Instituto Universitario Politécnico

“Santiago Mariño”.Barcelona

Cónicas, Ecuaciones Paramétricas y

Coordenadas Polares

PARABOLAUna parábola es una curva en la que los puntos están a la

misma distancia de:

• Un punto fijo (el foco)• Una línea fija (la directriz)

Además cuenta con una serie de elementos o parámetros que son básicos para su descripción, y son:

• Vértice (V) : Punto de la parábola que coincide con el eje de simetría.

• Distancia focal: Parámetro que indica la magnitud de la distancia entre vértice y foco , así como entre vértice y directriz (ambas distancias son iguales).

• Cuerda : Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera, pertenecientes a la parábola.

• Lado recto (LR) : Cuerda focal que es perpendicular al eje focal

La ecuación de una parábola de eje paralelo al eje x, con vértice en ( h, k ) y foco F( h + a, k) es:

En vista que: (y - ka(x - h) ≥ 0Los signos de “a” y “x-h” son siempre iguales. Por consiguiente: la parábola se abre hacia la derecha, si a > 0 y x ≥ h; y se abre a la izquierda si a < 0 y x ≤ h

Siendo sus elementos:

• Vértice: V( h, k) • Foco: F(h + a, k)• Directriz: x = h-a• Eje de la parábola: y = k• Longitud del lado recto: l 4a l• Extremos del lado recto: (h + a, k ± 2a)

(y - ka(x - h)

Teorema

EjemploDada la parábola , calcular su vértice, su foco y la recta directriz

Elipse

Una elipse es el conjunto de todos los punto de un plano cuya

suma de distancias a dos puntos fijos es una constante.

Así que, no importa dónde estés en la elipse, puedes sumar las distancias al

punto "A" y al punto "B" y siempre saldrá lo mismo.

(Los puntos "A" y "B" se llaman los focos de la elipse)

El área de una elipse es π × r × s

• Focos: Son los puntos fijos F y F'• Eje focal: Es la recta q pasa por lo focos• Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'• Centro: es el punto de intersección de los ejes• Radio vectores: Son los segmentos q van desde un punto de la

elipse a los focos: PF PF'• Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c, c es el valor de la

semidistancia focal.• Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A',B, B'.• Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a, a es el valor del

semieje mayor. • Eje Menor: Es el segmento de longitud 2b, b es el valor del

semieje menor. • Ejes de simetría: Son las rectas q contienen al eje mayor o al eje

menor.• Centro de simetría: Coinciden con el centro de la elipse, que es el

punto de intersección de los ejes de simetría.

Elementos de la Elipse

TeoremaLa forma estándar o canónica de la ecuación de una elipse con centro (h, k) ylongitudes de los ejes mayor y menor 2a y 2b, respectivamente, donde a>b, es:

El eje mayor es horizontal.

o

El eje mayor es vertical.

Los focos se encuentran en el eje mayor, a c unidades del centro, conc²= a² - b²

EjemploRepresenta gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los

vértices y la excentricidad de las siguiente elipse:

Hipérbola La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya diferencia de

distancias (d1 y d2) a dos puntos fijos llamados focos (F1 y F2) es constante.El valor de esa constante es la distancia entre los vértices V1 y V2 de la hipérbola (2a).

La hipérbola también se puede definir como una cónica, siendo la intersección del cono con un plano que no pase por su vértice y que forme un ángulo con el eje del cono menor que el ángulo que forma con el eje generatriz g del cono.

Elementos de la hipérbola• Focos: son los dos puntos fijos (F1 y F2).• Radio vector: es la distancia R de un punto de la hipérbola (P) a cualquiera de los focos.• Eje focal: es el eje de simetría E que une a los dos focos. También se llama eje transverso.• Eje no transverso: es la mediatriz T del eje focal.• Centro: es el punto medio O de los dos focos. También se puede definir como la

intersección del eje focal y el transverso.• Vértices: son los dos puntos de intersección del eje focal con la hipérbola (V1 y V2).• Distancia focal: es la distancia 2c entre focos. También se denota como F1F2.• Eje real: es la distancia 2a entre vértices.• Eje imaginario: es la distancia 2b de los puntos B1 y B2. • Asíntotas: son las líneas rectas (A1 y A2) que se aproximan a la hipérbola en el infinito.• Puntos interiores y exteriores: la hipérbola divide el plano en tres regiones. Dos regiones

que contienen un foco cada una y otra región sin ningún foco. Los puntos contenidos en las regiones con un foco se llaman interiores (I) y los otros exteriores (Ex).

• Tangentes de la hipérbola: sobre cada punto Pi de ambas ramas de la misma. Cada tangente es la bisectriz de los dos radios vectores del punto Pi.

• Circunferencia principal (CP): su radio r=a y su centro en O. Es el lugar geométrico de las proyecciones de un foco sobre las tangentes.

• Directrices de la hipérbola: son dos rectas paralelas al eje transverso (D1 y D2). Su distancia a cada una es a/e (e es la excentricidad de la hipérbola). Pasan por las intersecciones de la circunferencia principal con las asíntotas (A1 y A2).

Ecuación de la HipérbolaLa ecuación de la hipérbola se puede expresar cuando su centro es O=(o1,o2) como:

Si la hipérbola tiene su centro en el origen, O=(0,0), su ecuación es:

Además, los puntos de una hipérbola son los que cumplen la ecuación general de la hipérbola:

siendo A, B, C, D y E escalares (números reales) y necesariamente debe cumplir que los coeficientes de x2 e y2 (A y C) son no nulos y tienen diferente signo.

Teorema

Si el eje transversal es horizontal, las ecuaciones de las asíntotas son:

Si el eje transversal es vertical, las ecuaciones de las asíntotas son:

Ejemplo Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(4, 0), de vértice A(2, 0) y de centro C(0, 0)

Curvas planas y ecuaciones paramétricas

Curva plana: Si f y g son funciones continuas de t en un intervalo I, entonces a las ecuaciones x = f(t) y y = g(t) se les llama ecuaciones paramétricas y se dice que t es el parámetro. Al conjunto de puntos (x, y) que se obtiene cuando t varía sobre el intervalo I se le llama la gráfica de las ecuaciones paramétricas. A las ecuaciones paramétricas y a la gráfica, juntas, se le llama una curva plana, que se denota por C.

Trazado de una curva Trazar la curva dada por las ecuaciones paramétricas

Para valores de t en el intervalo dado, se obtienen, a partir de las ecuaciones paramétricas, los puntos (x, y) que se muestran en la tabla

Al trazar estos puntos en orden de valores crecientes de t y usando la continuidad de f y de g se obtiene la curva C

x=t² -4 y=t/2

t=2y

x=(2y)²-4

x=4y²-4

Ecuaciones paramétricas

Despejar t de una de las ecuaciones

Sustituir en la otra ecuación

Ecuación rectangular

Eliminación del parámetroAl encontrar la ecuación rectangular que representa

la gráfica de un conjunto de ecuaciones paramétricas se le llama eliminación del parámetro.

Por ejemplo, el parámetro del conjunto de ecuaciones paramétricas del ejemplo anterior (trazado de una curve) se puede eliminar así:

Una vez eliminado el parámetro, se ve que la ecuación x=4y²-4 representa una parábola con

un eje horizontal y vértice en (-4,0)

Ajuste del dominio después de la Eliminación del parámetro

El rango de x y y implicado por las ecuaciones paramétricas puede alterarse al pasar a la forma rectangular. En esos casos, el dominio de la ecuación rectangular debe ajustarse de manera que

su gráfica coincida con la gráfica de las ecuaciones paramétricas.

Dibujar la curva representada por las ecuaciones

eliminando el parámetro y ajustando el dominio de la ecuación rectangular resultante.Para empezar se despeja t de una de las ecuaciones paramétricas. Por ejemplo, se puede

despejar t de la primera ecuación.

Ecuación paramétrica para x.

Elevar al cuadrado cada lado.

Despejar t

ContinuaciónSustituyendo ahora, en la ecuación paramétrica para y, se obtiene

Ecuación paramétrica para x.

Elevar al cuadrado cada lado.

Despejar t

Emplear trigonometría para eliminar un parámetro

Dibujar la curva representada por

al eliminar el parámetro y hallar la ecuación rectangular correspondiente.

Para empezar se despejan cos θ y sen θ de las ecuaciones dadas.

A continuación, se hace uso de la identidad sen²θ + cos² θ =1 para formar una ecuación en la que sólo aparezcan x y y.

Obsérvese que la elipse está trazada en sentido contrario al de las manecillas del reloj ya que θ va de 0 a 2π

En esta ecuación rectangular, puede verse que la gráfica es una elipse centrada en (0,0) con vértices en (0,4) y (0,-4) y eje menor

de longitud 2b=6

Identidad trigonométrica.

Sustituir.

Ecuación rectangular.

Ecuaciones paramétricas para una gráfica dada

Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para representar la gráfica de y=1 -x² usando cada uno de los parámetros siguientes: a) t=x b) La pendiente m en el punto (x, y)

• Haciendo x=t se obtienen las ecuaciones paramétricasx=t y y=1 - x²=1- t²

• Para expresar x y y en términos del parámetro m, se puede proceder así: m= =­-2x­­­­­­Derivada de y=1 - x²

x=­-­ Despejar x

Con esto se obtiene una ecuación paramétrica para x. Para obtener una ecuación paramétrica para y, en la ecuación original se sustituye x por –m/2

Continuacióny=1-x² Escribir la ecuación rectangular original

y=1- ( - )² Sustitución de x por –m/2

y= 1- Simplificación

Por tanto, las ecuaciones paramétricas son:

­x= - y y= 1-

Curva suave

Una curva C representada por x=f(t) y y=(t) en un intervalo I se dice que es suave si f'­y­g' son continuas en I y no son simultáneamente 0, excepto posiblemente en los puntos terminales de I. La curva C se dice que es suave a trozos si es suave en todo subintervalo de alguna partición de I.