1

Lgica proposicional 6. La semntica veritativo-funcional

(Parte 1)

Juan Carlos Len Universidad de Murcia

Esquema del tema

6.1. Nocin de interpretacin y reglas de valoracin. Tablas de verdad

6.2. Consecuencia lgica (implicacin) 6.3. Satisfacibilidad y validez veritativo-funcional

(tautologas) 6.4. e implicacin; y equivalencia 6.5. Lgica clsica y lgicas no-clsicas 6.6. El mtodo de resolucin veritativo-funcional

2

Lgica proposicional 6. La semntica veritativo-funcional

6.1. Nocin de interpretacin y reglas de valoracin. Tablas de verdad

Valores veritativos

No es necesario interpretar las letras proposicionales como proposiciones concretas del lenguaje ordinario

Es suficiente asignar a cada una un valor de verdad (verdadero o falso)

Con ello, y mediante ciertas reglas semnticas, puede determinarse el valor de verdad de cualquier proposicin expresable en nuestra notacin

3

Bivalencia

La lgica clsica slo contempla dos posibles valores de verdad: verdadero y falso

Esto est en consonancia con el principio de tercero excluido Existen lgicas (no clsicas) que admiten uno

o ms valores intermedios entre la verdad y la falsedad (en las que no es vlido el principio de tercero excluido)

Interpretaciones

Una interpretacin es una asignacin de un valor de verdad a cada letra proposicional

Representamos con V el valor de verdad verdadero, y con F el valor falso

As, una interpretacin I es en realidad una funcin que asigna a cada letra proposicional un valor en el conjunto {V, F}

Diremos, pues, que una fbf A es verdadera si I(A)=V, y falsa si I(A)=F

4

Reglas de valoracin

1) I(A)=V sii (si y slo si) I(A)=F 2) I(A B)=V sii I(A)=I(B)=V 3) I(A B)=V sii I(A)=V I(B)=V 4) I(A B)=V sii I(A)=F I(B)=V (o, lo que es

equivalente: I(A B)=F sii I(A)=V y I(B)=F) 5) I(A B)=V sii I(A)=I(B)

Esta ltima regla se obtiene derivadamente a partir (2) y (4), teniendo en cuenta que A B es slo una abreviatura de (A B) (B A)

Veritativo-funcionalidad

Las reglas de valoracin deben evidenciar que el valor de verdad de una proposicin compuesta est en funcin del valor de verdad de sus componentes: Conocido el valor de los componentes ms

simples (las letras proposicionales) se puede determinar el valor de verdad de cualquier proposicin compuesta

Por eso, el nombre completo de la lgica que estudiamos es el de lgica proposicional veritativo-funcional clsica (bivalente)

5

Reglas y tablas

Es habitual representar mediante tablas lo que establecen esas reglas:

A A A B A B A B A B A B

V F V V V V V V

F V V F F V F F

F V F V V F

F F F F V V

El mtodo de tablas de verdad

Se debe a ukasiewicz, Post y Wittgenstein (1920) Es un procedimiento para valorar de forma

sistemtica una fbf, considerando toda posible asignacin de valor de verdad a sus letras proposicionales Cada fila de la tabla representa una valoracin de las letras

proposicionales Para calcular el valor de una fbf, en cada fila, se calcula

previamente el valor de sus subfrmulas, comenzando por las conectivas de menor alcance, hasta llegar al valor de la fbf entera

El valor de cada subfrmula se escribe, fila a fila, debajo de su conectiva principal

6

Ejemplo 1

Aplicamos de forma automtica (sin escribirlos) los clculos correspondientes a negaciones y dobles negaciones

La tabla nos dice que esta fbf es falsa cuando tanto p como q son verdaderas, y verdadera en los dems casos

p q (p q) q (p q) V V V V F F V V F F V V V F F V V V V V F F F V V V V F

1 2 5 4 3

Jan ukasiewicz y Emil Post

7

Ludwig Wittgenstein

Interpretaciones distintas Existen 2 interpretaciones distintas para aquellas

fbfs compuestas por una sola letra proposicional Hay 4 interpretaciones distintas para las fbfs

compuestas por 2 letras Hay 8, para fbfs compuestas por 3 letras 16, para las compuestas por 4 En general, existen 2n interpretaciones distintas para

las fbfs compuestas por n letras proposicionales Para no olvidar ni repetir ninguna en una tabla, en la

primera columna ponemos la primera mitad de filas con V y la segunda mitad con F; en la segunda columna, dividimos en dos esas mitades, y ponemos la primera con V y la segunda con F; y as sucesivamente

8

Ejemplo 2

p q r (p q) r (r q p) V V V F V V F V V V F F F V F V V F V V V F V F V F F V V V F V F V V F V V F V F V F F F V F V F F V F V V V V F F F F F V F V

1 2 5 3 4

Lgica proposicional 6. La semntica veritativo-funcional

6.2. Consecuencia lgica (implicacin)

9

Consecuencia (o implicacin)

Una conclusin es consecuencia de (o es implicada por) las premisas cuando, en todas las interpretaciones en que stas son verdaderas, es tambin verdadera esa conclusin

O, lo que es lo mismo, cuando no existe ninguna interpretacin para la que resulten verdaderas todas las premisas y falsa la conclusin

Decir que las premisas implican la conclusin es lo mismo que afirmar la validez del argumento

Validez y derivabilidad Indicamos que la conclusin es semnticamente

implicada por las premisas escribiendo A El signo metalingstico significa, pues, la

validez del argumento En cambio, A significa que A es

sintcticamente derivable de las premisas (mediante las reglas del clculo)

Esto plantea la cuestin de si el clculo que hemos desarrollado (la sintaxis) es adecuado para la semntica: de si se cumple que A sii A

Demostrar que as es (cosa que est lejos de ser evidente) ser la principal tarea de la metalgica

10

Tablas e implicacin

Para comprobar si una conclusin es implicada por una o ms premisas, hacemos una tabla de verdad conjunta de todas ellas

Habr implicacin (el argumento ser vlido) si en toda fila en que resulten verdaderas todas las premisas, resulta tambin verdadera la conclusin O, equivalentemente, si no hay ninguna fila en que

resulten verdaderas las premisas y falsa la conclusin (o sea, si no hay ningn contraejemplo)

Ejemplo 1: un esquema vlido Comprobemos, mediante tablas de verdad, que se cumple

A B, B A La nica fila en que son verdaderas las premisas, lo es

tambin la conclusin

A B A B B A V V V F F V F F V F F V V F V F F V V V

11

Ejemplo 2: un esquema invlido Comprobemos, mediante tablas de verdad, que no se

cumple A B, A B

La primera valoracin es un contraejemplo

A B A B A B V V V V F V F V V V F V V F F F F F F V

Ejemplo 3: un esquema vlido

Comprobamos que: A (B C), C A A B

A B C A (B C) C A A B V V V V V F F V V F F F V F V F V V V F V V F F V V V V F V V V V V V F V F V F V V F F V V V V V F F F V V V V

12

Lgica proposicional 6. La semntica veritativo-funcional

6.3. Satisfacibilidad y validez veritativo-funcional (tautologas)

Categoras semnticas

Una fbf es satisfacible si resulta verdadera al menos para una interpretacin; de lo contrario, es insatisfacible: falsa para toda interpretacin

Las fbfs satisfacibles pueden ser a) Vlidas: verdaderas para toda interpretacin b) Contingentes: verdaderas para alguna

interpretacin y falsas para otras (Luego, una fbf invlida puede ser contingente o insatisfacible)

13

Tautologas

Una tautologa es una fbf que siempre resulta verdadera para toda interpretacin veritativo-funcional En el mbito de la lgica proposicional, las

tautologas coinciden con las fbfs vlidas No ocurre as en otros mbitos de la lgica en

que la nocin de interpretacin no es exclusivamente veritativo-funcional

Las tautologas son, pues, las leyes de la lgica proposicional

Tautologas y teoremas

Indicamos que A es una fbf vlida o tautolgica escribiendo: A

En cambio, A significa que A es sintcticamente derivable sin depender de ningn supuesto (un teorema)

Ser tarea de la metalgica establecer que A sii A (lo cual no es evidente)

14

Comprobacin por tablas

Para comprobar por tablas la satisfacibilidad de una fbf basta encontrar una V en la columna final

En cambio, una fbf insatisfacible ha de tener todo F en la columna final

Una tautologa tendr todo V Y una fbf contingente tendr al menos una

V y al menos una F

Ejemplo 1: un esquema contingente

Una fbf de la forma A A B es contingente: satisfacible, pero no vlida (salvo que B sea la propia A o una fbf implicada por A)

A B A A B

V V V V

V F F F

F V V F

F F V F

15

Ejemplo 2: un esquema tautolgico

Comprobamos que (A B) A B

A B (A B) A B

V V V F V

V F V F V

F V V V V

F F F F V

Ejemplo 3: dos esquemas insatisfacibles

A A y (A B) (A B) son ambos insatisfacibles, aunque slo el primero es una contradiccin

A A A A B (A B) (A B)

V F V V V F F

F F V F F F V

F V V F F

F F V F F

16

Satisfacibilidad simultnea

Un conjunto de fbfs es simultneamente satisfacible si existe alguna interpretacin para la que todas ellas resulten verdaderas a la vez

Varias fbfs pueden ser simultneamente insatisfacibles, aunque sean satisfacibles por separado

Ejemplo 4: esquemas simultneamente insatisfacibles

A y A son simultneamente insatisfacibles, aunque sean satisfacibles por separado

Lo mismo ocurre con A B y A B

A B A B A B

V V F V

V F V F

F V F V

F F F V

17

Ejercicios 6.01 a 6.12 (Tablas de verdad)

6.01 Comprobar la satisfacibilidad de (p q) 6.02 Comprobar la satisfacibilidad de (p q) (p q) 6.03 Comprobar: (p q q) p 6.04 Comprobar: (p q) (q r) 6.05 Comprobar la contingencia de (p q) (q p) 6.06 Comprobar la contingencia de p (p q r) 6.07 Comprobar la satisfacibilidad simultnea de (p q) y p q 6.08 Comprobar la satisfacibilidad simultnea de (p q) y q p 6.09 Comprobar: p q p q q

6.10 Comprobar: p q, r s, p r q s 6.11 Comprobar: (p q) q p q

6.12 Comprobar: p q (p q)

Lgica proposicional 6. La semntica veritativo-funcional

6.4. e implicacin; y equivalencia

18

Implicacin y validez del condicional

A veces se llama a la implicacin material (Russell, 1910)

Pero identificar el condicional veritativo-funcional con la implicacin es inaceptable, ya que da lugar a paradojas

Sin embargo, es claro que A B sii A B

Por tanto, puede decirse que la implicacin es la validez del condicional (Quine, 1950)

Slo aquellos condicionales que sean vlidos son implicaciones

Bertrand Russell y Willard V. O. Quine

19

Nuevas dificultades Con esta definicin se evitan las paradojas,

pero se plantean otras dificultades: Una fbf insatisfacible implicar cualquier otra fbf Una fbf vlida ser implicada por cualquier otra

Tendremos, por ejemplo A A B (pues el antecedente ser falso

para toda interpretacin) A B B (pues el consecuente ser

verdadero para toda interpretacin) Si por implicacin entendemos implicacin

veritativo-funcional, esto es plenamente admisible; pero no en caso contrario

Equivalencia y validez del bicondicional

Es habitual leer como coimplica o como equivale Pero identificar el bicondicional con la nocin de

equivalencia tambin da lugar a paradojas: todas las proposiciones verdaderas seran equivalentes, e igualmente todas las falsas

Sin embargo, como suceda con el condicional, tenemos que A B sii A B

Luego podemos decir que la equivalencia es la validez del bicondicional: dos proposiciones son equivalentes si, para toda interpretacin, adoptan el mismo valor de verdad

Slo aquellos bicondicionales que sean vlidos son equivalencias o coimplicaciones

20

Ms dificultades

Como era de esperar (ya que el bicondicional es definible en trminos del condicional y la conjuncin), aunque con la definicin anterior evitemos las paradojas mencionadas, surgen otras dificultades: Todas las fbfs vlidas seran equivalentes Todas las fbfs insatisfacibles tambin lo seran

De nuevo hay que decir que si por equivalencia entendemos equivalencia veritativo-funcional, esto es plenamente admisible; pero, en cualquier caso, no resulta del todo satisfactorio

La implicacin estricta

Frente a la implicacin material de Russell, Lewis (1932) sostuvo la necesidad de definir una implicacin estricta: Una fbf implica estrictamente otra cuando no slo

no es el caso, sino que es imposible que sea el caso de que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso

Pero esto implica introducir una nocin modal (la de imposibilidad), que no es definible veritativo-funcionalmente

Ello nos conduce al campo de las lgicas no clsicas

21

Clarence I. Lewis

La implicacin relevante

Lo mismo ocurre con la propuesta de Anderson y Belnap (1962) de definir un concepto de implicacin relevante: Adems de lo establecido para la implicacin

estricta de Lewis, para que tengamos una verdadera implicacin el antecedente ha de ser relevante (o pertinente) para el consecuente

Pero la lgica de la relevancia implica el rechazo de buena parte de las leyes clsicas, con lo que tambin entramos, por otro camino, en una lgica no clsica

22

Alan R. Anderson y Nuel Belnap

Ms aclaraciones

Entre las presentaciones que se encuentran la web de la asignatura existe un documento titulado El condicional en lgica elemental

Esa presentacin incluye una serie de aclaraciones sobre el condicional veritativo-funcional que vale la pena consultar con carcter complementario