bài tập trường điện từ

8/6/2019 bài tập trường điện từ

http://slidepdf.com/reader/full/bai-tap-truong-dien-tu 1/51

áápp áánn QQuuiizz--11 ((nnggààyy 1111//1100//22000099))

Bài 1a: trong h ta D cho hàm: U=x+y+z hãy biu din hàm này trong h ta tr?

Ans: cos sinU r r zφ φ φ φ φ φ φ φ = + += + += + += + + (2 im )

Bài 1b: trong h ta D cho hàm: U=x+y+z hãy biu din hàm này trong h ta cu?

Ans: (sin cos sin sin cos )U r θ φ θ φ θ θ φ θ φ θ θ φ θ φ θ θ φ θ φ θ = + += + += + += + + (2 im )

Bài 2a: trong h ta cu cho : 10sin A iθ θθ θ θ θθ θ ====

; tính rot A

?

Ans:

2 2

sin

1 1 (10 sin ). . . sin

sin sin

0 .10sin 0

ri ri r i

r rot A r i

r r r r

r

θ φ θ φ θ φ θ φ

φ φφ φ

θ θθ θ

θ θθ θ θ θθ θ

θ θ φ θ θ θ φ θ θ θ φ θ θ θ φ θ

θ θθ θ

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂= == == == =

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

10sin rot A i

rφ φφ φ

θ θθ θ ⇒⇒⇒⇒ ====

(2 im )

Bài 2b: trong h ta tr cho :2

sin 2 cos 2 r z A r i r i z iφ φφ φ φ φ φ φ φ φ φ φ = + += + += + += + +

; tính divA

?

Ans:

(((( )))) (((( )))) (((( ))))2.2. sin 2 cos1

. 4 r z r r r

div A z r r z

φ φ φ φ φ φ φ φ

φ φφ φ

∂∂∂∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂ = + + == + + == + + == + + =

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

(2 im )

Bài 3a: trong h ta cu cho phân b in tích như sau:2

310 ( 1)( / )

0 ( 1)

r rC m

r ρ ρρ ρ

<<<<====

>>>>

21( 2) ( / )

2 r C mσ σσ σ = = −= = −= = −= = −

Các phân b này sinh ra trưng in có vectơ cm ng in:

1

22

3

D ( 1 )

D ( 1 2 ) ( / )

D ( 2 )

r

D r C m

r

<<<<

= < <= < <= < <= < <

>>>>

a. Xác nhS

dS∫ ∫∫ ∫

, vi S là mt cu tâm trùng gc ta bán kính r trong các

trưng hp sau: r=0.5; r=1.5 và r=2.5? Vi dS

hưng ra.

b. Tính divD

ti các im liên tc trong không gian?



c. Xác nh phương trình quan h gia : 1

vi 2 D

ti r=1; và 2 D

vi 3

ti

r=2?

Ans:

a. Áp dng nh lut Gauss v in dng tích phân :S

dS q====∫ ∫∫ ∫

- r=0.5:0.5 2

2 21

0 0 010 sin 0, 25 ( )

S S dS D dS r r drd d C

π π π π π π π π

θ θ φ π θ θ φ π θ θ φ π θ θ φ π = = == = == = == = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(0.5 im )

- r=1.5:1 2

2 22

0 0 010 sin 8 ( )

S S dS D dS r r drd d C


θ θ φ π θ θ φ π θ θ φ π θ θ φ π = = == = == = == = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(1 im )

- r=2.5:2

30 0

8 ( 1/ 2).4sin 0 ( )S S

dS D dS d d C π π π π π π π π

π θ θ φ π θ θ φ π θ θ φ π θ θ φ = = + − == = + − == = + − == = + − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(1 im )

b. Áp dng phương trình 3 trong h phương trình Maxwell: divD ρ ρρ ρ ====

- r<1: 2 31 10 ( / ) div D div D r C m= == == == =

(0.5 im )

- 1<r<2: 2 0 divD divD= == == == =

(0.5 im )

- 1<r<2: 3 0 divD divD= == == == =

(0.5 im )

c. Áp dng iu kin biên cho trưng in ti các biên:

- Chn : r n i====

- 2 1

2 1

2 1

.[ ( 1) ( 1)] 0

( 1) ( 1)0

r

r

i D r D r

D r D ri

ε ε ε ε ε ε ε ε

= − = == − = == − = == − = =

= == == == =× − =× − =× − =× − =

(1 im )

- 3 2

3 2

3 2

.[ ( 2) ( 2)] 1 / 2

( 2) ( 2)0

r

r

i D r D r

D r D ri

ε ε ε ε ε ε ε ε

= − = = −= − = = −= − = = −= − = = −

= == == == =× − =× − =× − =× − =

(1 im )

Bài 3b. Trong h ta tr cho phân b dòng in như sau:

z 29 ( 1)( / )

0 ( 1)

r i r A m

r

<<<<====

>>>>

3( 2 ) ( / )

2S z r i A m= = −= = −= = −= = −

Các phân b này sinh ra trưng t không bin thiên theo thi gian có vectơ cưng trưng t:

1

2

3

H ( 1 )

H ( 1 2 ) ( / )

H ( 2 )

r

H r A m

r

<<<<

= < <= < <= < <= < <

>>>>



a. Xác nhC

H d ∫ ∫∫ ∫

, vi C là ưng tròn nm trong mp ⊥ trc z, tâm trên trc

z, bán kính r : r=0.5; r=1.5; và r=2.5? Bit chiu ly tích phân theo chiudương.

b. Tính rot H

ti các im liên tc trong không gian?

c. Xác nh phương trình quan h gia : 1 H

vi 2 H

ti r=1; và 2 H

vi3 H

ti r=2?

Ans:

a. Áp dng nh lut Ampère dng tích phân:C

H d I ====∫ ∫∫ ∫

- r=0.5:0.5 2

10 0

9 . 0,75 ( )C C

H d H d r rdrd Aπ ππ π

φ π φ π φ π φ π = = == = == = == = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(0.5 im )

- r=1.5:1 2

20 0

9 . 6 ( )C C

H d H d r rdrd Aπ ππ π

φ π φ π φ π φ π = = == = == = == = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(1 im )

- r=2.5:

2

3 06 ( 3 / 2)2 0C C H d H d d

π ππ π

π φ π φ π φ π φ = = + − == = + − == = + − == = + − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(1 im )b. Áp dng phương trình 1 trong h phương trình Maxwell:

- D

rot H J J t

∂∂∂∂= + == + == + == + =

∂∂∂∂

do trưng không bin thiên theo t

- r<1: 21 9 ( / ) z rot H rot H r i A m= == == == =

(0.5 im )

- 1<r<2: 2 0 rot H rot H = == == == =

(0.5 im )

- r>2: 3 0 rot H rot H = == == == =

(0.5 im )

c. Áp dng các iu kin biên cho trưng t; chn : r n i

====

ta có:

-2 12 1

2 1

.[ ( 1) ( 1)] 0

( 1) ( 1) 0

r

r

i H r H r

i H r H r

µ µ µ µ µ µ µ µ = − = == − = == − = == − = =

× = − = =× = − = =× = − = =× = − = =

(1 im )

-3 23 2

3 2

.[ ( 2) ( 2)] 0

3( 2) ( 2) ( / )

2

r

r z

i H r H r

i H r H r i A m

µ µ µ µ µ µ µ µ = − = == − = == − = == − = =

× = − = = −× = − = = −× = − = = −× = − = = −

(1 im )

-------------Ht----------------



ððáápp áánn QQuuiizz--22 ((nnggààyy 2255--1100--22000099))

Gii:- Mt ñ ñin tích khi: trong min thuc môi trưng dn có ρ=0, trong

môi trưng không khí có ε=ε0=const nên áp dng phương trình Poissoncho ta:

0 ρ ε ϕ ρ ε ϕ ρ ε ϕ ρ ε ϕ = − ∆= − ∆= − ∆= − ∆ , tính ϕ ϕϕ ϕ ∆∆∆∆ trong 2 min a<r<2a và r>3a ñu bng 0.

Vy: 0 ρ ρρ ρ ==== trong tt c các min (2 ñim)

- Mt ñ ñin tích mt: áp dng ñiu kin biên. Chn r n i====

suy ra:

n r

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂====∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂

và trong môi trưng dn do constϕ ϕϕ ϕ ==== nên 0 n

ϕ ϕϕ ϕ ∂∂∂∂ ====∂∂∂∂

. Ta có:

• 20 0 0

0

(2 / ) 2( ) ( / )

r a

aU r U r a C m

r a

ε εε ε σ ε σ ε σ ε σ ε

====

∂∂∂∂= = − == = − == = − == = − =

∂∂∂∂(1 ñim)

• 20 0 0

0

2

(2 / )( 2 ) ( / )

2 r a

aU r U r a C m

r a


====

∂∂∂∂= = = −= = = −= = = −= = = −

∂∂∂∂(1 ñim)

• 20 0 0

0

3

(3 / )( 3 ) ( / )

3 r a

aU r U r a C m

r a


====

∂∂∂∂= = − == = − == = − == = − =

∂∂∂∂(1 ñim)

Gii:

- Mt ñ ñin tích khi: trong min thuc môi trưng dn có ρ=0, trongmôi trưng không khí có ε=ε0=const nên áp dng phương trình Poissoncho ta:

0 ρ ε ϕ ρ ε ϕ ρ ε ϕ ρ ε ϕ = − ∆= − ∆= − ∆= − ∆ , tính ϕ ϕϕ ϕ ∆∆∆∆ trong 2 min a<r<2a, 3a<r<6a rvà r>6a ñu

bng 0. Vy: 0 ρ ρρ ρ ==== trong tt c các min (2 ñim)

- Mt ñ ñin tích mt: áp dng ñiu kin biên. Chn r n i====

suy ra:

n r

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂====

∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂và trong môi trưng dn do constϕ ϕϕ ϕ ==== nên 0

n

ϕ ϕϕ ϕ ∂∂∂∂====

∂∂∂∂. Ta có:



• 20 0 0 0

0

[( / ln 2). ln( / ) 2 ]( ) ( / )

ln 2 r a

U a r U U r a C m

r a


====

∂ +∂ +∂ +∂ += = − == = − == = − == = − =

∂∂∂∂(1 ñim)

• 20 0 0 0

0

2

[( / ln 2). ln( / ) 2 ]( 2 ) ( / )

2 ln 2 r a

U a r U U r a C m

r a


====

∂ +∂ +∂ +∂ += = = −= = = −= = = −= = = −

∂∂∂∂(1 ñim)

• 20 0 0

0

3

(( / ln 2).ln(6 / ))( 3 ) ( / )3 ln 2

r a

U a r U r a C m r a


====

∂∂∂∂= = − == = − == = − == = − =∂∂∂∂

(1 ñim)

Gii:a. Tính ñin dung: (3 ñim)- ðt lên hai ñin cc ca t ñin hiu th ñin U, ñin cc ti r=b ni ñt.

- Do ñi xng : ( ) r D r i====

, áp dng :2

0 ( )A

div D D r r

ρ ρρ ρ = == == == = ⇒⇒⇒⇒ ====

- Áp dng:2

0

2 2

0 0

2ln

( ) ln

b

b a a b

b U A r A bU dr A

r b r b b a b

ε εε ε

ε ε ε ε ε ε ε ε ++++

= == == == = ⇒⇒⇒⇒ ====+ ++ ++ ++ +∫ ∫∫ ∫

- Áp dng ñnh lut Gauss v ñin: 2 0

2

4( ).4 4

ln b a b

b U q D r r A

π ε π ε π ε π ε π π π π π π π π

++++

= = == = == = == = =

- ðin dung: 0

2

4| / |

ln b a b

bC q U

π ε π ε π ε π ε

++++

= == == == =

b. Tính hiu th ñin U: (2 ñim)- Nu thay lp ñin môi

0ε ε ε ε ε ε ε ε ==== thì ñin dung s thay ñi (tính li như câu a), ta

có: 0

1

4

( )

abC

b a

πε πε πε πε ====

−−−−

- ðin tích tích ñưc khi ñin dung ca t là C (câu a) :0q CU ====

- Khi thay lp ñin môi thì q không ñi, hiu th ñin thay ñi là U, ta có:1q C U ====

- Cui cùng ta có quan h:1 0 0

1

C C U CU U U

C ==== ⇒⇒⇒⇒ ====

02ln b a b

b aU

a ++++

−−−−====



Gii:a. Tính ñin dung: (3 ñim)- ðt lên hai ñin cc ca t ñin hiu th ñin U, ñin cc ti r=b ni ñt.

- Do ñi xng : ( ) r D r i====

, áp dng : 0 ( )A

div D D r r

ρ ρρ ρ = == == == = ⇒⇒⇒⇒ ====

- Áp dng: 0

3 20 0

3ln

( 2 ) 2 ln

b

b a a b

U A r A bU dr A

r r b a b

ε εε ε

ε ε ε ε ε ε ε ε ++++

= == == == = ⇒⇒⇒⇒ ====+ ++ ++ ++ +∫ ∫∫ ∫

- Áp dng ñnh lut Gauss v ñin: 0

32

2( ).2 2

ln b a b

LU q D r rL AL

πε πε πε πε π π π π π π π π

++++

= = == = == = == = =

- ðin dung: 0

32

2| / |

ln b a b

LC q U

πε πε πε πε

++++

= == == == =

b. Tính hiu th ñin U: (2 ñim)- Nu thay lp ñin môi

0ε ε ε ε ε ε ε ε ==== thì ñin dung s thay ñi (tính li như câu a), ta

có: 0

1

2

ln( / )

LC

b a

πε πε πε πε ====

- ðin tích tích ñưc khi ñin dung ca t là C (câu a) : 0q CU ==== - Khi thay lp ñin môi thì q không ñi, hiu th ñin thay ñi là U, ta có:

1q C U ====

- Cui cùng ta có quan h:1 0 0

1

C C U CU U U

C ==== ⇒⇒⇒⇒ ====

032

ln( / )

ln b a b

b aU

++++

====

---------Ht----------



ÁÁPP ÁÁNN QQUUIIZZ 33 (Ngày 22 – 11 - 2009)

Bài 1a.T in cu bán kính in cc bên trong a, bên ngoài b, t trong h ta cu, gc ta trùng tâmca t in. Gia hai in cc là in môi thc có dn in : (((( ))))γ γ γ γ γ γ γ γ ====

20 / b r

Hãy xác nh in tr cách in ca t in?Gii : (4 im)

- Chn h ta cu như bài, t lên 2 in cc ca t in hiu th U, gi s in cc ngoài ni

t, do i xng : r

J( r )i====

.

- Áp dng : divJ ==== 0

r sin .J( r ) r .J ( r ) r sin r r r

θ θθ θ θ θθ θ

∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ⇒⇒⇒⇒ ==== ⇒⇒⇒⇒ ==== ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂

2 22 2

1 10 0

A( r ) ; A const

r⇒⇒⇒⇒ = == == == =2

- Hiu th in : b b b

a a a

J ( r ) A r AU Edr dr . dr ( b a )

r b bγ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ

= = = = −= = = = −= = = = −= = = = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2

2 2 2

0 0

b U A

b a

γ γγ γ ⇒⇒⇒⇒ ====

−−−−

20

- Cư ng dòng rò qua in môi:S

b U I J dS J( r ). r A

b a

πγ πγ πγ πγ π π π π π π π π = = = == = = == = = == = = =

−−−−∫ ∫∫ ∫ 2

2 044 4

(chú ý : S là mt cu tâm trùng gc ta bán kính a<r<b)

- in tr cách in ca t in :U b a

R I bπγ πγ πγ πγ

−−−−= == == == = 2

04

Bài 1b.T in tr bán kính in cc bên trong a, bên ngoài b , dài t trong h ta tr, trc z trùng v i

trc ca t in. Gia hai in cc là cách in có dn in : (((( ))))γ γ γ γ γ γ γ γ = += += += +0 1 / a r

Hãy xác nh in tr cách in ca t in?Gii : (4 im)

- Chn h ta tr như bài, t lên 2 in cc ca t in hiu th U, gi s in cc ngoài ni

t, do i xng : r J( r )i====

.

- Áp dng : divJ ==== 0

[[[[ ]]]] r.J( r ) r r

∂∂∂∂⇒⇒⇒⇒ ====

∂∂∂∂

10

A( r ) ; A const

r⇒⇒⇒⇒ = == == == =

- Hiu th in : b b b

a a a

( r ) A r A b aU Edr d r . dr ln

r ( r a ) aγ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ

++++= = = == = = == = = == = = =

++++∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 0 0 2

U A

b aln

a

γ γγ γ ⇒⇒⇒⇒ ====

++++0

2

- Cư ng dòng rò qua in môi:S

U I J dS J( r ). r A

b aln

a

πγ πγ πγ πγ π π π π π π π π = = = == = = == = = == = = =

++++∫ ∫∫ ∫ 022 2

2

(chú ý : S là mt tr trc trùng trc z, bán kính a<r<b, dài )



- in tr cách in ca t in :

b aln

U a R I πγ πγ πγ πγ

++++

= == == == =0

22

Bài 2aTrong h ta tr cho cáp ng trc bán kính li a, v là mt tr dn bán kính b. Dòng in chy i trong

li phân b v i mt : (((( )))) J r a i J const z= == == == = / ;20 0

, dòng chy v phân b u trên v. Hãy xác nh:

a. Cư ng trư ng t trong tt c các min?b. in cm trong (Ltr) và ngoài (Lng) trên mt ơ n v dài bit thm t ca li là µ0, và thm t cacách in gia li và v là: b r µ µ µ µ µ µ µ µ ==== 2 ( / )0

Gii (6 im)a. Tính cư ng trư ng t ( 4 i m)- Chn h ta tr như bài, do i xng : H H( r )i

φ φφ φ ====

- Chn ư ng kín C là ư ng tròn bán kính r, tâm trên trc z và nm trong mp vuông góc trc z. Áp

dng nh lut Ampère:* I

H( r ) rπ ππ π

====2

- r <a: r*

S J r I JdS J ( r / a ) rdrd . . a

π ππ π φ π φ π φ π φ π = = == = == = == = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 4

2 2 01 0 20 0

24

* r I H ( r )

r aπ ππ π ⇒⇒⇒⇒ = == == == =

301

1 22 4

r H i

aφ φφ φ

⇒⇒⇒⇒ ====3

01 24

- a<r<b: a

*

S

J a a I J dS J ( r / a ) rdrd . .

a

π ππ π π ππ π φ π φ π φ π φ π = = = == = = == = = == = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

242 2 0 02 0 20 0

22

4 4

* a I H ( r )

r rπ ππ π ⇒⇒⇒⇒ = == == == =

202

2 2 4

J a H i

rφ φφ φ

⇒⇒⇒⇒ ====2

02

4

- a<r<b: * * * I I I = − == − == − == − =3 2 2 0 H ⇒⇒⇒⇒ ====3 0

b. Tính in cm ( 2 i m)

- Cư ng dòng trên cáp : * a I I

π ππ π = == == == =

20

2 2

- Năng lư ng trong: a

mtrW H rdrd dz

π ππ π

µ φ µ φ µ φ µ φ ==== ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 1

20 10 0 0

1

2

a

mtr

J rW rdrd dz

a

π ππ π

µ φ µ φ µ φ µ φ

⇒⇒⇒⇒ ====

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 23

2 10

0 20 0 0

1

2 4=

J a a .

a

πµ πµ πµ πµ µ π µ π µ π µ π

====

2 2 480 0 0

0 2

12

2 4 8 128

mtr tr

W J a L .

I J a

πµ µ πµ µ πµ µ πµ µ


⇒⇒⇒⇒ = = == = == = == = =

22 40 0 0

2 20

2 2 2

128 16

- Năng lư ng ngoài: b

mng a

W H rdrd dzπ ππ π

µ φ µ φ µ φ µ φ ==== ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 1 2

20 0

1

2

b

mng a

I I W ( b / r ) rdrd dz b. . .

r a b

π ππ π

µ φ µ π µ φ µ π µ φ µ π µ φ µ π π π π π π π π π

⇒⇒⇒⇒ = = −= = −= = −= = −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2 22 1

0 00 0

1 1 12 2

2 2 2

mng

( b a )I W

a

µ µµ µ

π ππ π

−−−−⇔ =⇔ =⇔ =⇔ =

20

2 mng

ng

W ( b a ) L

I a

µ µµ µ

π ππ π

−−−−⇒⇒⇒⇒ = == == == = 0

2

2

2

Bài 2b.



Trong h ta tr cho cáp ng trc bán kính li a, v là mt tr dn bán kính b. Dòng in chy itrong li phân b v i mt : (((( )))) J r a i J const z= == == == = / ;0 0

, dòng chy v phân b u trên v. Hãy xác

nh:a. Cư ng trư ng t trong tt c các min?b. in cm trong (Ltr) và ngoài (Lng) trên mt ơ n v dài bit thm t ca li là µ0, và thm t cacách in gia li và v là: b r µ µ µ µ µ µ µ µ ==== 2 ( / )0

Gii (6 im) a. Tính cư ng trư ng t ( 4 i m)- Chn h ta tr như bài, do i xng : H H( r )i

φ φφ φ ====

- Chn ư ng kín C là ư ng tròn bán kính r, tâm trên trc z và nm trong mp vuông góc trc z. Áp

dng nh lut Ampère:* I

H( r ) rπ ππ π

====2

- r <a: r

*

S

J r I J dS J ( r / a )rdrd . .

a

π ππ π

φ π φ π φ π φ π = = == = == = == = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 3

20

1 00 02

3

* r I H ( r )

r aπ ππ π

⇒⇒⇒⇒ = == == == =2

011

2 3

r H i

a

φ φφ φ ⇒⇒⇒⇒ ====

20

1

3

- a<r<b: a

*

S

J a a I JdS J ( r / a )rdrd . .

a

π ππ π π ππ π φ π φ π φ π φ π = = = == = = == = = == = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2320 0

2 00 0

22

3 3

* a I H ( r )

r rπ ππ π ⇒⇒⇒⇒ = == == == =

202

2 2 3

J a H i

rφ φφ φ

⇒⇒⇒⇒ ====2

02

3

- a<r<b: * * * I I I = − == − == − == − =3 2 2 0 H ⇒⇒⇒⇒ ====3 0

b. Tính in cm ( 2 i m)

- Cư ng dòng trên cáp : * a I I

π ππ π = == == == =

20

2

2

3

- Năng lư ng trong: a

mtrW H rdrd dz

π ππ π

µ φ µ φ µ φ µ φ ==== ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 1

20 10 0 0

12

a

mtr

J rW rdrd dz

a

π ππ π

µ φ µ φ µ φ µ φ

⇒⇒⇒⇒ ====

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 22

2 10

00 0 0

1

2 3=

πµ πµ πµ πµ µ π µ π µ π µ π

====

2 2 460 0 0

0

12

2 3 6 54

J a a .

a

πµ µ πµ µ πµ µ πµ µ


⇒⇒⇒⇒ = = == = == = == = =

22 40 0 0

2 20

2 2 3

54 2 12 mtr

tr

W J a L .

I J a

- Năng lư ng ngoài: b

mng a

W H rdrd dzπ ππ π

µ φ µ φ µ φ µ φ ==== ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 1 2

20 0

1

2

b

mng a

I I W ( b / r ) rdrd dz b. . . r a b

π ππ π

µ φ µ π µ φ µ π µ φ µ π µ φ µ π π π π π π π π π

⇒⇒⇒⇒ = = −= = −= = −= = −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2

2 1

0 00 01 1 12 22 2 2

mng

( b a )I W

a

µ µµ µ

π ππ π

−−−−⇔ =⇔ =⇔ =⇔ =

20

2 mng

ng

W ( b a ) L

I a

µ µµ µ

π ππ π

−−−−⇒⇒⇒⇒ = == == == = 0

2

2

2

-------Ht-------




Bài 1a.Sóng in t phng ơ n sc 1-MHz truyn theo phươ ng +x trong môi trư ng có εεεε=8εεεε0,µµµµ=µµµµ0, γ γγ γ =4,8.10-2 (S/m). Xác nh:

a) T s biên ca mt dòng dn và dòng dch?b) H s tt dn, h s pha, xuyên sâu, tr sóng?c) Biu th c trư ng in và trư ng t ? Bit trư ng in phân c c thng theo hư ng

+y và biên ti x=0 là 10V/m. Gii : (6 im)

a) T s biên mt dòng dn và dòng dch : (0.5 im)

d

J , .

. . . . J

γ γγ γ

ωε ωε ωε ωε π ππ π

π ππ π

−−−−

−−−−

= = == = == = == = =2

6 9

4 8 10108

12 10 8 10

36

iiii

iiii

.

b) Tính các i lư ng c trư ng :

2 2 K j ( j ) j j

ωµγ ωµγ ωµγ ωµγ ωµγ ωµγ ωµγ ωµγ ωµ γ ωε ωµγ ωµ γ ωε ωµγ ωµ γ ωε ωµγ ωµ γ ωε ωµγ = + ≈ = += + ≈ = += + ≈ = += + ≈ = +

6 7 22 10 4 10 4 8 100 44

2 2

. . . . , . , ( np / m )

ωµγ π π ωµγ π π ωµγ π π ωµγ π π α αα α

− −− −− −− −

= = ≈= = ≈= = ≈= = ≈ (1 im)

0 442

( rad / m )ωµγ ωµγ ωµγ ωµγ

β ββ β = ≈= ≈= ≈= ≈ (1 im)

1 1

2 270 44 , ( m ) ,α αα α ∆ = = =∆ = = =∆ = = =∆ = = = (0.5 im)6 7

02 10 4 1012 7 45

0 44 0 44C

j j . . . Z , ( )

K , j ,

ωµ π π ωµ π π ωµ π π ωµ π π −−−−

= = ≈ ∠ Ω= = ≈ ∠ Ω= = ≈ ∠ Ω= = ≈ ∠ Ω++++

(1 im)

c) Trư ng in và trư ng t :Theo gi thuyt trư ng in có dng:

0 0 x

y E E e cos( t x )iα αα α ω β ϕ ω β ϕ ω β ϕ ω β ϕ −−−−= − += − += − += − +

, ti x=0 E0 = 10V/m, gi s chn ϕ0=0, suy ra:

0 44 610 2 10 0 44 , x

y E e cos( . t , x )i (V / m )π ππ π −−−−= −= −= −= −

(1 im)

0 44 0 44

10, x j , x

y E e e i (V / m )− −− −− −− −

⇒⇒⇒⇒ ====

iiii

0

0

0 44 0 44 0 44 0 44 45

45

1 110

12 7 , x j , x , x j( , x )

x y z jC

H i E . e e i i 0,78e e i Z , e

− − − − +− − − − +− − − − +− − − − +

⇒⇒⇒⇒ = × = × ≈= × = × ≈= × = × ≈= × = × ≈

i ii ii ii i

0 44 6 02 10 0 44 45 , x

z H =0,78e cos( . t , x )i ( A / m )π ππ π −−−−⇒⇒⇒⇒ − −− −− −− −

(1 im)



Gii : (10 im)

Ta có: 5

3 9

48 8 10

12 10 81 10

36

, .

. . . .

γ γγ γ

ωε ωε ωε ωε π ππ π

π ππ π −−−−

= == == == =

2 2 K j ( j ) j jωµγ ωµγ ωµγ ωµγ ωµγ ωµγ ωµγ ωµγ ωµ γ ωε ωµγ ωµ γ ωε ωµγ ωµ γ ωε ωµγ ωµ γ ωε ωµγ ⇒⇒⇒⇒ = + ≈ = += + ≈ = += + ≈ = += + ≈ = +

3 72 10 4 10 40 125

2 2

. . . .( np / m )

ωµγ π π ωµγ π π ωµγ π π ωµγ π π α αα α

−−−−

= = ≈= = ≈= = ≈= = ≈ (0.75 im)

0 1252

( rad / m )ωµγ ωµγ ωµγ ωµγ

β ββ β = ≈= ≈= ≈= ≈ (0.75 im)

3 702 10 4 10

0 045 450 125 0 125C

j j . . . Z , ( )

K , j ,

ωµ π π ωµ π π ωµ π π ωµ π π −−−−

= = ≈ ∠ Ω= = ≈ ∠ Ω= = ≈ ∠ Ω= = ≈ ∠ Ω++++

(0.75 im)

a) Trư

ng

in và tr

ư ng t

:

Theo gi thuyt trư ng t có dng:

0 0 z

y H H e cos( t z )iα αα α ω β ϕ ω β ϕ ω β ϕ ω β ϕ −−−−= − += − += − += − +

, ti z=0 H0 = 100A/m, ϕ0=π /12, suy ra:

, z

y H e cos( . t , z / )i ( mA / m )π π π π π π π π −−−−= − += − += − += − +0 125 3100 2 10 0 125 12

(1 im)

, z j , z j /

y H e e .e i ( mA / m )π ππ π − −− −− −− −⇒⇒⇒⇒ ====0 125 0 125 12100

iiii

045 0 125 0 125 12 0 125 0 125 30 045 100 j , z j , z j / , z j , z j /

C s y z x E Z H i . e . e e e i i 4,5e e e iπ π π π π π π π − − − −− − − −− − − −− − − −

⇒⇒⇒⇒ = × = × ≈= × = × ≈= × = × ≈= × = × ≈

i ii ii ii i

, z

x E =4,5e cos( . t , z / )i ( mV / m )π π π π π π π π −−−−⇒⇒⇒⇒ − +− +− +− +0 125 32 10 0 125 3

(1 im)

b) Xác nh sâu :

Ta có: d z d

z

| E |e

| E |

α αα α −−−−====

====

= == == == =

0

1

100

iiii

iiii

10036 4

ln d , ( m )

α αα α ⇒⇒⇒⇒ = == == == = (0.75 im)

c) Mt dòng công sut trung bình: (1 im)

Bài 1b.

Sóng in t phng ơ n sc truyn theo phươ ng +z trong nư c bin có εεεεr=81,µµµµr=1, γ γγ γ =4 (S/m). Gi s ti mt nư c bin (z=0) có :

3( 0, ) 100cos(2 .10 /12) ( / ) y H z t t i mA mπ π π π π π π π = = += = += = += = +

a) Xác nh vectơ cư ng trư ng in và trư ng t ?b) Xác nh sâu t mt nư c bin sao cho biên ca trư ng in bng 1%

so v i ti z=0?c) Mt dòng công sut in t trung bình?



* , z j / , z

z z P Re E H 225e Re e i e i ( W / m )π ππ π µ µµ µ − −− −− −− −

⇒⇒⇒⇒< >= × = =< >= × = =< >= × = =< >= × = =

0 25 4 0 25 21159

2

iiiiiiii

Bài 2a. Mt anten mang dòng in biên Im t trong không khí b c x ra cư ng trư ngt min xa có biên ph c như sau:

15,5 sin( ).cos( ). ( / ) j r m v I H e i mA m

r

ω ωω ω φ φφ φ θ φ θ φ θ φ θ φ

−−−−====

iiii

Xác nh : công sut b c x b i anten? in tr b c x? Cư ng b c x và nh hư ng?Gii (4 im)

Ta có:

2

2 2 2 215,51sin ( ).cos ( ) ( / )

2 2C m

r C m

Z I P Z H W m

rθ φ µ θ φ µ θ φ µ θ φ µ

< >= =< >= =< >= =< >= =

(((( ))))2 222 2 2

0 0 0 0sin 15,5 sin ( ).cos ( )sin

2C

bx r m

Z P P r d d I d d

π π π π π π π π π π π π π π π π

θ θ φ θ φ θ θ φ θ θ φ θ φ θ θ φ θ θ φ θ φ θ θ φ θ θ φ θ φ θ θ φ = < > == < > == < > == < > =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(((( )))) (((( ))))2 224

15,5 . . 15,5

2 3 3

C C

bx m m

Z Z P I I

π ππ π π ππ π ⇔ = =⇔ = =⇔ = =⇔ = =

V i : 0

0

120 ( )C Zµ µµ µ µ µµ µ

π ππ π ε ε ε ε ε ε ε ε

= = = Ω= = = Ω= = = Ω= = = Ω

(((( ))))2 2 22 .120

15,5 189,7 ( / )3 bx m m

P I I mW mπ π π π π π π π

⇒⇒⇒⇒ = == == == = (1.5im)

2

20,38 ( ) bx

bx

m

P R

I ⇒⇒⇒⇒ = = Ω= = Ω= = Ω= = Ω (0.5im)

(((( ))))22 2 2 2 2 2

m15,5 sin ( ).cos ( ) =45286I sin ( ).cos ( ) ( / )2

C

r m

Zu P r I W sterad θ φ θ φ µ θ φ θ φ µ θ φ θ φ µ θ φ θ φ µ =< > ==< > ==< > ==< > = (1 im)

2 2

sin ( ).cos ( ) nu θ φ θ φ θ φ θ φ ⇒⇒⇒⇒ ====

2 2 2

0 0

4 43

(4/3)sin ( ).cos ( ) sin d d D



π ππ π θ φ θ θ φ θ φ θ θ φ θ φ θ θ φ θ φ θ θ φ ⇒⇒⇒⇒ = = == = == = == = =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (1im)

Bài 2b. Mt anten mang dòng in biên Im t trong không khí b c x ra cư ng trư ngin min xa có biên ph c như sau:

m5Isin(2 ) ( / )

j rv E e i V m

r

ω ωω ω

θ θθ θ θ θθ θ −−−−

====

iiii

Xác nh : công sut b c x b i anten? in tr b c x? Cư ng b c x và nh hư ng?

Gii (4 im)

Ta có:

2

2 2 251 1sin (2 ) ( / )

2 2 m

r m

C C

I P E W m

Z Z rθ θθ θ

< >= =< >= =< >= =< >= =

(((( ))))2 222 2

0 0 0 0

1sin 5 sin (2 )sin

2 bx r m

C

P P r d d I d d Z

π π π π π π π π π π π π π π π π

θ θ φ θ θ θ φ θ θ φ θ θ θ φ θ θ φ θ θ θ φ θ θ φ θ θ θ φ = < > == < > == < > == < > =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫



(((( ))))2

2 801 165 . .2

2 15 3 m

bx m

C C

I P I

Z Z

π ππ π π ππ π ⇔ = =⇔ = =⇔ = =⇔ = =

V i : 0

0

120 ( )C

Zµ µµ µ µ µµ µ

π ππ π ε ε ε ε ε ε ε ε

= = = Ω= = = Ω= = = Ω= = = Ω

2 2 280 0,22 ( / )3.120

m

bx m

I P I W m

π ππ π

π ππ π ⇒⇒⇒⇒ = == == == = (1.5 im)

2

20,44 ( ) bx

bx

m

P R

I ⇒⇒⇒⇒ = = Ω= = Ω= = Ω= = Ω (0.5 im)

(((( ))))22 2 2 2

m

15 sin (2 ) 0,033 I sin (2 )( / )

2 r m

C

u P r I W sterad Z

θ θ θ θ θ θ θ θ =< > = ==< > = ==< > = ==< > = = (1 im)

2sin (2 ) n

u θ θθ θ ⇒⇒⇒⇒ ====

2 2

0 0

4 41,875

(16/15)2sin (2 ) sin d d

Dπ π π π π π π π


π ππ π θ θ θ φ θ θ θ φ θ θ θ φ θ θ θ φ

⇒⇒⇒⇒ = = == = == = == = =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(1 im)

------------Ht-------------




Bài 2a. ng dn sóng (ods) HCN không tn hao, in môi có εεεεr=4, µµµµr=1, kích thư c axb=3cmx1cm,hot ng ti tn s 9GHz, xác nh:a. Tên tt c các kiu sóng có th truyn trong ods?b. f th, ββββmn, tr sóng ca kiu TE01?c. Vectơ cư ng trư ng in, cư ng trư ng t và công sut trung bình trong ods ca kiu TE01,

bit biên ca c c i ca HZ là 50A/m ?Giia. Tìm tên các kiu sóng (3 im)

K kiu song truyn ư c trong ods:

2 2

2 cv m n

f f a b

> = +> = +> = +> = +

2 22 2 2 a af

m n b v

⇒⇒⇒⇒ + <+ <+ <+ <

V i a=3.10-2

m; b=10-2

m; f=9.109Hz; 81/ 1,5.10 / v m sεµ εµ εµ εµ = == == == =

2 9

2 2 82.3.10 .9.1091,5.10

m n

−−−− ⇒⇒⇒⇒ + <+ <+ <+ <

2 29 12,96 m n⇒⇒⇒⇒ + <+ <+ <+ <

Xác nh các giá tr ca m, n:

- m=0 n=1 Kiu TE01

- m=1 n=0,1 Kiu TE10, TE11, TM11 - m=2 n=0 Kiu TE20

- m=3 n=0 Kiu TE30

b. Kiu TE01 m=0, n=1

thv

f Hz GHz b −−−−

= = = == = = == = = == = = =8

92

1,5.107,5.10 ( ) 7,5( )

2 2.10 (0.5 im)

(((( )))) (((( )))) th f f rad mv

ω π ω π ω π ω π β ββ β = − = − ≈= − = − ≈= − = − ≈= − = − ≈

92 201 8

2 .9.101 / 1 7,5 / 9 208,4( / )

1,5.10 (0.5 im)

TE

th th

Z Z

f f f f

µ ε µ ε µ ε µ ε = = = = Ω= = = = Ω= = = = Ω= = = = Ω

− − −− − −− − −− − −

001 2 2 2

/ 377341( )

1 ( / ) 1 ( / ) 2 1 (7,5 / 9) (0.5 im)

c. V i kiu TE01 m=0, n=1 th vào b nghim ca kiu TE ta có:

0 0

. .01 0101 01. .sin( ) . . .sin( )01

01.cos( ) ; 0

H E x y

C C z j z H j b y e E jZ b y e y x TE b b

j z H C y e E z z

b

β β β β β β β β π π π π π π π π β β β β β β β β π π π π π π π π

π ππ π β ββ β

==== ⇒⇒⇒⇒ ====

− −− −− −− −==== ⇒⇒⇒⇒ ====

−−−−= == == == =

i ii ii ii i

i ii ii ii i

i ii ii ii i

(1)

Theo bài biên cc i ca Hz =50A/m C=50; Th s vào (1), ta có:



0; 0; 0

208,4 208,450.208,4 2.10 .sin(100 ) 33,16.sin(100 )

208,4 208,450.208,4 2 3341. .10 .sin(100 ) 11,31.10 sin(100 )

208,450.cos(100 )

H E E x y z

j z j z H j y e j y e y

j z j z E j y e j y e x

j z H y e z

π π π π π π π π π ππ π


π ππ π

= = == = == = == = =

− −− −− −− −−−−−= == == == =

− −− −− −− −−−−−= == == == =

−−−−====

i i ii i ii i ii i i

iiii

iiii

iiii

(2)

T (2) b ngim trong min th i gian:

0; 0; 0

933,16.sin(100 )sin(18 .10 208,4 )

3 911, 31.10 sin(100 )sin(18 .10 208,4 )

950.cos(100 )cos(18 .10 208,4 )

H E E x y z

H y t z y

E y t z x

H y t z z




= = == = == = == = =

= − −= − −= − −= − −

= − −= − −= − −= − −

= −= −= −= −

9 933,16.sin(100 )sin(18 .10 208,4 ) 50.cos(100 )cos(18 .10 208,4 ) ( / ) H y t z i y t z i A m y zπ π π π π π π π π π π π π π π π ⇒⇒⇒⇒ = − − + −= − − + −= − − + −= − − + −

(1.75 im) 911,31.sin(100 )sin(18 .10 208,4 ) ( / ) E y t z i kV m xπ π π π π π π π ⇒⇒⇒⇒ = − −= − −= − −= − −

(1.75 im) Công sut trung bình :

1 2| |2 0 001

a b

P E dxdy x ZTE

==== ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ iiii

V i : | | sin( ) E E y xm b

π ππ π ====

iiii

; Exm = 11,31.103(V/m).

2 2 2 6 2 211, 31 .10 .3.10 .102sin ( ) 28,13( )2 4 4.3410 001 01

a b E E xm xm P y dxdy ab W Z b ZTE TE

π ππ π − −− −− −− −⇒⇒⇒⇒ = = = == = = == = = == = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (2 im)

Gii :

a. Tìm tên các kiu sóng (3 im)

K kiu song truyn ư c trong ods:

2 2

2 cv m n

f f a b

> = +> = +> = +> = +

Bài 2b. ng dn sóng (ods) HCN không tn hao, in môi không khí, kích thư caxb=7.214cmx3.404cm, lan truyn kiu sóng có vectơ cư ng trư ng in:

b. Xác nh tên kiu sóng trên, sau ó tính f th

, ββββ, tr sóng ca nó?

a. Xác nh tên tt c các kiu sóng có th truyn trong ods ti tn s 9GHz?

y a E x t z i kV mπ ππ π π β π β π β π β = −= −= −= −92sin( )cos(18 .10 ) ( / )

c. Xác nh vectơ cư ng trư ng t và công sut trung bình ca kiu sóng trongcâu b?



2 22 2 2 a af

m n b v

⇒⇒⇒⇒ + <+ <+ <+ <

V i a=7,214.10-2

m; b=3,404.10-2

m; f=9.109Hz; 81/ 3.10 / v m sεµ εµ εµ εµ = == == == =

2 92 2

82.7,214.10 .9.10

4,493.10

m n−−−−

⇒⇒⇒⇒ + <+ <+ <+ <

2 24,49 18,74 m n⇒⇒⇒⇒ + <+ <+ <+ <

Xác nh các giá tr ca m, n:- m=0 n=1, 2 Kiu TE01, TE02

- m=1 n=0,1 Kiu TE10, TE11, TM11 - m=2 n=0, 1 Kiu TE20, TE21, TM21

- m=3 n=0, 1 Kiu TE30, TE31, TM31

- m=4 n=0 Kiu TE40

b. Theo cư ng trư ng in cho có : Ez = 0 Kiu TEMt khác theo b nghim ca kiu TE, ta có :

m x x m

a a

n y n

b


π ππ π

==== ⇒⇒⇒⇒ ====

==== ⇒⇒⇒⇒ ====

22

0 0

Vy tên ca kiu sóng trên là : TE20 (0.75 im)

thv

f Hz GHz a −−−−

= = = == = = == = = == = = =8

92

3.104,16.10 ( ) 4,16( )

7,214.10 (0.75 im)

(((( )))) (((( )))) th f f rad mv

ω π ω π ω π ω π β β β β β β β β = = − = − ≈= = − = − ≈= = − = − ≈= = − = − ≈

92 2

20 82 .9.10

1 / 1 4,16 / 9 167, 2( / )3.10

(0.75 im)

TE

th th

Z Z

f f f f

µ ε µ ε µ ε µ ε = = = = Ω= = = = Ω= = = = Ω= = = = Ω

− − −− − −− − −− − −

020 2 2 2

/ 377425,1( )

1 ( / ) 1 ( / ) 1 (4,16 / 9) (0.75im)

c. V i kiu TE20 m=2, n=0 th vào b nghim ca kiu TE ta có:

0 0

. 2 . 2. .sin( ) . . .sin( )

202 2

2.cos( ) ; 0

H E y x

C C j z j z H j a x e E jZ a x e x y TE a a

j z H C x e E z z a

β π β π β π β π β π β π β π β π β β β β β β β β


π ππ π β ββ β

==== ⇒⇒⇒⇒ ====

− −− −− −− −==== ⇒⇒⇒⇒ = −= −= −= −

−−−−= == == == =

i ii ii ii i

i ii ii ii i

i ii ii ii i

(1)

Theo vectơ cư ng trư ng in bài cho ta có :

z j z E x e E x e y ym a a

π π π π π π π π β β β β β β β β − −− −− −− −= == == == =2 2310 .sin( ) .sin( )iiii

So sánh v i (1), suy ra:

.. .

20 2

C jZ a ETE ym

β ββ β

π ππ π − =− =− =− = ⇒⇒⇒⇒

E E ym ymC j j j

jZ a Z aTE TE


β β β β β β β β = = = == = = == = = == = = =

−−−−−−−−

32 2 2 .101,22

2. . . . 425,1.167,2.7,214.1020 20

3. 10. 2,35

2 425,120

EC ym j a

ZTE

β ββ β

π ππ π ⇒⇒⇒⇒ = − = − = −= − = − = −= − = − = −= − = − = −



Th s vào (1), ta có:

H y

j z H x e x

z H j x e z

π ππ π

π ππ π

====

−−−−= −= −= −= −

−−−−====

0

2 167,22,35.sin( )7,214

200 167,21,22.cos( )

7,214

iiii

iiii

iiii

(2)

T (2) cư ng trư ng t trong min th i gian:

0

200 92,35.sin( )cos(18 .10 167,2 )7,214

2 91,22.cos( )sin(18 .10 167,2 )

H y

H x t z x

H x t z z a

π ππ π π ππ π

π ππ π π ππ π

====

= − −= − −= − −= − −

= − −= − −= − −= − −

200 2009 92,35.sin( )cos(18 .10 167,2 ) 1,22.cos( )sin(18 .10 167,2 ) ( / )7,214 7,214

H x t z i x t z i A m x zπ π π π π π π π

π π π π π π π π ⇒⇒⇒⇒ = − − − −= − − − −= − − − −= − − − −

(2 im) Công sut trung bình :

1 2| |2 0 020

a b

P E dxdy y ZTE

==== ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ iiii

V i :2

| | sin( ) E E x y ym a

π ππ π ====

iiii

; Eym = 103(V/m)

2 2 6 2 22 10 .7,214.10 .3,404.102sin ( ) 1,44( )2 4 4.425,10 020 20

a b E E ym ym P x dxdy ab W

Z a ZTE TE

π ππ π − −− −− −− −⇒⇒⇒⇒ = = = == = = == = = == = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (2 im)

---------------------------Ht--------------------------



Bài tp 1: Mt b mt hình ch nht nm trong mt phng xOy ñư c xác ñnh b i các

ta ñ như sau 5 5m x m− ≤ ≤ và 3 3m y m− ≤ ≤. Tính tng ñin tích ca b mt ñó bit mt

ñ ñin tích là( )2 22 / S x mC m ρ =

.

Gii:

Tng ñin tích ca b mt ñư c xác ñinh theo công thc5 3 2

5 3

3 3

2

5 32 45 6 1000 1

3 5 3 3

S

S

Q ds x dxdy

x y mC C

ρ − −

= =

= = × = =− −

∫ ∫ ∫

Bài tp 2: Mt v hình cu có bán kính trong và bán kính ngoài ln lư t là1

3 R cm= ,

2 4 R cm= . Tính tng ñin tích v hình cu bit mt ñ ñin tích là( )33 / S r C m ρ =

.

Gii:

( )

( ) ( )( )

4 2

3 0 0

4 22

3 0 0

4

4 42 2 6

sin

3 sin

4 23cos

4 3 0 0

3 4 10 3 10 16.5 10

cm

V V r cmV

cm

r cm

Q dv r drd d

rr dr d d

cmr

cm

C

π π

θ φ

π π

θ φ

ρ ρ θ φ θ

θ θ φ

π π θ φ

π

2

= = =

= = =

− − −

= =

=

= −

= × − × = ×

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫



Bài 1: Hai qu cu kim loi nh ging ht nhau ñư c ñt cách nhau 10cm, như trên Hình

1. Các qu cu có ñin tích tươ ng ng là 1,7.10-9

C và -3,3×10-9

C. Tìm lc tươ ng tácgia hai qu cu nu chúng ñư c ni v i nhau quan mt dây dn rt nh sao cho ta có th gi thit rng các ñin tích không tp trung trên dây dn này.

Hình 1

Gii:

Nu hai qu cu ñư c ni v i nhau bng mt dây dn mng, các ñin tích trái du trên

hai qu cu s trit tiêu ln nhau, và lư ng ñin tích còn li là

(1,7-3,3).10-9 = -1,6.10-9 C

Do dây dn rt nh ta gi thit rng nó không tích ñin. Mt khác do hai ñin tích ñư cgi thit là nh và ging nhau, nên lư ng ñin tích này s ñy ln nhau và phân b ñng

ñu trên c hai qu cu, như trên hình v sau:

Nu b qua tác ñng ca dây dn, lc tươ ng tác gia hai qu cu bng:

( )( )

29

7

212

0,8.105,8.10

4 8.854 10 0.1F N

π

−

−

−

−= =

× × ×

Do ñin tích trên hai qu cu cùng du, hai qu cu ñy nhau.

Bài 2: Mt vòng ñin tích ñng nht có bán kính b và có mt ñ ñin tích dây ρ l v i cctính dươ ng. Vòng ñin tích nm trong không gian t do trên mt phng xOy như trên

Hình 2. Xác ñnh vector cư ng ñ ñin trư ng ti mt ñim P(0, 0, h) nm trên trc ca

vòng ñin tích và cách tâm ca vòng ñin tích mt ñon là h.

10cm

1,7.10-9C -3,3.10-9CDây dn

mng

10cm

-0,8.10-9

C -0,8.10-9

CDây dn

mng



Hình 2: Vòng ñin tích trên mt phng xOy

Gii:

Xét vector cư ng ñ ñin trư ng sinh ra b i mt phn t vi phân vòng ñin tích. C th là

phn t vi phân 1 có ta ñ (b, φ , 0) như trên hình v. Phn t vi phân này có ñ dài

dl bd φ = và có ñin tíchl l

dq dl bd ρ ρ φ = = . Vector khong cách1

R t phn t 1 t i

ñim P(0, 0, h) là:

1ˆˆ R zh rb= −

Vì vy, vector cư ng ñ ñin trư ng ti ñim P(0, 0, h) sinh ra b i phn t 1 bng:

( )1

1 3 3/22 20 0

1

ˆˆ

4 4

lb Rdq hz br

dE d b h R

ρ φ

πε πε

−= =

+

Tươ ng t như vy, ta có th vit ñư c vector cư ng ñ ñin trư ng ti ñim P(0, 0, h)

sinh ra b i phn t 2 ñi xng v i phn t 1 qua gôc ta ñ bng:

( )2 3/2

2 20

ˆˆ

4

lb hz br

dE d b h

ρ φ

πε

+=

+



Do ñó, vector cư ng ñ ñin trư ng ti ñim P(0, 0, h) sinh ra b i hai phn t ñi xng

bng:

( )1 2 3/2

2 20

ˆ

2

lbh z

dE dE dE d b h

ρ φ

πε = + =

+

Biu thc này chng t rng, trư ng sinh ra b i vòng ñin tích ch tn ti thành phn theotrc z.

Vector cư ng ñ ñin trư ng sinh ra b i toàn b vòng ñin tích bng:

( ) ( ) ( )3/2 3/2 3/2

2 2 2 2 2 20 0 0 0

ˆˆ ˆ

2 2 4

l lbh bh z Qh

E d z zb h b h b h

π ρ ρ

φ πε ε πε

= = =

+ + +∫

v i 2l

Q bπρ = là tng ñin tích ca vòng ñin tích.

Bài 3: Xác đ nh vector cư ng ñ ñin trư ng ti ñim P (0, 0, h) trong không gian t do

ñ cao h trên trc z sinh ra b i mt ñĩ a ñin tích hình tròn có bán kính a trong mt

phng xOy v i mt ñ ñin tích ñng nht ρs, như trong Hình 3. Sau ñó, xác ñnh vectorcư ng ñ ñin trư ng cho trư ng h p bn mng vô hn bng cách cho a→∞.

Hình 3: ðĩ a ñin tích tròn

Gii:

Xét mt vòng ñin tích r có b rng dr v i din tích 2ds rdr π = và cha mt ñin tích

2s s

dq ds rdr ρ πρ = = . S dng k t qu ca bài tp trư c v i b thay bng r , ta có:

( ) ( )( )3/2 3/2

2 2 2 20

0

ˆ ˆ 24 4

s

dq h hdE z z rdr

r h r hπρ

πε πε = =

+ +



Do ñó, vector cư ng ñ ñin trư ng sinh ra b i toàn b ñĩ a ñin tích bng:

( )3/2 2 22 2

0 00

2 2 2 20 0

2 20

1ˆ ˆ

02 2

1 1 1 1

ˆ ˆ2 2

ˆ 12

a

s s

ss

s

ah hrdr E z z

r hr h

hh

z zh ha h a h

h z

a h

ρ ρ

ε ε

ρ ρ

ε ε

ρ

ε

−= =

++

= − = ± −

+ +

= ± −

+

∫

Khi a→∞, ta thu ñư c vector cư ng ñ ñin trư ng sinh ra b i mt bn mng vô hntheo biu thc:

2 20 0

ˆ ˆlim 12 2

s s

a

h E z z

a h

ρ ρ

ε ε →∞

= ± − = ±

+

Bài 4: Cho hai bn mng tích ñin ñng nht có kích thư c vô hn trong không gian t

do. Bn mng th nht có mt ñ ñin tích b mt s ρ ñư c ñt trong mt phng xOy ( z =

0). Bn mng th hai có mt ñ ñin tích b mt s ρ − ñt ti z = 2 m. Xác ñnh trư ng

sinh ra b i hai bn mng ñó trên tt c các vùng trong không gian.

Gii:

Theo bài tp 3, vector cư ng ñ ñin trư ng sinh ra b i mt bn mng tích ñin vô hnñư c cho b i biu thc:

0

ˆ2

s E zρ

ε = ±

Do ñó, vector cư ng ñ ñin trư ng sinh ra b i bn mng th nht bng:

0

1

0

ˆ 0,2

ˆ 0.2

s

s

z z

E

z z

ρ

ε

ρ

ε

>

=

− <

Vector cư ng ñ ñin trư ng sinh ra b i bn mng th hai bng:

0

2

0

ˆ 2 ,

2

ˆ 2 .2

s

s

z z m

E

z z m

ρ

ε ρ

ε

− >

= <

Vector cư ng ñ ñin trư ng tng h p sinh ra b i hai bn mng trong không gian bng:



1 2

0

0 2 ,

ˆ 0 2 ,

0 0.

s

z m

E E E z z m

z

ρ

ε

>

= + = < < <

Bài 5: Hai dây ñin tích dài vô hn có cùng mt ñ ñin tíchl

ρ ñt trong mt phng xOz

song song v i trc z ti các v trí x = 1 và x = -1. Xác ñnh vector cư ng ñ ñin trư ng

ti mt ñim bt k ỳ trong không gian t do dc theo trc y.

Gii:

Ta ñã bit, trư ng sinh ra do mt dây ñin tích dài vô hn trên trc z bng:

0

ˆ2

l E r r

ρ

πε =

Xét mt ñim ti y trên trc nm trên trc y. T hình v, ta xác ñnh ñư c vector khong

cách t hai dây ñin tích t i ñim y ln lư t bng:

1ˆ ˆr yy x= −

2ˆ ˆr yy x= +

Do ñó, vector cư ng ñ ñin trư ng sinh ra b i hai dây ti ñim y ln lư t bng:

( )1

1 2 220 1 1 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ

2 2 2 11

l l lr yy x yy x

E r r y

y

ρ ρ ρ

πε πε πε

− −= = =

++

( )2

2 2 220 2 2 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ

2 2 2 11

l l lr yy x yy x

E r r y y

ρ ρ ρ

πε πε πε

+ +

= = = ++

Vector cư ng ñ ñin trư ng tng h p bng



2

0

1 2 2

0

2

0

ˆ 02 1

ˆ2 1

ˆ 02 1

l

l

l

y y y

y y E E E y

y y y y

y

ρ

πε ρ

πε ρ

πε

>

+= + = =

+ − < +

Bài 6: Xác ñnh ñin th ti gc ta ñ trong không gian t do to ra b i 4 qu cu có

cùng ñin tích 40Q C µ = ñt ti 4 góc ca mt hình vuông trong mt phng xOy có tâm

ti gc ta ñ. Cnh ca hình vuông dài 2m.

Gii:

Theo công thc:

( )1 04

N m

m m

QV r

r r πε =

=−

∑

Do 4 qu cu có cùng ñin tích và cùng khong cách so v i gc ta ñ nên ñin th sinh

ra ti gc ta ñ bng:

( )6 5

0 00

4 40 10 2 2 10

4 2V

QV

Rπε πε πε

− −× ×

= = =

×



Bài 1: Xác ñnh nng ñ ca electron t do trong nhôm bit rng ñ dn ñin ca nó là

( )73 5 10. / S mσ = × và ñ linh ñng ca electron là ( )20 0015. / .e

m V s µ =

Gii:

T công thc

e eq nσ µ =

Suy ra nng ñ ca electron t do trong nhôm bng:7

29 3

19

3 75 101 46 10

0 0015 1 6 10

,, /

, ,e e

n electron mq

σ

µ −

×= = = ×

× ×

Bài 2: Mt dòng ñin có mt ñ ( )5 23 10 / A m× chy qua mt dây dn có tit din ngang

ñng nht dài 300m. Tìm hiu ñin th trên hai ñu s i dây nu vt liu làm s i dây có ñ

dn ñin ( )72 10 / S mσ = ×

Gii:

( )5

7

3 10300 4 5

2 10,

J V El l V

σ

×= = = =

×

Bài 3: Cho mt ñon cáp ñng trc chiu dài l , bán kính ca các dây dn bên trong và

ngoài ln lư t là a và b. Vt liu ñin môi gia hai dây có ñ dn ñin σ . Hãy tính ñ

dn ñin trên mt ñơ n v chiu dài ca s i dây 'G .

Hình 1

Gii:

Dòng ñin tng I s chy qua b mt mt hình tr v i din tích 2 A rlπ = . Vì vy ta có

mt ñ dòng ñin J

và vector cư ng ñ ñin trư ng E

như sau:

2 ˆ ˆ

I I J r r

A rlπ = =





Do 0S

ρ = nên:

1 1 2 2 z z E E ε ε =

Do ñó,

21 2 2

14 12 z z z E E E

ε

ε = = =

và

14 3 12 ˆ ˆ ˆ E x y z= − +



Bài 1: Mt vt dn thng chiu dài l mang dòng ñin I ñư c ñt dc theo trc z như minhha trên hình v. Chng minh rng t trư ng ñư c cho b i biu thc:

( )1 2

4

ˆH cos cos I

r

ϕ θ θ

π

= −

T ñó suy ra biu thc ca trư ng cho dây dn dài vô hn ( )l r >> .

Gii:

Gi s P nm trên trc Ox, khong cách t gc ta ñ O t i ñu trên là l2, t O t i ñudư i ca dây là l1. Xét mt phn t vi phân dl

nm ti ta ñ ' z trên trc z, khi ñóvector khong cách t ngun t i ñim quan sát bng:

12 2 1 ˆ ˆ' R r r r z z ρ = − = −

và vector ñơ n v bng:

( )

1212 1

2 2 212

ˆ ˆ'

'

R r z zr

R r z

ρ −= =

+

Vector t trư ng sinh ra b i dl

ti P bng

( ) ( )

( )

122 3

12 12

3 22 2

4 4

4 /

ˆ ˆ ˆ' '

'

'

zdz r z zdl r I I dH R R

Ir dz

r z

ρ π π

π

× −×= =

=

+

Do ñó, trư ng sinh ra do toàn b dây dn là:



( ) ( )

( )

2

1

2

3 2 3 22 2 2 2 21

2 1

2 2 2 22 1

2 11 2

2 1

4 4

4

4 4

/ /

'' ' ˆ

'' '

ˆ

ˆ ˆ cos cos

l

l

z l Ir dz Ir z H

z lr z r r z

l l I

r r l r l

l l I I

r R R r

ϕ π π

ϕ π

ϕ ϕ θ θ π π

−

= = =

= −+ +

= +

+ +

= + = −

∫

Trong trư ng h p dây dn dài vô hn l → ∞ thì 1 20,θ θ π → → do ñó:

( )04 2

ˆ ˆcos cos I I

H r r

ϕ π ϕ π π

= − =

Bài 2: Mt vòng dây hình d qut có bán kính a mang dòng ñin I như trên hình v, xác

ñnh trư ng ti ñnh O.

Gii:

Ta nhn thy t trư ng ti O do dòng ñin chy qua hai ñon thng OA và OC bng 0 vì

mi thành phn vi phân dl

nm trên hai ñon thng này là song song v i vector bán kính R

và do ñó 0dl R× =

. ði v i ñon AC, mi phn t dl

s vuông góc v i vector bán

kính R

. Do ñó, t trư ng do mt phn t vi phân dl

trên ñon AC bng:

( ) ( ) ( )2 24 4 4

ˆ ˆ ˆ ˆ

dl ad I I I dH z d

a a a

ρ ϕ ϕ ρ ϕ

π π π

× − × −

= = =

T trư ng do toàn b ñon AC sinh ra ti O bng:



04 4 4 ˆ ˆ ˆ

C

A

I I I dH z d z d z

a a a

φ φ

ϕ ϕ π π π

= = =∫ ∫

Bài 3: Trong hình v dư i ñây, mt phng xOy cha mt bn mng dòng ñin rng vô

hn có mt ñ dòng ñin mt bng ( )0 0, ,S s J J =

. Tìm t trư ng H

Gii:

T tính ñi xng và quy tc bàn tay phi ta thy rng t trư ng phi có dng0

0

víi

víi

ˆ

ˆ

yH z H

yH z

− >=

<

Áp dng ñnh lut Ampere, ta có:

0 0s

C

H dl Hl Hl J l• = + + + =∫

T ñó suy ra:

2 / s H J = và

2 0

2 0

víi

víi

ˆ /

ˆ /

s

s

yJ z H

yJ z

− >=

<



Bài 1: Da trên hình v 1, xác ñnh góc gia 1 H

và 2ˆ ˆn z= bit ( )2 ˆ ˆ3 2 / H x z A m= +

,

1' 2 µ = , 2' 8 µ = , và 0s J = .

Gii:Theo ñiu kin b ta có:

1 2 3 x x H H = =

1 1 2 2 z z H H µ µ =

Do ñó

21 2

1

82 8

2 z z H H

µ

µ = = =

Vy, 1 ˆ ˆ3 8 H x z= +

Góc gia 1 H

và 2ˆ ˆn z= ñư c xác ñnh theo công thc:

( ) 1

1

ˆ 8cos 0,936

ˆ 9 64

H z

H zθ

•= = =

+

20,6oθ =

Bài 2: Mt t ñin hình tr có chiu dài L ñư c cu to b i các b mt dn ñin ñng trc

có bán kính ln lư t là a và b. Chèn gia hai b mt dn ñin là hai cht ñin môi có các

hng s ñin môi, ε'1

and ε'2

khác nhau.

(a) Xác ñnh vector cư ng ñ ñin trư ng và hiu ñin th trong mi các vùng có

cht ñin môi bit ñin th V tha mãn phươ ng trình Laplace.

(b) Xác ñnh vector cư ng ñ ñin trư ng và ñin th trong mi vùng bng ñnh

lut Gauss

(c) Tìm ñin dung ca t

Gii:



T ñin ñng trc

Do tính ñi xng, ñin th V là như nhau trên c vùng 1 và vùng 2. Do ñó, ñin trư ng

trong vùng 1 và vùng 2 sinh ra b i các ñin tích trong các b mt trong và ngoài phi có

phươ ng bán kính, và liên tc qua mt phân cách gia hai môi trư ng ñin môi, t c là, E1

= E2 (ta thy rng các vector ñin trư ng này chính là các thành phn tip tuyn, vì vy

ñiu kin b ca cht ñin môi cho thy rng hai thành phn tip tuyn qua mt phân

cách này phi như nhau) trên b mt phân cách gia hai môi trư ng.

Do ñin th trong c hai vùng tha mãn phươ ng trình Laplace2

0V ∇ = , dn t i phươ ng

trình:

0V

r r r r

∂ ∂ =

∂ ∂

Ly tích phân hai ln, ta có ( ) 1 2lnV r C r C = + v i a <r < b .

ðt 0V là hiu ñin th gia các mt tr trong và ngoài, ta có

( ) ( ) ( )1 1 0ln ln lna

V r a V r b C a b C V b

= − = = − = =

Suy ra

01

ln

V C

a

b

=

Giá tr ca C2 có th ñư c xác ñnh b i mt ñin th chun. Vy, ta ñt V (r = b) = 0, dnt i 2 1 lnC C b= − . Vì vy ta có biu thc cui cùng cho ñin th

( )0 ln

ln

r V

bV r

a

b

= v i a <r < b



Vector cư ng ñ ñin trư ng, ñư c xác ñnh b i biu thc

( )

( ) ( )

( )

1 2

0 0

0

1

ˆ ˆ ˆ

ln / ˆ ˆ

ln / ln /

ˆln /

V V V

E E V zr r z

V r b V

r a b r a b

V a r b

r b a

ρ ϕ ϕ

ρ ρ

ρ

∂ ∂ ∂

= = −∇ = − + + ∂ ∂ ∂

∂= − = − ∂

= < <

oo

(b) As we are interested in the field and potential in the dielectric-filled regions,

therefore we could consider using Gauss law to evaluate the problem. As such, we

consider a cylindrical volume to enclose the inner cylinder conducting core. So, theGauss law can read as



Bài 1: Xây dng biu thc ca ñin cm trên mt ñơ n v ñ dài ca mt cáp ñng trc

da trên công thc L I

Φ= . Các vt dn là lý tư ng và có bán kính là a và b; và vt liu

cách ñin có ñ t thm tuyn tính µ.

Gii:

Do dòng ñin I trong dây dn trong, vector cm ng t B trong vùng thm màu ñư c chob i công thc:

ˆ2

I B

µ ϕ

πρ =

V i mt kín S ñư c chn như trên hình v thì vector cm ng t B vuông góc v i S ti

mi v trí trên S. Do ñó thông lư ng ca vector cm ng t B qua S bng:

( )0

ˆ ˆ2 2

ln2

l b

S S a

I I d B dS d dz dz

I bla

µ µ ρ ϕ ϕ ρ

πρ π ρ

µ π

Φ = • = • =

=

∫ ∫ ∫ ∫

T ñó ta có ñin cm trên mt ñơ n v ñ dài bng

' ln2

L b L

l lI a

µ

π

Φ = = =

Dây dn

ngoài

Dây dn

ngoài

Dây dn

trong

Mt ct dc ca mt dây dn ñng trc





( )( )

21 2

3/22 0

2

ˆˆ / 2

2

I a I H z x A m

ya h

π

−= +

+

b) v i các thông s ñã cho

( )ˆˆ36 31,83 / H z x A m= − +



BÀI TP S 7

Bài 1: Mt sóng phng ñng nht v i ˆ x E xE =

lan truyn theo hư ng + z trong mt môi trư ng

không suy hao có ' 4ε =

và ' 1 µ =

. Gi thit rng x E có dng hình sin v i tn s

100MHz f = và ñt giá tr cc ñi bng 10-4

V/m ti t = 0 và ( )1

8 z m= .

(a) Tính bư c sóng và vn tc pha, và tìm các biu thc biu din giá tr tc th i ca các vector

cư ng ñ ñin trư ng và t trư ng.

(b) Xác ñnh v trí mà ñó x E ñt giá tr dươ ng cc ñi ti th i ñim 810t s−

= .

Gii:

a) Ta bit:

ˆ ˆna z= , ( )ˆ ˆ ˆˆ ˆna r z xx yy zz z• = • + + =

, ˆ ê x= Hng s pha bng:

( )8

0 0 8

2 10' ' ' ' 4 4 / 3 /

3 10rad m

c

ω π β ω µε ω µ µ ε ε µ ε π

×= = = ≈ =

×

Bư c sóng bng:

( )2 2 3

1,54

mπ π

λ β π

×= = =

Vn tc pha bng:

( )8

83 101,5 10 /

' ' 4 p

cv m s

ω

β µ ε

×= = ≈ = ×

Vector cư ng ñ ñin trư ng dng phasor:

( ) ( ) ( )ˆ 4 /340ˆ ˆ10n j a r j z j j E r e E e e x e e

β π φ φ − • −−= =

Giá tr tc th i ca vector cư ng ñ ñin trư ng bng:

( ) ( ) ( )4 8 4ˆ, Re , 10 cos 2 10 /

3

j t E r t E r t e x t z V m

ω π π φ − = = × − +

Do hàm cosine ñt giá tr cc ñi khi ñi s ca nó bng 0, nên ti 0t = và ( )1

8 z m= ta có:

8 4 4 12 10 0 0

3 3 8t z

π π π φ φ × − + = − + =

Ta rút ra ñư c

( )6

rad π

φ =

Và

( ) ( ) ( )4 8 4ˆ, Re , 10 cos 2 10 /

3 6

j t E r t E r t e x t z V m

ω π π π − = = × − +



Tr kháng sóng ca môi trư ng bng:

( )7

12

1 4 10 / 60

4 8,854 10

π η µ ε π

−

−

× ×= = ≈ Ω

× ×

Do ñó ta có:

( ) ( ) ( )

4

4 /3 /61 10ˆ ˆ60

j z jn

H r a E r y e e π π

η π

−

−= × =

Và

( ) ( ) ( )4

810 4ˆ, Re cos 2 10 /

60 3 6

j t H r t H r e y t z A mω π π π

π

− = = × − +

Trư ng E và H ca song phng ti th i ñim t = 0

b) Hàm cosine ñt giá tr cc ñi dươ ng nu ñi s ca nó bng 2nπ ± v i 0, 1, 2,n = … . Do ñó

ti th i ñim 810t −

= , trư ng ñt giá tr cc ñi ti các v trí M z tha mãn ñiu kin:

8 84

2 10 10 23 6 M z n

π π π π

−

× × − + = ±

132

6 1,625 1.5 1,6254

3

M

n

z n n

π π

λ π

±

= = ± = ±

Tuy nhiên, do song phng truyn theo phươ ng +z nên M z ch nhn các giá tr dươ ng, vì vy



1,625 M z nλ = +

0, 1, 2,n = …

Bài 2: Mt sóng phng hình sin ñng nht lan truyn trong không khí có t trư ng tc th i ñư ccho b i biu thc:

( ) ( ) ( )1 1

ˆ ˆ, , cos 6 8 / 15 20

H x z t x z t x z A mω π π

= − + − −

Tính , β λ và ω ri tìm biu thc tc th i ca ñin trư ng.

Gii:

Biu thc ca t trư ng dng phasor:

( ) ( ) ( )6 81 1

ˆ ˆ, / 15 20

j x z H x z x z e A m

π π

− + = − +

Theo biu thc:

( ) ( )ˆ

0ˆ n j a r

H r hH eβ − •

=

, ta suy ra

2 2

0

1 1 1

15 20 12 H

π π π

= + =

và

1 1ˆ ˆ

4 315 20ˆ ,0,1 5 5

12

x z

hπ π

π

− +

= = −

( )ˆ 6 8na r x z β • = +

ðt ( )ˆ , ,n x y za a a a= ta có th vit:

( )ˆ 6 8n x y za r a x a y a z x z β β β β • = + + = +

T ñó suy ra:

6 6 /

0 0

8 8 /

x x

y y

z z

a a

a a

a a

β β

β

β β

= =

= ⇒ =

= =

Tuy nhiên, do 2 2 2 1 x y za a a+ + = , ta có:

2 2

2 2

6 81

β β + = hay ( )10 / rad m β =

và3 4

ˆ ,0,5 5

na

=



( )2

0,2 mπ

λ π β

= =

Tr kháng sóng ca không khí bng:

( )0 0 0 / 120η η µ ε π = = = Ω

Doñó

( )8 910 3 10 3 10 / pv c rad sω β β = = = × × = ×

( ) ( )( ) ( )

( )

6 8

6 8

3 4 4 3 120ˆ ,0, ,0,

5 5 5 5 12

ˆ10

j x z

n

j x z

E r a H r e

y e

π η

π

− +

− +

= − × = − × −

=

Vy

( ) ( )6 8ˆ, 10j x z

E x z y e− +

=

và

( ) ( ) ( )9ˆ, , Re , 10cos 3 10 6 8 j t E x z t E x z e y t x z

ω = = × − −



BÀI TP S 8

Bài 1: Tính hng s pha, hng s suy hao, tr kháng song và bư c sóng ca mt sóng có tn s 3 GHz trong

mt vt liu có ' 1 µ = , ' 2,5r ε = và suy hao tangent bng 0.01.

Gii:Bài toán cho bit:

' 1 µ = , ' 2,5r ε = , 93 10 f Hz= × ,'

'

tan 0,01i

r

ε δ

ε

= =

Do ñó:

- ' '0,01 0,025i r ε ε = =

-

( ) ( )

( )

' '0 0

9 7 12

'

2 3 10 4 10 2,5 0,025 8,854 10

0.4971 99.4148

r i r i j j j j

j j

j j

γ ω µ ε ε ω µ µ ε ε ε

π π

α β

− −

= − = − =

= × × × − × ×

= + = +

Hng s pha:99.4148 β =

Hng s suy hao:0.4971α =

- Tr kháng sóng:

( )

0' 1

1202,5 0,025

120 0.6324 0.0032 238.4212 1.1921 r i j j

i j

µ µ η η π

ε ε ε

π

= = =− −

= + = + Ω

Tuy nhiên, do ' 'i r ε ε << , ta có th áp dng ngay công thc tính xp x. Khi ñó ta có:

9 7 122 3 10 4 10 2,5 8,854 10

99,4136r β ω µε π π − −

= = × × × × × × ×

=

79 12

12

4 103 10 0,025 8,854 10

2 2,5 8,854 10

0.4971

i

r

ωε µ π α π

ε

−−

−

×≈ = × × × × ×

× ×

=

( )

7

12

4 10 0,0251 1

2 2 2,52,5 8,854 10

238, 27 1 0,005 238, 27 1,19

i

r r

j j

j j

ε µ π η

ε ε

−

−

× ≈ + = +

×× ×

= + = +

Bài 2: Vector cư ng ñ ñin trư ng ca mt song phng ñng nht phân cc tuyn tính lan truyn theo

hư ng +z trong nư c bin là ( )7ˆ100cos 10 E x t π =

ti 0 z = . Các thông s chính ca nư c bin là ' 72r ε =

' 1 µ = , và 4 / S mσ = .

(a) Xác ñnh hng s suy hao, tr kháng sóng, vn tc pha, bư c song và ñ sâu b mt(b) Tim khong cách mà ti ñó biên ñ ca trư ng bng 1% giá tr ca nó ti z = 0.(c) Vit các biu thc ca E( z, t ) và H( z, t ) .(d) Tính ñ sâu b mt ti tn s 1 GHz.



Gii:

a) V i 710ω π = , suy ra 65 10 f Hz= ×

Do7 12

4199,7 1

10 72 8,854 10r

σ

ωε π −= = >>

× × ×

, nên ta có th coi nư c bin là mt vt dn tt

ti tn s này.

Áp dng các công thc tính gn ñúng ta có th vit:7 710 4 10 4

8,89 / 2 2

Np mωµσ π π

α −

× × ×= = =

7 710 4 10 48,89 /

2 2rad m

ωµσ π π β

−× × ×

= = =

Tr kháng sóng ñư c cho b i biu thc:

( ) ( ) ( )7 7

/410 4 101 1 1

2 2 4 2 j

j j j eπ ωµ π π π

η π σ

−× ×

= + = + = + =×

Vn tc pha bng:7

610 3,53 10 / 8,89 pv m sω π

β = = = ×

Bư c sóng bng:2 2

0,7078,89

mπ π

λ β

= = =

ð sâu b mt:1 1

0,11258,89sδ

α = = =

b) Biên ñ ca trư ng bng:

( ) 100 z E z e

α −=

Ti 0 z =

( )0 100 E =

Ti 1 z z=

( ) 11 100 z

E z eα −

=

Ta cn có

( )

( )

11 1000,01

1000

z E z e

E

α −

= =

Do ñó 1 ln 0,01 ln 0,01 0,5188,89 z m

α = − = − =

c) Biu thc ca trư ng dng phasor:Biu thc dng tng quát:

( ) ( ) ( )ˆ ˆ0ˆ n na r j a r j

E r e E e e eα β φ − • − •

=

ñây:

ˆ ê x= , 0 ˆ0, 100, jn E e a r z

φ φ = = • =

Do ñó:

( ) 8,89 8,89ˆ100 z j z E z x e e

− −=



Vector t trư ng:

( ) ( )

( )

8,89 8,89 /4

8,89 /48,89

1 100ˆ

100ˆ

z j zn j

j z z

H z a E z y e ee

y e e

π

π

η π

π

− −

− +−

= × =

=

Các biu thc tc th i ca trư ng:

( ) ( ) ( )8,89 7ˆ, Re 100 cos 10 8,89 j t z E z t E z e x e t zω π − = = −

( ) ( ) 8,89 7100ˆ, Re cos 10 8,894

j t z H z t H z e x e t z

ω π π π

− = = − −

d) Ti tn s 1 f GHz= ,9 12

40, 9985 1

2 10 72 8,854 10r

σ

ωε π −= = ≈

× × × ×

. Vì vy ta không th s dng các

công thc tính xp x.Hng s ñin môi phc:

'9 12

0

4' 72 72 71,9019

2 10 8,854 10r j j j

σ ε ε

ωε π −= − = − = −

× × ×

Do ñó:

( )9 7 12

2 10 4 10 8,854 10 72 71,901980,837 195,347 j j j

j

γ ω µε π π − −

= = × × × × −

= +

Suy ra 80,837 / Np mα = . ð sâu b mt:1 1

0,01237 12,3780,837s m mmδ

α = = = =

Bài 3: Tính mt ñ công sut trung bình ca mt song phng hình sin ñng nht lan truyn trong không khí bit biu thc tc th i ca vector t trư ng ñư c cho b i biu thc:

( ) ( ) ( )1 1

ˆ ˆ, , cos 6 8 / 15 20

H x z t x z t x z A mω π π

= − + − −

Gii: T Bài 2 ca bài tp 7, ta xác ñnh ñư c:

( )

( )6 8ˆ, 10 /

j x z

E x z y e V m

− +=

Và ( ) ( ) ( )

6 81 1ˆ ˆ, /

15 20 j x z

H x z x z e A mπ π

− + = − +

Do ñó, mt ñ công sut trung bình ñư c cho b i biu thc:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )6 8 6 8*1 1 1 1ˆ ˆ ˆRe Re 10

2 2 15 20

1 10 10 1 1ˆ ˆˆ ˆRe

2 15 20 4 3

j x z j x zavP r E r H r y e x z e

z x x z

π π

π π π π

− + + + = × = − +

= + = +

Tuy nhiên, theo biu thc ca vector t trư ng, ta bit ñư c rng môi trư ng truyn song là không có suyhao, do ñó ta có th áp dng công thc:

( )2

0âv n

E P r a

η =

Trong ñó:3 4

ˆ ˆ ˆ5 5na x z= + , 0 10 E = , 0 120η η π = =

Vy:

( )3 4 100 1 1

ˆ ˆ ˆˆ5 5 240 4 3avP r x z x y

π π π

= + = +





2 1 2

2 1 2 1

2η η η τ

η η η η

−= = Γ =

+ + 2 13η η =

1

2Γ =

13

1S

+ Γ = =

− Γ 20 log3 9, 54dBS dB= =







Bài 2: Xét mt ñư ng microstrip có chiu dài 38,1 mm và chiu rng 1,241 mm trên mt ñ ñin môi

dày 1,27 và có hng s ñin môi tươ ng ñi bng 4. Gi thit vt dn là lý tư ng và ñin môi không có

suy hao.

(a) Xác ñnh tr kháng vào ca mch ti tn s 2 GHz nu ñư ng truyn ñư c ni v i mt ñin tr 300

.

(b) Ch rõ các v trí ñt cc ñi ca các sóng ñng dòng ñin và ñin áp trên ñư ng microstrip.

Gii:

a)' '

eff

1 1 12,9116

2 2 1 12 /

r r

d W

ε ε ε

+ −= + =

+

0

eff

60 8ln 74,965 75

4

d W Z

W d ε

= + = ≈ Ω

0 0 71,524 / eff rad m β ω µ ε ε = =

b) Nu ti là thun tr , thì ti ti s có mt cc ñi ñin áp (nu R L > Z 0 ) hoc mt cc tiu ñin áp (nu R L < Z 0 ). Trong bài này, Z L=300 Ω > Z 0 , nên s có mt cc ñi ñin áp ti ti và các giá tr cc ñi ticác khong cách / 2λ tính t ti. Như vy, cc ñi ñin áp ñt ti các v trí:

( )'43,92 , 0,1,2,...

2 M z n n mm n

λ = = =

S có mt cc ñi dòng ñin ti4

λ tính t ti, và các giá tr cc ñi ti các khong cách / 2λ tính t

ñim cc ñi ñu tiên:

( )'21,96 43,92 , 0,1,2,...

4 2

m z n n mm nλ λ

= + = + =

Bài 3: Xét mch ñin dư i ñây. Tìm tr kháng ñc tính Z 0 và ñ dài chun hóa ti thiu / l λ ca mch

di ñ cho tr kháng vào ca mch là Z in=300 Ω.

Gii:

ðt ( ) ( )tan tan 2 / T l l β π λ = =

( )

( )0

0

tan86,821+ 120,463

tan

L o

in

L

Z jZ l Z Z j

Z jZ l

β

β

+= = Ω

+



0 0 0

2 30 0

100 300 15000 75

50 30000 3750 5625 30000

Z Z T Z T

Z Z T T T T T

= − = ⇒

+ = + =

( )

00

tan 2 / 2,1602 / 0,181

162,01875

T l l

Z Z T

π λ λ = = =⇒

= Ω=

Bài 4: Xét mch ñin dư i ñây. Tín hiu t máy phát ñư c dn bng cách ñư ng truyn mch di không

suy hao t i hai ăng ten, mi ăng ten có tr kháng vào Z L2= Z L3=73 Ω. Xác ñnh công sut trung bình t imi ăng ten nu:(a) Z 02= Z 03=150 Ω và

(b) Z 02=150 Ω, Z 03=100 Ω.

Gii:

a)

Tng tr nhìn t BB' vào bng:



Tng tr nhìn t AA' bng:

Dòng ñin ñi vào mch ti AA' bng:

Công sut trung bình ñưa vào mch ti AA' bng:

Do ñư ng truyn là không suy hao, công sut ñưa vào ti AA' cũng chính bng tng công sut ñưa t ihai ăng ten. Vì vy:

b)

Tng tr nhìn t BB' bng:

Tng tr nhìn t AA':

Dòng tng ñi vào mch ti AA':

Tng công sut ñưa vào mch ti AA' bng:



Do mch di 1 là không suy hao, công sut trung bình ñưa vào hai mch di song song ti BB' bng

' ' 2,1643 BB AAP P W = = . Do mch di 2 và 3 không suy hao, công sut ñưa t i hai ăng ten phi bng

P BB'

Ti BB' ta có:

Như vy:

Chú ý rng:

Documents

bài tập trường điện từ