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Equa¸ oes diferenciais de ordem n alculo II Departamento de Matem´ atica Universidade de Aveiro 2018-2019 alculo II | 2018-2019 EDO 1 / 34

C alculo II 2018-2019 - SWEET

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Equações diferenciais de ordem nCalculo II
2018-2019
Vamos considerar uma equacao diferencial de 1a ordem na forma
F (x , y , y ′) = 0
ou, mais frequentemente, na forma normal, explicitada usando a derivada de maior ordem
y ′ = f (x , y).
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1. Equacoes diferenciais de 1a ordem
1.0 Equacoes diferenciais de 1a ordem cujo termo independente depende apenas de x
1.1 Equacoes diferenciais de 1a ordem de variaveis separaveis
1.2 Equacoes diferenciais de 1a ordem, homogeneas de grau zero
1.3 Equacoes diferenciais de 1a ordem, redutveis a homogeneas de grau zero
1.4 Equacoes diferenciais de 1a ordem exatas
1.5 Equacoes diferenciais de 1a ordem lineares
1.6 Equacoes diferenciais de 1a ordem de Bernoulli
1.7 Aplicacao ao estudo das trajectorias ortogonais
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1.0. termo independente e apenas funcao de x, f (x , y) = g(x)
No caso em que f (x , y) e apenas funcao de x , f (x , y) = g(x), a equacao resolve-se facilmente por primitivacao da funcao g(x). O integral geral desta equacao diferencial e a famlia das primitivas de g :
y =
Resolva a equacao y ′ = ex .
y =
E quando f (x , y) nao depende apenas de x?
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1.1. Equacoes diferenciais de 1a ordem
de variaveis separaveis
EDO’s variaveis separaveis f (x , y) = p(x) q(y)
Nas equacoes de variaveis separaveis a funcao f (x , y) escreve-se como quociente entre duas funcoes, uma na variavel x e outra na variavel y f (x , y) = p(x)
q(y) sendo p e q funcoes contnuas nos seus domnios, I ⊂ R um
intervalo e q(y) 6= 0. Seja P(x) uma primitiva de p(x) e Q(y) uma primitiva de q(y).
Tem-se y ′ = p(x) q(y) ⇔
O integral geral e Q(y) = P(x) + c, c ∈ R.
Verificar se as funcoes q(y) = 0 sao solucoes singulares.
A solucao geral e constituda pelo integral geral e pelas solucoes singulares.
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Exerccios
6 y sin( x2 )− cos( x2 )y ′ = 0
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1.2. Equacoes diferenciais de 1a ordem
homogeneas de grau zero
Uma EDO de 1a ordem na forma normal
y ′ = f (x , y) ⇔ dy
dx = f (x , y)
e uma EDO homogeneas (de grau zero) se a funcao f (x , y) for uma funcao homogenea de grau zero, i.e. se
λ0f (x , y) = f (λx , λy), ∀λ ∈ R, (x , y), (λx , λy) ∈ D ⊆ R2.
Verifica se as funcoes seguintes sao homogeneas de grau zero.
1 f (x , y) = x2+y2
2x2−3y2
yx2
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EDO’s homogeneas de grau zero
Se f (x , y) e homogenea de grau zero
y ′ = f (x , y) = f (λx , λy).
Considere a mudanca de variavel λy = y x ⇔ λ = 1
x , x 6= 0. Temos
y ′ = f (x , y) = f (1, y
x ) = (z),
com z = y x ⇔ y = xy ⇒ y ′ = xz ′ + z .
Portanto a equacao diferencial y ′ = f (x , y) pode ser escrita do seguinte modo
xz ′ + z = (z)
que e separavel. Depois de obtido o seu integral geral efetua-se a substituicao inversa.
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Exerccios
y x + x
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1.3. Equacoes diferenciais de 1a ordem
redutveis a homogeneas de grau zero
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EDO’s redutveis a homogeneas
As equacoes da forma
a2x + b2y + c2 )
com a1, a2, a3, b1, b − 2, b3 ∈ R tais que a1b2 − a2b1 6= 0 sao redutveis a EDO’s homogeneas.
Efetuando a mudanca de variaveis
{ x = u + α y = v + β
para coordenadas (u, v), onde
v = v(u) e α e β sao constantes. Escolhemos α e β tais que{ a1α + b1β + c1 = 0 a2α + b2β + c2 = 0
e teremos
{ a1x + b1y + c1 = a1u + b1v a2x + b2y + c2 = a2u + b2v
obteremos a
Exerccios
2 y ′ = y−2x x+1 + tg( y−2x
x+1 ) + 2
exatas
EDO’s exatas
y ′ = f (x , y)
M(x , y) + N(x , y) y ′ = 0 ⇔
M(x , y) dx + N(x , y) dy = 0
Quando e que uma equacao diferencial de 1a ordem se diz exata em D?
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EDO’s exatas
Definicao
Uma eq. dif. de 1a ordem diz-se exata em D se existir uma funcao F (x , y) de classe C 1 em D cujo diferencial total e exatamente a expressao M(x , y) dx + N(x , y) dy , ou seja,
dF (x , y) = M(x , y) dx + N(x , y) dy
e que e equivalente a afirmar que
M(x , y) = ∂F
EDO’s exatas
Criterio para verificar se uma EDO e exata
Se D e um aberto simplesmente conexo, e sendo as funcoes M e N funcoes com derivadas parciais contnuas (i. e. de classe C 1), entao a EDO da forma M(x , y) dx + N(x , y) dy = 0 e diferencial exata se e so se
∂M
Verifique se as seguintes EDO’s sao exatas.
1 (y + 2xey )dx + (x2ey + x − 2y)dy = 0
2 (y 2)dx + (2xy)dy = 0
3 (3xy + y 2)dx + (x2 + xy)dy = 0
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EDO’s exatas
Recorda:
A solucao destas EDO’s e uma funcao F (x , y) tal que
∂F (x , y) = M(x , y) dx + N(x , y) dy
e o conjunto de solucoes da EDO e da forma
F (x , y) = C , C ∈ R.
Exerccios
2 (y + 2xey )dx + (x2ey + x − 2y)dy = 0
3 2x + y 2 + 2xyy ′ = 0
4 (y cos x + 2xey ) + (sen x + x2ey − 1)y ′ = 0
5 2xy + y 2 + (x2 + 2xy)y ′ = 0 Calculo II | 2018-2019 EDO 20 / 34
EDO’s exatas
Fator Integrante
Existem certas funcoes auxiliares que permitem transformar uma dada EDO nao exata numa eq. exata. Chama-se fator integrante da eq. M(x , y) dx + N(x , y) dy = 0 a toda a funcao µ(x , y) nao nula tal que a eq.
µ(x , y) M(x , y) dx + µ(x , y) N(x , y) dy = 0
e diferencial exata.
Ora µ(x , y) M(x , y) dx + µ(x , y) N(x , y) dy = 0⇔ µM + µNy ′ = 0⇔ µMdx + µNdy = 0. Esta eq. dif. e exata se ∂µM
∂y = ∂µN ∂x ⇔
∂x µ⇔ µyM − µxN + (My − Nx)µ = 0
A solucao desta eq. dif. e difcil, pelo que e habitual simplificar o problema assumindo que o fator integrante depende somente de x ou somente de y .
Calculo II | 2018-2019 EDO 21 / 34
EDO’s exatas
Assumindo que µ(x , y) depende apenas de uma variavel:
µ(x , y) funcao de x : µ(x , y) = µ(x), entao µy = 0 logo
µx = My−Nx
N e
µ(x) = e ∫
g(x)dx
µ(x , y) funcao de y : µ(x , y) = µ(y), entao µx = 0 logo
−µy = My−Nx
M e
1 3xy + y 2 + (x2 + xy) y ′ = 0, µ(x) = x
2 y 2 cos xdx + (4 + 5y sen x)dy = 0, µ(y) = y 3
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1.5. Equacoes diferenciais de 1a ordem
lineares
EDO’s lineares
a0(x) y ′ + a1(x) y = b(x)
com a0, a1, b funcoes definidas num intervalo I e tais que a0(x) 6= 0 para todo x ∈ I; se b(x) = 0 a equacao diz-se homogenea, senao diz-se completa; pode ser de coeficientes constantes ou de coeficientes variaveis.
Como a0(x) 6= 0 para todo x ∈ I, dividindo por a0(x) podemos escrever a equacao da forma
y ′ + p(x) y = g(x)
a0(x) .
EDO’s lineares
procuramos um fator integrante µ(x) tal que
µ(x)(y ′ + p(x) y) = (µ(x) y)′ ou seja, tal que
(µ(x) y)′ = µ(x) g(x).
EDO’s lineares
y = (µ(x) y)′ ⇔
Portanto µ′(x) = µ(x) p(x)
ou seja, µ e solucao de
1
p(x) 1 µ
EDO’s lineares
µ(x) = c eP(x), c ∈ R
sendo P(x) =
∫ p(x) dx .
E agora
y = 1
Exerccios
3
y(0) = 1 2
se p e g sao contnuas em I, o problema
{ y ′ + p(x) y = g(x) y(x0) = y0
tem
de Bernoulli
EDO’s Bernoulli
Uma EDO de Bernoulli e da forma
y ′ + a(x) y = b(x) yα, α ∈ R
se α = 0 ou α = 1 temos uma equacao linear se α 6= 0, 1 a equacao e nao linear.
Multiplicando a equacao por y−α obtemos
y ′ y−α + a(x) y 1−α = b(x)
fazer a mudanca de variavel de y para z y 1−α = z pelo que
z ′ = (1− α) y−α y ′ ⇔ y ′ y−α = z ′
1− α .
z ′
1− α + a(x) z = b(x) ⇔ z ′ + (1− α)a(x)z = (1− α)b(x)
que e uma equacao linear.
Exerccios
2 “crescimento de uma populacao” :
{ p′(t) = λp(x)(k − p(t)) p(0) = p0
3 x y ′ + y = y 2 ln(x), x > 0
4 y ′ − y 2x = 5x2y 5, x 6= 0
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1.7. Aplicacao ao estudo das trajetorias ortogonais
Calculo II | 2018-2019 EDO 32 / 34
Considere uma famlia de curvas planas admitindo em cada ponto (x0, y0) uma reta tangente com declive f (x0, y0). Em cada um destes pontos passa uma unica curva e, localmente, esta curva representa graficamente a funcao y = φ(x) que e o integral geral da equacao diferencial y ′ = f (x , y).
Uma trajetoria ortogonal e uma curva que intersecta ortogonalmente todas todas as curvas desta famlia.
Portanto tem declive − 1
f (x0, y0)
A famlia das trajetorias ortogonais e dada pelo integral geral da equacao
y ′ = − 1
Exerccios
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