bandyopadhyay

8/6/2019 bandyopadhyay

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Soc C hoice W elfare (1990) 7:209 -220 S o c i a l C h o ic e.d W e lf a r e

Springer-Verlag 1990

Sequential Path Independence and Social ChoiceT . B a n d y o p a d h y a yGraduate School of Managem ent, U niversity of California, Riverside, CA 92521, US AReceived April 11, 1988 Accepted Janu ary 12, 1990

A b s t r a c t . A r r o w ' s g e n e r a l im p o s s i b il i t y t h e o r e m s h o w s t h a t e v e r y P a r e t i a n s o ci alc h o i c e f u n c t i o n w h i c h s a t is fi es i n d e p e n d e n c e o f i r re l e v a n t a l t e r n a t iv e s a n d t h eA x i o m o f S e q u e n t i a l P a t h I n d e p e n d e n c e is n e c e s s a ri ly d i c t a to r i a l . I t is s h o w n t h a tt h e e x is te n c e o f a d i c t a t o r c a n b e e s t a b l is h e d w i t h o u t i n v o k i n g f u ll p a t h i n d e p e n -d e n c e. W e p r o p o s e a n a x i o m o f w e a k p a t h i n d e p e n d e n c e o f a se q u e n t ia l c h o i c ep r o c e d u r e . T h i s a x i o m t u r n s o u t t o b e i n d e p e n d e n t o f t h e f a c t o r th a t i s c r i t ic a l i no b t a i n i n g d i c t a t o r s h i p o r o l i g a r c h y r es u l ts i n t h e c h o i c e t h e o r e t i c f r a m e w o r k .

1 . I n t r o d u c t i o nT h e s e n s it iv i ty o f A r r o w ' s g e n e r a l i m p o s s i b i li t y t h e o r e m [1 ] t o th e r e q u i r e m e n t o ft h e W e a k A x i o m o f R e v e a l e d P r e fe r e n c e w a s f ir st n o t ic e d b y S e n [ 18 ].t F a c t o r i z i n gt he W e a k A x i o m i n t o tw o c o m p l e m e n t a r y c o n d i t io n s , n a m e l y , t he C h e r n o f fc o n d i t i o n a n d t h e S t r o n g D o m i n a n c e c o n d i t io n , S e n i d e nt if ie d t h e f o r m e r a s t h es o u r c e o f t r o u b l e a n d o b s e r v e d t h a t w i t h t h e la t t e r " w e c a n s a il t h r o u g h e a s i l y " (S e n[ 19 , p 7 4 ] ). H e c i t e d th e p o s s i b i l i t y re s u l t d u e t o B o r d e s [ 10 ] , w h o s h o w e d t h a t t h e r ee x i s t s a m a j o r i t y d e c i s i o n r u l e w h i c h s a t i s f i e s t h e S t r o n g D o m i n a n c e c o n d i t i o n a n do t h e r A r r o w c o n d i t i o n s , n a m e l y , t h e w e a k P a r e t o p r i n ci p le a n d i n d e p e n d e n c e o fi r re l e v a n t a l t e rn a t i v e s ( o r s i m p l y i n d e p e n d e n c e ) . 2 C l o s e o b s e r v a t i o n r e v e a ls t h a t i ft h e w e a k P a r e t o p r i n c i p l e is s t r e n g t h e n e d t o t h e r e q u i r e m e n t o f P a r e t o o p t i m a l i t yw h i c h e n s u r e s t h e e x c l u s io n o f P a r e t o i n o p t i m a l a l t e rn a t i v e s f r o m t h e c h o i c e se t,t h e n B o r d e s ' p o s s i b i l i t y r e s u l t b r e a k s d o w n . W e a k e n i n g t h e c o n s i s t e n c y r e q u i r e -m e n t , R i c h e l s o n [ 16 ] h a s e s t a b l i s h e d t h a t t h e r e e x i s ts a m a j o r i t y d e c i s i o n ru l e w h i c hs a ti sf ie s P a r e t o o p t i m a l i t y , i n d e p e n d e n c e a n d a w e a k c o n s i s t e n c y c o n d i t i o n , c a l le d

1 Originally, Arrow [1 ] was conce rned w ith the case in which a social preference relation is required to bean ordering, i.e., a reflexive, conne cted and transitive binary relation. A rrow [21 ha d sho wn that theW eak Axiom of Revealed Preference (WA RP) is equivalent to the existence of a p reference ordering. In achoice theoretic fram ewo rk, i.e., studying social choice directly in term s o f a cho ice function withoutinvolving a binary preference relation, the requ irement of an ordering o f a so cial preference relation ca nbe replaced by the requirement that a social choice function satisfies W A RP (see Blair et al. [8]) .2 Ban dyop adhya y [4] has provided a generalized possibility result.


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210 T. Bandy opadhyayN o n d o m i n a n c e . T h e n t h e i n t e r e s t i n g q u e s t i o n r e m a i n s a b o u t t h e c h a r a c t e r i -z a t i o n o f a so c i a l f u n c t i o n w h i c h s a ti sf ie s t h e P a r e t o o p t i m a l i t y c o n d i t i o n a n d t h eS t r o n g D o m i n a n c e c o n d i t i o n . B a n d y o p a d h y a y [ 5] h a s s h o w n t h a t e v e r y s o ci alc h o i c e f u n c t i o n w h i c h s a ti sf ie s t h e s e t w o c o n d i t i o n s is n e c e s s a r i ly d i c t a t o r i a l. 3 T h eS t r o n g D o m i n a n c e c o n d i t i o n is e q u i v a l e n t t o th e W e a k D o m i n a n c e c o n d i t i o n a n dt h e N o n d o m i n a n c e c o n d i t i o n to g e t h e r . T h u s , B a n d y o p a d h y a y ' s i m p o s s ib i li tyr e s u l t a n d R i c h e l s o n ' s p o s s i b i li t y r e su l t t o g e t h e r i m p l y t h a t e v e r y s o ci a l c h o i c ef u n c t i o n w h i c h s at is fi es t h e P a r e t o o p t i m a l i t y c o n d i t i o n a n d t h e N o n d o m i n a n c ec o n d i t i o n i s d i c t a t o r i a l i f a n d o n l y i f i t sa t is f ie s t h e W e a k D o m i n a n c e c o n d i t i o n .B a n d y o p a d h y a y h a s a l so s h o w n t h a t i f l o w e r ( o r w e a k ) p a t h i n d e p e n d e n c e isr e q u i r e d i n s t e ad o f N o n d o m i n a n c e , t h e n e v e r y s oc ia l c h o ic e f u n c t i o n i s o li g a rc h i ca li f a n d o n l y if i t sa ti sf ie s th e W e a k D o m i n a n c e c o n d i t i o n . T h e W e a k D o m i n a n c ec o n d i t i o n s i m p l y s a y s t h a t n o s u b o p t i m a l a l t e r n a t i v e i s p r e f e r r e d t o a n y o p t i m a la l t e r n a ti v e . I f c o n s i s t e n c y i n c h o i c e h a s a n y t h i n g t o d o w i t h s o m e s o r t o f o p t i -m i z a t i on , t h e w e a k d o m i n a n c e c o n d i t i o n is a m i n i m u m r e q u i r e m e n t t h a t o n e c a nt h i n k o f . I t m a y b e s o , b u t i n t h e c o n t e x t o f a s o ci a l d e c i s i o n p r o b l e m a s o p p o s e d t o as o c ia l w e l f a r e j u d g e m e n t , t h e r e q u i r e m e n t o f W e a k D o m i n a n c e d o e s n o t s e e m t o b ec o m p e l l i n g . S e n [1 9] r e m a r k e d t h a t i n s o c ia l c h o i c e ex e r ci se s , t h e q u e s t i o n i s m o r eo p e n . F u r t h e r m o r e , s in c e t h e W e a k D o m i n a n c e c o n d i t i o n is i m p l ie d b y th e C h e r -n o f f c o n d i t i o n , w h i c h i s id e n t i f i e d a s t h e t r o u b l e m a k e r , i t is i n s tr u c t i v e t o i n v e s ti -g a t e t h e c o n s e q u e n c e s o f r e l a x i n g th e r e q u i r e m e n t o f t r a n s it i v e r a t i o n a l i z a t i o n i n a na l t e r n a t iv e w a y o n t h e p a r a d o x e s o f s o c i a l c h o i c e .

I n o r d e r t o r e l a t e p a i r w i s e c h o i c e to a n o v e r a l l c h o i c e , A r r o w c o n s i d e r e d t h eW e a k A x i o m o f R e v e a l e d P r e f e r e n c e t o e n s u r e t h e i n d e p e n d e n c e o f f in a l c h o i c ef r o m t h e w a y t h e a l t e r n a t iv e s a r e d i v i d e d o v e r p a i rs . H e a r g u e d t h a t i t is " a ni m p o r t a n t a t t r ib u t e o f a g e n u i n e ly d e m o c r a t i c s y s te m c a p a b l e o f fu ll a d a p t i o n t ov a r y i n g e n v i r o n m e n t " [1 , p 12 0]. F e r e j o h n a n d G r e t h e r [ 12 ] o b s e r v e t h a t a l t h o u g hi n i n t r o d u c i n g t r a n s i t i v e r a t i o n a l i z a t i o n A r r o w ju s t if i e s " i n d e p e n d e n c e o f f i n a lc h o i c e f r o m t h e p a t h t o i t ' ! , h i s o b j e c t i o n t o i n t r a n s i t i v e c h o i c e i s t h a t " a ni n t ra n s i t iv e s o c i a l c h o i c e m e c h a n i s m m a y p r o d u c e d e c i s i on s t h a t a r e c l e a r l yu n s a t i s f a c t o r y " ( A r r o w [1 , p 12 0 ]) . T h e y a r g u e d t h a t a s a t i s f a c t o r y c h o i c e m e c h a -n i s m is o n e w h i c h e n s u r e s t h a t t h e f in a l o u t c o m e o f a c h o i c e p r o c e d u r e m u s t b ec o n t a i n e d i n t h e c h o i c e s et b a s e d o n t h e e n t i r e a g e n d a ; i t g u a r a n t e e s o n e o f t h e b e s ta l t e r n a t iv e s w i ll b e c h o s e n i n d e p e n d e n t o f t h e p a t h . C l e a r l y , t h e a p p e a l o f a c h o i c em e c h a n i s m d e p e n d s o n t w o t h in g s : o n e is th e c h o i c e p r o c e d u r e a n d t h e o t h e r is th ep a t h i n d e p e n d e n c e o f s u c h a p r o c e d u r e . F o l l o w i n g P l o t t [ 15 ] t h e y h a v e c o n s i d e r e d ac h o i c e p r o c e d u r e w h e r e a c h o i c e is m a d e i n t w o s t a g e s : f i r s t t h e a l t e r n a t iv e s a r e" s p l i t u p " i n t o s m a l l e r se ts , a c h o i c e is m a d e o v e r e a c h o f t h e s e s e ts , th e c h o s e na l t e r n a t iv e s a r e c o l l e c t e d a n d t h e n a c h o i c e is m a d e f r o m t h e m . T h e d e s i r a b i l it y o fp a t h i n d e p e n d e n c e o f s u c h a p r o c e d u r e i s n o t c l e a r , si n ce it d o e s n o t g u a r a n t e e t h ei n c lu s i o n o f a n e l e m e n t w h i c h is c h o s e n i n e v e r y p a ir w i se c h o i c e . H o w e v e r , A r r o ww a s i n t e re s t e d in a c h o i c e p r o c e d u r e w h o s e p a t h i n d e p e n d e n c e w o u l d b e e q u i v a l e n tt o t h e tr a n s i ti v e r a t io n a l i z a t i o n . P l o t t [ 15 ] h a s s h o w n t h a t t h e p a t h i n d e p e n d e n c e o ft h e c h o i c e p r o c e d u r e w e h a v e d e s c r i b e d d o e s n o t g u a r a n t e e t h e t r a n s it i v e ra t i o -n a l i z a t i o n . I n f a c t , i t d o e s n o t g u a r a n t e e a n y r a t i o n a l i z a t i o n . W e c o n s i d e r aa Bandyopadhyayestablishes this resu lt fo r IX[ > 3.


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Sequential Independ enceand Soc ial Cho ice 211s e q u e n t i al c h o i c e p r o c e d u r e ; t h e p a t h i n d e p e n d e n c e o f s u c h a p r o c e d u r e is an e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n t c o n d i t i o n f o r t r a n s i t i v e r a t i o n a l i z a t i o n . F o l l o w i n g t h em a n n e r i n w h i c h F e r e j o h n a n d G r e t h e r [12] h a v e w e a k e n e d P l o t t 's P a t h I n d e p e n -d e n c e c o n d i t i o n , w e c o n s i d e r t h e w e a k e n i n g o f s e q u e n t i a l p a t h i n d e p e n d e n c ec o n d i t i o n a n d c a l l i t l o w e r s e q u e n t i a l p a t h i n d e p e n d e n c e . W e s h o w t h a t t h i sc o n d i t i o n is w e a k e r t h a n t h e S t r o n g D o m i n a n c e c o n d i t io n , a n d is i n d e p e n d e n t o ft h e W e a k D o m i n a n c e c o n d i t i o n an d t h e N o n d o m i n a n c e c o n d i t io n . S in c e t h e W e a kD o m i n a n c e c o n d i t i o n i s t h e c r it ic a l f a c t o r f o r t h e e xi s te n c e o f a d i c t a t o r s h i p o r a no l i g a r c h y in m a k i n g a s o c i a l c h o i c e , i t i s i n t e r e s t i n g t o i n v e s t i g a t e t h e c o n s e q u e n c e so f r e q u i r i n g l o w e r s e q u e n t ia l p a t h i n d e p e n d e n c e o n t h e p o w e r s t r u c t u r e .

2 . N o t a t i o n a n d D e f i n i t io n s

L e t L b e a s o c i e t y c o n s i s t i n g o f a f in i t e N n u m b e r o f i n d i v i d u a l s . E v e r y i n d i v i d u a l i nt h e s o c i e t y h a s a p r e f e r e n c e r e l a t i o n w h i c h i s a w e a k o r d e r o n a f i n it e se t o f a l te r n a t i v es o c i a l s t a t e s X . W e a s s u m e L c o n t a i n s a t l e a s t t w o e l e m e n t s . A p r o f i l e o f i n d i v i d u a l s 'p r e f e r e n c e o r d e r i n g s ( c a l l e d a s i t u a t i o n ) i s a s p e c i fi c a t io n , f o r e x a m p l e s = ( R i ) ~ L, o fa w e a k p r e f e r e n c e o r d e r i n g R ~ o n X f o r e a c h i n d i v i d u a l i E L . C o r r e s p o n d i n g t o R i ,P ~, a n d I i a r e t h e s t r i ct p r e f e r e n c e a n d i n d i f f e r e n c e r e l a t i o n s d e f i n e d i n t h e u s u a lw a y . L e t S b e t h e s e t o f a ll p r o f il e s o f i n d i v i d u a l p r e f e r e n c e o r d e r in g s . A n o n e m p t ysubs e t o f X w i l l be c a l l e d a n i s sue . L e t X be the se t o f al l i s sue s .

G i v e n a n y p r o f i l e o f in d i v i d u a l p r e f e r e n c e o r d e r i n g s o r s i t u a t i o n s e S a n d a n yi s su e A ~ X t h e s o c i a l c h o i c e f u n c t i o n m a p s i n to a n o n e m p t y s u b s et C ( A , s ) ~ A .W h e n t h e d e p e n d e n c e o n t h e p r e f e r e n c e o r d e r i n g s o f i n d i v id u a l s is u n a m b i g u o u s ,w e s i m p l y w r i t e th e i m a g e o f t h e f u n c t i o n a s C ( A ) .

L e t Lxy= i e L [ x P y } a n d L ( x y ) = { i ~ L [ x R y } b e t h e s e t o f i n d i v i d u a l s i n as o c i e t y f o r w h o m t h e i n d i c a t e d p r e f e r e n c e h o ld s , g i v e n t h e p r o f i l e o f in d i v i d u a lp r e f e r e n c e o r d e r i n g s s . S i m i l a r l y , f o r a n o t h e r p r e f e r e n c e p r o f i l e , s a y s ' , we use L~,~a n d L[xy ) r e s p e c ti v e l y f o r t h e s e t f o r w h i c h t h e i n d i c a t e d p r e f e r e n c e h o l d s .

T h e a x i o m s w h i c h t h e s o c ia l ch o i c e f u n c t i o n s m a y b e r e q u i r e d t o s a t is f y f o r a l lpa i r s o f a l t e rn a t ive s , x , y 6 A _~ X a n d fo r a l l s i t ua t ions s , s ' ~ S a re :

I n d e p e n d e n c e ( I N ) : [ L ( x ,) = L ~ , ) a n d L ( r x )= L ~rx) ~ C ( { x , y } , s ) = C ( { x , y } , s ' ) .W e a k P a r e t o O p t i m a l i t y (PO ) : ]Lxy = N ~ y C ( A ).M a j o r i t y D e c i s i o n : [ L~ rl > N / 2 ~ {x} = C ( { x , y}) .U n d e r t h e r e s t r ic t i o n t h a t t h e i s su e A c o n t a i n s e x a c t l y t w o e l e m e n t s , o u r P a r e t o

o p t i m a l i t y c r it e r i o n is k n o w n i n t h e l i t e r a tu r e a s t h e w e a k P a r e t o p r i n c i p le ( W P ) .T h r o u g h o u t t h is p a p e r w e a s s u m e t h a t t h e so c i a l c h o ic e f u n c t i o n s a t is f ie s t h e

i n d e p e n d e n c e c o n d i t i o n .A l l t h e s e p r o p e r t i e s a r e f a m i l i a r a n d d o n o t n e e d a n y d i sc u s s io n . W e i n t r o d u c e

n o w c e r t a in c o n d i t io n s w h i c h a r e c o n c e r n e d w i t h t h e d is t r ib u t i o n o f " p o w e r "a m o n g i n d i v i d u a l s .

F o r a d i s t i n c t p a i r o f a l t e r n a t i v e s x , y ~ X a n d f o r a l l s c S , a s e t o f in d i v i d u a l sL___L isD e c i s iv e f o r x a g a i n s t y : [ x P i y fo r a l l i ~ L ] ~ {x} = C ( { x , y } , s ) .Q u a s i - d ec i si ve f o r x a g a i n s t y : [ x P y f o r a l l i ~ L ] ~ x ~ C ( { x , y } , s ).


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212 T. Bandyopadh yayW e u t il iz e t h e n o t i o n s o f d e c i si v e n e ss a n d q u a s i -d e c i s iv e n e s s t o i n t r o d u c e t h e

f o l l o w i n g p r o p e r t i e s w h i c h d e s c r i b e t h e e x c es si v e p o w e r o f a n i n d i v i d u a l o r a u n i q u eg r o u p o f i n d i v i d u a l s i n m a k i n g a so c i a l d e c i si o n .

D i c t a t o r s h i p : T h e r e e x i s ts a n i n d i v i d u a l i e L w h o is d e c i s iv e f o r e v e r y p a i r o fa l t e r n a t i v e s .

O l i g a r c h i c : T h e r e e x i st s a u n i q u e c o a l i t i o n o f i n d i v i d u a l s L _ L s u c h t h a t L i sd e c i si v e f o r e v e r y p a i r o f a l t e r n a t i v e s a n d e v e r y i n d i v i d u a l i ~ L i s q u a s i - d e c i s i v e f o re v e r y p a i r o f a l t e rn a t i v e s .

W e a k D i c t a t o r s h i p : T h e r e e x is ts a n i n d i v i d u a l i ~ L w h o i s q u a s i - d e c i s i v e f o re v e r y p a i r o f a l t e rn a t i v e s.

A l l t h e c o n d i t i o n s w e h a v e i n t r o d u c e d s o f a r a re c o n c e r n e d w i t h p a i r w i s e c h o ic e .N e x t , w e i n t r o d u c e c o n d i t i o n s w h i c h r e la t e p a ir w i s e c h o i c e t o a n o v e r a l l c h o i c e .

G i v e n a n y s o c i a l c h o i c e f u n c t i o n C ( . ) , a b i n a r y r e l a t io n R i s d e f i n e d o n Xa s f o l l o w s : f o r a l l x l , x 2 ~ X , x 1 R X 2 i f f x 1 e C ( { X l , X 2 } ) : T h e n x 1 P x 2 i f f(X 1R X 2 & ~ x z R x 1 ) , a n d x 1 x 2 i f f (X 1 R x 2 ~ L x 2 R x 1 ). T h i s r e l a t i o n w a s i n t r o d u c e db y A r r o w [2 ], a n d H e r z b e r g e r [ 13 ] c a l le d R t h e b a s e r e la t io n .

N o t e t h a t R m u s t b e r e fl e x iv e a n d c o n n e c t e d . R is t r a n s i t i v e i f f [ ( x 1 R x 2 X 2 R X 3 )~ x 1 R x 3 ] f o r a l l x l , x 2 , x 3 ~ X ; R i s q u a s i - t r a n s i t i v e i f f [ ( x 1 P x 2 ~g. X 2 P X 3) - -- ~ X 1 P x 3 ]f o r a l l x l , x 2 , x 3 ~ X ; P is a c y c l i c i f f [ ( x P x 2 & x 2 P x 3 & . .. & x , _ 1 P x , ) ~ x 1 R x , ] f o ra l l x ~ , x 2 . . . . . x n e X .

A s o c i a l c h o i c e f u n c t i o n C ( . ) o n X is r a t i o n a l i f f t h e r e is a b i n a r y r e l a t i o n R o n Xs u c h t h a t C ( A ) = { x ~ A [ x R y f o r a l l y E A }. I n o t h e r w o r d s , R r a t i o n a l i z e s C ( . ) . I na d d i t i o n , i f t h e b i n a r y r e l a t i o n R i s t r a n s i t i v e t h e n C ( - ) is s a i d to b e t ra n s i t i v er a t i o n a l , o r s i m p l y , R is a tr a n s i t i v e r a t i o n a l i z a t i o n o f C .

L e t C ( . ) b e a s o c i a l c h o i c e f u n c t i o n . A l s o l e t A t ~ _ A ~ X s u c h t h a t U A t = A ,] A t [ < 2 . F o r a l l A t , A ~ X , a l l x , y E A t, C ( . ) s a t i s f i e s t

C h e r n o f f C o n d i t i o n ( C C ) : [ x e ( A t - C ( A t ) ) ] ~ [x C ( A ) ] 4 ;S t r o n 9 D o m i n a n c e ( S D ) : [ x e C ( A t ) ] ~ [y ~ C ( A ) ~ x ~ C ( A ) ] 5 ;W e a k D o m i n a n c e ( W D ) : [ {x } = C ( A ' ) ] ~ [ y e C ( A ) - ~ x ~ C ( A ) ] 6 ;N o n d o m i n a n c e ( N D ) : [ x , y ~ C ( A t)] __. [y ~ C ( A ) - - * x ~ C ( A ) ] 7 ;U p p e r P a t h I n d e p e n d e n c e ( U P I ) " C ( ? A t C ( A t ) ) ~_ C ( A ) ;L o w e r P a t h I n d e p e n d e n c e ( L P I ) : C ( ~ A t C ( A t ) ) ~ _ C ( A ) s.C l ea r l y , S D s u b s u m e s W D , N D , a n d L P I . B a n d y o p a d h y a y [4] h a s s h o w n th a t

W D , N D a n d L P I a re a l l i n d e p e n d e n t c o n d i t i o n s . U P I a n d L P I t o g e th e r a ree q u i v a l e n t to P l o t t 's P a t h I n d e p e n d e n c e ( P I) c o n d i t i o n . P a r k [1 4] h a s s h o w n t h a tC C is e q u i v a l e n t t o U P I . A r r o w [2 ] e s ta b l is h e d t h a t C C a n d S D t o g e t h e r a r ee q u iv a l en t t o t he W e a k A x i o m o f R e v e a l ed P r e f e re n c e ( W A R P ) : f o r so m e A e X ,[ x ~ C ( A ) a n d y ~ A - C ( A ) ] i m p l ie s t h e r e is n o A ' s X s u c h t h a t x ~ A ' a n d y ~ C ( A ' ) .4 T hi s condition is slightly weak er than the one introduced by Che rnoff [I 1]. It has appeared in theliterature unde r a variety o f nam es. Sen [19] called it c~p.5 B or de s [10] introduced this condition and is also known as fl +fi (Sen [20]).6 Th is condition was originally introduced by Schwartz [17].7 Th is condition is due to Bandyopadhy ay [3]. I t is a pairwise version o f Sen's [19] fl-property.s Ferejohn and Grether called i t the w eak path indepence condition. F or the sake o f exposition we useSen's [21] terminology .


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Sequential Independence and Social Choice3 . R e s u l t s a n d D i s c u s s i o n

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T h e W e a k A x i o m o f R e v e a l e d P r e f e r e n c e is a n e c e s s a r y a n d s u f f ic i e n t c o n d i t i o n f o rt r a n s it i v e r a t i o n a l i z a t i o n o f a s o ci a l c h o i c e f u n c t i o n ( A r r o w [2 ]). A l t h o u g h A r r o w[ I ] j u s t i fi e s t h e t r a n s i t i v e r a t i o n a l i z a t i o n c i t i n g t h e d e s i r a b i l i ty o f a p a t h i n d e p e n -d e n t c h o ic e , t h e r e la t i o n b e tw e e n t h e W e a k A x i o m a n d a p a t h i n d e p e n d e n t c h o i cep r o c e d u r e is n o t o b v i o u s . I t is w e l l k n o w n t h a t P I is i m p l i e d b y W A R P , b u t P I d o e sn o t e v e n e n s u r e t h a t a n a l t e r n a t iv e w h i c h i s n e v e r d e f e a t e d i n a n y p a i r w i se c h o i c ew o u l d b e a n e l e m e n t o f t h e c h o i c e se t C ( A ) . T h e q u o t a t i o n s o f A r r o w t h a t w e h a v em e n t i o n e d i n th e i n t r o d u c t i o n c l e a r ly s h o w t h a t h e w a s c e r t a in l y n o t c o n c e r n e d w i t ht h e p a t h i n d e p e n d e n c e o f a c h o i c e p r o c e d u r e a s d e s cr i be d b y P l o t t. T h e m a i n r e a s o nt h a t P I d o e s n o t e n s u r e t h e i n c lu s i o n o f a n a l t e r n a t iv e t h a t is c h o s e n in e v e r yp a i rw i s e c o m p a r i s o n i s th a t , P l o t t ' s c h o i c e p r o c e d u r e is n o t b a s e d o n p a i r w i s ec o m p a r i s o n s . A c l os e o b s e r v a t i o n o f h is c h o ic e p r o c e d u r e s h o w s t h a t o n c ea l t e rn a t i v e s a r e c o l l e c t e d f r o m t h e s m a l l e r s e ts t h e c h o i c e i n th e n e x t r o u n d is n ol o n g e r b i n a r y . L e t u s n o w i n t r o d u c e a n a l t e r n a t i v e c h o i ce p r o c e d u r e .

F o r a l l A ~ X , l e t t2 ( A ) b e t h e s e t o f al l o n e - t o - o n e f u n c t i o n f r o m { 1 , 2 , . . . , IA [} t oA . F o r a n y s o c ia l c h o i ce f u n c ti o n C ( . ) a n d a n y wk ~ (2(A), le t wk T 1 = { W k ( l ) } a n da l so l e t

W k T i + I = U C ( { W k ( i + l ) , a } ) a ~ w k T iI n w o r d s , w k ( 1 ) is th e f i r s t e l e m e n t o f a s e q u e n c e d e t e r m i n e d b y t h e p a t h w k ~ Q ( A ) ;W k T 2 is t h e s e t o f e l e m e n t s c h o s e n f r o m t h e f i r s t t w o e l e m e n t s o f t h e s e q u e n c e ; w k T 3is t h e u n i o n o f t h e s e ts o f e le m e n t s t h a t a r e c h o s e n i n t h e b i n a r y c o m p a r i s o n b e t w e e nt h e t h i r d a l t e r n a t i v e o f t h e s e q u e n c e a n d e a c h o f t h e a l te r n a t iv e s b e l o n g i n g t o t h e s e tW k T2 . I n g e n e r a l , W k T i + l is t h e u n i o n o f th e s e ts o f e l e m e n t s t h a t a r e c h o s e n i n t h eb i n a r y c o m p a r i s o n s b e t w e e n ( i + 1 ) th a l t e rn a t i v e o f t h e s e q u e n c e a n d e a c h o f t h ea l t e r n a t i v e s b e l o n g t o t h e s e t W k T i . T h i s i s m e r e l y a d e s c r i p t i o n o f a c h o i c e .A c c o r d i n g l y , f i n a ll y c h o s e n a l t e rn a t i v e s f r o m a s e t A a r e

w k T I~1 = a Ew ~ kT la l_ 1 C ( { W k ( I A I ) , a } ) .N e x t w e i n t r o d u c e t h e p a t h i n d e p e n d e n c e o f s u c h a p r o c e d u r e . F o r a ll A ~ X a n d

a ll W k~ O ( A ) , a s o c i a l c h o i c e f u n c t i o n C ( . ) s a ti s fi e s t h eA x i o m o f S e q u e n t i a l P a t h I n d e p e n d e n c e ( S P I ) : C ( A ) = W k T LAI.T h i s a x i o m r e q u i r e s t h a t i r r es p e c t iv e o f t h e s e q u e n c e i n w h i c h a l t e r n a t iv e s a r e

c o m p a r e d , t h e s e t o f f i n a ll y c h o s e n a l t e rn a t i v e s b a s e d o n t h e p r o c e d u r e o f s e q u e n ti a lc o m p a r i s o n ( w h e r e a t e a c h s ta g e , s ay ( i + 1 ) th , o n e a d d i t i o n a l a l t e r n a t iv e w k ( i + 1) isc o n s i d e r e d f o r b i n a r y c o m p a r i s o n w i t h e a c h o f t h e a l te r n a t iv e s s u r v i v e d a t th e e n do f t h e i t h r o u n d o f c o m p a r i s o n ) m u s t b e t h e o n l y a l t er n a t iv e s t h a t a r e c h o s e n i f t h ec h o i c e is m a d e f r o m t h e s e t A . B a n d y o p a d h y a y [7 ] h a s s h o w n t h a t t h i s a x i o m i s an e c e s s a r y a n d s u f f ic i e nt c o n d i t i o n f o r t r a n s i ti v e r a t io n a l i z a t i o n o f C ( . ) . W e p r o p o s et o s h o w d i r ec t ly th e e q u i v a le n c e b et w e e n S P I a n d W A R P .T h e o r e m 1 . S P I i s e q u iv a le n t to W A R P .


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214 T . B a ndy opa dhy a y. P r o o f . F i r s t w e s h o w t h a t S P I i m p l ie s W A R P . I f W A R P is v i o l a te d , t h e n t h e r e is a nA 1 6 X s u c h t h a t x ~ C ( A I ) a n d y ~ ( A a - C ( A 1 )) a n d t h e r e e x i s t s s o m e A : 6 X s u c ht h a t y E C ( A 2 ) a n d x 6 A z . G i v e n y E C ( A 2 ) , x E A 2 , b y S P I , w e m u s t h a v ey e C ( { x , y } ) . O n c e a g a i n , g i v e n x 6 C ( A 1 ) a n d y 6 A 1 , b y S P I , x 6 C ( { x , y } ) .T h e r e f o r e , { x, y } = C ( { x , y } ) . C o n s i d e r a s e q u e n c e Wk ~ f 2 (A 1 ) s u c h t h a t w k ([A1 [) = y .S i n c e x 6 C ( A 1 ) , o n e c a n c h e c k t h a t x 6 C ( { x , a } ) f o r a l l a 6 A 1 , t h e r e f o r e ,X ~ W k T I A l l - 1. A g a i n , s i nc e ( x , y } = C ( { x , y}) , x , y ~ w k T IAII . B y S P I , x , y ~ C ( A 1 ).H e n c e a c o n t r a d i c t io n .

N e x t w e s h o w t h a t W A R P i m p li es S P I . F ir s t w e e s ta b li s h th a t wk T IAI _ C ( A ) f o rw k ~ f 2 (A ) . L e t A = { x, y , z} . T o t h e c o n t r a r y f o r s o m e w k E f2 ( . 4 ) , s u p p o s e x ~ w k T lalb u t ~ x 6 C ( A ) . S i n c e C ( A ) + - 0 , t h e r e e x i s ts y ~ A s u c h t h a t y E C ( A ) . B y W A R P( w h i c h i m p l i e s C C A r r o w [ 2 ] ) , y 6 C ( { y , a }) fo r a l l a E A a n d { y } = C ( { x , y } ) . I fz ~ C ( A ) , t h e n b y W A R P , { z} = C ( { x , z } ) . I n t h a t c a s e , t h e r e i s n o W k ~ f 2 ( A ) s u c h t h a tx E W T I a l , a c o n t r a d i c t i o n . T h e r e f o r e , ,,~ z ~ C (A ) . C l e a r l y , { y ) = C ( A ) . B y W A R P ,( y } = C ( { y , z } ). G i v e n { y ) = C ( { x , y } ) a n d ~ y ) = C ( { y , z }) , t he re i s no w k ~ f 2 ( A )s u c h t h a t x ~ w k T lal . H en ce , Wk T IA I ~_ C (A ) f o r a l l W k 6 f 2 ( A ) . N o w w e e s t a b l i s ht h a t C (A ) ~_ Wk T IA t f o r a l l w k ~ f2 (A ) . L e t x ~ C ( { x , a }) . B y W A R P , x ~ C ( { x , a } ) f o ra ll a E A . C l e a r l y , f o r e v e r y W k 6 f 2 (A ) , x 6 w k T IAI. H e n c e , C ( A ) ~ _ W k T la l f o r a l lW k 6 f 2 ( A ) . T h i s c o m p l e t e s t h e p r o o f .

S o w e a r g u e t h a t A r r o w w a s r e a l ly i n t e r e s t e d in p a t h i n d e p e n d e n c e o f as e q u e n t i a l c h o ic e p r o c e d u r e w h e r e c h o i c e is m a d e o n l y o v e r t h e p a ir s . N o wf o l l o w i n g t h e a r g u m e n t o f F e r e j o h n a n d G r e t h e r [1 2] w e p r o p o s e t o f a c t o r i z e t h eA x i o m o f S e q u e n t ia l P a t h I n d e p e n d e n c e in t o t w o c o m p l e m e n t a r y c o n d i ti o n s . F o ra ll A 6 X a n d a l l W k ~ f 2 ( A ) , a s o c i a l c h o i c e f u n c t i o n C ( . ) s a t i s f i e s

U p p e r S e q u e n t i a l P a t h I n d e p e n d e n c e ( U S P I ) : C ( A ) ~_ w k TIAI;L o w e r S e q u e n t i a l P a t h I n d e p e n d e n c e ( L S P I ) : C ( A ) ~_W k T I A I .S i n ce W A R P is e q u i v a l e n t t o S P I , it w o u l d b e i n t e r e s ti n g t o k n o w t h e

r e l a t i o n s h i p b e t w e e n th e v a r i o u s c o n s i s t e n c y c o n d i t i o n s r e l a t e d t o W A R P a n d t h e s et w o c o n d i t i o n s .T h e o r em 2 . U S P I i s e q u i v a le n t t o C C .P r o o f . L e t A 6 X , a p a i r { x , y } ~ _ A a n d a l s o l e t x 6 { x , y } c ~ C ( A ) . C l e a r l y , f o r a n yw k ~ f 2 ( A ) ,

C ( A ) ~ - W k T I A I= U , , r ~ C ( { W k ( [ A [ ) ' a } ) .a ~ w k T -

Sinc e x 6 C ( A ) , t h e n e i t h e r ( 1) X = W k ( i A ] ) o r ( 2 ) X 4 : W k ( [ A ] ) . C o n s i d e r ( 1 ) . W eh a v e t w o p o s s i b i l i t i e s : e i t h e r ( i ) W k T I A I - 1 i s a s ing le ton , o r ( i i ) W k T I A I - 1 c o n t a i n sm o r e t h a n o n e a l t e r n a t i v e . S u p p o s e ( i ) i s t r u e . T h e n W k T I A I = C ( { x , a } ) . Sinc ex 6 C ( A ) , b y U S P I , x ~ C ( { x , a } ) . S u p p o s e ( i i ) i s t r u e . W i t h o u t l o ss o f g e n e r a li t ya n d f o r t h e s a k e o f s i m p l ic i ty , s u p p o s e W k T I A I - I = ( a l , a 2 } , t h e n Wk TIAI= C ( { x , a l } ) u C ( { x , a 2) ) . N o w w e h av e e i th e r ( i ) * x ~ C ( { x , a l ) ) a n d x E C ( { x , a2}),o r ( i i )* x ~ C ( { x , a i} ) an d x C ( { x , a j } ) f o r i4=j. I f ( i ) * h o l d s , t h e n w e a r e d o n e . I f( i i ) * h o l d s , t h e n { a ) = C ( { x , a 2 }) . I n t h a t c a s e c o n s i d e r a s e q u e n c e w k , ~ f 2 (A ) w h o s ef i r s t t w o e l e m e n t s a r e x a n d a j . G i v e n { a2 } = C ( { x , a j ) ), i t is o b v i o u s t h a t x w k, T IAIf o r a n w k, E f 2 ( A ) , w h i c h l e a d s t o a c o n t r a d i c t i o n . T h e r e f o r e , x 6 C ( { x , a i) ) f o r a l la i ~ A .


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Sequent ial Independence and Social Choice 215C o n s i d e r ( 2 ) . C l e a r l y , X E w k T IA [-1 . T h r e a r e t w o p o s s i b i l i t ie s : e i t h e r ( i )

W k T I A I - 1 i s a s i n g l e t o n , o r ( i i ) w k T IAI - i c o n t a i n s m o r e t h a n o n e a l t e r n a t i v e . I f ( i ) i st r u e , t h e n W k r IAI = C ( { w k ( [ A [ ), x } ) . S i n c e x e C ( A ) , t h e r e fo r e , b y p a r t ( i ) o f U S P I ,x e C ( { W k ( M ] ) , x } ) . S u p p o s e ( i i ) i s t r u e . S u p p o s e , W k T l a l - 1 = { X, a l , . . . , a , } , t h e n

S i n c e W k ( I A I ) + x ,, , , x ~ U C ( { W k ( lX [ ) , a i } ) .ai~w kT al-1ai4=x

O n c e a g a i n , s i n c e x ~ C ( A ) , b y U S P I , x ~ C ( { W k ( [ A J ) , x } ) .N e x t w e s h o w t h a t C C i m p l i e s U S P I . T o t h e c o n t r a r y s u p p o s e n o t . S u p p o s e

x e C ( A ) b u t f o r s o m e W k e f 2 ( A ) , X q ~ W kTla l . T h e r e a r e t w o p o s s i b i l i t i e s : ( 1 )W k ( l A l ) = x ; a n d ( 2 ) w K I A I ) + x . S u p p o s e ( 1) i s t r u e . T h e n

W k ( lA L ) = a ~ w ~ ' A '- I C ( { x , a } ) .G i v e n x e C ( A ) , b y C C , x s C ( { x , a } ) f o r a l l a a A . H e n c e , X E W k T [ A I , a c o n t r a -d i c t i o n .

S u p p o s e ( 2) h o l d s . W i t h o u t l o ss o f g e n e r a l i ty s u p p o s e , W k ( i + 1 ) = X . T h e nw g T i + l = ~ C ( { x , a } ) .aEwkT

G i v e n x ~ C ( A ) , b y C C , x e C ( { x , a } ) f o r a l l a e A . T h u s , x e w k T i + . F o r i = IA I - Jl,t h e c o n t r a d i c t i o n i s i m m e d i a t e . F o r i + I A I - 1, w e g e t ,w k T i + 2 = ~J C ( { w k ( i + 2 ) , a } ) aCWkZ +l

S i n c e X e W k T i + l , g i v e n x ~ C ( A ) , b y C C , x e C ( { W k ( i + 2 ) , x } ) . T h e r e f o r ex ~ w k T ~+ 2. S i n c e A is f i n it e , r e p e a t i n g t h e p r o c e d u r e , x e w , T Ia l, a c o n t r a d i c t i o n .T h i s c o m p l e t e s t h e p r o o f .T h e o r e m 3 . S D i m p l ie s L S P I b u t t h e c o n v e r se i s n o t t r ue .P r o o f . F i r s t w e s h o w t h a t S D i m p l i es L S P I . L e t A = { x , y , z } . T o t h e c o n t r a r ys u p p o s e n o t . T h e n f o r s o m e w k e f2 (A ) , x e w k T Ia[ a n d x q~ C ( A ) . S i n c e C ( A ) 4: 0 ,t h e r e e x i s t s y e a s u c h t h a t y a C ( A ) . B y S D , w e m u s t h a v e { y } = C ( { x , y } ) ;o t h e r w i s e , f o r x e C ( { x , y } ) a n d y e C ( A ) , b y S D , x e C ( A ) , a c o n t r a d i c t i o n .S i n c e { y } = C ( { x , y } ) a n d X ~ w k T I A ! , W k ( IA I ) 4 = y . T h e n o n l y p o s s i b i l i ty r e m a i n :( i ) W k ( 1 ) = y , W k ( 2 ) = Z , W k ( 3 ) = X , o r ( i i ) W k ( I ) = Z , W k ( 2 ) = y , W k ( 3 ) = X . I n e i t h e rc a se , w e m u s t h a v e z ~ C ( { y , z } ) a n d x ~ C ( { x , z } ). G i v e n z ~ C ( { y , z } ) a n d y ~ C ( A ) ,b y S D , z ~ C ( A ) ; a n d i n t h a t c a s e f o r x s C ( { x , z } ) , b y S D , x ~ C ( A ) , a c o n -t r a d i c t i o n . 9

T h e f o l lo w i n g e x a m p l e s h o w s t h a t t h e c o n v e r s e i s n o t t r u e .9 Interes ted readers can check th at the resul t is t rue for an y f in i te set A ~ X. As the num ber ofe lem ents inA increases, one has to tak e care o f larger num ber o f sequences ; o therwise, the meth od of pr oo f wil lremain intact.


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216 T. BandyopadhyayE x a m p l e 1 . L e t C ( . ) b e a s o c i a l c h o i c e f u n c t i o n . L e t A = { x , y , z ] ,

C ( { x , y } ) = { z } ,C ( { y , z } ) = { y } ,C ( { x , z } ) = { x }

a n dC ( { x , y , z } ) = { x , z }

C l e a r l y , L S P I i s s a t i s f i e d a n d S D i s v i o l a t e d .F o l l o w i n g e x a m p l e s s h o w t h a t L S P I a n d N D a r e t w o i n d e p e n d e n t c o n d i t i o n s .

E x a m p l e 2 . L e t C ( . ) b e a s o c i a l c h o i c e f u n c t i o n . L e t A = { x , y , z } ,C ( { x , y } ) = { x } ,C ( { y , z } ) = { y , z } ,C ( { x , z } ) = { z }

a n dC ( { x , y , z } ) = { y l z } .

C l e a r l y N D i s s a t i s fi e d . H o w e v e r , f o r W k(1 = y , W k (2 = Z , W k (3 =X , X e Wk T3. B yL S P I , x e C ( { x , y , z } ) , w h i c h i s a c o n t r a d i c t i o n .E x a m p l e 3 . L e t C ( . ) b e a s o c i a l c h o i c e f u n c t i o n . L e t A = { x , y , z } .

C ( { x , y } ) = { x , y } ,C ( { y , ~ } ) = { z } ,C ( { x , z } ) = { ~ }

a n dC ( { x , y , z } ) = { x , z }

T h e v i o l a t i o n o f N D i s o b v i o u s . I t i s l e ft t o t h e r e a d er t o c h e c k t h a t f o r a n y% e O ( { x , y , z } ) , { z } = w k T 3 a n d , t h e r e f o r e , L S P I i s s a t i s f i e d .

E x a m p l e I a n d th e f o l lo w i n g e x a m p l e s h o w t h at W D a n d L S P I a r e b o t hi n d e p e n d e n t c o n d i t io n s .E x a m p l e 4 . L e t C ( - ) b e a s o c i a l c h o i c e f u n c t i o n . L e t A = { x , y , z } ,

C ( { x , y } ) = { x } ,C ( { y , z } ) = { ~ } ,C ( { x , z ) ) = { x , z }

a n dC ( { x , y , z } ) = { x } .


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S e q u e n t ia l I n d e p e n d e n c e a n d S o c ia l C h o i c e 21 7C l ea r l y , W D i s s a t i s f i ed . H o w ev e r , f o r W k ( 1 ) = y , W k ( 2 ) = Z a n d W k ( 3 ) = X , W k T 3= { X , Z } . B y L S P I , z ~ C ( { x , y , z } ) , w h i c h i s a c o n t r a d i c t i o n .

S i n ce C C i s eq u i v a l en t t o U P I ( P a r k [ 14 ]), b y T h e o r em 2 , U P I i s eq u i v a l en t t oU S P I . N o w t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n L S P I a n d L P I i s s t a t e d b e l o w .T h e o r e m 4 . L S P I i m p l ie s L P I , b u t t h e co n v e r se i s n o t t r ue .P r o o f F i r s t w e s h o w t h a t i f C ( . ) s a ti sf ie s L S P I , t h e n f o r a n y A t, A 6 X , ~ A t = A ,there ex i s t s w k ~ f 2 ( A ) s u c h t h a t t

the contrary uppo e n o t Suppose and~ xi ~ a~w~,A~_1 C ( { W k ( I A I ) , a}) .

T h en t h e r e a r e t h r ee p o s s i b i l i t i e s .( 1 ) W k ( I A ] ) # X i , ~ X i E W k T I A I - 1 ,(2 ) W k ( l A l ) # : x i , X i ~ W k Z [ a l- 1 , a n d( 3 ) wk(IAI)=xi,Cons ider (1 ) . S ince wk(IAI)*x i . T h e n w i t h o u t l o s s o f g e n e r a li t y , s u pp o s e

W k(IAI) = x~ (X j # x~). Sinc e x i Wk Z IAI- 1, t h e r e f o r e , a t s o m e p o i n t i n t h e s eq u en ce o fp a i r w i s e c o m p ar i s o n s x~ i s re j ec t ed w h i l e a t t h e s am e t i m e x g ~ A is ch o s en ; i . e .,{x0} = C ( { x i , x o } ) ~ W k Z t - t , t = 2 . . . . IAI. Ho we ver , g iven {xg} = C({x , , xg}),

~ x , ~ C ( C { x , , x g } ) u ( VC ( A " ) )w h e r e U A t = ( A - { x g , x~}) , a con t r ad i c t i on .t"C o n s i d e r ( 2 ) . F o l l o w i n g t h e a r g u m en t a s i n c a s e ( 1 ) , f i r s t co n s i d e rW k ( I A l ) = x j . Since X i ~ W k T I a l - 1 , t h e r e f o r e w e m u s t h a v e C ( { X ~ , X j } ) ~ _ W k T I A I .S i n ce b y s u p p o s i t i o n , ~ x , ~ w k T la l , t here fo r e , C ( { x , , x j } ) = {x~} . H ow eve r , g iven{ x } = C ( { x , , } ) ,

~ x , ~ C ( C ( { x ,,x j } ) ) ( U C ( A " ) )w h e r e ~ A C = ( A - { xi, x j }) , a c o n t r a d i c t i o n .t 'Cons ider (3 ) . S ince ~ x i E C ( {W k ( ]A I ), a } ) , t h e r e f o r e , f o r s o m e x j E A w e m u s th a v e C ( { x l , x)}) = {x j} . In t ha t case ,

~ x , ~ C ( { x ,, j } ) ~ ( ~ c ( A ~ ' ) )w h er e U A " = ( A - { xi, x j } ), a co n t r a d i c t i o n .t '


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218 T. Bandy opadhyay

N e x t b y u t i l i z in g t h e L S P I i t i s i m m e d i a t e t h a t C ( U C ( A ) _ C ( A , , a n d h e n c eL P I . T h e f o l l o w i n g e x a m p l e c o m p l e t e s th e p r o o f .Ex am pl e 5 . L e t C ( . ) b e a s o c i a l c h o i c e f u n c t i o n . L e t A = { x , y , z },

{ x } = C ( ( x , y } ) ,{ y } = C ( { y , ~ } ) ,( x , z } = C ( ( x , z } )

a n dC ( ( x , y , z } ) = { x , z } .

C l e a r l y , t h e l o w e r p a t h i n d e p e n d e n c e c o n d i t i o n is s a ti s fi e d. T o s h o w t h a t t h e l o w e rs e q u e n t i a l p a t h i n d e p e n d e n c e c o n d i t i o n is v i o l a t e d , c o n s i d e r a s e q u e n c e w k ~ g2(A )s u c h t h a t W k(1 = X , W k (2 = Z a n d W k (3 = y . G i v e n t h e s e q u e n c e wk, w e m u s t h a v eWk T2 = C( {x , z } ) , w h i c h i n t u r n g i v e s

w k r 3 = C ( { y , x } ) ~ C ( { y , z }) = { x , y } .B y L SP I , {x , y} ___C ( A ) , w he re A = {x , y , z} .T h e f o l l o w i n g s c h e m e s h o w s t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e v a r i o u s c o n s i s t e n c y

c o n d i t i o n s :

F e r e j o h n a n d G r e t h e r [12 ] a r g u e d t h a t A r r o w w a s a c t u a l ly i nt e r e st e d ino b t a i n i n g a s a t i s f a c t o r y c h o i c e m e c h a n i s m , i n t h e s e ns e th a t t h e f i n a l o u t c o m e o f ac h o i c e p r o c e d u r e m u s t b e c o n t a i n e d i n C ( A ) , i r r e sp e c t i v e o f th e s e q u e n c e i n w h i c ha l t e r n a t i v e s a r e c o m p a r e d o v e r t h e p a i r s . F o l l o w i n g t h e m , w e p r o p o s e t oc h a r a c t e r i z e th e P a r e t i a n s o c i a l c h o ic e f u n c t i o n t h a t s a t is fi e s L S P I . N o t e , L S P Ie n s u r e s t h e i n c l u s i o n o f a n e l e m e n t i n t h e c h o i c e s e t w h i c h is c h o s e n i n e v e r y p a i r w i s ec o m p a r i s o n .T h e o r e m 5 . For IXI > 3 every soc ia l choice func t ion which sa t i s fi e s PO and L S P I isdictatorial.P r o o f L e t A = { x, y , z } . F i r s t w e s h o w t h a t g i v e n P O a n d L S P I , a s o c i al c h o i c ef u n c t i o n C ( . ) g e n e r a t e s P a r e t o t r a n s i t iv i t y : f o r a l l s e S a n d a l l x , y , z E X ,[xR y & yPLZ--+xPz], a n d [ x P L Y & y R z ~ x P z ] , w h e r e X P L y d e n o t e s x P i y f o r a l l i ~ La n d y P L z d e n o t e s y P i z f o r a l l i s L . S u p p o s e n o t . W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y s u p p o s ex R y & y P L Z - . zR x . T h e n , w e c l a i m , w e m u s t h a v e C ( A ) = { x ,y , z} . I f n o t , t h e n i t


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S e q u e n t i a l I n d e p e n d e n c e a n d S o c i a l C h o i c e 2 1 9

l e a d s t o a c o n t r a d i c t i o n . S u p p o s e z C ( A ) . C o n s i d e r a n W k ~ f 2 ( A ) s u c h t h a tw k ( 1 ) = x , w k ( 2 ) = y a n d W k ( 3) = Z . C l e a r l y , { x } = w k r 2 a n d Z~Wk r3 . B y L S P I ,z E C ( A ) . T h u s i f z R X , t h e n C ( A ) = { x, y , z } . 1 S in c e o n e o f t h e a l t e r n a t i v e s i n A i sP a r e t o d o m i n a t e d b y a n o t h e r a l te r n a t iv e in A , C ( A ) = A w h i c h c o n t r a d i c ts P O . T h er es t o f t he p r o o f f ol lo w s f r o m L e m m a 1 a n d T h e o r e m 1 o f B a n d y o p a d h y a y [5].C o r o l l a r y . ( B a n d y o p a d h y a y [ 5 ] ) . F or I X I > 3 every social choice funct ion whichsat is f ies PO and SD is dic tator ial .

A t t h is p o i n t , w e s h o u l d m a k e s o m e r e m a r k s . F i r s t, t h is d i c t a t o r i a l r e s u lt c a n b eg e n e r al iz e d f u r th e r . W e h a v e a s s u m e d w e a k P a r e t o o p t i m a l i ty w h i c h r e q u ir e s t h a te v e r y P a r e t o i n o p t i m a l a l t e r n a t iv e , i . e. , e v e r y a l t e r n a t iv e r e j e c t e d u n a n i m o u s l y i n ap a i r w i s e c h o i c e , m u s t b e e x c l u d e d f r o m t h e c h o i c e s e t C ( A ) . H o w e v e r , t h e r e su l th o l d s i f o n e s i m p l y r e q u i r e s t h a t a t l e a s t o n e P a r e t o i n o p t i m a l a l t e r n a t i v e m u s t b ee x c l u d e d f r o m t h e c h o i c e s et C ( A ) . I n f a c t , i f o n e a s s u m e s t h e w e a k P a r e t o p r i n c i p le ,a p a i r w i s e v e r s i o n o f t h e w e a k P a r e t o o p t i m a l i t y c o n d i t i o n , t h e r e s u l t w i ll r e m a i nv a l id i f w e r e q u i r e t h a t i n t h e p r e s e n c e o f a n u n a n i m o u s l y r e j e c t e d a l t e r n a t iv e i n ap a i r w i s e c h o i c e , s o m e a l t e r n a t i v e m u s t b e e x c l u d e d f r o m t h e c h o i c e s e t C ( A ) .C l e a r l y , t h is r e q u i r e m e n t o f P a r e t i a n r e s o l u t e n e s s t o g e t h e r w i t h t h e w e a k P a r e t op r i n c ip l e d o n o t i m p l y t h e w e a k P a r e t o o p t i m a l i t y c o n d i t i o n . S e c o n d , w e h a v ea s s u m e d t h a t IX [ > 3 . T h e r e s u l t h o l d s f o r [X [ > 2 , i f o n e s t r e n g t h e n , t h e r e q u i r e m e n to f P a r e t i a n r e s o l u t e n e s s b y s a y i n g t h a t w h e n e v e r in a p a i rw i s e c o n t e s t s o c i e t y c a ne x c l u d e o n e a l t e r n a t iv e , i t w i ll n o t e n d u p i n c h o o s i n g e v e r y t h i n g w h e n c o n f r o n t e dw i t h a n a g e n d a o r is s ue i n v o l v in g t h r e e o r m o r e a l t e r n a t i v e s . I n o t h e r w o r d s , i f as o c i e t y is d e c is iv e in a p a i r w i s e c o n t e s t , i t m u s t b e m i n i m a l l y r e s o l u t e . O n e c a n c h e c kt h a t t h e r e q u i r e m e n t o f m i n i m u m r e s o l u t e n e s s is a n e c e s s a r y a n d s u f f ic i e n tc o n d i t i o n f o r t h e e x i s te n c e o f a d i c t a t o r i f a so c i a l c h o i c e f u n c t i o n s a t is f y t h e w e a kP a r e t o p r i n c i p l e a n d L S P I .

T h e s i g n if i c a n ce o f o u r r e s u l t is t h a t w h e n o n l y a p a r t o f a p a t h i n d e p e n d e n tc o n d i t i o n t h a t g u a r a n t e e s t r a n s i t i v e r a t i o n a l i z a t i o n i s r e q u i r e d t o b e s a t i sf i ed w e e n du p w i t h a n e x t r e m e l y a s y m m e t r i c p o w e r s t r u c t u r e . I n o t h e r w o r d s , t h e e x i s t e n c e o f ad i c t a t o r s h i p c a n b e e s ta b l i s h e d w i t h o u t i n v o k i n g t h e f u ll p a t h i n d e p e n d e n c e o f as e q u e n t i a l c h o i c e p r o c e d u r e .

N e x t , f o l lo w i n g B a n d y o p a d h y a y [6], L S P I c a n p o s s i b ly b e w e a k e n e d i n t o t h ec o n d i t i o n s t a t e d b e l o w .F o r a l l A e X a n d a ll W k e f ~ ( A ) , a s o c i a l c h o ic e f u n c t i o n C ( . ) s a ti sf ie s t h eM i n i m um Se que n t i a l P a t h I nde pe nde nc e Cond i t i on ( M S P I ) : C ( A ) n W k T IA I ~ 0 .

M S P I e n s u r e s t h a t o n e o f th e b e s t a l t e r n a ti v e s w il l b e c h o s e n i n d e p e n d e n t l y o fp a t h . T h i s is e x a c t l y w h a t S e n p o i n t e d o u t a s a d e s i r a b le c o n s e q u e n c e o f tr a n s i t iv er a t i o n a l i z a t i o n ( [ 1 9 , p 4 8 ] ). F i n a l l y , t h is is p r e c i s e l y t h e f u n d a m e n t a l r a t i o n a l e f o ri n t r o d u c i n g th e l o w e r p a t h i n d e p e n d e n c e c o n d i t i o n as p u t f o r w a r d b y F e r e j o h n a n dG r e t h e r ( [ 12 , p 21 ]). W e a r g u e t h a t t h i s i s t h e m i n i m u m t h a t o n e c a n a s k i n m a k i n g ar e l a t io n b e t w e e n t h e o u t c o m e o f a c h o ic e p r o c e d u r e a n d t h e c h o ic e s et. P e r h a p s a10 I n f a c t , f o r a n y f i n i t e s e t A ~ X w h e n e v e r t h e r e e x i s t s a c y c l e o f t h e r e l a t i o n R i n v o l v i n g a l l e l e-m e n t s o f A t h e n L S P I r e q u i r e s t h a t t h e c h o i c e se t C(A) c o n t a i n s a l l e l e m e n t s o f t h e s e t A , i . e .,f o r A = { x l , x 2 . . . . x , } i f t h e r e e x i s t s x lRx 2 &x2Rx a &. . . &x ,_l Rx &xnRxl , t h e n L S P I e n s u r e sC(A) =A.


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220 T. Bandyopadh yayp o s s i b i l it y r e s u lt w i t h M S P I w o u l d n o t b e s u f fi c ie n t l y re a s s u r in g . T h e q u e s t i o nr e m a i n s , d o e s t h e r e e x i s t a m a j o r i t y d e c i s i o n r u l e w h i c h s a t i s f i e s b o t h P a r e t oo p t i m a l i t y a n d M S P I ?T h e o r e m 6 . F o r [X] > 3 e v e r y s o c i a l c h o i ce f u n c t i o n w h i ch s a t is f ie s P O a n d M S P I g i v e ss o m e o n e q u a s i -d e c is i ve p o w e r o v e r a t l e a s t ( [ X [ - N + 1) ( I X [ - 1 ) p a ir s .P r o o f L e t A = { x 1 , x 2 . . . . , x , } . F i r s t w e s h o w t h a t w h e n e v e r t h e r e i s a c y c l e o f P -r e l a t i o n , x l P x 2 & x 2 P x 3 . . . & x , _ l P x . & x , P x 1 , C ( A ) = A . W i t h o u t l o s s o f g e n er -a l i t y , s u p p o s e x l q ~ C ( A ) . C o n s i d e r a s e q u e n c e w k ~ f 2 ( A ) s u c h t h a t w k ( i ) = x ~ ,i = n , n - l , n - 2 . . . . . 3 , 2 , 1 . C l e a r ly , { X l } = W k T IA I. B y M S P I , x l 6 C ( A ) , a c o n -t r a d i c t i o n .

B l a ir a n d P o l l a k [9 ] h a v e s h o w n t h a t f o r [X [ > N , i f C ( . ) s a t is f ie s W P t h e n e i th e rt h e r e is a c y c l e o f th e P r e l a t i o n o r t h e r e e x is t s a n i n d i v i d u a l w h o i s q u a s i d e c i s i v eo v e r a t l e a s t ( [ X [ - N + I ) ( [ X [ - I ) p a i r s o f a l te r n a t iv e s . T h e c y c l e t h e y h a v ec o n s t r u c t e d c o n t a i n s a P a r e t o - d o m i n a t e d a l te r n a ti v e. W e h a v e s h o w n i n t h a t c a s et h e c h o i c e s e t C ( A ) c o n t a i n s a l l t h e e l e m e n t s i n v o l v e d i n t h e c y c l e; t h i s c o n t r a d i c t sP O . O n c e a g a i n , t h i s r e s u lt c a n b e g e n e r a l iz e d f u r t h e r f o l l o w i n g t h e w a y w e h a v es u g g e s t ed t o g e n e r a li ze T h e o r e m 5 .

R e f e r e n c e s1 . A r r ow KJ ( 195 1) S o c ia l c ho ic e a n d ind iv idua l va lue s , 1 s t e dn . Wi le y , Ne w Yor k2 . A r r o w K J ( 19 5 9) R a t i o n a l c h o ic e f u n c t i o n s a n d o r d e r in g s . E c o n o m i c a 2 6 : 1 2 1 - 1 2 73 . B a n d y o p a d h y a y T ( 19 83 ) O n a P a r e t o o p t i m a l a n d r a t i o n a l c ho i c e. E c o n J [ S u p p l] 9 3 : 1 1 4 - 1 2 14 . B a n d y o p a d h y a y T ( 1 9 84 ) O n t h e f r o n t i e r b e t w e e n p o s s i b i li t y a n d i m p o s s i b il i ty t h e o r e m s i n s o c ia l

c h o i c e . J E c o n T h e o r y 3 2 : 5 2 - 6 65 . B a n d y o p a d h y a y T (1 9 85 ) P a r e t o o p t i m a l i t y a n d t h e d e c is i ve p o w e r s t r u c t u r e w i t h e x p a n s i o n

c o n s i s te n c y c o n d i t i o n s . J E c o n T h e o r y 3 5 : 3 6 6 - 3 7 86 . B a n d y o p a d h y a y T ( 19 86 ) R a t i o n a l i ty , p a t h i n d e p e n d e n c e a n d t h e p o w e r s t r u c tu r e . J E c o n T h e o r y

40 : 338 - 34 87 . B a n d y o p a d h y a y T ( 19 8 8) R e v e a l e d p r e f e re n c e th e o r y , o r d e r i n g a n d t h e a x i o m o f s e q u e n t i a l p a t h

i n d e p e n d e n c e . R e v E c o n S t u d i e s 5 5 : 3 4 3 - 3 5 18 . B la i r DH , B or de s G , Ke l ly JS , S uz um ur a K ( 1976) I m po ss ib i l i t y t he o r e m s wi t hou t c o l l e c tive

r a t i o n a l i t y . J E c o n T h e o r y 1 3 : 3 6 1 - 3 7 99 . B la i r DH , P o l l a k R A ( 1982) Ac yc li c c o l l e ct ive c ho ic e r u l e s. Ec on om e t r i c a 50 :9 31- 943

10 . B or de s G ( 1976) C on s i s t e nc y , r a t i on a l i t y a nd c o l l ec t ive c ho ic e. R e v . Ec on S tud ie s 43 :4 51 - 45 71 1. C h e r n o f f H ( 19 54 ) R a t i o n a l s e l e c t io n s o f d e c i si o n fu n c t i o n s . E c o n o m e t r i c a 2 2 : 4 2 3 - 4 4 31 2. F e r e j o h n J A , G r e t h e r D M ( 19 77 ) W e a k p a t h i n d e p e n d e n c e . J E c o n T h e o r y 1 4 : 1 9 - 3 113 . He r z b e r ge r H ( 1973) Or d ina l p r e f e r e nc e a nd r a t io na l c ho ic e. Ec o nom e t r i c a 41 : 187 - 23714 . P a r k R P ( 1974) R a t ion a l i z a t ion , e x t e ns ion a nd soc i a l c ho ic e pa th . P h D D is se r t a t ion , P e r due

U n i v e r s i t y15 . P lo t t C R ( 1973) P a th ind e pe nd e nc e , r a t i ona l i t y a nd soc i a l c ho ic e. Ec o nom e t r i c a 41 : 1075- 109116 . R ic he l son J (1978) S om e f u r th e r r e su l t s on c on s i s t e nc y , r a t i on a l i t y a nd c o l l e c t ive c ho ic e . R e v Ec on

S tud ie s 45 : 343 - 3 461 7. S c h w a r t z T (1 9 72 ) R a t i o n a l i t y a n d t h e m y t h o f t h e m a x i m u m . N o u s 7 : 9 7 - 1 1 718 . S e n A K ( 1969) Q ua s i - t r a ns i t i v i ty , r a t i o na l c ho ic e , a nd c o l l e ct ive de c i s ions . R e v Ec o n S tud ie s

3 6 : 3 8 1 - 3 9 319 . S e n A K ( 1970) C o l l e c t ive c ho ic e a nd soc i a l we l f a re . Ho lde n - D a y , S a n F r a n c i sc o2 0 . S e n A K ( 19 77 ) S o c ia l c h o i c e t h e o r y : a r e -e x a m i n a t i o n . E c o n o m e t r i c a 4 5 : 5 3 - 8 72 1. S e n A K ( 1 9 81 ) S o c i al c h o i c e t h e o r y . I n : H a n d b o o k o f m a t h e m a t i c a l e c o n o m i c s . A r r o w K J ,

I n t r i l i g a t o r M ( e d s ) N o r t h - H o l l a n d , A m s t e r d a m

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