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Campo magnetico: fatti sperimentaliCampo magnetico: fatti sperimentali

Le proprietà qualitative dei magneti e la presenza di un campo magnetico terrestre erano conosciute da tempo, ma le prime misure quantitative e le teorie e gli esperimenti per determinarne la natura precisa e i suoi legami con i fenomeni elettrici risalgono alla fine del 700, primi dell’ottocento.- Coulomb fu il primo a misurare la repulsione e attrazione tra lunghi magneti sottili (chiamati da allora “aghi magnetici”) con la stessa bilancia di torsione utilizzata per la misura delle forze con cariche elettriche. Si verificò sperimentalmente che anche in questo caso la forza era proporzionale all’inverso del quadrato della distanza.

-Oersted (un fisico danese) ai primi dell’ottocento, usando pile di Volta, facendo esperimenti su correnti, notò che un ago magnetico veniva deflesso dalla sua direzione “normale” (verso Nord, che coincide con il Sud Magnetico) quando vicino ad esso scorreva corrente in conduttore.- Questa deflessione indica un’interazione tra corrente e ago magnetico, ovvero che una corrente può esercitare una forza magnetica su magneti analoga a quella che i magneti esercitano tra loro.

-Negli anni a seguire gli esperimenti sistematici di Biot, Savart e Ampere (tra gli altri) mostrarono che conduttori percorsi da correnti esercitano tra loro forze analoghe a quelle che i magneti esercitano tra loro e proposero le leggi del campo magnetico creato da correnti, conosciute come leggi di Biot Savart.-Essi determinarono anche che queste forze non avevano la caratteristica principale della forza gravitazionale e della forza elettrostatica tra cariche elettriche, ovvero di essere conservative. -Né per il campo magnetico valeva la legge di Gauss nella forma data per il campo elettrostatico: il flusso del campo magnetico associato a correnti attraverso una superficie chiusa si verifica essere sempre nullo.

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-La relazione tra il magnetismo creato da magneti e quello creato da correnti, in tempi in cui la struttura atomica e le sue proprietà non erano ancora conosciute, era difficile da riconoscere. -Le proprietà del campo magnetico creato da magneti naturali (o quello della terra al livello di conoscenze dell’epoca,) era riconosciuta avere proprietà simili a quelle del campo elettrostatico (conservatività del campo e validità di una legge simile a quella di Gauss), ma con una differenza sostanziale: sperimentalmente era noto come fosse impossibile separare la “massa o carica ” magnetica positiva da quella negativa, il che faceva ritenere che la materia avesse proprietà “magnetiche” distinte da quelle elettriche (le cariche sono distinguibili)

-I campi creati da correnti (indicati in letteratura con la lettera B) e i campi magnetici di magneti naturali (indicati con la lettera H) avevano proprietà diverse, ma le sorgenti di questo campi interagivano tra loro.

- Ampere per primo propose che le proprietà magnetiche dei materiali (ora note come ferro-magnetismo) fosse dovuto a un fluire continuo di correnti (chiamate da allora correnti amperiane) nella materia. Egli infatti notò l’equivalenza tra le linee di forza e gli effetti del campo magnetico creato da una corrente che circola in una spira (un filo conduttore chiuso su stesso e alimentato da una ddp) e quelli di un magnete naturale.

-Da quel momento in poi il magnetismo non apparve come una proprietà separata dalla carica elettrica, ma fu attribuito in ogni caso alle presenze di correnti, ovvero di cariche in movimento.

-Furono notati anche movimenti di cariche (correnti) in conduttori non alimentati da generatori, se nelle loro vicinanze si muoveva una bacchetta magnetica accelerandola. Il fenomeno (insieme a altri dello stesso tipo) venne chiamato dell’induzione elettromagnetica.

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-Verso la fine del ‘800 gli esperimenti sull’induzione elettromagnetica (un magnete permanente in movimento crea una corrente variabile in un filo conduttore non connesso ad alcuna ddp, e analogamente una spira conduttrice percorsa da corrente crea lo stesso effetto sulla spira non connessa) condotti da Faraday (fisico inglese) misero in evidenza la relazione tra comportamenti elettrici e magnetici non stazionari, come effetti correlati e indistinguibili. Il campo elettrico e il campo magnetico sono due diversi aspettiderivanti dalla stessa proprietà della materia, la carica elettrica. Il campo elettromagnetico è dovuto a cariche elettriche e il tipo di movimento di queste cariche determina le proprietà dei campi.

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- In questa parte ci occuperemo di quella che viene definita comemagnetostatica, ovvero le proprietà del campo magnetico dovuto a correntistazionarie (correnti non variabili nel tempo).

-La definizione operativa di campo di induzione magnetica B(r) si basa sull'osservazione sperimentale fatta da Lorentz (1879):un fascio di cariche elettriche generate in un tubo a vuoto e in movimento sono deflesse da un campo magnetico. Si verifica che questa forza , detta di Lorentz, che provoca questa deflessione, è perpendicolare alla velocità istantanea delle cariche e alla direzione del campo, ma si annulla se le particelle si muovono parallelamente al campo.Il modulo della forza è proporzionale al modulo della velocità, al modulo del campo, al valore della carica che è deflessa, e dal seno dell’angolo tra direzione del campo e direzione della velocità

B e v tra angolo è

,B e v da oindividuat

piano al lareperpendico F

è sen qvBFBvqF

rr

rr

r

rrr=⇒∧=

S

N

S

N

S

NB

Fq>0

vq<0

B

Fθθ

S

N

F è nulla : se v=0 (carica in quiete), se v parallela a B (stesso verso o verso opposto)

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Il campo di induzione magnetica B viene definito attraverso la forza divisa per il valore qv quando il campo e la velocità sono tra loro perpendicolari:

B=F/qv. L’unità di misura è il Tesla (T) = Ns/Cm = N/Am.

Il campo magnetico terrestre vale circa 0.5•10-4 Tesla o 0.5 Gauss.(10-4 Tesla=1 Gauss).

- Nelle pagine precedenti il campo magnetico è immaginato prodotto da barrette magnetiche (magnetite) in cui N indica il polo positivo, S il polo negativo. Il campo magnetico creato dai magneti naturali è messo in evidenza in maniera semplice attraverso la limatura di ferro, che si dispone, magnetizzandosi, lungo le linee di forza e assomiglia e quello creato da dipoli elettrici. Si verifica sperimentalmente che il campodi magnetico creato da magneti è proporzionale all’inverso del quadrato della distanza

N

S

r2r1B ∝

Ciò che distingue questo campo da quello creato dal dipolo elettrico è che all’interno del magnete le linee di forza sono dirette (come vedremo) dal negativo al positivo, ovvero in direzione opposta a quella del dipolo elettrico. Inoltre il campo non cambia se la barretta magnetica viene divisa a metà (in modo da dividere il N dal S) e solo metà viene usata.

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-La forza di Lorentz. attiva nella zona delle “Fasce di Von Allen”, zona che inizia a 100 km sopra la superficie terrestre, in cui il campo magnetico terrestre intrappola le particelle cariche portate dal vento solare nelle cosiddette “bottiglie magnetiche” (essa è responsabile di quel fenomeno che viene chiamato aurora boreale).

- Se una massa (m) carica (q) entra in una zona dove vi è un campo magnetico perpendicolare alla velocità del corpo, la forza di Lorentz agisce come una forza centripeta (perpendicolare alla velocità in ogni punto) e il corpo descrive una traiettoria circolare, in cui il raggio e la velocità angolare sono dati da :

mqBùrB qùrmù

qBmvrqvB

rvm

2

2

=⇒=

=⇒=

S

N

S

N

S

NB

Fq>0

vq<0

B

Fθθ

S

N

-LO spettrometro di massa, che si usa per separare sistemi di masse diverse, si basa su questo principio. Il miscuglio di masse da analizzare viene ionizzato e poi introdotto a velocità v nella zona dove vi è il campo di induzione magnetica , perpendicolare alla velocità. Masse diverse devono compiere circonferenze di raggio diverso e il dispositivo è costruito per permettere di identificare dai raggi diversi le diverse masse.

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Forza magnetica su un “tratto” di filo rettilineo percorso da corrente I.

Dalla forza di Lorentz su particelle cariche si passa abbastanzafacilmente alla forza esercitata da un campo magnetico su “tratti di filo” percorsi da corrente I. Ovviamente i tratti di filo fanno parte di un circuito (in cui la direzione della corrente e quindi la velocità dei portatori di carica cambia, essendo il circuito chiuso su una fem) e la forza totale si trova sommando i vari contributi nei vari tratti

Ia

b

dl

S

+vdB

F

- Se N è il numero di portatori di carica (q) nel volume dV=Sdl mostrato in figura, la forza agente sul tratto dl è

dF =N q vd∧∧ B. La corrente è data da

I=jS=(N/dV) q vdS = (N/Sdl) qvdS= (Nqvd)/dl.Ne segue che, tenendo conto che il vettore dl ha la stessa direzione e verso del vettore vd che:

dF = I dl∧∧ BEsempio: Nella figura su tutto il circuito agisce un campo B entrante nel foglio, perpendicolare al foglio. Considerando che il circuito si trova sul foglio, si ha su tutto il tratto (di lunghezza a) a destra del circuito, la forza è orientata come in figura e vale F=I a B. Si può verificare che sui vari lati le forze sono come in figura: la ΣF=0 e anche la somma dei momenti è nullo: se il circuito è rigido e non si può deformare, non si ha nessun movimento né di rotazione né di traslazione

Ia

b

BFF

F

F

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- Ma se la situazione è come in figura, in cui il campo di induzione magnetica B sul piano del circuito, sui lati lunghi la forza magnetica è nulla, sui lati corti le due forze sono uguali e contrarie, ma formano una coppia di forze, che pur avendo somma nulla, ha momento M diverso da zero. Il momento M (mostrato in figura), vale in modulo M = I a b B = IA B, con A area del circuito.

-Il vettore areale A=A n per un circuito piano è definito come il vettoredi nodulo l’area enella direzione della normale alla superficie racchiusa dal circuito (superficie concatenata al circuito), che si orienta in modo che, se ci mette secondo il suo verso, si veda circolare la corrente in senso antiorario-Si verifica che per tutti i circuiti piani, qualunque sia la loro forma, se la normale alla superficie o il vettore areale A=S n formano un angolo θ con il vettore B, ancora la somma delle forze è nulla, ma si ha momento M diverso zero e vale per qualsiasi circuito piano: M=IA ∧∧ B.

Iab

MA=abn

B

n θA

Momento delle forze agenti su un circuito immerso in Momento delle forze agenti su un circuito immerso in magnetico e momento magnetico di una spira piana.magnetico e momento magnetico di una spira piana.

F

FB

n

M

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- Per analogia, visto che un ago magnetico ha evidentemente una struttura dipolare a cui si può associare un momento chiamato magnetico (analogia con momento di dipolo elettrico), si associa a ogni circuito piano (chiamate spire) un momento magnetico:

m=IA =IAn (Am2)

Questi circuiti su cui agisce un momento non nullo tendono a ruotare intorno al loro baricentro per orientare la normale con il campomagnetico, ovvero fanno quello che farebbe un ago magnetico in un campo magnetico esterno: orienta il suo N nella direzione del campo.

B

n θA

m

AA

m

m

ABI I

I

INS

equivalenza (Ampere)

- Ad ogni spira percorsa da corrente si associa questo momento didipolo magnetico e la spira tende ad orientarsi in direzione del campo magnetico , ovvero a mettersi in maniera che la sua area sia perpendicolare alle linee di forza del campo magnetico e la normale, definita come detto prima, nella direzione e verso del campo magnetico.

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-Alla spira che si orienta in direzione del campo magnetico , ovvero si mette in maniera che la sua area sia perpendicolare alle linee di forza del campo magnetico (ovvero con la normale nella direzione e verso del campo magnetico) compete una energia minima.Si può dimostrare, calcolando il lavoro compiuto dall’esterno durante il moto di rotazione, purché questo avvenga senza aumento di energia cinetica , che l’energia associata ad ogni posizione della spira percorsa da corrente in campo magnetico è

U(θ) = - m·B = m B cosθ ( nel caso del dipolo elettrico in campo elettrico U(θ) = - p·E)

-Questo comportamento viene sfruttato in molti motori elettrici, -negli amperometri e voltmetri analogici, in cui una lancetta solidale con l'equipaggiamento di spire percorse dalla corrente (o ddp) da misurare ruota su una scala graduata (amperometro e galvanometro a equipaggio mobile). In questi dispositivi il momento torcente dovuto al campo magnetico in cui è immersa la spira viene equilibrato da un filo di torsione o da una molla.

- Inoltre questo comportamento è alla base della spiegazione del magnetismo naturale : a tutte le particelle atomiche (e nucleari) viene associato un momento magnetico, come fossero spire percorse da correnti. Più avanti daremo cenni su questo.

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Campo di induzione magnetica generato da corrente Campo di induzione magnetica generato da corrente stazionaria. 1stazionaria. 1

Il campo di induzione magnetica B(r) è generato da correnti: sperimentalmente si nota che due fili percorsi da correnti o due spire rigide percorse da correnti si attraggono o si respingono o ruotano a seconda della loro posizione relativa e che una spira percorsa da corrente si comporta come un magnete, che una carica in moto stazionario (quindi una corrente stazionaria) crea una forza su altre cariche in moto.

L’insieme di di tutte le osservazioni è stata riassunta nella: legge di Biot-Savart per il campo magnetostatico, indotto da correnti stazionarie:Sia C un circuito chiuso in cui circola corrente I stazionaria (la stessa in tutta il circuito) e sia dl un tratto di tale circuito orientato nel verso della corrente, che è individuato dal raggio vettore r’ . Sia r un punto nello spazio e sia ∆ r= r - r’ la distanza di questo punto dal tratto di filo dl.Ogni tratto di filo crea un campo di induzione magnetica dB(r) dato da:

∆rdl

r'r

dB(r)

θθI

rÄsen dl I

4(r)Bd

rÄrÄld I

4(r)Bd 2

o3

or

rr

rrr θ

πµ

=∧π

µ=

Il campo di induzione magnetica B(r) totale si ottiene sommando vettorialmente tutti i contributi da tutti i tratti dl, fino a coprire tutto il circuito C:

rÄ

rÄld I4c

(r)Bd(r)BC

3o ∫∫

∧π

µ== r

rrrr

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Campo di induzione magnetica generato da corrente Campo di induzione magnetica generato da corrente stazionaria. 2stazionaria. 2

Per ogni tratto dl e vettore distanza ∆ r il contributo al campo cambia in direzione e verso e intensità: - in particolare il campo dB(r) è perpendicolare al piano individuato dai due vettori dl e ∆ r , nel verso individuato dalla regola della mano destra (pollice nelle direzione di dl, indice nella direzione di∆ r , il campo individuato dalla direzione del medio, quando le tre dita siano disposte a terna destrorsa). Si nota che il campo è nullo se dl e ∆ r sono tra loro paralleli, per esempio nel caso in figura tutto il tratto AB del circuito dà contributo nullo nel punto individuato dal vettore r , ma nello stesso punto non è nullo il contributo degli altri lati, che non sono paralleli al vettore ∆ r .

∆rdl

r' rdB(r)=0

IA B

dldl

dl

La costante µµ0 0 è chiamata permeabilità magnetica del vuoto e nel S.I. il suo valore è 4ππ⋅⋅10-7 e le sue unità sono NA-2, come si può verificare ricordando che il campo magnetico B è misurato in Tesla e 1 Tesla=N/(Am). Si può notare che servono correnti molto intense per avere campi magnetici dell’ordine di Tesla, dato il valore piccolo della costante permeabilità magnetica. Vale la pena a questa punto notare che il prodotto µµ0 0 εε0 0 =1/c2, con c velocità della luce nel vuoto (3 ⋅⋅10-8 m/s) sia numericamente che dimensionalmente.

Il campo magnetico creato da circuiti più o meno complessi è particolarmente difficile da calcolare, in tutti i punti dello spazio, nel seguito senza dimostrazioni daremo le relazioni per alcuni campi di interesse generale.

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Campo di induzione magnetica di un filo rettilineo “infinito”.Campo di induzione magnetica di un filo rettilineo “infinito”.

I

I

r

B(r)

I

I

r

B(r)

tr 2I(r)B o ˆ

πµ

=r

Si intende con filo infinito un filo molto lungo, rettilineo: il campo B(r)è uguale in modulo a distanza r dal filo (stesso valore per tutti punti

di una circonferenza di raggio r), giace sul piano perpendicolareal filo ( è perpendicolare al piano individuato dalla corrente e dal raggio-distanza dal filo) e una persona che abbia i piedi sul piano e la testa rivolta nelle direzione della corrente vede il verso del campo ruotare in senso antiorario). Le circonferenze sono le linee di forza di questo campo.Il campo si verifica essere dato da ( versore tangente alla circonferenza)

t̂

Il campo diminuisce con l’aumentare dalla distanza dal filo e tende a zero abbastanza rapidamente (“come 1/r”) lontano dal filo.

I uscenterB(r)

I entranterB(r)

† rr

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Nel disegno vi sono due fili percorsi dalle correnti I1 e I2 , nello stesso verso (uscenti da un piano perpendicolare a entrambi). I due fili sono a distanza d . Il filo percorso dalla corrente I2 crea un campo di induzione magnetica di valore B2(d)=(µµ0 I2)/(2ππd) e con l’orientazione segnata in figura su tutti punti del filo percorso dalla corrente I1. Poiché il filo percorso dalla corrente I1 si trova immerso in questo campo magnetico su ogni tratto di lunghezza l del filo, e quindi su esso si esercita una forza (magnetica, come visto precedentemente), orientata come in figura, attrattiva nel caso di correnti concordi, di intensità F12:

Forza tra due lunghi conduttori rettilinei percorsi da corrente.Forza tra due lunghi conduttori rettilinei percorsi da corrente.Definizione dell’unità di misura della corrente (Ampere)Definizione dell’unità di misura della corrente (Ampere)

ld 2IIì

d 2IìlI(d)F 12o2o

112 π≡

π=

Se tra i fili si inserisce un dinamometro, questa forza può essere misurata e sulla base di questa misura si definisce l’unità di misura dell’Ampere: Si ha una corrente di 1 Ampere (supponendo uguali le intensità delle corrente nei due fili (I1= I2=1 Ampere)) se tra i due fili,”infiniti”, posti a distanza d=1m, si misura una forza per unità di lunghezza (l=1m) pari a 2⋅⋅ 10-7 N/m.

Definita operativamente l’unità di misura della corrente, viene definitol’unità di misura della carica elettrica, il Coulomb: 1 Coulomb è la quantità di carica che passa in 1 secondo in un filo percorso da una corrente di 1 Ampere.

B2(d)

I1 I2

dF12(d) Se si considera l’effetto del campo

magnetico creato dal filo percorso dalla corrente I1 si arriva allo stesso risultato (con verso opposto della forza, III principio della dinamica). Se le correnti sono discordi (una entrante e una uscente) la forza tra i fili è repulsiva.

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Campo di induzione magnetica di una spira percorsa da correnteCampo di induzione magnetica di una spira percorsa da corrente..

I R

z

θθ

θθ

dB(z)cosθθ

22 zRÄr +=

dl

Quindi sull’asse della spira (sia nella parte superiore che inferiore) il campo è sempre diretto nella direzione z positiva, il valore del campo può essere scritto in termini del momento magnetico della spira: m=IππR2 n(rivedere nella parte precedente per la direzione della normale n):

dB(z)

k)z(R 4

R)R I(2ð(z)B 3/2220 ˆ

+πµ

=r

Nella figura è rappresentata una spira circolare percorsa da corrente I in senso antiorario e il campo dB(z) che secondo la legge di Biot-Savart è creato nel punto a quota z sull’asse della spira passante per il suo centro dalla corrente elementare Idl,che fluisce nel tratto dl. Considerando i contributi di tutti i tratti, girando sulla circonferenza, tutte le componenti orizzontali si annullano.e il campo magnetico totale è orientato lungo l’asse z, e si ottiene sommando per ogni tratto i contributi dB(z)cosθθ e sommando:

30

3/2220

z 2ðmì

(z)B Rz se )z(R 2ð

mì(z)B

rrrr≅⇒>>

+=

A distanza dalla spira (z>>R) il campo diventa simile a un campo di dipolo (vedere elettrostatica) con momento di dipolo uguale al momento magnetico m: la spira percorsa da corrente si comporta come un dipolo magnetico o ago magnetico quando immerso in un campo magnetico.MA ancheLa spira percorsa da corrente crea anche un campo magnetico come quello che creerebbero due eventuali masse magnetiche, una positiva e una negativa, posizionate sulla faccia superiore e inferiore della spira rispettivamente, o come un ago magnetico disposto lungo l’asse z, con il polo Nord verso la direzione z positiva.

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Campo di induzione magnetica di una spira percorsa da Campo di induzione magnetica di una spira percorsa da corrente 2corrente 2. Cenni sul campo magnetico terrestre. Cenni sul campo magnetico terrestre

Si è calcolato il valore del campo B sull’asse della spira, in altri punti il campo è più complicato da calcolare ma è possibile vedere dalla rappresentazione delle linee di forza (a sinistra) come questo sia simile a quello di dipolo (a destra, in approssimazione di dipolo) visto nel caso elettrico. D’altronde se si prende una sottile ago magnetico, e attorno si pone della limatura di ferro, si ottiene lo stesso andamento di orientazione: la limatura di ferro si dispone secondo linee di forze del tutto equivalenti. In effetti, come si è già detto, questa equivalenza ha fatto capire come il concetto di massa magnetica o carica magnetica fosse superfluo, e come fosse possibile descrivere il campo magnetico attraverso cariche in movimento.

Il campo magnetico terrestre (di origine interna) che si misura sulla superficie terrestre ha essenzialmente (per il 90-95% del campo totale) le stesse caratteristiche di campo dipolare. Il valore è dell’ordine di 10-4- 10-5 Tesla (1-10-1 gauss, il valore massimo (solo verticale) è vicino ai poli e vale in media 6 ⋅⋅10-5 T). L’asse di dipolo non è allineato con l’asse di rotazione terrestre ( vi sono circa 11- 13° di differenza) e in effetti i poli magnetici non sono perfettamente allineati, e questo deriva dalle complessità introdotte dalle componenti non dipolari. Esula da questa corso l’analisi del campo magnetico Terrestre, che è dovuto a complesse interazioni e movimenti all’interno della parte del nucleo (“core”) liquido. Una caratteristica fondamentale del campo magnetico terrestre, ancora da spiegare in modo completo, è la non costanza nel tempo del campo magnetico terrestre e le sue variazioni secolari (inversione delle polarità).

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Campo di induzione magnetica di un solenoideCampo di induzione magnetica di un solenoide

Un solenoide è un avvolgimento a spire molto ravvicinate di un filo conduttore, avvolto su una forma cilindrica, di solito circolare, di solito molto più lungo che largo (lunghezza L>> raggio R del cilindro)in cui scorre la stessa corrente I. Il sistema viene costruito per avere un campo intenso e praticamente uniforme, parallelo all’asse del cilindro, all’interno del solenoide e praticamente nullo all’esterno del solenoide, sfruttando la sovrapposizione dei campi magnetici creati dalle N spire che lo costituiscono molto vicine tra loro. Se N è il numero di spire e L la lunghezza del solenoide, n=N/L è il numero di spire per unità di lunghezza del solenoide e si può verificare che all’interno del solenoide il campo vale:

B = nµµοInella direzione segnata nella figura sotto, se il senso della corrente è quello segnato, al contrario per corrente in senso inverso. In figura sono segnate le linee di forza: All’esterno il campo diventa tanto più debole tanto più il solenoide è lungo: un solenoide chiuso su stesso a “ciambella” (toroide) è un sistema in cui il campo è solo interno al dispositivo.

I

L

I

I

I

Linee di forza all’interno del toroide

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Proprietà del Campo Magnetico B: leggi del flusso; legge di Proprietà del Campo Magnetico B: leggi del flusso; legge di Ampere e sua generalizzazione.Ampere e sua generalizzazione.

Questo flusso attraverso una superficie elementare aperta è al solito positivo se B è uscente dalla superficie negativo se B è entrante, nullo se B è parallelo alla superficie (o B=0), ma la proprietà importante è che nel caso del campo magnetico, qualunque sia la superficie chiusaconsiderata, e qualunque sia la sorgente del campo, e sia che la sorgente sia interna alla superficie o lontana dalla superficie, il flusso totale attraverso una qualsiasi superficie chiusa S del campo di induzione magnetica B è sempre nullo :

dSB,B cos dS(P)B(P)(P)Sd(P)B(P)dS(P)n(P)Bd θ≡⋅=⋅=Φrr)r

n BdS

- Analogamente al caso elettrico anche nel caso del campo di induzione magnetica una delle proprietà che riguarda tutti i campi magnetici, comunque siano creati, da correnti o d aghi magnetizzati, è la legge del flusso: considerata come nel caso del campo elettrico una superficie chiusa, costituita da aree elementari , il flusso elementare del campo magnetico attraverso la superficie dS è definito dalla relazione

(P)ndS(P)Sd )r≡

0(P)Sd(P)BS

B =⋅=Φ ∫rr

Questo significa varie cose: 1) qualunque sia il campo magnetico o qualunque sia il sistema sorgente, le linee di forza del campo magnetico sono sempre linee chiuse, e quindi a differenza del campo elettrico non divergono (o convergono) sulla sorgente, ma la attraversano. Le uniche linee aperte sono quelle che si chiudono idealmente all’infinito (vedi spira e solenoide)

19

Proprietà del Campo Magnetico B: Legge del flusso 2Proprietà del Campo Magnetico B: Legge del flusso 2

2) la possibile non esistenza della carica o polo o massa magnetica isolata: nel caso la legge di flusso sarebbe analoga a quella del campo elettrico;

3) il flusso del campo magnetico attraverso una superficie aperta può essere diverso da zero, e si dimostra che esso è uguale attraverso una qualunque superficie aperta che abbia lo stesso contorno. Se, per esempio, si calcola il flusso del campo magnetico uscente verso l’alto (nella direzione data dalla normale ne) o attraverso la superficie aperta S1 che è delimitata dalla spira circolare in cui scorre la corrente I, o attraverso la calotta (S2) che si appoggia sullo stesso contorno, si ottiene lo stesso risultato.

S1

S2

nu

ne

n

I

Infatti le due superfici costituiscono insieme una superficie chiusa, attraverso la quale il flusso totale è nullo, il che significa che il flusso attraverso S2 è uguale e di segno contrario al flusso uscente attraverso S1 nella direzione data dalla normale nu, che è a sua volta uguale e contrario al flusso attraverso S1 nella direzione data dalla normale ne.

∫∫

∫ ∫

∫∫∫

⋅=⋅

⇓

=⋅=⋅

=⋅+⋅⇔=⋅=∪

21

1 1

2121

SSe

ueS S

ue

SSu

SSB

dS(P)n̂(P)BdS(P)n̂(P)B

n̂n̂- che dato dS(P)n̂(P)BdS(P)n̂(P)B- poichè

0dS(P)n̂(P)BdS(P)n̂(P)B0(P)Sd(P)BÖ

rr

rr

rrrr

Il ragionamento può essere ripetuto per qualsivoglia superficie. Il flusso attraverso la superficie aperta delimitata dal circuito viene chiamato flusso concatenato al circuito. Vedremo tra breve che succede se questo flusso cambia nel tempo.

20

Proprietà del Campo Magnetico B: legge di Ampere.Proprietà del Campo Magnetico B: legge di Ampere.

La legge di Ampere riguarda la proprietà della circuitazione o integrale di linea del campo magnetico B lunga una curva chiusa nello spazio. Si è visto che nel caso del campo elettrostatico E questo integrale o lavoro per unità di carica era sempre nullo, ovvero il campo elettrostatico è conservativo e si può associare ad esso un potenziale scalare V.Il campo di induzione magnetico B non è conservativo. Si dimostra che presa una qualsiasi curva chiusa, che racchiude al suo interno una superficie (che può essere piana o curva), la somma (integrale di linea) dei prodotti scalari B⋅⋅dl (con dl tratto elementare della curva considerata) è diverso da zero, se attraverso la superficie racchiusa dalla curva passano fili percorsi da corrente o, come si dice, la curva concatena correnti .

+ I1

C2

I2

+

C1

La curva C1 concatena 2 correnti (una uscente I1 e una entrante I2) mentre la curva C2 non concatena nessuna. I circuiti generano una campo B sia dove c’è C1 che dove c’è C2Si può dimostrare che se le correnti sono continue, indipendenti dal tempo valgono le relazioni:

( )

0ld(P)B

IIld(P)B 210

=⋅

−µ=⋅

∫

∫

2

1

C

Crr

rrLegge di Ampere per la circuitazione di un campo magnetico creato da correnti non variabili nel tempo:

Se la curva considerata non concatena correnti la circuitazione di B è nulla, se la curva concatena correnti la circuitazione è la somma algebrica delle correnti. Il segno positivo o negativo delle correnti viene determinato con la cosiddetta regola della mano destra:

21

Proprietà Del Campo Magnetico B: Legge Di AmpereProprietà Del Campo Magnetico B: Legge Di Ampere-- 22

Regola Della Mano Destra Per La Legge Di Ampere: Piegando le dita della mano destra nel senso di percorrenza della curva considerata, il pollice disteso fornisce il senso di percorrenza della corrente che dà un contributo positivo alla somma. Nel caso della curva C1, si verifica che I1 dà un contributo positivo, mentre I2, essendo nella direzione contraria alla direzione indicata dal pollice, dà un contributo negativo.

Nota : (La dimostrazione della legge di Ampere, che è verificata per tutti i campi magnetostatici, qualunque siano le sorgenti, ( per es. campo creato da un filo infinito) non è difficile da fare in casi semplici ( per es. per il campo creato da un filo infinito) e si invitano gli studenti a leggere nei testi sia le dimostrazioni che le possibili applicazioni, anche se non fanno parte del programma di esame).

22

-La legge di Ampere è valida nella formulazione data precedentemente anche se il campo magnetico B è generato da correnti variabili nel tempo che siano “quasi stazionarie” .-Le correnti quasi stazionarie sono correnti variabili nel tempo, e sono presenti anche nei sistemi alimentati da fem come la pila, con ddp costante nel tempo, durante i transienti, (accendere la luce, accendere un dispositivo elettrico, collegare un filo conduttore a una pila o fem), quando la corrente passa dal valore nullo al suo valore di regime, ma correnti variabili nel tempo si hanno quando il sistema è alimentato da una fem alternata come normalmente nei circuiti elettrici (nel prossimo capitolo vedremo come). -In questi casi la corrente è una funzione del tempo I(t), e si dice sia “quasi stazionaria” se si può presumere che, ad ogni istante di tempo dato, essa sia la stessa in tutto il circuito considerato. Questo è vero in circuiti di dimensioni ordinari, dimensioni minori della distanza che per es. la luce percorre in 1 secondo: 300.000 km). -E’ ancora possibile esprimere il campo magnetico creato da queste attraverso le relazioni di Biot-Savart, anche se I varia nel tempo e quindi anche B varia nel tempo. S-Sia legge del flusso attraverso una superficie chiusa che la legge di Ampere valgono nella formulazione data correnti quasi stazionarie.

- Ma se per esempio nel circuito considerato, in accensione (transiente), vi sono elementi come un condensatore in carica, che accumula carica nel tempo, ma in cui anche se vi è un isolante, non vi è materialmente una vera corrente di conduzione, in questa zona c’è il campo B ma una zona dello spazio in cui la legge di Ampere non è applicabile.

Generalizzazione della legge di Ampere : corrente di Generalizzazione della legge di Ampere : corrente di spostamento e legge generale della circuitazione per il campo spostamento e legge generale della circuitazione per il campo di induzione magnetica B (legge di Amperedi induzione magnetica B (legge di Ampere--Maxwell) Maxwell)

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Infatti darebbe un valore dove c’e’ il filo conduttore e una valore diverso dove c’è il condensatore, anche se calcolati attraverso la stessa linea.

-L’intuizione di Maxwell fu appunto di associare una corrente “fittizia” chiamata corrente di spostamento anche a casi in cui pur non essendovi materialmente spostamento di cariche, vi sia un campo elettrico variabile nel tempo, come nel caso di un condensatore in carica: la carica sulle armature aumenta dal valore nullo al valore Q finale quando le armature hanno raggiunto il potenziale della batteria a cui sono attaccati.E si ha quindi, per tutto il tempo della carica,un campo elettrico E(t) variabile nel tempo,

+

I(t)

Q(t) C

- L’idea è questa: se si ha un campo elettrico E(t) variabile nel tempo, dalla legge di Gauss per il campo elettrico( o I eq. di Maxwell) applicata a una superficie chiusa che racchiuda l’armatura in cui vi siano le cariche in accumulo si ricava che la derivata rispetto al tempo del flusso del campo elettrico moltiplicato per ε0 ha le dimensioni di una corrente: la corrente di spostamento Is.

s(E(t))

0(E(t))0 Idt

dQ(t)dt

d Q(t) ≡=

Φε⇒=Φε

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- Se si considera una zona dello spazio dove ci siano correnti materiali nei fili di conduzione, sia (/o solo) zone dove vi è un campo elettrico variabile, si ha in quella zone un campo di induzione magnetica B, il cui flusso attraverso una superficie chiusa è nullo, e la cui circuitazione attraverso una curva chiusa è dato da:

+I(t)

Q(t) C

dove Ic indicano le correnti di conduzione(legge di Ampere generalizzata)

Si è verificato sperimentalmente (che in effetti l’intuizione diMaxwell poteva essere estesa anche a casi in cui non vi siano correnti materiali o condensatori in carica o altro. Basta un campo elettrico variabile nel tempo (per esempio creato da una carica in moto per esempio armonico, o un dipolo oscillante o una carica in moto vario non necessariamente in un filo conduttore) per avere un campo magnetico con la proprietà espressa dalla legge di Maxwell-Ampere o III eq di Maxwell.

La legge del flusso vale per tutti i casi

0(P)Sd(P)BÖS

B =⋅= ∫rr

dtdIld(P)B E

00algebrica

c0C

Φεµ+µ=⋅ ∑∫

rrIII eq. di Maxwell

II eq. di Maxwell

- Per completare il quadro, manca la IV eq. di Maxwell, che come vedremo è la simmetrica della III: dove vi è un campo Magnetico varibile, vi è anche un campo elettrico variabile, che soddisfa la I eq. di Maxwell ( o legge di Gauss) e che non è più conservativo, vi è un ampo magnetico. La relazione trai due è nelle pagine che seguono.

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Induzione elettromagnetica: fatti sperimentaliInduzione elettromagnetica: fatti sperimentali

-Vi sono vari fatti sperimentali che hanno mostrato che, quando si ha un campo magnetico variabile nel tempo, in un circuito conduttore che si trova nella zona dove il campo magnetico agisce, ( e/o anche nello stesso conduttore che crea il campo magnetico variabil), si ha e si misura una corrente che prima non c’era, chiamata corrente indotta:

Si ha quindi un movimento di carica, che ha tutte le caratteristiche di quello che si ha quando una fem viene applicata a un filo conduttore.

In ultima analisi, nel conduttore immerso in campo magnetico variabile si “crea” un campo elettrico indotto (simile a quello creato da una femreale).

I fatti sperimentali sono: 1) in un filo conduttore (circuito esploratore) non alimentato da alcuna

batteria e chiuso su un amperometro a scala centrale (galvanometro), se si muove vicino ad esso, avvicinando o allontanandolo, un magnete e/o un altro circuito percorso da corrente stazionaria, si misura una corrente variabile, corrente che scompare quando il moto cessa.

2) La corrente inoltre ha versi opposti se il moto è d’avvicinamento o di allontanamento.

3) Si ha lo stesso fenomeno, se invece di muovere il magnete o la spira percorsa da corrente, si muove il circuito esploratore.

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4) Analogo al fenomeno descritto prima è il fenomeno che si registra durante l’accensione di un circuito, la carica o scarica di un condensatore, o durante lo spegnimento dello stesso circuito elettrico. In questi casi la corrente che circola cambia dal valore nullo al valore di regime o dal valore di regime al valore nullo: durante il tempo in cui nel circuito scorre corrente variabile, si misura un campo magnetico variabile, tanto più grande quanto piùgrande è l’area del circuito e la rapidità di variazione. Inoltre, nel circuito fluisce una ulteriore corrente (corrente indotta) che tende a diminuire la corrente variabile prodotta in accensione e ad aumentarla in spegnimento.

I i n d o t t a

I ( t ) d i m i n u z i o n e , d I / d t < 0

5 ) L a s t e s s a c o s a s u c c e d e s e l a s p i r a n o n è p e r c o r s a d a c o r r e n t e , m a

è s o t t o p o s t a a u n c a m p o v a r i a b i l e n e l t e m p o . S e B c r e s c e s i m i s u r a

s u l l a s p i r a u n c o r r e n t e i n d o t t a c h e c r e a r e u n C a m p o I n d o t t o , c h e s i

o p p o n e a l c a m p o v a r i a b i l e s o r g e n t e .

I i n d o t t a

I i n d o t t a

B ( t )

B ( t )

B ( t + d t ) < B ( t )B ( t + d t ) > B ( t )

I ( t ) i n a u m e n t o , d I / d t < 0

I i n d o t t a

I n q u e s t i c a s i s i h a u n c a m p o m a g n e t i c o v a r i a b i l e n e l t e m p o . L a v a r i a z i o n e è d o v u t o a l m o v i m e n t o r e l a t i v o s p i r a - s o r g e n t e d e l c a m p o , c h e v a r i a l a d i s t a n z a t r a s p i r a e s o r g e n t e e l a c o r r e n t e i n d o t t a a p p a r e d i p e n d e r e d a l l a v a r i a b i l i t à n e l t e m p o d e l c a m p o m a g n e t i c o .

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2 ) A n a l o g a m e n t e s e u n c i r c u i t o v i e n e f a t t o r u o t a r e o o s c i l l a r e ( o

e n t r a e e s c e ) d a u n a z o n a d o v e v i è u n c a m p o m a g n e t i c o , a n c h e

c o s t a n t e , l a s u p e r f i c i e c o n c a t e n a t a c o n i l c i r c u i t o c a m b i a i n f o r m a o

d i r e z i o n e r i s p e t t o a l l a d i r e z i o n e d e l c a m p o m a g n e t i c o e v a r i a i l f l u s s o

d e l c a m p o m a g n e t i c o c o n c a t e n a t o c o n i l c i r c u i t o .

A n c o r a n e l c i r c u i t o s i i n d u c e u n a c o r r e n t e v a r i a b i l e n e l t e m p o e i n

d i r e z i o n e , s e è c h i u s o , s e è a p e r t o c o m e n e l l e f i g u r e s o t t o , a i c a p i d e l

c i r c u i t o a p e r t o s i i n s t a u r a u n a d p p v a r i a b i l e n e l t e m p o , c h e s i

t r a s f o r m a i n c o r r e n t e n e l c i r c u i t o e s t e r n o ( c o n l a l a m p a d i n a ) .

1 ) S e u n a s p i r a n o n a l i m e n t a t a è i m m e r s a i n c a m p o m a g n e t i c o c o s t a n t e

e s i c a m b i a l a f o r m a d e l c i r c u i t o , v a r i a n d o n e l ’ a r e a c o n c a t e n a t a , n e l

s i s t e m a s i h a u n a c o r r e n t e i n d o t t a . S e n e l c i r c u i t o c i r c o l a v a c o r r e n t e

d u r a n t e l a v a r i a z i o n e d i f o r m a , a n c o r a s i h a c o r r e n t e i n d o t t a c h e s i

s o m m a a l g e b r i c a m e n t e a l l a c o r r e n t e c h e c i r c o l a .

I indotta I indotta

BB

La corrente indotta compare anche se il campo magnetico in cui è immersa la spira è costante e se la spira cambia forma e aumenta o diminuisce l’area investita dal campo magnetico.

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4) Per finire, se si considera il movimento di un conduttore, non chiuso a circuito, come una barretta di metallo che si muove in un campo magnetico in modo da “tagliare” le linee di forza del campo magnetico in cui è immerso, ai suoi capi si misura una ddpindotta, che scompare quando la barretta si ferma.

3) La stessa cosa succede se si cambia la forma di un circuito aumentando l’area, come nella figura sotto. Una sbarra strisciante viene fatta muovere applicando una forza Fapp che fa muovere la sbarra con velocità v. Il circuito è immerso in un campo magnetico entrante nel foglio e in esso non circola corrente(non c’è nessun generatore di corrente). Si misura una corrente indotta durante il movimento (segnata in figura con lalettera I). Fm la forza magnetica che compare a causa dell’interazione della corrente indotta con il campo magnetico e si oppone alla forza applicata.

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-

Ovvero: -se B cambia nel tempo, cambia il flusso attraverso una superficie fissa -( come nei primi casi descritti precedentemente), -se B è costante nel tempo e cambia la superficie, in ogni caso cambia nel il flusso del campo magnetico attraverso la superficie aperta concatenata, Ma anche se sia il campo magnetico che la forma del circuito cambiano cambia il flusso. Tutti i fatti sperimentali sono contemplati. In ogni caso si ha la comparsa di una forza elettromotrice indotta, che in circuito chiuso si traduce in una corrente indotta Ii=fi/R, con R resistenza del circuito. Questa corrente indotta si sovrappone a quella già presente o compare come nuova corrente).

- Il segno negativo che compare nella legge indica che la corrente o la fem indotte sono tali da opporsi alla variazione del flusso. Se circola corrente questa circola in maniera da creare un campo B indotto che sovrapponendosi a quello agente tende a riportare il flusso al valore originario (per esempio tende ad annullarlo, se era nullo all’inizio).

L’insieme di queste osservazioni viene riassunta nella legge conosciuta come legge di induzione elettromagnetica di Faraday-Neumann-Lenz: “Quando per qualunque causa, il flusso del campo magnetico concatenato con un circuito varia nel tempo, in esso si induce una forza elettromotrice indotta (fi) che è uguale e di segno contrario alla variazione del flusso:

⋅−=

Φ−= ∫

s

Bi SdB

dtd

dtdf

rr

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NOTA : Il flusso del campo magnetico si misura nel SI in Tm2, unità che è chiamata Weber (Wb). Anche l’unità di misura del campo magnetico è spesso data in Weber/m2.

Dalla legge di induzione si ottiene la relazione tra Volt e Weber: 1 Volt= 1 Weber/s.

La scoperta dei fenomeni che sono stati illustrati, e che ricadono sotto il nome di fenomeni per cui vale la legge di Faraday, oltre a permettere come vedremo di derivare la connessione tra campo elettrico e campo magnetico e definire le equazioni del campo elettromagnetico, hanno avuto e hanno un importanza fondamentale tecnologica: l’energia meccanica si può trasformare in energia elettrica e viceversa (alternatori, trasformatori, dinamo) per esempio (vedere esempi nei libri).

-Inoltra determina il comportamento dei circuiti elettrici in cui la f.e.m. o d.d.p. ai capi delle resistenza (o dei condensatori, o dei vari componenti elettronici di cui non si è parlato in questo corso come diodi, triodi, transistor, sistemi non ohmici) sia variabile nel tempo (per esempio la ddp di rete fornita alle nostre case:forza elettromotrice variabile sinusoidalmente nel tempo con frequenza pari 50 Hz).

-Una caratteristica dei circuiti alimentati con fem variabile nel tempo o corrente variabile nel tempo è l’autoinduttanza di un circuito:

Si definisce AUTOINDUTTANZA (o induttanza) di un circuito percorso dalla corrente I(t) la quantità

I(t)L B(t)Φ

= Unità di misura H (Henry) =Wb/A

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Autoinduttanza di un solenoide e energia del canpo magnetico.

Se si considera un lungo solenoide (lunghezza Ls) con N spire e in cui circola una corrente I e di sezione S , si verifica facilmente che l’induttanza associata al solo solenoide è L= µµ00 (N/ Ls)2SlLs(solo grandezze geometriche). Se nel solenoide circola la corrente I(t) (in aumento per esempio, quando si chiude un circuito), si ha una potenza P(t) sviluppata dalla fem indotta pari (in valore assoluto, il segno indica solo il verso di percorrenza della corrente indotta) a

fi I(t) = (L dI/dt) I(t) [W]Se la corrente aumenta, l’energia nel circuito aumenta, per ogniintervallo di tempo dt, di dU, pari a

dU = P(t)dt= L I dI [J]La variazione termina quando la corrente arriva a regime. Nel tempo totale in cui si ha l’aumento si trova che l’energia immagazzinata è

U=(1/2)LI2 [J]ovvero, sostituendo a L il valore dell’induttanza di un solenoide L= µµ00

(N/ Ls)2S Ls e considerando che nel solenoide B= µµ00 (N/ Ls) IU=(1/2) µµ00 B2S Ls [J]

dove S Ls = V =volume del solenoide considerato: questo significa che all’interno del solenoide è immagazzinata una energia del campomagnetico uB per unità di volume pari a:

uB=(1/2 µµ00) B2 [J/m3]Questa espressione è l’energia per unità di volume associata a qualunque campo magnetico.Estrapolandolo questo risultato, si verifica che in una zona dello spazio dove vi sia un campo elettromagnetico ( sia elettrico chemagnetico) l’energia per unità di volume associata è (vedere anche energia in un condensatore piano)

uelettromagnetica=(1/2) εε0 0 E2 + (1/2 µµ00) B2 [J/m3].

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Poiché una f.e.m è associata al lavoro (per unità di carica) per spostare una carica lungo un circuito chiuso (ovvero per produrre una corrente) o, equivalentemente, alla differenza di potenziale che questa f.e.m. mantiene in un circuito aperto, e quindi al lavoro di una forza elettrica (non coulombiana, e non conservativa), per unità di carica, si può associare la f.e.m indotta dalle variazioni di flusso del campo magnetico al lavoro fatto lungo un circuito chiuso da un campo elettrico indotto E (o forza elettrica indotta per unità di carica)

∫ ≠⋅= 0ld(t)Efi

rr

Questo campo elettrico indotto Ei è non conservativo, è presente materialmente nei circuiti in cui si ha variazioni di flusso, ma è presente anche in una zona dello spazio dove non via sia nulla di materiale per metterlo in evidenza e a misurarlo, se nella stessa zona vi è un campo magnetico variabile nel tempo. Se in quella zona si mettesse una carica esploratrice q che si muove con velocità v, essa sarebbe sottoposta alla forza (di Lorentz):

(t)Bvq(t)EqFrrrr

∧+=

In definitiva questo insieme di esperienze mostra che ad un campo magnetico variabile (o alla variazione di flusso del campo magnetico) si associa un campo elettrico variabile (così come la legge di Ampere generalizzata metteva in relazione un campo elettrico variabile a un campo magnetico)

⋅−=⋅ ∫∫

sCSdB

dtdldE

rrrr IV eq. di Maxwell

IV equazione di Maxwell: IV equazione di Maxwell: Relazione tra Campo Elettrico e Campo magnetico. Relazione tra Campo Elettrico e Campo magnetico.

dtdIld(P)B E

00algebrica

c0C

Φεµ+µ=⋅ ∑∫

rr

III eq. di Maxwell