cap7A 1

Elettricità, cariche elettriche, corrente, magnetismo

La carica elettrica, è insieme alla massa, una proprietà della materia: le parole elettricità, elettrone derivano dal nome greco “elektron”, ambra, una resina che, strofinata, aveva la proprietà di attrarre pezzetti di carta, o altri oggetti leggeri o di respingere altri pezzetti d’ambra strofinati.

La stessa fenomenologia (attrazione e repulsione a distanza) si presenta con la magnetite, un ossido di ferro così chiamato per i grossi giacimenti vicino alla città di Magnesia.Che il fenomeno magnetico non richiedesse l’esistenza di una altra proprietà della materia, diversa dalla carica elettrica, e che effetti magnetici fossero dovuti a cariche elettriche in movimento, è stato stabilito solo dai primi anni del 1800, e da allora si parla di fenomeni elettromagnetici.

Due tipi di cariche libere e isolabili sono state identificate, chiamate positiva e negativa e l’unità della carica negativa è l’elettrone, mentre l’unità di carica positiva è il protone, costituenti fondamentali della materia, insieme al neutrone (particella senza carica elettrica).

L’unità di carica elementare è una delle costanti fondamentali della natura e vale e=1.60 · 10-19 C, dove C sta per Coulomb, quantità di carica che passa per un punto di un circuito elettrico in un secondo quando la corrente elettrica è di un Ampere (A), cioè 1 C=1 A·s.

cap7A 2

Quando la carica è in movimento, si parla di corrente elettrica e l’unità di corrente elettrica, Ampere, viene definita attraverso le forze che si esercitano tra correnti e materiali magnetici.In particolare . quando due lunghi fili diritti , paralleli sono percorsi dalla corrente nello stesso verso si attraggono (si respingono se la corrente è in sensi inversi) e la forza di attrazione e repulsione è dovuta ai campi magnetici che essi creano. Se i fili sono a distanza di 1m, nel vuoto, l’ Ampere è definita come la corrente che produce una forza per unità di lunghezza dei fili pari a 2π ·10-7 N m-1.

La carica è quantizzata: in un qualunque esperimento si misuri la carica essa può essere espressa come il prodotto di un numero intero (positivo o negativo) n per la carica elementare e

q=ne, n= ±1, ±2, ±3 ……

Nei fenomeni a grande scala questa proprietà non è percepibile, come non è percepibile la presenza di atomi e molecole in ogni struttura e la carica appare essere variabile continua (che può avere tutti i valori).Tutta la materia (organica e inorganica) appare essere costituita da atomi, costituiti da un nucleo centrale positivo e da elettroni, arrangiati in strutture (di atomi o molecole) più o meno ordinate. La struttura di tali arrangiamenti determina le proprietà elettriche dei materiali:• conduttori sono quei materiali in cui la carica (negativa generalmente) può muoversi abbastanza liberamente (metalli, acqua salata, ecc.), • isolanti ( o dielettrici) sono quei materiali in cui la carica può essere mobilizzata in modo più limitato, può rimanere concentrata se mobilizzata e ritornare lentamente allo stato neutro quando la causa della mobilizzazione è rimossa (vetro, plastica, resine, alcuni oli…).Il corpo umano è un conduttore, le rocce che costituiscono la terra possono essere sia isolanti che conduttori. La presenza di fluidi aumenta le proprietà conduttive.

cap7A 3

Legge di Coulomb (1736-1806)

E’ stato verificato sperimentalmente che la legge di forza tra 2 cariche elettriche q1 e q2 puntiformi (dimensioni degli oggetti carichi piccole rispetto alla distanza tra gli oggetti stessi), ferme, nel vuoto, è data da:

21221

1221

2112212

2112

rq

4q)(

)(rq

4q)(

rrF

rFrrF

)

)

0

0

πε=

−=πε

=

+

-r12= r1- r2

F12

F21

q2

q1

+ ++q2+q1

+q2-q1

- +

--q2-q1

-

da notare: la legge di forza è simile a quella gravitazionale. dipendenza: dal prodotto delle cariche(invece che dalle masse) e dall’inverso del quadrato della distanza relativa ( r12 in figura) tra le cariche,la forza elettrica è attrattiva tra cariche di segno diverso, e repulsiva tra cariche dello stesso segno. La forza gravitazionale è solo attrattiva

2 cariche positive :repulsione

2 cariche negative :repulsione

2 cariche di diverso segno: attrazione

)( )( 2112 rFrF

)( )( 2112 rFrF

cap7A 4

k4

10

=πε

La costante di forza k vale 8.99 ·109 Nm2C-2 [ML4A-2] la costante εεεε0 è chiamata costante dielettrica del vuoto.Il nome risale al periodo in cui si pensava che il vuoto (o etere) fosse una sostanza senza massa, sede di onde elettromagnetiche

εε0= 8.85 ·10-12 N-1 m -2C2 [M-1 L-4A2].Dato il valore della costante di forza, la forza di Coulomb (elettrostatica) predomina tra i costituenti della materia (elettroni, protoni) rispetto alla forza gravitazionale tra loro.

Principio di sovrapposizione: se si hanno n particelle cariche, esse interagiscono indipendentemente, a coppie, e la forza su una qualsiasi di essa (q1 nella figura sotto) è la somma vettoriale delle forze che le

altre (q2, q3, e –q4 in figura) esercitano su questa: F1= F12 + F13 + F14 + F15 +………+F1n

Le cariche q2, q3, e –q4 esercitano la forza su q1, e creano il campo elettrostatico (vedi dopo) in cui è immersa q1 , che risente delle singole forze, che sommate insieme, in qualunque ordine, danno la forza totale elettrostatica su q1. Disegnare la forza su q2 esercitata dalle alle altre cariche nel disegno sotto

+++++= 1n2

1n

n152

15

5142

14

4132

13

3122

12

2111 r

rkq........r

rkqr

rkq

rrkqr

rkqq)( )))))rF

+

F13

F1q2

+q1

+q3 -

+

r1

F12

F14

-q4

cap7A 5

Campo elettrico generato dalla carica q: La forza per unità di carica “di prova” q0 (positiva, per convenzione) che si misura su q0 che è posta a distanza r dalla carica q

Se la carica q è puntiforme, ferma e nell’origine del sistema diriferimento :

)(NC q

)( 1

0

qqq

o −=F

rE

rrkq)( 2

)=rE

+q1

r

rrkq)( 2

11q

)=rE

--Q r

rrkQ)( 2

)−=rE

Non c’è bisogno di avere la carica di “di prova” q0 per avere il campo elettrico, basta che ci siano le cariche che lo generano: sopra è visualizzato il vettore campo elettrico generato a distanza r rispettivamente da una carica positiva (sinistra) e da una carica negativa (destra) . Il primo è repulsivo, il secondo è attrattivo. Se in r si mette la carica di prova si misura la forza.

Per il campo elettrico anche vale il principio di sovrapposizione: sotto è mostrato il campo elettrico totale creato dalle due cariche di prima, che agiscono insieme

+q1

r

rrkq)( 2

11q

)=rE

--QrQ

Q2Q

rrkQ)( )

−=rEQ

Q2Q

21 r

rkQ-r

rkq)( ))

=rEtot

cap7A 6

Riassumendo Data una carica (o più cariche), queste creano nello spazio circostante se ferme, un campo elettrostatico, che viene misurato da opportuni sistemi di misura (uno è la carica di prova unitaria). Il campo elettrico è una funzione vettoriale, definita da direzione verso e intensità e le tre quantità possono variare da punto a punto. Il campo creato in un punto a distanza r dall’origine del sistema di riferimento da una carica q ferma che si trova in punto a distanza r’ si ottiene considerando la forza di Coulomb che si eserciterebbe in r se vi fosse posta la carica di prova unitaria dall’origine del sistema di riferimento (nel disegno il campo è generato da una carica negativa)

( ) ( ) ( )2222

0

z'zy'yx'xr'r r'r'rr

r'rq

41(r)E −+−+−=−

−−

−πε=

rrr

r’

r -r’

r

Eq(r)

-q

Notare che il campo è diretto nel “verso” del versore (r-r’)/lr-r’l se la carica q > 0 (positiva q=lql), nel verso contrario se la carica q < 0 (negativa, in questo caso q=-lql).

Per rappresentare la direzione e il verso e anche l’intensità del campo elettrico si usano le linee di forza, linee orientate tangenti in ogni punto al vettore campo elettrico, orientate nella direzione del campo. Poiché in ogni punto vi è una linea, se ne rappresentano solo alcune.

Il numero delle linee forza sono tracciate in modo che il loro numero attraverso una superficie unitaria normale ad esse sia proporzionale all’intensità del campo.

Nota bene: e’ impossibile disegnare le linee di forze se non si conosce in maniera quantitativa (analitica, per misure successive, il valore, il verso e la direzione del campo in un numero di punti sufficienti ad estrapolare un andamento.

cap7A 7

In figura sono mostrati le direzioni e i versi del campo elettrostatico creato dalla carica q (sopra) e dalla carica – q (negativa) in due punti diversi dello spazio a diverse distanze dalla carica. Il campo viene chiamato elettrostatico perché la carica q è ferma.

Campo elettrostatico di cariche puntiformi

+q

r’r1

Eq(r1)qo

Eq(r2)

r2

r2-r’

r1 - r’

-q=1 C

r’

r1 -r’

r1

Eq(r1)qo

Eq(r2)

r2

r2-r’ -

Scrivere le formule corrispondenti per i campi disegnati in figura sopra e calcolare il campo elettrico nell’origine del sistema di riferimento(in modulo direzione e verso) se la carica –q si trova a 2.4 m dall’origine (figura sotto) sull’asse x. Rifare il calcolo per una carica positiva di 2 C.

-

cap7A 8

Sezione nel piano zy: Le linee di forza non cambiano se la carica si trova in punto diverso dall’origine, si traslano

Eq(r)

- y

z Sezione nel piano zy: linee di forza di una carica puntiforme negativa posta nell’origine. Sono rette convergenti verso la carica, il campo elettrico aumenta più ci si avvicina alla carica, e le linee di forza si infittiscono, diminuisce più ci allontana dalla carica e le linee di forza si diradano. Nel caso di carica negativa il campo è entrante

Sono disegnate le circonferenze che segnano il luogo dei punti di uguale valore del campo. Nello spazio queste diventano sfere:.

Eq(r)

-y

z

d

cap7A 9

Sezione nel piano zy: linee di forza di una caricapositiva posta nell’origine.

Eq(r)

+ y

z

Superfici unitarie uguali: più sono lontane dalla carica, meno sono le linee di forza che le attraversano: il campo è più debole

Linee di forza del campo generato da due cariche positive. Il campo è essenzialmente repulsivo, dove non vi sono linee (essenzialmente) è perché il campo è pressoché nullo. Il campo è identicamente nullo nell’origine del sistema di riferimento (VERIFICARLO) e all’infinto.

il principio di sovrapposizione: il campo totale è la somma dei campi singoli.

cap7A 10

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )kzQ

zQ

41

kzQk

zQ

41

(0)E(0)E(0)E

2'2

22'

1

1

0

2'2

22'

1

1

0

21

)

))

rrr

+−

πε=

=

+−

πε=

=+=

Se Q1=Q2 e z’1=z’2 si ha E(0)=0

Esercizio. Calcolare ( in verso direzione e modulo) il campo elettrico dovute alle due cariche positive

Q1 e Q2 poste sull’asse z a distanze z’1 e z’2 dall’origine (Dati Q1= Q2 =10-9C , z’1 = z’2 = 20 cm )

a) nell’origine (vedi sotto)b) nel punto P1 posto sull’asse z positivo a zP1 =30 cm,

in P2 posto sull’asse z negativo a zP2 =-30 cm,in P3 posto sull’asse y negativo a yP3 =-20 cm,

+Q1

+Q2

E1(O)

E2(O)z’1

z’2

P1

zP2

O

z

y

cap7A 11

Dipolo elettrico

L’insieme di due cariche di uguale valore, ma di segno contrario, “tenute” a una distanza “d” tra loro, viene chiamata dipolo elettrico.

q1

-q1

+

-

d

Momento di dipolo: vettore, prodotto della carica positiva, per il vettore distanza orientata dal baricentro della carica negativa al baricentro della positiva:

p = qd Unità di misura (Cm)

O--

H+ H+

H2O

p

Confronto tra linee di forza di campo elettrostatico dovuto a un dipolo (sinistra) e quelle dovute a due cariche positive (destra). Come sarebbero le linee di forza se le cariche fossero uguali, ma entrambe negative?

cap7A 12

Le linee tratteggiate sono le linee di forza di un dipolo: uscenti dalla carica positiva, entranti nella carica negativa, le linee continue linee di ugual potenziale (vedi dopo)

( )( )k-

d/2Q

21

(0)E(0)E(0)E

20

-)

rrr

πε=

=+= +Il campo nell’origine è diverso da zero e vale:

E tot (P)

E + E -

z

-

+ Q

-Q

d/2

xE tot(o)

P

Calcolare il campo elettrico nel punto P disegnato in figura e in due punti sull’ase sull’asse z, uno punto sopra la carica positive e uno sotto la carica negativa, simmetrico rispetto al primo.

cap7A 13

Altri esempi di linee di forza di campi ottenuti applicandoil principio di sovrapposizione.

E=0

Quadrupolo: 2 cariche positive e 2 cariche negative.

Ogni momento di dipolo ha intensità p=2q(d/2).Il momento di dipolo totale è nullo.

d/2

Le linee piene sono le linee di forza del campo totale diuna carica positiva q e una carica negativa-q/2

cap7A 14-

FACOLTATIVO: Campo elettrico di dipolo a grande distanza dal FACOLTATIVO: Campo elettrico di dipolo a grande distanza dal dipolo.dipolo. Approssimazione di dipolo.Approssimazione di dipolo. Calcolo sull’asse z, con z>>d Calcolo sull’asse z, con z>>d

z>>d

( ) ( )

( ) ( )

( )

−πε=

=

+−

−πε=

=

+−

−πε=

22230

22220

220

tot

/4zd11

z2qd

41

d/2z1z1

d/2z1z1

4q

d/2zq

d/2zq

41(z)E

Etot(z)=E+(z)+ E-(z)

-q+q

p=qdk

E+(z)

E-(z)Etot(z)

z

d

Poiché (sviluppo del binomio)

( ) 1zd se 1...

4zd21

/4zd11

2

2

222<<≈++≈

−

30

30

tot zp

21

z2qd

41(z)E

πε=

πε≅

La carica totale del dipolo è nulla, ma il momento di dipolo è diverso da zero e il campo elettrico a grande distanza dal dipolo non è nullo. In particolare vedremo che l’effetto cooperativo di molti dipoli orientati nella stessa direzione crea un campo elettrico intenso e misurabile.

+

Ptot

cap7A 15

z

E

+

z

Confronto tra campo di dipolo e campo di una carica (puntiforme) a quota zi due campi possono essere molto diversi. Il dipolo è allineato con l’asse z (carica negativa sotto e carica positiva sopra, momento di dipolo nel verso positivo dell’asse). Sull’asse verticale i campi sono entrambi verso l’alto e possono anche avere lo stesso valore con una scelta opportuna del momento di dipolo, ma se ci s posta sul piano verso destra, cambia di molto non solo il valore, ma soprattutto la direzione e il verso del campo

cap7A 16

Confronto tra campo di dipolo e campo di una carica (puntiforme) 3

Etot(z)

z

Se il dipolo è disposto perpendicolarmente all’asse z, il campo a quota z è orizzontale. Per una carica puntiforme è verticale.

E-

-q +q p=qdi

xE+

Poiché lE+ l = lE-l, le componenti verticali si annullano a vicenda, le componenti orizzontali si sommano: il campo totale è nella direzione orizzontale.

x

z

+

z

Etot(z)

cap7A 17

Il principio di sovrapposizione per cui il campo totale è la somma dei campi singoli” ,permette di calcolare il campo elettrostatico di distribuzioni continue di cariche.

Campi elettrici di distribuzioni continue di caricheCampi elettrici di distribuzioni continue di cariche

Rdq

z Supponiamo di avere un anello sottile di raggio R e carico positivamente in modo uniforme con carica totale Q. La lunghezza della circonferenza è L =2 π R e supponiamo lo spessore e la larghezza piccoli rispetto alla lunghezza l.La densità lineare di carica (carica per unità di lunghezza dell’anello) è

(C/m) R 2 ð

Qdldq

≡=λλ

L’anello può essere pensato diviso in “infinite” cariche “elementari” dq=λ λ dl, ognuna di queste cariche “elementari” crea un campo e il campo totale è la somma vettoriale di questi campi “singoli”.

Per esempio, per calcolare il campo nel punto P a quota z (asse z passante per il centro della circonferenza e normale al piano contenente l’anello) si può notare che il campo totale si può ottenere sommando le sole componenti verticali di ogni campo singolo perché le l componenti orizzontale si annullano: qua sotto c’e’ il calcolo per il valore del campo creato da due cariche “elementari” 1 e 2 simmetriche e il valore totatle del campo creato dalle due. (il simbolo dE significa il campo “singolo, elementare, creato dalla carica dq; dE12 significa il campo risultante somma dei due campi 1 e2):

dl = R dθθ

++ θθ

kdz

ddq

42

k cos ödE2Ed

dEddq

41dE

20

112

220

1

)

)r

πε=

=

=πε

=

dq2= dq1

dE2 dE1

dq1

zd d=φφ

φφ

x+ +R

dE1,2

22 zR +

cap7A 18

Ripetendo lo stesso procedimento per tutte le cariche e integrando si ottiene che il campo sull’asse è dato da :

dE2 dE1

dq1

zd dφφ

φφ

x+ +R

Et ( )( ) ( ) k

zR

Qz4

1 kzR

z R 2ð4

1(z)E 322003220

))r

+πε=

+

λπε

=

Notare: - Il campo è nullo al centro dell’anello (z=0)- passando sotto l’anello il campo inverte il verso- sul piano orizzontale il campo è solamente orizzontale- il campo è difficile da calcolare anche per gli “esperti” in punti che non siano quelli sull’asse z o sul piano orizzontale.- una rappresentazione molto schematica delle linee di forza è data in figura.- se ci si mette molto lontano (z>>R) il campo creato dall’anello e il campo di una carica puntiforme Q posizionata nell’origine sono indistinguibili.

Nel seguito sono presentati senza dimostrazione i campi elettrici di alcune disposizioni di cariche particolari, quali il campo creato da un filo “infinito” a distanza r da esso, da un disco carico su un asse normale ad esso passante per il suo centro, da un piano infinito. L’espressione di questi campi, la loro dipendenza dalla distanza, le loro caratteristiche serviranno nel seguito (condensatori, proprietà generali del campo elettrostatico……)

cap7A 19

z1

2E(z)

0πελ=

Con filo infinito si intende un filo molto lungo. Nel caso di filo finito il campo elettrico ha la stessa direzione e verso e valore del campo creato dal filo infinito solo lontano dagli estremi. Il valore del campo a distanza z dal filo:

Il valore è lo stesso per distanze uguali e diminuisce con l’inverso della distanza ( invece che con l’inverso del quadrato della distanza come nel caso della carica concentrata). Il campo è a simmetria cilindrica. Le linee di forza sono rette parallele in ogni sezione piana.

Nella figura è rappresentato schematicamente un cilindro che racchiude una porzione di lunghezza L del filo, che quindi contiene la carica Q=λL. Si nota che il campo elettrico è perpendicolare alla superficie laterale del cilindro, ed ha lo stesso valore, su ogni punto della superficie laterale, se il cilindro ha l’asse centrato sul filo.Sulle basi del cilindro il campo cambia valore continuamente, ma è sempre parallelo a esse (considerazioni che serviranno nella determinazione del flusso del campo elettrico, più avanti).

FILO FILO INFINITOINFINITO

z

x++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ dq=λdx

zL

cap7A 20

DISCO CARICODISCO CARICO

+ + + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + +

++ + + + + + +++

+

+

+

R

z

)(C/m R ð

QdAdq 2

2≡=σ

Il disco è supposto carico uniformemente e di spessore trascurabile: la densità superficiale di carica è:

Il campo sull’asse z si trova considerando il disco compostodi anelli (in verde nella figura,

di larghezza “ infinitesima” dr) di raggio r variabile da 0 a R, e contenenti ognuno la carica dq=σ2πrdr.

E(z)

Sommando tutti i contributi si trova:

kzR

z 1 2

(z)E22

0

)r

+−

εσ

=

Anche in questo caso si può vedere che per z>>R (lontano dal disco o disco molto piccolo) il campo è simile a quello di una carica puntiforme di carica Q=σπR2

cap7A 21

Piano “infinito”Piano “infinito”

Al solito per piano infinito si intende un piano molto grande. Per una distribuzione piana finita, il campo può essere considerato simile a quello del piano infinito solo lontano dai bordi. Il campo di un piano infinito si ottiene facilmente da quello del disco: se R (raggio del disco) diventa molto grande (R tende all’infinito) il disco è diventa un piano e il campo è:

n 2

E0

)r

εσ

±=

n

Il segno ± In dica che il verso del campo cambia sopra e sotto il piano. Scelto il verso della perpendicolare n, come in figura, il campo è nel verso positivo in alto e negativo in basso. Questo se la distribuzione di carica è positiva, se invece è negativa, il verso è entrante nel piano e i versi sono esattamente all’incontrario di quanto detto sopra.

E’ un campo uniforme, uguale in tutti i punti, solo il verso cambia passando da sopra il piano (sopra definito convenzionalmente dalla direzione della normale) a sotto il piano. Le linee di forza sono delle semirette perpendicolari al piano.

+σ1 -σσ2

n2

E0

1t

)r

εσ

=

n

n2

E0

2t

)r

εσ−

=

cap7A 22

Esempio 2. Esempio 2. Due piani infiniti con carica positiva e negativa, uguale densità,a distanza d.

+σ1-σσ2

dn2

E0

21t

)r

εσ−σ

−=

n

n2

E0

21t

)r

εσ+σ

=n

2E

0

21t

)r

εσ−σ

=

Esempio 1. Esempio 1. Due piani infiniti con carica positiva e negativa, diversa densità,a distanza d.

+σ -σσ

d0=tEr

n

nE0

t)r

εσ

=

0=tEr

+σ -σσ

d

0=tEr

n

nE0

t)r

εσ

=

0=tEr

Se le densità di carica sono uguali in valore, il campo è nullo all’esterno dello spazio tenuto dai piani, all’interno èuniforme, qualunque sia la distanza dei piani, e direttodal piano con carica positivaa quello con carica negativa.

cap7A 23

Questi movimenti possono essere i più disparati:veloci,impulsivi, con rilascio di energia come nei fulmini,lenti e controllabili come nelle correnti variabili o stazionarie nei fili conduttori, tali da cambiare le proprietà elettrica della materia stessa, come negli isolanti, con caratteristiche simili a quelle del moto balistico come per gli elettroni del tubo catodico della televisione o delle particelle cariche di toner nelle fotocopiatrici o nelle stampanti a getto di inchiostroMa la dinamica è sempre regolata dalla seconda legge di Newton: la forza che agisce su una carica q di massa M in presenza di un campo elettrico E (generato da altre cariche)

F(r)=qE(r) ( q è in valore e segno, se negativa F ed E hanno versi contrari) e determina una accelerazione

a (r) = (q/M) E(r) (r è il vettore posizione della carica che subisce il campo)

CARICHE CHE SI MUOVONO IN CAMPI ELETTRICI

La presenza di cariche ferme in punti dello spazio genera campi elettrostatici. Se una carica libera si trova in un campo elettrostatico, su essa agisce una forza e la carica si può muovere. Quali sono i movimenti delle cariche libere in una roccia, in un metallo, nel corpo umano, di soluzioni con ioni che sono sottoposti a campi elettrostatici? In condizioni normali la materia è neutra, ovvero è composta da tante cariche positive quante negative, ma se sottoposta a campi elettrici le cariche positive tendono a spostarsi nella direzione del campo elettrico, le negative in verso contrario

+++++++++++++++++++++++++++

---------

------

---

------

F=qE0+

F=-qE0-

cap7A 24

Moto di una carica in un campo elettricoMoto di una carica in un campo elettrico

- Se una carica q si trova in un punto in cui vi è un campo elettrostatico E(creato ovviamente da altre cariche) risente di una forza F=qE.

- La carica q se è libera si muove nella direzione del campo se è positiva, in direzione contraria se negativa.

+ F=qE-

F=qE

- Se il campo varia da punto a punto, e quasi tutti i campi visti finora sono non uniformi, anche la forza è variabile è così sarà l’accelerazione.

- Se invece la carica si trova all’interno di un campo uniforme, come quello di un piano infinito o di combinazioni di piani, allora la forza è uniforme, e l’accelerazione della carica non varia, e per trovare la sua posizione al variare del tempo si possono applicare le leggi del moto uniformemente accelerato.

Un moto uniformemente accelerato è quello di un fascio (beam) di elettroni in un tubo catodico: i piani (plates) verticali e orizzontali assicurano al loro interno un campo uniforme nello spazio, variabile nel tempo a seconda dell’input dall’esterno. La forza peso sugli elettroni si trascura. Perché?

cap7A 25

Movimento del dipolo in campo elettrico uniforme

q1

-q

pp = qd (Cm)Momento di dipolo

Le forze sul dipolo costituiscono “una coppia di forze”, due forze uguali ed opposte, applicate a punti diversi. La forza totale è quindi nulla e il dipolo non trasla (non ha accelerazione lineare) . Ma il momento delle forze rispetto al baricentro del dipolo non è nonullo. Il momento M di una forza è definita dal prodotto vettoriale r ∧∧F,con r vettore posizione del punto di applicazione della forza F rispetto al centro di rotazione.

q1

-q1

+

-

r+

F=q1Eo

-F=-q1Eo

r-

θθ

( ) ( )

oo

oo

EpEd

EdEdF)rFrM

∧=∧=

−∧

−+∧=

−∧+∧= −+

q

q2

q2

(

Il dipolo soggetto a questo momento, il cui modulo nella posizione in figura è M=PE0senθ, ed è perpendicolare al foglio, entrante in esso((⊕⊕),), tende a ruotare per allineare il momento di dipolo con la direzione e il verso del campo elettrico.

---

---

---

---

---

---

------

+++

+++

+++

+++

+++

+++

+++

+++

+++ E0

+

-

+q