2. angew. Math. Mecli. Bd. ro N ~ , 3 ~~~i 194(1 148 v a n (3 r e y , Theorie des Tragflagels in G C ~ R ~ R C ~ inhomogener Parallelstrijmung

Beitrag zur Theorie des Tragfliigels in schwach inhomogener Parallels tromung.

Yon F. Vandreg in Gbttingen.

ir betracliten im folgenden einen Tragflugel in einer Parallelstr6mung, deren Riclitung w zur Fliigelachse senkrecht und deren Geschwindigkeit liings jeder Stromlinie konstan t ist, von einer Stromlinie zur anderen aber verschieden sein darf. Die Grundstrbmung soll also quellenfrei, nicht aber wirbelfrei sein. Zunlchst nehmen wir an, dab die Wirbel der Grundstromung nur einzelne Schichten bilden, die Gebiete konstanter Geschwindigkeit der Grundstromung voneinander trennen. Ton diesen Gebieten seien im ganzen n. vorhanden, die wir uns irgendwie numeriert denken. Wir ersetzen in iiblicher Weise den Fliigel durch einen tragenden Wirbelfaden und das System cler abgelienden Wirbel, die wir in Richtung der Grundstromung annehmen. Das Koordinatensystem legen wir so, dab die x-Achse der Strbniung entgegenzeigt, die PAchse mit dem tragenden Wirbel zusammenfiillt und in Flug richtung gesehen nach rechts positiv ist und die z-Achse senkrecht zu den beiden anderen und nach unten gerichtet ist. Wir betrachten einen Schnitt durch die Stromung selir weit hinter dem Flugel. In diesem Schnitt ist auPer der Grundstromung nur noch eine ebene Querstromung vorhanden, die in jedem rler 9% Gebiete wirbelfrei sein und daher ein Potential besitzen wird. Die Berechnung dieser ebenen Querstrbmung soll unsere erste Aufgabe sein. Aus ihr ergibt sich dann die Zirkulation des Tragfliigels in bekannter Weise als der Potential- sprung am abgehenden Wirbelband.

Wir stellen zunlchst die Bedingungen zusammen, denen die n Potentialfunktionen an den Wirbelfllchen der Grundstromung und am abgehenden Wirbelband des Fliigels geniigen miisssn.

An einer Unstetigkeitsfllche der Grundstrbmung, in der etwa die beiden Gebiete G , und Gp aneinander stohen, muh zunlchst der Druck auf beiden Seiten derselbe sein, da von der FlSlche keine Krgfte aufgenommen werden kbnnen, ferner muP die Flache eine Stromfliiclie sein. Be- zeichnet man die Geschwindigkeit der Grundstromung in G , mit V,, das Potential der Quer- stromung mit @, , und entsprechend in G p , so l l P t sich die Druckbedingung, wie C. K o n i n g ') gezeigt hat, bis auf quadratische Glieder in den vom Fliigel herruhrenden Zusatzgescliwinclig- keiten erfullen durch die Forderung

V v . (4, = V p Gp an der Grenze . . . . . . . . . . (1). Die zweite Bedingung laPt sich durch die Forderung erfiillen, daP sic11 die Noriiinl-

grschwindigkeiten der Querstriimung wie die Geschwindigkeiten der Hauptstl iimiing verlid ten sollen

3% 3@p V p ~ i - = V , r an der Grenze . . , . . . n . . . . (2).

%ti diesen Bedingungen kommen noch zwei Bedingungen am Wirbelband Iiinzo. Erstens muk die Normnlgeschwindigkeit dort stetig sein:

rT-)r=o=(T)z=" 3 @ Y "

@v ob . . ' . . * . . . . . . . . (3).

Zweitens mufi dort die P r a n d t 1 sche Tragfltigelgleichung gelten, die wir in der Form sclireiben

Wir haben jetzt also die folgende Aufgabe der ebenen Potentialtheorie zu liisen: In jedeni der n Gebiete G , ist eine Potentialfunktion @, so zu bestimnien, dab an den

Grenzen die Bedingungen (1) und (2) erfiillt sincl und in den Gebieten, die von dein abgehenden Wirbelband getroffen werden, aukerdem die Bedingungen (3) und (4) gelten.

Diese Aufgabe ist natiirlich in voller Allgemeinheit nicht zu lbsen, w i r w o l l e n u n s da l i e r au f d e n F a l l b e s c l i r a n k e n , d a P d i e G e s c h w i n d i g k e i t e n d e r G r u n d - s t r 6 m u n g n u r w e n i g von e i n e m M i t t e l w e r t a b w e i c h e n . Wir setzen

v,= V ( l + v , ) . - _ _

1) C. K o n i n g : Infliienre of the Propcller on other Parts of the Airplane Striictnre. In: Ihraad, Aerodynamic Theory. Berlin l!l55, Bd. 4 S. 381) his 384 und 4112 bis 406.

2. angew. Math. Meoh. Bd. N,., 3 ,loni 1 ~ ~ ~ 1 149

Die Gestalt der Druckbedingung (1) legt es nahe, fur d8s Potential di,, dann den Ansatz zu mac h en

wo @ eine einheitliche Potentialfunktion in der ganzen Ebene bedeutet. Dieser Aiisatz erfullt die Druckbedingung bis auf quadratische, die Kontinuitatsbedingung bis auf lineare Glieder in den Zusatzgeschwindigkeiten. Der Einflufi dieser geringeren Berucksichtigung der Kontinuitatsbedingung sol1 untcn noch nliher untersuclit werden. Zur Berechnung von @ kann dann die Gleichung (4) dienen. Wir dividieren sie noch durch (1 - v y ) und erhalten bis auf Glieder hbherer Ordnung

\ ; L I I 11 rc! y , Tlieorie tles Tragtliigcls in sc*liwac*li iiilioiiiogener Pxrallclstriimung

@,, = (1 - up) @,

Dies ist aber die I' r a n d t 1 sche Gleichung fur eincn Ersatzflugel mit dem geometrischen Anstellwinkel ag (1 + 2my) in einer gleichfbrmigen Parallelstrbmung von der Geschwindigkeit V. Sie kann daher nacli den hierfur bekannten Verfahren gelost werden. 1st @ (oder aucli nur r= (Go,, - @JZ = U) berechnet, so wird die Zirkulationsverteilung des Flugels in der inlioinogcnen Strbmung auf Grund des Ansatzes

r; = (1 ~ V V ) r. Die Zirkulationsverteilung wird also an den Stellen unstetig, wo der Flugel die Unstetigkeits. tllchen der Grundstrbmung schneidet. Die Auftriebsverteilung des Flugels in der inhomogenen Grundstrbmung wird dann nach dem Satze von K u t t a und J o u k o w s k i

~ = v,, r,, =- vr rl Ij d A

bis auf quadratische Glicder. Sie ist also identisch mit der Auftriebsverteilung des Ersatzfliigels. Die erweiterte Tragflugelgleichung (5) gestattet auch noch den Grenzubergang zu einer

Grundstromung mit stetig vertinderlicher Geschwindigkeit. 1st die Geschwindigkeit am Orte des Flugels etwa gegeben durch

90 erhiilt man die Auftriebsverteilung des Flugels a19 Auftriebsverteilung eines Ersatzflugels mit der c, t-Verteilung des gegebenen und der Anstellwinkelverteilung a, (1 + 2 v (y)) in gleichfbrmiger Parallelstrbmung von der Geschwindigkeit V.

Wir wollen jetzt nocli auf die Fehler eingehen, die der Rechnung durch die Vernach- lassigung der linearen Glieder in der Kontinuitatsbedingung anhaften. Diese Vernachllssigung hat u. a. zur Folge, dafi nur die Ungleichformigkeiten der Grundstrbmung am Orte des FlIigels in die Rechnung eingehen, wahrend alle den Flugel nicht schneidenden Wirbelflachen der Grundstrbmung ohne Einflufi bleiben. Wir denken uns nun bei einer gegebenen Verteilung der Grundgeschwindigkeit am Orte des Flugels die Berechnung der zum Ersatzflugel gehorenden Potentialfunktion @ durchgefuhrt und fragen danach, ob sich die Unstetigkeitsfliichen der Grundstrbmung von ihren Sclinittpunkten mit dern Flugel aus nicht so fortsetzen lassen, dafi ftir die dann entstehende neue Grundstrbmung die Kontinuiatsbedingung an den Gebietsgrenzen von selbst erfullt ist. Man sieht leicht ein, dafi dies m8glicli ist, denn die Kontinuitats- bedingung ist exakt erfullt, falls auf allen Grenzen -=0 ist, d. h. falls die Grenzen der Gebiete Stromlinien der durch di gegebenen ebenen Querstrbmung hinter dem Ersatzflijgel sind. Der Verlauf dieser Stromlinien liiFjt sich aber bestimmen, man vermag daher zu be- urteilen, ob die wirklich vorliegende Grundstrbmung mit der durch @ gegebenen in der Nahe des Flugels so weit iibereinstimmt, dab die Rerechnung der Auftriebsverteilung nach der oben abgeleiteten Tragflugelgleichung zultissig erscheint.

Bei der Bestimmung derjenigen Grundstrbmung, fur die die Berechnung der Auftriebs- verteilung -eigentlich gilt, kann noch eine grundsiitzliche Schwierigkeit auftreten, falls der Abwind des Ereatzflugels 7 (" __ @"I) In diesem Falle gibt es namlicli Stromlinien der ebenen Querstrbmung, die oberhalb des Flogels von den Aufwindgebieten zu den Abwindgebieten und unterhalb in entgegengesetzter Richtung verlaufen. Da diese den Flugel zweimal schneidenden Stromlinien in der inhomogenen Grund- strbmung Linien konstanter Geschwindigkeit sein sollten, mufite die Grundgeschwindigkeit an ihreri beiden Schnittpunkten niit dem Flugel dieselbe sein. Dies wird aber im allgemeinen nicht der Fall sein, und dann gibt es genau genommen uberhaupt keine Grundstrbmung, fur die die angewendete Berechnungsmethode richtig ist. Ein Beispiel fur diesen Fall lafit sich

V M = V(1 + fc (!!I),

d @ a %

langs der Spannweite sein Vorzeichen wechselt. 2 dz z = o

Z. angew. Math. Mecli. Rd, 20 N,., jnni 19411 150 V a n d r e y , Theorie cles Tragtliigels in schwaoh inhoniogerier Parallelstromung

leicht angeben, wenn man etwa fiir Ginen unendlich langen unverwundenen Fliigel konstanter 'l'iefe sich das Potential @ der ebenen Querstrtimung hinter dem Ersatzflugel vorgibt und dann nach der Tragfliigelgleichung die zugehtirige Geschwindigkeitsverteilung der inhomogenen Grundstrtimung am Fliigel ausrechnet. Wir betrachten als einfaches Beispiel dieser Art das Potential

Hierin ist

und k ein als klein vorausgesetzter Proportionalitiitsfaktor fiir die ~bergeschwindigkeiten der zu bereclinenden inhomogenen Grundstromung. In Bild 1 ist ein Stromlinienbild der durch rf, gegebenen QuerstrCTmung und darunter die Abwindverteilung des Ersatzfliigels gezeichnet.

Bild 1. Beispiel fur das Stroinlinienbild der ebenen Quer- strfimiing hinter einem unendlich langen Fliigel konstauter Tiefe und Verteilung des AbwindeR langs der Spannweite.

Bild 2. Verteilung der zusiitzlichen Geschwindigkeit der inhomogenen Grundstromung, der zusiitzlichen Zirkulatioii und deszusltzlichen Auftriebes fur das Beispiel des Bildes 1.

Nach diesem Stromlinienbild miifite in den beiden mit A und B bezeichneten Punkten des Flugels in der inhomogenen Grundstrtimung die gleiche Geschwindigkeit herrschen. Die nach der Tragfliigelgleichung berechnete Geschwindigkeitsverteilung der inhomogenen Grundstrtimung ist in Bild 2 oben gezeiclinet; man erkennt, dah die Geschwindigkeiten in A und B nicht iibereinstimmen. Es gibt hier also eigentlich iiberhaupt keine Grundstrtimung, fiir die die berechneten Zirkulations- und Auftriebsverteilungen des Fliigels in der inhomogenen Grundstrtimung richtig sind. Dies hindert naturlich nicht, dafi sie trotzdem ein qualitativ brauchbares Bild der in inhomogenen Strtimungen vorliegenden Verhaltnisse geben ktinnen. Ahnlich wie in diesem Falle erhalten iibrigens bei dem unendlich langen unverwundenen Fliigel konstanter Tiefe auch in allen anderen Fallen die Gebiete mit kleinerer Grund- geschwindigkeit Aufwind, da far den verwundenen Ersatzfliigel die Ungleichmiifiigkeiten des Anstellwinkels in der Zirkulationsverteilung weitgehend ausgeglichen sind. Fijr den unver- wundenen unendlich langen Fliigel konstanter Tiefe gibt es daher genau genommen niemals eine inhomogene Grundstrtimung, fiir die seine Auftriebsverteilung nach der hier dargelegten Methode berechnet werden darf. Da aber der Fall eines solchen Fliigels nur ein vereinfachtes Bild ist fiir die Verhiiltnisse im Mittelstiick eines endlichen Flilgels grofier Spannweite, SO braucht man dieser grundsiitzlichen Schwierigkeit keine allzu grofie Bedeutung beizumessen.

Man kann weiterhin noch die Frage stellen, ob nicht fur gewisse Grundstrtimungen auf die Voraussetzung der Kleinheit der Obergeschwindigkeiten w, verzichtet werden darf. (Aus physikalischen Griinden mufi hierbei v, > - 1 gefordert werden, da der Fall v, < - 1 einer Anstrijmung cles Fliigels von hinten entspricht, bei der andere Verhaltnisse vorliegen. Der Fall v,=-1 (a. h. Anstromgeschwindigkeit Null in einem der Gebiete) erfordert eine be-

%. angew. Math. Mecli. ~ d . 21) N ~ . :j Jl lni 1!)41) Van d r e y , Theorie des Tra,diigels in trcliwacli inhomogcner Parallelstriininng 161

--.. Reohteckfliigels ( D l t = 5). der eiuen Schrau- benstrahl voii der Breite 0,2b mit 10°/o

.---------- -_ .*.. -1-

,/'

.-.-.--_ ' tilid OU O/" Obergesohwindigkeit sohneidet.

'\. ', siohtigung der Druokbedingungen a11 den Btrahlrandern berechnete Auftriebsver- / / Gebiefl ",.:

teilung des gleicben Fliigels.

Darunter eum Vergleioh die ohue Beriick- ,./I %., ',., ,*'

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4-1 \!, s \-2 -1 i/

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Bild 4 (rechts). Forni der Stralilrander. '\ ', ./' ,I

sondere Untersuchung, er sol1 deshalb hier ausgesclilossen werden.) iiian den1 Ansatz fur die Potentiale @,, die Form gibt

Dies ist mbglich, wenn

@ -~ l @*. - l+V,

Fiir die Potentialfunktion P erhalt man damit als Bedingung

__------___ .. % .-- .- *,' ..-.-.--.-...

;j 4 - V !

' 2:

\. '. ,, ,' , / ' .I ,,,( GebkfI ''i, , i -a 3'

L.

>A. I %\ \. \ \. I \. I

Sind dann die Gebietsgrenzen (bzw. bei stetiger GeschiiTindigkeitsverteilung die Linicri konstanter Grundgeschwindigkeit) S tromlinien der durcli @* gegebenen Stromung, so ist such die Kontinuitatsbedingung exakt erfullt, und man erhillt fur die Auftriebsverteilung eines Flugels in einer solchen Grundstrbmung wiederum ilas einfache Ergebnis

~ = @ v ( c P 0 l , - @*") . d Y d A

2) J. St i iper: Luf1f.-Forschg. Bd. 15 (1938),S. 181.

2. augew. Math. Mech. I52 nd. 211 Nr. 3 ,1uni 19411

Einfliissen der Grenzschicht darauf zurtick, dafi bei den Messungen die Fliigeltiefe grbfier war als der Strahldurchmesser und dafi deshalb die Strahlform durch den Fliigel erheblich gestbrt wurde, so dafi die Voraussetzung der Rechnung nicht mehr zutrifft, dafi der Einflufi des Fliigels auf die Grundstrbmpng zu vernachliissigen ist. Nach unseren Ergebnissen kbnnte man noch an eine andere Mbglichkeit zur Erklilrung des Unterschiedes zwischen Rechnung und Messung denken. Da sich nlmlich die Koningsche Rechnung genau genommen gar nicht auf einen Kreisstraljl bezieht, sondern in dem bei den Messungen vorliegenden Fall (Rechteckfliigel mit Endscheiben) auf eine Strahlform, die der in Bild 4 gezeichneten ahnlich sein diirfte (falls es iiberhaupt eine alle Bedingungen erfullende Grundstrbmung in diesem Falle gibt), so kbnnte es sein, dafi der Kreisstrahl nicht mehr eine zulksige Grundstrbmung ist. Es ist hierbei zu erwarten, dab fur den Kreisstrahl der Abwind grbf3er und die Zirkulation kleiner wird als fur die der ltechnung eigentlich zugrunde liegende Strbmung, so dafi die Unterschiede auch hierdurch erklilrt werden khnten. Nach beiden Erkllrungsversuchen niiifite man jedoch erwarten, dafi die flbereinstimmung von Rechnung und Messung sich bessert, wenn die Fliigeltiefe klein gcgen den Strahldurchmesser gemacht wird.

Die Berechnung der Auftriebsverteilung eines Tragfliigels in einer scliwach inhomogenen Parallelstrbmung mit von Ort zu Ort verschiedener Geschwindigkeit wird zuriickgefuhrt auf die Berechnung der Auftriebsverteilung eines Fliigels gleicher Tiefen- verteilung mit einer zusiitzlichen Verwindung in homogener Parallelstrbmung. Die Verwindung wird dabei bestimmt aus der Bedingung der Druckgleichheit auf den beiden Seiten einer Flache konstanter Grundgeschwindigkeit. Voraussetzung fur die Anwendbarkeit der Methode ist, dafi sich die Geschwindigkeit der Grundstrbmung in der zum Fliigel senkrechten ltichtung nicht vie1 andert, genau genommen miissen di,e Linien konstanter Grundgeschwindigkeit in einem vertikalen Sclinitt weit hinter dem Flugel Stromlinien der ebenen Querstrbmung hinter dem Ersatzflugel sein. Als Beispiel wird ein Rechteckflugel im Schraubenstrahl behandelt.

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F 1 o I’ i 1 1 , Ebene Bewegung cines Wirbelkranzes mi radialen Scliaufelstern

Zusammenfassung.

Ebene Bewegung eines Wirbelkranzes am rotierenden radialen Schaufelstern von endlichen Schaufellangen’).

Von Fr. Florim in Berlin-Tegel. (Aus dem Institut fur Mechanik an der Technischen Hochschule Berlin.)

1. Einleitung. Die Bewegung eines Wirbels innerhalb eines von einer idealen Fliissig- keit erfiillten rotierenden Kreissektors, bei iiberlagerter Quellstrbmung, wurde bereits von K u c 11 a r s k i z, untersucht. Die radialen Begrenzungen dieses Sektors erstrecken sich vom Dreh- punkt bis ins Unendliche und begrenzen eine nach aufien gleichfalls unbegrenzte Fliissigkeit.

Man erhiilt nun eine bessere Annilherung an die beispielsweise bei einer Purnpe vor- liegenden Verhiiltnisse, wenn die Wirbelbahnen unter Zugrundelegung des Betriebszustandes einer Pumpe gleich fur einen ganzen Stern radialer, sich nicht mehr bis ins Unendliche er- streckender, aber von einer unbegrenzten Fltissigkeit eingeschlossener Schaufeln untersucht werden. Ein solcher radialer Schaufelstern ist das einfachste und deswegen einer exakten Berechnung der Wirbelbahnen an1 besten zuglngliche Schema eines zweidimensionalen Schaufelrades. Dasselbe kann deni Aussehen eines Schaufelrades dadurch noch wei ter an- gepafit werden, dab mail die radialen Schaufelspuren nicht nur auf einem Kreis vom endlichen Aufienradius ea endigen, sondern auch auf einem zweiten, konzentrischen Kreis vom Innen- radius ,oi ihren Anfang nehmen lafit. Ein dem wirklichen Aussehen eines Schaufelrades noch besser sich anpassendes Schema erhalt man dadurch, dafi man den Schaufelspuren eine nach logarithmischen Spiralen gekrIimiiite Forrii gibt. Auch in diesen Fallen lnssen sich die Wirbelbahnen noch mit exakten Methoden berechnen.

Bislang sind aber in diesen Flllen lediglich die Strbmungserscheinungen oh n e Einzel- wirbelk.pntersucht worden. Als erste Arbeit dieser Art erschien 1918 eine Monographie von K u c 11 a$ s k i ”), in welcher u. a. fiir einen radialen Schaufelstern, dessen Schaufeln vom Dreh- punkt bik-qu einem Kreis vom endlichen Radius pa reichen, das Bild der relativen Strom- lini@$ih-& da~T&de~hbhenverhilltnis in Abhilngigkeit von der Schaufelzrthl vt ermittelt wurde.

, -I-------

ies A eit urde von r Fakultat fiir Maschinenwesen der Technischen Hochschule Berlin ale Doktor- a\h!ftI ~ ~ ~ ~ ~ . - ~ ~ ~ ~ ~ r k ~ ~ ~ ~ ! ~ ~ ~ ~ ~ ~ c K u c h a r s k i und Prof. 0. H a m e 1. Vorsitzender: Prof. H. F ij t t i n g c r. HeR;&c&iH wpnp r ~ k i , ~ b u ! ~ ~ ~ i Q g r ( y e s ~ ~ ~ ~ , fur wertvolle Ratschlage und Belehrungen besonderen Dank.

n inem naoh auBen offenen Kreissektor. Forsoh. In&-Wes. Bd. 8 &$I t&$h ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ i ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ . uber .. den gleichen Gegenstand, in welcher die Integration der Wrir&hakn& &stilt1 a r ~ t l e d t i i ~ h g ~ b ~ ~ ~ ~ ~ f l i l 3 a ’ l ~ ( ~ I.

8 ) W. K u c h a r s k i : Stromungen einer reibungsfreien Fliissigkeit bei Rotation fester Korper. Miinchen und Berlin 1918. .!%I .3 (8JX!i )