67
UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE CONSTRUCŢII BUCUREŞTI BETON PRECOMPRIMAT - BAZELE CALCULULUI - Radu Pascu Bucureşti 2008

# Beton Precomprimat Bazele Calcului R-Pascu

Embed Size (px)

DESCRIPTION

calcul beton

Citation preview

• UNIVERSITATEA TEHNIC DE CONSTRUCII BUCURETI

BETON PRECOMPRIMAT

- BAZELE CALCULULUI -

Bucureti 2008

• I

CUPRINS

1.Introducere......................................................................................5

1.1 Definiia betonului precomprimat..........................................................5

1.2 Procedee de precomprimare.................................................................5 1.2.1 Precomprimare prin prentinderea armturilor 6 1.2.2 Precomprimare prin postntinderea armturilor 6

1.3 Avantaje, inconveniente i domeniie de utilizare................................7

1.4 Scurt istoric...........................................................................................8

2. Materiale i metode de precomprimare......................................9

2.1 Betonul...................................................................................................9

2.2 Armturi pentru beton precomprimat.................................................9

2.3 Alte materiale........................................................................................12 2.3.1 Tecile pentru armturi postntinse 12 2.3.2 Mortarul de injecie 13

2.4 Dispozitive de ancorare........................................................................13 2.4.1 Ancoraje active 13 2.4.2 Ancoraje fixe 15

2.5 Pretensionarea armturilor..................................................................16

3. Comportarea sub ncrcri (stadii de lucru)..............................18

3.1 Evoluia eforturilor unitare n armtur i n beton n faza iniial..........................................................................................................18

3.1.1 Armturi prentinse 18 3.1.2 Armturi postntinse 19 3.1.3 Controlul pretensionrii 20

3.2 Tirani.....................................................................................................21

3.3 Grinzi......................................................................................................24

• II

4. Determinarea eforturilor n armtur..........................................28

4.1 Pierderi de tensiune..............................................................................28

4.2 Variabilitatea pierderilor de tensiune..................................................29

4.3 Calculul pierderilor de tensiune la armturi prentinse.....................29 4.3.1 Pierderi de tensiune la ancoraj 29 4.3.2 Pierderi de tensiune din frecare pe traseu 30 4.3.3 Pierderi de tensiune datorit tensionrii succesive 30 4.3.4 Pierderi de tensiune datorit tratamentului termic 31 4.3.5 Relaxarea armturilor n faza iniial 32 4.3.6 Curgerea lent a betonului 33 4.3.7 Relaxarea armturilor n faza final 34

4.4 Calculul pierderilor de tensiune la armturi postntinse...................34 4.4.1 Pierderi de tensiune din frecare pe traseu 34 4.4.2 Pierderi de tensiune la ancoraj 37 4.4.3 Pierderi de tensiune datorit tensionrii succesive 39 4.4.4 Curgerea lent a betonului 40 4.4.5 Relaxarea armturilor 40

4.5 Limitarea eforturilor unitare n armturi n faza final ......................41

5. Verificri la stri limit ultime.....................................................42

5.1 Introducere...........................................................................................42

5.2 Verificarea de rezisten n seciuni normale : ntindere.................42

5.3 Verificarea de rezisten n seciuni normale : ncovoiere...............42

5.4 Verificarea de rezisten la for tietoare.........................................45

5.5 Verificarea de rezisten la transfer ................................................47

5.6 Verificarea la oboseal........................................................................48

6. Verificri la stri limit de serviciu.............................................50

6.1 Fisurare.................................................................................................50 6.1.1 Grad de precomprimare 50 6.1.2 Clase de verificare la fisurare 51 6.1.3 Verificarea nchiderii fisurilor normale 52 6.1.4 Verificarea nchiderii fisurilor nclinate 52 6.1.5 Verificarea deschiderii fisurilor normale 52 6.1.6 Verificarea deschiderii fisurilor nclinate 53

• III

6.1.7 Verificarea la fisurare longitudinal 54

6.2 Deformaie.............................................................................................55 6.2.1 Verificarea la SLS de deformaie 55 6.2.2 Calculul modulului de rigiditate al seciunii 55

7. Calculul zonelor de transmitere..................................................57

7.1 Aderena armaturilor preintinse. Lungime de transfer i lungime de ancorare................................................................................................57

7.2 Zona de difuzie ..................................................................................58

7.3 Verificarea zonelor de transmitere......................................................60 7.3.1 Verificare la compresiune local 60 7.3.2 Verificare la fisurare n planul armturilor 61 7.3.3 Verificare la fisurare ntrel armturi 62 7.3.4 Prevederi constructive 63

Bibliografie.......................................................................................65

• Introducere 5

1 Introducere

1.1 Definiia betonului precomprimat

Betonul precomprimat este un beton cu eforturi iniiale de compresiune.

Motivul introducerii eforturilor iniiale de compresiune este rezistena slab la ntindere betonului. Din aceast cauz elementele de beton armat sunt fisurate sub aciunea solicitrilor, n special a momentelor ncovoietoare, date de ncrcrile de serviciu (Mfis < ME). Consecinele sunt :

slaba rigiditate (rigiditatea n stare fisurat este circa 20% din cea n stare nefisurat) ;

creterea deformaiilor (sgeilor) ; coroziunea armturilor este favorizat ; creterea permeabilitii (important n cazul rezervoarelor).

Trebuie deci evitat sau cel puin limitat fisurarea, i soluia este precomprimarea (vezi Figura 1.1).

Figura 1.1 Starea de eforturi pe seciune sub aciunea unui moment ncovoietor i a precomprimrii

Dac prin aplicarea precomprimrii se evit eforturile de ntindere sub aciunile de serviciu, precomprimarea se numete total. Dac se admit eforturi de ntindere, eventual chiar i fisurarea, sub anumite valori reprezentative ale aciunilor (de exemplu n combinaia rar), precomprimarea se numete parial.

Cea mai frecvent folositmetod de precomprimare este cea cu armturi pretensionate care induc eforturi de compresiune n beton. n continuare se va prezenta numai precomprimarea cu ajutorul armturilor.

1.2 Procedee de precomprimare

Procedeele de precomprimare pot fi clasificate n dou categorii principale : precomprimarea prin prentinderea armturilor ; precomprimarea prin postntinderea armturilor.

Precomprimare total

ME

eop

P -

-

+

+

=

- - -

sau

sau

Precomprimare parial

Precomprimare ncovoiere

• 6 Introducere

1.2.1 Precomprimarea prin prentinderea armturilor

Prin prentindere se nelege tensionarea armturilor nainte de turnarea betonului. Aceasta presupune c armturile trebuie ntinse rezemnd fie pe cofraj, fie pe culee ancorate n teren.

Acest procedeu este adaptat n special pentru fabricarea n uzin a unor elemente de dimensiuni limitate : grinzi, grinzioare, fii de planeu, stlpi pentru linii electrice.

Prefabricarea n uzin permite s se obin : o rezisten mai ridicat a betonului (40 la 55 MPa la 28 zile); o rezisten iniial ridicat, obinut deseori prin tratament termic, pentru a

accelera rotaia cofrajelor (un ciclu de fabricaie pe zi); o mai bun calitate a produselor : regularitatea rezistenelor, aspect de suprafa

de calitate ; o reducere a costului manoperei i amortizarea mai rapid a echipamentelor.

Printre inconveniene amintim dificultatea de a realiza trasee curbe i limitarea dimensiunilor elementelor din cauza gabaritelor limitate de transport.

Figura 1.2 Stend de precomprimare

Principalele etape de fabricare ale unui element de beton precomprimat cu armtur prentins sunt urmtoarele :

1. ntinderea armturilor (toroane sau srme amprentate); 2. Montarea armturilor pasive, urmat de turnarea betonului; tratarea betonului i

decofrarea; 3. Detensionarea srmelor (toroanelor) la dispozitivele de ancoraj de la

extremitile stendului de ndat ce betonul a atins o rezisten suficient, ceea ce are ca efect transferul eforturilor ctre beton.

1.2.2 Precomprimarea prin postntinderea armturilor

Precomprimarea prin postntinderea armturilor presupune turnarea i ntrirea betonului nainte de tensionarea armturilor. n general, se utilizeaz betonul pentru a prelua reaciunea la ntinderea armturilor.

Procedeul prin postntinderea armturilor cel mai uzual utilizeaz cabluri introduse n teci (metalice sau din polimeri PEHD sau PP).

50100 m ancoraj mobil

ancoraj fix

elemente prefabricate cablu

• Introducere 7

Avantajele procedeului sunt : posibilitatea de a realiza precomprimarea pe antier, fr a construi culee sau

cofraje autoportante costisitoare; posibilitatea de a realiza elemente prin asamblarea cu ajutorul precomprimrii a

unor bolari prefabricai; posibilitatea de a realiza cu uurin trasee curbe.

Printre inconveniente aminitim consumul de piese metalice (ancoraje) i necesitatea de a injecta un lapte de ciment n teac pentru a proteja armturile mpotriva coroziunii.

1.3 Avantaje, inconveniente i domenii de utilizare

Ca principale avantaje ale betonului precomprimat putem cita :

O mai bun utilizare a materialului pentru c nu exist beton ntins inutil (fisurat), cel puin n cazul precomprimrii totale ;

O mai bun rigiditate i un raport mai bun ntre greutate i rigiditate ; Betonul situat n jurul armturilor pretensionate fiind permanent comprimat,

riscul de coroziune al armturilor este mai sczut ; Materialele utilizate avnd caracteristici superioare, rezult o cretere a

capacitii portante pentru aceeai greutate ; Armturile cu nalt limit de elasticitate utilizate n betonul precomprimat sunt

mai ieftine, la for egal, dect armturile de beton armat ; Rezistena la oboseal mai bun dect a betonului armat, pentru c betonul

rmne permanent comprimat ; Un foarte sever control de calitate este implicit realizat la transfer ; Posibilitatea de a asambla elemente prefabricate fr eafodaje i fr

suprabetonare.

Ca inconveniente reinem :

Necesitatea de a realiza betoane mai rezistente ; Necesitatea de a dispune de un personal calificat pentru verificarea dispunerii

tecilor i cablurilor i pentru tensionarea cablurilor ; Rupere neductil ; Calcule n general mai complexe dect pentru structurile de beton armat (n

special n cazul elementelor static nedeterminate).

Domeniile de utilizare rezult din avantajele enumerate mai sus :

Structurile unde greutatea proprie reprezint o fraciune important din ncrcare, deci elementele de mare deschidere : grinzi de poduri, grinzi de acoperiuri de hale industriale, planee pentru cldiri de birouri sau parcaje etajate ;

Structurile unde etaneitatea este o condiie esenial : rezervoare, silozuri, conducte, anvelope de reactoare nucleare ;

Structurile solicitate la oboseal : poduri, piste de aeroport, drumuri, fundaii de maini.

• 8 Introducere

1.4 Scurt istoric

Precomprimarea exist sub diverse forme de foarte mult timp, fie sub form natural (arce, boli) fie provocat (cercurile de butoi, roile de biciclet, fierstrul).

Primele studii asupra precomprimrii betonului dateaz de la sfritul secolului al XIX-lea i nceputul secolului XX :

CONSIDRE i BACH ncearc s ntrzie fisurarea prin comprimarea betonului i pretensionarea armturilor ; JACKSON (n California) breveteaz n 1886 prima aplicaie a betonului precomprimat ; DOEHRING depune n 1888 un brevet de plci precomprimate cu srme ; KOENER i LUNDT ncearc n 1907 s limiteze fisurarea din ntindere a betonului, dar eforturile lor au nregistrat un eec : efortul de compresiune introdus de armturi era practic anulat de contracia i curgerea lent a betonului.

FREYSSINET este cel care reuete primul s dezvolte precomprimarea betonului. n 1926 el descoper curgerea lent a betonului. n octombrie 1928 depune un prim brevet privind precomprimarea, intitulat Procedeu de fabricare a elementelor de beton armat . Tot el este cel care a inventat cuvntul prcontrainte (imprimat pentru prima dat ntr-un articol publicat n ianuarie 1933).

Dup rzboi, asistm la un progres general al betonului precomprimat, cu P. ABELES n Marea Britanie, G. MAGNEL n Belgia, E. FREYSSINET ,si Y. GUYON n Frana, F. LEONHARDT n Germania, T.Y. LIN n Statele Unite, etc.

n Romnia, primele elemente precomprimate au fost fabricate la nceputul anilor 50 la ntreprinderea 5 Construcii din Braov (ing. M. HALMAGIU). Cercetrile experimentale i dezvoltarea de tehnologii i materiale au continuat la INCERC. Proiectele de elemente prefabricate din beton precomprimat (pentru cldiri) erau elaborate la IPCT.

Betonul precomprimat era folosit pe scar larg la realizarea elmentelor de acoperi pentru hale industriale. Se folosea de regul procedeul cu armturi preintinse, realizate din toroane sau lie.

Dup 1989, odat cu scderea dramatic a volumului de investiii, multe fabrici de prefabricate i-au inchis porile. n ultimii 10 ani se constat un reviriment, marcat de deschiderea de noi fabrici, de obicei filiale ale unor firme strine.

Precomprimarea se folosete (n varianta cu armtur preintins) la grinzi i pane de acoperi pentru hale industriale i centre comerciale. De asemenea, s-au realizat primele planee cu armtur postntins : parcarea etajat de la aeroportul internaional Otopeni (1997) i planeul peste subsol la Carrefour-Berceni (2008).

• Materiale i metode de precomprimare 9

2 Materiale i metode de precomprimare

2.1 Betonul

Caracteristicile cerute unui beton pentru realizarea elementelor din beton precomprimat sunt urmtoarele :

- Foarte bun rezisten iniial (la 24 ore sau la trei zile) i pe termen lung (28 de zile sau mai mult) ;

- O bun rezisten la ageni agresivi ; - Deformaii instantanee i de durat (curgere lent i contracie) ct mai reduse ; - O lucrabilitate ct mai bun pentru punerea n oper corect.

Pentru a realiza aceste performane, trebuie utilizat un ciment cu rezistena de 45 sau 55 MPa, cu ntrire rapid i un dozaj ntre 400 i 500 kg/m3. Raportul ap/ciment trebuie s fie redus i este recomandat utilizarea aditivilor reductori de ap (superplastifiani). Betoanele rezultate sunt de clas cel puin Bc 35 (C30/35).

Pentru proprietile generale ale betonului, vezi capitolul 3 din [4].

2.2 Armturi pentru beton precomprimat

Armturile pentru beton precomprimat trebuie s aib rezisten nalt i relaxare redus. ntr-adevr, pentru oeluri la care limita elastic este de ordinul a 200400 MPa, pierderile de tensiune pot reprezenta ntre 50% i 80% din limita elastic, n timp ce pentru oelurile cu limit elastic ridicat (1400 la 1600 MPa) ele nu reprezint dect 15-20%.

Relaxarea armturilor reprezint o surs important de pierderi de tensiune. De aceea a fost pus la punct fabricarea de armturi cu relaxare redus. Dac la armturile cu relaxare normal, relaxarea la 1000 de ore reprezint 8-12% din efortul iniial, la cele cu relaxare redus aceasta este de numai 2-5%.

Dup normele romneti STAS 10107/0-90, se pot folosi mai multe tipuri de armturi : srme netede (SBP), srme amprentate (SBPA), toroane (TBP) sau bare profilate (PC 90). Srmele pot fi grupate n mpletituri de 3 srme, toroane (din 7 srme) sau fascicule din srme paralele (figurile 2.1 i 2.2).

Figura 2.1 Toroane pentru beton precomprimat : vedere lateral i seciune transversal

• 10 Materiale i metode de precomprimare

Figura 2.2 Fascicule compuse din srme paralele (STAS 10107/0-90) Vedere i seciune pentru un fascicul compus din 36 srme dispuse pe 2 rnduri

Armturile pentru beton precomprimat nu au palier plastic (figura 2.3). Modelul analitic, dup STAS 10107/0-90, este este dat de ecuaiile urmtoare :

pentru p 0,6 Rp p

pp E

= (2.1a)

pentru p > 0,6 Rp 5

p

p

p

pp 6,0RE

+=

(2.1b)

Figura 2.3 Curbe caracteristice ale oelurilor SBP, PC 90 et OB 37

Limita convenional de proporionalitate R0,1 corespunde unei deformaii reziduale de 0,1 % i limita convenional de plasticitate R0,2 corespunde unei deformaii reziduale de 0,2 %. Rezistena caracteristic Rpk este raportat la rezistena la rupere pentru

20

40

60

80

1000

1200

1400

1600

5 10 20 30 40

efo

rt un

itar

(MPA

)

deformaie ()

SBP

PC 90

OB 37

1 srme 2 resort 3 resort interior 4 ligaturi

• Materiale i metode de precomprimare 11

armturile din SBP i TBP i la limita convenional de plasticitate pentru armturile din PC 90.

Caracteristicile geometrice, chimice, mecanice i tehnologice ale armturilor sunt date n normele STAS 6482/2-80 pentru SBP, STAS 6482/3-80 pentru SBPA it STAS 6482/4-80 pentru TBP. Rezistenele caracteristice i de calcul ale acestor armturi, utilizate n proiectare, sunt date n tabelul de mai jos (dup STAS 10107/0-90) :

Tabelul 2.1 Rezistene caracteristice i de calcul ale armturilor pentru beton precomprimat

Tipuri de armturi Diametru nominal

(mm)

Rezisten caracteristic

Rpk (MPa)

Rezisten de calcul

Rp (MPa) 1,5 2110 1690 2 2010 1610

2,5 1910 1530 3 1860 1490

3,7 1770 1420 4 1720 1380 5 1670 1340 6 1620 1300

SBP I

7 1570 1260 1,5 1910 1530 2 1860 1490

2,5 1770 1420

SBP

SBP II

3 1670 1340 5 1670 1340 6 1620 1300 SBPA I 7 1570 1260 5 1520 1220 6 1470 1180

SBPA

SBPA II 7 1470 1180 9 1760 1410 TBP 12 1660 1330

PC 90 14...28 600 500

Rezistenele de calcul Rp se obin plecnd de la rezistenele caracteristice Rpk i mprindu-le pe acestea din urm cu ceficientul parial de siguran p :

p

pkp

RR

= (2.2)

unde : p = 1,25 pentru SBP, SBPA, TBP ; p = 1,20 pentru PC 90.

Modulii de elasticitate pentru aceste armturi sunt :

- bare PC 90 : Ep = 210 GPa ;

• 12 Materiale i metode de precomprimare

- srme SBP et SBPA : Ep = 200 GPa ; - toroane : Ep = 180 GPa ;

Deformaia la rupere se consider r = 3%.

n majoritatea rilor europene se utilizeaz toroane constituite din srme cu relaxare redus. Cele mai utilizate sunt toaroanele T13S (Ap =100 mm2, fpk = 1860 MPa) i T15S (Ap =150 mm2, fpk = 1770 MPa). n tabelul urmtor sunt date caracteristicile unui toron T15S.

Tabelul 2.2 Caracteristicile toroaneleor T15S (Freyssinet) Diametru nominal mm 15,7 Seciune mm2 150 Rezistena caracteristic fpk MPa 1770 Limita de curgere fp0,1k MPa 1520 Alungirea sub sarcin maxim uk % 3,5 Modul de elasticitate Ep GPa 195 Relaxare La 1000 ore, 20 C, 0,7fpk 2,5 % Coeficieni de frecare Teci metalice: = 0,18 = 0,005/m Teci PE sau PP: = 0,14 = 0,007/m

Figura 2.4 Curba caracteristic pentru toroane T15S

2.3 Alte materiale

2.3.1 Tecile pentru armturi postntinse

La elementele cu armtur postntins, armturile sunt dispuse n goluri (canale) realizate n beton cu ajutorul unor teci.

Tecile sunt evi de oel, foi de tabl de 0,4 ou 0,6 mm grosime nfurate n spiral sau evi din PVC sau alt material polimeric (polipropilen, polietilen de nalt densitate).

Aceste teci trebuie s rspund urmtoarelor exigene : - S fie suficient de flexibile ca s poat fi dat forma dorit traseului armturii ;

• Materiale i metode de precomprimare 13

- S fie suficient de robuste pentru a-i pstra forma n timpul instalrii i betonrii ;

- S fie etane astfel nct s mpiedice infiltrarea laptelui de ciment n timpul betonrii.

2.3.2 Mortarul de injecie

Pentru a proteja armaturile, golul care rmne ntre cablu i teac este injectat cu un mortar de ciment (sau eventual cu un produs : cear, unsoare).

Mortarul poate avea compoziia urmtoare : - ciment portland de rezisten 55 MPa ; - ap dozat la 35% pn la 45% din greutatea cimentului (a/c = 0,35...0,45) ; - plastifiant (eventual) ; - eventual nisip fin (pn la 25% din greutatea cimentului).

La extremitile i n punctele cele mai nalte ale canalului armturii sunt prevzute tuburi de injecie i aerisire pentru a permite mortarului de injecie s elimine tot aerul coninut n canal. Presiunea de injecie a mortarului este de ordinul a 0,60,8 MPa la intrarea n canal.

2.4 Dispozitive de ancorare

Dup funcia lor distingem dou catgorii de ancoraje : - ancorajele active (mobile) care permit blocarea cablului la extremitatea de la

care se face ntinderea sa. Orice unitate de pretensionare comport cel puin un ancoraj activ ;

- ancorajele fixe, care impiedic orice micare, fa de beton, a extremitii cablului opus celei de la care se face ntinderea. Ancorajele fixe pot fi exterioare, care rmn accesibile dup betonare, sau ancoraje ncorporate betonului structurii ( care funcioneaz fie prin presiune, fie prin aderen).

Se folosesc de asemenea cuple (care permit realizarea continuitii a dou tronsoane de cable ntinse in faze diferite pentru structurile construite n mai multe etape) i dispozitive de nndire (care asigur racordarea a dou tronsoane de armatur ntinse simultan de la una sau/i cealalt din extremitile libere).

Exist mai multe societi deintoare de procedee de pretensionare, care au dezvoltat propriile lor sisteme. n continuare vor fi prezentate doar cteva tipuri reprezentative de ancoraje.

2.4.1 Ancoraje active

Srmele i toroanele pot fi blocate prin mpnare (figurile 2.5 i 2.6). Figura 2.5 prezint ancorajul inel-con (INCERC) utilisat pentru fascicule de srme

paralele : dup intindere, srmele sunt blocate n inel prin introducerea conului.

• 14 Materiale i metode de precomprimare

Figura 2.5 Ancoraj inel - con (INCERC)

Figura 2.6 Ancoraj cu pene (Freyssinet)

Procedeul Freyssinet utilizeaz o plac cu una sau mai multe guri tronconice. Dup ntindere, toroanele sunt blocate cu dou sau trei pene (clavete) metalice (figura 2.6).

Un alt procedeu este sistemul BBRV (figura 2.7) : ancorajele sunt prefabricate, fixate la extremitatea cablului nainte de ntinderea sa. Dup ntindere, ancorajul este blocat pe beton cu cale. Srmele se sprijin, prin intermediul unor butoni forjai la rece, pe capul metalic al ancorajului, care este gurit. Acest cap de ancoraj este filetat la exterior, ceea ce permit nsurubarea pe el a tijei presei hidraulice. Inconvenientul procedeului este c mrete spaiul necesar cu o lungime egal cu alungirea cablului la pretensionare (circa 7 mm/m). Acest inconvenient este evitat la ancorajul tip L, la care capetele ancorajului sunt situate ntr-o trompet. n acest caz, cablurile sunt mai scurte la nceput dect elementul care trebuie precomprimat i trebuie calculat cu precizie lungimea final a cablului.

n cazul barelor, se prevede un filetaj la extremitatea barei i aceasta poate fi blocat cu ajutorul unei piulie (procedeu Dywidag, figura 2.8).

• Materiale i metode de precomprimare 15

Figura 2.7 Ancoraj BBRV tip L

Figura 2.8 Ancoraj cu piuli (Dywidag)

2.4.2 Ancorajele fixe

Dintre ancorajele fixe exterioare, cel mai cunoscut n Romnia este cel cu dorn (figura 2.9) : armturile fac o bucl n jurul unui dorn care se sprijin pe o plac metalic fixat pe beton.

Figura 2.9 Ancoraj fix cu dorn (INCERC)

• 16 Materiale i metode de precomprimare

Un sistem similar, nglobat n beton, este realizat fcnd o bucl cu armturile n jurul unei plci curbe n contact direct cu betonul (figura 2.10).

n cazul ancorajelor prin aderen, srmele depesc teaca pe o lungime suficent pentru a asigura ancorajul prin aderen (figura 2.11). Pentru a diminua eforturile n beton, srmele sunt desfcute n evantai. Aderena este ameliorat dac srmele sunt ondulate sau curbate pentru a forma ciocuri.

Figura 2.9 Ancoraj prin presiune nglobat n beton (VSL tip U)

Figura 2.10 Ancoraj prin aderen (Freyssinet)

2.5 Pretensionarea armturilor

Pretensionarea cablurilor se face cu o presa hidraulic. Presa hidraulic este un mecanism constituit dintr-un cilindru i un piston, delimitnd o camer la interior n care se poate injecta ulei, ceea ce face s se deplaseze cele dou piese una fa de cealalt.

• Materiale i metode de precomprimare 17

Cilindrul se sprijin pe beton, in timp ce cablul este fixat de piston, a crui micare asigur tensionarea cablului. n continuare se exemplific funcionarea presei cu orificiu central.

1. Montarea presei

Ordinea de montare a presei i accesoriilor sale :

a) Capul de ancorare cu pene b) Resoarte c) Coroana de blocaj d) Corpul pompei e) Blocul posterior cu penele auxiliare.

2. Pregtirea prentru tensionare

Se fixeaz toroanele pe blocul posterior cu penele auxiliare

3. Tensionarea toroaneleor

Se pune sup presiune camera presei (f) la presiunea corespunztoare efortului dorit n cablu. De regul, punerea sub presiune se face n trepte, la care se msoar alungirea cablului. Resoartele asigur un blocaj uniform al penelor i limiteaz ptrunderea lor. Cnd alungirea cablului depete cursa presei (g), trebuie efectuate urmtoarele operaii : - blocaj provizoriu al toroanelor pe capul de ancoraj (a) - nchiderea presei prin golirea uleiului din camera principal (f) - prinderea din nou a toroanelor pe blocul posterior (e) - reluarea tensionrii.

4. Golirea i demontarea presei

Se golete uleiul din camera presei i se demonteaz accesoriile Figure 2.11 Schema pretensionrii unui cablu

• Comportarea elementelor de beton precomprimat sub sarcini 17

• 18 Comportarea elementelor de beton precomprimat sub sarcini

3 Comportarea elementelor de beton precomprimat sub sarcini

Pentru a simplifica expunerea, efectul pierderilor de tensiune din armtur este ignorat n acest capitol. El va fi introdus n capitolul urmtor.

3.1 Evoluia eforturilor unitare n armtur i n beton n faza iniial

Trebuie definite mai nti noiunile de faz iniial i faz final : - prin faz iniial se nelege intervalul de timp care ncepe odat cu fabricarea

elementului i se termin cu transferul eforturilor de la armtura pretensionat la beton;

- prin faz final se nelege intervalalul care ncepe la sfritul fazei iniiale i dureaz pn se dezvolt toate pierderile de tensiune reologice.

3.1.1 Armturi prentinse

ntinderea cablurilor se face pe culei fixate n sol i deformaia (alungirea) cablului este p0. n momentul transferului eforturilor ntre armtur i beton, are loc o scurtare a betonului i, n acelai timp, o scurtare a armturii, de valoare bp. n consecin deformaia armturii scade la valoarea pp.

Figura 3.1 Deformaii i eforturi unitare n faza iniial ntr-un element precomprimat cu armtur prentins

Relaia ntre deformaiile armturii i betonului este :

p0 = pp + bp (3.1)

Efortul unitar n armtur nainte de transfer este :

l0 l0/2 l0/2

bp lb/2

lb/2

lb/2

lb/2

Tp Tp

Tp Tp = App

p0

traciunee

compresiune

TRANSFER

oel

beton

bpEp = npbp

ppEp

bpEb timp

p0

alungire

scurtare

TRANSFER

oel

beton

bp

pp

bp timp

• Comportarea elementelor de beton precomprimat sub sarcini 19

p0 = p0Ep (3.2)

Efortul unitar n beton dup transfer este :

bp = bpEb (3.3)

Efortul unitar n armtur dup de transfer este :

pp = ppEp =(p0 - bp)Ep = p0 - np bp (3.4)

cu np = Ep/Eb

Echilibrul forelor interne (compresiunea din beton i ntinderea din armtur) dup transfer d :

Abbp = Appp (3.5)

De unde rezult :

Abbp = Ap(p0 - np bp) bi

0

ppb

0ppbp A

PAnA

A=

+=

(3.6)

Se poate ajunge la relaia (3.6) i printr-o alt abordare : dac se consider fora de precomprimare P0 ca o for exterioar aplicat pe seciunea ideal omogen de arie Abi, efortul unitar n beton este :

bi

0bp A

P=

Se pot deci determina deformaia i efortul unitar n beton considernd precomprimarea ca o for exterioar.

3.1.2 Armturi postntinse

Cazul armturilor postntinse este ilustrat n figura 3.2. Echilibrul forelor interne d :

Abbp = Appp

Cu : bp = bpEb i pp = ppEp

Se remarc similaritatea acestor relaii cu cele obinute mai nainte n cazul precomprimrii cu armtur prentins. Pentru a putea utiliza aceleai relaii, se definete o valoare fictiv a efortului unitar n armtur, notat p0, care este valoarea efortului unitar n armtura pretensionat care ar corespunde unui efort unitar nul n beton.

• 20 Comportarea elementelor de beton precomprimat sub sarcini

Figure 3.2 Deformaii i eforturi unitare n faza iniial ntr-un element precomprimat cu armtur postntins

3.1.3 Controlul pretensionrii

Controlul pretensionrii este realizat fie prin msurarea presiunii n circuitul pompei (cu un manometru), fie prin msurarea alungirii armturii (cu un extensometru). n primul caz se obine fora din pompa hidraulic, care este egal cu fora din armtur, iar efortul unitar din armtur este egal cu aceast for mprit la seciunea armturii; n cel de-al doilea se obine deformaia armturii i, aplicnd legea lui Hooke, efortul unitar.

La procedeul prin prentindere, valorile msurate sunt p0 i p0, n timp ce n cazul postntinderii sunt pp i pp.

n concluzie, efortul unitar de control pk este asociat cu p0 n cazul prentinderii i respectiv pp n cazul postntinderii .

Efortul unitar de control pk este limitat la valorile urmtoare (STAS 10107/0-90) :

- pentru armturile cu Rpk = Rrk (SBP, SBPA, TBP, etc.) :

pk R0,2k i pk Rpk (3.7)

pentru armturile cu Rpk = R0,2k (PC 90) :

pk 0,95Rpk (3.8)

Tp

l0 lp/2

lp/2

bp lb/lb/

2 Tp Tp

Tp = App

ntindere

compresiune

TRANSFER

oel

beton

pp

bp timp

ntindere

compresiune

TRANSFER

oel

beton

pp

bp timp

• Comportarea elementelor de beton precomprimat sub sarcini 21

3.2 Tirani

Figura 3.3 Comportarea unui tirant de beton precomprimat sub ncrcri

Situaia 0 reprezint momentul de dup transfer : ncrcarea exterioar este zero, fora de ntindere Appp din armtur i fora de compresiune Abbp n beton sunt n echilibru.Eforturile unitare n beton i n armtur sunt date de relaiile (3.6), respectiv (3.4).

Dac se aplic o for T1 < Appp (situaia 1), compresiunea n beton scade i ntinderea din armtur crete :

bi

1bp

bi

101b A

TA

TP=

= (3.9)

p1 = pp +bi

1p A

Tn (3.10)

b1 < bp

T1 < Pp T1 1 p1 > pp

-

Pp

bp

Pp Pp Pp = Appp

0 -

b2 = 0 T2 = P0 =App0 T2 2

p0

Rt Tf = P0 + Ap*20 MPa + AbRt Tf 3

p0 + 20 MPa

+

Tf + dT Tf + dT 4 p0 + 20 MPa + pf

Ts = App = Ap(p0 + p) Ts 5 p

Tu = ApRp Tu 6 Rp

• 22 Comportarea elementelor de beton precomprimat sub sarcini

Dac fora aplicat este egal cu P0, efortul n beton este zero (decompresiune) : situaia 2.

Fora de fisurare este (vezi situaia 3) :

BAfistbpp

BPfis TPRAMPaAT +=++= 00 )20( (3.11)

n momentul fisurrii (situaia 4), efortul unitar n armtur crete cu :

p

tpf

R

= (3.12)

unde b

pp A

A=

n stare fisurat (situaia 5), efortul unitar n armtur este :

p

S2p A

T= (3.13) sau

p

Sp0p A

T=+ (3.14)

De unde: p

0Sp A

PT = (3.16)

La starea ultim, capacitatea portant a tirantului este :

Tu = ApRp (3.17)

Relaia for-deformaie pentru un tirant de beton precomprimat este dat n fig. 3.4.

Figura 3.4 Relaia for-deformaie pentru un tirant de beton precomprimat

bp

p0

pp

atan(EpAp)

atan(EbAb + EpAp)

P0

TfisB

TfisBP

TR

b

p

BP

BA

T

• Comportarea elementelor de beton precomprimat sub sarcini 23

Evoluia deformaiilor i eforturilor unitare n armtur i beton este prezentat n figura 3.5.

Figura 3.5 Evoluia eforturilor unitare i a deformaiilor ntr-un tirant de beton precomprimat

T

Sfritul transferului T1

P0

Tfis T2

Tu

timp

timp

timp

pp

bp b1

p1

pf

p0

20 MPa

Rt

Rp p2

armtur

beton

pp

bp

p0

10-4

10-4

• 24 Comportarea elementelor de beton precomprimat sub sarcini

3.3 Grinzi

Diagramele de deformaii i de eforturi unitare n diferite stadii de solicitare ale seciunii unei grinzi de beton precomprimat sunt date n figura 3.6.

Faza 0 : dup transfer

Seciunea este nefisurat ; solicitarea este dat de fora de precomprimare i de greutate proprie a elementului.

bis

gpp00

bi

0bps W

MePAP

+= (3.17)

bii

gpp00

bi

0bpi W

MePAP

= (3.18)

p0bi

gpp00

bi

0bp eI

MePAP

= (3.19)

bpp0ppp n = (3.20)

Faza 1 : momentul exterior echilibreaz momentul datorat precomprimrii

M1 = P0e0p (3.21)

bi

0bpbpibps A

P=== (3.22)

Faza 2 : efortul unitar n fibra inferioar este nul (decompresie)

Fora axial este situat n acest caz la extremitatea superioar a smburelui central :

sp00

2 eP

M += (3.23)

Rezult M2 = P0(eop + s) (3.23)

Eforturile unitare n beton la fibra superioar, la fibra inferioar i respectiv la nivelul armturilor pretensionate sunt :

+==

+=i

s

bibis

s

bibis

p

bibs A

PWP

AP

WMeP

AP

10002000 (3.24)

02000 =

=

bii

p

bibi W

MePAP

(3.25)

0eI

PAP

eI

MePAP

p0bi

s0

bi

0p0

bi

2p00

bi

0bp +=

=

(3.26)

• Comportarea elementelor de beton precomprimat sub sarcini 25

Mg P

0 P 0

Mgp

/P0

r s

r i

e 0p

0

M1

P 0

P 0

Me/P

0

= e 0

p

1

M2 P 0

P0

M2/P

0 =

e 0p

+ r s

2

MfisP 0

P 0

e 0p

+ r s

3

ME

P 0

4

Mr

P 0

5

bp

s

pp

A

bp

i

bp

s =

-P 0

/Abi

p1

Ap

bp

i

bp

s =

-P 0

/Abi

-P 0

r s/W

bis

p0

Ap

0

(p0

+

20)A

p

Rt

p0

(p

+

p)Ap

pl

A

Rc

RpA

p

p0

bp4

sau

p0

pp

bp

iul I

St

l II

iul I

II

p0

b1

<

b

p

p0

tu

= 10

-4

p0

p i produce un efort unitar bp,ij la nivelul cablului i i o scurtare a elementului i a cablului i egal cu ij = bp,ij/Eb, i n consecin o pierdere de tensiune n cablul i :

s,ij = ijEp = bp,ij(Ep/Eb) = npbp,ij (4.46)

x

• 40 Determinarea eforturilor n armtur

Sub efectul ntinderii tuturor cablurilor j, cu i < j n, pierderea de tensiune n cablul i este : s,i = np

>ijij,bp (4.47)

Dac cablurile sunt ntinse cu fore identice, i dac aceste cabluri sunt grupate ntr-o zon relativ mic n raport cu nlimea seciunii, STAS 10107/0-90 admite utilizarea unei valori medii a pierderii de tensiune :

bpps nn21n

= (4.48)

unde bp este efortul unitar n beton la nivelul rezultantei forelor din cabluri, sub aciunea forei totale de precomprimare.

B. n faz final

4.4.4 Pierderea de tensiune datorit curgerii lenti a betonului ()

Vezi 4.3.6. Reaminitim formula de calcul a pierderii de tensiune datorit curgerii lente :

=i

i,bpipn (4.49)

4.4.5 Pierderea de tensiune datorit relaxrii armturii (r)

Calculul relaxrii pure se face cum a fost artat la paragraful 4.3.5 :

*

0pr = (4.50)

Cu singura diferen c :

pp*

0p = (4.51)

Evident, nu exist relaxare n faza iniial, ca n cazul prentinderii. Expresia pierderii de tensiune din relaxare este atunci, innd seama de efectul scurtrii datorate curgerii lente a betonului :

=

0prr 1

(4.52)

• Determinarea eforturilor n armtur 41

4.5 Limitarea eforturilor unitare n armturile pretensionate n faza final

Eforturile unitare n cablurile pretensionate trebuie s verifice, n faza final i sub efectul ncrcrilor de exploatare, relaiile urmtoare:

armturi din SBP i TBP :

0,5Rp p 0,85Rp (4.53) armturi din PC 90 :

0,55Rp p 1,0Rp (4.54) unde : p0pp += (4.55)

Trebuie de asemenea limitat creterea de eforturi n exploatare :

prentindere : p + ( r - ri ) (4.56)

postntindere : p + r (4.57)

• Verificri la stri limit ultime 41

• 42 Verificri la stri limit ultime

5 Verificri la stri limit ultime

5.1 Introducere

Verificrile la stri limit ultime curpind verificrile de rezisten, la transfer i n faza final, verificrile de stabilitate de form i verificarea la oboseal.

n acest capitol vor fi discutate numai verificrile de rezisten pentru tirani i grinzi, precum i verificarea la oboseal.

Vor fi considerate numai cazurile cnd armtura pasiv poate fi neglijat (adic, dup STAS 10107/0-90, Aa < 0,25Ap).

5.2 Verificarea de rezisten n seciuni normale : ntindere pur

Verificarea la ntindere pur se face cu relaia :

Tmax mApRp (5.1)

unde m este un coeficient de siguran, care ine cont de ruperea fragil a elementelor de beton precomprimat, i care ia valoarea 0,85 exceptnd elementele liniare (tirani, bare ale grinzilor cu zbrele de beton precomprimat), pentru care m = 0,75.

5.3 Verificarea de rezisten n seciuni normale : ncovoiere

Ipotezele pentru calculul de rezisten la ncovoiere sunt similare celor utilizate n calculul betonului armat, cu unele particulariti privind curbele caracteristice i valorile deformaiilor limit ale materialelor :

ipoteza seciunilor plane : seciunile plane rmn planes pn la rupere, dac se consider deformaiile medii ;

efectul betonului ntins nefisurat situat sub axa neutr est neglijat ; nu exist lunecare relativ ntre beton i armtur ; curba caracteristic a betonului este parabola-dreptunghi (vezi [4]), dar cu o

deformaie ultim bu = 0,003. curba caracteristic a armturilor este cea dat n capitolul 2, cu o deformaie

limitat la : 01,00l +=

Este admis utilizarea unei diagrame dreptunghiulare pentru betonul comprimat, cu o nlime echivalent egal cu 0,8 din valoarea real (vezi figura 5.1).

Pentru a asigura deformaii suficiente care s avertizeze iminena ruperii, nlimea zonei comprimate este limitat dup cum urmeaz :

elemente cu armtur prentins : lim = 0,40 elemente cu armtur postntins : lim = 0,35 elemente cu plac n zona comprimat : lim = 0,30

• Verificri la stri limit ultime 43

unde = x/h0p

Figura 5.1 Starea de eforturi i de deformaii la SLU a seciunii de beton precomprimat solicitat la ncovoiere

Ecuaiile de echilibru sunt :

plpplp

x25,1

( )pplppplp 'z''AzAmM += (5.3)

unde bp0p yx25,1hz += (5.4) i bp0

/p yhz = (5.5)

cu

dyb

dyyby

x

byy

x

byy

b

= 25,1

0

25,1

0

(5.6)

Ipoteza seciunilor plane d :

01,025,1

25,11 0

= bup

lx

xh

(5.7)

Deformaia n armtur este :

p

min0p

l0pll E9,0

+=+= (5.8)

bu

bp

l 0p

l

Ap

Ap

M

zp

zp

Appl

Appl

x25,1

0byy dyb

1,25x

Appl

Appl

x

0yc dybR

x

Rc Rc

y

by

• 44 Verificri la stri limit ultime

Efortul unitar n armtur este :

pl = f(pl) (5.9)

cu f definit n capitolul 2.

Coeficientul m ia valorile urmtoare :

pentru armturi din PC 90 : m = 1 (5.10a)

pentru armturi din SBP sau TBP : m = 0,95(1-0,3) 0,85 (5.10b)

Efortul unitar n armtura Ap este luat n calcul cu urmtoarele valori :

dac x > 2ap pl = 400 MPa 1,1 max0p (5.11a)

dac x 2ap pl = 1,1 max0p (5.11b)

n ecuaiile precedente se ine cont, n cazul cnd x > 2ap, de deformaia n betonul comprimat, evaluat la 0,002.

Method simplificat

Dac armtura pretensionat este distribuit pe mai puin de o treime din nlimea seciunii, se poate utiliza o formul aproximativ pentru calculul efortului unitar pl n armtura situat n zona ntins Ap :

pl = mpRp (5.12)

cu :

c

p

p0

pkp R

RbhA

k1m = (5.13)

Coeficientul k ia urmtoarele valori :

prentindere : k = 0,30 ; postntindere : k = 0,60 ;

b = limea inimii grinzii la nivelul axei neutre ; Apk = fraciunea armturii Ap care echilibreaz compresiunea din betonul situta n zona

comprimat Abk de lime b (figura 5.2).

Calculul coefcientului mp ar fi dificil fr formulele date n Tabelul 17 din STAS 10107/0-90. Aceste formule acoper majoritatea cazurilor curente. Vom da mai jos, cu titlu de exemplu, formulele coeficientului mp pentru situaiile a) i c) din figura 5.2 :

• Verificri la stri limit ultime 45

seciune dreptunghiular (fig. 5.2a) :

pp k1m = (5.14)

seciune n form de (fig. 5.2c) :

0

pp2

ppp bh

h)bb(k

2k1

2k1

m

+

+

=

(5.15)

unde :

c

p

p0

pp R

RbhA

=

a) b) c) d)

Figura 5.2 Definiia ariei Abk pentru cteva tipuri de seciuni

5.4 Verificarea de rezisten la for tietoare

Limitarea eforturilor unitare de forfecare

Dac b1 0,5Rt pe toat lungimea fisurii nclinate, nu este necesar s se verifice seciunea la aciunea momentului ncovoietor i a forei tietoare ; armtura transversal se dispune pe criterii constructive.

Efortul principal de ntindere b1 este calculat sub aciunea ncrcrilor corespunznd strii limit de rezisten, cu relaiile :

2b

2bb

1b 22

+

+= (5.16)

i

bi

bipb bI

S)QQ( = (5.17)

unde :

b = efort unitar normal n beton (pozitiv dac este de ntindere) ;

Abk

b

x

h0 Ap

Abk b = bp

x

Ap

Abk

b

x

h0 Ap Abk

b

x

Ap

• 46 Verificri la stri limit ultime

b = efort unitar tangenial ; Q = for tietoare sub aciunea ncrcrilor corespunznd strii limit de

rezisten ; Qp = componenta vertical a forei de precomprimare n cablurile nclinate

sinA9,0 0ppi= ; Sbi = moment static al prii din seciunea omogen echivalent situat deasupra

fiberi unde este calculat b ; Ibi = moment de inerie al seciunii omogene echivalente ;

Seciunea de beton trebuie s ndeplineasc condiia :

- n cazul elementelor cu armtur prentins

(Q-Qp) 0,25 bh Rc (5.18a)

- n cazul elementelor cu armtur postntins

(Q-Qp) 0,30 bh Rc (5.18b)

Verificarea la for tietoare

Condiia de verificare este :

Q Qp Qb + Qe + pz

tanM (5.19)

unde :

Qb = fora tietoare preluat de beton i

t20

s

Rbh2= (5.20)

Qe = fora tietoare preluat de etrieri ieatats

aee sqRmAni

== (5.21)

cu notaiile :

si = proiecia fisurii nclinate pa axa grinzii ; ne = numrul de ramuri a etriererului ntr-o seciune ; Aae = aria seciunii etrierului ; Rat = rezistena de calcul a armturii transversale ; mat = coeficient care ine cont de deformaia inegal a etrierilor care traverseaz fisura

nclinat (0,8 pentru etrieri din OB 37, 0,7 pentru etrieri din STNB). qe = fora tietoare preluat de etrieri pe unitatea de lungime = Qe / ae ; ae = distana ntre etrieri ; = unghiul ntre la faa inferioar i superioar a grinzii ; pozitiv dac nlimea

seciunii crete n acelai sens cu momentul ncovoietor M.

nclinarea cea mai defavorabil a fisurii (care d rezistena minim) se determin prin ncercri, pentru valori ale si cuprinse ntre :

• Verificri la stri limit ultime 47

0,5h si 2,5h (5.22)

Valoarea si poate poate fi de asemenea determinat punnd condiia de minim n raport cu si a funciei Qb + Qe (vezi capitolul 10 al cursului de beton armat [4]).

Verificarea la ncovoiere n seciuni nclinate

Trebuie verificat condiia urmtoare (vezi figura 5.3) :

M 0,85(Applzp + Apiplzi) + AaeRatze (5.23)

Figura 5.3 Echilibrul forelor i solicitrilor ntro seciune nclinat

5.5 Verificarea de rezisten la transfer

La transfer, elementul de beton precomprimat se gsete sub aciunea : forei de precomprimare ; momentului ncovoietor dat de greutatea proprie a elementului.

El este supus unei ncovoieri negative (figura 5.4), opus ncovoierii pozitive sub ncrcrile de exploatare. Situaia este mai defavorabil cnd fora de precomprimare ia valoarea sa maxim.

Figura 5.4 Contrasgeat a elementului sub aciunea precomprimrii la transfer

n consecin, valoarea precomprimrii este determinat cu formula :

Pl = (Ap + Ap)pl (5.24)

unde : prentindere : pl = 1,1 max0p 300 MPa (5.25a) postntindere : pl = 1,1 maxpp (5.25b)

zi zp

ze

AbRc

Q Qi

AaeRat M

si

Appl

Qb

Pl Pl

• 48 Verificri la stri limit ultime

Efortul unitar n armturi (p0 , respectiv pp) este calculat cu valorile minime ale pierderilor de tensiune.

n cazul prentinderii, trebuie inut cont de scurtarea elastic a betonului (maxim 0,002) care d o pierdere de tensiune de circa 0,002200000 = 400 MPa. Se consider ns o valoare acoperitoare de 300 MPa.

Calculul de rezisten este un calcul la compresiune excentric. Dac armtura pasiv de pe partea ntins este mai mult dect procentul minim de armare, calculul trebuie fcut ca pentru beton armat, altminteri calculul trebuie fcut ca pentru beton simplu.

Pentru elementele de beton simplu, supuse la aciunea unei cfore de compresiune cu excentrcitate mic sau medie (e0c x0), verificarea se face cu relaia :

Pl AbcRc (5.26)

unde : Abc = aria de beton comprimat.

Aceast arie se obine punnd condiia ca centrul su de greutate s fie acelai cu centru de presiune (punctul de aplicaie al lui Pl vezi figura 5.5).

Figura 5.5 Starea limit ultim a unei seciuni la transfer

Rezistena de calcul Rc este cea care corespunde clasei echivalente de beton la transfer. Aceasta din urm se obine n funcie de rezistena betonului la transfer Rb0, care este prevzut n proiect, cu ajutorul tabelului de echivalare urmtor :

Tabelul 5.1 - Clase echivalente de rezisten n funcie de Rb0 (STAS 10107/0-90) Rb0 25 28 32 35 38 42 45 49 52 Clasa convenional de beton la transfer Bc* 17 20 24 27 30 33 36 40 42

5.6 Verificarea la oboseal

Comportarea la oboseal este este foarte bun dac seciunea nu fisureaz sub ncrcri de exploatare (precomprimare total vezi capitolul 6).

Condiiile de verificare impuse prin STAS 10107 asigur o comportare nefisurat sub ncrcrile considerate n calculul la oboseal.

ntr-adevr, eforturile unitare n beton sunt limitate dup cum urmeaz :

Mg/Pl

Pl

Rc

• Verificri la stri limit ultime 49

eforturi unitare normale minime (compresiune) :

max,

lim 1,0 transferbb (5.27a) dar MPa1limb (5.27b)

(pentru rosturile elementelor asamblate prin precomprimare MPa1limb = )

eforturi unitare normale maxime (compresiune) :

co

limb R (5.28)

eforturi principale de ntindere :

b1 Rt (5.29)

eforturi principale de compresiune :

|b2| Rco (5.30)

unde : Rco = rezistena betonului la oboseal (vezi [4]).

Calculul eforturilor unitare se face pe seciunea omogen echivalent nefisurat, dup regulile de la rezistena materialelor.

Precomprimarea este lut n calcul cu un coefcient de imprecizie egal cu 0,9.

• 50 Verificarea la stri limit de serviciu

6 Verificarea la stri limit de serviciu

6.1 Fisurare

Pentru a asigura integritatea betonului, adic pentru a evita deschiderea fisurilor, care poate afecta armturile pretensionate pentru motive de coroziune, primele structuri de beton precomprimat erau dimensionate astfel nct s evite orice efort de ntindere n beton. Mai mult dect att, efortul unitar minim trebuia s fie de compresiune. Elementele care respect aceast condiie sunt numite cu precomprimare total.

Aceast condiie, rezonabli pentru construciile situate n medii agresive sau a cror etaneitate era indispensabil, nu se justifica pentru elementele adpostite sau chiar pentru constrciile curunte. n consecin, reglementrile ulterioare au permis n anumite cazuri apariia de eforturi unitare de ntindere n beton i chiar fisurarea, introducnd noiunea de precomprimare parial.

STAS 10107/0-90 clasific elementele dup valoarea gradului de precomprimare K, definit prin raportul :

E)s(

0)s(

MM

K = (6.1)

unde : )e(PM sp000 )s( += = momentul de decompresiune, care anuleaz momentul

produs de precomprimare fa de limita smburelui central situat de partea cea mai comprimat a seciunii.

E)s(M = momentul dat de ncrcrile totale de exploatare (combinaia rar).

Dup valoarea lui K se definesc :

elemente cu precomprimare total, cu :

K > 1 (6.2)

elemente cu precomprimare parial limitat, cu :

E)s(

E)s(ld

MM

K1 > (6.3)

elemente cu precomprimare parial moderat, cu :

• Verificarea la stri limit de serviciu 51

E)s(

E)s(perm

E)s(

E)s(ld

MM

KM

M (6.4)

unde :

E)s(ldM = moment date de valoarea frecvent (de lung durat) a ncrcrilor ;

E)s(permM = moment date de ncrcrile permanente.

Alegerea gradului de precomprimare se face n funcie de agresivitatea mediului i sensibilitatea la coroziune a armturilor pretensionate, iar verificrile la SLS de fisurare se fac corespunztor.

STAS 10107/0-90 definete trei clase de verificare, care vor fi discutate n detaliu n paragraful urmtor.

6.1.2 Clase de verificare la fisurare

Clasa I : Elemente cu precomprimare total, toate tipurile de armturi active.

Domeniu de utilizare : etaneitate, mediu cu agresivitate medie. ncrcri considerate i condiii de verificare :

pentru ncrcrile totale (valoarea rar) de serviciu, nchiderea fisurilor normale i nclinate.

Clasa II : Elemente cu precomprimare parial, a) limitat i armturi din SBP, SBPA sau TBP ; b) moderat i armturi din SBP, SBPA sau TBP precum i armturi pasive complementare din PC 52.

Domeniu de utilizare : mediu fr agresivitate, foarte slab sau slab agresiv. ncrcri considerate i condiii de verificare :

pentru ncrcrile totale de serviciu, limitarea deschiderii fisurilor normale la 0,1 mm ; aceast condiie este satisfcut dac p 100 MPa.

pentru ncrcrile de lung durat, a) nchiderea fisurilor normale i nclinate. b) limitarea deschiderii fisurilor normale la 0,03 mm ; aceast condiie este satisfcut dac p 30 MPa. nchiderea fisurilor nclinate.

Clasa III : Elemente cu precomprimare parial moderat i armturi din PC 90.

Domeniu de utilizare : mediu fr agresivitate, foarte slab sau slab agresiv. ncrcri considerate i condiii de verificare :

pentru ncrcrile totale de serviciu, limitarea deschiderii fisurilor normale la : 0,2 mm (mediu fr agresivitate sau foarte slab agresiv); 0,15 mm (mediu slab agresiv); limitarea deschiderii fisurilor nclinate.

• 52 Verificarea la stri limit de serviciu

6.1.3 Verificarea nchiderii fisurilor normale

Condiia de verificare este ca efortul unitar minim n beton s fie de compresiune i mai mare dect o valoare prescris :

limbb (6.5)

Valoarea efortului unitar minim limb este : pentru elementele fr rosturi : 10% din efortul unitar maxim de compresiune la

transfer, dar nu mai mult dect 1 MPa ; n seciunile rosturilor : 1 MPa.

Efortul unitar minim n beton este dat de relaiile urmtoare :

ncovoiere : i,bi

E)s(

0)s(

b WMM

= (6.6)

ntindere : bi

E0

b ANP

= (6.7)

Dac efortul unitar maxim n beton depete 0,8Rc, trebuie inut cont de distribuia neliniar a eforturilor de compresiune. Este permis s se in cont ntr-un mod simplificat, utiliznd o valoare redus cu 20% pentru s :

bi

i,bis A

W8,0= (6.8)

6.1.4 Verificarea nchiderii fisurilor nclinate

Verificarea nchiderii fisurilor nclinate se face numai n cazul elementelor cu precomprimare transversal. n acest caz, eforturile principale trebuie s fie de compresiune i superioare unei valori limit limb = 0,5 MPa.

6.1.5 Verificarea deschiderii fisurilor normale

Aceast verificare implic limitarea deschiderii medii a fisurilor. Deschiderea medie a fisurilor se calculeaz cu relaia urmtoare :

p

pff E

= (6.9)

unde : f = distana medie ntre fisuri ;

= raportul ntre creterea medie a deformaiei armturii ntre (pm) i creterea a deformaiei armturii n seciunea fisurat (p) ;

• Verificarea la stri limit de serviciu 53

p = creterea efortului unitar n armtur fa de efortul unitar corespunznd decompresiunii (p = 0pp ).

Pentru armturile din PC 90, calculul distanei f i a coeficientului se face ca pentru barele profilate nepretensionate.

Pentru armturile din SBP, SBPA et TBP, se poate considera f = ae dac distana ntre etrieri are valori uzuale ae = 150...300 mm. n ceea ce privete coefcientul , se consider = 1, pentru armturi postntinse, i = 0,8, pentru armturi prentinse.

n unele cazuri (vezi 6.1.2), deschiderea fisurilor poate fi verificat n mod indirect prin limitarea p.

6.1.6 Verificarea deschiderii fisurilor nclinate

Aceast verificare este realizat de manier indirect, prin limitarea eforturilor principale de ntindere i prevznd armtura transversal minim constructiv, fcnd un calcul convenional elastic (ca i cum seciunea ar fi nefisurat).

Eforturile principale trebuie calculate la nivelul centrului seciunii sau n punctele unde limea seciunii se schimb (de exemplu, la limita ntre inim i talp la seciuni T).

Calculul eforturilor principale i al eforturilor tangeniale se face dup regulile rezistenei materialelor :

2b

2bybxbybx

2,1b 22

+

+= m (6.10)

binet

bi

EEc

b Ib

Stanz

MQ

=

m

(6.11)

unde :

bx = efort unitar normal n lungul axei elementului ;

by = efort unitar normal perpendicular pe axa elementului (de exemplu, n cazul utilizrii de armturi transversale pretensionate) ;

pEE

c QQQ = = for tietoare de calcul, egal cu diferena intre fora tietoare datorat aciunii ncrcrilor exterioare i componenta vertical a forei de pretensionare din armturile nclinate ;

Sbi = moment static a prii seciunii omogene echivalente situat deasupra fibrei unde se calculeaz b ;

Ibi = moment de inerie al seciunii omogene echivalente ;

• 54 Verificarea la stri limit de serviciu

bnet = limea net a seciunii la nivelul fibrei unde se calculeaz b ;

tanz

M E = termen care ine cont de efectul compresiunii nclinate date de

ncovoiere n cazul seciunilor de nlime variabil.

Zona elementului unde se face verificarea este n stare biaxial de tensiuni (compresiune ntindere), i se consider de manier simplificat c curba limit de interaciune n aceast situaie este o linie dreapt de ecuaie :

1RR c

2b

t

1b=+

(6.12)

Ecuaiile de verificare, n funcie de clasa de verificare (vezi figura 6.1), sunt :

Clasa I :

c

2bt1b R

1R (6.13)

Clasa II :

ck

2btk1b R

1R (6.14)

Clasa III :

ck

2btk1b R5,1

1R5,1 (6.15)

Figura 6.1 Reprezentarea grafic a ecuaiilor de verificare a deschiderii fisurilor nclinate

6.1.7 Verificarea la fisurare longitudinal

Pentru a evita apariia la transfer a fisurilor longitudinale, paralele cu direcia compresiunii din beton, trebuie limitat efortul unitar de compresiune sub aciunea precomprimrii.

Rc Rck 1,5Rck b2

Rt

Rtk

1,5Rtk

b1

Clasa I

Clasa II

Clasa III

• Verificarea la stri limit de serviciu 55

Valorile limit ale efortului unitar de compresiune sunt date in tabelul urmtor :

Tabelul 6.1 - Valori limit ale efortului unitar de compresiune dup STAS 10107/0-90 Clasa betonului Bc 25 Bc 30 Bc 35 Bc 40 Bc 50 Bc 60 b,lim 14 16,5 19 21 25 29

6.2 Deformaie

6.2.1 Verificarea la SLS de deformaie

Condiia de verificare este urmtoarea :

Valorile fadm (fadm) sunt aceleai cu cele pentru elemente de beton armat (vezi [4], capitolul 14, tabelul 14.1).

Valorile f sunt calculate dup regulile mecanicii structurilor, dar cu valori ale modulilor de rigiditate care in cont de comportarea specific a betonului precomprimat.

6.2.2 Calculul modulului de rigiditate al seciunii

Calculul modulului de rigiditate se face diferit n funcie de gradul de precomprimare al elementului.

Pentru elementele cu precomprimare total sau parial limitat, cu armturi din SBP, SBPA i TBP, se consider practic o seciune nefisurat. Valorile modulului de rigiditate, pentru diferite solicitri i combinaii de ncrcri, sunt date n Tabelul 6.2.

Pentru elementele cu precomprimare parial moderat (armturi active din SBP, SBPA, TBP i armturi pasive complementare din PC 52, sau armturi active din PC 90), se aplic formulele din Tabelul 6.2 dac momentul aplicat nu depete momentul de decompresiune. n caz contrar trebuie calculat rigiditate n stadiul II, cum s-a artat n [4], capitolul 7.3, pe baza unei seciuni fisurate omogene echivalente.

n acest ultim caz, n STAS 10107/0-90 sunt date relaiile de calcul urmtoare:

2t0ataII hAE)EI( = (6.17)

unde :

a

a

ppat AE

EAA += = aria echivalent a seciunii totale a armturilor

• 56 Verificarea la stri limit de serviciu

)1( =

t0hz

= = valoare normalizat a braului de prghie

t0hx

= = valoare normalizat a nlimii zonei comprimate

Tabelul 6.2 Modulul de rigiditate al elementelor de beton precomprimat n stadiul I Combinaia de ncrcri Modul de rigiditate For axial ncovoiere ncrcri de scurt durat (valoarea rar)

n faza iniial (EA)s = 0,85 Eb0Abi (EI)s = 0,85 Eb0Ibi n faza final (EA)s = 0,85 EbAbi (EI)s = 0,85 EbIbi ncrcri permanente i variabile de lung durat (valoarea frecvent) 5,01

AE85,0)EA( bibd+

=

5,01IE85,0)EI( bibd

+=

• Calculul zonelor de transmitere 57

7 Calculul zonelor de transmitere

7.1 Aderena armturilor prentinse. Lungime de transfer i lungime de ancorare

Eficiena armturilor prentinse depinde de aderena ntre armtur i beton. Cnd armturile pretensionate sunt eliberate din stendul de precomprimare i tiate la extremitile elementului, aceste armturi tind s-i reia lungimea iniial. Armtura pretensionat este atunci blocat de beton care o reine i o mpiedic s revin la o tensiune nul pe toat lungimea sa. Precomprimarea este transmis la beton prin aderen. Prin cumulul forelor de aderen ntinderea din armtur i compresiunea din beton crete pe msur ce ne ndeprtm de extremitile elementului. Aderena n zona de transfer este diferit de cea pe care o ntlnim n elementele de beton armat. La beton armat este vorba de o aderen prin traciune, n timp ce la beton precomprimat este vorba de o aderen prin compresiune. ntr-adevr, tendina de destindere a eforturlui din toron provoac o umflare a diametrului toronului (prin efect Poisson), care mrete frecarea cu betonul. Altminteri, au loc aceleai fenomene ca la beton armat : aderena chimic (adeziune), aderen mecanic (ntreptrunderea betonului cu nervurile existente pe suprafaa armturile) i frecare.

Figura 7.1 Zona de transmitere : a) variaia efortului unitar n toron ; b) efectul transferului brusc.

Zona de la fiecare extremitate a unui element de beton precomprimat prin prentindere unde se produce transferul precomprimrii la beton este numit zon de transmitere. Lungimea de transmitere (lt) este distana dintre extremitatea elementului i punctul unde este atins efortul unitar pp. Lungimea de transmitere se calculeaz, dup STAS 10107/0-90, cu relaia urmtoare, unde coeficienii Kt sunt dai n Tabelul 7.1 :

lt = Kt d (7.1)

n cazul transferului brusc, trebuie considerat o zon inactiva egal cu 25% din lt (vezi Figura 7.1b).

Appp

lt

pp

pp

0,25lt

a)

b) lt

• 58 Calculul zonelor de transmitere

Lungimea de ancorare (la) este lungimea minim de nglobare necesar pentru ca armtura s nu fie smuls din beton nainte ca s-i ating rezistena. Lungimea de ancorare se calculeaz, dup STAS 10107/0-90, cu relaia urmtoare, unde coeficienii Ka sunt dai n Tabelul 7.2 :

la = Ka d (7.2)

Tabelul 7.1 : Coeficieni Kt pentru calculul lungimii de transmitere (STAS 10107) Rezistena betonului la transfer (MPa) 25 35 45 Tip de armtur

Kt SBP A I 100 80 65 TBP 85 65 55

14 ;16 20 15 15 PC 18...28 30 25 25

Tabelul 7.2 : Coeficieni Ka pentru calculul lungimii de ancorare (STAS 10107) Clasa de rezisten a betonului

Bc 30 Bc 40 Bc 50 Tip de armtur Ka

SBP A I 170 140 120 TBP 200 160 130

14 ;16 35 30 25 PC 18...28 50 45 40

7.2 Zona de difuzie

Efortul n ancoraj (elemente cu armtur postntins) introduce n elementul de beton o compresiune puternic pe o mic suprafa de beton. Acest efort este difuzat pe o suparafa mai mare (ntreaga seciune) n interiorul elementului. La captul unei anumite distane lz numit lungime a zonei de difuzie, se admite c principiul lui de Saint-Venant se aplic i c repartiia eforturilor unitare normale este liniar. n Figura 7.2 este dat exemplu cazul unui cablu centrat rectiliniu, perpendicular pe captul elementului.

a) b)

Figura 7.2 Difuzia precomprimrii : a) linii de for b) schema simplificat

P

h

h

= P/A

a P

h

h/4

h/4

kh

a

P/2

P/2

• Calculul zonelor de transmitere 59

Difuzia liniilor de for (Figura 7.2a) cuprinde : o parte convex care d o compresiune radial n beton ; apoi o parte concav cu ntinderi transversale.

ncercrile au artat c la lungimea zonei de regularizare a eforturilor (difuzie) este de ordinul de mrime a dimensiunii transversale a elementului, adic h n plan vertical :

lz = h (7.3)

Pentru a avea ordinul de mrime al efortului transversal ntindere, se pot schematiza liniile de for prin dou biele nclinate cu unghiul i un tirant (Figura 7.2b).

Componenta vertical a efortului n biel, care d fora de ntindere este :

tg2PZ =

cu :

=

=

ha1

k41

kh4/a4/h

tg

de unde :

=

ha1

k8PZ (7.4)

Se admite n general Z = 0,3P(1-a/h), ceea ce corespunde unei valori k 0,4.

n cazul precomprimrii prin prentinderea armturilor, zona de difuzie depete lungimea de transmitere :

2t

2z lhl += (7.5)

Figura 7.3 Zona activ de calcul n cazul precomprimrii excentrice sau a mai multor armturi ancorate la capt

Dac fora de precomprimare nu este centric, sau dac sunt mai multe ancoraje, zona activ este definit ca n Figura 7.3 (regula prismului simetric [2]), i relaiile 7.3 i 7.5 iau foma urmtoare :

lzi = a cu a > b (7.6)

a/2 a/2

a0

b/2

b/2

b0

A

A0

A

A0

a/2 a/2

b/2

b/2 b0

a0 a0

a/2 a/2

A

A0

• 60 Calculul zonelor de transmitere

2t

2zi lal += cu a > b (7.7)

n cazul unei precomprimri centrice creat de fore normale repartizate neuniform, sau a unei precomprimri excentrice creat de fore normale nerepartizate dup o lege liniar, apare, pe lng ntinderile de despicare corespunznd fiecrui cablu, o for transversal de ntindere de echilibru general, care corespunde eforturilor unitare transversale neechilibrate ntre cabluri (Figura 7.4).

Figura 7.4 Difuzia precomprimrii n cazul forelor normale repartizate neuniform.

Calculul forei de ntindere se poate face fie plecnd de la un studiu elastic al strii de eforturi, fie utiliznd un model biel-tirant potrivit.

7.3 Verificarea zonelor de transmitere

7.3.1 Verificarea la compresiune local

Betonul de sub ancoraje trebuie s fie verificat la fora de compresiune exercitat de precomprimare pe suprafaa A0 a ancorajului :

1,1Appk A0Rc + AasRas 2 A0Rc (7.6)

Rezistena betonului este mai mare dect rezistena la compresiune uniform, din cauza efectului de confinare dat de betonul situat n jurul suprafeei A0. Dac A este suprafaa de calcul (vezi Figura 7.3), dup STAS 10107/0-90 se poate multiplica rezistena betonului Rc cu coeficientul :

2

0

AA2

= (7.7)

Efectul favorabil al armturii transversale (dispus sub form de plas sau de fret) este luat n calcul prin termenul AasRas. Aria de armtur echivalent este :

P

h

h h/4 P

P P

P

h

h 3h/4 P

P P

• Calculul zonelor de transmitere 61

n cazul plaselor : s

bAaAA 02a01aas+

= (7.8)

n cazul fretei circulare : f

ss

ass

pi= (7.9)

unde :

Aa1 = seciunea srmelor paralele cu a0 situate n zona efectiv de reazem ; Aa2 = seciunea srmelor paralele cu b0 situate n zona efectiv de reazem ; s = distana ntre plase ; As = seciunea transversal a armturii de fretare ; ds = diametrul fretei ; sf = pasul fretei.

Rezistena de calcul a armturilor Ras este considerat ca pentru armturi din OB37, oricare ar fi oelul utilizat.

n nici un caz, fora de precomprimare nu trebuie s depeasc 2A0Rc (vezi 7.6).

7.3.2 Verificarea la fisurare n planul armturilor

n zona de difuzie a eforturilor exist eforturi de ntindere perpendiculare pe direcia precomprimrii, dup cum s-a artat la paragraful 7.2.

Aceste eforturi pot fi calculate cu relaia :

ziby

alZ1,1K= (7.10)

unde Z este fora de ntindere transversal, egal cu :

armturi prentinse :

=

a

a1A3,0Z 0pkp (7.11a)

armturi postntinse :

=

a

a1A3,0Z 00pp (7.11b)

Coeficientul K depinde de procedeul de precomprimare i poate fi luat, dup STAS 10107 :

armturi prentinse : K = 1,5 (7.12a) armturi postntinse : K = 1,0 (7.12b)

Dac efortul unitar nu respect condiia :

armturi prentinse : by 1,5Rtk (7.13a)

armturi postntinse : by 2Rtk (7.13b)

• 62 Calculul zonelor de transmitere

trebuie fie mrit seciunea de beton, fie modificat dispunerea armturilor active n zona de capt.

Dac efortul unitar de ntindere este cuprins ntre valorile :

armturi prentise : 0,65Rtk by 1,5Rtk (7.14a)

armturi postntise: Rtk by 2Rtk (7.14b)

trebuie prevzute armturi transversale, a cror cantitate se calculeaz dup cum urmeaz :

dac armtura transversal este realizat cu plase sudate :

n1Aa1(0,8Ras) 1,1Z1 (7.15a)

n2Aa2(0,8Ras) 1,1Z2 (7.15b)

unde nj este numrul de plase dispuse pe lungimea lzi i j = 1 sau 2 semnific direcia n care este determinat fora Z i sunt dispuse armturile Aaj.

dac armtura transversal este realizat o fret circular :

Aas(0,8Ras) 1,1Za

s f (7.16)

Dac efortul unitar de ntindere este mai mic dect valorile:

armturi prentise : by 0,65Rtk (7.17a)

armturi postntise : by Rtk (7.17b)

este suficient s se prevad armturile minime (vezi 7.3.4).

7.3.3 Verificarea la fisurare ntre armturi

Fora de despicare este calculat conform STAS 10107/0-90 plecnd de la fora longitudinal neechilibrat ntr-o seciune orizontal situat la distan y de marginea grinzii (vezi Figura 7.5). Relaia de calcul ine cont de efectul favorabil al componentei verticale a forei de precomprimare :

=

y

0ii

y

0

y

0iib3 sinPcosPdyb3

1Z (7.18)

• Calculul zonelor de transmitere 63

Armtura necesar este dat de relaia :

n2Aa1(0,8Ras) 1,1Z3 (7.19a)

dar trebuie prevzut cel puin :

n2Aa1Ras 0,03P (7.19b)

Notaiile din relaiile precedente sunt (vezi i Figura 7.5) :

n2Aa1 : aria armturilor dispuse n direcia considerat (perpendicular pe direcia de fisurare probabil), coninute n primele 2-3 plase n2 situate la extremitatea elementului ;

Ras : rezistena de calcul a armturilor transversale, considerat ca pentru armturi din OB 37, oricare ar fi oelul utilizat.

Figura 7.5 Seciunea de calcul pentru despicarea ntre armturi sau grupuri de armturi pretensionate

7.3.4 Prevederi constructive pentru armarea zonelor de transmitere (STAS 10107/0-90)

Elemente cu ancoraje la capt (armturi postntinse)

Sub ancoraj trebuie prevzute 2 sau 3 plase cu cel puin 4 bare n fiecare direcie, prima situat la 30 mm sub ancoraj, i celelalte distanate la 50 - 70 mm (Figura 7.6a). Diametrul armturilor trebuie s fie cuprins ntre 6 i 14 mm i distana dintre bare ntre 60 i 100 mm. Plasele vor fi realizate fie din armturi continue (Figura 7.6b), fie prin sudare (Figura 7.6c). Este interzis s se utilizeze plasele din bare independente legate cu srm.

Trebuie prevzute plase similare aezate la distane de 100...150 mm pe toat lungimea de difuzie a cablului considerat.

n locul plaselor, este posibil s se utilizeze o armtur elicoidal continu de fretare (Figura 7.6.d), cu diametrul ntre 6 i 10 mm i cu un pas cuprins ntre 50 i 80 mm.

Dac armtura de fretare nu acoper toat seciunea elementului, trebuie prevzui etrieri nchii, cel puin 8/150 mm. Aceti etrieri vor fi prevzui pe toat lungimea de difuzie lz.

b

Pi = Ap,ipi,k

y

h

• 64 Calculul zonelor de transmitere

Elemente cu armturi prentinse

Pe primul sfert (ncepnd de la extremitatea elementului) a lungimii de transmisie lt trebuie prevzute 3 pn la 5 armturi transversale suplimentare (etrieri nchii, plase sudate, fret circular).

Dac aceste armturi nu acoper toat seciunea elementului, este necesar s se dispun etrieri nchii, cel puin 6/ 150 mm.

Pe toat zona de difuzie lz este obligatorie prevederea de etrieri nchii, cel puin 6/ 150 mm.

Figura 7.6 Armarea zonelor de capt : a) Armare cu plase ; b) Armturi continue ; c) Plase sudate ; d) Armare cu fret circular.

a0

b0 30 mm 50 70 mm

6 12 mm

s = 60 100 mm

b) c) a)

ds

s = 50 80 mm

a0

d)

• Bibliografie 65

BIBLIOGRAFIE

1. Constantinescu, D. Curs de beton precomprimat. I.C.B., Bucureti, 1977, 78 p.

2. Guyon, Y. Bton prcontraint. tude thorique et exprimentale. Ed. Eyrolles, Paris, 1953, 703 p.

3. Nawy, E.G. Prestressed Concrete : a Fundamental Approach. 3rd ed. Prentice Hall International, London, 2000, 938 p.

4. Pascu, R. Bton arm. Ed. Matrixrom, Bucureti, 2000, 176 p.

5. Pascu, R. Bton prcontraint. Ed. Matrixrom, Bucureti, 2003, 64 p.

5. Picard, A. Bton prcontraint. Tome I Principes fondamentaux et dimensionnement. Tome II Analyse. Ed. Gatan Morin, Chicotimi, Quebec, Canada, 1983.

6. Postelnicu T., Gabor, M. Beton armat si precomprimat. Note de curs. Partea a III-a. UTCB, Bucureti, 1997, 99 p.

7. Tertea, I. Betonul precomprimat. Ed. Tehnica, Bucureti, 1981, 418 p.

8. Thonier, H. Le bton prcontraint aux tats-limites, 2e dition. Presses de lcole Nationale des Ponts et Chausses, Paris, 1992, 573 p.

9. STAS 10107/0-90: Calculul i alctuirea elementelor structurale din beton, beton armat i beton precomprimat, Bucureti, 1990.

bp_copertabp_tmbp_cap1bp_cap2bp_cap3bp_cap4bp_cap5bp_cap6bp_cap7bp_REF