas sólo
dependen del propio precio). De tal suerte como
pt+1 =1
(1 + r1)(1 + r2) � � � (1 + rt�1)(1 + rt);
para que pt+1 no cambie, se requiere que el incremento en rt�1 vaya acompañado de una reducción
en rt. Dicha reducción en efecto se da, ya que el valor de equilibrio de esta variable está dado por
la ecuación
1 + r�t = (1 + �)yt+1yt:
Falta veri�car, que estos dos movimientos en efecto dejan a pt+1 sin cambios. Ello se puede veri�car
facilmente ya que, de acuerdo a los valores de equilibrio de estas variables:
�1 + r�t�1
�(1 + r�t ) = (1 + �)
2 ytyt�1
yt+1yt
= (1 + �)2yt+1yt�1
;
de manera que el producto de estas dos tasas no se ve afectado por cambios en yt. A partir de aquí
es fácil concluir que no se requiere tampoco cambios en tasas de interés más distantes para vaciar el
mercado en períodos mayores a t+ 1.
En resumen, un incremento transitorio en la dotación en un período distante, yt, sólo afecta las
tasas de interés en el período t�1 y en el período t. Lo mismo sucede para cualquier período, donde
36
un incremento en la dotación agregada provoca un incremento en la tasa de interés del período
anterior y un decremento en la tasa de interés de dicho período.
La única excepción es cuando el incremento en la dotación se registra en el período inicial, ya
que no existe tasa de interés del período anterior que pueda caer. De tal manera, el único cambio
se da como una reducción en r1, ya que
1 + r�1 = (1 + �)y2y1:
Como 1 + r�1 aparece en el denominador de todos los precios en valor presente pt, t � 2, la caída en
r�1 implica que el precio de todos los bienes futuros se incrementa. En este caso así debe ser ya que,
a diferencia de un incremento en alguna dotación futura, el incremento transitorio en la dotación
del período inicial sí genera un incremento en la riqueza, lo que expande la demanda por todos los
bienes (en el presente y en el futuro). Como la dotación de los bienes futuros no ha cambiado, la
única manera de cumplir la condición de vaciado de mercado es que el precio de estos bienes se
incremente.
El caso de un cambio permanente en la dotación es más sencillo de analizar. Supongamos ahora
que yt se incrementa para toda t � 1. Para hacer el ejercicio aún más fácil, supongamos también que
las dotaciones se incrementan de forma proporcional, de manera que la nueva dotación es y0t = �yt,
� > 1. Analizando la expresión algebraica de las tasas de interés concluimos de forma inmediata
que
1 + r0t = (1 + �)y0t+1y0t
= (1 + �)�yt+1�yt
= 1 + r�t :
Es decir, las tasas de interés de equilibrio no cambian. La intuición detrás de este resultado es la
siguiente. El incremento en la riqueza de los individuos da lugar a una expansión en el consumo en
todos los períodos. A los mismos precios, el incremento en el consumo coincide con el incremento en
las dotaciones. Otra forma de entender este resultado es a partir de las condiciones de abundancia y
escasez relativa de los bienes. Las tasa de interés que prevalecían antes del incremento permanente
re�ejaban las relaciones de abundancia relativa entre los bienes. Como el incremento es permanente,
éste no afecta estas relaciones, por lo que los precios de equilibrio no se ven afectados.
6.2.3. BONOS DE DISTINTA MADURACIÓN
Hasta ahora, hemos considerado que el individuo trans�ere su riqueza adquiriendo bonos que
regresan al individuo después de un período su principal y los intereses devengados. En la literatura
�nanciera se dice que dichos bonos maduran en un año. En la vida real existen bonos de maduración
distinta. Los participantes en el mercado �nanciero utilizan bonos de distinta maduración para
transferir directamente recursos entre el presente y un período diststante � .
37
Resulta más conveniente, desde el punto de vista notacional, expresar las posibilidades de inter-
cambio de los individuos a partir de los que anteriormente denominamos �bonos cupón cero�. En el
caso de múltiples maduraciones, un bono queda identi�cado por la dupla (t;m) que indica el período
t en el que el bono se adquiere (o se vende) y el número de períodos que restan para que el bono
venza. Al adquirir una unidad del bono (t;m), el individuo paga el período t el precio qmt (deno-
midado en unidades del bien de consumo del período t) y recibe una unidad del bien de consumo
en el período t +m (el individuo no recibe nada durante los períodos intermedios). Denotaremos
por ~bmt las unidades que un individuo adquiere del bono (t;m) (o vende si ~bmt es negativo). De tal
manera, al adquirir dichas unidades el individuo paga qmt ~bmt en el período t y recibe ~bmt unidades
del bien en el período t+m. En condiciones normales, esperaríamos que qmt < 1, de manera que el
individuo que adquiere este bono �invierte�una cantidad menor a uno para que al paso del tiempo,
en el período t+m reciba una unidad. De�nimos el rendimiento del bono como
tasa de rendimiento de (t;m) =~bmt � qmt ~bmtqmt~bmt
=1
qmt� 1:
De tal manera,1
qmt= 1 + tasa de rendimiento de (t;m):
expresa el principal más los intereses acumulados al adquirir el bono (t;m). Como veremos más
adelante, nos interesará desarrollar una teoría sobre la determinación de los rendimientos de equi-
librio para bonos de maduración distinta, e incluso comparar los rendimientos de bonos de madu-
ración distinta, digamos (t;m) y (t;m0).4 Nótese, sin embargo que tal y como hemos expresado los
rendimientos, la comparación no es muy útil, ya que al variar la maduración, el rendimiento se da
sobre distintos períodos. Para resolver esto, procederemos a expresar todos los rendimientos en una
misma unidad que permita que las comparaciones sean signi�cativas. Para ello, sea
1 + �rmt =
�1
qmt
� 1m
:
De esta forma �rmt es la tasa de interés �anualizada�(o la tasa de interés de un período a otro) que
resulta de invertir en el bono (t;m). Es decir, el retorno total del bono (t;m), que está dado por
1=qmt (principal más intereses) y que se obtiene a lo largo de m períodos, es equivalente a ahorrar
la misma cantidad inicial en el banco a la tasa de interés �rmt , reinvirtiendo el principal e intereses
durante m períodos. Como el interés es compuesto, dicha estrategia de reinversión da un retorno
total igual a
(1 + �rmt )m=
1
qmt:
4En la literatura �nanciera al conjunto de rendimientos de los bonos disponibles de distinta maduración(t; 1); (t; 2); : : : ; (t;M) se le conoce como �la estructura de plazos de las tasas de interés�
38
Como �rmt es una tasa de interés (hipotética) de un período a otro, comparar dicha variable para
distintos valores de m es un ejercicio que sí tiene sentido. Más adelante veremos su signi�cado. Por
supuesto, para m = 1, �rmt es la tasa de interés convencional:
1 + �r1t =1
q1t= 1 + rt:
Con todo esto, estamos en condiciones de escribir la restricción presupuestaria del individuo.
La forma en que la escribiremos supone implícitamente que no existe un �mercado secundario�de
bonos. Es decir, cuando un individuo adquiere una unidad del bono (t;m) debe conservarlo hasta
su vencimiento. Este no es un supuesto grave ya que, por ejemplo, si en el período t+1 el individuo
decide que ya no quiere dicho bono, todo lo que debe hacer en la ausencia de mercados secundarios
es vender un bono (t + 1;m � 1), ya que dicho bono vence en el mismo período que el bono (t;m)
que originalmente tenía, lo que de forma automática cancela la posición original5
El problema del consumidor es por tanto,
maxTXt=1
�t�1ui(ct)
s.a.ct + q
1t~b1t + q
2t~b2t + : : :+ q
Mt~bMt = yit +
~b1t�1 +~b2t�2 + : : :+
~bMt�M t = 1; 2; : : : ; T
En estricto sentido, la expresión anterior es correcta para períodos t > M . Nótese que en el lado
derecho de la restricción aparecen las maduraciones de todos los bonos adquiridos (o vendidos) en
períodos anteriores. Para los períodos iniciales, algunos de estos bonos no existen. Igualmente, la
restricción tal como está escrita es válida para t � T �M , ya que nadie adquiriría un bono que venza
después del �n del mundo. Se deja al lector aplicar estas adecuaciones para de�nir el problema del
consumidor con toda corrección. Como nuestro interés es conocer las condiciones de primer orden
y a partir de éstas determinar las �rmt de equilibrio, basta entender lo que sucede en un período
cualquiera t.
Las variables de decisión del problema del consumidor son los consumos ct y la posición en cada
uno de los bonos, ~bmt . Para resolver el problema, procedemos a escribir el Langrangiano, que en este
caso involucra T restricciones. Sea �t el multiplicador de Lagrange de la t-ésima restricción. Para
obtener las condiciones de primer orden se deriva parcialmente el Lagrangiano respecto a la variable
en cuestión y se iguala a cero. Al realizar esta operación respecto a cualquiera de los consumos
obtenemos que�t�1
c�t= ��t ;
5Cuando un individuo adquiere un bono (t;m), se dice que está �largo� en dicho bono. Si en cambio lo que elindividuo hace es vender el bono, se dice que está �corto�.
39
donde las variables con asterisco indican los valores óptimos. Al derivar el Langrangiano respecto a
la tenencia del bono ~bmt se obtiene que
��t qmt = ��t+m:
El lado izquierdo de esta expresión se obtiene cuando el individuo adquiere el bono (t;m) (en el
período t), y el lado derecho cuando recibe el rendimiento (en el período t +m). Nótese que para
m = 1, al derivar respecto a ~b1t se obtiene que
��t q1t = �
�t+1;
es decir,
q1t =��t+1��t
=1
1 + rt:
Esta última expresión nos permite dar una representación con valor explicativo para la expresión
��t qmt = ��t+m:
Dividiendo ambos lados entre ��t , si además multiplicamos y dividimos el lado derecho entre todas
las ��� para m > � > t, obtenemos que
qmt =��t+m��t+m�1
��t+m�1��t+m�2
: : :��t+1��t
= q1t+m�1q1t+m�2 � � � q1t :
Lo que implica que
1 + �rmt = [(1 + rt)(1 + rt+1) � � � (1 + rt+m�1)]1m :
En equilibrio, el rendimiento promedio de un bono que madura en m períodos no puede ser otra cosa
que el promedio (geométrico) de los rendimientos de los bonos de un período (las tasas de interés)
desde t hasta t + m � 1. La explicación de este resultado es sencilla. Recordemos que nuestros
individuos viven en un mundo con completa certidumbre en el que pueden ver hacia el futuro.
Un individuo que desea ahorrar recursos en el período t para consumir en el período t +m puede
adquirir el bono (t;m) o, si lo pre�ere, puede adquirir bonos que maduran en un período y reinvertir
los intereses. Alternativamente, podría invertir en bonos de maduración intermedia reinvertiendo
también los intereses. La única forma en que el individuo esté indiferente entre cualquiera de estas
estrategias de inversión es si todas ellas ofrecen el mismo rendimiento. Si no fuera así, podría irse
�corto� en la estrategia de menor rendimiento y �largo� en la de mayor rendimiento y realizar
ganancias in�nitas.
Resulta de alguna manera sorprendente que la condición de no arbitraje
qmt = q1t+m�1q1t+m�2 � � � q1t
40
se obtuvo al manipular la condición de primer orden del individuo. Las condiciones de primer orden
establecen relaciones que los valores óptimos de las variables de decisión deben cumplir. Sin embargo,
en este caso, tras una manipulación de condiciones de primer orden se obtiene una expresión donde
no aparece ninguna variable de decisión sino sólo variables de mercado (en este caso precios de
activos). Lo que esto signi�ca es que como diversas estrategias de inversión actúan como sustitutos
perfectos, si la relación de precios no se da, la solución al problema del consumidor no existe. Este
tipo de relación aparecerá también más adelante, siempre que el menú de activos �nancieros sea
mayor a lo estrictamente necesario para implementar las transferencias intertemporales de riqueza
que conducen a un plan de consumo óptimo.
6.3 MODELO CON HORIZONTE INFINITO
El modelo dinámico que hemos descrito es aplicable a una economía que vive un número arbitraria-
mente grande de períodos, pero con un período de terminación conocido por todos los agentes. En
principio, esto no parece ser una limitante ya que el período terminal T puede ser arbitrariamente
grande. No obstante, resultará útil desarrollar el modelo para el caso en que el período de termi-
nación es in�nito. Existen varias razones para considerar esta generalización. La primera es que
el modelo con horizonte in�nito captura el caso en que el horizonte es �nito, pero con un período
de terminación incierto. La segunda es que en los modelos con horizonte �nito, la conducta de
los individuos en los últimos períodos suele ser atípica, ya que está in�uida por la proximidad del
período terminal. La tercera es que, aunque parezca difícil de creer, los modelos macroeconómicos
con horizonte in�nito son matemáticamente más sencillos de analizar.
Al ser el horizonte in�nito, los planes de consumo son vectores del tipo (c1; c2; : : :) con un número
in�nito de componentes. La generalización de las preferencias es en principio inmediata, donde ahora
la función de utilidad Ui es una función de un número in�nito de variables. Manteniendo el supuesto
de aditividad en el tiempo, podemos representar la función de utilidad como
Ui(c1; c2; : : :) =1Xt=1
�t�1ui(ct);
donde suponemos que la función real (de una sola variable) ui mide la satisfacción inmediata de
consumir y es por tanto una función creciente y cóncava. Si bien la función de utilidad anterior es
una generalización evidente de las preferencias cuando el horizonte es �nito, debemos tener cuidado
de algunos aspectos técnicos. Por ejemplo, nótese que ahora la función de utilidad involucra una
in�nidad de términos. En principio si sumamos una in�nidad de términos, la suma podría no ser
�nita. Si la utilidad de dos planes de consumo distintos es in�nita, no es posible concluir, a partir
de la función de utilidad, cuál de éstos es mejor (¡incluso si uno de ellos ofrece el doble de consumo
41
que el otro en cada período!). Técnicamente, esa es la importancia del factor de descuento �, ya
que si bien la suma involucra una in�nidad de términos, los �ujos de utilidad de períodos distantes,
descontados al presente, son cada vez menores. Si bien esta no es una condición su�ciente para
asegurar que la suma de �ujos de utilidad sea �nita, sí juega un papel muy signi�cativo.
Una vez hecha esta aclaración sobre las preferencias, podemos pasar a describir las oportunidades
de intercambio de los individuos, en donde encontraremos los mayores desafíos para la modelización.
En principio, podemos importar del modelo con horizonte �nito la restricción presupuestaria que los
individuos deben cumplir en cada período:
ct + bt = yit + (1 + rt�1)bt�1;
y preguntarnos si la maximización de la función de utilidad anterior, sujeta a una sucesión de
restricciones presupuestarias como la anterior bastan para de�nir correctamente el problema del
consumidor. A partir de lo que aprendimos del modelo de horizonte �nito, sabemos que estas
restricciones no son su�cientes para plantear correctamente el problema del consumidor. En aquel
caso era necesario exigir que bT � 0. No podemos imponer la misma restricción cuando el horizonte
es in�nito, ya que por de�nición no hay período terminal. Sin embargo, como lo muestra el siguiente
ejemplo, es necesario limitar a través de otro mecanismo la posibilidad de endeudarse y nunca pagar
las deudas.
Ejemplo (Esquema de Ponzii). Supongamos que el individuo contrata una unidad de deuda
en el período inicial, con la �nalidad de tener un mayor consumo en t = 1. Su plan de consumo y
de �nanciamiento está dado por los siguinetes vectores: (c1; c2; c3; c4; : : :) = (yi1 + 1; yi2; y
i3; y
i4; : : :);
mientras que (b1; b2; b3; b4; : : :) = (�1;�(1 + r1);�(1 + r1)(1 + r2);�(1 + r1)(1 + r2)(1 + r3); : : :).
Es decir, en el período inicial contrata deuda que nunca paga, ya que del período 2 en adelante el
individuo consume su dotación. Como puede apreciarse, estos planes de consumo y de tenencia de
bonos satisfacen en todo momento las restricciones presupuestarias ya que
ct + bt = yit + (1 + rt�1)bt�1:
Sin embargo, ello no puede ser una descripción correcta de las oportunidades de intercambio del
individuo, ya que si esto fuera factible, por qué no contratar el doble de deuda, o el triple, o
diez veces más y obtener en t = 1 un consumo tan alto como se quiera sin jamás pagar dicha
deuda. Como puede apreciarse, la forma de implementar este ejemplo es simplemente re�nanciando
la deuda período tras período. Evidentemente, la deuda sigue un comportamiento explosivo, pero
como en todo momento la deuda es �nita y cumple con la restricción presupuestaria del período,
la descripción que hasta ahora hemos hecho del modelo no elimina este tipo de situaciones. A este
42
tipo de estructuras de �nanciamiento se les conoce como esquemas de Ponzii en honor de un célebre
defraudador bostoniano de principios del siglo XX.
�
El esquema de Ponzii del ejemplo anterior era posible porque la deuda del individuo podía crecer
sin límites. Tal parece que para de�nir correctamente el problema del consumidor, lo que se requiere
es limitar el comportamiento explosivo de las deudas. Esta observación es correcta. La pregunta es
cómo hacerlo. Una manera, un tanto arti�cial es imponer una cota uniforme a las deudas, digamos
bt � �K, donde K es un número positivo grande. En principio ello podría funcionar, sin embargo,
tendríamos problemas si un consumidor que sí contempla pagar sus deudas quisiera endeudarse aún
más, quizás como resultado de dotaciones iniciales muy pequeñas y dotaciones futuras muy grandes.
Al no conocer ex-ante las decisiones óptimas de cada individuo, imponer este tipo de restricciones
crediticas ad-hoc puede resultar muy aventurado.
Otra posibilidad es reconocer que si en un momemto dado T , el monto de la deuda es superior
(en valor abosluto) al valor presente descontado (al período T ) de todas las dotaciones futuras, clara-
mente el individuo estaría en una situación de bancarrota. Una manera indirecta de implementar
este concepto se logra mirando las primeras T restricciones presupuestarias (donde T es arbitrario) y
realizar el proceso iterativo de despejar en cada restricción los bonos del lado derecho de la restricción
y sustituyendo este valor en el lado izquierdo de la restricción del período anterior, empezando con
la restricción en t = T y terminando con la restricción en t = 1 (éste fue el proceso que utilizamos
en el modelo de horizonte �nito para expresar la restricción presupuestaria intertemporal). En este
caso, este proceso de sustituciones sucesivas da como resultado
TXt=1
ct(1 + r1) � � � (1 + rt�1)
=TXt=1
yit(1 + r1) � � � (1 + rt�1)
� bT(1 + r1) � � � (1 + rT�1)
:
El último término no aparecía en el modelo de horizonte �nito (con período terminal T ) porque
por de�nición bT = 0. Sin embargo, cuando el horizonte es in�nito, no hay razón para suponer que
bT tome algún valor en especí�co (ni siquiera podemos asignarle el signo), ya que el período T en
cuestión fue elegido de forma arbitaria. Sin embargo, la ecuación anterior tiene un signi�cado claro.
El lado izquierdo es el valor presente del �ujo de consumo durante los primeros T períodos. El primer
término del lado derecho es el valor presente de la dotación. Si bT < 0, la ecuación anterior dice
que el valor presente del �ujo de consumo en los primeros T períodos excedería el valor presente de
las dotaciones. Si bien esto no tiene nada de patológico a lo largo de los primeros períodos, resulta
evidente que no puede ser una situación sostenible. De hecho, la representación de las oportunidades
del consumidor a través de la restricción intertemporal es clara, el �ujo de consumo a lo largo de
43
toda la vida, en valor presente, no puede exceder el valor presente de las dotaciones:
1Xt=1
ct(1 + r1) � � � (1 + rt�1)
�1Xt=1
yit(1 + r1) � � � (1 + rt�1)
:
La manera de lograr esto, a partir de la ecuación anterior es imponer, en adición a las restricciones
presupuestarias de cada período, que
limT!1
bT(1 + r1) � � � (1 + rT�1)
� 0:
A esta última expresión se le conoce como la restricción de no Ponzii. Esta condición nos dice
que el valor presente de las deudas debe converger a cero. Esto no signi�ca que las deudas deban
converger a cero. Como veremos en es próximo ejemplo, cuando el horiozonte es in�nito, es posible
tener esquemas de �nanciamiento que mantengan una situación perenne de endeudamiento y que
sin embargo sean consistentes con la restricción de no Ponzii.
Ejemplo (Deuda a perpetuidad). Supongamos que el individuo contrata una unidad de
deuda en el período inicial, con la �nalidad de tener un mayor consumo en t = 1. Su plan de
consumo y de �nanciamiento está dado por los siguinetes vectores: (c1; c2; c3; c4; : : :) = (yi1 +1; yi2 �
r1; yi3�r2; yi4�r3; : : :); mientras que (b1; b2; b3; b4; : : :) = (�1;�1;�1;�1; : : :). Es decir, en el período
inicial contrata deuda cuyo principal nunca paga (mantiene un endeudamiento perenne bt = �1).
Sin embargo, durante cada período t � 2 destina parte de su dotación para pagar los intereses que
se van generando. Claramente, este esquema satisface
ct + bt = yit + (1 + rt�1)bt�1;
y además, si las tasas de interés son positivas en todo momento, también satisfacen la condición de
transversalidad, ya que
limT!1
bT(1 + r1) � � � (1 + rT�1)
= limT!1
�1(1 + r1) � � � (1 + rT�1)
= 0:
En este ejemplo, aunque el principal nunca se paga, el individuo no consume más de lo que sus
recursos le permiten, ya que al cumplir con la condición de transversalidad automáticamente cumple
con su restricción presupuestaria intertemporal.
�
En resumen, cuando el horizonte de planeación es in�nito, el problema del consumidor queda
44
dado por:
max(c1;:::;b1;:::)
1Xt=1
�t�1ui(ct)
s.a.ct + bt = y
it + (1 + rt�1)bt�1; t = 1; 2; : : :
limT!1bT
(1 + r1)(1 + r2) � � � (1 + rT�1)� 0;
donde además b0 = 0. Alternativamente, la restricción de no Ponzii nos permite expresar el problema
del consumidor a partir de la restricción presupuestaria intertemporal:
max(c1;:::;b1;:::)
1Xt=1
�t�1ui(ct)
s.a.1Pt=1ptct �
1Pt=1pty
it;
dondep1 = 1
pt =1
(1 + r1)(1 + r2) � � � (1 + rt�1):
Desde el punto de vista de las decisiones del consumidor, la restricción de no Ponzii es difícil
de manejar y difícil de veri�car. Por ello, investigadores han propuesto otras formas de limitar
el endeudamiento de sus agentes. En este curso, el cumplimiento de la restricción no va a ser
un problema, ya que en equilibrio (al menos con agente representativo), la condición de vaciado
de mercado implica que b�t = 0 para todo t, por lo que la restricción de no Ponzii se cumple
automáticamente. Su presencia latente, no obstante, es fundamental para que el problema del
consumidor esté bien de�nido.
Una vez que hemos de�nido correctamente el problema del consumidor, procederemos a enunciar
las condiciones necesarias y su�cientes para un óptimo. Para ello nos concentraremos en el problema
del consumidor con restricciones presupuestarias en cada período. El Lagrangiano, que se construye
de la misma manera que en el horizonte �nito, es decir sin incluir la restricción de no Ponzii, nos da
el conjunto de condiciones necesarias de primer orden:
�t�1u0i(c�t ) = �
�t
y
��t = ��t+1(1 + rt);
lo que da como resultado la misma condición de e�ciencia intertemporal (o ecuación de Euler):
u0i(c�t ) = �u
0i(c
�t+1)(1 + rt) = u
0i(c
�t+1)
1 + rt1 + �
:
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Una peculiaridad de los modelos con horizonte in�nto es que, como lo muestra el siguiente
ejemplo, las ecuaciones de Euler, junto con las restricciones presupuestarias y la restricción de no
Ponzii, son necesarias más no su�cientes para garantizar que una senda sea óptima.
Ejemplo (Insu�ciencia de las ecuaciones de Euler). Consideremos el problema de un
consumidor que recibe una dotación constante igual a 1, yit = 1, para toda t; y que enfrenta tasas
de interés también constantes e iguales a su tasa subjetiva de descuento intertemporal, rt = � para
toda t. Por lo tanto, para que una senda de consumo sea óptima, las ecuaciones de Euler exigen
que ésta sea constante a lo largo del tiempo, c�t = c�t+1. Como la dotación es constante, no es difícil
de imaginar que el óptimo debe ser c�t = 1 para toda t. Consideremos, sin embargo, una senda
alternativa en la que el individuo inicia consumiendo una cantidad menor a 1, digamos c01 = 1 � ",
para algún " > 0. De la restricción presupuestaria en t = 1 podemos obtener el ahorro en el período
inicial:
b01 = yi1 � c01 = ":
Consideremos ahora c02 = c01 = 1 � ". Como r1 = �, (c01; c02) satisfacen la ecuación de Euler
correspondiente. Nuevamente, podemos calcular el ahorro en t = 2 a partir de la restricción pre-
supuestaria en ese período:
b02 = yi2 + (1 + r1)b
01 � c02 = "+ (1 + �)":
El valor presente del ahorro en t = 2 es
b021 + r1
= "+"
1 + �:
Analicemos ahora lo que pasa en t = 3. Tomemos c03 = c02 = 1 � ". Nuevamente, como r2 = �,
se cumple la ecuación de Euler correspondiente. El ahorro en t = 3 es
b03 = yi3 + (1 + r2)b
02 � c03 = "+ (1 + �)"+ (1 + �)2":
El valor presente del ahorro en t = 3 es
b03(1 + r1) (1 + r2)
= "+"
1 + �+
"
(1 + �)2 :
Como se puede apreciar, al ahorro del individuo aumenta, en valor presente, de período a período.
Esto se debe a que en cada período deja de consumir " de su dotación. Sin embargo, las ecuaciones
de Euler no permiten que el individuo consuma jamás este ahorro. Nótese que
limT!1b0T
(1 + r1) (1 + r2) � � � (1 + rT�1)= "
P1t=1
�1
1 + �
�t�1
= "1 + �
�> 0:
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Evidentemente, el plan de consumo (c01; c02; c
03; : : :) no es un óptimo, ya que en cada momento c
0t < c
�t .
Sin embargo, satisface las condiciones de Euler, las restricciones presupuestarias y la restricción de
no Ponzii. Se sugiere al lector veri�car que la senda (~c1; ~c2; ~c3; : : :), con ~ct = 1 + ", " > 0, viola la
restricción de no Ponzii.
�
La suboptimalidad de la senda del ejercicio anterior se debe a que al cumplir la restricción de no
Ponzii, lo hace con desigualdad estricta. Es decir, en el in�nito, el individuo �deja�el mundo con
ahorro, que nunca logra consumir. Por lo tanto, es necesario imponer una condición de optimalidad
adicional, que nos asegure que el individuo no ahorre en exceso. En este caso, dicha condición,
conocida como la condición de transversalidad, establece que:
limT!1
b0T(1 + r1) (1 + r2) � � � (1 + rT�1)
= 0:
Para el caso especial de una economía de intercambio, la condición de transversalidad tiene una
forma muy similar a la restricción de no Ponzii, lo que puede dar lugar a confusiones. La primera
es una condición que debe agregarse a las condiciones de primer orden para completar el conjunto
de condiciones necesarias y su�cientes para un óptimo. La segunda es una restricción que debemos
agregar al problema del consumidor para que quede bien de�nido (de lo contrario elegiría un consumo
in�nito). Una vez que introduzcamos inversión en nuestro modelo, veremos que estas dos condiciones
toman formas distintas.
6.3.1 EQUILIBRIO
Una vez caracterizadas las sendas óptimas, podemos concentrarnos en el análisis del equilibrio.
Un equilibrio competitivo, en la economía con agente representativo, está dado por una senda de
tasas de interés r�1 ; r�2 ; : : : tales que el consumo óptimo que generan es igual a la dotación (i.e. el
mercado de bienes se vacía):
ct(r�1 ; r
�2 ; : : :) = yt;
para toda t.
En una economía con horizonte in�nito, el equilibrio está caracterizado por un sistema con un
número in�nito de ecuaciones (una condición de vaciado de mercado para cada período) y un número
in�nito de incógnitas (las tasas de interés). Evidentemente, no podemos resolver un sistema de tal
naturaleza. Pero si re�exionamos un momento, veremos que no es necesario mirar a este sistema
de ecuaciones simultáneas. La condición de vaciado establece que el consumo óptimo debe ser igual
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a la dotación. Por lo tanto, sustituyendo las dotaciones en la ecuación de Euler correspondiente,
encontramos el valor de la tasa de interés que permite que dichos consumos sean óptimos:
u0(yt) = �u0(yt+1)(1 + r
�t ):
Para el caso de preferencias CES que hemos discutido a lo largo de este capítulo:
1 + r�t = (1 + �)
�yt+1yt
� 1�
:
Ésta es exactamente la misma expresión que obtuvimos para el caso de horizonte �nito. La tasa de
interés de equilibrio en un período se determina exclusivamente a partir de la dotación de bienes en
ese período y en el período subsecuente. Por lo tanto, un choque de carácter temporal en y� afecta
solamente el valor de equilibrio de las tasas de interés en � �1 y en � . La intuición económica detrás
de este resultado es la misma que discutimos en la economía de horizonte �nito. Ante un incremento
en y� , el incremento en r��1 da lugar a que el valor presente de la dotación en el período � no se
vea afectado. Como r� cae, el valor presente de dotaciones futuras tampoco se ve afectado. De tal
manera no se mani�esta ningún un efecto ingreso que diera lugar a incrementos en la demanda de
consumo en períodos distintos a � . Por su parte, en el período � , el incremento en r��1 provoca
una reducción en el precio relativo del bien de consumo en ese período. La cantidad consumida se
expande hasta absorber todo el incremento en la oferta.
Concluimos este capítulo observando que el análisis completo del equilibrio y de cómo éste reac-
ciona ante choques en las dotaciones, es exactamente igual al de la economía con horizonte �nito.
Remitimos al lector a la sección correspondiente.
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