Breve introducción a las lógicas multivaluadas · formales necesarios para la construcci´on de (una) ... El comienzo de la Logica Formal ... qu´e cadenas de s´ımbolos son fbfs

LogicasMultivaluadas

Preliminares

Definiciones

Aplicaciones

Deduccionautomatica

Prog. LogicaMultiadjunta

Breve introducciona las logicas multivaluadas

Manuel Ojeda Aciego

Departamento de Matematica AplicadaUniversidad de Malaga

Programa de Doctorado en Computacion, 2007


Preliminares

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Aplicaciones

Deduccionautomatica


Prefiero caminar con una dudaque con un mal axioma

El Cromosomade Javier Krahe


Preliminares

Definiciones

Aplicaciones

Deduccionautomatica


Contenido

1 PreliminaresEn busca del metodo axiomatico: la GeometrıaBrevısima historia de la logica multivaluada

2 DefinicionesSintaxisSemanticaEjemplos

3 Aplicaciones

4 Deduccion automatica

5 Prog. Logica MultiadjuntaSintaxisSemantica


Preliminares

Geometrıa

Logica

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Deduccionautomatica


Una historia preliminarEl teorema de Pitagoras

Teorema (de Pitagoras)

Para todo triangulo rectangulo se tiene a2 = b2 + c2, donde

Demostracion: Partamos de la siguiente teselacion del planousando dos cuadrados diferentes


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Logica

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Unamos los centros de loscuadrados grandes paraconstruir una retıcula decuadrados aun mas grandes.

Ahora traslademos loscuadrados nuevos de modoque sus vertices coincidan conlos de la retıcula previa.


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Logica

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Vemos como el cuadrado grande resulta dividido en trozos quepermiten reconstruir los dos mas pequenos.

Como querıamos demostrar.¿O no?


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Repasemos la historiaSobre la demostracion del teorema de Pitagoras

Repasemos los fundamentos de la demostracion.

Hemos partido de una teselacion del plano. ¿Comosabemos que existe?

Es mas, ¿como sabemos que existen los cuadrados?

Afortunadamente, Euclides ya proporciono los ingredientesformales necesarios para la construccion de (una) geometrıa.


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Logica

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Repasemos la historiaLos postulados de Euclides

La geometrıa de Euclides esta basada en los cinco postuladossiguientes:

1 Dos puntos cualesquiera pueden ser unidos por unsegmento.

2 Todo segmento se puede prolongar indefinidamente yformar una recta.

3 Es posible construir un cırculo dados su centro y su radio.

4 Todos los angulos rectos son iguales entre sı.

5 Por un punto exterior a una recta es posible trazar unaunica paralela a dicha recta.


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Sobre el quinto postulado de Euclides

Durante mucho tiempo se intento probar a partir de losotros postulados.

Se observo, finalmente, que era un postuladoindependiente.

Es mas, es posible sustituirlo por otros, tales como1 Por un punto exterior a una recta no es posible trazar una

unica paralela a dicha recta.2 Por un punto exterior a una recta es posible trazar infinitas

paralelas a dicha recta.

y obtener una teorıa de la geometrıa sin contradicciones.


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Logica

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Geometrıas no euclıdeas

Consecuencias

Existen distintas definiciones de geometrıa.

Todas son igualmente validas desde un punto de vistaformal.

¡¡Incluso parece ser que el mundo real no se correspondecon la geometrıa euclıdea, sino con alguna de sus parientesraras!!


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Geometrıas no euclıdeasCuadrados hiperbolicos en un cuadro de Escher


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Hablemos de Logica

Originalmente, la logica trataba de formalizarrazonamientos en lenguaje natural.

Porque el lenguaje natural es ambiguo, y posibilita laexistencia de paradojas:

Uno de ellos, profeta suyo, dijo: “Los cretenses sonsiempre mentirosos, malas bestias, vientresperezosos.” Este testimonio es verdadero.

(Tito 1, 12-13)


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Geometrıa

Logica

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El comienzo de la Logica FormalSeguimos con la antiguedad

Aristoteles desarrollo el primer sistema formal para“todos” y “algunos”

Su Silogıstica puede describirse como un conjunto dereglas de inferencia para las proposiciones categoricas

(A) Todo P es Q(E) Ningun P es Q(I) Algun P es Q(O) Algun P no es Q


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Geometrıa

Logica

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Por fin: la logica multivaluadaHitos importantes

Aristoteles, Ockham Los futuros contingentes.

Lukasiewicz’20 Logica trivaluada de la “posibilidad”.

Post’20 Logicas multivaluadas con completitud funcional.

Heyting’30 Logica trivaluada para el intuicionismo.

Godel’32 Logicas finito valuadas como aproximacion de lalogica intuicionista.

Bocvar’38 Logica de las paradojas.

Kleene’52 Logica de lo “indefinido.”


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Logica

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La logica multivaluadaHitos importantes

Zadeh’65 Logica difusa (en sentido amplio).

Pavelka’79 Logica difusa proposicional (en sentido estricto).

Novak’90 Logica difusa de primer orden.

Hajek’95 Logica difusa racional.

No se debe buscar la unica logica verdadera, sinoaquella que mejor se adapte a nuestro problema.


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Logica

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Aspectos comunes a toda Logica

Sintaxis

Semantica

Teorıa de la Demostracion

¿Deduccion automatizable?


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Sintaxis

Semantica

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Lenguaje formal

Definicion

Un lenguaje L sobre un conjunto numerable A quellamaremos alfabeto, es un subconjunto no vacıo dellenguaje universal sobre A:

L ⊆ A∗ =⋃n∈N

An

Equivalentemente:

Un conjunto de sımbolos, llamado alfabeto del lenguaje.

Un conjunto de reglas de formacion que determinanque cadenas de sımbolos son fbfs y que constituyen lagramatica del lenguaje.


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Semantica

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Sintaxis de la Logica ProposicionalAlfabeto

Definicion

El alfabeto esta formado por los siguientes conjuntos:

1 Un conjunto numerable de sımbolos de proposicion:

Π = {p, q, r , . . . , p1, q1, r1, . . . , pn, qn, rn, . . . }

2 Operadores logicos: ¬, ∨, ∧, → y ↔.

3 Sımbolos de puntuacion: “(”, “)”.


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Semantica

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Sintaxis de la Logica ProposicionalFormulas bien formadas

Definicion

El conjunto de las formulas bien formadas (fbfs)esta determinado por las siguientes reglas de formacion:

1 Los elementos de Π son fbfs: las formulas atomicas.

2 Si A es una fbf , ¬A es una fbf.

3 Si A y B son fbfs entonces (A ∧ B), (A ∨ B), (A→ B) y(A↔ B) son fbfs.

Los sımbolos A y B usados en la definicion no sonsımbolos del lenguaje sino metasımbolos.

El unico convenio para la simplificacion de formulas queutilizaremos es la eliminacion de los parentesis inicial yfinal de una formula si los tuviera.


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¿Semantica?


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Semantica

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La Semanticapara un lenguaje general

Definiciones

Valores semanticos, valores destacados

Interpretacion: Una funcion que asocia un significado(valor semantico) a cada fbf

Modelo para A: Una interpretacion que asigna a A unvalor destacado

Formula valida: aquella para la que toda interpretacion esun modelo

Inferencia: De un conjunto S se infiere A si todo modelode S tambien lo es de A


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Semantica

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La Semanticapara un lenguaje trivaluado

Definiciones

Valores semanticos {0, t, 1}.Valores destacados (generalmente {1}, o tambien {t, 1}).

Habitualmente, las interpretaciones se dan en terminos defunciones de verdad


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Algunos sistemas trivaluados

Se consideran tres valores de verdad.

Veremos los sistemas de Kleene, Bocvar, Heyting y Lukasiewicz.

Cada sistema tiene una motivacion subyacente.

Aunque todos coinciden en considerar los valores 0, 1como la contrapartida de los booleanos ⊥,>.


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La logica trivaluada de Kleene

El problema subyacente a esta logica esta relacionado conlas relaciones recursivas parciales.

Tales relaciones a veces pueden no estar definidas.

La interpretacion del tercer valor de verdad es “indefinido.”

Con D = {1} el sistema no tiene tautologıas.Con D = {i , 1} se obtienen exactamente las tautologıasclasicas.

¬0 1i i1 0

∧ 0 i 10 0 0 0i 0 i i1 0 i 1

∨ 0 i 10 0 i 1i i i 11 1 1 1

→ 0 i 10 1 1 1i i i 11 0 i 1

↔ 0 i 10 1 i 0i i i i1 0 i 1


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La logica trivaluada de Bocvar

El problema que pretende formalizar Bocvar es el de lasparadojas semanticas, o antinomias.

La interpretacion del tercer valor de verdad es “sinsentido” o “paradojico.”

¬0 1u u1 0

∧ 0 u 10 0 u 0u u u u1 0 u 1

∨ 0 u 10 0 u 1u u u u1 1 u 1

→ 0 u 10 1 u 1u u u u1 0 u 1

↔ 0 u 10 1 u 0u u u u1 0 u 1


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La logica trivaluada de Heyting

Con esta logica se pretendıa formalizar el razonamientointuicionista, que no coincide con el clasico.

Por ejemplo, el intuicionismo no acepta la validez de laformula ¬¬A −→ A.

Sus conectivas son las siguientes

¬0 1i 01 0

∧ 0 i 10 0 0 0i 0 i i1 0 i 1

∨ 0 i 10 0 i 1i i i 11 1 1 1

→ 0 i 10 1 1 1i 0 1 11 0 i 1


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La logica trivaluada de Lukasiewicz

Su idea corresponde a la de formalizar la verdad comoposibilidad.

El tercer valor de verdad se interpreta como “neutralidad.”

Sus conectivas primitivas son la negacion y la implicacion.

¬0 1u u1 0

→ 0 n 1

0 1 1 1n n 1 11 0 n 1

∨ 0 n 1

0 0 n 1n n n 11 1 1 1

∧ 0 n 1

0 0 0 0n 0 n n1 0 n 1

↔ 0 n 1

0 1 n 0n n 1 n1 0 n 1


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Sistemas con mas valores de verdadEl sistema tetravaluado de Dunn y Belnap

Este sistema surgio en relacion con el estudio de la logicade la relevancia, pero tambien tiene importancia en ciertasaplicaciones computacionales.

Esta basado en un conjunto con cuatro valores de verdad,W = {0, f , t, 1} que se interpretan como

Ausencia de informacion

Informacion negativa

Informacion afirmativa

Informacion conflictiva


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Sistemas con mas valores de verdadEl sistema tetravaluado de Dunn y Belnap

El diamante tiene dos ordenes naturales1 El orden de informacion (el de la figura)2 El orden de verdad (de izqda. a dcha.)

El ınfimo y supremo en el orden de verdad se correspondencon la conjuncion y disyuncion. La negacion deja fijos a 0y 1, e intercambia t y f .

No hay una interpretacion estandar para la implicacion


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Logicas basadas en normas triangularesDefinicion de t-norma

La influencia de los conjuntos difusos ha sido fundamentalen el desarrollo de logicas valuadas sobre el intervalounidad [0, 1].

Estan basadas sobre la abstraccion de la conjuncion queproporcionan las normas triangulares (o t-normas)

Definicion

Una t-norma es una operacion binaria sobre [0, 1] asociativa,conmutativa, no decreciente y con elemento neutro 1.


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Logicas basadas en normas triangularesImplicacion residuada y propiedad de adjuncion

Dada una t-norma continua T , existe una forma estandar dedefinir su implicacion residuada

Definicion (Implicacion residuada)

u → v = sup{z | T (u, z) ≤ v}

Esta implicacion esta relacionada con T mediante el siguiente

Teorema (Propiedad de adjuncion)

Cada t-norma continua tiene una unica implicacion residuada,puesto que se cumple

T (u, v) ≤ w si y solo si u ≤ (v → w),


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Logicas basadas en normas triangularesLa logica basica BL

Toda t-norma determina la funcion de verdad de unaconjuncion.

Su residuo determina la funcion de verdad de unaimplicacion.

El lenguaje se puede dotar de una negacion haciendo

¬u = u → 0

Por lo tanto, una t-norma permite definir la semantica deuna logica difusa.

Veamos el sistema axiomatico fundamental de las t-normas: lalogica basica BL.


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Logicas basadas en normas triangularesAxiomatica de BL

El siguiente conjunto de axiomas es completo para lalogica proposicional basica de una t-norma dada.

Se entiende que & tiene como funcion de verdad a lat-norma, y → tiene como funcion de verdad a su residuo.

A1 (A→ B)→ ((B → C )→ (A→ C ))

A2 (A&B)→ A

A3 (A&B)→ (B&A)

A4 (A&(A→ B))→ (B&(B → A))

A5a (A→ (B → C ))→ ((A&B)→ C )

A5b ((A&B)→ C )→ (A→ (B → C ))

A6 ((A→ B)→ C )→ (((B → A)→ C )→ C )

A7 0→ A


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Logicas basadas en normas triangularesPrincipales sistemas: Lukasiewicz, Godel

Lukasiewicz Basada en x ∗ y = max{0, x + y − 1}Residuo x ← y = mın{x − y + 1, 1}

Su sistema axiomatico es BL + el axioma

¬¬A→ A

Godel Basada en x ∗ y = mın{x , y}

Residuo x ← y =

{1 si y ≤ x

x en otro caso

Su sistema axiomatico es BL + el axioma

A→ (A&A)


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Logicas basadas en normas triangularesPrincipales sistemas: producto

Producto Basada en x ∗ y = x · yResiduo x ← y = mın(1, x/y)

Su sistema axiomatico es BL + los axiomas

¬¬C → ((A&C )→ (B&C ))→ (A→ B))

(A&(A→ ¬A))→ ⊥


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Semantica

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Logicas basadas en normas triangulares¿Por que son los sistemas principales?

Teorema (de representacion)

Toda t-norma arquimediana es suma ordinal de las trest-normas anteriores.

Problemas abiertos:

1 Incremento de expresividad permitiendo varias t-normas

2 Uso de retıculos residuados

3 Uso de otras extensiones de la conjuncion: copulas, etc


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¿Para que sirven estas logicas tan raras?

Se han encontrado aplicaciones de las logicas multivaluadas enareas muy diversas:

1 Linguıstica

2 Filosofıa

3 Diseno de hardware

4 Logica

5 Inteligencia Artificial

6 Matematicas


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Aplicaciones en Linguıstica

Tratamiento de los supuestos. Por ejemplo, al decir

“El actual rey de Espana nacio en Roma”

se esta dando por supuesto que Espana tiene un rey.

No se ve claramente que tratamiento han de tener talesenunciados, en particular para establecer su negacion o darcondiciones de verdad de las implicaciones.

Se han propuesto sistemas trivaluados.

Otra posible solucion hace uso de sistemas producto, conpares ordenados como valores de verdad, y evaluando cadacomponente por separado.


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Aplicaciones en Filosofıa

Explicacion de paradojas

Sorites Un grano de arena no es un monton.Anadir un grano no hace un monton.Luego, no importa cuantos granos anadamos,nunca tendremos un monton de arena

Falakros Si un hombre no es calvo, y le quitamos un pelo,sigue sin ser calvoLuego, podemos quitar tantos pelos comoqueramos y no lo dejaremos calvo.

Lenguajes con un predicado de “verdad”


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Aplicaciones al Diseno de Hardware

La logica clasica proposicional se usa como herramientapara el analisis y sıntesis de algunos tipos de circuitoselectricos construidos a partir de puertas logicas con dosestados estables.

Una generalizacion directa permite el uso de logican-valuada para disenar y verificar circuitos con n estados.


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Aplicaciones en Logica

1 Para comprender mejor otras logicas:

Los sistemas de Godel se introdujeron para intentaraproximarse a la logica intuicionistaLa logica trivaluada de Lukasiewicz pretendıa capturar lanocion modal de posibilidad

2 Modelizacion de predicados parciales en los que hay“huecos de verdad”, en el supuesto de que los huecosrespeten las funciones de verdad


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Aplicaciones a la Inteligencia Artificial

1 Razonamiento bajo incertidumbre y con nocionesimprecisas.En general mediante la logica difusa.

2 En gestion de bases de datos y sistema basados enconocimiento, cuando se sepa que la informacion puedeser imprecisa.

3 Automatizacion de las tecnicas de prospeccion de datos.Estas tecnicas suelen estar ligadas a conjuntos difusos omultivaluados.En este contexto tambien interesa disponer de metodos derazonamiento automatico para estas logicas.


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Aplicaciones en Matematicas

1 Teorıa matematica de los conjuntos difusos, y el analisismatematico del razonamiento aproximado.

2 Distintos enfoques para probar la consistencia de la teorıade conjuntos.

3 Como herramienta tecnica para la demostracion deresultados de independencia de axiomas.


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Deduccion automatica en logica multivaluadaDistintos enfoques existentes

Tablas semanticas (Surma’77, Carnielli’87, Hahnle’94)

Resolucion (Baaz-Fermuller’95)

TAS (Valverde’98)

Programacion logica


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Programacion logica multivaluada

Se han desarrollado distintas extensiones de paradigma de laprogramacion logica:

Paraconsistente (Blair & Subrahmanian’89)

Basado en birretıculos (Fitting’91)

Anotado (Kifer & Subrahmanian’92)

Signado (Lu’96)

Probabilista (T Lukasiewicz’98)

Difusa (Vojtas’00)

Multi-adjunta (Medina et al’01)


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Semantica

Programacion Logica MultiadjuntaPasito a pasito

Programacion Logica Clasica [Kowalski & van Emden]:

paper accepted ← good work , good referees

Programacion cuantitativa [van Emden]:

paper accepted0,9←− good work & good referees

Programacion Logica Difusa [Vojtas & Paulık]:

paper accepted0,9←− L mın(good work , good referees)


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Sintaxis

Semantica

Programacion Logica MultiadjuntaPasito a pasito

Bases de Datos Probabilistas Deductivas [Lakshmanan & Sadri]:

(paper accepted〈[0,7,0,95],[0,03,0,2]〉←−−−−−−−−−−−−−−−− good work ,good referees

; ind , pc)

Programas Logicos Hıbridos Probabilistas [Dekhtyar & Subrahm.]:

(paper accepted ∨pc go conference) : [0,85, 0,98]←−(good work ∧ind good referees) : [0,7, 0,9] &

have money : [0,9, 1,0]


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Sintaxis

Semantica

Programacion Logica MultiadjuntaCaracterısticas comunes a los enfoques previos

Distintos tipos de pesos, valores de confianza, valores deverdad, o grados

Sımbolos de implicacion con pesos asociados a las reglas

Cuerpos construidos con funciones monotonas

El paradigma de programacion logica multiadjunta abstrae losdetalles particulares de cada uno de los enfoques anteriores, ymantiene unicamente el motor deductivo


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Semantica

Retıculos multiadjuntos

Definicion

Un retıculo residuado es una tupla 〈L,�, &,→,>〉 tal que:

1 〈L,�〉 es un retıculo acotado y > es su maximo

2 〈L, &,>〉 es un monoide conmutativo3 El par 〈&,→〉 es un par adjunto en L, es decir:

La conjuncion es creciente en ambos argumentosLa implicacion decrece en el primero y crece en el segundoPara todo x , y , z ∈ L, se tiene

x � (z → y) ⇔ (x & z) � y

La consideracion de un entorno mas general, en el que convivandistintos tipos de implicaciones nos lleva a permitir lacoexistencia de distintos pares adjuntos en un retıculo.


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Sintaxis

Semantica

Retıculos multiadjuntos

Definicion

Es una tupla (L,�,←1, &1, . . . ,←n, &n) que satisface lassiguientes condiciones:

1 〈L,�〉 es un retıculo acotado;

2 (←i , &i ) es un par adjunto en 〈L,�〉 para i = 1, . . . , n;

3 >&i ϑ = ϑ &i > = ϑ para todo ϑ ∈ L y todo i = 1, . . . , n.


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Semantica

Programas Logicos MultiadjuntosSintaxis

Definicion

Un programa logico multiadjunto es un conjunto P de reglas dela forma 〈(A←i B), ϑ〉 tal que:

1 El peso ϑ es un elemento de L (un valor de verdad);

2 La cabeza de la regla A es un sımbolo proposicional de Π.

3 El cuerpo B es una formula construida a partir desımbolos proposicionales B1, . . . ,Bn (n ≥ 0) mediante eluso de operadores monotonos.

4 Los hechos son reglas con cuerpo >.

5 Una meta es un sımbolo proposicional ?A, entendido comoun pregunta que se le hace al sistema.


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Sintaxis

Semantica

Programas Logicos MultiadjuntosSemantica

Definicion

Una interpretacion es una aplicacion I : Π→ L.Cada una de estas interpretaciones se extiende de manera unicaa todas las formulas del lenguaje.

A continuacion damos el concepto de modelo de un programa.

Definicion

Una interpretacion I ∈ IL satisface una regla 〈A←i B, ϑ〉 si ysolo si ϑ � I (A←i B). Una interpretacion I ∈ IL es un modelode un programa P si y solo si satisface todas las reglas de P.


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Sintaxis

Semantica

Semantica de punto fijo

El operador de consecuencias de van Emden y Kowalski, segeneraliza al contexto multi-adjunto como sigue:

Definicion

Sea P un programa multi-adjunto. El operador deconsecuencias inmediatas TP : I → I se define, dada unainterpretacion y un atomo, como se indica

TP(I )(A) = sup{ϑ &i

I (B) | A ϑ←i B ∈ P}

Todos los supremos existen al trabajar sobre un retıculocompleto.

Lema

El operador TP es monotono creciente.


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Sintaxis

Semantica

Modelos y puntos fijos

Teorema

Una interpretacion I es un modelo de un programamulti-adjunto P si y solo si TP(I ) v I .

El teorema de Tarski-Knaster, junto con el anterior, nos diceque todo programa tiene un modelo mınimo que se puedeobtener mediante iteracion transfinita.


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Sintaxis

Semantica

Computabilidad de los modelosContinuidad del operador de consecuencias

Definicion

Sea L un retıculo completo. Decimos que f : L −→ L escontinua si conserva los supremos de conjuntos dirigidos, estoes, si dado un conjunto dirigido X se tiene

f (sup X ) = sup{f (x) | x ∈ X}

Teorema

Si todos los operadores que aparecen en los cuerpos de la reglasde un programa P son continuos, y las conjunciones adjuntas loson en su segundo argumento, entonces TP es continuo.


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Sintaxis

Semantica

Computabilidad de los modelos¿Como calcular los modelos?

Esencialmente, existen dos formas de calcular modelos:

1 De abajo a arriba (bottom-up), a partir del operador deconsecuencias.

2 De arriba a abajo (top-down), a partir de la meta dada.

Nos centraremos en describir un metodo de tabulacion paraobtener respuestas

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