C1.Problema Statică de Optim a Consumatorului. [Downloaded With 1stBrowser]

8/18/2019 C1.Problema Statică de Optim a Consumatorului. [Downloaded With 1stBrowser]

1/27

1

I. Teoria consumatorului

1. Ipoteze privind preferințele indivizilor

În centrul acestei teorii se află un individ reprezentativ pe care î l vom denumi agentconsumator . Acesta dispune de venituri şi, pe de o parte trebuie să facă cheltuielilegate de procurarea bunurilor de consum, iar pe de altă parte poate face economiisau contracta împrumuturi. Consumul bunurilor îi aduce satisfacţie agentului iarobiectivul său este maximizarea stării de satisfacţie măsurată prin intermediul uneifuncții de utilitate. Aceasta depinde de cantitățile consumate din fiecare bun, darvor exista situaţii în care funcția de utilitate va depinde şi de alte variabile, cum ar fitimpul liber sau cantitatea de bani deţinută. Utilitatea poate fi maximizată încondițiile restricției legate de veniturile disponibile pentru procurarea bunurilor deconsum. În cadrul acestui curs vom studia modul în care agentul consumatoradoptă deciziile legate de consum în vederea îndeplinirii obiectivelor sale .

Problema consumatorului poate fi privită în mod direct, în sensul că acestaurmărește maximizarea utilității în condițiile existenței unei restricții bugetare sauindirect, dar echivalent, în sensul că agentul consumator poate să își minimizezecheltuielile de consum în condițiile în care urmărește atingerea unui anumit nivelde utilitate.

1

1

1

(1)


2/27

2


3/27

3

1.

2.

3.

4.

5.


4/27

4

2. Comportamentul agentului consumator - modelul static

2.1. Ipotezele modelului static:

Pe piaţă există un consumator şi n bunuri;

Consumatorul nu poate influenţa preţurile bunurilor vândute şi nici venitul obţinut (preţurile şi venitul sunt exogene);

Optimizarea se face pe un singur orizont de timp (o singură perioadă);

Agentul consumator are obiective bine stabilite:

maximizare utilităţii în condiţiile unui venit dat sau

minimizarea cheltuielilor în condiţiile unui prag de utilitate prestabilit cedetermină un anumit program (o anumită structură) de consum ;

Agentul consumator este raţional; Agentul consumator este solvabil;

Bunurile ce fac obiectul alegerii sunt infinit divizibile.

Relaţia dintre cantităţile de bunuri consumate şi utilitatea obţinută de consumator este datăde o anumită funcţie de utilitate. Funcţia de utilitate este definită astfel: : nU ,

1 2( , , , )nU U q q q , unde iq reprezintă cantitatea consumată din bunul i. Cu ajutorul

funcţiei de utilitate, se realizeaz o corespondenţă între relaţia de preferință stabilită pe

spațiul alternativelor de consum (care poate fi asociat cu

n

) şi relaţia mai mare sau egal definită pe mulţimea numerelor reale.

Utilitatea marginală – arată raportul dintre surplusul de utilitate dobândit în urmaconsumului unei cantități suplimentare dintr-un anumit bun, celelalte cantităţi fiindconstante. Conform acestei definiții, utilitatea marginală adusă de consumarea unei cantitățisuplimentare (∆qi) din bunul i se poate determina astfel:

Utilitatea marginală calculată într -un punct (modificarea cantităţii consumate esteinfinitezimală) presupune trecerea la limită a relației de mai sus și reprezentarea ei cu

notațiile specifice calculului diferențial:

În general, vom utiliza ipotezele conform cărora bunurile sunt ˶normale˝ iar consumatoruleste nesăţios, prin urmare, utilitatea marginală fiind pozitivă:


5/27

5

Utilitatea marginală este o funcție descrescătoare (a doua derivată a funcției de utilitate estenegativă) întrucât utilitatea suplimentară adusă de consumarea unei cantități similare estedin ce în ce mai redusă.

La limită, când cantitățile consumate tind la zero , respectiv la infinit obținem condițiile Inada: și .

Proprietăţile funcţiilor de utilitate:

1. Continue1, crescătoare – utilitatea creşte pe măsură ce consumul creşte2;

2. Derivabile de ordinul 2, cu a doua dervicată continuă;

3. Funcţii concave (matricea hessiană este negativ definită) – fiecare unitateconsumată dintr -un anumit bun aduce o utilitate marginală mai mică decât unitatea precedentă:

2 2 2

1 1 1 2 1

11 12 12 2 2

21 22 2

2 1 2 2 2

1 22 2 2

1 2

....

....

.... ....

.... .... .... ....

.... .... .... .... ....

....

n

n

n

n

n n nn

n n n n

U U U

q q q q q qU U U

U U U U U U

H q q q q q q

U U U U U U

q q q q q q

Pentru ca matricea hessiană să fie negativ definită minorii principali tre buie să fie alternativnegativi şi pozitivi:

11 1

1

...

1 ... ... ... 0

...

ii

i ii

U U

U U

.

1 Deoarece bunurile consumate sunt infinit divizibile, utilitatea poate fi considerată o funcţie continuă încantităţile consumate. 2 În ipoteza în care agentul este raţional, el nu mai consumă un bun dacă acesta nu-i aduce o utilitate pozitivă.


6/27

6

2.2. Rezolvarea problemei de optim pe cazul general

Problema consumatorului: Consumatorul doreşte să îşi maximizeze utilitatea generată de

consumarea setului de bunuri 1 2( , , , )nq q q , fără a depăşi însă venitul pe care îl are ladispoziţie V.

Rezultatul rezolvării problemei consumatorului: consumatorul determină ce cantitate săconsume din fiecare bun de pe piaţă (adică determină funcţia sa de cerere pentru fiecare bun în parte) şi utilitatea maximă pe care o poate obţine.

A. Formularea matematică a problemei:

Problema consumatorului este o problemă de optimizare cu o restricţie care se rezolvă prinmetoda Kuhn-Tucker. Prima etapă a acestei metode este construirea funcţiei de tipLagrange.

B. Construirea Lagrangeanului: asigură transformarea problemei de maximizare cu orestricţie ce avea n parametrii într-o problemă de maximizare fără restricţii dar cu n+1 parametri.

11 2 1 2 , , ,ceea ce dorim sa optimizam restrictia, ,....., , , ,....., max

nn n i i q q L q q q U q q q p q V L

După construirea Lagrangeanului, condiţiile de optim se obţin prin egalarea primei derivatea acesteia cu 03:

11

1

222 1 2

1 2

00

00

............

00

00

n

n

nnn

i i

LU

pqq

LU U U U pqq qq q

p p p

L U pq

q L

p q V

(1)

3 Punctele în care prima derivată a unei funcţii se anulează sunt puncte critice. Dacă a doua derivată a funcţieicalculată în punctul critic e pozitivă, punctul e unul de minim; dacă a doua derivată e zero, este punct deinflexiune, iar dacă a doua derivată este negativă, punctul e de maxim.

1, ,

1 2max , ,.....,

n

nq q

i i

U q q q

p q V


7/27

7

Unde ultima relație reprezintă restricția bugetară:

0i i p q V (2)

Folosind egalitatea (1), se substituie toate cantităţile q2, …, qn în funcţie de q1 în relaţia (2).Din relaţia (2) se obţine o formulă pentru q1 în funcţie de preţuri şi de venit. Având relaţia

pentru q1 se foloseşte din nou egalitatea (1) pentru a obţine formule pentru toate cantităţile: * 1 2, ,..., ,i i nq f p p p V cu 1,i n .

Aceste funcţii de cerere sunt de tip Marshall, sau funcţii de cerere necompensate.

Înlocuind aceste cantităţi optime în funcţia de utilitate vom determina nivelul maxim deutilitate pe care îl poate obţine consumatorul în condiţiile venitului curent pe care îl deţineşi al preţurilor actuale de pe piaţă.

* * *

1 2

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2

, ,.....,

, ,..., , , , ,..., , ,..., , ,..., , , ,..., ,

n

n n n n n

U q q q

U f p p p V f p p p V f p p p V Z p p p V

Această utilitate maximă ce se poate obţine se numeşte şi funcţie de utilitate indirectă şise notează cu Z sau cu .

Proprietăţile funcţiei de utilitate indirectă:

1. este o funcţie descrescătoare în raport cu p.

2. este o funcţie crescătoare în raport cu V.

3. este o funcţie omogenă de grad 0 în raport cu p şi V.

4. este o funcţie continuă.


8/27

8

2.3. Rezolvarea geometrică a problemei de optim

Constrângerea bugetară a consumatorului, pentru cazul cu două bunuri, aceasta sereprezintă astfel:

11 1 2 2 2 1

2 2

pV p q p q V q q

p p

Figura 1. Constrângerea bugetară

Curbele de izoutilitate numite și suprafețe de indiferență reprezintă locul geometric alvectorilor de consum (sau altfel spus, toate combinațiile de bunuri) care generează acelașinivel de utilitate.

Figura 2. Curbe de izoutilitate

Punctul de optim al consumatorului este cel în care restricţia bugetară este tangentă la ocurbă de izoutilitate – a se vedea figura 3.

Figura 3. Determinarea geometrică a punctului de optim

q2

q1

q2

q1 q1*

q2*

q2

q1


9/27

9

2.4. Concepte şi definiţii uzuale

a. Elasticitatea unei funcţii faţă de o variabilă

Mod de calcul:

Pentru modificări foarte mici ale variabilei, adică 0 j x , raportuli

j

f

x

poate fi

aproximat cu derivata funcţiei i f faţă de variabila j x adică elasticitatea devine egală cu:

1 2

1 2

/

1 2

, , ..., , ...,

ln , , ..., , ...,

, , ..., , ...,i j

i j n

i j n j f x j

i j n j

j

f x x x x

f x x x x x E x

f x x x x x

x

(3)

Elasticitatea măsoară variaţia relativă a funcţiei f la o variaţie relativă a variabilei x.

Considerând că f o funcţie de cerere, există mai multe tipuri de elasticităţi :

Elasticitatea cererii faţă de preţ – directă

, 1 1,/

E f p

i i

Bunuri cu cerere elastică (elasticitatea negativă – bunuri

normale; pozitivă – bunuri Giffen)

1,1/

E f p

i i

Bunuri cu elasticitate unitară

1,1/

E

f pi i

Bunuri cu cerere inelastică

Elasticitatea cererii faţă de preţ – încrucişată

Bunuri substituibile

/ /0 0i j j i f p f p E si E Bunuri complementare

Elasticitatea cererii faţă de venit

Bunuri inferioare

/ 0,1i f V E Bunuri normale

/ 1,i f V E Bunuri superioare

b. Rata marginală de substituţie a bunului i cu bunul j – arată cu cât se va modificacantitatea consumată din bunul j la o modificare a cantităţii consumate din bunul i, astfelîncât utilitatea totală să rămână constantă.

/ ,0i f V E

/ /0 0i j j i f p f p E si E


10/27

10

/

j ii j

i

j

U

dq q RMS

U dq

q

(4)

Demonstraţie: Aplicând diferenţiala totală asupra funcţiei de utilitate obţinem :

1 2 11

, ,..., ... ... ...n i j ni j n

U U U U dU q q q dq dq dq dq

q q q q

Deoarece doar cantităţile i şi j se modifică, avem :

0 0 ... 0 ... 0 ... 0 0 j i

i j

i j i

j

U

dq qU U dq dq

U q q dq

q

c. Funcţii omogene de grad n

Prin definiție, o funcţie este omogenă de grad n dacă respectă relația:

1 2 1 2, ,...., , , ,...., ,n

n n f ap ap ap aV a f p p p V .

Dacă o funcție este omogenă de grad n, atunci prezintă următoarea proprietate:

1 2 1 21 2

... , ,...., ,n nn

f f f f p p p V nf p p p V

p p p V

(Teorema lui Euler)

Observație: pentru o demonstrație elementară a acestei relații accesează acest link:

http://mathworld.wolfram.com/EulersHomogeneousFunctionTheorem.html

Împărţind întreaga relaţie cu f obţinem :

1 2

1 2/ / / /

1 2

... ...n

n f p f p f p f V

n

f f f f

p p p V n E E E E n f f f f

p p p V

(5)

Funcţiile de cerere sunt omogene de gradul 0 în p şi V (unde p este vectorul preţurilor:

p = (p1 , p2 , …, pn ). Ca urmare, relaţia (5) se rescrie ca:

0... //// 21 V f p f p f p f E E E E n . Dacă preţurile şi veniturile se modifică

în aceeaşi măsură, programul de consum rămâne neschimbat, ceea ce înseamnă că agenţiiconsumatori nu au iluzie monetară.

http://mathworld.wolfram.com/EulersHomogeneousFunctionTheorem.htmlhttp://mathworld.wolfram.com/EulersHomogeneousFunctionTheorem.htmlhttp://mathworld.wolfram.com/EulersHomogeneousFunctionTheorem.html


11/27

11

d. Semnificaţia economică a lui λ

Aplicând diferenţiala totală asupra funcţiei de utilitate dar şi asupra restricţiei de bugetobţinem :

1 2 1 21 2

, ,..., ...n n

n

U U U dU q q q dq dq dq

q q q

(6)

i i p dq dV (7)

Se folosesc rezultatele derivării Lagrangeanului:

1

1

2

2

...

n

n

U p

q

U p

q

U p

q

care se introduc în (3). Se observă că, în urma substituţiei, diferenţiala totală a funcţiei deutilitate egalează dV – din (4) – iar relaţia (3) se poate rescrie astfel:

1 2, , ..., n i idU

dU q q q p dqdV

(8)

λ reprezintă utilitatea marginală a venitului (creşterea utilităţii la o creştere cu ouni tate a veni tulu i).

e. Tipuri de funcţii de utilitate - completare

CES (Constant Elasticity of Substitution – Arrow, Chenery, Minhas, and Solow, 1961) :

1

1 2 1 2( , ) 1U q q q q

pentru 0 funcţia CES devine egală cu: 1 2 1 2( , )U q q q q (funcţia Cobb-Douglas,

1928, propusă de Wicksell).

CRRA (constant relative risk aversion, Bernoulli (sec. XVII – XVIII)) :

1

, 11

ln( ), 1

C U C

U C C

Stone-Geary:

1

1 2 1 1 2 2( , )U q q q q

unde 1 şi 2 reprezintă cantităţile minime din bunurile 1 şi 2 necesare consumatorului

pentru subzistenţă.


12/27

12

2.5. Rezolvarea problemei duale de optim pe cazul general

a. Formularea matematică a problemei duale: Consumatorul doreşte să îşi minimizezecheltuielile generate de cumpărarea setului de bunuri ),,,( 21 nqqq în condiţiile obţinerii

unei utilităţi cel puţin egale cu o utilitate considerată ţintă u.

Problema de optim se rezolvă tot prin metoda Kuhn-Tucker, iar prima etapă constă tot înconstruirea funcţiei de tip Lagrange:

1 2, ,.....,i i n L p q U q q q u

După construirea Lagrangeanului condiţiile de optim se scriu astfel :

111

222 1 2

1 2

1 2

00

00

1........

....

00

, ,....., 00

n

n

nnn

n

LU

pqq

LU U U U pqq qq q

p p p L

U pq

q L

U q q q u

După obţinerea relaţiilor între cantităţi, acestea se introduc în ultima ecuaţie obţinându-secantităţile q1 ,q2 ,...,qn doar funcţie de preţuri şi utilitate:

* * *1 1 1 2 2 2 1 2 1 2, ,..., , ; , ,..., , ; ...; , ,..., ,n n n n nq h p p p u q h p p p u q h p p p u

Aceste funcţii de cerere sunt de tip Hicks, sau funcţii de cerere compensate.

Înlocuind cantităţile optime consumate în funcţia de cheltuieli rezultă nivelul minim alcheltuielilor necesare obţinerii unei utilităţi egale cu u în condițiile preţurilor existente pe piaţă. e se numeşte funcţia de cheltuieli minime.

* 1 2 1 21 1

, ,..., , , ,..., ,n n

i i i i n n

i i

p q p h p p p u e p p p u

Proprietăţile funcţiei e :

1. este o funcţie crescătoare în raport cu p.

2. este o funcţie omogenă de grad 1 în raport cu p.

3. este o funcţie continuă.

1 , ,

1 2

min

, ,.....,

ni i

q q

n

p q

U q q q u


13/27

13

2.6. Legătura dintre problema consumatorului şi duala sa - Relaţiifundamentale

a. Lema lui Shephard (1953)4 . Între funcţia de cheltuieli minime e şi funcţiile de

cerere de tip Hicks există următoarea relaţie:

1 2

1 2

, ,..., ,, ,..., ,

n

i n

i

e p p p uh p p p u

p

b. Relaţii între funcţiile Z (notată și cu μ) şi e , f și h :

, , Z p e p u u (2.6.b.1) utilitatea maximă ce poate fi obţinută cu costuri minimeeste chiar pragul minim de utilitate ales.

, ,e p Z p V V (2.6.b.2) cheltuielile minime necesare pentru a obţine

utilitatea maximă posibil a fi obţinută sunt egale cu întreg venitul disponibil.

, , ,i i f p V h p Z p V (2.6.b.3) cerea de tip Marshall ( f ) este egală cu cererea de tipHicks (h) în condiţiile în care utilitatea căutată este cea maximă posibilă.

, , ,i ih p u f p e p u (2.6.b.4) cererea de tip Hicks este egală cu cererea de tipMarshall în condiţiile efectuării unor cheltuieli minime.

1 2unde , ,..., n p p p p este vectorul de preţuri.

c. Identitatea lui Roy

Identitatea lui Roy face legătura între cerere, utilitatea optimă, preţ şi venit.

,

senzitivitatea utilitatii optime in raport cu pretul,

, senzitivitatea utilitatii optime in raport cu venitul

ii

Z p V

p f p V

Z p V

V

Demonstraţie:

1 1

, ,

, ,, n n j j j

j ji j i i

Z p V U f p V

f p V f p V Z p V U p

p q p p

(9)

R elaţia de buget se rescrie în funcţie de j f :

4 Folosită deja de Hicks (1939) şi Samuleson (1947)


14/27

14

1 1

,n n

j j j j

j j

p q V p f p V V

Derivând ambii membri în funcţie de i p se obţine:

1 1

, ,

, 0 ,

n n j j

i j j i

j ji i

f p V f p V

f p V p p f p V p p

(10)

Înlocuind (10) în (9) se ajunge la :

,,i

i

Z p V f p V

p

(11)

Derivând în funcţie de V :

1 1

, ,

, ,, n n j j j

j j j

Z p V U f p V

f p V f p V Z p V U p

V q V V

(12)

şi derivând relaţia de buget în funcţie de V se obţine:

1

,1

n j

j

j

f p V p

V

(13)

Înlocuind (13) în (12) se ajunge la :

, Z p V

V

(14)

Împărţind (11) la (14) se obţine identitatea lui Roy:

,

,,i

i

Z p V

p f p V

Z p V

V

d. Ecuaţia lui Slutsky - facultativ

Ecuaţia lui Slutsky descompune efectul modificării preţurilor asupra cererii pe douăcomponente : efectul de venit şi efectul de substituţie.

Pentru clarificare să presupunem că preţul bunului i creşte. Cum reacţionează consumatorul?

i ) îşi reduce consumul din bunul i, dar în încercarea de a păstra acelaşi nivel de utilitate îşimăreşte consumul dintr -un alt bun care devine relativ mai ieftin în comparaţie cu bunul i – efect de substituţie.

i i) creşterea preţului bunului i îi reduce consumatorului venitul real, restricţia bugetară semută paralel cu cea iniţială însă la un alt nivel de utilitate – efect de venit .


15/27

15

, ,, ,,

j j j

i

i i

h p Z p V f p V f p V f p V

p p V

Demonstraţie:

În relaţia , , , j jh p u f p e p u se derivează ambii termeni funcţie de i p :

, , , ,, ,

,

j j j

i i i

f p e p u f p e p uh p u e p u

p p e p u p

Folosind lema lui Shephard pentru ,

i

e p u

p

şi trecând termenul în membrul stâng, se

obţine ecuaţia lui Slutsky:

, ,, ,,

j j j

i

i i

h p Z p V f p V f p V f p V

p p V

Efect devenit

Efect de

substituţie Efectul preţuluiasu ra cererii


16/27

16

2.7. Aplicaţii

1. Fie funcţia de utilitate de tip Cobb-Douglas şi restricţia bugetară

i i p q V .

Cerinţe:

a) verificaţi proprietăţile funcţiei de utilitate;

b) găsiţi funcţiile de cerere de tip Marshall;

c) determinaţi nivelul maxim de utilitate pe care îl poate atinge consumatorul. Cum semodifică nivelul maxim de utilitate atunci când se modifică preţurile celor două bunuri, respectiv venitul consumatorului?

d) determinaţi elasticitatea cererii celor două bunuri în funcţie de preţuri şi de venit.Care este natura celor două bunuri şi care este relaţia dintre elasticităţi?

e) Cu cât se modifică cantitatea consumată din cele două bunuri dacă preţurile şivenitul cresc cu 10%? Dar dacă preţurile cresc cu 7%, iar venitul cu 10%?

2. Aceleaşi cerinţe pentru următoarele funcţii de utilitate:

a) 2

1 2 1 2,U q q q q

b) 1 2 1 2, ln 1 lnU q q q q

c) 1 2 1 2,U q q q q

d) 1 2 1 2,U q q q q

e) 1

1 2 1 2, ( (1 ) )U q q q q

3. Un consumator are o funcţie de utilitate 11 2 3 1 2 3, ,U q q q q q q . Se ştie că preţul

celor 3 bunuri sunt 1 p , 2 p şi 3 p iar consumatorul obţine un venit egal cu V .

a) Formulaţi problema de optim a consumatorului şi condiţiile de ordinul I.

b) Determinaţi consumul optim din cele două bunuri.

c) Determinaţi elasticitatea cererii pentru bunul 1 în funcţie de preţuri şi de venit. Careeste suma elasticităţilor? Interpretare economică.

11 2 1 2,U q q q q


17/27

17

4. Pentru fiecare din funcţiile de utilitate de mai sus, fie problema duală de optim

1 2, ,.....,min

n

i i

U q q q u

p q

Cerinţe:

a) funcţiile de cerere de tip Hicks – verificaţi dacă sunt omogene de grad 0 în preţuri;

b) construiţi funcţia Z – verificaţi dacă este omogenă de grad 0 în raport cu p şi V ;

c) construiţi funcţia e – verificaţi dacă este omogenă de grad 1 în raport cu p;

d) verificaţi identitatea lui Roy şi ecuaţia lui Slutsky.

5. Se consideră funcţia de utilitate ( , ) ln ln(1 )U C L C L cu restricţia de buget p C L w unde L reprezintă munca prestată (ore lucrate), w salariul, p preţul bunurilor şiserviciilor iar C cantitatea de bunuri şi servicii consumate. Să se determine:

a) cererea de tip Marshall;

b) funcţia de utilitate indirectă.

6. Un consumator are funcţia de cheltuieli minime egală cu 1 2 1 2( , , ) 2e p p u u p p .

a) Cum se modifică venitul minim necesar pentru a atinge o utilitate U dacă preţurilecresc cu 10%. Explicaţie.

b) Să se determine funcţia de utilitate indirectă 1 2( , , ) Z p p V .

c) Să se determine funcţiile de cerere Marshall 1 1 2 2 1 2( , , ), ( , , ) f p p V f p p V .d) Să se determine funcţiile de cerere Hicks 1 1 2 2 1 2( , , ), ( , , )h p p u h p p u .

e) Să se determine funcţia de utilitate a consumatorului 1 2( , )U Q Q .

7. Funcţia de utilitate a unui consumator este 1 2 1 2( , )U q q q q , iar venitul său este egal cu

V. Ştiind că preţurile celor două bunuri sunt 1 p , respectiv 2 p se cere:

a) funcţiile de cerere pentru bunurile 1 şi 2 care asigură maximizarea utilităţiiconsumatorului.

b) Să se precizeze cu cât se modifică cantitatea optimă consumată dacă: i. venitulcreşte cu 20%; ii. preţurile scad simultan cu 20%; iii. atât venitul cât şi preţurilecresc cu 20%; iv. elasticităţile şi cresc cu câte 10%.

c) Să se determine cantităţile optime consumate dacă 0,6 , 0,4 ,V=5000,

1 12 p , 2 15 p .


18/27

18

8. Un consumator poate achiziţiona două bunuri, în cantitaţile 1q şi respectiv 2q . Preţul

unitar al primului bun este egal cu 3, iar preţul celui de al doilea este egal cu 2. Preferinţeleconsumatorului sunt reprezentate prin funcţia de utilitate:

1 2 1 1 2, ( 4)( )U q q q q q

Se cere:

a) Funcţiile de cerere Marshall pentru cele două bunuri dacă consumatorul obţine unvenit egal cu V ;

b) Valoarea parametrului ;

c) Cu cât se modifică utilitatea maximă obţinută de consumator dacă venitul creşte cu

o unitate monetară Z

V

?

9. Într-o economie există N+M consumatori (fiecare consumator are un venit egal cu V ) şidouă bunuri ale căror preţuri sunt în prezent

1 p şi 2 p . N consumatori sunt caracterizaţi de

o funcţie de utilitate egală cu 0,4 0 ,61 1 2 1 2( , )u x x x x , iar M consumatori sunt caracterizaţi de o

funcţie de utilitate egală cu2 1 2 1 2( , ) 0,3ln 0,7lnu x x x x , unde 1 x reprezintă cantitatea

consumată din bunul 1, iar2

x reprezintă cantitatea consumată din bunul 2. Să se determine:

a) Funcţiile de cerere agregată (la nivelul întregii economii) pentru bunurile 1 şi 2;

b) Cu cât se modifică cantitatea cerută din cele două bunuri dacă preţul lor creşte cu10%?

10. Fie următoarea funcţie de utilitate a consumatorului:

1 2 1 2 1 2, ln 3 ln , 0, 0U q q q q q q unde 1q , 2q reprezintă cantităţile consumate din

bunul 1, respectiv bunul 2 iar vectorul de preţuri este 1 2, p p p . Se ştie că venitul decare dispune consumatorul este V .

a) Să se stabilească dacă funcţia este sau nu concavă;

b) Să se determine cererea Hicks pentru un nivel dat al utilităţii, u=k > 0 ;

c) Dacă funcţia de utilitate indirectă este: 1 21 2

3( , , ) ln 3ln

4 4

V V Z p p V

p p

, să se

deducă funcţia de cerere Marshall pentru bunul 1.


19/27

19

11. Se consideră o gospodărie ale cărei preferinţe asupra perechilor (C, H) consum,respectiv timp liber, sunt reprezentate prin funcţia de utilitate următoare:

1

, , 0, 0U C H C H C H

(timp liber, H şi timp de lucru, L). Singurul venit de care dispune gospodăria este constituitdin salariu brut w, care este taxat cu o rată de impozitare θ, 0 < θ


20/27

20

14. Se consideră o economie caracterizată de un consumator şi de un producătorreprezentativ. Utilitatea consumatorului depinde de consum (c) şi de timpul liber (1-l ),unde l reprezintă timpul lucrat (oferta de muncă), )1,0(l . Funcţia de utilitate aconsumatorului este următoarea:

21)1,( l cl cu Se mai ştie că acest consumator nu obţine venituri decât din muncă, w este salariul nominal pe unitate de timp, iar p este nivelul preţurilor.

Din problema de optim a producătorului se obţine următoarea funcţie de cerere de muncă:

2

1

p

w

p

w

l D

Să se determine cantitatea optimă de muncă oferită de consumator în funcţie de salariul realşi nivelul salariului real de echilibru pe piaţa forţei de muncă.


21/27

21

2.8. Indicații de rezolvare a aplicațiilor

1. a) Faptul că funcţia U este continuă este evident. Mai trebuie să punem condiţia ca

funcţia U să fie crescătoare şi concavă.Funcţia U este crescătoare dacă derivatele parţiale ale funcţiei sunt pozitive

1 1

1 2

1

0 0 0U

q qq

şi 1 2

2

0 (1 ) 0 1U

q qq

.

Pentru a stabili dacă funcţia este concavă, determinăm matricea Hessiană:

2 1 1

1 2 1 2

1 1

1 2 1 2

( 1) 1( ( ))

1 (1 )

q q q q H U q

q q q q

Minorul de ordinul 1: 2 11 1 2( 1) (1 ) 0 [0,1]q q

Minorul de ordinul 2: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 1 2 1 2( 1) [ ( 1) (1 ) ] 0 0 0q q q q

În concluzie, U este funcţie de utilitate doar dacă [0,1] .

b) pentru a determina funcţiile de tip Marshall, vom rezolva problema de optim aconsumatorului.

Problema de optim:

V q pq p

qqqqU

2211

1

2121 ),(max

Funcţia tip Lagrange:

][][),,( 22111

21221121 V q pq pqqV q pq pU V qq L

Condiţiile de optim:

)3(0

)2()1(0)1(0

)1(00

2211

221221

2

1

1

2

1

11

1

2

1

1

1

V q pq p L

pqq pqqq

L

pqq pqqq

L

Împărţind relaţia (2) la (1) obţinem: 1 2 21 2

2 1 1

1(4)

1

q p pq q

q p p

Înlocuind relaţia (4) în (3) vom obţine funcţia de cerere Marshall pentru bunul 2:


22/27

22

*

2 2 1 2

2

(1 )( , , ) (5)

V q f p p V

p

.

Înlocuind relaţia (5) în (4) vom obţine funcţia de cerere Marshall pentru bunul 1:*

1 1 1 2

1

( , , ) V

q f p p V p

.

c) funcţia Z (funcţia de utilitate indirectă) reprezintă utilitatea maximă ce poate fi atinsă încondiţiile încadrării în venitul disponibil V. Deci Z se obţine înlocuind în funcţia deutilitate cantităţile cu valorile lor optime, adică cu funcţiile de cerere Marshall:

1

21

11

21

1

2121

*

2

*

121

1)1(),(),(),,(

p p

V

p

V

p

V f f f f U qqU V p p Z

se observă că utilitatea maximă scade atunci când preţurile celor două bunuri cresc (relaţienegativă) şi creşte atunci când venitul consumatorului creşte (relaţie pozitivă).

d)

11

1

1

1/ 11

f

p

p

f E p f

01

2

2

1/ 21

f

p

p

f E p f

1

1

1

/1

f

V

V

f E V f

0101/// 12111 V f p f p f E E E

e) În situaţia în care preţurile şi venitul cresc cu 10%, noua valoare a acestora va fi 1,1•valoarea veche.

1 1 2 1 1 2

1 1

1,1(1,1 ,1,1 ,1,1 ) ( , , )

1,1

V V f p p V f p p V

p p

- cantitatea cerută nu se modifică.

În situaţia în care preţurile cresc cu 7% şi venitul creşte cu 10%:

1 1 2 1 1 2

1 1

1,1(1,07 ,1,07 ,1,1 ) 1,028 1,028 ( , , )

1,07

V V f p p V f p p V

p p

- cantitatea cerută

creşte cu 2,8%.


23/27

23

4. a) Problema de optim:

1 1 2 2

1

1 2 1 2

min

( , )

p q p q

U q q q q u

Funcţia tip Lagrange:

1

1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2( , , ) [ ( , )] [ ] L q q p q p q u U q q p q p q u q q


1 1 1 1

1 1 2 1 2 1

1

2 1 2 1 2 2

2

1

1 2

0 0 (1)

0 (1 ) 0 (1 ) (2)

0 (3)

L p q q q q p

q

L p q q q q p

q

Lq q u

Împărţind relaţia (2) la (1) obţinem:

)4(1

1

1

221

1

2

2

1

p

pqq

p

p

q

q

Înlocuind relaţia (4) în (3) vom obţine funcţia de cerere Hicks pentru bunul 2:

* 12 2 1 2

2

1( , , ) (5)

a

pq h p p u u

p

.

Înlocuind relaţia (5) în (4) vom obţine funcţia de cerere Marshall pentru bunul 1:

11

* 11 1 1 2 1

2

1( , , )a

pq h p p u u p

.

Demonstrăm că funcţia Hicks 1h este omogenă de gradul 0 în preţuri, ceea ce înseamnă

conform definiţiei funcţiilor omogene:

1 11 1

0 1 11 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 21 1

2 2

1 1( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

a a

p ph p p u h p p u h p p u u u h p p u

p p

b) e reprezintă cheltuielile minime ce pot fi realizate în condiţiile obţinerii unei utilităţi

egale cu u. Deci e se obţine înlocuind în funcţia de cheltuieli cantităţile cu valorile loroptime, adică cu funcţiile de cerere Hicks:

11

* * 11 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1

2

1 1 2 1 22 1 2

2 2 1 2

1( , , )

1 1 1

1 1

a

a a a

pe p p u p q p q p h p h p h p h p u

p

p p p p p p u u p p u

p p p p


24/27

24

Funcţia este este omogenă de grad 1 în raport cu p dacă şi numai dacă:

1 2 1 2

1 2 1 2

2 2

1 1( , , ) ( , , )

1 1a a p p p p

e p p u u u e p p u p p

5. a) Problema de optim:

Lw pC

LC

)1ln(lnmax

Funcţia de tip Lagrange

)()1ln(ln),,( Lw pC LC LC


)3(0

)2(1

10

1

10

)1(1010

Lw pC

Lww

L L

pC

pC C

Împărţim relaţia (2) la (1): 1 (4)1

w C pC L

p L w

Înlocuind relaţia (4) în restricţie (relaţia (3)) obţinem: * (5)2

wC

p .

Pentru a obţine numărul de ore lucrate optim înlocuim consumul optim în relaţia 4:

1

2 L .

6. a) Faptul că preţurile cresc cu 10% se scrie 1 11,1 p p şi 2 21,1 p p . De aici funcţia de

cheltuieli minime se modifică astfel:

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( , , ) 2 2 1,1 1,1 1,1 2 1,1 ( , , )e p p u u p p u p p p p e p p V

Acest lucru înseamnă că atunci când preţurile cresc cu 10 % şi cheltuielile minime cresc cu10%, deci şi veniturile minime pentru a obţine o utilitate u trebuie să crească tot cu 10%!

b) se foloseşte identitatea:

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

( , , ( , , )) 2 ( , , ) ( , , )2

V e p p Z p p V V Z p p V p p V Z p p V

p p


25/27

25

! Punctele c şi d se pot rezolva prin 2 metode:

- se aplică identitatea lui Roy pt a determina funcţiile Marshall şi pentru funcţiile Hicks se

utilizează identitatea 1 2 1 2 1 2( , , ( , , )) ( , , )i i f p p e p p u h p p u

-se aplică lema lui Shepard pentru a determina funcţiile Hicks şi pentru funcţiile Marshall

se utilizează identitatea 1 2 1 2 1 2( , , ( , , )) ( , , )i ih p p Z p p V f p p V Să urmăm prima metodă.

c) Scr iem identitatea lui Roy pentru funcţiile Marshall1 2, f f

1 21 2

1 1 21 11

1 2 1

1 2 1 2

1 2

2( , , )

4

( , , ) 1 2

2 2

2

V

V p p Z p p V

p p p p p V f

Z p p V V p

V p p p pV

p p

Analog pentru cealaltă funcţie Marshall2

22

V f

p

d) folosim relaţia 1 2 1 2 1 2( , , ( , , )) ( , , )i i f p p e p p u h p p u

1 21 2 21 1 2 1 1 2 1 2

1 1 1

2( , , )( , , ) ( , , ( , , ))

2 2

u p pe p p u ph p p u f p p e p p u u

p p p

Analog: 1 21 2 12 1 2 2 1 2 1 22 2 2

2( , , )( , , ) ( , , ( , , ))

2 2

u p pe p p u ph p p u f p p e p p u u

p p p

9. a) Funcţiile Marshall pentru agenţii cu funcţia de utilitate 1( )u x

1 1

1 1 2 2 1 2

1 2( , , ) 0,4 , ( , , ) 0,6

V V

f p p V f p p V p p

Funcţiile Marshall pentru agenţii cu funcţia de utilitate 2( )u x

2 2

1 1 2 2 1 2

1 2

( , , ) 0,3 , ( , , ) 0,7V V

f p p V f p p V p p

Funcţiile de cerere agregate


26/27

26

M p

V N

p

V V p p f M

p

V N

p

V V p p f

22

212

11

211 7,06,0),,(,3,04,0),,(

b) se calculează elasticitatea lui1 f şi 2 f faţă de 1 p şi 2 p . Se obţine -1 ceea ce înseamnă că

cantitatea cer ută din ambele bunuri scade cu 10%.

12. a) 1 H l

1/2

1/2

1/2

max , 1

1

max ( , , ) 1 1

0 1 (1)

10 1 1 (2)

2

0 1 (3)

U C l C l

pC wl

L C l C l pC wl

L

pC

Ll w

l

L pC wl

2

1/2

2

*

* *

(1) : (2) 2(1 ) 1(1 ) 2(1 )

1

2(1 )(1 ) (1 )

4(1 )

p pl l

w w

pl

ww w p

C l p p w

b)

2*

3

12 0

2 1

l p

w

- o crestere a ratei taxarii duce la scaderea ofertei de munca

(agentii economici nu mai sunt la fel de cointeresati sa munceasca)

2*

1(1 ) 04(1 )

C pw w

p

- o crestere a salariului real duce la cresterea consumului


27/27

c) w=12

* 12(1 )

pl

.

Suma totala a impozitului platit este: * *(1 ) (1 )wl l

14. Problema de optim a consumatorului se scrie în cazul acesta astfel:

2

max ( ,1 ) 1u c l c l

p C w l

.

Documents

C1.Problema Statică de Optim a Consumatorului. [Downloaded With 1stBrowser]