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Lógica proposicional 6. La semántica veritativo-funcional

(Parte 1)

Juan Carlos León Universidad de Murcia

Esquema del tema

  6.1. Noción de interpretación y reglas de valoración. Tablas de verdad

  6.2. Consecuencia lógica (implicación)   6.3. Satisfacibilidad y validez veritativo-funcional

(tautologías)   6.4. “→” e implicación; “↔” y equivalencia   6.5. Lógica clásica y lógicas no-clásicas   6.6. El método de resolución veritativo-funcional

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Lógica proposicional 6. La semántica veritativo-funcional

6.1. Noción de interpretación y reglas de valoración. Tablas de verdad

Valores veritativos

 No es necesario interpretar las letras proposicionales como proposiciones concretas del lenguaje ordinario

 Es suficiente asignar a cada una un valor de verdad (verdadero o falso)

 Con ello, y mediante ciertas reglas semánticas, puede determinarse el valor de verdad de cualquier proposición expresable en nuestra notación

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Bivalencia

 La lógica clásica sólo contempla dos posibles valores de verdad: verdadero y falso

 Esto está en consonancia con el principio de tercero excluido – Existen lógicas (no clásicas) que admiten uno

o más valores intermedios entre la verdad y la falsedad (en las que no es válido el principio de tercero excluido)

Interpretaciones

 Una interpretación es una asignación de un valor de verdad a cada letra proposicional

  Representamos con “V” el valor de verdad verdadero, y con “F” el valor falso

  Así, una interpretación I es en realidad una función que asigna a cada letra proposicional un valor en el conjunto {V, F}

 Diremos, pues, que una fbf A es verdadera si I(A)=V, y falsa si I(A)=F

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Reglas de valoración

1)  I(¬A)=V sii (si y sólo si) I(A)=F 2)  I(A ∧ B)=V sii I(A)=I(B)=V 3)  I(A ∨ B)=V sii I(A)=V ó I(B)=V 4)  I(A → B)=V sii I(A)=F ó I(B)=V (o, lo que es

equivalente: I(A → B)=F sii I(A)=V y I(B)=F) 5)  I(A ↔ B)=V sii I(A)=I(B)

  Esta última regla se obtiene derivadamente a partir (2) y (4), teniendo en cuenta que “A ↔ B” es sólo una abreviatura de “(A → B) ∧ (B → A)”

Veritativo-funcionalidad

  Las reglas de valoración deben evidenciar que el valor de verdad de una proposición compuesta está en función del valor de verdad de sus componentes: –  Conocido el valor de los componentes más

simples (las letras proposicionales) se puede determinar el valor de verdad de cualquier proposición compuesta

  Por eso, el nombre completo de la lógica que estudiamos es el de “lógica proposicional veritativo-funcional clásica” (bivalente)

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Reglas y tablas

  Es habitual representar mediante tablas lo que establecen esas reglas:

A ¬A A B A ∧ B A ∨ B A → B A ↔ B

V F V V V V V V

F V V F F V F F

F V F V V F

F F F F V V

El método de tablas de verdad

  Se debe a Łukasiewicz, Post y Wittgenstein (1920)   Es un procedimiento para valorar de forma

sistemática una fbf, considerando toda posible asignación de valor de verdad a sus letras proposicionales –  Cada fila de la tabla representa una valoración de las letras

proposicionales –  Para calcular el valor de una fbf, en cada fila, se calcula

previamente el valor de sus subfórmulas, comenzando por las conectivas de menor alcance, hasta llegar al valor de la fbf entera

–  El valor de cada subfórmula se escribe, fila a fila, debajo de su conectiva principal

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Ejemplo 1

  Aplicamos de forma automática (sin escribirlos) los cálculos correspondientes a negaciones y dobles negaciones

  La tabla nos dice que esta fbf es falsa cuando tanto “p” como “q” son verdaderas, y verdadera en los demás casos

p q (p → q) ∨ ¬q ↔ ¬(¬¬p ∧ q) V V V V F F V V F F V V V F F V V V V V F F F V V V V F

1ª 2ª 5ª 4ª 3ª

Jan Łukasiewicz y Emil Post

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Ludwig Wittgenstein

Interpretaciones distintas   Existen 2 interpretaciones distintas para aquellas

fbfs compuestas por una sola letra proposicional   Hay 4 interpretaciones distintas para las fbfs

compuestas por 2 letras   Hay 8, para fbfs compuestas por 3 letras   16, para las compuestas por 4   En general, existen 2n interpretaciones distintas para

las fbfs compuestas por n letras proposicionales –  Para no olvidar ni repetir ninguna en una tabla, en la

primera columna ponemos la primera mitad de filas con V y la segunda mitad con F; en la segunda columna, dividimos en dos esas mitades, y ponemos la primera con V y la segunda con F; y así sucesivamente

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Ejemplo 2

p q r (p ∧ ¬q) ∨ r → (r ∧ ¬q → ¬p) V V V F V V F V V V F F F V F V V F V V V F V F V F F V V V F V F V V F V V F V F V F F F V F V F F V F V V V V F F F F F V F V

1ª 2ª 5ª 3ª 4ª

Lógica proposicional 6. La semántica veritativo-funcional

6.2. Consecuencia lógica (implicación)

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Consecuencia (o implicación)

  Una conclusión es consecuencia de (o es implicada por) las premisas cuando, en todas las interpretaciones en que éstas son verdaderas, es también verdadera esa conclusión

  O, lo que es lo mismo, cuando no existe ninguna interpretación para la que resulten verdaderas todas las premisas y falsa la conclusión

  Decir que las premisas implican la conclusión es lo mismo que afirmar la validez del argumento

Validez y derivabilidad   Indicamos que la conclusión es semánticamente

implicada por las premisas escribiendo “Γ ╞ A”   El signo metalingüístico “╞” significa, pues, la

validez del argumento   En cambio, “Γ ├ A” significa que A es

sintácticamente derivable de las premisas Γ (mediante las reglas del cálculo)

  Esto plantea la cuestión de si el cálculo que hemos desarrollado (la sintaxis) es adecuado para la semántica: de si se cumple que Γ ├ A sii Γ ╞ A

  Demostrar que así es (cosa que está lejos de ser evidente) será la principal tarea de la metalógica

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Tablas e implicación

  Para comprobar si una conclusión es implicada por una o más premisas, hacemos una tabla de verdad conjunta de todas ellas

  Habrá implicación (el argumento será válido) si en toda fila en que resulten verdaderas todas las premisas, resulta también verdadera la conclusión –  O, equivalentemente, si no hay ninguna fila en que

resulten verdaderas las premisas y falsa la conclusión (o sea, si no hay ningún contraejemplo)

Ejemplo 1: un esquema válido   Comprobemos, mediante tablas de verdad, que se cumple

A → B, ¬B ╞ ¬A   La única fila en que son verdaderas las premisas, lo es

también la conclusión

A B A → B ¬B ¬A V V V F F V F F V F F V V F V F F V V V

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Ejemplo 2: un esquema inválido   Comprobemos, mediante tablas de verdad, que no se

cumple A ∨ B, A ╞ ¬B

  La primera valoración es un contraejemplo

A B A ∨ B A ¬B V V V V F V F V V V F V V F F F F F F V

Ejemplo 3: un esquema válido

  Comprobamos que: A → (B → C), C → ¬A ╞ ¬A ∨ ¬B

A B C A → (B → C) C → ¬A ¬A ∨ ¬B V V V V V F F V V F F F V F V F V V V F V V F F V V V V F V V V V V V F V F V F V V F F V V V V V F F F V V V V

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Lógica proposicional 6. La semántica veritativo-funcional

6.3. Satisfacibilidad y validez veritativo-funcional (tautologías)

Categorías semánticas

  Una fbf es satisfacible si resulta verdadera al menos para una interpretación; de lo contrario, es insatisfacible: falsa para toda interpretación

  Las fbfs satisfacibles pueden ser a)  Válidas: verdaderas para toda interpretación b)  Contingentes: verdaderas para alguna

interpretación y falsas para otras (Luego, una fbf inválida puede ser contingente o insatisfacible)

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Tautologías

 Una tautología es una fbf que siempre resulta verdadera para toda interpretación veritativo-funcional – En el ámbito de la lógica proposicional, las

tautologías coinciden con las fbfs válidas – No ocurre así en otros ámbitos de la lógica en

que la noción de interpretación no es exclusivamente veritativo-funcional

 Las tautologías son, pues, las leyes de la lógica proposicional

Tautologías y teoremas

  Indicamos que A es una fbf válida o tautológica escribiendo: “╞ A”

 En cambio, “├ A” significa que A es sintácticamente derivable sin depender de ningún supuesto (un teorema)

 Será tarea de la metalógica establecer que ├ A sii ╞ A (lo cual no es evidente)

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Comprobación por tablas

 Para comprobar por tablas la satisfacibilidad de una fbf basta encontrar una “V” en la columna final

 En cambio, una fbf insatisfacible ha de tener todo “F” en la columna final

 Una tautología tendrá todo “V”  Y una fbf contingente tendrá al menos una

“V” y al menos una “F”

Ejemplo 1: un esquema contingente

  Una fbf de la forma “A → A ∧ B” es contingente: satisfacible, pero no válida (salvo que B sea la propia A o una fbf implicada por A)

A B A → A ∧ B

V V V V

V F F F

F V V F

F F V F

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Ejemplo 2: un esquema tautológico

  Comprobamos que ╞ (A ∨ B) ∧ ¬A → B

A B (A ∨ B) ∧ ¬A → B

V V V F V

V F V F V

F V V V V

F F F F V

Ejemplo 3: dos esquemas insatisfacibles

  “A ∧ ¬A” y “(A → B) ↔ (A ∧ ¬B)” son ambos insatisfacibles, aunque sólo el primero es una contradicción

A A ∧ ¬A A B (A → B) ↔ (A ∧ ¬B)

V F V V V F F

F F V F F F V

F V V F F

F F V F F

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Satisfacibilidad simultánea

 Un conjunto de fbfs es simultáneamente satisfacible si existe alguna interpretación para la que todas ellas resulten verdaderas a la vez

 Varias fbfs pueden ser simultáneamente insatisfacibles, aunque sean satisfacibles por separado

Ejemplo 4: esquemas simultáneamente insatisfacibles

  “A” y “¬A” son simultáneamente insatisfacibles, aunque sean satisfacibles por separado

  Lo mismo ocurre con “A ∧ ¬B” y “¬A ∨ B”

A B A ∧ ¬B ¬A ∨ B

V V F V

V F V F

F V F V

F F F V

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Ejercicios 6.01 a 6.12 (Tablas de verdad)

6.01 Comprobar la satisfacibilidad de “¬(¬p → ¬q)”

6.02 Comprobar la satisfacibilidad de “¬(p → q) ∨ (¬p ∧ ¬q)”

6.03 Comprobar: ╞ (p → q ∧ ¬q) → ¬p

6.04 Comprobar: ╞ (p → ¬q) ∨ (q → ¬r) 6.05 Comprobar la contingencia de “(p ∨ q) ∧ (¬q → p)”

6.06 Comprobar la contingencia de “p ∨ (p → q ∧ r)” 6.07 Comprobar la satisfacibilidad simultánea de “¬(p → q)” y “p ∨ q”

6.08 Comprobar la satisfacibilidad simultánea de “¬(p → q)” y “¬q → ¬p”

6.09 Comprobar: p → q ╞ p ∨ q → q

6.10 Comprobar: p → q, r → s, p ∨ r ╞ q ∨ ¬s 6.11 Comprobar: (p → q) → q ╡╞ p ∨ q

6.12 Comprobar: p ∧ ¬q ╡╞ ¬(p ↔ q)

Lógica proposicional 6. La semántica veritativo-funcional

6.4. “→” e implicación; “↔” y equivalencia

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Implicación y validez del condicional

  A veces se llama a “→” la “implicación material” (Russell, 1910)

  Pero identificar el condicional veritativo-funcional con la implicación es inaceptable, ya que da lugar a paradojas

  Sin embargo, es claro que A ╞ B sii ╞ A → B

  Por tanto, puede decirse que la implicación es la validez del condicional (Quine, 1950)

  Sólo aquellos condicionales que sean válidos son implicaciones

Bertrand Russell y Willard V. O. Quine

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Nuevas dificultades   Con esta definición se evitan las paradojas,

pero se plantean otras dificultades: –  Una fbf insatisfacible implicará cualquier otra fbf –  Una fbf válida será implicada por cualquier otra

  Tendremos, por ejemplo –  ╞ A ∧ ¬A → B (pues el antecedente será falso

para toda interpretación) –  ╞ A → B ∨ ¬B (pues el consecuente será

verdadero para toda interpretación)   Si por “implicación” entendemos “implicación

veritativo-funcional”, esto es plenamente admisible; pero no en caso contrario

Equivalencia y validez del bicondicional

  Es habitual leer “↔” como “coimplica” o como “equivale”   Pero identificar el bicondicional con la noción de

equivalencia también da lugar a paradojas: todas las proposiciones verdaderas serían equivalentes, e igualmente todas las falsas

  Sin embargo, como sucedía con el condicional, tenemos que A ╡╞ B sii ╞ A ↔ B

  Luego podemos decir que la equivalencia es la validez del bicondicional: dos proposiciones son equivalentes si, para toda interpretación, adoptan el mismo valor de verdad

  Sólo aquellos bicondicionales que sean válidos son equivalencias o coimplicaciones

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Más dificultades

  Como era de esperar (ya que el bicondicional es definible en términos del condicional y la conjunción), aunque con la definición anterior evitemos las paradojas mencionadas, surgen otras dificultades: –  Todas las fbfs válidas serían equivalentes –  Todas las fbfs insatisfacibles también lo serían

 De nuevo hay que decir que si por “equivalencia” entendemos “equivalencia veritativo-funcional”, esto es plenamente admisible; pero, en cualquier caso, no resulta del todo satisfactorio

La implicación estricta

  Frente a la implicación material de Russell, Lewis (1932) sostuvo la necesidad de definir una implicación estricta: – Una fbf implica estrictamente otra cuando no sólo

no es el caso, sino que es imposible que sea el caso de que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso

  Pero esto implica introducir una noción modal (la de imposibilidad), que no es definible veritativo-funcionalmente

  Ello nos conduce al campo de las lógicas no clásicas

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Clarence I. Lewis

La implicación relevante

  Lo mismo ocurre con la propuesta de Anderson y Belnap (1962) de definir un concepto de implicación relevante: –  Además de lo establecido para la implicación

estricta de Lewis, para que tengamos una verdadera implicación el antecedente ha de ser relevante (o pertinente) para el consecuente

  Pero la lógica de la relevancia implica el rechazo de buena parte de las leyes clásicas, con lo que también entramos, por otro camino, en una lógica no clásica

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Alan R. Anderson y Nuel Belnap

Más aclaraciones

 Entre las presentaciones que se encuentran la web de la asignatura existe un documento titulado – “El condicional en lógica elemental”

 Esa presentación incluye una serie de aclaraciones sobre el condicional veritativo-funcional que vale la pena consultar con carácter complementario