Un paseo aleatorio discreto clsico de una lnea es un tipo particular de proceso estocstico. El paseo aleatorio simple clsica en una lnea se compone de una partcula (el caminante) saltando a la izquierda o a la derecha en funcin de los resultados de un sistema de probabilidades (la moneda) con (al menos) dos resultados mutuamente excluyentes, es decir, los movimientos de las partculas segn una distribucin de probabilidad.
La generalizacin de las caminatas aleatorias discretas en espacios de dimensiones superiores (grficos) es sencillo. Un ejemplo de un paseo aleatorio discreto en una grfica es una partcula que se mueve en una red en la que cada nodo tiene seis vrtices, y los movimientos de partculas de acuerdo con los resultados producidos por lanzando un dado. De hecho, un paseo aleatorio clsica en una lnea es tambin un paseo aleatorio en un grafo G = (V, E) con | V | = 2. paseos aleatorios clsicos de grficos se puede ver como las cadenas de Markov [23, 89]. Adems, si el paseo aleatorio es aperidica y irreducible entonces tiene una distribucin estacionaria (teorema 8).

Sin restriccin Clsica Discrete paseo aleatorio en una lnea
Sea {Zn} un proceso estocstico que consiste en la trayectoria de una partcula que se mueve a lo largo de un eje con pasos de una unidad a intervalos de tiempo tambin de una unidad (Fig. 4.1). En cualquier paso, la partcula tiene una probabilidad p de ir a la derecha y q = 1 - p de ir a la izquierda. Calcular la probabilidad de encontrar la partcula en la posicin k despus de n pasos. {Z} n tiene tiempo ritmo parmetro N, estado discreto espacio Z, y el punto de partida es Z 0 = 0. Cada paso es una X drv independiente con pr distribucin (X = 1) = p y pr (X = -1) = q. Despus de n pasos, podemos ver que

Estamos interesados en encontrar el valor de , por lo que se define una nueva
drv Y i

FIGURA 4.2: clsico paseo aleatorio discreto en una lnea con dos barreras absorbentes. La probabilidad de ir a la derecha es p y la probabilidad de ir a la izquierda es q = 1 - p, a excepcin de los lugares extremos en los que el caminante se absorbe con probabilidad 1.

Y es B () (Def 4.1.4.), Por lo que el pdf de Y dado que el paseo se inicia en el estado i (Teorema 5) viene dada por h (z) Y (i) = 1 - (1 - z) i y queremos encontrar 0, es decir, que quiero pr (y = 1 | Z 0 = 0). uso
tcnicas para resolver ecuaciones en diferencias, encontramos que

Clsica discreto paseo aleatorio en una lnea con dos barreras absorbentes
Analizamos el caso de la trayectoria de una partcula que se mueve a lo largo de un eje finito con pasos de una unidad a intervalos de tiempo de una unidad. El eje ha absorbiendo lmites -A y B, es decir, si
la partcula alcanza ya sea -a o b permanece all. Como en el caso anterior, la partcula tiene una probabilidad p de ir a la derecha y q = 1 - p de ir a la izquierda, y cada paso es independiente de cualquier otra medida.
Sea {Z n} el proceso estocstico que los modelos de la trayectoria de esta partcula, con parmetro de tiempo de espacio N y espacio de estados {-a, -a + 1,. . . , -1, 0, 1, 2,. . . , B - 1, b}. Estamos interesados en el clculo de la probabilidad de Z n = -a antes Z n = b (ver Fig. 4.2).

FIGURA 4.2: clsico paseo aleatorio discreto en una lnea con dos barreras absorbentes. La probabilidad de ir a la derecha es p y la probabilidad de ir a la izquierda es q = 1 - p, a excepcin de los lugares extremos en los que el caminante se absorbe con probabilidad 1.

Este problema se conoce como problema de la ruina del jugador, ya que uno puede pensar en l como dos jugadores A y B con capiteles correspondientes de $ a y $ b. A y B juegan un juego en el que cada jugador da como resultado A ganador $ 1,00 desde B con probabilidad p o B ganar $ 1.00 de la A con probabilidad q. Queremos saber la probabilidad de que un jugador est en la ruina.
Definamos

Se demuestra que el juego terminar eventual simplemente mostrando que A perder o ganar con probabilidad 1

Discrete Clsica paseo aleatorio en una lnea con un Barrera Absorbente
Este problema puede ser pensado como una variacin del problema de la ruina del jugador, con jugador B con capital ilimitado (B podra ser, por ejemplo, un casino). Por lo tanto, se define un proceso estocstico {Z} N que los modelos de la trayectoria de una partcula que se mueve a lo largo de un eje. Z n tiene tiempo espacio de parmetros N y espacio de estados {-a, -a + 1,. . . , -1, 0} N. Como antes, la partcula tiene una probabilidad p de ir a la derecha y q = 1 - p de ir a la izquierda, y cada paso es independiente de cualquier otra medida (vase la figura 4.3.). Estamos interesados en el clculo de la probabilidad Pr (Z n = -a | Z 0 = 0).
Esta probabilidad se puede encontrar mediante el clculo del lmite

As que, si B tiene capital ilimitado y menos que A tiene una probabilidad de xito mayor que la de su oponente, lo cierto es que A ser finalmente arruinado.

FIGURA 4.3: clsico paseo aleatorio discreto en una lnea con una barrera absorbente. El andador puede ser absorbido en el nodo a. La probabilidad de ir a la derecha es p y la probabilidad de ir a la izquierda es q = 1 - p. En el nodo A, la probabilidad de ser absorbida es igual a 1.

4.2.2
Clsica aleatoria discreta Paseos en un grfico
Un grfico es una representacin simblica de una red y de su conectividad. De particular importancia en la computacin es la relacin entre las grficas, cadenas de Markov, y caminatas aleatorias discretas clsicos.
Definicin 4.2.1. Grfico. Un grfico G = (V, E) es un conjunto V de vrtices vi conectados por aristas (vk, vl) E. Definimos | V | como el nmero total de vrtices y | E | como el nmero total de aristas de G .
El grado de un vrtice es el nmero de aristas de ese vrtice.
Un grfico est conectado si hay un camino que conecta cada par de vrtices. Un grafo es bipartito si su conjunto de vrtices puede ser dividido en dos conjuntos disjuntos con dos vrtices del mismo conjunto nunca compartir una arista, y no bipartita lo contrario. Si (u, v) E (v, u) E G es no dirigido.
Un grfico puede ser representada por su matriz de adyacencia A = (aij), que es una matriz con filas y columnas marcadas por vrtices del grfico, con las entradas aij = 1 o 0 segn si vrtices i y j estn unidos por un borde o no.
Los grficos que codifican la estructura de un grupo se denominan grafos de Cayley. La teora de grupos es una rama de las matemticas ampliamente utilizados en varios campos de la ciencia y la ingeniera (la fsica cuntica y la teora de control, por ejemplo). Por lo tanto, grafos de Cayley son un vehculo para transformar las estructuras matemticas de problemas cientficos y de ingeniera en formas susceptibles de desarrollo de algoritmos para la computacin cientfica.

Definicin 4.2.2. Grafo de Cayley. Sea G un grupo finito, y dejar que S = {s 1, s 2,. . . , Sk} un grupo electrgeno para G. El Cayley grfico de G con respecto a S tiene un vrtice para cada elemento de G,
con un borde de g a gs g G y s S.
Grafos de Cayley-k son regulares, es decir, cada vrtice tiene grado k. Grafos de Cayley tienen ms estructura que los grficos de Markov arbitrarias y sus propiedades se utilizan a menudo en el desarrollo de algoritmos [95].
Los grficos y las cadenas de Markov se pueden poner en un marco elegante que resulta ser muy til para el desarrollo de aplicaciones algortmicas.

Sea G = (V, E) un comunicado, grafo no dirigido con | V | = ny | E | = m. G induce una cadena de Markov MG si los estados de MG son los vrtices de G, y u, v V

donde d (u) es el grado de vrtice u. Desde G est conectado, entonces MG es irreducible y aperidica [23], por lo tanto, MG tiene una distribucin estacionaria nica (teorema 8).

Teorema 9. Sea G una grfica conexa no dirigido con n nodos y m aristas, y dej MG sea su cadena de Markov correspondiente. Entonces, M G tiene una distribucin nica

Para todos los componentes VI de la Nota que el teorema 9 se mantiene incluso cuando la distribucin {d (vi)} no es uniforme. En particular, la distribucin estacionaria de un grafo no dirigido y conectado con n nodos, m bordes, = (r / 2m), el uniforme y grado constante d (vi) = r vi G, es decir, un grfico de Cayley, es -
distribucin.

Hemos establecido la relacin entre las cadenas de Markov y grficos. Ahora procedemos a definir los conceptos que hacen caminatas aleatorias discretas en los grficos tiles en la informtica. Comenzaremos por describir formalmente un paseo aleatorio en un grfico: Sea G un grafo. Un paseo aleatorio, a partir de un vrtice u V es el proceso aleatorio definido por s = u
repetir elegir un vecino v de T de acuerdo con una cierta distribucin de probabilidad P
u = v hasta que (condicin de parada)
As, comenzamos en un nodo v 0 y, si en t-simo paso nos encontramos en un vt nodo, nos movemos a un vecino de vt con probabilidad dada por la distribucin de probabilidad P. Es una prctica comn para hacer P uv = d (v 1 t),
donde d (v t) es el grado de vrtice v t. Ejemplos de caminatas aleatorias discretas en los grficos son un paseo aleatorio clsica en un crculo o en una malla tridimensional.
Ahora introducimos varias medidas para cuantificar el rendimiento de caminatas aleatorias discretas en los grficos. Estas medidas tienen un papel importante en la teora cuantitativa de paseos aleatorios, as como en la aplicacin de este tipo de cadenas de Markov en la informtica.

Definicin 4.2.3. Golpear tiempo. El golpear ij tiempo H es el nmero esperado de pasos antes de nodo j es visitado, a partir del nodo i.

Definicin 4.2.4. Tasa de mezcla. La velocidad de mezcla es una medida de la rapidez con la caminata aleatoria discreta converge a su distribucin limitante. La velocidad de mezcla se puede definir de muchas maneras, dependiendo del tipo de grfico que queremos trabajar. Utilizamos la definicin dada en [41].

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todo en espaol o todo en ingles si se citar imagen formulas con explicacinnumerar las diapositivasno poner mucho texto

Si el grafo no es bipartito entonces pitj dj / 2m como t , y la tasa de mezcla est dada por


Como es el caso con la tasa de mezcla, el tiempo de mezclado se puede definir de varias maneras.
Bsicamente, el concepto de tiempo de mezclado comprende el nmero de pasos que uno debe realizar una caminata aleatoria discreta clsica antes de su distribucin est cerca de su distribucin limitante.

Definicin 4.2.5. Tiempo [96] Mezcla. Deje MG ser una cadena de Markov ergdica que induce una

denotan la distribucin lmite de la distribucin de probabilidad P u (t) en los estados en el tiempo t. Adems, dejar -M G. El tiempo de mezclado se define entonces como




donde es una medida de distancia estndar. Por ejemplo, podramos utilizar la variacin totalPor lo tanto, el tiempo de mezcla se define como la primera distancia, definida como || P u (t) - - en todo momento posterior pasos t T, independientemente de la
tiempo t tal que P u (t) est a poca distancia de estado inicial.

Clculo de los tiempos de mezcla es una tarea difcil. En consecuencia, hay varias estrategias para calcular los tiempos de mezcla. Entre ellos encontramos la estrategia de tiempo de acoplamiento, que consiste en considerar dos paseos aleatorios discretos en una cadena de Markov. Al iniciar uno de los paseos al azar de la distribucin estacionaria y que limita el tiempo de las dos cadenas de chocar, podemos calcular los lmites en el tiempo de mezcla del paseo aleatorio. Qu significa hacer dos cadenas chocan? Eso significa que ambas cadenas terminarn golpeando los mismos nodos con la misma probabilidad. Para formalizar este concepto, vamos presentamos el siguiente teorema.

Teorema 10. Sea P y Q dos distribuciones de probabilidad con P x (t) y Q (t)
x las probabilidades de

golpear nodo x en el tiempo t | P - Q | 2 pr (P x Q = x).

Por lo tanto, el clculo del tiempo de mezcla de una cadena de Markov por medio de la estrategia de acoplamiento consta de los siguientes pasos: 1. Calcular la distribucin lmite de la cadena de Markov. 2. Calcular el tiempo que se necesita para obtener la siguiente igualdad: P x (t) = x, donde x es el

probabilidad de acertar nodo x de acuerdo con la cadena de Markov limitar la distribucin -
. Este paso es usualmente equivalente a calcular el tiempo de golpear de la cadena de Markov para un determinado nodo.
La pregunta clave es: cuntos pasos n se tarda en golpear el nodo k?

Tiempo de un irrestricto Clsica discreto paseo aleatorio de mezcla en una lnea
Se ha demostrado en la Ec. (4.10) que, por un camino aleatorio irrestricto clsica discreta en una lnea con p = q = 1/2, la probabilidad de encontrar el andador en la posicin k despus de n pasos se da por

El uso de Stirling aproximacin

y despus de un poco de lgebra, encontramos

Sabemos que la ecuacin. (4.10) es una distribucin binomial, as que tiene sentido para estudiar la
tiempo en dos poblaciones diferentes de vrtices de mezcla: k
n y k n (la primera poblacin est contenida principalmente bajo la parte en forma de campana de la distribucin, mientras que el segundo se puede encontrar a lo largo de las colas de la distribucin). En ambos casos, encontraremos la hora prevista de golpear mediante el clculo de la
inversa de la ecuacin. (4.16) (este es el momento esperado de la distribucin geomtrica dada en Def. 4.1.6).

As, el tiempo para golpear un vrtice k de un n-paso sin restricciones a pie aleatoria discreta clsica en una lnea determinada depende de qu regin de vrtice k se encuentra en. Si k