Embed Size (px)
Citation preview
Sveuciliste J. J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku
Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike
Bozena Raguz
Udaljenost tocke do krivulje
Diplomski rad
Osijek, 2012.
Sveuciliste J. J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku
Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike
Bozena Raguz
Udaljenost tocke do krivulje
Diplomski rad
Mentor: doc. dr. sc. Darija Markovic
Osijek, 2012.
Sadrzaj
Uvod 1
1 Udaljenost tocke do pravca 21 Udaljenost tocke do pravca pomocu ekstrema funkcije . . . . . . . . . . 22 Udaljenost tocke do pravca pomocu normale . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Krivulje drugog reda 71 Kruznica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1 Jednadzba kruznice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Tangenta i normala u tocki na kruznici . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1 Jednadzba parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Tangenta u tocki na paraboli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Elipsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.1 Jednadzba elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Tangenta u tocki na elipsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 Hiperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.1 Jednadzba hiperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 Tangenta u tocki na hiperboli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Udaljenost tocke do krivulje drugog reda 171 Udaljenost tocke do kruznice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Udaljenost tocke do parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Udaljenost tocke do elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Udaljenost tocke do hiperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 Udaljenost tocke od krivulje 301 Problem procjene parametra u matematickom smislu . . . . . . . . . . 302 Metoda parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Literatura 35
Uvod
Od kada zna za sebe, covjek je pokusavao otkriti kako doci s jednog mjesta na drugorazlicitim putevima. A onda se pitao kojim ce od tih puteva brze doci do mjesta nakoje je krenuo. On je zapravo pokusao naci najkracu udaljenost izmedu dva mjesta.Tema ovog rada je takoder udaljenost, i to odredivanje najmanje udaljenosti tocke dokrivulje. Da bi izracunali najmanju udaljenost, potrebno je pronaci tocku krivulje kojaje najbliza zadanoj tocki.
U prvom dijelu rada su opisana dva nacina pomocu kojih izracunavamo minimalnuudaljenost tocke do pravca. Prvi nacin je trazenje najmanje udaljenosti preko ekstremafunkcije udaljenosti uz pomoc stacionarne tocke. U ovom slucaju je udaljenost izmedustacionarne tocke i zadane tocke najmanja. Drugi nacin je trazenje tocke koja je nozistenormale spustene iz dane tocke na pravac. Udaljenost izmedu te tocke i dane tocke jenajmanja.
U drugom dijelu rada su opisane krivulje drugog reda i njihove istaknute tocke.Za svaku krivulju cemo opisati dva nacina pronalaska najmanje udaljenosti izmedute krivulje i zadane tocke. Kao i kod udaljenosti tocke do pravca, koristimo ekstremfunkcije udaljenosti. Dobivamo polinom cije nultocke predstavljaju x koordinate sta-cionarnih tocaka na krivulji. Kada su nam poznate te tocke lako nam je pronaci kojaje udaljenost najmanja. U drugom nacinu koristimo koeficijente smjera tangente nakrivulji i normale spustene iz dane tocke na krivulju. Dobivamo isti polinom kao i kodprvog nacina.
Konacno, u zadnjem dijelu rada promatramo L2 udaljenost. U radu je opisanajednostavna metoda za odredivanje tocke u kojoj funkcija udaljenosti postize mini-mum, metoda parabole. Neki primjeri i graficki prikazi u radu dobiveni su primjenomprogramskog paketa Mathematica.
1
Poglavlje 1
Udaljenost tocke do pravca
U ovom poglavlju izvest cemo formulu za racunanje udaljenosti tocke do pravca na dvanacina. Prvi od ta dva nacina radi se tako da trazimo ekstrem funkcije udaljenostitocke T0 izvan pravca i tocke P na pravcu. Drugi nacin radi se pomocu normale kojaprolazi danom tockom T0 i okomita je na pravac p.
1 Udaljenost tocke do pravca pomocu ekstrema funkcije
Trazimo udaljenost tocke T0 = (x0, y0) do pravca
p...Ax+By + C = 0. (1.1)
Za proizvoljnu tocku P = (a, b) koja lezi na pravcu p vrijedi
Aa+Bb+ C = 0
Oduzmemo li prethodnu jednadzbu od jednadzbe (1.1) dobivamo
A(x− a) +B(y − b) = 0
Tu jednadzbu mozemo zapisati u parametarskom obliku
x− am
=y − bn
= t, gdje su m = −B, n = A
ilix = a+mt, y = b+ nt. (1.2)
Tocka P = (a, b) se dobije za parametar t = 0. Takoder vrijedi da svaka tocka pravcaima svoj parametar t. Da bi izracunali najmanju udaljenost potrebno je naci tockupravca koja je najbliza tocki T0 = (x0, y0). Izracunat cemo kvadrat udaljenosti tocakaT0 = (x0, y0) i P = (a+mt, b+ nt).
d2 = (x0 − (a+mt))2 + (y0 − (b+ nt))2
Funkcija udaljenosti d(t) =√D(t) poprima ekstrem u onim tockama u kojima ekstrem
poprimi funkcija D(t).
D(t) = (x0 − (a+mt))2 + (y0 − (b+ nt))2.
2
3
Slika 1.
Da bi pronasli ekstreme funkcije D(t) potrebne su nam njezina prva i druga derivacija:D′(t) = −2m[x0 − (a+mt)]− 2n[y0 − (b+ nt)]D′′(t) = 2(m2 + n2) > 0.
Teorem 1.1 Neka je u stacionarnoj tocki c funkcija f dva puta derivabilna. Ako jef ′′(c) 6= 0, tada funkcija f ima lokalni ekstrem u tocki c. Pri tome vrijedi sljedece: akoje f ′′(c) > 0, tada je f(c) lokalni minimum, a ako je f ′′(c) < 0, tada je f(c) lokalnimaksimum 1.
Po prethodnom teoremu u svrhu pronalaska ekstrema funkcije potrebno je rijesiti jed-nadzbu D′(t) = 0. Time dobivamo trazeni parametar tocke P = (a+mt, b+ nt):
t =m(x0 − a) + n(y0 − b)
m2 + n2.
Uvrstimo li vrijednost parametra t u (1.2) dobivamo:
x = a+m2(x0 − a) +mn(y0 − b)
m2 + n2
y = b+mn(x0 − a) + n2(y0 − b)
m2 + n2.
Dobili smo koordinate tocke u kojoj se postize ekstrem, tzv. stacionarnu tocku.Kvadrat udaljenosti tocaka T0 = (x0, y0) i P = (a + mt, b + nt), uzimajuci vrijednostparametra t, tada iznosi:
d2 = (x0 − a−mt)2 + (y0 − b− nt)2
=
[x0 − a−
m2(x0 − a) +mn(y0 − b)m2 + n2
]2+
[y0 − b−
mn(x0 − a) + n2(y0 − b)m2 + n2
]2ili nakon jednostavnije transformacije,
d2 = n
[n(x0 − a)−m(y0 − b)
m2 + n2
]2+m
[m(y0 − b)− n(x0 − a)
m2 + n2
]2,
1Dokaz teorema u [7]
4
odnosno
d2 = (m2 + n2)
[n(x0 − a)−m(y0 − b)
m2 + n2
]2.
Na kraju dobivamo trazenu udaljenost
d =|n(x0 − a)−m(y0 − b)|√
m2 + n2(1.3)
Posljednja relacija uz m = −B i n = A, te (1.1) poprima oblik poznate formule zaizracunavanje udaljenosti tocke do pravca:
d =|Ax0 +By0 + C|√
A2 +B2.
Primjer 1.1 Odredimo udaljenost tocke T0 = (10, 7) do pravca p . . . 3x+ 4y− 12 = 0.
Rjesenje: Prateci gornji postupak prvo moramo odabrati neku tocku na pravcu, npr.P = (−2, 4.5).Funkcija kojoj trazimo ekstrem jeD(t) = (12 + 4t)2 + (2.5− 3t)2 = 25t2 + 81t+ 150.25.Dobivamo:D′(t) = 50t+ 81, D′′(t) = 50D′(t) = 50t+ 81 = 0⇒ t = −81
50.
D′′(−8150
) = 50 > 0.
Dobivamo stacionarnu tocku,
x = −2− 4 · (−8150
) = 11225
y = 4.5 + 3 · (−8150
) = 925.
Na kraju mozemo izracunati udaljenost tocaka T0 = (10, 7) i P ∗ = (11225,− 9
25)
d = |3(10+2)+4(7−4.5)|√16−9 = 46
5= 9.2
Primjetimo da dobijemo istu vrijednost racunajuci udaljenost tocaka T0 = (10, 7) iP ∗ = (112
25,− 9
25) po formuli za udaljenost dviju tocaka, tj.
d(T0, P∗) =
√(xP ∗ − xT0)
2 + (yP ∗ − yT0)2 =
√52900625
= 9.2.
2
5
2 Udaljenost tocke do pravca pomocu normale
Trazimo udaljenost tocke T0 = (x0, y0) do pravca
p...Ax+By + C = 0 (1.4)
Jednadzba okomice spustene iz tocke T0 = (x0, y0) na pravac p je
n...x− x0−A
=y − y0−B
ili, u parametarskom obliku
n...
{x = x0 − Aty = y0 −Bt
Slika 2.
Sjeciste pravca p i normale n je tocka S. Da bi odredili tocku S = (x, y), cije sukoordinate (x0 − At, y0 − Bt) dane jednadzbama u parametarskom obliku, moramoodrediti parametar t. Dobivamo:
A(x0 − At) +B(y0 −Bt) + C = 0.
Pri cemu je t jednak
t =Ax0 +By0 + C
A2 +B2.
Kada uvrstimo parametar t u parametarski oblik normale, dobivamo koordinate tockeS = (x, y):
x = x0 − A ·Ax0 +By0 + C
A2 +B2,
y = y0 −B ·Ax0 +By0 + C
A2 +B2.
6
Na kraju nasa udaljenost izmedu tocaka T0 = (x0, y0) i S = (x, y) iznosi
d =√
(x0 − x)2 + (y0 − y)2 =
√(Ax0 +By0 + C)2
A2 +B2
odnosno,
d =|Ax0 +By0 + C|√
A2 +B2.
Primjer 2.1 Odredimo udaljenost tocke T0 = (10, 7) do pravca p...3x+ 4y − 12.
Rjesenje: Sjeciste normale spustene iz tocke T0 = (10, 7) na pravac p je tocka S.Da bi odredili tocku S = (x, y), cije su koordinate (x0−At, y0−Bt) dane jednadzbamau parametarskom obliku, moramo odrediti parametar t.
t =Ax0 +By0 + C
A2 +B2=
46
25.
Kada uvrstimo parametar t, dobivamo koordinate tocke S = (x, y)
S = (x, y) = (x0 − At, y0 −Bt) =
(112
25,− 9
25
).
Udaljenost izmedu tocaka T0 = (10, 7) i S = (11225,− 9
25) iznosi
d =√
(x0 − x)2 + (y0 − y)2 =
√(10− 112
25
)2
+
(7 +
9
25
)2
=46
5= 9.2,
odnosno
d =|Ax0 +By0 + C|√
A2 +B2=
46
5= 9.2.
2
Poglavlje 2
Krivulje drugog reda
Konika ili krivulja drugog reda je skup tocaka u ravnini za koju je omjer udaljenostiod fiksne tocke do fiksnog pravca konstantan. Tu fiksnu tocku zovemo zariste/fokus,a fiksni pravac zovemo ravnalica/direktrisa. Omjer udaljenosti ε zovemo numerickiekscentricitet.
• ε = 0 kruznica
• ε = 1 parabola
• 0 < ε < 1 elipsa
• ε > 1 hiperbola
Pravac moze sjeci krivulje drugog reda u najvise dvije tocke te se zbog tog svojstvahiperbola, parabola i elipsa i nazivaju krivulje drugog reda.
1 Kruznica
Definicija 1.1 1Kruznica je geometrijsko mjesto tocaka u ravnini koje su jednako udal-jene od zadane cvrste tocke.
Zadanu cvrstu tocku zovemo srediste kruznice i oznacavamo sa S, a udaljenost svaketocke do sredista kruznice zovemo polumjer kruznice i oznacavamo ga s r.
Slika 3. Kruznica1Definicija preuzeta iz [2]
7
8
1.1 Jednadzba kruznice
Da bi odredili jednadzbu kruznice u opcem obliku, potrebno nam je poznavati njezinosrediste, tj. tocku S = (p, q) i polumjer kruznice r. Za bilo koju tocku T = (x, y) tekruznice vrijedi
|ST | = r,
odnosno √(x− p)2 + (y − q)2 = r.
Nakon kvadriranja dobijemo
(x− p)2 + (y − q)2 = r2. (2.1)
Ako je srediste kruznice u ishodistu koordinatnog sustava, jednadzba kruznice glasi
x2 + y2 = r2.
Tu kruznicu nazivamo sredisnjom ili centralnom kruznicom.
Kada promatramo odnos pravca i kruznice poznate su nam tri mogucnosti:
1. pravac sijece kruznicu u dvjema tockama, taj se pravac zove sekanta
2. pravac s kruznicom ima tocno jednu zajednicku tocku, on je dira, on je tangenta
3. pravac i kruznica se ne sijeku, nemaju zajednickih tocaka
Oznacimo li s d udaljenost sredista kruznice do pravca, imamo tri mogucnosti odnosapravca i kruznice:
1. d < r presjek pravca i kruznice su dvije tocke
2. d = r pravac dira kruznicu
3. d > r pravac i kruznica nemaju zajednickih tocaka.
Udaljenost sredista S = (p, g) kruznice do pravca p . . . y = kx+ l odredujemo koristeciformulu za udaljenost tocke do pravca
d(S, p) =|q − kp− l|√
1 + k2.
U slucaju ako je udaljenost d(S, p) jednaka radijusu kruznice r onda je pravac tangentakruznice.Tako dobivamo sljedeci kriterij za odredivanje uvjeta dodira pravca i kruznice.Pravac s jednadzbom y = kx + l dira kruznicu (x − p)2 + (y − q)2 = r2 onda i samoonda ako vrijedi
r2(1 + k2) = (q − kp− l)2.
9
1.2 Tangenta i normala u tocki na kruznici
Normala na kruznicu je pravac koji prolazi diralistem tangente i okomit je na nju. Tajpravac prolazi sredistem kruznice.Ako su nam poznate jednadzba kruznice i koordinate tocke T = (x1, y1) na kruznici,tada je jednadzba normale u tocki T :
y − q =y1 − qx1 − p
(x− p).
Vidimo da je koeficijent smjera tangente, koja je okomita na normalu jednak
k = −x1 − py1 − q
.
Tada jednadzba tangente koja prolazi tockom T = (x1, y1) na kruznici glasi
y − y1 = −x1 − py1 − q
(x− x1).
2 Parabola
Definicija 2.1 Parabola je geometrijsko mjesto tocaka ravnine za koje je udaljenost odcvrste tocke F (zarista ili fokusa) jednaka udaljenosti od cvrstog pravca d (ravnalice).2
Udaljenost fokusa od ravnalice nazivamo poluparametar parabole i oznacavamo ga sp. To je uvijek pozitivan realan broj.
2.1 Jednadzba parabole
Koordinatni sustav je definiran tako da je ravnalica parabole okomita na apscisu, atjeme parabole je u ishodistu. Neka fokus parabole ima koordinate F = (p
2, 0), a
ravnalica je zadana jednadzbom x = −p2.
2Definicija preuzeta iz [2]
10
Slika 1. Parabola
Za tocku T parabole vrijedi
d(T, F ) = d(T, d)
tj. √(x− p
2
)2
+
(y − 0
)2
=
∣∣∣∣x+p
2
∣∣∣∣.Kvadriranjem tog izraza dobivamo:
x2 − xp+p2
4+ y2 = x2 + xp+
p2
4,
tj.y2 = 2px.
Time smo dobili jednadzbu koju nazivamo tjemena jednadzba parabole.
Napomena. Ako je fokus parabole na negativnom dijelu osi x, onda su njegove ko-ordinate F = (−p
2, 0), jednadzba ravnalice je x = p
2, tada tjemena jednadzba parabole
glasiy2 = −2px.
Kvadratna funkcija ili polinom drugog stupnja je funkcija f : R → R oblika f(x) =
11
ax2 + bx+ c, a 6= 0. Graf kvadratne funkcije je parabola.Opci oblik jednadzbe parabole je
y = ax2 + bx+ c, a 6= 0,
gdje su realni brojevi a, b, c koeficijenti parabole, a x varijabla.
2.2 Tangenta u tocki na paraboli
Za pravac koji nije paralelan s osi parabole, kazemo da je tangenta parabole ako on snjom ima samo jednu zajednicku tocku. Uvjet da pravac y = kx + l bude tangentaparabole y2 = 2px dobijemo rjesavanjem sustava tih dviju jednadzbi. Uvrstimo li y izprve jednadzbe u drugu, dobit cemo
(kx+ l)2 = 2px
tj.k2x2 + 2x(kl − p) + l2 = 0.
Rjesenja ove jednadzbe su
x1,2 =p− kl ±
√p(p− 2kl)
k2(2.2)
Pravac ce dirati parabolu ako sustav ima jedinstveno rjesenje, tj. ako je p(p−2kl) = 0.Buduci je uvijek p 6= 0, uvjet da pravac y = kx+ l bude tangenta parabole je
p = 2kl.
Ako je zadano diraliste D = (x1, y1) tangente i parabole, tada iz rjesenja jednadzbeslijedi x1 = p−kl
k2, a kako diraliste lezi na tangenti tada je y1 = kx1 + l, pa uvrstavanjem
prethodne jednakosti nalazimo da je y1 = pk. Uzmemo li u obzir da je y21 = 2px1 slijedi
da je k = py1
i l = px1
y1. Ako izraze za k i l uvrstimo u y = kx+ l dobit cemo jednadzbu
tangente parabole koja glasiyy1 = p(x+ x1).
3 Elipsa
Definicija 3.1 3Elipsa je geometrijsko mjesto tocaka ravnine za koje je zbroj udal-jenosti ili zbroj duljina radijus-vektora r1 i r2 od bilo koje dvije tocke (fokusa ili zarista)F1 i F2 stalan i jednak danom pozitivnom broju 2a
r1 + r2 = 2a.
Pri tome se pretpostavlja da je udaljenost zarista F1 i F2 jednaka 2e i da je a > e.Realan broj e > 0 zove se linearni ekscentricitet elipse, jednak je 1
2|F1F2|, dok je
numericki ekscentricitet, s oznakom ε, jednak ae.
3Definicija preuzeta iz [2]
12
Slika 1. Elipsa
Opisat cemo neke simbole i termine koje cemo koristiti uz elipsu. Poloviste O duzineF1F2 zovemo srediste elipse. Tocke A i B elipse koje pripadaju pravcu F1F2 zovemotjemenima ili vrhovima elipse. Duzina AB naziva se velika os elipse, broj 2a zovemoduljina velike osi, a broj a duljina velike poluosi. Vidimo da je |OA| = |OB| = a.Simetrala duzine F1F2 naziva se smjer male osi, a tocke C i D elipse na tom pravcuzovu se takoder tjemena ili vrhovi elipse. Duzina CD naziva se mala os, a broj b =|OC| = |OD| duljina male poluosi. Iz pravokutnog trokuta kojeg tvore tocke COF2
slijedi da je b =√a2 − e2. Duzina koja spaja bilo koju tocku T elipse s jednim njezinim
zaristem zove se radij-vektor tocke T .
3.1 Jednadzba elipse
Neka su dane tocke F1 i F2. Odaberemo pravokutni koordinatni sustav u ravnini takoda se x i y osi podudaraju sa smjerovima velike i male osi elipse, te da je polovisteO, duzine F1F2, ishodiste sustava. Fokusi F1 i F2 tada imaju koordinate F1 = (−e, 0)i F2 = (e, 0). Neka je tocka T = (x, y) bilo koja tocka elipse. Duzine F1T i F2T suradij-vektori tocke T . Oznacimo |F1T | = r1 i |F2T | = r2. Ocito je r1 =
√(x+ e)2 + y2,
r2 =√
(x− e)2 + y2. Kako tocka T lezi na elipsi, vrijedi da je r1 + r2 = 2a, tj.√(x+ e)2 + y2 +
√(x− e)2 + y2 = 2a. (2.3)
Pomnozimo li prethodnu jednakost s√
(x+ e)2 + y2−√
(x− e)2 + y2, dobijemo da je√(x+ e)2 + y2 −
√(x− e)2 + y2 =
2ex
a. (2.4)
Zbrajanjem (2.3) i (2.4) slijedi√(x+ e)2 + y2 = a+
e
ax,
a kvadriranjem
(x+ e)2 + y2 = a2 + 2ex+e2
a2x2,
13
odnosnox2
a2+
y2
a2 − e2= 1.
Kako je a > e, to vrijedi i za a2 > e2, pa mozemo uvesti oznaku a2 − e2 = b2. Tada seprethodna jednadzba moze pisati u obliku
x2
a2+y2
b2= 1.
3.2 Tangenta u tocki na elipsi
Uvjet da pravac y = kx+ l bude tangenta elipse b2x2 +a2y2 = a2b2, tj. da on s elipsomima samo jednu zajednicku tocku dobijemo rjesavanjam sustava jednadzbi
y = kx+ l
b2x2 + a2y2 = a2b2.
Uvrstavanjem prve jednadzbe u drugu i nakon sredivanja, dobit cemo
(a2k2 + b2)x2 + 2a2klx+ a2l2 − a2b2 = 0.
Rjesenja ove kvadratne jednadzbe dana su sa
x1,2 = − 1
a2k2 + b2(a2kl ± ab
√a2k2 + b2 − l2).
Ako ova rjesenja uvrstimo u prvu jednadzbu sustava, slijedi da je
y1,2 =1
a2k2 + b2(b2l ± abk
√a2k2 + b2 − l2).
Iz rjesenja kvadratne jednadzbe dobivamo da ce pravac y = kx+ l biti tangenta elipseako i samo ako je
a2k2 + b2 = l2.
Prethodnu jednakost zovemo uvjetom dodira pravca i elipse, tj. uvjet da je pravactangenta elipse.Neka je zadano diraliste D = (x1, y1). Iz rjesenja kvadratne jednadzbe, zbog uvjetadodira pravca i elipse slijedi x1 = −ka2
l, y1 = b2
l, a odavde k = −x1l
a2i l = b2
y1. Nakon
sredivanja dobijemo
k = −b2x1a2y1
. (2.5)
Ovom relacijom je odreden koeficijent smjera k tangente elipse ako je zadano njezinodiraliste. Uvrstimo li (2.5) i l = b2
y1u jednadzbu y = kx+ l dobit cemo
y = −b2x1a2y1
x+b2
y1,
a nakon sredivanjax1x
a2+y1y
b2= 1,
14
odnosnob2x1x+ a2y1y − a2b2 = 0.
Jednadzba x1xa2
+ y1yb2
= 1 je segmentni oblik jednadzbe tangente elipse, a jednadzbab2x1x+ a2y1y − a2b2 = 0 je njezin opci oblik.
4 Hiperbola
Definicija 4.1 4Hiperbola je geometrijsko mjesto tocaka ravnine za koje je apsolutnavrijednost razlike udaljenosti od dvije cvrste tocke (zarista F1 i F2) stalna i jednakadanom pozitivnom broju 2a, koji se naziva duljina realne osi hiperbole (realna poluoshiperbole je a)
|r1 − r2| = 2a.
Pri tome se pretpostavlja da je udaljenost zarista |F1F2| = 2a i da je 0 < a < e. Broje > 0 zove se linearni ekscentricitet hiperbole, jednak je 1
2|F1F2|, dok je numericki
ekscentricitet, s oznakom ε, jednak ea.
Slika 2. Hiperbola
Opisat cemo neke simbole i termine koje cemo koristiti uz hiperbolu. PolovisteO duzineF1F2 zovemo srediste hiperbole. Tocke A1 i A2 hiperbole koje pripadaju pravcu F1F2
zovemo tjemenima ili vrhovima hiperbole. Duzina A1A2 naziva se velika os hiperbole,broj 2a zovemo duljina velike osi, a broj a duljina velike poluosi. Jasno je da je|OA1| = |OA2| = a. Simetrala duzine F1F2 naziva se smjer male osi, a tocke B1 i B2
hiperbole na tom pravcu zovu se imaginarni vrhovi hiperbole. Duzina B1B2 naziva semala os, a broj b = |OB1| = |OB2| duljina male poluosi. Iz pravokutnog trokuta kojegtvore tocke B1OF2 slijedi da je b =
√e2 − a2. Duzina koja spaja bilo koju tocku T
hiperbole s jednim njezinim zaristem zove se radij-vektor tocke T .
4Definicija preuzeta iz [2]
15
4.1 Jednadzba hiperbole
Za odredivanje jednadzbe hiperbole uzmemo bilo koju tocku hiperbole, fokuse F1 i F2
s koordinatama F1 = (−e, 0), F2 = (e, 0), oznacimo r1 = |F1T | i r2 = |F2T |. Premadefiniciji hiperbole |r1− r2| = 2a uz r1 =
√(x+ e)2 + y2 i r2 =
√(x− e)2 + y2, slijedi
da je √(x+ e)2 + y2 −
√(x− e)2 + y2 = ±2a.
Pomnozimo li prethodnu jednakost s√
(x+ e)2 + y2 +√
(x− e)2 + y2 dobit cemo√(x+ e)2 + y2 +
√(x− e)2 + y2 = ±2e
ax.
Zbrajanjem zadnje dvije jednakosti dobivamo√(x+ e)2 + y2 = ±(a+
e
ax),
a kvadriranjemx2
a2+
y2
a2 − e2= 1.
Ako je 0 < a < e mozemo uvesti oznaku a2 − e2 = −b2 pa prethodna jednadzbapoprima oblik
x2
a2− y2
b2= 1.
4.2 Tangenta u tocki na hiperboli
Uvjet da pravac y = kx + l bude tangenta hiperbole b2x2 − a2y2 = a2b2, dobijemorjesavanjem sustava te dvije jednadzbe. Analogno kao i kod elipse uvrstimo prvujednadzbu u drugu i dobijemo
(b2 − a2k2)x2 − 2a2klx− a2l2 − a2b2 = 0.
Rjesenja te kvadratne jednadzbe dana su sa
x1,2 =1
b2 − a2k2(a2kl ± ab
√l2 + b2 − a2k2),
y1,2 =1
b2 − a2k2(b2l ± kab
√l2 + b2 − a2k2).
Iz rjesenja kvadratne jednadzbe dobivamo da ce pravac i hiperbola imati samo jednuzajednicku tocku samo ako je
a2k2 − b2 = l2,
16
pa je to uvjet dodira pravca i hiperbole.Ako je zadano diraliste D = (x1, y1) tada analogno kao i kod elipse dolazimo do jed-nadzbe hiperbole. Iz rjesenja kvadratne jednadzbe zbog uvjeta dodira slijedi
x1 = −ka2
l, y1 = −b
2
l,
a odavdje
k = −x1la2
i l = − b2
y1.
Ako izraz za l uvrstimo u k dobijemo
k =b2x1a2y1
.
S k je odreden koeficijent smjera tangente hiperbole ako je zadano njezino diraliste.Ako u jednadzbu y = kx+ l uvrstimo k = b2x1
a2y1i l = −y1
b2, dobivamo
y =b2x1a2y1
x− b2
y1.
Nakon sredivanja dobijemox1x
a2− y1y
b2= 1.
Ta jednadzba predstavlja segmentni oblik jednadzbe tangente hiperbole, a jednadzba
b2x1x− a2y1y = a2b2
predstavlja njezin opci oblik.
Poglavlje 3
Udaljenost tocke do krivulje drugogreda
Lema 1 Ekstremna udaljenost dane tocke od krivulje realizira se na normali krivuljekoja prolazi danom tockom.1
Na osnovu gornje leme pitanje udaljenosti tocke do krivulje rjesava se spustanjemnormale (okomice na tangentu) iz dane tocke na krivulju, odredivanjem njezinog nozistana krivulji i konacno izracunavanju udaljenosti nozista do dane tocke.U ovom poglavlju opisat cemo dva nacina racunanja udaljenosti tocke do krivulje. Zaizvodenje prve potrebno je poznavanje derivacija funkcija jedne varijable, te nuznog idovoljnog uvjeta za ekstrem. Drugi nacin je vezan za lemu.
1 Udaljenost tocke do kruznice
Kako nam je poznata jednadzba kruznice
(x− p)2 + (y − q)2 = r2, (3.1)
lako nam je odrediti najmanju udaljenost dane tocke T ∗ = (x∗, y∗) izvan kruznice dotocke na kruznici T1 = (x1, y1). Vidimo da je udaljenost tocke T ∗ = (x∗, y∗) do sredistakruznice S = (p, q), koje nam je poznato, jednaka
d(T ∗, S) =√
(x∗ − p)2 + (y∗ − q)2
Trazenu udaljenost cemo dobiti oduzmemo li od udaljenosti d(T ∗, S) vrijednost polum-jera kruznice, odnosno
d(T ∗, T1) = d(T ∗, S)− r.1Dokaz leme u [3]
17
18
Slika 3.
Primjer 1.1 Nadite najkracu udaljenost tocke A = (6, 8) do kruznice x2 + y2 = 9.
Rjesenje: Zadana kruznica ima srediste S = (0, 0) i polumjer r = 3. Udaljenost tockeA do sredista S iznosi
d(A, S) =√
(6− 0)2 + (8− 0)2 =√
36 + 64 =√
100 = 10.
Tada je udaljenost tocke A do kruznice, jednaka
d(A, S) = 10− 3 = 7.
2
Za danu kruznicu (x − p)2 + (y − q)2 = r2 izvesti cemo formulu za udaljenost tockeT ∗ = (x∗, y∗) do tocke na kruznici T1 = (x1, y1).Koeficijent smjera tangente u tocki T1 = (x1, y1) iznosi
k1 = −x1 − py1 − q
,
a koeficijent smjera normale
k2 =y1 − y∗
x1 − x∗.
Kako su tangenta i normala okomiti pravci vrijedi uvjet okomitosti, tj. koeficijenti sureciprocni i suprotnog predznaka pa slijedi
y1 − y∗
x1 − x∗=y1 − qx1 − p
.
Iz jednadzbe kruznice izvedemo y1,
y1 = ±√r2 − (x1 − p)2 + q.
Koristit cemo pozitivnu vrijednost y, pa dobivamo√r2 − (x1 − p)2 + q − y∗
x1 − x∗=
√r2 − (x1 − p)2 + q − q
x1 − p.
(√r2 − (x1 − p)2 + q − y∗)(x1 − p) =
√r2 − (x1 − p)2(x1 − x∗)
19
√r2 − (x1 − p)2(−p+ x∗) = qp+ y∗x1 − y∗p− qx1
Kvadriranjem i sredivanjem dobivamo polinom drugog stupnja
r2x∗2 − 2x∗pr2 + p2r2 − x21x∗2 + 2x∗px21 − p2x21 + 2px1x∗2
−4p2x1x∗ + 2p3x1 − x∗2p2 + 2x∗p3 − p4 = q2p2 + y∗2x21 + y∗2p2
+q2x21 + 4qpy∗x1 − 2qp2y∗ − 2q2px1 − 2y∗2px1 − 2y∗qx21 + 2y∗qpx1,
tj.x21(−x∗2 + 2x∗p− p2 − y∗2 − q2 + 2y∗q)
+x1(2px∗2 − 4p2x∗ + 2p3 − 4qpy∗ + 2q2p+ 2y∗2p)
+(x∗2r2 − x∗2p2 − 2px∗r2 + 2p3x∗ + r2p2 − p4 − p2q2 + 2p2y∗q − p2y∗2) = 0
Dobili smo polinom drugog stupnja cije nultocke predstavljaju potencijalne apscisetocke T1 na kruznici. Najmanju vrijednost udaljenosti tocke T ∗ do kruznice pronacicemo tako da izracunamo udaljenosti od maksmalno dviju dobivenih tocaka kruznicedo tocke T ∗ koja nam je zadana.Kada promatramo udaljenost tocke T ∗ = (x∗, y∗) od kruznice, potrebno je na kruzniciodabrati tocku T1 = (x1, y1) i minimizirati duljinu duzine T ∗T1. Duljina duzine T ∗T1ovisi o x1 koordinati tocke T1 = (x1, y1) i iznosi:
d(x1) =√
(x1 − x∗)2 + (y1 − y∗)2 =
=
√(x1 − x∗)2 + (
√r2 − (x1 − p)2 + q − y∗)2
Kako bismo izracunali minimalnu vrijednost duljine duzine T ∗T1, odnosno, dobili udal-jenost tocke T ∗ do kruznice, gornji izraz d(x1) trebamo derivirati po x1 i izjednacitis nulom. Kako bismo olaksali racun, derivirat cemo samo izraz ispod korijena, jer cekorijen iz minimalne vrijednosti rezultirati minimalnom vrijednoscu:
D(x1) = (x1 − x∗)2 + (√r2 − (x1 − p)2 + q − y∗)2
D′(x1) = 2(x1 − x∗) + 2(√r2 − (x1 − p)2 + q − y∗)(− 2(x1 − p)
2√r2 − (x1 − p)2
)
x1 − x∗ + (√r2 − (x1 − p)2 + q − y∗)(− x1 − p√
r2 − (x1 − p)2) = 0
Nakon sredivanja dobijemo isti polinom drugog stupnja kao i kod prethodnog nacina.
x21(−x∗2 + 2x∗p− p2 − y∗2 − q2 + 2y∗q)
+x1(2px∗2 − 4p2x∗ + 2p3 − 4qpy∗ + 2q2p+ 2y∗2p)
+(x∗2r2 − x∗2p2 − 2px∗r2 + 2p3x∗ + r2p2 − p4 − p2q2 + 2p2y∗q − p2y∗2) = 0
Najmanju udaljenost tocke T ∗ do kruznice pronaci cemo, tako da uzmemo najmanjuvrijednost izraza d(x1) koju dobijemo kad u njega uvrstimo svaku od maksimalno dvijenultocke gornjeg polinoma.
20
2 Udaljenost tocke do parabole
Udaljenost tocke T ∗ = (x∗, y∗) do parabole y = ax2 + bx + c racunamo tako da naparaboli odaberemo tocku T1 = (x1, y1) i minimiziramo duljinu duzine T ∗T1. Duljinaduzine T ∗T1 ovisi o x1 koordinati tocke T1 = (x1, y1) i iznosi:
d(x1) =√
(x∗ − x1)2 + (y∗ − y1)2 =
=√
(x∗ − x1)2 + (y∗ − ax21 − bx1 − c)2
stavimo li za y∗ − c = q, dobivamo
d(x1) =√
(x∗ − x1)2 + (q − ax21 − bx1)2 =
=√a2x41 + 2abx31 + x21(1 + b2 − 2aq)− 2x1(x∗ + bq) + x∗2 + q2
Kako bismo izracunali minimalnu vrijednost duljine duzine T ∗T1, odnosno, dobili udal-jenost tocke T ∗ do parabole, gornji izraz za d(x1) trebamo derivirati po x1 i izjednacitis nulom. Kako bismo olaksali racun, derivirat cemo samo izraz ispod korijena, jer cekorijen iz minimalne vrijednosti rezultirati minimalnom vrijednoscu:
D′(x1) = 4a2x31 + 6abx21 + 2x1(1 + b2 − 2aq)− 2(x∗ + bq)
4a2x31 + 6abx21 + 2x1(1 + b2 − 2aq)− 2(x∗ + bq) = 0
2a2x31 + 3abx21 + x1(1 + b2 − 2aq)− (x∗ + bq) = 0
Dobili smo polinom treceg stupnja cije nultocke predstavljaju potencijalne apscise tockeT1 na paraboli. Udaljenost tocke T ∗ do parabole pronaci cemo tako da uzmemo naj-manju vrijednost izraza d(x1) koju dobijemo kad u njega uvrstimo svaku od maksimalnotri nultocke gornjeg polinoma.Kada promatramo drugi nacin, najkraca udaljenost se postize izmedu presjeka normales krivuljom i dane tocke, oznacimo je sa T1 = (x1, y1). Potrebni su nam koeficijenti sm-jera tangente i normale. Kako nam je poznato da je tangenta pravac y−y0 = k(x−x0).Koeficijent smjera tangente k jednak je derivaciji funkcije parabole u tocki x1, tj.k = f ′(x1).Tada koeficijet smjera tangente parabole iznosi
2ax1 + b.
Koeficijent smjera normale cemo pronaci promatrajuci jednadzbu pravaca kroz dvijetocke. Prema tome je koeficijent smjera pravca, tj. normale jednak
y∗ − y1x∗ − x1
.
Buduci da su tangenta i normala okomiti pravci, koeficijenti smjera su im reciprocni isuprotnog predznaka
2ax1 + b = −x∗ − x1y∗ − y1
.
21
Kako je y1 = ax21 + bx1 + c slijedi
2ax1 + b = − x∗ − x1y∗ − ax21 − bx1 − c
,
stavimo li za y∗ − c = q, dobivamo
2ax1 + b = − x∗ − x1−ax21 − bx1 + q
,
(2ax1 + b)(−ax21 − bx1 + q) = −x∗ + x1,
−2a2x31 − 2abx21 + 2aqx1 − abx21 − b2x1 − bq = 0,
2a2x31 + 2abx21 − 2aqx1 + abx21 + b2x1 + bq = 0,
2a2x31 + 3abx21 + x1(1 + b2 − 2aq)− (x∗ + bq) = 0.
Uocimo da smo dobili istu jednadzbu kako i kod prvog nacina pronalaska minimalneudaljenosti, time smo dobili polinom treceg stupnja cije nultocke predstavljaju poten-cijalne apscise tocke T1 na paraboli.Najmanju vrijednost udaljenosti tocke T ∗ do parabole pronaci cemo tako da izracunamoudaljenosti od maksmalno tri dobivene tocke parabole do tocke T ∗ koja nam je zadana.
Primjer 2.1 Koja tocka na paraboli y = x2 je najbliza tocki P = (1, 0)?
Rjesenje: Najkraca udaljenost se postize izmedu presjeka normale s krivuljom i danetocke. Oznacit cemo tu tocku s Q = (x∗, y∗).
Za danu funkciju f(x) = x2 najprije odredimo koeficijent smjera tangentef ′(x) = 2x.Koeficijent smjera tangente u tocki Q = (x∗, y∗) tada iznosif ′(x∗) = 2x∗.Koeficijent smjera normale spustene na tangentu, ako ju promatramo kao pravac kojiprolazi kroz dvije tocke, je dan sa y∗
x∗−1 . Kada uvrstimo za y∗ = x∗2 dobivamo x∗2
x∗−1 .Kako je normala okomita na tangentu koeficijenti smjera su im reciprocni i suprotnogpredznaka vrijedi
2x∗ = −x∗−1x∗2
2x∗3 = −(x∗ − 1)2x∗3 + x∗ − 1 = 0
Koristeci programski paket Mathematica, dobijemo tri rjesenja od kojih je jedno realnox∗ = 0.5897. Prema tome tocka Q = (0.5897, 0.3481) na paraboli je najbliza tockatocki P = (1, 0).
2
Koristeci drugu metodu pronalaska najblize tocke tocki P , dobivamo isti rezultat.
Minimizirat cemo udaljenost d, gdje jed =
√(x∗ − 1)2 + (x∗2 − 0)2.
22
Kao sto smo prije spomenuli minimizacija funkcije udaljenosti jednaka je minimizacijifunkcije D = d2.D = (x∗ − 1)2 + (x∗2 − 0)2.Funkcija D je minimizirana kada je D′ = 0D′ = 2(x∗ − 1) + 4x∗3,D′ = 2x∗ − 2 + 4x∗3,D′ = 2x∗3 + x∗ − 1 = 0.
3 Udaljenost tocke do elipse
Zadana je elipsa x2
a2+ y2
b2= 1 i tocka T ∗ = (x∗, y∗) izvan elipse. Kada promatramo
udaljenost tocke T ∗ do elipse, zanima nas samo ona udaljenost koja je najmanja.
d(T ∗, T1) ≤ d(T ∗, T )
Tocka T lezi na elipsi.Izrazavanjem y iz jednadzbe elipse dobivamo
y = ±b√
1− x2
a2.
Pretpostavimo da nam je tocka T1 dana s T1 = (x1, b
√1− x2
1
a2), a udaljenost
d(T ∗, T1) =
√(x∗ − x1)2 + (y∗ − b
√1− x21
a2)2.
Koeficijent smjera tangente elipse iznosi
k1 = −b2x1a2y1
,
a koeficijent smjera pravca okomitog na tangentu
k2 =y1 − y∗
x1 − x∗.
Kako znamo iz uvjeta okomitosti da su pravci okomiti kada su im koeficijenti smjerareciprocni i suprotnog predznaka
k2 = − 1
k1,
dobivamo
y1 − y∗
x1 − x∗=a2y1b2x1
.
Pomnozimo li tu jednakost sa (x1 − x∗)(b2x1), dobivamo
(y1 − y∗)b2x1 = a2y1(x1 − x∗),
23
y1(b2x1 − a2x1 + a2x∗) = b2x1y
∗,
zatim uvrstimo vrijednost za y1
b
√1− x21
a2(b2x1 − a2x1 + a2x∗) = b2x1y
∗,
kvadriranjem dobivamo
b2(1− x21a2
)(b4x21 + a4x21 + a4x∗2 − 2a2b2x21 + 2a2b2x1x∗ − 2a4x1x
∗) = b4x21y∗2
nadalje,
b4x21 + a4x21 + a4x∗2 − 2a2b2x21 + 2a2b2x1x∗ − 2a4x1x
∗ =a2b2x21y
∗2
a2 − x21
b4x21(a2 − x21) + a4x21(a
2 − x21) + a4x∗2(a2 − x21)− 2a2b2x21(a2 − x21)
+2a2b2x1x∗(a2 − x21)− 2a4x1x
∗(a2 − x21)− a2b2x21y∗2 = 0
x41(−b4 + a4 + 2a2b2) + x31(−2a2b2x∗ + 2a4x∗)
+x21(a2b4 + a6 − a4x∗2 − 2a4b2 − a2b2y∗2)
+x1(2a4b2x∗ − 2a6x∗) + a6x∗2 = 0
Dobili smo polinom cetvrtog stupnja cije nultocke predstavljaju potencijalne apscisetocke T1 na elipsi.Najmanju vrijednost udaljenosti tocke T ∗ do elipse pronaci cemo tako da izracunamoudaljenosti dobivenih tocka elipse do tocke T ∗ koja nam je zadana.
Zadana je elipsa x2
a2+ y2
b2= 1 i tocka T ∗ = (x∗, y∗) izvan elipse. Kada promatramo udal-
jenost tocke T ∗ do elipse, zanima nas samo ona udaljenost koja je najmanja. Udaljenostcemo izracunati koristeci formulu za udaljenost
d(T ∗, T1).
Kako nam je
y = b
√1− x2
a2,
slijedi
d(T ∗, T1) =
√(x∗ − x1)2 + (y∗ − b
√1− x21
a2)2.
Deriviranjem prethodne jednakosti, vrijedi kao i kod parabole D(x1) = d2(x1), dobi-vamo
D′(x1) = 2(x∗ − x1) + (2y∗ − 2b√a2 − x21a
)2bx1
2a√a2 − x21
24
2(x∗ − x1) + (2y∗ − 2b√a2 − x21a
)2bx1
2a√a2 − x21
= 0
x∗ − x1 −b2x1a2
= − bx1y∗
a√a2 − x21
= 0
Kvadriranjem prethodne jednadzbe i rjesavanjem nazivnika dobivamo polinom cetvrtogstupnja kao i kod prvog nacina trazenja najmanje udaljenosti tocke do elipse pomocutangente.
x41(−b4 + a4 + 2a2b2) + x31(−2a2b2x∗ + 2a4x∗)
+x21(a2b4 + a6 − a4x∗2 − 2a4b2 − a2b2y∗2)
+x1(2a4b2x∗ − 2a6x∗) + a6x∗2 = 0
Dobili smo polinom cetvrtog stupnja cije nultocke predstavljaju potencijalne apscisetocke T1 na elipsi. Udaljenost tocke T ∗ do elipse pronaci cemo tako da uzmemo naj-manju vrijednost izraza d(x1) koju dobijemo kad u njega uvrstimo svaku od maksimalnocetiri nultocke gornjeg polinoma.
Primjer 3.1 Odredite najmanju udaljenost tocke P = (−3,−4) do elipse x2
9+ y2
4= 1.
Rjesenje: Zadana je elipsa x2
9+ y2
4= 1 kojoj je velika poluos a = 3, a mala poluos
b = 2.
Slika 3. Elipsa x2
9+ y2
4= 1
4x2 + 9y2 = 36
y2 = 4− 4
9x2
y = ±√
4− 4
9x2
25
Sa slike vidimo da tocka koju trazimo lezi u trecem kvadrantu, pa cemo zbog toga uzetinegativnu vrijednost za y.
d(x1) =√
(x1 + 3)2 + (y1 + 4)2
=
√x21 + 6x1 + 9 + 4− 4
9x21 − 8
√4− 4
9x21 + 16
Kao i kod prethodnih primjera derivirat cemo samo izraz ispod korijena.
D(x1) =5
9x21 + 6x1 − 8
√4− 4
9x21 + 29
D′(x1) =5
9x21 + 6− 8
2√
4− 49x21
tj.2
9x1
(24√
9− x21+ 5
)+ 6 = 0
Kvadriranjem i rjesavanjem korijena dobivamo polinom cetvrtog stupnja
−100x41 − 1080x31 − 4320x21 + 9720x1 + 26244 = 0
Uz pomoc programskog paketa Mathematica dobijemo dva realna rjesenja x11 = −1.8i x12 = 2.56991.Minimalnu udaljenost tocke P = (−3,−4) do elipse ce nam biti najmanja vrijednostizraza d(x1) koju dobijemo kada u njega uvrstimo svaku od dobivene dvije nultocke.Na slici vidimo da ce najmanja vrijednost biti za nultocku x11 = −1.8 2
Primjer 3.2 Odredite najmanju udaljenost tocke P = (−3,−4) do elipse x2
9+ y2
4= 1.
Rjesenje: Iz jednadzbe elipse nam je poznato da je velika poluos elipse a = 3, a mala
poluos b = 2, te da je y2 = ±√
4− 49x2.
Tangenta koja prolazi tockom na elipsi ima koeficijent smjera
k1 = − b2x
a2y,
pa je
k1 = −4x
9y.
Normala na tangentu u tocki na elipsi ima koeficijent smjera
k2 =y − y∗
x− x∗,
pa je
k2 =y + 4
x+ 3.
26
Kako znamo iz uvjeta okomitosti da su pravci okomiti kada su im koeficijenti smjerareciprocni i suprotnog predznaka
k2 = − 1
k1,
dobivamoy + 4
x+ 3=
9y
4x,
nadalje(y + 4)4x = 9y(x+ 3),
y(−5x− 27) = −16xl.
Kako i u primjeru 3.1 za y cemo uzeti negativnu vrijednost zato sto iz Slike 3. vidimoda se y nalazi u trecem kvadrantu.
−√
4− 4
9x2(−5x− 27) = −16x.
Kvadriranjem i rjesavanjem nazivnika dobivamo
−100x4 − 1080x3 − 4320x2 + 9720x+ 26244 = 0.
Vidimo da smo dobili isti polinom cetvrtog stupnja kao i u primjeru 3.1. 2
4 Udaljenost tocke do hiperbole
Kada promatramo hiperbolu vidimo da je postupak slican kao i kod elipse. Ako jezadana hiperbola x2
a2− y2
b2= 1 i tocka T ∗ = (x∗, y∗) izvan hiperbole. Kada promatramo
udaljenost tocke T ∗ do hiperbole, zanima nas samo ona udaljenost koja je najmanja.
d(T ∗, T1) ≤ d(T ∗, T )
Tocka T lezi na hiperboli. Izrazavanjem y iz jednadzbe hiperbole dobivamo
y = ±b√x2
a2− 1.
Pretpostavimo da nam je tocka T1 dana s T1 = (x1, b
√x21
a2− 1), a udaljenost
d(T ∗, T1) =
√(x∗ − x1)2 + (y∗ − b
√x21a2− 1)2
Koeficijent smjera tangente hiperbole iznosi
k1 =b2x1a2y1
,
a koeficijent smjera pravca okomitog na tangentu
k2 =y1 − y∗
x1 − x∗.
27
Kao i kod elipse koristimo uvjet okomitosti
k2 = − 1
k1,
dobivamoy1 − y∗
x1 − x∗= −a
2y1b2x1
.
Pomnozimo li tu jednakost sa (x1 − x∗)(b2x1) dobivamo
(y1 − y∗)b2x1 = −a2y1(x1 − x∗)
y1(b2x1 + a2x1 − a2x∗) = b2x1y
∗,
zatim uvrstimo vrijednost za y1
b
√x21a2− 1(b2x1 + a2x1 − a2x∗) = b2x1y
∗,
kvadriranjem dobivamo
b2(x21a2− 1)(b4x21 + a4x21 + a4x∗2 + 2a2b2x21 − 2a2b2x1x
∗ − 2a4x1x∗) = b4x21y
∗2,
nadalje
b4x21 + a4x21 − a4x∗2 + 2a2b2x21 − 2a2b2x1x∗ − 2a4x1x
∗ =a2b2x21y
∗2
x21 − a2
b4x21(x21 − a2) + a4x21(x
21 − a2)− a4x∗2(x21 − a2) + 2a2b2x21(x
21 − a2)
−2a2b2x1x∗(x21 − a2)− 2a4x1x
∗(x21 − a2)− a2b2x21y∗2 = 0
x41(b4 + a4 + 2a2b2) + x31(−2a2b2x∗ − 2a4x∗)
+x21(−a2b4 − a6 − a4x∗2 − 2a4b2 − a2b2y∗2)
+x1(2a4b2x∗ + 2a6x∗) + a6x∗2 = 0.
Dobili smo polinom cetvrtog stupnja cije nultocke predstavljaju potencijalne apscisetocke T1 na hiperboli.Udaljenost tocke T ∗ do hiperbole, isto kao i kod elipse, mozemo pronaci tako daizracunamo udaljenosti dobivenih tocka hiperbole do tocke T ∗ koja nam je zadana.Trazeci najmanju udaljenost na drugi nacin, pomocu formule za udaljenost dvijutocaka, dobivamo isti polinom cetvrtog stupnja.
Primjer 4.1 Odredite najmanju udaljenost tocke P = (3, 3) do hiperbole x2
4− y2
9= 1.
Rjesenje: Iz jednadzbe hiperbole vidimo da je duljina male poluosi a = 2, a duljinavelike poluosi b = 3. Pa nam je stoga koeficijent smjera tangente jednak
28
k1 =9x
4y
=9x
6√x2 − 4
,
a koeficijent smjera normale
k2 =y − 3
x− 3
=32
√x2 − 4− 3
x− 3.
Koristeci uvjet okomitosti dobivamo
32
√x2 − 4− 3
x− 3= −6
√x2 − 4
9x
Rjesavanjem korijena i sredivanjem dobivamo
169x4 − 312x3 − 856x2 − 1248x− 576 = 0
Realna rjesenja tog polinoma koristenjem programskog paketa Mathematica sux1 = −2.22668 i x2 = 2.86004.Dobivamo cetiri tockeT11 = (−2.22668,−1.46824), T12 = (−2.22668, 1.46824), T21 = (2.86004,−3.06669) iT22 = (2.86004, 3.06669)Izracunajmo udaljenosti
1. T11 = (−2.22668,−1.46824), P = (3, 3) =⇒ d(T11, P ) = 6.87629,
2. T12 = (−2.22668, 1.46824), P = (3, 3) =⇒ d(T12, P ) = 5.44651,
3. T21 = (2.86004,−3.06669), P = (3, 3) =⇒ d(T21, P ) = 6.0683.
4. T22 = (2.86004, 3.06669), P = (3, 3) =⇒ d(T22, P ) = 0.155037.
Vidimo da smo dobili najmanju udaljenost za tocke T22 i P .
Koristeci drugu metodu pronalaska najblize tocke tocki P , dobivamo isti rezultat.
Minimizirat cemo udaljenost d, gdje je
d =
√(x− 3)2 + (3− 3
√x2
4− 1)2.
Kao sto smo prije spomenuli minimizacija funkcije udaljenosti jednaka je minimizacijifunkcije D = d2.
D = (3− x)2 + (3− 3√
x2
4− 1)2.
Funkcija D je minimizirana kada je D′ = 0
D′ = −2(3− x) + 2(3− 3√
x2
4− 1)( −6x
8
√x2
4−1
),
29
−2(3− x) + 2(3− 3√
x2
4− 1)( −6x
8
√x2
4−1
) = 0.
Sredivanjem, dobivamo isti polinom cetvrtog stupnja
169x4 − 312x3 − 856x2 − 1248x− 576 = 0.
2
Poglavlje 4
Udaljenost tocke od krivulje
U ovom poglavlju razmatrat cemo problem racunanja L2 udaljenosti od zadanetocke do krivulje. U problemu primjenom metode parabole, minimiziramo funkcijujedne varijable. Za graficke prikaze koristit cemo programski paket Mathematica.1
1 Problem procjene parametra u matematickom smislu
Za dane tocke Ti = (xi, yi) ∈ R2, i = 1, . . . ,m razmatra se problem procjene vek-tora parametara a ∈ Rn model-funkcije x 7→ f(x; a). Jedan od nacina rjesavanjaproblema procjene parametara je minimizacija sume L2 udaljenosti d(Ti,Γf ) tocakaTi, i = 1, . . . ,m, do grafa Γf funkcije-modela f . Za rjesavanje tog problema trebamoizracunati udaljenost d(Ti,Γf ) svake od tocaka Ti, i = 1, . . . ,m, do grafa Γf , tj. tre-bamo odrediti x(i) ∈ R za svaki i = 1, . . . ,m tako da vrijedi
minx∈R
D(i)(x) = ψ(i)(x(i)), (4.1)
D(i)(x) := (x− xi)2 + (f(x; a)− yi)2.
Udaljenost tocke Ti do grafa Γf tada iznosi
d(Ti,Γf ) =√D(i)(x(i)),
Problem (4.1) je problem jednodimenzionalne minimizacije opcenito nediferencijabilnefunkcije.Problem racunanja L2 udaljenosti tocke Ti = (xi, yi) ∈ R2 do bilo koje parametarskizadane ravninske krivulje
Γ = {(x(t; a), y(t; a)) : t ∈ [a, b], a, b ∈ R}
racunamo na slican nacin kao sto racunamo L2 udaljenost tocke do grafa funkcije-modela. U ovom slucaju trebamo odrediti t(i) ∈ [a, b] tako da vrijedi
1Oznake preuzete iz clanka [8]. U clanku se problem svodi na racunanje L1, L2 i L∞ udaljenosti.U ovom poglavlju mi cemo problem promatrati na L2 udaljenosti
30
31
mint∈[a,b]
D(i)(t) = D(i)(t(i)), (4.2)
D(i)(t) := (x(t; a)− xi)2 + (y(t; a)− yi)2.Problem (4.2) takoder je problem jednodimenzinalne minimizacije opcenito nediferen-cijabilne funkcije.Poznato nam je vise metoda za minimizaciju nediferencijabilne funkcije jedne varijable,kao npr. metoda parabole, metoda kubne parabole, Brentova metoda, metoda zlatnogreza, itd. Ovdje cemo opisati metodu parabole, tj. metodu za jednodimenzionalnuminimizaciju nediferencijabilne funkcije.
2 Metoda parabole
Metoda parabole je jednostavna metoda za odredivanje tocke x∗ ∈ [a, b] u kojoj funkcija
D : [a, b]→ R
postize minimum. Kod funkcije D(x) nam nije potrebno poznavati njenu derivaciju.U intervalu [a, b] izabrat cemo tocku c ∈ [a, b], u kojoj funkcija D(x) prima manjuvrijednost nego na rubovima intervala, tj. D(a) > D(c) i D(c) < D(b). Pomocu tritocke A(a,D(a)), C(c,D(c)) i B(b,D(b)) odredit cemo interpolacijski polinom drugogstupnja primjenom Lagrangeove formule P2(x) = αx2+βx+γ ciji graf prolazi zadanimtockama. Koeficijente α, β i γ polinoma P2(x) mogu se dobit uz pomoc programskogpaketa Mathematica.
α =D(a)
(a− c)(a− b)+
D(c)
(c− a)(c− b)+
D(b)
(b− a)(b− c),
β = −(bD(a) + cD(a)
(a− c)(a− b)+aD(c) + bD(c)
(c− a)(c− b)+aD(b) + cD(b)
(b− a)(b− c)),
γ =cbD(a)
(a− c)(a− b)+
abD(c)
(c− a)(c− b)+
acD(b)
(b− a)(b− c).
Nakon sto odredimo koeficijente α, β i γ polinoma P2 odredit cemo apscisu tjemenaparabole xT .
xT =−β2α
=b2D(a)− c2D(a)− a2D(b) + c2D(b) + a2D(c)− b2D(c)
2(−bD(a) + cD(a) + aD(b)− cD(b)− aD(c) + bD(c)). (4.3)
Tocka xT nam je prva aproksimacija tocke x∗ u kojoj funkcija D poprima minimum.Zadamo li tocnost ε iterativni postupak nastavljamo na sljedeci nacin:Ako je |D(xT )− P2(xT )| < ε uzimamo x∗ = xT i postupak je zavrsen.U suprotnom izmedu cetiri broja a, c, b, xT za novi c biramo onaj u kojem funkcija Dpoprima najmanju vrijednost (primjetimo da to mogu biti samo xT ili c), dok za novia i b uzimamo prvi najveci broj lijevo od novog c, odnosno prvi najmanji broj desnood novog c. Novi xT dobijemo uvrstavajucu u formulu.
32
Primjer 2.1 Zadana je funkcija D(x) = 5|x + 1| − |3x + 2| + |5x − 2|. PrimjenomMathematica-modul Parabola [psi,a,b,c,eps]2 odredit cemo tocku minimuma funkcije D.Za pocetnu aproksimaciju uzet cemo a = −2, c = 0, b = 2 te za tocnost ε = 10−3.Primjetimo da je zadovoljena relacija D(a) > D(c) i D(c) < D(b).
Koristeci Mathematica-modul Parabola dobivamo tablicu:
Iteracija a c b xT D(xT ) greska1 -0.111111 0 2 0.340278 3.97917 0.5820512 0 0.340278 2 0.481337 4.36936 0.4860993 0 0.340278 0.481337 0.295353 4.11394 0.1589514 0.295353 0.340278 0.481337 0.366197 3.90441 0.05692935 0.340278 0.366197 0.481337 0.38319 3.85043 0.03651756 0.366197 0.38319 0.481337 0.395534 3.81342 0.02606497 0.38319 0.395534 0.481337 0.404892 3.83245 0.02930588 0.38319 0.395534 0.404892 0.395589 3.81323 0.000164881
Tablica 1.
Nakon 8 iteracija dobivamo da je x∗ ≈ 0.395589. Za svaku iteraciju iscrtan je graffunkcije D i grafovi odgovarajucih kvadratnih funkcija.
Slika 1. Graf funkcije D i grafovi odgovarajucih kvadratnih parabola kroz 8 iteracijaukljucujuci i pocetnu aproksimaciju.
Primjer 2.2 Zadana je funkcija D(x) = −x− 3x−1x−2 . Primjenom Mathematica-modul
Parabola [psi,a,b,c,eps] odredit cemo tocku minimuma funkcije D. Za pocetnu aproksi-maciju uzet cemo a = −2, c = 0, b = 1 te za tocnost ε = 10−3. Primjetimo da jezadovoljena relacija D(a) > D(c) i D(c) < D(b).
2Mathematica-modula Parabola [psi,a,b,c,eps] pogledati u [8]
33
Iteracija a c b xT D(xT ) greska1 -2 -0.416667 1 -0.0972222 -1.47231 0.09869112 -0.416667 -0.0972222 1 0.0877701 -1.51892 0.02635023 -0.0972222 0.0877701 1 0.163669 -1.52998 0.006746214 0.0877701 0.163669 1 0.210967 -1.53408 0.00219565 0.163669 0.210967 1 0.234861 -1.53528 0.0006733226 0.210967 0.234861 1 0.249229 -1.5357 0.000223965
Tablica 2.
Nakon 6 iteracija dobivamo da je x∗ ≈ 0.249229. Za svaku iteraciju iscrtan je graffunkcije D i grafovi odgovarajucih kvadratnih funkcija.
Slika 2. Graf funkcije D i grafovi odgovarajucih kvadratnih parabola kroz 6 iteracijaukljucujuci i pocetnu aproksimaciju.
Primjer 2.3 Neka je f(x) = 51+5e−2x i tocka T0 = (2, 3). Odredimo L2 udaljenost dane
tocke T0 do grafa funkcije f .
34
Rjesenje: Treba pronaci tocku x∗ ∈ R koja je rjesenje problema
minx∈R
D(x) = D(x∗)
gdje je
D(x) = (x− 2)2 + (5
1 + 5e−2x− 3)2.
Primjenom Mathematica-modul Parabola [psi,a,b,c,eps] odredit cemo tocku minimumafunkcije D.
Iteracija a c b xT D(xT ) greska1 -2 2.16976 3 1.83934 2.09764 0.6363432 -2 1.83934 2.16976 1.40035 1.05653 0.6547823 -2 1.40035 1.83934 1.13453 0.836582 0.04729484 -2 1.13453 1.40035 1.10197 =0.85574 0.0218095 1.10197 1.13453 1.40035 1.18025 0.829639 0.002972536 1.13453 1.18025 1.40035 1.17446 0.829289 0.000200018
Tablica 3.
Nakon sest iteracija dobivamo da je x∗ ≈ 1.17446.Udaljenost tocke T0 do grafa Γf iznosi
d(T0,Γf ) =√D(x∗).
d(T0,Γf ) =√D(1.17446).
d(T0,Γf ) = 0.913426
2
Bibliografija
[1] N. Antoncic, E. Spalj, V. Volenec: Matematika 3, Skolska knjiga, 2006.
[2] B. Apsen: Repetitorij elementarne matematike, Tehnicka knjiga, 1963.
[3] D. Jovicic, J. Beban-Brkic: Udaljenost tocke od pravca i ravnine, Mis-matematika i skola, 2007./2008., 61.-68.
[4] I. Kuzmanovic: Udaljenost tocke do krivulje, Osjecki matematicki list 5, 2005.,85.-90.
[5] B. Pavkovic, D. Veljan: Elementarna matematika 2, Skolska knjiga, 1994.
[6] R. Scitovski, N. Truhar, Z. Tomljanovic: Metode optimizacije, Odjel zamatematiku, 2012.
[7] I. Slapnicar: Matematika 1, Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje,Split, 2002.
[8] I. Soldo, K. Sabo: Racunanje udaljenosti tocke do krivulje, PrimMath[2003].
35
Sazetak
Tema ovog rada je udaljenost tocke do krivulje. Kao problem, postavilo se pitanjekoja je udaljenost najmanja. Prvo je prikazana udaljenosti tocke do pravca. Nakonsto smo ponovili osnovne pojmove vezane uz krivulje drugog reda: kruznice, parabole,elipse i hiperbole, rijesen je problem udaljenosti tocke do svake krivulje posebno. Nakraju je spomenut problem racunanja L2 udaljenosti od zadane tocke do krivulje. Uradu je prikazana metoda parabole, tj. metoda za jednodimenzionalnu minimizacijufunkcije jedne varijable. Neki primjeri i graficki prikazi u radu dobiveni su primjenomprogramskog paketa Mathematica.
36
Summary
Distance from a point to a curve
A theme of this thesis is a distance from point to curve. The problem this thesis dealedwith is a minimal distance between those two. The first section introduced the conceptof a distance from point to line. After recalling basic terms regarding second ordercurves : circle, parabola, hyperbola and ellipse, a problem of a distance from point toeach of those curves was solved. The last section of this thesis dealed with a problemof calculating L2 distance from a given point to a curve. This chapter describes aparabola method for one dimensional minimization of a one variable function. Some ofthe examples shown in this thesis are obtained using software package Mathematica.
37
Zivotopis
Bozena Raguz Lukic rodena je 23.12.1981. u Zagrebu. Nakon zavrsene osnovne skoleIvana Gorana Kovacica u Dakovu upisuje Opcu gimnaziju A.G.Matosa, takoder uDakovu. 2000. godine upisuje sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatikena Odjelu za matematiku. Tijekom studiranja udala se u Dakovu i postala majkadjevojcice Petre rodene 2006. godine u Osijeku.
38
