GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 15

UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES

ECUACIÓN DE LA RECTA SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL

Para determinar la posición de los puntos de un plano usando coordenadas cartesianas rectangulares, se emplean dos rectas perpendiculares (ortogonales) y el punto de intersección se considera como origen.

OBSERVACIONES � Los puntos destacados en la figura son; A = (4, 4), B = (0, 0) y C = (-5, -3). � Los puntos que están en el eje x, tienen ordenada igual a cero. Su forma es (x, 0). � Los puntos que están en el eje y, tienen abscisa igual a cero. Su forma es (0, y). EJEMPLOS 1. Sean c y d números enteros, de modo que d > c. Entonces, el punto P cuyas

coordenadas son (c – d, d – c) se ubica en

A) el primer cuadrante. B) el segundo cuadrante. C) el origen del sistema. D) el tercer cuadrante. E) el cuarto cuadrante.

C u r s o : Matemática

Material N° 18

A B C

II Cuadrante

III Cuadrante

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -1

-2 -3

-4

-5

-6

I Cuadrante

IV Cuadrante

Y Eje de las Ordenadas

X Eje de las Abscisas

2

2. ¿En qué cuadrante está el punto (-3, -2)?

A) Primero B) Segundo C) Tercero D) Cuarto E) Ninguna de las anteriores

3. Si los puntos (-3, -1), (3, -1) y (2, 3) son vértices de un trapecio isósceles, entonces el vértice que falta es el punto

A) (3, 2) B) (-3, 2) C) (2, -3) D) (-2, -3) E) (-2, 3)

4. Al unir los puntos del plano (3, 1), (3, 3), (0, 3) y (-2, 1) el cuadrilátero que se forma es un

A) trapecio isósceles. B) trapezoide. C) rectángulo. D) romboide. E) trapecio rectángulo.

5. En el triángulo cuyos vértices son los puntos (-1, 0), (-1, 4) y (5, 0) se traza el

segmento cuyos extremos son los puntos (2, 2) y (-1, 0). Entonces, este segmento es

A) transversal de gravedad. B) altura. C) mediana. D) bisectriz. E) simetral.

3

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos (medida del segmento generado por dichos puntos), A(x1, y1) y B(x2, y2), se determina mediante la expresión: COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Dados los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), las coordenadas del punto medio del segmento AB son EJEMPLOS 1. La distancia entre los puntos A = (-2, 3) y B = (4, -1) es

A) 2 B) 2 2 C) 2 5 D) 2 13 E) 4 13

2. El punto medio del trazo cuyos extremos son los puntos A = (4, -8) y B = (3, -1) es

A) ( 7, -9) B) ( 1, -7)

C) 1 7, -

2 2

D) 7 9, -

2 2

E) 1 7- , 2 2

xm = 1 2x +x2

, ym = 1 2y +y2

dAB = 2 22 1 2 1(x x ) + (y y )− −− −− −− −

0 x1 x2

y1

y2

A

B

y

x

x2 − x1

y2 − y1

0 x1 x2

y1

y2

A

B

y

x

ym

xm

M

4

3. La intersección de las diagonales del rombo formado por los vértices que están en los puntos (0, 2), (5, 2), (-3, -2) y (2, -2) es el punto de coordenadas

A) (0, 1) B) (1, 1) C) (0, 0) D) (0,-1) E) (1, 0)

4. ¿Cuánto mide el diámetro de una circunferencia de radio PQ determinado por los puntos P(-1, 5) y Q(7, -1)?

A) 5 B) 10 C) 20 D) 50 E) 100

5. ¿Cuáles son las coordenadas del centro de una circunferencia cuyo diámetro AB está

determinado por los puntos A(-1 , 5) y B (7, -1)?

A) (-4, -3)

B) 3-8, -

2

C) 38,

2

D) (3, 2) E) (6, 4)

6. Si los puntos A(1, 3), B(3, 1), C(3, 6) y D(1, 5) son los vértices de un trapecio, entonces

el área del trapecio es

A) 5 u2 B) 7 u2 C) 8 u2 D) 10 u2 E) 12 u2

5

PENDIENTE DE UNA RECTA

Es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación (ángulo que forma la recta con el eje x, en sentido antihorario, desde el eje x hacia la recta) RELACIÓN ENTRE EL ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y LA PENDIENTE DE LA RECTA Sea α el ángulo de inclinación y sea m la pendiente de la recta L. Entonces: � (α = 0º) si y sólo si (m = 0) � (0º < α < 90º) si y sólo si (m > 0)

� (α = 90º), si y sólo si (m no está definida) � (90º < α < 180º) si y sólo si m <

0)

EJEMPLOS 1. La pendiente de la recta pasa por los puntos A(2, -3) y B(-6, 3) es

A) -34

B) 34

C) 43

D) -43

E) 0

m = tg αααα = BPPA

= −

−

2 1

2 1

y yx x

y

x 0 α

L

L tiene pendiente positiva

y

x 0

α

L

L es paralela al eje y

y

x 0 α

L

L tiene pendiente negativa

y

x 0

L es paralela al eje x

L

y2

y1 A

B

P

x1 x2

L

x

y

y2 – y1

x2 – x1

α

α

6

2. ¿Cuál de los siguientes gráficos muestra una recta de pendiente negativa? A) B) C) D) E) 3. ¿Cuál de las siguientes rectas tiene pendiente -3? A) B) C) D) E) 4. Si los puntos A(-3, -2), B(-6, 4) y C(-5, b) son colineales, entonces b =

A) 6 B) 2 C) 1 D) -4 E) -6

5. Dados los puntos A(–6, 2), B(–2, –2), C(6, –2) y D(k, –1), ¿cuánto debe ser el valor

de k para que las pendientes de AB y CD sean iguales?

A) -7 B) -5 C) 5 D) 7 E) 8

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

1

-3 x

y

1

3

x

y

-1

3 x

y

1

3 x

y

-1

3

7

ECUACIÓN PRINCIPAL DE LA RECTA

donde m = pendiente

n = coeficiente de posición

ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO Y TIENE PENDIENTE DADA.

ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS.

CASO PARTICULAR Ecuación de la recta que pasa por dos puntos que están en los ejes.

(a, 0) es el punto del eje X (0, b) es el punto del eje Y

EJEMPLOS

1. La ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -5) y tiene pendiente -45 es

A) 4x + 5y + 33 = 0 B) 4x – 5y – 33 = 0 C) 4x + 5y – 17 = 0 D) 4x + 5y + 17 = 0 E) 4x + 5y – 33 = 0

2. La ecuación de la recta que pasa por los puntos 5, 1

4

y 3- , -14

es

A) y = x – 12

B) y = x – 14

C) y = x + 94

D) y = x – 1

E) y = -x + 1

y = mx + n

(y – y1) = m(x – x1)

(y – y1) = 2 1

2 1

y yx x

−−−−

−−−− (x – x1)

x y +

a b = 1

8

3. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (-3, 4) y tiene pendiente -1? A) x + y = 1 B) x – y = 7 C) x + y = -1 D) x + y = -7 E) x – 1 = 1

4. ¿Cuál es la ecuación que representa a la recta de la figura 1?

A) 4x + 3y = 12 B) 3x – 4y = 6 C) 4x – 3y = -12 D) 3x – 4y = 12 E) 4x – 3y = 12

5. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, -5) y tiene pendiente 0?

A) x + y = 3 B) 3x – 5y = 0 C) x – y = 8 D) x – 3 = 0 E) y + 5 = 0

6. El punto P(b + 2, b) pertenece a la recta de ecuación 2x – 3y = 6. Entonces, las

coordenadas de P son

A) (4, 2) B) (1, -2) C) (2, 2) D) (2, 0) E) (0, -2)

x

y

-3

4

fig. 1

9

RECTAS PARALELAS Dos rectas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales.

Sean L1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2 respectivamente (fig. 1). Entonces: RECTAS PERPENDICULARES Dos rectas son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es -1.

Sean L1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2 respectivamente (fig. 2). Entonces: EJEMPLOS 1. ¿Qué valor debe tener k para que las rectas kx – 5y = 0 y 2x – 3y = 6 sean paralelas?

A) -103

B) 153

C) 152

D) -153

E)

103

L1 //////// L2 si y sólo si m1 = m2

L1 ⊥⊥⊥⊥ L2 si y sólo si m1 · m2 = -1 L1 L2

0 x

y

fig. 2

L1

L2

0 α α

x

y

fig. 1

10

2. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3) y es perpendicular a la recta 3y – x + 8 = 0?

A) x – 3y – 3 = 0 B) x – 3y – 9 = 0 C) 3x + y + 3 = 0 D) 3x + y – 3 = 0 E) 3x – y – 9 = 0

3. ¿Cuál de estas rectas es paralela a la recta de ecuación 4x – 8y = 5?

A) 2x + 4y = -5 B) x – 2y = 5 C) 4x – 2y = 1 D) 4x – 2y = 0 E) x – y = 2

4. ¿Cuál de estas ecuaciones representa una recta paralela a la recta de ecuación

2x + 5y = 1?

A) 2x – 5y = 4 B) 5x – y = -1 C) 5x + 2y = -2 D) 2x + 5y = 0 E) 2x – y = -3

5. Si una recta tiene ecuación 4x + 3y = 2, ¿cuál es la ecuación de una recta perpendicular

a ella y que pasa por el punto (-4, -6)?

A) 3x – 4y = -12 B) 4x + 3y = 12 C) 4x + 3y = -2 D) 3x – 4y = 12 E) 3x + 4y = 12

6. La recta que pasa por los puntos (-2, -3) y (3, -2) tiene igual pendiente que la recta que

pasa por los puntos

A) (1, -4) y (3, -5) B) (0, 2) y (3, -7) C) (6, -2) y (2, -6) D) (0, 4) y (-4, 0) E) (-1, -2) y (4, -1)

11

EJERCICIOS 1. ¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a la recta de ecuación 3x + 2y – 7 = 0?

A) (2, 1) B) (1, 2) C) (-2, -2) D) (2, 3) E) (2, 2)

2. ¿Qué valor debe tener k para que la recta (k + 3)x + (1 – 2k)y + 2 = 0 pase por el

punto (3, -1)?

A)

12

B) -2 C) 4

D) -12

E) 2 3. En el gráfico de la figura 1, ABCD es un rectángulo en que sus vértices A, B, C y D

tienen por coordenadas (-2, -2), (2, -2), (2, 4) y (-2, 4), respectivamente. ¿Cuál es el valor de la pendiente de la diagonal BD?

A) -32

B) 2 C) -3 D) -2

E) -23

4. Con respecto a las rectas L1, L2 y L3 de la figura 2, ¿cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La pendiente de L1 es indeterminada. II) La pendiente de L2 es positiva. III) La pendiente de L3 es negativa.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

A

D

B

C

y

x

fig. 1

0

L1

L2

L3

x

y

fig. 2

12

5. En la figura 3, OABC es un cuadrado de diagonales OB y AC . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) AC y OB tienen igual pendiente.

II) BC tiene mayor pendiente que AC .

III) La pendiente de OB es igual a 1.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I Y II D) Sólo II y III E) I, II y III

6. ¿Cuál de los siguientes gráficos podría representar a la recta y + 2x = 0? A) B) C) D) E) 7. Si la pendiente de una recta es 5 y su coeficiente de posición es 3, su ecuación general es

A) -5x + y – 3 = 0 B) 5x – y – 3 = 0 C) 5x + y + 3 = 0 D) -5x – y + 3 = 0 E) 3x – y – 5 = 0

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

A

B C

y

x

fig. 3

O

13

8. ¿Cuáles son, respectivamente, los valores de la pendiente y del coeficiente de posición de la recta 4x – 2y – 3 = 0?

A) 2 y 32

B) -2 y 32

C) 2 y -32

D) 32

y 2

E) 12 y -2

9. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con respecto a la recta

x + y = 0?

I) Intersecta a la recta y = 3 en el punto (-3, 3). II) Pasa por el punto (5, -5). III) La pendiente de la recta es negativa.

A) Sólo III B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

10. El área del triángulo formado por los ejes coordenados y la recta de ecuación

3x – 5y = 15 es

A) 5 B) 6,5 C) 7 D) 7,5 E) 8

11. La ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3) y de pendiente 25 es

A) 2x – 5y + 19 = 0 B) 2x – 5y – 19 = 0 C) 2x + 5y – 19 = 0 D) x + 5y + 8 = 0 E) x – 5y – 11 = 0

14

12. La ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, -3) y B(2, -5) es

A) 2x + y + 1 = 0 B) 2x – y – 1 = 0 C) x + 2y + 1 = 0 D) 3x – 2y – 1 = 0 E) 3x + 2y + 5 = 0

13. Según el gráfico de la figura 4, la ecuación de la recta L es

A) 5x + 3y + 15 = 0 B) 5x – 3y + 15 = 0 C) x + 3y + 5 = 0 D) -3x + y + 5 = 0 E) 3x + 5y = 0

14. En la figura 5, OA = 6 y AB = 10, entonces ¿cuál es la ecuación de la recta L?

A) 3x + 4y – 24 = 0 B) 4x – 3y + 24 = 0 C) 6x + 8y + 10 = 0 D) 6x – 8y – 10 = 0 E) 4x – 3y – 24 = 0

15. ¿Cuál de los siguientes gráficos corresponde a la recta de ecuación y + 1 = 0?

A) B) C)

D) E)

x

y

1

x

y

-1 x

y

-1

-3

5

0

y

x

fig. 4

L

x

y

1 x

y

-1 1

A4

x

y

fig. 5

L

B4

0

15

16. ¿Cuál es la ecuación de la recta perpendicular a la recta 2x – 7 = 0 que pasa por el punto (-3, 4)?

A) x = 4 B) y = 4 C) y + 3 = 0 D) 2y – 7 =0 E) x + 3 =0

17. El punto Q de abscisa 2 está en la recta cuya pendiente es 2 y que pasa por el punto

A(-5, -2). Entonces, la ordenada de Q es

A) -10 B) 10 C) 12 D) -4 E) -8

18. Dada las rectas de ecuación, L1: 2x – y + 2 = 0, L2: x + 2y – 6 = 0 y

L3: x + 2y – 8 = 0. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

I) L1 ⊥ L2.

II) L1 y L2 se cortan en el punto 2 14,

5 5

.

III) L2 // L3.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

19. Con respecto a la ecuación de la recta (k – 2)x + (k + 1)y + k – 1 = 0, ¿cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Si k = 1 la recta pasa por el origen. II) Si k = -1 la recta es perpendicular al eje de las abscisas. III) Si k = -2 la recta es perpendicular al eje de las ordenadas.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III

16

20. ¿Qué valor debe tener k para que las rectas (k – 1)x + 3y – 4 = 0 y 4x – y + 4 = 0 sean paralelas?

A) -11

B) -14

C) 74

D) -74

E) 11 21. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (-3, 2) y que es perpendicular a la

recta que une los puntos (5, 1) y (-3, -3)?

A) 2x + y – 11 = 0 B) x – 2y + 1 = 0 C) x – 2y + 7 = 0 D) 2x + y + 4 = 0 E) 2x + y – 8 = 0

22. ¿Cuál es la ecuación de la simetral al segmento AB determinado por los puntos A(-3, 3),

B(7, -5) ?

A) 4x + 5y + 3 = 0 B) 5x + 4y – 15 = 0 C) 5x – 4y – 14 = 0 D) 5x – 4y + 3 = 0 E) 5x – 4y – 35 = 0

23. En una prueba la relación para convertir los puntos (P) en nota (N) es lineal. A cero

puntos le corresponde nota uno, a sesenta puntos le corresponde nota siete. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La fórmula para convertir puntos en nota es N = 110

P + 1.

II) A 25 puntos le corresponde nota 3,5.

III) Para obtener nota 5,8 se requieren 48 puntos.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III

17

24. Las rectas L1: y = ax + b y L2: y = 2ax + 3b se intersectan en el punto (1, 1), entonces 2b + a =

A) 0 B) 1 C) -1 D) 2 E) -2

25. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s) respecto a la recta

L: x – 3y – 12 = 0?

I) La recta L pasa por el origen. II) La recta L intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0, 4). III) La recta L intersecta al eje de la abscisas en el punto (12, 0)

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III

26. Las rectas L1 pasa por el punto (1, 3) y tiene pendiente 2. Si una recta L2, perpendicular

con L1, contiene al punto (-2, 4), entonces la ordenada del punto donde se cortan L1 con L2 es

A) 83

B) 215

C) 135

D) 45

E) 113

27. Se puede determinar la pendiente de una recta L si :

(1) La recta L forma con el eje de las abscisas un ángulo obtuso.

(2) La recta L corta al eje de las ordenadas en el punto (0, -5). A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

18

28. La ecuación de la recta L se conoce si : (1) L es perpendicular a la recta 3x + y – 5 = 0.

(2) L pasa por el origen. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

29. El ángulo que la recta ax – by – c = 0 , forma con el eje de las abscisas es agudo si :

(1) a ≠ 0

(2) b > 0 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por si sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

30. La recta ax + by – c = 0 forma con los ejes coordenados un triángulo de área 6 u2 si :

(1) a = 3

(2) b = 4 y c = 12 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por si sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

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