66. Nos conceden un préstamo de 7.000 € al 8% de interés. Si la duración del mismo es de

6 años, calcular cuánto tendremos que pagar transcurridos 6 años y la reserva o saldo

al principio del cuarto año.

a) Si se amortiza el préstamo mediante reembolso único de capital e intereses.

b) Si se amortiza el préstamo mediante reembolso único de capital pagando los intereses

cada año.

Solución: a) 11.108,12 €; 8.817,98 €; b) 7.560 €; 7.000 €.

Co n i C6 C3 C'6 C'3

7.000 6 0,08 11108,1203 8817,984 7560 7.000

67. Una entidad bancaria concede un préstamo de 100.000 € a cierta S.A. para ser

amortizado en 15 años mediante reembolso único de capital pagando los intereses cada

año a partir del tercero. Si el rédito anual concertado es el 10%, determinar las cuotas

de intereses y el capital a entregar. Solución: 12.100 €; 121.000 €.

Co n i C2 C2 · i C15 = C2

100.000 15 0,1 121.000,00 12.100,00 121.000,00

68. Una entidad bancaria concedió un préstamo de 10.000 € para ser amortizado en 7 años

mediante reembolso único de capital e intereses, el rédito anual concertado fue del 5%

para los dos primeros años y del 6% para los restantes. Transcurridos cuatro años,

de común acuerdo, deciden que se paguen los años restantes las cuotas de interés.

Determinar el capital a entregar y dichas cuotas de interés. Solución: 12.387,69 €; 743,26 €.

i = 0,08

7.000

3

15 0 1 3

100.000

C2 · i + C2

C2 · i

Carencia total

i' = 0,06 10.000

7 i' = 0,06

560.7000.708,0000.7'000.7'

984,817.808,1000.7)1(

1203,108.1108,1000.7)1(

603

33

03

66

06

CCC

iCC

iCC

000.121

100.12000.1211,1000.100)1(000.100

215

2

22

2

CC

iCiC

Co n n' i i' C4 C4 · i'

10.000 2 5 0,05 0,06 12387,69 743,2614

69. Una entidad bancaria ha otorgado un préstamo de 10.000 € para devolver en 10 años a

un tipo de interés del 4% anual por el método de amortización progresivo o francés.

Calcular la cuantía constante de las anualidades y las cuotas de amortización e interés

del cuarto año. ¿Cuales serán las del sexto año?.

Solución: 1.232,91 €; 936,91 €; 296 €; 1.013,36 €; 219,55 €.

Co n i a I1 A1 A4

10.000 10 0,04 1232,90944 400 832,909443 936,909848

A6 I4 I6

1013,361692 295,999595 219,547752

70. Para amortizar un capital de 100.000 euros en 8 años a un tipo de interés del 6% anual,

durante los dos primeros años no se entrega ninguna cantidad como contraprestación,

y en los seis restantes los términos amortizativos son constantes.

Calcular estos términos y el capital amortizado a los cuatro años.

Solución: 22.849,82 €; 33.182,94 €.

Co n n' i C2 I3 a

100.000 2 6 0,06 112.360,00 6.741,60 22.849,82

A3 A4 μ4

16108,22494 17074,7184 33.182,943

10 0 1 6

10.000

a

8 0 4 2

a

26,74306,069,387.12'

69,387.1206,105,1000.10)'1()1(

4

2222

04

iCI

iiCC

s

55,2199996,295

36169,013.1)1(909848,936)1(

909443,83240004,0000.10

90944,232.104,11

04,0000.10

)1(1

6644

2

46

3

14

1101

1010

0

AaIAaI

iAAiAA

IaAiCI

i

iCa

94,182.3372,074.17)1(

22,108.166,741.606,0360.112

82,849.2206,11

06,0360.112

11

360.11206,1000.100)1(

43434

3323

66

2

22

02

AAiAA

IaAiCI

i

iCa

iCC

71. Un préstamo de 80.000 € ha de amortizarse en 10 años, con abono de intereses anuales

al 8% los seis primeros años y al 9% los cuatro restantes. Si durante los dos primeros años

sólo se abonan las cuotas de interés y en los restantes el término amortizativo es

constante, calcular la cuantía de los términos amortizativos y el capital vivo al comienzo

de los años tercero y quinto. Solución: 14.051,31 €; 80.000 €; 64.085,27 €.

Co n n' i i' I1 = I2 a

80.000 6 4 0,08 0,09 6400 14051,31412

C2 = Co A3 A4 C4

80000 80.000 7651,31412 8263,41925 64.085,267

72. Se desea amortizar un préstamo de 500.000 € mediante 20 anualidades vencidas,

siendo el tipo de interés del 6% para los primeros 8 años, del 6,5% para los seis siguientes

y del 7% para los 6 últimos. Se pide la anualidad que amortiza el préstamo, el saldo a

principios del año 8 y el tanto efectivo del préstamo.

Solución: 44.260,88 €; 380.296,45 €; 6,19%.

Co n n' n'' i i' i''

500.000 8 6 6 0,06 0,065 0,07

a C7 ie

44260,88494 500000 380296,447 0,06188268 500000,001

73. Una persona cobra durante 12 años 200 € al principio de cada uno de ellos. Los

intereses se capitalizan al 4,5%. Al finalizar el duodécimo año presta la cantidad retirada

(redondeada a euros) a un comerciante que se compromete a reembolsar el préstamo

a base de 6 anualidades constantes, que empezará a pagar un año después de constituirse

el préstamo a un tanto del 6% anual. Se pide el importe de la anualidad que permite el

10 0 6 2

a 80.000

i = 0,08

20 0 14 9

500.000

i =0,06 i'' = 0,07

27,085.6441925,263.8)1(

31412,651.708,0000.8031,051.14

000.80

31,051.14)1(000.80

432434

23

02

4

'44

AACCiAA

iCaA

CC

aiaaaa ii

06188,0)1(1

88,260.44000.500

447,296.38006,1)065,1(88,260.44

06,1065,107,0

07,1106,1

065,0

065,11

06,0

06,11

06,1065,106,1000.500

20

20

16

07,06065,067

866

868

86

07,06

8

065,0606,08

e

e

e

i ii

iaa

aaaaaCa

a

aaaaaa

e

reembolso y el importe de la deuda del comerciante después del pago de la quinta

anualidad. Solución: 657,26 €; 620,06 €.

C n i V12 n' i' a

200 12 0,045 3231,98265 6 0,06 657,2644878

C5

620,0608375

74. En un préstamo de 10.000 € que tiene que ser amortizado en 10 años abonándose

intereses del 7,5% mediante cuotas de amortización anuales constantes, se pide la

anualidad del quinto periodo y la cuota de interés del séptimo. Solución: 1.450 €; 300 €.

Co n i As = A a1 a5 I7

10.000 10 0,075 1000 1750 1450 300

75. Se concede un préstamo de 9.000 € para su amortización en 8 años, mediante el

método de cuotas de amortización anuales constantes. Si el tipo de interés es 12% anual

obtener la cuantía de la séptima anualidad, el capital amortizado en los 4 primeros años

y el capital pendiente al principio del octavo.

Solución: 1.395 €; 4.500 €; 1.125 €.

Co n i As = A μ4 C7

9.000 8 0,12 1125 4500 1125

12 0 2 1

200

200

200

6 0 2 1

a

a

a

10 0 1 5

10.000

a10

06,620)'1(26,65706,11

06,098,231.3

)'1(1

'

98,231.3045,1045,0

1045,1200)1(200

1

566

0

12

12

iaCi

iCa

is i

300075,0000.44

450.1075,0000.14750.14

750.1750075,0000.10

000.110

000.10

67

15

11101

0

iAiCI

iAaa

AIaiCI

n

CAAs

76. Se otorga un préstamo de 25.000 € para amortizarse en 5 años abonándose anualmente

solamente el interés al 9,5% y debiendo devolver el principal al final de la operación.

El deudor concierta simultáneamente una operación de constitución del capital al 8,5%

anual y entregando una cuantía constante al final de cada año. Calcular la cantidad a

desembolsar por el deudor y la cantidad acumulada en el fondo al final del tercer año.

Solución: 6.594,14 €; 13.763,80 €.

Co n i i' Co · i f Co · i + f

25.000 5 0,095 0,085 2375 4219,1438 6594,143797

F3

13763,79637

77. Una sociedad contrae un préstamo de 10.000 € con una entidad bancaria para amortizar

por el sistema americano al 6% anual con una duración de 10 años. Por otra parte forma un

8 0 1 7

9.000

a7

5

...

0 1 2

25.000 · 0,095 25.000 · 0,095

25.000 + 25.000 · 0,095

5

...

0 1 2

f

25.000

125.1

500.44

135581012,0125.12080.12

395.112,0125.16205.26

205.2125.1080.1080.112,0000.9

125.18

000.9

7

4

3813

17

11101

0

AC

A

iAIIiAII

iAaa

AIaiCI

n

CAAs

7964,763.13085,0

1085,11438,219.4

14,594.61438,219.4375.2'

1438,219.41085,1

085,0000.25

375.2095,0000.25

3

'33

0

5'5

0

i

i

s

sfF

fiCa

s

Cf

I

fondo en otro banco en el cual realizará imposiciones semestrales para conseguir el

montante que extinga la deuda a un tanto del 5% anual. Calcular la cuota de interés del

sexto año del préstamo y la cuantía constante que hay que imponer en el fondo. Plantear

además la ecuación que nos da el tanto efectivo a que resulta la doble imposición.

Solución: 600 €; 392,67 €; 6,61%.

Co n i Is = Co · i i' i'(2) f

10.000 10 0,06 600 0,05 0,02469508 392,6743137

ie ie(2)

0,0660846 0,03251374 9999,99991

78. Una entidad financiera concede un préstamo de 12.000 € a un interés anual del 12%

para ser amortizado en 10 años mediante una renta con anualidades variables en

progresión aritmética de razón 150 €, determinar las cuantías de las anualidades primera

y quinta, así como su descomposición en interés y amortización.

Solución: 1.586,11€; 1.440€; 146,11€; 2.186,11 €; 1.239,30 €;946,81 €.

HECHO EN PROBLEMAS DE CLASE nº 8.

79. Cierta entidad ha concedido un préstamo de cuantía 50.000 euros, duración 10 años,

abono de intereses al 14% y la amortización se realiza mediante la entrega de términos

anuales variables en progresión aritmética de razón d = 500. Determínese la tercera

anualidad y el capital pendiente al principio del quinto año. ¿Es posible la amortización de

este préstamo en las mismas condiciones anteriores pero con d = 3.000 y con d = 2.000?.

Solución: 8.861,16 €; 42.472,30 ; Ninguno de los dos casos.

Co n i d a1 a3

50.000 10 0,14 500 7861,16064 50000 8861,160644

C4 a'1 d' d'' a''1

42472,30447 -761,421349 3.000 2.000 50000 2687,61145 50000

C0 · i + C0

0 1 2

10.000

10

f

0 1/2 2/2

10.000

20/2

f f

10 0 1 4

50.000

a10= a1 + 9 d C4

0660846,0674314,392600000.10

674314,3921))2('1(

)2('

60006,0000.10

)2(2010

20

0

)2('20

0

0

eii

i

s

iaa

i

iC

s

Cf

iCI

ee

El caso de d' = 3.000 no es posible pues exige un a'1 negativo.

El cado de d'' = 2.000 si es posible con a''1 = 2.687,61.

80. Una sociedad contrae un préstamo de 1.000.000 € con una entidad bancaria para

amortizar en 6 años al 5% anual mediante anualidades que aumentarán el 50% de la

anterior. Determínese la primera anualidad, el capital pendiente al principio del tercer

año y las cuotas de amortización del cuarto y último año.

Solución: 60.001,12 €; 949.497,14 €; 159.405,31 €; 433.936,69 €.

Co n i q a1 I1

1.000.000 6 0,05 1,5 60001,122 1000000 50000

A1 A2 C2 A3 A4 A5 A6

10001,122 40501,7391 949.497,139 87527,6676 159405,313 268627,472 433936,6859

81. En una entidad financiera se solicita un préstamo de 17.500 € amortizable en 10 años

mediante anualidades constantes a un tanto de interés anticipado del 10%. Se pide

la anualidad, la cuota de amortización del cuarto año y la cuota de intereses

correspondientes al sexto vencimiento. Solución: 2.686,84 €; 1.427,80 €; 924 €.

NO ENTRA EL MÉTODO ALEMÁN DE INTERESES ANTICIPADOS

82. Una entidad bancaria concede un préstamo de 15.000 € para ser amortizado en 6 años

a un tipo de interés del 11% mediante una renta anual constante. Transcurridos tres años

se decide de común acuerdo cambiar las condiciones del préstamo pasando a ser estas del

9% de interés anticipado y con cuotas de amortización constantes. Se pide la anualidad

6 0 1 3

50.000

a1 · 1,55 a1 · 1,5 a1 · 1,52

30,472.4214,0

65006500

14,0

500

16,861.8216,861.7

14,0

1050010500

14,0

500000.50

14,0654

131

14,01011

aaC

daaa

aai

ndand

i

da in

686,936.433)1()1(

472,627.268)1()1(

313,405.159)1()1(

6676,527.87)1()1(

139,497.949

7391,501.40)1()1(

122,001.10000.5005,0000.000.1

12,001.605,105,1

05,15,11

1

)1(1000.000.1

4

156

3

145

2

134

123

2102

112

11101

1

66

11

qqaiAA

qqaiAA

qqaiAA

qqaiAA

AACC

qaiAA

IaAiCI

aaqi

iqa

nn

con que se inicia el préstamo, cuotas de amortización a partir del cambio de condiciones

y pago efectuado en ese momento. Solución: 3.545,65 €; 2.888,18 €; 4.325,46 €.

NO ENTRA EL MÉTODO ALEMÁN DE INTERESES ANTICIPADOS

83. Un préstamo de 10.000 € se amortiza en 5 años con anualidades: a1 = a2 = a; a3 = 1,5a;

a4 = 2a; a5 = 3a y tipos de interés: i1 = 0,08; i2 = 0,085; i3 = 0,09; i4 = 0,1 y i5 = 0,11.

Se pide el valor de las anualidades primera y última, ¿qué capital tendremos

amortizado a los tres años?. Solución: 1.587,09 €; 4.761,26 €; 3.214,91 €.

Co n a 1,5 a 2 a 3 a i1

10.000 5 1587,08785 2380,63178 3174,1757 4761,26355 0,08

i2 i3 i4 i5 C3 μ3

0,085 0,09 0,1 0,11 10000 6785,09302 3.214,907

84. En un préstamo de 18.000 €, duración de la operación 8 años y abono de intereses

anticipados, los intereses concertados son i1 = i2 = 0,08; i3 = 0,09; i4 = i5 = i6 = 0,10; i7 = 0,105;

i8 = 0,11 y las cuotas de amortización siguen la ley Ak = k · m con k = 1, 2, …, 8.

Calcular el valor de las cuotas de amortización primera y última así como la cuota de

interés que se paga al final del tercer año. Solución: 500 €; 4.000 €; 1.500 €.

NO ENTRAN PRÉSTAMOS CON INTERESES ANTICIPADOS

85. De un préstamo de 10.000 € amortizable en 10 años por el sistema francés al 4% anual,

determinar el valor, usufructo y nuda propiedad al principio del año 8. Tanto de valoración

de mercado 5% anual. Solución: 3.357,52 €; 255,67 €; 3.101,85 €.

Co n i i' a V7 C7

10.000 10 0,04 0,05 1232,90944 3357,51821 3421,435941

U7 N7

255,6709161 3101,8473

5 0 1 4

10.000

0,11

1,5 a

0,085 0,1

10 0 1 7

10.000

a

907,214.3093,785.611,11,131,12

26,761.4308785,587.1

11,11,109,1085,108,131,109,1085,108,12

09,1085,108,15,1085,108,108,1000.10

303

111

3

111111111

111111

CCaaC

aa

aa

aaa

51821,357.390944,232.104,11

04,0000.10

)1(1'3710

0

in

aaVi

iCa

86. Consideremos un préstamo de 50.000 € a amortizar en 8 años al 12% anual. Calcúlese el

valor financiero, usufructo y nuda propiedad transcurridos 4 años con rédito de valoración

de mercado del 11% anual, si se amortiza por los sistemas americano y uniforme.

Solución: Americano: 51.551,22 €; 18.614,67 €; 32.936,55 €.

Uniforme: 25.509,97 €; 6.119,69 €; 19.390,29 €.

Co n i i' Co · i V41 N41

50.000 8 0,12 0,11 6000 51551,2228 32936,54871

U41 As = A N42 C42 U42 V42

18614,67414 6250 19390,2856 25000 6119,68848 25509,974

87. Se otorgó un préstamo de 20.000 € para ser amortizado en 12 años a un tipo de interés

del 12% anual. Si en este momento, principio del sexto año del préstamo, el tipo de

interés del mercado es del 11% anual, determinar el valor del préstamo, del usufructo y

de la nuda propiedad, si se amortiza mediante términos variables en progresión

aritmética de diferencia 100 € ó geométrica de razón 1,08.

Solución: Aritmética: 16.815,01 €; 6.547,09 €; 10.267,92 €.

Geométrica: 19.335,98 €; 7.920,55 €; 11.415,43 euros.

Co n i d q i'

20.000 12 0,12 100 1,08 0,11

8 0 1 7

50.000

C0 · i + C0

8 0 1 7

50.000

a8

a1

85,101.3

67,255)51821,357.343594,421.3(04,005,0

04,0)(

'

:

43594,421.3

777

777

37

UVN

VCii

iU

MakehamdeFórmula

aaC i

97,509.25)2856,390.19000.25(11,0

12,0)(

'

:

2856,390.1911,0

11,11250.6

000.254250.68

000.50

22,551.515487,936.3211,1000.50)'1(

67,614.1811,0

11,11000.6000.612,0000.50

2

4

2

4

2

4

4

'4

2

4

2

4

0

1

4

1

4

1

4

44

0

1

4

4

'40

1

40

NCi

iU

AcharddeFórmula

aAN

ACn

CAA

NUViCN

aiCUiC

i

s

i

a1 a'1 a6 a'6 C'5

2.809,771 20.000 2.262,133 20.000 3.309,771 3.323,816 18675,93647

V5 C5 U5 N5 V'5 U'5 N'5

16.815,006 16.269,415 6.547,087 10.267,919 19.335,983 7.920,552 11.415,430

88. Un préstamo alemán fue concedido hace 3 años con las siguientes características:

capital prestado 10.000 €, duración de la operación 10 años y tanto anual anticipado del 6%.

Si en este momento el acreedor vende el préstamo a un tanto del 5% anual. Determinar el

valor financiero, usufructo y nuda propiedad distinguiendo si los intereses del cuarto año

se han o no devengado. Considerar anualidades constantes y cuotas de amortización

constantes. Solución:

Anualidades constantes: 7.524,79 €; 1.302,35 €; 6.222,44 €; (si)

7.981,92 €; 1.759,48 €; 6.222,44 €; (no)

Cuotas: 6.895,54 €; 1.109,17 €; 5.786,37 €; (si)

7.315,54 €; 1.529,17 €; 5.786,37 €; (no)

NO ENTRAN PRÉSTAMOS CON INTERESES ANTICIPADOS

89. Un individuo desea obtener un préstamo de nominal 120.000 €, a amortizar con

términos amortizativos constantes y trimestrales durante 20 años. Para ello acude a una

entidad financiera que le propone bien el sistema francés con un interés del 9% nominal

anual bien el sistema alemán con un interés del 8,75% nominal anticipado (ambos

pagaderos trimestralmente). Se pide respecto a ambos préstamos:

12 0 1 5

9.000

a5

43,415.1155,920.7983,335.19'''

55,920.7)983,335.199365,675.18(12,011,0

12,0)''(

''

983,335.1908,111,1

11,108,11816,323.3

'1

)'1(1''

9365,675.1808,112,1

12,108,11''816,323.3''

133,262.2'08,112,1

12,108,11'

1

)1(1'000.20

919,267.10087,547.6006,815.16

087,547.6)006,815.16415,269.16(12,011,0

12,0)(

'

006,815.1611,0

7100)7100

11,0

100(

')

'(

415,269.1612,0

7100)7100

12,0

100(77,309.35

77,809.212,0

12100)12100

12,0

100()(000.20

555

555

7777

65

77

65

5

16

1

1212

11

555

555

11,076'65

12,076516

112,01211

UVN

VCii

iU

qi

iqaV

aCqaa

aaqi

iqa

UVN

VCii

iU

aai

ndand

i

daV

aaCdaa

aaai

ndand

i

da

nn

in

in

a) Descomposición en cuota de amortización e interés del decimotercer término

amortizativo.

b) Valor financiero, usufructo y la nuda propiedad al final del tercer año, con un interés de

mercado del 8% anual.

Solución:Francés: a) 3.247,65 €; 715,26 €; 2.532,39 €; b) 121.993,47 €; 69.128,04 €; 52.865,44 €.

Alemán: a) 3.164,29 €; 718,95 €; 2.445,34 €; b) 118.862,27 €; 65.967,92 €; 52.894,36 €.

NO ENTRAN PRÉSTAMOS CON INTERESES ANTICIPADOS

90. Una sociedad contrata un préstamo de 100.000 € a devolver en 5 años, a un tanto de

interés anual del 8%. Las anualidades serán de una cantidad a la primera, 3a la segunda, 2a

la tercera, 5a la cuarta, y 4a la quinta. Calcular la tercera anualidad y su descomposición en

cuota de interés y amortización.

Si el tanto de interés de mercado al finalizar el segundo año es del 10 % anual, calcular el

usufructo y la nuda propiedad.

Solución: 17.416,92 = 6.488,76 + 10.928,16 €; 12.477,57 €; 65.512,53 €.

Co n i i' a 3 a 2 a

100.000 5 0,08 0,1 8.708,458 26.125,375 17.416,916

5 a 4 a C2 I3 A3 V2

43.542,291 34.833,833 100000 81.109,490 6.488,759 10.928,157 77.990,099

U2 N2

12.477,566 65.512,533

91. El señor López entrega un capital de 5.000 € para recibir 8 años después su equivalente,

pactando la operación un tipo de interés del 8% anual. Si el deudor pretendiese cancelar

la operación al principio del quinto año y el tanto del prestamista es del 10 % anual. ¿Qué

cantidad exigirá éste como mínimo para rescindir?.

Si el deudor entregase en el punto anterior 4.000 €, ¿cuál sería el nuevo saldo pendiente y

cuál sería la cantidad que tendría que entregar al final de los 8 años?.

Solución: 6.321,05 €; 2.497,82 €; 3.398,25 €.

HECHO EN PROBLEMAS DE CLASE PROBLEMA 1.

92. Un préstamo de 10.000 €, debe amortizarse con sus intereses acumulados al 6% anual a

los 15 años. A los 5 años el deudor hizo una entrega parcial, momento en que el tanto de

5 0 1 4

100.000

4 a 5 a

533,512.65566,477.12099,990.77

566,477.12)099,990.7749,109.81(08,01,0

08,0)(

'

099,990.77)'1(4)'1(5)'1(2

49,109.81)1(4)1(5)1(2

916,416.172458,708.8

)1(4)1(5)1(2)1(3)1(000.100

222

222

321

2

321

2

3

54321

UVN

VCii

iU

iaiaiaV

iaiaiaC

aaa

iaiaiaiaia

interés era del 4'5% anual y a los 15 años canceló su deuda entregando 20.000 €, ¿cuál fue

la cantidad entregada en el año 5?. Solución: 2.553,55 €.

Co n i i' C15 V5 X5

10.000 15 0,06 0,045 23965,5819 15432,1016 2553,547981

C'5 C'15

12878,55364 20000

93. Un préstamo de 2.000 € contratado al 6% anual durante 8 años se cancela de la

siguiente forma: Un primer pago de 900 € 3 años antes del vencimiento y un segundo pago

al vencimiento final. Hallar el importe del segundo pago. ¿Y si al efectuar el primer pago

el tanto del mercado es del 4% anual?. Solución: 2.115,78 €; 2.175,32 €.

Co n i i' a5 C5 a8

2.000 8 0,06 0,04 900 1776,45116 2115,781749

V5 C8 C'5 C'8

2833,850269 3187,69615 1933,85027 2175,31855

94. Hace 7 años se concedió un préstamo de 8.000 € al 8% anual para ser reembolsado

mediante pago único de capital e intereses en 10 años. Calcular la cantidad mensual que

se ha depositado en un fondo durante 4 años al 7% anual si con el capital constituido se

logra hoy cancelar totalmente el préstamo a un tanto de interés de mercado del 6% anual.

Solución: 263,82 €.

10.000 C'5 = V5 - X5

5

C15

2.000

5 8

a8

8.000 V7

10 7

55,553.2

045,1)1016,432.15(045,1)()'1(''000.20

1016,432.15)'1(

5819,965.2306,1000.10)1(

5

10

5

10

55

10

515

10

155

1515

015

X

XXViCC

iCV

iCC

31855,175.2)'1(''

85027,933.1900'

85027,833.204,106,1000.2)'1(

78,115.2)1(

45116,776.190006,1000.2900)1(

3

58

55

383

85

3

58

55

05

iCC

VC

iCV

iCa

iCC

Co n i i' i'' C10 V7

8.000 10 0,08 0,06 0,07 17271,4 14501,40047

a n'' m i''(12)

263,8162142 4 12 0,00565415 14501,4005

95. Inmediatamente después de pagados los intereses del cuarto año el deudor quiere

cancelar un préstamo de 10.000 €, amortizable al 6% anual en 10 años con pago anual de

intereses. ¿Qué cantidad debe entregar si en dicho momento el tanto de interés es el 4%

anual?. ¿Qué saldo quedará si hace una entrega de 4.000 €?.

Solución: 11.048,43 €; 7.048,43 €.

Co n i i' X4 Co · i V4

10.000 10 0,06 0,04 4.000 600 11.048,4274

C'4 = V4 - X4

7.048,4274

96. Una deuda de 3.500 € se amortiza en 10 años, método francés, a un tipo de interés del

11,5% anual. Al principio del sexto año de la operación, el dinero en el mercado se presta

a un tipo de interés del 13% anual. Calcular la reserva al principio del sexto año y la

cantidad a abonar para cancelar la operación (en el supuesto de ser aceptado el tanto de

mercado por ambas partes). ¿Cuál sería la nueva anualidad si se cancelase parcialmente

la operación entregando 1.000 €?. ¿Cuál sería el saldo pendiente en este caso?.

Solución: 2.214,82 €; 2.134,33 €; 322,51 €; 1.134,33 €.

Co n i i' a C5 V5

3.500 10 0,115 0,13 606,820236 2.214,8197 2.134,3271

X5 C'5 a'

1.000 1.134,3271 322,505692

10

...

0 2 4

10.000 · i 10.000 · i 10.000 + 10.000 · i

10

...

0 2 5

a a a

10

...

0 2 5

a

C'5

C5

82,26305,40,501.14

4005,501.14)'1(

4,271.1708,1000.8)1(

)12(''48

3

107

1010

010

aaa

iCV

iCC

i

43,048.7'

43,048.11)'1(000.10600

60006,0000.10

444

6

'64

0

XVC

iaV

iC

i

82,214.2115,0

115,1182,606

82,606115,11

115,0500.3

)1(1

5

55

10

0

i

n

aaC

i

iCa

97. Una entidad bancaria concede un préstamo de 15.000 € para ser amortizado en 8 años a

un tipo de interés del 11% anual mediante una renta anual constante. Transcurridos 3 años

el tipo de interés que aplica la entidad en los préstamos que concede es el 12% anual,

determinar la cantidad que tendría que abonar el prestatario para rescindir la operación al

nuevo tipo de interés si además la entidad exige una compensación adicional del 1% del

saldo. ¿Qué anualidades habría que pagar en lo sucesivo si se cancelara parcialmente la

operación abonando 4.000 € y no existiera en este caso penalización? . ¿Cuál sería el saldo

pendiente en este caso?. Solución: 10.614,99 €; 1.805,18 €; 6.507,26 €.

Co n i a i' s Comisión

15.000 8 0,11 2.914,8158 0,12 3 0,01

V3 C3 V3 + 0,01 C3 X3 C'3 a'

10.507,2587 10.772,8591 10.614,9873 4.000 6.507,2587 1.805,1769

98. Determinar los tantos efectivos del deudor y del acreedor en un préstamo simple de

10.000 € a devolver dentro de 5 años con unos intereses del 12% anual si en la operación

inciden las siguientes características:

* Gastos a cargo del deudor en el origen y final de la operación del 3% del capital prestado.

* Gastos iniciales a cargo del acreedor del 0,5% del capital prestado.

* Impuestos sobre los rendimientos a un tipo del 16%

Solución: 13,06%; 10,29%.

Hecho en Tantosefectivos.pdf

99. Obtener las ecuaciones de los tantos efectivos del deudor y del acreedor en un

préstamo de 25.000 € a amortizar en 4 años a un tipo de interés del 12,5% anual mediante

anualidades constantes considerando:

* Gastos iniciales y finales a cargo del deudor del 2,4% del capital prestado.

* Impuestos anuales sobre los intereses, a cargo del acreedor a un tipo del 15%

...

0 2 3

a' V3

C3

V3 + 0,01 C3

51,32213,11

13,033,134.1

)'1(1

'''

33,134.1'

33,134.213,0

13,1182,606

55

5

555

5

'55

i

iCa

XVC

aaV i

1769,805.1''2587,507.6

2587,507.6'

9873,614.1001,0

8591,772.10

2587,507.10

8158,914.211,11

11,0000.15

'5

333

33

53

'53

8

aaa

XVC

CV

aaC

aaV

a

i

i

i

* Gastos de administración anuales constantes de 1.500 € a cargo del deudor.

Solución: 14,46%; 10,62%.

Hecho en Tantosefectivos.pdf

100. Un préstamo de 10.000 € al 7% anual se amortiza en 10 años con anualidades

constantes percibiéndose la primera a los tres años de concertada la operación. Si el

prestatario tiene unos gastos iniciales de 50 € y el sistema impositivo le detrae al

prestamista el 1% de las anualidades, determinar las ecuaciones que nos dan los tantos

efectivos del prestamista y del prestatario. Solución: 6,83%; 7,09%.

Co n i C2 G.iniciales Impuestos a

10.000 10 0,07 11.449 50 0,01 1.917,3384

ia id

0,068253041 10000,0006 0,07087325 9950

101. El señor X solicita un préstamo de 40.000 € para devolverlo en 7 años a un tanto de

interés anual efectivo del 16,64%, mediante semestralidades postpagables constantes

de cuantía a los cuatro primeros años y semestralidades constantes de cuantía 2a para los

tres años restantes. Transcurridos 3 años, el Sr. X recibe la devolución de la declaración de

la renta que asciende a 5.000 € y decide utilizar esta cantidad para efectuar una

cancelación parcial anticipada una vez que se ha pagado la sexta semestralidad.

Se pide:

a) Descomponer el décimo término amortizativo en amortización e intereses.

b) El valor financiero, la nuda propiedad y el usufructo al final del segundo año,

suponiendo que ya se ha pagado la cuarta semestralidad y que el tanto de mercado es del

12,36% anual efectivo.

c) El valor de la última nueva semestralidad si éstas siguen la misma ley y el tanto de

mercado es del 12,36% anual. Solución: a) 7.447,52 = 5.068,65 + 2.378,86 €;

b) 41.911,16 €; 24.826,07 €; 17.085,09 €; c)6.502,89 €.

Co n m i i(2) a 2 a

40.000 7 2 0,1664 0,08 3.723,7585 7.447,5171

C9 I10 A10 i' i'(2) V4

40.000 29.735,7763 2.378,8621 5.068,6550 0,1236 0,06 41.911,1575

...

0 3 4

a 10.000

...

0 2/2 8/2

2 a 40.000

07087,0)1()1(1

99,0)1(950.950000.10

06825,0)1()1(1

99,0)1()01,0(000.10

449.1107,1000.10)1(

2

8

2

8

2

8

2

8

22

02

dd

d

ddi

aa

a

a

ai

iii

iaiaa

iii

iaiaaa

iCC

d

a

C4 U4 N4 V6 X6 C'6 a'

37.639,8853 17.085,0888 24.826,0687 39.420,4340 5.000 34.420,4340 3.251,4453

2 a'

6.502,8906 34.420,4340

102. El Sr. X desea comprar un piso para lo que entrega una entrada de 10.000 €, cinco

pagos trimestrales, abonándose el primero de 1.000 € a la entrega de la entrada y

aumentando cada uno sobre el anterior en 250 €, y una hipoteca a la entrega de las llaves,

que se efectuará coincidiendo con el vencimiento de la última letra, por un total de

100.000 €. A los cinco años de contratar la hipoteca, siendo el tanto de mercado del 9%

(anual vencido), el banco le propone cancelar la hipoteca a cambio del 30% de sus ingresos

(que entregará al banco al final de cada mes) durante los próximos 5 años. Se pide:

a) Precio al contado del piso valorando todos los desembolsos al 10% anual vencido.

b) Importe de los pagos mensuales de la hipoteca si se contrata al 12% de interés nominal

vencido por 10 años.

c) Descomposición del valor financiero los cinco años en usufructo y nuda propiedad.

d) ¿Aceptará la proposición si los ingresos anuales para el primer año son de 48.000 € y

espera subidas anuales acumulativas del 5%?.

Solución:

a) 108.007,31 €; b) 1.434,72 €; c) 69.685,62=18.577,86+51.107,76 €; d) V=63.874,24 €. Si.

Entrada 1ª trimestra d Hipoteca i i(4) PVC

10.000 1.000 250 100.000 0,1 0,02411369 108.007,3060

0 3/4 4/4

100.000 10.000

...

0 1/12 2/12

a 100.000

89,502.6'24453,251.3''2'434,420.34

434,420.34000.5'434,420.392

0687,826.240888,085.17)()2()2('

)2(

8853,639.372

1575,911.412

655,068.52

86,378.2)2(7763,735.292

5171,447.727585,713.32000.40

06,011236,11)'1()2('1236,0'

08,011664,11)1()2(1664,0

)2('6)2('2

66)2('6)2('26

444444

)2(6)2(44

)2('6)2('44

1010

910)2(59

)2(6)2(8

2

1

2

1

2

1

2

1

aaaaaa

VCaaaaV

UVNVCii

iU

aaaaC

aaaaV

IaA

iCIaaC

aaaaaa

iii

iii

ii

ii

ii

ii

i

ii

j(12) i(12) n m a i' i'(12)

0,12 0,01 10 12 1.434,7095 0,09 0,007207323

V60 C60 U60 N60 C q V5

69.685,6153 64.497,4200 18.577,8590 51.107,7563 48.000 1,05 63.874,2398

103. El Sr. López pide al "Banco A" un préstamo hipotecario de 100.000 € para amortizarlo en

10 años mediante mensualidades postpagables constantes; el tanto nominal capitalizable

mensualmente aplicado es del 10%. Transcurridos tres años se pueden conseguir en el

mercado préstamos hipotecarios al 8% anual efectivo anual, por lo que el Sr. López piensa

en liquidar su antigua hipoteca y constituir un nuevo préstamo a amortizar en los siete

años restantes también mediante mensualidades constantes. El "Banco A" estipula

contractualmente para la cancelación anticipada la entrega del saldo incrementado en un

1%. El nuevo préstamo origina unos gastos iniciales del 3% de la cantidad adelantada que

se abonarán al contado. Se pide:

a) Mensualidad del primer préstamo.

b) Suma que ha de entregarse para que el banco acepte la cancelación y cuantía de la

nueva mensualidad.

c) ¿Es conveniente la operación (tener en cuenta que el interés del mercado ha variado)?.

Solución: a) 1.321,51 €; b) 80.399,23 €; 1.241,97 €; c) V1 =85.548,32 €; V2 = 82.811,21 €; si

Co n m j(12) i(12) i' i'(12)

100.000 10 12 0,1 0,00833333 0,08 0,00643403

...

0 1/12 2/12

a 100.000

SíVVComo

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7563,107.51859,577.18)()12()12('

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42,497.64

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7095,434.1))12(1(1

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250000.1(000.10

02411369,011,11)1()4(1,0

a C36 1,01 C36 a' V1 V2

1.321,5074 79.603,1998 80.399,2318 1.241,9667 85.548,3270 82.811,2087

104. El Sr. X compra un piso pagando 30.000 € de entrada, seis pagos cuatrimestrales

efectuando el primero cuatro meses después de la entrada, siendo éste de 1.000 € y

aumentado cada uno de los demás en 250 € sobre el anterior, una aportación extra de

10.000 €, 9 meses después de la entrada y un pago final de 140.000 € a efectuar junto con

el último pago cuatrimestral.

Para hacer frente a los seis pagos cuatrimestrales firma letras, para hacer frente a la

aportación extra elabora un plan de ahorro trimestral en un banco que capitaliza al 12 % de

interés anual simple y el pago de 140.000 € lo realiza mediante la firma de una hipoteca

con el banco A, de pagos trimestrales vencidos con una duración de 15 años y tanto

nominal del 12 % (capitalizable trimestralmente).

A los 3 años de firmada la hipoteca con el banco A, recibe una oferta de la caja de ahorros

B, de una hipoteca de pagos mensuales vencidos, 12 años de duración y tanto de interés

del 9 % nominal (capitalizable mensualmente), que utilizará para cancelar la hipoteca

firmada con el banco A que cobra para cancelar el saldo junto con una comisión del 1%.

a) Calcular el valor del piso valorando a tanto anual compuesto del 10%.

b) Calcular la cantidad que obtendrá la inmobiliaria al descontar las letras en un banco a

tanto de descuento del 12 % anual simple, la cuota del plan de ahorro (prepagable y

constante) y el término amortizativo de la hipoteca firmada con el banco A.

c) Calcular la cantidad que el banco A exigirá para cancelar la hipoteca y el término

amortizativo de la hipoteca propuesta por la caja de ahorro B.

d) ¿Aceptará la propuesta de la caja de ahorros B si valora ambas opciones a un tanto de

interés del 10% anual?.

Solución: a) 163.624,93 €; b) 8.210 €; 3.144,65 €; 5.058,61 €; c) 129.092,67 €; 1.469,11 €;

d) 142.938,89 €; B) Si.

0

2.250

6/3

140.000

30.000

...

0 1/4 2/4

a 140.000

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23,399.8001,11998,603.79

05737,321.10083333,11

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1

12

1

Entrada C d Extra Hipoteca i i(3)

30.000 1.000 250 10.000 140.000 0,1 0,032280115

PVC d' E i' simple C' j''(4)

163.624,9276 0,12 8.210 0,12 3.144,6541 10.000 0,12

i''(4) a C12 1,01 C12 j'''(12) i'''(12) a'

0,03 5.058,6142 127.814,522 129.092,667 0,09 0,0075 1.469,1142

t t(4) V1 t(12) V2

0,1 0,02411369 142.938,885 0,00797414 125.531,916

916,531.125'

885,938.142

00797414,01)1()12(02411369,01)1()4(1,0

1142,469.1))12('''1(1

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0075,012

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12

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667,092.12901,101,1

6142,058.5))4(''1(1

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