Lý thuyết trường điện từ

8/18/2019 Lý thuyết trường điện từ

1/20


2/20

1

LỜ I NÓIĐẦUKể từ khi Hertz b ằng thực nghi ệm đã chứng tỏ năng lượ ng điện có th ể bức

xạ trong không gian và s ự tồn tại của trườ ng điện từ đã mở đầu k ỷ nguyên ứngdụng sóng điện từ trong thông tin liên l ạc, truy ền số liệu, giải trí đa phươ ng tiện,điều khi ển từ xa ... H ệ thống thông tin vô tuy ến này ngày càng tr ở nên quantrọng và thi ết yếu trong xã h ội hiện đại. Do đó việc hiểu biết bản ch ất của sóngđiện từ, tính ch ất lan truy ền của trườ ng điện từ cũng nh ư các ứng dụng của nó làrất cần thiết. Để tích lu ỹ phần kiến thức này ng ườ i học cần phải có ki ến thức nềntảng về giải tích vector, phép tính tensor, ph ươ ng trình vi phân và đạo hàmriêng, gi ải tích hàm m ột biến và hàm nhi ều biến trong Toán h ọc cao c ấp; quang

học sóng và điện học trong V ật lý đại cươ ng.Giáo trình Lý thuy ế t tr ườ ng đ iện t ừ đượ c biên so ạn trong khuôn kh ổ của

chươ ng trình hoàn thi ện bộ sách giáo trình dùng để giảng dạy và h ọc tập củaKhoa Công ngh ệ Điện tử, Trườ ng Đại học Công nghi ệp TP H ồ Chí Minh, baogồm các n ội dung đượ c trình bày trong 5 ch ươ ng nh ư sau:

Chươ ng 0 M ột số công th ứ c toán h ọcChươ ng 1Các định lu ật và nguyên lý c ơ bản của tr ườ ng đ iện t ừ Chươ ng 2Tích phân các ph ươ ng trình MaxwellChươ ng 3Sóng đ iện t ừ phẳ ngChươ ng 4 Nhiễ u xạ sóng đ iện t ừ Do th ờ i gian và tài li ệu tham kh ảo còn nhi ều hạn chế, cho nên ch ắc chắn

giáo trình còn nhi ều thiếu sót. R ất mong có s ự đóng góp, phê bình c ủa bạn đọcđể giáo trình đượ c hoàn thi ện hơ n.

Tác giả

Võ Xuân Ân


3/20

2

MỤC LỤC

TrangLờ i nóiđầu 1

Chươ ng 0 Một số công th ức toán h ọc 3

Chươ ng 1Các định lu ật và nguyên lý c ơ bản của trườ ng điện từ 8

Chươ ng 2Tích phân các ph ươ ng trình Maxwell 32

Chươ ng 3Sóng điện từ phẳng 60

Chươ ng 4Nhiễu xạ sóng điện từ 90

Tài liệu tham khảo 107


4/20

3

Chươ ng 0MỘT SỐ CÔNG THỨ C TOÁN HỌC

1. Vector

{ } zyxzyx ak a jaia,a,aar r r

r

++==

{ } zyxzyx bk b jbib,b,bbr r r r

++==

{ } zyxzyx ck c jcic,c,ccr r r

r

++==

• zzyyxx bababab.a ++=r

r

• ( ) ( ) ( )xyyxzxxzyzzyzyx

zyx babak baba jbabaibbbaaa

k ji

ba −+−+−==×r r r

r r r

r

r

• ( )b,acosbab.a r r r r r r =

• cba r

r

r

=×

Phươ ng: ( )b,ac r r r ⊥ Chiều: theo qui t ắc vặn nút chai

Độ lớ n: ( )b,asinbac r r r r r =

• ( ) ( ) ( )b.a.cc.a.bcba r r r r r r r r r −=×× 2. Toán tử nabla

∂∂

∂∂

∂∂=∇

z ,

y ,

x

3. Gradient

zU

k yU

jxU

iU.gradU∂∂+

∂∂+

∂∂=∇=

r r r

4. Divergence

za

y

a

xa

a.adiv zyx∂

∂+

∂∂

+∂∂

=∇= r r

5. Rotary


5/20

4

∂∂

−∂∂

+

∂∂

−∂

∂+

∂

∂−

∂∂

=∂∂

∂∂

∂∂

=×∇=y

ax

ak

xa

za

jz

a

ya

i

aaazyx

k ji

aarot xyzxyz

zyx

r r r

r r r

r r

Số phứ cHàm m ũ

( )ysiniycoseee xiyxz +== +

Hàm m ũ là một hàm tu ần hoàn có chu kì là 2 πi. Thực vậy, ta có1k 2sinik 2cose ik 2 =π+π=π

Suy razik 2zik 2z ee.ee == ππ+

Công th ức Euler

eiy = cosy +isiny

Khi đó số phức z = r e iϕ = r(cos ϕ +isin ϕ)Phươ ng trình vi phân tuyến tính cấp hai

Phươ ng trình vi phân t ừ trườ ng cấp hai là ph ươ ng trình b ậc nhất đối vớ ihàm ch ưa biết và các đạo hàm c ủa nó:

)x(f yayay 21 =+′+′′ (1)Trong đó:a1, a2 và f(x) là các hàm c ủa biến độc lập x

f(x) = 0 ⇒ (1) g ọi là ph ươ ng trình tuy ến tính thu ần nhất

f(x) ≠ 0 ⇒ (1) g ọi là ph ươ ng trình tuy ến tính không thu ần nhất

a1, a2 ≡ const ⇒ (1) g ọi là ph ươ ng trình tuy ến tính có h ệ số không đổiPhươ ng trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất

Phươ ng trình vi phân t ừ trườ ng cấp hai thu ần nhất có d ạng:0yayay 21 =+′+′′ (2)

a1, a2 là các hàm c ủa biến x


6/20

5

Định lí 1. Nếu y 1 = y 1(x) và y 2 = y 2(x) là 2 nghi ệm của (2) thì y = C 1y1 + C 2y2 (trong đó C 1, C 2 là 2 h ằng số tuỳ ý) c ũng là nghi ệm của phươ ng trình ấy.

Hai hàm y 1(x) và y 2(x) là độc lậ p tuyế n tính khi( )

( )const

xy

xy

2

1 ≠ , ng ượ c lại là ph ụ

thuộc tuyế n tính

Định lí 2. Nếu y 1(x) và y 2(x) là 2 nghi ệm độc lập tuyến tính c ủa phươ ng trình viphân t ừ trườ ng c ấp hai thu ần nh ất (2) thì y = C 1y1 + C 2y2 (trong đó C 1, C 2 là 2hằng số tuỳ ý) là nghi ệm tổng quát c ủa phươ ng trình ấy.Định lí 3. Nếu đã biết một nghi ệm riêng y 1(x) của phươ ng trình vi phân t ừ

trườ ng cấp hai thu ần nhất (2) thì có th ể tìm đượ c một nghi ệm riêng y 2(x) củaphươ ng trình đó, độc lập tuyến tính v ớ i y1(x) bằng cách đặt y2(x) = y 1(x).u(x)Phươ ng trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất

Phươ ng trình vi phân t ừ trườ ng cấp hai là ph ươ ng trình b ậc nhất đối vớ ihàm ch ưa biết và các đạo hàm c ủa nó:

)x(f yayay 21 =+′+′′ (3)

Trong đó:a1 và a 2 là các hàm c ủa biến độc lập x; f(x) ≠ 0

Định lí 1. Nghi ệm tổng quát c ủa phươ ng trình không thu ần nhất (3) b ằngnghiệm tổng quát c ủa phươ ng trình thu ần nhất (2) t ươ ng ứng và m ột nghi ệmriêng nào đó của phươ ng trình không thu ần nhất (3).Định lí 2. Cho ph ươ ng trình không thu ần nhất

)x(f )x(f yayay 2121 +=+′+′′ (4)

Nếu y 1(x) là nghi ệm riêng c ủa phươ ng trình)x(f yayay 121 =+′+′′ (5)

và y 2(x) là nghi ệm riêng c ủa phươ ng trình)x(f yayay 221 =+′+′′ (6)

thì y(x) = y 1(x) + y 2(x) c ũng là nghi ệm riêng c ủa phươ ng trình (4)

Phươ ng trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số khôngđổi


7/20

6

Phươ ng trình vi phân t ừ trườ ng cấp hai thu ần nhất có d ạng:0qyypy =+′+′′ (7)

p, q là các h ằng số

Giả sử nghi ệm riêng c ủa (7) có d ạngkxey = (8)

Trong đó: k là h ằng số sẽ đượ c xác địnhSuy ra

kxkey =′ , kx2ek y =′′ (9)

Thay (8) và (9) vào (7) ta có

( ) 0qpk k e 2kx =++ (10)Vì e kx ≠ 0 nên

0qpk k 2 =++ (11)

Nếu k tho ả mãn (11) thì y = e kx là một nghi ệm riêng c ủa phươ ng trình viphân (7). Ph ươ ng trình (11) g ọi là phươ ng trình đặc tr ư ng của phươ ng trình viphân (7)

Nhận xét: Phươ ng trình đặc tr ư ng (7) là ph ươ ng trình b ậc 2 có 2 nghi ệm k 1 và k 2 như sau

- k1 và k2 là 2 số thự c khác nhau, khi đó 2 nghi ệm riêng c ủa phươ ng trìnhvi phân (7) là

xk 1

1ey = , xk 2 2ey = (12)

Hai nghi ệm riêng (12) là độc lập từ trườ ng vì( ) conste

yy xk k

2

1 21 ≠= − (13)

Do đó nghi ệm tổng quát c ủa phươ ng trình vi phân (7) làxk

2xk

12121 eCeCyyy +=+= (14)

- k1 và k2 là 2 số thự c trùng nhau: k1 = k2

Hai nghi ệm riêng độc lập từ trườ ng: xk 1 1ey = , xk 2 1xey =


8/20

7

Nghiệm tổng quát c ủa phươ ng trình vi phân (7) là( ) xk 21xk 2xk 1 111 exCCxeCeCy +=+= (15)

- k1 và k2 là 2 số phứ c liên hợ p: k1 = αααα + iββββ và k2 = αααα - iββββ Hai nghi ệm riêng c ủa phươ ng trình vi phân (7) là

( )

( ) xixxi2

xixxi1

eeey

eeey

β−αβ−α•

βαβ+α•

==

== (16)

Theo công th ức Euler ta có

xsinixcose

xsinixcosexi

xi

β−β=

β+β=β−

β

(17)

Suy ra

( )

( )xsinixcoseeey

xsinixcoseeey

xxix2

xxix1

β−β==

β+β==

αβ−α•

αβα•

(18)

Nếu•

1y và•

2y là 2 nghi ệm của phươ ng trình vi phân (7) thì các hàm

xsinei2yy

y

xcose2 yyy

x212

x211

β=+=

β=+=

α

••

α

••

(19)

cũng là nghi ệm của phươ ng trình vi phân (7) và độc lập từ trườ ng vì

constxtgyy

2

1 ≠β= (20)

Do đó nghi ệm tổng quát c ủa phươ ng trình vi phân (7) là( )xsinCxcosCexsineCxcoseCy 21xx2x1 β+β=β+β=

ααα (21)


9/20

8

Chươ ng 1CÁCĐỊNH LUẬT

VÀ NGUYÊN LÍ CƠ BẢN CỦA TRƯỜ NGĐIỆN TỪ

1.1. Cácđại lượ ng đặc trư ng cho trườ ng điện từ 1.1.1. Vector cườ ng độ điện trườ ng• Điện trườ ng đượ c đặc trưng bở i lực tác d ụng lên điện tích đặt trong điện

trườ ng

EqFr r

= (1.1)

Hay:

qF

E

r

r

= (1.2)

• Cđđt Er

tại một điểm bất kì trong điện trườ ng là đại lượ ng vector có tr ị số bằng lực tác d ụng lên m ột đơ n v ị điện tích điểm dươ ng đặt tại điểm đó

• Lực tác d ụng giữa 2 đt điểm Q và q

20

0 rr

4QqF

r

r

πεε= (1.3)

- m / F10.854,8 120−=ε - hằng số điện

- ε - độ điện thẩm tươ ng đối- 0r

r

- vector đơ n v ị ch ỉ phươ ng

• Hệ đt điểm n21 q,...,q,q

∑∑== πεε

==n

1i2

i

i0i

0

n

1ii r

rq4

1EE

r

r r

(1.4)

i0rr

- các vector đơ n v ị ch ỉ phươ ng

• Trong th ực tế hệ thườ ng là dây m ảnh, m ặt phẳng hay kh ối hình h ọc, do đó:

∫ρπεε= l 2l0l rr

dl4

1E

r

r

(1.5)


10/20

9

∫ρπεε= S 2S0S rr

dS4

1E

r

r

(1.6)

∫ρπεε

=V

2V

0

V

r

rdV

4

1E

r

r

(1.7)

1.1.2. Vectorđiện cảm• Để đơ n giản khi tính toán đối vớ i các môi tr ườ ng khác nhau, ng ườ i ta sử

dụng vector điện cảm Dr

ED 0r r

εε= (1.8)

1.1.3. Vector từ cảm• Từ trườ ng đượ c đặc trưng bở i tác d ụng lực của từ trườ ng lên điện tích chuy ển

động hay dòng điện theo định luật Lorentz

BvqFr

r r

×= (1.9)

• Từ trườ ng do ph ần tử dòng điện lIdr

tạo ra đượ c xác định bở i định luật thựcnghiệm BVL

( )rlIdr4

Bd 20 r

r r

×π

µµ= (1.10)

- m / H10.257,110.4 670−− =π=µ - hằng số từ

- µ - độ từ thẩm tươ ng đối

• Từ trườ ng của dây d ẫn có chi ều dài l

∫ ×π

µµ=l

20

r

rlId

4B

r

r

r

(1.11)

1.1.4. Vector cườ ng độ từ trườ ng• Để đơ n giản khi tính toán đối vớ i các môi tr ườ ng khác nhau, ng ườ i ta sử

dụng vector c ườ ng độ từ trườ ng Hr


11/20

10

0

BH

µµ=

r

r

(1.12)

1.2.Định luật Ohm vàđịnh luật bảo toànđiện tích

1.2.1.Định luật Ohm dạng vi phân• Cườ ng độ dòng điện I ch ạy qua m ặt S đặt vuông góc v ớ i nó b ằng lượ ng điện

tích q chuy ển qua m ặt S trong m ột đơ n v ị thờ i gian

dtdq

I −= (1.13)

Dấu trừ ch ỉ dòng điện I đượ c xem là d ươ ng khi q gi ảm

•

Để mô tả đầy đủ sự chuyển động của các h ạt mang điện trong môi tr ườ ng dẫnđiện, ngườ i ta đưa ra khái ni ệm mật độ dòng điện

EvvenJ 0r

r r r

σ=ρ== (1.14)

dạng vi phân c ủa định lu ật Ohm- n 0 - mật độ hạt điện có điện tích e

- ρ - mật độ điện khối

- vr

- vận tốc d ịch chuy ển của các h ạt điện- σ - điện dẫn suất

• Dòng điện qua m ặt S đượ c tính theo

∫∫∫ σ===SSS

SdESdJdIIr r r r

(1.15)

• Một vật dẫn dạng kh ối lập ph ươ ng c ạnh L, 2 m ặt đối diện nối vớ i ngu ồn ápU, ta có

(lư u ý: áp d ụng c/t S = L 2 vàLS

LR

ρ=ρ= )

RU

LU)EL)(L(ESEdSIS

=σ=σ=σ=σ= ∫ (1.16)

dạng thông th ườ ng của định luật Ohm

Vì Er

và Sdr

cùng chi ều, đặt


12/20

11

RL1=σ

(1.17)

σ - điện dẫn suất có đơ n v ị là 1/ Ωm

1.2.2.Định luật bảo toànđiện tích• Điện tích có th ể phân b ố liên t ục hay gián đoạn, không t ự sinh ra và c ũng

không t ự mất đi, d ịch chuy ển từ vùng này sang vùng khác và t ạo nên dòngđiện.

• Lượ ng điện tích đi ra kh ỏi mặt kín S bao quanh th ể tích V b ằng lượ ng điệntích gi ảm đi từ thể tích V đó.

• Giả sử trong th ể tích V đượ c bao quanh b ở i mặt S, ta có∫ρ=V

dVQ (1.18)

sau th ờ i gian dt l ượ ng điện tích trong V gi ảm đi dQ

∫ρ−=−=V

dVdtd

dtdQ

I (1.19)

Mặt khác

∫=S

SdJIr

r

(1.20)

Suy ra

∫∫ ∂ρ∂−=

VS

dVt

SdJr r

(1.21)

Theođịnh lý OG

( ) ∫∫∫ ∂ρ∂−=∇=

VVS

dVt

dVJ.SdJv r r

(1.22)

Suy ra

0t

J. =∂ρ∂+∇

v

(1.23)

Đây là d ạng vi phân c ủa định lu ật bảo toàn điện tích hay phươ ng trình liên tụ c.

1.3. Cácđặc trư ng cơ bản của môi trườ ng


13/20

12

• Các đặc trưng cơ bản của môi tr ườ ng: ε, µ, σ

• Các ph ươ ng trình:

ED 0r r

εε= (1.24)

µµ=

0

BH

r

r

(1.25)

gọi là các ph ươ ng trình v ật chất

• ε, µ, σ ∉ cườ ng độ trườ ng : môi tr ườ ng tuy ến tính

• ε, µ, σ ≡ const : môi tr ườ ng đồng nh ất và đẳng hướ ng

• ε, µ, σ theo các h ướ ng khác nhau có giá tr ị không đổi khác nhau: môi tr ườ ng

không đẳng hướ ng. Khi đó ε, µ biểu diễn bằng các tensor có d ạng nh ư bảngsố. Chẳng hạn ferrite b ị từ hoá ho ặc plasma b ị từ hoá là các môi tr ườ ngkhông đẳng hướ ng khi truy ền sóng điện từ

• ε, µ, σ ∈ vị trí : môi tr ườ ng không đồng nh ất

Trong t ự nhiên đa số các ch ất có ε > 1 và là môi tr ườ ng tuy ến tính.

Xecnhec có ε >> 1 : môi tr ườ ng phi tuy ến

µ > 1 : ch ất thuận từ : các kim lo ại kiềm, Al, NO, Ph ươ ng trình, O, N,không khí, ebonic, các nguyên t ố đất hiếm

µ < 1 : ch ất ngh ịch từ : các khí hi ếm, các ion nh ư Na +, Cl - có các l ớ pelectron gi ống nh ư khí hi ếm, và các ch ất khác nh ư Pb, Zn, Si, Ge, S, CO 2, H 2O,

thuỷ tinh, đa số các h ợ p chất hữu cơ

µ >> 1 : ch ất sắt từ : môi tr ườ ng phi tuy ến : Fe, Ni, Co, Gd, h ợ p kim cácnguyên t ố sắt từ hoặc không s ắt từ Fe-Ni, Fe-Ni-Al. Độ từ hoá c ủa chất sắt từ lớ n hơ n độ từ hoá c ủa chất ngh ịch từ và thu ận từ hàng tr ăm triệu lần.

• Căn cứ vào độ dẫn điện riêng σ: chất dẫn điện, chất bán d ẫn và ch ất cáchđiện hay điện môi

Chất dẫn điện: σ > 10 4 1/ Ωm, σ = ∞ : chất dẫn điện lý t ưở ng

Chất bán d ẫn: 10 -10 < σ < 10 4


14/20

13

Chất cách điện: σ < 10 -10 , σ = 0 : điện môi lý t ưở ng

Không khí là điện môi lý t ưở ng: ε = µ = 1, σ = 01.4.Định lí Ostrogradski-Gaussđối vớ i điện trườ ng• Đượ c tìm ra b ằng thực nghi ệm, là c ơ sở của các ph ươ ng trình Maxwell

• Thông l ượ ng của vector điện cảm Dr

qua m ặt S là đại lượ ng vô h ướ ng đượ cxác định bở i tích phân

∫=ΦS

E SdDr r

(1.26)

Sdr

: vi phân di ện tích theo h ướ ng pháp tuy ến ngoài

dS.cos( Dr

, Sdr

) : hình chi ếu của S lên ph ươ ng Dr

• Xét m ột mặt kín S bao quanh điện tích điểm q, tính thông l ượ ng của Dr

do q

tạo ra qua m ặt kín S, ta có

( )Ω

π=

π==Φ d

4q

r4Sd,Dcos.dS.q

SdDd 2

r r

r r

(1.27)

dΩ là vi phân góc kh ối từ điện tích q nhìn toàn b ộ diện tích dS

Thông l ượ ng của Dr

qua toàn m ặt kín S là

qd4q

SdDS

=Ωπ

==Φ ∫∫Ω

r r

(1.28)

• Xét tr ườ ng hợ p điện tích điểm q n ằm ngoài m ặt kín S. T ừ điện tích q nhìntoàn m ặt S dướ i một góc kh ối nào đó. Mặt S có th ể chia thành 2 n ửa S và S'

Dr

Sdr

S

dΩ rr

q


15/20

14

(có giao tuy ến là AB). Pháp tuy ến ngoài c ủa S và S' s ẽ có chi ều ngượ c nhau.Do đó tích phân trên S và S' có cùng giá tr ị nhưng trái d ấu. Khi đó thông

lượ ng của Dr

qua toàn m ặt kín S b ằng 0.

• Xét hệ điện tích điểm q 1, q2, ..., q n đặt trong m ặt kín S, ta có∑

==

n

1iiDD

r r

(1.29)

Thông l ượ ng của Dr

do hệ q1, q2, ..., q n gây ra qua toàn m ặt kín S

QqSdDSdDn

1ii

n

1i Si

S

====Φ ∑∑∫∫==

r r r r

(1.30)

Vậy: Thông l ượ ng của vector điện cảm Dr

qua m ặt kín S b ất k ỳ bằng tổngđại số các điện tích n ằm trong th ể tích V đượ c bao quanh b ở i S

Lưu ý: Vì Q là t ổng đại số các điện tích q 1, q 2, ..., q n, do đó Φ có th ể âmhoặc dươ ng

• Nếu trong th ể tích V đượ c bao quanh b ở i S có m ật độ điện khối ρ thì Φ đượ ctính theo

QdVSdDVS

E =ρ==Φ ∫∫ r r

(1.31)

Các công th ức (1.30) và (1.31) là d ạng toán h ọc của định lí Ostrogradski-Gauss đối vớ i điện trườ ng.

Nguyên lý liên t ục của từ thông

• Thực nghi ệm đã chứng tỏ đườ ng sức từ là khép kín dù ngu ồn tạo ra nó làdòng điện hay nam châm. Tìm bi ểu thức toán h ọc biểu diễn cho tính ch ất này

Dr

Sdr

A

B

q


16/20

15

• Giả sử có m ặt kín S tu ỳ ý nằm trong t ừ trườ ng v ớ i vector t ừ cảm Br

. Thông

lượ ng của Br

qua m ặt kín S b ằng tổng số các đườ ng sức từ đi qua m ặt S này.Do đườ ng sức từ khép kín nên s ố đườ ng sức từ đi vào th ể tích V b ằng số

đườ ng s ức từ đi ra kh ỏi thể tích V đó. Vì v ậy thông l ượ ng c ủa Br

đượ c tínhtheo

0SdBS

M ==Φ ∫ r r

(1.32)

Công th ức (1.32) g ọi là nguyên lý liên t ục của từ thông. Đây là m ột phươ ngtrình c ơ bản của trườ ng điện từ

1.5. Luận điểm thứ nhất - Phươ ng trình Maxwell-FaradayKhi đặt vòng dây kín trong m ột từ trườ ng bi ến thiên thì trong vòng dây này

xh dòng điện cảm ứng. Ch ứng tỏ trong vòng dây có m ột điện trườ ng Er

có chi ều

là chi ều của dòng điện cảm ứng đó.Thí nghi ệm vớ i các vòng dây làm b ằng các ch ất khác nhau, trong điều kiện

nhiệt độ khác nhau đều có k ết quả tươ ng tự. Chứng tỏ vòng dây d ẫn không ph ải

là nguyên nhân gây ra điện trườ ng mà ch ỉ là ph ươ ng tiện giúp ch ỉ ra sự có mặtcủa điện trườ ng đó. Điện trườ ng này c ũng không ph ải là điện trườ ng t ĩ nh vìđườ ng sức của điện trườ ng t ĩ nh là đườ ng cong h ở . Điện trườ ng t ĩ nh không làmcho h ạt điện d ịch chuy ển theo đườ ng cong kín để tạo thành dòng điện đượ c (vìhoá ra trong điện trườ ng t ĩ nh không c ần tốn công mà v ẫn sinh ra n ăng lượ ngđiện !).

Muốn cho các h ạt điện d ịch chuy ển theo đườ ng cong kín để tạo thành dòngđiện thì công ph ải khác 0, có ngh ĩ a là

0ldEql

≠∫ r r

(1.33)

và đ.sức của điện trườ ng này ph ải là các đ.cong kín và g ọi là điện trườ ng xoáy.Phát bi ểu luận điểm I: B ất kì m ột từ trườ ng nào bi ến đổi theo th ờ i gian

cũng tạo ra m ột điện trườ ng xoáy.


17/20

16

Thiết lập phươ ng trình Maxwell-Faraday:Theo định lu ật cảm ứng điện từ của Faraday, s ức điện động cảm ứng xh

trong m ột vòng dây kim lo ại kín v ề tr ị số bằng tốc độ biến thiên c ủa từ thông đi

qua di ện tích c ủa vòng dây

dtd

e cΦ

−= (1.34)

Dấu (-) ph ản ảnh sức điện động c ảm ứng trong vòng dây t ạo ra dòng điện

cảm ứng có chi ều sao cho ch ống lại sự biến thiên c ủa từ thông Φ

∫=ΦS

SdBr r

(1.35)

là thông l ượ ng của vector t ừ cảm Br

qua S đượ c bao b ở i vòng dây. Suy ra

∫∫∫

∂∂−=

−=−=Φ−=

SSSc Sdt

BSd

dtBd

SdBdtd

dtd

er

r

r

r

r r

(1.36)

Hoặc biểu diễn sức điện động cảm ứng e c theo l ưu số của vector c ườ ng độ

điện trườ ng Er

∫=l

c ldEer r

(1.37)

Chiều của vòng dây kín l l ấy ngượ c chiều kim đồng hồ khi nhìn nó t ừ ngọn

của Br

Vì vòng dây kín l đứng yên nên theo các công th ức (1.35), (1.36), (1.37) tacó

Sdr

Br

ldr

S


18/20

17

∫∫

∂∂−=

Sl

SdtB

ldEr

r

r r

(1.38)

Đây là ph ươ ng trình Maxwell-Faraday d ướ i dạng tích phân, c ũng là m ộtphươ ng trình c ơ bản của trườ ng điện từ.

Vậy: Lưu số của vector c ườ ng độ điện trườ ng xoáy d ọc theo m ột đườ ngcong kín b ất kì b ằng về giá tr ị tuyệt đối nhưng trái d ấu vớ i tốc độ biến thiên theothờ i gian c ủa từ thông g ửi qua di ện tích gi ớ i hạn bở i đườ ng cong kín đó.

Theo gi ải tích vector (công th ức Green-Stock)

( )∫∫ ×∇=Sl

SdEldEr r r r

(1.39)

Theo các ph ươ ng trình (1.38) và (1.39)

tB

E∂∂−=×∇

r

r

(1.40)

Đây là ph ươ ng trình Maxwell-Faraday d ướ i dạng vi phân, có th ể áp dụngđối vớ i từng điểm một trong không gian có t ừ trườ ng bi ến thiên.1.6. Luận điểm thứ hai - Phươ ng trình Maxwell-Ampere

Theo lu ận điểm I, t ừ trườ ng biến thiên theo th ờ i gian sinh ra điện trườ ngxoáy. V ậy ngượ c lại điện trườ ng biến thiên có sinh ra t ừ trườ ng không ? Để đảm bảo tính đối xứng trong m ối liện hệ giữa điện trườ ng và t ừ trườ ng, Maxwellđưa ra lu ận điểm II:

Bất kì m ột điện trườ ng nào bi ến thiên theo th ờ i gian c ũng tạo ra m ột từ trườ ng.

(Đã chứng minh b ằng thực nghi ệm)Lưu ý: điện trườ ng nói chung có th ể không p.b ố đồng đều trong không

gian, có ngh ĩ a là thay đổi từ điểm này sang điểm khác, nh ưng theo lu ận điểm II sự biế n thiên củ a đ iệ n trườ ng theo không gian không tạ o ra từ trườ ng, chỉ có sự biế n thiên củ a đ iệ n trườ ng theo thờ i gian mớ i tạ o ra từ trườ ng.

Thiết lập phươ ng trình Maxwell-Ampere:


19/20

18

Theo nguyên lí tác d ụng từ của dòng điện và định lu ật Biot-Savart-Laplace,Ampere phát bi ểu định lu ật dòng điện toàn ph ần:

Lư u số của vector c ườ ng độ t ừ tr ườ ng Hr

d ọc theo m ột đườ ng cong kín b ấ t

kì bằ ng t ổ ng đại số các dòng đ iện đ i qua di ện tích bao b ở i đườ ng cong này

IIldHn

1ii

l

== ∑∫=

r v

(1.41)

Dòng điện I đi qua di ện tích S có th ể phân b ố liên t ục hoặc gián đoạn.

Nếu dòng điện qua m ặt S có phân b ố liên t ục vớ i mật độ dòng điện Jr

thì

∫∫ =Sl

SdJldHr r r v

(1.42)

Định luật dòng điện toàn ph ần cũng là m ột phươ ng trình c ơ bản của trườ ngđiện từ

Khái niệ m về dòngđ iệ n d ị chCăn cứ vào định luật cảm ứng điện từ của Faraday và định lu ật dòng điện

toàn ph ần của Ampere, Maxwell b ằng lý thuy ết đã ch ỉ ra sự tác dụng tươ ng hỗ giữa đt và từ trườ ng cùng v ớ i việc đưa ra khái ni ệm mớ i về dòng điện d ịch.Dòng điện d ịch có m ật độ đượ c tính theo công th ức

dP0d0d JJtP

tE

tD

Jr r

v r r

r

+=∂∂+

∂∂ε=

∂∂= (1.43)

Trong đó:

Jr

ldr

Sdr

Ii

S


20/20

tP

J dP ∂∂

=v

r

- mật độ dòng điện p.cực trong điện môi do s ự xê d ịch của các

điện tích

tEJ 00d ∂

∂ε=r

r

- điện trườ ng biến thiên trong chân không và g ọi là m ật độ dòng

điện d ịchĐể chứng minh s ự tồn tại của dòng điện d ịch, xét thí d ụ sau: có m ột mặt

kín S bao quanh 1 trong 2 b ản của tụ điện. Do có điện áp xoay chi ều đặt vào t ụ

điện nên gi ữa 2 bản tụ có điện trườ ng bi ến thiên Er

và dòng điện biến thiên ch ạyqua tụ. Dòng điện này chính là dòng điện d ị ch trong chân không vì gi ữa 2 bảntụ không t ồn tại điện tích chuy ển động và có giá tr ị:

tE

SI 00d ∂∂ε′=

r

(1.44)

Theo định lu ật Gauss

SESdEq 0S

0 ′ε=ε= ∫ r r

(1.45)

SSdS

′=∫ r

vì điện trườ ng ch ỉ tồn tại giữa 2 bản tụ

Đối vớ i môi tr ườ ng chân không, ta có: ε = 1

Dòng điện dẫn chạy trong dây d ẫn nối vớ i tụ có giá tr ị bằng

S S' +q

-q

Er

~

Documents

Lý thuyết trường điện từ