Calculul Aproximativ Al Fermelor-Cablu

  • View
    214

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Calculul Aproximativ Al Fermelor-Cablu

  • 7/31/2019 Calculul Aproximativ Al Fermelor-Cablu

    1/23

    1

    Capitolul 2

    CALCULUL APROXIMATIV AL FERMELOR CABLU CU

    MONTANI VERTICALI la ncrcare uniform distribuit

    1 CABLUL PARABOLIC SIMETRIC

    1.1 Lungimea

    Ecuaia parabolei simetrice, cu sgeatafi deschiderea ld 2= , este:

    22

    xl

    fy = ; x

    l

    fy

    2

    2=

    Conform desvoltrii K++=+ 32

    16

    1

    8

    1

    2

    111 xxxx , rezult:

    +++=+=ll

    dxyyyyydxyL0

    1025678

    12856

    1614

    812

    21

    0

    221 )1(1 K

    nlocuind y , rezult:

    +

    +

    += K

    108642

    11

    28

    9

    10

    7

    4

    5

    2

    3

    212

    l

    f

    l

    f

    l

    f

    l

    f

    l

    flL

    Neglijnd termenii n )(l

    f ncepnd cu un anumit ordin, se obin expresii aproximative ale

    lungimii cablului. n aceste expresii, eroarea absolut este mai mica dect primul termen

    neglijat. Astfel:

    +=

    2

    1 3

    212

    l

    flL (4-1)

    -l x

    f

    y

    lLd= 2l

  • 7/31/2019 Calculul Aproximativ Al Fermelor-Cablu

    2/23

    2

    +=

    42

    2 5

    2

    3

    212

    l

    f

    l

    flL , (4-2)

    +

    +=

    642

    3

    7

    4

    5

    2

    3

    212

    l

    f

    l

    f

    l

    flL (4-3)

    De exemplu, pentruf/ l= 1/5 )10/1/( =df , erorile relative LLL i / sunt mai mici dect:

    6E-4; 3.65E-5; 2.84E-6,

    respectiv pentru expresiile (4-1), (4-2) i (4-3).

    1.2 Variaia lungimii la variaia sgeii

    Fie configuraia n care cablul are sgeata 0f . Difereniind (4), pentru variaia 0ffdf = a

    sgeii, obinem:

    dfl

    fdL

    0

    1 3

    42= (5-1)

    dfl

    f

    l

    fdL

    =

    300

    2 5

    8

    3

    42 (5-2)

    dfl

    f

    l

    f

    l

    fdL

    +

    =

    50300

    3 7

    24

    5

    8

    3

    42 (5-3)

    1.3 Alungirea

    =0

    00 dsL ;

    ==

    0

    00

    dsds

    dsdsL

    BA

    , L

    0,L0

    ll

    y

    xf

    0f

  • 7/31/2019 Calculul Aproximativ Al Fermelor-Cablu

    3/23

    3

    =

    =

    00

    00

    00

    00 1 ds

    ds

    dsdsds

    ds

    dsLL

    Fie dou configuraii apropiate, definite de

    fff+= 0

    ; LLL+= 0

    ; TTT+= 0

    (unde d=

    ) .Avem:

    EA

    T

    ds

    dsds =

    0

    0

    ,

    rezult:

    =

    =

    AB

    dxdx

    ds

    EA

    Tds

    EA

    TL

    00

    0

    unde 0

    0

    cos

    1

    =dx

    ds

    .

    Cu

    cosHT =

    i dTT = , rezult:

    +=

    +

    =

    02

    00

    000 cos

    sin

    cos

    1HH

    TH

    H

    TT ,

    unde 0 = . Rezult:

    +==

    03

    00

    0

    20

    0

    cos

    sin

    cos

    1

    cos

    1HHT

    dx

    dsT

    Punem:

    ))(1()1( 2002

    1 xyHtgHT +=+=

    ==

    020

    03

    00

    2 cos

    1

    2

    1

    cos

    sin

    dHHT

    Avem:

    P0

    0

    H0

    T0

    0s

    0

    P

    H

    Tx

    s

  • 7/31/2019 Calculul Aproximativ Al Fermelor-Cablu

    4/23

    4

    +

    =+

    =

    AB

    l

    ll

    f

    EA

    Hdxx

    l

    f

    EA

    Hdx

    EA

    T20

    24

    201

    3

    41)

    41(

    0

    cos

    102

    02 =

    =

    dxd

    EA

    Hdx

    EA

    Tl

    lAB

    Cu acestea, rezult expresia alungirii ntre dou configuraii apropiate:

    Hl

    f

    EAlL

    +=

    20

    3

    41

    12

    unde 0HHH = . nlocuind acum cu d, deducem:

    dHl

    f

    EAldL

    +=

    20

    3

    41

    12 (6)

    1.4 Variaia lui H la variaia sgeii

    Egalnd expresiile lui dL din (5) i (6-1), rezult:

    dfKdH H0= (7)

    unde

    df

    l

    f

    dfdL

    l

    EA

    l

    f

    EAl

    dLKH 20

    21

    20

    0

    3

    41

    )/(

    3

    41

    12

    +

    =

    +

    =

    Astfel, din (6) se obin:

    20

    0

    0)1(

    3

    41

    3

    4

    +

    =

    l

    f

    l

    f

    l

    EAKH (8-1)

    20

    300

    0)2(

    3

    41

    5

    8

    3

    4

    +

    =

    l

    f

    l

    f

    l

    f

    l

    EAKH (8-2)

  • 7/31/2019 Calculul Aproximativ Al Fermelor-Cablu

    5/23

  • 7/31/2019 Calculul Aproximativ Al Fermelor-Cablu

    6/23

    6

    Cu expresia (8-1) ale lui 0HK rezult

    20

    20

    20

    00

    )1(

    )/(

    3

    41

    )/(3

    42

    lf

    lf

    l

    EA

    f

    qK

    +

    += (12-1)

    Sau

    +

    +=20

    20

    02

    0)1(

    )/(3

    41

    )/(3

    42

    lf

    lf

    EAHl

    K (12-1')

    Analog, din (8-2), (8-3) se obin:

    20

    4020

    20

    0

    0 )2(

    )/(3

    41

    )/(

    5

    8)/(

    3

    4

    2lf

    lflf

    lEA

    fqK

    +

    += (12-2)

    20

    604020

    20

    00

    )3(

    3

    41

    7

    24

    5

    8

    3

    4

    2

    +

    +

    +=

    l

    f

    l

    f

    l

    f

    l

    f

    l

    EA

    f

    qK (12-3)

    1.7 Ecuaia sgeii la variaia finit a ncrcrii

    Relum (7), dfKdH H0= , n care )( 00 fKK HH = , i considerm acum o configuraie curent

    n care sgeata estef, punnd

    )( fKK= .

    Cu aceasta, avem:

    dffKdH )(= (7')

    Introducem, pentru convenien, variabila adimensional

    lfx = (13)

    i scriem )(xK n loc de )( fK . De exemplu, pentru (8-1) avem:

    2)1(

    3

    41

    3

    4

    x

    x

    l

    EAK

    +

    =

  • 7/31/2019 Calculul Aproximativ Al Fermelor-Cablu

    7/23

    7

    Mai punem, pentru simplificare,

    )()( xkl

    EAxK = (14)

    unde )(xk noteaz factorul luil

    EAn expresia lui )(xK . Pentru exemplul de mai sus, avem:

    2

    3

    41

    3

    4

    )(x

    x

    xk

    +

    =

    Avem ldxdf = , i (7') devine:

    dxxEAkdH )(=

    Fie acum

    dxxkxd )()(1 = , = dxxkx )()(1 , (15)

    rezult

    CxEAH = )( (constant)

    Sau, nlocuind din

    x

    ql

    f

    qlH

    22

    2

    == ,

    rezult ecuaia sgeii

    CxEAx

    ql= )(

    2

    mprind cuEA, ecuaia devine

    Cxx

    EAql= )(2

    )/(1

    n fine, notnd cantitatea adimensional

    EA

    qlB =

    i punnd

    == dxxkxx )(2)(2)( 1 (15')

    rezult ecuaia sgeii n forma:

    Cxx

    B= )( (16)

  • 7/31/2019 Calculul Aproximativ Al Fermelor-Cablu

    8/23

    8

    Constanta Cse determin cu valorile din configuraia iniial, anume

    )( 00

    0

    xB

    C = ;EA

    lqB

    00 = . (17)

    Ecuaia (16) se rezolv prin metoda Newton, punnd-o sub forma

    0)( =xF ,

    unde

    Cxx

    BxF = )()( (18)

    Pentru metoda Newton, derivata luiFva fi:

    )(2)()(22

    xkB

    xB

    xF == . (19)

    Observaie

    Ecuaii echivalente se obin plecnd de la rigiditatea tangent formulele (12-1 12-3).

    Ecuaia sgeii 1

    Lucrm cu expresia (8-1). Avem:

    34

    4)(

    2 +=

    x

    xxk ; )34ln()( 2 += xx (20-1)

    Ecuaia sgeii este 0)( =xF unde )(xF este dat de (18), iar conform (19):

    34

    8)(

    22 +=

    x

    xBxF (20-2)

    Ecuaia sgeii 2

    Lucrnd cu (8-2), avem:

    34

    46.1)(

    2

    3

    +

    +=

    x

    xxxk , )34ln(9.12.1)( 22 ++= xxx (21-1)

    3482.3)(

    2

    3

    2 ++= xxBxF (21-2)

    Ecuaia sgeii 3

    n fine, din (8-3) rezult:

  • 7/31/2019 Calculul Aproximativ Al Fermelor-Cablu

    9/23

    9

    34

    140168360

    35

    1)(

    2

    35

    +

    +=

    x

    xxxxk ;

    ++= )34ln(

    8

    937

    2

    21945

    35

    1)( 224 xxxx (23-1)

    34

    280336720

    35

    1)(

    2

    35

    2 +

    +=

    xxx

    x

    BxF (23-2)

    1.8 Exemplu

    Se consider cablul cu urmtoarele caracteristici:

    2l= 140 m;f0 = 12 m;A0 = 107.795 cm2; 6.90 =q kN/m; lim = 106 kN/cm

    2.

    Cablul este analizat pentru o ncrcare q = 10 50 kN/m, cu pasul 5 kN/m, prin:

    - Calcul liniar;

    - Neliniar, cu ecuaiile sgeii 1, 2, i 3;

    - Neliniar, cu programul NELSAS: cablul este mprit n 20 elemente.ncrcarea s-a limitat la de 50 kN/m, ntruct aceasta produce o tensiune maxim de 90.59

    kN/cm2 85% din tensiunea limit.

    Rezultatele sunt prezentate n tabelul i graficul de mai jos. Valorile exacte se consider cele

    obinute prin programul NELSAS.

    Incarcare Liniar Ecuatie-1 Ecuatie-2 Ecuatie-3 NELSAS

    9.6 0. 0. 0. 0. 0.

    10.0 1.5150E-2 1.4603E-2 1.5118E-2 1.5097E-02 1.5063E-2

    15.0 0.20448 0.19305 0.19986 0.19942 0.19904

    20.0 0.39382 0.36448 0.37729 0.37644 0.37561

    25.0 0.58316 0.52959 0.54815 0.54670 0.54555

    30.0 0.77250 0.68897 0.71306 0.71140 0.70947

    35.0 0.96183 0.84311 0.87256 0.87049 0.86793

    40.0 1.15117 0.99246 1.0271 1.0246 1.0214

    45.0 1.34051 1.1374 1.1771 1.1742 1.1702

    50.0 1.52985 1.2783 1.3228 1.3196 1.3148

    Se observ urmtoarele:- Calculul liniar procedeaz cu rigiditatea tangent. Rezultatele se altereaz pe msura

    creterii ncrcrii. La ncrcarea de 25 kN/m, eroarea relativ a sgeii este de 6.9%.

    - Calculul neliniar 1: d rezultate relativ ap