C alculo III - cmat.edu.uy

Calculo III

Bruno [email protected]

28 de enero de 2014

mailto:[email protected]

Indice general

Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I Calculo en variedades 6

0. Diferenciabilidad 8

1. Algebra exterior 121.1. Espacio dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2. Formas multilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.1. Producto tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3. Formas multilineales alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.1. Producto exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2. Formas diferenciales en Rn 222.1. Definicion y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2. Producto exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3. Derivada exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4. Pull-back . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5. Formas y campos en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.6. Formas cerradas y exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3. Integrales de lınea 343.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2. Relacion con formas cerradas y exactas . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4. Variedades diferenciables 394.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3. Superficies regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.3.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.3.2. Difeomorfismos entre superficies regulares . . . . . . . . . . 48

4.4. Espacio tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.5. Diferencial de un mapa entre variedades . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.5.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.5.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.6. Orientacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.6.1. Orientacion de espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . 614.6.2. Orientacion de variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

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INDICE GENERAL

4.6.3. Orientacion de curvas y superficies . . . . . . . . . . . . . . 664.7. Variedades con borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.7.1. Variedades con borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.7.2. Orientacion de variedades con borde . . . . . . . . . . . . . 74

5. Formas diferenciales en variedades 805.1. k-formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.2. Pull-back . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.3. Formas diferenciales en variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.4. Orientacion de variedades con formas diferenciales y forma de volumen 835.5. Derivada exterior en variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6. Integracion de formas en variedades 896.1. Integracion en Hn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.2. Integracion en un entorno coordenado . . . . . . . . . . . . . . . . 906.3. Integracion en una variedad compacta . . . . . . . . . . . . . . . . 926.4. Integracion de funciones en variedades . . . . . . . . . . . . . . . . 956.5. Volumenes de variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.6. Integracion en superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.7. Integracion en curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.8. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.8.1. Los teoremas clasicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.8.2. Interpretacion fısica de los operadores clasicos . . . . . . . . 105

6.9. Homotopıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

II Geometrıa diferencial de curvas y superficies 109

1. Geometrıa diferencial de curvas 1101.1. Definicion y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1101.2. Triedro de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

2. Geometrıa diferencial de superficies 1162.1. Primera forma fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

2.1.1. Primera forma fundamental en coordenadas locales . . . . . 1162.1.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

2.2. Mapa de Gauss y segunda forma fundamental . . . . . . . . . . . . 1182.2.1. Curvaturas normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1192.2.2. Curvaturas principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1212.2.3. Curvatura Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1222.2.4. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1232.2.5. Segunda forma fundamental en coordenadas locales . . . . . 1262.2.6. La curvatura en coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

2.3. Isometrıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1282.4. Sımbolos de Christoffel y Teorema Egregio de Gauss . . . . . . . . 130

Bibliografıa 138

Indice alfabetico 139

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Prefacio

Este libro esta inspirado en el curso de Calculo III dictado en 2009 por MiguelPaternain.

Mi meta y motivacion a lo largo de su escritura fue conseguir concentrarla mayor cantidad posible de contenido, de manera coherente y con un ordenlogico-formal adecuado, para un curso de un semestre. Es mi intencion que ellector con los conocimientos previos necesarios (calculo en una y varias variables yalgo de algebra lineal) pueda hacer una lectura ıntegra autocontenida. Es por estoque hay escasos ejercicios: si algun resultado se precisa para avanzar en la teorıa,es probado en el texto. Y si no, es una omision de mi parte que agradecerıa se mehiciera saber.

Encarezco al lector me haga llegar todo tipo de sugerencia, crıtica constructiva,duda o comentario en general a traves de mi correo electronico. Es mi motivacionque la calidad sea la mayor posible y los errores, mınimos, pero por mucharelectura que haga, siempre se me deslizan errores. Si le pido un favor al lec-tor, es ese: que perdone mis despistes y me los haga saber para poder ser corregidos.

Agradezco profunda y sinceramente a Miguel Paternain por introducirme contanto entusiasmo a un curso tan bonito (y por hacer de su estudio un gusto).

Asimismo agradezco a Eusebio Gardella por la paciencia y dedicacion que tuvoal evacuarme las dudas que me fueron surgiendo durante el dictado de dicho curso.

Doy las gracias tambien a Jonathan Acuna, Ana Cortazzo, Gonzalo Cousillas,Maximiliano Escayola, Pablo Ferrari, Cecile Mezzera, Maru Sarazola, Diego Silvera,Paula Verdugo y Andrea Viscarret por senalarme diversas erratas en el texto.

Las imagenes y graficos fueron hechos con gnuplot, Adobe Illustrator, xfig,y/o el entorno picture del propio LATEX. Excepciones: en la Parte I, las figuras4.11 y 6.1 (dominio publico); en la Parte II, la figura 2.1 (Creative CommonsAttribution ShareAlike 3.0, Eric Gaba, modificacion: traduccion de la leyenda), 2.3y 2.7 (debidamente citadas en la bibliografıa).

Un ultimo agradecimiento a mi padre, Daniel, por ayudarme mas de una y dedos veces con el Illustrator.

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Parte I

Calculo en variedades

Nos proponemos definir formas diferenciales en variedades, y de esta manerapoder demostrar el teorema de Stokes. Es un teorema que, por un lado, vincula latopologıa con el analisis; y por otro, generaliza y engloba varios teoremas clasicos(teorema del gradiente, teorema de Green, teorema de Stokes clasico, teorema dela divergencia de Gauss...).

El teorema dice basicamente que:∫Mdω =

∫∂M

ω

Esta concisa expresion resume y vincula muchas ideas: variedades, variedadescon borde, formas en variedades, derivada exterior de formas en variedades eintegracion de formas en variedades. Es por ello la culminacion de esta primeraparte del curso.

Para llegar a ello hay que trabajar bastante: la construccion que haremosen el capıtulo primero lo pone en evidencia.

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Capıtulo 0

Diferenciabilidad

Definicion 0.0.1. Llamaremos espacio euclıdeo al espacio vectorial con productointerno Rn, para algun n ≥ 1, donde el producto interno es el producto escalarusual.

En Calculo II definimos diferenciabilidad de esta manera: si U ⊂ Rn es abier-to, f : U → Rm es diferenciable en p ∈ U si existe una transformacion linealT : Rn → Rm (que llamaremos el diferencial de f en p y notaremos dfp) tal que:

lımv→0

f(p+ v)− f(p)− T (v)

‖v‖= 0

o lo que es equivalente, escribiendo ya T como dfp,

f(x)− f(p) = dfp(x− p) + r(x), ∀x ∈ U

donde r : U → Rm verifica:

lımx→p

r(x)

‖x− p‖= 0

La definicion precedente es mas debil que la que usaremos en este curso, sinembargo nunca esta de mas recordarla. Nuestras funciones seran generalmenteinfinitamente diferenciables:

Definicion 0.0.2. Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto, f : U ⊂ Rn → R una funcion.Decimos que f es infinitamente diferenciable o de clase C∞ si existen todas susderivadas parciales de todos los ordenes en todo punto de U. Denotaremos suderivada parcial segun xi indistintamente como ∂f

∂xio como fxi . Escribiremos como

∇f =(∂f∂x1

, . . . , ∂f∂xn

): U → Rn su gradiente y como dfp : Rn → R su diferencial

en un punto p ∈ U . Recordamos que el diferencial es una transformacion lineal yque dfp(v) = ∇f(p) · v = ∂f

∂v (p), donde ∂f∂v es la derivada direccional de f segun v.

Observacion 0.0.3. Recordar que el diferencial de una transformacion lineales la propia transformacion lineal, y que el diferencial de idU : U → U esidRn : Rn → Rn.

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Definicion 0.0.4. Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto, f = (f1, . . . , fm) : U → Rmuna funcion diferenciable. Definimos la derivada parcial de f segun xi como lafuncion:

fxi =∂f

∂xi

def.=

(∂f1

∂xi, · · · , ∂fm

∂xi

)Definicion 0.0.5. Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto, f = (f1, . . . , fm) : U → Rmuna funcion. Decimos que f es infinitamente diferenciable, o de clase C∞, siexisten todas las derivadas parciales de todos los ordenes de f en todo punto de U .Escribiremos como dfp : Rn → Rm su diferencial en un punto p ∈ U . Recordamosque es una transformacion lineal y que dfp = (d(f1)p, . . . , d(fm)p).

Esta definicion vale para conjuntos abiertos, nos proponemos extenderla paraconjuntos cualesquiera.

Definicion 0.0.6. Sea p ∈ Rn. Decimos que W ⊂ Rn es un entorno abierto de psi W es abierto y p ∈W .

Definicion 0.0.7. Sea A ⊂ Rn un conjunto y f : A→ Rm una funcion. Decimosque f es infinitamente diferenciable o de clase C∞ si para todo p ∈ A existen:

U ⊂ Rn un entorno abierto de p,

F : U → Rm de clase C∞ de modo tal que F |A∩U = f |A∩U (una extensiondiferenciable).

Las llamaremos sencillamente funciones diferenciables. Notaremos por C∞(A) alconjunto:

C∞(A)def.= f : A→ R : f es de clase C∞

Si A,B ⊂ Rn son subconjuntos, decimos que una funcion f : A → B es undifeomorfismo si es diferenciable, biyectiva, y f−1 : B → A es diferenciable.

Observacion 0.0.8. Esta definicion no es circular, si bien puede parecerlo a golpede vista. Estamos definiendo lo que significa que una funcion sea diferenciable enun subconjunto cualquiera de Rn, en base a la diferenciabilidad conocida en unsubconjunto abierto. La funcion F de la definicion es diferenciable en el sentido deCalculo II (recordado mas arriba), esto es, en un subconjunto abierto.

Observacion 0.0.9. Ahora sabemos lo que es una funcion diferenciable en unconjunto cualquiera, pero no hemos definido el diferencial de una tal funcion. Sip es un punto interior del dominio A, entonces podemos tomarnos un entornoU suficientemente pequeno para que este incluido en A, por lo que todas lasextensiones de f tendran el mismo diferencial en p, que es el de f |U , y por lotanto no habrıa problema en definirlo como el diferencial de alguna extension.Sin embargo si p no es interior al dominio, no todas las extensiones tienen porque tener igual diferencial, y ya no podrıamos definirlo de esta manera:

Sea A ⊂ R2 el eje de las abscisas, f : A → R definida por f(x, 0) = 0. fes diferenciable pues se puede extender a todo R2 como la funcion nula. Tambiense puede extender por la funcion g : R2 → R, definida por g(x, y) = y. ¿Comoharıamos entonces para definir el diferencial de f?

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Ejercicio 0.0.10. Demostrar que la restriccion de una funcion diferenciable aun subconjunto cualquiera es diferenciable, y que la composicion de funcionesdiferenciables es diferenciable.

Definicion 0.0.11. Sean A ⊂ Rn, B ⊂ Rm conjuntos. Sea f : A→ B una funcion.Decimos que f es un difeomorfismo si f es invertible, diferenciable y la funcioninversa f−1 es diferenciable. En este caso decimos que A y B son difeomorfos.

Ejercicio 0.0.12. Demostrar que la composicion de difeomorfismos es un difeomor-fismo, y que ser difeomorfo es una relacion de equivalencia.

Dos cosas difeomorfas (intuitivamente: que podemos deformar una en laotra “suavemente”) son indistinguibles para el topologo diferencial. Para eltopologo general, dos cosas homeomorfas (que podemos deformar una en otra“continuamente”) son indistinguibles (la rosquilla y la taza de cafe...).

Recordamos los siguientes resultados demostrados en Calculo II.

Regla de la cadena. Sean U ⊂ Rn, V ⊂ Rm abiertos y sean f : U → Rm,g : V → Rl funciones diferenciables, con f tal que Im f ⊂ V . Entonces la funciong f : U → Rl cumple:

d(g f)p = dgf(p) dfp ∀p ∈ U

Es decir, el siguiente diagrama conmuta:

Rndfp//

d(gf)p

>>Rmdgf(p)

// Rl

Corolario 0.0.13. Sean U ⊂ Rn y V ⊂ Rm abiertos, f : U → V un difeomorfismo.Entonces m = n, y el diferencial dfp : Rn → Rn en un punto p ∈ U es unisomorfismo (lineal) cuya inversa es tal que:

(dfp)−1 = d(f−1)f(p)

Demostracion. Aplicamos la regla de la cadena en las igualdades idU = f−1 fe idV = f f−1, recordamos que el diferencial de la identidad es la identidad, yobtenemos:

idRn = d(idU )p = d(f−1 f)p = d(f−1)f(p) dfp

idRm = d(idV )f(p) = d(f f−1)f(p) = dfp d(f−1)f(p)

Esto implica que dfp es invertible, y su inversa es d(f−1)f(p). Tenemos entoncesque dfp : Rn → Rm es un isomorfismo, luego m = n.

Observacion 0.0.14. No basta con que el diferencial en cierto punto sea un isomor-fismo para garantizar que f sea un difeomorfismo. Por ejemplo, sea f : R→ R dadapor f(x) = x2. Su diferencial en el punto 1 es df1 : R→ R, df1(x) = f ′(1) · x = 2xque es un isomorfismo, sin embargo f no es un difeomorfismo entre R y R.

Sı podemos afirmar que lo es localmente, gracias al

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Teorema de la funcion inversa. Sea U ⊂ Rn abierto, f : U → Rn una funciondiferenciable y p ∈ U . Si dfp es un isomorfismo, entonces existe X ⊂ U un entornoabierto de p tal que f(X) ⊂ Rn es abierto y f |X : X → f(X) es un difeomorfismo.

Lease: si una funcion diferenciable tiene diferencial invertible en un punto,entonces es localmente un difeomorfismo.

Observacion 0.0.15. La condicion dfp es invertible (que es lo mismo que decir quedfp es un isomorfismo) es equivalente a la condicion det dfp 6= 0 donde det dfp es eldeterminante jacobiano de f en p.

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Capıtulo 1

Algebra exterior

Sea V un R-espacio vectorial de dimension n.

1.1. Espacio dual

Hagamos un pequeno repaso sobre el espacio dual.

Definicion 1.1.1. Definimos el espacio dual de V que notaremos V ∗ como elespacio

V ∗ = T : V → R : T es lineal

Observacion 1.1.2. No es difıcil ver que V ∗ es un subespacio vectorial del R-espaciovectorial de las funciones de V en R con las operaciones definidas punto a punto,esto es:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(af)(x) = a f(x), ∀a ∈ R

Definicion 1.1.3. Sea B = e1, . . . , en una base de V , entonces el conjuntoB∗ = φ1, . . . , φn ⊂ V ∗ que verifica:

φi(ej) =

1 si i = j0 si i 6= j

se denomina base dual de B.

Notacion. Si e1, . . . , en es la base canonica de Rn, entonces notaremos su basedual por dx1, . . . , dxn.

Observacion 1.1.4. Recordamos las siguientes igualdades: para todo v ∈ V , f ∈ V ∗se cumple

v =n∑i=1

φi(v) ei

f =n∑i=1

f(ei)φi

Observacion 1.1.5. No es difıcil ver que una base dual es efectivamente una basedel espacio vectorial V ∗. Por lo tanto, dim V = dim V ∗.

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1.2 Formas multilineales

Definicion 1.1.6. Si V,W son espacios vectoriales y T : V →W es una transfor-macion lineal, la transformacion dual de T es T ∗ : W ∗ → V ∗ definida mediante

T ∗(f) = f T

1.2. Formas multilineales

Definicion 1.2.1. Una k-forma multilineal (o forma k-lineal, o k-forma lineal, ok-tensor) en V es una funcion T : V k → R que es lineal en cada variable, esto es:

T (v1, . . . , avi + wi, . . . , vk) = a T (v1, . . . , vi, . . . , vk) + T (v1, . . . , wi, . . . , vk)

para todo a ∈ R, v1, . . . , vk, wi ∈ V y todo i = 1, . . . , k. Notaremos T k(V ∗) alespacio de las k-formas multilineales en V .

Observacion 1.2.2. Es facil ver que T k(V ∗) es un subespacio vectorial del espaciovectorial de las funciones con dominio V k y codominio R, con las operacionesdefinidas punto a punto. Por lo tanto T k(V ∗) tiene estructura de R-espaciovectorial.

Ejemplo 1.2.3. Si tomamos k = 1, tenemos T 1(V ∗) = V ∗. Tenemos entonces queT k(V ∗) es una generalizacion del espacio dual.

Ejemplo 1.2.4. Para k = 2 y V = Rn, si tomamos T (v, w) = v · w, el productoescalar, tenemos que T es una 2-forma multilineal en Rn. Llamaremos a las 2-formasmultilineales, formas bilineales.

Ejemplo 1.2.5. Si k = n y V = Rn, entonces el determinante es una n-formamultilineal.

1.2.1. Producto tensorial

Definicion 1.2.6. Sea T una k-forma multilineal en V y S una r-forma multilinealen V . Definimos su producto tensorial, T ⊗ S ∈ T k+r(V ∗) por:

(T ⊗ S)(v1, . . . , vk, vk+1, . . . , vk+r) = T (v1, . . . , vk)S(vk+1, . . . , vk+r)

Proposicion 1.2.7. El producto tensorial tiene las siguientes propiedades:

(T + S)⊗R = T ⊗R+ S ⊗R (propiedad distributiva)

T ⊗ (S +R) = T ⊗ S + T ⊗R (propiedad distributiva)

(aT )⊗ S = T ⊗ (aS) = a(T ⊗ S) (propiedad homogenea)

T ⊗ (S ⊗R) = (T ⊗ S)⊗R (propiedad asociativa)

La ultima propiedad nos permite escribir T ⊗ S ⊗ R. Observar que el productotensorial no es conmutativo:

T ⊗ S 6= S ⊗ T

Lema 1.2.8. Una k-forma multilineal T en V queda determinada por los valoresque toma en todas las k-uplas de elementos de una base de V .

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1.3 Formas multilineales alternadas

Demostracion. Sea e1, . . . , en una base de V , v1, . . . , vk ∈ V . Escribimos:

vi =

n∑ji=1

aijieji

Por lo tanto:

T (v1, . . . , vk) = T

n∑j1=1

a1j1ej1 , . . . ,

n∑jk=1

akjk ejk

=

n∑j1,...,jk=1

a1j1. . . akjkT (ej1 , . . . , ejk)

Entonces conociendo T (ej1 , . . . , ejk) para todo ji = 1, . . . , n y todo i = 1, . . . , k,tenemos unıvocamente determinada T .

El producto tensorial permite expresar T k(V ∗) por medio de T 1(V ∗):

Proposicion 1.2.9. Sea e1, . . . , en una base de V y φ1, . . . , φn su base dual.Entonces una base de T k(V ∗) viene dada por:

B = φj1 ⊗ · · · ⊗ φjk : 1 ≤ j1, . . . , jk ≤ n

Demostracion. Sea T una forma k-lineal. Queremos ver que es posible escribir demanera unica:

T =

n∑j1,...,jk=1

aj1,...,jkφj1 ⊗ · · · ⊗ φjk , aj1,...,jk ∈ R

Por la proposicion anterior, basta evaluar en todas las k-uplas de elementos de labase e1, . . . , en: sea ei1 , . . . , eik una k-upla arbitraria.

T (ei1 , . . . , eik) =n∑

j1,...,jk=1

aj1,...,jkφj1 ⊗ · · · ⊗ φjk(ei1 , . . . , eik)

= ai1,...,ikφi1(ei1) . . . φik(eik)

= ai1,...,ik

Por lo tanto siempre es posible escribir T como arriba y de manera unica: bastatomar aj1,...,jk = T (ej1 , . . . , ejk).

Corolario 1.2.10. El espacio vectorial T k(V ∗) tiene dimension nk.

1.3. Formas multilineales alternadas

Definicion 1.3.1. Una k-forma lineal T se dice alternada si para toda k-uplav1, . . . , vk ⊂ V se cumple:

T (v1, . . . , vi, . . . , vj , . . . , vk) = −T (v1, . . . , vj , . . . , vi, . . . , vk)

Notaremos Λk(V ∗) al espacio de las k-formas multilineales alternadas y definimosΛ0(V ∗) = R por conveniencia.

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Observacion 1.3.2. Es claro que Λk(V ∗) es un subespacio vectorial de T k(V ∗).

Definicion 1.3.3. Denotaremos por Sp al grupo simetrico de p elementos, es decir,el grupo de las permutaciones de p elementos con la composicion como producto.Recordar que una permutacion σ de p elementos es una funcion biyectiva

σ : 1, . . . , p → 1, . . . , p

Recordamos que dada una permutacion σ, la podemos escribir como composicionde transposiciones (ciclos de orden 2). La paridad del numero de transposicioneses invariante, y es lo que nos permite hacer la siguiente

Definicion 1.3.4. Si σ es una permutacion, definimos su signo, sg σ, mediante:

sg(σ)def.= (−1)numero de transposiciones de σ

Si T ∈ T k(V ∗), π ∈ Sk entonces T π ∈ T k(V ∗) es tal que para todo v1, . . . , vk ∈ V ,

T π(v1, . . . , vk)def.= T (vπ(1), . . . , vπ(k))

Observacion 1.3.5. El signo de una permutacion respeta el producto, i.e. secumple que sg(ρ τ) = sg(ρ) sg(τ) ∀ρ, τ ∈ Sp.

Si ρ, τ son permutaciones, entonces T τρ = (T ρ)τ . En efecto, ambas expresionessignifican que al evaluar en v1, . . . , vk debemos aplicar primero ρ a los ındicesy despues τ .

Proposicion 1.3.6. Una k-forma lineal T es alternada si y solo si

T σ = sg(σ)T, ∀σ ∈ Sk

Demostracion. (⇒) Hagamoslo por induccion en el numero de transposiciones queaparecen en la descomposicion de σ. Escribamos σ = τ ρ = τρ, donde ρ es laprimera que aparece y no es la identidad, y τ es la composicion del resto. Para elpaso inicial: si π es una transposicion que no es la identidad, como T es alternada,T π = −T = sg(π)T . Por lo tanto, aplicando la hipotesis inductiva y el paso iniciala ρ,

T σ = T τρ = (T ρ)τ = sg(τ)T ρ = sg(ρ) sg(τ)T = sg(σ)T

(⇐) Basta elegir σ = (i, j), la permutacion que cambia i con j y deja el restofijo.

Definicion 1.3.7. Si T es una k-forma lineal, definimos su alternador, Alt(T ) ∈T k(V ∗) mediante:

Alt(T )(v1, . . . , vk) =1

k!

∑σ∈Sk

sg(σ)T (vσ(1), . . . , vσ(k))

O, con una escritura mas compacta:

Alt(T ) =1

k!

∑σ∈Sk

sg(σ)T σ

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Proposicion 1.3.8. Si T ∈ T k(V ∗), entonces Alt(T ) ∈ Λk(V ∗).

Si T ∈ Λk(V ∗) entonces Alt(T ) = T .

Si T ∈ T k(V ∗), entonces Alt(Alt(T )) = Alt(T ).

Demostracion. Sea (i, j) la permutacion que cambia entre sı i y j y deja losotros numeros fijos. Si σ ∈ Sk, definimos σ′ = σ (i, j). Por lo tanto

Alt(T )(v1, . . . , vi, . . . , vj , . . . , vk) =

=1

k!

∑σ∈Sk

sg(σ)T (vσ(1), . . . , vσ(i), . . . , vσ(j), . . . , vσ(k))

=1

k!

∑σ∈Sk

sg(σ)T (vσ′(1), . . . , vσ′(j), . . . , vσ′(i), . . . , vσ′(k))

=1

k!

∑σ′∈Sk

−sg(σ′)T (vσ′(1), . . . , vσ′(j), . . . , vσ′(i), . . . , vσ′(k))

= −Alt(T )(v1, . . . , vj , . . . , vi, . . . , vk)

Si T ∈ Λk(V ∗), entonces para todo σ ∈ Sk se cumple T σ = sg(σ)T . Por lotanto:

Alt(T ) =1

k!

∑σ∈Sk

sg(σ)T σ =1

k!

∑σ∈Sk

sg(σ) sg(σ)T =1

k!

∑σ∈Sk

T = T

pues #Sk = k!.

Por el primer ıtem, Alt(T ) ∈ Λk(V ∗), entonces por el segundo ıtemAlt(Alt(T )) = Alt(T ).

El primer ıtem nos dice que aplicar el alternador es una manera de obtenertensores alternados a partir de tensores cualesquiera.

Definicion 1.3.9. Si A : V →W es una transformacion lineal y k ≥ 0, definimosA∗ : Λk(W ∗)→ Λk(V ∗) mediante

A∗(T )(v1, . . . , vk) = T (A(v1), . . . , A(vk))

para todo T ∈ Λk(W ∗), (v1, . . . , vk) ∈ V k. Decimos que A∗(T ) es el pull-back linealde T por A.

Observacion 1.3.10. Este mapa se puede definir tambien sin ningun problema demanera tal que A∗ : T k(W ∗)→ T k(V ∗), no lo haremos ası pues a nuestros efectosno aporta nada. Observemos tambien que para k = 1 obtenemos la aplicacion dual,por lo tanto este mapa lo generaliza (falta verificar que efectivamente A∗ es lineal).

Proposicion 1.3.11. Sea T : V → W una transformacion lineal. La aplicacionT ∗ tiene las siguientes propiedades:

T ∗ es lineal,

(idV )∗ = idΛk(V ∗),

16


Si S : U → V es una transformacion lineal, entonces (T S)∗ = S∗ T ∗,

Si T es un isomorfismo lineal, entonces T ∗ tambien lo es, y verifica

(T ∗)−1 = (T−1)∗

Observacion 1.3.12. Las propiedades segunda y tercera se resumen en la siguientesentencia categorica: la operacion ∗ es un functor contravariante.

1.3.1. Producto exterior

Definicion 1.3.13. Sea T ∈ Λk(V ∗), S ∈ Λr(V ∗). Definimos su producto exterior,o producto cuna, T ∧ S ∈ Λk+r(V ∗), mediante:

T ∧ S =(k + r)!

k! r!Alt(T ⊗ S)

Es claro que el producto cuna de dos tensores alternados es un tensor alternado,mientras que el producto tensorial de dos tensores alternados no tiene por que serlo.En ese sentido, el producto cuna es cerrado para los tensores alternados: es unproducto adecuado. La utilidad de los factoriales se ira mostrando progresivamente.

Proposicion 1.3.14. El producto cuna tiene las siguientes propiedades: para todoT ∈ Λk(V ∗), S ∈ Λr(V ∗), R ∈ Λl(V ∗), a ∈ R:

T ∧ (S +R) = T ∧ S + T ∧R (propiedad distributiva)

(T + S) ∧R = T ∧R+ S ∧R (propiedad distributiva)

(aS) ∧ T = S ∧ (aT ) = a(S ∧ T ) (propiedad homogenea)

T ∧ S = (−1)kr S ∧ T

Tambien vale la asociatividad, pero vamos a tener que trabajar un poco paraprobarla.

Observacion 1.3.15. Del cuarto ıtem se deduce que si φ, ψ ∈ Λ1(V ∗) = V ∗, entoncesφ ∧ ψ = −ψ ∧ φ y φ ∧ φ = 0, de donde ∧ es anticonmutativo en Λ1(V ∗). Estapropiedad de las 1-formas es crucial. Observar que

φ ∧ ψ =1

2(φ⊗ ψ − ψ ⊗ φ)

Lema 1.3.16. Si T ∈ T k(V ∗) y S ∈ T r(V ∗), y T es tal que Alt(T ) = 0,entonces

Alt(T ⊗ S) = 0 = Alt(S ⊗ T )

Si T ∈ Λk(V ∗), S ∈ Λr(V ∗), R ∈ Λl(V ∗), entonces

Alt(Alt(T ⊗ S)⊗R) = Alt(T ⊗ S ⊗R) = Alt(T ⊗Alt(S ⊗R))

17


Demostracion. Por definicion, tenemos que

Alt (T ⊗ S) =1

(k + r)!

∑π∈Sk+r

sg(π)(T ⊗ S)π

Sea G ⊂ Sk+r el subgrupo que deja fijos los ultimos k+ 1, . . . , k+ r numeros.G es una copia de Sk en Sk+r, luego si π ∈ G le asociamos π′ ∈ Sk de maneranatural. Es claro que (T ⊗ S)π = T π

′ ⊗ S, luego:

∑π∈G

sg(π)(T ⊗ S)π =

∑π′∈Sk

sg(π′)T π′

⊗ S = 0

pues por hipotesis, Alt(T ) = 0. Resta ver que es 0 para aquellos π 6∈ G. PeroG descompone Sk+r en union disjunta de coclases a la izquierda,

σ G = σ π : π ∈ G

por lo tanto:∑π∈Sk+r

sg(π)(T ⊗ S)π =∑i

∑π∈G

sg(σi π)(T ⊗ S)σiπ

=∑i

sg(σi)∑π∈G

sg(π)(T ⊗ S)σiπ

=∑i

sg(σi)

(∑π∈G

sg(π)(T ⊗ S)π

)σi= 0

pues recien probamos que∑

π∈G sg(π)(T ⊗ S)π = 0.

Tenemos que

Alt(Alt(S ⊗R)− S ⊗R) = Alt(S ⊗R)−Alt(S ⊗R) = 0

por lo tanto utilizando el ıtem anterior para Alt(S ⊗R)− S ⊗R tenemos:

0 = Alt(T ⊗ [Alt(S ⊗R)− S ⊗R])

= Alt(T ⊗Alt(S ⊗R))−Alt(T ⊗ (S ⊗R))

de donde por la asociatividad de ⊗,

Alt(T ⊗ S ⊗R) = Alt(T ⊗Alt(S ⊗R))

y la otra igualdad se deduce de manera analoga.

Teorema 1.3.17. El producto exterior ∧ es asociativo, es decir, si T ∈ Λk(V ∗),S ∈ Λr(V ∗) y R ∈ Λl(V ∗), vale

(T ∧ S) ∧R = T ∧ (S ∧R) =(k + r + l)!

k! r! l!Alt (T ⊗ S ⊗R)

y por tanto escribiremos simplemente T ∧ S ∧R.

18


Demostracion. En virtud del segundo ıtem del lema anterior,

(T ∧ S) ∧R =((k + r) + l)!

(k + r)! l!Alt((T ∧ S)⊗R)

=(k + r + l)!

(k + r)! l!Alt

((k + r)!

k! r!Alt(T ⊗ S)⊗R

)=

(k + r + l)!

(k + r)! l!

(k + r)!

k! r!Alt(T ⊗ S ⊗R)

=(k + r + l)!

k! r! l!Alt(T ⊗ S ⊗R)

La otra igualdad es analoga.

Ejercicio 1.3.18. Sea A : V →W es una transformacion lineal y T ∈ Λk(V ∗), S ∈Λr(V ∗). Entonces

A∗(T ∧ S) = A∗(T ) ∧A∗(S)

Ahora que sabemos que el producto cuna es asociativo, podemos dar facilmenteuna base de Λk(V ∗).

Teorema 1.3.19. Si φ1, . . . , φn es una base de V ∗, entonces

B = φi1 ∧ · · · ∧ φik : 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n

es una base de Λk(V ∗).

Demostracion. Sea T ∈ Λk(V ∗), en particular T ∈ T k(V ∗), por lo tanto podemosescribir

T =n∑

j1,...,jk=1

aj1,...,jkφj1 ⊗ · · · ⊗ φjk , aj1,...,jk ∈ R

Como T es alternada, entonces Alt(T ) = T , por lo tanto:

T = Alt(T ) =

n∑j1,...,jk=1

aj1,...,jkAlt (φj1 ⊗ · · · ⊗ φjk)

Esto es igual an∑

j1,...,jk=1

aj1,...,jk (φj1 ∧ · · · ∧ φjk)

a menos de los factoriales, por lo tanto todos los φi1∧· · ·∧φik : i1, . . . ik = 1, . . . , ngeneran Λk(V ∗), pero no son linealmente independientes: por la anticonmutatividadde ∧ en 1-formas, tenemos φ ∧ ψ = −ψ ∧ φ, y φ ∧ φ = 0. Eliminando redundanciasnos quedamos con φi1 ∧ · · · ∧ φik : 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n

Corolario 1.3.20. dim Λk(V ∗) =(nk

) def.= n!

(n−k)!k!

Ejemplo 1.3.21. Sea V = Rn y consideramos dx1, . . . , dxn como base de (Rn)∗.Entonces si T ∈ Λk((Rn)∗), la podemos escribir de manera unica como

T =∑

1≤i1<···<ik≤nai1,...,ik dxi1 ∧ · · · ∧ dxik , ai1,...,ik ∈ R

19


Ejemplo 1.3.22. Por el teorema anterior, ya sabemos Λn((Rn)∗) tiene dimension 1.Sabemos que det ∈ Λn((Rn)∗), por lo tanto si T ∈ Λn((Rn)∗), entonces T = λ detpara algun λ ∈ R.

El ejemplo que sigue es muy importante.

Ejemplo 1.3.23. Sean φ1, . . . , φk ∈ Λ1((Rn)∗) = (Rn)∗. Entonces φ1 ∧ · · · ∧ φk ∈Λk((Rn)∗). Sean v1, . . . , vk ∈ Rn.

(φ1 ∧ · · · ∧ φk)(v1, . . . , vk) = k! Alt(φ1 ⊗ · · · ⊗ φk)

=k!

k!

∑σ∈Sk

sg(σ) (φ1 ⊗ · · · ⊗ φk)(vσ(1), . . . , vσ(k))

=∑σ∈Sk

sg(σ)φ1(vσ(1)) . . . φk(vσ(k))

=

∣∣∣∣∣∣∣φ1(v1) . . . φ1(vk)

......

φk(v1) . . . φk(vk)

∣∣∣∣∣∣∣= det(φi(vj))

En particular, si φi = dxi para todo i:

si k = n, entonces

dx1 ∧ · · · ∧ dxn = det ∈ Λn((Rn)∗)

si k < n, obtenemos el determinante de alguna submatriz. Por ejemplo, sik = 2, n = 3, y v = (v1, v2, v3), w = (w1, w2, w3) entonces:

dy ∧ dz(v, w) =

∣∣∣∣ v2 w2

v3 w3

∣∣∣∣dz ∧ dx(v, w) =

∣∣∣∣ v3 w3

v1 w1

∣∣∣∣dx ∧ dy(v, w) =

∣∣∣∣ v1 w1

v2 w2

∣∣∣∣Observar que esos tres determinantes son las coordenadas del productovectorial v × w, recordando que

v × w “=”

∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3

v1 v2 v3

w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣En conclusion,

v × w = (dy ∧ dz(v, w), dz ∧ dx(v, w), dx ∧ dy(v, w))

El producto cuna de formas multilineales efectivamente generaliza el productovectorial.

20


Observacion 1.3.24. Vemos aquı la utilidad de los factoriales que normalizan ladefinicion de producto cuna. Si no estuvieran, no nos habrıa quedado el determi-nante sino 1

k! veces el determinante, hecho bastante molesto y contraintuitivo quedistanciarıa el producto cuna de ser una generalizacion del producto vectorial usualpor tan solo un factor multiplicativo.

Proposicion 1.3.25. Sea A : V → V una transformacion lineal. ConsideremosA∗ : Λn(V ∗)→ Λn(V ∗). Entonces A∗(T ) = (detA) T .

Explıcitamente, para todo v1, . . . , vn ∈ V se tiene que

T (Av1, . . . , Avn) = (detA)T (v1, . . . , vn)

En particular, si φ1, . . . , φn ∈ V ∗ entonces

A∗(φ1) ∧ · · · ∧A∗(φn) = (detA) φ1 ∧ · · · ∧ φn

Demostracion. Como Λn(V ∗) tiene dimension uno, entonces A∗(T ) = λT paracierto λ ∈ R. Veamos que λ = detA.

Sea B : V → Rn un isomorfismo. Consideremos B∗ : Λn(V ∗)→ Λn((Rn)∗). SeaT = B∗(det). Entonces A∗B∗(det) = λB∗(det), y por lo tanto

(B∗)−1A∗B∗(det) = λ(B∗)−1B∗(det) = λ(BB−1)∗ = λ det

de donde (BAB−1)∗(det) = λ det. Evaluando en la base canonica de Rn, obtenemosque λ = det(BAB−1) = det(A), terminando la demostracion.

21

Capıtulo 2

Formas diferenciales en Rn

En una palabra, las formas diferenciales son integrandos: objetos creados paraser integrados con facilidad. Para Rn no estaremos consiguiendo nada muy nuevo,pero solo con las formas diferenciales podremos integrar de manera razonable envariedades. Necesitamos pasar primero por este caso mas sencillo, no solo pormotivos didacticos sino porque la construccion posterior hace uso de esta.

2.1. Definicion y ejemplos

Definicion 2.1.1. Sea U ⊂ Rn abierto. Si k ≥ 0, definimos una k-forma diferencialen U como una funcion ω : U → Λk((Rn)∗) que depende diferenciablemente delpunto. Notaremos por Ωk(U) al conjunto de las k-formas diferenciales en U .

Mas explıcitamente, una k-forma diferencial ω ∈ Ωk(U) se puede escribir demanera unica como

ω =∑

1≤i1<···<ik≤nai1,...,ik dxi1 ∧ · · · ∧ dxik (2.1)

donde ai1,...,ik : U → R son funciones diferenciables.

Seamos mas rigurosos y veamos esto con cuidado. Para todo p ∈ U ,ω(p) ∈ Λk((Rn)∗). Entonces como dxi1 ∧ · · · ∧ dxik : 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ nes base de Λk((Rn)∗), para todo p ∈ U podemos escribir

ω(p) =∑

1≤i1<···<ik≤nαpi1,...,ik dxi1 ∧ · · · ∧ dxik

donde αpi1,...,ik ∈ R (p es un superındice) son unicos. De esta manera, definimosai1,...,ik : U → R mediante ai1,...,ik(p) = αpi1,...,ik ∀p ∈ U , y pedimos que seandiferenciables.

Seamos aun mas rigurosos. ¿Que significa la ecuacion (2.1)? Hay pro-ductos de funciones U → R por k-formas multilineales y sumas de es-tos productos. Esto a priori no tiene sentido. Ahora, si consideramosδxi1,...,ik : U → Λk((Rn)∗), ij ∈ 1, . . . , n ∀j = 1, . . . , k ciertas funcionesconstantes tales que δxi1,...,ik(p) = dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∈ Λk((Rn)∗) ∀p ∈ U , entonces

22

2.1 Definicion y ejemplos

la siguiente expresion

ω =∑

1≤i1<···<ik≤nai1,...,ik δxi1,...,ik

sı tiene sentido: estos son productos y sumas punto a punto de funciones U → Rpor funciones U → Λk((Rn)∗). En efecto, para cada p tenemos bien definido(ai1,...,ik δxi1,...,ik)(p) = ai1,...,ik(p) dxi1 ∧ · · · ∧ dxik siendo este el producto porescalar del R-espacio vectorial Λk((Rn)∗).

Distinguir δxi1,...,ik de dxi1 ∧ · · · ∧ dxik no nos aporta demasiado pues laprimera es constante de valor la segunda, por lo tanto hacemos un pequeno abusode notacion al notar la k-forma diferencial que en cada punto de U vale la k-formamultilineal no constante dxi1 ∧ · · · ∧ dxik tambien mediante dxi1 ∧ · · · ∧ dxik .

Observacion 2.1.2. En el caso k = 0, como Λ0((Rn)∗) = R, una 0-forma diferencial es una funcion diferenciable U → R. En otras palabras,Ω0(U) = C∞(U).

Observar tambien que Ωk(U) = 0, para todo k > n, pues Λk((Rn)∗) = 0para todo k > n.

Ωk(U) es un R-espacio vectorial con las operaciones definidas punto a punto.

De ahora en mas y si no hay riesgo de confusion, si decimos una forma o unak-forma nos estaremos refiriendo a una forma diferencial.

Ejemplo 2.1.3. Una 1-forma diferencial en R3 es de la forma

ω = a dx+ b dy + c dz

donde a, b, c : U → R son funciones diferenciables. Si evaluamos en un punto p ∈ U ,tenemos

ω(p) = a(p) dx+ b(p) dy + c(p) dz : R3 → Runa funcional lineal. Ahora evaluamos en un vector v ∈ R3:

ω(p)(v) = a(p) dx(v) + b(p) dy(v) + c(p) dz(v)

donde dx(v), dy(v), dz(v) son la primera, segunda y tercera coordenadas de vrespectivamente.

Ejemplo 2.1.4. Hagamos lo mismo para una 2-forma en R3. Una 2-forma se puedeescribir como

ω = a dy ∧ dz + b dz ∧ dx+ c dx ∧ dydonde a, b, c : U → R son funciones diferenciables. Si evaluamos en p ∈ U tenemos:

ω(p) = a(p) dy ∧ dz + b(p) dz ∧ dx+ c(p) dx ∧ dy : R3 × R3 → R

Evaluando en dos vectores v = (v1, v2, v3), w = (w1, w2, w3) ∈ R3 obtenemos:

ω(p)(v, w) = a(p) dy ∧ dz(v, w) + b(p) dz ∧ dx(v, w) + c(p) dx ∧ dy(v, w)

= a(p)

∣∣∣∣ v2 w2

v3 w3

∣∣∣∣+ b(p)

∣∣∣∣ v3 w3

v1 w1

∣∣∣∣+ c(p)

∣∣∣∣ v1 w1

v2 w2

∣∣∣∣Escribiendo X : R3 → R3, X = (a, b, c) la formula anterior queda:

ω(p)(v, w) = X(p) · v × w

23

2.2 Producto exterior

Ejemplo 2.1.5. Si ω ∈ Ω3(U), entonces se escribe de manera unica como

ω = a dx ∧ dy ∧ dz

donde a : U → R es una funcion diferenciable.

Terminamos con un ejercicio (mas bien una observacion en un lenguaje apro-piado) para el lector con conocimientos basicos de teorıa de modulos:

Ejercicio 2.1.6. Verificar que Ωk(U) es un C∞(U)-modulo libre de rango(nk

).

2.2. Producto exterior

En esta seccion aprenderemos a acunar formas diferenciales. Ya sabemosque podemos sumar formas y multiplicarlas por escalares, ahora definiremos suproducto, llamado producto cuna o producto exterior, igual que con las formasmultilineales.

Definicion 2.2.1. Sea U ⊂ Rn abierto, ω ∈ Ωk(U), η ∈ Ωr(U), con k, r ≥ 1.Definimos ω ∧ η ∈ Ωk+r(U) punto a punto, es decir:

(ω ∧ η)(p) = ω(p) ∧ η(p) ∈ Λk+r((Rn)∗)

Observar que el producto cuna de la derecha es el producto cuna de formasmultilineales ya definido.

Si k = 0, f ∈ Ω0(U), definimos f ∧ ω = ω ∧ f = fω.

Ejemplo 2.2.2. Hagamos el producto cuna de una 1-forma en R3 con una 2-formaen R3.

(xyz dx) ∧ (y dz ∧ dx+ z dy ∧ dz) = xy2z dx ∧ dz ∧ dx+ xyz2 dx ∧ dy ∧ dz= xyz2 dx ∧ dy ∧ dz

recordando que dx ∧ dx = 0.

La siguiente proposicion se deduce inmediatamente de su analoga para formasmultilineales.

Proposicion 2.2.3. El producto cuna tiene las siguientes propiedades: para todoω ∈ Ωk(U), η ∈ Ωr(U), θ ∈ Ωl(U), a ∈ R:

ω ∧ (η ∧ θ) = (ω ∧ η) ∧ θ (propiedad asociativa)

(ω + η) ∧ θ = ω ∧ θ + η ∧ θ (propiedad distributiva)

ω ∧ (η + θ) = ω ∧ η + ω ∧ θ (propiedad distributiva)

(aω) ∧ η = ω ∧ (aη) = a(ω ∧ η) (propiedad homogenea)

ω ∧ η = (−1)kr η ∧ ω

24

2.3 Derivada exterior

2.3. Derivada exterior

Definicion 2.3.1. Sea U ⊂ Rn abierto. Si f ∈ Ω0(U), es decir, si f : U → R esuna funcion diferenciable, definimos su derivada exterior df ∈ Ω1(U) como

df =

n∑i=1

∂f

∂xidxi

Observacion 2.3.2. Esto no es nada mas que el diferencial de f , es decir,df(p) = dfp para todo p ∈ U . Hagamos la prueba para n = 3 para ahorrarındices. Sea v = (v1, v2, v3) ∈ R3. Por un lado, el diferencial es:

dfp(v) = ∇f(p) · v =∂f

∂x(p) v1 +

∂f

∂y(p) v2 +

∂f

∂z(p) v3

Por otro lado, la derivada exterior es:

df(p)(v) =∂f

∂x(p) dx(v) +

∂f

∂y(p) dy(v) +

∂f

∂z(p) dz(v)

=∂f

∂x(p) v1 +

∂f

∂y(p) v2 +

∂f

∂z(p) v3

y por lo tanto df(p)(v) = dfp(v).

Definicion 2.3.3. Sea U ⊂ Rn abierto y sea ω ∈ Ωk(U). Podemos escribir deforma unica

ω =∑

1≤i1<···<ik≤nai1,...,ik dxi1 ∧ · · · ∧ dxik

con ai1,...,ik : U → R funciones diferenciables. Definimos la derivada exterior de ωcomo dω ∈ Ωk+1(U) tal que:

dωdef.=

∑1≤i1<···<ik≤n

dai1,...,ik ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik

=∑

1≤i1<···<ik≤n

∑j

∂ai1,...,ik∂xj

dxj ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik

De esta forma, para todo k ≥ 0 esta definido d : Ωk(U)→ Ωk+1(U).

Observacion 2.3.4. Si ω ∈ Ωn(U), entonces dω = 0, pues dω ∈ Ωn+1(U) = 0.

Teorema 2.3.5. Sean r, k ≥ 0. El operador d tiene las siguientes propiedades:

d(aω + η) = a dω + dη, para todo ω, η ∈ Ωr(U), a ∈ R (R-linealidad),

d(ω ∧ η) = (dω) ∧ η + (−1)r ω ∧ dη para todo ω ∈ Ωr(U), η ∈ Ωk(U),

d2 = d d = 0.

Demostracion. Verifiquemos el tercer ıtem. Sea

ω =∑

1≤i1<···<ik≤nai1,...,ik dxi1 ∧ · · · ∧ dxik =

∑I

aI dxI

25

2.4 Pull-back

El subındice I del termino de la derecha es un multi-ındice. EscribimosI = (i1, . . . , ik) para cada secuencia estrictamente creciente de ındices.

dω =∑I

daI ∧ dxI =∑I

(∑i

∂aI∂xi

dxi

)∧ dxI

Por lo tanto

d(dω) =∑I

∑i

∑j

∂2aI∂xi∂xj

dxj

∧ dxi ∧ dxI

Pero usando que:

∂2aI∂xi∂xj

=∂2aI∂xj∂xi

dxj ∧ dxi = −dxi ∧ dxj

los terminos se anulan uno a uno, de donde d(dω) = 0.

Observacion 2.3.6. Si ω ∈ Ω0(U), es decir, ω = f : U → R diferenciable, entoncesaplicando la segunda propiedad:

d(fη) = d(f ∧ η) = df ∧ η + fdη

para todo η ∈ Ωk(U).

2.4. Pull-back

Definicion 2.4.1. Sean U ⊂ Rn, V ⊂ Rm abiertos del espacio euclıdeo y f : U →V un mapa diferenciable. Definimos la aplicacion f∗: lleva k-formas diferenciales enV en k-formas (diferenciales1) en U tal que, si ω ∈ Ωk(V ), p ∈ U y v1, . . . , vk ∈ Rn,entonces:

f∗(ω)(p)(v1, . . . , vk) = ω(f(p))(dfp(v1), . . . , dfp(vk))

Para k = 0 definimos f∗(g) = g f .Decimos que f∗(ω) es el pull-back de ω por f .

Observacion 2.4.2. Esto no es nada mas que el pull-back lineal deω(f(p)) ∈ Λk((Rn)∗) por dfp : Rn → Rm, es decir:

f∗(ω)(p) = df∗p (ω(f(p)))

El nombre pull-back se justifica de la definicion: este mapa “tira para atras”k-formas en V hacia k-formas en U .

Proposicion 2.4.3. Sean f : U → V , g : V → W mapas diferenciables entreabiertos del espacio euclıdeo. La aplicacion f∗ tiene las siguientes propiedades: paratodo ω ∈ Ωk(V ), η ∈ Ωr(V ):

1A priori no sabemos que el mapa ası como esta definido efectivamente tenga Ωk(U) comocodominio: no sabemos que produzca k-formas diferenciales, solo que produce k-formas en U .Sin embargo esto es cierto a posteriori, lo demostraremos en el corolario 2.4.8: esto justifica elparentesis.

26

2.4 Pull-back

f∗ es lineal,

f∗(ω ∧ η) = f∗(ω) ∧ f∗(η),

(idU )∗ = idΩk(U),

(g f)∗ = f∗ g∗,

Si f es un difeomorfismo entonces f∗ es un isomorfismo lineal, y verifica

(f∗)−1 = (f−1)∗

Las propiedades tercera y cuarta nos dicen que la operacion ∗ es un functorcontravariante.

Observacion 2.4.4. Aplicando la segunda propiedad a una 0-forma, obtenemos:

f∗(gω) = f∗(g ∧ ω) = f∗(g) ∧ f∗(ω) = (g f) ∧ f∗(ω) = (g f)f∗(ω)

Lema 2.4.5. Sean U ⊂ Rn, V ⊂ Rm abiertos, f = (f1, . . . , fm) : U → V mapadiferenciable. Notemos x1, . . . , xn las coordenadas en Rn, y1, . . . , ym las coordenadasen Rm. Entonces:

f∗(dyi) = d(fi) =n∑j=1

∂fi∂xj

dxj , ∀i = 1, . . . ,m

Demostracion. Sea v = (v1, . . . , vn) ∈ Rn. Veamos que f∗(dyi)(p)(v) = d(fi)(p)(v).Por un lado tenemos:

d(fi)(p)(v) = d(fi)p(v)

y por el otro:

f∗(dyi)(p)(v) = (dyi)(f(p))(dfp(v)) = dyi(dfp(v))

= dyi(d(f1)p(v), . . . , d(fm)p(v))

= d(fi)p(v)

Observacion 2.4.6. Usamos en la demostracion el hecho que dyi es constantecomo forma diferencial pues al evaluarla en cualquier punto, obtenemos la formamultilineal dyi.

Proposicion 2.4.7. Sea ω ∈ Ωk(V ) tal que

ω =∑

1≤i1<···<ik≤mai1,...,ik dyi1 ∧ · · · ∧ dyik

entonces su pull-back por f es tal que

f∗(ω) =∑

1≤i1<···<ik≤m(ai1,...,ik f) d(fi1) ∧ · · · ∧ d(fik)

Demostracion. Basta combinar el lema anterior con la linealidad de f∗, la reglaf∗(ω ∧ η) = f∗(ω) ∧ f∗(η) y el hecho que f∗(gω) = (g f)f∗(ω).

27

2.4 Pull-back

Corolario 2.4.8. Si ω ∈ Ωk(V ), entonces f∗(ω) ∈ Ωk(U), por lo tanto restringien-do el pull-back a las k-formas diferenciales en V , diremos que f∗ : Ωk(V )→ Ωk(U).

Demostracion. Basta observar la proposicion anterior, que f es diferenciabley sus derivadas parciales son diferenciables, y que ai1,...,ik f son funcionesdiferenciables.

Ejemplo 2.4.9. Consideremos el difeomorfismo de las coordenadas polares:

U = (ρ, θ) ∈ R2 : r > 0, 0 < θ < 2π V = R2 \ (x, 0) : x ≥ 0

y f = (f1, f2) : U → V definida por f(r, θ) = (r cos θ, r sen θ). Tenemos que:

f∗(dx)(r, θ) = d(f1)(r, θ) = cos θ dr − r sen θ dθ

f∗(dy)(r, θ) = d(f2)(r, θ) = sen θ dr + r cos θ dθ

Entonces si ω ∈ Ω1(V ) es tal que ω = a dx+ b dy:

f∗(ω) = (a f) d(f1) + (b f) d(f2)

= a(r cos θ, r sen θ)(cos θ dr − r sen θ dθ) + b(r cos θ, r sen θ)(sen θ dr + r cos θ dθ)

Para hacer el calculo de pull-backs esto es muy comodo, pues basta componer a yb con f y realizar en ω la sustitucion:

x = r cos θ ⇒ dx = cos θ dr − r sen θ dθ

y = r sen θ ⇒ dy = sen θ dr + r cos θ dθ

Proposicion 2.4.10. Sean U, V ⊂ Rn abiertos, f = (f1, . . . , fn) : U → V unmapa diferenciable. Sea ω ∈ Ωn(V ). Entonces f∗(ω)(p) = (det dfp) ω(f(p)).

Explıcitamente, si a : V → R es una funcion diferenciable, entonces

f∗(a dx1 ∧ · · · ∧ dxn) = (a f) det(df) dx1 ∧ · · · ∧ dxn

Demostracion. Basta combinar la proposicion 1.3.25 con la observacion 2.4.2.

Observacion 2.4.11. Esta proposicion nos dice explıcitamente como luce el pull-backde una n-forma por una funcion diferenciable entre abiertos de Rn. El lector atentoquizas haya reconocido la forma del teorema de cambio de variable para integralesmultiples y difeomorfismos... Exploraremos esta conexion mas tarde.

Teorema 2.4.12. La derivada exterior y el pull-back conmutan. Esto es, si U ⊂ Rn,V ⊂ Rm son abiertos, y f = (f1, . . . , fm) : U → V es un mapa diferenciable,entonces d f∗ = f∗ d, es decir:

d(f∗(ω)) = f∗(dω), ∀ω ∈ Ωk(V )

Demostracion. Lo haremos en tres pasos. Primero lo probaremos para 0-formas,luego para ω = dyi1 ∧ · · · ∧ dyik , y luego aplicaremos la linealidad de d y de f∗

para deducirlo en el caso general.

28

2.5 Formas y campos en R3

Caso k = 0. Sea a ∈ Ω0(V ) = C∞(V ).

f∗(da) = f∗

m∑j=1

∂a

∂yjdyj

=

m∑j=1

(∂a

∂yj f)f∗(dyj)

=m∑j=1

(∂a

∂yj f)d(fj) =

m∑j=1

n∑i=1

(∂a

∂yj f)∂fj∂xi

dxi

=

n∑i=1

m∑j=1

(∂a

∂yj f)∂fj∂xi

dxir.c.=

n∑i=1

(∂(a f)

∂xi

)dxi

= d(a f) = d(f∗(a))

Caso ω = dyi1 ∧ · · · ∧ dyik , con 1 ≤ k ≤ m, i1, . . . , ik ⊂ 1, . . . ,m.

d(f∗(ω)) = d(f∗(dyi1 ∧ · · · ∧ dyik)) = d (f∗(dyi1) ∧ · · · ∧ f∗(dyik))

= d(d(fi1) ∧ · · · ∧ d(fik)) = 0

La ultima igualdad se deduce aplicando iteradamente la reglad(ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)k ω ∧ dη y la relacion d2 = 0.

Por otro lado dω = 0, luego f∗(dω) = 0.

Si ω ∈ Ωk(V ), entonces

ω =∑

1≤i1<···<ik≤mai1,...,ik dyi1 ∧ · · · ∧ dyik

Por la linealidad de f∗ y de d, basta probarlo para ω = aη = a ∧ η conη = dyi1 ∧ · · · ∧ dyik . Como dη = 0 y f∗(dη) = d(f∗(η)) = 0:

f∗(dω) = f∗(d(a ∧ η)) = f∗(da ∧ η + a ∧ dη)

= f∗(da) ∧ f∗(η)

d(f∗(ω)) = d(f∗(a ∧ η)) = d(f∗(a) ∧ f∗(η))

= d(f∗(a)) ∧ f∗(η) + f∗(a) ∧ d(f∗(η))

= d(f∗(a)) ∧ f∗(η)

Pero ya probamos que f∗(da) = d(f∗(a)), de donde f∗(dω) = d(f∗(ω)).

2.5. Formas y campos en R3

Ejercicio 2.5.1. Verificar las siguientes formulas (es un calculo directo partiendo dela definicion):

d(a dx+ b dy+ c dz) =(∂c∂y −

∂b∂z

)dy ∧ dz+

(∂a∂z −

∂c∂x

)dz ∧ dx+

(∂b∂x −

∂a∂y

)dx∧ dy

d(a dy ∧ dz + b dz ∧ dx+ c dx ∧ dy) =(∂a∂x + ∂b

∂y + ∂c∂z

)dx ∧ dy ∧ dz

29

2.5 Formas y campos en R3

Definicion 2.5.2. Sea U ⊂ R3 abierto. Un campo vectorial es una funcion dife-renciable F : U → R3. Un campo escalar es una funcion diferenciable f : U → R.

Notacion. Notaremos C∞(U) al conjunto de los campos escalares en U , y χ(U)al conjunto de los campos vectoriales en U .

Vamos a ver que hay una correspondencia biunıvoca entre formas y campos enR3, y entre la derivada exterior y ciertos operadores clasicos (como el gradiente).

Si ω ∈ Ω0(U), entonces ω es un campo escalar.

Si ω ∈ Ω1(U), entonces ω = a dx + b dy + c dz, donde a, b, c : U → R sonfunciones diferenciables. Le podemos asociar el campo vectorial X = (a, b, c).

Si ω ∈ Ω2(U), entonces ω = a dy ∧ dz + bdz ∧ dx + cdx ∧ dy, con a, b, c : U → Rfunciones diferenciables. Le podemos asociar el campo vectorial X = (a, b, c).

Si ω ∈ Ω3(U), entonces ω = a dx ∧ dy ∧ dz, con a : U → R una funciondiferenciable. Le podemos asociar el campo escalar a.

Recıprocamente, si f ∈ C∞(U) entonces f ∈ Ω0(U).

Si F = (F1, F2, F3) ∈ χ(U), le asociamos ω1F ∈ Ω1(U)

ω1F = F1 dx+ F2 dy + F3 dz

Si F = (F1, F2, F3) ∈ χ(U), le asociamos ω2F ∈ Ω2(U):

ω2F = F1 dy ∧ dz + F2 dz ∧ dx+ F3 dx ∧ dy

Si f ∈ C∞(U), le asociamos ω3f ∈ Ω3(U):

ω3f = f dx ∧ dy ∧ dz

Claramente esta correspondencia es biunıvoca.

Definicion 2.5.3. Sea f ∈ C∞(U), F ∈ χ(U). Los operadores clasicos son:

El gradiente, ∇f def.=(∂f∂x ,

∂f∂y ,

∂f∂z

)∈ χ(U),

El rotacional, rot Fdef.=(∂F3∂y −

∂F2∂z ,

∂F1∂z −

∂F3∂x ,

∂F2∂x −

∂F1∂y

)∈ χ(U),

La divergencia, div Fdef.= ∂F1

∂x + ∂F2∂y + ∂F3

∂z ∈ C∞(U).

El laplaciano, ∆f = ∂2f∂x2 + ∂2f

∂y2 + ∂2f∂z2 ∈ C∞(U).

Si escribimos simbolicamente ∇ =(∂∂x ,

∂∂y ,

∂∂z

), entonces obtenemos las igual-

dades simbolicas:

rot F = ∇× F div F = ∇ · F ∆f = ∇ · ∇f

Observar que la ultima igualdad es equivalente con ∆ = div ∇. A veces se empleatambien la notacion ∇2 para el laplaciano.

30

2.6 Formas cerradas y exactas

Observacion 2.5.4. La derivada exterior se relaciona con el gradiente, el rotacionaly la divergencia mediante las formulas

df = ω1∇f d(ω1

F ) = ω2rot F d(ω2

F ) = ω3div F

La primera esta clara de la definicion, y las otras dos se deducen del ejercicio alcomienzo de la seccion.

Resumimos esta correspondencia de campos y formas, y de derivada exteriorcon gradiente, rotacional y divergencia mediante el siguiente diagrama conmutativo:

C∞(U)∇ //

id'

χ(U)rot //

ω1( )'

χ(U)div //

ω2( )'

C∞(U)

ω3( )'

Ω0(U)d// Ω1(U)

d// Ω2(U)

d// Ω3(U)

Corolario 2.5.5. Sea f ∈ C∞(U), F ∈ χ(U). Como d2 = 0, deducimos:

rot(∇f) = 0 div(rot F ) = 0

2.6. Formas cerradas y exactas

Definicion 2.6.1. Sea ω ∈ Ωk(U). Decimos que es cerrada si dω = 0; que esexacta si existe η ∈ Ωk−1(U) tal que dη = ω, en cuyo caso η es un potencial de ω.

Como d2 = 0, toda forma exacta es cerrada. El recıproco no es en generalvalido. El estudio de “por cuanto” una forma cerrada no es exacta es objeto deestudio de la cohomologıa de De Rham.

Ejemplo 2.6.2. Sea U = R2 \ (0, 0) y definimos ω ∈ Ω1(U) mediante

ω = − y

x2 + y2dx+

x

x2 + y2dy

ω es cerrada:

dω =

(∂

∂x

(x

x2 + y2

)+

∂

∂y

(y

x2 + y2

))dx ∧ dy

=x2 + y2 − x(2x) + x2 + y2 − y(2y)

(x2 + y2)2

= 0

Pero no es exacta. Podrıamos demostrarlo directamente pero lo haremos en elejemplo 3.2.4, usando integrales de lınea.

Este es un ejemplo clasico que vale la pena recordar. A veces ω se diceforma de angulo y se escribe ω = dθ, en virtud del siguiente ejercicio.

Ejercicio 2.6.3. Sea U = (r, θ) ∈ R2 : r > 0, 0 < θ < 2π, V = R2 \ (x, 0) ∈ R2 :x ≥ 0, f : U → V el cambio a coordenadas polares, es decir

f(r, θ) = (r cos θ, r sen θ)

31


Como f es un difeomorfismo, el sistema de ecuaciones

x = r cos θy = r sen θ

define r, θ :

V → R como funciones de x e y. Probar que dθ = − yx2+y2 dx+ x

x2+y2 dy, justificandoel nombre forma de angulo.

Observacion 2.6.4. Si definimos V = (x, y) ∈ R2 : x 6= 0, entonces definiendoω ∈ Ω1(V ) como antes, resulta ser exacta. Tenemos que ω = dη definiendoη = f : V → R como f(x, y) = Arctg ( yx).

Concluimos entonces que el dominio de una forma tiene una importanciasuprema en su “exactitud”. Enunciaremos ahora un criterio importante paradecidir si una forma es exacta.

Definicion 2.6.5. Sea U ⊂ Rn. Dos curvas cerradas α, γ : S1 → U son homotopi-cas si existe un mapa F : S1 × [0, 1]→ U diferenciable tal que:

F (x, 0) = α(x) ∀x ∈ S1

F (x, 1) = γ(x) ∀x ∈ S1

Podemos pensar el segundo parametro como el tiempo, por lo tanto dos curvas sonhomotopicas si es posible deformar diferenciablemente la una en la otra sin salirsede U .

Definicion 2.6.6. Una curva diferenciable α : [a, b] → R3 se dice cerrada siα(a) = α(b).

Definicion 2.6.7. Un conjunto U ⊂ Rn se dice simplemente conexo si es conexoy toda curva cerrada es homotopica a una curva constante (i.e. γ : S1 → U esconstante si existe p ∈ U tal que γ(x) = p para todo x ∈ S1).

Un conjunto es simplemente conexo si toda curva cerrada se puede contraera un punto diferenciablemente. Intuitivamente, en R2 simplemente conexo sig-nifica que no tiene agujeros. Observar que esto no es cierto en R3, por ejemploR3 \ (0, 0, 0) es simplemente conexo, pero “tiene un agujero”.

Definicion 2.6.8. Un conjunto U ⊂ Rn se dice contractil si existe un mapadiferenciable F : U × [0, 1]→ U tal que:

F (x, 0) = x ∀x ∈ UF (x, 1) = p ∀x ∈ U

para algun p ∈ U fijo. (Decimos que la identidad es null-homotopica, esto es, quela identidad es homotopica a un punto, llegando a una definicion mas general dehomotopıa que la dada antes).

Ejercicio 2.6.9. Verificar que los conjuntos con forma de estrella son contractiles.Un conjunto U ⊂ Rn tiene forma de estrella si existe p0 ∈ U (el “centro”) tal quepara todo p ∈ U se cumple que el segmento que une p con p0 esta en U , es decir si

tp+ (1− t)p0 : t ∈ [0, 1] ⊂ U

32


Intuitivamente, un espacio es contractil si puede ser diferenciablemente contraıdoa un punto. Siguiendo con el ejemplo anterior, R3 \ (0, 0, 0) serıa simplementeconexo pero no contractil. La recıproca siempre vale: si un espacio es contractilentonces es simplemente conexo. Esta condicion mas fuerte nos permite enunciarel siguiente

Lema de Poincare. Si U ⊂ Rn es un abierto contractil, entonces toda k-formacerrada ω ∈ Ωk(U) es exacta, para todo k > 0.

Corolario 2.6.10. Toda forma cerrada ω ∈ Ωk(Rn) es exacta, para todo n > 0,k > 0.

Lo hemos enunciado en su maxima generalidad: observemos que ocurre endimension dos. Lo que pasa es que no precisamos la contractibilidad, en este casobasta con la conexion simple. Obtenemos el siguiente resultado:

Teorema 2.6.11. Si U ⊂ R2 es un abierto simplemente conexo, entonces toda1-forma cerrada ω ∈ Ω1(U) es exacta.

Lo reenunciaremos en el teorema 6.9.7, donde lo demostraremos con todo rigor(lo cual no haremos con el Lema de Poincare general: ver [GP], por ejemplo).

Ejemplo 2.6.12. Si definimos V = R2 \ (x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 y ω ∈ Ω1(V ) es laforma del ejemplo 2.6.2, entonces por el lema de Poincare es exacta (resta ver queV es un abierto simplemente conexo, pero esto esta geometricamente claro).

33

Capıtulo 3

Integrales de lınea

3.1. Definiciones

Definicion 3.1.1. Una curva (parametrizada) diferenciable es una funciondiferenciable α : [a, b]→ R3.

Si α(a) = α(b), decimos que α es cerrada.

Decimos que α : [a, b]→ R3 es diferenciable a trozos si es continua y ademasexisten a = t0 ≤ t1 ≤ · · · ≤ tn−1 ≤ tn = b de modo tal que α|[ti,ti+1] seadiferenciable para todo i = 0, . . . , n− 1.

Sean α : [a, b] → R3, β : [b, c] → R3 diferenciables a trozos tales queα(b) = β(b). Definimos su concatenacion, αβ : [a, c]→ R3 mediante

(αβ)(t) =

α(t) si t ∈ [a, b]β(t) si t ∈ [b, c]

Sean α : [a, b] → R3, β : [c, d] → R3 diferenciables. Decimos que β esreparametrizada de α si existe σ : [a, b]→ [c, d] biyectiva tal que β σ = α yσ′(t) > 0 para todo t ∈ [a, b]. Decimos que σ es una reparametrizacion.

Sea α : [a, b] → R3 diferenciable. Definimos −α : [−b,−a] → R3 tal que−α(t) = α(−t).

Ejercicio 3.1.2. Probar que la relacion ser reparametrizada de es de equivalencia.

Observacion 3.1.3. En el caso de una reparametrizacion: al ser σ biyectiva, resultaque α y β tienen la misma traza, C, tenemos entonces el siguiente diagramaconmutativo:

C

[a, b]

α

==

σ// [c, d]

βaa

Observacion 3.1.4. La curva −α tiene la misma traza que α, pero la recorre ensentido contrario.

34

3.1 Definiciones

Definicion 3.1.5. Sea U ⊂ R3 abierto, ω ∈ Ω1(U), α : [a, b] → U una curvadiferenciable. Si ω = a dx+ b dy + c dz, a, b, c : U → R funciones diferenciables; yα(t) = (x(t), y(t), z(t)) definimos la integral de lınea de ω a traves de α como:∫

αω

def.=

∫ b

a

(a(α(t))x′(t) + b(α(t)) y′(t) + c(α(t)) z′(t)

)dt

Observacion 3.1.6. Si definimos el campo F = (a, b, c) la anterior definicion nosqueda en: ∫

αω =

∫ b

aF (α(t)) · α′(t) dt

lo cual motiva la siguiente

Definicion 3.1.7. Sea F = (a, b, c) : U → R3 es un campo vectorial, definimos laintegral de lınea de F a traves de α, tambien llamada la circulacion de F a lo largode α, como: ∫

αF =

∫ b

aF (α(t)) · α′(t) dt

Observacion 3.1.8. Por la observacion anterior, tenemos∫α F =

∫α ω

1F .

Proposicion 3.1.9. Sea U ⊂ R3 abierto, α : [a, b]→ U , β : [c, d]→ U diferencia-bles, β reparametrizada de α, ω ∈ Ω1(U). Entonces∫

αω =

∫βω

En otras palabras, la integral de 1-formas en curvas no depende de como separametriza la curva.

Demostracion. Sea F el campo asociado a ω, σ : [a, b]→ [c, d] la reparametrizacionde α. ∫

βω =

∫βF =

∫ d

cF (β(t)) · β′(t) dt

c.v=

∫ b

aF (β(σ(t))) · (β′(σ(t))σ′(t)) dt

r.c.=

∫ b

aF (α(t)) · α′(t) dt =

∫αω

Corolario 3.1.10. No perdemos generalidad si suponemos que una curva α esta pa-rametrizada de modo tal que α : [0, 1]→ R3.

Generalizamos la definicion de integral de lınea a curvas diferenciables a trozos.

Definicion 3.1.11. Sea U ⊂ R3 abierto, ω ∈ Ω1(U), α diferenciable a trozos talque α : [a, b]→ U con a = t0 ≤ t1 ≤ · · · ≤ tn−1 ≤ tn = b de modo tal que α|[ti,ti+1]

sea diferenciable para todo i = 0, . . . , n− 1. Entonces:∫αω

def.=

n−1∑i=0

∫α|[ti,ti+1]

ω

Ejercicio 3.1.12. Probar que∫−α ω = −

∫α ω∫

αβ ω =∫α ω +

∫β ω

35

3.2 Relacion con formas cerradas y exactas

3.2. Relacion con formas cerradas y exactas

Teorema 3.2.1. Sea U ⊂ R3 abierto, ω ∈ Ω1(U). Las siguientes condiciones sonequivalentes:

1.∫α ω solo depende de los extremos de α, para toda α : [a, b] → U curva

diferenciable a trozos.

2.∫α ω = 0 para toda curva cerrada α : [a, b]→ U diferenciable a trozos.

3. ω es exacta.

Demostracion. Haremos la demostracion para curvas diferenciables (no a trozos).(1⇒ 2) Sea α : [a, b]→ U una curva cerrada diferenciable. Definimos γ : [a, b]→ Umediante γ(t) = α(a) = α(b), para todo t ∈ [a, b] y sea F el campo asociado a ω.Como α y γ tienen los mismos extremos, entonces∫

αω =

∫γω =

∫ b

aF (γ(t)) · γ′(t) dt = 0

pues γ′(t) = 0 para todo t ∈ [a, b].

(2 ⇒ 1) Sean α : [a, b] → U y β : [a, b] → U curvas diferenciables talesque α(a) = β(a), α(b) = β(b) (i.e. α y β tienen los mismos extremos). Queremosver que

∫α ω =

∫β ω.

Sea β reparametrizada de β tal que β : [−c,−b] → U para un cierto c.Entonces −β : [b, c] → U y (−β)(b) = β(−c) = β(b) = α(b). Podemos entoncesconsiderar α(−β) que es una curva cerrada en U . Tenemos pues:

0 =

∫α(−β)

ω =

∫αω +

∫−βω =

∫αω −

∫βω =

∫αω −

∫βω

(3 ⇒ 1) Sea α : [a, b] → U . Como ω es exacta, existe f : U → R tal que ω = df .Sabemos que df = ω1

∇f , entonces:∫αω =

∫αdf =

∫αω1∇f =

∫α∇f =

∫ b

a∇f(α(t)) · α′(t) dt

r.c.=

∫ b

a(f α)′(t) dt = f(α(b))− f(α(a))

Por lo tanto∫α ω depende solo de los extremos de α.

(1 ⇒ 3) Sea p0 ∈ U fijo. Definimos f : U → R como f(p) =∫α ω, donde

α es una curva diferenciable en U que une p0 con p. Esto esta bien definidoporque

∫α ω es independiente del camino, por hipotesis; en otras palabras, f(p) no

depende de que α utilicemos para unir p0 con p. Queremos ver que df = ω, esdecir, si ω = P dx+Qdy +Rdz, tenemos que probar que

∂f

∂x= P

∂f

∂y= Q

∂f

∂z= R

36


Probaremos que ∂f∂x (p) = P (p) para todo p ∈ U , las otras son analogas. Si fijamos

p ∈ U , por definicion:

∂f

∂x(p) = lım

t→0

f(p+ te1)− f(p)

t

Calculemos f(p+ te1). Definimos γt : [0, t]→ U mediante γt(τ) = p+ τe1. Sea αuna curva que une p0 con p, y podemos suponer que esta parametrizada de talforma que αγt esta definida. Tenemos entonces:

f(p+ te1) =

∫αγt

ω =

∫αω +

∫γt

ω

Sea F = (P,Q,R) el campo asociado a ω. Entonces:

f(p+ te1)− f(p)

t=

1

t

∫γt

ω =1

t

∫γt

F =1

t

∫ t

0F (γt(τ)) · γ′t(τ) dτ

=1

t

∫ t

0F (γt(τ)) · e1 dτ =

1

t

∫ t

0P (γt(τ)) dτ

=1

tt P (γt(τ)) = P (γt(τ))

= P (p+ τ e1)t→0→ P (p)

habiendo aplicado el teorema del valor medio para integrales con τ ∈ [0, t]. Tenemosentonces que ∂f

∂x(p) = P (p), para todo p ∈ U . Hacemos lo mismo con las otrasderivadas y probamos que ∇f = F , o equivalentemente, df = ω.

Definicion 3.2.2. Si un campo F verifica el teorema anterior, entonces decimosque es de gradientes o conservativo.

Observacion 3.2.3. Decir que un campo es de gradientes es equivalente a decir quesu 1-forma asociada es exacta. La palabra conservativo viene de la fısica, donde elcampo F es una fuerza.

Ejemplo 3.2.4. Sea U = R2 \ (0, 0) y definimos ω ∈ Ω1(U) mediante

ω = − y

x2 + y2dx+

x

x2 + y2dy

Ya sabemos que ω es cerrada (ejemplo 2.6.2), y estamos ahora en condiciones de

demostrar que no es exacta. Sea F (x, y) =(− yx2+y2 ,

xx2+y2

)el campo asociado a

ω, y α : [0, 2π]→ U , α(t) = (cos t, sen t).∫αω =

∫αF =

∫ 2π

0F (α(t)) · α′(t) dt

=

∫ 2π

0F (cos t, sen t) · (− sen t, cos t) dt

=

∫ 2π

0(− sen t, cos t) · (− sen t, cos t) dt

= 2π

Entonces por el teorema anterior ω no es exacta.

37


Observacion 3.2.5. Al final de esta Parte I veremos como aplicacion de un resultadomas general que la integral de la forma de angulo en cualquier curva cerrada querodea al origen y recorrida una vez debe dar tambien 2π.

Esta forma nos permite probar lo siguiente con facilidad:

Ejemplo 3.2.6. R2 y R2 \ (0, 0) no son difeomorfos. Supongamos que existef : R2 → R2 \ (0, 0) difeomorfismo. Sea ω ∈ Ω1(R2 \ (0, 0)) la forma deangulo del ejercicio anterior. Acabamos de ver que no es exacta. Sin embargo,f∗(ω) ∈ Ω1(R2) es exacta por el lema de Poincare. Esto es absurdo: f∗(ω) exactaimplicarıa ω exacta, pues f es un difeomorfismo. Esto hay que probarlo, no esdifıcil: el pull-back por una funcion diferenciable lleva formas exactas en exactas,pues la derivada exterior y el pull-back conmutan. Si ademas f es un difeomorfismo,aplicamos este razonamiento a f−1 y deducimos que si f∗(ω) es exacta, entoncesω es exacta.

38

Capıtulo 4

Variedades diferenciables

Nos proponemos definir variedad diferenciable. Para ir teniendo una idea,queremos que las superficies en R3, y las curvas en R2 y R3 caigan dentro de ladefinicion de variedad, bajo ciertas hipotesis de regularidad.

Queremos que una variedad sea “localmente euclıdea”, es decir que en el entornode cada punto “se parezca” a un espacio euclıdeo fijo (por ejemplo, para unasuperficie, este sera R2; y para una curva, R). Empecemos con algunas definiciones.

4.1. Definiciones

Definicion 4.1.1. Sea M ⊂ Rk. Decimos que M es una variedad diferenciable dedimension n o una n-variedad (en ingles: n-manifold) si para todo p ∈M existeun difeomorfismo ϕ : U ⊂ Rn →W ∩M , donde W ⊂ Rk es un entorno abierto dep y U ⊂ Rn es un abierto (ver figura 4.1).

Definicion 4.1.2. Sea M una variedad diferenciable. Dado V ⊂M , decimos queV es un abierto relativo en M (con la topologıa relativa de Rk) si existe W ⊂ Rkabierto tal que V = W ∩M . Decimos entonces que V es un entorno abierto relativode p en M si ademas p ∈ V .

Observacion 4.1.3. Con la definicion anterior, la definicion de variedad queda ası:Decimos que M es una variedad diferenciable de dimension n si para todo p ∈Mexiste un difeomorfismo ϕ : U ⊂ Rn → V ⊂ M , donde V es un entorno abiertorelativo de p en M .

Observacion 4.1.4. En el resto del texto diremos simplemente variedad para refe-rirnos a variedad diferenciable. El nombre completo es justificado por la existenciade variedades mas generales, las variedades topologicas. Una n-variedad topologicaes un espacio de Hausdorff X con base numerable tal que todo punto x ∈ X tieneun entorno homeomorfo a un abierto de Rn (esta es la definicion de [Mu2], sinembargo otros autores como [ST] omiten pedir que el espacio tenga base numerable).Lo importante de la diferenciabilidad (es decir, que usemos difeomorfismos y nohomeomorfismos para caracterizar la semajanza local con un espacio euclıdeo) esque nos permite hacer calculo, lo cual nos es de gran interes.

39

4.1 Definiciones

v

u

q

U

ϕ

MW

W M

U

p

z

x

y

Figura 4.1: Variedad de dimension 2 en R3

Definicion 4.1.5. Sean M ⊂ Rk una variedad de dimension n, p ∈ M ,ϕ : U ⊂ Rn → V ⊂ M un difeomorfismo como en la definicion de variedad.Entonces:

El mapa ϕ se llama parametrizacion de V o carta local.

El mapa ϕ−1 : V ⊂M → U ⊂ Rn se llama sistema de coordenadas en V.

El entorno ϕ(U) se llama entorno coordenado de ϕ.

Un atlas A es un conjunto de parametrizaciones que cubren la variedad, esdecir, un conjunto de parametrizaciones tales que la union de sus entornoscoordenados da M : M =

⋃ϕ∈A Im(ϕ).

Si tenemos ϕ : U ⊂ Rn → ϕ(U) ⊂ M , ψ : V ⊂ Rn → ψ(V ) ⊂ Mdos parametrizaciones tales que ϕ(U) = ψ(V ), entonces el mapaf = ψ−1 ϕ : U → V se llama cambio de coordenadas.

Decimos que la variedad M tiene codimension k − n.

Observacion 4.1.6. El cambio de coordenadas es un difeomorfismo por ser compuestade difeomorfismos.

Definicion 4.1.7. Un conjunto S ⊂ R3 es una superficie regular (o sencillamentesuperficie) si es una variedad de dimension 2.

Pedimos S ⊂ R3 para que la definicion vaya de la mano con la intuiciongeometrica. Podemos tener variedades de dimension 2 en R2 (abiertos de R2,como ya veremos), o variedades de dimension 2 que no podemos tener en R3.Intuitivamente podrıamos pensar que las variedades de dimension 2 se puedentener siempre en R3, pero eso es falso. Por ejemplo, la botella de Klein (ver figura

40

4.2 Ejemplos

Figura 4.2: Botella de Klein inmersa en R3

4.2) es una variedad de dimension 2 que no puede ser inmersa en R3, recien en R4

(si no, hay autointersecciones). El teorema de inmersion de Whitney nos dice quepodemos “sumergir” en algun sentido cualquier m-variedad en R2m+1 (para masinformacion, ver [GP], capıtulo 1, §8). Por ello uno puede estudiar las propiedadesabstractas, intrınsecas de las variedades, sin pensarlas inmersas en ningun espacioeuclıdeo.

Observacion 4.1.8. Nos gustarıa definir curva regular como un subconjuntoC ⊂ Rk, k = 2, 3 que es una variedad de dimension 1. Sin embargo no lo haremos,porque en la geometrıa de las curvas se usa esa nomenclatura para una curva conhipotesis diferentes. Una variedad de dimension 1 es en particular una curva queno se autointersecta, mientras que las curvas regulares podran autointersectarse.

Una ultima definicion que nos sera util en el futuro es la de conexion:

Definicion 4.1.9. Una variedad M es conexa si no existen A,B ⊂ M abiertosrelativos disjuntos no vacıos tales que M = A∪B (es decir, si es conexa como espaciotopologico con la topologıa relativa del espacio euclıdeo en donde esta inmersa).

Geometricamente, una variedad es conexa si esta formada por un solo trozo.

Definicion 4.1.10. Una variedad M es conexa por caminos si para todo p, q ∈Mexiste una curva continua α : [a, b]→M tal que α(a) = p y α(b) = q.

Observacion 4.1.11. Inciso topologico: se puede probar que una variedad siemprees localmente conexa por caminos. Esto implica que una variedad es conexa si ysolo si es conexa por caminos. Gracias a ello, en las demostraciones que involucrenconexion usaremos indistintamente ambas caracterizaciones.

4.2. Ejemplos

Uno podrıa demostrar facilmente que, por ejemplo, la esfera unitariaS2 = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1 ⊂ R3 (ver figura 4.3) es una super-ficie regular, a partir de la definicion. De la manera mas directa, esto nos requerirıatomarnos seis parametrizaciones (hay una imagen en la seccion 2.2 de [dC] que esbien explicativa), lo cual es innecesariamente tedioso pues en poco tiempo podremosdemostrarlo simple y elegantemente.

41

4.2 Ejemplos

Figura 4.3: La esfera unitaria, S2

Ejemplo 4.2.1. Si U ⊂ Rn es un abierto, entonces es una variedad de dimension n.Basta tomar M = U , W = U y ϕ = idU en la definicion. En particular, Rn es unavariedad de dimension n.

Proposicion 4.2.2. Sea U ⊂ Rn abierto, f : U → R una funcion diferenciable.Entonces el grafico de f , M = graf (f) = (x, f(x)) : x ∈ U ⊂ Rn+1 es unavariedad de dimension n que se cubre con una sola parametrizacion.

Demostracion. Sea W = (x, y) ∈ Rn × R : x ∈ U = U × R, es abierto de Rn+1

(es producto de abiertos). Basta ver que W ∩M = M es difeomorfo a U , es decirhallar ϕ : U → M diferenciable, invertible, con inversa diferenciable. Definimosla ϕ mas logica: ϕ(x) = (x, f(x)). Es diferenciable pues f es diferenciable. Suinversa es la proyeccion sobre Rn: si definimos π : Rn × R→ Rn por π(x, y) = x,es lineal, luego diferenciable. Por definicion, π|M es diferenciable en M , y ademasϕ−1 = π|M , lo cual concluye la demostracion.

Observacion 4.2.3. Estamos identificando Rn+1 con Rn × R. Esta es una practicaque adoptaremos siempre que sea necesario.

Veamos algunos ejemplos de esta proposicion:

Ejemplo 4.2.4. El paraboloide: S = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = z (ver figura 4.4)es una superficie regular, pues definiendo f : R2 → R como f(x, y) = x2 + y2

esta claro que S = graf (f), que es una funcion diferenciable. Aquı cubrimos todoel paraboloide con un solo entorno coordenado de la parametrizacion ϕ : R2 → Sdada por ϕ(u, v) = (u, v, u2 + v2), es decir este atlas esta formado solo por ϕ.

Ejemplo 4.2.5. La parabola C = (x, y) ∈ R2 : y = x2, analogamente, es unavariedad de dimension 1.

Ejemplo 4.2.6. El hemisferio superior de la esfera unitaria,

S2+ = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1, z > 0

es una superficie regular. Definamos U = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1, f : U → Rdada por f(x, y) =

√1− x2 − y2. Entonces f es diferenciable, luego S2

+ = graf (f)es una superficie regular.

No toda variedad es el grafico de una funcion:

Contraejemplo 4.2.7. Una bola B ⊂ R2 es una variedad de dimension 2 (pues esabierta) que no es el grafico de ninguna funcion.

42

4.2 Ejemplos

Figura 4.4: Paraboloide

Pero tenemos una suerte de recıproco local para superficies: toda superficie eslocalmente el grafico de una funcion diferenciable. Esto lo demostraremos masadelante, en la proposicion 4.4.11.

Veamos ahora una manera mas potente de conseguir variedades: veremos quela preimagen de un valor regular es una variedad.

Definicion 4.2.8. Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto y f : U → Rm una funciondiferenciable.

Decimos que p ∈ U es un punto regular de f si dfp es sobreyectivo. Si p no esregular decimos que es un punto crıtico de f .

Sea y ∈ Rm. Decimos que y es un valor regular de f si el conjunto f−1(y) ⊂ Uno contiene puntos crıticos.

Generalmente trabajaremos con el caso m = 1, es decir f : U → R ydfp : Rn → R.

Observacion 4.2.9. En el caso m = 1, la matriz asociada a dfp (la jacobiana) resultaser el vector ∇f(p), es decir dfp(v) = ∇f(p) · v. En este caso dfp es sobreyectivo siy solo si dim Im (dfp) = 1, o sea si ∇f(p) 6= 0. Es decir p es un punto crıtico si ysolo si ∇f(p) = 0. Encontramos aquı la definicion de punto crıtico dada en CalculoII.

Teorema de la preimagen de valor regular. Sea n ≥ m, f : Rn → Rm unafuncion diferenciable y v ∈ Rm un valor regular de f . Entonces M = f−1(v) esuna variedad de dimension n−m.

Demostracion. Sea p ∈M , queremos encontrar una parametrizacion de M alrede-dor de p. Como p ∈ f−1(v), entonces p es un punto regular, luego dfp : Rn → Rmes sobreyectivo: tiene rango m. Podemos suponer sin perdida de generalidad queson las primeras m columnas de dfp que son linealmente independientes y lasultimas n−m que conforman el nucleo.

Sea A la matriz formada por las primeras m columnas de dfp. Esto es, siescribimos Rn = Rm × Rm−n, A es la matriz asociada a d(f |Rm)p. Es cuadrada einvertible.

43

4.2 Ejemplos

Definimos f : Rn → Rn por f(x1, . . . , xn) = (f(x1, . . . , xn), xm+1, . . . , xn). Estafuncion es diferenciable. Calculemos su diferencial en p. Tenemos que f = (f, id), ydfp =

(A 0

), por lo tanto:

dfp =

(A 00 I

)Es invertible ya que A e I (la identidad) lo son. Luego, por el teorema de

la funcion inversa, existen entornos abiertos de p y f(p), llamemosles U y Vrespectivamente, tales que f : U → V es un difeomorfismo. Entonces restringiendoa M = f−1(v) tenemos f : M ∩U → V ∩ (v×Rn−m) que es un difeomorfismoentre un abierto de M y un abierto de Rn−m, identificando v×Rn−m con Rn−m.

Por lo tanto el mapa f−1|V ∩v×Rn−m es la parametrizacion de M alrededor dep buscada.

Observacion 4.2.10. En realidad esta nueva manera de obtener variedades contienea la anterior; es decir, si una variedad es el grafico de una funcion diferenciable,entonces es preimagen de valor regular. Supongamos n = 2 por comodidad:

Sea f : U ⊂ R2 → R diferenciable y consideremos S = graf (f). Si defini-mos F : graf f ⊂ R3 → R como F (x, y, z) = f(x, y)− z, entonces S = F−1(0).Pero ademas, 0 es valor regular de F , pues:

∇F (x, y, z) = (0, 0, 0) ⇐⇒ (fx(x, y), fy(x, y),−1) = (0, 0, 0) absurdo

Ejemplo 4.2.11. Veamos finalmente que S2 = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1 esuna variedad de dimension 2. Sea f : R3 → R definida por f(x, y, z) = x2+y2+z2−1.Entonces ∇f(x, y, z) = (2x, 2y, 2z) y el unico punto crıtico es (0, 0, 0). 0 es valorregular porque f−1(0) = (x, y, z) : x2 +y2 + z2 = 1 = S2 y (0, 0, 0) 6∈ f−1(0).Por lo tanto S2 es una variedad de dimension 2.

Cuidado: la preimagen de un valor regular es una variedad, pero esto nosignifica que dada una funcion diferenciable, solo seran variedades las preimagenesde los valores regulares:

Contraejemplo 4.2.12. Sea f : R3 → R definida por f(x, y, z) = z2. Entonces 0 noes valor regular, porque f(0, 0, 0) = 0 y el gradiente de f se anula en (0, 0, 0), porlo tanto (0, 0, 0) es un punto crıtico. Sin embargo f−1(0) es una variedad: es elplano z = 0.

Contraejemplo 4.2.13. Sea f : R3 → R definida por f(x, y, z) = (x+ y + z − 1)2.Entonces ∇f(x, y, z) = (2x+ 2y + 2z − 2, 2x+ 2y + 2z − 2, 2x+ 2y + 2z − 2) =(0, 0, 0) ⇐⇒ x + y + z = 1. Si x + y + z = 1 entonces f(x, y, z) = 0 por tantolos valores regulares son todos salvo el 0. Veamos que f−1(0) tambien es unavariedad:

f−1(0) = (x, y, z) ∈ R3 : (x+ y + z − 1)2 = 0= (x, y, z) ∈ R3 : z = 1− x− y= graf (F )

definiendo F : R2 → R por F (x, y) = 1− x− y, F es diferenciable. Luego f−1(0)es una variedad, aunque 0 no sea un valor regular.

44

4.3 Superficies regulares

En la proxima seccion nos detendremos un poco en las variedades de dimension2, dando ejemplos y difeomorfismos. Recordemos que para el topologo diferencial doscosas difeomorfas son indistinguibles. Esto lleva a preguntarse cuantas variedades“diferentes” de dimension 1, 2, etc. existen. Llegamos al teorema de clasificacion desuperficies: enunciaremos el resultado pero no entraremos en mayor detalle. Antesde entrar en las superficies, enunciamos el siguiente resultado, que se encuentrademostrado por ejemplo en el apendice de [Mil]. Observar que utilizamos la palabra“curva” en un sentido informal.

Teorema de clasificacion de curvas. Toda variedad diferenciable y conexa dedimension 1 es difeomorfa o a la circunferencia S1 o algun intervalo de numerosreales.

La imagen de la pagina 3 de [GP] es bastante ilustrativa.

4.3. Superficies regulares

4.3.1. Ejemplos

Ya sabemos que el paraboloide y S2 son superficies regulares. Veamos otrosejemplos.

Ejemplo 4.3.1. El hiperboloide de una hoja S = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 − z2 = 1(ver figura 4.5) es una superficie regular, ya que si f : R3 → R esta dada porf(x, y, z) = x2 + y2 − z2 − 1 entonces S = f−1(0). 0 es valor regular pues:∇f(x, y, z) = (2x, 2y,−2z) = (0, 0, 0) ⇐⇒ (x, y, z) = (0, 0, 0) pero (0, 0, 0) 6∈f−1(0).Ejemplo 4.3.2. El paraboloide hiperbolico S = (x, y, z) ∈ R3 : x2 − y2 = z (verfigura 4.6), tambien conocido como la silla de montar, es una superficie regularal ser el grafico de una funcion diferenciable.

Ejemplo 4.3.3. El cono sin el vertice, S = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = z2, z >0 es una variedad pues es el grafico de f : R2 \ (0, 0) → R dada porf(x, y) =

√x2 + y2.

Ejemplo 4.3.4. El cono con el vertice, S = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = z2, z ≥ 0 noes una variedad. Basta suponer que lo es, entonces en un entorno de p = (0, 0, 0) lasuperficie es el grafico de una funcion diferenciable, y esto es absurdo (dejamos losdetalles como un ejercicio para el lector).

Figura 4.5: Hiperboloide de una hoja Figura 4.6: Paraboloide hiperbolico

45


Ejemplo 4.3.5. Demos ahora una parametrizacion explıcita de S2, las coordenadasesfericas o geograficas. Sea U = (u, v) ∈ R2 : 0 < u < π, 0 < v < 2π y seaϕ : U → R3 definida por:

ϕ(u, v) = (senu cos v, senu sen v, cosu)

Claramente ϕ(U) ⊂ S2. Observar que ϕ es un caso particular del cambio acoordenadas esfericas visto en Calculo II, en el que el radio es variable y no fijo.Entonces ϕ es un difeomorfismo (Ver seccion 2.2 de [dC] para una explicacionun poco mas satisfactoria). ¿Que parte de S2 cubre esta parametrizacion? Casitodo S2. El semicırculo C = (x, y, z) ∈ S2 : x ≥ 0, y = 0 no es cubierto. Esto esconsecuencia de no tomar U como (u, v) ∈ R2 : 0 ≤ u ≤ π, 0 ≤ v ≤ 2π, cosa queno podemos hacer pues U debe ser abierto. Como adelanto, digamos que esto nonos va a molestar para integrar, pues la diferencia entre U y ese conjunto tienemedida nula.

Ahora veremos que esta parametrizacion contempla a S2 como superficie derevolucion.

Ejemplo 4.3.6. Superficies de revolucion. Sea S ⊂ R3 el conjunto que se obtieneal rotar una variedad de dimension 1 plana C (i.e. contenida en un plano) alrededorde un eje en el plano de la curva, no incidente con esta. Tomaremos el plano xz comoel plano de la curva y el eje z como eje de rotacion (ver figura 4.7). Sea α : (a, b)→R3 definida por α(t) = (f(t), 0, g(t)) con f(t) > 0, una parametrizacion de la curva.Sea U = (u, v) ∈ R2 : 0 < u < 2π, a < v < b, definimos ϕ : U → R3 por

ϕ(u, v) = (f(v) cosu, f(v) senu, g(v))

Observar que ϕ es una parametrizacion de S (es directo). Fijado u, consigo unmeridiano. Fijado v, consigo un paralelo. Si la curva es un arco de circunferenciaobtenemos la parametrizacion de S2 del ejemplo anterior. La curva C se llamacurva generatriz de S, y el eje z es el eje de rotacion de S.

Otros ejemplos de superficies de revolucion ademas de la esfera incluyenal cilindro, el cono, el paraboloide, etc.

Es interesante observar tambien que ϕ es el resultado de aplicar la matrizde rotacion de eje z a la curva α. En efecto:

ϕ(u, v) =

cosu − senu 0senu cosu 0

0 0 1

f(v)0

g(v)

Ejemplo 4.3.7. El toro T 2 es la superficie de revolucion obtenida al girar lacircunferencia C = (x, y, z) ∈ R3 : (x−a)2 + z2 = r2, 0 < r < a, y = 0 contenidaen el plano xz alrededor del eje z. Geometricamente, una rosquilla o donut (verfigura 4.8). Parametrizando C con α : (0, 2π)→ C, definida por:

α(t) = (a+ r cos t, 0, r sen t)

tenemos la parametrizacion ϕ : U → T 2 con U = (u, v) ∈ R2 : u, v ∈ (0, 2π)definida por:

ϕ(u, v) = ((a+ r cosu) cos v, (a+ r cosu) sen v, r senu)

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Paralelo

Meridiano

Eje de rotación

(f(v), g(v))

y

x

z

Figura 4.7: Ejemplo de superficie de revolucion con f(v) = 2 + cos(v), g(v) = v

Figura 4.8: Toro

47


Ejemplo 4.3.8. Sigamos con el toro. Veamoslo como preimagen de valor regular.Viendolo aun como superficie de revolucion, y usando el teorema de Pitagorastenemos que:

T 2 = (x, y, z) ∈ R3 : (√x2 + y2 − a)2 + z2 = r2 = F−1(r2)

donde F : R3 → R esta definida por F (x, y, z) = (√x2 + y2 − a)2 + z2. Resta ver

que r2 es valor regular de F . Es facil observar que ∇F (x, y, z) = (0, 0, 0) ⇐⇒(x, y, z) = (0, 0, 0). F (0, 0, 0) = a2 6= r2 pues r < a, luego r2 es valor regular de F .

Ejemplo 4.3.9. Superficies regladas. Intuitivamente, una superficie regladaes aquella que dado cualquier punto de la superficie, hay una recta que pa-sa por el punto que esta contenida en la superficie. Mas formalmente: seanα : [a, b] → R3, w : [a, b] → R3 dos curvas diferenciables. Entonces la superfi-cie regular parametrizada por ϕ : (a, b)× R→ R3, con

ϕ(t, v) = α(t) + v w(t)

se llama superficie reglada. La curva α se denomina directriz, y las rectasLt obtenidas fijando t ∈ (a, b) se llaman generatrices. Con un ejemplo severa mas claro: consideremos la superficie determinada por la parametrizacionϕ : (0, 2π)× R→ R3 dada por:

ϕ(t, v) = (cos t− v sen t, sen t+ v cos t, v)

(ver figura 4.9). Es facil verificar que esta es otra parametrizacion del hiperboloidede una hoja (verificar que x2 + y2 − z2 = 1). Pero ademas, si α : (0, 2π) → R3

esta dada por α(t) = (cos t, sen t, 0), entonces:

ϕ(t, v) = α(t) + v(α′(t) + e3)

Entonces con w : (0, 2π)→ R3 dado por w(t) = α′(t)+e3, vemos que el hiperboloidees una superficie reglada. ¿Que es lo que esta sucediendo? Pongamos v = 0 y“movamos” t. Obtenemos la traza de α, S1, la directriz. Ahora, fijemos t. Tenemosun punto en la traza de α y el vector α′(t) + e3 que nos marca la direccion de larecta que obtenemos al mover v (ver figura 4.9). Como ultimo comentario, observarque la superficie reglada determinada por el mismo α pero con w(t) = −α′(t) + e3

obtenemos de nuevo el hiperboloide: tiene dos familias de generatrices (por unpunto cualquiera de la superficie, pasan dos rectas contenidas en la superficie).

4.3.2. Difeomorfismos entre superficies regulares

Ejercicio 4.3.10. Sea Br = x ∈ R2 : ‖x‖ < r, con r > 0. Mostrar que la funcionf : Br → R2 definida por:

f(x) =rx√

r2 − ‖x‖2

es un difeomorfismo. (Pista: la inversa es g : R2 → Br, dada por g(x) = rx√r2+‖x‖2

).

Si S es una superficie de R3, deducir que todo punto de S tiene un en-torno difeomorfo a todo R2 y que, en consecuencia, las parametrizaciones puedenser elegidas con dominio en todo R2.

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y

x

z

e3

α(t)

α'(t)

w(t)

Directriz

Generatriz Lt

Figura 4.9: El hiperboloide como superficie reglada

Ejemplo 4.3.11. Proyeccion estereografica. Veamos que la esfera unitaria menosun punto es difeomorfa al plano.Sea N = (0, 0, 1) el polo norte. Identificamos R2 con el plano xy ⊂ R3. El mapaπN : S2 \N que lleva cada punto P de S2 en la interseccion de la recta [NP ] conel plano xy se llama proyeccion estereografica. Es un ejercicio probar que su inversaes una parametrizacion de la esfera menos el polo norte: deducimos que S2 se puedecubrir con dos entornos coordenados (usando la proyeccion estereografica desde elpolo sur). En el capıtulo 1 de [Mil], el autor usa esta proyeccion para demostrar elteorema fundamental del algebra. La demostracion es muy interesante.

Ejercicio 4.3.12. El cilindro, el cono menos el vertice, y el plano menos el origenson difeomorfos. (Pista: del cono al plano es facil. Del cilindro al plano, pensar enla funcion exponencial. Del cono al cilindro, componer.)

Hemos probado positivamente que dos superficies son difeomorfas. ¿Pero comoprobar que dos superficies no son difeomorfas? Para ser difeomorfas, primero tienenque ser homeomorfas. Debemos pensar en los invariantes topologicos, es decir,aquellas propiedades que no varıan a traves de homeomorfismos. La compacidades una de ellas (cf. curso de Topologıa). Podemos usar esto para demostrar que:

Ejemplo 4.3.13. S2 y R2 no son difeomorfos. Si lo fueran, deberıan ser homeomorfos,es decir, deberıa haber un homeomorfismo ψ : S2 → R2. Esto implicarıa queψ(S2) = R2 fuera compacto, pues S2 es compacta. Esto es absurdo.

Observar que no podemos usar este metodo para demostrar que R2 yR2 \ (0, 0) no son difeomorfos (lo cual ya hemos hecho en el ejemplo 3.2.6utilizando formas diferenciales).

El siguiente resultado se encuentra demostrado por ejemplo en [Yan] y en elcapıtulo 12 de [Mu2]. Para comprenderlo por completo hace falta la nocion deorientabilidad; releerlo una vez asimilada la seccion 4.6.2.

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4.4 Espacio tangente

Figura 4.10: Proyeccion estereografica

N

P

π(P )

Teorema de clasificacion de superficies. Toda variedad compacta, conexa yorientable de dimension 2 es difeomorfa o a la esfera S2 o a una esfera con n asas(ver figura 4.11).

Figura 4.11: Una esfera con tres asas

4.4. Espacio tangente

Queremos definir el espacio tangente a una variedad de dimension n en unpunto de ella. Graficamente, en una curva queremos tener la recta tangente, y enuna superficie el plano tangente, a raız de una sola definicion para variedades.

Vamos a intentar construirlo. ¿Que sabemos? Sabemos de Calculo II que dadauna funcion f : U ⊂ Rn → Rm, U abierto y p ∈ U , entonces dfp : Rn → Rm es sumejor aproximacion lineal (como mapa) alrededor de p. Es lo que vamos a usarpara encontrar el mejor subespacio lineal (i.e. vectorial) que aproxima una variedadM ⊂ Rk de dimension n. Tomemos una parametrizacion ϕ : U → M alrededorde p. Por lo tanto si ϕ(q) = p, entonces el mapa lineal que mejor aproxima a ϕalrededor de q es dϕq : Rn → Rk. Si miramos la imagen de este mapa, tenemos el

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espacio lineal que mejor aproxima a M alrededor de p. La siguiente definicion esentonces natural:

Definicion 4.4.1. Sea M ⊂ Rk una variedad de dimension n y p ∈ M . SeaU ⊂ Rn abierto y ϕ : U →M una parametrizacion alrededor de p. Si p = ϕ(q) conq ∈ U , definimos el espacio tangente a M en p que denotamos TpM como

TpMdef.= Im dϕq

Observacion 4.4.2. El diferencial dϕq : Rn → Rk es una transformacion lineal, luegoIm dϕq = TpM es un subespacio vectorial de Rk (esta observacion es trivial, enrealidad, porque la motivacion de la definicion de TpM es que sea un subespaciolineal). Lo que es de mas interes destacar, es que, geometricamente, si queremos veral TpM como hiperplano que mejor aproxima a la variedad alrededor de p, tenemosque trasladarlo por p, es decir, debemos considerar el subespacio afın TpM + p.

Pero una pregunta que esta latente desde la motivacion es: ¿como sabemosque mas alla de como parametricemos M alrededor de p, siempre conseguiremosel mismo subespacio? Hace unas lıneas dijimos: “si miramos la imagen del mapadϕq, tenemos la mejor aproximacion lineal de M alrededor de p”. En realidad,tenemos la mejor aproximacion lineal alrededor de p de ϕ(U) , ¡no de M ! Es deimaginar que si tomamos otra parametrizacion ψ : V →M alrededor de p, la mejoraproximacion lineal de ψ(V ) coincida con la de ϕ(U). Probemoslo:

Proposicion 4.4.3. El espacio tangente esta bien definido. Es decir, TpM nodepende de la parametrizacion elegida.

Demostracion. Sea ψ : V →M otra parametrizacion alrededor de p, y sea r ∈ Vtal que ψ(r) = p.

M

U

ϕ>>

V

ψ``

Queremos probar que Im dϕq = Im dψr. Definamos:

U = ϕ−1(ϕ(U) ∩ ψ(V ))

V = ψ−1(ϕ(U) ∩ ψ(V ))

y sean ϕ = ϕ|U , ψ = ψ|V (ver figura 4.12). Como ϕ y ψ son difeomorfismos, U y V

son abiertos. Sea el cambio de coordenadas f : U → V definido por f = ψ−1 ϕ.

ϕ(U) ∩ ψ(V )

U

ϕ99

f// V

ψee

Apliquemos la regla de la cadena a ψ f = ϕ:

dψr dfq = dϕq

51


U

ϕ

ϕ

M

V

ϕ(U)

ψ(V)

Uϕ(U) ψ(V)

ψ

ψ

ƒ

Figura 4.12: Las parametrizaciones ϕ y ψ inducen parametrizaciones ϕ y ψ conmismo codominio, y un cambio de coordenadas f

observando que f(q) = ψ−1(ϕ(q)) = ψ−1(p) = r.

Observemos que dϕq = dϕq (el diferencial son derivadas parciales que de-

penden de un entorno de q) y dψr = dψr (por el mismo razonamiento).Entonces

Im dϕq = Im (dψr dfq)

Pero como f es un difeomorfismo, entonces dfq : Rn → Rn es un isomorfismo lineal,luego Im dfq = Rn. Por lo tanto Im (dψr dfq) = Im dψr y:

Im dϕq = Im dψr

que es lo que querıamos probar.

El razonamiento anterior (intersectar los entornos coordenados y “tirar pa-ra atras”) es un razonamiento que repetiremos. A menudo nos lo ahorraremossuponiendo que ϕ(U) = ψ(V ).

Observacion 4.4.4. Si consideramos como variedad de dimension n un abiertoU ⊂ Rn, entonces TpU = Rn para todo p ∈ U . En efecto, una parametrizacion deU es idU : U → U , entonces TpU = Im d(idU )p = Im idRn = Rn para todo p ∈ U .

Dado que el espacio tangente es un subespacio vectorial, le podemos calcularla dimension:

Proposicion 4.4.5. La dimension del espacio tangente es la dimension de lavariedad. Es decir, si M ⊂ Rk es una variedad de dimension n y p ∈M , entoncesdim TpM = n.

52


Demostracion. Sean U ⊂ Rn abierto, p ∈M tales que ϕ : U → ϕ(U) ⊂M es unaparametrizacion alrededor de p tal que ϕ(q) = p. El problema es que no sabemoscalcular el diferencial de ϕ−1 (no esta definida en un espacio euclıdeo), entonces laextendemos a un abierto.

ϕ−1 es diferenciable, entonces existe W ⊂ Rk entorno abierto de p, F : W → Rndiferenciable de modo tal que:

F |W∩ϕ(U) = ϕ−1|W∩ϕ(U)

Sea U = ϕ−1(W ∩ ϕ(U)). Por construccion, F ϕ|U = idU , aplico la regla de lacadena:

d(F ϕ|U )q = dFp dϕq = idRn

Entonces dϕq : Rn → Rk admite inversa por izquierda, entonces es inyectiva,luego es un isomorfismo lineal sobre su imagen. Por lo tanto TpM = Im dϕq tienedimension n.

Observacion 4.4.6. Acabamos de ver en esta demostracion quedϕq : Rn → Rk es inyectiva. Por lo tanto, si restringimos el codominio a la imagen:dϕq : Rn → Im dϕq = TpM , es un isomorfismo lineal.

Y entonces ahora podemos encontrar explıcitamente una base del espaciotangente.

Proposicion 4.4.7. Si M ⊂ Rk es una variedad de dimension n, U ⊂ Rn abierto,ϕ : U → M es una parametrizacion de M alrededor de p ∈ M con p = ϕ(q),entonces una base de TpM es ϕu1(q), . . . , ϕun(q).

Demostracion. El mapa dϕq : Rn → TpM es un isomorfismo lineal, entonces llevabases en bases. Si transformamos la base canonica de Rn, e1, . . . , en entoncesdϕq(e1), . . . , dϕq(en) es una base de TpM . Pero dϕq(ei) = ϕui(q) para todoi = 1, . . . , n, pues

dϕq =

(ϕ1)u1(q) . . . (ϕ1)un(q)...

...(ϕk)u1(q) . . . (ϕk)un(q)

= (ϕu1(q), . . . , ϕun(q))

Definicion 4.4.8. A una base como en la proposicion anterior le llamaremos baseinducida por la parametrizacion ϕ.

Observacion 4.4.9. Bajemoslo a dimension 2. Si tenemos una superficie S ⊂ R3

con una parametrizacion alrededor de (x0, y0, z0) ∈ S dada por ϕ : U ⊂ R2 → S,con ϕ(u0, v0) = (x0, y0, z0) entonces una base de TpM es ϕu(u0, v0), ϕv(u0, v0).

Ejemplo 4.4.10. Consideremos el paraboloide S = (x, y, z) ∈ R3 : z = x2 + y2.Recordemos que tenemos la parametrizacion ϕ : R2 → S definida por ϕ(u, v) =(u, v, u2 + v2). Veamos cual es el espacio tangente al punto (x0, y0, z0) ∈ S tal queϕ(u0, v0) = (x0, y0, z0). Resulta:

ϕu(u0, v0) = (1, 0, 2u0)

ϕv(u0, v0) = (0, 1, 2v0)

53


entonces TpS es el subespacio vectorial generado por (1, 0, 2u0), (0, 1, 2v0).Por ejemplo, el punto (1, 1) ∈ R2 se corresponde por ϕ con (1, 1, 2) ∈ S. Elespacio tangente en ese punto esta generado por (1, 0, 2), (0, 1, 2), de dondeTpS = (x, y, z) ∈ R3 : 2x+ 2y − z = 0. Recordar que este es el plano tangentetrasladado al origen, si queremos conseguir el plano tangente geometrico tenemosque considerar el subespacio afın:

TpS + (1, 1, 2) = (x, y, z) ∈ R3 : 2(x− 1) + 2(y − 1)− (z − 2) = 0= (x, y, z) ∈ R3 : 2x+ 2y − z = 2

Podemos probar ahora que toda superficie es localmente un grafico:

Proposicion 4.4.11. Sea S ⊂ R3 una superficie regular. Entonces para todop ∈ S existe una parametrizacion alrededor de p tal que su entorno coordenado esel grafico de una funcion diferenciable.

Demostracion. Sea ϕ : U ⊂ R2 → ϕ(U) ⊂ S con U abierto, una parametrizacionalrededor de p = ϕ(q). Queremos conseguir una parametrizacion con entorno coor-denado lo suficientemente chico para que sea el grafico de una funcion diferenciable.Si ϕ = (ϕ1, ϕ2, ϕ3) entonces:

dϕq =

(ϕ1)u(q) (ϕ1)v(q)(ϕ2)u(q) (ϕ2)v(q)(ϕ3)u(q) (ϕ3)v(q)

Tenemos la transformacion lineal dϕq : R2 → dϕq(R2) que es un isomorfismo

(observacion 4.4.6), de donde esta matriz tiene rango 2. Sin perdida de generalidadpodemos suponer que:

det

((ϕ1)u(q) (ϕ1)v(q)(ϕ2)u(q) (ϕ2)v(q)

)6= 0

Definimos ahora φ : U → R2 por φ(u, v) = (ϕ1(u, v), ϕ2(u, v)) = (u, v). En-tonces dφq : R2 → R2 tiene determinante no nulo, luego es un isomorfismo lineal.Ahora estamos en las hipotesis del teorema de la funcion inversa: podemos tomarun U mas pequeno si es necesario de modo que φ sea un difeomorfismo. Defini-mos ψ : φ(U) → ϕ(U) como ψ = ϕ φ−1. Es una parametrizacion de S pues escompuesta de difeomorfismos:

ϕ(U)

U(u, v)

ϕ

==

φ(U)(u, v)

ψ

aa

φ−1oo

Luego:ψ(u, v) = (u, v, ϕ3 φ−1(u, v))

Definiendo f : φ(U)→ R como f = ϕ3 φ−1, tenemos que:

ψ(u, v) = (u, v, f(u, v))

Es decir, el entorno coordenado de p, ψ(φ(U)) es el grafico de f , una funciondiferenciable.

54


Observacion 4.4.12. La proposicion vale para variedades en general. La demostraciones analoga.

Antes de pasar al diferencial entre variedades, vamos a dar un par de caracteri-zaciones muy utiles del espacio tangente.

Definicion 4.4.13. Si M es una variedad de dimension n, un vector velocidad dep ∈ M es α′(0), si α : (−ε, ε) → M con ε > 0 es una curva diferenciable tal queα(0) = p.

Teorema 4.4.14. Sea M una variedad de dimension n, U ⊂ Rn abierto, ϕ :U →M , una parametrizacion de M entorno a p ∈M tal que ϕ(q) = p. EntoncesTpM = vectores velocidad de p en M.

Demostracion. (⇒) Sea w ∈ TpM , entonces existe v ∈ Rn tal quew = dϕq(v). Ahora, v = γ′(t), con γ : (−ε, ε) → U dada por γ(t) = tv + q. Seaα = ϕ γ : (−ε, ε)→M , entonces tenemos que α(0) = ϕ(q) = p, y:

α′(0) = d(ϕ γ)0(1) = (dϕγ(0) dγ0)(1) = dϕq(γ′(0)) = dϕq(v) = w

Uϕ//M

(−ε, ε)

γ

OO

ϕγ

;;

(⇐) Sea w un vector velocidad de p, es decir: existe α : (−ε, ε)→M diferenciabletal que α(0) = p y w = α′(0). La curva β = ϕ−1 α : (−ε, ε)→ U es diferenciable,y:

β′(0) = dβ0(1) = d(ϕ−1 α)0(1) = dϕ−1α(0) dα0(1) = dϕ−1

p(α′(0)) = dϕ−1

p(w)

Entonces dϕq(β′(0)) = dϕq(dϕ

−1p (w)) = w ⇒ w ∈ Im dϕq ⇒ w ∈ TpM .

(−ε, ε) α //

β

M

ϕ−1

U

Proposicion 4.4.15. Sea U ⊂ Rn abierto, f : U → Rm una funcion diferenciabley a ∈ Rm tal que M = f−1(a) es una variedad. Entonces si p ∈M :

TpM = Ker dfp

En particular, si m = 1, se deduce ∇f(p)⊥ = TpM .

Demostracion. (⊃) Sea v ∈ TpM , entonces v = α′(0) con α : (−ε, ε) → M curvadiferenciable tal que α(0) = p. Entonces f(α(t)) = a, en particular f(α(0)) = a.Aplicamos la regla de la cadena:

(f α)′(0) = 0 ⇒ dfα(0) dα0 = 0

⇒ dfp(α′(0)) = 0⇒ α′(0) = v ∈ Ker dfp, y si m = 1 :

⇒ ∇f(p) · α′(0) = 0

⇒ α′(0) = v ∈ ∇f(p)⊥

(⊂) Tenemos una inclusion entre subespacios vectoriales de dimension n− 1,entonces son iguales.

55

4.5 Diferencial de un mapa entre variedades

Ejemplo 4.4.16. Como aplicacion de este teorema, vamos a encontrar explıcitamentela ecuacion del espacio tangente en p de una superficie regular S = f−1(a), conf : U ⊂ R3 → R diferenciable y a valor regular de f .

Sabemos que si (x, y, z) ∈ TpM entonces ∇f(p) · (x, y, z) = 0, es decir:

fx(p)x+ fy(p) y + fz(p) z = 0

Por lo tanto TpS = (x, y, z) ∈ R3 : fx(p)x+ fy(p) y + fz(p) z = 0. Si queremostener la ecuacion del “plano tangente”, o sea, el espacio tangente trasladado por p,entonces nos queda, si p = (x0, y0, z0):

fx(p) (x− x0) + fy(p) (y − y0) + fz(p) (z − z0) = 0

Hallemos la ecuacion explıcita del espacio tangente para una superficie que esun grafico. Usamos el mismo truco que ya utilizamos para demostrar que si unasuperficie es un grafico, entonces es preimagen de valor regular: si f : U ⊂ R2 → Res diferenciable, consideremos S = graf (f). Definiendo F : graf (f) → R porF (x, y, z) = f(x, y) − z, entonces S = F−1(0), con 0 valor regular de F (verobservacion 4.2.10). La ecuacion de TpS con p = (x0, y0, z0) = f(x0, y0) ∈ Sesta por lo tanto dada por:

Fx(p)x+ Fy(p) y + Fz(p) z = 0

⇐⇒ fx(x0, y0)x+ fy(x0, y0) y + (−z) = 0

⇐⇒ fx(x0, y0)x+ fy(x0, y0) y = z

Por lo tanto TpS = (x, y, z) ∈ R3 : fx(x0, y0)x+ fy(x0, y0) y = z. De nuevo, laecuacion del plano tangente nos queda:

fx(x0, y0) (x− x0) + fy(x0, y0) (y − y0)− (z − z0) = 0

⇐⇒ f(x0, y0) + fx(x0, y0) (x− x0) + fy(x0, y0) (y − y0) = z

4.5. Diferencial de un mapa entre variedades

4.5.1. Definicion

Dado un mapa diferenciable f : M → N entre variedades, queremos construirsu mejor aproximacion lineal. Si la mejor manera de aproximar linealmente M enun punto p es tomar TpM , y la mejor manera de aproximar linealmente N en f(p)es tomar Tf(p)N , entonces resulta natural querer que el diferencial de f en p vayade TpM en Tf(p)N . Usaremos lo que ya sabemos, que es aproximar un mapa entreabiertos del espacio euclıdeo.

Definicion 4.5.1. Sean M ⊂ Rk, N ⊂ Rl variedades, f : M → N un mapadiferenciable. Entonces si p ∈M , el diferencial de f en p es:

dfp : TpM → Tf(p)N

definido como dfpdef.= dFp|TpM , donde F es una extension de f en un entorno abierto

de p; es decir, F : W → Rl es una funcion diferenciable tal que F |W∩M = f |W∩M ,donde W ⊂ Rk es cierto entorno abierto de p

56


Para que esto tenga sentido tenemos que verificar que el mapa dfp ası definidoefectivamente produce vectores en Tf(p)N ; y que cualquier extension F que tomemos,conseguiremos efectivamente el mismo mapa dfp.

Proposicion 4.5.2. En las hipotesis anteriores, Im dfp ⊂ Tf(p)N , y el diferencialdfp no depende de la extension F elegida.

Demostracion. Sean:ϕ : U ⊂ Rn → ϕ(U) ⊂M

ψ : V ⊂ Rm → ψ(V ) ⊂ N

parametrizaciones alrededor de p ∈ M y alrededor de f(p) ∈ N , donde Ues tal que f(ϕ(U)) ⊂ ψ(V ). Esto lo podemos hacer por la continuidad def (dado cualquier ψ(V ), entorno de f(p), podemos hallar un entorno Ξ dep en M tal que f(Ξ) ⊂ ψ(V ). Elegimos U suficientemente chico para que ϕ(U) ⊂ Ξ).

Gracias a esta eleccion, si definimos f : U → V como f = ψ−1 f ϕ entoncesel siguiente diagrama conmuta:

ϕ(U)f// ψ(V )

U

ϕ

OO

f

// V

ψ

OO

Sea F : W → Rl una extension diferenciable de f tal que ϕ(U) ⊂W (quizas seanecesario hacer aun mas chico U). Entonces F ϕ = f ϕ (podemos hacer lacomposicion F ϕ por como nos tomamos W ) y el siguiente diagrama conmuta(por la conmutatividad del anterior):

WF // Rl

U

ϕ

OO

f

// V

ψ

OO

Entonces ψ f = F ϕ. Si ϕ(q) = p y ψ(r) = f(p), aplicamos la regla de la cadenaa esa igualdad y tenemos otro diagrama conmutativo:

RkdFp

// Rl

Rndϕq

OO

dfq

// Rmdψr

OO

Pero como TpM = Im dϕq, entonces dFp|TpM = dFp dϕq = dψr dfq, porlo tanto dfp no depende de la eleccion de F y ademas cae efectivamente enIm dψr = Tf(p)N .

57


4.5.2. Propiedades

Observacion 4.5.3. Sean U ⊂ Rn, V ⊂ Rm abiertos, y sea p ∈ U . Consideremosel mapa diferenciable f : U → V como mapa entre variedades y calculemosle eldiferencial: dfp : TpU = Rn → Tf(p)V = Rm. Observemos que el propio U es unentorno abierto de p, entonces podemos tomar como extension F la propia f .

dfpdef.= dFp|TpM = dFp|Rn = dFp = dfp

(a la izquierda, el “diferencial entre variedades”; a la derecha, el “diferencial usual”).Obtenemos el diferencial usual que es lo que uno esperaba, y lo que nos permitedecir que este nuevo diferencial generaliza al anterior.

Observacion 4.5.4. Si M ⊂ Rk es una variedad y consideramos el mapa entrevariedades idM : M → M , entonces una extension de idM es idRk : Rk → Rk.Hallemosle el diferencial a idM en un punto p ∈ M . d(idM )p : TpM → TpM estal que d(idM )p = (d(idRk)p)|TpM = idTpM , usando al final que el diferencial usualde la identidad es la identidad. Obtenemos que el diferencial de la identidad enuna variedad es la identidad en el espacio tangente, que es tambien lo que unoesperaba.

Regla de la cadena. Sean M ⊂ Rn, N ⊂ Rm, Z ⊂ Rp variedades, f : M → N ,g : N → Z mapas diferenciables, y p ∈M . Entonces vale la regla de la cadena:

d(g f)p = dgf(p) dfp : TpM → Tg(f(p))Z


TpMdfp//

d(gf)p

88Tf(p)N

dgf(p)// Tg(f(p))Z

Demostracion. Sean F y G extensiones diferenciables de f y g alrededor de p y def(p), respectivamente. Como F es continua, podemos suponer que la imagen de Festa contenida en el dominio de G. Entonces G F es una extension de g f en py el siguiente diagrama conmuta:

UF //

GF

@@VG // Rp

donde U es el dominio de F y V es el dominio de G (recien nos tomamosF (U) ⊂ V ). Le aplicamos la regla de la cadena:

RndFp//

d(GF )p

>>RmdGF (p)

// Rp

58


Como dFp(TpM) ⊂ Tf(p)N entonces podemos restringir a los espacios tangentes:

TpMdFp|TpM

//

d(GF )p|TpM

55Tf(p)N

dGF (p)|Tf(p)N// Tg(f(p))Z

Por definicion del diferencial, el diagrama anterior es igual al siguiente, concluyendola demostracion:

TpMdfp//

d(gf)p

88Tf(p)N

dgf(p)// Tg(f(p))Z

Corolario 4.5.5. Si f : M → N es un difeomorfismo entre variedades y p ∈M ,entonces el diferencial dfp : TpM → Tf(p)N es un isomorfismo lineal, y:

(dfp)−1 = d(f−1)f(p)

Ademas M y N tienen la misma dimension.

Demostracion. Ya sabemos que el diferencial de la identidad es la identidad y quevale la regla de la cadena, ası que repetimos la demostracion de esta proposicionpara abiertos. Tenemos f f−1 = idN y f−1 f = idM , entonces:

idTpM = d(idM )p = d(f−1 f)p = d(f−1)f(p) dfpidTf(p)N = d(idN )f(p) = d(f f−1)f(p) = dfp d(f−1)f(p)

Por lo tanto dfp es un isomorfismo, y ademas (dfp)−1 = d(f−1)f(p). Como la

dimension de un espacio tangente es la dimension de la variedad, se concluyetambien que M y N tienen la misma dimension.

Teorema de la funcion inversa. Sean M y N variedades, p ∈M y f : M → Nun mapa diferenciable tal que dfp es un isomorfismo lineal. Entonces existe X ⊂Mabierto relativo con p ∈ X tal que f(X) ⊂ N es un abierto relativo y f |X : X →f(X) es un difeomorfismo.

Demostracion. Hagamos un truco ya habitual: sean ϕ : U → M , ψ : V → Nparametrizaciones, con ϕ elegida de modo tal que f(ϕ(U)) ⊂ ψ(V ). Si definimosf : U → V como f = ψ−1 f ϕ, entonces el siguiente diagrama conmuta:

Mf// N

ψ−1

U

ϕ

OO

f

// V

Si ϕ(q) = p y ψ(r) = f(p), aplicamos la regla de la cadena y obtenemos el diagramaconmutativo:

TpMdfp// Tf(p)N

d(ψ−1)f(p)

Rndϕq

OO

dfq

// Rm

59

4.6 Orientacion

Observar que son todos isomorfismos lineales. En efecto, dfp, dϕq y d(ψ−1)f(p) loson (el primero por hipotesis, los otros dos por ser diferenciales de difeomorfismos),entonces por la conmutatividad del diagrama (i.e. por composicion), dfq es unisomorfismo lineal.

Ahora, gracias a f estamos en las hipotesis del teorema de la funcion in-versa para abiertos. Podemos encontrar U ⊂ U tal que f |U : U → f(U) sea

un difeomorfismo. Restringiendo el primer diagrama a este U e invirtiendo lasparametrizaciones:

ϕ(U)f |ϕ(U)

//

ϕ−1|ϕ(U)

f(ϕ(U))

Uf |U

// f(U)

ψ|f(U)

OO

Esta vez son todos difeomorfismos: f |U por el teorema de la funcion inversa, ψ|f(U)

y ϕ−1|ϕ(U) por restricciones de difeomorfismos, de donde por la conmutatividad

del diagrama (i.e. por composicion), f |ϕ(U) : ϕ(U)→ f(ϕ(U)) es un difeomorfismo.

Tomando X = ϕ(U) tenemos demostrado el teorema.

Que para algun p ∈M el diferencial de f en p sea un isomorfismo, ya sabemosque no garantiza que f sea un difeomorfismo (el teorema de la funcion inversa nosgarantiza que sera un difeomorfismo local). Pero si pedimos hipotesis mas fuertes,podemos encontrar una condicion suficiente (muy fuerte, en realidad) para que unmapa sea un difeomorfismo:

Corolario 4.5.6. Sean M y N variedades y f : M → N un mapa diferenciable,biyectivo, y que verifica que dfp : TpM → Tf(p)N es un isomorfismo lineal paratodo p ∈M . Entonces f es un difeomorfismo.

Demostracion. Lo unico que nos falta ver es que f−1 : N → M es diferenciable.Sea q ∈ N , entonces q = f(p) para algun p ∈ M . Por el teorema de la funcioninversa, existe un entorno abierto relativo Wq ⊂ N de q tal que

f−1|Wq : Wq → f−1(Wq) ⊂M

es un difeomorfismo (en particular, es diferenciable). Para cada q encontramos unWq, entonces los Wq cubren N y f−1 : N → M es un difeomorfismo global (enparticular, es diferenciable), y ya esta.

4.6. Orientacion

La idea de esta seccion es introducir una orientacion en una variedad. Porejemplo, una curva cerrada en R2 podemos recorrerla en sentido horario oantihorario. En una superficie, la clasica “regla de la mano derecha” nos da unaorientacion. Pero este no es un metodo muy satisfactorio, y no se puede generalizarfacilmente.

60

4.6 Orientacion

La estrategia para orientar una variedad sera orientar los espacios tangentes encada punto. Esto es mas sencillo, ya que los espacios tangentes son hiperplanos yquedan unıvocamente determinados eligiendo una base.

4.6.1. Orientacion de espacios vectoriales

En esta seccion, V es un R-espacio vectorial de dimension finita.

Motivemos un poco la proxima definicion.

¿Por que decir “en sentido horario” nos “orienta” el plano? Bueno, el planoesta determinado por linealidad por los vectores canonicos e1 y e2. Entonces siyo tengo e1, digo que ir hacia e2 es ir en sentido antihorario y digo que es esa“orientacion” la que voy a tomar. Podrıa haber dicho que desde e1, me voy hacia−e2, y tambien “oriente” el plano (en sentido horario).

¿Por que la “regla de la mano derecha” nos “orienta” el espacio? Para empezar,tomamos una orientacion del plano xy, por ejemplo, la antihoraria. Entonces, alhacer ese juego con las manos, lo que estamos haciendo es, dados e1 y e2, en eseorden (no es lo mismo ir de uno al otro que viceversa), elegir e3, y decretar queeso es un orden positivo (cf. producto vectorial).

En definitiva, en los dos casos estamos haciendo lo mismo, o sea, tomar unabase del espacio y darle un signo. Y ademas vemos que en un espacio vectorial solohabra dos orientaciones posibles. A una que elijamos le llamaremos positiva (en elplano, solemos elegir la antihoraria, y en el espacio, la que cumple la regla de lamano derecha), y la otra sera la negativa.

Definicion 4.6.1. Si B y B′ son bases ordenadas de V , diremos que B y B′ tienenla misma orientacion si el determinante de cambio de base es positivo, es decir si

det B′ [id]B > 0

Observacion 4.6.2. La relacion “tener igual orientacion” es una relacion de equiva-lencia en el conjunto de las bases ordenadas de V .

Demostracion. Verifiquemos las tres propiedades de una relacion de equivalencia:

Reflexiva: det B[id]B = det id = 1 > 0

Simetrica: Si det B′ [id]B > 0, entonces:

det B[id]B′ = det (B′ [id]B)−1 = (det B′ [id]B)−1 > 0

Transitiva: Si det B′ [id]B > 0 y det B′′ [id]B′ > 0, entonces

det B′′ [id]B = det (B′′ [id]B′ B′ [id]B) = det (B′′ [id]B′) det (B′ [id]B) > 0

Definicion 4.6.3. Una orientacion de V es una clase de equivalencia de la relacion“tener igual orientacion”. Un espacio vectorial orientado es un par (V, ξ) donde ξ esuna orientacion de V .

61

4.6 Orientacion

Proposicion 4.6.4. Hay exactamente dos orientaciones de V .

Demostracion. Si tomamos B = x1, . . . , xn y B′ = −x1, x2, . . . , xn, entoncesuna base C cualquiera es equivalente o a B o a B′. Entonces hay solo dos clases deequivalencia, la de B y la de B′.

Observacion 4.6.5. Al haber entonces solo dos orientaciones posibles, orientarun espacio vectorial (i.e. asignarle una orientacion) es lo mismo que elegir unabase y asignarle un signo, + o -. En Rn, la orientacion estandar sera la clase deequivalencia de la base canonica e1, . . . , en, o en otras palabras, la base canonicatendra signo positivo.

Proposicion 4.6.6. Sean V y W dos R-espacios vectoriales de dimension fi-nita orientados, y T : V → W un isomorfismo lineal. Entonces las siguientesafirmaciones son equivalentes:

1. Existe una base positiva B de V tal que T (B) es una base positiva de W .

2. Para toda base positiva B de V se verifica que T (B) es una base positiva deW .

Demostracion. 2)⇒ 1): es trivial sabiendo que todo espacio vectorial de dimensionfinita tiene una base.1) ⇒ 2): para empezar, recordar que ya sabemos que si B es una base de V ,entonces T (B) es una base de W (como T es un isomorfismo lineal, lleva bases enbases). Sea B una base positiva de V tal que T (B) es positiva. Sea B′ otra basepositiva de V . Tenemos que:

B′ [id]B = T (B′)[id]T (B)

En efecto: sean B = v1, . . . , vn y B′ = v′1, . . . , v′n. Si vi = a1v′1 + · · · + anv

′n

entonces

T (vi) = T (a1v′1 + · · ·+ anv

′n) = a1T (v′1) + · · ·+ anT (v′n)

Como eso se cumple para todo i = 1, . . . , n entonces las n columnas de esas dosmatrices son iguales, luego son iguales. Entonces ya esta, pues B′ [id]B > 0 pues lasdos bases son positivas, luego T (B′)[id]T (B) > 0, entonces T (B′) es positiva, que eslo que querıamos probar.

Definicion 4.6.7. Si T : V →W es un isomorfismo lineal entre espacios vectorialesde dimension finita orientados, diremos que es compatible con la orientacion de W ,o que preserva la orientacion si existe una base positiva B de V tal que T (B) esuna base positiva de W , y que invierte la orientacion en caso contrario.

Observacion 4.6.8. Un isomorfismo lineal o preserva o invierte la orientacion.

Ejemplo 4.6.9. La identidad id: V → V preserva la orientacion si y solo si seconsidera V con la misma orientacion en el dominio y en el codominio.

Proposicion 4.6.10. Sea V un espacio vectorial orientado y T : V → V unisomorfismo. Entonces T preserva orientacion si y solo si detT > 0.

62

4.6 Orientacion

Demostracion. (⇒) Sean B,B′ ⊂ V bases positivas tales que T (B) = B′. Entonces

detT = det B′ [T ]B′ = det (B′ [T ]B) det (B[id]B′) > 0

pues B′ [T ]B = Id y T preserva orientacion, con B,B′ bases positivas.

(⇐) Sea B base positiva de V . Entonces

0 < detT = det T (B)[T ]T (B) = det(T (B)[T ]B

)det(B[id]T (B)

)= det B[id]T (B)

luego det B[id]T (B) > 0; invirtiendo, det T (B)[id]B > 0 y por lo tanto T preservaorientacion.

4.6.2. Orientacion de variedades

Una orientacion de una variedad M sera una “eleccion diferenciable” de orien-taciones de TpM , para todo p ∈M . La definicion que daremos no parece condecircon esta idea, pero la proposicion 4.6.16 las vinculara.

Definicion 4.6.11. Una variedad M es orientable si existe un atlas A de M talque: si ϕ,ψ ∈ A y ϕ : U → M , ψ : V → M cumplen que ϕ(U) ∩ ψ(V ) 6= ∅,entonces, si ϕ(U) ∩ ψ(V ) = Ξ y f = (ψ−1 ϕ)|ϕ−1(Ξ) (el cambio de coordenadas):

det dfq > 0, ∀q ∈ ϕ−1(Ξ).

Diremos que un tal atlas es una orientacion de M (o que un tal atlas es compatible).1

ϕ(U) ∩ ψ(V ) = Ξψ−1|Ξ

((

ϕ−1(Ξ)

ϕ|ϕ−1(Ξ)66

f// ψ−1(Ξ)

Definicion 4.6.12. Dada una orientacionA de una variedadM orientable, decimosque el par (M,A) es una variedad orientada.

La definicion de orientacion parece enrevesada pero no lo es tanto. Dicho conpalabras (de [dC]): una variedad es orientable si es posible recubrirla con unafamilia de entornos coordenados de forma que si un punto p pertenece a dos entor-nos de esta familia, entonces el cambio de coordenadas tiene jacobiano positivo en p.

¿Por que el jacobiano? No es un capricho definirlo ası, viene de la orien-tacion de los planos tangentes. Supongamos que p ∈ Ξ es tal que ϕ(q) = p yψ(r) = p. ¿Como se relaciona el jacobiano con la orientacion de los planos tangentes?

Tenemos dos parametrizaciones ϕ y ψ alrededor de p. Cada una induceuna base para TpM : B = ϕu1(q), . . . , ϕun(q) y B′ = ψu1(r), . . . , ψun(r). Es

1Formalmente, debemos requerir ademas que semejante atlas sea maximal, en el sentido que siν : V →M es una parametrizacion tal que para toda A 3 ϕ : U →M con ϕ(U) = ν(V ) se tieneque el cambio de coordenadas es diferenciable, entonces ν ∈ A.

63

4.6 Orientacion

fundamental observar que B′ [id]B = Jf(q) (ver lema 4.6.21), por lo tanto B y B′tienen la misma orientacion si y solo si el jacobiano de f es positivo. O sea, cuandopedimos que el jacobiano del cambio de coordenadas sea positivo, estamos pidiendoque ϕ y ψ induzcan la misma orientacion al espacio tangente. En definitiva,acabamos de probar la siguiente

Proposicion 4.6.13. Sea M una variedad. Un atlas A es una orientacion de Msi y solo si para cada p ∈M toda parametrizacion que rodea a p induce la mismaorientacion en TpM .

Observacion 4.6.14. La proposicion anterior nos dice que una variedad orientablesiempre admite al menos dos orientaciones. En efecto, dada una orientacionA, podemos obtener una segunda tomando aquellas parametrizaciones que paracada p ∈ M inducen la orientacion opuesta en TpM que la que inducen lasparametrizaciones deA. Explıcitamente, basta tomar el mismo atlas pero orientandoRn con la orientacion opuesta. Podemos entonces hacer la siguiente

Definicion 4.6.15. Sea M una variedad orientada. Notaremos −M a la variedadorientada con la orientacion opuesta (en el sentido de la observacion precedente).

Con la formulacion de la proposicion anterior, estamos induciendo a cadaTpM una orientacion por las parametrizaciones que rodean a p, y pidiendo quetodas induzcan la misma. Podemos mirarlo al reves, es decir, fijar primero unaorientacion de TpM y pedir que los diferenciales de las parametrizaciones preservensu orientacion. Entonces conseguimos la siguiente formulacion equivalente:

Proposicion 4.6.16. Sea M una variedad. Un atlas A es una orientacion deM si y solo si para cada p ∈ M podemos elegir una orientacion de TpM demodo tal que toda parametrizacion ϕ de A que rodea a p, con ϕ(q) = p verifica quedϕq : Rn → TpM preserva la orientacion (tomando Rn con la orientacion estandar).

Definicion 4.6.17. Si (M,A) es una variedad orientada y ϕ : U → ϕ(U) ⊂ Mes una parametrizacion cualquiera de M , decimos que ϕ es compatible con laorientacion de M (o aun, que preserva la orientacion) si dϕq : Rn → TpM preservala orientacion, para todo p = ϕ(q) ∈ ϕ(U). Tomamos en Rn la orientacion estandar,y en TpM la inducida por la orientacion de M .

Definicion 4.6.18. En general, sea f : M → N un difeomorfismo entre variedadesorientadas. Diremos que f es compatible con la orientacion de N , o que preservala orientacion si dfp : TpM → Tf(p)N preserva la orientacion, para todo p ∈ M .Diremos que invierte la orientacion si dfp invierte la orientacion, para todo p ∈M .Tomamos en TpM la orientacion inducida por M y en Tf(p)N la orientacion inducidapor N .

Observacion 4.6.19. Un difeomorfismo f : M → N entre variedades orientadas notiene por que preservar o invertir la orientacion. Es un ejercicio probar que si Mes conexa entonces f preserva o invierte la orientacion, y que basta verificarlo enun punto p ∈M .

Con esta definicion, la proposicion anterior queda en:

64

4.6 Orientacion

Proposicion 4.6.20. Sea M una variedad. Un atlas A es una orientacion de Msi y solo si para cada p ∈M podemos elegir una orientacion de TpM de modo talque toda parametrizacion ϕ de A que rodea a p preserva la orientacion.

Todo esto siempre y cuando uno se crea el siguiente

Lema 4.6.21. Sea M una variedad, ϕ : U → M y ψ : V → M dos parametriza-ciones alrededor de p ∈M , f : U → V el cambio de coordenadas. Si notamos B yB′ a las bases inducidas por ϕ y ψ respectivamente, entonces B′ [id]B = Jf(q).

Demostracion. Para simplificar notaciones, tomaremos como variedad una superfi-cie regular S, y ϕ : U → ϕ(U) ⊂ S, ψ : V → ψ(V ) ⊂ S parametrizaciones talesque ψ(V ) = ϕ(U). Si f = ψ−1 ϕ, el siguiente diagrama conmuta:

ϕ(U) = ψ(V )

U

ϕ88

f// V

ψff

Luego aplicando la regla de la cadena: dϕq = d(ψ f)q = dψf(q) dfq entonces:

ϕu(q) = ψu(r) f1u(q) + ψv(r) f2u(q)

ϕv(q) = ψu(r) f1v(q) + ψv(r) f2v(q)

Esto nos dice exactamente lo que queremos probar por la definicion de matriz decambio de base.

Ejemplo 4.6.22. Si tenemos un atlas formado por una sola parametrizacion, entonceses una orientacion: el cambio de coordenadas es la identidad cuyo jacobiano es1. En la practica, casi siempre utilizaremos una sola parametrizacion. Entonceshablaremos de la orientacion que induce esta parametrizacion en la variedad.

Ejemplo 4.6.23. Si una variedad es el grafico de una funcion diferenciable, entoncesse puede cubrir por una sola parametrizacion, luego es orientable.

Como ya habıamos adelantado, venimos definiendo y caracterizando laorientabilidad de una variedad en terminos de la orientabilidad de sus espaciostangentes, una tarea mas sencilla.

Habıamos observado que una variedad orientable admite al menos dosorientaciones. Para terminar esta seccion, demostremos que una variedad orientabley conexa admite exactamente dos orientaciones.

Teorema 4.6.24. Una variedad M conexa y orientable admite exactamente dosorientaciones.

Demostracion. Sean A y A′ dos orientaciones de M . Sea A ⊂ M el conjunto depuntos p donde las parametrizaciones de A que rodean a p inducen la mismaorientacion a TpM que las de A′ que rodean a p, y B ⊂ M el conjunto dondeinducen orientaciones opuestas. A y B son abiertos, porque si en un punto deA (resp. B) el jacobiano del cambio de coordenadas es positivo (resp. negativo)

65

4.6 Orientacion

tambien lo es en un entorno del punto. Ademas M = A ∪ B pues los espaciostangentes tienen solo dos orientaciones. Como M es conexo y esta union es disjunta,o B = ∅ (el jacobiano de los cambios de coordenadas siempre es positivo) o A = ∅(el jacobiano de los cambios de coordenadas siempre es negativo). Nos elegimosdos orientaciones cualquiera y vimos que eran la misma o eran opuestas, por lotanto solo hay dos maneras de orientar M .

4.6.3. Orientacion de curvas y superficies

Definicion 4.6.25. Si M ⊂ Rk es una variedad, entonces un campo vectorial enM es una funcion diferenciable F : M → Rk; un campo escalar en M es unafuncion diferenciable f : M → R.

Un campo tangente en M es un campo vectorial F : M → Rk tal que F (p) ∈TpM para todo p ∈M .

Un campo normal en M es un campo vectorial F : M → Rk tal que F (p) ⊥ TpMpara todo p ∈M .

Un campo unitario en M es un campo tal que ‖F (p)‖ = 1 para todo p ∈M .

Orientacion de curvas

En esta seccion, una curva C ⊂ Rk sera una variedad conexa de dimension 1.

Para orientar curvas, hay un criterio particular que resulta util e intuiti-vo: una curva es orientable si y solo si admite un campo tangente unitario.

Proposicion 4.6.26. Una curva C es orientable si y solo si admite un campotangente unitario.

Demostracion. (⇒) Sea A una orientacion de C y sean α : I → C, β : J → C dosparametrizaciones de C tales que α, β ∈ A. Supongamos que α(I) = β(J), y seaf = β−1 α el cambio de coordenadas.

α(I) = β(J)β−1

%%I

α99

f// J

Tenemos sg (f ′) > 0 ya que como α y β preservan la orientacion de C, entonces fes un difeomorfismo que preserva orientacion.

Como α = β f , entonces por la regla de la cadena, α′(t) = β′(f(t)) f ′(t).Definimos el campo T : α(I)→ Rk mediante

T (α(t)) =α′(t)

‖α′(t)‖=

f ′(t)

|f ′(t)|β′(f(t))

‖β′(f(t))‖=

β′(f(t))

‖β′(f(t))‖

Podemos tener entonces el campo T tangente unitario bien definido en toda C.

(⇐) Sea T : C → Rk un campo tangente unitario. Dada una parametriza-cion α : I → C tal que α(t) = p para ciertos t ∈ I, p ∈ C, tenemos que o bien

66

4.6 Orientacion

Figura 4.13: Banda de Mobius: una superficie no orientable

T (p) = α′(t)‖α′(t)‖ o bien T (p) = − α′(t)

‖α′(t)‖ . Eligiendo parametrizaciones alrededor decada punto de C tales que cumplen todas lo primero o todas lo segundo, tenemosun atlas que es una orientacion de C.

Observacion 4.6.27. De hecho, al final de la demostracion vemos como conseguirdos orientaciones de C que podemos calificar de opuestas: aquella coherente con elcampo T , y aquella coherente con el campo −T .

Observacion 4.6.28. Recordemos el teorema de clasificacion de curvas: toda variedadconexa de dimension 1 es difeomorfa a S1 o a un intervalo real. Por lo tanto, todacurva conexa es orientable, pues tanto S1 como un intervalo real son orientables.

Orientacion de superficies

Para orientar superficies, hay un criterio particular que resulta muy util, yes que una superficie es orientable si y solo si admite un campo normal unitario.Por ejemplo, la banda de Mobius (ver figura 4.13) no es orientable porque siuna hormiga empieza a caminar desde un punto por arriba de la banda haciala izquierda, al dar una vuelta llega por la derecha al mismo punto, pero porabajo. Entonces no tenemos un campo normal unitario continuo: a dicho puntole estarıamos asignando un vector normal hacia arriba y otro hacia abajo. Otroejemplo de superficie no orientable (en R4) es la botella de Klein mencionada en laseccion 4.1.

Una manera de construir una banda de Mobius es la siguiente: si tenemos unabanda rectangular y unimos dos lados opuestos sin torcer los bordes, obtenemosun cilindro. Torciendolos, obtenemos una banda de Mobius.

Proposicion 4.6.29. Sea S ⊂ R3 una superficie regular, y ϕ : U ⊂ R2 → ϕ(U) ⊂S una parametrizacion. Si p ∈ ϕ(U) y p = ϕ(q), entonces el campo N : ϕ(U)→ R3

definido por:

N(p)def.=

ϕu(q)× ϕv(q)‖ϕu(q)× ϕv(q)‖

def.=

ϕu × ϕv‖ϕu × ϕv‖

(q)

donde × indica el producto vectorial, es un campo normal unitario. Ademas nodepende de la parametrizacion elegida (a menos de un signo).

67

4.6 Orientacion

Demostracion. Esta claro que ‖N(p)‖ = 1 para todo p ∈ ϕ(U). ComoB = ϕu(q), ϕv(q) es una base de TpS entonces ϕu×ϕv

‖ϕu×ϕv‖(q) es normal a TpS (es

la gracia del producto vectorial). Esta claro que es diferenciable.

Sea ahora ψ : V → ψ(V ) ⊂ S otra parametrizacion tal que ψ(V ) = ϕ(U).Si p = ψ(r), definimos Nψ : ϕ(U)→ R3 por Nψ(p) = ψu×ψv

‖ψu×ψv‖(r) queremos probar

que Nψ = ±N . Sea f = ψ−1 ϕ : U → V el cambio de coordenadas. Recordemosque si B′ = ψu(r), ψv(r) entonces B′ [id]B = Jf(q), de donde:

ϕu(q) = ψu(r) f1u(q) + ψv(r) f2u(q)

ϕv(q) = ψu(r) f1v(q) + ψv(r) f2v(q)

Hagamos el producto vectorial:

ϕu(q)× ϕv(q) = (ψu(r) f1u(q) + ψv(r) f2u(q))× (ψu(r) f1v(q) + ψv(r) f2v(q))

= ψu(r) f1u(q)× ψv(r) f2v(q) + ψv(r) f2u(q)× ψu(r) f1v(q)

= det(Jf(q)) ψu(r)× ψv(r)

por lo tanto ϕu(q) × ϕv(q) y ψu(r) × ψv(r) son colineales. Al normalizar nosgarantizamos que N(p) = ±Nψ(p), segun el signo del jacobiano.

Lema 4.6.30. Si M es una variedad conexa y f : M → R es una funcion continuaque nunca se anula, entonces f es de signo constante.

Demostracion. Supongamos que f cambia de signo, es decir existen p, q ∈M talesque f(p) < 0, f(q) > 0. Sea α : [0, 1]→ M continua tal que α(0) = p y α(1) = q.Entonces f α : [0, 1]→ R es una funcion continua, y f(α(0)) = f(p) < 0, f(α(1)) =f(q) > 0. Por el teorema de Bolzano existe c ∈ [0, 1] tal que f(α(c)) = 0, peroentonces f se anula en α(c), absurdo.

Lema 4.6.31. Sea M una variedad. Entonces siempre es posible elegir un atlascuyas parametrizaciones tengan dominio y entorno coordenado conexos.

Demostracion. Sea p ∈ M , ϕ : U ⊂ Rn → M una parametrizacion alrededorde p, con p = ϕ(q). Como U es abierto, existe δ > 0 tal que B(q, δ) ⊂ U . SeaU0 = B(q, δ), entonces ϕ|U0 : U0 → ϕ(U0) es una parametrizacion alrededor de pcuyo dominio es conexo. Ademas como ϕ es continua, el entorno coordenado ϕ(U0)tambien es conexo. Tomando tales parametrizaciones para cada p, encontramos unatlas como querıamos.

Teorema 4.6.32. Una superficie regular S ⊂ R3 es orientable si y solo si existeun campo normal unitario N : S → R3.

Demostracion. (⇒) Sea A una orientacion de S. Definimos N de la siguientemanera: si p ∈ S, entonces esta cubierto por una parametrizacion ϕ : U → S, ydefinimos N como en la proposicion 4.6.29. Al ser A una orientacion, el jacobianodel cambio de coordenadas es positivo, por lo tanto esta definicion no depende dela eleccion de la parametrizacion y N esta bien definido. Es diferenciable pues esdiferenciable en cada entorno coordenado, y ya sabemos que siempre es normal y

68

4.6 Orientacion

unitario.

(⇐) Sea N : S → R3 un campo normal unitario. Sea A un atlas de S como enel segundo lema. Sea p0 ∈ S fijo, entonces p0 = ϕ(q0) para alguna parametrizacionϕ : U → S. Por la proposicion anterior, tenemos necesariamente que:


(q0) = ±N(p0)

Si la igualdad anterior se da con un (+), entonces no hacemos nada. Si se da conun (-), cambiamos U por U = (u, v) ∈ R2 : (v, u) ∈ U. Definiendo ϕ en U en vezde en U , tenemos, por la anticonmutatividad del producto vectorial, que se da laigualdad con un (+). Modificando ϕ de tal manera si es necesario, tenemos que:


(q0) = N(p0)

Probemos ahora que teniendo ϕ ası para un p0 ∈ ϕ(U), entonces se cumple laanterior igualdad para todo p ∈ ϕ(U), p = ϕ(q).

Sea f : ϕ(U)→ R definida por:

f(p) =ϕu × ϕv‖ϕu × ϕv‖

(q) ·N(p)

Sabemos que f no se anula (toma valores 1 o -1), y que f(p0) = 1. Pero f es unafuncion diferenciable, definida en un conexo, que no se anula nunca, entonces es designo constante por el primer lema, luego f(p) = 1 para todo p ∈ ϕ(U). Entoncesse cumple:


(q) = N(p), ∀p ∈ ϕ(U)

Consideremos ahora el atlas A formado por tales ϕ. Tomemos ϕ : U → S, ψ : V → Sparametrizaciones de A, tales que ϕ(U) ∩ ψ(V ) 6= ∅. Luego si p ∈ ϕ(U) ∩ ψ(V ),p = ϕ(q) y f = ψ−1 ϕ es el cambio de coordenadas:

ϕu(q)× ϕv(q) = det(Jf(q)) ψu(r)× ψv(r)

Por como construimos A, necesariamente ϕu(q) × ϕv(q) y ψu(r) × ψv(r)son colineales y de mismo sentido, de donde det(Jf(q)) > 0 para todoq ∈ ϕ−1(ϕ(U) ∩ ψ(V )), por lo tanto A es una orientacion de S y S es orien-table.

Observacion 4.6.33. Si v, w ∈ R3 son no colineales, entonces (v × w, v, w) es unabase positiva de R3 con la orientacion usual. En efecto, recordemos de algebralineal que

det(v × w, v, w) = 〈v × w, v × w〉 = ‖v × w‖2 > 0

En particular, si tenemos un campo normal unitario N en la superficie regularS, la orientacion que conseguimos con el teorema anterior es tal que si p ∈ S yv, w ⊂ TpS es una base positiva, entonces N(p), v, w es una base positiva deR3.

69

4.7 Variedades con borde

Corolario 4.6.34. Si una superficie regular S ⊂ R3 es preimagen de un valorregular, entonces es orientable.

Demostracion. Sea S tal que S = f−1(a), con f : U ⊂ R3 → R una funciondiferenciable que tiene a a ∈ R como valor regular. En la proposicion 4.4.15 yademostramos que si p ∈ S, entonces TpS = ∇f(p)⊥. Por lo tanto definiendo

N : S → R3 por N(p) = ∇f(p)‖∇f(p)‖ tenemos un campo normal unitario, luego S es

orientable por el teorema anterior.

Ejemplo 4.6.35. El toro T 2 es orientable, pues ya probamos que era preimagen devalor regular en el ejemplo 4.3.8.

Observacion 4.6.36. El recıproco del corolario anterior es cierto: toda su-perficie regular S ⊂ R3 orientable es preimagen de un valor regular. Lademostracion depende de la existencia de un entorno tubular : ver seccion 2.7de [dC].

Al final de esa misma seccion se da una referencia para la demostraciondel interesante teorema que afirma que toda superficie regular compacta esorientable.

4.7. Variedades con borde

4.7.1. Variedades con borde

Definicion 4.7.1. Definimos el semiespacio superior como

Hn def.= (x1, . . . , xn) ∈ Rn : xn ≥ 0 ⊂ Rn.

Definimos su borde como

∂Hn def.= (x1, . . . , xn−1, 0) : xi ∈ R ∀i = 1, . . . , n− 1 = Rn−1 × 0 ⊂ Rn.

Definimos tambien −Hn, el semiespacio inferior, como

−Hn def.= (x1, . . . , xn) ∈ Rn : xn ≤ 0

Observacion 4.7.2. Identificaremos canonicamente ∂Hn con Rn−1.

Definiremos variedad con borde analogamente a como definimos variedad, soloque pediremos que sea localmente difeomorfa a un abierto de Hn en vez de a unode Rn:

Definicion 4.7.3. Sea M ⊂ Rk. Decimos que M es una variedad diferenciable conborde de dimension n si para todo p ∈M existe un entorno abierto de p, W ⊂ Rktal que W ∩M es difeomorfo a un abierto de Hn.

Como siempre, diremos variedad con borde a secas para referirnos a una varie-dad diferenciable con borde. Mantendremos la terminologıa usual de variedades,es decir parametrizacion, entorno coordenado, atlas, etc. Con respecto a las pa-rametrizaciones, en vez de tomar un abierto de Rn como dominio, tomaremos unabierto de Hn como dominio.

70


Observacion 4.7.4. Recordemos del curso de topologıa que V ⊂ Hn es un abiertode Hn si V = U ∩Hn, donde U es un abierto de Rn. Por ejemplo, las bolas de Hn

son, ademas de aquellas bolas de Rn que no se intersectan con ∂Hn (i.e. las queestan enteras en el semiespacio superior), las intersecciones de bolas de Rn con Hn,su “borde” incluido.

&%'$

R

∂Hn ' Rn−1

Por esta razon, toda variedad es una variedad con borde (si es localmentedifeomorfa a un abierto de Rn, trasladamos el abierto entero al semiespacio superiory nada cambia).

Definicion 4.7.5. Sea U ⊂ Hn abierto de Hn, f : U → Rm un mapa diferenciabley p ∈ U ∩ ∂Hn. Entonces si F : W → Rm es una extension diferenciable de f a unentorno de p abierto de Rn, definimos el diferencial de f en p por:

dfpdef.= dFp : Rn → Rm

Esta definicion es necesaria: recordemos que al definir diferenciabilidad en con-juntos cualesquiera, no pudimos definir sin embargo el diferencial : no conseguıamosnecesariamente la independencia de la eleccion de una extension de la funcion. Eneste caso en particular, podremos (tendremos que verificarlo a continuacion, sino esta definicion seguirıa sin tener sentido). Por otro lado, habıamos definido eldiferencial de un mapa entre variedades. Veremos que Hn no es una variedad (enel sentido habitual), y por lo tanto no estamos trabajando de mas.

Proposicion 4.7.6. El diferencial anterior esta bien definido. Es decir, todas lasextensiones de f tienen el mismo diferencial.

Demostracion. Si p /∈ ∂Hn, no hay nada que verificar. Supongamos p ∈ U ∩ ∂Hn:queremos ver que si F = (F1, . . . , Fm) : W → Rm es una extension diferenciablede f = (f1, . . . , fm) con W entorno de p abierto de Rn, entonces dFp : Rn → Rmno depende de la eleccion de F . Tenemos que:

dFp = (d(F1)p, . . . , d(Fm)p) =

∂F1∂x1

(p) . . . ∂F1∂xn

(p)...

...∂Fm∂x1

(p) . . . ∂Fm∂xn

(p)

Sea i ∈ 1, . . . ,m, j ∈ 1, . . . , n entonces:

∂Fi∂xj

(p)def.= lım

t→0

Fi(p+ tej)− Fi(p)t

= lımt→0+

Fi(p+ tej)− Fi(p)t

= lımt→0+

fi(p+ tej)− fi(p)t

71


Tenemos la ultima igualdad gracias a que F es precisamente una extension de f ,definida en Hn. Pero entonces dFp depende solo de f .

Teorema 4.7.7 (Invariancia de dominio, version diferenciable). Sean U ⊂ Rnabierto, S ⊂ Rn un subconjunto y f : U → S un difeomorfismo. Entonces S esabierto en Rn.2

Demostracion. Sea p ∈ U . Como f : U → S es un difeomorfismo, esto significaque existen V ⊂ Rn abierto tal que S ⊂ V y g : V → Rn un mapa diferenciable talque g|S = f−1. De esta forma, g f = idU .

Por la regla de la cadena, dgf(p) dfp = idRn . Esto muestra que dfp tiene unainversa por izquierda, ası que es inyectivo. Como dfp : Rn → Rn, entonces es unisomorfismo.

Por el teorema de la funcion inversa, existen entornos abiertos Up ⊂ U yVf(p) ⊂ V de p y de f(p) respectivamente, de manera tal que f |Up : Up → Vf(p) esun difeomorfismo.

Esto prueba que f(p) ∈ Vf(p) = f(Up) ⊂ f(U) = S; como Vf(p) es abierto en Vy V es abierto en Rn, entonces Vf(p) es abierto en Rn. Como p es arbitrario, estoprueba que todo punto de S tiene un entorno en S abierto en Rn, y por lo tanto Ses abierto en Rn.

Ahora podemos probar que un difeomorfismo entre abiertos de Hn mandapuntos interiores en puntos interiores, y puntos del borde en puntos del borde.

Proposicion 4.7.8. Sean U, V ⊂ Hn abiertos de Hn y f : U → V un difeomorfis-mo. Entonces f(U \ ∂Hn) ⊂ V \ ∂Hn, y f(U ∩ ∂Hn) ⊂ V ∩ ∂Hn.

Demostracion. Sea p ∈ U \ ∂Hn. Entonces existe una bola B ⊂ Hn abierta enRn tal que p ∈ B. Por el teorema 4.7.7, f(B) es abierto en Rn. Por lo tantof(p) ∈ f(B) ⊂ V \∂Hn. Como p es arbitrario, esto prueba que f(U\∂Hn) ⊂ V \∂Hn.

Sea p ∈ U ∩ ∂Hn. Entonces f−1(f(p)) = p ∈ U ∩ ∂Hn. Como f−1

es un difeomorfismo, lo que probamos recien aplicado a f−1 prueba quef(p) 6∈ V \∂Hn. Por lo tanto f(p) ∈ V ∩∂Hn. Como p es arbitrario, esto prueba quef(U ∩ ∂Hn) ⊂ V ∩ ∂Hn.

Corolario 4.7.9. Hn y Rn no son difeomorfos.

Tenemos entonces que si ϕ : U ⊂ Hn → M es una parametrizacion conq ∈ U ∩ ∂Hn y p = ϕ(q), entonces si ψ : V ⊂ Hn →M es otra parametrizacion talque V ∩ ∂Hn = ∅, se tiene que p 6= ψ(r), para todo r ∈ V . Podemos pues hacer lasiguiente

Definicion 4.7.10. El borde de una variedad M , denotado por ∂M , consiste enaquellos puntos de M que son la imagen por alguna parametrizacion de un puntoque esta en ∂Hn, es decir:

∂Mdef.= p ∈M : ∃ϕ : U ⊂ Hn →M parametrizacion : p = ϕ(q), con q ∈ U∩∂Hn

2La version continua de este teorema dice que si un subconjunto de Rn es homeomorfo a unabierto de Rn, entonces es abierto en Rn. Ese teorema es considerablemente mas difıcil de probar.

72


El interior de una variedad es Mdef.= M \ ∂M .

Decimos que M es una variedad sin borde si es una variedad en el senti-do usual, es decir si ∂M = ∅.

Observacion 4.7.11. Atencion: por mas que utilicemos el signo ∂ para el borde deuna variedad, no tiene en general nada que ver con el borde topologico (la frontera)de un conjunto. Idem para el interior.

Ejercicio 4.7.12. Probar que si f : M → N es un mapa diferenciable entrevariedades con borde, entonces f(∂M) ⊂ ∂N , y f(M) ⊂ N .

Definicion 4.7.13. Damos las definiciones de espacio tangente y de diferencialpara mapas entre variedades con borde. Son analogas a las de variedades sin bordey verifican las mismas propiedades:

Sea M ⊂ Rk una variedad con borde y p ∈M . Si ϕ : U ⊂ Hn →M es una

parametrizacion y p = ϕ(q), definimos TpMdef.= Im dϕq (este diferencial es el

que definimos recien). Valen las propiedades dim TpM = n y dϕq : Rn → TpMes un isomorfismo.

Si M y N son variedades con borde, f : M → N es un mapa diferenciable y

p ∈M , definimos su diferencial mediante dfpdef.= dFp|TpM : TpM → Tf(p)N ,

con F una extension diferenciable de f a un entorno abierto de p en Rk.

Observacion 4.7.14. Es claro que si ϕ : U ⊂ Hn →M es una parametrizacion deM , entonces ϕ|U∩∂Hn es una parametrizacion de ∂M . Ademas si tales ϕ formanun atlas de M , entonces las ϕ|U∩∂Hn forman un atlas de ∂M .

Proposicion 4.7.15. El borde de una variedad con borde M de dimension n esuna variedad sin borde de dimension n− 1.

Demostracion. Como U ∩∂Hn es un abierto de ∂Hn, entonces con la identificacioncanonica ∂Hn = Rn−1×0 ' Rn−1, tenemos que ϕ|U∩∂Hn : U∩∂Hn ⊂ Rn−1 →Mes una parametrizacion de ∂M en vista de la observacion anterior. Entonces ∂Mes una variedad sin borde de dimension n− 1.

Corolario 4.7.16. ∂(∂M) = ∅.

Esto nos permite escribir que ∂2 = 0 como operador.

Proposicion 4.7.17. Si M es una variedad con borde de dimension n, entoncesM es una variedad sin borde de dimension n.

Demostracion. Sea p ∈ M , y ϕ : U ⊂ Hn →M una parametrizacion alrededor dep. Como p 6∈ ∂M , entonces U ∩ ∂Hn = ∅ (achicando U si fuera necesario), luego Ues un abierto de Rn y ϕ tiene como dominio un abierto de Rn. Por lo tanto M esuna variedad sin borde de dimension n.

Proposicion 4.7.18. Sea M ⊂ Rk una variedad con borde y p ∈ ∂M . Siϕ : U ⊂ Hn → M es una parametrizacion tal que p = ϕ(q), entonces Tp∂Mtiene como base al conjunto ϕu1(q), . . . , ϕun−1(q).

73


Demostracion. Hacemos una prueba analoga a la del caso de variedades sin borde.Sea ϕ : U ⊂ Hn → M una parametrizacion de M alrededor de p, con p = ϕ(q).Tenemos que ϕ|U∩∂Hn : U ∩ ∂Hn → ∂M es una parametrizacion de ∂M alrededorde p pues p ∈ ∂M .

Por definicion, Tp∂M = Im d(ϕ|U∩∂Hn)q, con d(ϕ|U∩∂Hn)q : Rn−1 → Rk.Como d(ϕ|U∩∂Hn)q es un isomorfismo lineal sobre su imagen, entonces lleva basesen bases. En particular:

d(ϕ|U∩∂Hn)q(e1), . . . , d(ϕ|U∩∂Hn)q(en−1) = dϕq(e1), . . . , dϕq(en−1)= ϕu1(q), . . . , ϕun−1(q)

es base.

Corolario 4.7.19. Tp∂M es un subespacio vectorial de TpM de codimension 1.Ademas:

TpM = 〈dϕq(en)〉 ⊕ Tp∂M

donde 〈〉 significa “subespacio generado por” y ⊕ es la suma directa de subespaciosvectoriales.

La demostracion del siguiente teorema es analoga a la de su version paravariedades sin borde:

Teorema 4.7.20. Si f : Rn → R es una funcion diferenciable que tiene a a ∈ Rcomo valor regular, entonces M = f−1((−∞, a]) es una variedad con borde dedimension n, y ∂M = f−1(a).

Ejemplo 4.7.21. Sea f : R3 → R definida por f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 1. Esdiferenciable y ya sabemos que 0 es valor regular. Entonces por el teorema anterior,B3 = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 1 es una variedad con borde de dimension 3,y ∂B3 = S2.

4.7.2. Orientacion de variedades con borde

Si M es una variedad con borde y p ∈ ∂M , tenemos tres tipos de vectores enTpM :

Los vectores tangentes al borde, es decir aquellos que pertenecen a Tp∂M ,que sabemos que tiene codimension 1,

Los vectores “salientes”: geometricamente, que “apuntan hacia afuera” de lavariedad,

Los vectores “entrantes”, aquellos que “apuntan hacia adentro” de la variedad.

Podemos visualizar por ejemplo el cilindro “unidad” (la superficie): su bordeson dos circunferencias. Situemonos en un punto p de la circunferencia inferior, porejemplo p = (0, 1, 0). TpM es el plano y = 0. Tomemos un vector en Tp∂M , que esla recta y = 0, z = 0, por ejemplo −e1. A modo de ejemplo, un vector saliente enTpM serıa −e3 y un vector entrante serıa e3. Observar que si nos situamos en elpunto (0, 1, 1) de la circunferencia superior, los roles de −e3 y e3 se invierten.

74


Podremos entonces orientar Tp∂M : diremos que una base ordenada deTp∂M tiene la orientacion inducida por M si poniendole un vector saliente delantenos da la misma orientacion que la de TpM . Siguiendo con el ejemplo del puntop = (0, 1, 0) del cilindro, supongamos que TpM tiene a e3, e1 como base ordenada(sentido antihorario, si miramos el plano desde “dentro” del cilindro). Si tomamoscomo base ordenada de Tp∂M a −e1, entonces −e3,−e1 ∼ e3, e1, quetiene la orientacion de TpM , por lo tanto diremos que −e1 tiene la orientacioninducida por M . Formalicemos.

Vectores entrantes y salientes

Definicion 4.7.22. Sea M una variedad con borde de dimension n, p ∈ ∂M yϕ : U ⊂ Hn →M una parametrizacion tal que ϕ(q) = p. Decimos que v ∈ TpM esun vector entrante (a M) si es de la forma dϕq(v0), con v0 · en > 0, y decimos quees un vector saliente (a M) si es de la forma dϕq(v0), con v0 · en < 0.

' $uq

U

env06

*

v = dϕq(v0) es un vector entrante

Debemos ver que la definicion anterior no depende de la eleccion de la parame-trizacion. Para ello, veamos una caracterizacion de los vectores entrantes y salientesque no depende de parametrizaciones.

Proposicion 4.7.23. Sea M una variedad con borde de dimension n, p ∈ ∂M yv ∈ TpM . Son equivalentes:

1. existe una parametrizacion ϕ : U ⊂ Hn → M en torno de p tal que, siϕ(q) = p y v = dϕq(v0), entonces v0 ∈ Rn es tal que v0 · en > 0,

2. v 6∈ Tp∂M y existe una curva α : [0, ε)→M tal que α(0) = p y α′(0) = v,

3. para toda parametrizacion ϕ : U ⊂ Hn →M en torno de p se tiene que, siϕ(q) = p y v = dϕq(v0), entonces v0 ∈ Rn es tal que v0 · en > 0.

Demostracion. (1⇒ 2) Definimos α : [0, ε)→M como α(t) = ϕ(q+ tv0), tomandoε suficientemente chico para que q+ tv0 ∈ U para todo t ∈ [0, ε). Entonces α(0) = p,y

α′(0) =d

dt

∣∣∣∣t=0

ϕ(q + tv0)r.c.= dϕq(v0) = v

uq

enq + tv0

v0

6

75


(2⇒ 3) Sea ϕ : U ⊂ Hn →M una parametrizacion en torno de p. Supongamosque ϕ(q) = p y v = dϕq(v0).

Como α(0) = p ∈ ϕ(U), entonces achicando ε si es necesario podemos suponer queα([0, ε)) ⊂ ϕ(U). De esta forma, tenemos una curva β := ϕ−1 α : [0, ε)→ U conβ(0) = q y β′(0) = v0.

Queremos ver que β′(0) · en > 0. Observar que β′(0) = lımt→0+

β(t)−qt ; ahora,

β(t)− q ∈ Hn pues q ∈ ∂Hn y β(t) ∈ Hn para todo t. Por lo tanto β′(0) = v0 ∈ Hn.

Como ademas v 6∈ Tp∂M , entonces v0 6∈ ∂Hn, y por lo tanto v0 · en > 0.

(3⇒ 1) Es obvio.

Observacion 4.7.24. 1. La proposicion anterior vale para vectores salientes, cam-biando v0 · en > 0 por v0 · en < 0, y α : [0, ε)→M por α : (−ε, 0]→M .

2. Por el corolario 4.7.19, si p ∈ ∂M entonces el espacio tangente TpM sedescompone en suma directa de Tp∂M y un subespacio de dimension uno.Por la proposicion anterior, este subespacio unidimensional es union de dossemiespacios, el de los vectores entrantes y el de los vectores salientes, uniendotambien el vector nulo.

Veamos ahora que los vectores entrantes/salientes van a parar por una fun-cion diferenciable a vectores entrantes/salientes respectivamente, i.e. una funciondiferenciable respeta la descomposicion en suma directa de la observacion 4.7.24.2.

Proposicion 4.7.25. Sea f : M → N una funcion diferenciable entre variedadescon borde. Sea p ∈ ∂M y v ∈ TpM . Si v es un vector entrante (resp. saliente),entonces dfp(v) ∈ Tf(p)N es un vector entrante (resp. saliente).

Demostracion. Observar primero que por el ejercicio 4.7.12, efectivamentef(p) ∈ ∂N y por lo tanto tiene sentido que dfp(v) sea entrante o saliente.

Supongamos que v es entrante. Por la proposicion 4.7.23, existe una cur-va α : [0, ε)→M tal que α(0) = p, α′(0) = v. Consideremos f α : [0, ε)→M . Setiene f(α(0)) = f(p), y

(f α)′(0)r.c.= dfα(0)(α

′(0)) = dfp(v)

Por la proposicion 4.7.23, esto prueba que dfp(v) es entrante. La demostracion enel caso que v es saliente es analoga.

Teorema 4.7.26. Sea f : Rn → R una funcion diferenciable que tiene a a ∈ Rcomo valor regular, de manera que M := f−1((−∞, a]) es una variedad con bordetal que ∂M = f−1(a). Sea p ∈ ∂M . Entonces ∇f(p) es un vector saliente a M .

Demostracion. Observar primero que ∇f(p) 6∈ Tp∂M , pues Tp∂M = ∇f(p)⊥por la proposicion 4.4.15. Supongamos por absurdo que ∇f(p) es entrante.

76


Aplicandole la proposicion anterior a la funcion f |M : M → (−∞, a], te-nemos entonces que dfp(∇f(p)) ∈ R es entrante a (−∞, a]. Explıcitamente, estosignifica que dfp(∇f(p)) < 0.

En efecto, por la proposicion 4.7.23 un vector v ∈ R es entrante a (−∞, a] si ysolo si v 6= 0 y existe una curva α : [0, ε) → (−∞, a] tal que α(0) = a, α′(0) = v.Observar que como α(t) ≤ a para todo t, entonces

v = α′(0) = lımt→0+

α(t)− at

≤ 0

luego v < 0.

Tenemos pues que dfp(∇f(p)) < 0. Llegamos entonces a una contradiccion, ya quedfp(∇f(p)) = ∇f(p) · ∇f(p) = ‖∇f(p)‖2 > 0.

Orientacion

La definicion de variedad con borde orientable es la misma que para variedadessin borde (solo que las parametrizaciones tienen como dominio un abierto de Hn).Escribamos formalmente la orientacion de Tp∂M que induce TpM que enunciabamosal comienzo de la seccion:

Definicion 4.7.27. Sea M una variedad con borde y ϕ : U ⊂ Hn → M unaparametrizacion de M . Si un vector saliente (resp. entrante) N = dϕq(v0) es talque v0 · en = −1 (resp. +1), tenemos un vector que llamamos normal saliente (resp.normal entrante).

Definicion 4.7.28. Sea M una variedad con borde orientada. Sea p ∈ ∂M yB = v1, . . . , vn−1 una base ordenada de Tp∂M . Orientamos Tp∂M diciendo queB es una base positiva de Tp∂M si N, v1, . . . , vn−1 es una base positiva de TpM ,siendo N un vector normal saliente. A esta orientacion de Tp∂M le llamamosorientacion inducida por TpM .

Observacion 4.7.29. Podrıamos pedir simplemente que N fuera saliente, sin pedirque sea normal. Pidiendo que sea normal lo que ganamos es que si B es una baseortogonal, entonces agregandole N sigue siendo ortogonal. Observar que en todocaso se cumple que 〈N〉 ⊕ Tp∂M = TpM .

Observacion 4.7.30. A veces en la practica procederemos al reves: le daremos unaorientacion a TpM a partir de una base que previamente fijamos como positiva deTp∂M y poniendole delante la normal saliente.

Tenemos una proposicion que nos caracteriza las orientaciones de las variedades:un atlas A es una orientacion de M si y solo si para cada p ∈M podemos elegiruna orientacion de TpMde modo tal que toda parametrizacion ϕ de A que rodea ap preserva la orientacion. En base a esto podemos hacer la siguiente

Definicion 4.7.31. Sea M una variedad con borde orientada. Decimos que ∂Mtiene la orientacion inducida por M (o la orientacion borde) si tomamos comoorientacion de ∂M un atlas tal que, para todo p ∈ ∂M , toda parametrizacionque rodea a p preserva la orientacion de Tp∂M , tomando en Tp∂M la orientacioninducida por TpM .

77


No esta claro que un tal atlas siempre exista, es decir, que siempre se puedadotar a ∂M de la orientacion borde. Esto es cierto, pero lo sacaremos comocorolario de la proxima proposicion.

Recordemos que si ϕ : U ⊂ Hn → M es una parametrizacion de M , en-tonces ϕ|U∩∂Hn es una parametrizacion de ∂M . De esta manera, si ϕ preservaraorientacion, uno querrıa que ϕ|U∩∂Hn preservara la orientacion de ∂M , con ∂Morientada con la orientacion borde. Pero esto no siempre es ası: falla un factor.

Proposicion 4.7.32. Sea (M,A) una variedad con borde orientada. Si A esta for-mado por ciertas parametrizaciones ϕ : U ⊂ Hn → M , entonces el atlasA = ϕ|U∩∂Hn : ϕ ∈ A de ∂M lo dota de la orientacion borde si y solo sin es par.

Demostracion. Sea p ∈M y ϕ : U ⊂ Hn →M una parametrizacion alrededor dep. Lo que queremos ver es que la orientacion que induce ϕ|U∩∂Hn en Tp∂M esla misma que la orientacion inducida por TpM si y solo si n es par, o en otraspalabras, que dϕq(e1), . . . , dϕq(en−1) es una base positiva de Tp∂M si y solo sin es par.

Como ϕ preserva orientacion, entonces B1 = dϕq(e1), . . . , dϕq(en) es unabase positiva de TpM . Queremos ver que si N es un vector saliente, entoncesB2 = N, dϕq(e1), . . . , dϕq(en−1) es una base positiva de TpM si y solo si n espar. Escribamos N en terminos de la base B1:

N = a1dϕq(e1) + · · ·+ andϕq(en) = dϕq(a1e1 + · · ·+ anen)

Como N es saliente, (a1e1 + · · ·+ anen) · en < 0⇒ an < 0.

det B1 [id]B2 = det

a1 1 . . . 0...

.... . .

...an−1 0 . . . 1an 0 . . . 0

= (−1)n+1 an det (id) = (−1)n+1 an

Entonces B2 es base positiva de TpM ⇔

(−1)n+1 an > 0⇔ (−1)n (−an) > 0⇔ n es par, ya que − an > 0

Corolario 4.7.33. Si M es una variedad con borde orientable, entonces ∂M esuna variedad sin borde orientable, y siempre se la puede dotar de la orientacionborde.

Demostracion. Sea A una orientacion de M . Si ϕ ∈ A, ϕ : U ⊂ Hn →M entoncesya sabemos que ϕ|U∩∂Hn es una parametrizacion de ∂M , y sabemos que talesϕ|U∩∂Hn conforman un atlas de ∂M que notaremos A. Por la proposicion anterior,sabemos que A es la orientacion borde si n es par, y la orientacion “opuesta” (en elsentido que cada Tp∂M tendra orientacion opuesta a la inducida por TpM) si n esimpar. En tal caso, basta componer cada parametrizacion de A con el difeomorfismo(x1, x2, . . . , xn−1) 7→ (x2, x1, . . . , xn−1) y considerar el atlas compuesto por esascomposiciones.

78


Damos ahora un par de ejemplos. El primero sera importante en un futuro.

Ejemplo 4.7.34. La orientacion de ∂Hn como borde de Hn es la misma que laorientacion usual de Rn−1 si n es par, y la opuesta si n es impar. Basta tomarcomo parametrizacion la identidad (recordemos que preserva la orientacion siorientamos de la misma manera en el dominio que en el codominio).

Esto podemos verlo sin usar el teorema anterior, de todas formas. La ba-se e1, . . . , en−1 es una base positiva de ∂Hn si −en, e1, . . . , en−1 es una basepositiva de Rn. Observar que el signo de −en, e1, . . . , en−1 es (−1)n veces elsigno de e1, . . . , en, la base canonica de Rn. Luego la orientacion de ∂Hn comoborde de Hn es la misma que la orientacion usual de Rn−1 si n es par, y la opuestasi n es impar.

Ejemplo 4.7.35. Orientemos S2 con la orientacion borde de B3, puesS2 = (x, y, z) ∈ R3 : x2+y2+z2 = 1 = ∂B3 = ∂(x, y, z) ∈ R3 : x2+y2+z2 ≤ 1.

Para todo p ∈ B3 tenemos TpB3 = R3. Orientamos B3 asignandole a ca-

da TpB3 la orientacion estandar de R3, es decir tomando la base canonica como

positiva para TpB3.

Como normal saliente podemos tomar la de norma 1: para p ∈ S2, N(p) = p. Paradarle la orientacion borde a S2, diremos que una base B = u, v de TpS

2 espositiva si N(p), u, v = p, u, v es una base positiva de TpB

3 = R3. La basep, u, v es positiva si y solo si u, v, p es positiva. Por ejemplo, para p = (0, 0, 1),basta tomar u = e1 y v = e2.

79

Capıtulo 5

Formas diferenciales envariedades

En esta seccion consideraremos las variedades con o sin borde. Observar quelo que hicimos en el capıtulo 2 se adapta sin dificultades para conseguir formasdiferenciales en abiertos de Hn: utilizaremos este hecho sin reparos.

5.1. k-formas

Definicion 5.1.1. Sea M ⊂ Rl una variedad. Una k-forma en M es una funcion

ω : M →⋃p∈M

Λk(TpM∗)

tal que ω(p) ∈ Λk(TpM∗).

Para visualizar un poco esta definicion, podemos pensar en una esfera. En cadapunto, miramos el plano tangente, que es un subespacio vectorial de dimension 2,y ponemos allı una 2-forma bilineal, por ejemplo (sera el ejemplo mas util puesintegraremos n-formas en variedades de dimension n).

Observacion 5.1.2. El espacio de las k-formas es un espacio vectorial con lasoperaciones definidas punto a punto.

5.2. Pull-back

Definicion 5.2.1. Sea f : M → N un mapa diferenciable entre variedades.Definimos la aplicacion f∗: lleva k-formas en N en k-formas en M de manera talque, si ω es una k-forma en N , p ∈M y v1, . . . , vk ∈ TpM , entonces:

f∗(ω)(p)(v1, . . . , vk) = ω(f(p))(dfp(v1), . . . , dfp(vk))

Para k = 0 definimos f∗(g) = g f .Decimos que f∗(ω) es el pull-back de ω por f .

Observacion 5.2.2. Esto no es nada mas que el pull-back lineal de ω(f(p)) ∈Λk((Tf(p)N)∗) por dfp : TpM → Tf(p)N , es decir:

f∗(ω)(p) = df∗p (ω(f(p)))

80

5.3 Formas diferenciales en variedades

Proposicion 5.2.3. Sean f : M → N , g : N → Z mapas diferenciables entrevariedades, ω una k-forma en N , η una r-forma en N . La aplicacion f∗ tiene lassiguientes propiedades:

f∗ es lineal,

f∗(ω ∧ η) = f∗(ω) ∧ f∗(η),

(idM )∗ = id,

(g f)∗ = f∗ g∗,

Si f es un difeomorfismo entonces f∗ es un isomorfismo lineal, y verifica

(f∗)−1 = (f−1)∗

Las propiedades tercera y cuarta nos dicen que el pull-back es un functorcontravariante, como sucedıa con el pull-back en el espacio euclıdeo.

Observacion 5.2.4. Aplicando la segunda propiedad a una 0-forma, obtenemos:

f∗(gω) = f∗(g ∧ ω) = f∗(g) ∧ f∗(ω) = (g f)f∗(ω)

5.3. Formas diferenciales en variedades

Definicion 5.3.1. Sea ω una k-forma en M . Decimos que ω es una forma dife-rencial si para toda parametrizacion ϕ : U →M vale que ϕ∗(ω|ϕ(U)) es una formadiferencial en U .

Observacion 5.3.2. Es por esta definicion que es logica y formalmente necesarioestudiar primero las formas y el pull-back en Rn (y en Hn).

Notacion. Notaremos Ωk(M) al conjunto de las k-formas diferenciales en M .

Observacion 5.3.3. Ωk(M) es un espacio vectorial con las operaciones definidaspunto a punto.

Proposicion 5.3.4. Para ver que una k-forma ω en M es una forma diferencial,basta verificarlo en un atlas.

Demostracion. Sean ϕ : U → M y ψ : V → M parametrizaciones tales queϕ(U) = ψ(V ).

ϕ(U) = ψ(V )

U

ϕ88

ψ−1ϕ// V

ψff

Escribamos para abreviar ω = ω|ϕ(U). Por las propiedades del pull-back, tenemosque:

(ψ−1 ϕ)∗(ψ∗(ω)) = ϕ∗(ω)

Por lo tanto ϕ∗(ω) es una forma diferencial si y solo si lo es (ψ−1 ϕ)∗(ψ∗(ω)).

81

5.3 Formas diferenciales en variedades

Si ψ∗(ω) es una forma diferencial, entonces ya sabemos (por el corolario 2.4.8) que(ψ−1ϕ)∗(ψ∗(ω)) es una forma diferencial, de donde ϕ∗(ω) es una forma diferencial.

Recıprocamente, supongamos que ϕ∗(ω) es una forma diferencial, es decir(ψ−1 ϕ)∗(ψ∗(ω)) es una forma diferencial. Como ψ−1 ϕ es un difeomorfismo,entonces invirtiendo tenemos:

Ωk(V )(ψ−1ϕ)∗

// Ωk(U)

Ωk(U)(ϕ−1ψ)∗

// Ωk(V )

Entonces ψ∗(ω) = (ϕ−1ψ)∗(ϕ∗(ω)) es una forma diferencial (por el corolario 2.4.8).

Esto prueba que ϕ∗(ω) es una forma diferencial si y solo lo es ψ∗(ω), dedonde se deduce la tesis.

Observacion 5.3.5. Sea M una variedad de dimension n, ω ∈ Ωk(M), ϕ : U →Muna parametrizacion de M . Tenemos en TpM la base ϕui1 , . . . , ϕuin, de donde siϕ∗ui1 , . . . , ϕ

∗uin es su base dual, podemos escribir

ω|ϕ(U) =∑

ai1,...,ik ϕ∗ui1∧ · · · ∧ ϕ∗uik

Entonces ω|ϕ(U) es una forma diferencial si y solo si ai1,...,ik : M → R son funcionesdiferenciables.

Proposicion 5.3.6. El pull-back lleva k-formas diferenciales en k-formas diferen-ciales. Esto es, si f : M → N es un mapa diferenciable y ω ∈ Ωk(N), entoncesf∗(ω) ∈ Ωk(M). Por lo tanto tenemos bien definido f∗ : Ωk(N)→ Ωk(M).

Demostracion. Sean ϕ : U → M , ψ : V → N parametrizaciones, ω ∈ Ωk(N).Queremos ver que f∗(ω) ∈ Ωk(M). Como ω es una forma diferencial, sabemos queψ∗(ω) ∈ Ωk(V ). Nos falta ver que ϕ∗(f∗(ω)) ∈ Ωk(U). Sea f = ψ−1 f ϕ.

Mf// N

ψ−1

U

ϕ

OO

f

// V

Como ψ∗(ω) ∈ Ωk(V ), sabemos que f∗(ψ∗(ω)) ∈ Ωk(U), pero

f∗(ψ∗(ω)) = (ψ−1 f ϕ)∗(ψ∗(ω))

= (ϕ∗ (ψ−1 f)∗)(ψ∗(ω))

= (ϕ∗ f∗ (ψ−1)∗)(ψ∗(ω))

= ϕ∗(f∗(ω))

de donde se deduce la tesis.

82

5.4 Orientacion de variedades con formas diferenciales y forma de volumen

5.4. Orientacion de variedades con formas diferencia-les y forma de volumen

Proposicion 5.4.1. Si V es un R-espacio vectorial orientado con producto internode dimension n, entonces existe una unica ν ∈ Λn(V ∗) tal que

ν(v1, . . . , vn) = 1 ∀v1, . . . , vn base ortonormal positiva de V.

Explıcitamente, si v1, . . . , vn es una base ortonormal positiva de V y φ1, . . . , φnes su base dual, entonces

ν = φ1 ∧ · · · ∧ φn ∈ Λn(V ∗) (5.1)

Demostracion. Sea B = v1, . . . , vn una base ortonormal positiva de V y seaφ1, . . . , φn su base dual. Definimos ν como en (5.1). Veamos que es la formabuscada.

Sea B′ = w1, . . . , wn otra base ortonormal positiva de V , entonces por elejemplo 1.3.23:

(φ1 ∧ · · · ∧ φn)(w1, . . . , wn) = det(φi(ωj)) = det B′ [id]B (5.2)

En efecto, si wj =∑

k akjvk entonces φi(wj) =∑

k akjφi(vk) = aij .

El determinante de (5.2) es el determinante de un cambio de base de unabase ortonormal a una base ortonormal, por lo tanto es el determinante de unamatriz ortogonal: tiene determinante 1 o −1. Como B y B′ son bases positivas,debe ser 1.

Verifiquemos la unicidad: si η ∈ Λn(V ∗) cumple lo mismo, entonces comodim Λn(V ∗) = 1, tenemos η = cν para algun c ∈ R. Evaluando en una baseortonormal:

η(v1, . . . , vn) = c ν(v1, . . . , vn)⇒ c = 1

de donde η = ν.

Observacion 5.4.2. Otra vez vemos la bondad de aquellos aparentemente molestosfactoriales que normalizaban el producto cuna. Pues de no tenerlos, tendrıamos unfactor 1

n! , y tendrıamos que haber pedido que ν(v1, . . . , vn) = 1n! para toda base

ortonormal positiva, lo cual es molesto y poco intuitivo.

Corolario 5.4.3. Si tomamos V = Rn con la orientacion usual, entonces ν = det.

Demostracion. Si e1, . . . , en es la base canonica, entonces es una base ortonormalpositiva de Rn. Su base dual es dx1, . . . , dxn, y ν = dx1 ∧ · · · ∧ dxn = det.

Observacion 5.4.4. El corolario anterior tiene sentido geometrico. Si tomamos labase canonica, e1, . . . , en, al ser una base ortonormal positiva de Rn, entoncesdet(e1, . . . , en) = 1 = volumen del paralelepıpedo n-dimensional generado pore1, . . . , en. En el caso general, al pedir que ν de 1 en toda base ortonormalpositiva, podemos pensar que ν es una manera general de medir volumenes deparalelepıpedos (de manera razonable) en espacios vectoriales orientados conproducto interno cualesquiera.

83


Definicion 5.4.5. Sea M ⊂ Rk una variedad orientada de dimension n. DefinimosdV ∈ Ωn(M), la forma de volumen, mediante lo siguiente: si p ∈ M , entoncesdV (p) ∈ Λn(TpM

∗) es la unica n-forma multilineal alternada en TpM que verifica

dV (p)(v1, . . . , vn) = 1, ∀v1, . . . , vn base ortonormal positiva de TpM

Para variedades de dimension 1 en Rk, la forma de volumen se llama forma delongitud y se denota ds. Para superficies regulares, la forma de volumen se llamaforma de area y se denota dA.

Observacion 5.4.6. El nombre, forma de volumen, esta motivado por la observacionanterior. Esta forma es especialmente importante porque nos permitira definir laintegral de una funcion.

Proposicion 5.4.7. La forma de volumen dV ∈ Ωn(M) existe y es unica. Ademas,si ϕ : U → M es una parametrizacion compatible con la orientacion y gij =〈ϕui , ϕuj 〉 : U → R, entonces

dV |ϕ(U) =√

det (gij)ϕ∗u1∧ · · · ∧ ϕ∗un (5.3)

Demostracion. Por definicion de forma de volumen, dado p ∈M debemos definirdV (p) = νp ∈ Λn(TpM

∗), la forma multilineal alternada que vale 1 en toda baseortonormal positiva de TpM , que ya probamos en la proposicion 5.4.1 que siempreexiste y es unica. Esto prueba la unicidad de dV . Veamos que existe una tal formadiferencial.

Sea ϕ : U → M una parametrizacion compatible con la orientacion y seap ∈ ϕ(U). Entonces

dV |ϕ(U) = fϕ∗u1∧ · · · ∧ ϕ∗un

para cierta f : ϕ(U)→ R diferenciable. Sea (e1, . . . , en) ⊂ TpM una base ortonor-mal positiva.

Escribamos ϕui(p) =∑

j aijej . Observar que det((aij)) > 0 al estar ambasbases orientadas positivamente. Ahora calculamos. Por un lado,

dV (p) (ϕu1(p), . . . , ϕun(p)) = f(p)(ϕ∗u1∧ · · · ∧ ϕ∗un) (ϕu1(p), . . . , ϕun(p)) = f(p)

Por otro lado, usando la proposicion 1.3.25:

dV (p) (ϕu1(p), . . . , ϕun(p)) = dV (p)

∑j

a1jej , . . . ,∑j

anjej

= det((aij)) dV (p)(e1, . . . , en)

= det((aij))

Conseguimos entonces que f(p) = det((aij)) > 0. Seguimos calculando:

gik(p) = 〈ϕui(p), ϕuk(p)〉 =

⟨∑j

aijej ,∑r

akrer

⟩=∑j

aijakj

que es el coeficiente (i, k) de la matriz AtA, donde A = (aij). Por lo tanto

det((gij(p))) = det(AtA) = (detA)2 = (f(p))2

84


de donde se deduce la expresion (5.3) tomando raız cuadrada, ya que f(p) > 0.Observar ahora que gij son funciones diferenciables. En efecto, el producto

interno es diferenciable, y las funciones dϕ(ei) : U → Rk, q 7→ dϕq(ei) sondiferenciables por la diferenciabilidad de las derivadas parciales.

Esto prueba que dV |ϕ(U) ∈ Ωn(ϕ(U)), y como ϕ es una parametrizacionarbitraria, concluimos que dV ∈ Ωn(M).

Para orientar una superficie, tenemos que es orientable si y solo si existe uncampo de vectores normales a la superficie. La version “dual” en algun sentido deesta proposicion serıa: una superficie es orientable si y solo si admite una 2-formaque nunca se anula. Esto es geometricamente intuitivo.

Esta manera de verlo tiene dos ventajas. Por un lado, orientar a travesde un campo normal solo sirve para variedades de codimension 1, mientras quecon una n-forma orientaremos variedades de dimension n arbitrarias. La segunda,es que para obtener una normal usamos el espacio ambiente, mientras que con unan-forma nos quedamos en la variedad y en sus espacios tangentes.

Proposicion 5.4.8. Una n-variedad M es orientable si y solo si existe ω ∈ Ωn(M)que nunca se anula (i.e. ω(p) nunca es la forma multilineal nula).

Demostracion. (⇒) Fijando una orientacion, ya sabemos que existe la forma devolumen dV ∈ Ωn(M), que nunca se anula.

(⇐) Sea ϕ : U → M una parametrizacion. Sea ψ : V → M otra parame-trizacion con ϕ(U) = ψ(V ). Quiero ver que es posible tomarla tal que el cambio decoordenadas f = ψ−1 ϕ tenga jacobiano positivo para todo q ∈ U .

ϕ(U) = ψ(V )

U

ϕ88

f// V

ψff

Supongamos queϕ∗(ω) = a dx1 ∧ · · · ∧ dxnψ∗(ω) = b dx1 ∧ · · · ∧ dxn

Pero ya sabemos que f∗(ψ∗(ω)) = (b f) det df dx1 ∧ · · · ∧ dxn, por lo tanto:

a = (b f) det df

Como ω nunca se anula, podemos decir que det df = abf > 0 eligiendo b adecuada-

mente.

Observacion 5.4.9. Si una n-variedad M esta orientada, podemos elegir ω ∈ Ωn(M)que nunca se anula, coherente con la orientacion de M . Decimos esto en el sentidoque si p ∈M , tenemos en TpM la orientacion inducida por las parametrizacionesdel atlas. Elegimos ω nunca nula para que ω(p) induzca la misma orientacion enTpM .

Recıprocamente, si tenemos ω ∈ Ωn(M) que nunca se anula, esta induceuna orientacion en M descrita en la proposicion anterior.

85


Observacion 5.4.10. Algunos autores llaman forma de volumen a una forma ωcomo en la proposicion anterior. Es mas general, pero con menos carga geometricay no es unica.

A continuacion daremos una expresion explıcita para la forma de longitud y laforma de area.

Proposicion 5.4.11. Sea C ⊂ Rk una variedad de dimension 1, T : C → Rk elcampo tangente unitario que determina la orientacion de C. Entonces

ds(p)(v) = v · T (p)

para todo p ∈ C, v ∈ TpC.En otras palabras, si T = (T1, . . . , Tk) entonces

ds = T1 dx1 + · · ·+ Tk dxk

Demostracion. Sea p ∈ C y sea v una base ortonormal positiva de TpC, tenemosque probar que ds(p)(v) = 1. Al ser T coherente con la orientacion de C, T (p) tieneel mismo sentido que v. Como ambos son unitarios, deducimos que v ·T (p) = 1.

Lema 5.4.12. Se cumple que

T1 ds = dx T2 ds = dy T3 ds = dz

Demostracion. Veamos la primera igualdad, las otras dos son analogas. Recordemosque ds(p)(v) = T (p) · v. En particular, ds(p)(T (p)) = 1; como T (p) es base deTpC concluimos que ds(p) es la base dual de T (p) en (TpC)∗. Usando lasegunda igualdad de la observacion 1.1.4,

dx(p) = dx(p)(T (p)) ds(p) = T1(p) ds(p)

lo cual termina la demostracion.

Proposicion 5.4.13. Sea S ⊂ R3 una superficie regular orientada, N : S → R3

el campo normal unitario que determina la orientacion de S. Entonces

dA(p)(v, w) = N(p) · (v × w)

para todo p ∈ S, v, w ∈ TpS.En otras palabras, si N = (N1, N2, N3) entonces

dA = N1dy ∧ dz +N2dz ∧ dx+N3dx ∧ dy

Demostracion. Sea p ∈ S. Sea v, w ⊂ TpS una base ortonormal positiva. De estaforma, N(p) = v × w. Por lo tanto N(p) · (v × w) = N(p) ·N(p) = 1.

La reformulacion se deduce del ejemplo 1.3.23 que decıa que

v × w = (dy ∧ dz(v, w), dz ∧ dx(v, w), dx ∧ dy(v, w))

Observacion 5.4.14. Recordemos que

N(p) · (v × w) = det(N(p), v, w)

se llama el producto mixto de N(p), v y w y mide el volumen (con signo) delparalelepıpedo generado por N(p), v y w.

86

5.5 Derivada exterior en variedades

Lema 5.4.15. Se cumple que

N1 dA = dy ∧ dz N2 dA = dz ∧ dx N3 dA = dx ∧ dy

Demostracion. Veamos la primera igualdad, las otras dos son analogas. Tenemosque

N1(p) dA(p)(v, w) = (e1 ·N(p)) dA(p)(v, w)

Ahora bien, para cualquier u ∈ R3 se tiene que (u ·N(p)) dA(p)(v, w) = u · v × w.En efecto, al ser v × w paralelo a N(p) y al tener ‖N(p)‖ = 1, se tiene:

v × w = ((v × w) ·N(p))N(p) = dA(p)(v, w)N(p)

Al hacer el producto escalar con u,

u · (v × w) = u · (dA(p)(v, w)N(p)) = dA(p)(v, w) (u ·N(p))

Siguiendo pues con la cuenta,

N1(p) dA(p)(v, w) = (e1 ·N(p)) dA(p)(v, w) = e1 · (v × w) = dy ∧ dz(p)(v, w)

lo cual termina la demostracion.

5.5. Derivada exterior en variedades

Proposicion 5.5.1. Sea M una variedad de dimension n. Dadas dos parametri-zaciones ϕ : U →M y ψ : V →M tales que ϕ(U) = ψ(V ), se tiene que

(ϕ∗)−1 d ϕ∗ = (ψ∗)−1 d ψ∗


Ωk(ϕ(U))

ψ∗

##

ϕ∗

Ωk+1(ϕ(U))

Ωk(U)d

// Ωk+1(U)

(ϕ∗)−1

OO

Ωk(V )d

// Ωk+1(V )

(ψ∗)−1

dd

Demostracion. Sea f = ψ−1 ϕ el cambio de coordenadas.

ϕ(U) = ψ(V )

U

ϕ88

f// V

ψff

Como ψ f = ϕ, entonces f∗ ψ∗ = ϕ∗. Por lo tanto:

d ϕ∗ = d f∗ ψ∗ = f∗ d ψ∗

Aplicamos (ϕ∗)−1 = (f∗ ψ∗)−1 = (ψ∗)−1 (f∗)−1 a esta igualdad:

(ϕ∗)−1 d ϕ∗ = (ψ∗)−1 (f∗)−1 f∗ d ψ∗ = (ψ∗)−1 d ψ∗

y la proposicion queda probada.

87

5.5 Derivada exterior en variedades

Para definir la derivada exterior en variedades, tiramos para atras la formacomo el pull-back de una parametrizacion, derivamos, y volvemos a subir por laparametrizacion: no depende de cual escojamos por la proposicion anterior. Deesta manera usamos lo que sabemos de la derivada exterior en el espacio euclıdeo.Observar que la propiedad d f∗ = f∗ d en el espacio euclıdeo es esencial parapoder hacer esta definicion.

Definicion 5.5.2. Sea M una variedad de dimension n, ω ∈ Ωk(M), y ϕ : U →Muna parametrizacion. Definimos

dω|ϕ(U)def.= ((ϕ∗)−1 d ϕ∗)(ω|ϕ(U))

Ωk(ϕ(U))dvariedad //

ϕ∗

Ωk+1(ϕ(U))

Ωk(U)deuclıdeo

// Ωk+1(U)

(ϕ∗)−1

OO

La derivada exterior en variedades se apoya en la derivada exterior euclıdea,por lo tanto las siguientes propiedades de la derivada exterior en variedades sededucen directamente de aquellas en el espacio euclıdeo.

Proposicion 5.5.3. Sean M y N variedades, f : M → N un mapa diferenciable,ω ∈ Ωk(M). El operador d : Ωr(M)→ Ωr+1(M) tiene las siguientes propiedades:

d(aω + η) = a dω + dη, ∀a ∈ R (R-linealidad)

d(ω ∧ η) = (dω) ∧ η + (−1)kω ∧ dη

d2 = 0

d(f∗(ω)) = f∗(dω).

Observacion 5.5.4. Tenemos que el operador ∂ de variedades con bordecumple ∂2 = 0, y el operador d de formas diferenciales en variedades cumpled2 = 0. Esto no es coincidencia, y esta dualidad entre ∂ y d sale un poco masa la luz con el teorema de Stokes.

Se puede dar una caracterizacion de la derivada exterior, mediante el siguienteteorema: existe una unica sucesion de operadores d : Ωr(M) → Ωr+1(M),r ∈ N que satisface los primeros tres ıtems de la proposicion anterior y que sif ∈ Ω0(M) entonces (df)(p)(v) = dfp(v) (teorema 14.24 de [Lee]).

88

Capıtulo 6

Integracion de formas envariedades

6.1. Integracion en Hn

Recordemos que A ⊂ Rn es compacto si es cerrado y acotado, o equivalente-mente, si todo cubrimiento abierto de A admite un subcubrimiento finito (teoremade Heine-Borel).

Definicion 6.1.1. Sea f : A ⊂ Hn → R una funcion, definimos su soporte como

sop f = x ∈ A : f(x) 6= 0

Observacion 6.1.2. El soporte de una funcion siempre es un conjunto cerrado.

Definicion 6.1.3. Sea U ⊂ Hn abierto, ω ∈ Ωn(U). Definimos el soporte de ωcomo

sop ω = p ∈ U : ω(p) 6= 0

Observacion 6.1.4. Como podemos escribir de manera unica ω = a dx1 ∧ · · · ∧ dxn,entonces sop ω = sop a.

Definicion 6.1.5. Si sop ω es compacto, definimos∫Uω

def.=

∫Ua

donde∫U a es la integral de Riemann de n variables. En otras palabras,∫

Ua dx1 ∧ · · · ∧ dxn

def.=

∫Ua dx1 · · · dxn

Pedimos que el soporte de ω sea compacto para que el soporte de a lo sea y laintegral

∫U a este bien definida.1

1Hay un problema tecnico que estamos barriendo bajo la alfombra. No esta definida la integralde una funcion (acotada) en un abierto cualquiera, precisamos que sea medible Jordan. Esto sepuede arreglar probando que dados K ⊂ U ⊂ Hn donde U es abierto y K es compacto, entoncesexiste un conjunto medible Jordan D tal que K ⊂ D ⊂ U . De esta forma, podemos definir∫Uω =

∫Dω donde D es un conjunto medible Jordan tal que sopω ⊂ D ⊂ U , y se verifica que no

depende de la eleccion de D. Ver [Lee], capıtulo 16 para mas detalles.

89

6.2 Integracion en un entorno coordenado

Observacion 6.1.6. Se deduce inmediatamente la linealidad de esta “nueva” integral.

“Nueva” porque por ahora no hemos hecho nada novedoso. Pero la siguiente pro-piedad empieza a mostrar por que dijimos que las formas eran buenos integrandos.

Proposicion 6.1.7. Sean U, V ⊂ Hn abiertos, f : U → V un difeomorfismo,ω ∈ Ωn(V ) con soporte compacto. Entonces

Si f preserva la orientacion, entonces∫Vω =

∫Uf∗(ω)

Si f invierte la orientacion, entonces∫Vω = −

∫Uf∗(ω)

Demostracion. Podemos escribir de manera unica ω = a dy1 ∧ · · · ∧ dyn, a : V → Rdiferenciable. Ya sabemos que

f∗(ω) = (a f) det df dx1 ∧ · · · ∧ dxn

de donde f∗(ω) tambien tiene soporte compacto. Usando el teorema de cambio devariable:∫Vω =

∫Va dy1 ∧ · · · ∧ dyn

def.=

∫Va dy1 · · · dyn =

∫U

(a f) |det df | dx1 · · · dxn

Si f preserva orientacion, entonces |det df | = det df y la ultma integral es∫U f∗(ω).

Si f invierte orientacion, entonces |det df | = −det df y la ultima integrales −

∫U f∗(ω).

Esto nos muestra que las integrales de formas se transforman bien bajopull-backs, mientras que las de funciones no. No vale que

∫V a =

∫U a f , su obvio

pull-back. Tiene que aparecer el factor |det df | que mide como f altera el volumen.Las formas lo llevan incorporado.

¿Por que es tan importante esto? Bueno, para integrales en Rn no haymayor problema con las funciones, uno pone ese determinante y asunto arreglado.Sin embargo, las integrales de formas seran una herramienta potente en variedades,donde no podremos hablar de determinante (al menos no antes de introducir lateorıa de formas diferenciales).

6.2. Integracion en un entorno coordenado

Antes de definir como integrar una forma en una variedad, vamos a definircomo integrarla en un cierto entorno coordenado. Luego utilizaremos particion dela unidad para integrar en una variedad. En el caso de una variedad cubierta poruna sola parametrizacion, el segundo paso es innecesario (en la practica, por tanto,generalmente solo sera necesario este primer paso).

90

6.2 Integracion en un entorno coordenado

Definicion 6.2.1. Diremos que una variedad M ⊂ Rk es compacta si lo es comosubconjunto de Rk.

Definicion 6.2.2. Sea M una variedad con borde, ω ∈ Ωk(M). Definimos elsoporte de ω como

sop ω = p ∈M : ω(p) 6= 0

Lema 6.2.3. Sean M,N variedades con borde, f : M → N un difeomorfismo yω ∈ Ωk(N). Entonces

sop f∗(ω) = f−1(sop ω)

En particular, si ω tiene soporte compacto entonces f∗(ω) ∈ Ωk(M) tiene soportecompacto.

Demostracion. Sea q ∈ M . Como f es un difeomorfismo, entonces dfq es unisomorfismo, y por lo tanto (dfq)

∗ lo es tambien. Entonces

f∗(ω)(q) = (dfq)∗(ω(f(q)) = 0 ⇐⇒ ω(f(q)) = 0

Esto prueba que

f (q ∈M : f∗(ω)(q) = 0) = p ∈ N : ω(p) = 0

de donde se deduce la tesis.

En particular, si ϕ : U →M es una parametrizacion, entonces

sopϕ∗(ω) = ϕ−1(sopω|ϕ(U))

luego si ω ∈ Ωk(M) tiene soporte compacto, entonces ϕ∗(ω) ∈ Ωk(U) tambien lotiene.

Proposicion 6.2.4. Sea M una variedad con borde de dimension n orientada y ω ∈Ωn(M) de soporte compacto. Si ϕ : U →M y ψ : V →M son parametrizacionescompatibles con la orientacion de M tales que sop ω ⊂ ϕ(U) = ψ(V ) entonces∫

Uϕ∗(ω) =

∫Vψ∗(ω)

Demostracion. Sabemos de la existencia de ambas integrales por el ejercicio anterior.Sea f : U → V el cambio de coordenadas, f = ψ−1 ϕ, por lo tanto ψ f = ϕ.

ϕ(U) = ψ(V )

U

ϕ88

f// V

ψff

Como ϕ y ψ son difeomorfismos que preservan la orientacion, entonces por compo-sicion f es un difeomorfismo que preserva la orientacion. Aplicando el teorema decambio de variable para formas (la proposicion 6.1.7) a la forma ψ∗(ω) y a f ,∫

Vψ∗(ω) =

∫Uf∗(ψ∗(ω)) =

∫U

(ψ f)∗(ω) =

∫Uϕ∗(ω)

91

6.3 Integracion en una variedad compacta

Figura 6.1: Una particion de la unidad de S1 por cuatro funciones: S1 fue desenro-llado sobre la lınea de abajo, y la lınea punteada superior representa la suma delas funciones.

Gracias a esta proposicion, podemos hacer la siguiente

Definicion 6.2.5. Sea M una variedad de dimension n con borde orientada,ϕ : U →M una parametrizacion compatible con la orientacion de M , ω ∈ Ωn(M)tal que su soporte es compacto y cumple sop ω ⊂ ϕ(U). Definimos∫

Mω =

∫Uϕ∗(ω)

Observacion 6.2.6. Vemos finalmente el interes de las formas diferenciales. Comolos difeomorfismos (las parametrizaciones) van del espacio euclıdeo en la variedad,no podemos hablar de determinante (como hacıamos con un difeomorfismo en elespacio euclıdeo, ahorrandonos por ejemplo en Calculo II a traves del teorema decambio de variable de tener que hablar de formas diferenciales). Por lo tanto lasformas nos permiten integrar en variedades: le podemos dar sentido a la expresion∫M ω definiendola como

∫U ϕ∗(ω).

Observacion 6.2.7. De la linealidad tanto de ϕ∗ como de la integral de formas enHn, se deduce la linealidad de la integral de formas en un entorno coordenado.

6.3. Integracion en una variedad compacta

Ahora consideraremos que M es compacta (de manera que automaticamentetoda forma en M tiene soporte compacto), y no pediremos que ω ∈ Ωn(M) tengasu soporte contenido en algun entorno coordenado.

Definicion 6.3.1. Sea A ⊂ Rn. Decimos que U = Uii∈I es un cubrimientoabierto de A si Ui ⊂ A son abiertos relativos de A tales que A =

⋃i∈I Ui.

Definicion 6.3.2. Sea A ⊂ Rn compacto y U = U1, . . . , Ur un cubrimientoabierto de A. Una particion de la unidad (finita) de A subordinada a U es unafamilia de funciones diferenciables ρi : M → [0, 1] : i = 1, . . . , r que verifican:

sop ρi ⊂ Ui para todo i = 1, . . . , r,∑ri=1 ρi = 1, es decir

∑ri=1 ρi(x) = 1 para todo x ∈M .

(ver figura 6.1).

Teorema de particion de la unidad. Sea M una variedad compacta con bordey sea U = U1, . . . , Ur un cubrimiento abierto de M . Entonces siempre existe unaparticion de la unidad de M subordinada a U .

92


Observacion 6.3.3. Como M es compacta, podemos tomar una particion de launidad finita. Ver [Spi] para un enunciado mas general del teorema donde no serequiere que M sea compacta, pero posiblemente se precisan infinitas funciones ρi.No nos aporta mucho mas, pues nosotros lo utilizaremos para variedades compactas.

Definicion 6.3.4. Sea M una variedad de dimension n compacta con bor-de orientada, ω ∈ Ωn(M). Al ser M compacta existe un atlas finitoA = ϕ1, . . . , ϕr : ϕi : Ui → M compatible con la orientacion de M . TenemosM = ϕ1(U1) ∪ · · · ∪ ϕr(Ur).

Sea ρ1, . . . , ρr una particion de la unidad subordinada a ϕ1(U1), . . . , ϕr(Ur).Tenemos entonces que

ω =∑i

ρiω

con ρiω ∈ Ωn(M) tal que sop (ρiω) ⊂ sop (ρi) ⊂ ϕi(Ui), para todo i = 1, . . . , r.Podemos entonces definir ∫

Mω =

r∑i=1

∫Mρiω

Proposicion 6.3.5. La definicion anterior tiene sentido, es decir, no depende dela eleccion del atlas ni de la particion de la unidad.

Demostracion. Sea A = ψ1, . . . , ψm : ψj : Vj → M otro atlas finito compatiblecon la orientacion de M . Sea µ1, . . . , µm una particion de la unidad subordinadaa ψ1(V1), . . . , ψm(Vm). Tenemos que ver que

r∑i=1

∫Mρiω =

m∑j=1

∫Mµjω

Hagamos la cuenta. Por un lado:

∫Mρiω =

∫M

m∑j=1

µj

ρiω =

m∑j=1

∫Mµjρiω

Sumamos en i:r∑i=1

∫Mρiω =

r∑i=1

m∑j=1

∫Mµjρiω

Misma cuenta con el otro termino:∫Mµjω =

∫M

(r∑i=1

ρi

)µjω =

r∑i=1

∫Mρiµjω

Sumamos en j y permutamos las sumas:

m∑j=1

∫Mµjω =

m∑j=1

r∑i=1

∫Mρiµjω =

r∑i=1

m∑j=1

∫Mµjρiω

y la proposicion queda demostrada.

93


Observacion 6.3.6. Gracias a la linealidad de la integral en un entorno coordenadodeducimos la linealidad de esta integral general, y observamos que si el soportede la forma esta contenido en un entorno coordenado, entonces la integral de laseccion 6.2 y esta coinciden.

Tenemos finalmente bien definido lo que es integrar una forma en una variedad.Ya vimos que las formas en el espacio euclıdeo se transforman bien bajo pull-backspor difeomorfismos, lo cual es esencialmente el teorema de cambio de variable.Probemos el analogo arriba, en las variedades.

Proposicion 6.3.7. Sean M y N variedades de dimension n compactas con bordeorientadas. Si f : M → N es un difeomorfismo que preserva la orientacion yω ∈ Ωn(N), entonces ∫

Mf∗(ω) =

∫Nω

Demostracion. Supongamos primero que existe una parametrizacion ψ : V → Ncompatible con la orientacion tal que sop(ω) ⊂ ψ(V ).

Mf// N

V

ψ

OO

Observar que f−1 ψ : V →M es una parametrizacion de M compatible conla orientacion, luego∫

Mf∗(ω) =

∫V

(f−1 ψ)∗(f∗(ω)) =

∫V

(f f−1 ψ)∗(ω) =

∫Vψ∗(ω) =

∫Nω

Hagamos ahora el caso general. Sea ψ1, . . . , ψr : ψi : Vi → N un atlascompatible con la orientacion de N . Sea ρ1, . . . , ρr una particion de la unidadsubordinada a ψ1(V1), . . . , ψr(Vr). Entonces sop(ρiω) ⊂ ψi(Vi) para todo i, luegoutilizando lo recien demostrado:∫

Nω =

r∑i=1

∫Nρiω =

r∑i=1

∫Mf∗(ρiω) =

r∑i=1

∫M

(ρi f)f∗(ω) =

∫Mf∗(ω)

pues las funciones ρif : M → [0, 1] forman una particion de la unidad subordinadaa (f−1 ψ1)(V1), . . . , (f−1 ψr)(Vr), ya que

∑i(ρi f) = 1 y

sop(ρi f) = f−1(sop ρi) ⊂ f−1(ψi(Vi))

Ejercicio 6.3.8. En las hipotesis de la proposicion anterior, probar que si f invierteorientacion entonces

∫M f∗(ω) = −

∫N ω.

Proposicion 6.3.9. Sea M una variedad de dimension n compacta con bordeorientada, ω ∈ Ωn(M). Entonces∫

−Mω = −

∫Mω

94

6.4 Integracion de funciones en variedades

Demostracion. Supongamos que existe ϕ : U →M una parametrizacion compatiblecon la orientacion de M tal que sop ω ⊂ ϕ(U). Orientemos Hn al reves: seah : Rn → Rn tal que h(x1, x2 . . . , xn) = (−x1, x2 . . . , xn). Definimos −U = h−1(U)y −ϕ = ϕ h. Tenemos entonces −ϕ : −U → −M una parametrizacion de −Mcompatible con su orientacion.∫

−Mω

def.=

∫−U

(−ϕ)∗(ω) =

∫−U

(ϕ h)∗(ω) =

∫−U

(h∗ ϕ∗)(ω)

= −∫Uϕ∗(ω)

def.= −

∫Mω

En general, sea A = ϕ1, . . . , ϕr : ϕi : Ui → M un atlas compatible conla orientacion de M y ρ1, . . . , ρr una particion de la unidad subordinada aϕ1(U1), . . . , ϕr(Ur). Entonces, usando lo recien demostrado:

−∫Mω

def.= −

r∑i=1

∫Mρiω =

r∑i=1

(−∫Mρiω

)=

r∑i=1

∫−M

ρiωdef.=

∫−M

ω

6.4. Integracion de funciones en variedades

Ya habıamos adelantado que la forma de volumen nos permitirıa integrarfunciones en variedades:

Definicion 6.4.1. Sea M una variedad de dimension n compacta con bordeorientada, dV ∈ Ωn(M) la forma de volumen. Si f : M → R es una funciondiferenciable, definimos ∫

Mf

def.=

∫Mf dV

Observacion 6.4.2. Hay que entender bien que esta pasando. dV es una n-forma,f es una 0-forma, por lo tanto f ∧ dV = f dV ∈ Ωn(M), de donde tenemosperfectamente definida la integral del miembro derecho.

Esto es novedoso para variedades de codimension mayor que 0. Para una n-variedad M de codimension 0 esto no nos dice nada nuevo, porque ya sabemosintegrar funciones en Rn. Como todo esta bien definido, la integral de f dV enM es igual a la integral de Riemann de f en M , porque dV = dx1 ∧ · · · ∧ dxn, ytenemos que ∫

Mf dV =

∫Mf dx1 ∧ · · · ∧ dxn

def.=

∫Mf dx1 · · · dxn

En el caso particular en el que n = 1, o sea M ⊂ R, nos queda la inte-gral de Riemann usual, donde la forma de volumen es dt ∈ Ω1(M) tal quedt(x) = id : R→ R.

6.5. Volumenes de variedades

Definicion 6.5.1. Sea M una variedad de dimension n compacta con bordeorientada, dV ∈ Ωn(M) la forma de volumen. Definimos el volumen de M como

vol (M) =

∫MdV

95

6.5 Volumenes de variedades

Area de una superficie

En el caso de una superficie regular con borde S ⊂ R3, llamamos area a suvolumen, que es entonces

area (S) =

∫SdA

Proposicion 6.5.2. Sea S ⊂ R3 una superficie regular compacta orientada conborde cubierta por una parametrizacion compatible ϕ : U → ϕ(U) = S. Entonces

ϕ∗(dA) = ‖ϕu × ϕv‖ du ∧ dv (6.1)

y en particular

area (S) =

∫U‖ϕu × ϕv‖ du dv (6.2)

Demostracion. Tenemos que ϕ∗(dA) = a du ∧ dv, para a : U → R una funciondiferenciable que determinaremos.

ϕ∗(dA)(q)(e1, e2) = a(q) (du ∧ dv)(e1, e2) = a(q)

Por otro lado calculamos

ϕ∗(dA)(q)(e1, e2) = dA(ϕ(q))(dϕq(e1), dϕq(e2)) = N(ϕ(q)) · ϕu(q)× ϕv(q)

=ϕu(q)× ϕv(q)‖ϕu(q)× ϕv(q)‖

· ϕu(q)× ϕv(q) = ‖ϕu(q)× ϕv(q)‖

Tenemos entonces que a = ‖ϕu × ϕv‖, y tenemos entonces

ϕ∗(dA) = ‖ϕu × ϕv‖ du ∧ dv

El area de una superficie se calcula entonces ası:

area (S) =

∫SdA =

∫Uϕ∗(dA) =

∫U‖ϕu × ϕv‖ du ∧ dv

def.=

∫U‖ϕu × ϕv‖ du dv

Ver [dC] §2.8 para una interpretacion geometrica de la formula 6.2.

Longitud de una curva

En el caso de una variedad C de dimension 1, llamamos longitud a su volumen,que es entonces

long (C) =

∫Cds

Proposicion 6.5.3. Sea C ⊂ Rk una variedad de dimension 1 compacta conexaorientada con borde cubierta por una parametrizacion compatible con la orientacionα : [a, b]→ C. Entonces

α∗(ds) = ‖α′‖ dt (6.3)

y en particular

long (C) =

∫ b

a‖α′(t)‖ dt (6.4)

96

6.6 Integracion en superficies

Demostracion. Sea T : C → Rk el campo unitario tangente compatible con la

orientacion. Observar que T (α(t)) = α′(t)‖α′(t)‖ para todo t. Por lo tanto

α∗(ds)(t)(v) = ds(α(t))(dαt(v)) = ds(α(t))(α′(t) v)

= α′(t) v · α′(t)

‖α′(t)‖= ‖α′(t)‖ v

= ‖α′(t)‖ dt(v)

donde dt es la forma definida en la observacion 6.4.2. Tenemos puesα∗(ds) = ‖α′‖ dt de donde se deduce que

long (C) =

∫Cds =

∫[a,b]

α∗(ds) =

∫[a,b]‖α′‖ dt =

∫ b

a‖α′(t)‖ dt

6.6. Integracion en superficies

Sea S ⊂ R3 una superficie regular compacta con borde orientada yϕ : U → S = ϕ(U) una parametrizacion de S que cubre toda la superficie yes compatible con su orientacion. Consigamos algunas formulas explıcitas para elcalculo.

Integracion de campos escalares en superficies

Sea f : S → R un campo escalar en S, entonces∫Sf

def.=

∫Sf dA =

∫Uϕ∗(f dA) =

∫Uϕ∗(f) ∧ ϕ∗(dA)

=

∫U

(f ϕ) ‖ϕu × ϕv‖ du ∧ dv

def.=

∫U

(f ϕ) ‖ϕu × ϕv‖ du dv

Integracion de 2-formas en superficies

Sea ω ∈ Ω2(R3) y la restringimos a S. Si ω = a dy ∧ dz + b dz ∧ dx+ c dx ∧ dyy definimos el campo vectorial F = (a, b, c) : S → R3, entonces∫

Sω =

∫Uϕ∗(ω)

=

∫U

((a ϕ)ϕ∗(dy ∧ dz) + (b ϕ)ϕ∗(dz ∧ dx) + (c ϕ)ϕ∗(dx ∧ dy)

)Si ϕ∗(dy ∧ dz) = f du ∧ dv para cierta f : U → R, entonces por un lado tenemosque

ϕ∗(dy ∧ dz)(q)(e1, e2) = f(q) (du ∧ dv)(e1, e2) = f(q)

y por otro lado, conseguimos que

ϕ∗(dy∧dz)(q)(e1, e2) = (dy∧dz)(ϕ(q))(dϕq(e1), dϕq(e2)) = (dy∧dz)(ϕu(q), ϕv(q))

97

6.6 Integracion en superficies

de dondeϕ∗(dy ∧ dz) = (dy ∧ dz)(ϕu, ϕv) du ∧ dv (6.5)

Conseguimos formulas analogas para ϕ∗(dz∧dx) y ϕ∗(dx∧dy), de donde concluimosgracias al ejemplo 1.3.23 que

∫Sω =

∫U

⟨F ϕ,

((dy ∧ dz)(ϕu, ϕv), (dz ∧ dx)(ϕu, ϕv), (dx ∧ dy)(ϕu, ϕv)

)⟩du ∧ dv

=

∫U

⟨F ϕ,ϕu × ϕv

⟩du dv

Integracion de campos vectoriales en superficies

Algo que no sabemos hacer aun es integrar un campo vectorial F : S → R3.Si N : S → R3 es el campo normal unitario compatible con la orientacion de S,entonces lo que haremos sera integrar en S la funcion F ·N . Esto tiene un sentidofısico, lo cual justifica el nombre que le daremos, flujo.

Definicion 6.6.1. Sea F : S → R3 un campo vectorial. Definimos el flujo de F atraves de S mediante ∫

SF

def.=

∫SF ·N def.

=

∫SF ·N dA

Observacion 6.6.2. Hay que asegurarse de entender bien que significa cada miembro.A la izquierda, estamos definiendo lo que es integrar un campo vectorial en unasuperficie, algo que no sabemos hacer. Al medio, definimos integrar ese campovectorial como integrar su producto escalar con N , lo cual nos da una funciondiferenciable, que sabemos integrar. Es por definicion el miembro de la derecha:integrar la forma F ·N dA.

Veamos explıcitamente como integrar un campo vectorial. Escribamos F =(F1, F2, F3) y N = (N1, N2, N3).∫

SF

def.=

∫SF ·N dA =

∫S

(F1N1 + F2N2 + F3N3) dA

=

∫S

(F1N1 dA+ F2N2 dA+ F3N3 dA)

Recordemos el lema 5.4.15,

N1 dA = dy ∧ dz N2 dA = dz ∧ dx N3 dA = dx ∧ dy

por lo tanto usando la ecuacion (6.5) y sus expresiones analogas, conseguimos que∫SF =

∫S

(F1 dy ∧ dz + F2 dz ∧ dx+ F3 dx ∧ dy)

=

∫Uϕ∗(F1 dy ∧ dz + F2 dz ∧ dx+ F3 dx ∧ dy)

=

∫U

((F1 ϕ)ϕ∗(dy ∧ dz) + (F2 ϕ)ϕ∗(dz ∧ dx) + (F3 ϕ)ϕ∗(dx ∧ dy)

)=

∫U

⟨(F ϕ), ϕu × ϕv

⟩du dv

98

6.7 Integracion en curvas

Esto encaja perfectamente con el paragrafo anterior. Tenemos entonces:∫SF =

∫Sω2F

donde ω2F se define como en la seccion 2.5.

6.7. Integracion en curvas

Sea C ⊂ R3 una variedad de dimension 1 compacta conexa orientada con borde,parametrizada por α : [a, b]→ C compatible con su orientacion.

Integracion de campos escalares en curvas

Sea f : C → R un campo escalar en C, entonces:∫Cf

def.=

∫Cf ds =

∫[a,b]

α∗(f ds) =

∫[a,b]

(f α) ‖α′‖ dt =

∫ b

a(f(α(t)) ‖α′(t)‖ dt

Integracion de 1-formas en curvas

Sea ω ∈ Ω1(R3) y la restringimos a C. Si ω = a dx + b dy + c dz,α(t) = (x(t), y(t), z(t)) y definimos el campo vectorial F = (a, b, c) : S → R3,entonces ∫

Cω =

∫[a,b]

α∗(ω)

=

∫[a,b]

α∗(a dx+ b dy + c dz)

=

∫[a,b]

((a α)α∗(dx) + (b α)α∗(dy) + (c α)α∗(dz)

)Si α∗(dx) = f dt entonces por un lado α∗(dx)(t)(1) = f(t), y por otro lado

α∗(dx)(t)(1) = dx(α(t))(dαt(1)) = dx(α′(t)) = x′(t)

de dondeα∗(dx) = x′ dt (6.6)

Analogamente α∗(dy) = y′ dt y α∗(dz) = z′ dt, y por lo tanto∫Cω =

∫[a,b]

⟨(F α), α′

⟩dt =

∫ b

a

⟨F (α(t)), α′(t)

⟩dt

Integracion de campos vectoriales en curvas

Como en superficies, no sabemos aun integrar campos vectoriales en curvas.Definimos T : C → R3 el campo unitario tangente compatible con la orientacionde C, y lo que haremos sera integrar el campo escalar F · T . Esto tambien tiene unsentido fısico que justifica su nombre, circulacion.

99

6.8 Teorema de Stokes

Definicion 6.7.1. Sea F : C → R3 un campo vectorial. Definimos la circulacionde F a lo largo de C mediante∫

CF

def.=

∫CF · T def.

=

∫CF · T ds

por lo tanto:∫CF

def.=

∫CF · T ds =

∫C

(F1 T1 + F2 T2 + F3 T3) ds

=

∫C

(F1 T1 ds+ F2 T2 ds+ F3 T3 ds)

Recordemos que T1 ds = dx T2 ds = dy T3 ds = dz (lema 5.4.12), por lotanto usando la expresion (6.6) y sus expresiones analogas, conseguimos que∫

CF =

∫C

(F1dx+ F2 dy + F3 dz)

=

∫[a,b]

α∗(F1dx+ F2 dy + F3 dz)

=

∫[a,b]

((F1 α)α∗(dx) + (F2 α)α∗(dy) + (F3 α)α∗(dz)

)=

∫[a,b]

⟨(F α), α′

⟩dt

De nuevo, esto encaja perfectamente con el paragrafo anterior. Tenemos enton-ces: ∫

CF =

∫Cω1F

donde ω1F se define como en la seccion 2.5.

6.8. Teorema de Stokes

Con toda la maquinaria que hemos desarrollado, podemos expresar el teoremade Stokes casi sin palabras: ∫

Mdω =

∫∂M

ω

Tenemos definido lo que es una variedad y su orientacion, el borde de una variedady su orientacion, la integral de una forma diferencial en una variedad y la derivadaexterior de una forma en una variedad: todo esta listo. Ademas, en la practica elteorema es interesante leerlo de izquierda a derecha o de derecha a izquierda.

Teorema de Stokes. Sea M una variedad de dimension n compacta con bordeorientada, ω ∈ Ωn−1(M). Consideremos ∂M orientado con la orientacion bordeinducida por M . Entonces: ∫

Mdω =

∫∂M

ω

Observacion 6.8.1. Si ∂M = ∅ entonces definimos∫∂M ω = 0, y el teorema tambien

se aplica.

100


Demostracion. Los operadores∫M , d e

∫∂M son lineales, por lo tanto podemos

asumir que ω es tal que sop ω ⊂ ϕ(U), donde ϕ : U →M es una parametrizacioncompatible con la orientacion de M y U ⊂ Hn es un abierto.

Supongamos primero que U es un abierto de Rn. Como U ∩ ∂Hn = ∅,entonces ϕ(U) ∩ ∂M = ∅, y por lo tanto∫

Mdω =

∫Uϕ∗(dω) =

∫Ud(ϕ∗(ω))

∫∂M

ω = 0

Queremos ver entonces que la integral de la izquierda es 0. Sea ν = ϕ∗(ω) ∈Ωn−1(U), por lo tanto se escribe de manera unica como

ν =

n∑i=1

(−1)i−1 fi dx1 ∧ · · · ∧ dxi ∧ · · · ∧ dxn

donde dxi significa que el termino fue omitido y fi : U → R son funcionesdiferenciables. El factor (−1)i−1 se introduce por conveniencia, pues ahora tenemos:

dν =

(n∑i=1

∂fi∂xi

)dx1 ∧ · · · ∧ dxn

Como dν ∈ Ωn(U), podemos integrarla:∫Rndν =

n∑i=1

∫Rn

∂fi∂xi

dx1 · · · dxn

usando la linealidad de la integral. Por comodidad escribimos la integral sobre Rny no sobre U ⊂ Rn, valiendo 0 allı donde no esta definida. Ahora podemos usar elteorema de Fubini (o de integrales iteradas) para integrar en el orden que deseemos,ası que para cada i, integremos primero el termino i-esimo con respecto a xi:∫

Rndν =

n∑i=1

∫Rn−1

(∫ +∞

−∞

∂fi∂xi

dxi

)dx1 · · · dxi · · · dxn

Estamos tomando la integral∫ +∞−∞

∂fi∂xi

dxi sobre (−∞,+∞), pero como ν tienesoporte compacto entonces una primitiva del integrando se anula fuera de unintervalo suficientemente grande. Aplicando la regla de Barrow, obtenemos∫ +∞

−∞

∂fi∂xi

dxi = 0

Esto vale para todo i = 1, . . . , n, de donde:

0 =

∫Rndν =

∫Mdω

que es lo que querıamos probar.

101


Supongamos ahora que U es un abierto de Hn. Tenıamos la expre-sion ∫

Mdω =

∫Rndν =

n∑i=1

∫Rn

∂fi∂xi

dx1 · · · dxn

El mismo razonamiento hecho recien vale ahora para todas las variables x1, . . . , xn−1,pues allı Hn es igual a Rn: se anulan todos los sumandos salvo el ultimo. Tenemosentonces:∫

Rndν =

∫Rn

∂fn∂xn

dx1 · · · dxn =

∫Rn−1

(∫ +∞

0

∂fn∂xn

dxn

)dx1 · · · dxn−1

Como ν tiene soporte compacto, fn se anula si xn esta fuera de un intervalo de laforma (0, a) para un a suficientemente grande, pero aunque fn(x1, . . . , xn−1, a) = 0,tenemos que fn(x1, . . . , xn−1, 0) 6= 0: es aquı donde cambia el razonamiento conrespecto al caso anterior (logico, pues en este caso

∫∂M ω 6= 0). Aplicando el teorema

fundamental del calculo como antes, obtenemos:∫Mdω =

∫Rn−1

(∫ a

0

∂fn∂xn

dxn

)dx1 · · · dxn−1

=

∫Rn−1

−fn(x1, . . . , xn−1, 0) dx1 · · · dxn−1

Calculemos por otro lado∫∂M ω. Como ν = ϕ∗(ω),∫

∂Mω =

∫∂Hn

ν

pero ya vimos que

ν =

n∑i=1

(−1)i−1 fi dx1 ∧ · · · ∧ dxi ∧ · · · ∧ dxn

y en este caso, como xn = 0 en ∂Hn, entonces dxn = 0 en ∂Hn, luego en ∂Hn solosobrevive el ultimo sumando. Integramos, entonces:∫

∂Mω =

∫∂Hn

ν =

∫∂Hn

(−1)n−1fn(x1, . . . , xn−1, 0) dx1 · · · dxn−1

Ya sabemos que si orientamos ∂Hn ' Rn−1 como borde de Hn, esta orientaciones la misma que la usual de Rn−1 cuando n es par, y es la opuesta cuando n esimpar, de donde:∫

∂Mω = (−1)n

∫Rn−1

(−1)n−1fn(x1, . . . , xn−1, 0) dx1 · · · dxn−1

pero (−1)n(−1)n−1 = −1, por lo tanto∫∂M

ω =

∫Mdω

concluyendo la demostracion.

102


Leyendolo de izquierda a derecha, tenemos:

Corolario 6.8.2. Si M es una n-variedad compacta sin borde orientada y ω ∈Ωn(M) es exacta, entonces ∫

Mω = 0

Observacion 6.8.3. El recıproco tambien vale: si ω es tal que que∫M ω = 0 para

toda n-variedad M compacta sin borde, entonces ω es exacta. Esto no es sencillode probar: se deduce del teorema de de Rham, que pertenece a una teorıa masavanzada de la que aquı tratamos. Ver [ST]. Observar sin embargo que sı lo hemosdemostrado para 1-formas y curvas (teorema 3.2.1).

Leyendolo de derecha a izquierda, tenemos:

Corolario 6.8.4. Si M es una n-variedad compacta con borde orientada yω ∈ Ωn−1(M) es cerrada, entonces:∫

∂Mω = 0

Observacion 6.8.5. El teorema de Stokes tambien se aplica a “variedades conaristas” (cf. [Spi]) o “variedades con singularidades” (cf. [Ivo], §10.6): por ejemplo,un cilindro de altura finita (con las tapas) o un cuadrado en R2 no son variedadescon borde como nosotros las definimos, pero igual podemos aplicar el teorema deStokes.

Una de las hipotesis del teorema de Stokes es la compacidad de la variedad.Veamos que no podemos ignorarla:

Contraejemplo 6.8.6. Sea M la variedad de dimension 2 sin bordeM = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1, orientada con la orientacion usual de R2.Esta acotada, pero no es cerrada, luego no es compacta. Definimos ω ∈ Ω1(M)mediante ω = −y dx + x dy, entonces tiene soporte compacto. Si integramos dωsobre M obtenemos 2π, pero si integramos ω sobre ∂M = ∅ nos da 0. Luego elteorema de Stokes no se aplica.

Hagamos un ejemplo en detalle.

Ejemplo 6.8.7. Sea ω ∈ Ω2(R3) cerrada y sea F su campo asociado. Sabiendo queF cumple

F (x, y, 0) = (√

1 + x2 + y2 cosx, ex, y − 1)

F (x, y, 1) = (√

1 + x2 + y2 cosx, ex, 0)

calcular su flujo a traves de la superficie cilındrica S = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 =1, 0 ≤ z ≤ 1 orientada con la normal entrante.

Solo podemos manejar la informacion que tenemos mediante el teoremade Stokes. Sea M el cilindro relleno orientado con la orientacion usual de R3, A elcırculo inferior, B el cırculo superior. Entonces:

(∂M, borde de M) = (S, saliente) ∪ (B, saliente) ∪ (A, saliente)

= −S ∪B ∪A

103


Aplicamos el teorema de Stokes: como ω es cerrada,

0 =

∫Mdω =

∫M

div F =

∫−S

F +

∫AF +

∫BF

Por lo tanto: ∫SF =

∫AF +

∫BF

Parametrizamos A por ϕ : U = (0, 1) × (0, 2π) → A, ϕ(r, θ) = (r cos θ, r sen θ, 0).Tenemos que ϕr ×ϕθ(r, θ) = (0, 0, r): es la normal entrante, por lo tanto ϕ inviertela orientacion.∫

AF = −

∫UF (ϕ(r, θ)) · ϕr × ϕθ = −

∫U

(r sen θ − 1) r

= −∫ 2π

0dθ

∫ 1

0(r sen θ − r) dr = π

ParametrizamosB con ϕ : U → B, ϕ(r, θ) = (r cos θ, r sen θ, 1). De nuevo, ϕr×ϕθ =(0, 0, r), pero en este caso es la normal saliente: ϕ preserva la orientacion. Entonces:∫

BF =

∫UF (ϕ(r, θ)) · ϕr × ϕθ = 0

Concluimos entonces que ∫Sω =

∫SF =

∫AF = π

6.8.1. Los teoremas clasicos

Observacion 6.8.8. Uno podrıa ver el teorema fundamental del calculo como uncaso particular del teorema general de Stokes, y demostrarlo a partir de este. Peroestarıamos cayendo en un cırculo vicioso, porque recien demostramos el teoremade Stokes a partir del teorema fundamental del calculo...

Teorema del gradiente. Sea C ⊂ R3 una variedad de dimension 1 compactacon borde tal que existe α : [a, b] → C una parametrizacion compatible con laorientacion de C y sea f : C → R diferenciable. Entonces∫

Cdf = α(b)− α(a)

o, en su notacion mas clasica:∫C∇f · T ds = α(b)− α(a)

Demostracion. Basta observar que ∂C = α(a), α(b) (una variedad de dimension0), tener cuidado con la orientacion del borde y aplicar el teorema de Stokes.

Teorema de Green. Sea U ⊂ R2 compacto, F = (a, b) : U → R un campoescalar, entonces ∮

∂Ua dx+ b dy =

∫∫U

(∂b

∂x− ∂a

∂y

)dx dy

104


Demostracion. Basta observar que d(a dx+ b dy) = ∂b∂x −

∂a∂y y aplicar el teorema

de Stokes.

Teorema de Stokes clasico. Sea S ⊂ R3 una superficie compacta con bordeorientada, F : S → R3 un campo vectorial, N : S → R3 el campo normal unitariocompatible con la orientacion de S. Entonces∫

∂SF =

∫S

rot F

o, en su notacion mas clasica, si ∂S = C:∫CF · T ds =

∫S

rot F ·N dA

Demostracion. ∫S

rot F =

∫Sω2

rot F =

∫Sdω1

F =

∫∂Sω1F =

∫∂SF

Observacion 6.8.9. Esto parece muy trivial pero no lo es tanto: hay que asegurarsede comprender cada paso. El primer paso es usar que

∫S X =

∫S ω

2X , probado en

la seccion 6.6. El segundo es que ω2rot F = dω1

F : esto lo vimos en la observacion2.5.4. Luego aplicamos el teorema de Stokes generalizado. Y finalmente usamosque

∫C Y =

∫C ω

1Y , probado en la seccion 6.7

Teorema de la divergencia de Gauss. Sea M ⊂ R3 una variedad compactaorientada de dimension 3 con borde, F : M → R3 un campo vectorial. Entonces∫

∂MF =

∫M

div F

o, en su notacion mas clasica, si ∂M = S:∫SF ·N dA =

∫∫∫M

div F

Demostracion.∫M

div F =

∫Mω3

div F =

∫Mdω2

F =

∫∂M

ω2F =

∫∂M

F

6.8.2. Interpretacion fısica de los operadores clasicos

Gradiente

Sabemos de Calculo II que el gradiente de un campo escalar es un campovectorial que apunta en la direccion de mayor crecimiento del campo escalar.

105


Rotacional

Sea p ∈ R3, ε > 0, N un campo normal fijo y Dε = Dε(p) el disco perpendiculara N(p), orientado por N (normal saliente). Sea F : Dε → R3. Tenemos el teoremade Stokes clasico: ∫

Dε

rot F ·N dA =

∫∂Dε

F · T ds

Aplicamos el teorema del valor medio para integrales y obtenemos, si pε ∈ Dε:∫Dε

rot F ·N dA = (rot F ·N)(pε) area (Dε)

Lo juntamos con el teorema de Stokes clasico y tenemos:∫∂Dε

F · T ds = (rot F ·N)(pε) area (Dε)

Si hacemos tender ε a 0,

(rot F ·N)(p) = lımε→0

1

area (Dε)

∫∂Dε

F · T ds

Por lo tanto el rotacional de un campo vectorial en un punto es la circulacionpor unidad de area. Si F es el flujo de un fluido y el rotacional es nulo, F esirrotacional , no tiene remolinos. Por ejemplo, si coloco en el fluido una pequenarueda con aspas se mueve con el fluido, pero no rota alrededor de su eje. Cuidado,porque el drenado de un fluido en una pileta es irrotacional aunque de vueltas.

Divergencia

Sea p ∈ R3, ε > 0, Mε = Bε(p), orientada con la orientacion de R3. SeaF : Mε → R3. Tenemos el teorema de Gauss:∫∫∫

Mε

div F =

∫∂Mε

F ·N dA

Aplicamos el teorema del valor medio para integrales y obtenemos, si pε ∈Mε.∫∫∫Mε

div F = (div F )(pε) vol (Mε)

Lo juntamos con el teorema de Gauss y tenemos:

(div F )(pε) =1

vol (Mε)

∫∂Mε

F ·N dA

Si hacemos tender ε a 0,

(div F )(p) = lımε→0

1

vol (Mε)

∫∂Mε

F ·N dA

Por lo tanto la divergencia de un campo vectorial en un punto es el flujo porunidad de volumen. Si F es el campo de velocidad de un gas (o un fluido), ladivergencia nos da la tasa de expansion por unidad de volumen.

Si la divergencia es positiva, el gas se expande. Si la divergencia es nega-tiva, el gas se comprime. Si la divergencia es nula, el gas es incompresible. En estecaso decimos que el campo F es solenoidal.

106

6.9 Homotopıa

6.9. Homotopıa

Recordemos que querıamos demostrar que integrar la forma de angulo encualquier curva cerrada que rodea al origen siempre da 2π, siempre y cuando serecorra la curva una sola vez. Formalizando un poco: el truco esta en que la formade angulo es cerrada en R2 \ (0, 0); que si dos curvas cerradas rodean el origen,entonces son homotopicas; y que ya vimos que la integral de la forma de anguloen una curva cerrada que rodea el origen da 2π. Hagamos el trabajo directamentepara curvas en variedades.

Definicion 6.9.1. Sea M una variedad con borde. Dos curvas cerradas α, γ :S1 →M son homotopicas si existe un mapa F : S1 × [0, 1]→M diferenciable talque:

F (x, 0) = α(x) ∀x ∈ S1

F (x, 1) = γ(x) ∀x ∈ S1

Podemos pensar el segundo parametro como el tiempo, por lo tanto dos curvas sonhomotopicas si es posible deformar diferenciablemente la una en la otra sin salirsede M .

Esta definicion es enteramente analoga a la de curvas homotopicas en el espacioeuclıdeo; sin embargo no esta de mas reiterarla.

Lema 6.9.2. Sean M y N variedades, M sin borde y N con borde. EntoncesM × N es una variedad con borde tal que dim (M × N) = dim M + dim N , y∂(M ×N) = M × ∂N .

Demostracion. Tomemos ϕ : U ⊂ Rn → M y ψ : V ⊂ Hm → N parame-trizaciones. Tenemos que U × V ⊂ Rn × Hm ' Hn+m es abierto. Tomamosϕ× ψ : U × V →M ×N definida como

(ϕ× ψ)(u, v) = (ϕ(u), ψ(v))

y es una parametrizacion de M ×N , luego M ×N es una variedad con borde dedimension n+m. Ademas:

∂(M ×N) =

= (p1, p2) ∈M ×N : (p1, p2) = (ϕ× ψ)(q1, q2), (q1, q2) ∈ (U × V ) ∩ ∂Hn+m= (p1, p2) ∈M ×N : (p1, p2) = (ϕ× ψ)(q1, q2), q1 ∈ U, q2 ∈ (V ∩ ∂Hm)= M × ∂N

Observar que si M,N son variedades orientadas, entonces M ×N adquiere unaorientacion natural (ver [GP], p. 97 para mas detalles).

Corolario 6.9.3. Sea M una variedad orientada. Si N = [0, 1] y consideramos enM ×0 y M ×1 las orientaciones inducidas como borde de M × [0, 1], entoncesel difeomorfismo F : M × 0 → M × 1 definido por F (x, 0) = (x, 1) invierteorientacion.

107

6.9 Homotopıa

Demostracion. Esto es cierto si dFp : Tp(M × 0) → TF (p)(M × 1) invierteorientacion para todo p ∈ M × 0. Pero dFp actua como la identidad, y TpMesta orientado al reves en el codominio que en el dominio (se ve geometricamente),por lo tanto dFp invierte orientacion.

Observacion 6.9.4. El producto de variedades con borde no tiene por que ser unavariedad con borde. Por ejemplo, [0, 1]2 ⊂ R2 no lo es, y es producto de variedadescon borde.

Proposicion 6.9.5. Sea M una variedad, α, γ : S1 → M dos curvas cerradasdiferenciables y homotopicas. Si ω ∈ Ω1(M) es cerrada, entonces∫

αω =

∫γω

Demostracion. Como α y γ son homotopicas, existe F : S1 × [0, 1]→M diferen-ciable tal que

F (x, 0) = α(x) ∀x ∈ S1

F (x, 1) = γ(x) ∀x ∈ S1

Usamos el hecho de que dω = 0, el teorema de Stokes y el corolario anterior:

0 =

∫S1×[0,1]F ∗(dω) =

∫S1×[0,1]d(F ∗ω) = −

∫S1×0

F ∗(ω) +

∫S1×1F ∗(ω) = −

∫αω +

∫γω

Ejemplo 6.9.6. La integral de lınea de la forma de angulo ω ∈ Ω1(R2 \ (0, 0)) da2π sobre cualquier curva cerrada que rodea al origen (recorrida una vez), pues yavimos que esto valıa para S1 (ejemplo 3.2.4) y cualquier otra curva cerrada querodee el origen (y se recorra una vez) es homotopica a S1.

Ahora estamos en condiciones de demostrar el teorema enunciado en la seccion2.6:

Teorema 6.9.7. Si U ⊂ R2 es un abierto simplemente conexo, entonces toda1-forma cerrada ω ∈ Ω1(U) es exacta.

Demostracion. Sea ω ∈ Ω1(U) cerrada. Si α es una curva cerrada en U , entonces∫α ω = 0, pues U es simplemente conexo y por la proposicion anterior. Pero esto es

equivalente con que ω sea exacta, gracias al teorema 3.2.1.

108

Parte II

Geometrıa diferencial de curvasy superficies

Capıtulo 1

Geometrıa diferencial de curvas

1.1. Definicion y ejemplos

Vamos a desarrollar nuestra teorıa (local) de curvas bajo la hipotesis deregularidad. Lo que queremos es que en cada punto de la curva siempre exista unvector tangente (no nulo).

Definicion 1.1.1. Una curva regular es una aplicacion α : [a, b]→ R3 diferenciabletal que α′(t) 6= 0 para todo t ∈ [a, b].

En terminos cinematicos, podemos pensar α′ como la velocidad de la curva,entonces la condicion de regularidad es que la curva nunca se detenga.

Observacion 1.1.2. Si la curva es plana (i.e. esta contenida en un plano), entoncespodemos tomar el codominio de la curva como R2.

Observacion 1.1.3. Decir que una curva es regular no es lo mismo que decir que esuna variedad de dimension 1. Si le pedimos a una curva que sea una variedad dedimension 1, le estamos pidiendo (basicamente) que no se autointersecte (si no, enningun entorno del punto de autointerseccion se parece a R). Una curva regularsı puede autointersectarse.

Ejemplo 1.1.4. La catenaria es la curva descrita por un hilo uniforme suspendidopor sus extremos y sometido a un campo gravitatorio uniforme (ver figura 1.1a).Se parametriza mediante

α(t) =

(t, a cosh

(t

a

))donde a es una constante real no nula.

Ejemplo 1.1.5. La tractriz es la curva descrita por el extremo de una cuerda tirantede longitud l a medida que el otro extremo se mueve por el eje y (ver figura 1.1b).Se parametriza mediante

α(t) =

(l

cosh t,±l (t− tanh t)

)Ejemplo 1.1.6. La helice (ver figura 1.2) es la curva regular parametrizada por

α(t) = (a cos t, a sen t, bt)

110


0

2

4

6

8

10

-3 -2 -1 0 1 2 3

(a) Catenaria con a = 1

-4

-2

0

2

4

0 0.5 1 1.5 2

(b) Tractriz con l = 2

Figura 1.1: Tractriz y catenaria

-15 -10 -5 0 5 10 -15 -10 -5 0 5 10 15

0

5

10

15

20

Figura 1.2: Helice con a = 12, b = 1

Ejemplo 1.1.7. Existen curvas diferenciables no regulares. Por ejemplo, seaα : R→ R2, definida por:

α(t) = (t3, t2)

(ver figura 1.3a). Claramente es diferenciable en 0, y sin embargo ‖α′(0)‖ =‖(0, 0)‖ = 0, luego la curva no es regular.

Ejemplo 1.1.8. Veamos un ejemplo de una curva regular que se autointersecta, i.e.que no es inyectiva. Definamos β : R→ R2 por:

β(t) = (t3 − 4t, t2 − 4)

(ver figura 1.3b). Tenemos que β(2) = β(−2) = (0, 0), por lo tanto β no es inyectiva,sin embargo es regular, pues:

‖β′(t)‖ = ‖(3t2 − 4, 2t)‖ 6= 0, ∀t ∈ R

Notacion. Si α : [a, b]→ R3 es una curva regular, escribimos l(α) para la longitudde la curva como la definimos en 6.5, le llamaremos longitud de arco. Tenemosentonces que

l(α) =

∫ b

a‖α′(t)‖ dt

111


0

2

4

6

8

10

-30 -20 -10 0 10 20 30

(a) Traza de α

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-15 -10 -5 0 5 10 15

(b) Traza de β

Figura 1.3: Curva diferenciable no regular y curva regular que se autointersecta

Entonces l(α) nos indica cuanto “mide” la traza de la curva. De esta manera,podemos definir lo que serıa una parametrizacion natural de la curva, o parametri-zacion por longitud de arco, pidiendo que b− a = l(α), o que la curva se recorra avelocidad 1 constante.

Definicion 1.1.9. Una curva regular α : [a, b] → R3 esta parametrizada porlongitud de arco si ‖α′(t)‖ = 1 para todo t ∈ [a, b].

En general, para una curva parametrizada por longitud de arco usaremos elparametro s en vez del parametro t.

Proposicion 1.1.10. Toda curva regular α : [a, b] → R3 se puede parametrizarpor longitud de arco (i.e. es posible obtener una curva α parametrizada por longitudde arco que tenga la misma traza que α).

Demostracion. Definamos s : [a, b] → R como s(t) =∫ ta ‖α

′(τ)‖ dτ , es decir, lalongitud del arco hasta α(t).

s es derivable, y s′(t) = ‖α′(t)‖ 6= 0, por lo tanto s es estrictamente cre-ciente, entonces es inyectiva: por el teorema de la funcion inversa1, existes−1 : [0, l(α)]→ [a, b], es derivable y verifica (s−1)′(t) = 1

s′(s−1(t))= 1‖α′(s−1(t))‖

[a, b]α // R3

[0, l(α)]

s−1

OO

α

;;

Definimos α = α s−1, tenemos que verificar que ‖α′(t)‖ = 1 para todo t. Usamos

1Recordemos que el teorema de la funcion inversa en una variable nos dice que si f es unafuncion real de variable real, de clase C1, y f tiene derivada no nula en a ∈ R, entonces f esinvertible en un entorno de a, su inversa es C1 y se cumple que (f−1)′(f(a)) = 1

f ′(a).

112

1.2 Triedro de Frenet

la regla de la cadena:

‖α′(t)‖ = ‖α′(s−1(t))(s−1)′(t)‖= ‖α′(s−1(t))‖ |(s−1)′(t)|

= ‖α′(s−1(t))‖ 1

‖α′(s−1(t))‖= 1

Por lo tanto, no perdemos generalidad en la teorıa si le pedimos a una curvaregular que este parametrizada por longitud de arco.

1.2. Triedro de Frenet

A cada punto de una curva regular parametrizada por longitud de arco le vamosa asociar un sistema de referencia llamado triedro de Frenet.

Definicion 1.2.1. Si α : [a, b] → R3 es una curva regular parametrizada porlongitud de arco, entonces definimos los siguientes vectores unitarios (de norma 1):

t(s), el vector tangente, es el que verifica t(s) = α′(s).

n(s), el vector normal, es el vector unitario que verifica t′(s) = k(s)n(s), conk(s) > 0.

b(s), el vector binormal, esta definido por b(s) = t(s) ∧ n(s).

La terna t(s), n(s), b(s) se llama triedro de Frenet (ver figura 1.4). Este determinaciertos planos:

El plano osculador es el plano generado por t(s) y n(s).

El plano normal es el plano generado por por n(s) y b(s).

El plano rectificante es el plano generado por t(s) y b(s).

Observacion 1.2.2. Esta claro que estos vectores efectivamente conforman un triedro:por definicion, el vector normal es perpendicular al vector tangente, y el binormales perpendicular al normal y al tangente. Para que el vector normal (y por lo tantoel binormal) esten bien definidos, es que pedimos que k(s) 6= 0 (esto es, que lacurva nunca es localmente recta).

De la definicion de vector normal resulta claro que k(s) = ‖t′(s)‖ = ‖α′′(s)‖,entonces k(s) mide la velocidad a la que se mueve el vector tangente en un entornodel punto. Esto motiva la siguiente

Definicion 1.2.3. El numero positivo k(s) antes definido es la curvatura de α ens.

Si en un entorno del punto la curva es “casi recta”, la curvatura sera cercana a0; si la curva es muy vertiginosa, la curvatura sera grande.

Observacion 1.2.4. b′(s) ⊥ t(s).

113


tb

n

t

b

n

t

b

n

tb

b

n

tn

Figura 1.4: Triedro de Frenet en movimiento

Demostracion. Derivemos la expresion b(s) · t(s) = 0:

b′(s) · t(s) + b(s) · t′(s) = b′(s) · t(s) + b(s) · k(s)n(s) = b′(s) · t(s) = 0

Esto nos permite hacer la siguiente definicion, parecida a la de la curvatura:

Definicion 1.2.5. Si α : [a, b] → R3 es una curva regular parametrizada porlongitud de arco, definimos la torsion de α en s, τ(s) de modo que b′(s) = τ(s)n(s).

Observacion 1.2.6. La torsion esta definida en funcion de n: entonces, para tenerbien definida la torsion, necesitamos tener bien definido n, por tanto debe serk 6= 0.

Tenemos entonces que ‖b′(s)‖ = |τ(s)|. La torsion mide entonces cuan rapidose aleja la curva, en un entorno del punto, del plano osculador. Se dice tambienque la torsion mide el “atornillamiento” de la curva. Si tenemos una curva plana(contenida en un plano), entonces el plano osculador es constante, de donde latorsion es cero. El recıproco tambien es cierto:

Proposicion 1.2.7. Sea α : [a, b] → R3 una curva regular parametrizada porlongitud de arco, k(s) 6= 0 para todo s. Entonces τ(s) = 0 para todo s si y solo si αes una curva plana.

Demostracion. El recıproco lo acabamos de comentar. Si tenemos τ = 0, entoncesb′(s) = 0 para todo s, de donde b(s) = b0 es constante.

(α(s) · b0)′ = α′(s) · b0 = 0

Entonces α(s) · b0 es constante, de donde α esta contenida en un plano normal ab0.

Definicion 1.2.8. Las ecuaciones de Frenet son:

114


t′ = kn

b′ = τn

n′ = −τb− kt

Las dos primeras son por definicion, la ultima nos falta verificarla. Tenemosb = t ∧ n, de donde n = b ∧ t. Derivamos esta expresion:

n′ = b′ ∧ t+ b ∧ t′ = τn ∧ t+ b ∧ kn = −τb+ kb ∧ n = −τb− kt

Si queremos calcular explıcitamente la curvatura y la torsion de una curva,tenemos las siguientes formulas:Si esta parametrizada por longitud de arco:

k = ‖t′‖ τ = − 1

k2t ∧ t′ · t′′

Si no lo esta:

k =‖α′ ∧ α′′‖‖α′‖3

τ = −α′ ∧ α′′ · α′′′

‖α′ ∧ α′′‖2

(Una demostracion de estas formulas se encuentra en [Opr]: no es mas que haceralgunas cuentas.)

Para terminar, enunciamos informalmente el teorema fundamental de lateorıa local de curvas: una curva esta determinada absolutamente, a menos deisometrıas (movimientos rıgidos), por la torsion y la curvatura en cada punto. Lademostracion de este resultado es complicada. No es difıcil sin embargo probar suversion para curvas planas: una curva plana esta totalmente determinada, a menosde isometrıas, por su curvatura en cada punto.

Otro resultado interesante sobre la teorıa global de curvas que comentamosantes de finalizar este capıtulo es el siguiente: si α : [a, b] → R2 es una curvaplana cerrada parametrizada por longitud de arco con α′(a) = α′(b), entonces la

curvatura total∫ ba k(s) ds satisface∫ b

ak(s) ds = 2π

Este resultado se puede mejorar: la curvatura total de una curva cerrada y simplees ≥ 2π, dandose la igualdad si y solo si la curva es plana y convexa (en todopunto, la curva esta contenida en un semiplano cerrado determinado por la rectatangente). Este resultado se llama teorema de Fenchel (ver [dC], p. 398).

115

Capıtulo 2

Geometrıa diferencial desuperficies

Recordamos que una superficie regular S ⊂ R3 es una variedad diferenciablede dimension 2.

2.1. Primera forma fundamental

Definicion 2.1.1. Sea S una superficie regular, p ∈ S. La primera forma funda-mental es una forma cuadratica Ip : TpS → R definida por:

Ip(v) = 〈v, v〉p = ‖v‖2

donde 〈, 〉p es el producto interno de TpS heredado de R3.

El interes de esta “forma fundamental” es que carga con propiedades geometricasque podremos tener entonces en superficies abstractas, donde los productos internosde los espacios tangentes no se heredan del espacio ambiente (porque no hayespacio ambiente). En nuestro caso, no hay ambiguedad si omitimos el subındice yescribimos simplemente 〈, 〉.

2.1.1. Primera forma fundamental en coordenadas locales

Consideremos una parametrizacion ϕ : U → S, con ϕ(q) = p. Entonces unvector v ∈ TpS arbitrario es de la forma

v = aϕu + bϕv

donde por abuso de notacion, ϕu = ϕu(q), ϕv = ϕv(q). Veamos como luce laprimera forma fundamental en coordenadas locales:

Ip(v) = 〈v, v〉 = 〈aϕu + bϕv, aϕu + bϕv〉= a2〈ϕu, ϕu〉+ 2ab〈ϕu, ϕv〉+ b2〈ϕv, ϕv〉= a2E + 2abF + b2G

116

2.1 Primera forma fundamental

donde, por abuso de notacion, E = E(q), F = F (q), G = G(q), con E, F , Gfunciones U → R definidas por:

E(u, v) = 〈ϕu(u, v), ϕu(u, v)〉F (u, v) = 〈ϕu(u, v), ϕv(u, v)〉G(u, v) = 〈ϕv(u, v), ϕv(u, v)〉

Diremos que E, F y G son los coeficientes de la primera forma fundamentalasociados a la parametrizacion ϕ.

Si tenemos una curva α en S, dada por α(t) = ϕ(u(t), v(t)) entonces tenemos:

α′(t) = ϕu(u(t), v(t))u′(t) + ϕv(u(t), v(t)) v′(t) = u′ϕu + v′ϕv

y por lo tantoIα(t)(α

′(t)) = (u′)2E + 2u′v′F + (v′)2G

con E = E(u(t), v(t)), F = F (u(t), v(t)), G = G(u(t), v(t)). Dejamos como ejerciciola verificacion de la formula recien usada, que no es mas que una simple aplicacionde la regla de la cadena:

Ejercicio 2.1.2. Verificar que en las hipotesis anteriores vale la formula siguiente:

α′(t) = ϕu(u(t), v(t))u′(t) + ϕv(u(t), v(t)) v′(t)

lo cual uno abrevia escribiendo α′(t) = ϕu u′ + ϕv v

′.

Observacion 2.1.3. La identidad de Lagrange dice que si a, b ∈ R3 entonces‖a × b‖2 = 〈a, a〉〈b, b〉 − 〈a, b〉2. En particular, para a = ϕu y b = ϕv deduci-mos que

EG− F 2 = ‖ϕu × ϕv‖2 (2.1)

En particular, la matriz(E FF G

)es invertible. En efecto, su determinante es (2.1) y

este numero no es cero ya que ϕu, ϕv es una base de TpS.

Ejemplo 2.1.4. Tomemos como S al plano z = 0. Entonces podemos tomarϕ : R2 → R3 definida por ϕ(u, v) = (u, v, 0). De esta manera tenemos E = 1,F = 0, G = 1.

Ejemplo 2.1.5. Tomemos como S al cilindro unidad de eje z; lo parametrizamos porϕ : U = (0, 2π) × R → R3, ϕ(u, v) = (cosu, senu, v) y obtenemos E = 1, F = 0,G = 1. Son los mismos coeficientes que los del plano. Esto no es coincidencia, mastarde veremos por que.

2.1.2. Aplicaciones

Como habıamos dicho, la primera forma resume ciertas propiedades geometricas.Consideremos una superficie regular orientada S.

Proposicion 2.1.6. Si α : [a, b] → S es una curva regular y ϕ : U → S es unaparametrizacion de S tal que α(t) = ϕ(u(t), v(t)) tenemos:

l(α) =

∫ b

a

√Iα(t)(α′(t)) dt =

∫ b

a

√(u′)2E + 2u′v′F + (v′)2G

117

2.2 Mapa de Gauss y segunda forma fundamental

Demostracion.

l(α) =

∫ b

a‖α′(t)‖ dt =

∫ b

a

√〈α′(t), α′(t)〉 dt =

∫ b

a

√Iα(t)(α′(t)) dt

=

∫ b

a

√(u′)2E + 2u′v′F + (v′)2G

Proposicion 2.1.7. Si ϕ : U → S es una parametrizacion compatible con laorientacion, entonces

ϕ∗(dA) =√EG− F 2 (2.2)

En particular, si ϕ cubre toda la superficie, entonces

area(S) =

∫U

√EG− F 2 dudv

Demostracion. La formula (2.2) se deduce de la ecuacion (2.1) y de la proposicion6.5.2. En particular,

area(S) =

∫SdA =

∫Uϕ∗(dA) =

∫U

√EG− F 2 dudv

Las curvas coordenadas de una parametrizacion ϕ son las imagenes por ϕ delas rectas con u constante o con v constante.

Proposicion 2.1.8. El angulo θ entre las curvas coordenadas de una parametri-zacion ϕ : U → S viene dado por:

cos θ =F√EG

Demostracion.

cos θ =〈ϕu, ϕv〉‖ϕu‖‖ϕv‖

=F√EG

2.2. Mapa de Gauss y segunda forma fundamental

Sea S ⊂ R3 una superficie regular orientada.

Definicion 2.2.1. Denotaremos por N : S → R3 al campo de vectores normalesunitarios compatible con la orientacion de S, que llamaremos mapa de Gauss.

Observacion 2.2.2. Como ‖N(p)‖ = 1 para todo p ∈ S, entonces podemos ver Ncon codominio en S2, esto es, N : S → S2, entonces tenemos dNp : TpS → TN(p)S

2.

Esta geometricamente claro que TN(p)S2 = TpS, pues los subespacios afi-

nes TpS + p y TN(p)S2 +N(p) son planos paralelos. Por lo tanto:

dNp : TpS → TpS

El diferencial del mapa de Gauss (a veces llamado mapa de Weingarten) midela tasa de variacion de N en un entorno de p; esto es, cuan rapidamente se aleja Nde N(p) en un entorno de p. Esto nos permite medir cuan rapidamente se aleja Sde TpS en un entorno de p.

118


Proposicion 2.2.3. El diferencial del mapa de Gauss, dNp : TpS → TpS esautoadjunto.

Demostracion. Tenemos que probar que 〈dNp(v), w〉 = 〈v, dNp(w)〉. Por linealidad,basta probarlo en una base de TpS.

Sea ϕ : U → S una parametrizacion alrededor de p tal que ϕ(q) = p.Escribiendo ϕu = ϕu(q), ϕv = ϕv(q), basta probar que:

〈dNp(ϕu), ϕv〉 = 〈ϕu, dNp(ϕv)〉

Observemos que 〈N,ϕu〉 = 0 y 〈N,ϕv〉 = 0, donde N = N(ϕ(u, v)). Abusandode la notacion por enesima vez, escribimos Nu = ∂

∂u(N ϕ), Nv = ∂∂v (N ϕ),

entonces derivando la primera ecuacion respecto a v y la segunda ecuacion respectoa u, obtenemos:

〈Nv, ϕu〉+ 〈N,ϕuv〉 = 0

〈Nu, ϕv〉+ 〈N,ϕvu〉 = 0

Por lo tanto 〈Nu, ϕv〉 = 〈Nv, ϕu〉. Observando que dNp(ϕu) = Nu y dNp(ϕv) = Nv,obtenemos

〈dNp(ϕu), ϕv〉 = 〈dNp(ϕv), ϕu〉 = 〈ϕu, dNp(ϕv)〉

Esta propiedad es el pilar de lo que llamaremos segunda forma fundamental.Al ser el diferencial del mapa de Gauss autoadjunto, tenemos una forma bilinealsimetrica B en TpS dada por B(v, w) = 〈dNp(v), w〉. Podemos entonces definir unaforma cuadratica Q en TpS: Q(v) = 〈dNp(v), v〉.

Definicion 2.2.4. La forma cuadratica IIp : TpS → R definida por:

IIp(v) = 〈−dNp(v), v〉

se llama segunda forma fundamental.

El signo de menos se ira justificando a medida que desarrollemos mas nociones.

Si la primera forma fundamental codifica toda la geometrıa intrınseca de unasuperficie, la segunda forma fundamental codifica como la superficie esta encajadaen el espacio ambiente R3.

2.2.1. Curvaturas normales

En esta seccion vemos el significado geometrico de la segunda forma fundamen-tal.

Definicion 2.2.5. Sea α una curva regular en S que pasa por un punto p ∈ S convelocidad v ∈ TpS, curvatura k y normal n. Sea N el vector unitario normal a Sen p compatible con la orientacion. Definimos la curvatura normal kαn(p, v) de αen p como la norma de la proyeccion de kn sobre N , i.e.

kαn(p, v) = 〈kn,N〉

119


Sorprendentemente, la curvatura normal no depende de la curva:

Proposicion 2.2.6. En las hipotesis de la definicion anterior, supongamos ademasque α esta parametrizada por longitud de arco. Entonces

kαn(p, v) = IIp(v)

y en particular kαn no depende de la eleccion de α. Decimos entonces que estenumero kn(p, v) donde p ∈ S y v ∈ TpS es un vector unitario es la curvaturanormal de S en p en la direccion de v. Deducimos el teorema de Meusnier:

Todas las curvas parametrizadas por longitud de arco contenidas en S quetienen en un punto dado la misma recta tangente, tienen en ese punto la mismacurvatura normal.

Demostracion. Supongamos que α(0) = p, de manera que α′(0) = v. Recordar quecomo α esta parametrizada por longitud de arco entonces α′′(0) = kn.

IIp(v) = 〈−dNp(α′(0)), α′(0)〉

r.c.= 〈−(N α)′(0), α′(0)〉∗= 〈(N α)(0), α′′(0)〉= 〈N(p), kn〉= 〈N, kn〉def.= kαn(p, v)

La validez de la igualdad ∗ se obtiene derivando la expresion 〈(N α)(s), α′(s)〉 = 0y evaluando en cero:

〈(N α)′(0), α′(0)〉+ 〈(N α)(0), α′′(0)〉 = 0

Dado un vector unitario v ∈ TpS, llamamos seccion normal a S en p en ladireccion de v a la curva en S parametrizada por longitud de arco que es lainterseccion de S con un plano normal en p con vector director v. Observar quepara esta curva se tiene que n = ±N , de forma que |kn(p, v)| = k:

la curvatura normal kn(p, v) = IIp(v) es igual a la curvatura de laseccion normal a S en p en la direccion de v, a menos de un signo quedepende de la orientacion de S.

Esto nos dice que la curvatura normal kn(p, v) = IIp(v) caracteriza la desviaciondel plano tangente de la superficie en el punto p, en la direccion del vector tangenteunitario v.

Ejemplo 2.2.7. En la esfera S2, las secciones normales en un punto p ∈ S2 son loscırculos maximos que pasan por p. Estos tienen curvatura 1, luego IIp(v) = ±1para todo p ∈ S2, v ∈ TpS2 unitario. Observar que el signo es positivo si y solo siS2 esta orientada con la normal entrante.

120


2.2.2. Curvaturas principales

El diferencial del mapa de Gauss dNp es autoadjunto: por el teorema espectral,es diagonalizable en una base ortonormal, o en otras palabras, existe una baseortonormal de TpS formada por vectores propios. Por lo tanto dNp tiene dos valorespropios (posiblemente iguales).

Definicion 2.2.8. Los valores propios de −dNp se llaman curvaturas principalesde S en p. Las direcciones dadas por los vectores propios se llaman direccionesprincipales.

Si las curvaturas principales en p son iguales, decimos que p es un puntoumbılico.

Podemos determinar todas las curvaturas normales a partir de las curvaturasprincipales, y ademas las curvaturas principales son las curvaturas normales maximay mınima, como vemos a continuacion:

Proposicion 2.2.9 (Formula de Euler). Sean e1, e2 ∈ TpS vectores propios uni-tarios asociados a las curvaturas principales k1, k2 respectivamente. Supongamosque v ∈ TpS es el vector unitario dado por v = cos(θ)e1 + sen(θ)e2 para ciertoθ ∈ [0, 2π). Entonces

kn(p, v) = IIp(v) = k1 cos2(θ) + k2 sen2(θ)

Ademas, las curvaturas principales k1, k2 son el maximo y el mınimo de las curva-turas normales en p.

Demostracion. Tenemos que −dNp(ei) = kiei para i = 1, 2. Entonces

kn(p, v) = IIp(v) = 〈−dNp(v), v〉

=⟨− dNp

(cos(θ)e1 + sen(θ)e2

), cos(θ)e1 + sen(θ)e2

⟩=⟨

cos(θ)k1e1 + sen(θ)k2e2, cos(θ)e1 + sen(θ)e2

⟩= k1 cos2(θ) + k2 sen2(θ)

Supongamos que k2 ≤ k1. Veamos que k1 es el valor de la curvatura normal maxima.Dado un v ∈ TpS unitario arbitrario, lo escribimos como v = cos(θ)e1 + sen(θ)e2 yusamos la formula de Euler:

kn(p, v) = k1 cos2(θ) + k2 sen2(θ)

= k1(1− sen2(θ)) + k2 sen2(θ)

= k1 + (k2 − k1) sen2(θ)

≤ k1

Analogamente se prueba que k2 es el valor de la curvatura normal mınima.

Observacion 2.2.10. Sea p ∈ S un punto no umbılico. El teorema espectralnos dice que hay exactamente dos direcciones principales, o sea, hay exacta-mente una direccion donde la curvatura normal se maximiza y una donde seminimiza, y ademas, estas direcciones son ortogonales. Este resultado debidoa Euler puede resultar sorprendente.

121


Una curva en S es una lınea de curvatura si su vector tangente en cada puntoes una direccion principal. Lo recien observado nos dice que las lıneas decurvatura son una familia de curvas que cuando se cortan en un punto noumbılico lo hacen ortogonalmente.

Se puede probar que las superficies conexas donde los puntos son todosumbılicos son necesariamente una region de una esfera o de un plano (verproposicion 4, p. 153 de [dC]).

2.2.3. Curvatura Gaussiana

Definicion 2.2.11. Si p ∈ S, entonces la curvatura Gaussiana de S en p es:

K(p) = det dNp

Observacion 2.2.12. La curvatura Gaussiana se define de manera extrınseca: sudefinicion depende del mapa de Gauss que no tiene sentido si no hay espacioambiente. Sin embargo, demostraremos mas tarde el Teorema Egregio de Gauss,que dice que en realidad la curvatura Gaussiana es intrınseca.

Ya podemos observar, sin embargo, que la curvatura Gaussiana no depende dela orientacion de S.

Proposicion 2.2.13. La curvatura Gaussiana es el producto de las curvaturasprincipales.

Demostracion. Al estar en dimension 2, det dNp = det −dNp = el producto desus valores propios = el producto de las curvaturas principales.

Definicion 2.2.14. Un punto de una superficie S se dice:

elıptico si K(p) > 0,

hiperbolico si K(p) < 0,

parabolico si K(p) = 0 y K(p) 6= 0,

plano si dNp = 0.

Ejercicio 2.2.15. 1. Sea α : [a, b]→ R3 una curva parametrizada por longitud

de arco tal que ‖α(s)‖ ≤ Rdef.= ‖α(s0)‖ para todo s suficientemente cerca

de s0 ∈ (a, b). Probar que k(s0) ≥ 1R . (Sugerencia: definir f(s) = ‖α(s)‖2 y

analizar f ′′(s0).)

2. Deducir que toda superficie regular compacta orientable tiene un puntoelıptico. (Sugerencia: considerar un punto en M donde la funcion f : M → R,x 7→ ‖x‖ alcanza su maximo.)

Enunciamos la siguiente proposicion con mas informacion geometrica que nosda la curvatura Gaussiana en puntos elıpticos o hiperbolicos.

Proposicion 2.2.16. Sea p ∈ S. Si p es elıptico, existe un entorno U ⊂ S de ptal que todos los puntos de U estan del mismo lado del plano tangente TpS. Si p eshiperbolico, en todo entorno de p en S hay puntos de S de ambos lados de TpS.

Demostracion. Ver [dC], p. 163.

122


2.2.4. Ejemplos

Ejemplo 2.2.17. Calculemos la curvatura Gaussiana de la esfera de radio r,S(r) = p ∈ R3 : ‖p‖ = r. Definimos el mapa de Gauss N : S(r) → S2 comoN(p) = −p

r (la normal entrante).

Para calcular dNp, definimos la extension diferenciable F : R3 → R3 porF (p) = −p

r . Entonces dFp : R3 → R3 esta definida por dFp = 1r (−idR3). Entonces:

dNpdef.= dFp|TpS(r) = −1

ridTpS(r)

Por lo tanto det dNp = 1r2 es la curvatura Gaussiana de la esfera. Observar que a

radio mas pequeno, curvatura mayor; y que todos sus puntos son elıpticos.

Ejemplo 2.2.18. Para encontrar un ejemplo de punto hiperbolico, basta encontrar unpunto en una superficie que tenga curvatura Gaussiana negativa (que las curvaturasprincipales sean una positiva y la otra negativa). Geometricamente, el espaciotangente al punto debe dejar partes de la superficie en ambos lados. Consideremosel paraboloide hiperbolico (la “silla de montar”), con la parametrizacion ϕ(u, v) =(u, v, u2 − v2). Tenemos:

ϕu(u, v) = (1, 0, 2u)

ϕv(u, v) = (0, 1,−2v)

ϕu ∧ ϕv(u, v) = (−2u, 2v, 1)

El mapa de Gauss queda:

N(ϕ(u, v)) =

(− 2u√

4u2 + 4v2 + 1,

2v√4u2 + 4v2 + 1

,1√

4u2 + 4v2 + 1

)Consideremos el punto p = (0, 0, 0), es la imagen por ϕ de (0, 0). Si le aplicamos

dNp a los vectores

ϕu(0, 0) = (1, 0, 0) ϕv(0, 0) = (0, 1, 0)

obtenemos:

dNp(ϕu(0, 0)) =∂

∂u(N ϕ)(0, 0) = (−2, 0, 0) dNp(ϕv(0, 0)) = (0, 2, 0)

de donde ϕu(0, 0), ϕv(0, 0) son vectores propios de dNp de valores propios −2 y 2respectivamente. Por lo tanto p = (0, 0, 0) es un punto hiperbolico, y las direccionesprincipales son las de los planos normales x = 0 e y = 0 (ver figura 2.1).

Ejemplo 2.2.19. Para encontrar puntos parabolicos, nos vamos al cilindro. Conside-remos la parametrizacion ϕ(u, v) = (cosu, senu, v), por lo tanto:

ϕu(u, v) = (− senu, cosu, 0)

ϕv(u, v) = (0, 0, 1)

ϕu ∧ ϕv(u, v) = (cosu, senu, 0)

123


Planosde curvaturas

principales

Vectornormal

Planotangente

Figura 2.1: Planos de curvaturas principales del hiperboloide

Por lo tanto el mapa de Gauss queda N(ϕ(u, v)) = (cosu, senu, 0). Sea p = ϕ(u, v)un punto cualquiera del cilindro. Entonces:

dNp(ϕu(u, v)) =∂

∂u(N ϕ)(u, v) = (− senu, cosu, 0) = ϕu(u, v)

dNp(ϕv(u, v)) =∂

∂v(N ϕ)(u, v) = (0, 0, 0)

de donde ϕu(u, v) y ϕv(u, v) son vectores propios de dNp de valores propios 1 y 0respectivamente. Por lo tanto la curvatura Gaussiana es 0 sin ser dNp = 0: todopunto del cilindro es un punto parabolico. Observar que la curvatura principal 1corresponde a la circunferencia directriz, mientras que la curvatura principal 0corresponde a la recta vertical.

Ejercicio 2.2.20. Verificar que el hiperboloide de una hoja, parametrizado porϕ : (0, 2π)× R→ R con

ϕ(u, v) = (cosh v cosu, cosh v senu, senh v)

tiene curvatura Gaussiana negativa en todos sus puntos.

La figura 2.2 nos muestra superficies con curvatura negativa, nula, y positivaen todos los puntos, respectivamente.

Ejemplo 2.2.21. Para hallar puntos planos consideremos el plano z = 0. Unaparametrizacion es ϕ(u, v) = (u, v, 0). Tenemos:

ϕu(u, v) = (1, 0, 0)

ϕv(u, v) = (0, 1, 0)

ϕu ∧ ϕv(u, v) = (0, 0, 1)

El mapa de Gauss queda N(ϕ(u, v)) = (0, 0, 1), constante, por lo tanto dNp = 0para todo p en el plano.

124


Figura 2.2: Hiperboloide de una hoja, cilindro, esfera

Ejemplo 2.2.22. La silla del mono, denominada ası por ser una silla de montarpara monos (pues necesita una tercera depresion en la superficie para poner lacola), es la superficie definida por la parametrizacion:

ϕ(u, v) = (u, v, u3 − 3uv2)

(ver figura 2.3). Es un ejercicio verificar que el punto p = (0, 0, 0) es un punto plano.Basta probar que los coeficientes de la segunda forma fundamental (ver seccion2.2.5) cumplen e = f = g = 0 pues entonces todas las curvaturas normales son 0,en particular las curvaturas principales son 0, entonces dNp tiene ambos valorespropios nulos, luego dNp = 0.

Figura 2.3: La silla del mono

Ejemplo 2.2.23. La pseudoesfera es el resultado de revolucionar la tractriz delongitud l alrededor del eje y (ver figura 2.4). Es un ejercicio probar que tienecurvatura constante K = − 1

l2, lo cual motiva su nombre por analogıa con la esfera.

Esta superficie no es compacta. Es consecuencia de un teorema debido a Hilbert(ver [dC], seccion 5.11) que no existe una superficie regular compacta de curvaturaconstante negativa.

Observar que no podemos dar una interpretacion geometrica analoga a la dela proposicion 2.2.16 para puntos planos o parabolicos. Por ejemplo, para puntosplanos: los puntos de un plano se confunden con los de su plano tangente, mientrasque el plano tangente al punto (0, 0, 0) de la silla del mono deja puntos de la

125


Figura 2.4: Pseudoesfera

superficie de ambos lados. Para puntos parabolicos: los planos tangentes a puntosde un cilindro estan todos o del mismo lado o sobre el propio plano tangente,mientras que hay puntos parabolicos en la superficie del ejemplo 3, pagina 165 de[dC] cuyos planos tangentes dejan puntos de ambos lados de la superficie.

2.2.5. Segunda forma fundamental en coordenadas locales

Sea p ∈ S y consideremos una parametrizacion ϕ : U → S tal que ϕ(q) = p.Entonces un vector tangente v ∈ TpS arbitrario es de la forma v = aϕu + bϕvdonde ϕu = ϕu(q), ϕv = ϕv(q). Entonces:

IIp(v) = 〈−dNp(aϕu + bϕv), aϕu + bϕv〉= a2〈−dNp(ϕu), ϕu〉+ 2ab〈−dNp(ϕu), ϕv〉+ b2〈−dNp(ϕv), ϕv〉= a2e+ 2abf + b2g

donde, por abuso de notacion, e = e(q), f = f(q), g = g(q), con e, f , g funcionesU → R definidas por:

e(u, v) = 〈−dNp(ϕu(u, v)), ϕu(u, v)〉f(u, v) = 〈−dNp(ϕu(u, v)), ϕv(u, v)〉g(u, v) = 〈−dNp(ϕv(u, v)), ϕv(u, v)〉

Diremos que e, f y g son los coeficientes de la segunda forma fundamentalasociados a la parametrizacion ϕ.

Si escribimos Nu = ∂∂u(N ϕ)(q), Nv = ∂

∂v (N ϕ)(q), entonces

e = 〈−dNp(ϕu), ϕu〉 = −〈Nu, ϕu〉

de donde e = −〈Nu, ϕu〉. Analogamente conseguimos otras dos ecuaciones:e = −〈Nu, ϕu〉f = −〈Nu, ϕv〉g = −〈Nv, ϕv〉

(2.3)

126


Derivando la expresion 〈N,ϕu〉 = 0 respecto de u tenemos que 〈Nu, ϕu〉+〈N,ϕuu〉 =0 de donde a partir de (2.3) deducimos que

e = 〈N,ϕuu〉f = 〈N,ϕuv〉g = 〈N,ϕvv〉

(2.4)

Las ultimas dos expresiones se deducen derivando 〈N,ϕu〉 = 0 y 〈N,ϕv〉 = 0respecto de v.

Como ϕuv = ϕvu, deducimos que f = −〈Nv, ϕu〉.

2.2.6. La curvatura en coeficientes

Sea ϕ : U → S una parametrizacion con ϕ(q) = p. Sean E, F , G, e, f y glos coeficientes de las primera y segunda formas fundamentales asociados a ϕ.Usaremos los abusos de notacion ya introducidos.

Las igualdades que da la siguiente proposicion se llaman ecuaciones de Wein-garten.

Proposicion 2.2.24. Sea A la matriz asociada a dNp : TpS → TpS en la baseϕu, ϕv. Entonces

A = −(E FF G

)−1(e ff g

)Demostracion. Escribamos A = ( a11 a12

a21 a22 ). Entonces

Nu = dNp(ϕu) = a11ϕu + a21ϕv (2.5)

Nv = dNp(ϕv) = a12ϕu + a22ϕv (2.6)

Si hacemos el producto interno de (2.5) con ϕu y con ϕv y utilizamos lasexpresiones de (2.3), conseguimos que

−e = 〈Nu, ϕu〉 = 〈a11ϕu + a21ϕv, ϕu〉 = a11E + a21F

−f = 〈Nu, ϕv〉 = 〈a11ϕu + a21ϕv, ϕv〉 = a11F + a21G

Haciendo el producto interno de (2.6) con ϕu y con ϕv y utilizamos las expresionesde (2.3), conseguimos que −f = a21E+ a22F , −g = a21F + a22G. Esto prueba que

A(E FF G

)= −

(e ff g

)de donde se deduce la tesis, recordando que la matriz

(E FF G

)es invertible (observacion 2.1.3).

Corolario 2.2.25. Si K es la curvatura Gaussiana, entonces

K =eg − f2

EG− F 2

Demostracion. Si A es la matriz de la proposicion anterior, entonces

K = detA = (−1)2 1

EG− F 2(eg − f2) =

eg − f2

EG− F 2

127

2.3 Isometrıas

2.3. Isometrıas

Sean M y N superficies regulares.

Definicion 2.3.1. Un difeomorfismo f : M → N es una isometrıa si para todop ∈M y cada v, w ∈ TpM se tiene:

〈dfp(v), dfp(w)〉f(p) = 〈v, w〉p

Es decir, si en cada p se cumple que dfp es una isometrıa lineal entre TpM y Tf(p)N .Diremos entonces que M y N son superficies isometricas.

Definicion 2.3.2. Una funcion f : M → N es una isometrıa local en p si existeun entorno W ⊂M de p tal que f |W : W → f(W ) es una isometrıa. Decimos quef es una isometrıa local si es una isometrıa local en p para todo p ∈M .

Dos superficies M,N son localmente isometricas si cada punto en cada unade las dos superficies tiene un entorno abierto isometrico a un abierto en la otrasuperficie.

Observacion 2.3.3. Una funcion diferenciable f : M → N entre variedades es undifeomorfismo local en p si existe un entorno W ⊂M de p tal que f |W : W → f(W )es un difeomorfismo, y es un difeomorfismo local si es un difeomorfismo local en ppara todo p ∈M .

Observar que una funcion f : M → N entre superficies regulares es unaisometrıa local si y solo si es un difeomorfismo local y dfp es una isometrıa linealpara todo p ∈M .

Como la primera forma fundamental codifica el producto interno en la superficie,la siguiente proposicion no resulta sorprendente.

Proposicion 2.3.4. Un difeomorfismo local f : M → N es una isometrıa local siy solo si preserva los coeficientes de la primera forma fundamental.

Mas precisamente, un difeomorfismo local f : M → N es una isometrıa local siy solo si dada ϕ : U →M una parametrizacion de M , los coeficientes de la primeraforma fundamental de M asociados a la parametrizacion ϕ coinciden con loscoeficientes de la primera forma fundamental de N asociados a la parametrizacionf ϕ.

Mf// N

U

ϕ

OO

fϕ

>>

Demostracion. Sea f : M → N una isometrıa local, entonces:

Efϕ(u, v) = 〈(f ϕ)u(u, v), (f ϕ)u(u, v)〉r.c.= 〈(dfϕ(u,v)(ϕu(u, v)), dfϕ(u,v)(ϕu(u, v))〉iso.= 〈ϕu(u, v), ϕu(u, v)〉= Eϕ(u, v)

De manera analoga, F fϕ(u, v) = Fϕ(u, v) y Gfϕ(u, v) = Gϕ(u, v).

128

2.3 Isometrıas

Recıprocamente, si un difeomorfismo local f : M → N preserva los coefi-cientes de la primera forma fundamental, entonces preserva la primera formafundamental, es decir:

Ip(v) = If(p)(dfp(v)), ∀v ∈ TpM, ∀p ∈M

Veamos que f es una isometrıa local. Como Ip es una forma cuadratica, tenemos:

2〈v, w〉 = Ip(v + w)− Ip(v)− Ip(w)

= If(p)(dfp(v + w))− If(p)(dfp(v))− If(p)(dfp(w))

= 2〈dfp(v), dfp(w)〉

para todo v, w ∈ TpM , para todo p ∈M .

Proposicion 2.3.5. Si ϕ : U →M y ψ : U → N son parametrizaciones tales queEϕ = Eψ, Fϕ = Fψ, y Gϕ = Gψ, entonces f : ϕ(U)→ N definida por f = ψ ϕ−1

es una isometrıa local para todo p ∈ ϕ(U).

ϕ(U)f

//

ϕ−1""

N

U

ψ

??

Demostracion. Sea p ∈ ϕ(U) con ϕ(q) = p y v ∈ TpM . Como siempre, ϕu = ϕu(q),ϕv = ϕv(q), entonces:

v = aϕu + bϕv

Pero entonces tenemos:

dfp(v) = dfp(aϕu + bϕv) = a dfp(ϕu) + b dfp(ϕv)

= a d(ψ ϕ−1)p(ϕu) + b d(ψ ϕ−1)p(ϕv)

= a d(ψ ϕ−1)p(dϕq(e1)) + b d(ψ ϕ−1)p(dϕq(e2))r.c.= a dψq(e1) + b dψq(e2)

= aψu + bψv

donde ψu = ψu(q), ψv = ψv(q), con ψ(q) = f(ϕ(q)). Por lo tanto:

〈dfp(v), dfp(v)〉 = 〈aψu + bψv, aψu + bψv〉= a2Eψ + 2abFψ + b2Gψ

= a2Eϕ + 2abFϕ + b2Gϕ

= 〈aϕu + bϕv, aϕu + bϕv〉= 〈v, v〉

y f es una isometrıa local entre ϕ(U) y N , pues f es una isometrıa sobre suimagen.

129

2.4 Sımbolos de Christoffel y Teorema Egregio de Gauss

Ejemplo 2.3.6. Sean M el cilindro de radio 1 y la parametrizacion ϕ : (0, 2π)×R→M definida por ϕ(u, v) = (cosu, senu, v). Conseguimos todos los puntos de Msalvo los de la recta generatriz u = 0. Si un punto esta en esa recta, basta considerarla misma parametrizacion con dominio (−π, π)× R.

Sea N el rectangulo abierto no acotado del plano z = 0 parametrizado porψ : (0, 2π)× R→ N , con ψ(u, v) = (u, v, 0).

Ya vimos en un ejemplo anterior que Eϕ = Eψ = 1, Fϕ = Fψ = 0, Gϕ = Gψ =1: observar entonces que M y N son superficies localmente isometricas.

Podemos decir que el cilindro menos una generatriz es isometrico a un rectanguloen el plano, pero no podemos decir que el cilindro sea globalmente isometricoa un plano. Ni siquiera es difeomorfo (ni homeomorfo) a un plano (el plano essimplemente conexo mientras que el cilindro claramente no, i.e. la circunferenciadirectriz no se puede deformar continuamente en un punto).

Ejercicio 2.3.7. Probar que un difeomorfismo entre superficies regulares es unaisometrıa si y solo si preserva longitudes de curvas.

Ejercicio 2.3.8. Una funcion diferenciable f : M → N entre superficies regularesse dice conforme si preserva angulos, en el sentido que si f(q) = p y v, w ∈ TqM ,entonces el angulo entre v y w en TqM es igual al angulo entre dfq(v) y dfq(w) enTpN . Si existe un difeomorfismo conforme entre dos superficies, decimos que sonconformes.

1. Probar que un difeomorfismo local entre superficies regulares f : M → N esuna isometrıa local si y solo si es conforme y preserva areas.

2. Probar que ϕ : U → ϕ(U) ⊂ M es una parametrizacion conforme de unasuperficie regular M si y solo si F = 0 y E = G.

2.4. Sımbolos de Christoffel y Teorema Egregio deGauss

Sea S ⊂ R3 una superficie orientada.

A cada punto de una curva le asignabamos un triedro, el triedro de Frenet.Vamos a hacer lo mismo con cada punto en una superficie. Sea p ∈ S y ϕ : U → Suna parametrizacion de S con ϕ(q) = p. Estudiaremos el triedro formado por losvectores ϕu(q), ϕv(q), N(p) que por abuso de notacion notaremos ϕu, ϕv, N.

Definicion 2.4.1. Los sımbolos de Christoffel de la parametrizacion ϕ son lasfunciones Γkij : U → R, i, j, k = 1, 2 que verifican:

ϕuu = Γ111ϕu + Γ2

11ϕv + L1N

ϕuv = Γ112ϕu + Γ2

12ϕv + L2N

ϕvu = Γ121ϕu + Γ2

21ϕv + L2N

ϕvv = Γ122ϕu + Γ2

22ϕv + L3N

Observacion 2.4.2. Al ser ϕuv = ϕvu, tenemos que Γkij = Γkji, y que L2 = L2. Alefectuar el producto interno de las cuatro relaciones anteriores con N , obtenemos,

130


suprimiendo la repetida:


11ϕv + eN (2.7)


12ϕv + fN (2.8)


22ϕv + gN (2.9)

Proposicion 2.4.3. Los sımbolos de Christoffel se pueden expresar en terminosde E, F y G y sus derivadas primeras.

Demostracion. Haciendo el producto interno de (2.7), (2.8) y (2.9) con ϕu y ϕv,obtenemos:

〈ϕuu, ϕu〉 = Γ111E + Γ2

11F = 12Eu

〈ϕuu, ϕv〉 = Γ111F + Γ2

11G = Fu − 12Ev

〈ϕuv, ϕu〉 = Γ112E + Γ2

12F = 12Ev

〈ϕuv, ϕv〉 = Γ112F + Γ2

12G = 12Gu

〈ϕvv, ϕu〉 = Γ122E + Γ2

22F = Fv − 12Gu

〈ϕvv, ϕv〉 = Γ122F + Γ2

22G = 12Gv

Reescribimos las ecuaciones anteriores en forma matricial, y utilizando la observa-cion 2.1.3, conseguimos las expresiones deseadas:(

E FF G

)(Γ1

11

Γ211

)=

(12Eu

Fu − 12Ev

)=⇒

(Γ1

11

Γ211

)=

(E FF G

)−1( 12Eu

Fu − 12Ev

)(E FF G

)(Γ1

12

Γ212

)=

(12Ev12Gu

)=⇒

(Γ1

12

Γ212

)=

(E FF G

)−1( 12Ev12Gu

)(E FF G

)(Γ1

22

Γ222

)=

(Fv − 1

2Gu12Gv

)=⇒

(Γ1

22

Γ222

)=

(E FF G

)−1(Fv − 1

2Gu12Gv

)

Teorema Egregio de Gauss. La curvatura Gaussiana se puede expresar enterminos de las derivadas hasta orden 2 de los coeficientes de la primera formafundamental.

Demostracion. Recordemos las ecuaciones que definen los sımbolos de Christoffel,y escribamos Nu, Nv en terminos de la base ϕu, ϕv:


11ϕv + eN


12ϕv + fN


22ϕv + gN

Nu = a11ϕu + a21ϕv

Nv = a12ϕu + a22ϕv

Observemos que (ϕuu)v = (ϕuv)u, y se tiene

(ϕuu)v = (Γ111)v ϕu + Γ1

11 ϕuv + (Γ211)v ϕv + Γ2

11 ϕvv + evN + eNv

(ϕuv)u = (Γ112)u ϕu + Γ1

12 ϕuu + (Γ212)u ϕv + Γ2

12 ϕuv + fuN + f Nu

131


Remplacemos con las ecuaciones anteriores:

(ϕuu)v = (Γ111)v ϕu + Γ1

11 (Γ112ϕu + Γ2

12ϕv + fN) + (Γ211)v ϕv

+ Γ211 (Γ1

22ϕu + Γ222ϕv + gN) + evN + e (a12ϕu + a22ϕv)

(ϕuv)u = (Γ112)u ϕu + Γ1

12 (Γ111ϕu + Γ2

11ϕv + eN) + (Γ212)u ϕv

+ Γ212 (Γ1

12ϕu + Γ212ϕv + fN) + fuN + f (a11ϕu + a21ϕv)

Como ϕu, ϕv, N son linealmente independientes, igualemos los coeficientes en ϕv:

Γ111Γ2

12 + (Γ211)v + Γ2

11Γ222 + e a22 = Γ1

12Γ211 + (Γ2

12)u + Γ212Γ2

12 + f a21 (2.10)

La proposicion 2.2.24 nos dice que(a11 a21

a12 a22

)= −

(E FF G

)−1(e ff g

)= − 1

EG− F 2

(G −F−F E

)(e ff g

)Por lo tanto a22 = fF−gE

EG−F 2 y a21 = eF−fEEG−F 2 . Remplazando en (2.10) y reordenando:

Γ111Γ2

12 + (Γ211)v + Γ2

11Γ222 −

(Γ1

12Γ211 + (Γ2

12)u + Γ212Γ2

12

)=

= f

(eF − fEEG− F 2

)− e

(fF − gEEG− F 2

)= E

eg − f2

EG− F 2= EK

Esto termina la demostracion gracias a la proposicion anterior.

Esto nos dice que la curvatura es un invariante intrınseco, en el sentido que sepuede obtener directamente a partir de la primera forma fundamental.

Corolario 2.4.4. La curvatura es invariante por isometrıas locales. Es decir, sif : S1 → S2 es una isometrıa local y p ∈ S1, entonces K(p) = K(f(p)).

Demostracion. Una isometrıa local preserva los coeficientes de la primera formafundamental, y la curvatura se puede expresar en funcion de estos.

Observacion 2.4.5. En la demostracion del Teorema Egregio, consideramosla igualdad ϕuuv = ϕuvu e igualamos los coeficientes en ϕv. Podrıamostambien igualar los coeficientes en ϕu y en N . Ademas, podrıamos considerarϕuvv = ϕvvu, e igualar los coeficientes de ϕu, ϕv y N . En total hay seisecuaciones. Considerando las que provienen de igualar los coeficientes en ϕuo en ϕv, conseguimos las ecuaciones de Gauss que expresan la curvatura enterminos de E,F,G y los sımbolos de Christoffel y sus derivadas primeras(la primera de estas es la que conseguimos al final de la demostracion):

EK = (Γ211)v − (Γ2

12)u + Γ111Γ2

12 + Γ211Γ2

22 − Γ112Γ2

11 − (Γ212)2

FK = (Γ112)u − (Γ1

11)v + Γ212Γ1

12 − Γ211Γ1

22

FK = (Γ212)v − (Γ2

22)u + Γ112Γ2

12 − Γ122Γ2

11

GK = (Γ122)u − (Γ1

12)v + Γ122Γ1

11 + Γ222Γ1

12 − (Γ112)2 − Γ2

12Γ122

Igualando los coeficientes en N , conseguimos las ecuaciones de Mainardi-Codazzi :

ev − fu = eΓ112 + f(Γ2

12 − Γ111)− gΓ2

11

fv − gu = eΓ122 + f(Γ2

22 − Γ112)− gΓ2

12

132


Si utilizamos la primera ecuacion de Gauss y reemplazamos los sımbolos deChristoffel por sus expresiones en terminos de E,F y G de la proposicion2.4.3, reordando un poco los terminos conseguimos la siguiente formula quenos da explıcitamente la curvatura en termino de los coeficientes de la primeraforma fundamental:

K =

det

∣∣∣∣∣∣−1

2Evv + Fuv − 12Guu

12Eu Fu − 1

2EvFv − 1

2Gu E F12Gv F G

∣∣∣∣∣∣− det

∣∣∣∣∣∣0 1

2Ev12Gu

12Ev E F12Gu F G

∣∣∣∣∣∣(EG− F 2)2

El siguiente lema es a menudo util:

Lema 2.4.6. Si ϕ es una parametrizacion ortogonal (i.e. F = 0), entonces

K = − 1

2√EG

(Ev√EG

)v

+

(Gu√EG

)u

Demostracion. Ejercicio.

Este lema nos permite probar que el recıproco del corolario 2.4.4 es falso, en elsentido que un difeomorfismo local puede preservar la curvatura Gaussiana en unpunto pero no ser una isometrıa local en ese punto:

Ejemplo 2.4.7. Las superficies parametrizadas mediante

φ(u, v) = (u cos v, u sen v, log u) ψ(u, v) = (u cos v, u sen v, v)

tienen igual curvatura Gaussiana en φ(u, v) y ψ(u, v), pero f = ψ φ−1 no es unaisometrıa.

Sf

// S

U

φ

__

ψ

??

En efecto, Eφ = 1 + 1u2 , F φ = 0, Gφ = u2 y Eψ = 1, Fψ = 0, Gψ = 1 + u2, por lo

tanto f no es una isometrıa. Sin embargo gracias al lema anterior,

KS = K S = − 1

2√

1 + u2

(2u√

1 + u2

)u

Aplicaciones

Una esfera de radio r y un plano tienen curvaturas Gaussianas constantes 1r2

y 0 respectivamente. Por lo tanto, una esfera y un plano no son localmenteisometricos. En otras palabras, no podemos doblar un papel en una regionde una esfera sin romperlo ni viceversa. El “viceversa” es importante encartografıa: es imposible hacer un mapa perfecto de la Tierra, ni siquiera deuna porcion de ella, en el sentido que toda proyeccion cartografica distorsionaareas o angulos, en virtud del ejercicio 2.3.8, y necesariamente distorsionalongitudes, en virtud del ejercicio 2.3.7.

133


El catenoide (resultado de revolucionar una catenaria, ver 1.1.4) y el helicoide(la superficie que “describe” una helice, ver 1.1.6) son localmente isometricos.Por lo tanto, la curvatura Gaussiana en dos puntos del catenoide y delhelicoide que se corresponden el uno al otro bajo una isometrıa local es lamisma.

Comentarios

Se puede probar que dos superficies cualesquiera con la misma curvatu-ra Gaussiana constante son localmente isometricas. Este es el teorema deMinding: ver [dC], p. 290.

Una parametrizacion con F = 0 se llama ortogonal porque las curvas coor-denadas son ortogonales, i.e. ϕu ⊥ ϕv. Alrededor de todo punto existe unaparametrizacion ortogonal (ver seccion 3.4 de [dC]).

No podemos siempre conseguir una parametrizacion ϕ con coeficientes E =G = 1, F = 0, porque si pudieramos entonces toda superficie serıa localmenteisometrica a un plano (y por lo tanto toda superficie tendrıa la mismacurvatura que el plano).

Sin embargo, siempre se puede conseguir una parametrizacion con E =G, F = 0. Una tal parametrizacion da lugar a las llamadas coordenadasisotermicas. La demostracion de este teorema demostrado por Gauss es difıcil:ver addendum 1 al capıtulo 9 de [Spi4]. Se deduce que todo par de superficieses localmente conforme (i.e. cada punto en cada una de las dos superficiestiene un entorno abierto conforme a un abierto en la otra superficie).

Existen tambien sistemas de coordenadas donde E = 1 y F = 0: por ejemplo,las coordenadas polares geodesicas ([dC], seccion 4.6), o las coordenadas deFermi ([dC], ejercicio 3, seccion 4.7).

Ya observamos que el cilindro y el plano son localmente isometricos: bastadesenrrollar una region del cilindro en una region del plano. Ese “desenrollar”es una isometrıa entre las dos regiones, pero si lo pensamos como mapaentre regiones de R3 observamos que no es un movimiento rıgido (i.e. unacomposicion de una rotacion con una traslacion en R3). Nos podemos pregun-tar como caracterizar las superficies que difieran apenas en un movimientorıgido. Observar que esta pregunta no tiene sentido intrınseco a las superficiespues involucra el espacio ambiente: involucra entonces a la segunda formafundamental. El resultado es el siguiente.

La primera y segunda formas fundamentales caracterizan completamente unasuperficie en R3. Mas precisamente, dos superficies M,N cubiertas por sendasparametrizaciones ϕ : U →M , ψ : U → N son congruentes (i.e. difieren enun movimiento rıgido de R3) si y solo si Iϕ(q) = Iψ(q) y IIϕ(q) = ±IIψ(q) paratodo q ∈ U (donde el signo ± es constante: no depende de q).

El resultado de unicidad del ıtem anterior se complementa con el siguienteresultado de existencia. Sea U ⊂ R2 un abierto y E,F,G, e, f, g : U → Rfunciones diferenciables con E > 0 y EG−F 2 > 0 que satisfacen las ecuaciones

134


de Gauss y de Mainardi-Codazzi de la observacion 2.4.5. Existe una superficieregular S ⊂ R3 cubierta por una parametrizacion ϕ : U → ϕ(U) = S talque E,F,G y e, f, g son sus coeficientes de la primera y segunda formafundamental respectivamente.

Una demostracion de los teoremas enunciados en estos ultimos dos ıtemspuede consultarse en el apendice al capıtulo 4 de [dC].

135


Figura 2.5: Helicoide Figura 2.6: Catenoide

Figura 2.7: Isometrıa local del helicoide en el catenoide

136

Bibliografıa

[Abe] Andres Abella, Calculo III, disponible en http://www.cmat.edu.uy/

cmat/cursos/licenciatura/apuntes/notas-realizadas-por-docentes/

calculo3-2006/

[Bac] David Bachman, A Geometric Approach to Differential Forms, disponibleen http://arxiv.org/abs/math/0306194v1

[dC] Manfredo P. do Carmo, Geometrıa Diferencial de Curvas y Superficies, AlianzaEditorial, Madrid, 1990.

[GP] Victor Guillemin y Alan Pollack, Differential Topology, Prentice-Hall, Engle-wood Cliffs, NJ, 1974.

[Ivo] Carlos Ivorra, Analisis Matematico, disponible en http://www.uv.es/

ivorra/Libros/Libros.htm

[Mar] Jerrold Marsden y Anthony Tromba, Calculo Vectorial, 3a ed., Addison-Wesley Iberoamericana, Wilmington, DE, 1991.

[Mil] John Milnor, Topology from the Differentiable Viewpoint, Princeton UniversityPress, Princeton, NJ, 1965.

[Mor] Shigeyuki Morita, Geometry of Differential Forms, AMS, 2001.

[Mu1] James Munkres, Analysis on Manifolds, Addison-Wesley, MassachusettsInstitute of Technology, Cambridge, MA, 1991.

[Mu2] James Munkres, Topology, 2nd. ed., Prentice-Hall, Upper Saddle River, NJ,2000.

[Lee] John Lee, Introduction to Smooth Manifolds, 2nd. edition, Springer, 2012.

[Opr] John Oprea, Differential Geometry and its Applications, Prentice-Hall, UpperSaddle River, NJ, 1997.

[Shif] Theodore Shifrin, Differential Geometry: A First Course in Curves andSurfaces, University of Georgia, 2012.

[ST] Isadore Singer y John Thorpe, Lectures on Elementary Topology and Geometry,Springer-Verlag, New York, NY, 1967.

[Spi] Michael Spivak, Calculo en Variedades, Editorial Reverte, Barcelona, 1988.

137

http://www.cmat.edu.uy/cmat/cursos/licenciatura/apuntes/notas-realizadas-por-docentes/calculo3-2006/



http://arxiv.org/abs/math/0306194v1

http://www.uv.es/ivorra/Libros/Libros.htm

http://www.uv.es/ivorra/Libros/Libros.htm

BIBLIOGRAFIA

[Spi4] Michael Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry,Vol. IV, Publish or Perish, Boston, 1975.

[Tu] Loring Tu, An Introduction to Manifolds, Springer Science+ Business Media,2011.

[Wei] Steven Weintraub, Differential Forms, A Complement to Vector Calculus,Academic Press, San Diego, CA; Chestnut Hill, MA, 1997.

[WeisMS] Eric W. Weisstein, Monkey Saddle, MathWorld–A Wolfram Web Re-source, http://mathworld.wolfram.com/MonkeySaddle.html

[WeisC] Eric W. Weisstein, Catenoid, MathWorld–A Wolfram Web Resource,http://mathworld.wolfram.com/Catenoid.html

[Yan] Min Yan, Topology, Hong Kong University of Science and Technology, 2010.

138

http://mathworld.wolfram.com/MonkeySaddle.html

http://mathworld.wolfram.com/Catenoid.html

Indice alfabetico

Abierto de Rn, 42Alternador, 15Angulo entre curvas coordenadas, 118Anticonmutatividad de los tensores

alternados, 17Atlas, 40

Basede las formas multilineales, 14del espacio tangente

de una variedad con borde, 73inducida por una

parametrizacion, 53equivalente, 61positiva, 62

Bordede Hn, 70

orientado como borde de Hn,79

de una variedad, 72es una variedad sin borde, 73

Cambio de coordenadas, 40, 52Campo escalar, 30Campo vectorial, 30, 66

conservativo, 37de gradientes, 37irrotacional, 106normal, 66

compatible con la orientacionde una superficie, 68

solenoidal, 106tangente, 66

compatible con la orientacionde una curva, 66

unitario, 66Carta local, 40Catenaria, 110Catenoide, 134

χ(U), vease Campo vectorial

Christoffel, sımbolos de, 130

Cilindro, 74, 103, 123

es localmente isometrico al plano,129

C∞(U), vease Campo escalar

Circulacion, 99

Codimension, 40

Cohomologıa de De Rham, 31

Compacidad, 89, 90, 103

Conforme, 130

Cono, 45

Contractil, 32

Coordenadas polares, 28, 31, 46

Cubrimiento abierto, 92

Curva, 34

cerrada, 32, 34, 108

concatenacion, 34

diferenciable a trozos, 34

homotopica, 32, 107, 108

longitud de una, 96, 111, 117

plana, 110

que se autointersecta, 111

regular, 41, 110

Curvas

coordenadas, 118

Curvatura

de una curva, 113

Gaussiana, 122

de la esfera, 123

del cilindro, 123

del paraboloide hiperbolico enel origen, 123

es invariante por isometrıaslocales, 132

normal, 119

principal, 121

139

BIBLIOGRAFIA

Derivada

exterior

en abiertos del espacioeuclıdeo, 25

en variedades, 87

y el pull-back conmutan, 28

∂Hn, vease Borde de Hn

Difeomorfismo, 10

local, 128

Diferencial

de un mapa de una variedad conborde al espacio euclıdeo, 71

de un mapa entre variedades, 56

de un mapa entre variedades conborde, 73

de una funcion, 8, 25

Direccion principal, 121

Divergencia, 30

interpretacion fısica, 106

Ecuaciones

de Gauss, 132

de Mainardi-Codazzi, 132

de Weingarten, 127

Entorno

coordenado, 40

relativo, 39

Esfera, vease S2

con n-asas, 50

Espacio

ambiente, 116

dual, 12

euclıdeo, 8

tangente, 50

afın, 51

base inducida por unaparametrizacion, 53

de una variedad con borde, 73

vectorial orientado, 61

Formula de Euler, 121

Flujo, 98

Forma

de area, 84

bilineal, 13

de angulo, 31, 37, 107

de longitud, 84

de volumen, 84

diferencialcerrada, 31en R3, 30en Rn, 22en una variedad, 81exacta, 31

en una variedad, 80multilineal, 13

alternada, 14Forma de estrella, 32Forma fundamental

primera, 116coeficientes de la, 117

segunda, 119en coordenadas locales, 126

Frenetecuaciones de, 114triedro de, 113

Gaussmapa de, 118teorema egregio de, 131

Grafico de una funcion diferenciable,42

es orientable, 65Gradiente, 8, 30

interpretacion fısica, 105Grupo simetrico, 15

Helice, 110Helicoide, 134Hiperboloide de una hoja, 45, 124

como superficie reglada, 48Hn, vease Semiespacio superiorHomotopıa, 32, 107, 108

Integracionde un campo vectorial

en una curva, 99en una superficie, 98

de una forma diferencialen el espacio euclıdeo, 89en un entorno coordenado, 90en una curva, 99en una superficie, 97en una variedad, 92

de una funcionen una curva, 99en una superficie, 97

140

BIBLIOGRAFIA

en una variedad, 95en una curva, 34

Integral de lınea, 34Isometrıa, 115, 128, 133

local, 128, 134

Klein, botella de, 40no es orientable, 67

Λk(V ∗), vease Forma multilinealalternada

Laplaciano, 30Lema de Poincare, 33

Mobius, banda de, 67

Ωk(M), vease Forma diferencial enuna variedad

Ωk(U), vease Forma diferencial en RnOperadores clasicos, 30Orientacion, 60

borde, 77de curvas, 66

conexas, 67de superficies, 67de variedades, 63

con formas diferenciales, 85de variedades con borde, 74

Parabola, 42Paraboloide, 42, 53

hiperbolico, 45, 123Parametrizacion, 40

de una curva por longitud dearco, 112

de una variedad con borde, 73ortogonal, 133, 134

Particion de la unidad, 92Permutacion, 15Plano, 124, 129, 133

normal, 113osculador, 113rectificante, 113

Preserva la orientaciondifeomorfismo entre variedades

orientadas, 64isomorfismo entre espacios

vectoriales orientados, 62Producto

cuna, vease Producto exterior

de variedades, 107

exterior

de formas diferenciales, 24

de formas multilinealesalternadas, 17

tensorial, 13

vectorial, 20

Proyeccion estereografica, 49

Pseudoesfera, 125

Pull-back

de un mapa entre variedades, 80

en el espacio euclıdeo, 26

lineal, 16

Punto

crıtico, 43

elıptico, 122

hiperbolico, 122

parabolico, 122

plano, 122

regular, 43

umbılico, 121

Regla de la cadena


en variedades, 58

Reparametrizacion, 34

Rotacional, 30

interpretacion fısica, 106

S2, 42, 46, 123, 133

y R2 no son difeomorfos, 49

Seccion normal, 120

Semiespacio

inferior, 70

superior, 70

y Rn no son difeomorfos, 72

Silla

de montar, vease Paraboloidehiperbolico

del mono, 124

Simplemente conexo, 32

Sistema de coordenadas, 40

Soporte

de una forma diferencial


en una variedad, 91

de una funcion, 89

141

BIBLIOGRAFIA

Superficie, 40area de una, 96, 118de revolucion, 46reglada, 48regular, 40, 45, 116

orientable, 67

T 2, 46es orientable, 70

Tensor, vease Forma multilinealTeorema

de la preimagen de valor regular,43

de cambio de variable, 90de clasificacion de

curvas, 45superficies, 50

de De Rham, 103de Green, 104de Heine-Borel, 89de inmersion de Whitney, 41de invariancia de dominio, 72de la divergencia de Gauss, 105de la funcion inversa

en el espacio euclıdeo, 11en variedades, 59

de Meusnier, 120de Minding, 134de particion de la unidad, 92de Stokes, 100

clasico, 105del gradiente, 104egregio de Gauss, 131

fundamental de la teorıa local decurvas, 115

fundamental del calculo, 104T k(V ∗), vease Forma multilinealToro, vease T 2

Torsion, 114Tractriz, 110Transformacion dual, 13Tritoro, 50

Valor regular, 43Variedad

con aristas, 103con borde, 70

orientable, 77con singularidades, 103conexa, 41diferenciable, 39orientable, 63orientada, 63

con la orientacion opuesta, 64sin borde, 73topologica, 39volumen de una, 95

Vectorbinormal, 113entrante, 74normal, 113

entrante, 77saliente, 77

saliente, 74tangente, 113velocidad, 55

142

Documents

C alculo III - cmat.edu.uy