Cac dang toan quy ve bac hai co dien

www.VNMATH.com

MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 3

Dạng 1: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m (1)

với a+b=c+d và m ≠ 0 Cách giải: Phương trình (1) được viết lại: [x2 +(a+b)x +ab][ x2 +(c+d)x +cd] =m Vì a+b = c+d nên ta đặt t=x2 +(a +b)x= x2 +(c+d)x lúc đó phương trình (1) được viết lại như sau: (t +ab)(t+cd) = m t2 +(ab+cd)t +abcd –m =0 Giải phương trình theo t x Ví dụ: giải phương trình sau (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = 120 (x+1)(x+4)(x+2)(x+3)=120 (x2

+5x +4)(x2 +5x+6)=120

Đặt t = x2 +5x Lúc đó phương trình được viết lại:

(t+4)(t+6)=120 t2

+10t-96 =0 t=6, t=-16 Với t=6 thì x2

+5x-6=0 x=1, x=-6 Với t=-16 thì x2

+5x+16=0 ( vô nghiệm) BÀI TẬP 1. (x+4)(x+5)(x+7)(x+8)=4 2. (2x-1)(2x+3)(x+2)(x+4)+9=0 3. (x+2)(x+4)(x2

+6x+1)=8 4. (x+1)(x+2)(x+5)(x+6)=252 5. (16(x2

-1)(x2 +8x+15)=105

Tìm m để phương trình sau 6. (x+4)(x+5)(x+7)(x+8)=m có nghiệm 7. x(x+1)(x+2)(x+3)=m có 4 nghiệm phân biệt. 8. (x+2)(x+4)(x2

+4x +m)=8m có 4 nghiệm dương phân biệt

www.VNMATH.com



Dạng 2: mxax2

+bx+c + nxax2

+dx+c =k

Với giả thiết biểu thức ở mẫu luôn khác không Cách giải: Trước tiên ta nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho. Khi x≠ 0 ta chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho x, lúc đó phương trình đã cho (2) được viết lại như sau:

m

ax+b+cx

+ n

ax+d+cx

=k (2.1)

Đặt t= ax+cx lúc đó phương trình (2.1) được viết lại:

mt+b + n

t+d =k (2.2)

Giải phương trình (3) ta được nghiệm giả sử đó t 1, t

2 rồi từ đó ta suy ra nghiệm của phương trình (2) bằng cách giải các phương trình

ax+ cx = t 1 , ax+ cx = t

2

Ví dụ: giải phương trình 4x

4x2 -8x+7 + 3x

4x2 -10x+7 =1 (2.3)

Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho. Xét x≠ 0 lúc đó chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho x ta được

www.VNMATH.com



4

4x-8+7x

+ 3

4x-10+7x

=1 (2.4)

Đặt t = 4+ 7x khi đó phương trình (2.4) dược viết lại là

4t-8 + 3

t-10 =1

Quy đồng mẫu thì ta có phương trình t2

-25t +144=0. Phương trình này có hai nghiệm t

1=16, t 2=9

Với t 1=16 ta có phương trình 4x+ 7x =16

4x2 -16x +7=0 x

1 = 72 , x 2 = 12

Với t 2 =9 ta có phương trình

4x + 7x =9 4x2 -9x+7=0 (không có nghiệm thực)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x 1 = 72, x

2 = 12

BÀI TẬP Giải các phương trình sau

1. 2x3x2

-x+1 + x3x2

-4x+1 = 32

2. 2x2x2

-5x+3 + 13x2x2

+x+3 =6

3. 2xx2

+8x+5 + 6xx2

+x+5 =1

4. 3xx2

-4x+1 - 2xx2

+x+1 = 83

Cho phương trình sau 2xx2

+8x+5 + 6xx2

+x+5 =m

www.VNMATH.com



Tìm m để phương trình đã cho thoả mãn các điều kiện sau: 5. Phương trình đã cho có nghiệm 6. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 7. Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt 8. Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt 9. Phương trình đã cho có 4 nghiệm dương phân biệt 10. Với giá trị nào của m thì phương trình

3xx2

-4mx+1 + 2xx2

+mx+1 =1 có 4 nghiệm dương phân biệt

x 1, x

2, x 3, x

4 thoả mãn x 1+x

2+x 3+x

4 = 14 Nhân đây tôi cũng muốn nói đến dạng phương trình cùng họ hàng với dạng toán trên.

1x2

+9x+20 + 1x2

+11x+30 + 1x2

+13x+42 = 118 (*)

Giải như sau: Ta thấy (*) được viết lại:

1(x+4)(x+5) + 1

(x+5)(x+6) + 1(x+6)(x+7) = 1

18

1x+4 - 1

x+5 + 1x+5 - 1

x+6 + 1x+6 - 1

x+7 = 118

1x+4 - 1

x+7 = 118 x2

+11x-26 =0 x 1= 2, x

2= -13

Tương tự giải phương trình sau: 1

x2 +3x+2 + 1

x2 +5x+6 +…… + 1

x2 +(2n-1)x+n2

-n = k

Giả sử A là sự thành công trong cuộc sống. Vậy thì A=X+Y+Z trong đó X=làm việc, Y=vui chơi, Z=im lặng (Albert Einstein's).

www.VNMATH.com



Dạng 3 (x+a)4 + (x+b)

4 =c (3)

Cách giải: Đặt t= x+a+b2 lúc đó phương trình (3) được

viết lại như sau:

t+a-b

24+

t-a-b

24 =c

2t4 +3(a-b)2

t2 + (a-b)4

8 -c=0

Giải phương trình trùng phương này ta tìm được t rồi từ t suy ra giá trị của x Ví dụ: Giải phương trình (x+1)4

+ (x+3)4 = 272

Giải: Đặt t=x+2 Lúc đó phương trình đã cho được viết lại là: (t-1)4

+(t+1)4 =272

t4 +6t2

-135=0 Đặt X=t2 0 khi đó ta có

X2 +6X-135=0 X=9, X=-15<0 (loại)

Khi X=9 t2 =9 t

1=3, t 2=-3 x

1= 1, x 2 = -5

Vậy phương trình có hai nghiệm là x 1=1,x

2=-5 BÀI TẬP Giải phương trình sau: 1. (x-2)4

+ (x-4)4 =2

2. (x+4)4 + (x+6)4

=82 3. (x+3)4

+ (x+5)4 =2

Tìm m để phương trình (x+1)4 +(x+5)4

=m 4. có nghiệm 5. có 2 nghiệm phân biệt 6. có 4 nghiệm phân biệt 7. có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng 8. Tìm m để phương trình sau có nghiệm (x+1)4

+(x+m)4 =82

www.VNMATH.com



Nhân đây tôi cũng muốn mở rộng dạng toán này thông qua ví dụ sau: Ví dụ: Giải phương trình: (x-2)6

+ (x-4)6 =64

Đặt t=x-3 khi đó phương trình viết lại như sau: (t+1)6

+ (t-1)6 =64 t6

+15t4 +152

-31=0 Đặt X=t2

0 lúc đó phương trình viết lại như sau: X3

+15X2 +15X-31=0

(X-1)(X2 +16X+31)=0

X 1=1, X

2=-8+ 33 <0( loại) X 3=-8- 33<0(loại)

Với X=1 t2 =1 t

1=1, t 2=-1 x

1=4, x 2=2

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là: x 1=4, x

2=2 Tương tự giải phương trình sau: 1. (x-1)6

+(x-2)6 =1

2. (x+2)6 + (x+4)6

=64 3. Tìm m để phương trình (x-1)6

+ (x-3)6 =m có nghiệm

NGHIỆM CỦA ĐỜI ANH

Lối vào tim em như một đường hàm số Uốn vòng vèo như đồ thị hàm sin Anh tìm vào tọa độ trái tim Mở khoảng nghiệm có tình em trong đó Ôi mắt em phương trình để ngỏ Rèm mi mịn màng nghiêng một góc anpha Mái tóc em dài như định lí Bunhia Và môi em đường tròn hàm số cos Xin em đừng bảo anh là ngốc Sinh nhật em anh tặng trái cầu xoay Và đêm Noel hình chóp cụt trên tay Anh giận em cả con tim thổc thức Mãi em ơi phương trình không mẫu mực Em là nghiệm duy nhất của đời anh.

Mục đích sống ở trên đời là sống có mục đích.

www.VNMATH.com



Dạng 4: af2 (x) + bf(x)g(x) + cg2

(x) =0 (4) Với dạng này ta xét hai trường hợp: TH1: g(x)=0 , gọi x= x

o là nghiệm của phương trình g(x)=0 Lúc đó nếu f(x

o)=0 thì x=x o là nghiệm của phương trình

(4) đã cho. Ngược lại nếu f(x

o)≠ 0 thì kết luận nghiệm của phương trình g(x)=0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho. TH2: g(x)≠ 0, ta chia cả hai vế của phương trình (4) đã cho g(x).Khi đó ta có:

a

f(x)

g(x)2+ b

f(x)

g(x) +c =0 (4.1)

Đặt t= f(x)g(x) khi đó phương trình (4.1) đã cho trở thành

at2 +bt +c=0 (4.2)

Giải phương trình này ta tìm được t Giả sử t=t

o là nghiệm của phương trình (4.2) Khi đó nghiệm của phương trình (*) đã cho là nghiệm của

phương trình f(x)g(x) =t

o f(x)=t og(x)

Ví dụ:Giải phương trình: (x2 +6)2

-8x(x2 +6)+7x2

=0 Ta có nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho.Khi đó với x≠ 0 ta chia hai vế của phương trình cho x2

. Lúc đó phương trình được viết lại như sau (x2

+6)2

x2

-8(x2 +6)x +7=0

www.VNMATH.com



Đặt t= (x2 +6)x khi đó phương trình đã cho được viết lại

như sau: t2 -8t+7=0 t

1=1, t 2=7

Khi t 1=1 thì ta có phương trình x2

- x +6 =0 (Vô nghiệm) Khi t

2=7 thì ta có phương trình x2 -7x+6 =0

x 1 =1, x

2 =6 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x

1=1, x 2 =6

BÀI TẬP Giải các phương trình sau: 1. (x+3)2

- x2 -x+6 = 2(x-2)2

2. 2(x2

+x+1)2 -7(x-1)2

=13(x3 -1)

3. 4x + 6x

= 9x

4. 2(x-1)2 + 3(x2

-1)=5(x+1)2

5. 20102x

-3.4002x

+2.4x

=0

6. 3.16x

+2.81x

=5.36x

7. 2.41x +6

1x =9

1x

8. Giải và biện luận các phương trình sau: a. 2(x2

+x+1)2 +(m-1)(x3

-1) +(x-1)2 =0

b. 49x

- 4.21x

+m.9x

=0

9. Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt x

1, x 2 thoả mãn 2< x

1 x 2 5

2+ 52x

+ 5-22x

+ m = 0

- Không gì gần sát cái đúng bằng cái sai. (Albert Einstein's)

www.VNMATH.com



Dạng 5 mx+a + m

x+b - mx+c - m

x+d = n (5)

Trong đó a+c = b+d = p và giả thiết phương trình đã cho là xác định. Vói loại này ta có phương pháp giải như sau: Đưa phương trình về dạng: m

x+a - mx+c + m

x+b - mx+d =n quy đồng ta được:

m(c-a)x2

+px+ac + m(d-b)x2

+px+bd =n

Khi đó đặt t=x2 +px ta được phương trình có dạng

kt+ + h

t+ =n

Phương trình trên thì các bạn có thể giải được dễ dàng nhờ phương pháp quy đồng rồi từ đó có thể suy ra nghiệm của (1) Ví dụ: Giải phương trình

1x+3 + 1

x+4 - 1x+5 - 1

x+6= 59420 (5.1)

Theo cách làm như đã hướng dẫn ta có phương trình (5) tương đương với phương trình sau:

3x2

+9x+18 + 1x2

+9x+20 = 59420

Đặt t = x2 +9x khi đó ta có phương trình sau

3t+18 + 1

t+20 = 59420

Giải phương trình trên ta có nghiệm là -115259 , 10

www.VNMATH.com



Khi đó ta có các nghiệm của phương trình đã cho

là: 1, -10, -92 + 3 1121118 , -92 - 3 1121

118

BÀI TẬP Giải các phương trình sau

1. 1x+2 + 1

x+5 - 1x+4 - 1

x+7 = 29252

2. 4x2

-3 + 4

x2 -5

- 4x2

+7 - 4x2

+9 = 4336

3. Giải và biện luận phương trình sau: 3

x2 +1 + 3

x2 +2 - 3

x2 +3 - 3

x2 +4 =m (5.2)

4. Tìm m để phương trình (5.2) có hai nghiệm phân biệt mà hai nghiệm ấy phải thuộc [-2, 2], khi nào thì (5.2) có 4 nghiệm phân biệt. - Ai đó ví người theo nghề giáo như những người chèo đò cần mẫn đưa khách sang sông. Bao thế hệ người đến rồi đi và chỉ có người lái đò ở lại... Thầy cô là thế, luôn miệt mài với công việc của mình để dìu dắt bao thế hệ trí thức, luôn sẵn sàng cho đi những gì tinh túy nhất cuộc đời mình mà không mong nhận lại điều gì... - Đừng khóc vì những gì đã mất mà hãy cười với những gì đang có. - Mọi sáng tạo và cái mới chỉ có thể tới được trên cơ sở cách nhìn nhận mới, cách nghĩ mới, không theo lối mòn cũ.

www.VNMATH.com



Dạng 6* x4

=ax2 +bx+c (6) trong đó a, b,c

là hằng số. Với dạng này ta có phương pháp giải như sau: Chọn giá trị mR sao cho m thoả mãn (2m+a)x2

+bx +c+m2 = (x+)2

(6.1) Thực chất để xảy ra (6.1) thì điều kiện cần và đủ là b2

-4(2m+a)(c+m2 )=0

Từ đó giải phương trình này theo m thì ta có thể tìm được giá trị m cần tìm. Ta có x4

=ax2 +bx+c

x4 +2mx2

+m2 =(2m+a)x2

+bx +c+m2

Với cách chọn giá trị m như trên ta có thể đưa về dạng (x2

+m)2 = (x+)2

(x2

-x-+m)(x2 +x++m)=0

Đây là phương trình tích nên bạn có thể giải được dễ dàng Ví dụ: Giải phương trình: x4

=6x2 - 37x +3 (6.2)

Trước hết ta cần chọn giá trị m sao cho 37-4(2m+6)(m2

+3)=0 Phương trình này có một nghiệm thực duy nhất là

m=- 52

Như đã trình bày trong phần cách giải (6) ta có

x4 -5x2

+ 254 = x2

- 37x+ 374

x2

-52

2 =

x- 372

2

x2 +x-52- 37

2

x2 -x+ 37

2 -52 =0

www.VNMATH.com



, , , 12

11 2 372

12

11 2 372

12

11 2 372

12

11 2 372

Giải phương trình tích này ta có các nghiệm là:

Chú ý đối với phương trình x4

=6x2 +bx+3 thì ta

chọn giá trị m cần chọn là m= (b2

-64)13

2 -1

BÀI TẬP Giải phương trình sau

1. x4 = 6x2

+ 56x+3

2. x4 =x2

+2x- 195

3. Tìm điều kiện để phương trình sau có nghiệm phân biệt

x4 = 6x2

+ (8m3 +64) x +3 (6.3)

4. Khi nào thì phương trình (6.3) có 2 nghiệm dương phân biệt nằm thuộc vào [-2, 2]

- Thế giới quá rộng lớn. Những con người bé nhỏ cứ đi mãi, đi mãi trên khắp các con đường. Thế rồi tình cờ, hai trong số họ gặp nhau. Nói với nhau vài câu rồi rời đi. Giúp đỡ nhau tí chút để trở thành bạn bè. Hay nhiều hơn nữa, họ ở lại bên nhau, nương tựa, nâng đỡ tâm hồn nhau. Bao nhiêu phương án có thể xảy ra. Tôi chợt hiểu, để tìm thấy một người khiến thật tâm mình rung động, yêu thương không tính toán, trao gửi hết tất cả bí mật mới khó khăn và thiêng liêng làm sao... (Dạt vòm – Phan Hồn Nhiên)

www.VNMATH.com



,5 1 1 5

Dạng 7 a(ax2 +bx+c)2

+b(ax2 +bx+c) +c=x (7)

Đặt t= ax2

+bx+c khi đó ta có hệ phương trình sau:

ax2

+bx+c=t at2

+bt+c=x Giải hệ phương trình này ta thu được nghiệm của phương trình đã cho. Ví dụ: Giải phương trình sau: (x2

+3x-4)2 +3(x2

+3x-4) =x+4 (7.1) Đặt t=x2

+3x-4 Khi đó ta có hệ phương trình sau:

x2

+3x-4=t t2

+3t-4=x (7.2) Giải hệ (7.2) bằng cách lấy phương trình thứ nhất trừ phương trình thứ hai khi đó ta có (x2

-t2 )+4(x-t)=0 (x-t)(x+t+4)=0

Với t=x thì ta có các nghiệm là Với t=-x-4 thì các nghiệm là 0, 4 Vậy phương trình (7.1) có 4 nghiệm là 0, 4, 5-1, - 5-1 BÀI TẬP Giải các phương trình sau

1. (x2 +4x+2)2

+4(x2 +4x+2)=x-2

2. (x2 -4x+3)2

-4x2 +15x-9=0

Cho phương trình (x2 +5x+m)2

+5x2 +24x+6m=0

3. Giải phương trình khi m=-12 4. Giải phương trình khi m=-22 5. Giải và biện luận nghiệm của phương trình đã cho. 6. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có it nhất hai nghiệm dương phân biệt.

Cho phương trình sau:

www.VNMATH.com



2m(2mx2 +3x+m)2

+6mx2 +8x+4m=0

7. Giải phương trình khi m=- 23

8. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho chỉ có hai nghiệm phân biệt.

9. Tìm m để phương trình sau có nghiệm (x2

-2x+2)2 +2(1-m)(x2

-2x+2)+m2 -2m+4=0

Yêu Toán nhất

Tặng IMO-48 lần đầu tiên tổ chức tại Việt Nam 7/2007 (Tôi chỉ trích dẫn)

Bạn ơi, Toán học là gì?

Đó là thủ thuật, đó là tinh khôn! Là tư duy lôgic, ma lanh,

Giúp cho đời những giải pháp nhanh, Rút ngắn thời gian và đầu tư công của,

Để thu về cuộc sống optimal!

Chính vì thế mà ta đã yêu! Yêu, yêu nhất suốt đời ta là Toán! Toán cho ta một bầu trời trí tuệ,

Một kho tàng chìa khóa để tư duy.

Hệ thống công thức, định lý Toán là một loài hoa, Nở rộ hàng ngày và đẹp mãi trong ta.

Song đặc biệt chúng không bao giờ tàn lụi, Chỉ có đẹp thêm, đẹp thêm, tràn đầy sức sống!

Nay Toán yêu của ta có thêm Tin cộng lực Dù yêu Tin, ta vẫn yêu Toán nhất trên đời!

Hà Nội, 30/7/2007

- Thành công có 99% là mồ hôi và nước mắt.

www.VNMATH.com



Dạng 8: ax2 +bx+c= px2

+qx+r trong đó aq=bp≠ 0 và giả thiết biểu thức trong căn là không âm

Với loại này ta có cách giải như sau: Viết phương trình đã cho dưới dạng:

a.

x2

+bax+c

a = p x2 +

qpx+r

p (8.1)

Khi đó đặt t = x2 + bax= x2

+ qp x (do aq=bp≠ 0)

Phương trình (8.1) được viết lại là: ap

t+c

a = t+rp (việc giải phương trình này đã dễ

dàng hơn rồi bạn nhỉ !). Tiến hành giải phương trình này ta được t rồi từ đó suy ra nghiệm x của phương trình đã cho Ví dụ Giải phương trình sau x2

-3x+2= 2x2 -6x+28 (8.2)

Đặt t= x2 -3x khi đó phương trình đã cho viết lại

như sau:

t+2= 2 t+14 t+20 (t+2)2

=2(t+14) t 1=4, t

2=-6

Khi t=4 thì ta có x2 -3x =4 x

1=-1, x 2=4.

Khi t=-6 thì ta có x2 -3x=-6 phương trình không có

nghiệm thực. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm thực là -1, 4 BÀI TẬP Giải các phương trình sau: 1. 2x2

-3x+2= 4x2 -6x+28

www.VNMATH.com



2. x2 -7x +2= 2x2

-14x+84 Cho phương trình sau x2

-7x+m - 3x2 -21x+85 =0

3. Giải phương trình khi m=19 4. Giải và biện luận theo m nghiệm của phương

trình. Cho phương trình 6x2

-12x+5= 2x2 -4x+m (8.3)

5. Giải phương trình khi m= 85, m=2.

6. Giải phương trình khi m= 11972

7. Tìm giá trị m để phương trình (8.3)chỉ có hai nghiệm mà hai nghiệm đó đều dương.

8. Tìm giá trị của m để phương trình (8.3) có bốn nghiệm phân biệt.

- Cuộc đời làm nhà giáo là hiến dâng sức lực, trí tuệ, tài năng, sức sống cho lớp lớp học sinh. Đó là một cuộc đời nặng nhọc, mòn mỏi trái tim, là những đêm không ngủ, là những sợi tóc bạc. Đó là một cuộc sống vất vả nhất nhưng vui tươi nhất, là một sáng tạo đầy hồi hộp. Chúng ta sáng tạo ra con người và chính vì thế đó là một niềm hạnh phúc lớn lao, một hạnh phúc chân chính. Lao động của chúng ta là lao động không có gì so sánh nổi, là lao động từ năm này qua năm khác, là sự nghiệp trăm năm trồng người. Bởi vậy, nghề giáo là những nghề cao quý. Để trở thành một nhà giáo ưu tú phải có một tình yêu vô hạn đối với lao động, có năng lực chuyên môn, có tinh thần sáng khoái, có trí tuệ sáng suốt, có tâm hồn cao đẹp để những lời giảng vang lên không phải là những âm thanh trống rỗng mà chính là nguồn mạch nuôi lớn tâm hồn và trí tuệ học sinh. - Hồn tôi mãi mãi cháy bỏng, hồn tôi mãi mãi vun xới và nâng niu…Nếu có kiếp sau, tôi xin được làm thầy giáo dưới bầu trời Việt Nam. (Những lời trên là của thầy trưởng Khoa Văn trường ĐHSP Huế trong dịp kỉ niệm ngày nhà giáo Việt Nam(20-11-2009)

www.VNMATH.com



Dạng 9

1

f(x)+a2 +

1

f(x)+b2 = c

(9) Giả sử các biểu thức ở mẫu luôn khác không.

Với loại này ta đặt X= f(x)+ a+b2 và = b-a

2 khi đó

phương trình đã cho được viết lại như sau:

1

X-2 +

1

X+2= c

Tiến hành quy đồng mẫu ta có phương trình sau: cX4

-2(c2 +1)X2

+ c4 -22

=0 (9.1) Phương trình (9.1) là một phương trình trùng phương theo X mà bạn có thể giải được dễ dàng . Khi tìm được X = X

0 là nghiệm thì dựa vào cách đặt X ta đưa phương trình đã cho về dạng:

f(x) + a+b2 =X

0

Lúc này bạn có thể tìm được x dễ dàng bằng cách giải phương trình trên.

Lưu ý: Dạng phương trình

k

f(x)+a2+

k

f(x)+b2=c ta

luôn đưa về được dạng phương trình (9) Ví dụ: Giải phương trình:

1

sin(x)-12 +

1

sin(x)-22 = 40

9 (9.2)

Đặt t=sin(x)- 32 khi đó phương trình (9.2) viết lại

như sau:

www.VNMATH.com



1

t+12

2 +

1

t-12

2 = 40

9 18t2 + 92 = 40t4

-20t2 + 52

40t4 -38t2

-2= 0 t 1=-1, t

2=1

Với t=-1 sin(x)= 12 x= (-1)k 6 + k (kZ)

Với t=1 sin(x)= 52 ( vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là

x= (-1)k 6 + k (kZ)

BÀI TẬP Giải các phương trình sau:

1.

1

x2 -3

2 +

1

x2 -2

2 = 54

2.

3

2cos2 (x)-2

2 +

3

2sin2 (x)+1

2 =40

3.

4

e2x +1

2 +

4

e2x +3

2 =5

4.

3

x+4 x-22 +

3

x+4 x-62=10

Cho phương trình

12

x2 -3x+5

2+

12

x2 -3x+6

2=m (9.3)

5. Giải phương trình khi m=25. 6. Biện luận số nghiệm của phương trình (9.3). - Bạn và tôi cùng chung mục đích, lý tưởng thì ắt phải đi

chung trên một con đường...rồi cuối cùng sẽ gặp nhau. - Đừng sợ hãi khi bạn phải đối đầu với một đối thủ mạnh

hơn, mà phải vui mừng vì bạn đã có cơ hội chiến đấu hết mình.

www.VNMATH.com



Dạng 10 (Phương trình phản phương)

ax4 +bx3

+cx2 bx+a=0 (a≠ 0) (10)

Với loại này ta có nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho Khi x≠ 0 thì ta chia hai vế xủa phương trình cho x2

khi đó ta được ax2 +bx+c bx + a

x2 =0

a

x1

x2+b

x1

x +c 2=0

Đặt t= x 1x khi đó ta có phương trình mới

at2 +bt +c 2=0 (10.1)

Việc giải phương trình (10.1) là dễ dàng, tìm được t sau đó dựa vào cách đặt t ta suy ra x. Ví dụ: Giải phương trình x4

-4x3 +x2

+4x+1= 0 Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho. Với x≠ 0, thì ta chia hai vế của phương trình cho x2

khi đó ta có

x-1x2 -4

x-1x +3=0

Đặt t=x- 1x lúc đó ta có phương trình

t2 -4t+3=0 t

1=1, t 2 =3

Với t=1 thì ta có phương trình

www.VNMATH.com



x2 -x-1=0 x

1= 1+ 52 , x

2= 1- 52

Với t=3 thì ta có phương trình

x2 -3x-1=0 x

3= 3+ 132 , x

4= 3- 132

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm

x 1= 1+ 5

2 , x 2= 1- 5

2 , x 3= 3+ 13

2 , x 4= 3- 13

2

BÀI TẬP Giải phương trình 1. 9x4

-9x3 -52x2

-9x+9=0 2. x4

+ 2x3 -6x2

-2x+1=0 3. x4

+10x3 +26x2

+10x+1=0 Cho phương trình x4

+5x3 +mx2

+5x+1=0 (10.2) 4. Giải phương trình khi m=-12. 5. Giải và biện luận số nghiệm của phương trình. 6. Cho phương trình sau x4

- (m+1)x3 +(m+2)x2

- (m+1)x+1=0 Tìm m để phương trình có nghiệm. 7. Cho phương trình sau x4

+mx3 +x2

+mx +1=0 Tìm m để phương trình có ít nhất hai nghiệm âm khác nhau. 8. Biết phương trình x4

-bx3 - cx2

- bx+1=0 có nghiệm Chứng minh rằng: b2

+(c+2)2 >3

Con đường phía trước vẫn còn nhiếu khó khăn , nhưng quan trọng ta có bản lĩnh đề vượt qua hay không ? Chính niềm đam mê sẽ góp thêm sức mạnh cho ta

www.VNMATH.com



Dạng 11 (Phương trình hồi quy) ax4

+bx3 +cx2

dx+k=0 (11) trong đó kb2 =ad2

Ở đây chỉ xét trường hợp k≠ 0, còn khi k=0 thì phương trình đã suy biến về phương trình bậc ba. Với loại này ta có cách giải như sau

Trước hết để thuận tiện ta đặt = db = ka

Ta có nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương trình (11). Với x≠ 0, ta chia hai vế của phương trình (11) cho x2

thì thu được phương trình sau:

ax2 +bx +c dx + k

x2 =0

a

x2 +2

x2

+b

xx +c =0

a

xx2+b

xx +c 2a=0

Đặt t= x x khi đó ta có phương trình bậc hai

at2 +bt+c 2a=0 Việc giải phương trình này ta có

thể thực hiện dễ dàng. Tìm được t từ đó ta tìm được x dựa vào cách đặt t. Ví dụ: Giải phương trình: x4

+x3 -8x2

+2x+4=0 Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho.

www.VNMATH.com



Tiến hành chia hai vế của phương trình đã cho cho

x2 khi đó ta thu được:

x2 +

4x2

+

x+2x -8=0

Đặt t= x+2x lúc đó ta sẽ có được phương trình là:

t2 +t-12=0 t

1 =3, t 2=-4

Với t=3 thì ta có phương trình x2

-3x+2=0 x 1 =1, x

2=2 Với t= -4 thì ta có phương trình x2

+4x+2=0 x 3 =-2+ 2 , x

4=-2- 2 Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm thực là: x

1 =1, x 2=2, x

3 =-2+ 2 , x 4=-2- 2

BÀI TẬP Giải các phương trình sau 1. 4x4

+2x3 -8x2

+3x+9=0 2. x4

+ x3 -8x2

-3x+9=0 Cho phương trình x4

+x3 +mx2

+2x+4=0 3. Tìm m để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt. 4. Tìm m để phương trình có một số lẻ nghiệm. Cho phương trình 9x4

+3x3 -2m2

x2 +4x+16=0

5. Giải phương trình khi m=4 6. Giải phương trình khi m= 12-2 3 , m= 12+ 3 7. Tìm m để phương trình có một số chẳn nghiệm. 8. Khi nào thì phương trình có một số chẳn nghiệm

- Chẳng có gì đáng giá bằng nụ cười và tình yêu thương của bạn bè. - Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng.

www.VNMATH.com



PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA TỔNG QUÁT

AX3 +BX2 +CX+D=0(A≠ 0) (12) Sau đây tôi xin cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quát hơn về phương trình bậc ba. Trước hết ta chú ý rằng phương trình (12) luôn luôn được đưa về dạng x3

+ax2 +bx+c=0 (12.1) nên ta chỉ

cần xét phương trình này.

Đặt x=t- a3 khi đó phương trình (12.1) được đưa về

dạng

t-a33

+a

t-a32

+b

t-a3 +c=0

t3 +

b-a

2

3 t +

2a3

27 -ab

3 +c =0

Đặt p= b- a2

3 , q= 2a3

27 - ab3 +c khi đó ta có phương

trình t3 +pt+q=0 (12.2)

TH1: Nếu p=0 thì ta có phương trình t3 +q=0 t=- 3 q

Tức là đã giải được nên ta không cần xét tiếp nữa

TH2: Nếu p>0 thì ta đặt t = p3u khi đó (12.2) viết lại

là:

p

3u3 +p p

3u +q=0 u3 +3u= -3 3q

p p

Đặt m=-3 3qp p

khi đó ta có phương trình u3 +3u = m

www.VNMATH.com



TH3: Nếu p<0 thì ta đặt t= -p3 u khi đó (12.2) viết lại

là:

-p

3 u3+ p -p

3 u +q=0 u3 -3u = 3 3q

p -p

Đặt m= 3 3qp -p

thì ta có phương trình là u3 -3u =m

Kết luận: Mọi phương trình bậc ba luôn luôn có thể đưa về dạng x3

+3x=m hoặc x3 -3x=m

Ta có đồ thị hàm y=x3 +3x như sau

Dựa vào đồ thị ta nhận xét phương trình x3

+3x=m có duy nhất nghiệm.

www.VNMATH.com



Đồ thị hàm số y= x3 -3x

Dựa vào đồ thị ta có nhận xét phương trình x3

-3x=m Có ba nghiệm phân biệt nếu -2 < m < 2 Có một nghiệm nếu m > 2 hoặc m<-2 Có hai nghiệm nếu m=-2 hoặc m=2 Giải phương trình x3

+3x=m

Từ đẳng thức

a-1a

3 +3

a-1a = a3

- 1a3

www.VNMATH.com



Nên ta suy ra phương trình x3 +3x =a - 1a có một

nghiệm duy nhất là x = 3 a - 1

3 a

Xét phương trình x3 +3x =m và ta đặt m= a- 1a khi đó ta

chon một giá trị a thoả mãn là đủ Việc chọn a chính là giải phương trình bậc hai

a2 -ma-1=0 a

1= m+ m2 +4

2 a 2= m- m2

+42

ta chọn giá trị nào trong hai giá trị trên cũng được, giả sử chọn a

1 Khi đó ta có phương trình:

x3 +3x = m+ m2

+42 - 1

m+ m2 +4

2

x = 3 m+ m2

+42 - 1

3 m+ m2 +4

2

Giải phương trình x3

-3x=m Trường hợp 1: m >2 hoặc m < -2

Từ đẳng thức

a+1

a3- 3

a+1

a =a3 + 1

a3 cũng làm tương

tự như giải phương trình x3 +3x=m ta tìm được nghiệm

là:

www.VNMATH.com



x= 3 m+ m2

-42 - 1

3 m+ m2 -4

2

Trường hợp 2: Nếu m=2 thì rõ ràng phương trình x3

-3x=m có hai nghiệm là x

1=-1, x 2=2.

Nếu m=-2 thì phương trình x3 -3x=m có hai

nghiệm là x 1=1, x

2= -2. Trường hợp 3: -2 < m<2 Trước tiên ta chứng minh x (-2,2) m (-2,2) Thật vậy, ta đặt x=2cos thì phương trình trở thành 8cos3

- 6cos = m 2(4cos3 - 3cos)= m

2cos3 = m m (-2,2) (đpcm) Vạy trong trường hợp này thì ta đặt x=2cos (0,) lúc này phương trình x3

-3x=m sẽ có dạng là

2cos3 = m cos3 = m2

Đặt cos= m2 (0,) khi đó ta có = 3 + k23 (kZ)

Vậy nghiệm của phương trình x3 -3x=m trong trường

hợp này là:

x 1= 2cos3 , x

2= 2cos

3+23 , x

3= 2cos

3+43

trong đó cos= m2 (0,).

Quá trình giải phương trình bậc ba tổng quát ta phải đi theo các bước như trên. Sau đó dựa vào cách đặt các biến mà ta suy ra nghiệm của phương trình ban đầu. - Tôi tư duy có nghĩa là tôi tồn tại!

www.VNMATH.com



Ví dụ: Giải phương trình x3 +2x2

+3x +4=0 (12.3) Hướng dẫn: Bằng cách đặt x = t - 23 ta đưa phương trình đã cho

về dạng t3 + 53 t + 70

27 =0. (12.4)

Bằng cách đặt t= 53 X ta có thể đưa (12.4) về dạng

X3 +3X = -14

5 (12.5)

Phương trình (12.4) có duy nhất nghiệm (vì có dạng 3x3

+3x=m) và như đã trình bày ở phần giải phương trình tổng quát ta tìm được nghiệm của phương trình (12.5) là

X= 3 3 6-7

5 - 1

3 3 6-75

Vậy nghiệm của phương trình (12.3) là:

x = 53

3 3 6-7

5- 1

3 3 6-75

- 23

Bây giờ bạn có thể thử sức mình với các bài sau: Giải phương trình: 1. x3

+3x2 +4x+5=0

2. x3 +4x2

+2x+5=0 3. x3

- 6x+ 4 2 =0 4. 72x3

-108x2 -18x+ 27+8 6 =0

www.VNMATH.com



PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT BẬC BỐN

AX4 +BX3 +CX2 +DX+E=0(A≠ 0) (13) Trước hết ta chú ý rằng phương trình (13) luôn có thể được đưa về dạng x4

+ax3 +bx2

+cx+d=0 (13.1) nên ta chỉ cần xét phương trình này. Khi a2

+b2 +c2

=0 thì ta dễ dàng tìm được nghiệm của phương trình.

Khi a2 +b2

+c2 ≠ 0

Đặt x= y- a4 khi đó phương trình (13.1) được viết lại

như sau:

y-a

44+a

y-a

43+ b

y-a

42+c

y-a

4 +d=0

y4 +

b-3a3

8 y2

+

a3

8 +ab

2 +c y+

ba2

16 -3a4

256-ac

4 +d =0

Đặt p= b - 3a3

8 q= a3

8 + ab2 +c r = ba2

16 - 3a4

256 - ac

4 +d

Khi đó ta đưa về phương trình y4

+ py2 + qy+r = 0

y2

+p2+

2 -

2y2 -qy+

2 +p-r+p2

4 =0 (13.2)

Bây giờ ta đặt ra yêu cầu là chọn giá trị để biểu thức

2y2 -qy +

2 +p-r+p2

4 (13.3) là bình phương đúng.

Thực chất quá trình chọn giá trị chính là đi tìm để

= q2 - 8

2 +p-r+p2

4 =0 (13.4)

Phương trình (13.4) là một phương trình bậc ba theo biến do đó phương trình (13.4) có ít nhất một nghiệm

www.VNMATH.com



(giải phương trình bậc ba tổng quát đã trình bày ở phần trước). Vì vậy, ta luôn tìm được giá trị thoả mãn yêu cầu mà đặt ra. Giả sử =

0 là giá trị làm cho biểu thức (13.3) trở thành bình phương đúng. Khi đó

2 0y2

-qy +

02 +p

0-r+p2

4 =

2 0

y- q

4 0

2

Nên phương trình (13.2) được viết lại như sau

y2

+p2+

02-

2 0

y- q

4 0

2 = 0

y2

+p2+

02 =

2 0

y- q

4 0

2

y2

- 2 0y+p

2+ 0+

q2 2

0

y2

+ 2 0y+p

2+ 0-

q2 2

0=0

y

2 - 2

0y+p2+

0+q

2 2 0=0

y2 + 2

0y+p2+

0-q

2 2 0=0

(13.5)

1= -2

02 -2

0p- 2 0q

0

2=

-2 02 -2

0p+ 2 0q

0

Bây giờ ta sẽ đi vào các trường hợp cụ thể: a)

1<0 và 2<0 thì phương trình vô nghiệm.

b) 1=0 và

2<0 hoặc 1<0 và

2=0 thì phương trình

có một nghiệm kép y= 2 0

2 hoặc y= - 2 0

2

c) 1>0 và

2<0

1<0 và 2>0

1=0 và

2=0

www.VNMATH.com



Trong cả ba trường hợp này phương trình có hai nghiệm trong đó hai trường hợp đầu hai nghiệm của phương trình là nghiệm đơn trường hợp thứ ba là hai ngiệm kép. d)

1>0 và 2=0

1=0 và

2>0 Trong hai trường hợp này phương trình có ba nghiệm trong đó có một nghiệm là nghiệm kép và hai nghiệm đơn. e)

1>0 và 2>0, trong trường hợp này phương trình có

bốn nghiệm phân biệt( bốn nghiệm đơn).

y 1= 2

0+ -2 02 - 2

0q-2 0p

2 0

y 2= 2

0- -2 0

2 - 2

0q-2 0p

2 0

y 3= - 2

0- -2 02 + 2

0q-2 0p

2 0

y 4= - 2

0+ -2 0

2 + 2

0q-2 0p

2 0

Chú ý rằng: Do a, b,c không đồng thời bằng không nên theo cách đặt q thì q≠ 0 do đó theo phương trình (13.4) thì giá

trị 0≠ 0.Vì vậy các biểu thức ở trên luôn xác định.

Sau khi tìm hiểu một cách tổng quát về phương trình bậc bốn thì bạn có thể thử với một số ví dụ như sau 1) x4

+2x3 -23x2

+12x+5=0 2) x4

+2x3 +3x2

+4x+5=0 3) x4

+2x3 +3x2

+4x+5=0 4) x4

+2x3 +3x2

+4x+2=0 5) x4

+5x3 -20x2

+12x-2=0

www.VNMATH.com



Phụ lục một số nhà toán học có công trong việc giải các phương trình bậc hai, bậc ba, bậc bốn và cao hơn

François Viète Niccolo Tartaglia

Carl Friedrich Gauss Evariste Galois Niels Henrik Abel

www.VNMATH.com

Documents

Cac dang toan quy ve bac hai co dien