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fantasma

A Tigo, a la Loca, al Rubio, al Chuby, a la Negra y a los cinco loquitos (EEB)A la memoria de mis abuelas, por las matemáticas y por la docencia (MAP)

A Luciano, María Emilia y Juan Manuel (MLS)

Agradecimientos

Los autores desean agradecer: A la Facultad de Ciencias Exactas de la Universidad Nacional deLa Plata y, en particular, al Departamento de Matemática. A los docentes que con sus comentarios yobservaciones han colaborado a mejorar este material de estudio. Muy especialmente a la Dra. MaríaTeresa Martín, colega y amiga. Gracias Tere, por tu participación desinteresada en la producción dela presente obra y por tu dedicado compromiso con la enseñanza de la matemática. A tantos colegasactuales que antes nos formaron habiendo sido nuestros docentes. A nuestros alumnos, estudiantesde las carreras del CiBEx, de quienes mucho aprendemos día a día.

Índice general

1 Geometría del espacio y del plano1.1 Sistema de coordenadas cartesianas y vectores en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.1 Sistema de coordenadas cartesianas tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.2 Vectores en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2 Sistema de coordenadas cartesianas y vectores en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.1 Sistema de coordenadas cartesianas bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.2 Vectores en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3 Operaciones algebraicas con vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.1 Operaciones de suma y productos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.2 Módulo de un vector y normalización de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4 Trabajar en varias dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.5 Ecuaciones para una recta en el plano y en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.5.1 Recta en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.5.2 Recta en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.5.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.6 Ecuaciones para un plano en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.6.1 Plano en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.6.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.7 Otras superficies en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.7.1 Superficies cuádricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.7.2 Superficies cilíndricas generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.7.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.8 Otros sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.8.1 Sistema de coordenadas polares en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.8.2 Sistema de coordenadas cilíndricas en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.8.3 Sistema de coordenadas esféricas en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.8.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.9 Actividades integradoras y autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.9.1 Actividades integradoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.9.2 Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2 Funciones vectoriales de un parámetro2.1 Curvas paramétricas y funciones vectoriales de un parámetro . . . . . . . . . . . . . . 572.1.1 Curvas paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.1.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.2 Derivación e integración de funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.2.1 Límite y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.2.2 Derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.2.3 Integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.2.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.3 Longitud de una curva paramétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.3.1 Función longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.3.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.4 Aplicación: Movimiento en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.4.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

ÍNDICE GENERAL 5

2.5 Actividades integradoras y autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.5.1 Actividades integradoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.5.2 Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3 Funciones escalares de varias variables3.1 Funciones escalares de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.1.1 Funciones escalares de dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.1.2 Funciones escalares de tres variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.1.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.2 Límite y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.2.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.3 Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093.3.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.4 Diferenciabilidad, plano tangente y aproximación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.4.1 Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.4.2 Plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1183.4.3 Aproximación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193.4.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.5 Composición de funciones de varias variables. Reglas de la cadena. . . . . . . . . . 1213.5.1 Composición de funciones de varias variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1223.5.2 Reglas de la cadena para derivar funciones compuestas de varias variables . . . . . . . 1233.5.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1263.6 Más sobre cambios de una función de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1273.6.1 Derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1273.6.2 Vector gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1323.6.3 Dirección de máximo crecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1333.6.4 Derivada direccional y curvas de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1333.6.5 Derivada direccional y superficies de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363.6.6 Derivación parcial implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1373.6.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1383.7 Anexo A. Derivadas de órdenes superiores para funciones compuestas . . . . . . 1393.8 Actividades integradoras y autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1403.8.1 Actividades integradoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1403.8.2 Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4 Optimización de funciones escalares de varias variables

4.1 Optimización de funciones escalares de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1464.1.1 Puntos críticos de una función de dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1464.1.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1524.2 Clasificación de puntos estacionarios de una función de dos variables . . . . . . . 1524.2.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1554.3 Extremos de una función de dos variables en una región cerrada y acotada . . . 1554.3.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1574.4 Resolución de problemas con restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1584.4.1 Método de los multiplicadores de Lagrange: función de 2 variables y 1 vínculo . . . 1594.4.2 Método de los multiplicadores de Lagrange: función de 3 variables y 1 vínculo . . . 1624.4.3 Método de los multiplicadores de Lagrange: función de 3 variables y 2 vínculos . . 1634.4.4 Aplicación al cálculo de extremos en una región cerrada y acotada . . . . . . . . . . . . 1644.4.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

6 ÍNDICE GENERAL

4.5 Anexo A. Puntos críticos y estacionarios de una función de n variables . . . . . . 1664.6 Anexo B. Justificación de criterios de las derivadas segundas . . . . . . . . . . . . . . 1674.7 Actividades integradoras y autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1684.7.1 Actividades integradoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1684.7.2 Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

5 Integración de funciones escalares de varias variables5.1 Integrales dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1725.1.1 Integral doble en un rectángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1725.1.2 Integral doble en una región plana general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1785.1.3 Propiedades de las integrales dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1805.1.4 Cambio de variables en integrales dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1855.1.5 Aplicaciones de las integrales dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1885.1.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1905.2 Integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1925.2.1 Integral triple en un prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1925.2.2 Integral triple en una región sólida general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1945.2.3 Cambio de variables en integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1995.2.4 Aplicaciones de las integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2015.2.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2045.3 Integrales de línea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2055.3.1 Integral de línea de una función escalar de dos o tres variables . . . . . . . . . . . . . . . 2065.3.2 Aplicaciones de las integrales de línea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2125.3.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2135.4 Integrales de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2135.4.1 Superficies paramétricas y funciones vectoriales de dos parámetros . . . . . . . . . . . . 2145.4.2 Integral de superficie de una función escalar de tres variables . . . . . . . . . . . . . . . . 2195.4.3 Aplicaciones de las integrales de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2225.4.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2235.5 Anexo A. Tabla de primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2245.6 Anexo B. Integrales dobles y triples en otros sistemas de coordenadas . . . . . . . 2245.7 Actividades integradoras y autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2275.7.1 Actividades integradoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2275.7.2 Autoevalución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

6 Campos vectoriales6.1 Campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2326.1.1 Definición de campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2326.1.2 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2356.1.3 Derivadas de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2396.1.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2426.2 Integral de línea de un campo vectorial. Teorema Fundamental . . . . . . . . . . . . 2436.2.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2466.2.2 Teorema fundamental para integrales de línea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2466.2.3 Independencia de la trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2486.2.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2546.3 Integral de superficie de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2546.3.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2586.4 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2596.4.1 Teorema de Green y campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2636.4.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

ÍNDICE GENERAL 7

6.5 Teorema de Stokes o Teorema del rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2656.5.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2686.6 Teorema de Gauss o Teorema de la divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2696.6.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2726.7 Actividades integradoras y autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2726.7.1 Actividades integradoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2726.7.2 Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

Introducción

El presente libro de cátedra se ideó con el objetivo de guiar el desarrollo de la asignaturaAnálisis Matemático II que cursan los alumnos en el segundo semestre del ciclo básico (CiBEx)de la Facultad de Ciencias Exactas de la Universidad Nacional de La Plata. Se cubren los temascurriculares desde una perspectiva que pretende la integración horizontal y vertical en los diferentesplanes de estudio, correspondientes a ocho carreras de grado de esta Facultad y dos carreras deProfesorado de la Facultad de Humanidades y Ciencias de la Educación.

Este libro brinda un encuadre teórico-práctico de la materia, como está previsto en los planesde estudio vigentes. Se incluye tanto el material teórico básico como ejercitación sobre el cálculodiferencial e integral de funciones de dos o tres variables, junto con problemas de aplicación queresaltan los puntos principales de cada tema, a fin de que puedan abarcarse los contenidos dela materia en el plazo establecido. Cada capítulo cuenta con ejercicios de integración temáticay una autoevaluación para propiciar el desarrollo de una actitud crítica de los estudiantes comoherramienta fundamental en su formación.

A lo largo de todo el texto se ha incorporado una gran variedad de recursos GeoGebra. Algunosde ellos permiten visualizar los conceptos matemáticos que se desarrollan en el curso, y otros sepresentan con actividades para realizar, relacionadas con los ejemplos resueltos o los ejerciciospropuestos. Varios recursos son de elaboración propia pero otros fueron seleccionados de lacomunidad GeoGebra y en todos esos casos se ha registrado la autoría correspondiente. El softwareaporta tres facetas potentes y útiles en el marco del curso: es una herramienta integral para el trabajocon los distintos tipos de representación de los conceptos matemáticos favoreciendo su construcción,provee una plataforma versátil para la exploración, elaboración, testeo y validación de conjeturas, yresulta un medio accesible para promover un trabajo colectivo y una participación activa de losestudiantes en el aula.

Este libro de cátedra recoge la experiencia de los autores en el dictado de la asignatura y estábasado en las guías elaboradas por los equipos coordinadores a cargo en los últimos semestres, conel aporte de docentes asignados a la materia en este período.

Nuestro deseo es que este material sirva como orientación para el trabajo de docentes y alumnosa lo largo del curso, dando un marco unificado en cuanto a los temas a abordar y su profundidad, yque pueda servir también como referencia para los estudiantes en instancias más avanzadas de suformación universitaria.

Plaza Moreno, La Plata (Noviembre de 1982)

Bibliografía

• B. H. Edwards, R. Larson (2016). Cálculo, Tomo II. Cengage

• R. Larson, R. Hostetler, B. Edwards (2002). Cálculo, Vol. 2. Madrid: Pirámide

• J. E. Marsden, A. Tromba (1998). Cálculo vectorial. Mexico: Addison Wesley Longman

• R. T. Smith, R. Minton (2000). Cálculo. Tomo 2. Santafe de Bogotá: McGraw-Hill

• J. Stewart (2008). Cálculo: Trascendentes tempranas. Mexico: Cengage Learning

• J. Stewart (2012). Cálculo de varias variables y trascendentes tempranas. Mexico: Cengage

Autores

Baragatti, Esteban EduardoObtuvo el título de Licenciado en Matemática en la Facultad de Ciencias Exactas de la

Universidad Nacional de La Plata. Allí ha trabajado como docente en varias asignaturas; actualmenteforma parte, junto con Alejandra Vahnovan del Equipo Coordinador de la asignatura AnálisisMatemático I (CiBEx). Además, forma parte del equipo de trabajo del Espacio Pedagógico de laFacultad. Su interés particular está en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas a niveluniversitario.

Portesi, Mariela AdelinaObtuvo el título de Licenciada en Física en la Facultad de Ciencias Exactas de la Universidad

Nacional de La Plata, y el grado de Doctora en Física en la misma casa de altos estudios. Poseecargo docente de Profesor Adjunto en el Departamento de Matemática de la Facultad de CienciasExactas de la UNLP, desempeñándose como integrante del Equipo Coordinador de la asignaturaAnálisis Matemático II (CiBEx), junto con María Teresa Martín (2013-2015) y Dra. María EugeniaGarcía (desde 2016); también ha impartido cursos de posgrado en la Facultad de Ciencias Exactasde la UNLP y en la Facultad de Matemática, Astronomía, Física y Computación de la UniversidadNacional de Córdoba, y ha sido Profesor Visitante en la Universitè Grenoble-Alpes en Francia. EsInvestigador Independiente del Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas, conlugar de trabajo en el Instituto de Física La Plata. Su especialidad es la teoría y geometría de lainformación aplicadas a sistemas cuánticos.

Schuverdt, María LauraObtuvo el título de Licenciada en Matemática en la Facultad de Ciencias Exactas de la

Universidad Nacional de La Plata, y el grado de Doctora en Matemática Aplicada en el Instituto deMatemática y Estadística de la Universidad Estatal de Campinas, Brasil. Posee cargo docente deProfesor Adjunto en el Departamento de Matemática de la Facultad de Ciencias Exactas de la UNLP.Es Investigadora Adjunta del Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas, con lugarde trabajo en el Departamento de Matemática. Su especialidad es la optimización no lineal.