1. BIOMEHANIKA STATIČKA RAVNOTEŽA I ELASTIČNOST

CILJEVI?

Proučavajući ovo poglavlje naučićete:

Koji uslovi moraju biti zadovoljeni kako bi telo bilo u statičkoj ravnoteži

Šta se podrazumeva pod centrom gravitacije tela i kako on utiče na ravnotežu tela

Kako da analizirate situacije u kojima je telo deformisano istezanjem, sabijanjem, smicanjem, itd.

Šta se dešava kada se telo toliko istegne da se deformiše ili pokida

BALANSIRAJUĆA STENA, ARCHES NACIONALNI PARK UTAH

3 000 000 kg teška stena koja se nalazi u stabilnoj ravnoteži nekoliko milenijuma

ČVRSTA TELA U RAVNOTEŽI

Tačkasto telo u ravnoteži: zbir sila koje deluju jednak nuli

Realno telo u ravnoteži: još jedan, dodatan uslov mora biti zadovoljen

0 0 0

,0

zyx FFF

F

FdM

FrrFM

M

sin

0

DA BI TELO BILO U STATIČKOJ RAVNOTEŽI ONO MORA ZADOVOLJITI OBA USLOVA

a) Telo u statičkoj ravnoteži

b) Telo ima tedenciju da rotira

c) Telo ima tedenciju da se

krece ubrzano

0 ,0 MF

CENTAR MASE. TEŽIŠTE Realna tela nisu tačkasta pa se i retko mogu

razmatrati kao materijalne tačke. Drugim rečima, mora se uzeti u obzir da im je masa raspoređena na neki način po prostoru. Često, kretanje realnih tela se može razmatrati polazeći od toga da je celokupna masa skoncentrisana u jednoj tački-centar masa (CM).

Sa druge strane, takođe, kada se radi o čvrstim telima, na njih uvek deluje sila gravitacije i moramo poznavati tačku njenog delovanja. Kombinacija svih sila gravitacije koje deluju na različite masene elemente jednog tela je ekvivalentna jednoj sili gravitacije koja deluje u toj tački. To je tačka gravitacije (GG) ili TEŽIŠTE tela.

U većini slučaja CM je isto što i CG.

CENTAR MASE. TEŽIŠTE

M

rmrmrm

mmm

rmrmrmr

nn

n

nnCM

....

...

.... 2211

21

2211

o Masa sistema skoncentrisana u jednoj tački CM

gmgmgm

rgmrgmrgm

Q

rQrQr

n

nnT

..

........

21

22112211

o Sila Zemljine teže deluje na tačku koja se zove TEŽIŠTE TELA -centar gravitacije

o Ako g ima istu vrednost u svakoj tački tela centar gravitacije tela je jednak centru mase tela.

CENTAR GRAVITACIJE I STABILNOST

Centar gravitacije tela (CG) je tačka u kojoj je skoncentrisana sva težina tela i zavisi od oblika tela i distribucije mase.

•Položaj CG kod ubrzanog kretanja je veoma važan, recimo u atletici.

•Sa druge strane klinički gledano uticaj CG ima na stabilnost tela.

•Da bi se održala stabilnost tela CG mora da se nalazi unutar baze oslonca

MOMENT SILE

LOKOMOTORNI SISTEM ČOVEKAJEDNOSTAVAN MIŠIĆNO SKELETNI PROBLEM

Linearne sileNajjednostavniji tip sistema se sastoji od sila koje imaju istu

orjentaciju i pravac dejstva, a različit intezitet i smer.

• U ovom slučaju jedina potrebna jednačina je da je suma sila duž y pravca jednaka nuli.

Paralelne sile Malo komplikovaniji slučaj

je onaj u kojem sile imaju istu orjentaciju ali nemaju isti pravac dejstva.

POLUGE I SISTEMI POLUGAMODEL FUNKCIONISANJA LOKOMOTORNOG SISTEMA

Osnovnu predstavu o funkcionisanju lokomotornog sistema možemo dobiti ako kosti posmatramo kao poluge.

Poluge se fizički posmatraju kao kruta tela koja se ne deformišu pod dejstvom sile, i koja mogu da rotiraju oko ose, koja prolazi kroz njihov oslonac.

Uslov ravnoteže poluge

Deformacija realnih kostiju pod dejstvom sila koje se generišu u mišićima relativno je mala

POLUGE

(a)

A

B A'

B'

s1

F

Q

(b)

A

B F

Q

O

a b

bQ=aF

b

a=

F

Q=k

a) poluge sile – k > 1

b) poluge brzine – k<1

POLUGE

Za analizu funkcionisanja poluga u telu čoveka potrebno je znati tačan položaj napadne tačke sile mišića, tačke oslonca i napadne tačke tereta.

U odnosu na međusobni položaj ovih elemenata poluge se dele na:

Poluge I vrstePoluge II vrstePoluge III vrste

Koeficijenat prenosa poluge k

F

Qk

POLUGE I VRSTE

PRIMER DVOSTRANE POLUGE

POLUGE II VRSTE

POLUGA III VRSTE

SILE I MOMENTI SILA U MIŠIĆIMA I ZGLOBOVIMA

Na ljudsko telo deluju spoljašnje sile (gravitacione i druge) i unutrašnje sile mišićnih kontrakcija.

Kosti se ponašaju po zakonima koji važe za poluge.

Zglobovi povezuju ovakve poluge u sisteme omogućavajući im da vrše rotaciona kretanja.

Sila mišića je prema tome:

Iz ove relacije je moguće odreditit njenu brojčanu vrednost ukoliko su poznati ostali podaci. Ako je masa tega u ruci m=4kg, masa podlaktice mp= 2,5kg, a rastojanja r1=4cm, r2=16cm i r3=38cm, sila mišića je:

Ukupna težina koju mišići svojim delovanjem podižu jednaka je zbiru težine podlaktice i težine tela koje se nalazi u ruci . Uporedjujući ovu vrednost sa silom mišića zaključujemo da je ona čak 7,38 puta veća od težine koju podiže.

1

32

r

QrQrF p

Ns

m

cm

kgcmkgcmF 47081,9

4

4385,2162

NQQ p 7,63

Većina mišića deluje mnogo većom silom na udove da bi ih pokretali – mišići spojeni sa kostima blizu zglobova.

Koeficijent mehaničke efikasnosti manji od jedan

Bicepsi (fleksori) i tricepsi (ekstenzori) Velike sile i u zglobovima Teniski lakat Noge funkcionišu na sličan način, pri

čemu su kolena mnogo komplikovanija od lakatnih zglobova.

PRIMER 1. DEJSTVO GLAVE ČOVEKA NA PRVI VRATNI PRŠLJEN

FMQ

TO

FM

Q

5cm 3cm

FC

Uzajamno dejstvo glave čoveka i prvog cervikalnog pršljena na kome leži glava; sila vratnog mišića održava glavu u uspravnom položaju.

NgmQ 30

CM FQF

cmQcmFM 35

NQFM 185

3

NNNFC 483018

26,9 mNS

FC

PRIMER 2. IZRAČUNAVANJE SILE U AHILOVOJ TETIVI

Q

FT

FK

Tibia

Fibula

a b

FT

Q

FK

70

0sin7sin

0cos7cos

KT

KT

FF

FQF

07cos6,510 TFQ

QQFT 8,16,5

10

sin22,0cos8,2 KK FQiFQ

QFK 8,2079,08,222,0tan

5,4cmbcma 10 i 6,5

SISTEMI POLUGA - MODEL RUKE

biceps

deltoid

O

Fb

Qp

Q414

30

4cm Fb = 14cm Qp + 30cmQ

Fb = 3,5 15N + 7,5 30NFb = 277,5 N

O

Fd

Qr Q18

36

72

a

Fdsina

18cm Fd sina = 36cm Qr + 72cm QFd = (2 60N + 4 30N)/ sin160

Fd = 870,7 N

SISTEMI POLUGA - MODEL NOGE

Analiza delovanja butnog mišića: delovi noge koji učestvuju u uspravljanju (a);

analogan fizički model (b).

F'

Ffemur

tibia

mišićkvadriceps

C

O

A

B

r

F

D

B

A

s

s

q/2O

C

(b)(a)DOFrF '

2cos

sDO

r

sFF 2

cos'

2cos

'

s

r

F

Fk

Za vrednosti ugla 0<<160 koeficijent k<1, što znači da poluga deluje kao poluga brzine pa sila F mora biti znatno veća od tezine tereta Q/2. Iznad 160, poluga deluje kao poluga sile što znači da je sila F manja od tezine tereta.

PRINCIP RADA: HUKOV ZAKON F KX

Pont du Gard, Francuska, rimski akvadukt izgrađen oko 19. godine pne. Ovaj akvadukt je jedna od francuskih turističkih atrakcija i deo svetske baštine. Da li su blokovi od kojih su napravljeni lukovi sabijeni, istegljeni ili kombinacija oba?

Čvrsta tela su koristan idealizovan model, ali istezanje, savijanje, smicanje itd. izazivaju deformacije tela koje ne možemo ignorisati

U svakom od ovih slučaja ispituje se međusobna zavisnost između sile koje deluje i deformacije.

SILA ELASTIČNOSTI

relativno istezanje

napon

Engleski fizičar Huk je eksperimentalno utvrdio da je relativna deformacija proporcionalna naponu, tj.

L

L

S

Fn

LAA '

HUKOV ZAKON napon sile

relativno istezanje

E Jangov moduo elastičnosti

A – granica proporcionalnosti

B – granica elastičnosti

S

F

l

ll

lE

S

F

JANGOV MODUO TETIVE

Prednja skočna tetiva spaja stopalo sa velikim mišićem koji ide duž tibie (unutrašnje kosti potkolenice). Merenja pokazuju da tetiva ima Jangov moduo elastičnosti koji je mnogo manji nego za materijale date u tabeli. Stoga ova tetiva se značajno izteže, za 2,5% u odnosu na svoju dužinu, pod uticajem opterećenja pri hodanju i trčanju.

Pa 109,1 9

Funkcionalno, tetiva se prvo polako isteže sa delovanjem sile, ali u suštini pruža mnogo veću povratnu silu sa većim naponom.

JANGOV MODUO TETIVE

Grafik naprezanja u funkciji od sile

•Neke tetive sadrže kolagen i relativno malo se deformišu.

•Druge, kao što su u nogama mogu da pretrpe relativnu deformaciju i do 10 %.

•U prvom delu (toe region) grafika dolazi do orjentacije vlakana tetive usled dejstva sile

•Linear region (linearna zavisnost).

•Failure region-neka vlakna se kidaju.

•Slično se ponašaju i ligamenti (spajaju kosti).

Za razliku od kostiju i tetiva, koje moraju biti i čvrste i elastične, arterije i pluća moraju biti veoma rastegljivi.

Elastične osobine arterija su esencijalne za protok krvi.

Pritisak u arterijama se povećava i zidovi arterija se istežu kada se krv ispumpava iz srca.

Kada se aortna valvula zatvori, pritisak u aorti opada i dolazi do relaksacije aortnog zida da bi se održao protok.

Kada osećate puls-osećate upravo elastično ponašanje arterija, da su one krute ne bi osećali puls.

Srce, pluća, organi, koža. Kod mladih osoba koža je posebno elastična, kod njih može da se desi promena težine do 40kg bez vidljivih promena na koži.

Elastičnost organa se smanjuje sa godinama. Postepeno fizioločko starenje počinje oko 20 god.

U mnogim slučajevima telo biva izloženo i istezanju i sabijanju. Šipka se pod sopstvenom težinom savija, tako da se donja strana isteže a gornja sabija. Da bi se minimizirao napon, odnosno deformacija, povećava se gornja i donja površina. S obzirom da po centralnoj liniji tela nema značajne deformacije istezanja i sabijanja, njena površina može biti mala, što doprinosi i manjoj masi grede. Rezultat je L-profil grede koji se često koristi u građevinarstvu.

ELASTIČNOST U GRAĐEVINARSTVU

DEFORMACIJA SMICANJA

Tangencijalna sila, koja deluje po obodu površine S izaziva pomeranje (smicanje) slojeva u čvrstom telu, pri čemu dolazi do smicanja gornjih slojeva u odnosu na donje.

G moduo smicanja

l

l

l

lG

S

F

GS

F

SAVIJANJE, SMICANJE I TORZIJA

AA'

FA'A

F

L

A'AF

Deformacije savijanja (a), smicanja (b) i torzije (c).

(a) (b) (c)

•Savijanje - kvazi-longitudinalna deformacija, kombinacija sabijanja i istezanja (a). •Smicanje – deformacija pod dejstvom tangencijalne sile čija je napadna tačka na obodu poprečnog preseka, a pravac dejstva prolazi kroz osu tela. •Torzija (uvrtanje) - specijalan slučaj smicanja. Javlja se kada sila deluje kao tangenta na površinu poprečnog preseka tela.

ENERGETIKA KOŠTANE FRAKTURE

Energija deformisanog tela, prema zakonu o održanju energije, biće jednaka radu spoljašnjih sila koje su tu deformaciju izazvale.

gustina energije deformacije

normalni napon

2

2

1np E

U opštem slučaju do frakture kosti ne dolazi usled istezanja i sabijanja, nego bočnim delovanjem sile i savijanjem, što rezultuje smicanjem.

Ponašanje kostiju usled napona i kompresije je veoma važno sa gledišta tereta koji mogu da nose.

Kosti u različitim delovima tela imaju različitu strukturu u zavisnosti od funkcije koju vrše.

Recimo potporne konstrukcije u zgradama su čelične šipke, dok drveće i kosti imaju vlaknastu strukturu.

Kod ljudi koji imaju problem sa viškom mase dešava se oštećenje kostiju usled stalne kompresije spojeva kostiju i tetiva.

Q(A.1)

(A.2)

(A.3)

F1=7,4 Q

s=96 MPa

s=96 MPa

su=8,5 MPa

Q

(C.1)

(C.2)

(C.3)

F2=4,8 Q

F11=6 Q

su=8,5 MPa

s=12,8 MPa

s=21 MPa

Q

(B.1)

(B.2)

(B.3)

F11=6 Q

F2=4,8 Q

su=8,5 MPa

s=63 MPa

s=71 MPa

(D)

FUNKCIONALNA ADAPTACIJA KOSTIJU

Funkcionalna adaptacija kostiju

podrazumeva takvu promenu strukture i oblika kosti, koja će

obezbediti uniformnost naprezanja sa minimumom

upotrebljenog materijala .

ZADATAK1. Izračunaj promenu dužine butne kosti (femura)

kada čovek mase 70 kg nosi 62 kg svoje mase, pretpostavljajući kost kao idealan cilindar dužine 40 cm i radijusa 2 cm.

2. Ski kablovi se koriste za gondole na skijalištima. Dužina ski lifta iznosi 3 km. Izračunati za koliko se istegnu čelični kablovi koji nose gondole, ukoliko je njihov dijametar 5,6 cm a maksimalna težina kojom mogu biti opterećeni iznosi 3106 N.

3. Nađi masu slike koja visi o čeličnom ekseru prikazanom na slici, ukoliko usled vešanja slike se ekser smakne za 1,8 m.

PRILOG

OSNOVNE SILE U PRIRODI

SILA TRENJA Trenje je posledica delovanja međumolekularnih sila

između dodirnih površina tela i podloge na kojoj se telo nalazi (spoljašnje trenje) ili između sastavnih delova unutar nekog sistema (unutrašnje trenje)

Sila trenja deluje na dodirnoj površini između tela i usmerena je nasuprot kretanju tela u odnosu na površinu.

Zavisi da li postoji kretanje između sistema• Kinematičko trenje (klizanje i kotrljanje)• Statičko trenje

KINETIČKA SILA TRENJA

Kinetička sila trenja deluje u pravcu tangente na dodirnu površinu između tela i podloge po kojoj se kreće i usmerena je uvek suprotno od smera kretanja tela tj. suprotno relativnoj brzini tela i važi :

Nezavisna je veličine dodirne površine (prividna i stvarna)

Nezavisna je od brzine kretanja ukoliko je ona mala

Proporcionalna je veličini normalne sile

koeficijent kinematičkog trenja

Nkk FF

KOEFICIJENTI STATIČKOG I DINAMIČKOG TRENJA

•Primer: pomeranje čeličnog sefa m = 100 kg

STATIČKO I DINAMIČKO TRENJE

PRIMENA U MEDICINI

Većina ljudi je imala priliku da hoda na ledu i uoči razliku sile trenja. Većina spojeva u telu čoveka ima mnogo manji koeficijent trenja od leda- čak tri do četiri puta manji.

Spojevi kostiju su glatki i proizvode sluzavu tečnost (synovial fluid) kako bi smanjili trenje .

Oštećeni ili rahitični spojevi mogu biti zamenjeni veštačkim. Oni se prave od metala (čelika ili titanijuma) ili

plastike (polietilen) sa veoma malim koeficijentom trenja.

ANTILOCK BRAKING SYSTEMS (ABS) KOD AUTOMOBILA

Sistem protiv blokiranja kočnica: omogućava održa- vanje kontrole nad vozilom usled naglog kočenja. Točak tokom jednog punog kruga okretanja nekoliko puta je blokiran i odblokiran. Max sila kojom put deluje na točak je sila statičkog trenja

Kraći put do zaustavljanja automobila postiže se ako se točkovi pri zaustavljanju ne kližu već ako nastave da se i dalje okreću

How ABS (Anti-Lock Brakes) Work.flv