Bài tập chương 3 .

1) Xét xem các tập hợp cùng với phép cộng và phép nhân vô hướng cho sau đây có phải

là KGVT trên R không?

a) 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2(x ,x ),(y ,y ) R :(x ,x ) (y ,y ) (x y ,x y ), 2

1 2 1 2 1(x ,x ) R , R: (x ,x ) ( x ,0),

b) 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2(x ,x ),(y ,y ) R : (x ,x ) (y ,y ) (x y ,x y ),

2

1 2 1 2 1 2(x ,x ) R , R: (x ,x ) ( x , x ), 2

1 2 1 2(R {(x ,x ) R | x 0,x 0)

c) nP là tập các đa thức bậc n với các phép toán thông thường:cộng hai đa thức và

nhân đa thức với một số.

d) 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2(x ,x ),(y ,y ) R : (x ,x ) (y ,y ) (x y ,x y ),

1 2

2

1 2 1 2(x ,x ) R , R: (x ,x ) (x ,x ).

2) Kiểm tra các tập sau đây có là không gian vector (KGVT) con của các không gian

vector tương ứng không?

a) 3

1 2 3 iW {(x ,x ,x ) R / x 0, i 1,2,3}

b) 3

1 2 3 1 2 3W {(x ,x ,x ) R / x +2x =3x }

c) 3

1 2 3 1 2W {(x ,x ,x ) R / x +3x =1}

d) 2

a bW M / b c 0

c d

e) 2

0 1 2 2 0 1 2W {a a t a t P [t]/ a a a 0}

3) Cho các vector u = (1, -3, 2) và v = (2,-1,1) trong 3R

a) Hãy biểu diễn tuyến tính vector w = (1,7,-4) qua u,v.

b) Xác định m để w = (1, m, 5) là tổ hợp tuyến tính của u,v.

c) Tìm điều kiện của a,b,c để w = (a,b,c) là tổ hợp tuyến tính của u,v.

4) Xét sự độc lập tuyến tính (đltt) của các hệ vector sau trong các KGVT tương ứng:

a) 1 2 3a (3,2, 1),a (2,3,5),a ( 1,1,2)

b) 1 2 3 4b (2,1,1, 1),b (1, 1,2,1),b (3,4,5,1),b (1,2, 1, 2)

c) 1 2 3c (1,2, 1,3),c (3,7,9,13),c ( 2, 4,2, 6)

d) 1 2 3d (6,3,5,7),d (5,9,8,11),d (13,17,25,31), 4d (25,18,19,41),

5d (33,79,81,1)

e) 1 2 3 4

1 5 1 1 2 4 1 7e ,e ,e ,e

4 2 1 5 5 7 5 1

f) 3 2 3 2 3

1 2 3 4f x 2x 2,f x 1,f x 2x 2x,f x 1 trong 3P [x].

5) Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con của 4R sinh bởi hệ vector sau:

a) 1 2 3(1,2, 1,3), (2, 1,2,4), (0, 5,4, 2)

b) 1 2 3( 1,0,1,2), (1,1,0, 3), (2,1, 1, 5), 5 (1, 1,1,2), 4 ( 2,3,1, 3),

6) Cho các vector

1 2 3 4u (1,2, 1,2,0),u (2,3,4,1,2),u (0,2, 12,6, 4),u ( 1,1,a,7,b), và các không gian

1 1 2 3 2 1 2 3 4L span{u ,u ,u },L span{u ,u ,u ,u }.

a) Tìm một cơ sở và số chiều của 1L .

b) Tùy vào điều kiện của a, b tìm số chiều của 2L . Khi nào 1 2L L .

7) Trong 3R , cho không gian con

1 1 2 3L span(S),S {u (1, 3,2),u (2, 1,1),u (1,m,5)}.

a) Với giá trị nào của m thì 3L R .

c) Cho m = -8. Tìm điều kiện của a, b, c để x (a,b,c) L.

8) Tập nào là không gian con của 4R ? Tìm một cơ sở của nó (nếu là không gian con)

a) 1 1 2 3 4 1 4 iL {(x ,x ,x ,x )|x x ,x R}

b) 1

2

2 1 2 3 4 2 iL {(x ,x ,x ,x )|x x ,x R}

9) Tìm chiều và một cơ sở của không gian nghiệm của hệ phương trình:

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

x 2x x 3x 4x 0

2x 4x 2x 7x 5x 0

2x 4x 2x 4x 2x 0

10) Tìm nghiệm tổng quát và một hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình

1 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

x 3x 4x 0

x x 7x 9x 0

2x x 10x 13x 0

3x x 13x 17x 0

(Một hệ nghiệm cơ bản là một cơ sở của không gian nghiệm)

11) Trong 3R cho các hệ vector:

1 2 3(1,1,1), (1,1,2), (1,2,3) (1)

1 2 3(2,1, 1), (3,2,5), (1, 1,m) (2)

a) Chứng minh rằng (1) là một cơ sở của 3R .

b) Tìm tọa độ của vector u = (2,3,1) đối với cơ sở (1).

c) Tìm m để (2) là một cơ sở của 3R .

d) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ (1) sang (2) với m=1.