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1) Calcular el montante o capital final obtenido al invertir un capital
de 1.000 € al 8% de interés anual simple durante 8 años.
Co n i Cn
1.000 8 0,08 1640
2) Calcular el capital inicial necesario para obtener un capital de 20.000 €
en el plazo de 8 años aplicando un interés anual simple del 8%.
C8 n i Co
20.000 8 0,08 12195,12195
3) Calcular el tipo de interés simple anual que hay que aplicar para obtener
20.000 € a partir de un capital inicial de 10.000 € en un plazo de 8 años.
Co n Cn i
10.000 8 20.000 0,125
4) Calcular el plazo necesario para obtener 20.000 € a partir de una inversión
de cuantía 10.000 € si se aplica un tipo de interés anual simple del 10%.
1.000
8
C8
C0
8
20.000
10.000
8
20.000
i simple anual
10.000
n
20.000
i = 0,1
640.1)08,081(000.1)1( 80 CinCCn
122,195.1208,081
000.20
10
in
CC n
125,08
1)1
000.10
000.20(
1)1()1(
0
0 nC
CiinCC n
n
Co Cn i n
10.000 20.000 0,1 10
5) Se acuerda una operación de capitalización simple con pago de intereses
anticipados en la que se prestan 1.000 € aplicando un interés anticipado del
10% anual simple y plazo de inversión 1 año. ¿Cuál es la prestación real y la
contraprestación real?.¿Cuál es el tanto de interés simple pospagable
equivalente?.¿Y si se prestan 25.000 por un plazo de 4 años con un interés
anual anticipado simple del 8%?.
i* i
0,1 0,111111111
Co n i* Prestación real i
25.000 4 0,08 17000 0,117647059
1.000 - 100
1
1.000
25.000 - 25.000 · 4 · 0,08
4
25.000
101,0
1)1
000.10
000.20(
1)1()1(
0
0 iC
CninCC n
n
1111111111,09,0
1,0
1,01
1,0
*1
*
*1
*
*1
)*1(11
*1
1
)*1(
1)1(
1)1()*1()1()*1(
*)1(*
00
0
000
in
ii
in
in
in
in
inin
inin
ininCininC
realtacióncontrapreslaesC
realprestaciónlaesinCinCC
11764706,04
1)1
000.17
000.25(000.25)41(000.17
:
11764706,008,041
08,0
*1
*
000.17)08,041(000.25*)1(: 0
ii
dedespejandoicalcularpuedeseTambién
in
ii
inCrealprestación
6) Calcular el plazo que hay que mantener una inversión de 1.000 € aplicando
Capitalización Compuesta Convenio Lineal para obtener 1.310,1005 € si se
aplica un tanto de interés anual del 8%.
Co Cz i n a
1.000 1.310,10 0,08 3 0,5000
1 2 3 4 z = n + a
1,08 1,1664 1,259712 1,36048896 3,5000
7) Calcular el plazo que hay que mantener una inversión de 1.000 € aplicando
Capitalización Compuesta Convenio Lineal para obtener 1.173,06213 € si se
aplica un tanto de interés anual del 3%.
Co Cz i n a
1.000 1.173,06 0,03 5 0,3965
1 2 3 4 5
1,03 1,0609 1,092727 1,12550881 1,159274074
6 z = n + a
1,194052297 5,3965
1.000
z = n + a
1.310,1005
1.000
z = n + a
1.173,06213
añosnz
iiC
CCalcularPaso
n
C
C
iC
CinCalcularPaso
n
z
z
nzn
5,35,03
5,008,0
1)1
08,1000.1
1005,310.1(
1)1
)1((:)2
3
36048896,108,1;259712,108,1;1664,108,1
3101005,1000.1
1005,310.1
)1()1(/)1
3
0
432
0
1
0
51940523,103,1
;15927407,103,1;12550881,103,1;092727,103,1;009,1083,1
17306213,1000.1
06213,173.1;)1()1(/)1
6
5432
0
1
0
n
C
Ci
C
CinCalcularPaso znzn
8) Calcular el montante o capital final resultado de invertir 150.000 €
durante 4 años al 6% de interés anual simple.
Co n i C4
150.000 4 0,06 186000
9) Calcular el montante de un capital de 250.000 € al 8% de interés anual,
colocado durante 90 días en régimen de capitalización simple, en los
siguientes casos: a) Año natural o civil, b) Año comercial.
Co n (días) i (anual) C90 C'90
250.000 90 0,08 254931,5068 255000
10) Dos capitales cuyas cuantías suman 250.000 €, están colocados al mismo
tanto del 6% de interés anual simple y producen los mismos intereses de
9.000 €. Si el primer capital está impuesto 6 meses más que el segundo,
¿cuáles son los capitales y los tiempos que están colocados?.
150.000
4
C4
250.000
90
C90
000.186)06,041(000.150)1( 40 CinCCn
000.255)08,0360
901(000.250)1('
:360)
507,931.254)08,0365
901(000.250)1(
:365)
090
090
inCC
díasdecomercialAñob
inCC
díasdenaturalAñoa
añosnz
iiC
C
CalcularPaso
n
z
3965,53965,05
3965,003,0
1)1
03,1000.1
06213,173.1(
1)1
)1((
:)2
5
0
06,012
000.9;06,012
000.9
)(6
000.250000.250
22
11
21
2121
nC
nC
mesesnn
CCCC
11) Calcular el montante producido por un capital de 50.000 € colocado al 8% de
interés compuesto anual durante 8 años.
Co n i C8
50.000 8 0,08 92546,51051
12) Determinar el tipo de interés compuesto anual a que hay que colocar un capital de
200.000 € para que en 10 años se consiga un montante de 500.000 €.
Co n C10 i
200.000 10 500.000 0,095958226
50.000
8
C8
i = 0,08 compuesto
200.000
10
500.000
i compuesto anual
mesesnn
mesesC
n
CLuego
valeno
C
CC
CCC
CCC
C
CC
CC
CCn
nC
nC
nC
186
12000.150
000.800.1000.800.1
000.100000.150000.250:
)(000.500
000.150
06,0
000.000.250.203,04500.10500.10
0000.000.250.2500.1003,0
03,0500.7000.9000.000.250.2
)03,0000.9()000.250(000.9
03,0000.9)000.250(
005,0)6000.800.1
()000.250(000.9
000.800.1
005,0
000.906,0
12000.9
06,012
6)000.250(06,0
12000.9
21
2
2
1
2
2
2
2
2
2
222
222
2
22
2
2
22
22
2
22
11
5105,546.92)08,01(000.50)1( 8
80 CiCC n
n
09595823,01)000.200
000.500(1)()1( 10
11
0
0 nnn
nC
CiiCC
13) Una persona coloca la mitad de su capital a interés simple anual del 8% y la otra
mitad a interés anual compuesto del 9%. Transcurridos 4 años retira los intereses
producidos y reinvierte durante otros 4 años las mismas sumas al 10% de interés anual
compuesto la primera y al 6% de interés simple anual la segunda.
Determinar el capital total colocado, sabiendo que los intereses producidos en los
primeros 4 años supera a los producidos en los 4 últimos años en 1.000 €.
C n i1 i'1 i2
72775,93998 4 0,08 0,09 0,06
i'2 I0-4 - I4-8
0,1 1000
14) El descuento comercial de un efecto de 100.000 euros asciende a 3.000 euros,
pero si el vencimiento fuese 30 días antes y el tipo de descuento simple anual superior
en un 1% al utilizado, el descuento sería 500 euros menor. ¿Cuál es el tanto de
descuento y el vencimiento?.
N DC n n-30 D'C
100000 3000 120 90 2500
d d + 0,01
0,09 0,1 3000 2500
Con la ley financiera de descuento simple comercial:
DC = 2.500 , d + 0,01
DC = 3.000 , tanto de descuento: d
n n-30
100.000
C/2 a i simple anual del 6% C/2 a i compuesto anual del 10%
8
díasnd
dn
dn
120,09,0
))01,0(360
301(000.100500.97
)360
1(000.100000.97
94,775.72000.1)11,1(2
06,042
)109,1(2
08,042
8440
44
CCCCC
II
O bien, con la fórmula de los descuentos comerciales simples:
15) Un deudor moroso de 300.000 euros acuerda con sus acreedores la siguiente
forma de pago: el 10% se declarará como fallido (no lo va a pagar), el 30% se
abonará al contado y el resto se liquidará con tres efectos de igual nominal (20%
de la deuda) y vencimientos respectivos a 60, 120 y 180 días. Si el tanto de descuento
del mercado es del 12% anual, calcular la pérdida total de los acreedores
valorada en el momento actual.
Principal Contado Efectos d V0
300000 90000 60000 0,12 262800
16) El Sr. A presta al Sr. D 30.000 euros que debe devolver al cabo de un año y por lo
que cobrará semestralmente el 8%.
Transcurridos 10 meses D propone a A, que ya cobró los intereses del 1er. semestre,
la cancelación anticipada de la deuda, y para ello presenta la siguiente cuenta:
Principal (ó capital prestado): 30.000 euros
Intereses del 2º semestre: 2.400 euros
Importe a pagar a los 12 meses:32.400 euros
Descuento 2 meses: 32.400·2/12·0,16 = 864
______________________________________
Importe a pagar a los 10 meses: 32.400 – 864 = 31.536 euros
El Sr. A deberá decidir si la factura es o no correcta y en caso negativo indicar
la cantidad correcta. ianual = 0,16
C0 isemestral Intereses semestrales C12
30000 0,08 2400 32400
DC C10 Dr C'10 C12d
864 31536 841,5584416 31558,44156 32376,96
180 0 60 120
90.000
60.000
d = 0,12
200.37800.262000.300
800.262)12,0360
1801()12,0
360
1201()12,0
360
601(000.60000.900
pérdida
V
díasnd
dn
dn
120,09,0
)01,0(360
30000.100500.2
360000.100000.3
La fórmula que usa el deudor para calcular el descuento de dos meses es la del
descuento simple comercial, con d = i = 0,16:
Pero esa cuantía no le interesa al acreedor para cancelar anticipadamente en 10, pues si
las condiciones que puede conseguir al invertir ese capital durante dos meses
siguen siendo de i = 0,16, a los dos meses obtendría:
Cantidad 23,04 euros inferior a la pactada en las condiciones iniciales, no le interesa
cancelar así. Sin embargo si se aplica descuento racional para los dos meses de
descuento, se conservarían las condiciones pactadas inicialmente,
en el supuesto de que i = 0,16:
Otra forma: si se desea aplicar el descuento simple comercial, se debe aplicar el tanto
de descuento simple anual equivalente a i = 0,16 simple anual para un plazo de
descuento de 2 meses:
d i C'10
0,155844156 0,16 31558,44156
17) ¿Se verifica en Capitalización simple la propiedad de escindibilidad?.
¿Y en Capitalización compuesta?.
Podríamos describir la propiedad de escindibilidad diciendo que una ley es escindible si
12 6 10
2.400
44,558.31)155844,012
21(400.32'
155844,0
16,012
21
16,0
1
10
C
in
id
536.31864400.32
86416,012
2400.32
10
Cn
nC
DCC
dnCD
96,376.32)16,012
21(536.31)
12
21(1012 iCC d
44,558.3155844,841400.32
55844,841
16,012
21
16,012
2400.32
1
'
10
rn
n
r
DCC
in
inCD
400.32)16,012
21(44,558.31)
12
21('
10
'
12 iCC
al dividir el plazo de proyección en dos el resultado es el mismo que en un solo paso.
Así una ley de capitalización será escindible si al capitalizar desde un instante inicial 0 a
un instante final t2, se obtiene el mismo resultado que aplicando la ley de un instante
inicial 0 a un instante intermedio t1 (siendo t1 <t2) y su resultado
proyectarlo (capitalizarlo) al instante final t2.
Veamos que la ley financiera de capitalización simple no es escindible:
Ya que * es > 0, por serlo C, t1 , t2 - t1 e i.
En cambio la ley de Capitalización Compuesta es escindible:
C (1 + t1 i) (1 + (t2 - t1) i)
t2
C
t2
C (1 + i)t1 (1 + i)t2 - t1
C (1 + i)t2
t2
C t1 (t2-t1 )i2
)1()()1(
)()())(1()1(
2
*
2
1212
2
121121121
2
itCitttCitC
itttCittCitCCittitC
itC
2121121 )1()1()1()1(ttttttt
iCiCiiC
Ejemplo: C = 1.000, t2 = 10, i = 0,05, t1 = 6
C i t1 t2
1000 0,05 6 10
C10 C6 C'10 C'6
1500 1300 1560 1250 1500
Lo pactado inicialmente fue aplicar capitalización simple con plazo de 10 años al
tanto de interés anual del 5%:
Si se pretende cancelar anticipadamente la operación a los 6 años aplicando
capitalización simple hasta ese instante:
Al deudor no le conviene cancelar por 1.300 ( lo invierte al 0,05 anual y obtendría
1.560 en 10 con lo que paga la deuda de 1.500 y le sobran 60).
Lo justo desde el punto de vista financiero de conservar las condiciones pactadas
inicialmente sería aplicar descuento racional:
En realidad como los tipos de interés varían habría que usar el tanto de mercado para
aplicar el descuento racional, por ejemplo si el tipo de interés ha bajado al 3%:
Con capitalización simple hasta 6 se consigue:
18) Por la venta de un electrodoméstico cuyo precio de venta al contado es 900 euros,
el vendedor propone a un cliente que le abone la compra suscribiendo 6 efectos
de 160 euros cada uno y con vencimientos respectivos dentro de 30, 60, 90, 120, 150
y 180 días. El vendedor negocia los efectos obteniendo un beneficio de un 3%
sobre el precio de venta al contado. ¿A qué tanto se descuentan los efectos?.
PVC N n1 n2 n3
900 160 30 60 90
n4 n5 n6 d E
120 150 180 0,117857143 927
C10 = 1.500
10
1.000
C6
1.000 C'6
500.1)05,041(250.1250.1)05,041(
500.1'6
C
2857,339.1)03,041(
500.1'' 6
C
)44(456.1)03,041(300.1'' 10 menoseurosC
560.1)05,041(300.1'
300.1)05,061(000.1
10
6
C
C
500.1)05,0101(000.110 C
19) Calcular el efectivo a recibir en el momento actual por el descuento de un pagaré
de nominal 1.000 euros que vence dentro de 3 años con d = 10% anual compuesto.
N d n E
1000 0,1 3 729
Al ser el plazo de descuento mayor que 1 año por convenio se aplica la ley de
descuento compuesto:
20) Tantos equivalentes. Calcular:
a) El tanto de interés nominal anual capitalizable mensualmente equivalente a un tanto
de interés nominal anual capitalizable semestralmente del 8%.
b) El tanto de interés trimestral equivalente a un tanto mensual del 0,5%.
c) El tanto de interés mensual equivalente a un tanto nominal capitalizable
trimestralmente del 8%.
d) El tanto nominal de descuento anual aplicable trimestralmente equivalente al tanto
nominal de interés anual liquidando intereses semestralmente del 6%.
e) El tanto de interés semestral equivalente al tanto de descuento trimestral del 2%.
180 0 60 120
900
160
d
30 90
160 160 160 160 160
d = 0,1
3
E
117857,0))360
1801()
360
1501()
360
1201(
)360
901()
360
601()
360
301((16092790003,103,1
dddd
dddPVC
729)1,01(000.1)1( 3 ndNE
j(2) i(2) i(12) j(12)
0,08 0,04 0,006558197 0,078698363
i(12) i(4) j(4) i(4) i(12)
0,005 0,015075125 0,08 0,02 0,00662271
j(2) i(2) d(2) d(4) ̶đ(4)
0,06 0,03 0,029126214 0,014670722 0,058682887
d(4) d(2) i(2)
0,02 0,0396 0,04123282
21) Depósito Bienvenida en Opbnk (Oct.2007) 11% TAE. Condiciones:
a) Exclusivo para nuevos clientes.
b) Tipo de interés nominal anual 10,48%.
c) Depósito a 1 mes (*) * resto al 3,5% TAE
¿Qué se obtendría si se mantiene la inversión de 1.000 euros durante 1 año?.
¿Será un 11 % de intereses?
Co = 1000
j(12) i(12) i i(12)
0,1048 0,008733333 0,11 0,008734594 (redondeo)
Es un depósito a un mes, resto al 3,5% TAE:
i' i'(12) C1 ie
0,035 0,002870899 1041,05025 0,04105025
04123282,0)2(1
)2()2(0396,0)))4(1(1()2(02,0)4()
058682887,0)4(4)4(014670722,0)))2(1(1()4(
029126214,003,1
03,0
)2(1
)2()2(03,0
2
06,0
2
)2()2(06,0)2()
00662271,0102,11))4(1()12(02,04
08,0
4
)4()4(08,0)4()
015075125,01005,11))12(1()4(005,0)12()
078698363,0)12(12)12(
006558197,0104,11))2(1()12(04,02
)2()2(08,0)2()
2
2
1
3
1
3
1
33
6
1
6
1
d
diddde
dddd
i
id
jijd
iij
ijc
iiib
ij
iij
ija
?110.111,1000.1¿ 1 C
004105025,01))12('1())12(1(
05025,041.1))12('1())12(1(000.1
002870899,01035,11)'1()12('035,0'
00874594,0111,11)1()12(11,0
008733333,012
1048,0
12
)12()12(1048,0)12(
11
11
1
12
1
12
1
12
1
12
1
iii
iiC
iii
iii
jij
e
22) a) Calcular el tanto de interés efectivo anual y el tanto de interés periódico
correspondientes al tanto nominal anual j(m) = 9%, para m= 1, 2, 3, 4, 6, y 12.
b) Calcular el tanto de descuento efectivo anual y el tanto de descuento periódico
correspondientes al tanto nominal anual d (m) = 7%, para m= 1, 2, 3, 4, 6, y 12.
a) j(m)= i(1)
0,09
i(2) i(3) i(4) i(6) i(12)
0,045 0,03 0,0225 0,015 0,0075
i i i i i
0,092025 0,092727 0,093083319 0,093443264 0,093806898
b) đ(m) = d = d(1)
0,07
d(2) d(3) d(4) d(6) d(12)
0,035 0,023333333 0,0175 0,011666667 0,005833333
d d d d d
0,068775 0,06837937 0,068183844 0,067989816 0,067797268
23) Calcular en tanto de interés periódico y el montante resultado de invertir C euros:
a) Al 10% anual capitalizable semestralmente durante 10 años.
b) Al 12% anual capitalizable trimestralmente durante 36 meses.
c) Al 6% semestral durante 5 años.
d) Al 13% anual capitalizable mensualmente durante 6 semestres.
e) Al 1% mensual durante 26 meses.
093806898,01))12(1(0075,012
09,0
12
)12()12(09,0)12(
09344326,01))6(1(015,06
09,0
6
)6()6(09,0)6(
0930833,01))4(1(0225,04
09,0
4
)4()4(09,0)4(
092727,01))3(1(03,03
09,0
3
)3()3(09,0)3(
092025,01))2(1(045,02
09,0
2
)2()2(09,0)2(
09,0)1()1(
12
6
4
3
2
iij
ij
iij
ij
iij
ij
iij
ij
iij
ij
iij
067797268,0))12(1(100583333,012
07,0
12
)12()12(07,0)12(
067989816,0))6(1(1011666667,06
07,0
6
)6()6(07,0)6(
068183844,0))4(1(10175,04
07,0
4
)4()4(07,0)4(
06837937,0))3(1(10233333,03
07,0
3
)3()3(07,0)3(
068775,0))2(1(1035,02
07,0
2
)2()2(07,0)2(
07,0)1()1(
12
6
4
3
2
ddd
dd
ddd
dd
ddd
dd
ddd
dd
ddd
dd
ddd
j(2) j(4) i(2) j(12) i(12)
0,1 0,12 0,06 0,13 0,01
i(2) i(4) i(12)
0,05 0,03 0,010833333
a) b) c) d) e)
C 1,0520 C 1,0312 C 1,0610 C 1,01083336 C 1,0126
24) a) Calcular el tanto de interés mensual equivalente al 3% trimestral.
b) Calcular el tanto de interés semestral equivalente al 3% trimestral.
c) Calcular el tanto trimestral equivalente al 12 % anual capitalizable
mensualmente.
d) Calcular el tanto de interés efectivo anual equivalente a los casos anteriores.
i(4) i(12) i(2) i
0,03 0,009901634 0,0609 0,12550881
j(12) i(12) i(4) i
0,12 0,01 0,030301 0,12682503
25) Un banco abona a sus depósitos un interés del 6% liquidando intereses
semestralmente. Teniendo en cuenta esas condiciones un ahorrador coloca el capital
necesario para que transcurridos 10 años pueda retirar 5.000 euros. A los 3 años de
realizar el ingreso la entidad cambia la frecuencia en la acumulación de intereses
pasando a ser trimestral y a los 6 años baja el tipo de interés al 5% con abono
bimensual de intereses. Determinar: a) Cuantía impuesta por el ahorrador,
b) Montante disponible a los 10 años.
j(2) i(2) Co C10
0,06 0,03 2768,378771 5000
10 0
C (1+i(12))36
C (1+i(2))20 C (1+i(4))12 C (1+i(2))10
26/12
10 0
C0 5.000
j(2) = 0,06
1268,01))12(1(
030301,0)4(01,012
12,0
12
)12()12(12,0)12(
1255088,0103,11))4(1(
0609,0103,11))4(1()2(03,0)4(
009901634,0103,11))4(1()12(03,0)4(
12
44
22
3
1
3
1
ii
ij
ij
ii
iii
iii
j(4) i(4) j(6) i(6)
0,06 0,015 0,05 0,008333333
C'3 C'6 C'10
3305,589029 3952,222311 4823,256385
26) Un deudor obtiene un préstamo de 5.000 euros firmando a nombre del acreedor
un pagaré por el que se compromete a devolver el dinero junto con sus intereses a los
5 años capitalizando al 10% de interés anual. A los 3 años el acreedor vende el pagaré
a un comprador que efectúa descuento aplicando un 8% de descuento semestral.
¿Cuánto recibe el acreedor por la venta del pagaré?.
Co i C5 d(2) C3
5000 0,1 8052,55 0,08 5768,79013
Tantos efectivos de la operación:
ie i'e
0,048829535 0,18147448 5768,79 8052,55
27) a) Calcular el vencimiento común y vencimiento medio aplicando la Ley de
Descuento Compuesto de tres deudas de igual nominal 1.000 euros cada una y
vencimientos respectivos a 1, 2 y 3 años, si se pacta un tanto de descuento anual del
5% y C' = 4.000 €.
b) Calcular el vencimiento común y vencimiento medio aplicando la Ley de Descuento
Compuesto de seis deudas de igual nominal 1.000 euros cada una y vencimientos
respectivos a 1, 2 , 3, 4, 5 y 6 semestres, si se pacta un tanto de descuento semestral
del 2% y C' = 6.500.
5 0
5.000 C5
d(2) = 0,08
3 0 1 2
1.000 1.000 1.000
d = 0,05
25639,823.40083333,1015,103,137877,768.2'
0083333,06
05,0
6
)6()6(05,0)6(
015,04
06,0
4
)4()4(06,0)4(
37877,768.2000.503,1))2(1(
03,02
06,0
2
)2()2(06,0)2(
24126
10
0
20
0
20
0
C
jij
jij
CCiC
jij
18147448,0'55,052.8)'1(79,768.5
048829535,079,768.5)1(000.5
2
3
e
e
ii
ii
79,768.5)08,01(55,052.8))2(1(
55,052.81,1000.5)1(000.5
44
53
55
5
dCC
iC
N d n1 n2 n3
1000 0,05 1 2 3
t
3000 1,982905911 2709,875 2709,87501
C' t
4.000 7,591476767 2709,875
b) d(2) t' (semestres) C = 6443,449851
5593,723338 0,02 3,470541421 5593,723338 5593,723338
C' t
6500 7,432512343 5593,724282
Si me piden calcular la cuantía del capital único que venza dentro de 7 semestres
equivalente a los 6 capitales sustituidos:
28) Deseamos sustituir dos deudas de 800 y 900 euros que vencen dentro de 30 y 90
días respectivamente por un solo efecto. Suponiendo que la negociación se realiza
aplicando un 6% de interés simple anual, determinar:
a) Vencimiento del pago único si es de 1.800 euros.
b) vencimiento del pago único si es de 1.700 euros.
c) Cuantía del pago único si se realiza dentro de 120 días.
5/2 0 1/2 3/2
1.000 1.000 1.000
d(2) = 0,02
)(
)1()1()1()1(
21
2121
medioovencimienttCCCCSi
dCdCdCdC
n
t
n
ttt n
)(591476,7)05,01(000.1)05,01(000.1)05,01(000.1)05,01(000.4
)(98,1)05,01(000.3)05,01(000.1)05,01(000.1)05,01(000.1
32
32
comúnovencimientañost
medioovencimientaños
t
semestrest
semestres
t 43,7')02,01(500.6)02,01(000.1)02,01(000.1
)02,01(000.1)02,01(000.1)02,01(000.1)02,01(000.1
47,3')02,01(000.6)02,01(000.1)02,01(000.1
)02,01(000.1)02,01(000.1)02,01(000.1)02,01(000.1
'65
432
'65
432
€45,443.6)02,01()02,01(000.1)02,01(000.1
)02,01(000.1)02,01(000.1)02,01(000.1)02,01(000.1
765
432
CC
N1 N2 n1 n2 i
800 900 30 90 0,06
N' n' N' n' = t N'
1800 418,1836904 1700 61,61655293 1716,373462
n' E
120 1682,719408 1682,719056 1682,719438 1682,71908
29) Una persona debe a una entidad financiera dos letras de nominales 1.000 y 2.000
euros que vencen dentro de 60 y 90 días respectivamente y desea sustituir esas
deudas por una única deuda de cuantía 3.050 euros. Calcular cuándo deberá realizar
el pago de la nueva deuda si se utiliza un 7% de descuento simple anual.
Calcular el vencimiento medio de las dos letras .
0 30 90
800 900
i = 0,06
n' 0
N'
0 60 90
1.000 2.000
d= 0,07
n' 0
3.050
eurosNN
díasnn
díasnn
37,716.1'
06,0360
1201
'
06,0360
901
900
06,0360
301
800
62,61'
06,0360
'1
700.1
06,0360
901
900
06,0360
301
800
18,418'
06,0360
'1
800.1
06,0360
901
900
06,0360
301
800
N1 N2 n1 n2 d
1000 2000 60 90 0,07
N' n' E
3050 162,9976586 2953,333333 2953,333333
N' n' = t
3000 80,00000057 2953,333333
30) (ExaMF260597) Un particular adquiere el 25/6/2005, a través de una entidad
financiera, una Letra del Tesoro emitida con una rentabilidad del 3% anual, de
nominal 1.000 euros y vencimiento a un año.
El día 11/1/2006 vende en el mercado secundario la citada letra a un importe tal que la
rentabilidad obtenida en la operación de compraventa es del 3,45% anual. Calcular:
a) Precio de compra de la letra (el 25/6/05).
b) Tasa de descuento a la que el Tesoro emitió la letra.
c) Precio al que se formaliza la compra-venta el 11/1/2006.
d) Rentabilidad obtenida en la operación por el inversor que adquiere la letra el
11/1/2006 si la mantiene hasta su vencimiento.
N i PC r' PC-V
1000 0,03 970,8737864 0,0345 989,2272909
dias PC a PC-V dias PC-V a Vto
25/06/2005 11/01/2006 25/06/2006 200 165
r''
0,024089099 989,2277131 Al ser fechas concretas usamos año natural
31) En la compra de un artículo de 1.150 € que se va a pagar mediante una entrega al
contado de 250 euros y tres letras de igual nominal y vencimientos en los próximos
tres meses, se ofrece:
a) Recargar el precio del artículo en un 6%, cumpliendo con las entregas en los
plazos acordados.
b) Descontar los pagos aplazados al d= 12% anual simple.
¿Qué alternativa elegirá el comprador?
11/1/2006 25/6/2005
1.000
25/6/2006
r' = 0,0345
díasnn
díasnn
80')07,0360
'1(000.3)07,0
360
901(000.2)07,0
360
601(000.1
163')07,0360
'1(050.3)07,0
360
901(000.2)07,0
360
601(000.1
024,0''000.1)''365
1651(23,989
23,989)0345,0365
2001(87,970
87,97003,1
000.1
rr
VPC
PC
PVC 1,06 PVC Entrega a) N
1150 1219 250 323
b) d N'
0,12 306,122449 1150
La operación de recarga del precio da unos nominales mayores, luego se
elegirá la opción b).
Esta operación se puede interpretar en términos de descuento comercial:
d (aplicando d=0,427244582)
0,427244582 1150
Esta operación se puede interpretar en términos de descuento racional:
i (aplicando i= 0,465589868)
0,465589868 1150,000061
Se podría interpretar la operación de recarga desde el punto de vista financiero:
Aplicando la ley de Descuento Simple Comercial:
Aplicando la ley de Descuento Simple Racional:
32) Calculemos el tanto de interés efectivo de una compra en Carrifour
en la que prometen pago en 3 meses sin intereses con gastos
de formalización con la financiera del 1% del precio de compra al contado (600).
PVC Gastos Cuotas i
600 6 200 0,060702 600,0005609
Los gastos equivalen a aplicar un interés del 6,07% anual simple.
90 0 30 60
1.150-250 N N N
d = 0,12
200 600 - 6 200 200
30 90 60 0
12,306')12,0360
901()12,0
360
601()12,0
360
301('250150.1
3233
250219.1
219.1150.106,1
NN
N
4272,0')'360
901()'
360
601()'
360
301(323250150.1
dddd
4656,0
360
901
323
360
601
323
360
301
323250150.1
i
iii
060702,0
360
901
200
360
601
200
360
301
2006600
e
eee
i
iii
33) (ExaMFSep99) Un industrial tiene pendientes de pago tres letras de nominales
5.000, 6.000 y 8.000 euros con vencimientos a 30, 60 y 90 días respectivamente.
a) Calcular el vencimiento de una letra de nominal 19.300 euros que sustituya a las
tres, si en la operación se utiliza el descuento comercial aplicando un tanto del 6%.
b) Calcular el nominal de una letra con vencimiento a los 100 días que sustituya a las
tres letras si en la operación se utiliza descuento racional aplicando un tanto del 6%.
c) Transcurridos 45 días y suponiendo que no se efectuó ninguna de las sustituciones
anteriores (a), b)), el industrial acuerda con su acreedor sustituir las letras no vencidas
por una con vencimiento igual al de la última; calcular su nominal si el tanto de interés
mensual aplicado a la operación es del 0,5% y la comisión sobre el nominal de las
letras sustituidas es del 0,5%.
N1 N2 N3 n1 n2
5000 6000 8000 30 60
n3 N n d E
90 19300 156,9948187 0,06 18795
18795 i N' n' E'
18797,49184 0,06 19110,78337 100 18797,49184
i'(12) Comisión E'' X
0,005 0,005 13995,48406 14100,45013 13995,484
90 0 30 45
5.000 6.000 8.000
d = 0,06
n 0
19.300
100 0
N'
díasnn
157)06,0360
1(300.19
)06,0360
901(000.8)06,0
360
601(000.6)06,0
360
301(000.5
78,110.19'
06,0360
1001
'
06,0360
901
000.8
06,0360
601
000.6
06,0360
301
000.5
NN
34) (ExaMFFeb99) Para el pago de una deuda, cierta persona hace entrega de dos
pagarés (firma dos pagarés) de 50.000 y 80.000 euros con vencimientos respectivos
a los 3 y 5 meses. Transcurrido un mes, acuerda recoger los pagarés y sustituirlos por
tres letras valoradas al tanto de interés simple anual del 15%.
a) Suponiendo que los vencimientos de las letras son a los 2, 4 y 6 meses de recoger
los pagarés, y los nominales de las dos primeras letras son 30.000 y 60.000 euros,
calcular el nominal de la última letra.
b) Calcular el tanto de descuento simple anual equivalente de la operación anterior.
c) Suponiendo que las letras son de cuantía 30.000, 60.000 y 41.000 euros y los
vencimientos de las dos primeras son a los 2 y 4 meses de recoger los pagarés,
calcular el vencimiento de la última letra.
N1 N2 n1 n2 i
50000 80000 3 5 0,15
E N'1 N'2 N'3
124970,964 30000 60000 41451,80024 124970,964
2 4 6
d E' n''3 N''3 E
0,13535463 0 5,062648797 41000 124970,9648
80.000
1
6 0 2 4
30.000 60.000 N'3
i = 0,15
n''3 0 2 4
30.000 60.000 41.000
i = 0,15
45,100.14005,05,11
000.14005,0005,05,11
000.8
005,05,01
000.6
X
X
13535463,0)12
61(8,451.41)
12
41(000.60)
12
21(000.30
)12
41(000.80)
12
21(000.50
8,451.41'
15,012
61
'
15,012
41
000.60
15,012
21
000.30
15,012
41
000.80
15,012
21
000.503
3
dddd
dd
NN
35) Un inversor presta 800 euros para recibir a los dos años 1.000 euros, en una
operación de Capitalización Simple. Interpretar la operación:
a) Desde el punto de vista de pago de intereses al final de la operación (pospagables).
b) Desde el punto de vista de pago de intereses al comienzo de la operación
(anticipados).
a) Desde el punto de vista de pago de intereses pospagables:
El capital inicial coincide con el capital prestado y el capital final es la suma del capital
prestado más los intereses acumulados hasta ese instante. Por tanto:
Co C2 n i (pospagable)
800 1000 2 0,125
Aclaración: se prestan 800 euros al 12,5% anual simple por un plazo de 2 años.
b) Desde el punto de vista de pago de intereses anticipados:
El capital inicial coincide con el capital prestado menos los intereses anticipados y
el capital final representa el capital prestado. Por tanto:
Co - Co · n · i* Co n i* (anticipado)
800 1.000 2 0,1
Aclaración: se prestan 1.000 euros al tanto de interés anticipado del 10% anual simple
por un plazo de 2 años.
36) (ExaMFFeb06) El Sr. Gómez decide comprar un aparato de aire acondicionado para
climatizar su empresa. El coste del aparato y la instalación le supone un gasto de 5.575
euros (PVC), pagándose el 20% al contado y el resto firmando cuatro letras de igual
nominal y con vencimientos sucesivos de 30 en 30 días, siendo el vencimiento de la
primera letra a los 60 días de la compra y el tanto de interés anual simple del 5%.
Transcurridos 15 días el vendedor acude al banco a descontar las letras y el banco le
ofrece hacer la operación a un tanto de descuento anual del 5% y comisión del 1%
sobre el nominal de cada letra. El comprador llegado el vencimiento de la primera
letra y una vez pagada propone sustituir las tres letras restantes por una sola con
vencimiento dentro de 100 días, para lo que le aplican un tanto de descuento
comercial simple del 6% y una comisión del 2% sobre el nominal de cada letra que
interviene en la operación. Se pide: a) Nominal de las letras firmadas por el
comprador. b) Efectivo recibido en la operación de descuento por el vendedor.
c) Nominal de la última letra que sustituye a las otras tres. d) Plantear la ecuación
2 0
800 1.000
1,02000.1
200*
*200800000.1000.1800*)1(
125,02
1800
000.1
)21(800000.1)1(
000
0
i
inCCyinC
iiinCCn
062648797,5''
15,012
''1
000.41
15,012
41
000.60
15,012
21
000.30
15,012
41
000.80
15,012
21
000.503
3
nn
de la que se obtendría el tanto de interés efectivo de la operación realmente llevada
a cabo por el Sr. Gómez.
PVC Entrega Financiado N i
5575 1115 4460 1131,236567 0,05
n1 n2 n3 n4
60 90 120 150 4460
d Comisión E
0,05 0,01 4423,134977
d Comisión N' E'
0,06 0,02 3558,110863 3427,646798 3427,646798
37) El Sr. X posee tres letras de igual nominal y vencimientos dentro de 2, 5 y 8 meses
respectivamente. Estas letras fueron obtenidas hace un mes como consecuencia de la
150 0 120 15
5.575- 1.115 N N N
d = 0,06 Comisión: 0,02
100 0
E' N'
134977,423.4236567,131.1401,0
)05,0360
1351()05,0
360
1051()05,0
360
751()05,0
360
451(236567,131.1
236567,131.1
05,0360
150105,0
360
120105,0
360
90105,0
360
601
460.4575.52,0575.5
E
N
NNNN
11,558.3''02,0)06,0360
1001('
236567,131,1302,0)06,0360
901()06,0
360
601()06,0
360
301(236567,131.1
NNN
ee ii360
1601
11,558.3
360
601
236567,131.1115.1575.5
venta de un articulo valorado en 4.369,55 euros a un tanto de interés del 6%.
a) Calcular el nominal de dichas letras.
b) En este momento, el Sr. X descuenta las letras en una entidad financiera que aplica
un tanto de descuento del 5% y cobra una comisión del 0,75% sobre el nominal de
cada letra. Calcular la cantidad que obtendrá.
c) Al llegar el vencimiento de la primera letra y sin haber pagado ésta, el deudor
propone sustituir las letras pendientes por dos letras de igual nominal con
vencimientos dentro de 6 y 9 meses. Por este cambio le aplican un tanto de descuento
del 6% y le cobran una comisión del 1% sobre el nominal de las letras sustituidas.
Calcular el nominal de las nuevas letras.
PVC N n1 n2 n3
4369,55 1500,000038 3 6 9
i E d Comisión E'
0,06 4369,55 0,05 0,0075 4372,50011
d' Comisión E'' N'
0,06 0,01 4477,500112 2325,974084 4477,500112
38) (ExaMOFSep09) El Sr. Ruiz acude a un concesionario para comprar un coche
valorado en 15.000 euros para lo cual entrada en efectivo 3.220 euros y firma tres letras
de igual nominal y vencimientos a 30, 60 y 90 días respectivamente, a un tanto de
descuento del 5% anual simple y una comisión del 1% sobre el nominal de cada letra.
Transcurridos 15 días, se negocian las letras en un banco que descuenta a un 3% de
interés semestral y cobra una comisión del 0,5% sobre el nominal de cada letra.
9 0 1 6
4.369,55 N N N
d = 0,05 Comisión: 0,0075
9 0
E'' N'
974,325.2')06,012
91()06,0
12
61('
500.1301,0)06,012
61()06,0
12
31(500.1500.1
5,372.4500.130075,0)05,012
81()05,0
12
51()05,0
12
21(500.1'
500.1
06,012
9106,0
12
6106,0
12
31
55,369.4
NN
E
NNNN
Cuando llega el vencimiento de la primera letra, y una vez pagada ésta, el Sr. Ruiz
propone al banco cambiar las letras pendientes por una sola con vencimiento dentro
de 90 días. El banco acepta cobrando un 5% de descuento simple anual y cobrando una
comisión del 1% sobre el nominal de todas las letras que intervienen en el cambio.
Se pide: a) Nominal de las letras que firma inicialmente el Sr. Ruiz; b) Cantidad
obtenida al negociar las letras,¿quién obtiene esta cantidad?; c) Nominal de la letra
que sustituye a las pendientes; d) Plantear la ecuación que nos da el tanto de interés
anual efectivo de la operación realmente realizada por el Sr. Ruiz.
PVC Entrega Financiado d Comisión
15.000 3220 11.780 0,05 0,01
N n1 n2 n3 E
4000 30 60 90 11780
i(2) Comisión E' N' E''
0,03 0,005 11850,86555 8214,83376 8030
8030
39) (ExaMFSep07) El Sr. Domínguez compra en un establecimiento especializado un
telescopio valorado en 10.950 euros abonando el 20% de esta cantidad en efectivo
como entrada firmando tres letras de igual nominal y vencimientos a los 5, 8 y 11
90 0 15 60
15.000- 3.220
N N N
d = 0,05 Comisión: 0,01 i(2) = 0,03 Comisión: 0,005
90 0
E'' N'
83,214.8''01,0)05,0360
901('
000.4201,0)05,0360
601()05,0
360
301(000.4
8655,850.11000.43005,0
03,0180
751
000.4
03,0180
451
000.4
03,0180
151
000.4'
000.4301,0
)05,0360
901()05,0
360
601()05,0
360
301(780.11220.3000.15
NNN
E
NN
N
ee ii360
1201
83,214.8
360
301
000.4220.3000.15
meses valoradas al 4% de interés. Transcurridos dos meses el dueño del
establecimiento acude al banco para descontar las letras a un tanto de descuento del
5% y una comisión del 0,5% sobre el nominal de cada letra. El Sr. Domínguez, llegado
el vencimiento de la segunda letra y sin haberla abonado, propone al banco sustituir
las letras impagadas por otras dos de igual nominal y vencimientos a 3 y 6 meses para
lo cual le aplican un tanto de descuento del 6% y una comisión del 0,3% sobre el
nominal de todas las letras que intervienen en la operación. Se pide:
a) Nominal de las tres letras firmadas por el Sr. Domínguez.
b) Líquido obtenido por el vendedor.
c) Nominal de las letras que sustituyen a las impagadas.
PVC Entrega Financiado i N
10950 2190 8760 0,04 2997,67705
E d Comisión E' E''
8760 0,05 0,005 8723,240216 5968,375007
d' Comisión N' n'1 n'2
0,06 0,003 3062,27553 3 6
E''
5968,375007
11 0 2 8
10.950 - 2.190
N N N
d' = 0,06 Comisión: 0,003
6 0
E'' N'
2755,062.3''2003,0)06,012
61()06,0
12
31('
677,997.22003,0)06,012
31(677,997.2677,997.2
24,723.8677,997.23005,0)05,012
91()05,0
12
61()05,0
12
31(677,997.2'
677,997.2
04,012
11104,0
12
8104,0
12
51
760.8190.2950.10
NNN
E
NNNN
