F OT O G R A M E T R I J A 2 Predavanje 10 BLOK-AEROTRIANGULACIJA METODOM NEZAVISNIH MODELA ! Specijalno koncipirana metoda za stereorestitucione instrumente, na kojima se mere

koordinate u okviru svakog modela u modelskom koordinatnom sistemu. ! Uz dodatne mere, moe se postići takva tačnost izlaznih podataka koja neznatno zaostaje iza

tačnosti koja se moe postići u pojedinačnim modelima. ! Osnovna zamisao ove metode je da se izmereni nezavisni modeli pomoću povezane prostorne

transformacije međusobno poveu u blok i istovremeno tako formirana celina pomoću orijentacionih tačaka uklopi u terenski koordinatni sistem.

Princip povezivanja nezavisnih modela u blok

1

OSNOVNE PRETPOSTAVKE ZA PRIMENU METODE ! Aerofotogrametrijsko snimanje mora biti izvedeno sa najmanje 60% podunog i najmanje 20%

poprečnog preklopa; ! Mora biti obezbeđen dovoljan broj tačaka za međusobno povezivanje modela - veznih tačaka ,

kao i dovoljan broj tačaka u terenskom koordinatnom sistemu - orijentacionih tačaka; ! Fotogrametrijska merenja se moraju izvoditi u okviru pojedinačno formiranih modela na

stereorestitucionim instrumentima. SUTINA IDEJE ! Svi nezavisni modeli mereni su u lokalnim koordinatnim sistemima koji su u odnosu na terenski

koordinatni sistem (slika 2.1) proizvoljno translirani, rotirani i imaju proizvoljnu razmeru. ! Informacije o međusobnom povezivanju modela unutar bloka daju vezne tačke merene u

najmanje dva modela. ! Za povezivanje čitavog bloka sa terenskim koordinatnim sistemom na raspolaganju su

geodetski određene orijentacine tačke merene u najmanje jednom nezavisnom modelu. ! Sa aspekta transformacije koordinatnih sistema, zadatak izravnanja bloka nezavisnih modela

moe se formulisati na sledeći način:

sve nezavisne modele u bloku potrebno je: - translirati u pravcu X,Y,Z - osovina, - rotirati oko njih i - promeniti im razmeru,

tako da suma kvadrata odstupanja na veznim i orijentacinim tačkama budeminimalna.

2

! Vanu ulogu igraju projekcioni centri, kao posebna vrsta veznih tačaka. Njihov zadatak je da se učvrste visine u pravcu ose snimanja i spreče deformacije u podunom i poprečnom smislu.

Priključivanje i povezivanje modela preko projekcionih centara MATEMATIČKI MODEL ! Matematički model izravnanja bloka nezavisnih modela prilagođen je postupku posrednog

izravnanja. Ulazni podaci ovog izravnanja su:

zy,x, - merene modelske koordinate svih veznih i orijentacionih tačaka u svim modelima u kojima se pojavljuju i

Z,Y,Z PPP - date koordinate svih orijentacionih tačaka u terenskom koordinatnom sistemu.

! Izlazni rezultati koji se dobijaju u jednom simultanom (jednovremenom) izravnanju su:

λΚΦΩ ,,,,Z,Y,X 000 - parametri apsolutne orijentacije svih modela u bloku, ZY,X, - koordinate svih merenih tačaka u terenskom koordinatnom

sistemu.

3

! Primer:

Broj merenih ulaznih podataka: 6 modela x 6 tačaka x 3 koordinate = 108 merenih modelskih koordinata 4 tačke x 3 koordinate = 12 datih terenskih koordinata -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ukupno: = 120 merenih veličina Broj nepoznatih veličina: 6 modela x 7 parametara transformacije = 42 parametra apsolutne orijentacije 20 tačaka x 3 nepoznate koordinate = 60 nepoznatih koordinata ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Ukupno: =102 nepoznate veličine

! Zaključci:

o Kod izravnanja bloka javlja se relativno veliki broj nepoznatih veličina; o Puna ekonomičnosti metode postie se tek kod većih blokova;

4

Jednačina prostorne transformacije ! Jednačina prostorne transformacije predstavlja polaznu osnovu matematičkog modela. ! Za i-tu tačku u j-tom modelu jednačina prostorne transfomracije glasi:

, zyx

R +

Z

Y

X =

ZYX

ij

jj

0

0

0

ji⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡••

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

λ (2.1)

pri čemu su:

] ZY X[ Ti - vektor terenskih (geodetskih) koordinata tačke i,

]z y x[ Tij - vektor modelskih koordinata tačke i u modelu j,

]Z Y X[ Tj000 - vektor parametara translacije modela j,

λ j - koeficijent razmere modela j, Rj - matrica prostorne rotacije modela j u odnosu na terenski koordinatni sistem, koji definiu uglovi ),,( ΚΦΩ . ! Elementi matrice rotacije dobijaju se iz kosinusa uglova koje međusobno zaklapaju

koordinatne osovine ova dva sistema. Rj

! Izgled ove ortogonalne matrice zavisi od uglova rotacije ),,( ΚΦΩ , kao i njihovog redosleda pri realizaciji na određenom restitucionom instrumentu.

! U narednom izlaganju biće tretirana sledeća matrica prostorne rotacije:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΦΩΚΦΩΚΩΚΦΩΚΩΚΩΚΦΩΚΩΚΦΩΚΦ

ΦΚΦΚΦ

coscossinsincoscossincossincossinsincossinsinsinsincoscoscossinsinsincos

sinsincoscoscos

+ -- - +

- = R

! Prostornu transformaciju modelskog u terenski koordinatni sistem moguće je izvesti uz poznate parametre apsolutne orijentacije modela ),,,,Z,Y,X( 000 λΚΦΩ .

5

Pretpostavke za primenu posrednog izravnanja ! Koordinate tačaka u modelskom i terenskom sistemu mogu smatrati merenim veličinama. ! Zbog neizbenih slučajnih greaka merenja, ovim veličinama pripadaju odgovarajuće

popravke, i to:

v,v,v zyx - merenim modelskim koordinatama i v,v,v P

ZPY

PX - koordinatama datih orijentacionih tačaka .

! Najverovatnije vrednosti popravaka moguće je odrediti kroz postupak posrednog izravnanja za

čiju primenu mora biti ispunjen uslov da su popravke merenih veličina funkcije od nepoznatih:

)Z,Y,X(F = )v,v,v(

)Z,Y,X,,,,,Z,Y,X(F = )v,v,v(

iiiXYZiPZ

PY

PX

iiijjjj000xyzijzyx jjj λΚΦΩ (2.3)

! Da bi se za merene modelske koordinate pokazalo da vai uslov (2.3), u jednačinu (2.1) uvode se najverovatnije vrednosti merenih modelskih koordinata, pa se dobija:

(2.4)

z + zv + yv + x

R +

Z

Y

X =

ZYX

y

y

x

ij

jj

0

0

0

ji⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

••⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

λ

! Prelaskom vektora popravaka na levu stranu prethodne jednačine, dobija se:

(2.5) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡••

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡••

ZYX

- zyx

R +

Z

Y

X =

v

v

v R -

iij

jj

0

0

0

jz

y

x

i

jj λλ

! Zamenom leve strane jednačine (2.5) vektorom:

(2.6)

v

v

v R - =

v

v

v

z

y

x

ij

jj

Z

Y

X

i⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡••

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

λ

dobijaju se popravke u terenskom sistemu, pa konačno jednačine popravaka glase:

(2.7) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡••

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ZYX

- zyx

R +

Z

Y

X =

v

v

v

iij

jj

0

0

0

jZ

Y

X

ij

λ

! Teba naglasiti da su popravke merenih modelskih koordinata , zahvaljujući izrazu

(2.6), izraene u svojoj prirodnoj veličini )v,v,v( zyx

)v,v,v( ZYX .

6

! Do jednačina popravaka datih terenskih koordinata orijentacinih tačaka moe se doći korićenjem dveju različitih logika razmiljanja.

o Prva, jednostavnija, polazi od pretpostavke da su i date terenske koordinate merene

veličine opterećene grekama, pa i one u izravnanju treba da dobiju popravke:

(2.8) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ZYX

-

Z

Y

X =

v

v

v

iP

P

P

iPZ

PY

PX

i

o Do istih jednačina popravaka dolazi se i drugom logikom razmiljanja koja polazi od

toga da se i terenski koordinatni sistem moe smatrati jednim nezavisnim - takozvanim nultim modelom, ali takvim da su njegovi parametri apsolutne orijentacije:

0====Z=Y=X 000 ΚΦΩ i 1=λ . Kada se ovi parametri uvrste u jednačinu (2.7), za popravke datih terenskih koordinata dobija se takođe izraz (2.8). Očigledno da je ovim izrazom potvrđen uslov (2.3), pa se moe zaključiti da nema sutinskih prepreka za primenu modela posrednog izravnanja.

7

Linearizacija jednačina popravaka ! U daljoj primeni modela posrednog izravnanja problem predstavljaju nepoznate veličine

λΚΦΩ ,,, , koje se u jednačinama popravaka (2.7) javljaju u nelinearnom obliku. To iziskuje linearizaciju izraza (2.7) i poznavanje priblinih vrednosti ovih nepoznatih veličina.

! Da bi se obezbedio takav postupak izravnanja koji, osim ulaznih veličina navedenih u 2.3, ne

zahteva nikakve druge dodatne podatke, iskorićene su sledeće pretpostavke: 1. u aerofotogrametriji se za pribline vrednosti uglova ΦΩ i moe prihvatiti ; 0== 00 ΦΩ 2. na određivanje parametara λΚ ,,Y,X 00 u najvećoj meri utiču X,Y- koordinate, a na

određivanje elemenata ΦΩ ,,Z0 Z-koordinata. ! Na osnovu prve i druge pretpostavke matrica R u jednačini (2.7), sa diferencijalnim

vrednostima ΦΩ d i d , dobija (prema 2.2) jednostavniji oblik:

(2.9) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

1 d d-d d -

= RΩΦ

ΩΚΚΦΚΚ

cossinsincos

! Na osnovu druge pretpostavke do sada tretirani prostorni problem moguće je razdvojiti na dva nezavisna:

- poloajno izravnanje, gde se iz matrčnih izraza (2.7) i (2.8) zadravaju prve dve jednačine i - visinsko izravnanje, gde se iz izraza (2.7) i (2.8) zadrava samo treća jednačina. ! Na osnovu svega rečenog, a koristeći izraze (2.7), (2.8) i (2.9), jednačine popravaka

poloajnog izravnanja za merene modelske tačke imaju sledeći oblik:

(2.10) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡•⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡•⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡YX

- yx

- +

Y

X = v

v

iijjj

0

0

jY

X

ij ΚΚΚΚ

λcossinsincos

a za orijentacione tačke:

(2.11) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

YX

- Y

X = v

v

iP

P

iPY

PX

i

8

! Ako se u jednačinama (2.10) uvedu smene:

ΚλΚλ

sincos = b = a•• (2.12)

izraz (2.10) prelazi u Helmertovu transformaciju u kojoj su sve nepoznate veličine linearne:

(2.13) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

•⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡YX

-

baY

X

x y 1 0 y- x 0 1

= v

v

i

0

0

j

ijY

X

ij

! Izračunavanjem koeficijenata i b uvek je moguće dobiti traene parametre a λ i Κ preko izraza:

ab

arctg =

b + a = 22

Κ

λ (2.14)

! Sa izračunatim parametrima λΚ ,,Y,X 00 moguće je izvriti transformaciju svih modela u terenski koordinatni sistem korićenjem:

(2.15) , zyx

1 0 0 0 0 -

+

0Y

X =

ZYX

ijj

j0

0

jij⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡•

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡•

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

′′′

ΚΚΚΚ

λ cossinsincos

pri čemu su:

Z,Y,X ′′′ - pribline terenske koordinate merene tačke i u modelu j posle poloajnog izravnanja.

! Korićenjem priblinih terenskih koordinata merenih tačaka )Z,Y,X( ′′′ iz poloajnog

izravnanja, jednačine popravaka za merene modelske tačke u visinskom izravnanju biće:

(2.16) [ ] [ ] [ ] [ , Z + Z - ddZ

Y X- 1 = v iji

0

j

ijZ ij ′⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡•′′

ΩΦ ]

a za orijentacione tačke: [ ] [ ] [ ] . Z - Z = v i

Pi

PZ i (2.17)

9

! Sa izračunatim parametrima ΩΦ d,d,Z0 svih modela, kao i kod poloajnog izravnanja, izvodi

se nova transformacija u terenski koordinatni sistem:

(2.18) , ZYX

1 d d-

d 1 0 d 0 1

+

Z

00

= ZYX

ijj0 jij⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

′′′

•⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

′′′′′′

ΩΦΩΦ

pri čemu su:

Z,Y,X ′′′′′′ - pribline terenske koordinate merene tačke i u modelu j posle visinskog izravnanja.

! Zbog ovakvog pristupa reavanju problema prostornog izravnanja, postupak je dobio naziv

razdvojeno poloajno-visinsko izravnanje. ! Radi lakeg prepoznavanja u literaturi se često simbolično obeleava kao postupak M43, za

razliku od postupka M7 koji svih sedam parametara apsolutne orijentacije određuje istovremeno, ali zahteva poznavanje priblinih vrednosti nepoznatih.

! Dobre strane razdvojenog poloajno-visinskog izravnanja jesu: 1. ukupan broj nepoznatih veličina u bloku određuje se u dve razdvojene grupe, čime se

omogućava izravnanje većih blokova; 2. nije potrebno poznavati pribline vrednosti nepoznatih veličina. ! Loe strane ovog postupka jesu:

1. zbog uvedenih pretpostavki izravnanja se moraju ponavljati vie puta, u jednom iterativnom

ciklusu; 2. sloenija organizacija podataka u odnosu na postupak M7.

10

Iterativni postupak razdvojenog poloajno-visinskog izravnanja ! Na osnovu uvedenih pretpostavki zadatak prostornog izravnanja se moe reavati

iterativno, uzastopnim ponavljanjem poloajnog i visinskog izravnanja. ! Algoritam ovog iterativnog postupka prikazan je na dijagramu 2.1, korićenjem izraza

(2.11) - (2.19). Pri njegovom formiranju korićena su sledeća pravila:

1. svaka iteracija je sastavljena od jednog poloajnog i jednog visinskog izravnanja; 2. svako izravnanje podrazumeva formiranje i reavanje redukovanih normalnih

jednačina i transformaciju koordinata sa izračunatim parametrima; 3. jednačine popravaka za projekcione centre postavljaju se samo u visinskom

izravnanju; 4. u svakom narednom izravnanju koriste se pribline terenske koordinate dobijene

transformacijom u prethodnoj iteraciji. Jedino se u poloajnom izravnanju prve iteracije koriste originalne merene koordinate ; z)y,(x,

5. izlazak iz iterativnog ciklusa moguć je zadovoljavanjem postavljenog kriterijuma, i to najranije posle druge iteracije.

11

:izravn. polozajnog popravaka Jednacine :izravn. polozajnog popravaka Jednacine

⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎦

⎤⎥⎦⎦

⎤

⎣

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

•⎥⎦

⎤⎢⎡

⎦

⎤

YX

- Y

X = v

v

YX

-

ba

dY

dX

x y 1 0 - x 0 1

=v

v

iP

P

iPY

PX

i

i

0

0

j

ijY

X

ij

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎥⎦

⎤⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

•⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

YX

- Y

X = v

v

YX

-

ba

Y

X

x y 1 0 y- x 0 1

= v

v

iP

P

iPY

PX

i

i

0

0

j

ijY

X

ij

)b a, ,Y ,X( :Rezultat

izravnanja polozajnog SNJ Resavanje

j00

⎥⎥⎢⎤⎡

⎣⎣ ⎥⎢ ⎡ y

:izravnanja polozajnog SNJ Resavanje

ab

arctg = ,b + a = j22

j Κλ

⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡ ′ x0 - XX

:cijaTransforma

0 ΚΚ sincos

ab

arctg = d ,b + a = d

)b a, ,dY ,dX( :Rezultat

22j

j00

Κλ

:cijaTransforma

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

•⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

•⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ ′′

zy

1 0 0 0 +

0Y =

ZY

ijj

j0

jij

ΚΚλ cossin

)d ,d ,Z( :Rezultat:izravnanja visinskog SNJ Resavanje

j0 ΩΦ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

′′′′′′

•⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡•

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

′′′

ZYX

1 0 0 0 1 d0 d- 1

)+(1 +

0dY

dX =

ZYX

ijj

j0

0

jij

ΚΚ

λ

:izravnanja visinskog SNJ Resavanje

[ ] [ ] [ ] [

[ ] [ ] [ ]

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

′′′

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡•

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

]

′

′

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

′⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡•′′

ZYX

+ ZYX

- Y X- 1Z- 0 00 Z 0

=

v

v

v

, Z - Z = v

, Z + Z - dddZ

Y X- 1 = v

:izravn.J visinskog popravaka

dddZ

′′

ednacine

iji

0

JijCZ

CY

CX

iP

iPZ i

iji

0

j

ijZ ij

ΩΦ

ΩΦ

[ ] [ ] [ ] [

[ ] [ ] [ ]

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

′′′

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡•

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

′′′

′

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

′⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡•′′

ZYX

+ ZYX

- dddZ

Y X- 1Z- 0 00 Z 0

=

v

v

v

, Z - Z = v

, Z + Z - ddZ

Y X- 1 = v

:izravn.

]

visinskog popravaka Jednacine

iji

0

JijCZ

CY

CX

iP

iPZ i

iji

0

j

ijZ ij

ΩΦ

ΩΦ

⎤⎡ ′⎤⎡⎤⎡⎤⎡ ′′ Xd 0 1 0X

:cijaTransforma

Φ

)d ,d ,Z(d :Rezultat j0 ΩΦ

:cijaTransforma

ne

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎡

′′′′′′

+

dZ

00

= ZYX

0 jij

Krit

Algoritam

IT = IT +1

da

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

′′′

•⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ZYX

1 d d-

d 1 0 d 0 1

ijjΩΦ

ΩΦ

Krajerijum ?

iterativnog postupka razdvojenog p

12

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ ′′′′

Z

0 = ZY

0ij

oloajno-v

IT = 1

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ ′′•

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ ZY

1 d d-d 1 0 +

ijjjΩΦ

Ω

isinskog izravnanja

Poloajno izravnanje ! Svako poloajno izravnanje podrazumeva postavljanje jednačina popravaka (2.13) za sve

fotogrametrijski merene tačke, kao i jednačina (2.11) za sve orijentacione tačke. Istovremeno, u takvom izravnanju nepoznate veličine su parametri λΚ ,,Y,X 00 , za sve modele u bloku, kao i terenske koordinate svih veznih i orijentacionih tačaka .

! Bilans broja jednačina popravaka i broja nepoznatih veličina za slučaj sa slike sada je: 6 modela x 6 tačaka x 2 koordinate = 72 4 orijentacione tačke x 2 koordinate = 8 --------------------------------------------------------------------------------------- Ukupno: = 80 jednačina popravaka 6 modela x 4 parametra transformacije = 24 20 tačaka x 2 nepoznate koordinate = 40 --------------------------------------------------------------------------------------- Ukupno: = 64 nepoznate veličine Visinsko izravnanje ! Svako visinsko izravnanje podrazumeva postavljanje jednačina popravaka (2.16) za sve

fotogrametrijski merene tačke, jednačina (2.17) za sve orijentacione tačke, kao i jednačine popravaka za projekcione centre u obliku:

(2.19). ZYX

+ ZYX

- ddZ

Y X- 1Z- 0 0 0 Z 0

=

v

v

v

iji

0

jijCZ

CY

CX

ij⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

′′′

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡•

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

′′′

′

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΩΦ

! Pomalo neuobičajen slučaj da se popravke v i v koriste u visinskom izravnanju sasvim je

opravdan ako se analizira delovanje rotacija

CX

CY

Φ i Ω na X,Y-koordinate projekcinog centra (slika 2.2). Za Z-koordinatu projekcionog centra jednačina popravke je ista kao i za svaku drugu merenu tačku (2.16).

! Nepoznate veličine u visinskom izravnanju su parametri ΦΩ ,,Z0 svih modela u bloku, visine

svih veznih i orijentacionih tačaka, kao i sve tri terenske koordinate projekcionih centara.

13

! Na osnovu napred izloenog, bilans broja jednačina popravaka i broja nepoznatih veličina u visinskom izravnanju, za slučaj sa slike 2.1 iznosi:

6 modela x 6 tačaka x 1 koordinata = 36 4 orijentacione tačke x 1 koordinata = 4 6 modela x 2 projekc. centra x 3 koordin. = 36 ---------------------------------------------------------------------------------------- Ukupno: = 76 jednačina popravaka 6 modela x 3 parametra transformacije = 18 20 tačaka x 1 nepoznata koordinata = 20 8 projekcionih centara x 3 koordinate = 24 ---------------------------------------------------------------------------------------- Ukupno: = 64 nepoznate veličine Kriterijum za izlazak iz ciklusa ! Prikazani matematički model nije strog, ali posle određenog broja iteracija reenja su vrlo

bliska strogim. ! Iterativni ciklus treba prekinuti onda kada razlike između strogih i dobijenih reenja postanu

takve da su zanemarljive u odnosu na tačnost računanja. ! Kako stroga reenja nikad nisu poznata, neophodno je koristiti druge kriterijume koji imaju

priblino isti efekat. Neki od takvih kriterijuma mogu biti:

- izvrenje unapred zadatog broja iteracija; - maksimalna promena izravnatih koordinata između dve uzastopne iteracije; - maksimalne promene parametara transformacije između dve uzastopne iteracije; - maksimalna promena sume kvadrata popravaka između dve uzastopne iteracije.

! U obzir mogu doći i kombinacije navedenih kriterijuma. U svakom slučaju, treba pronaći takav

kriterijum koji će sigurno sprečiti nepotrebno izvođenje iteracija, a time i nepotrebne trokove. ! Dosadanja iskustva u primeni razdvojenog poloajno-visinskog izravnanja pokazuju da se već

posle dve iteracije dobijaju vrlo dobri rezultati, a da se trećom iteracijom praktično ispunjavaju svi kriterijumi.

14