binomni obrazac

Kemal Halilovi,profesor matematike Brko

1

Binomni obrazac(Njutnova formula)Binomni obrazac(Njutnova formula)Binomni obrazac(Njutnova formula)Binomni obrazac(Njutnova formula)

PPPPojam faktorijelaojam faktorijelaojam faktorijelaojam faktorijela

1!0321!def

nn ======== L (((( )))) (((( ))))nn 2642!!2 ==== L

Pojam binomnog koeficijentaPojam binomnog koeficijentaPojam binomnog koeficijentaPojam binomnog koeficijenta

(((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( ))))

10

01

0!!

!

!

121====

====

====

++++====

n

knk

n

k

knnnn

k

n L

Svojstva binomnih koeficijenataSvojstva binomnih koeficijenataSvojstva binomnih koeficijenataSvojstva binomnih koeficijenata

====

kn

n

k

n

++++

++++====

++++++++

1

1

1 k

n

k

n

k

n

BinomnaBinomnaBinomnaBinomna formula formula formula formula

(((( )))) nnnnnn ban

nba

n

nba

nba

nba

nba

01122110

1210

++++

++++++++

++++

++++

====++++ L

IliIliIliIli

(((( )))) kknn

k

nba

k

nba

====

====++++

0

kkkk----ti lan binomnog razvoja:ti lan binomnog razvoja:ti lan binomnog razvoja:ti lan binomnog razvoja:

nkbak

nT

kknnk ,,3,2,1,01 L====

==== ++++

ZadaciZadaciZadaciZadaci

1.1.1.1. Odrediti koeficijent uz peti lan u razvijenom obliku binoma Odrediti koeficijent uz peti lan u razvijenom obliku binoma Odrediti koeficijent uz peti lan u razvijenom obliku binoma Odrediti koeficijent uz peti lan u razvijenom obliku binoma 20

32

13

++++

xx ....

RjeenjeRjeenjeRjeenjeRjeenje

Peti lan se dobije za k=4 u obrascu Peti lan se dobije za k=4 u obrascu Peti lan se dobije za k=4 u obrascu Peti lan se dobije za k=4 u obrascu kknnk bak

nT

++++

====1 dok su dok su dok su dok su 32

13

xbxa ========

a a a a n=20.Dakn=20.Dakn=20.Dakn=20.Dakle,le,le,le,

(((( )))) ========

====

====

++++3 4

816

3 44

816

4

3

4202014 3

16

191715

2

13

4321

17181920

2

13

4

20

x

x

xx

xxT

3

20

173

16

19175x

==== .Traeni koeficijent je .Traeni koeficijent je .Traeni koeficijent je .Traeni koeficijent je 173

16

19175

2.2.2.2. Odrediti trinaesti lan u razvijenom obliku binoma Odrediti trinaesti lan u razvijenom obliku binoma Odrediti trinaesti lan u razvijenom obliku binoma Odrediti trinaesti lan u razvijenom obliku binoma n

xx

++++3

19 ako je ako je ako je ako je

binomni koeficijent treeg lana jednak 105.binomni koeficijent treeg lana jednak 105.binomni koeficijent treeg lana jednak 105.binomni koeficijent treeg lana jednak 105. RjeenjeRjeenjeRjeenjeRjeenje

Binomni koeficijent tBinomni koeficijent tBinomni koeficijent tBinomni koeficijent treeg lana je reeg lana je reeg lana je reeg lana je (((( ))))

02101052

1105

2

2 ========

====

nn

nnn


2

Iz ove jednaine je n=15.Sada naemo trinaesti lan:Iz ove jednaine je n=15.Sada naemo trinaesti lan:Iz ove jednaine je n=15.Sada naemo trinaesti lan:Iz ove jednaine je n=15.Sada naemo trinaesti lan:

(((( )))) (((( ))))366

33

63

12

121515112

1513

455

3

19

6

131415

3

19

3

15

3

19

12

15

xxx

xx

xxTT ====

====

====

======== ++++

3.3.3.3. Odrediti x tako da etvrti lan u razvoju binoma Odrediti x tako da etvrti lan u razvoju binoma Odrediti x tako da etvrti lan u razvoju binoma Odrediti x tako da etvrti lan u razvoju binoma 8

1 1

1

5 4

++++ ++++

x x

x xaa

a

a iznosi iznosi iznosi iznosi

aa5

56 RjeenjeRjeenjeRjeenjeRjeenje

(((( )))) aaaaa

aaaaa

a

aTT

x x

x x

x x

x x

51 333

55

45

31 1

38

1

5 48134 565656

3

8========

======== ++++

++++

++++

(((( ))))(((( ))))

(((( )))) ============ ++++

++++

++++

1

13

15

2

3

1 33

5521 33

55

2 2

xx

xx

x

x x

x xx x

x x a

aa

a

a

a

aaa

a

a

(((( )))) (((( ))))

(((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))13151

2

3 21315123

13

1512

32

2

====++++======== ++++

++++xxxxxaa

a

aa

xxxxx

xx

xxx

520103106433 21222 ============++++++++====++++ xxxxxxxx

Naravno,pod uvjetom a>0.Za a=1 x moe biti bilo koji broj.Naravno,pod uvjetom a>0.Za a=1 x moe biti bilo koji broj.Naravno,pod uvjetom a>0.Za a=1 x moe biti bilo koji broj.Naravno,pod uvjetom a>0.Za a=1 x moe biti bilo koji broj.

(prije upotrebe mogu se binomni lanovi srediti (prije upotrebe mogu se binomni lanovi srediti (prije upotrebe mogu se binomni lanovi srediti (prije upotrebe mogu se binomni lanovi srediti xx

x xa

a

a5

5

1

5 4

==== i i i i 1

2

1 1 ++++++++ ==== xx

x xaaa a a a a

zatim upotrebi uvjet:zatim upotrebi uvjet:zatim upotrebi uvjet:zatim upotrebi uvjet: 2

11

1

6556

3

8 5

3

1

25

5

5

====++++

++++

====

++++

x

x

x

xaaaa x

x

x

x

i.t.d.) i.t.d.) i.t.d.) i.t.d.)

4.4.4.4. etvrti lan u razvijenom obliku binoma etvrti lan u razvijenom obliku binoma etvrti lan u razvijenom obliku binoma etvrti lan u razvijenom obliku binoma (((( ))))6

121log

1

++++++++ xx x jednak je 200. jednak je 200. jednak je 200. jednak je 200.

Odrediti x.Odrediti x.Odrediti x.Odrediti x. RjeenjeRjeenjeRjeenjeRjeenje

(((( )))) (((( )))) (((( )))) ====

============ ++++

++++++++

41log

33

12

36

1log

16134 20200

3

6200 xxxxTT xx

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

========

====

++++++++++++++++

log/1010104

1

1log2

3

1log2

3

4

1

4

11log

3

2

1xx

xxxxxx

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( ))))====

++++

++++========

++++++++

txxx

xx

loglog4

1

1log2

31log10log

4

1

1log2

3

(((( )))) (((( ))))(((( )))) 0431644

412

31

4

1

12

31

2 ====++++++++++++====++++++++++++

====

++++

++++==== tttttt

t

t

tt

t


3

42121 10103log1log41

======================== xxxxtt

5.5.5.5. OdreOdreOdreOdrediti x tako da je zbir treeg i sedmog lana u razvoju binoma diti x tako da je zbir treeg i sedmog lana u razvoju binoma diti x tako da je zbir treeg i sedmog lana u razvoju binoma diti x tako da je zbir treeg i sedmog lana u razvoju binoma

(((( ))))8cossin ++++x jednak 7. jednak 7. jednak 7. jednak 7. RjeenjeRjeenjeRjeenjeRjeenje

Prema zadatku je Prema zadatku je Prema zadatku je Prema zadatku je (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) 7cossin6

8cossin

2

87

6226

73 ====

++++

====++++ xxxxTT

(((( )))) ====++++====++++4

1cossincossin7cossin28cossin28

2233xxxxxxxx

(((( )))) ====++++====++++4

1cossincossin7cossin28cossin28

2233xxxxxxxx

pipipipipipipipi

pipipipipipipipi

kxkxxxxx 26

522

62

2

12sin

4

12sin

2

1

4

1cossin ++++====++++================

pipipipipipipipi

pipipipipipipipi

kxkx 212

5

12++++====++++====

6.6.6.6. Odrediti lanOdrediti lanOdrediti lanOdrediti lan koji u razvijenom obliku stepena koji u razvijenom obliku stepena koji u razvijenom obliku stepena koji u razvijenom obliku stepena 9

21

++++ aa

ne sadri a. ne sadri a. ne sadri a. ne sadri a.

RjeenjeRjeenjeRjeenjeRjeenje

Znamo da je Znamo da je Znamo da je Znamo da je kknnk bak

nT

++++

====1 ili ili ili ili (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) 93292

9

1

9919

++++

====

====

==== kkk

kk

nk a

kaa

ka

akT

Odavdje mora biti Odavdje mora biti Odavdje mora biti Odavdje mora biti 3093 ======== kk .Dakle,etvrti lan u razvoju datog binoma .Dakle,etvrti lan u razvoju datog binoma .Dakle,etvrti lan u razvoju datog binoma .Dakle,etvrti lan u razvoju datog binoma ne sadri a.ne sadri a.ne sadri a.ne sadri a.

7.7.7.7. Izraunati lanIzraunati lanIzraunati lanIzraunati lan razvoja binoma razvoja binoma razvoja binoma razvoja binoma n

xx

++++2

43

5 ,koji sadri ,koji sadri ,koji sadri ,koji sadri 5 42 xx ,ako je zbir ,ako je zbir ,ako je zbir ,ako je zbir

prva tri koeficijenta jednak 56.prva tri koeficijenta jednak 56.prva tri koeficijenta jednak 56.prva tri koeficijenta jednak 56. RjeenjeRjeenjeRjeenjeRjeenje

Prvo odredimo n.Kako je Prvo odredimo n.Kako je Prvo odredimo n.Kako je Prvo odredimo n.Kako je (((( ))))

====

++++++++====

++++

++++

56

2

1156

210

nnn

nnn

1001101122222 ========++++====++++++++ nnnnnn

(((( )))) (((( )))) (((( )))) ====

====

====

++++

====

====

kk

k

kk

k

xxk

xx

k

xx

1310

5210

0

310

510

0

103

5 2210

24

10

24

(((( )))) (((( )))) ====

====

====

====

==== 35

10320

10

0

3

110

5

1

22010

0

210

2210 kkk

k

k

k

k

k

k

xxk

xxk

(((( )))) 3510

32010

0

210 kkk

k

xk

++++

====

==== ....


4

Sdruge strane je Sdruge strane je Sdruge strane je Sdruge strane je 514

5

4

25 42xxxxx ======== pa moemo pisati uvjet: pa moemo pisati uvjet: pa moemo pisati uvjet: pa moemo pisati uvjet: ====++++

5

14

35

10 kk

6425330 ========++++ kkk .Dakle sedmi lan..Dakle sedmi lan..Dakle sedmi lan..Dakle sedmi lan.

8.8.8.8. Odrediti redni broj onog lana razvoja binoma Odrediti redni broj onog lana razvoja binoma Odrediti redni broj onog lana razvoja binoma Odrediti redni broj onog lana razvoja binoma 12

3 2

3

2

4

3

++++ xx ,koji sadri ,koji sadri ,koji sadri ,koji sadri

7x .... RjeenjeRjeenjeRjeenjeRjeenje

(((( )))) (((( )))) ====

========

====

====

++++

kk

kkkk

kknnk xxmxxmxx

kba

k

nT 2

112

3

212

3 2

12

3 21

3

2

4

312

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

23

122

23

122kk

kk

mxxxm++++

========

Kako se trai onaj lan koji sadri Kako se trai onaj lan koji sadri Kako se trai onaj lan koji sadri Kako se trai onaj lan koji sadri 7x to mora biti to mora biti to mora biti to mora biti (((( )))) 723

122====++++

kk odavdje je odavdje je odavdje je odavdje je

(((( )))) 6423124 ========++++ kkk .Dakle sedmi lan razvoja binoma sadri .Dakle sedmi lan razvoja binoma sadri .Dakle sedmi lan razvoja binoma sadri .Dakle sedmi lan razvoja binoma sadri 7x ....

9.9.9.9. Nai za koje vrijednosti x u razvoju binoma Nai za koje vrijednosti x u razvoju binoma Nai za koje vrijednosti x u razvoju binoma Nai za koje vrijednosti x u razvoju binoma n

x

x

++++

12

12 zbir treeg i petog zbir treeg i petog zbir treeg i petog zbir treeg i petog

lana iznosi 135,ako je zbit binomnih koeficijenata tri posljednja lana 22.lana iznosi 135,ako je zbit binomnih koeficijenata tri posljednja lana 22.lana iznosi 135,ako je zbit binomnih koeficijenata tri posljednja lana 22.lana iznosi 135,ako je zbit binomnih koeficijenata tri posljednja lana 22. RjeenjeRjeenjeRjeenjeRjeenje

Prema uvjetu u zadatku je Prema uvjetu u zadatku je Prema uvjetu u zadatku je Prema uvjetu u zadatku je 2212

====

++++

++++

n

n

n

n

n

n a prema osobini binomnih a prema osobini binomnih a prema osobini binomnih a prema osobini binomnih

koefikoefikoefikoeficijenata to je isto to i cijenata to je isto to i cijenata to je isto to i cijenata to je isto to i (((( ))))

====++++++++

====

++++

++++

221

2

122

012n

nnnnn

60422 ========++++ nnn Sada se moe pisati Sada se moe pisati Sada se moe pisati Sada se moe pisati

6

2

1

2

122

2

12

++++====

++++

xxn

x

x

Pa prema drugom uvjetu je Pa prema drugom uvjetu je Pa prema drugom uvjetu je Pa prema drugom uvjetu je

135224

622

2

64

2

12

2

2

2

14

2 ====

++++

xxxx

13522152215 2212 ====++++ xxxx

(((( )))) (((( )))) 04292292

422922

221 ====++++====++++====++++ ++++ xxx

xxx

Uvedemo li smjenu Uvedemo li smjenu Uvedemo li smjenu Uvedemo li smjenu tx ====2 slijedi jednadba slijedi jednadba slijedi jednadba slijedi jednadba 0492 2 ====++++ tt te je te je te je te je 2

14 21 ======== tt

Sada je Sada je Sada je Sada je 2

1242 ======== xx te je te je te je te je 12 21 ======== xx

******mogue su tamparske greke************mogue su tamparske greke************mogue su tamparske greke************mogue su tamparske greke******

Documents

binomni obrazac