Complemento ortogonal

7/16/2019 Complemento ortogonal

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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal

definición

complemento ortogonal

definición (complemento ortogonal)

V e.v. con producto interno ,

http://find/

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-




definición



V e.v. con producto interno , S ⊂ V subconjunto cualquiera

http://find/

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-




definición




llamamos complemento ortogonal de S al conjunto

http://find/

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-




definición




llamamos complemento ortogonal de S al conjunto

S ⊥ =

{v

∈V : v

⊥s

∀s

∈S

}

http://find/

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-




ejemplos

ejemplo 1

ejemplo 1

V = R3 con producto interno usual

l l i d d ió l

http://find/

http://-/?-

http://-/?-




ejemplos

ejemplo 1

ejemplo 1

V = R3 con producto interno usualS = {(1, 1, 1)}

l t t l i d d ió t l

http://goforward/

http://find/

http://goback/

http://-/?-

http://-/?-




ejemplos

ejemplo 1

ejemplo 1

V = R3 con producto interno usualS = {(1, 1, 1)}

S ⊥ = {(x , y , z ) : (x , y , z )⊥(1, 1, 1)}


http://goforward/

http://find/

http://goback/

http://-/?-

http://-/?-




ejemplos

ejemplo 1

ejemplo 1

V =R

3

con producto interno usualS = {(1, 1, 1)}

S ⊥ = {(x , y , z ) : (x , y , z )⊥(1, 1, 1)}=

{(x , y , z ) :

(x , y , z ), (1, 1, 1)

= 0

}


http://find/

http://-/?-

http://-/?-




ejemplos

ejemplo 1

ejemplo 1


S = {(1, 1, 1)}

S ⊥ = {(x , y , z ) : (x , y , z )⊥(1, 1, 1)}= {(x , y , z ) : (x , y , z ), (1, 1, 1) = 0}= {(x , y , z ) : x + y + z = 0}


http://find/

http://-/?-

http://-/?-




ejemplos

ejemplo 1

ejemplo 1


S = {(1, 1, 1)}S ⊥ = {(x , y , z ) : (x , y , z )⊥(1, 1, 1)}

= {(x , y , z ) : (x , y , z ), (1, 1, 1) = 0}=

{(x , y , z ) : x + y + z = 0

}= {(x , y ,−x − y ) : x , y ∈ R}


http://find/

http://-/?-

http://-/?-




ejemplos

ejemplo 1

ejemplo 1


S = {(1, 1, 1)}S ⊥ = {(x , y , z ) : (x , y , z )⊥(1, 1, 1)}

= {(x , y , z ) : (x , y , z ), (1, 1, 1) = 0}=

{(x , y , z ) : x + y + z = 0

}= {(x , y ,−x − y ) : x , y ∈ R}= {x (1, 0,−1) + y (0, 1,−1) : x , y ∈ R}


http://find/

http://-/?-

http://-/?-




ejemplos

ejemplo 1

ejemplo 1


S = {(1, 1, 1)}S ⊥ = {(x , y , z ) : (x , y , z )⊥(1, 1, 1)}

= {(x , y , z ) : (x , y , z ), (1, 1, 1) = 0}= {(x , y , z ) : x + y + z = 0}= {(x , y ,−x − y ) : x , y ∈ R}= {x (1, 0,−1) + y (0, 1,−1) : x , y ∈ R}

S ⊥ = [(1, 0,−1), (0, 1,−1)]


http://find/

http://-/?-

http://-/?-



p g p p p y g

ejemplos

ejemplo 2

ejemplo 2

V = C 0[0, 1] con el producto f ,g =

10 f (t )g (t )dt


http://find/

http://-/?-

http://-/?-



p g p p p y g

ejemplos

ejemplo 2

ejemplo 2

V = C 0[0, 1] con el producto f ,g =

10 f (t )g (t )dt S = {1} donde 1(t ) ≡ 1 para todo t


http://find/

http://-/?-

http://-/?-



ejemplos

ejemplo 2

ejemplo 2

V = C 0[0, 1] con el producto f ,g = 1


S ⊥ = {g : 1,g = 0}


http://find/

http://-/?-

http://-/?-



ejemplos

ejemplo 2

ejemplo 2

V = C 0[0, 1] con el producto f ,g = 1


S ⊥ = {g : 1, g = 0}

= {g : 1

0 g (t ) dt = 0}


http://find/

http://-/?-

http://-/?-



complemento ortogonal es subespacio


proposiciónV e.v. con producto interno


http://find/

http://-/?-






S ⊂ V subconjunto cualquiera


http://find/

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S ⊂ V subconjunto cualquiera

⇒ S ⊥ subespacio vectorial de V


http://find/

http://-/?-




demostración

0 ∈ S ⊥


http://find/

http://-/?-




demostración

0 ∈ S ⊥ ⇒ S ⊥ = ∅


http://find/

http://-/?-




demostración

0 ∈ S ⊥ ⇒ S ⊥ = ∅ √


http://find/

http://-/?-




demostración

0 ∈ S ⊥ ⇒ S ⊥ = ∅ √

tomamos v ,w

∈S ⊥


http://find/

http://goback/

http://-/?-




demostración

0 ∈ S ⊥ ⇒ S ⊥ = ∅ √

tomamos v ,w

∈S ⊥

queremos ver que αv + β w ∈ S ⊥


http://find/

http://-/?-




demostración

0 ∈ S ⊥ ⇒ S ⊥ = ∅ √

tomamos v ,w

∈S ⊥


ahora, para cada s ∈ S

αv + β w , s =


http://find/

http://-/?-




demostración

0 ∈ S ⊥ ⇒ S ⊥ = ∅ √

tomamos v ,w ∈ S ⊥



αv + β w , s =α

v , s

+ β

w , s

=


http://find/

http://-/?-




demostración

0 ∈ S ⊥ ⇒ S ⊥ = ∅ √




αv + β w , s =α

v , s

+ β

w , s

=

α.0 + β.0 = 0


http://find/

http://goback/

http://-/?-




demostración

0 ∈ S ⊥ ⇒ S ⊥ = ∅ √




αv + β w , s =α

v , s

+ β

w , s

=

α.0 + β.0 = 0


http://find/

http://-/?-



proposición

proposición

proposición

V e.v. con producto interno


http://find/

http://-/?-



proposición

proposición

proposición


S ⊂ V subespacio vectorial


http://find/

http://-/?-



proposición

proposición

proposición


S ⊂ V subespacio vectorial

B = {s 1, . . . , s k } base de S


http://find/

http://-/?-



proposición

proposición

proposición


S ⊂ V subespacio vectorialB = {s 1, . . . , s k } base de S

entonces

v ∈ S

⊥

⇔ v ⊥s i ∀i = 1, . . . , k


i ió

http://find/

http://-/?-



proposición

demostración

⇒) obvio


i ió

http://find/

http://goback/

http://-/?-



proposición

demostración

⇒) obvio√


proposición

http://find/

http://goback/

http://-/?-



proposición

demostración

⇒) obvio√

⇐) supongamos que v

⊥s i para todo i = 1, . . . ,k


proposición

http://find/

http://goback/

http://-/?-



proposición

demostración

⇒) obvio√



⇒ para todo s ∈ S tenemos:


proposición

http://find/

http://-/?-



proposición

demostración

⇒) obvio√



⇒ para todo s ∈ S tenemos:s = α1s 1 + · · · + αk s k


proposición

http://find/

http://-/?-



proposición

demostración

⇒) obvio√




v , s =


proposición

http://find/

http://-/?-



p opos c ó

demostración

⇒) obvio√




v , s = v , α1s 1 + . . . αk s k


proposición

http://find/

http://-/?-



p p

demostración

⇒) obvio√




v , s = v , α1s 1 + . . . αk s k = α1v , s 1 + · · · + αk v , s k


proposición

http://find/

http://-/?-



demostración

⇒) obvio√




v , s = v , α1s 1 + . . . αk s k = α1v , s 1 + · · · + αk v , s k = 0


proposición

http://find/

http://goback/

http://-/?-



demostración

⇒) obvio√





⇒ v ∈ S ⊥


proposición

http://find/

http://-/?-



demostración

⇒) obvio√

⇐) supongamos que v ⊥s i para todo i = 1, . . . ,k



⇒ v ∈ S ⊥


ejemplo

http://find/

http://-/?-



ejemplo

ejemplo

V = R3 con el producto usual


ejemplo

http://goforward/

http://find/

http://goback/

http://-/?-



ejemplo

ejemplo


S = {(x , y , z ) : x + y + z = 0} (subespacio)


ejemplo

http://find/

http://-/?-



ejemplo

ejemplo


S = {(x , y , z ) : x + y + z = 0} (subespacio)B = {(1, 0,−1), (0, 1,−1)} base de S


ejemplo

http://find/

http://goback/

http://-/?-



ejemplo

ejemplo


S = {(x , y , z ) : x + y + z = 0} (subespacio)B = {(1, 0,−1), (0, 1,−1)} base de S

S ⊥=

{(x , y , z ) :

(x , y , z ), (1, 0,

−1)

=

(x , y , z ), (0, 1,

−1)

= 0

}


ejemplo

http://find/

http://-/?-



ejemplo

ejemplo


S ={

(x , y , z ) : x + y + z = 0}

(subespacio)

B = {(1, 0,−1), (0, 1,−1)} base de S

S ⊥={(x , y , z ) : (x , y , z ), (1, 0,−1) = (x , y , z ), (0, 1,−1) = 0}={(x , y , z ) : x − z = 0 y y − z = 0}


ejemplo

http://find/

http://-/?-



ejemplo

ejemplo


S =

{(x , y , z ) : x + y + z = 0

}(subespacio)

B = {(1, 0,−1), (0, 1,−1)} base de S

S ⊥={(x , y , z ) : (x , y , z ), (1, 0,−1) = (x , y , z ), (0, 1,−1) = 0}=

{(x , y , z ) : x

−z = 0 y y

−z = 0

}={(z , z , z ) : z ∈ R}


ejemplo

http://find/

http://-/?-



ejemplo

ejemplo


S =

{(x , y , z ) : x + y + z = 0

}(subespacio)

B = {(1, 0,−1), (0, 1,−1)} base de S

S ⊥={(x , y , z ) : (x , y , z ), (1, 0,−1) = (x , y , z ), (0, 1,−1) = 0}=

{(x , y , z ) : x

−z = 0 y y

−z = 0

}={(z , z , z ) : z ∈ R}S ⊥=[(1, 1, 1)]


proposición

http://find/

http://-/?-



proposición

proposición



proposición

i ió

http://find/

http://-/?-



proposición

proposición


S ⊂ V s.e.v. de dimensión finita


proposición

i ió

http://find/

http://goback/

http://-/?-



proposición

proposición


S ⊂ V s.e.v. de dimensión finita

⇒ V = S ⊕ S ⊥


proposición

d t ió

http://find/

http://-/?-



demostración

Vamos a probar:1 V = S + S ⊥


proposición

d t ió

http://find/

http://-/?-



demostración


2 S ∩ S ⊥ = { 0}


proposición

demostración

http://find/

http://-/?-



demostración


2 S ∩ S ⊥ = { 0}empezamos por

1 V = S + S ⊥:


proposición

demostración

http://find/

http://-/?-



demostración

empezamos por1 V = S + S ⊥:

agarremos un vector v ∈ V cualquiera,


proposición

demostración

http://find/

http://-/?-



demostración


agarremos un vector v ∈ V cualquiera,{s 1, . . . , s k } base ortonormal de S , y definamos:


proposición

demostración

http://find/

http://-/?-



demostración



v S =k

i =1v , s i s i ∈ S


proposición

demostración

http://find/

http://goback/

http://-/?-



demostración



v S =k

i =1v , s i s i ∈ S queremos probar que v

−v S

∈S ⊥


proposición

demostración

http://find/

http://-/?-



demostración



v S =k


−v S

∈S ⊥

porque entonces tenemos que:

v = v S + v − v S


proposición

demostración

http://find/

http://goback/

http://-/?-



demostración



v S =k


−v S

∈S ⊥


v = v S + v − v S ↑ ↑

∈ S ∈ S ⊥


proposición

demostración

http://find/

http://goback/

http://-/?-



demostración



v S =k


−v S

∈S ⊥


v = v S + v − v S ↑ ↑

∈ S ∈ S ⊥

y eso probaría que V = S + S ⊥


proposición

demostración

http://find/

http://-/?-



demostración



v S =k

i =1v , s i s i ∈ S porque entonces tenemos que:

v = v S + v − v S ↑ ↑

∈ S ∈ S ⊥

y eso probaría que V = S + S ⊥

veamos entonces que v − v S ⊥S :


proposición

demostración

http://find/

http://-/?-



demostración



v S =k

i =1v , s i s i ∈ S veamos entonces que v

−v S

⊥S :

v − v S , s j =v −k

i =1v , s i , s j

(def. v S )


proposición

demostración

http://find/

http://-/?-



demostración



v S =k


−v S

⊥S :

v − v S , s j =v −k

i =1v , s i , s j

(def. v S )

= v , s j −k i =1v , s i s i , s j (linealidad)


proposición

demostración

http://find/

http://-/?-



de ost ac ó



v S =k


−v S

⊥S :

v − v S , s j =v −k

i =1v , s i , s j

(def. v S )


= v , s j − v , s j (s i , s j = δ ij )


proposición

demostración

http://find/

http://-/?-





v S =k


−v S

⊥S :

v − v S , s j =v −k

i =1v , s i , s j

(def. v S )


= v , s j − v , s j = 0


proposición

demostración

http://find/

http://-/?-




{s 1, . . . , s k } base ortonormal de S , y definamos:

v S =k

i =1v , s i s i ∈ S veamos entonces que v − v S ⊥S :

v − v S , s j =v −k

i =1v , s i , s j (def. v S )= v , s j −k

i =1v , s i s i , s j (linealidad)= v , s j − v , s j = 0

2 S ∩ S ⊥

= { 0}:supongamos v ∈ S ∩ S ⊥


proposición

demostración

http://find/

http://-/?-





v S =k


v − v S , s j =v −k



2 S ∩ S ⊥


⇒ v ⊥s para todo s ∈ S


proposición

demostración

http://find/

http://-/?-





v S =k


v − v S , s j =v −k



2 S ∩ S ⊥


⇒ v ⊥s para todo s ∈ S también para s = v


proposición

demostración

http://find/

http://-/?-





v S =k


v − v S , s j =v −k



2 S ∩ S ⊥


⇒ v ⊥s para todo s ∈ S también para s = v ⇒ v ⊥v


proposición

demostración

http://find/

http://goback/

http://-/?-





v S =k


v − v S , s j =v −k



2 S ∩ S ⊥



⇒v = 0


proposición

demostración

http://find/

http://-/?-





v S =k


v − v S , s j =v −k



2 S ∩ S ⊥



⇒v = 0


proposición

observación

http://find/

http://-/?-



observación



proposición

observación

http://find/

http://-/?-



observación

V e.v. con producto internoS s.e.v. tal que V = S ⊕ S ⊥


proposición

observación

http://find/

http://-/?-



observación


⇒ (S ⊥)⊥ = S


proposición

observación

http://find/

http://goback/

http://-/?-



observación


⇒ (S ⊥)⊥ = S

(ejercicio)


proyección ortogonal


http://find/

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http://-/?-



V e.v. con producto interno.




http://find/

http://goback/

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S s.e.v. tal que V = S ⊕ S ⊥




http://find/

http://goback/

http://-/?-





⇒ (∃!) v = v S + v ⊥ ∀v ∈ V




http://find/

http://-/?-





⇒ (∃!) v = v S + v ⊥ ∀v ∈ V

definición (proyección ortogonal)

proyección ortogonal de v :




http://find/

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⇒ (∃!) v = v S + v ⊥ ∀v ∈ V


proyección ortogonal de v :P S (v ) := v S




http://find/

http://-/?-





⇒ (∃!) v = v S + v ⊥ ∀v ∈ V






http://find/

http://-/?-





⇒ (∃!) v = v S + v ⊥ ∀v ∈ V



dimV < ∞




http://find/

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⇒ (∃!) v = v S + v ⊥ ∀v ∈ V



dimV < ∞B = {s 1, . . . , s k } base de S




http://find/

http://goback/

http://-/?-





⇒ (∃!) v = v S + v ⊥ ∀v ∈ V



dimV < ∞B = {s 1, . . . , s k } base de S

⇒ P S (v ) =k

i =1v , s i s i


observaciones

observación

http://find/

http://goback/

http://-/?-



1 P S (v ) no depende de la base B


observaciones

observación

http://find/

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http://-/?-




2

V = S ⊕ S ⊥


observaciones

observación

http://find/

http://goback/

http://-/?-




2

V = S ⊕ S

⊥

⇒ v = P S (v ) + P S ⊥(v )


teorema

teorema

http://find/

http://-/?-



teorema



teorema

teorema

http://find/

http://-/?-



teorema


S s.e.v. de dimensión finita


teorema

teorema

http://find/

http://-/?-



teorema



⇒ ∀s ∈ S


teorema

teorema

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http://-/?-



teorema



⇒ ∀s ∈ S

v

−P S (v )

≤ v

−s


teorema

demostración

http://find/

http://-/?-



v − s 2 = v − s , v − s


teorema

demostración

http://find/

http://-/?-



v − s 2 = v − s , v − s =

P S (v ) + P S ⊥(v )

−s ,P S (v ) + P S ⊥(v )

−s


teorema

demostración

http://find/

http://-/?-



v − s 2 = v − s , v − s =

P S (v ) + P S ⊥(v )

−s ,P S (v ) + P S ⊥(v )

−s = P S (v ) − s ,P S (v ) − s + 2P S (v ) − s ,P S ⊥(v )+

+ P S ⊥(v ),P S ⊥(v )


teorema

demostración

http://find/

http://-/?-



v − s 2 = v − s , v − s =

P S (v ) + P S ⊥(v )

−s ,P S (v ) + P S ⊥(v )

−s

= P S (v ) − s ,P S (v ) − s + 2P S (v ) − s ,P S ⊥(v )++ P S ⊥(v ),P S ⊥(v )= P S (v ) − s 2 + P S ⊥(v )2


teorema

demostración

http://find/

http://-/?-



v − s 2 = v − s , v − s =

P S (v ) + P S ⊥(v )

−s ,P S (v ) + P S ⊥(v )

−s


⇒ se alcanza el mínimo en s = P S (v ) ∈ S


teorema

demostración

http://find/

http://-/?-



v − s 2 = v − s , v − s =

P S (v ) + P S ⊥(v )

−s ,P S (v ) + P S ⊥(v )

−s


⇒ se alcanza el mínimo en s = P S (v ) ∈ S

http://find/

http://-/?-

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Complemento ortogonal