-
MT S PHNG PHP GII H PHNG TRNH 1. Phng php th Ni dung phng php:
Thng thng ta rt mt bin hoc mt biu thc thch hp t mt phng trnh v thay
vo phng trnh cn li ca h ta thu c phng trnh mt n. Ch :
Phng trnh mt n ny phi gii c
Mt phng trnh trong h c th a v tch ca cc phng trnh bc nht hai
n
V d 1: Gii h phng trnh : 4 3 2 2
2
2 2 92 6 6
x x y x y xx xy x
1
2
Gii
Phng trnh 26 62
2x xxy thay vo phng trnh 1 ta c:
22 24 2 6 6 6 62 2 9
2 2x x x xx x x
4 3 212 48 64 0x x x x
34 0x x 0
4xx
Vi x = 0 thay vo phng trnh 2 ta thy khng tha mn.
Vi 4x thay vo phng trnh 2 ta c 174
y .
Vy nghim ca h phng trnh l : 4
174
x
y
.
Bi tp Gii cc h phng trnh sau:
1) 2
2 2
3
5 2 3
xy y
xy xy y y y
. S: ; 0;3 ; 2;1 ; 4; 1x y
2) 4 3 22 2
1
x x y x x y
x y
. S: ; 1;0x y
3) 2 2
2
1 1 3 4 1
1
x y x y x x
xy x x
. S: 5; 1; 1 ; 2;
2x y
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-
4)
3 3
2 2
4 16
1 5 1
x y y x
y x
.
HD: phng trnh (2) 2 25 4y x . Thay vo phng trnh (1) c:
3 2 2 35 16x y x y y x S: ; 0;2 ; 0; 2 ; 1; 3 ; 1;3x y
V d 2: Gii h phng trnh: 2 22
2 1 2 2
xy x y x y
x y y x x y
1
2.
Gii
iu kin: 10
xy
Phng trnh (1) 2 22 0x xy y x y 2 1 0x y x y
0
2 1 0 2 1x y x yx y x y
Vi x = - y ( v l ) Vi x = 2y + 1. Thay vo phng trnh (2) v bin i,
thu gn ta c: 1 2 2 0 2y y y ( do 0y ) 5x Vy nghim ca h phng trnh l
:
52
xy
.
Bi tp: Gii cc h phng trnh sau:
1) 4 3 2 2
3 2
11
x x y x yx y x xy
. S: ; 1;1 ; 1; 1x y
2) 2
2
6 3 1
3 3 2
x xy x y
x y x y
. S: 1; 0;1 ; ;0
3x y
3)
2 2
2
5 4 16 8 165 4 4
y x xy x yy x x
. S: 4; 0;4 ; 4;0 ; ;0
5x y
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4)
2 22 2
1 3 3 2
x y xy x y
y x y x x y
. S: 3 3; 2 4; 4x y
5) 3 2 2 2
2 02 2 0xy x
x x y x y xy y
.
HD 22 0
2 1 0
xy x
x y x y
S: 1 5 1 5; 1;1 ; ; 5 ; ; 5
2 2x y
2. Phng php t n ph Ni dung phng php: im quan trng nht trong vic
gii h l pht hin n ph ; , ;u f x y v g x y . C ngay trong tng phng
trnh hoc xut hin sau mt s php bin i c bn
V d 1: Gii h phng trnh:
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 912
x x x y y y
x y x y
.
Gii t y = - z, ta c h phng trnh
3 3 2 2
2 2
3( ) 9( ) 22 01( )2
x z x z x z
x z x z
3 2
2
3 3 2 9 22 0
122
x z xz x z x z xz x z
x z xz x z
t : 2, 4x z S
S Pxz P
.
Ta c: 3 2
2
3 3 2 9 22 0
122
S SP S P S
S P S
234
S
P
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32
12 2
23 3
14 4
232
x
yx z x y
xz xy x
y
.
Vy nghim ca h phng trnh l :
32
12
x
y
;
12
32
x
y
.
Bi tp Gii cc h phng trnh sau:
1) 2 22 2
3 4 3
2 4 2 4
x y xy
x y x y
.
HD:
2 2
2 2
2 2 3
2 2 2 4
x y x y
x y x y
t 2 2
22
u x yv x y
S: 8 9; 0;1 ; ;7 7
x y
2)
4 2 2
2 2
2 2
2 2 2 1 5
x y xy x x y
x y xy x y
.
HD:
22 2
2 2
2
2 1 5
x y xy x y
x y xy x y
t 2x y u
xy v
S: ; 1;3x y
3)
3 2 2 3
2 2
1 2 30 0
1 11
x y y x y y xy
x y x y y y
.
HD:
2 2 2 30
11
xy x y x y x y
xy x y xy x y
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t x y uxy v
S: 5 21 5 21 5 21 5 21; 1;2 ; 2;1 ; ; ; ;2 2 2 2
x y
4)
2 3 3
4 2
54
51 24
x y x y xy xy
x y xy x
.
HD:
2 2
22
54
54
x y xy x y xy
x y xy
t 2x y u
xy v
S: 3 35 25 3; ; ; 1;
4 16 2x y
5)
2
2
1 4
1 3
xy x yy
y xy
. S: ; 1;1 ; 3; 1x y
6) 3
2 2
7 3
4 4 3
x y x y
x xy y xy
. S: ; 5; 4x y
V d 2: Gii h phng trnh :
2
2
1 4
1 2
x y y x y
x y x y
.
Gii Nhn xt: y = 0 khng phi l nghim nn h cho tng ng vi :
2
2
1 4
1 2 1
x y xy
x y xy
t :
2 1 2 11 1
2
x u u v uy
uv vy x v
21
1 212
2 15
xx y
yx
y xy
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Vy nghim ca h phng trnh l : 12
xy
;2
5xy
.
Bi tp Gii cc h phng trnh:
1) 2 2 2
1 71 13
xy x yx y xy y
.
HD: 2
1 7
1 13
xxx y
xxx y
t
1x uy
x vy
S: 1; 3;1 ; ;13
x y
2)
2 2
234 4 7
12 3
xy x yx y
xx y
.
HD:
2 2
233 7
1 3
x y x yx y
x y x yx y
t
1 , 2x y u ux y
x y v
S: ; 1;0x y
3) 2 2
2 2 2
61 5y y x x
x y x
.
HD:
2
2
22
2
1 66
1 15 2 5
yy y yx xx x
xy yx x y
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t 1
y vx
y ux
S: 1; 1;2 ; ;12
x y
4)
2 2 2 2
11 5
11 49
x yxy
x yx y
.
HD: 2 2
2 2
1 1 5
1 1 49
x yx y
x yx y
t
1
1
x ux
y vy
S: 7 3 5 7 3 5; ; 1 ; 1;2 2
x y
5) 3 32 2
9 3 1 125
45 75 6
y x
x y x y
HD:
33
12527 9
5 53 . 3 6
xy
x xy y
t
35
u x
vy
S: 1 5 2; ; ; ;53 2 3
x y
3. Phng php s dng tnh n iu ca hm s Ni dung phng php im quan trng
ca phng php ny l bin i mt phng trnh ca h v dng f u f v vi f l hm s
n iu trn D. T suy ra u = v
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V d 1: Gii h phng trnh: 2
2 2
4 1 3 5 2 0
4 2 3 4 7
x x y y
x y x
1
2
Gii
k: 34
x ; 52
y
Phng trnh (1) 24 1 2 5 2 1 5 2x x y y 2 5 2f x f y Xt hm s 2 21
' 3 1 0,f t t t f t t t
f t l hm ng bin vi t R
20
2 5 2 2 5 2 5 42
xf x f y x y xy
Thay vo phng trnh (2) ta c: 2
2 5 44 2 3 4 7 02
xx x
Nhn xt x = 0, x 34
khng phi l nghim ca
Xt 2
2 5 44 2 3 4 72
xg x x x
trn 30;4
2 4 3' 4 4 3 0, 0;43 4
g x x x xx
g x l hm nghch bin
Mt khc 1 102 2
g x
Vy nghim ca h l : 122
x
y
.
Bi tp Gii cc h phng trnh sau:
1)
3 2 2
2 2 2
4 1 2 1 6
2 2 4 1 1
x y x x
x y y x x
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HD: h 2 21 12 1 4 1 1 1y y x x
Xt 21 1f t t t f t ng bin 12y x 1; 1;2
x y
2) 2 2
3
2 1 2 4 4 4 3 2 9 3 0
4 3 3 1 3 5
x x x y y
x y y
.
S: 1; 1;3
x y
3)
3
4 2 2
2 4 3 0
2 4 3 1 0
x y xy
x y x xy y x y
.
S: 1 1; ;2 2
x y
4) 3 4
2 2 3
72 9
x y yx y xy y
.
HD: Phng trnh (2) 2 39y x y x yy
t 30 0 3y t t
Thay vo phng trnh (1) thu gn: 32 3 9 33 7t t t t
32 3 9 3
39 3
3 7 0
3 7 0
t t t t
t t t
Xt hm s: 39 3 33 7 0,0 3f t t t t t 28 2 3' 9 9 3 7 0f t t t
t
f t ng bin 1t . S: ; 2;1x y
5) 5 4 10 6
24 5 8 6
x xy y y
x y
.
S: ; 1;1 ; 1; 1x y
6)
4 4
2 2
16 18
2 8
x yx y
x xy y
.
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HD: phng trnh (1) 2xf f y
, vi
4 1, 0tf t tt
S: ; 2 2; 4 2x y
7) 2 21 1 1
6 2 1 4 6 1
x x y y
x x xy xy x
.
HD: phng trnh (1) 2 21 1x x y y f x f y x y
S: 3 11 3 11; 1; 1 ; ;2 2
x y
8) 3 2 3
3
2 4 3 1 2 2 3 2
2 14 3 2 1
x x x x y y
x x y
.
HD: phng trnh (1) 13 2 1f y f x
S: 111; 7;98
x y
V d 2: Gii h phng trnh: 3 3 2
2 2 2
2 3 2
1 3 2 2 0
x y x y
x x y y
1
2.
Gii
k: 1 1
0 2x
y
t 1 0;2z x z Phng trnh (1) 3 2 3 23 3z z y y . Xt hm s: 3 23 ,
0;2f t t t t
2' 3 6 3 2 0, 0;2f t t t t t t f t l hm nghch bin trn 0;2 . M 1f
z f y z y x y
Thay vo phng trnh (2) c: 2 22 1 2 0 0x x x
Vy nghim ca h phng trnh l: 01
xy
.
Bi tp: Gii cc h phng trnh sau:
1)
3
4
1 8
1
x y x
x y
. S: ; 2;1x y
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-
2) 2 1
2 1
2 2 3 1
2 2 3 1
y
x
x x x
y y y
. S: ; 1;1x y
3) 3
1 1
2 1
x yx y
y x
. S: 1 5 1 5 1 5 1 5; 1;1 ; ; ; ;2 2 2 2
x y
4) 3 3
8 4
5 51
x x y yx y
. S: 4 4 4 41 5 1 5 1 5 1 5; ; ; ;
2 2 2 2x y
5) 2 2
2 2
2 22 2 1
2 22 2 1
x x y y y
y y x x x
.
HD: Tr v vi v ca hai phng trnh ta c:
f x f y vi 2 22 22 2 1, 0f t t t t t t t x y Thay vo phng trnh
th nht Phng trnh c dng :
1g x g , vi 2 22 1 2 22 , 0f x x x x x x t
2 2
1 1 1' 2 2 2 02 2 22 2 22
x xg x xx x x x x
S: ; 1;1x y . 4. Phng php nh gi Ni dung phng php: Vi phng trnh
ny cn pht hin cc biu thc khng m trong h v nm vng cch vn dng cc bt
ng thc c bn.
V d 1: Gii h phng trnh : 3
3
3 42 6 2
y x xx y y
Gii
H cho 2
2
2 ( 1) ( 2)2 2( 1) ( 2)
y x xx y y
Nu x > 2 th t phng trnh (1) 2 0y . iu ny mu thun vi phng trnh
(2): x 2 v y 2 cng du Nu x < 2. Lp lun tng t, suy ra v l Nu x =
y = 2 thay vo tha mn h.
Vy nghim ca h phng trnh l :22
xy
.
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V d 2: Gii h phng trnh:
2
3 2
2
23
22 9
22 9
xyx x yx x
xyy y xy y
Gii Cng v vi v hai phng trnh ta c:
2 2
3 2 23
2 22 9 2 9xy xy x y
x x y y
(1)
Ta c: 3 2 2 332 9 ( 1) 2 2x x x
3 32 2
2 2222 9 2 9
xy xyxy xyx x x x
Tng t 23
22 9xy xy
y y
Mt khc: 2 2 2x y xy VT (1) VP (1). Du bng xy ra 10
x yx y
Th li ta c nghim ca h l :00
xy
; 11
xy
.
Bi tp Gii cc h phng trnh :
1)
2 2
2 2
2 2
36 60 25 036 60 25 036 60 25 0
x y x yy z y zz x z x
.
HD:
2
2
2
2
2
2
6036 25
6036 25
6036 25
xyx
yzy
zxz
S: 056
x y z
x y z
2) 2 2 3
3 1 3 1 4
x y xy
x y
. S: x = y =1
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-
3) 3
1 1 4
x y xy
x y
. S: x = y = 3
4) 24
4
32 3 0
32 6 24 0
x x y
x x y
.
HD: Cng 2 v ca phng trnh c 24 432 32 6 21x x x x y y
VT 12; VT 12 S: ; 16;3x y
5) 2 2
2 2
72 1 2 12
7 6 14 0
x y xy
x y xy x y
.
HD: Phng trnh (2) 7 101; ; 2;3 3
y x
Phng trnh th nht 1 1 72 22
x yx y
Xt hm s 12f t tt
f(t) ng bin vi 0;t
7. 2 . 12
f x f y f f S: ; 2;1x y
6)
4 3
4 3
12 3 124
12 3 124
x y x
y x y
.
HD: Cng v hai phng trnh ta c: 2 2
2 21 1 02 2
x x y y
S: 1 3 1 3; ;2 2
x y
7)
3
4 2 2
2 4 3 0
2 4 2 3 1 0
x y xy
x y x xy y x y
HD:
3
4 2 2
2 4 3 0
2( ) ( ) (2 1) 0
x y xy
x y x y x y y
C: 2 4x y xy . T phng trnh th nht 3 22 3 0 1x y x y x y Phng
trnh (2) 4 2 22 1 1 2 1 0x y x y x y y S: ; 1;1x y
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8) 2 2 2 2
3
5 2 2 2 2 5 3
2 1 2 7 12 8 2 5
x xy y x xy y x y
x y x y xy y
HD: 2 2 2 25 2 2 2 2 5x xy y x xy y
2 2 2 22 2 2 2 3 3x y x y x y x y x y x y x y x y Vy phng trnh
th nht 0x y Thay vo phng trnh (2): 233 1 2 19 8 2 5 5x x x x
2 3
222
2 23 3
2 2 1 3 1 2 2 19 8 0
2 142 0
1 3 1 2 2 19 8 (19 8)
x x x x x x
x x xx xx xx x x x x x
2 0x x . S: ; 0;0 ; 1;1x y
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