Cap 2. Distribuciones Frecuencia

8/14/2019 Cap 2. Distribuciones Frecuencia

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Tabla 2-1 Estaturas de 100 estudianteshombres de la universidad XYZEstatura(pulg) Nmero deestudiantes

0-62 563-65 1866-68 4269-71 2772-74 8

Total 100

74 1907C2/0rn 1, L-1.3.

36 APTULO 2 Distribuciones de frecuencias

00~ INTERVALOS DE CLASE Y L M ITES DE CLASEEl smbolo que define una c lase, como el 60-62 de la tabla 2-1, se llama intervalo de clase.A los nmeros 60 y 62 se les conoce como lmites de clase; el nmero ms pequeo (60) esel lmite inferior de clase, mientras que el nmero ms grande (62) es el lmite superior declase. Se acostumbra usar los trminos clase e intervalo de clase indistintamente, aunqu e elintervalo de clase es en realidad un smbolo de la clase.A un intervalo de clase que, por lo menos tericamente, no tiene lmite de clase infe-rior o lmite de clase superior se le llama intervalo de clase abierto. Por ejemplo, engrupos de edades de individuos, el intervalo de clase 65 aos o ms es un intervalo declase abierto.

: w a . RONTERAS DE CLASESi se miden estaturas con exactitud de 1 pulg, en teora el intervalo de clase 60-62 incluyetodas las medidas desde 59.5000 hasta 62.5000 pulg. Estos nm eros, indicados brevementepor los nmeros exactos 59.5 y 62.5 se llaman fronteras de clase o lmites verdaderos declase; el nmero menor (59.5) es la frontera inferior de clase y el nm ero mayor (62.5), lafrontera superior de clase.En la prctica, las fronteras de clase se obtienen promediando los lmites superior einferior de un intervalo de clase.Algunas veces se emplean las fronteras para simbolizar clases. Por ejemplo, las clasesen la primera columna de la tabla 2-1 se podran indicar mediante 59.5-62.5, 62.5-65.5,etctera. Para evitar am bigedad al usar tal notacin, las fronteras de clase no deben coinci-dir con observaciones posibles. Si una observacin fuera 62.5 no sera posible decidir sipertenece al intervalo de clase 59.5-62.5 o al 62.5-65.5.

1111/011~~ TAMAO O AMPLITUD DE UN INTERVALODE CLASEEl tamao o la amplitud de un intervalo de clase es la diferencia entre las fronteras de claseinferior y superior y se le conoce como amplitud, tamao o longitud de clase. Si todos losintervalos de una distribucin de frecuencia son de la misma amplitud, a esta amplitudcomn se le denota por c. En tal caso, c es igual a la diferencia entre dos lmites inferiores(o superiores) de clases sucesivas. Para los datos de la tabla 2-1, por ejemplo, la amplituddel intervalo de clase es c = 62.5 - 59.5 = 65.5 - 62.5 = 3.


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Histogramas y polgonos de frecuencias 7MARCA DE CLASELa marca de clase, que es el punto medio del intervalo de clase, se obtiene promediando loslmites inferior y superior de clase. De este modo, la marca de clase del intervalo 60-62 es60 + 62)/2 = 61. la marca de clase tambin se le denomina punto m edio de la clase . f

Para efectos de anlisis matem ticos subsiguientes, se asume que todas las observacio-nes pertenecientes a un mismo intervalo de clase coinciden con la marca de clase; de estamanera, todas las estaturas en el intervalo de clase 60-62 pulg se considerarn de 61 pulg.

REGLAS GENERALES PARA CONSTRUIR1. Determinar el nme ro mayor y el menor en los datos sueltos con el fin de especificar elrango (la diferencia entre ambos).2. Dividir el rango en un nmero adecuado de intervalos de clase del mismo tamao. Si

esto no es posible, usar intervalos de clase de distintos tamaos o intervalos de claseabiertos (vase problema 2.12). Se suelen tomar entre 5 y 20 intervalos de clase, segnlos datos. Los intervalos de clase se eligen tambin de modo tal que las marcas de clase(o puntos medios) coincidan con los datos realmente observados. Ello tiende a dismi-nuir el llamado error de agrupamiento que se produce en anlisis matemticos poste-riores. No obstante, las fronteras de clase no debieran coincidir con los datos realmenteobservados.3. Determinar el nm ero de observaciones que correspond en a cada intervalo de clase; esdecir, hallar las frecuencias de clase. Esto se logra mejor con una hoja de recuentos oregistro de marcas (vase el problema 2.8 ).

DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA

HISTOGRAMAS Y POLGONOS DE FRECUENCIASLos histogramas y los polgonos de frecuencias son dos representaciones grficas de lasdistribuciones de frecuencias.1. n his tograma o histograma de frecuencias consiste en un conjunto de rectngulosque tienen a sus bases en el eje X horizontal, sus centros en las marcas de clase ylongitudes iguales a los tamaos de los intervalos de clase, y b reas proporcionales alas frecuencias de clase.

Si todos los intervalos de clase son del mismo tamao, las alturas de los rectngu-los son proporcionales a las frecuencias de clase. Entonces se acostumbra tomar lasalturas numricamente iguales a las frecuencias de clase. Si los intervalos de clase noson todos del mismo tamao, hay que ajustar las alturas (vase el problema 2.13).2. n polgono de frecuencia es una grfica de lnea de las frecuencias de clase dibujadaconlespecto a la marca de clase. Puede obtenerse uniendo los puntos m edios de laspartsuDeriores de los rectngulos del histograma.El histograma y el polgono de frecuencias correspondientes a la distribucin de fre-cuencias de las estaturas de la tabla 2-1 se muestran en los mismos ejes de la figura 2-1.Suelen aad irse las longitudes PQ y R S a las siguientes marcas de clase m enor y may or, lascuales tienen frecuencias de clase iguales a cero. En tal caso, la suma de las reas de losrectngulos del histograma es igual al rea total limitada por el polgono de frecuencias y eleje X (vase el problema 2 .11).


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38 APTULO 2 istribuciones de frecuenciasFIGURA 2-1

58 1 4 7 0Estatura pulg)

DISTRIBUCIONES DE FRECUENC IAS RELATIVAS

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La[recuencia relativa de una clasees su frecuencia dividida entre la frecuencia total detodas las clases se ex re . oun sorcentaje. Por ejemplo, la frecuenciarelativa de la clase 66-68 en la tabla 2-1 es 42/100 = 42%. Es claro que la suma de todaslas frecuencias relativas de las clases es 1, es decir, 100 por ciento.Si se sustituyen las frecuencias de la tabla 2-1 por las correspondientes frecuenciasrelativas, a la tabla resultante se le llama distribucin de frecuencias relativas, distribucinde porcentajes o tabla de frecuencias relativas.Una representacin grfica de distribuciones de frecuencias relativas se puede obte-ner, a partir del histograma o del polgono de frecuencias, con slo cambiar la escalavertical de frecuencias a frecuencias relativas y manteniendo exactamente el m ismo diagra-ma. Las grficas resultantes se denominan histogramas de frecuencias relativas (ohistogramas de porcentajes) y polgonos de frecuencias relativas (o polgonos de porcen-tajes , en ese orden.

DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIASACUMULADAS Y OJIVASLa frecuencia total de todos los valores menores que la frontera de clase superior de unintervalo de clase dado se conoce como frecuencia acumulada hasta ese intervalo de clase,inclusive. Por ejemplo, la frecuencia acumu lada, incluyendo hasta el intervalo de clase 66-68 de la tabla 2-1, es 5 + 18 + 42 = 65, lo que significa que 65 estudiantes tienen estaturaspor debajo de 68.5 pulg.Una tabla que presenta tales frecuencias acumuladas se llama una distribucin defrecuencias acumuladas, tabla de frecuencias acumuladaso, brevemente, una distribucinacumulada. En la tabla 2-2 se muestra una distribucin acumulada para la distribucin delas estaturas de los estudiantes de la tabla 2-1.Una grfica que recoja las frecuencias acumuladas por debajo de cualquiera de lasfronteras de clase superiores respecto de dicha frontera es denominada un polgono defrecuencias acumuladas u ojiva; en la figura 2-2 se ilustra esta grfica para la distribucinde estaturas de los estudiantes de la tabla 2-1.Para ciertos propsitos, es deseable considerar una distribucin de frecuencias acu-muladas de todos los valores mayores o iguales que la frontera de clase inferior de cadaintervalo de clase. Como de este modo se obtienen estaturas de 59.5 pulg o ms, de 62.5pulg o ms, etctera, se le suele conocer como una distribucin acumulada o ms ,


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100 -

so -

40-

59.5

60

20-unaaumad

Tabla 2-2Estatura(pulg) Nmerode estudiantes

Menor que 59.5Menor que 62.5 5Menor que 65.5 23Menor que 68.5 65Menor que 71.5 92Menor que 74.5 10062 5 5.5 8.5 1.5 4.5Estatura (pulg)

DISTRIBUCIONES DE FRECUENC IAS RELATIVASA C UM ULA D A S Y OJ I VA S D E P OR C ENT A J ESLa frecuencia relativa acumuladao frecuencia acumulada en porcentajeses la frecuenciaacumulada dividida entre la frecuencia total. As, la frecuencia relativa acum ulada de esta-turas menores que 68.5 pulg es 65/100 = 65% , lo que significa que 65% de los estudiantesmide menos de 68 .5 pulg.Si se usan frecuencias relativas acumuladas en la tabla 2-2 y en la figura 2-2, en vez defrecuencias acumuladas, los resultados se llaman distribuciones de frecuencias relativasacumuladas (o distribuciones acumuladas en porcentajes y polgonos de frecuencias rela-tivas acumuladas (u ojivas en porcentajes , respectivamente.

CURV AS DE FRECUE NCIA Y OJIVAS SUAVIZADASLos datos recolectados suelen considerarse como pertenecientes a la muestra tomada deuna poblacin grande. Ya que son posibles muchas observaciones sobre esa poblacin, enteora es posible (para datos continuos) escoger intervalos de clase m uy pequeos y , an as,tener un nmero razonable de observaciones en cada clase. De esta manera, cabe esperarque el polgono de frecuencias o e l polgono de frecuencias relativas correspondiente a unapoblacin grande contenga tantos pequeos segm entos de lnea que se aproxime a curvas alas que se les conoce como curva de frecuencias o curva de frecuencias relativas, respecti-vamente.

Conv iene esperar aproximaciones a dichas curvas tericas si se suavizan los polgonosde frecuencias o los polgonos de frecuencias relativas de la muestra; la aproximacin semejora conform e crece el tamao de la muestra. Por esa razn, una curva de frecuencias sedesigna a veces como polgono de frecuencia suavizado.De forma anloga, al suavizar los polgonos de frecuencias acumuladas u ojivas seobtienen ojivas suavizadas. Suele ser ms fcil suavizar una ojiva que un polgono de fre-cuencias (vase el problema 2.18).

Curvas de frecuencia y ojivas suavizadas 9mientras que la antes considerada es una distribucin acumulada menor que . Es fcildeducir una de otra (vase el problema 2.15). Las correspondientes ojivas se conocen,entonces, como ojivas o ms y menores que . Siempre que se hable de distribucionesacumuladas u ojivas, sin especificar el tipo, se estar mencionando el caso menor que .


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Bimodal ultimodal

1. Las curvas de frecuencias simtricas o en forma de campana se caracterizan porque lasobservaciones equidistantes del m ximo central tienen la misma frecuencia. Un ejem-plo importante es la curva normal.2. En las curvas de frecuencias moderadamente asimtricas, o sesgadas, la cola de lacurva a un lado del mximo cen tral es ms larga que al otro lado. Si la cola ms largaest a la derecha, se dice que la curva es sesgada a la derecha o que tiene asimetrapositiva. En caso contrario, se afirma que la curva es sesgada a la izquierda o que es deasimetra negativa.3. En una curva en forma de J o de J invertida hay un mximo en un extremo.4. Una curva de frecuencias en forma de U tiene mximos en ambos extremos.5. Una curva de frecuencias bimodal tiene dos mximos.6. Una curva de frecuencias multimodal tiene ms de dos mximos.~PProblemas resueltos

Ordenacin2.1 Escriba los nmeros 17, 45, 38 , 27, 6, 48, 11, 57, 34 y 22 en una lista ordenada.

b Determine el rango de estos nmeros.SOLUCINa) En orden creciente de magnitud, el arreglo es: 6, 11, 17, 22, 27, 34, 38 , 45, 48, 57. Enorden decreciente de magnitud, el arreglo es: 57, 48, 45, 38 , 34, 27, 22, 17, 11, 6.b) El nmero menor es 6 y el mayor, 57; por lo tanto, el rango es 57 6 = 51.

40 APTULO 2 Distribuciones de frecuenciasTIPOS DE CURVAS DE FRECUENCIASLas curvas de frecuencias que aparecen, en la prctica adoptan ciertas formas caractersti-cas, como se ilustra en la figura 2-3.

FIGURA 2-3

Simtrica o en forma de campana esgada a la derecha esgada a la Izquierda(sesgo positivo) sesgo negativo)

En forma de J n forma de J invertida n forma de U


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SOLUCINAlgunas de estas preguntas son tan detalladas que se contestan mejor mediante la cons-truccin de una ordenacin, que consiste en subdividir los datos en clases y colocar cadanmero en su clase, como en la tabla 2-3, llamada tabla de entrada.Despus, se ordenanlos de cada clase, como en la tabla 2-4, y se obtiene la tabla deseada. Con la tabla 2-4, esrelativamente fcil contestar las preguntas anteriores.a La calificacin ms alta es 97.b La calificacin ms baja es 53.c) El rango es 97 - 53 = 44.d) Las cinco calificaciones ms altas son: 97, 96, 95, 95 y 94.

Tabla 2-350-5455-5960-6465-6970-7475-7980- 8485- 8990-9495-99

5359,62,68,73,75,84,88,90,95,

5760,68,73,76,82,88,93,96,

61,65,71,79,82,85,93,95,

62,66,74,75,83,87,9497

63,69,72,75,80,89,

60,68,74,78,8 185,

61,67,71,78,88,

60,65,71,75,86,

62,65,73,77,85

62,6774,78 ,

6373,75, 7279, 79, 78, 76, 75, 78, 76, 76, 75, 77

A pa rtir de esta tabla, encuentre:a) La calificacin m s alta.b) La calificacin ms baja.c) El rango.d) Las cinco ca lificaciones m s altas.e) Las cinco calificaciones ms bajas.f) La calificacin del alumno que obtuvo el dcimo lugar ms alto.g) El nmero de estudiantes con calificaciones de 75 o ms.h) El nmero de estudiantes con calificaciones menores que 85.i) El porcentaje de estudiantes con calificaciones mayores que 65, pero m enoresa 85.

Las calificaciones que no aparecen en la tabla.

roblemas resueltos 12.2 as calificaciones finales en matemticas de 80 estudiantes universitarios se re-portan en la tabla siguiente:

68 84 75 82 68 90 62 88 76 9373 79 88 73 60 93 7 1 59 85 756 1 65 75 87 74 62 95 78 63 7266 78 82 75 94 77 69 74 68 6096 78 89 6 1 75 95 60 79 83 7 179 62 67 97 7 8 85 76 65 7 1 7565 80 73 57 88 78 62 76 53 7486 67 73 8 1 72 63 76 75 85 77


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42 APTULO 2 Distribuciones de frecuenciasTabla 2-4

50-5455-5960-6465-6970-7475-7980-8485-8990-9495-99

5357,60,65,71,75,80,85,90 ,95,

5960,65,71,75,81,85,93,95,

60,65,71,75,82,85,93,96,

61,66,72,75,82,86,9497

61,67,72,75,83,87,

62,67,73,75,8488,

62,68,73,75,88,

62,68,73,76,88,

62,68,73,76,89

63,6974,76,

6374,76, 7477, 77, 78, 78, 78, 78, 78, 79, 79, 79

e Las cinco calificaciones ms bajas son 53, 57, 59, 60 y 60 .fl La calificacin del alumno qu e obtuvo el dcimo lug ar es 88.g) El nm ero de estudiantes con calificacin 75 o ms es de 44.h) El nm ero de estudiantes con calificaciones menor es que 85 es de 63.i) El porcentaje de estudiantes con calificaciones mayores qu e 65, pero menores a 85 es

49/80 = 61.2 por ciento.i) Las calificaciones que no aparecen en la tabla son: 52, 54, 55, 56, 58, 64, 70 , 9 1, 92 ,98 , 9 9 y 1 00 .Distribuciones de frecuencias, histogramasy polgonos de frecuencias

2.3 La tabla 2-5 muestra una distribucin de frecuencias de los salarios semanales de65 empleados de la empresa P R. De acuerdo co n esta tabla, determ ine:a) El l mite inferior de la sexta clase.b ) El l mite sup erior de la cuar ta clase.c) La m arca de c lase (o punto m edio) de la tercera clase.d ) Las fronteras de clase de l quinto intervalo.e) El tamao del quinto intervalo de c lase.f) La frecuencia d e la tercera clase.g) La frecuencia relativa de la tercera clase.h) El intervalo de clase con la mayo r frecuencia. Este intervalo se l lam a interva-lo de clase modal. Su frecuencia se den omin a frecuencia de clase modal.

Tabla 2-5Nmerode empleadosalarios

$25010-5259.99260.00-269.99270.00-279.99280.00-289.99290.00-299.99300.00-309.99310.00-319.99

81 01 61 41 052

Total 65


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roblemas resueltos 3i) El porcentaje de empleados que ganan menos de $28 0.00 a la semana.j) El porcentaje de empleados que reciben por sem ana ms de $260.00, peromenos de $300.00.

SOLUCINa) $300.00b) $289.99c La marca de clase de la tercera clase = ($270.00 + $2 79.99) = $274.995. Paraefectos prcticos, se redondear a $275.00.d) La frontera de clase inferior de la quinta clase = ($290.00 + $28 9.99) = $28 9.995.La superior = 1($299.99 + $300.00) = $299.995.e) El tamao del quinto intervalo de clase = frontera superior de la quinta clase fron-tera inferior de la quinta clase = $299.995 $289.985 = $10.00. En este caso, todoslos intervalos de clase tienen el mismo tamao, $10.00.1 16.g) 16/65 = 0.246 = 24.6%.h) $270.00-$279.99.i) El nmero total de empleados que ganan, por semana, menos de $280 = 16 + 10 + 8 =

34. El porcentaje de empleados que ganan menos de $28 0 por semana = 34/65 = 52.3%.j) El nmero total de empleados que ganan, por semana, m s de $260.00, pero menosde $300.00 = 10 + 14 + 16 + 10 = 50. El porcentaje de empleados que ganan, porsemana, ms de $260.00, pero menos de $300.00 = 50/65 = 76.9% .2.4 Si las marcas de clase en un a distribucin de frecuencias de pesos d e estudiantesson 128 , 137, 146, 155, 164, 173 y 18 2 l ibras (lb), encuentre: a) el tamao delintervalo de clase, b las fronteras de clase y c los i:mites de clase, suponiendo quelos pesos se midieron con 1 libra de precisin.

SOLUCINa) El tamao del intervalo de clase = diferencia comn entre marcas de clase sucesivas= 137 128 = 146 137 = etctera = 9 lb.b) Como todos los intervalos de clase son del mismo tamao, las fronteras de claseestn a la mitad de d istancia entre las marcas de clase, por lo tanto , tienen los valores.128 + 137), 1(137 + 146),...,1(173 + 182) o 132.5, 141.5, 150.5,..., 177.5 lbLa primera frontera de clase es 132.5 9 = 123 .5 y la ltima 177.5 + 9 = 18 6.5,ya que el tamao comn d e los intervalos de clase es de 9 lb. A s, pues, las fronterasde clase son:

124 32128

123.5, 132 , 141.5, 150.5, 159.5, 168.5, 177.5, 186.5 lbc) Como los lmites de clase son enteros, se eligen los enteros ms cercanos a las fron-teras de clase, es decir, 123, 124, 132, 133, 141, 142,... Entonces, la primera clasecuenta con los lmites 124-13 2; la siguiente es 133-141, etctera.2.5 Represente grficamente los resultados del problema 2.4

SOLUCIN133 41 42 50 151 59 160 68 169 77 , 178

i 137 46 1 55 64 3 82 18 6 1141 5 50.5 59 5 68.5 775 86.5La grfica se observa en el diagrama anterior. Las marcas de clase 128, 13 7, 146,..., 182se localizan en el eje X . Las fronteras de clase se indican con los segmentos v erticalesdiscontinuos y los lmites de clase, con segmentos verticales slidos.


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44 APTULO 2 Distribuciones de frecuencias2.6 La menor de 150 m ediciones es 5.18 pulg y la mayor 7.44 pulg. Determine un con-junto apropiado de a) intervalos de clase, b) fronteras de clase, c) marcas de claseque puedan u sarse para formar una distribucin de frecuencias de estas mediciones.

SO LU C I NEl rango es 7.44 5.18 = 2.26 pulg. Para un mnimo de cinco intervalos de clase, eltamao de stos es 2.26/5 = 0.45 aproximadamente y para un mximo de 20 intervalos declase el tamao es 2.26/20 = 0.11 aproximadamente. Las elecciones convenientes deltamao de los intervalos de clase, entre 0.11 y 0.45, pod ran ser 0.20, 0.30 o 0.40.a) Las columnas I, II y III de la tabla adjunta muestran intervalos de clase adecuados detamaos 0.20, 0.30 y 0.40, respectivamente:

I I I I5.10-5.29 .10-5.39 .10-5.495.30-5.49 .40-5.69 .50-5.895.50-5.69 .70-5.99 .90-6.295.70-5.89 .00-6.29 .30-6.695.90-6.09 .30-6.59 .70-7.096.10-6.29 .60-6.89 .10-7.496.30-6.49 .90-7.196.50-6.69 .20-7.496.70-6.896.90-7.097.10-7.297.30-7.49Obsrvese que el lmite inferior de clase de cada primera clase podra haber sidodistinto de 5.10; por ejemplo, si en la columna I se hubiera partido de 5.15, comolmite inferior, el primer intervalo de clase hubiera sido 5 .15-5.34.

b Las fronteras de clase correspondientes a las columnas 1, II y III del inciso a) son, enese orden:5.095-5.295, 5.295-5.495, 5.495-5.695, , 7.295-7.495II 5.095-5.395, 5.395-5.695, 5.695-5.995, , 7.195-7.495

III 5.095-5.495, 5.495-5.895, 5.895-6.295, , 7.095-7.495V ase que tales fronteras de clase son correctas, pues no coinciden con las medicio-nes obtenidas.

c Las marcas de clase correspondientes a las columnas I, II y III del inciso a) son,respectivamente:I 5.195, 5.395, 7.395 I 5.245, 5.545, 7.345 II 5.295, 5.695, 7.295

Estas marcas de clase tienen la desventaja de no coincidir con mediciones obtenidas.2.7 Al contestar el problema 2.6a), un estudiante escogi los intervalos de clase 5.10-5.40,5.40-5.70,..., 6.90-7.20 y 7.20-7.50. Hu bo algo incorrecto en su eleccin?

SOLUCINEsos intervalos de clase se traslapan en 5.40, 5.70 ..... 7.20. Luego, una medicin anotadacomo 5.40, por ejem plo, podra ser colocada en cualquiera de los dos primeros intervalosde clase. Algunos justifican esta eleccin decidiendo asignar la mitad de los casos dudo-sos a una clase y la otra m itad a la otra.La ambigedad desaparece escribiendo los intervalos de clase como 5.10 hasta 5.40,5.40 hasta 5.70, etctera. En este caso, los lmites de clase coinciden con las fronteras declase, en tanto que las marcas de clase pueden coincidir con los datos observados.


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Problemas resueltos 5En general, es deseable evitar traslapamientos de intervalos de clase si es posible yescogerlos de tal modo que las fronteras de clase no coincidan con los datos observados.Por ejemplo, los intervalos de clase del problema 2.6 podan haberse escogido como 5.095-5.395, 5.395-5.695, etctera, sin ambigedad. Una desventaja de esta eleccin particulares que las marcas de clase no coinciden con los datos observados.

2.8 En la tabla que sigue se registran los pesos de 40 estudiantes hombres de unauniversidad, con precisin de una libra. Construya una distribucin de frecuencias.138 164 150 132 144 125 149 157146 158 140 147 136 148 152 144168 126 138 176 163 119 154 165146 173 142 147 135 153 140 1351 6 1 145 135 142 150 156 145 128SOLUCINEl mayor peso es de 176 lb y el menor es 119 lb. Por ello, el rango es 176 -119 = 57 lb. Sise usan cinco intervalos de clase, su tamao ser 57/5 = 11, aproximadamente; si se usan20 intervalos de clase, su tamao ser de 57/20 = 3.Una eleccin conveniente del tamao de clase es de 5 lb. Asimismo, resulta adecuadoseleccionar las marcas de clase como 120, 125, 130, 135,... lb. De este modo, los interva-los pueden tomarse como 118-122, 123-127, 128-132,... Con tal eleccin, las fronteras declase son 117.5, 122.5, 127.5,..., que no coinciden con los datos observados.La distribucin de frecuencias requerida se muestra en la tabla 2-6. La columna cen-tral, llamada registro de marcas, se usa para tabular las frecuencias de clase y se omite enla presentacin final de la distribucin de frecuencias. No es necesario hacer una ordena-cin, aunque si se dispone de ella puede utilizarse para tabular las frecuencias.Otro mtodoNaturalmente, existen otras distribuciones de frecuencias. La tabla 2-7, por ejemplo, con-tiene una distribucin de frecuencias con 7 clases, en la que el tamao del intervalo declase es de 9 lb.

2.9 Construya: a) una grfica de tallo y hojas y b) un histograma para la distribucinde peso en el problema 2.8 usando el programa de cmputo Minitab.Tabla 2-6 Tabla 2-7

Peso (lb) Conteo Frecuencia118-122 /

t

123-127 //128-132 //133-137 / / / /138-142 th il /143-147 7/# ///148-152 i f i l153-157 ////158-162 //163-167 ///168-172 /173-177 //Total 40

Peso (lb) Conteo Frecuencia118-126 /// e

c127-135 i i136-144 i / i / ////145-153 ii# # # //154-162 71163-171 ////172-180 //

Total 40

SOLUCINEl comando de Minitab para la grfica de tallo y hojas produjo el resultado mostrado en laf igura 2-4a). La grfica est com puesta por tres columnas. La segunda comprende el tallo y


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120 30 40 50 6 0 7 0 80

Peso

una

87654321O

46 APTULO 2 Distribuciones de frecuenciasla tercera contiene la hoja para un nm ero determinado. En la primera f ila, 1 11 9. el nme-ro 11 es el tallo y e19 es la hoja para el peso 119. La segunda f ila: 1 12, indica que los pesos120, 121, 122, 123 y 124 no aparecen en los datos, ya que no se m uestran hojas . La terceraf ila, 4 12 568 , contiene el tallo 12 en la segunda columna, lo mismo que las hojas 5, 6 y 8 enla tercera columna. Los nmeros 125, 126 y 128 se representan en la tercera fila. Observeque generalmente la segunda columna contiene uno de los tallos II, 12, 13, 14, 15, 16 017.La tercera colum na puede incluir tanto las hojas 0, 1, 2, 3 o 4, como las hojas 5, 6, 7, 8 o 9.La primera columna contiene frecuencias acumuladas, tanto de la porcin superior comode la inferior de la grfica de tallo y hojas. Por ejemplo, el 5, en la fila 5 13 2 , indica que hay5 pesos que son iguales o m enores a 132 libras. El nmero 7 en la fila 7 16 13 4, indica quehay 7 pesos iguales o mayores a 161 libras. La fila donde la frecuencia acumulada primeroexcede la mitad de los valores de los datos es la fila 8 14 55667789. El 8 significa que hay8 nmeros en esta fila. La figura 2-4b) es el histograma producido con Minitab.FIGURA 2-4

MTB > Stem-and-Leaf weIghtCharacter Stem-and-Leaf DisplayStem-and-leaf of weight N = 40Leaf Un it = 1.0

1 1 91 24 2 5685 3 211 3 55568817 4 0022448) 14 55667789

15 5 0023410 5 6787 6 1344 6 582 7 3

a 7 62.10 Con los datos de la tabla 2-5, del problema 2.3, construya: a) una distribucin defrecuencias relativas, b un histograma, c un histograma de frecuencias relativas,

d) un polgono de frecuencias y e un polgono de frecuencias relativas.SOLUCINa) La distribucin de frecuencias relativas demostrada en la tabla 2-8 se obtiene de ladistribucin de frecuencias de la tabla 2-5 dividiendo cada frecuencia de clase entrela frecuencia total (65), y cuyo resultado se expresa como porcentaje.

Tabla 2 -8Salarios Frecuencia relativa(como porcentaje)

$250.00-5259.99260.00-269.99270.00-279.99280.00-289.99290.00-299.99300.00-309.99310.00-319.99

12.315.424.621.515.4

7.73.1

Total 00.0


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I r ; idiO ND 302010Problemas resueltos 7

b y c El histograma y el histograma de frecuencias relativas estn en la figura 2-5.Obsrvese q ue para pasar de un histograma a un histograma de frecuencias relativasslo es necesario aadir al histograma una escala vertical con las frecuencias relati-vas, como se v e a la derecha de la figura 2-5.

Salarios en dlares)d y e El polgono de frecuencias y el polgono d e frecuencias relativas se indicancon la grfica de segme ntos discontinuos en la figura 2-5. As, pues, para conv ertir unpolgono de frecuencias en un polgono de frecuencias relativas basta aadir unaescala vertical que mu estre las frecuencias relativas.

Obsrvese que si slo se desea un polgono de frecuencias relativas, por ejemplo,la figura adjunta no incluira el histograma y el eje de frecuencias relativas apareceradel lado izquierdo en lugar del eje de frecuencias.2.11 Pruebe que el rea total de los rectngulos en un histograma es igual al rea totallimitada por el correspondiente polgono de frecuencias y el eje X .

SOLUCINSe probar para el c aso de un histograma con tres rectngulos (figura 2-6) y el polgono defrecuencias correspondiente, que se indica con trazo d iscontinuo.rea total de los rectngulos = rea sombreada + rea II + rea IV + rea V + rea VII

= rea sombreada + rea I + rea III + rea VI + rea VIII= rea total limitada por el polgono de frecuencias y el eje XYa que rea I = rea II, entonces rea III = rea IV, rea V = rea V I y rea VII = rea VIII.

2.12 En la empresa P&R (problema 2.3) se han contratado cinco nuevos trabajadorescon salarios semanales de $285.34, $316.83, $335.78, $356.21 y $374.50. Cons-truya una distribucin de frecuencias de los salarios de los 70 trabajadores.SOLUCINLa tabla 2-9 mues tra las posibles distribuciones de frecuencias.

En la tabla 2-9a) se us un m ismo tamao de intervalo de clase, $10.00. En conse-cuencia, hay demasiadas clases vacas y la informacin es, en exceso, detallada en elextremo superior de la escala de salarios.


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15/20

255 65 75 85 95 05 15 25 35 45Salarios en dlares)

355 365 375 385

FIGURA 2-71 5 -

1 O -LL

Problemas resueltos 9De manera semejante, el rectngulo C , de la ltima clase en la tabla 2-9d), tienemedia unidad de altura en la escala vertical.

Distribuciones de frecuenciasacumuladas y ojivas2.14 Construya, para la distribucin de frecuencias del problem a 2.3 (tabla 2-5): a) unadistribucin de frecuencias acumuladas, b una distribucin de porcentajes acu-mulados, c una ojiva y d una ojiva de porcentajes.

Tabla 2-10

Salarios FrecuenciaacumuladaDistribucinporcentualacumuladaMenor que $250.00 O 0.0Menor que $260.00 8 12.3

Menor que $270.00 1 8 27.7Menor que $280.00 34 52.3Menor que $290.00 48 73.8Menor que $300.00 58 89.2Menor que $310.00 63 96.9Menor que $320.00 65 100.0SO LU C I Na y b La distribucin de frecuencias acumuladas y la distribucin acumulada en por-centajes (o distribucin de frecuencias relativas acumuladas) se com binan en la tabla 2-10.

Obsrvese que cada entrada de la columna 2 se obtiene sumando entradas sucesivasde la columna 2 de la tabla 2-5. As 18 = 8 + 10, 34 = 8 + 10 + 16, etctera.Cada entrada en la columna 3 se obtiene de la anterior dividiendo entre 65 la frecuen-cia total y expresando el resultado como porcentaje. As, 34/65 = 52.3%. Las entradas enesta columna tambin podan haberse obtenido sumando entradas sucesivas de la colum-na 2 de la tabla 2-8. Es decir, 27.7 = 12.3 + 15.4, 52.3 =12.3 + 15.4 + 24.6, etctera.

c y d) La ojiva (o polgono de frecuencias acumuladas) se muestra en la figura28a y la ojiva de porcentajes (o polgono de frecuencias relativas acumuladas) se mues-tran en la figura 2-8b). Ambas grficas fueron generadas en Minitab.Las anteriores suelen llamarse ojiva o distribucin acumuladas menor que , por lamanera de acumular las frecuencias.


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FIGURA 2-870

e-o3 Eco 30 o

20 =uit 10

60

m aE 60eV5 50E 40u 30co

204) 10ueLL

FIGURA 2-9

250 260 270 280 290 300 310 320Salarios en dlares)

50 APTULO 2 Distribuciones de frecuencias

aec 100 eo8.e

50 Eueue O uu-5O260 270 280 290 300 310 320 250 260 80 290 300 310 320

Salarios en dlares) alarios en dlares)a)

2.15 A partir de la distribucin de frecuencias de la tabla 2-5 del problema 2 .3, constru-ya a) una distribucin de frecuencias acum uladas o ms y b una ojiva "o ms".SOLUCINa) Obsrvese que cada entrada de la colum na 2, en la tabla 2-11, se obtiene sumandoentradas sucesivas de la columna 2 en la tabla 2-5, comenzando por abajo; as, pues,7 = 2 + 5, 17 = 2 + 5 + 10, etctera. Estas entradas pueden obtenerse tambin restandocada entrada de la columna 2 en la tabla 2-10 de la frecuencia total, 65, es decir, 57 =65 8 , 47 = 65 18, etctera.

Tabla 2-11Salarios Frecuencia acumuladao ms

$250.00 o ms 65$260.00 o ms 57$270.00 o ms 47$280.00 o ms 31$290.00 o ms 17$300.00 o ms 7$310.00 o ms 2$320.00 o ms O

b) La figura 2-9 muestra una ojiva o ms .


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Problemas resueltos 12.16 De las ojivas en las figuras 2-8 y 2-9 (de los problemas 2.14 y 2.15, respectivamen-te) estime el nmero de empleados que cobran por semana: a) menos de $288 .00,$296.00 o ms y c al menos $263.00, pero menos de $275.00.

SO LU C I Na) Con referencia a la ojiva menor que de la figura 2-8, trace una recta vertical queintersecte al eje de salarios en $288.00. Esa recta corta a la ojiva en el punto decoordenadas (288, 45); por lo tanto, 45 empleados cobran menos de $288.00 porsemana.b) En la ojiva o ms de la figura 2-9, dibuje una recta vertical en $296.00. Esta rectacorta a la ojiva en el punto (296, 11); por lo tanto, 11 empleados ganan $296.00 oms.

Esto podra haberse obtenido de la ojiva menor que de la figura 2-8. Trazandouna recta a partir de $296.00, se observar que 54 empleados reciben menos de$296.00, de modo que 65 54 =11 empleados cobran $296.00 o ms.c) Usando la ojiva menor que , de la figura 2-8, se tiene el nmero requerido de em-pleados = los que ganan menos de $275.00 los que ganan menos de $263.00 sema-nales = 26 11 = 15.Ntese que los resultados anteriores se obtendran con el proceso de interpolacin enlas tablas de frecuencias acumuladas. En el inciso a , por ejemplo, como $288.00 est a8/10, o sea a 4/5 del camino entre $280.00 y $290.00, el nmero requerido deber ubicar-se en 4/5 del camino entre los valores correspondientes 34 y 48 (vase tabla 2-10). Pero 4/5 del camino entre 34 y 48 es (48 34) = 11. As, el nmero requerido de empleados es34 + 11 = 45.

2.17 Se lanzan cinco monedas 1 000 veces y en cada lanzamiento se registra el nmerode caras ubicado. El nmero de lanzamientos en los que se o bservan 0, 1, 2, 3, 4 y5 caras se muestra en la tabla 2-12.a) Grafique los datos de la tabla 2-12.b) Construya una tabla que contenga los porcentajes de lanzamientos que handado un nmero de caras menor que 0, 1, 2, 3 , 4. 5 o 6.c) Grafique los datos del inciso b .

Tabla 2-12Nmero de lanzamientosNmero de caras frecuencia)

O12345

38144342287164

25Total 1 000

SO LU C I Na Los datos suelen presentarse de manera grfica como se muestra en las figuras 2-10o2-11.


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Nmdanmien

Nmdanmieno

FIGURA 2-10350 -300 -2 5 0200 -150 -100 -so -o

FIGURA 2-11350 -300 -250 -200 -150 -100 -5

52 APTULO 2 Distribuciones de frecuenciasLa figura 2-10 parece ms correcta, ya que el nmero de caras no puede ser 1.5o 3.2. sta es una grfica de barras, donde las barras tienen amplitud cero. Tambinse le llama grfica de varillasy se utiliza especialmente para datos discretos.

2 0Nmero de caras mero de carasLa figura 2-11 es un histograma de los datos. Obsrvese que el rea total del

histograma es la frecuencia total, 1000, como debe ser. Al usar la representacin enhistograma, o el correspondiente polgono de frecuencias, se tratan los datos como sifueran continuos. Luego se ver que tal planteamiento es til. Recurdese que ya sehan utilizado el histograma y el polgono de frecuencias para datos discretos en elproblema 2.10.b) Con referencia a la tabla 2-13 requerida, obsrvese que contiene simplemente unadistribucin de frecuencias acumuladas y una distribucin de porcentajes acumula-dos del nmero de caras. Debe notarse que las expresiones menor que 1 , menorque 2 , etctera, podran haberse sustituido por las expresiones menor o igual que1 , menor o igual que 0 .

Tabla 2-13

Nmero de caras Nmero de lanzamientos(frecuencia acumulada)Porcentaje

de nm ero de lanzamientos(frecuencia acumuladaen porcentaje)Menor que 0 0 0.0Menor que 1 38 3.8Menor que 2 182 18.2Menor que 3 524 52.4Menor que 4 811 81.1Menor que 5 975 97.5Menor que 6 1 000 100.0c) La grfica requerida puede presentarse como en la figura 2-12 o como en la figura2-13.

La figura 2-12 es ms adecuada para presentar datos discretos, pues el porcenta-je de lanzamientos con menos de 2 caras ha de ser igual que para menos de 1.75, 1.56o 1.23 caras, de manera que debe tenerse el mismo porcentaje (18.2%) para esosvalores (indicado por un segmento horizontal).La figura 2-13 muestra el polgono de frecuencias acumuladas, u ojiva, para losdatos y, en esencia, trata los datos como si fueran continuos.Obsrvese que las figuras 2-12 y 2-13 corresponden, respectivamente, a las fi-guras 2-10 y 2-11 del inciso a .


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FIGURA 2-12 FIGURA 2-13100 -o

2 80-N69 60e

100o9 2 80C DN

ec

6eeCO 40 -eao. 20 - 220

0Nmero de caras 1 Nmero de caras

roblemas resueltos 3

Curvas de frecuencia y ojivas suavizadas2.18 Los 100 estudiantes hombres de la universidad XYZ (tabla 2-1) son, en realidad,una muestra de los 1 546 estudiantes hombres de esa universidad.

a) Con los datos de esa muestra, construya un polgono de frecuencias en por-centajes suavizado (curva de frecuencias) y una ojiva suavizada en porcenta-jes menor que .b) Con los resultados de las grficas del inciso a), estime el nmero d e estudian-tes con estaturas entre 65 y 70 pulg. Qu consideraciones debe hacer?c) Puede utilizar los resultados para estimar la propo rcin de hom bres en Esta-,-SOLUCINa) En las figuras 2-14 y 2-15 las grficas discontinuas representan los polgonos defrecuencias y las ojivas, que se han obtenido de las figuras 2-1 y 2-2, respectivamen-te. Las grficas suavizadas requeridas (en trazo slido) se obtienen aproximandostas por medio de curvas suavizadas.

En la prctica, como es ms sencillo suavizar una ojiva, se obtiene primero laojiva suavizada y despus el polgono de frecuencias suavizado, leyendo los valoresen la citada ojiva.b) Si la muestra de 100 estudiantes es representativa de la poblacin, que es de 1 546,las curvas suavizadas de las figuras 2-14 y 2-15 pueden considerarse como la curvade frecuencias en porcentajes y la ojiva de porcentajes de esa poblacin. Esta suposi-cin es correcta slo si la muestra es aleatoria (es decir, si cada estudiante cuenta conla misma probabilidad de ser elegido en la muestra).Como las alturas registradas entre 65 y 70 pulg, con precisin de 1 pulg, enrealidad representan alturas entre 64.5 y 70.5 pulg, el porcentaje de estudiantes en lapoblacin con esas alturas se encuentra dividiendo el rea sombreada de la figura2-14 entre el rea total acotada por la curva suavizada y el eje X .No obstante, es ms sencillo usar la figura 2-15, en la cual se ve que

Porcentaje de estudiantes con estaturas menores que 70.5 pulg = 82%Porcentaje de estudiantes con estaturas menores que 64.5 pulg = 18%

Luego, el porcentaje de estudiantes con estaturas de entre 64.5 y 70.5 pulg =82% 18% = 64% . As, pues, el nmero de estudiantes de esa universidad que midenentre 65 y 70 pulg es de 64% de 1 546 = 989.

dos Unidos con estaturas entre 65 y 70 pulg?


20/20

61 707Estatura (en pulg)

te 50 7 Z40

O 300E 0LL 10

76

59.5 2.5 5.5 8.5 1.5Estatura (en pulg)

74.5

100te

E1ro'= 60W WWc 40W7 G/

20

54 APTULO 2 III Distribuciones de frecuenciasFIGURA 2-14

FIGURA 2-15

Otra forma de decir lo anterior es afirmar que la probabilidadde que una perso-na, elegida al azar de entre 1 546 estudiantes, mida una altura comprendida entre 65y 70 pulg, ser de 64%, 0.64 o 64 de cada 100. A causa de la relacin con las proba-bilidades (tratadas en el captulo 6), las curvas de frecuencia relativa se conocencomo curvas de probabilidado distribuciones de probabilidad.c Es posible estimar la proporcin requerida en 64% (ahora con mucho ms margen de

error) slo si existiera la certeza de que los 100 estudiantes constituye realmente unamuestra aleatoria de la poblacin masculina de Estados Unidos. Sin embargo, esto esimprobable por razones tales como: 1) algunos estudiantes no habrn alcanzado ansus estaturas mximas y 2) las generaciones jvenes tienden a ser ms altas que suspadres.

Problemas complementariosa) Ordene los nmeros 12, 56, 42, 21, 5, 18, 10, 3, 61, 34, 65 y 24; b determine su rango.

_1.20 La tabla 2-14 muestra la distribucin de frecuencias del nmero semanal de minutos quepasan viendo la televisin 400 estudiantes de secundaria. Con referencia en esta tabla, de-termine:a) El lmite superior de la quinta clase.b) El lmite inferior de la octava clase.c) La marca de clase de la sptima clase.d) Las fronteras de clase de la ltima clase.

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Cap 2. Distribuciones Frecuencia