C1 LECTURE NOTE 04nova.bime.ntu.edu.tw/~ttlin/course01/lecture_notes... · 631 M8210 影像處理原理與應用Lecture 04-16 國立台灣大學生物機電系林達德 4.2 頻域與傅立葉轉換

1

631 M8210 影像處理原理與應用 Lecture 04-1

國立台灣大學生物機電系

林達德

頻域之影像強化頻域之影像強化

4.1 背景介紹4.2 頻域與傅立葉轉換4.3 頻域平滑化濾波器4.4 頻域銳化濾波器4.5 同態濾波4.6 理論實踐



林達德

4.1 背景介紹Jean Baptiste Joseph Fourier (1768~1830)

SOURCE: http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Fourier.html



林達德

4.1 背景介紹傅立葉序列與傅立葉轉換



林達德

4.2 頻域與傅立葉轉換4.2.1 一維傅立葉轉換與反轉換

定義連續函數f(x)的傅立葉轉換如下

1)-(4.2 )()( 2∫∞

∞−

−= dxexfuF uxj π

其反轉換為

2)-(4.2 )( )( 2∫∞

∞−= dueuFxf uxj π

以上兩式稱為傅立葉轉換偶(Fourier Transform Pair)，其中 j = √-1，f(x)為連續可積分函數，F(u)為可積分函數。就影像處理而言，f(x)經常為實數函數，F(u)則一般為複數函數

F(u) = R(u) + j I(u)



林達德


一維傅立葉轉換擴充為二維之公式如下：

3)-(4.2 ),(),( )(2∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

+−= dxdyeyxfvuF vyuxj π

其反轉換為

4)-(4.2 ),( ),( )(2∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

+= dudvevuFyxf vyuxj π

一維傅立葉轉換的離散公式如下：

6)-(4.2 1-M0,1,2,..., x )()(

5)-(4.2 1-M0,1,2,...,u )(1)(

1

0

/2

1

0

/2

==

==

∑

∑−

=

−

=

−

M

u

Muxj

M

x

Muxj

euFxf

exfM

uF

π

π



林達德


連接傅立葉轉換與頻率關係的尤拉式(Euler’s Formula)7)-(4.2 sincos θ jθe jθ +=

代入(4.2-5)可得

8)-(4.2 ]/ 2sin/2)[cos(1)(1

0MxjMxxf

MuF

M

xππ∑

−

=

−=

等號右邊的M項，每一項均可視為是F(u)的頻率成份(Frequency Component)，因此傅立葉轉換正如光學稜鏡一樣，可視為是一個“數學稜鏡”，將一個函數f(x)分離至不同的頻率成份。

2



林達德


傅立葉轉換F(u)的極座標表示式：

[ ]

12)-(4.2 )()()()(

11)-(4.2 )()(tan)(

) (10)-(4.2 )()()(

)()(

9)-(4.2 )()(

222

1

2/122

)(

uIuRuFuP

uRuIu

AnglePhaseuIuRuF

SpectrumuF

euFuF uj

+==

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

+=

=

−

−

功率頻譜則定義為

為相位角

稱為頻譜其中

φ

φ

φ



林達德


範例

uX)esin(u

A

]ee-[euj2

A

1]-[euj2

A- ][euj2

A-

]2exp[

]2exp[)()(

uXj-

uXj-uXj-uXj

uXj2-X0

uxj2-

0

π

πππ

ππ

ππ

π

ππ

π

π

=

=

==

−=

−=

∫∫∞

∞−

XdxuxjA

dxuxjxfuF

uX)(uX)sin(AX

euX)sin(u

A )( uXj-

ππ

ππ

π

=

=uF



林達德


範例



林達德


取樣間隔與頻率的關係

15)-(4.2 x

1

14)-(4.2 )()( )(

13)-(4.2 )()( )(

0

∆=∆

∆≡

∆+≡∆

u

∆u∆xuuFuF

uF xxxfxf

xxf

的關係為與

為其對應的傅立葉轉換

間隔取樣可得以每對一個連續函數



林達德




林達德

4.2 頻域與傅立葉轉換4.2.2 二維傅立葉轉換與反轉換

二維離散傅立葉轉換偶

17)-(4.2 ),(),(

16)-(4.2 ),(1),(

1

0

1

0

)//(2

1

0

1

0

)//(2

∑∑

∑∑−

=

−

=

+

−

=

−

=

+−

=

=

M

u

N

v

NvyMuxj

M

x

N

y

NvyMuxj

evuFyxf

eyxfMN

vuF

π

π

頻譜、相位角與功率頻譜

20)-(4.2 ),(),(),(),(

19)-(4.2 ]),(),([tan),(

18)-(4.2 )],(),([),(

222

1

2/122

vuIvuRvuFvuP

vuRvuIvu

vuIvuRvuF

+==

=

+=

−φ

3



林達德


範例

3.25

]4432[41

)]3()2()1()0([41

]0exp[)(41)0(

3

0

=

+++=

+++=

= ∑=

ffff

xfFx

]2[41

]4432[41

]4/2exp[)(41)1(

2/32/0

3

0

j

eeee

xjxfF

jjj

x

+−=

+++=

−=

−−−

=∑

πππ

π

]2[41)3(

]01[41)2(

jF

jF

+−=

+−=同理

4/5])4/1()4/2[()3(

4/1])4/0()4/1[()2(

4/5])4/1()4/2[()1(

25.3)0(

2/122

2/122

2/122

=+=

=+=

=+=

=

F

F

F

F

其傅立葉頻譜則分別為：



林達德


二維傅立葉轉換之性質

[ ]

26)-(4.2 1

25)-(4.2 1

24)-(4.2 ),(),

23)-(4.2 ),(),

22)-(4.2 ),(1(0,0)

21)-(4.2 )2/,2/()1)(,(

*

1

0

1

0

yNv

xMu

vuFvF(u

vuFvF(u

yxfMN

F

NvMuFyxf

M

x

N

y

yx

∆=∆

∆=∆

−−=

−−=

=

−−=−ℑ

∑∑−

=

−

=

+



林達德




林達德




林達德

4.2 頻域與傅立葉轉換4.2.3 頻域之濾波

1.基本性質影像中灰階變化與頻率的關係



林達德

4.2 頻域與傅立葉轉換4.2.3 頻域之濾波2.頻域濾波原理

頻域濾波之步驟

(1)如(4.2.21)式對原影像乘上(-1)x+y，將轉換後原點置於影像中心。

(2)將步驟(1)所得之影像進行DFT，求得F(u,v)。(3)對F(u,v)乘上一過濾器函數H(u,v)。

(4)將步驟(3)所得之結果進行DFT反轉換。

(5)取得步驟(4)所得結果之實數部。(6)將步驟(5)所得結果乘上(-1)x+y。

27)-(4.2 ),(),(),( vuFvuHvuG =

28)-(4.2 )],([Image Filtered 1 vuG−ℑ=

4



林達德


2.頻域濾波原理頻域濾波之步驟



林達德


凹口型濾波器(Notch Filter)

29)-(4.2 1

22 0),(

otherwise),N/(M/if (u,v)

vuH⎩⎨⎧ =

=

3.基本頻域濾波器與其性質



林達德


低通濾波器(Lowpass Filter)與高通濾波器(Highpass Filter)3.基本頻域濾波器與其性質



林達德


低通濾波器(Lowpass Filter)與高通濾波器(Highpass Filter)3.基本頻域濾波器與其性質



林達德

4.2 頻域與傅立葉轉換4.2.4 頻域與空間域濾波之對應關係

1.捲積定理(Convolution Theorem)定義一維捲積運算為

∫∞

∞−

−= ααα dxhfxhxf )()( )(*)(

α為虛擬變數(Dummy variable)

βαβαβα ddyxhfyxhyxf ∫ ∫∞

∞−

−−= ),(),( ),(*),(

二維捲積運算為

離散二維捲積運算為

30)-(4.2 ),(),(),(*),(1

0

1

0∑∑−

=

−

=

−−=M

m

N

n

nymxhnmfyxhyxf



林達德


1.捲積定理(Convolution Theorem)範例

⎪⎩

⎪⎨

⎧≤

5



林達德


1.捲積定理(Convolution Theorem)捲積與乘法運算

),(*),( ),(),(

),(),( ),(*),(

vuHvuFyxhyxf

vuHvuFyxhyxf

⇔

⇔

脈衝函數(Impulse Function)

∑∑−

=

−

=

=−−1

0

1

00000 33)-(4.2 ),(),(),(

M

x

N

y

yxAsyyxxAyxs δ

對於一個函數以脈衝函數進行捲積運算即是“複製”該函數在脈衝函數所在位置的函數值。

∑∑−

=

−

=

=1

0

1

034)-(4.2 )0,0(),(),(

M

x

N

ysyxyxs δ



林達德


1.捲積定理(Convolution Theorem)範例

∫ ∫

∫∞

∞−

∞

∞−+

−

=−=−

=−

0

0

1)()(

)()()(

00

00

x

x

dxxxdxxx

xfdxxxxf

δδ

δ

⎩⎨⎧ ≤≤

=

−+++=

elsewhere 0ax0 hen w

)(

)()()()(A

xf

TxxTxxg δδδ

令 g(x) = δ(x+T) + δ(x) + δ(x-T)

則 f(x)＊g(x) 為左圖所示



林達德


2.頻域濾波器與空間域遮罩

位於原點的單位脈衝函數其傅立葉轉換為：

35)-(4.2 1

),(1),(1

0

1

0

)//(2

MN

eyxMN

vuFM

x

N

y

NvyMuxj

=

= ∑∑−

=

−

=

+− πδ

利用(4.2-30)與(4.2-34)，濾波器h(x,y)與脈衝函數的捲積運算為：

36)-(4.2 1

),(),(1),(*),(1

0

1

0

h(x,y) MN

nymxhnmMN

yxhyxfM

m

N

n

=

−−= ∑∑−

=

−

=

δ



林達德


2.頻域濾波器與空間域遮罩

因此基於捲積定理與脈衝函數的性質，我們可以推導出頻域濾波器與空間域遮罩互為一對傅立葉轉換偶，亦即：

37)-(4.2 ),( ),(),()],([ ),(*),(

),(),( ),(*),(

vuHyxhvuHyxyxhyx

vuHvuFyxhyxf

⇔ℑ⇔

⇔δδ



林達德


3.高斯函數濾波器 39)-(4.2 2)(

38)-(4.2 )(222

22

2

2/

x

u

Aexh

AeuHσπ

σ

σπ −

−

=

=

41)-(4.2 22)(

40)-(4.2 -)(

222

2221

2

22

221

2

22

21

2/2/

xx

uu

AeAexh

BeAeuH

σπσπ

σσ

σπσπ −−

−−

−=

=



林達德

4.3 頻域平滑化濾波器

G(u,v)=H(u,v)F(u,v)– H(u,v)為零相位偏離濾波器(Zero-phase-shift

Filter)

理想低通濾波器

Butterworth低通濾波器

高斯(Gaussian)低通濾波器

6



林達德

4.3 頻域平滑化濾波器4.3.1 理想低通濾波器(ILPF)

3)-(4.3 ])2/()2/[(),(

2)-(4.3 D v)D(u, if 0D v)D(u, if 1

),(

2/122

0

0

NvMuvuD

vuH

−+−=⎩⎨⎧

>≤

=

D0為截斷頻率(Cutoff Frequency)



林達德


影像功率(Image Power)

5)-(4.3 /),(100

4)-(4.3 ),(1

0

1

0

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

=

∑∑

∑∑−

=

−

=

u vT

N

u

N

vT

PvuP

vuPP

β



林達德




林達德


頻域與空間域的對應

,y)h(x,y)*f(xg(x,y)v)H(u,v)F(u,G(u,v)

==



林達德

4.3 頻域平滑化濾波器4.3.2 Butterworth低通濾波器(BLPF)

截斷頻率D0則定義為使H(u,v) = 0.5 之D(u,v) = D0

6)-(4.3 ]/),([1

1),( 20

nDvuDvuH

+=



林達德


7



林達德


高次濾波器所產生的環狀效應



林達德

4.3 頻域平滑化濾波器4.3.3 高斯(Gaussian)低通濾波器(GLPF)

8)-(4.3 ),(

7)-(4.3 ),(20

2

22

2/),(

2/),(

DvuD

vuD

evuH

evuH−

−

=

= σ

高斯濾波器無環狀效應



林達德

4.3 頻域平滑化濾波器4.3.3 高斯(Gaussian)低通濾波器(GLPF)



林達德

4.3 頻域平滑化濾波器4.3.4 其他低通濾波器之應用例



林達德




林達德


8



林達德

4.4 頻域銳化濾波器1)-(4.4 ),( 1),( vuHvuH lphp −=



林達德

4.4 頻域銳化濾波器



林達德

4.4 頻域銳化濾波器4.4.1 理想高通濾波器(IHPF)

2)-(4.4 if 1

if 0),(

0

0

⎩⎨⎧

>≤

= D D(u,v) DD(u,v)

vuH



林達德

4.4 頻域銳化濾波器4.4.2 Butterworth高通濾波器(BHPF)

3)-(4.4 )],(/[1

1),( 20

nvuDDvuH

+=



林達德

4.4 頻域銳化濾波器4.4.3 高斯(Gaussian)高通濾波器(GHPF)

4)-(4.4 1),(20

2 2/),( DvuDevuH −−=



林達德

4.4 頻域銳化濾波器4.4.4 頻域之拉普拉辛(Laplacian)運算

[ ]

9)-(4.4 ])2/()2/[),(8)-(4.4 ),(7)-(4.4 ),(6)-(4.4

),()( ),()(),(),(

5)-(4.4 )()()(

22

22

222

22

222

2

2

2

NvM(uvuH)v(uvuH

)F(u,v)v(uyxf)F(u,v)v(u

vuFjvvuFjudy

yxfddx

yxfd

uFjudx

xfd nn

n

−+−−=

+−=

+−=∇ℑ

+−=

+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+ℑ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ℑ

9



林達德


13)-(4.4 } ])2/()2/[1{

12)-(4.4

11)-(4.4 ])2/()2/[),(

10)-(4.4 } ])2/()2/[{),(

221

2

222

2212

F(u,v)NvM(ug(x,y)

f(x,y)f(x,y)-g(x,y)

F(u,v)NvM(uyxf

F(u,v)NvM(uyxf

−+−−ℑ=

∇=

−+−−⇔∇

−+−−ℑ=∇

−

−

成影像之銳化可以下式達



林達德




林達德




林達德

4.4 頻域銳化濾波器4.4.5 Unsharp Masking, High-Boost與

High-Frequency Emphasis濾波Unsharp Masking濾波

14)-(4.4 (x,y)ff(x,y)(x,y)f lphp −=

High-Boost濾波15)-(4.4 (x,y)fAf(x,y)(x,y)f lphb −=

Unsharp Masking與High-Boost濾波之關係

19)-(4.4 1

18)-(4.4 1

17)-(4.4 )1(

16)-(4.4 ),()1(

(u,v) H)(A(u,v)H

(u,v) -H(u,v)H

(x,y)ff(x,y)A(x,y)f

(x,y)fyxff(x,y)A(x,y)f

hphb

lphp

hphb

lphb

+−=

=

+−=

−+−=



林達德


High-Frequency Emphasis濾波



林達德


High-Frequency Emphasis濾波High-Frequency Emphasis濾波

20)-(4.4 (u,v)bHa(u,v)H hphfe +=

10



林達德

4.5 同態(Homomorphic)濾波應用照明反射影像模型在頻率領域同時進行Brightness range compression及Contrast enhancement

f(x,y) = i(x,y) r(x,y)

i(x,y): slow spatial variation low frequencies dynamic range

r(x,y): abrupt spatial variation high frequency contrast



林達德

4.5 同態(Homomorphic)濾波數學式之推演

[ ]

7)-(4.5 v)}(u, v)H(u, v)(u, v)H(u, v)}S(u, y)s(x,

6)-(4.5

5)-(4.5 4)-(4.5 lnln

ln 3)-(4.5 lnlnln

2)-(4.5 )},({)},({),(

1-1-

1-

ri

ri

ri

FF

(u,v) H(u,v) F(u,v) H(u,v) F u,v) H(u,v) Z(S(u,v)

Z(u,v)H(u,v)(u,v) F(u,v) FZ(u,v)

r(x,y)} i(x,y)} f(x,y)} z(x,y)}

r(x,y) i(x,y) f(x,y) z(x,y) yxryxiyxf

{ℑ+{ℑ=

{ℑ=

+==

+=ℑ{+ℑ{=

ℑ{=ℑ{+==

ℑℑ≠ℑ

因此在空間域中

進行處理，得到對以

或

則

首先令

由於



林達德

4.5 同態(Homomorphic)濾波數學式之推演

12)-(4.5

12)-(4.5

11)-(4.5

10)-(4.5 9)-(4.5

8)-(4.5

0

0

00

1

1

e (x,y)r

e (x,y)i

(x,y) (x,y) r i e e

e g(x,y) g(x,y)

r'(x,y) i'(x,y) s(x,y) (u,v)}H(u,v) F r'(x,y)

(u,v)} H(u,v) F i'(x,y)

r'(x,y)

i'(x,y)

r'(x,y)i'(x,y)

s(x,y)

r-

i-

=

=

=⋅=

=

+={ℑ=

{ℑ=

其中

如此則所求之影像為

則

令



林達德

4.5 同態(Homomorphic)濾波

13)-(4.5 ]1)[( )/),((20

2

LDvuDc

LH eH(u,v) γγγ +−−=−



林達德

4.5 同態(Homomorphic)濾波



林達德

4.6 理論實踐4.6.1 二維傅立葉轉換之性質

平移

響有影平移對於傅立葉頻譜沒

的方法像中心將轉換後結果平移至影

4)-(4.6 )1( ),()2,2 3)-(4.6 )2,2()1)(,

222)-(4.6 ),(),

1)-(4.6 ),(),

00

)//(200

00)//(2

00

00

vu

yx

NyvMxuj

NyvMxuj

vuFN/yM/f(xN/vM/uFyf(x

N/,vM/uevuFyyxf(x

vvuuFeyf(x

+

+

+−

+

−⇔−−

−−⇔−

==⇔−−

−−⇔π

π

11



林達德


分配律與更改比例(Distributivity and Scaling)

1.分配律：

2.更改比例：

6)-(4.6 )},({)},({)},(),({5)-(4.6 )},({)},({)},(),({

2121

2121

yxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxf

ℑ⋅ℑ≠⋅ℑℑ+ℑ=+ℑ

8)-(4.6 )/,/(1 ),(

7)-(4.6 ),( ),(

bvau Fab

byaxf

vuFayxfa

↔

↔



林達德


旋轉

若f(x,y)旋轉θ0角度，則F(u,v)亦旋轉相同角度θ0，反之亦然。

7)-(4.6 ),(),( 00 θϕωθθ +⇔+ Frf



林達德


週期性與共軛對稱性

13)-(4.6 12)-(4.6 11)-(4.6 10)-(4.6

*

v)u,F(F(u,v)v)u,(FF(u,v)

N) M,yf(xN)f(x,yM,y)f(xf(x,y)N) M,vF(uN)F(u,vM,v)F(uF(u,v)

−−=

−−=

++=+=+=++=+=+=



林達德


分離性(Separability)

15)-(4.6 ),(1),(

14)-(4.6 ),(1

),(11),(

1

0

/2

1

0

/2

1

0

1

0

/2/2

∑

∑

∑ ∑

−

=

−

−

=

−

−

=

−

=

−−

=

=

=

N

y

Nvyj

M

x

Muxj

M

x

N

y

NvyjMuxj

eyxfN

vxF

evxFM

eyxfN

eM

vuF

π

π

ππ

其中

亦即二維傅利葉轉換可以由連續兩個一維傅利葉轉換求得，逆轉換亦然，如下圖所示：



林達德

4.6 理論實踐4.6.2 以正轉換演算法計算逆轉換

19)-(4.6 ),(1),(1

18)-(4.6 )(1)(1

17)-(4.6 )()(

16)-(4.6 )(1)(

1

0

1

0

)//(2**

1

0

/2**

1

0

/2

1

0

/2

∑∑

∑

∑

∑

−

=

−

=

+−

−

=

−

−

=

−

=

−

=

=

=

=

M

u

N

v

NvyMuxj

M

u

Muxj

M

u

Muxj

M

x

Muxj

evuFMN

yxfMN

euFM

xfM

euFxf

exfM

uF

π

π

π

π

同理，



林達德

4.6 理論實踐4.6.3 離散函數的週期

連續函數f(x)與g(x)經取樣成兩序列後：{ f(0), f(1), f(2), ... , f(A-1) }

{ g(0), g(1), g(2), ... , g(B-1) }

進行捲積之公式為：

為避免折疊錯誤(Wraparound Error)，應填補函數週期，其條件為：

P ≧ A + B - 1

而P為離散函數f(x)及g(x)之週期

20)-(4.6 )()(1)(*)(1

0∑−

=

−=M

mmxhmf

Mxhxf

12



林達德




林達德


26)-(4.6 0

1010),(

25)-(4.6 and 0

10 and 10 ),(),(

24)-(4.6 123)-(4.6 1

22)-(4.6 0

10 )()(g

21)-(4.6 0

10 )()(

(Padding)

⎩⎨⎧

≤≤≤≤−≤≤−≤≤

=

⎩⎨⎧

≤≤≤≤−≤≤−≤≤

=

+≥+≥

⎩⎨⎧

≤≤−≤≤

=

⎩⎨⎧

≤≤−≤≤

=

QxP and Dx CDy and Cx h(x,y)

yxh

QxBPxAByAxyxf

yxf

D-BQ C-AP

PxBBxxg

x

PxAAxxf

xf

e

e

e

e

補零與週期條件為：二維函數的條件類似，

後端補零延長函數週期，在函數



林達德




林達德




林達德




林達德

4.6 理論實踐4.6.4 捲積與相關定理

捲積定理

相關定理(Correlation Theorem)

29)-(4.6 ),(*),( ),(),( 28)-(4.6 ),(),( ),(*),(

27)-(4.6 ),(),(11

0

1

0

vuHvuFyxhyxfvuHvuFyxhyxf

nymxhnmfMN

,y)f(x,y)*h(xM

m

N

n

⇔⇔

−−= ∑∑−

=

−

=

31)-(4.6 ),(),( ),(

30)-(4.6 ),( ),(),(

29)-(4.6 ),(),( ),(),(28)-(4.6 ),(),( ),(),(

27)-(4.6 ),(),(1

2

2

*

*

1

0

1

0

*

vuFvuFyxf

vuFyxfyxf

vuHvuFyxhyxfvuHvuFyxhyxf

nymxhnmfMN

h(x,y)f(x,y)M

m

N

n

o

o

o

o

o

⇔

⇔

⇔

⇔

++= ∑∑−

=

−

=

13



林達德

4.6 理論實踐4.6.4 捲積與相關定理



林達德

4.6 理論實踐4.6.5 二維傅立葉轉換性質總結



林達德




林達德




林達德




林達德

4.6 理論實踐4.6.6 快速傅立葉轉換(FFT)

計算效能

14



林達德


核心表示法(Kernel Expression)

36)-(4.6

35)-(4.6 1

2

1

0

eW

Wf(x)M

F(u)

π/MjM

M

x

uxM

−

−

=

=

⋅= ∑其中

Sucessive Doubling Method

列與偶數列的關係35)可以推導出奇數則由(4.6

則令

若

−==

38)-(4.6 2 37)-(4.6 2

K MM n



林達德


44)-(4.6 ][

43)-(4.6 ][

42)-(4.6 121)(

41)-(4.6 21)(

40)-(4.6 ]12121[21)(

39)-(4.6 ]12121[21

21

221

221

1

0

1

0

1

02

1

0

1

0

)12(2

1

0

)2(2

12

02

uKoddeven

uKoddeven

K

x

uxKodd

K

x

uxKeven

K

x

uK

uxK

K

x

uxK

K

x

xuK

K

x

xuK

K

x

uxK

(u)WF(u)FK)F(u

(u)WF(u)FF(u)

W)xf(K

uF

Wx)f(K

uF

WW)xf(K

Wx)f(K

uF

W)xf(K

Wx)f(K

Wf(x)K

F(u)

−=+

+=

⋅+=

⋅=

⋅++⋅=

⋅++⋅=

⋅=

∑

∑

∑∑

∑∑

∑

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

+−

=

−

=

則

如下：定義偶數項與奇偶數項



林達德


運算次數(Number of Operation) 1.遞迴式(Recursive Expression)

46)-(4.6 21245)-(4.6 212 1

n

n-

) a(n- a(n) ) m(n- m(n)

+=

+=

2.對數表示式

50)-(4.6 2)(

49)-(4.6 log

)(

48)-(4.6 log

47)-(4.6 log21)(

2

22

2

nnC

MMMMC

M Ma(n)

MMnm

n

=

=

=

=



林達德


運算次數(Number of Operation)



林達德


快速傅立葉轉換程式

輸入陣列之排序與重組原理



林達德



輸入陣列之排序與重組原理

15



林達德



•排序與重組

•SDM複數運算

•除以常數N



林達德


/* dft.h - function prototypes and structures for dft and fftfunctions *//* COMPLEX STRUCTURE */typedef struct {

float real, imag;} COMPLEX;

/* function prototypes for dft and inverse dft functions */extern void fft(COMPLEX *,int);extern void ifft(COMPLEX *,int);extern void dft(COMPLEX *,COMPLEX *,int);extern void idft(COMPLEX *,COMPLEX *,int);extern void rfft(float *,COMPLEX *,int);extern void ham(COMPLEX *,int);extern void han(COMPLEX *,int);extern void triang(COMPLEX *,int);extern void black(COMPLEX *,int);extern void harris(COMPLEX *,int);extern int log2(unsigned int);

快速傅立葉轉換程式-C語言程式(P1)



林達德


快速傅立葉轉換程式-C語言程式(P2) /*****************************************************************************************//* *//* fft - In-place radix 2 decimation in time FFT *//* *//* Requires pointer to complex array, x and power of 2 size of FFT, m *//* (size of FFT = 2**m). Places FFT output on top of input COMPLEX array *//* *//******************************************************************************************/

void fft(COMPLEX *x, int m){

static COMPLEX *w; /* used to store the w complex array */static int mstore = 0; /* stores m for future reference */static int n = 1; /* length of fft stored for future */COMPLEX u,temp,tm;COMPLEX *xi,*xip,*xj,*wptr;

int i,j,k,l,le,windex;double arg,w_real,w_imag,wrecur_real,wrecur_imag,wtemp_real;



林達德



if(m != mstore) {

/* free previously allocated storage and set new m */if(mstore != 0) free(w);mstore = m;if(m == 0) return; /* if m=0 then done */

/* n = 2**m = fft length */n = 1 real = (float)wrecur_real;xj->imag = (float)wrecur_imag;xj++;wtemp_real = wrecur_real*w_real - wrecur_imag*w_imag;wrecur_imag = wrecur_real*w_imag + wrecur_imag*w_real;wrecur_real = wtemp_real;

}}



林達德



/* start fft */

le = n;windex = 1;for (l = 0 ; l < m ; l++) {

le = le/2;

/* first iteration with no multiplies */

for(i = 0 ; i < n ; i = i + 2*le) {xi = x + i;xip = xi + le;temp.real = xi->real + xip->real;temp.imag = xi->imag + xip->imag;xip->real = xi->real - xip->real;xip->imag = xi->imag - xip->imag;*xi = temp;

}

16



林達德


快速傅立葉轉換程式-C語言程式(P6) /* remaining iterations use stored w */

wptr = w + windex - 1;for (j = 1 ; j < le ; j++) {

u = *wptr;for (i = j ; i < n ; i = i + 2*le) {

xi = x + i;xip = xi + le;temp.real = xi->real + xip->real;temp.imag = xi->imag + xip->imag;tm.real = xi->real - xip->real;tm.imag = xi->imag - xip->imag;xip->real = tm.real*u.real - tm.imag*u.imag;xip->imag = tm.real*u.imag + tm.imag*u.real;*xi = temp;

}wptr = wptr + windex;

}windex = 2*windex;

}



林達德


快速傅立葉轉換程式-C語言程式(P7) /* rearrange data by bit reversing */

j = 0;for (i = 1 ; i < (n-1) ; i++) {

k = n/2;while(k

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C1 LECTURE NOTE 04nova.bime.ntu.edu.tw/~ttlin/course01/lecture_notes... · 631 M8210 影像處理原理與應用Lecture 04-16 國立台灣大學 生物機電系 林達德 4.2 頻域與傅立葉轉換

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