BAØI TAÄP...thứ ba thì hai đường thẳng ấy song song với nhau. b) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau. c) Nếu tứ giác T là

TRAÀN SÓ TUØNG

---- �� & �� ----

BAØI TAÄP

OÂN THI TOÁT NGHIEÄP THPT & ÑAÏI HOÏC

Naêm 2014

Trần Sĩ Tùng Mệnh đề – Tập hợp

Trang 1

1. Mệnh đề • Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai. • Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai. 2. Mệnh đề phủ định Cho mệnh đề P. • Mệnh đề "Không phải P" đgl mệnh đề phủ định của P và kí hiệu là P . • Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng. 3. Mệnh đề kéo theo Cho hai mệnh đề P và Q. • Mệnh đề "Nếu P thì Q" đgl mệnh đề kéo theo và kí hiệu là P ⇒ Q. • Mệnh đề P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng và Q sai. Chú ý: Các định lí toán học thường có dạng P ⇒ Q. Khi đó: – P là giả thiết, Q là kết luận; – P là điều kiện đủ để có Q; – Q là điều kiện cần để có P. 4. Mệnh đề đảo Cho mệnh đề kéo theo P ⇒ Q. Mệnh đề Q ⇒ P đgl mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q. 5. Mệnh đề tương đương Cho hai mệnh đề P và Q. • Mệnh đề "P nếu và chỉ nếu Q" đgl mệnh đề tương đương và kí hiệu là P ⇔ Q. • Mệnh đề P ⇔ Q đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh để P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng. Chú ý: Nếu mệnh đề P ⇔ Q là một định lí thì ta nói P là điều kiện cần và đủ để có Q. 6. Mệnh đề chứa biến Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập X nào đó

mà với mỗi giá trị của biến thuộc X ta được một mệnh đề. 7. Kí hiệu ∀ và ∃ • "∀x ∈ X, P(x)" • "∃x ∈ X, P(x)" • Mệnh đề phủ định của mệnh đề "∀x ∈ X, P(x)" là "∃x ∈ X, P x( )".

• Mệnh đề phủ định của mệnh đề "∃x ∈ X, P(x)" là "∀x ∈ X, P x( )". 8. Phép chứng minh phản chứng Giả sử ta cần chứng minh định lí: A ⇒ B. Cách 1: Ta giả thiết A đúng. Dùng suy luận và các kiến thức toán học đã biết chứng

minh B đúng. Cách 2: (Chứng minh phản chứng) Ta giả thiết B sai, từ đó chứng minh A sai. Do A

không thể vừa đúng vừa sai nên kết quả là B phải đúng. 9. Bổ sung Cho hai mệnh đề P và Q. • Mệnh đề "P và Q" đgl giao của hai mệnh đề P và Q và kí hiệu là P ∧ Q. Mệnh đề P ∧ Q đúng khi và chỉ khi cả P và Q đều đúng. • Mệnh đề "P hoặc Q" đgl hợp của hai mệnh đề P và Q và kí hiệu là P ∨ Q. Mệnh đề P ∨ Q sai khi và chỉ khi cả P và Q đều sai. • Phủ định của giao, hợp hai mệnh đề: P Q P Q∧ = ∨ , P Q P Q∨ = ∧ .

CHƯƠNG I MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP

I. MỆNH ĐỀ

Mệnh đề – Tập hợp Trần Sĩ Tùng

Trang 2

Baøi 1. Trong các câu dưới đây, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến: a) Số 11 là số chẵn. b) Bạn có chăm học không ? c) Huế là một thành phố của Việt Nam. d) 2x + 3 là một số nguyên dương. e) 2 5 0− < . f) 4 + x = 3. g) Hãy trả lời câu hỏi này!. h) Paris là thủ đô nước Ý. i) Phương trình x x2 1 0− + = có nghiệm. k) 13 là một số nguyên tố. ĐS: Mệnh đề: a, c, e, h, i, k. Mệnh đề chứa biến: d, f. Baøi 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng ? Giải thích ? a) Nếu a chia hết cho 9 thì a chia hết cho 3. b) Nếu a b≥ thì a b2 2≥ . c) Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 6. d) Số π lớn hơn 2 và nhỏ hơn 4. e) 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau. f) 81 là một số chính phương. g) 5 > 3 hoặc 5 < 3. h) Số 15 chia hết cho 4 hoặc cho 5. ĐS: Mệnh đề đúng: a, d, e, f, g, h. Baøi 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng ? Giải thích ? a) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau. b) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một cạnh bằng nhau. c) Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi chúng có hai đường trung tuyến bằng nhau

và có một góc bằng 060 . d) Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng của hai góc

còn lại. e) Đường tròn có một tâm đối xứng và một trục đối xứng. f) Hình chữ nhật có hai trục đối xứng. g) Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc với nhau. h) Một tứ giác nội tiếp được đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc vuông. ĐS: Mệnh đề đúng: c, d, f. Baøi 4. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng? Giải thích? Phát biểu các mệnh đề đó

thành lời: a) x R x2, 0∀ ∈ > . b) x R x x2,∃ ∈ > c) x Q x2,4 1 0∃ ∈ − = .

d) n N n n2,∀ ∈ > . e) x R x x2, 1 0∀ ∈ − + > f) x R x x2, 9 3∀ ∈ > ⇒ >

g) x R x x2, 3 9∀ ∈ > ⇒ > . h) x R x x2, 5 5∀ ∈ < ⇒ < i) x R x x2,5 3 1∃ ∈ − ≤

k) x N x x2, 2 5∃ ∈ + + là hợp số. l) n N n2, 1∀ ∈ + không chia hết cho 3.

m) n N n n*, ( 1)∀ ∈ + là số lẻ. n) n N n n n*, ( 1)( 2)∀ ∈ + + chia hết cho 6. ĐS: Mệnh đề đúng: b, c, e, g, i, k, l, n. Baøi 5. Điền vào chỗ trống từ nối "và" hay "hoặc" để được mệnh đề đúng: a) 4.... 5π π< > . b) ab khi a b0 0.... 0= = = . c) ab khi a b0 0.... 0≠ ≠ ≠ d) ab khi a b a b0 0.... 0.... 0.... 0> > > < < . e) Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho 2 …. cho 3. f) Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của nó bằng 0 …. bằng 5. ĐS: a) hoặc b) hoặc c) và d) và - hoặc - và e) và f) hoặc. Baøi 6. Cho mệnh đề chứa biến P(x), với x ∈ R. Tìm x để P(x) là mệnh đề đúng: a) P x x x2( ) :" 5 4 0"− + = b) P x x x2( ) :" 5 6 0"− + = c) P x x x2( ) :" 3 0"− >

d) P x x x( ) :" "≥ e) P x x( ) :"2 3 7"+ ≤ f) P x x x2( ) :" 1 0"+ + > ĐS: a) x x1; 4= = b) x x2; 3= = c) x x0 3< ∨ > d) x0 1≤ ≤ e) x 2≤ f) x R∈ . Baøi 7. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau: a) Số tự nhiên n chia hết cho 2 và cho 3. b) Số tự nhiên n có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc bằng 5. c) Tứ giác T có hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.


Trang 3

d) Số tự nhiên n có ước số bằng 1 và bằng n. Baøi 8. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau: a) x R x2: 0∀ ∈ > . b) x R x x2:∃ ∈ > . c) x Q x2: 4 1 0∃ ∈ − = . d) x R x x2: 7 0∀ ∈ − + > .

e) x R x x2: 2 0∀ ∈ − − < . f) x R x2: 3∃ ∈ = . g) n N n2, 1∀ ∈ + không chia hết cho 3. h) n N n n2, 2 5∀ ∈ + + là số nguyên tố.

i) n N n n2,∀ ∈ + chia hết cho 2. k) n N n2, 1∀ ∈ − là số lẻ. Baøi 9. Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng thuật ngữ "điều kiện cần", "điều kiện

đủ": a) Nếu một số tự nhiên có chữ số tận cùng là chữ số 5 thì nó chia hết cho 5. b) Nếu a b 0+ > thì một trong hai số a và b phải dương. c) Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3. d) Nếu a b= thì a b2 2= . e) Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a + b chia hết cho c. Baøi 10. Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng thuật ngữ "điều kiện cần", "điều kiện

đủ": a) Trong mặt phẳng, nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng

thứ ba thì hai đường thẳng ấy song song với nhau. b) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau. c) Nếu tứ giác T là một hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc với nhau. d) Nếu tứ giác H là một hình chữ nhật thì nó có ba góc vuông. e) Nếu tam giác K đều thì nó có hai góc bằng nhau. Baøi 11. Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng thuật ngữ "điều kiện cần và đủ": a) Một tam giác là vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng hai góc còn lại. b) Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó có ba góc vuông. c) Một tứ giác là nội tiếp được trong đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc đối bù nhau. d) Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho 2 và cho 3. e) Số tự nhiên n là số lẻ khi và chỉ khi n2 là số lẻ. Baøi 12. Chứng minh các mệnh đề sau bằng phương pháp phản chứng: a) Nếu a b 2+ < thì một trong hai số a và b nhỏ hơn 1. b) Một tam giác không phải là tam giác đều thì nó có ít nhất một góc nhỏ hơn 060 . c) Nếu x 1≠ − và y 1≠ − thì x y xy 1+ + ≠ − . d) Nếu bình phương của một số tự nhiên n là một số chẵn thì n cũng là một số chẵn. e) Nếu tích của hai số tự nhiên là một số lẻ thì tổng của chúng là một số chẵn. f) Nếu một tứ giác có tổng các góc đối diện bằng hai góc vuông thì tứ giác đó nội tiếp

được đường tròn. g) Nếu x y2 2 0+ = thì x = 0 và y = 0.


Trang 4

1. Tập hợp • Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa. • Cách xác định tập hợp: + Liệt kê các phần tử: viết các phần tử của tập hợp trong hai dấu móc { … }. + Chỉ ra tính chất đăc trưng cho các phần tử của tập hợp. • Tập rỗng: là tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu ∅. 2. Tập hợp con – Tập hợp bằng nhau • ( )A B x A x B⊂ ⇔ ∀ ∈ ⇒ ∈ + A A A,⊂ ∀ + A A,∅ ⊂ ∀ + A B B C A C,⊂ ⊂ ⇒ ⊂ • ( )A B A B vaø B A= ⇔ ⊂ ⊂ 3. Một số tập con của tập hợp số thực • N N Z Q R* ⊂ ⊂ ⊂ ⊂

• Khoảng: { }a b x R a x b( ; ) = ∈ < < ; { }a x R a x( ; )+∞ = ∈ < ; { }b x R x b( ; )−∞ = ∈ <

• Đoạn: { }a b x R a x b[ ; ] = ∈ ≤ ≤

• Nửa khoảng: { }a b x R a x b[ ; ) = ∈ ≤ < ; { }a b x R a x b( ; ] = ∈ < ≤ ;

{ }a x R a x[ ; )+∞ = ∈ ≤ ; { }b x R x b( ; ]−∞ = ∈ ≤ 4. Các phép toán tập hợp • Giao của hai tập hợp: { }A B x x A vaø x B∩ = ∈ ∈

• Hợp của hai tập hợp: { }A B x x A hoaëc x B∪ = ∈ ∈

• Hiệu của hai tập hợp: { }A B x x A vaø x B\ = ∈ ∉

Phần bù: Cho B A⊂ thì AC B A B\= . Baøi 1. Viết mỗi tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của nó:

A = { }x R x x x x2 2(2 5 3)( 4 3) 0∈ − + − + = B = { }x R x x x x2 3( 10 21)( ) 0∈ − + − =

C = { }x R x x x x2 2(6 7 1)( 5 6) 0∈ − + − + = D = { }x Z x x22 5 3 0∈ − + =

E = { }x N x x vaø x x3 4 2 5 3 4 1∈ + < + − < − F = { }x Z x 2 1∈ + ≤

G = { }x N x 5∈ < H = { }x R x x2 3 0∈ + + = ĐS: Baøi 2. Viết mỗi tập hợp sau bằng cách chỉ rõ tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó: A = { }0; 1; 2; 3; 4 B = { }0; 4; 8; 12; 16 C = { }3 ; 9; 27; 81− −

D = { }9; 36; 81; 144 E = { }2; 3; 5; 7; 11 F = { }3; 6; 9; 12; 15 G = Tập tất cả các điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB. H = Tập tất cả các điểm thuộc đường tròn tâm I cho trước và có bán kính bằng 5. ĐS: Baøi 3. Trong các tập hợp sau đây, tập nào là tập rỗng:

A = { }x Z x 1∈ < B = { }x R x x2 1 0∈ − + = C = { }x Q x x2 4 2 0∈ − + =

II. TẬP HỢP


Trang 5

D = { }x Q x2 2 0∈ − = E = { }x N x x2 7 12 0∈ + + = F = { }x R x x2 4 2 0∈ − + = ĐS: Tập rỗng: B, C, D, E. Baøi 4. Tìm tất cả các tập con, các tập con gồm hai phần tử của các tập hợp sau: A = { }1, 2 B = { }1, 2, 3 C = { }a b c d, , ,

D = { }x R x x22 5 2 0∈ − + = E = { }x Q x x2 4 2 0∈ − + = Baøi 5. Trong các tập hợp sau, tập nào là tập con của tập nào?

a) A = { }1, 2, 3 , B = { }x N x 4∈ < , C = (0; )+ ∞ , D = { }x R x x22 7 3 0∈ − + = . b) A = Tập các ước số tự nhiên của 6; B = Tập các ước số tự nhiên của 12. c) A = Tập các hình bình hành; B = Tập các hình chữ nhật; C = Tập các hình thoi; D = Tập các hình vuông. d) A = Tập các tam giác cân; B = Tập các tam giác đều; C = Tập các tam giác vuông; D = Tập các tam giác vuông cân. ĐS: Baøi 6. Tìm A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A với: a) A = {2, 4, 7, 8, 9, 12}, B = {2, 8, 9, 12} b) A = {2, 4, 6, 9}, B = {1, 2, 3, 4}

c) A = { }x R x x22 3 1 0∈ − + = , B = { }x R x2 1 1∈ − = . d) A = Tập các ước số tự nhiên của 12, B = Tập các ước số tự nhiên của 18.

e) A = { }x R x x x x2( 1)( 2)( 8 15) 0∈ + − − + = , B = Tập các số nguyên tố có một chữ số.

f) A = { }x Z x2 4∈ < , B = { }x Z x x x x2 2(5 3 )( 2 3) 0∈ − − − = .

g) A = { }x N x x x2 2( 9)( 5 6) 0∈ − − − = , B = { }x N x laø soá nguyeân toá x, 5∈ ≤ . ĐS: Baøi 7. Tìm tất cả các tập hợp X sao cho: a) {1, 2} ⊂ X ⊂ {1, 2, 3, 4, 5}. b) {1, 2} ∪ X = {1, 2, 3, 4}. c) X ⊂ {1, 2, 3, 4}, X ⊂ {0, 2, 4, 6, 8} ĐS: Baøi 8. Tìm các tập hợp A, B sao cho: a) A∩B = {0; 1; 2; 3; 4}, A\B = {–3; –2}, B\A = {6; 9; 10}. b) A∩B = {1; 2; 3}, A\B = {4; 5}, B\A = {6; 9}. ĐS: Baøi 9. Tìm A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A với: a) A = [–4; 4], B = [1; 7] b) A = [–4; –2], B = (3; 7] c) A = [–4; –2], B = (3; 7) d) A = (–∞; –2], B = [3; +∞) e) A = [3; +∞), B = (0; 4) f) A = (1; 4), B = (2; 6) ĐS: Baøi 10. Tìm A ∪ B ∪ C, A ∩ B ∩ C với: a) A = [1; 4], B = (2; 6), C = (1; 2) b) A = (–∞; –2], B = [3; +∞), C = (0; 4) c) A = [0; 4], B = (1; 5), C = (−3; 1] d) A = (−∞; 2], B = [2; +∞), C = (0; 3) e) A = (−5; 1], B = [3; +∞), C = (−∞; −2) ĐS: Baøi 11. Chứng minh rằng: a) Nếu A ⊂ B thì A ∩ B = A. b) Nếu A ⊂ C và B ⊂ C thì (A ∪ B) ⊂ C. c) Nếu A ∪ B = A ∩ B thì A = B d) Nếu A ⊂ B và A ⊂ C thì A ⊂ (B ∩ C).


Trang 6

1. Số gần đúng Trong đo đạc, tính toán ta thường chỉ nhận được các số gần đúng. 2. Sai số tuyệt đối Nếu a là số gần đúng của số đúng a thì a a a∆ = − đgl sai số tuyệt đối của số gần đúng

a. 3. Độ chính xác của một số gần đúng Nếu a a a d∆ = − ≤ thì a d a a d− ≤ ≤ + . Ta nói a là ssố gần đúng của a với độ chính

xác d, và qui ước viết gọn là a a d= ± . 4. Sai số tương đối

Sai số tương đối của số gần đúng a là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và a , kí hiệu aa a

∆δ = .

• aδ càng nhỏ thì độ chính xác của phép đo đạc hoặc tính toán càng lớn.

• Ta thường viết aδ dưới dạng phần trăm. 5. Qui tròn số gần đúng • Nếu chữ số ngay sau hàng qui tròn nhỏ hơn 5 thì ta chỉ việc thay thế chữ số đó và các

chữ số bên phải nó bởi số 0. • Nếu chữ số ngay sau hàng qui tròn lớn hơn hay bằng 5 thì ta thay thế chữ số đó và các

chữ số bên phải nó bởi số 0 và cộng thêm một đơn vị vào chữ số ở hàng qui tròn. Nhận xét: Khi thay số đúng bởi số qui tròn đến một hàng nào đó thì sai sô tuyệt đối của

số qui tròn không vượt quá nửa đơn vị của hàng qui tròn. Như vậy, độ chính xác của số qui tròn bằng nửa đơn vị của hàng qui tròn.

6. Chữ số chắc Cho số gần đúng a của số a với độ chính xác d. Trong số a, một chữ số đgl chữ số chắc

(hay đáng tin) nếu d không vượt quá nửa đơn vị của hàng có chữ số đó. Nhận xét: Tất cả các chữ số đứng bên trái chữ số chắc đều là chữ số chắc. Tất cả các

chữ số đứng bên phải chữ số không chắc đều là chữ số không chắc. Baøi 1. a)

III. SỐ GẦN ĐÚNG – SAI SỐ

Trần Sĩ Tùng Hàm số bậc nhất – bậc hai

Trang 7

1. Định nghĩa • Cho D ⊂ R, D ≠ ∅. Hàm số f xác định trên D là một qui tắc đặt tương ứng mỗi số x ∈

D với một và chỉ một số y ∈ R. • x đgl biến số (đối số), y đgl giá trị của hàm số f tại x. Kí hiệu: y = f(x). • D đgl tập xác định của hàm số. • T = { }y f x x D( )= ∈ đgl tập giá trị của hàm số. 2. Cách cho hàm số • Cho bằng bảng • Cho bằng biểu đồ • Cho bằng công thức y = f(x). Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x)

có nghĩa. 3. Đồ thị của hàm số Đồ thị của hàm số y = f(x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm ( )M x f x; ( ) trên

mặt phẳng toạ độ với mọi x ∈ D. Chú ý: Ta thường gặp đồ thị của hàm số y = f(x) là một đường. Khi đó ta nói y = f(x) là

phương trình của đường đó. 4. Sự biến thiên của hàm số Cho hàm số f xác định trên K. • Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu x x K x x f x f x1 2 1 2 1 2, : ( ) ( )∀ ∈ < ⇒ <

• Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu x x K x x f x f x1 2 1 2 1 2, : ( ) ( )∀ ∈ < ⇒ > 5. Tính chẵn lẻ của hàm số Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D. • Hàm số f đgl hàm số chẵn nếu với ∀x ∈ D thì –x ∈ D và f(–x) = f(x). • Hàm số f đgl hàm số lẻ nếu với ∀x ∈ D thì –x ∈ D và f(–x) = –f(x). Chú ý: + Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. + Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.

VẤN ĐỀ 1: Tìm tập xác định của hàm số • Đối với hàm số được cho bởi công thức y = f(x), tìm tập xác định D của hàm số y = f(x)

là tìm tất cả những giá trị của biến số x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa: D = { }x R f x coù nghóa( )∈ . • Điều kiện xác định của một số hàm số thường gặp:

1) Hàm số y = P xQ x

( )( )

: Điều kiện xác định: Q(x) ≠ 0.

2) Hàm số y = R x( ) : Điều kiện xác định: R(x) ≥ 0. Chú ý: + Đôi khi ta sử dụng phối hợp các điều kiện với nhau. + Điều kiện để hàm số xác định trên tập A là A ⊂ D.

+ A.B ≠ 0 ⇔ AB

00

≠ ≠

.

CHƯƠNG II HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

I. HÀM SỐ

Hàm số bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ Tùng

Trang 8

Baøi 1. Tính giá trị của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra: a) f x x( ) 5= − . Tính f(0), f(2), f(–2), f(3).

b) xf xx x2

1( )2 3 1

−=

− +. Tính f(2), f(0), f(3), f(–2).

c) f x x x( ) 2 1 3 2= − + − . Tính f(2), f(–2), f(0), f(1).

d)

khi xx

f x x khi xx khi x2

2 01

( ) 1 0 21 2

< −

= + ≤ ≤ − >

. Tính f(–2), f(0), f(1), f(2) f(3).

e) khi x

f x khi xkhi x

1 0( ) 0 0

1 0

− <= =

>. Tính f(–2), f(–1), f(0), f(2), f(5).

Baøi 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) xyx

2 13 2

+=

+ b) xy

x3

5 2−

=−

c) yx

44

=+

d) xyx x2 3 2

=− +

e) xyx x2

12 5 2

−=

− + f) xy

x x23

1=

+ +

g) xyx3

11

−=

+ h) xy

x x x22 1

( 2)( 4 3)+

=− − +

i) yx x4 2

12 3

=+ −

ĐS: Baøi 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) y x2 3= − b) y x2 3= − c) y x x4 1= − + +

d) y xx

113

= − +−

e) yx x

1( 2) 1

=+ −

f) y x x3 2 2= + − +

g) xyx x

5 2( 2) 1

−=

− − h) y x

x12 1

3= − +

− i) y x

x213

4= + +

−

ĐS: Baøi 4. Tìm a để hàm số xác định trên tập K đã chỉ ra:

a) xyx x a2

2 16 2

+=

− + −; K = R. ĐS: a 11>

b) xyx ax2

3 12 4

+=

− +; K = R. ĐS: a–2 2< <

c) y x a x a2 1= − + − − ; K = (0; +∞). ĐS: a 1≤ −

d) x ay x ax a

2 3 41

−= − + +

+ −; K = (0; +∞). ĐS: a 41

3≤ ≤

e) x ayx a

21

+=

− +; K = (–1; 0). ĐS: a ≤ 0 hoặc a ≥ 1

f) y x ax a

1 2 6= + − + +−

; K = (–1; 0). ĐS: –3 ≤ a ≤ –1

e) y x ax a

12 1= + + +−

; K = (1; +∞). ĐS: –1 ≤ a ≤ 1


Trang 9

VẤN ĐỀ 2: Xét sự biến thiên của hàm số Cho hàm số f xác định trên K. • y = f(x) đồng biến trên K ⇔ x x K x x f x f x1 2 1 2 1 2, : ( ) ( )∀ ∈ < ⇒ <

⇔ f x f x

x x K x xx x2 1

1 2 1 22 1

( ) ( ), : 0

−∀ ∈ ≠ ⇒ >

−

• y = f(x) nghịch biến trên K ⇔ x x K x x f x f x1 2 1 2 1 2, : ( ) ( )∀ ∈ < ⇒ >

⇔ f x f x

x x K x xx x2 1

1 2 1 22 1

( ) ( ), : 0

−∀ ∈ ≠ ⇒ <

−

Baøi 1. Xét sự biến thiên của các hàm số sau trên các khoảng đã chỉ ra: a) y x2 3= + ; R. b) y x 5= − + ; R.

c) y x x2 4= − ; (–∞; 2), (2; +∞). d) y x x22 4 1= + + ; (–∞; –1), (–1; +∞).

e) yx

41

=+

; (–∞; –1), (–1; +∞). f) yx

32

=−

; (–∞; 2), (2; +∞).

ĐS: a) ĐB b) NB c) NB trên (–∞; 2), ĐB trên (2; +∞) d) NB trên (–∞; –1), ĐB trên (–1; +∞) e) NB f) ĐB.

Baøi 2. Với giá trị nào của m thì các hàm số sau đồng biến (hoặc nghịch biến) trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định):

a) y m x( 2) 5= − + b) y m x m( 1) 2= + + −

c) myx 2

=−

d) myx

1+=

ĐS: a) ĐB khi m 2> ; NB khi m 2< b) ĐB khi m 1> − ; NB khi m 1< − c) ĐB khi m 0< ; NB khi m 0> d) ĐB khi m 1< − ; NB khi m 1> −

VẤN ĐỀ 3: Xét tính chẵn lẻ của hàm số Để xét tính chẵn lẻ của hàm số y = f(x) ta tiến hành các bước như sau: • Tìm tập xác định D của hàm số và xét xem D có là tập đối xứng hay không. • Nếu D là tập đối xứng thì so sánh f(–x) với f(x) (x bất kì thuộc D). + Nếu f(–x) = f(x), ∀x ∈ D thì f là hàm số chẵn. + Nếu f(–x) = –f(x), ∀x ∈ D thì f là hàm số lẻ. Chú ý: + D là tập đối xứng nếu thoả mãn điều kiện: Với ∀x ∈ D thì –x ∈ D. + Nếu ∃x ∈ D mà f(–x) ≠ ± f(x) thì f là hàm số không chẵn không lẻ. Baøi 1. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau: a) y x x4 24 2= − + b) y x x32 3= − + c) y x 2( 1)= −

d) xyx

2

44+

= e) y xx

3 1= + f) y x x2= +

ĐS: Chẵn: a, d Lẻ: b, e


Trang 10

Baøi 2. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau: a) y x x2 2= + − − b) y x x2 1 2 1= + + − c) y x x22= −

d) x xyx x

1 11 1

+ + −=

+ − − e) y x2 1= +

ĐS: Chẵn: b, c Lẻ: a, d Baøi 3. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau: a) y x x2 2= + + − b) y x x2 2= + − − c) y x x3 3= + + − +

d) y x x3 3= + + − e) y x xx32 2= + − − +

ĐS: Chẵn: Lẻ:


Trang 11

1. Hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0) • Tập xác định: D = R. • Sự biến thiên: + Khi a > 0, hàm số đồng biến trên R. + Khi a < 0, hàm số nghịch biến trên R. • Đồ thị là đường thẳng có hệ số góc bằng a, cắt trục tung tại điểm B(0; b). Chú ý: Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b và (d′): y = a′x + b′: + (d) song song với (d′) ⇔ a = a′ và b ≠ b′. + (d) trùng với (d′) ⇔ a = a′ và b = b′. + (d) cắt (d′) ⇔ a ≠ a′. 2. Hàm số y ax b= + (a ≠ 0)

bax b khi xay ax bbax b khi xa

( )

+ ≥ −= + =

− + < −

Chú ý: Để vẽ đồ thị của hàm số y ax b= + ta có thể vẽ hai đường thẳng y = ax + b và y = –ax – b, rồi xoá đi hai phần đường thẳng nằm ở phía dưới trục hoành.

Baøi 1. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y x2 7= − b) y x3 5= − + c) xy 32−

= d) xy 53−

=

Baøi 2. Tìm toạ độ giao điểm của các cặp đường thẳng sau: a) y x y x3 2; 2 3= − = + b) y x y x3 2; 4( 3)= − + = −

c) y x y x2 ; 3= = − − d) x xy y3 5;2 3− −

= =

ĐS: Baøi 3. Trong mỗi trường hợp sau, tìm giá trị k để đồ thị của hàm số y x k x2 ( 1)= − + + : a) Đi qua gốc tọa độ O b) Đi qua điểm M(–2; 3) c) Song song với đường thẳng y x2.= ĐS: Baøi 4. Xác định a và b để đồ thị của hàm số y ax b= + : a) Đi qua hai điểm A(–1; –20), B(3; 8).

b) Đi qua điểm M(4; –3) và song song với đường thẳng d: y x2 13

= − + .

c) Cắt đường thẳng d1: y x 2 5= + tại điểm có hoành độ bằng –2 và cắt đường thẳng d2: y x–3 4= + tại điểm có tung độ bằng –2.

d) Song song với đường thẳng y x12

= và đi qua giao điểm của hai đường thẳng

y x1 12

= − + và y x3 5= + .

ĐS: Baøi 5. Trong mỗi trường hợp sau, tìm các giá trị của m sao cho ba đường thẳng sau phân biệt

và đồng qui: a) y x y x y mx2 ; 3; 5= = − − = +

II. HÀM SỐ BẬC NHẤT


Trang 12

b) y x y mx y x m–5( 1); 3; 3= + = + = + c) y x y x y m x2 1; 8 ; (3 2 ) 2= − = − = − + d) y m x m y x y x(5 3 ) 2; 11; 3= − + − = − + = +

e) y x y x y m x m25; 2 7; ( 2) 4= − + = − = − + + ĐS: Baøi 6. Tìm điểm sao cho đường thẳng sau luôn đi qua dù m lấy bất cứ giá trị nào: a) y mx m2 1= + − b) y mx x3= − − c) y m x m(2 5) 3= + + + d) y m x( 2)= + e) y m x(2 3) 2= − + f) y m x m( 1) 2= − − ĐS: Baøi 7. Với giá trị nào của m thì hàm số sau đồng biến? nghịch biến? a) y m x m(2 3) 1= + − + b) y m x m(2 5) 3= + + + c) y mx x3= − − d) y m x( 2)= + ĐS: Baøi 8. Tìm các cặp đường thẳng song song trong các đường thẳng cho sau đây:

a) y x3 6 1 0− + = b) y x0,5 4= − − c) xy 32

= + d) y x2 6+ =

e) x y2 1− = f) y x0,5 1= + ĐS: Baøi 9. Với giá trị nào của m thì đồ thị của các cặp hàm số sau song song với nhau:

a) y m x m y x(3 1) 3; 2 1= − + + = − b) m m m my x y xm m m m

2( 2) 3 5 4;1 1 3 1 3 1

+ += + = −

− − + +

c) y m x y m x m( 2); (2 3) 1= + = + − + ĐS: Baøi 10. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) x khi x

y khi xx khi x

11 1 2

1 2

− ≤ −= − < <

− ≥ b)

x khi xy khi x

x khi x

2 2 10 1 2

2 2

− − < −= − ≤ ≤

− ≥

c) y x3 5= + d) y x2 1= − − e) y x1 52 32 2

= − + +

f) y x x2 1= − + − g) y x x 1= − − h) y x x x1 1= + − + +


Trang 13

y ax bx c2= + + (a ≠ 0) • Tập xác định: D = R • Sự biến thiên:

• Đồ thị là một parabol có đỉnh bIa a

;2 4

∆ − −

, nhận đường thẳng bx

a2= − làm trục đối

xứng, hướng bề lõm lên trên khi a > 0, xuống dưới khi a < 0. Chú ý: Để vẽ đường parabol ta có thể thực hiện các bước như sau:

– Xác định toạ độ đỉnh bIa a

;2 4

∆ − −

.

– Xác định trục đối xứng bxa2

= − và hướng bề lõm của parabol.

– Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của parabol với các trục toạ độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục trục đối xứng).

– Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để vẽ parabol. Baøi 1. Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) y x x2 2= − b) y x x2 2 3= − + + c) y x x2 2 2= − + −

d) y x x21 2 22

= − + − e) y x x2 4 4= − + f) y x x2 4 1= − − +

Baøi 2. Tìm toạ độ giao điểm của các cặp đồ thị của các hàm số sau: a) y x y x x21; 2 1= − = − − b) y x y x x23; 4 1= − + = − − +

c) y x y x x22 5; 4 4= − = − + d) y x x y x x2 22 1; 4 4= − − = − +

e) y x x y x x2 23 4 1; 3 2 1= − + = − + − f) y x x y x x2 22 1; 1= + + = − + − ĐS: Baøi 3. Xác định parabol (P) biết:

a) (P): y ax bx2 2= + + đi qua điểm A(1; 0) và có trục đối xứng x 32

= .

b) (P): y ax bx2 3= + + đi qua điểm A(–1; 9) và có trục đối xứng x 2= − .

c) (P): y ax bx c2= + + đi qua điểm A(0; 5) và có đỉnh I(3; –4).

d) (P): y ax bx c2= + + đi qua điểm A(2; –3) và có đỉnh I(1; –4).

e) (P): y ax bx c2= + + đi qua các điểm A(1; 1), B(–1; –3), O(0; 0).

f) (P): y x bx c2= + + đi qua điểm A(1; 0) và đỉnh I có tung độ bằng –1. ĐS:

III. HÀM SỐ BẬC HAI


Trang 14

Baøi 4. Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị của mỗi hàm số sau luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và đỉnh I của đồ thị luôn chạy trên một đường thẳng cố định:

a) my x mx2

2 14

= − + − b) y x mx m2 22 1= − + −

ĐS: Baøi 5. Vẽ đồ thị của hàm số y x x2 5 6= − + + . Hãy sử dụng đồ thị để biện luận theo tham số

m, số điểm chung của parabol y x x2 5 6= − + + và đường thẳng y m= . Baøi 6. Vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) y x x2 2 1= − + b) ( )y x x 2= − c) y x x2 2 1= − −

d) x neáu xyx x neáu x

2

22 1

2 2 3 1

− − <= − − ≥

e) x neáu xy

x x neáu x22 1 0

4 1 0− + ≥

= + + <

f) x khi x

yx x khi x22 0

0 <

= − ≥


Trang 15

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) y xx

424

= − −+

b) x xyx

1 1− − += c) x xy

x x x

2

2

3

1

−=

− + −

d) x xyx

2 2 32 5

+ +=

− − e) x xy

x2 3 2

1+ + −

=−

f) xyx x

2 1

4

−=

−

ĐS: a) ( ]4;2− b) [ ]1;1 \ {0}− c) R \ {1} d) 3 ;5 \ {1}2

−

e) 32; \ { 1;1}2

− −

f) (2; )+∞ Bài 2. Xét sự biến thiên của các hàm số sau:

a) y x x2 4 1= − + − trên (−∞; 2) b) xyx

11

+=

− trên (1; +∞) c) y

x

11

=−

d) y x3 2= − e) yx

12

=−

f) xyx

32

+=

− trên (2; +∞)

ĐS: a) ĐB b) NB c) NB d) NB e) NB f) NB Bài 3. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) x xyx

4 2

22

1+ −

=−

b) y x x3 3= + + − c) y x x + x2( 2 )=

d) x xyx x

1 11 1

+ + −=

+ − − e) x xy

x

3

2 1=

+ f) y x 2= −

ĐS: a) chẵn b) chẵn c) lẻ d) lẻ e) lẻ f) không chẵn, không lẻ Bài 4. Giả sử y = f(x) là hàm số xác định trên tập đối xứng D. Chứng minh rằng:

a) Hàm số [ ]F x f x f x1( ) ( ) ( )2

= + − là hàm số chẵn xác định trên D.

b) Hàm số [ ]G x f x f x1( ) ( ) ( )2

= − − là hàm số lẻ xác định trên D.

c) Hàm số f(x) có thể phân tích thành tổng của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ. Bài 5. Cho hàm số y ax bx c2= + + (P). • Tìm a, b, c thoả điều kiện được chỉ ra. • Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số vừa tìm được. • Tìm m để đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Xác định toạ độ trung

điểm I của đoạn AB.

a) (P) có đỉnh S 1 3;2 4

và đi qua điểm A(1; 1); d: y mx= .

b) (P) có đỉnh S(1; 1) và đi qua điểm A(0; 2); d: y x m2= + . ĐS:

Phương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ Tùng

Trang 16

1. Phương trình một ẩn f(x) = g(x) (1) • x0 là một nghiệm của (1) nếu "f(x0) = g(x0)" là một mệnh đề đúng. • Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó. • Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định của phương trình. Chú ý: + Khi tìm ĐKXĐ của phương trình, ta thường gặp các trường hợp sau:

– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức P x

1( )

thì cần điều kiện P(x) ≠ 0.

– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức P x( ) thì cần điều kiện P(x) ≥ 0. + Các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ các giao điểm của đồ thị hai hàm

số y = f(x) và y = g(x). 2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả Cho hai phương trình f1(x) = g1(x) (1) có tập nghiệm S1 và f2(x) = g2(x) (2) có tập nghiệm S2. • (1) ⇔ (2) khi và chỉ khi S1 = S2. • (1) ⇒ (2) khi và chỉ khi S1 ⊂ S2. 3. Phép biến đổi tương đương • Nếu một phép biến đổi phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của nó

thì ta được một phương trình tương đương. Ta thường sử dụng các phép biến đổi sau: – Cộng hai vế của phương trình với cùng một biểu thức. – Nhân hai vế của phương trình với một biểu thức có giá trị khác 0. • Khi bình phương hai vế của một phương trình, nói chung ta được một phương trình hệ

quả. Khi đó ta phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai. Bài 1. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:

a) xx x

5 53 124 4

+ = +− −

b) xx x

1 15 153 3

+ = ++ +

c) xx x

2 1 191 1

− = −− −

d) xx x

2 23 155 5

+ = +− −

ĐS: Bài 2. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) x x1 1 2+ − = − b) x x1 2+ = −

c) x x1 1+ = + d) x x1 1− = −

e) x

x x

31 1

=− −

f) x x x2 1 2 3− − = − +

ĐS: Bài 3. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) x x x23( 3 2) 0− − + = b) x x x21( 2) 0+ − − =

CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

I. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH

Trần Sĩ Tùng Phương trình bậc nhất – bậc hai

Trang 17

c) x x

x x

1 22 2

= − −− −

d) x x xx x

2 4 3 11 1

− += + +

+ +

ĐS: Bài 4. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) x x2 1− = + b) x x1 2+ = − c) x x2 1 2− = + d) x x2 2 1− = − ĐS: Bài 5. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:

a) x x

x x1 1=

− − b) x x

x x

2 21 1

− −=

− −

c) x x

x x2 2=

− − d) x x

x x

1 12 2

− −=

− −

ĐS: Bài 6. a)


Trang 18

Chú ý: Khi a ≠ 0 thì (1) đgl phương trình bậc nhất một ẩn. Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m: a) m x m x2( 2) 2 3+ − = − b) m x m x m( ) 2− = + −

c) m x m m x( 3) ( 2) 6− + = − + d) m x m x m2( 1) (3 2)− + = −

e) m m x x m2 2( ) 2 1− = + − f) m x m x m2( 1) (2 5) 2+ = + + + ĐS: Bài 2. Giải và biện luận các phương trình sau theo các tham số a, b, c:

a) x a x bb a a ba b

( , 0)− −− = − ≠ b) ab x a b b x( 2) 2 ( 2a)+ + = + +

c) x ab x bc x b b a b ca c b

23 ( , , 1)

1 1 1+ + +

+ + = ≠ −+ + +

d) x b c x c a x a b a b ca b c

3 ( , , 0)− − − − − −+ + = ≠

ĐS: Bài 3. Trong các phương trình sau, tìm giá trị của tham số để phương trình: i) Có nghiệm duy nhất ii) Vô nghiệm iii) Nghiệm đúng với mọi x ∈ R. a) m x n( 2) 1− = − b) m m x m2( 2 3) 1+ − = −

c) mx x mx m x2( 2)( 1) ( )+ + = + d) m m x x m2 2( ) 2 1− = + − ĐS:

Nghiệm a) b) c) d) e) f) Duy nhất

Vô nghiệm x R∀ ∈

II. PHƯƠNG TRÌNH ax + b = 0

ax + b = 0 (1) Hệ số Kết luận

a ≠ 0 (1) có nghiệm duy nhất bxa

= −

b ≠ 0 (1) vô nghiệm a = 0 b = 0 (1) nghiệm đúng với mọi x


Trang 19

1. Cách giải

Chú ý: – Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = 1 và x = ca

.

– Nếu a – b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = –1 và x = ca

− .

– Nếu b chẵn thì ta có thể dùng công thức thu gọn với bb2

′ = .

2. Định lí Vi–et Hai số x x1 2, là các nghiệm của phương trình bậc hai ax bx c2 0+ + = khi và chỉ khi

chúng thoả mãn các hệ thức bS x xa1 2= + = − và cP x x

a1 2= = .

VẤN ĐỀ 1: Giải và biện luận phương trình ax bx c2 0+ + =

Để giải và biện luận phương trình ax bx c2 0+ + = ta cần xét các trường hợp có thể xảy ra của hệ số a:

– Nếu a = 0 thì trở về giải và biện luận phương trình bx c 0+ = . – Nếu a ≠ 0 thì mới xét các trường hợp của ∆ như trên. Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau: a) x x m2 5 3 1 0+ + − = b) x x m22 12 15 0+ − = c) x m x m2 22( 1) 0− − + = d) m x m x m2( 1) 2( 1) 2 0+ − − + − =

e) m x m x2( 1) (2 ) 1 0− + − − = f) mx m x m2 2( 3) 1 0− + + + = ĐS: Bài 2. Cho biết một nghiệm của phương trình. Tìm nghiệm còn lại:

a) x mx m x2 31 0;2

− + + = = − b) x m x m x2 22 3 0; 1− + = =

c) m x m x m x2( 1) 2( 1) 2 0; 2+ − − + − = = d) x m x m m x2 22( 1) 3 0; 0− − + − = = ĐS:

III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1) b ac2 4∆ = − Kết luận

∆ > 0 (1) có 2 nghiệm phân biệt bxa1,2 2

∆− ±=

∆ = 0 (1) có nghiệm kép bxa2

= −

∆ < 0 (1) vô nghiệm


Trang 20

VẤN ĐỀ 2: Dấu của nghiệm số của phương trình ax bx c a2 0 ( 0)+ + = ≠ (1)

• (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ P < 0 • (1) có hai nghiệm cùng dấu ⇔ P

00

∆ ≥ >

• (1) có hai nghiệm dương ⇔ PS

000

∆ ≥>

> • (1) có hai nghiệm âm ⇔ P

S

000

∆ ≥>

<

Chú ý: Trong các trường hợp trên nếu yêu cầu hai nghiệm phân biệt thì ∆ > 0. Bài 1. Xác định m để phương trình: i) có hai nghiệm trái dấu ii) có hai nghiệm âm phân biệt iii) có hai nghiệm dương phân biệt a) x x m2 5 3 1 0+ + − = b) x x m22 12 15 0+ − = c) x m x m2 22( 1) 0− − + = d) m x m x m2( 1) 2( 1) 2 0+ − − + − =

e) m x m x2( 1) (2 ) 1 0− + − − = f) mx m x m2 2( 3) 1 0− + + + =

g) x x m2 4 1 0− + + = h) m x m x m2( 1) 2( 4) 1 0+ + + + + = ĐS:

VẤN ĐỀ 3: Một số bài tập áp dụng định lí Vi–et 1. Biểu thức đối xứng của các nghiệm số

Ta sử dụng công thức b cS x x P x xa a1 2 1 2;= + = − = = để biểu diễn các biểu thức đối

xứng của các nghiệm x1, x2 theo S và P. Ví dụ: x x x x x x S P2 2 2 2

1 2 1 2 1 2( ) 2 2+ = + − = −

x x x x x x x x S S P3 3 2 21 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 3 ( 3 ) + = + + − = −

2. Hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số Để tìm hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số ta tìm:

b cS x x P x xa a1 2 1 2;= + = − = = (S, P có chứa tham số m).

Khử tham số m giữa S và P ta tìm được hệ thức giữa x1 và x2. 3. Lập phương trình bậc hai Nếu phương trình bậc hai có các nghiệm u và v thì phương trình bậc hai có dạng: x Sx P2 0− + = , trong đó S = u + v, P = uv. Bài 1. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính: A = x x2 2

1 2+ ; B = x x3 31 2+ ; C = x x4 4

1 2+ ; D = x x1 2− ; E = x x x x1 2 2 1(2 )(2 )+ +

a) x x2 5 0− − = b) x x22 3 7 0− − = c) x x23 10 3 0+ + = d) x x2 2 15 0− − = e) x x22 5 2 0− + = f) x x23 5 2 0+ − = ĐS:


Trang 21

Câu a) b) c) d) e) f) A B C D

Bài 2. Cho phương trình: m x m x m2( 1) 2( 1) 2 0+ − − + − = (*). Xác định m để: a) (*) có hai nghiệm phân biệt. b) (*) có một nghiệm bằng 2. Tính nghiệm kia. c) Tổng bình phương các nghiệm bằng 2. ĐS: Bài 3. Cho phương trình: x m x m2 2(2 1) 3 4 0− + + + = (*). a) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2. b) Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m. c) Tính theo m, biểu thức A = x x3 3

1 2+ . d) Tìm m để (*) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia. e) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là x x2 2

1 2, .

HD: a) m 22

≥ b) x x x x1 2 1 2 1+ − = − c) A = m m m2(2 4 )(16 4 5)+ + −

d) m 1 2 76

±= e) x m m x m2 2 22(8 4 1) (3 4 ) 0− + − + + =

Bài 4. Cho phương trình: x m x m m2 22( 1) 3 0− − + − = (*). a) Tìm m để (*) có nghiệm x = 0. Tính nghiệm còn lại. b) Khi (*) có hai nghiệm x1, x2 . Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m. c) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2 thoả: x x2 2

1 2 8+ = .

HD: a) m = 3; m = 0 b) x x x x x x21 2 1 2 1 2( ) 2( ) 4 8 0+ − + − − = c) m = –1; m = 2.

Bài 5. Cho phương trình: x m m x m2 2 3( 3 ) 0+ − + = . a) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng bình phương nghiệm kia. b) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 1. Tính nghiệm còn lại. HD: a) m = 0; m = 1 b) x x x2 2 21; 5 2 7; 5 2 7= = − = − − .

Bài 6. (nâng cao) Cho phương trình: x x x2 22 2 sin 2 cosα α+ = + (α là tham số). a) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi α. b) Tìm α để tổng bình phương các nghiệm của phương trình đạt GTLN, GTNN. ĐS:


Trang 22

1. Định nghĩa và tính chất

• A khi AAA khi A

00

≥= − < • A A0,≥ ∀

• A B A B. .= • A A2 2=

• A B A B A B. 0+ = + ⇔ ≥ • A B A B A B. 0− = + ⇔ ≤ • A B A B A B. 0+ = − ⇔ ≤ • A B A B A B. 0− = − ⇔ ≥ 2. Cách giải Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách: – Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ. – Bình phương hai vế. – Đặt ẩn phụ.

• Dạng 1: f x g x( ) ( )=C

f xf x g xf x

f x g x

1

( ) 0( ) ( )( ) 0

( ) ( )

≥ =⇔ < − =

C g x

f x g xf x g x

2 ( ) 0( ) ( )( ) ( )

≥⇔ =

= −

• Dạng 2: f x g x( ) ( )= [ ] [ ]C

f x g x1 2 2

( ) ( )⇔ = C

f x g xf x g x

2 ( ) ( )( ) ( )

=⇔ = −

• Dạng 3: a f x b g x h x( ) ( ) ( )+ = Đối với phương trình có dạng này ta thường dùng phương pháp khoảng để giải. Bài 1. Giải các phương trình sau: a) x x2 1 3− = + b) x x4 7 2 5+ = + c) x x2 3 2 0− + =

d) x x x2 6 9 2 1+ + = − e) x x x2 4 5 4 17− − = − f) x x x24 17 4 5− = − − g) x x x x1 2 3 2 4− − + + = + h) x x x1 2 3 14− + + + − = i) x x x1 2 2− + − =

ĐS: a) b) c) x x1; 2= ± = ± d) x x 24;3

= = − e)

f) g) h) i) Bài 2. Giải các phương trình sau: a) x x4 7 4 7+ = + b) x x2 3 3 2− = − c) x x x1 2 1 3− + + =

d) x x x x2 22 3 2 3− − = + + e) x x x22 5 2 7 5 0− + − + = f) x x3 7 10+ + − =

ĐS: a) x 74

≥ − b) x 32

≤ c) x x1 12

≤ − ∨ ≥ d) x x3 02

≤ − ∨ = e) x 52

=

f) x3 7− ≤ ≤ Bài 3. Giải các phương trình sau: a) x x x2 2 1 1 0− + − − = b) x x x2 2 5 1 7 0− − − + = c) x x x2 2 5 1 5 0− − − − =

d) x x x2 4 3 2 0+ + + = e) x x x24 4 2 1 1 0− − − − = f) x x x2 6 3 10 0+ + + + = ĐS: a) x x0; 2= = b) c) d) e) f) Bài 4. Giải và biện luận các phương trình sau: a) mx 1 5− = b) mx x x1 2− + = + c) mx x x2 1+ − =

IV. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI


Trang 23

d) x m x m3 2 2+ = − e) x m x m 2+ = − + f) x m x 1− = + ĐS: Bài 5. Tìm các giá trị của tham số m sao cho phương trình sau có nghiệm duy nhất: a) mx x2 4− = + b) mx x x1 2− + = + c) x m x m3 2 2+ = − ĐS:


Trang 24

Cách giải: Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách: – Nâng luỹ thừa hai vế. – Đặt ẩn phụ. Chú ý: – Khi thực hiện các phép biến đổi cần chú ý điều kiện để các căn thức được xác định. – Muốn bình phương 2 vế của một phương trình thì cả 2 vế đều phải không âm. Một số phương pháp giải 1. Nâng luỹ thừa hai vế

Dạng 1: f x g x( ) ( )= ⇔ [ ]f x g xg x

2( ) ( )( ) 0

=≥

Dạng 2: f x g xf x g xf x hay g x( ) ( )( ) ( )( ) 0 ( ( ) 0)

== ⇔ ≥ ≥

2. Đặt ẩn phụ

Dạng 3: af x b f x c( ) ( ) 0+ + = ⇔ t f x tat bt c2

( ), 00

= ≥

+ + =

Dạng 4: f x g x h x( ) ( ) ( )+ =

• Đặt u f x v g x( ), ( )= = với u, v ≥ 0. • Đưa phương trình trên về hệ phương trình với hai ẩn là u và v. Dạng 5: f x g x f x g x h x( ) ( ) ( ). ( ) ( )+ + =

Đặt t f x g x t( ) ( ), 0= + ≥ . 3. Phương pháp đối lập

Nếu ta có A MB MA B

≥≤

= thì A M

B M = =

Bài 1. Giải các phương trình sau: a) x x2 3 3− = − b) x x5 10 8+ = − c) x x2 5 4− − =

d) x x x2 12 8+ − = − e) x x x2 2 4 2+ + = − f) x x x23 9 1 2− + = −

g) x x x23 9 1 2− + = − h) x x x2 3 10 2− − = − i) x x x2 2( 3) 4 9− + = − ĐS: a) x 6= b) c) d) e) x x1; 2= − = − f) g) h) i) Bài 2. Giải các phương trình sau:

a) x x x x2 26 9 4 6 6− + = − + b) x x x x2( 3)(8 ) 26 11− − + = − +

c) x x x x2( 4)( 1) 3 5 2 6+ + − + + = d) x x x x2( 5)(2 ) 3 3+ − = +

e) x x2 2 11 31+ + = f) x x x x2 2 8 4 (4 )( 2) 0− + − − + = ĐS: a) b) c) x x2; 7= = − d) e) f) Bài 3. Giải các phương trình sau: a) x x1 1 1+ − − = b) x x3 7 1 2+ − + =

V. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN


Trang 25

c) x x2 29 7 2+ − − = d) x x x x2 23 5 8 3 5 1 1+ + − + + =

e) x x3 31 1 2+ + − = f) x x x x2 25 8 4 5+ − + + − =

g) x x3 35 7 5 13 1+ − − = h) x x3 39 1 7 1 4− + + + + =

ĐS: a) x 54

= b)

Bài 4. Giải các phương trình sau: a) x x x x3 6 3 ( 3)(6 )+ + − = + + − b) x x x x x2 3 1 3 2 (2 3)( 1) 16+ + + = + + + −

c) x x x x1 3 ( 1)(3 ) 1− + − − − − = d) x x x x7 2 (7 )(2 ) 3− + + − − + =

e) x x x x1 4 ( 1)(4 ) 5+ + − + + − = f) x x x x x23 2 1 4 9 2 3 5 2− + − = − + − +

g) x x x x221 13

+ − = + − h) x x x x29 9 9+ − = − + +

ĐS: Bài 5. Giải các phương trình sau:

a) x x x x2 4 2 2 5 2 4 6 2 5 14− + − + + + − =

b) x x x x5 4 1 2 2 1 1+ − + + + − + =

c) x x x x x x2 2 2 1 2 2 3 4 2 1 3 2 8 6 2 1 4− − − + − − + + − − = ĐS: Bài 6. Giải các phương trình sau: (phương pháp đối lập) a) 2 2 23 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x+ + + + + = − − b) 22 10 12 40x x x x− + − = − +

c) 23 5 7 3 5 20 22x x x x− + − = − + d) 2 24 4 6 9 1x x x x− + + − + = ĐS:


Trang 26

Cách giải: Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta phải chú ý đến điều kiện xác định

của phương trình (mẫu thức khác 0). Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) x x x x

2 10 5012 3 (2 )( 3)

+ = −− + − +

b) x x xx x x

1 1 2 12 2 1

+ − ++ =

+ − +

c) x xx x

2 1 13 2 2

+ +=

+ − d) x x

x

2

23 5 1

4− +

= −−

e) x x x xx x

2 22 5 2 2 151 3

− + + +=

− − f) x x

x x2 23 4 2

( 1) (2 1)+ −

=+ −

ĐS: Bài 2. Giải và biện luận các phương trình sau:

a) mx mx

1 32

− +=

+ b) mx m

x m2 3+ −

=−

c) x m xx x m

1 21

− −+ =

− −

d) x m xx x

31 2

+ +=

− − e) m x m m

x( 1) 2

3+ + −

=+

f) x x

x m x 1=

+ +

ĐS:

VI. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC


Trang 27

1. Cách giải: t x tax bx cat bt c

24 2

2, 00 (1)

0 (2)

= ≥+ + = ⇔ + + =

2. Số nghiệm của phương trình trùng phương Để xác định số nghiệm của (1) ta dựa vào số nghiệm của (2) và dấu của chúng.

• (1) vô nghiệm ⇔ voâ nghieämcoù nghieäm keùp aâmcoù nghieäm aâm

(2)(2)(2) 2

• (1) có 1 nghiệm ⇔ coù nghieäm keùp baèngcoù nghieäm baèng nghieäm coøn laïi aâm

(2) 0(2) 1 0,

• (1) có 2 nghiệm ⇔ coù nghieäm keùp döôngcoù nghieäm döông vaø nghieäm aâm

(2)(2) 1 1

• (1) có 3 nghiệm ⇔ coù nghieäm baèng nghieäm coøn laïi döông(2) 1 0, • (1) có 4 nghiệm ⇔ coù nghieäm döông phaân bieät(2) 2 3. Một số dạng khác về phương trình bậc bốn • Dạng 1: x a x b x c x d K vôùi a b c d( )( )( )( ) ,+ + + + = + = + – Đặt t x a x b x c x d t ab cd( )( ) ( )( )= + + ⇒ + + = − + – PT trở thành: t cd ab t K2 ( ) 0+ − − =

• Dạng 2: x a x b K4 4( ) ( )+ + + =

– Đặt a bt x2+

= + ⇒ a b b ax a t x b t,2 2− −

+ = + + = +

– PT trở thành: a bt t K vôùi4 2 2 42 12 2 02

α α α −

+ + − = =

• Dạng 3: ax bx cx bx a a4 3 2 0 ( 0)+ + ± + = ≠ (phương trình đối xứng)

– Vì x = 0 không là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho x2 , ta được:

PT ⇔ a x b x cxx

22

1 1 0

+ + ± + = (2)

– Đặt t x hoaëc t xx x1 1

= + = −

với t 2≥ .

– PT (2) trở thành: at bt c a t2 2 0 ( 2)+ + − = ≥ . Bài 1. Giải các phương trình sau: a) x x4 23 4 0− − = b) x x4 25 4 0− + = c) x x4 25 6 0+ + = d) x x4 23 5 2 0+ − = e) x x4 2 30 0+ − = f) x x4 27 8 0+ − = ĐS: Bài 2. Tìm m để phương trình: i) Vô nghiệm ii) Có 1 nghiệm iii) Có 2 nghiệm iv) Có 3 nghiệm v) Có 4 nghiệm

VII. PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0)


Trang 28

a) x m x m4 2 2(1 2 ) 1 0+ − + − = b) x m x m4 2 2(3 4) 0− + + =

c) x mx m4 28 16 0+ − = ĐS:

Vô nghiệm 1 nghiệm 2 nghiệm 3 nghiệm 4 nghiệm a) b) c)

Bài 3. Giải các phương trình sau: a) x x x x( 1)( 3)( 5)( 7) 297− − + + = b) x x x x( 2)( 3)( 1)( 6) 36+ − + + = −

c) x x4 4( 1) 97+ − = d) x x4 4( 4) ( 6) 2+ + + =

e) x x4 4( 3) ( 5) 16+ + + = f) x x x x4 3 26 35 62 35 6 0− + − + =

g) x x x x4 3 24 1 0+ − + + = ĐS:


Trang 29

1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

a x b y ca b a b

a x b y c2 2 2 21 1 11 1 2 2

2 2 2( 0, 0)

+ =+ ≠ + ≠ + =

Giải và biện luận:

– Tính các định thức: a b

Da b

1 1

2 2= , x

c bD

c b1 1

2 2= , y

a cD

a c1 1

2 2= .

Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như:

phương pháp thế, phương pháp cộng đại số. 2. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các

phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:

a) x yx y

5 4 37 9 8

− = − =

b) x yx y

2 115 4 8

+ = − =

c) x yx y

3 16 2 5

− = − =

d) ( )

( )x y

x y2 1 2 1

2 2 1 2 2

+ + = −

− − = e)

x y

x y

3 2 164 35 3 112 5

+ =

− =

f) x yx y

3 15 2 3

− =

+ =

ĐS: Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:

a) x y

x y

1 8 18

5 4 51

− =

+ =

b) x y

x y

10 1 11 2

25 3 21 2

+ = − +

+ = − +

c) x y x y

x y x y

27 32 72 3

45 48 12 3

+ = − +

− = − − +

d) x yx y

2 6 3 1 55 6 4 1 1

− + + = − − + =

e) x y x yx y x y

2 93 2 17

+ − − = + + − =

f) x y x yx y x y

4 3 83 5 6

+ + − = + − − =

ĐS: a) 11 44;120 39

−

b)

Bài 3. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:

a) mx m y mx my

( 1) 12 2

+ − = + + =

b) mx m ym x m y

( 2) 5( 2) ( 1) 2

+ − = + + + =

c) m x y mm x y m

( 1) 2 3 1( 2) 1

− + = − + − = −

d) m x m ym x m y m

( 4) ( 2) 4(2 1) ( 4)

+ − + = − + − =

e) m x y mm x y m m2 2

( 1) 2 12

+ − = −

− = + f) mx y m

x my m2 1

2 2 5 + = + + = +

ĐS:

VIII. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN

Xét D Kết quả

D ≠ 0 Hệ có nghiệm duy nhất yxDD

x yD D

;

= =

Dx ≠ 0 hoặc Dy ≠ 0 Hệ vô nghiệm D = 0 Dx = Dy = 0 Hệ có vô số nghiệm


Trang 30

Bài 4. Trong các hệ phương trình sau hãy: i) Giải và biện luận. ii) Tìm m ∈ Z để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.

a) m x y mm x y m m2 2

( 1) 2 12

+ − = −

− = + b) mx y

x m y m1

4( 1) 4 − = + + =

c) mx yx my m

3 32 1 0

+ − = + − + =

ĐS: Bài 5. Trong các hệ phương trình sau hãy: i) Giải và biện luận. ii) Khi hệ có nghiệm (x; y), tìm hệ thức giữa x, y độc lập đối với m.

a) mx y mx my m

2 12 2 5

+ = + + = +

b) mx m ym x my

6 (2 ) 3( 1) 2

+ − = − − =

c) mx m y mx my

( 1) 12 2

+ − = + + =

ĐS: Bài 6. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:

a) ax y bx y3 2 5

+ = + = −

b) y ax bx y2 3 4

− = − =

c) ax y a bx y a2

+ = + + =

d) a b x a b y aa b x a b y b

( ) ( )(2 ) (2 )

+ + − = − + + =

e) ax by a bbx ay ab

2 2

2 + = +

+ = f) ax by a b

bx b y b

2

2 4

− = −

− =


a) x y zx y z

x y z

3 12 2 5

2 3 0

+ − =− + =

− − = b)

x y zx y zx y z

3 2 82 63 6

+ + =+ + =

+ + = c)

x y zx y z

x y z

3 2 72 4 3 8

3 5

− + = −− + + =

+ − =

ĐS:


Trang 31

1. Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai • Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia. • Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn. • Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này. 2. Hệ đối xứng loại 1

Hệ có dạng: (I) f x yg x y

( , ) 0( , ) 0

= =

(với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x)).

(Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi). • Đặt S = x + y, P = xy. • Đưa hệ phương trình (I) về hệ (II) với các ẩn là S và P. • Giải hệ (II) ta tìm được S và P. • Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phương trình: X SX P2 0− + = . 3. Hệ đối xứng loại 2

Hệ có dạng: (I) f x yf y x( , ) 0 (1)( , ) 0 (2)

= =

(Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại). • Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được:

(I) ⇔ f x y f y xf x y( , ) ( , ) 0 (3)( , ) 0 (1)

− = =

• Biến đổi (3) về phương trình tích:

(3) ⇔ x y g x y( ). ( , ) 0− = ⇔ x yg x y( , ) 0

= =

.

• Như vậy, (I) ⇔

f x yx yf x yg x y

( , ) 0

( , ) 0( , ) 0

= = = =

.

• Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I). 4. Hệ đẳng cấp bậc hai

Hệ có dạng: (I) a x b xy c y da x b xy c y d

2 21 1 1 1

2 22 2 2 2

+ + =

+ + =.

• Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0). • Khi x ≠ 0, đặt y kx= . Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được phương

trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y). Chú ý: – Ngoài các cách giải thông thường ta còn sử dụng phương pháp hàm số để

giải (sẽ học ở lớp 12). – Với các hệ phương trình đối xứng, nếu hệ có nghiệm x y0 0( ; ) thì y x0 0( ; )

cũng là nghiệm của hệ. Do đó nếu hệ có nghiệm duy nhất thì x y0 0= .

IX. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN


Trang 32

Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:

a) x yx y

2 24 82 4

+ =+ =

b) x xyx y

2 242 3 1

− =− =

c) x yx y

2( ) 493 4 84

− =+ =

d) x xy y x yx y

2 23 2 3 6 02 3

− + + + − =− =

e) x yxy x y3 4 1 0

3( ) 9 − + = = + −

f) x yxy x y2 3 2

6 0 + = + + + =

g) y x xx y

2 42 5 0

+ =+ − =

h) x yx y y2 2

2 3 53 2 4

+ =

− + = i) x y

x xy y2 22 5

7 − =

+ + =


a) x yx y m2 2

6 + =

+ = b) x y m

x y x2 2 2 2 + =

− + = c) x y

x y m2 23 2 1 − =

+ =


a) x xy yx y xy x y2 2

112( ) 3

+ + =

+ − − + = − b) x y

x xy y2 24

13 + =

+ + = c) xy x y

x y x y2 25

8 + + =

+ + + =

d) x yy xx y

136

6

+ =

+ =

e) x x y yx y xy

3 3 3 3 175

+ + =+ + =

f) x x y yx xy y

4 2 2 4

2 2481

37

+ + =

+ + =


a) x y xy mx y m2 2 3 2

+ + =

+ = − b) x y m

x y xy m m2 2 212 3

+ = +

+ = − − c) x y m

xy x y m( 1)( 1) 5

( ) 4 + + = + + =


a) x x yy y x

2

23 23 2

= +

= + b) x y x y

y x y x

2 2

2 22 22 2

− = +

− = + c) x x y

y y x

3

322

= +

= +

d)

yx yxxy xy

3 4

3 4

− =

− =

e)

yyx

xxy

2

22

2

23

23

+=

+ =

f) x y

y

y xx

2

2

12

12

= +

= +


a) x x myy y mx

2

233

= +

= + b) x y m m

y x m m

2 2

2 2(3 4 ) (3 4 )(3 4 ) (3 4 )

− = −

− = − c) xy x m y

xy y m x

2

2( 1)( 1)

+ = −

+ = −


a) x xy yx xy y

2 2

2 23 1

3 3 13

− + = −

− + = b) x xy y

x xy y

2 2

2 22 4 13 2 2 7

− + = −

+ + = c) y xy

x xy y

2

2 23 44 1

− =

− + =


Trang 33

d) x xy y

x xy y

2 2

2 23 5 4 385 9 3 15

+ − =

− − = e) x xy y

x xy y

2 2

2 22 3 94 5 5

− + =

− + = f) x xy y

x xy y

2 2

2 23 8 4 05 7 6 0

− + =

− − =


a) x mxy y mx m xy my m

2 2

2 2( 1)

+ + =

+ − + = b) xy y

x xy m

2

212

26

− =

− = + c) x xy y m

y xy

2 2

243 4

− + =

− =

ĐS:


Trang 34

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau: a) m x m x m2 24 3+ − = + b) a b x a a a b a b x2 2 2 2( ) 2 2 ( ) ( )+ + = + + +

c) a x ab b x a b2 2 2 22+ = + + d) a ax b ax b2( ) 4 5+ = + − ĐS: Bài 2. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

a) x m x mx x

2 1 11

+ + −− =

− b) m x m x m

x

22 1

1− = +

−

c) mx mxx x

2 1 12 11 1

− +− − =

− − d) x x m1 2 3− + − =

ĐS: Bài 3. Giải và biện luận các phương trình sau: a) x x m22 12 15 0+ − = b) x m x m2 22( 1) 0− − + =

b) x mx m2 1 0− + − = d) x m x m m2 2( 2) ( 3) 0− − + − = ĐS: Bài 4. Tìm m để phương trình có một nghiệm x0. Tính nghiệm còn lại:

a) x mx m x20

31 0;2

− + + = = − b) x m x m x2 202 3 0; 1− + = = .

ĐS: Bài 5. Trong các phương trình sau, tìm m để: i) PT có hai nghiệm trái dấu. ii) PT có hai nghiệm âm phân biệt. iii) PT có hai nghiệm dương phân biệt. iv) PT có hai nghiệm phân biệt x x1 2, thoả: x x3 3

1 2 0+ = .

v) PT có hai nghiệm phân biệt x x1 2, thoả: x x2 21 2 3+ = .

a) x m x m m2 2( 2) ( 3) 0− − + − = b) x m x m2 22( 1) 0+ − + =

c) x m x m2 22( 1) 2 0− + + − = d) m x m x m2( 2) 2( 1) 2 0+ − − + − =

e) m x m x m2( 1) 2( 4) 1 0+ + + + + = f) x x m2 4 1 0− + + = ĐS:

a) b) c) d) e) f) i) ii) iii) iv) v)

Bài 6. Trong các phương trình sau, hãy: i) Giải và biện luận phương trình. ii) Khi phương trình có hai nghiệm x x1 2, , tìm hệ thức giữa x x1 2, độc lập với m.

a) x m x m2 ( 1) 0+ − − = b) x m x m m2 2( 2) ( 3) 0− − + − =

c) m x m x m2( 2) 2( 1) 2 0+ − − + − = d) x m x m2 22( 1) 2 0− + + − = ĐS:


Trang 35

Bài 7. Giải các phương trình sau:

a) x x2 2 6 12+ − = b) x x2 2 11 31+ + =

c) x x16 17 8 23+ = − d) x x x2 2 8 3( 4)− − = −

e) x x x23 9 1 2 0− + + − = f) x x x251 2 1− − = −

g) x x x2 2( 3) 4 9− − = − h) x x3 1 3 1+ + = − ĐS: Bài 8. Giải các phương trình sau:

a) x x4 3 10 3 2− − = − b) x x x5 3 2 4− + + = +

c) x x x3 4 2 1 3+ − − = + d) x x x x2 23 3 3 6 3− + + − + =

e) x x x2 2 3 3 5+ − − = − f) x x x3 3 5 2 4− − − = −

g) x x x2 2 2 1 1 4+ + + − + = h) 811 +−=−+ xxx ĐS: Bài 9. Giải các phương trình sau:

a) x x x x2 1 2 1 2+ − − − − = b) xx x x x 32 1 2 12+

+ − + − − =

c) x x x x4 2 21 1 2− − + + − = d) x x x x2 2 13 7− − − + =

e) x x x x2 22 3 1 3 4+ − + = + f) x x x x2 22 3 2 1 9+ + + = −

g) x x x x2 2 2 4 2 2− − + = − h) x x x x2 22 5 3 5 23 6+ + + = − ĐS: Bài 10. Trong các hệ phương trình sau: i) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên. ii) Khi hệ có nghiệm (x, y), tìm hệ thức giữa x, y độc lập với m.

a) mx y mx my m

2 12 2 1

+ = + + = −

b) mx y mx my m

32 1

+ = + = +

c) x y mx y m

2 42 3 3

− = − + = +

d) x yy x m

2 52 10 5

+ = − = +


a) x xy yx y y x2 2

16

+ + = −

+ = − b) x y

x x y y

2 2

4 2 2 45

13

+ =

− + = c) x y y x

x y

2 2

3 330

35

+ =

+ =

d) x yx y x y

3 3

5 5 2 21 + =

+ = +

e) x y xyx y x y

2 2

4 4 2 27

21

+ + =

+ + = f) x y xy

x y x y2 211

3( ) 28 + + =

+ + + =



Trang 36

a) x y

xy

x yx y

2 22 2

1( )(1 ) 5

1( )(1 ) 49

+ + =

+ + =

b) ( )y x x y

x yx y

2 2

2 22 2

( 1) 2 ( 1)11 24

+ = + + + =

c) x y

x y

x yx y

2 22 2

1 1 4

1 1 4

+ + + =

+ + + =

d)

x y

x y

x yxy

2 2231 1

1( )(1 ) 6

+ = + +

+ + =

e) x y y x y x xy

y xxyxy x y

2 22 2 61 4

+ + + = + + + =

f) xy

xy

x yxy

1 4

1( ) 1 5

+ =

+ + =


a) x y xy x y

2 2

2 22 3 22 3 2

− = −

− = − b) x y x

y x y

3

32 22 2

= + +

= + + c) x x y

y y x

3

33 83 8

= +

= +

d) x y xy x y

2 2

2 22 3 42 3 4

− = +

− = + e)

x yx

y xy

2

2

32

32

+ =

+ =

f)

yxyxyx

2

2

21

21

= −

= −


a) x y xy xy x

3 3 3

2 21 19

6

+ =

+ = − b) x y y

x y x y

3 3 3

2 28 27 184 6

+ =

+ = c)

ĐS:

Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình

Trang 37

1. Tính chất

2. Một số bất đẳng thức thông dụng a) a a2 0,≥ ∀ . a b ab2 2 2+ ≥ . b) Bất đẳng thức Cô–si:

+ Với a, b ≥ 0, ta có: a b ab2+

≥ . Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b.

+ Với a, b, c ≥ 0, ta có: a b c abc33

+ +≥ . Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = c.

Hệ quả: – Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất ⇔ x = y. – Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất ⇔ x = y. c) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

d) Bất đẳng thức về các cạnh của tam giác Với a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, ta có: + a, b, c > 0. + a b c a b− < < + ; b c a b c− < < + ; c a b c a− < < + . e) Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki Với a, b, x, y ∈ R, ta có: ax by a b x y2 2 2 2 2( ) ( )( )+ ≤ + + . Dấu "=" xảy ra ⇔ ay = bx.

CHƯƠNG IV BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

I. BẤT ĐẲNG THỨC

Điều kiện Nội dung a 0 a bc (2b)

a 0, c > 0 a 0 a 0 x ax a

x a ≤ −≥ ⇔ ≥

a b a b a b− ≤ + ≤ +

Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng

Trang 38

VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia và tính chất cơ bản • Để chứng minh một BĐT ta có thể sử dụng các cách sau: – Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với một BĐT đã biết. – Sử dụng một BĐT đã biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh. • Một số BĐT thường dùng: + A2 0≥ + A B2 2 0+ ≥ + A B. 0≥ với A, B ≥ 0. + A B AB2 2 2+ ≥ Chú ý: – Trong quá trình biến đổi, ta thường chú ý đến các hằng đẳng thức. – Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy ra. Khi đó ta có

thể tìm GTLN, GTNN của biểu thức. Bài 1. Cho a, b, c, d, e ∈ R. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) a b c ab bc ca2 2 2+ + ≥ + + b) a b ab a b2 2 1+ + ≥ + + c) a b c a b c2 2 2 3 2( )+ + + ≥ + + d) a b c ab bc ca2 2 2 2( )+ + ≥ + −

e) a b c a ab a c4 4 2 21 2 ( 1)+ + + ≥ − + + f) a b c ab ac bc2

2 2 24

+ + ≥ − +

g) a b b c c a abc2 2 2 2 2 2(1 ) (1 ) (1 ) 6+ + + + + ≥ h) a b c d e a b c d e2 2 2 2 2 ( )+ + + + ≥ + + +

i) a b c ab bc ca

1 1 1 1 1 1+ + ≥ + + với a, b, c > 0

k) a b c ab bc ca+ + ≥ + + với a, b, c ≥ 0 HD: a) ⇔ a b b c c a2 2 2( ) ( ) ( ) 0− + − + − ≥ b) ⇔ a b a b2 2 2( ) ( 1) ( 1) 0− + − + − ≥

c) ⇔ a b c2 2 2( 1) ( 1) ( 1) 0− + − + − ≥ d) ⇔ a b c 2( ) 0− + ≥

e) ⇔ a b a c a2 2 2 2 2( ) ( ) ( 1) 0− + − + − ≥ f) ⇔ a b c2

( ) 02

− − ≥

g) ⇔ a bc b ca c ab2 2 2( ) ( ) ( ) 0− + − + − ≥

h)⇔ a a a ab c d e2 2 2 2

02 2 2 2

− + − + − + − ≥

i) ⇔ a b b c c a

2 2 21 1 1 1 1 1 0

− + − + − ≥

k) ⇔ ( ) ( ) ( )a b b c c a2 2 2

0− + − + − ≥ Bài 2. Cho a, b, c ∈ R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) a b a b33 3

2 2 + +

≥

; với a, b ≥ 0 b) a b a b ab4 4 3 3+ ≥ +

c) a a4 3 4+ ≥ d) a b c abc3 3 3 3+ + ≥ , với a, b, c > 0.

e) a ba bb a

6 64 4

2 2+ ≤ + ; với a, b ≠ 0. f)

aba b2 21 1 2

11 1+ ≥

++ +; với ab ≥ 1.

g) a

a

2

2

3 22

+>

+ h) a b a b a b a b5 5 4 4 2 2( )( ) ( )( )+ + ≥ + + ; với ab > 0.

HD: a) ⇔ a b a b 23 ( )( ) 08

+ − ≥ b) ⇔ a b a b3 3( )( ) 0− − ≥


Trang 39

c) ⇔ a a a2 2( 1) ( 2 3) 0− + + ≥

d) Sử dụng hằng đẳng thức a b a b a b ab3 3 3 2 2( ) 3 3+ = + − − .

BĐT ⇔ a b c a b c ab bc ca2 2 2( ) ( ) 0 + + + + − + + ≥ .

e) ⇔ a b a a b b2 2 2 4 2 2 4( ) ( ) 0− + + ≥ f) ⇔ b a ab

ab a b

2

2 2( ) ( 1) 0

(1 )(1 )(1 )− −

≥+ + +

g) ⇔ ( )a2

2 2 1 0+ − > h) ⇔ ab a b a b3 3( )( ) 0− − ≥ .

Bài 3. Cho a, b, c, d ∈ R. Chứng minh rằng a b ab2 2 2+ ≥ (1). Áp dụng chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) a b c d abcd4 4 4 4 4+ + + ≥ b) a b c abc2 2 2( 1)( 1)( 1) 8+ + + ≥

c) a b c d abcd2 2 2 2( 4)( 4)( 4)( 4) 256+ + + + ≥

HD: a) a b a b c d c d4 4 2 2 2 2 2 22 ; 2+ ≥ + ≥ ; a b c d abcd2 2 2 2 2+ ≥

b) a a b b c c2 2 21 2 ; 1 2 ; 1 2+ ≥ + ≥ + ≥

c) a a b b c c d d2 2 2 24 4 ; 4 4 ; 4 4 ; 4 4+ ≥ + ≥ + ≥ + ≥

Bài 4. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng nếu ab

1< thì a a cb b c

+<

+(1). Áp dụng chứng

minh các bất đẳng thức sau:

a) a b ca b b c c a

2+ + <+ + +

b) a b c da b c b c d c d a d a b

1 2< + + + <+ + + + + + + +

c) a b b c c d d aa b c b c d c d a d a b

2 3+ + + +< + + + <

+ + + + + + + +

HD: BĐT (1) ⇔ (a – b)c < 0.

a) Sử dụng (1), ta được: a a ca b a b c

+<

+ + +, b b a

b c a b c+

<+ + +

, c c bc a a b c

+<

+ + +.

Cộng các BĐT vế theo vế, ta được đpcm.

b) Sử dụng tính chất phân số, ta có: a a aa b c d a b c a c

< <+ + + + + +

Tương tự, b b ba b c d b c d b d

< <+ + + + + +

c c ca b c d c d a a c

< <+ + + + + +

d d da b c d d a b d b

< <+ + + + + +

Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm.

c) Chứng minh tương tự câu b). Ta có: a b a b a b da b c d a b c a b c d

+ + + +< <

+ + + + + + + +

Cùng với 3 BĐT tương tự, ta suy ra đpcm. Bài 5. Cho a, b, c ∈ R. Chứng minh bất đẳng thức: a b c ab bc ca2 2 2+ + ≥ + + (1). Áp dụng

chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) a b c a b c2 2 2 2( ) 3( )+ + ≤ + + b) a b c a b c22 2 2

3 3 + + + +

≥

c) a b c ab bc ca2( ) 3( )+ + ≥ + + d) a b c abc a b c4 4 4 ( )+ + ≥ + +


Trang 40

e) a b c ab bc ca

3 3+ + + +

≥ với a,b,c>0. f) a b c abc4 4 4+ + ≥ nếu a b c 1+ + =

HD: ⇔ a b b c c a2 2 2( ) ( ) ( ) 0− + − + − ≥ . a) Khai triển, rút gọn, đưa về (1) b, c) Vận dụng a) d) Sử dụng (1) hai lần e) Bình phương 2 vế, sử dụng (1) f) Sử dụng d) Bài 6. Cho a, b ≥ 0 . Chứng minh bất đẳng thức: a b a b b a ab a b3 3 2 2 ( )+ ≥ + = + (1). Áp

dụng chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) abca b abc b c abc c a abc3 3 3 3 3 3

1 1 1 1+ + ≤

+ + + + + +; với a, b, c > 0.

b) a b b c c a3 3 3 3 3 3

1 1 1 11 1 1

+ + ≤+ + + + + +

; với a, b, c > 0 và abc = 1.

c) a b b c c a

1 1 1 11 1 1

+ + ≤+ + + + + +

; với a, b, c > 0 và abc = 1.

d) a b b c c a a b c3 3 3 3 3 33 3 34( ) 4( ) 4( ) 2( )+ + + + + ≥ + + ; với a, b, c ≥ 0 .

e*) A B CA B C3 3 3 3 3 3sin sin sin cos cos cos2 2 2

+ + ≤ + + ; với ABC là một tam giác.

HD: (1) ⇔ a b a b2 2( )( ) 0− − ≥ .

a) Từ (1) ⇒ a b abc ab a b c3 3 ( )+ + ≥ + + ⇒ ab a b ca b abc3 3

1 1( )

≤+ ++ +

.

Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm. b, c) Sử dụng a). d) Từ (1) ⇔ a b a b ab3 3 2 23( ) 3( )+ ≥ + ⇔ a b a b3 3 34( ) ( )+ ≥ + (2). Từ đó: VT ≥ a b b c c a a b c( ) ( ) ( ) 2( )+ + + + + = + + .

e) Ta có: C A B CA Bsin sin 2 cos .cos 2 cos2 2 2

−+ = ≤ .

Sử dụng (2) ta được: a b a b3 33 4( )+ ≤ + .

⇒ C CA B A B3 3 3 3 3sin sin 4(sin sin ) 4.2.cos 2 cos2 2

+ ≤ + ≤ =

Tương tự, AB C3 3 3sin sin 2 cos2

+ ≤ , BC A33 3sin sin 2 cos2

+ ≤

Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm. Bài 7. Cho a, b, x, y ∈ R. Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min–cốp–xki):

a x b y a b x y2 2 2 2 2 2( ) ( )+ + + ≥ + + + (1) Áp dụng chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) Cho a, b ≥ 0 thoả a b 1+ = . Chứng minh: a b2 21 1 5+ + + ≥ .

b) Tìm GTNN của biểu thức P = a bb a

2 22 2

1 1+ + + .

c) Cho x, y, z > 0 thoả mãn x y z 1+ + = . Chứng minh:

x y zx y z

2 2 22 2 2

1 1 1 82+ + + + + ≥ .


Trang 41

d) Cho x, y, z > 0 thoả mãn x y z 3+ + = . Tìm GTNN của biểu thức:

P = x y z2 2 2223 223 223+ + + + + .

HD: Bình phương 2 vế ta được: (1) ⇔ a b x y ab xy2 2 2 2( )( )+ + ≥ + (*) • Nếu ab xy 0+ < thì (*) hiển nhiên đúng.

• Nếu ab xy 0+ ≥ thì bình phương 2 vế ta được: (*) ⇔ bx ay 2( ) 0− ≥ (đúng).

a) Sử dụng (1). Ta có: a b a b2 2 2 21 1 (1 1) ( ) 5+ + + ≥ + + + = .

b) Sử dụng (1). P ≥ a b a ba b a b

2 22 21 1 4( ) ( ) 17

+ + + ≥ + + =

+

Chú ý: a b a b1 1 4

+ ≥+

(với a, b > 0).

c) Áp dụng (1) liên tiếp hai lần ta được:

x y z x y zx y zx y z

22 2 2 2

2 2 21 1 1 1 1 1( )

+ + + + + ≥ + + + + +

≥ x y zx y z

22 9( ) 82

+ + + = + +

.

Chú ý: x y z x y z1 1 1 9

+ + ≥+ +

(với x, y, z > 0).

d) Tương tự câu c). Ta có: P ≥ ( ) x y z2 23 223 ( ) 2010+ + + = .

Bài 8. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh: a) ab bc ca a b c ab bc ca2 2 2+ <2( )+ + ≤ + + + b) abc a b c b c a a c b( )( )( )≥ + − + − + −

c) a b b c c a a b c2 2 2 2 2 2 4 4 42 2 2 0+ + − − − > d) a b c b c a c a b a b c2 2 2 3 3 3( ) ( ) ( )− + − + + > + +

HD: a) Sử dụng BĐT tam giác, ta có: a b c a b bc c2 2 22> − ⇒ > − + . Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm. b) Ta có: a a b c a a b c a b c2 2 2 2( ) ( )( )> − − ⇒ > + − − + . Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm. c) ⇔ a b c a b c b c a c a b( )( )( )( ) 0+ + + − + − + − > . d) ⇔ a b c b c a c a b( )( )( ) 0+ − + − + − > .


Trang 42

VẤN ĐỀ 2: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cô–si 1. Bất đẳng thức Cô–si:

+ Với a, b ≥ 0, ta có: a b ab2+

≥ . Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b.

+ Với a, b, c ≥ 0, ta có: a b c abc33

+ +≥ . Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = c.

2. Hệ quả: + a b ab2

2 +

≥

+ a b c abc3

3 + +

≥

3. Ứng dụng tìm GTLN, GTNN: + Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất ⇔ x = y. + Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất ⇔ x = y. Bài 1. Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) a b b c c a abc( )( )( ) 8+ + + ≥ b) a b c a b c abc2 2 2( )( ) 9+ + + + ≥

c) ( )a b c abc33(1 )(1 )(1 ) 1+ + + ≥ + d) bc ca ab a b c

a b c+ + ≥ + + ; với a, b, c > 0.

e) a b b c c a abc2 2 2 2 2 2(1 ) (1 ) (1 ) 6+ + + + + ≥

f) ab bc ca a b ca b b c c a 2

+ ++ + ≤

+ + +; với a, b, c > 0.

g) a b cb c c a a b

32

+ + ≥+ + +

; với a, b, c > 0.

HD: a) a b ab b c bc c a ca2 ; 2 ; 2+ ≥ + ≥ + ≥ ⇒ đpcm.

b) a b c abc a b c a b c32 2 2 2 2 233 ; 3+ + ≥ + + ≥ ⇒ đpcm. c) • a b c a b c ab bc ca abc(1 )(1 )(1 ) 1+ + + = + + + + + + +

• a b c abc33+ + ≥ • ab bc ca a b c3 2 2 23+ + ≥

⇒ ( )a b c abc a b c abc abc33 2 2 23 3(1 )(1 )(1 ) 1 3 3 1+ + + ≥ + + + = +

d) bc ca abc ca b ab

22 2+ ≥ = , ca ab a bc a

b c bc

22 2+ ≥ = , ab bc ab c b

c a ac

22 2+ ≥ = ⇒đpcm

e) VT ≥ a b b c c a2 2 22( )+ + ≥ a b c abc3 3 3 36 6= .

f) Vì a b ab2+ ≥ nên ab ab aba b ab 22

≤ =+

. Tương tự: bc bc ca cab c c a

;2 2

≤ ≤+ +

.

⇒ ab bc ca ab bc ca a b ca b b c c a 2 2

+ + + ++ + ≤ ≤

+ + +

(vì ab bc ca a b c+ + ≤ + + )

g) VT = a b cb c c a a b

1 1 1 3

+ + + + + − + + +

= [ ]a b b c c ab c c a a b

1 1 1 1( ) ( ) ( ) 32

+ + + + + + + − + + +

≥ 9 332 2

− = .

• Cách khác: Đặt x =b + c, y = c + a, z = a + b.

Khi đó, VT = x y z x z yy x x z y z

1 32

+ + + + + −

≥ 1 3(2 2 2 3)2 2

+ + − = .


Trang 43

Bài 2. Cho a, b, c > 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) a b c a b ca b c

3 3 3 21 1 1( ) ( )

+ + + + ≥ + +

b) a b c a b c a b c3 3 3 2 2 23( ) ( )( )+ + ≥ + + + + c) a b c a b c3 3 3 39( ) ( )+ + ≥ + +

HD: a) VT = a b b c c aa b cb a c b a c

3 3 3 3 3 32 2 2

+ + + + + + + +

.

Chú ý: a b a b abb a

3 32 22 2+ ≥ = . Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm.

b) ⇔ ( ) ( ) ( )a b c a b b a b c bc c a ca3 3 3 2 2 2 2 2 22( )+ + ≥ + + + + + .

Chú ý: a b ab a b3 3 ( )+ ≥ + . Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm.

c) Áp dụng b) ta có: a b c a b c a b c3 3 3 2 2 29( ) 3( )( )+ + ≥ + + + + .

Dễ chứng minh được: a b c a b c2 2 2 23( ) ( )+ + ≥ + + ⇒ đpcm.

Bài 3. Cho a, b > 0. Chứng minh a b a b1 1 4

+ ≥+

(1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau:

a) a b c a b b c c a1 1 1 1 1 12

+ + ≥ + + + + +

; với a, b, c > 0.

b) a b b c c a a b c a b c a b c

1 1 1 1 1 122 2 2

+ + ≥ + + + + + + + + + + +

; với a, b, c > 0.

c) Cho a, b, c > 0 thoả a b c1 1 1 4+ + = . Chứng minh:

a b c a b c a b c1 1 1 1

2 2 2+ + ≤

+ + + + + +

d) ab bc ca a b ca b b c c a 2

+ ++ + ≤

+ + +; với a, b, c > 0.

e) Cho x, y, z > 0 thoả x y z2 4 12+ + = . Chứng minh: xy yz xzx y y z z x2 8 4 6

2 2 4 4+ + ≤

+ + +.

f) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh rằng:

p a p b p c a b c

1 1 1 1 1 12

+ + ≥ + + − − − .

HD: (1) ⇔ a ba b1 1( ) 4

+ + ≥

. Hiển nhiển suy từ BĐT Cô–si.

a) Áp dụng (1) ba lần ta được: a b a b b c b c c a c a1 1 4 1 1 4 1 1 4; ;+ ≥ + ≥ + ≥

+ + +.

Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm. b) Tương tự câu a).

c) Áp dụng a) và b) ta được: a b c a b c a b c a b c1 1 1 1 1 14

2 2 2

+ + ≥ + + + + + + + + .

d) Theo (1): a b a b

1 1 1 14

≤ + +

⇔ ab a ba b

1 ( )4

≤ ++

.

Cùng với các BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta được đpcm. e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z thì a b c 12+ + = ⇒ đpcm. f) Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c.

Áp dụng (1) ta được: p a p b p a p b c

1 1 4 4( ) ( )

+ ≥ =− − − + −

.

Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta được đpcm.


Trang 44

Bài 4. Cho a, b, c > 0. Chứng minh a b c a b c1 1 1 9

+ + ≥+ +

(1). Áp dụng chứng minh các

BĐT sau:

a) a b c a b ca b b c c a

2 2 2 1 1 1 3( ) ( )2

+ + + + ≥ + + + + +

.

b) Cho x, y, z > 0 thoả x y z 1+ + = . Tìm GTLN của biểu thức: P = x y zx y z1 1 1

+ ++ + +

.

c) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1+ + ≤ . Tìm GTNN của biểu thức:

P = a bc b ac c ab2 2 2

1 1 12 2 2

+ ++ + +

.

d) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1+ + = . Chứng minh: ab bc caa b c2 2 2

1 1 1 1 30+ + + ≥+ +

.

e*) Cho tam giác ABC. Chứng minh: A B C

1 1 1 62 cos2 2 cos2 2 cos2 5

+ + ≥+ + −

.

HD: Ta có: (1) ⇔ a b ca b c1 1 1( ) 9

+ + + + ≥

. Dễ dàng suy từ BĐT Cô–si.

a) Áp dụng (1) ta được: a b b c c a a b c

1 1 1 92( )

+ + ≥+ + + + +

.

⇒ VT ≥ a b c a b c a b ca b c a b c

2 2 2 2 2 29( ) 3 3( ) 3. ( )2( ) 2 2

+ + + += ≥ + +

+ + + +

Chú ý: a b c a b c2 2 2 2( ) 3( )+ + ≤ + + . b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P như sau:

P = x y zx y z

1 1 1 1 1 11 1 1

+ − + − + −+ +

+ + + =

x y z1 1 13

1 1 1

− + + + + +

Ta có: x y z x y z

1 1 1 9 91 1 1 3 4

+ + ≥ =+ + + + + +

. Suy ra: P ≤ 9 334 4

− = .

Chú ý: Bài toán trên có thể tổng quát như sau: Cho x, y, z > 0 thoả x y z 1+ + = và k là hằng số dương cho trước. Tìm GTLN

của biểu thức: P = x y zkx ky kz1 1 1

+ ++ + +

.

c) Ta có: P ≥ a bc b ca c ab a b c2 2 2 2

9 9 92 2 2 ( )

= ≥+ + + + + + +

.

d) VT ≥ ab bc caa b c2 2 2

1 9+

+ ++ +

= ab bc ca ab bc ca ab bc caa b c2 2 2

1 1 1 7 + + + + + + + + ++ +

≥ ab bc caa b c 2

9 7 9 7 3011( )3

+ ≥ + =+ ++ +

Chú ý: ab bc ca a b c 21 1( )3 3

+ + ≤ + + = .

e) Áp dụng (1): A B C A B C

1 1 1 92 cos2 2 cos2 2 cos2 6 cos2 cos2 cos2

+ + ≥+ + − + + −


Trang 45

≥ 9 63 562

=+

.

Chú ý: A B C 3cos2 cos2 cos22

+ − ≤ .

Bài 5. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN của các biểu thức sau:

a) xy xx

18 ; 02

= + > . b) xy xx

2 ; 12 1

= + >−

.

c) xy xx

3 1 ; 12 1

= + > −+

. d) xy xx5 1;

3 2 1 2= + >

−

e) xy xx x

5 ; 0 11

= + < <−

f) xy xx

3

21; 0+

= >

g) x xy xx

2 4 4 ; 0+ += > h) y x x

x2

32 ; 0= + >

HD: a) Miny = 6 khi x = 6 b) Miny = 32

khi x = 3

c) Miny = 362

− khi x = 6 13

− d) Miny = 30 13

+ khi x = 30 12

+

e) Miny = 2 5 5+ khi x 5 54

−= f) Miny =

334

khi x = 3 2

g) Miny = 8 khi x = 2 h) Miny = 5

527

khi x = 5 3

Bài 6. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTLN của các biểu thức sau: a) y x x x( 3)(5 ); 3 5= + − − ≤ ≤ b) y x x x(6 ); 0 6= − ≤ ≤

c) y x x x 5( 3)(5 2 ); 32

= + − − ≤ ≤ d) y x x x5(2 5)(5 ); 52

= + − − ≤ ≤

e) y x x x1 5(6 3)(5 2 );2 2

= + − − ≤ ≤ f) xy xx2

; 02

= >+

g) ( )

xyx

2

32 2=

+

HD: a) Maxy = 16 khi x = 1 b) Maxy = 9 khi x = 3

c) Maxy = 1218

khi x = 14

− d) Maxy = 6258

khi x = 54

e) Maxy = 9 khi x = 1 f) Maxy = 12 2

khi x = 2 ( x x22 2 2+ ≥ )

g) Ta có: x x x32 2 22 1 1 3+ = + + ≥ ⇔ x x2 3 2( 2) 27+ ≥ ⇔ x

x

2

2 3127( 2)

≤+

⇒ Maxy = 127

khi x = ±1.


Trang 46

VẤN ĐỀ 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bu–nhia–cốp–xki 1. Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki: (B) • Với a, b, x, y ∈ R, ta có: ax by a b x y2 2 2 2 2( ) ( )( )+ ≤ + + . Dấu "=" xảy ra ⇔ ay = bx.

• Với a, b, c, x, y, z ∈ R, ta có: ax by cz a b c x y z2 2 2 2 2 2 2( ) ( )( )+ + ≤ + + + + Hệ quả: • a b a b2 2 2( ) 2( )+ ≤ + • a b c a b c2 2 2 2( ) 3( )+ + ≤ + + Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) a b2 23 4 7+ ≥ , với a b3 4 7+ = b) a b2 2 7353 547

+ ≥ , với a b2 3 7− =

c) a b2 2 24647 11137

+ ≥ , với a b3 5 8− = d) a b2 2 45

+ ≥ , với a b2 2+ =

e) a b2 22 3 5+ ≥ , với a b2 3 5+ = f) x y x y2 2 9( 2 1) (2 4 5)5

− + + − + ≥

HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số a b3, 4, 3 , 4 .

b) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số a b2 3, , 3 , 53 5

− .

c) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số a b3 5, , 7 , 117 11

− .

d) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số a b1,2, , .

e) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số a b2, 3, 2 , 3 .

f) Đặt a = x – 2y + 1, b = 2x – 4y + 5, ta có: 2a – b = –3 và BĐT ⇔ a b2 2 95

+ ≥ .

Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 2; –1; a; b ta được đpcm. Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) a b2 2 12

+ ≥ , với a b 1+ ≥ . b) a b3 3 14

+ ≥ , với a b 1+ ≥ .

c) a b4 4 18

+ ≥ , với a b 1+ ≥ . d) a b4 4 2+ ≥ , với a b 2+ = .

HD: a) a b a b2 2 2 2 21 (1. 1. ) (1 1 )( )≤ + ≤ + + ⇒ đpcm.

b) a b b a b a a a a3 3 2 31 1 (1 ) 1 3 3+ ≥ ⇒ ≥ − ⇒ ≥ − = − + −

⇒ b a a2

3 3 1 1 132 4 4

+ ≥ − + ≥

.

c) a b a b2 2 4 4 2 2 2 1(1 1 )( ) ( )4

+ + ≥ + ≥ ⇒ đpcm.

d) a b a b2 2 2 2 2(1 1 )( ) ( ) 4+ + ≥ + = ⇒ a b2 2 2+ ≥ .

a b a b2 2 4 4 2 2 2(1 1 )( ) ( ) 4+ + ≥ + ≥ ⇒ a b4 4 2+ ≥ Bài 3. Cho x, y, z là ba số dương và x y z 1+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P x y z1 1 1= − + − + − .

HD: Áp dụng BĐT (B), ta có: P ≤ x y z1 1 1. (1 ) (1 ) (1 )+ + − + − + − ≤ 6


Trang 47

Dấu "=" xảy ra ⇔ x y z1 1 1− = − = − ⇔ x y z 13

= = = .

Vậy Max P = 6 khi x y z 13

= = = .

Bài 4. Cho x, y, z là ba số dương và x y z 1+ + ≤ . Chứng minh rằng:

x y zx y z

2 2 22 2 2

1 1 1 82+ + + + + ≥

HD: Áp dụng BĐT (B), ta có:

x xxx

22 2 2

21 9(1 9 )

+ + ≥ +

⇒ x xxx

22

1 1 982

+ ≥ +

(1)

Tương tự ta có: y yyy

22

1 1 982

+ ≥ +

(2), z z

zz2

21 1 9

82

+ ≥ +

(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra:

P ≥ x y zx y z

1 1 1 1( ) 982

+ + + + +

= x y z

x y z x y z1 1 1 1 1 80 1 1 1( )

9 982

+ + + + + + + +

≥ x y zx y z x y z

1 2 1 1 1 80 9( ) .3 982

+ + + + + + +

≥ 82 .

Dấu "=" xảy ra ⇔ x y z 13

= = = .

Bài 5. Cho a, b, c ≥ 14

− thoả a b c 1+ + = . Chứng minh:

a b c(1) (2)

7 4 1 4 1 4 1 21< + + + + + ≤ .

HD: Áp dụng BĐT (B) cho 6 số: a b c1;1;1; 4 1; 4 1; 4 1+ + + ⇒ (2). Chú ý: x y z x y z+ + ≤ + + . Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z = 0. Từ đó ⇒ (1) Bài 6. Cho x, y > 0. Tìm GTNN của các biểu thức sau:

a) Ax y4 1

4= + , với x + y = 1 b) B x y= + , với

x y2 3 6+ =

HD: a) Chú ý: A = x y

2 22 1

2

+ .

Áp dụng BĐT (B) với 4 số: x yx y

2 1; ; ;2

ta được:

x y x yx yx y

225 2 1 4 1. . ( )4 42

= + ≤ + +

Dấu "=" xảy ra ⇔ x y4 1;5 5

= = . Vậy minA = 254

khi x y4 1;5 5

= = .

b) Chú ý: x y x y

2 22 3 2 3

+ = + .

Áp dụng BĐT (B) với 4 số: x yx y2 3; ; ; ta được:


Trang 48

( )x y x y

x y x y

222 3 2 3( ) . . 2 3

+ + ≥ + = +

⇒ ( )

x y2

2 36+

+ ≥ .

Dấu "=" xảy ra ⇔ x y2 3 3 2 2 3 3 2;6 3 6 2

+ += = . Vậy minB =

( )22 3

6+ .

Bài 7. Tìm GTLN của các biểu thức sau: a) A x y y x1 1= + + + , với mọi x, y thoả x y2 2 1+ = .

HD: a) Chú ý: x y x y2 22( ) 2+ ≤ + = .

A ≤ x y y x x y2 2( )(1 1 ) 2+ + + + = + + ≤ 2 2+ .

Dấu "=" xảy ra ⇔ x y 22

= = .

Bài 8. Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau: a) A x x7 2= − + + , với –2 ≤ x ≤ 7 b) B x x6 1 8 3= − + − , với 1 ≤ x ≤ 3

c) C y x2 5= − + , với x y2 236 16 9+ = d) D x y2 2= − − , với x y2 21

4 9+ = .

HD: a) • A ≤ x x2 2(1 1 )(7 2) 3 2+ − + + = . Dấu "=" xảy ra ⇔ x 52

= .

• A ≥ x x(7 ) ( 2) 3− + + = . Dấu "=" xảy ra ⇔ x = –2 hoặc x = 7.

⇒ maxA = 3 2 khi x 52

= ; minA = 3 khi x = –2 hoặc x = 7.

b)• B ≤ x x2 2(6 8 )( 1 3 ) 10 2+ − + − = . Dấu "=" xảy ra ⇔ x = 4325

.

• B ≥ x x x6 ( 1) (3 ) 2 3− + − + − ≥ 6 2 . Dấu "=" xảy ra ⇔ x = 3.

⇒ maxB = 10 2 khi x = 4325

; minB = 6 2 khi x = 3.

c) Chú ý: x y x y2 2 2 236 16 (6 ) (4 )+ = + . Từ đó: y x y x1 12 .4 .64 3

− = − .

⇒ ( )y x y x y x2 21 1 1 1 52 .4 .6 16 364 3 16 9 4

− = − ≤ + + =

⇒ y x5 524 4

− ≤ − ≤ ⇒ C y x15 252 54 4

≤ = − + ≤ .

⇒ minC = 154

khi x y2 9,5 20

= = − ; maxC = 254

khi x y2 9,5 20

= − = .

d) Chú ý: ( )x y x y2 2

2 21 (3 ) (2 )4 9 36

+ = + . Từ đó: x y x y2 12 .3 .23 2

− = − .

⇒ ( )x y x y x y2 22 1 4 12 .3 .2 9 4 53 2 9 4

− = − ≤ + + =

⇒ x y5 2 5− ≤ − ≤ ⇒ D x y7 2 2 3− ≤ = − − ≤ .

⇒ minD = –7 khi x y8 9,5 5

= − = ; maxD = 3 khi x y8 9,5 5

= = − .


Trang 49

1. Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0

2. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn Muốn giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ rồi

lấy giao các tập nghiệm thu được. 3. Dấu của nhị thức bậc nhất

VẤN ĐỀ 1: Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0 Bài 1. Giải các bất phương trình sau:

a) ( )xx 3 3 2 72

5 3−

− + > b) x x2 1 335 4+

− > +

c) x x5( 1) 2( 1)16 3− +

− < d) x x3( 1) 12 38 4+ −

+ < −

ĐS: Bài 2. Giải và biện luận các bất phương trình sau: a) m x m x( ) 1− ≤ − b) mx x m6 2 3+ > +

c) m x m m( 1) 3 4+ + < + d) mx m x21+ > +

e) m x x m x( 2) 16 3 2− − +

+ > f) mx x m m 23 2( ) ( 1)− < − − +

ĐS: Bài 3. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm: a) m x m x m2 24 3+ − < + b) m x m m x2 1 (3 2)+ ≥ + −

c) mx m mx2 4− > − d) mx x m m 23 2( ) ( 1)− < − − + ĐS:

f(x) = ax + b (a ≠ 0)

x ∈ ba

;

−∞ −

a.f(x) < 0

x ∈ ba

;

− +∞

a.f(x) > 0

II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

Điều kiện Kết quả tập nghiệm

a > 0 S = ba

;

−∞ −

a < 0 S = ba

;

− +∞

b ≥ 0 S = ∅ a = 0 b < 0 S = R


Trang 50

VẤN ĐỀ 2: Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn Bài 1. Giải các hệ bất phương trình sau:

a)

xx

x x

15 88 52

32(2 3) 54

−− >

− > −

b)

x x

x x

4 5 37

3 8 2 54

−< +

+ > −

c) x x

x x

4 1123 24 3 2

2 3

− ≤ +

− − <

d)

x x

x x

42 32 9 19

3 2

≤ +

− + <

e) ( )

x x

xx

11 2 52

82 3 12

−≥ −

− + ≥

f) ( )

x x

xx

115 2 23

3 142 42

− > +

− − <

g)

x x x

x x x

3 1 3( 2) 5 314 8 24 1 1 4 53

18 12 9

− − −− − >

− − − − > −

h)

x x

xx

2 3 3 14 5

53 82 3

− +<

+ < −

i) x xx x

3 1 2 74 3 2 19

+ ≥ + + > +

ĐS: Bài 2. Tìm các nghiệm nguyên của các hệ bất phương trình sau:

a) x x

x x

56 4 77

8 3 2 252

+ > +

+ < +

b) x x

xx

115 2 23

3 142( 4)2

− > +

− − <

ĐS: Bài 3. Xác định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:

a)

>−−>−+

02301

xmmx

b)

>−>−

0301

mxx

c) x m mxx x

24 2 13 2 2 1

+ ≤ ++ > −

d) x xx m

7 2 4 192 3 2 0

− ≥ − + − + <

e) mxm x m

1 0(3 2) 0

− > − − >

ĐS:


Trang 51

VẤN ĐỀ 3: Bất phương trình qui về bất phương trình bậc nhất một ẩn 1. Bất phương trình tích • Dạng: P(x).Q(x) > 0 (1) (trong đó P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất.) • Cách giải: Lập bảng xét dấu của P(x).Q(x). Từ đó suy ra tập nghiệm của (1). 2. Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

• Dạng: P xQ x

( ) 0( )

> (2) (trong đó P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất.)

• Cách giải: Lập bảng xét dấu của P xQ x

( )( )

. Từ đó suy ra tập nghiệm của (2).

Chú ý: Không nên qui đồng và khử mẫu. 3. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ • Tương tự như giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định

nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.

• Dạng 1:

f xf x g x g xf x g x

g x f x g xf xf x g x

( ) 0( ) ( ) ( ) 0( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) 0( ) ( )

≥ < >< ⇔ ⇔ − < < < − <

• Dạng 2:

g xf x f x coù nghóaf x g xf x g x g xf x f x g xf x g x f x g x

( ) 0( ) 0 ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 0( ) 0 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

< ≥ >> ⇔ ⇔ ≥ < < − − > >

Chú ý: Với B > 0 ta có: A B B A B< ⇔ − < < ; A BA BA B

< −> ⇔ >.

Bài 1. Giải các bất phương trình sau: a) x x x( 1)( 1)(3 6) 0+ − − > b) x x(2 7)(4 5 ) 0− − ≥ c) x x x2 20 2( 11)− − > −

d) x x x3 (2 7)(9 3 ) 0+ − ≥ e) x x x3 28 17 10 0+ + + < f) x x x3 26 11 6 0+ + + > ĐS: Bài 2. Giải các bất phương trình sau:

a) x xx

(2 5)( 2) 04 3

− +>

− + b) x x

x x3 51 2

− +>

+ − c) x x

x x3 1 25 3

− −<

+ −

d) xx

3 4 12

−>

− e) x

x2 5 12

−≥ −

− f)

x x2 5

1 2 1≤

− −

g) x x

4 33 1 2

−<

+ − h) x x x

x

22 11 2

+≥ −

− i) x x

x x2 5 3 23 2 2 5

− +<

+ −

ĐS: Bài 3. Giải các bất phương trình sau: a) x3 2 7− > b) x5 12 3− < c) x2 8 7− ≤

d) x3 15 3+ ≥ e) xx 112+

− > f) xx 22

− <

g) x x2 5 1− ≤ + h) x x2 1+ ≤ i) x x2 1− > + ĐS:


Trang 52

Bài 4. Giải và biện luận các bất phương trình sau:

a) x mx

2 1 01

+ −>

+ b) mx m

x1 0

1− +

<−

c) x x m1( 2) 0− − + >

HD: Giải và biện luận BPT dạng tích hoặc thương:

a x b a x b1 1 2 2( )( ) 0+ + > , a x b xa x b x

1 1

2 20

+>

+ (hoặc < 0, ≥ 0, ≤ 0)

– Đặt b b

x xa a

1 21 2

1 2;= − = − . Tính x x1 2− .

– Lập bảng xét dấu chung a a x x1 2 1 2. , − . – Từ bảng xét dấu, ta chia bài toán thành nhiều trường hợp. Trong mỗi trường hợp ta

xét dấu của a x b a x b1 1 2 2( )( )+ + (hoặc a x b xa x b x

1 1

2 2

++

) nhờ qui tắc đan dấu.

a)

mm S

mm S

m S R

33 : ( ; 1) ;2

33 : ; ( 1; )2

3 : \ { 1}

−< = −∞ − ∪ +∞

− > = −∞ ∪ − +∞ = = −

b)

mm Sm

mm Sm

m S

10 : ( ;1) ;

10 : ;1

0 : ( ;1)

−< = −∞ ∪ +∞

− > = = = −∞

c) m Sm S m

3 : (1; )3 : ( 2; )

< = +∞ ≥ = − +∞


Trang 53

1. Dấu của tam thức bậc hai

Nhận xét: • aax bx c x R2 00,0∆

>+ + > ∀ ∈ ⇔ <

• aax bx c x R2 00,0∆

<+ + < ∀ ∈ ⇔ <

2. Bất phương trình bậc hai một ẩn ax bx c2 0+ + > (hoặc ≥ 0; < 0; ≤ 0) Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.

VẤN ĐỀ 1: Giải bất phương trình, hệ bất phương trình bậc hai một ẩn Bài 1. Xét dấu các biểu thức sau: a) x x23 2 1− + b) x x2 4 5− + + c) x x24 12 9− + − d) x x23 2 8− − e) x x2 2 1− + − f) x x22 7 5− +

g) x x x2(3 10 3)(4 5)− + − h) x x x x2 2(3 4 )(2 1)− − − i) x x x

x x

2 2

2(3 )(3 )

4 3− −

+ −

ĐS: Bài 2. Giải các bất phương trình sau: a) x x22 5 2 0− + < b) x x25 4 12 0− + + < c) x x216 40 25 0+ + > d) x x22 3 7 0− + − ≥ e) x x23 4 4 0− + ≥ f) x x2 6 0− − ≤

g) x x

x x

2

23 4 0

3 5− − +

>+ +

h) x x

x x

2

24 3 1 0

5 7+ −

>+ +

i) x x

x x

2

25 3 8 0

7 6+ −

<− +

ĐS: Bài 3. Giải và biện luận các bất phương trình sau: a) x mx m2 3 0− + + > b) m x mx m2(1 ) 2 2 0+ − + ≤ c) mx x2 2 4 0− + > HD: Giải và biện luận BPT bậc hai, ta tiến hành như sau: – Lập bảng xét dấu chung cho a và ∆. – Dựa vào bảng xét dấu, biện luận nghiệm của BPT. Bài 4. Giải các hệ bất phương trình sau:

a) x xx x

2

22 9 7 0

6 0

+ + >

+ − < b) x x

x x

2

22 6 03 10 3 0

+ − >

− + ≥ c) x x

x x

2

22 5 4 0

3 10 0

− − + <

− − + >

f(x) = ax bx c2 + + (a ≠ 0) ∆ < 0 a.f(x) > 0, ∀x ∈ R

∆ = 0 a.f(x) > 0, ∀x ∈ bRa

\2

−

a.f(x) > 0, ∀x ∈ (–∞; x1) ∪ (x2; +∞) ∆ > 0 a.f(x) < 0, ∀x ∈ (x1; x2)

III. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI


Trang 54

d)

x xx xx x

2

2

2

4 3 02 10 02 5 3 0

+ + ≥ − − ≤ − + >

e) x xx x

2

24 7 0

2 1 0

− + − <

− − ≥ f) x x

x x

2

25 0

6 1 0

+ + <

− + >

g) x x

x

2

22 74 1

1− −

− ≤ ≤+

h) x x

x x

2

21 2 2 1

13 5 7− −

≤ ≤− +

i) x x

x x

2

210 3 21 1

3 2− −

− < <− + −

ĐS:

VẤN ĐỀ 2: Phương trình bậc hai – Tam thức bậc hai Bài 1. Tìm m để các phương trình sau: i) có nghiệm ii) vô nghiệm a) m x mx m2( 5) 4 2 0− − + − = b) m x m x m2( 2) 2(2 3) 5 6 0− + − + − =

c) m x m x m2(3 ) 2( 3) 2 0− − + + + = d) m x mx m2(1 ) 2 2 0+ − + =

e) m x mx m2( 2) 4 2 6 0− − + − = f) m m x m x2 2( 2 3) 2(2 3 ) 3 0− + − + − − = ĐS:

a) b) c) d) e) f) có nghiệm vô nghiệm

Bài 2. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x: a) x m x m23 2( 1) 4 0+ − + + > b) x m x m2 ( 1) 2 7 0+ + + + >

c) x m x m22 ( 2) 4 0+ − − + > d) mx m x m2 ( 1) 1 0+ − + − <

e) m x m x m2( 1) 2( 1) 3( 2) 0− − + + − > f) m x m x m23( 6) 3( 3) 2 3 3+ − + + − > ĐS: Bài 3. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm: a) m x m x2( 2) 2( 1) 4 0+ − − + < b) m x m x2( 3) ( 2) 4 0− + + − >

c) m m x m x2 2( 2 3) 2( 1) 1 0+ − + − + < d) mx m x2 2( 1) 4 0+ − + ≥

e) m x m x m2(3 ) 2(2 5) 2 5 0− − − − + > f) mx m x m2 4( 1) 5 0− + + − < ĐS:


Trang 55

VẤN ĐỀ 3: Phương trình – Bất phương trình qui về bậc hai 1. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng

định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.

• Dạng 1: C C

f xg x f x g xf x g x f x g xf xf x g xf x g x

1 2

( ) 0( ) 0 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 0( ) ( )( ) ( )

≥ ≥ = = ⇔ ⇔ = < = − = −

• Dạng 2: f x g xf x g xf x g x( ) ( )( ) ( )( ) ( )

== ⇔ = −

• Dạng 3:

f xf x g x g xf x g x

g x f x g xf xf x g x

( ) 0( ) ( ) ( ) 0( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) 0( ) ( )

≥ < >< ⇔ ⇔ − < < < − <

• Dạng 4:

g xf x f x coù nghóaf x g xf x g x g xf x f x g xf x g x f x g x

( ) 0( ) 0 ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 0( ) 0 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

< ≥ >> ⇔ ⇔ ≥ < < − − > >

Chú ý: • A A A 0= ⇔ ≥ ; A A A 0= − ⇔ ≤

• Với B > 0 ta có: A B B A B< ⇔ − < < ; A BA BA B

< −> ⇔ >.

• A B A B AB 0+ = + ⇔ ≥ ; A B A B AB 0− = + ⇔ ≤ 2. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn ta thường dùng phép nâng

luỹ thừa hoặc đặt ẩn phụ để khử dấu căn.

• Dạng 1: [ ]

g xf x g x

f x g x2

( ) 0( ) ( )

( ) ( )

≥= ⇔ =

• Dạng 2: f x hoaëc g xf x g xf x g x( ) 0 ( ( ) 0)( ) ( )( ) ( )

≥ ≥= ⇔ =

• Dạng 3: t f x ta f x b f x cat bt c2

( ), 0. ( ) . ( ) 00

= ≥+ + = ⇔ + + =

• Dạng 4: f x g x h x( ) ( ) ( )± = . Đặt u f x u vv g x

( ) ; , 0( )

= ≥=

đưa về hệ u, v.

• Dạng 5: [ ]

f xf x g x g x

f x g x2

( ) 0( ) ( ) ( ) 0

( ) ( )

≥< ⇔ > <

• Dạng 6:

[ ]

g xf x

f x g x g x

f x g x2

( ) 0( ) 0

( ) ( ) ( ) 0

( ) ( )

< ≥> ⇔ ≥ >


Trang 56


a) x x x x2 25 4 6 5− + = + + b) x x x2 21 2 8− = − + c) x x2 22 3 6 0− − − =

d) x x2 3 3− − = e) x x2 1 1− = − f) x xx x

2 1 1 2( 2)

− + +=

−

ĐS: a) x 111

= − b) x 92

= c) x 2= ±

Bài 2. Giải các bất phương trình sau:

a) x x22 5 3 0− − < b) x x x28 3 4− > + − c) x x2 1 2 0− − <

d) x x x x2 24 3 4 5+ + > − − e) x x3 1 2− − + < f) x x x x2 23 2 2− + + >

g) x x

x x

2

24 1

2−

≤+ +

h) xx

2 5 1 03

−+ >

− i) x

x x22 3

5 6−

≥− +

ĐS: a) 1 33; 1;2 2

− ∪

Bài 3. Giải các phương trình sau: a) x x2 3 3− = − b) x x5 10 8+ = − c) x x2 5 4− − =

d) x x x2 2 4 2+ + = − e) x x x23 9 1 2− + = − f) x x x23 9 1 2− + = −

g) x x3 7 1 2+ − + = h) x x2 29 7 2+ − − = i) x xxx x

21 21 2121 21

+ + −=

+ − −

ĐS: a) x 6= b) c) d) x x1; 2= − = − e) f) g) x x1; 3= − = h) x 4= ± i) Bài 4. Giải các phương trình sau: (nâng luỹ thừa)

a) x x x3 3 35 6 2 11+ + + = + b) x x x3 3 31 3 1 1+ + + = − c) x x3 31 1 2+ + − =

d) x x x3 3 31 2 3 0+ + + + + =

ĐS: a) x x x 115; 6;2

= − = − = −

Bài 5. Giải các phương trình sau: (biến đổi biểu thức dưới căn)

a) x x x x2 2 5 2 3 2 5 7 2− + − + + + − =

b) x x x x5 4 1 2 2 1 1+ − + + + − + =

c) x x x x x x2 2 2 1 2 2 3 4 2 1 3 2 8 6 2 1 4− − − + − − + + − − = ĐS: a) x 15= b) c) Bài 6. Giải các phương trình sau: (đặt ẩn phụ)

a) x x x x2 26 9 4 6 6− + = − + b) x x x x2( 4)( 1) 3 5 2 6+ + − + + =

c) x x x x2 2( 3) 3 22 3 7− + − = − + d) x x x x2( 1)( 2) 3 4+ + = + − ĐS: a) b) x x7; 2= − = c) x x6; 3= = − d) Bài 7. Giải các phương trình sau: (đặt hai ẩn phụ)

a) x x2 29 7 2+ − − = b) x x x x2 23 5 8 3 5 1 1+ + − + + =

c) x x3 35 7 5 12 1+ − − = d) x x3 31 1 2+ + − =

e) x x3 39 1 7 1 4− + + + + = f) x x3 324 5 1+ − + =


Trang 57

g) x x4 447 2 35 2 4− + + = h) x x x x x

x

22 24356 4356 5+ +

− + − =

ĐS: a) x 4= ± b) x x 81;3

= = − c) x x3; 4= − = d) x 0=

Bài 8. Giải các bất phương trình sau:

a) x x x2 12 8+ − < − b) x x x2 12 7− − < − c) x x x2 4 21 3− − + < +

d) x x x2 3 10 2− − > − e) x x x23 13 4 2+ + ≥ − f) x x x22 6 1 1+ + > +

g) x x x2 7 3 2− > − − − − h) x x x3 7 2 8+ − − > − i) x x2 3 2 1+ + + ≤

ĐS: a) ( ] 76; 4 3;17

−∞ − ∪

d) ( ]; 2 (14; )−∞ − ∪ +∞

Bài 9. Giải các bất phương trình sau: a) x x x x2( 3)(8 ) 26 11− − + > − + b) x x x x( 5)( 2) 3 ( 3) 0+ − + + >

c) x x x x2( 1)( 4) 5 5 28+ + < + + d) x x x x2 23 5 7 3 5 2 1+ + − + + ≥ ĐS: a) [ ) ( ]3;4 7;8∪ b) ( ; 4) (1; )−∞ − ∪ +∞ Bài 10. Giải các bất phương trình sau:

a) x xx

2 4 23

−≤

− b) x x

x

22 15 17 03

− − +≥

+

c) x x x2 2( 3) 4 9+ − ≤ − d) x x x xx x

2 26 62 5 4

− + + − + +≥

+ +

ĐS: Bài 11. Giải các bất phương trình sau:

a) x x3 22 8+ ≤ + b) x x3 32 22 1 3 1+ ≥ − c) x x3 1 3+ > − ĐS:


Trang 58

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) a b c a b c3 3 3+ + ≥ + + , với a, b, c > 0 và abc 1= .

b) a b c a b c a b ca b c

9+ + + + + ++ + ≥ , với a, b, c > 0.

c) p a p b p c a b c

1 1 1 1 1 12

+ + ≥ + + − − − , với a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác, p nửa chu vi.

d) a b b a ab1 1− + − ≤ , với a ≥ 1, b ≥ 1.

HD: a) Áp dụng BĐT Cô–si: a b c a b c33 3 3 3 3 33 3+ + ≥ = ⇒ a b c3 3 32( ) 6+ + ≥ (1)

a a a a33 3 31 1 3 2 3+ + ≥ ⇒ + ≥ (2). Tương tự: b b3 2 3+ ≥ (3), c c3 2 3+ ≥ (4). Cộng các BĐT (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được đpcm.

b) BĐT ⇔ b a b c c aa b c b a c

6

+ + + + + ≥

. Dễ dàng chứng minh.

c) Áp dụng BĐT: x y x y1 1 4

+ ≥+

, ta được: p a p b p a p b c

1 1 4 4+ ≥ =

− − − + −.

Tương tự: p b p c a p c p a b

1 1 4 1 1 4;+ ≥ + ≥− − − −

. Cộng các BĐT ⇒ đpcm.

d) Áp dụng BĐT Cô–si: a ab a aba b a ab a1 .2 2

+ −− = − ≤ = .

Tương tự: abb a 12

− ≤ . Cộng 2 BĐT ta được đpcm. Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = 2.

Bài 2. Tìm GTNN của các biểu thức sau:

a) A xx

11

= +−

, với x > 1.

b) Bx y4 1

4= + , với x, y > 0 và x y 5

4+ = .

c) C a ba b1 1

= + + + , với a, b > 0 và a b 1+ ≤ .

d) D a b c3 3 3= + + , với a, b, c > 0 và ab bc ca 3+ + = .

HD: a) Áp dụng BĐT Cô–si: A = xx

1( 1) 1 2 1 31

− + + ≥ + =−

.

Dấu "=" xảy ra ⇔ x = 2. Vậy minA = 3.

b) B = x yx y4 14 4 5

4+ + + − ≥ x y

x y4 12 .4 2 .4 5 5

4+ − = .

Dấu "=" xảy ra ⇔ x y 11;4

= = . Vậy minB = 5.

c) Ta có a b a b1 1 4

+ ≥+

⇒ C a b a ba b a b a b

4 1 3≥ + + = + + +

+ + +≥

a b32 5+ ≥+

.

Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = 12

. Vậy minC = 5.

d) Áp dụng BĐT Cô–si: a b ab3 3 1 3+ + ≥ , b c bc3 3 1 3+ + ≥ , c a ca3 3 1 3+ + ≥ . ⇒ a b c ab bc ca3 3 32( ) 3 3( ) 9+ + + ≥ + + = ⇒ a b c3 3 3 3+ + ≥ .


Trang 59

Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = c = 1. Vậy minD = 3. Bài 3. Tìm GTLN của các biểu thức sau: a) A a b1 1= + + + , với a, b ≥ –1 và a b 1+ = .

b) B x x2(1 2 )= − , với 0 < x < 12

.

c) C x x( 1)(1 2 )= + − , với x 112

− < < .

HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số a b1,1, 1, 1+ + ta được:

A a b a b1. 1 1. 1 (1 1)( 1 1) 6= + + + ≤ + + + + = . Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = 12

.

⇒ maxA = 6 .

b) Áp dụng BĐT Cô–si: B = x x xx x x3

1 2 1. (1 2 )3 27

+ + −− ≤ =

.

13

. Vậy maxB = 127

.

c) Áp dụng BĐT Cô–si: C = x xx x2

1 1 2 2 1 2 9(2 2)(1 2 )2 2 2 8

+ + −+ − ≤ =

.

Dấu "=" xảy ra ⇔ x = 14

− . Vậy maxC = 98

.

Bài 4. Tìm m để các hệ bất phương trình sau có nghiệm:

a) x m mxx x

24 2 13 2 2 1

+ ≤ ++ > −

b) x xm x

2 3 4 0( 1) 2 0

− − ≤− − ≥

c) x xx m

7 2 4 192 3 2 0

− ≥ − + − + <

d) x xm x

2 1 22

+ > −+ >

ĐS: Bài 5. Tìm m để các hệ bất phương trình sau vô nghiệm:

a) mx x mx x

29 34 1 6

+ < ++ < − +

b) x xmx m

2 10 16 03 1

+ + ≤> +

ĐS: Bài 6. Giải các bất phương trình sau:

a) xxx x2

2 5 136 7

−<

−− − b) x x x

xx x

2

25 6 15 6

− + +≥

+ +

c) xxx x x2 3

2 1 2 111 1

−− ≥

+− + + d)

x x x2 1 1 0

1 1+ − ≤

− +

ĐS: Bài 7. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: a) m x m x m2( 1) 2( 3) 2 0− − + − + = b) m x m x m2( 1) 2( 3) 3 0− + − + + = ĐS: Bài 8. Tìm m để các biểu thức sau luôn không âm: a) m x m x m2(3 1) (3 1) 4+ − + + + b) m x m x m2( 1) 2( 1) 3 3+ − − + − ĐS: Bài 9. Tìm m để các biểu thức sau luôn âm:


Trang 60

a) m x m x m2( 4) ( 1) 2 1− + + + − b) m m x m x2 2( 4 5) 2( 1) 2+ − − − + ĐS: Bài 10. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x:

a) x x

mx m x m

2

28 20 0

2( 1) 9 4− +

<+ + + +

b) x x

m x m x m

2

23 5 4 0

( 4) (1 ) 2 1− +

>− + + + −

c) x mx

x x

2

21 1

2 2 3+ −

<− +

d) x mx

x x

2

22 44 6

1+ −

− < <− + −

ĐS: Bài 11. Tìm m để các phương trình sau có: i) Một nghiệm ii) Hai nghiệm phân biệt iii) Bốn nghiệm phân biệt a) m x m x m4 2( 2) 2( 1) 2 1 0− − + + − = b) m x m x4 2( 3) (2 1) 3 0+ − − − = ĐS:

1 nghiệm 2 nghiệm phân biệt 4 nghiệm phân biệt a) b)


a) x x x x( 1) 16 17 ( 1)(8 23)+ + = + − b) x xx x

22

21 4 6 04 10

− + − =− +

c) x x

x x x x2 22 13 6

2 5 3 2 3+ =

− + + + d) xx

x

22 1

1

+ = −

ĐS: Bài 13. Giải các phương trình sau:

a) x x x x2 28 12 8 12− + = − + b) x x x x3 4 1 8 6 1 1+ − − + + − − =

c) x2 2 1 1 3− − = d) x x x x14 49 14 49 14+ − + − − =

e) x x x2 21 2(2 1)+ − = − − ĐS: Bài 14. Giải các bất phương trình sau:

a) x x x2 4 5 4 17− − < − b) x x1 2 3− + + < c) x x x2 3 3 1 5− − + ≤ +

d) x x

x

2

25 4 1

4− +

≤−

e) x

x x22 1 1

23 4−

<− −

f) x x x26 5 9− > − +

g) x x x2 2 3 2 2 1− − − > − h) x x x2 1 2 3 1+ < − + + ĐS: Bài 15. Giải các phương trình sau: a) x x2 3 0− + = b) x x x x x2 3 1 3 2 (2 3)( 1) 16+ + + = + + + −

c) x x x4 1 1 2+ − − = − d) x x x x1 4 ( 1)(4 ) 5+ + − + + − =

e) x x24 1 4 1 1− + − = f) x x x x x23 2 1 4 9 2 3 5 2− + − = − + − +

g) x x x x2( 5)(2 ) 3 3+ − = + h) x x x x x2 2( 4) 4 ( 2) 2− − + + − =

i) x x2 2 11 31+ + = k) x x x x29 9 9+ − = − + + ĐS:


Trang 61

Bài 16. Giải các bất phương trình sau

a) x x x2 8 12 4− − − > + b) x x x25 61 4 2+ < + c) x xx

2 4 3 2− + −≥

d) x xx

2

2

3(4 9) 2 33 3

−≤ +

− e) x x x2 2( 3) 4 9− + ≤ − f) x x

x

2

2

9 4 3 25 1

−≤ +

−

ĐS:

Thống kê Trần Sĩ Tùng

Trang 62

I. Một số khái niệm • Một tập con hữu hạn các đơn vị điều tra đgl một mẫu. • Số phần tử của một mẫu đgl kích thước mẫu. • Các giá trị của dấu hiệu thu được trên mẫu đgl một mẫu số liệu. II. Trình bày một mẫu số liệu • Tần số của một giá trị là số lần xuất hiện của giá trị đó trong mẫu số liệu. • Tần suất if của giá trị ix là tỉ số giữa tần số in và kích thước mẫu N:

ii

nf

N= (thường viết tần suất dưới dạng %)

• Bảng phân bố tần số – tần suất • Bảng phân bố tần số – tần suất ghép lớp

III. Biểu đồ • Biểu đồ hình cột • Biểu đồ hình quạt • Đường gấp khúc IV. Các số đặc trưng của mẫu số liệu 1. Số trung bình • Với mẫu số liệu kích thước N là { }Nx x x1 2, ,..., :

Nx x xx

N1 2 ...+ + +

=

• Với mẫu số liệu được cho bởi bảng phân bố tần số:

k kn x n x n xx

N1 1 2 2 ...+ + +

=

• Với mẫu số liệu được cho bởi bảng phân bố tần số ghép lớp:

k kn c n c n cx

N1 1 2 2 ...+ + +

= (ci là giá trị đại diện của lớp thứ i)

2. Số trung vị Giả sử ta có một mẫu gồm N số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm (hoặc

không tăng). Khi đó số trung vị Me là: – Số đứng giữa nếu N lẻ; – Trung bình cộng của hai số đứng giữa nếu N chẵn. 3. Mốt Mốt của một bảng phân bố tần số là giá trị có tần số lớn nhất và được kí hiệu là OM . Chú ý: – Số trung bình của mẫu số liệu được dùng làm đại diện cho các số liệu của

mẫu. – Nếu các số liệu trong mẫu có sự chênh lệch quá lớn thì dùng số trung vị làm

đại diện cho các số liệu của mẫu. – Nếu quan tâm đến giá trị có tần số lớn nhất thì dùng mốt làm đại diện. Một

mẫu số liệu có thể có nhiều mốt. 4. Phương sai và độ lệch chuẩn Để đo mức độ chênh lệch (độ phân tán) giữa các giá trị của mẫu số liệu so với số

Lớp Tần số Tần suất (%) [x1; x2) n1 f1 [x2; x3) n2 f2

… … … [xk; xk+1) nk fk

N 100 (%)

CHƯƠNG V THỐNG KÊ

Giá trị Tần số Tần suất (%) x1 n1 f1 x2 n2 f2 … … … xk nk fk N 100 (%)

Trần Sĩ Tùng Thống kê

Trang 63

trung bình ta dùng phương sai s2 và độ lệch chuẩn s s2= . • Với mẫu số liệu kích thước N là { }Nx x x1 2, ,..., :

N N N

i i ii i i

s x x x xN N N

x x

22 2 2

21 1 1

2 2

1 1 1( )

( )= = =

= − = −

= −

∑ ∑ ∑

• Với mẫu số liệu được cho bởi bảng phân bố tần số, tần suất:

k k k

i i i i i ii i i

k k k

i i i i i ii i i

s n x x n x n xN N N

f x x f x f x

22 2 2

21 1 1

22 2

1 1 1

1 1 1( )

( )

= = =

= = =

= − = −

= − = −

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

• Với mẫu số liệu được cho bởi bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp:

k k k

i i i i i ii i i

k k k

i i i i i ii i i

s n c x n c n cN N N

f c x f c f c

22 2 2

21 1 1

22 2

1 1 1

1 1 1( )

( )

= = =

= = =

= − = −

= − = −

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

(ci, ni, fi là giá trị đại diện, tần số, tần suất của lớp thứ i; N là số các số liệu thống kê N = kn n n1 2 ...+ + + ) Chú ý: Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì độ phân tán (so với số trung bình) của

các số liệu thống kê càng lớn. Bài 1. Trong các mẫu số liệu dưới đây: i) Cho biết dấu hiệu và đơn vị điều tra là gì? Kích thước mẫu là bao nhiêu? ii) Lập bảng phân bố tần số, tần suất. Nhận xét. iii) Vẽ biểu đồ tần số, tần suất. iv) Tính số trung bình, số trung vị, mốt. v) Tính phương sai và độ lệch chuẩn. Nhận xét. 1) Tuổi thọ của 30 bóng đèn được thắp thử (đơn vị: giờ)

1180 1150 1190 1170 1180 1170 1160 1170 1160 1150 1190 1180 1170 1170 1170 1190 1170 1170 1170 1180 1170 1160 1160 1160 1170 1160 1180 1180 1150 1170

2) Năng suất lúa hè thu (tạ/ha) năm 1998 của 31 tỉnh 30 30 25 25 35 45 40 40 35 45 25 45 30 30 30 40 30 25 45 45 35 35 30 40 40 40 35 35 35 35 35

3) Số con của 40 gia đình ở huyện A. 2 4 3 2 0 2 2 3 4 5 2 2 5 2 1 2 2 2 3 2 5 2 7 3 4 2 2 2 3 2 3 5 2 1 2 4 4 3 4 3

4) Điện năng tiêu thụ trong một tháng (kW/h) của 30 gia đình ở một khu phố A. 165 85 65 65 70 50 45 100 45 100 100 100 100 90 53 70 141 42 50 150 40 70 84 59 75 57 133 45 65 75

Thống kê Trần Sĩ Tùng

Trang 64

5) Số học sinh giỏi của 30 lớp ở một trường THPT. 0 2 1 0 0 3 0 0 1 1 0 1 6 6 0 1 5 2 4 5 1 0 1 2 4 0 3 3 1 0

6) Nhiệt độ của 24 tỉnh, thành phố ở Việt Nam vào một ngày của tháng 7 (đơn vị: độ) 36 30 31 32 31 40 37 29 41 37 35 34 34 35 32 33 35 33 33 31 34 34 32 35

7) Tốc độ (km/h) của 30 chiếc xe môtô ghi ở một trạm kiểm soát giao thông. 40 58 60 75 45 70 60 49 60 75 52 41 70 65 60 42 80 65 58 55 65 75 40 55 68 70 52 55 60 70

8) Kết quả điểm thi môn Văn của hai lớp 10A, 10B ở một trường THPT. Lớp 10A Điểm thi 5 6 7 8 9 10 Cộng

Tần số 1 9 12 14 1 3 40

Lớp 10B Điểm thi 6 7 8 9 Cộng Tần số 8 18 10 4 40

9) Tiền lương hàng tháng của 30 công nhân ở một xưởng may. Tiền lương 300 500 700 800 900 1000 Cộng

Tần số 3 5 6 5 6 5 30 10) Một nhà nghiên cứu ghi lại tuổi của 30 bệnh nhân mắc bệnh đau mắt hột.

21 17 22 18 20 17 15 13 15 20 15 12 18 17 25 17 21 15 12 18 16 23 14 18 19 13 16 19 18 17

ĐS: x eM OM s2 s

1) 1170 1170 1170 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

Bài 2. Trong các mẫu số liệu dưới đây: i) Cho biết dấu hiệu và đơn vị điều tra là gì? Kích thước mẫu là bao nhiêu? ii) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp. Nhận xét. iii) Vẽ biểu đồ tần số, tần suất. iv) Tính số trung bình, số trung vị, mốt. v) Tính phương sai và độ lệch chuẩn. Nhận xét. 1) Khối lượng của 30 củ khoai tây thu hoạch được ở nông trường T (đơn vị: g).

90 73 88 99 100 102 101 96 79 93 81 94 96 93 95 82 90 106 103 116 109 108 112 87 74 91 84 97 85 92

Với các lớp: [70; 80), [80; 90), [90; 100), [100; 110), [110; 120]. 2) Chiều cao của 35 cây bạch đàn (đơn vị: m).

6,6 7,5 8,2 8,2 7,8 7,9 9,0 8,9 8,2 7,2 7,5 8,3 7,4 8,7 7,7 7,0 9,4 8,7 8,0 7,7 7,8 8,3 8,6 8,1 8,1 9,5 6,9 8,0 7,6 7,9 7,3 8,5 8,4 8,0 8,8

Với các lớp: [6,5; 7,0), [7,0; 7,5), [7,5; 8,0), [8,0; 8,5), [8,5; 9,0), [9,0; 9,5].

Trần Sĩ Tùng Thống kê

Trang 65

3) Số phiếu dự đoán đúng của 25 trận bóng đá học sinh. 54 75 121 142 154 159 171 189 203 211 225 247 251 259 264 278 290 305 315 322 355 367 388 450 490

Với các lớp: [50; 124], [125; 199], … (độ dài mỗi đoạn là 74). 4) Doanh thu của 50 cửa hàng của một công ti trong một tháng (đơn vị: triệu đồng).

102 121 129 114 95 88 109 147 118 148 128 71 93 67 62 57 103 135 97 166 83 114 66 156 88 64 49 101 79 120 75 113 155 48 104 112 79 87 88 141 55 123 152 60 83 144 84 95 90 27

Với các lớp: [26,5; 48,5), [48,5; 70,5), … (độ dài mỗi khoảng là 22). 5) Điểm thi môn Toán của 60 học sinh lớp 10.

1 5 4 8 2 9 4 5 3 2 7 2 7 10 0 2 6 3 7 5 9 10 10 7 9 0 5 3 8 2 4 1 3 6 0 10 3 3 0 8 6 4 1 6 8 2 5 2 1 5 1 8 5 7 2 4 6 3 4 2

Với các lớp: [0;2), [2; 4), …, [8;10]. 6) Số điện tiêu thụ của 30 hộ ở một khu dân cư trong một tháng như sau (đơn vị: kW):

50 47 30 65 63 70 38 34 48 53 33 39 32 40 50 55 50 61 37 37 43 35 65 60 31 33 41 45 55 59

Với các lớp: [30;35), [35; 40), …, [65;70]. 7) Số cuộn phim mà 40 nhà nhiếp ảnh nghiệp dư sử dụng trong một tháng.

5 3 3 1 4 3 4 3 6 8 4 2 4 6 8 9 6 2 10 11 15 1 2 5 13 7 7 2 4 9 3 8 8 10 14 16 17 6 6 12

Với các lớp: [0; 2], [3; 5], …, [15; 17]. 8) Số người đến thư viện đọc sách buổi tối trong 30 ngày của tháng 9 ở một thư viện.

85 81 65 58 47 30 51 92 85 42 55 37 31 82 63 33 44 93 77 57 44 74 63 67 46 73 52 53 47 35

Với các lớp: [25; 34], [35; 44], …, [85; 94] (độ dài mỗi đoạn bằng 9). 9) Số tiền điện phải trả của 50 gia đình trong một tháng ở một khu phố (đơn vị: nghìn

đồng) Lớp [375; 449] [450; 524] [525; 599] [600; 674] [675; 749] [750; 825]

Tần số 6 15 10 6 9 4 10) Khối lượng của 30 củ khoai tây thu hoạch ở một nông trường (đơn vị: gam).

Lớp [70; 80) [80; 90) [90; 100) [100; 110) [110; 120) Tần số 3 6 12 6 3

ĐS: x eM OM s2 s

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

Lượng giác Trần Sĩ Tùng

Trang 66

I. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác 1. Định nghĩa các giá trị lượng giác Cho OA OM( , ) α= . Giả sử M x y( ; ) .

( )

x OHy OK

AT k

BS k

cossin

sintancos 2coscotsin

αα

α πα α π

αα

α α πα

= == =

= = ≠ +

= = ≠

Nhận xét: • , 1 cos 1; 1 sin 1α α α∀ − ≤ ≤ − ≤ ≤

• tanα xác định khi k k Z,2π

α π≠ + ∈ • cotα xác định khi k k Z,α π≠ ∈

• ksin( 2 ) sinα π α+ = • ktan( ) tanα π α+ =

kcos( 2 ) cosα π α+ = kcot( ) cotα π α+ =

2. Dấu của các giá trị lượng giác

3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

0 6π

4π

3π

2π 2

3π 3

4π π 3

2π 2π

00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600

sin 0 12

22

32

1 32

22

0 –1 0

cos 1 32

22

12

0 12

− 22

− –1 0 1

tan 0 33

1 3 P 3− –1 0 P 0

cot P 3 1 33

0 33

− –1 P 0 P

CHƯƠNG VI GÓC – CUNG LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Phần tư Giá trị lượng giác I II III IV

cosα + – – + sinα + + – – tanα + – + – cotα + – + –

cosin O

cotang

si

n

tang

H A

M K

B S

α

T

Trần Sĩ Tùng Lượng giác

Trang 67

4. Hệ thức cơ bản:

2 2sin cos 1α α+ = ; tan .cot 1α α = ; 2 22 2

1 11 tan ; 1 cotcos sin

α αα α

+ = + =

5. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

II. Công thức lượng giác 1. Công thức cộng

2. Công thức nhân đôi sin 2 2sin .cosα α α= 2 2 2 2cos2 cos sin 2 cos 1 1 2sinα α α α α= − = − = −

2

22 tan cot 1tan 2 ; cot 2

2 cot1 tanα αα α

αα

−= =

−

sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a+ = + sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a− = − cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b+ = − cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b− = +

tan tantan( )1 tan .tan

a ba ba b+

+ =−


a ba ba b−

− =+

Hệ quả: 1 tan 1 tantan , tan4 1 tan 4 1 tanπ α π α

α αα α

+ −+ = − = − +

Góc hơn kém π Góc hơn kém 2π

sin( ) sinπ α α+ = − sin cos2π

α α

+ =

cos( ) cosπ α α+ = − cos sin2π

α α

+ = −

tan( ) tanπ α α+ = tan cot2π

α α

+ = −

cot( ) cotπ α α+ = cot tan2π

α α

+ = −

Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau

cos( ) cosα α− = sin( ) sinπ α α− = sin cos2π

α α

− =

sin( ) sinα α− = − cos( ) cosπ α α− = − cos sin2π

α α

− =

tan( ) tanα α− = − tan( ) tanπ α α− = − tan cot2π

α α

− =

cot( ) cotα α− = − cot( ) cotπ α α− = − cot tan2π

α α

− =


Trang 68

3. Công thức biến đổi tổng thành tích

4. Công thức biến đổi tích thành tổng

Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*) 2

2

2

1 cos2sin2

1 cos2cos2

1 cos2tan1 cos2

αα

αα

αα

α

−=

+=

−=

+

3

3

3

2

sin3 3sin 4sincos3 4 cos 3cos

3tan tantan31 3tan

α α αα α α

α αα

α

= −= −

−=

−

cos cos 2 cos .cos2 2

a b a ba b + −+ =

cos cos 2sin .sin2 2

a b a ba b + −− = −

sin sin 2sin .cos2 2

a b a ba b + −+ =

sin sin 2 cos .sin2 2

a b a ba b + −− =

sin( )tan tancos .cos

a ba ba b

++ =


a ba ba b

−− =

sin( )cot cotsin .sin

a ba ba b

++ =

b aa ba b


−− =

sin cos 2.sin 2.cos4 4π π

α α α α

+ = + = −

sin cos 2 sin 2 cos4 4π π

α α α α

− = − = − +

1cos .cos cos( ) cos( )21sin .sin cos( ) cos( )21sin .cos sin( ) sin( )2

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

= − + +

= − − +

= − + +


Trang 69

VẤN ĐỀ 1: Dấu của các giá trị lượng giác Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm ngọn

của cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các GTLG. Bài 1. Xác định dấu của các biểu thức sau:

a) A = 0 0sin 50 .cos( 300 )− b) B = 0 22sin215 .tan7π

c) C = 3 2cot .sin5 3π π

−

d) D = c 4 4 9os .sin .tan .cot5 3 3 5π π π π

ĐS: A > 0; B > 0; Bài 2. Cho 0 00 90α< < . Xét dấu của các biểu thức sau: a) A = 0sin( 90 )α + b) B = 0cos( 45 )α −

c) C = 0cos(270 )α− d) D = 0cos(2 90 )α + ĐS:

Bài 3. Cho 02π

α< < . Xét dấu của các biểu thức sau:

a) A = cos( )α π+ b) B = tan( )α π−

c) C = 2sin5π

α

+

d) D = 3cos8π

α

−

ĐS: Bài 4. Cho tam giác ABC. Xét dấu của các biểu thức sau: a) M = A B Csin sin sin+ + b) N = A B Csin .sin .sin

c) P = A B Ccos .cos .cos2 2 2

d) Q = A B Ctan tan tan2 2 2

+ +

ĐS:

VẤN ĐỀ 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung) Ta sử dụng các hệ thức liên quan giữa các giá trị lượng giác của một góc, để từ giá trị

lượng giác đã biết suy ra các giá trị lượng giác chưa biết. I. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại 1. Cho biết sinα, tính cosα, tanα, cotα

• Từ 2 2sin cos 1α α+ = ⇒ 2cos 1 sinα α= ± − .

– Nếu α thuộc góc phần tư I hoặc IV thì 2cos 1 sinα α= − .

– Nếu α thuộc góc phần tư II hoặc III thì 2cos 1 sinα α= − − .

• Tính sintancos

αα

α= ; 1cot

tanα

α= .

2. Cho biết cosα, tính sinα, tanα, cotα

• Từ 2 2sin cos 1α α+ = ⇒ 2sin 1 cosα α= ± − .

– Nếu α thuộc góc phần tư I hoặc II thì 2sin 1 cosα α= − .

– Nếu α thuộc góc phần tư III hoặc IV thì 2sin 1 cosα α= − − .

• Tính sintancos

αα

α= ; 1cot

tanα

α= .

3. Cho biết tanα, tính sinα, cosα, cotα


Trang 70

• Tính 1cot

tanα

α= .

• Từ 22

1 1 tancos

αα

= + ⇒ 2

1cos1 tan

αα

= ±+

.

– Nếu α thuộc góc phần tư I hoặc IV thì 2

1cos1 tan

αα

=+

.

– Nếu α thuộc góc phần tư II hoặc III thì 2

1cos1 tan

αα

= −+

.

• Tính sin tan .cosα α α= . 4. Cho biết cotα, tính sinα, cosα, tanα

• Tính 1tancot

αα

= .

• Từ 221 1 cot

sinα

α= + ⇒

2

1sin1 cot

αα

= ±+

.

– Nếu α thuộc góc phần tư I hoặc II thì 2

1sin1 cot

αα

=+

.

– Nếu α thuộc góc phần tư III hoặc IV thì 2

1sin1 cot

αα

= −+

.

II. Cho biết một giá trị lượng giác, tính giá trị của một biểu thức • Cách 1: Từ GTLG đã biết, tính các GTLG có trong biểu thức, rồi thay vào biểu thức. • Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG đã biết III. Tính giá trị một biểu thức lượng giác khi biết tổng – hiệu các GTLG Ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi: A B A B AB2 2 2( ) 2+ = + − A B A B A B4 4 2 2 2 2 2( ) 2+ = + −

A B A B A AB B3 3 2 2( )( )+ = + − + A B A B A AB B3 3 2 2( )( )− = − + + IV. Tính giá trị của biểu thức bằng cách giải phương trình • Đặt t x t2sin , 0 1= ≤ ≤ ⇒ x t2cos 1= − . Thế vào giả thiết, tìm được t. Biểu diễn biểu thức cần tính theo t và thay giá trị của t vào để tính. • Thiết lập phương trình bậc hai: t St P2 0− + = với S u v P uv;= + = . Từ đó tìm u,v. Bài 1. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại, với:

a) a a0 04cos , 270 3605

= < < b) 2cos , 025π

α α= − < <

c) a a5sin ,13 2

ππ= < < d) 0 01sin , 180 270

3α α= − < <

e) a a 3tan 3,2π

π= < < f) tan 2,2π

α α π= − < <

g) 0cot15 2 3= + h) 3cot 3,2π

α π α= < <

ĐS: Bài 2. Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức, với:


Trang 71

a) a aA khi a a

a acot tan 3sin , 0cot tan 5 2

π+= = < <

− ĐS: 25

7

b) a aB khi a aa a

20 08tan 3cot 1 1sin , 90 180

tan cot 3+ −

= = < <+

ĐS: 83

c) a a a aC khi aa a a a

2 2

2 2sin 2sin .cos 2 cos cot 3

2sin 3sin .cos 4 cos+ −

= = −− +

ĐS: 2347

−

d) a aD khi aa a3 3

sin 5cos tan 2sin 2 cos

+= =

− ĐS: 35

6

e) a a aE khi aa a

3 3

38cos 2sin cos tan 2

2 cos sin− +

= =−

ĐS: 32

−

g) a aG khi aa a

cot 3tan 2cos2 cot tan 3

+= = −

+ ĐS: 19

13

h) a aH khi aa a

sin cos tan 5cos sin

+= =

− ĐS: 3

2−

Bài 3. Cho a a 5sin cos4

+ = . Tính giá trị các biểu thức sau:

a) A a asin .cos= b) B a asin cos= − c) C a a3 3sin cos= −

ĐS: a) 932

b) 74

± c) 41 7128

±

Bài 4. Cho a atan cot 3− = . Tính giá trị các biểu thức sau: a) A a a2 2tan cot= + b) B a atan cot= + c) C a a4 4tan cot= − ĐS: a) 11 b) 13± c) 33 13± Bài 5.

a) Cho x x4 4 33sin cos4

+ = . Tính A x x4 4sin 3cos= + . ĐS: 7A4

=

b) Cho x x4 4 13sin cos2

− = . Tính B x x4 4sin 3cos= + . ĐS: B = 1

c) Cho x x4 4 74sin 3cos4

+ = . Tính C x x4 43sin 4 cos= + . ĐS: C C7 574 28

= ∨ =

Bài 6.

a) Cho x x 1sin cos5

+ = . Tính x x x xsin , cos , tan , cot .

b) Cho x xtan cot 4+ = . Tính x x x xsin , cos , tan , cot .

ĐS: a) 4 3 4 3; ; ;5 5 3 4

− − − b) 1 2 3; ; 2 3; 2 322 2 3

−+ −

−

hoặc 2 3 12 3; 2 3; ;2 2 2 3

−− +

−

VẤN ĐỀ 3: Tính giá trị lượng giác của biểu thức bằng các cung liên kết


Trang 72

Sử dụng công thức các góc (cung) có liên quan đặc biệt (cung liên kết). Bài 1. Tính các GTLG của các góc sau: a) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0120 ; 135 ; 150 ; 210 ; 225 ; 240 ; 300 ; 315 ; 330 ; 390 ; 420 ; 495 ; 2550

b) 7 13 5 10 5 11 16 13 29 319 ; 11 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;2 4 4 3 3 3 3 6 6 4π π π π π π π π π π

π π − − − −

Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau:

a) A x x xcos cos(2 ) cos(3 )2π

π π

= + + − + +

ĐS: A = xsin−

b) B x x x x7 32 cos 3cos( ) 5sin cot2 2π π

π

= − − + − + −

ĐS: B xtan=

c) C x x x x32sin sin(5 ) sin cos2 2 2π π π

π

= + + − + + + +

ĐS: C xcos=

d) D x x x x3 3cos(5 ) sin tan cot(3 )2 2π π

π π

= − − + + − + −

ĐS: D = 0

Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau:

A0 0 0 0

0 0sin( 328 ).sin 958 cos( 508 ).cos( 1022 )

cot 572 tan( 212 )− − −

= −−

ĐS: A = –1

B0 0

00 0

sin( 234 ) cos216 .tan36sin144 cos126

− −=

− ĐS: B 1= −

C 0 0 0 0 0cos20 cos40 cos60 ... cos160 cos180= + + + + + ĐS: C 1= − D 2 0 2 0 2 0 2 0cos 10 cos 20 cos 30 ... cos 180= + + + + ĐS: D 9= E 0 0 0 0 0sin 20 sin 40 sin 60 ... sin340 sin360= + + + + + ĐS: E 0= F x x x x0 0 0 02sin(810 ) cos(1260 ) tan(630 ).tan(1260 )= + + − + + − ĐS: F x1 cos= +

VẤN ĐỀ 4: Rút gọn biểu thức lượng giác – Chứng minh đẳng thức lượng giác Sử dụng các hệ thức cơ bản, công thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng giác.

Trong khi biến đổi biểu thức, ta thường sử dụng các hằng đẳng thức. Chú ý: Nếu là biểu thức lượng giác đối với các góc A, B, C trong tam giác ABC thì:

A B C π+ + = và A B C2 2 2 2

π+ + =

Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau: a) x x x x2 2 2 2tan sin tan .sin− = b) x x x x2 2 2 2cot cos cos .cot− =

c) x x xx x x

sin cos 1 2 cos1 cos sin cos 1

+ −=

− − + d) x x

x

22

21 sin 1 2 tan1 sin

+= +

−

e) x x x4 4 2sin cos 1 2 cos− = − f) x x x x4 4 2 2sin cos 1 2 cos .sin+ = −

g) x x x x6 6 2 2sin cos 1 3sin .cos+ = −

h) x x x x x x8 8 2 2 4 4sin cos 1 4sin .cos 2sin .cos+ = − +


Trang 73

i) x x x x x1 sin cos tan (1 cos )(1 tan )+ + + = + +

k) x x x x x x x x2 2sin .tan cos .cot 2sin .cos tan cot+ + = + Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) a ba ba b

tan tantan .tancot cot

+=

+ b) a a a

a a a a asin cos 1 cot

sin cos cos sin 1 cot+

− =− − −

c) a a a aa a

2 2sin cos1 sin .cos1 cot 1 tan

− − =+ +

d) a a a a aa a a

2

2sin sin cos sin cos

sin cos tan 1+

− = +− −

e) a a aa a

2

21 cos (1 cos )1 2 cot

sin sin

+ −− =

f) a a a

a a a a

2 2 4

2 2 2 2tan 1 cot 1 tan.

1 tan cot tan cot+ +

=+ +

g) a a aa a

221 sin 1 sin 4 tan

1 sin 1 sin

+ −− =

− + h) a b a b

a b a b

2 2 2 2

2 2 2 2tan tan sin sintan .tan sin .sin

− −=

i) a a aa a

2 26

2 2sin tan tancos cot

−=

− k) a a a a

a aa a

3 33 3

2 2tan 1 cot tan cot

sin .cossin cos− + = +

Bài 3. Cho x x vôùi a ba b a b

4 4sin cos 1 , , 0.+ = >+

Chứng minh: x x

a b a b

8 8

3 3 3sin cos 1

( )+ =

+.

HD: Từ giả thiết ta tính được a bx xa b a b

2 2sin , cos= =+ +

.

Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau: a) x x x2 2 2(1 sin )cot 1 cot− + − b) x x x x2 2(tan cot ) (tan cot )+ − −

c) x x x

x x x

2 2 2

2 2 2cos cos .cotsin sin .tan

+

+ d) x a y a x a y a2 2( .sin .cos ) ( .cos .sin )− + +

e) x x

x x

2 2

2 2sin tancos cot

−

− f) x x x

x x x

2 2 4

2 2 4sin cos coscos sin sin

− +

− +

g) x x x x2 2sin (1 cot ) cos (1 tan )+ + + h) x x xx x

1 cos 1 cos ; (0, )1 cos 1 cos

π+ −

− ∈− +

i) x x xx x

1 sin 1 sin ; ;1 sin 1 sin 2 2

π π + −+ ∈ −

− + k) x x x x2 2 3cos tan sin ; ;

2 2π π

− − ∈

Bài 5. Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x: a) x x x x4 4 6 63(sin cos ) 2(sin cos )+ − + ĐS: 1

b) x x x x x8 8 6 6 43(sin cos ) 4(cos 2sin ) 6sin− + − + ĐS: 1

c) x x x x4 4 2 2(sin cos 1)(tan cot 2)+ − + + ĐS: –2

d) x x x x x2 2 2 2 2cos .cot 3cos cot 2sin+ − + ĐS: 2

e) x x

x x x

4 4

6 6 4sin 3cos 1

sin cos 3cos 1+ −

+ + − ĐS: 2

3

f) x x x x

x x

2 2 2 2

2 2tan cos cot sin

sin cos− −

+ ĐS: 2

g) x x

x x

6 6

4 4sin cos 1sin cos 1

+ −

+ − ĐS: 3

2

Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh:


Trang 74

a) B A Csin sin( )= + b) A B Ccos( ) cos+ = −

c) A B Csin cos2 2+

= d) B C A Ccos( ) cos( 2 )− = − +

e) A B C Ccos( ) cos2+ − = − f) A B C A3cos sin22

− + +=

g) A B C C3sin cos2

+ += h) A B C C2 3tan cot

2 2+ −

=

VẤN ĐỀ 5: Công thức cộng sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a+ = + sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a− = − cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b+ = − cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b− = +


a ba ba b+

+ =−


a ba ba b−

− =+

Hệ quả: 1 tan 1 tantan , tan4 1 tan 4 1 tanπ α π α

α αα α

+ −+ = − = − +

Bài 1. Tính các giá trị lượng giác của các góc sau:

a) 0 0 015 ; 75 ; 105 b) 5 7; ;12 12 12π π π

Bài 2. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:

a) khi 3tan sin ,3 5 2π π

α α α π

+ = < <

ĐS: 48 25 311

−

b) khi 12 3cos sin , 23 13 2π π

α α α π

− = − < <

ĐS: (5 12 3)26

−

c) a b a b khi a b1 1cos( ).cos( ) cos , cos3 4

+ − = = ĐS: 119144

−

d) a b a b a bsin( ), cos( ), tan( )− + + khi a b8 5sin , tan17 12

= = và a, b là các góc nhọn.

ĐS: 21 140 21; ; .221 221 220

e) a b a btan tan , tan , tan+ khi a b a b0 , ,2 4π π

< < + = và a btan .tan 3 2 2= − . Từ đó

suy ra a, b . ĐS: 2 2 2− ; a b a btan tan 2 1,8π

= = − = =

Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau:

a) A = o o o2 2 2sin 20 sin 100 sin 140+ + ĐS: 32

b) B = o o o2 2 2cos 10 cos 110 cos 130+ + ĐS: 32

c) C = o o o o o otan 20 .tan80 tan80 .tan140 tan140 .tan 20+ + ĐS: –3


Trang 75

d) D = o o o o o otan10 .tan 70 tan 70 .tan130 tan130 .tan190+ + ĐS: –3

e) E = o o o

o ocot 225 cot 79 .cot 71

cot 259 cot 251−

+ ĐS: 3

f) F = o o2 2cos 75 sin 75− ĐS: 32

−

g) G = o

01 tan151 tan15

−

+ ĐS: 3

3

h) H = 0 0tan15 cot15+ ĐS: 4 HD: 0 0 0 0 0 040 60 20 ; 80 60 20= − = + ; 0 0 0 0 0 050 60 10 ; 70 60 10= − = + Bài 4. Chứng minh các hệ thức sau: a) x y x y x y2 2sin( ).sin( ) sin sin+ − = −

b) x yx yx y x y2sin( )tan tan

cos( ) cos( )+

+ =+ + −

c) x x x x x x2 2tan .tan tan .tan tan .tan 33 3 3 3π π π π

+ + + + + + = −

d) x x x x 3 2cos .cos cos .cos (1 3)3 4 6 4 4π π π π

− + + + + = −

e) o o o o(cos70 cos50 )(cos230 cos290 )+ + o o o o(cos40 cos160 )(cos320 cos380 ) 0+ + + =

f) x xx xx x

2 2

2 2tan 2 tantan .tan3

1 tan 2 .tan−

=−

Bài 5. Chứng minh các hệ thức sau, với điều kiện cho trước: a) a a b khi b a a b2 tan tan( ) sin sin .cos( )= + = + b) a a b khi b a b2 tan tan( ) 3sin sin(2 )= + = +

c) a b khi a b a b1tan .tan cos( ) 2 cos( )3

= − + = −

d) ka b b khi a b k ak

1tan( ).tan cos( 2 ) cos1

−+ = + =

+

HD: a) Chú ý: b = (a+b)–a b) Chú ý: b = (a+b)–a; 2a+b=(a+b)+a c) Khai triển giả thiết d) Chú ý: a+2b=(a+b)+a; a=(a+b)–b Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh: a) C A B B Asin sin .cos sin .cos= +

b) C A B A BA B

0sin tan tan ( , 90 )cos .cos

= + ≠

c) A B C A B C A B C 0tan tan tan tan .tan .tan ( , , 90 )+ + = ≠ d) A B B C C Acot .cot cot .cot cot .cot 1+ + =

e) A B B C C Atan .tan tan .tan tan .tan 12 2 2 2 2 2

+ + =

f) A B C A B Ccot cot cot cot .cot .cot2 2 2 2 2 2

+ + =

g) oC BB C AB A C Acos coscot cot ( 90 )

sin .cos sin .cos+ = + ≠

h) A B C A B C A B C A B Ccos .cos .cos sin sin cos sin cos sin cos sin sin2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

= + +


Trang 76

i) A B C A B C2 2 2sin sin sin 1 2sin sin sin2 2 2 2 2 2

+ + = +

HD: a, b, c, d) Sử dụng (A + B) + C = 1800 e, f) Sử dụng A B C 0902 2 2

+ + =

g) VT = VP = tanA h) Khai triển A B Ccos2 2 2

+ +

i) Khai triển A B Csin2 2 2

+ +

.

Chú ý: Từ B C Acos sin2 2 2

+ =

⇒ B C A B Ccos .cos sin sin .sin

2 2 2 2 2= +

⇒ A B C A A B C2sin .cos .cos sin sin .sin .sin2 2 2 2 2 2 2

= +

Bài 7. Cho tam giác A, B, C. Chứng minh: a) A B C ABC nhoïntan tan tan 3 3, .∆+ + ≥ ∀

b) A B C ABC nhoïn2 2 2tan tan tan 9, .∆+ + ≥ ∀

c) A B C ABC nhoïn6 6 6tan tan tan 81, .∆+ + ≥ ∀

d) A B C2 2 2tan tan tan 12 2 2

+ + ≥

e) A B Ctan tan tan 32 2 2

+ + ≥

HD: a, b, c) Sử dụng A B C A B Ctan tan tan tan .tan .tan+ + = và BĐT Cô–si d) Sử dụng a b c ab bc ca2 2 2+ + ≥ + +

và A B B C C Atan .tan tan .tan tan .tan 12 2 2 2 2 2

+ + =

e) Khai triển A B C2

tan tan tan2 2 2

+ +

và sử dụng câu c)


Trang 77

VẤN ĐỀ 6: Công thức nhân Công thức nhân đôi sin 2 2sin .cosα α α= 2 2 2 2cos2 cos sin 2 cos 1 1 2sinα α α α α= − = − = −

2

22 tan cot 1tan 2 ; cot 2

2 cot1 tanα αα α

αα

−= =

−

Bài 1. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:

a) khi 5 3cos2 , sin 2 , tan 2 cos ,13 2

πα α α α π α= − < <

b) khicos2 , sin 2 , tan 2 tan 2α α α α =

c) khi 4 3sin , cos sin 2 ,5 2 2

π πα α α α= − < <

d) khi 7cos2 , sin 2 , tan 2 tan8

α α α α =

ĐS: a) 119cos2169

α = − , 120sin 2169

=α , 120tan2119

= −α

b) 4tan23

= −α , 3cos25

α = − , 4sin 25

=α

c) 5sin5

=α , 2 5cos5

α = − hoặc 2 5sin5

=α , 5cos5

α = −

d) 112tan215

=α , 15cos2113

α = , 112sin 2113

=α

Bài 2. Tính giá trị của biểu thức sau:

a) o o o oA cos20 .cos40 .cos60 .cos80= ĐS: 116

b) o o oB sin10 .sin 50 .sin 70= ĐS: 18

c) C 4 5cos .cos .cos7 7 7π π π

= ĐS: 18

d) o o o oD sin 6 .sin 42 .sin66 .sin 78= ĐS: 116

e) E 2 4 8 16 32cos .cos .cos .cos .cos31 31 31 31 31π π π π π

= ĐS: 132

f) o o o o oF sin5 .sin15 .sin25 .... sin 75 .sin85= ĐS: 2512

g) G 0 0 0 0 0cos10 .cos20 .cos30 ...cos70 .cos80= ĐS: 3256

Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*) 2

2

2

1 cos2sin2

1 cos2cos2

1 cos2tan1 cos2

αα

αα

αα

α

−=

+=

−=

+

3

3

3

2

sin3 3sin 4sincos3 4 cos 3cos

3tan tantan31 3tan

α α αα α α

α αα

α

= −= −

−=

−


Trang 78

h) H 96 3 sin .cos .cos cos cos48 48 24 12 6π π π π π

= ĐS: 9

i) I 2 3 4 5 6 7cos .cos .cos .cos .cos .cos .cos15 15 15 15 15 15 15π π π π π π π

= ĐS: 1128

k) K sin .cos .cos16 16 8π π π

= ĐS: 28

Bài 3. Chứng minh rằng:

a) n n

n

a a a a aPa2 3

sincos cos cos ... cos2 2 2 2 2 .sin

2

= =

b) n

nQn n n

2 1cos .cos ... cos2 1 2 1 2 1 2

π π π= =

+ + +

c) nRn n n2 4 2 1cos .cos ... cos

2 1 2 1 2 1 2π π π

= = −+ + +

Bài 4. Chứng minh các hệ thức sau:

a) x x4 4 3 1sin cos cos44 4

+ = + b) x x x6 6 5 3sin cos cos48 8

+ = +

c) x x x x x3 3 1sin .cos cos .sin sin 44

− = d) x x x x6 6 21sin cos cos (sin 4)2 2 4

− = −

e) xx 21 sin 2sin4 2π

− = −

f) x

x x

2

2

1 sin 12 cot .cos

4 4π π

−=

+ −

g) xx

x

1 cos2tan . 1

4 2sin

2

ππ

π

+ + + =

+

h) xxx

1 sin 2tan4 cos2π +

+ =

i) x xx

cos cot1 sin 4 2

π = −

− k) x xx x

x x

2 2

2 2tan 2 tantan .tan3

1 tan .tan 2−

=−

l) x x xtan cot 2 cot= − m) x xx

2cot tansin 2

+ =

n) xx vôùi x1 1 1 1 1 1 cos cos , 0 .2 2 2 2 2 2 8 2

π+ + + = < <


Trang 79

VẤN ĐỀ 7: Công thức biến đổi 1. Công thức biến đổi tổng thành tích

2. Công thức biến đổi tích thành tổng

Bài 1. Biến đổi thành tổng: a) a b a b2sin( ).cos( )+ − b) a b a b2 cos( ).cos( )+ − c) x x x4sin 3 .sin 2 .cos d) x x x2sin .sin 2 .sin3

e) o ox xsin( 30 ).cos( 30 )+ − f) 2sin .sin5 5π π

g) a b b c c a4 cos( ).cos( ).cos( )− − − h) x x x8cos .sin 2 .sin 3

i) x x xsin .sin .cos26 6π π

+ −

k) x xx134sin .cos .cos2 2

Bài 2. Chứng minh:

a) x x x x4 cos .cos cos cos33 3π π

− + =

b) x x x x4sin .sin sin sin33 3π π

− + =

Áp dụng tính: o o oA sin10 .sin 50 .sin 70= o o oB cos10 .cos50 .cos70=

C 0 0 0sin 20 .sin 40 .sin80= D 0 0 0cos20 .cos40 .cos80=

ĐS: A 18

= B 38

= C 38

= D 18

=

Bài 3. Biến đổi thành tích: a) x2sin 4 2+ b) x23 4 cos− c) x x x xcos5 cos8 cos9 cos12+ + + d) x x xsin 2 sin 4 sin 6+ + e) x x3 4 cos4 cos8+ + f) x x x xsin 5 sin 6 sin 7 sin 8+ + +

cos cos 2 cos .cos2 2

a b a ba b + −+ =

cos cos 2sin .sin2 2

a b a ba b + −− = −

sin sin 2sin .cos2 2

a b a ba b + −+ =

sin sin 2 cos .sin2 2

a b a ba b + −− =


a ba ba b

++ =


a ba ba b

−− =


a ba ba b

++ =

b aa ba b


−− =

1cos .cos cos( ) cos( )21sin .sin cos( ) cos( )21sin .cos sin( ) sin( )2

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

= − + +

= − − +

= − + +

sin cos 2.sin 2.cos4 4π π

α α α α

+ = + = −

sin cos 2 sin 2 cos4 4π π

α α α α

− = − = − +


Trang 80

g) x x x1 sin 2 – cos2 – tan 2+ h) x xcos sin 1+ + i) x21 3tan− k) o ox x2 2sin ( 90 ) 3cos ( 90 )+ − − Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:

a) x x x xAx x x x

cos7 cos8 cos9 cos10sin 7 sin8 sin 9 sin10

− − +=

− − + b) x x xB

x x xsin 2 2sin3 sin 4sin3 2sin 4 sin 5

+ +=

+ +

c) x x xCx x2

1 cos cos2 cos3cos 2 cos 1

+ + +=

+ − d) x x xD

x x xsin 4 sin 5 sin 6cos4 cos5 cos6

+ +=

+ +

ĐS: xA 17cot2

= xBx

sin3sin 4

= C x2 cos= D xtan 5=

Bài 5. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) A 3cos cos5 5π π

= + b) B 7tan tan24 24π π

= +

c) o o oC 2 2 2sin 70 .sin 50 .sin 10= d) o o o oD 2 2sin 17 sin 43 sin17 .sin 43= + +

e) oo

E 1 2sin 702sin10

= − f) o o

o o o oF tan80 cot10

cot 25 cot 75 tan 25 tan 75= −

+ +

g) o o

G 1 3sin10 cos10

= − h) H 0 0 0 0tan 9 tan 27 tan 63 tan81= − − +

ĐS: A 12

= B 2( 6 3)= − C 164

= D 34

=

E = 1 F = 1 G = 4 H = 4 Bài 6. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) 7 13 19 25sin sin sin sin sin30 30 30 30 30π π π π π ĐS: 1

32

b) o o o o o16.sin10 .sin30 .sin 50 .sin 70 .sin 90 ĐS: 1

c) o o o ocos24 cos48 cos84 cos12+ − − ĐS: 12

d) 2 4 6cos cos cos7 7 7π π π

+ + ĐS: 12

−

e) 2 3cos cos cos7 7 7π π π

− + ĐS: 12

f) 5 7cos cos cos9 9 9π π π

+ + ĐS: 0

g) 2 4 6 8cos cos cos cos5 5 5 5π π π π

+ + + ĐS: –1

h) 3 5 7 9cos cos cos cos cos11 11 11 11 11π π π π π

+ + + + ĐS: 12

Bài 7. Chứng minh rằng: a) o o o otan 9 tan 27 tan 63 tan81 4− − + =

b) o o otan 20 tan 40 tan80 3 3− + =

c) o o o otan10 tan 50 tan 60 tan 70 2 3− + + =

d) o o o o o8 3tan30 tan 40 tan 50 tan 60 .cos203

+ + + =

e) o o o o otan 20 tan 40 tan80 tan 60 8sin 40+ + + =


Trang 81

f) o o o6 4 2tan 20 33tan 20 27tan 20 3 0− + − = Bài 8. Tính các tổng sau: a) S n k1 cos cos3 cos5 ... cos(2 1) ( )α α α α α π= + + + + − ≠

b) nSn n n n2

2 3 ( 1)sin sin sin ... sinπ π π π−= + + + +

c) nSn n n n3

3 5 (2 1)cos cos cos ... cosπ π π π−= + + + +

d) S vôùi aa a a a a a4

1 1 1... ,cos .cos2 cos2 .cos3 cos4 .cos5 5

π= + + + =

e) n

Sx x x x

5 11 1 1 11 1 1 ... 1

cos cos2 cos3 cos2 −

= + + + +

ĐS: nS1sin 22sin

αα

= ; Sn2 cot

2π

= ; Sn3 cos π

= − ;

a aSa4

tan 5 tan 1 5sin

−= = − ;

n xSx

1

5tan 2

tan2

−=

Bài 9.

a) Chứng minh rằng: x x x3 1sin (3sin sin3 ) (1)4

= −

b) Thay nnn n

a a a ax vaøo tính S 3 3 1 32

(1), sin 3sin ... 3 sin .33 3 3

−= = + + +

ĐS: nn n

aS a1 3 sin sin .4 3

= −

Bài 10.

a) Chứng minh rằng: aaa

sin 2cos2sin

= .

b) Tính n nx x xP

2cos cos ... cos .

2 2 2= ĐS: n

nn

xPx

sin .2 sin

2

=

Bài 11.

a) Chứng minh rằng: x xx

1 cot cotsin 2

= − .

b) Tính nn

S k11

1 1 1... (2 )sin sin 2 sin 2

α πα α α

−−

= + + + ≠ ĐS: nS 1cot cot 22α

α−= −

Bài 12. a) Chứng minh rằng: x x x x2tan .tan 2 tan 2 2 tan= − .

b) Tính nn n n

a a a a aS a2 2 1 22 1

tan .tan 2 tan .tan ... 2 tan .tan2 22 2 2

−−

= + + +

ĐS: nn n

aS atan 2 tan2

= −

Bài 13. Tính x2sin 2 , biết: x x x x2 2 2 2

1 1 1 1 7tan cot sin cos

+ + + = ĐS: 89

Bài 14. Chứng minh các đẳng thức sau:


Trang 82

a) x x x xcot tan 2 tan 2 4 cot 4− − = b) x x

x x

21 2sin 2 1 tan 21 sin 4 1 tan 2− +

=− −

c) xxx x

26

6 21 3tantan 1

cos cos− = + d) x xx

x x x1 sin 2 cos2tan 4

cos4 sin 2 cos2−

− =+

e) x x x x x xtan 6 tan 4 tan 2 tan 2 .tan 4 .tan 6− − =

f) x x x xx

sin 7 1 2 cos2 2 cos4 2 cos6sin

= + + +

g) x x x x x xcos5 .cos3 sin 7 .sin cos2 .cos4+ = Bài 15.

a) Cho a b bsin(2 ) 5sin+ = . Chứng minh: a ba

2 tan( ) 3tan

+=

b) Cho a b atan( ) 3tan+ = . Chứng minh: a b a bsin(2 2 ) sin 2 2sin 2+ + = Bài 16. Cho tam giác ABC. Chứng minh:

a) A B CA B Csin sin sin 4 cos cos cos2 2 2

+ + =

b) A B CA B Ccos cos cos 1 4sin sin sin2 2 2

+ + = +

c) A B C A B Csin 2 sin 2 sin 2 4sin .sin .sin+ + = d) A B C A B Ccos2 cos2 cos2 1 4 cos .cos .cos+ + = − −

e) A B C A B C2 2 2cos cos cos 1 2 cos .cos .cos+ + = −

f) A B C A B C2 2 2sin sin sin 2 2 cos .cos .cos+ + = + Bài 17. Tìm các góc của tam giác ABC, biết:

a) B C vaø B C 1sin .sin .3 2π

− = = ĐS: B C A, ,2 6 3π π π

= = =

b) B C vaø B C2 1 3sin .cos .3 4π +

+ = = ĐS: A B C5, ,3 12 4π π π

= = =

Bài 18. Chứng minh điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông: a) A B Ccos2 cos2 cos2 1+ + = − b) A B Ctan 2 tan 2 tan 2 0+ + =

c) b c aB C B Ccos cos sin .sin

+ = d) B a cb

cot2

+=

Bài 19. Chứng minh điều kiện cần và đủ để tam giác ABC cân:

a) A Ba A b B a btan tan ( ) tan2+

+ = + b) B C B C22 tan tan tan .tan+ =

c) A B A BA B

sin sin 1 (tan tan )cos cos 2

+= +

+ d) C A B

C2sin .sincot

2 sin=

Bài 20. Chứng minh bất đẳng thức, từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều:

a) A B C 3 3sin sin sin2

+ + ≤ HD: Cộng sin3π vào VT.

b) A B C 3cos cos cos2

+ + ≤ HD: Cộng cos3π vào VT.

c) A B Ctan tan tan 3 3+ + ≥ (với A, B, C nhọn)

d) A B C 1cos .cos .cos8

≤ HD: Biến đổi A B C 1cos .cos .cos8

− về dạng hằng đẳng thức.


Trang 83

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG VI Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) x x x xx x x

2 2 44

2 2 4sin cos cos tancos sin sin

− +=

− + b) x x x x x2(tan 2 tan )(sin 2 tan ) tan− − =

c) xx xx

2 2 6 2 cos4tan cot1 cos4+

+ =−

d) x x xx x x

1 cos 1 cos 4 cot1 cos 1 cos sin

+ −− =

− +

e) x x x xx x

2 2sin cos1 sin .cos1 cot 1 tan

− − =+ +

f) x x x0 0cos cos(120 ) cos(120 ) 0+ − + + =

g) x x

xx x

2 cos 2 cos4

tan2sin 2 sin

4

π

π

− +

=

+ −

h)

x x

x xx

2 2

2 2

3cot cot2 2 8

3cos .cos . 1 cot2 2

−=

+

i) x x x x6 6 21cos sin cos2 1 sin 24

− = −

k) x x x x4 4cos sin sin 2 2 cos 2

4π

− + = −

Bài 2. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x: a) x x x x4 4 6 63(sin cos ) 2(sin cos )+ − + ĐS:

b) x x x x x x6 4 2 2 4 4cos 2sin cos 3sin cos sin+ + + ĐS:

c) x x x x 3cos .cos cos .cos3 4 6 4π π π π

− + + + +

ĐS:

d) x x x2 2 22 2cos cos cos3 3π π

+ + + −

ĐS:

Bài 3. a) Chứng minh: 1cot cot 2sin 2

α αα

− = .

b) Chứng minh: x xx x x x

1 1 1 1 cot cot16sin 2 sin 4 sin8 sin16

+ + + = − .

Bài 4. a) Chứng minh: tan cot 2 cot 2α α α= − .

b) Chứng minh: n n n n

x x x x x2 2

1 1 1 1tan tan ... tan cot cot2 2 2 2 2 2 2 2

+ + + = − .

Bài 5. a) Chứng minh: x x x2 2 2

1 4 14 cos sin 2 4sin

= − .

b) Chứng minh: n n

n nx x x xx22 2 2 2 2

2

1 1 1 1 1...sin4 cos 4 cos 4 cos 4 sin

2 2 2 2

+ + + = − .

Bài 6. a) Chứng minh: x x x3 1sin (3sin sin3 )4

= − .

b) Chứng minh: n nn n

x x x x x3 3 1 32

1sin 3sin ... 3 sin 3 sin sin3 43 3 3

− + + + = −

.

Bài 7. a) Chứng minh: 1 tan 21cos2 tan

αα α

+ = .

b) Chứng minh: n

nx

x xx x21 1 1 tan 21 1 ... 1

cos2 tancos2 cos2

+ + + =

.


Trang 84

Bài 8. a) Chứng minh: sin 2cos2sin

αα

α= .

b) Chứng minh: n n

n

x x x xx2

sincos .cos ...cos2 2 2 2 sin

2

= .

Bài 9. Đơn giản các biểu thức sau: a) o o o o o o o o oA tan3 .tan17 .tan 23 .tan37 .tan 43 .tan 57 .tan 63 .tan 77 .tan83=

b) B 2 4 6 8cos cos cos cos5 5 5 5π π π π

= + + +

c) C 11 5sin .cos12 12

π π=

d) D 5 7 11sin .sin .sin .sin24 24 24 24π π π π

=

HD: a) oA tan 27= . Sử dụng x x x x0 0tan .tan(60 ).tan(60 ) tan3− + = .

b) B = –1 c) C 1 32 4

= − d) D 116

=

Bài 10. Chứng minh:

a) 2 3 1cos cos cos7 7 7 2π π π

− + =

b) o o3 28sin 18 8sin 18 1+ =

c) 8 4 tan 2 tan tan cot8 16 32 32π π π π

+ + + =

d) o o

1 1 43cos290 3.sin 250

+ =

e) o o o o o8 3tan30 tan 40 tan 50 tan 60 cos203

+ + + =

f) o o o o o 3 1cos12 cos18 4 cos15 .cos21 .cos242+

+ − = −

g) o o o otan 20 tan 40 3.tan 20 .tan 40 3+ + =

h) 3 9 1cos cos ... cos11 11 11 2π π π

+ + + =

i) 2 4 10 1cos cos ... cos11 11 11 2π π π

+ + + = −

Bài 11. a) Chứng minh: x x x x x1sin .cos .cos2 .cos4 sin88

= .

b) Áp dụng tính: A 0 0 0 0sin 6 .sin 42 .sin 66 .sin 78= , B 3 5cos .cos .cos7 7 7π π π

= .

Bài 12. a) Chứng minh: x x x4 3 1 1sin cos2 cos48 2 8

= − + .

b) Áp dụng tính: S 4 4 4 43 5 7sin sin sin sin16 16 16 16π π π π

= + + + . ĐS: S 32

=

Bài 13. a) Chứng minh: xxx

1 cos2tansin 2−

= .


Trang 85

b) Áp dụng tính: S 2 2 23 5tan tan tan

12 12 12π π π

= + + .

Bài 14. Không dúng máy tính, hãy tính giá trị các biểu thức sau: a) 0 0sin18 , cos18 b) A 2 0 2 0 0 0cos 18 .sin 36 cos36 .sin18= −

c) B 2 0 2 0sin 24 sin 6= − d) C 0 0 0 0 0 0 0 0 0sin 2 .sin18 .sin 22 .sin38 .sin 42 .sin 58 .sin 62 .sin 78 .sin82=

HD: a) 0 5 1sin184−

= . Chú ý: 0 0sin 54 cos36= ⇒ 0 0sin(3.18 ) cos(2.18 )=

b) A 116

= c) B 5 14−

=

d) C 5 11024

−= . Sử dụng: x x x x0 0 1sin .sin(60 ).sin(60 ) sin3

4− + =

Bài 15. Chứng minh rằng: a) Nếu a bcos( ) 0+ = thì a b asin( 2 ) sin+ = . b) Nếu a b bsin(2 ) 3sin+ = thì a b atan( ) 2 tan+ = . Bài 16. Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có: a) b B c C a B Ccos cos cos( )+ = − b) S R A B C22 sin .sin .sin=

c) S R a A b B c C2 ( cos cos cos )= + + d) A B Cr R4 sin sin sin2 2 2

=

Bài 17. Chứng minh rằng:

a) Nếu B CAB C

sin sinsincos cos

+=

+ thì tam giác ABC vuông tại A.

b) Nếu B BC C

2

2tan sintan sin

= thì tam giác ABC vuông hoặc cân.

c) Nếu B AC

sin 2 cossin

= thì tam giác ABC cân.

Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần Sĩ Tùng

Trang 86

ĐỀ THI ĐẠI HỌC

Baøi 1. (ĐH 2002B) Giải hệ phương trình: x y x yx y x y

3

2

− = −

+ = + +.

ĐS: 3 1(1;1), ;2 2

Baøi 2. (ĐH 2002D) Giải bất phương trình: x x x x2 2( 3 ). 2 3 2 0− − − ≥ .

ĐS: x x x1 2 32

≤ − ∨ = ∨ ≥

Baøi 3. (ĐH 2002D–db2) Giải phương trình: x x x x24 4 2 12 2 16+ + − = − + − .

ĐS: x = 5. Đặt t x x t4 4, 0= + + − > .

Baøi 4. (ĐH 2003A) Giải hệ phương trình: x y

x yy x3

1 1

2 1

− = −

= +

.

ĐS: 1 5 1 5 1 5 1 5(1;1), ; , ;2 2 2 2

− + − + − − − −

Baøi 5. (ĐH 2003B) Giải hệ phương trình:

yyx

xxy

2

22

2

23

23

+=

+ =

.

ĐS: (1; 1)

Baøi 6. (ĐH 2004A) Giải bất phương trình: x xxx x

22( 16) 733 3

− −+ − >

− −.

ĐS: x 10 34> − Baøi 7. (ĐH 2004B) Xác định m để phương trình sau có nghiệm:

( )m x x x x x2 2 4 2 21 1 2 2 1 1 1+ − − + = − + + − − .

ĐS: m2 1 1− ≤ ≤ (giải bằng phương pháp hàm số).

Baøi 8. (ĐH 2004D) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm x yx x y y m

11 3

+ =

+ = −

ĐS: m 104

≤ ≤

Baøi 9. (ĐH 2004A–db1) Gọi (x; y) là nghiệm của hệ phương trình x my mmx y m

2 43 1

− = − + = +

(m là

tham số). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A x y x2 2 2= + − , khi m thay đổi. ĐS:

Baøi 10. (ĐH 2004D–db1) Cho phương trình: x m x m2 2 2 25 4 2 03

+ − + + − =

.

Phụ lục I. PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUI VỀ BẬC NHẤT, BẬC HAI

Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học

Trang 87

Chứng minh rằng với mọi m ≥ 0, phương trình luôn có nghiệm. ĐS: Baøi 11. (ĐH 2004D–db2) Xác định m để hệ phương trình sau có nghiệm:

x xx mx x

2

25 4 0

3 16 0

− + ≤

− + =

ĐS: Baøi 12. (ĐH 2005A) Giải bất phương trình: x x x5 1 1 2 4− − − > − . ĐS: x2 10≤ <

Baøi 13. (ĐH 2005D) Giải phương trình: x x x2 2 2 1 1 4+ + + − + = . ĐS: x = 3.

Baøi 14. (ĐH 2005A–db1) Giải hệ phương trình: x y x yx x y y y

2 2 4( 1) ( 1) 2

+ + + =+ + + + =

.

ĐS: ( ) ( )2; 2 , 2; 2 , (1; 2), ( 2;1)− − − −

Baøi 15. (ĐH 2005A–db2) Giải hệ phương trình: x y x yx y2 1 1

3 2 4 + + − + =

+ =.

ĐS: (2; 1)−

Baøi 16. (ĐH 2005B–db1) Giải phương trình: x x x3 3 5 2 4− − − = − . ĐS: x = 2; x = 4.

Baøi 17. (ĐH 2005B–db2) Giải bất phương trình: x x x28 6 1 4 1 0− + − + ≤ .

ĐS: x x1 14 2

= ∨ ≥

Baøi 18. (ĐH 2005D–db1) Giải bất phương trình: x x x2 7 5 3 2+ − − ≥ − .

ĐS: x x2 141 53 3

≤ ≤ ∨ ≤ ≤

Baøi 19. (ĐH 2006A) Giải hệ phương trình: x y xyx y

31 1 4

+ − =

+ + + =.

ĐS: (3; 3). Đặt t xy= . Baøi 20. (ĐH 2006B) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt:

x mx x2 2 2 1+ + = + .

ĐS: m 92

≥

Baøi 21. (ĐH 2006D) Giải phương trình: x x x22 1 3 1 0− + − + = .

ĐS: x x1; 2 2= = − . Đặt t x2 1= − .

Baøi 22. (ĐH 2006A–db1) Giải hệ phương trình: x y y x yx y x y

2

21 ( ) 4

( 1)( 2)

+ + + =

+ + − =.

ĐS: (1;2), ( 2;5)−

Baøi 23. (ĐH 2006A–db2) Giải hệ phương trình: x x y yx y

3 3

2 28 23 3( 1)

− = +

− = +.

ĐS: 6 6 6 6(3;1), ( 3; 1), 4 ; , 4 ;13 13 13 13

− − − −

.


Trang 88

Chú ý: x y x y x y x y3 3 2 23( ) 6(4 ) ( 3 )(4 )− = + = − + .

Baøi 24. (ĐH 2006B–db1) Giải phương trình: x x x x x23 2 1 4 9 2 3 5 2− + − = − + − + .

ĐS: x = 2. Đặt t x x3 2 1 0= − + − ≥ .

Baøi 25. (ĐH 2006B–db2) Giải hệ phương trình: x y x yx y x y

2 2

2 2( )( ) 13( )( ) 25

− + =

+ − =.

ĐS: (3;2), ( 2; 3)− − . HPT ⇔ x yxy x y

3 3 19( ) 6

− =− =

.

Baøi 26. (ĐH 2006D–db1) Giải hệ phương trình: x xy y x yx xy y x y

2 2

2 2 33( )7( )

− + = −

+ + = −.

ĐS: (2;1), ( 1; 2)− − . Đặt u x yv xy

= − =

.

Baøi 27. (ĐH 2006D–db2) Giải phương trình: x x x x x22 7 2 1 8 7 1+ − = − + − + − + .

ĐS: x = 5, x = 4. Đưa về PT tích ( ) ( )x x x1 2 1 7 0− − − − − = . Baøi 28. (ĐH 2007A) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:

x m x x4 23 1 1 2 1− + + = − .

ĐS: m 113

− < ≤ . Đặt xt tx

4 1, 0 11

−= ≤ <

+. PT ⇔ t t m23 2− + = . Dùng PP hàm số.

Baøi 29. (ĐH 2007B) Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x x m x2 2 8 ( 2)+ − = − .

ĐS: PT ⇔ xx x x m3 2

2( 2)( 6 32 ) 0

≥

− + − − =. Dùng phương pháp hàm số.

Baøi 30. (ĐH 2007D) Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:

x y

x y

x y mx y

3 33 3

1 1 5

1 1 15 10

+ + + =

+ + + = −

.

ĐS: m m7 2 224

≤ ≤ ∨ ≥ . Đặt ( )u x

x u vv y

y

1

2, 21

= + ≥ ≥

= +

. Dùng PP hàm số.

Baøi 31. (ĐH 2007A–db1) Tìm m để phương trình: ( )m x x x x2 2 2 1 (2 ) 0− + + + − ≤ có

nghiệm x 0;1 3 ∈ + .

ĐS: m 23

≤ . Đặt t x x t2 2 2, 1 2= − + ≤ ≤ . BPT ⇔ tmt

2 21

−≤

+. Dùng PP hàm số.

Baøi 32. (ĐH 2007A–db2) Giải hệ phương trình: x x y x yx y x xy

4 3 2 2

3 21 (1)

1 (2)

− + =

− + =.

ĐS: (1;1), ( 1; 1)− − . Đặt u x xyv x y

2

3

= −

=. Cách 2: Hệ PT ⇔ x x

xy

2 2( 1) 01 0

− =− =

⇔ xxy

11

= ± =

Baøi 33. (ĐH 2007B–db2)


Trang 89

1. Tìm m để phương trình sau có đúng 1 nghiệm: x m x4 4 13x 1 0− + + − = .

2. Giải hệ phương trình:

xyx x yx x

xyy y xy y

23 2

223

2

2 92

2 9

+ = +

− + + = + − +

.

ĐS: 1) m m3 122

= − ∨ > . Dùng phương pháp hàm số.

2) (0;0), (1;1) . Cộng 2 PT vế theo vế, ta được:

VT xy x y VPx y

2 22 23 3

1 12( 1) 8 ( 1) 8

= + = + = − + − +

Mà VT xy x y VP2 22≤ ≤ + = . Dấu "=" xảy ra ⇔ x yx y

01

= = = =

.

Baøi 34. (ĐH 2007D–db1) Tìm m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm:

x x x x m3 2 4 6 4 5− − − + − − + = .

ĐS: m2 4< ≤ . Đặt t x 4 0= − ≥ . Baøi 35. (ĐH 2007D–db2) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:

x y m

x xy2 0

1 − − = + =

.

ĐS: m > 2. PT ⇔ xx m x2

1(2 ) 1 0

≤

+ − − =. Dùng tam thức bậc hai.

Baøi 36. (ĐH 2008A)

1. Giải hệ phương trình: x y x y xy xy

x y xy x

2 3 2

4 2

54

5(1 2 )4

+ + + + = −

+ + + = −

.

2. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt: x x x x m4 42 2 2 6 2 6+ + − + − =

ĐS: 1) 3 35 25 3; , 1;4 16 2

− −

. Đặt u x y

v xy

2 = +=

.

2) m42 6 2 6 3 2 6+ ≤ < + . Dùng phương pháp hàm số.

Baøi 37. (ĐH 2008B) Giải hệ phương trình: x x y x y xx xy x

4 3 2 2

22 2 92 6 6

+ + = +

+ = +.

ĐS: 174;4

−

. HPT ⇒ x x x x3( 4) 0 4 ( 0)+ = ⇒ = − ≠ .

Baøi 38. (ĐH 2008D) Giải hệ phương trình: xy x y x yx y y x x y

2 222 1 2 2

+ + = −

− − = −.

ĐS: (5; 2). HPT ⇔ x y x y

x y y x x y( )( 2 1) 0

2 1 2 2 + − − = − − = −

. Chú ý x y 0+ > .

Baøi 39. (ĐH 2009A) Giải phương trình: x x32 3 2 3 6 5 8 0− + − − = .


Trang 90

ĐS: x = –2. Đặt u xv x v

3 3 26 5 , 0

= −

= − ≥.

Baøi 40. (ĐH 2009B) Giải hệ phương trình: xy x yx y xy y2 2 2

1 71 13

+ + =

+ + =.

ĐS: 11; , (3;1)3

. Đặt u x

yxvy

1= +

=

.

Baøi 41. (ĐH 2009D) Giải hệ phương trình: x x y

x yx

22

( 1) 3 05( ) 1 0

+ + − = + − + =

.

ĐS: 3(1;1), 2;2

−

. HPT ⇔

x yx

x yx

22

31 0

5( ) 1 0

+ + − =

+ − + =

. Đặt u x y

vx1

= + =

.

Baøi 42. (ĐH 2010A)

1. Giải bất phương trình: x x

x x21

1 2( 1)

−≥

− − +.

2. Giải hệ phương trình: x x y yx y x

2

2 2(4 1) ( 3) 5 2 04 2 3 4 7

+ + − − =

+ + − =.

ĐS: 1) x 3 52

−= . BPT ⇔ x x x x22( 1) 1− + ≤ − + .

Chú ý: ( )x x x x x x22 22( 1) 2(1 ) 2 1− + = − + ≥ − + (BĐT a b ab2 2 2+ ≥ ).

Dấu "=" xảy ra ⇔ x x1− =

Do đó: BPT ⇔ x x x x22( 1) 1− + = − + ⇔ x x1− = .

2) 1 ;22

. HPT ⇒ x x x2

2 254 2 2 3 4 7 02

+ − + − − =

. Dùng phương pháp hàm số.

Baøi 43. (ĐH 2010B) Giải phương trình: x x x x23 1 6 3 14 8 0+ − − + − − = .

ĐS: x = 5. PT ⇔ x xx x

3 1( 5) 3 1 03 1 4 6 1

− + + + =

+ + − + . Chú ý: x1 6

3− ≤ ≤ .

Baøi 44. (ĐH 2011A) Giải hệ phương trình: x y xy y x yxy x y x y

2 2 3

2 2 25 4 3 2( ) 0 (1)

( ) 2 ( ) (2)

− + − + =

+ + = +.

ĐS: Ta có: (2) ⇔ xy x y2 2( 1)( 2) 0− + − = ⇔ xy x y2 21 2= ∨ + = .

Hệ có nghiệm: 2 10 10 2 10 10(1;1), ( 1; 1), ; , ;5 5 5 5

− − − −

.

Baøi 45. (ĐH 2011B) Giải phương trình: x x x x23 2 6 2 4 4 10 3+ − − + − = − .

ĐS: PT ⇔ ( )x x x x23 2 2 2 4 4 10 3+ − − + − = − . Đặt t x x2 2 2= + − − .


Trang 91

PT có nghiệm x 65

= .

Baøi 46. (ĐH 2011D) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: x y x xy mx x y m

3 2

22 ( 2)

1 2

− + + =

+ − = −

ĐS: HPT ⇔ x x x y mx x x y m

2

2( )(2 ) (1)( ) (2 ) 1 2 (2)

− − =

− + − = −. Đặt u x x u

v x y

2 1,4

2

= − ≥ − = −

.

Với u 14

≥ − , ta có: (1) ⇔ m u u u2(2 1)+ = − + ⇔ u umu

2

2 1− +

=+

.

Xét hàm số u uf u uu

2 1( ) ,2 1 4

− += ≥ −

+.

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra giá trị cần tìm là: m 2 32

−≤ .

Baøi 47. (CĐ 2011) Tìm các giá trị của tham số thực m để phương trình sau có nghiệm:

( )x x x m x x6 2 (4 )(2 2) 4 4 2 2+ + − − = + − + −

ĐS: Điều kiện: x1 4≤ ≤ . Xét hàm số f x x x x( ) 4 2 2, 1 4= − + − ≤ ≤ . Từ bảng biến

thiên của f(x) ta suy ra được f x3 ( ) 3≤ ≤ .

Đặt t x x4 2 2= − + − . PT ⇔ t t m2 4 4− + = . Xét hàm số g t t t t2( ) 4 4, 3 3= − + ≤ ≤ . Dựa vào bảng biến thiên của g(t), ta suy ra giá trị m cần tìm là: m0 1≤ ≤ .

Baøi 48. (ĐH 2012A) Giải hệ phương trình: x x x y y y

x y Rx y x y

3 2 3 2

2 2

3 9 22 3 9( , )1

2

− − + = + − ∈+ − + =

.

ĐS: 1 3 3 1; , ;2 2 2 2

− −

.

Baøi 49. (ĐH 2012B) Giải bất phương trình: x x x x21 4 1 3+ + − + ≥ .

ĐS: [ )10; 4;4

∪ +∞

.

Baøi 50. (ĐH 2012D) Giải hệ phương trình: xy xx y R

x x y x y xy y3 2 2 22 0 ( , )

2 2 0 + − =

∈ − + + − − =.

ĐS: 1 5 1 5(1;1), ; 5 , ; 52 2

− + − −−

.

Baøi 51. (CĐ 2012) Giải phương trình: x x x x x R34 ( 1) 2 1 0 ( )+ − − + = ∈ .

ĐS: Điều kiện x 12

≥ − . PT ⇔ ( )x x x x33(2 ) 2 2 1 2 1+ = + + + (1)

Xét hàm số f t t t3( ) = + trên R. Suy ra f t( ) đồng biến trên R.

Do đó (1) ⇔ x x2 2 1= + ⇔ x 1 54

+= .

Baøi 52. (ĐH 2013A) Giải hệ phương trình: x x y y x y Rx x y y y

44

2 21 1 2 (1) ( , )2 ( 1) 6 1 0 (2)

+ + − − + = ∈+ − + − + =


Trang 92

ĐS: ĐK: x 1≥ . (2) ⇒ y x y 24 ( 1) 0= + − ≥ . Đặt u x4 1 0= − ≥ .

(1) trở thành: u u y y4 42 2 (3)+ + = + + . Xét hàm số f t t t4( ) 2= + + , với t 0≥ .

⇒ f t t( ) 0, 0′ ≥ ∀ ≥ . Do đó (3) ⇔ y u= ⇔ x y4 1= + . Thay vào (2) ta được:

y y y y7 4( 2 4) 0 (4)+ + − = . Xét hàm g y y y y7 4( ) 2 4= + + − có g y y( ) 0, 0′ ≥ ∀ ≥ . g(1) 0= ⇒ (4) có 2 nghiệm y y0; 1= = . Nghiệm của hệ: (1;0);(2;1) . Baøi 53. (ĐH 2013B) Giải hệ phương trình:

x y xy x y x y Rx y x x y x y

2 2

2 22 3 3 2 1 0 (1) ( , )4 4 2 4 (2)

+ − + − + = ∈− + + = + + +

ĐS: ĐK: x y x y2 0, 4 0+ ≥ + ≥ . (1) ⇒ y x 1= + hoặc y x2 1= + . + Với y x 1= + , thay vào (2) ⇒ x x0; 1= = . Được nghiệm: (0;1),(1;2) . + Với y x2 1= + , thay vào (2) ⇒ x 0= . Được nghiệm: (0;1) . Kết luận nghiệm của hệ: (0;1),(1;2) . Baøi 54. (CĐ 2013)

1. Giải hệ phương trình: xy yx y R

x y xy23 1 0 (1) ( , )

4 10 0 (2) − + =

∈ − + =.

ĐS: Nhận xét y 0≠ . (1) ⇔ yxy

3 1−= (3).

Thay vào (2) ta được: y y y3 23 11 12 4 0− + − = ⇔ y y y 21; 2;3

= = = .

Nghiệm của hệ: 5 3 2(2;1); ;2 ; ;2 2 3

.

2. Tìm m để bất phương trình x m x m( 2 ) 1 4− − − ≤ − có nghiệm.

ĐS: ĐK: x 1≥ . Đặt t x t1, 0= − ≥ . BPT ⇔ t t mt

3 41

− +≤

+.

Lập BBT hàm số t tf t tt

3 4( ) , 01

− += ≥

+. Ta có f t t( ) 2, 0≥ ∀ ≥ .

BPT có nghiệm ⇔ m 2≥ .

Baøi 55. (ĐH 2014A) Giải hệ phương trình: x y y x x y Rx x y

2

312 (12 ) 12 (1) ( , )

8 1 2 2 (2)

− + − = ∈− − = −

.

ĐS: ĐK: x y2 3 2 3; 2 12− ≤ ≤ ≤ ≤ .

Ta có: x y y xx y y x2 2

212 1212 ; (12 )2 2

+ − + −− ≤ − ≤ (Cô-si).

Nên x y y x212 (12 ) 12− + − ≤ . Do đó (1) ⇔ xy x2

012

≥ = −

. Thay vào (2) ta được:

xx x xx

22

2( 3)( 3) 3 1 01 10

+− + + + = + −

⇔ x do x3 ( 0)= ≥ . Nghiệm của hệ: (3;3) .

Baøi 56. (ĐH 2014B) Giải hệ phương trình:

y x y x x y y x y Ry x y x y x y2

(1 ) 2 ( 1) (1) ( , )2 3 6 1 2 2 4 5 3 (2)

− − + = + − − ∈− + + = − − − −

ĐS: ĐK: y x y x y0; 2 ;4 5 3 (*)≥ ≥ ≥ + .


Trang 93

Ta có: (1) ⇔ y x yx y y

1 1(1 )( 1) 01 1

− − − + = − + +

⇔ yy x

11

= = −

.

+ Với y 1= . PT (2) ⇔ x 3= .

+ Với y x 1= − . ĐK (*) ⇔ x1 2≤ ≤ . PT (2) ⇔ x xx x

2 1( 1) 2 01 2

− − + =

− + −

⇔ x 1 52

±= .

Nghiệm của hệ: 1 5 1 5(3;1); ;2 2

+ − +

.

Baøi 57. (ĐH 2014D) Giải bất phương trình: x x x x x x2( 1) 2 ( 6) 7 7 12+ + + + + ≥ + + .

ĐS: ĐK: x 2≥ − . BPT ⇔ x xx xx x

1 6( 2) 4 0 (1)2 2 7 3

+ +− + − − ≥

+ + + + .

Do x 2≥ − nên x x2 0; 6 0+ ≥ + > . Suy ra:

x x xx x

1 6 42 2 7 3+ +

+ − −+ + + +

= x x x x

x x

2 2 6 62 22 2 7 3

+ + + +− + − −

+ + + +

x

1 02 2

− <+ +

.

Do đó: (1) ⇔ x 2≤ . Nghiệm của BPT: x2 2− ≤ ≤ .

Baøi 58. (CĐ 2014) Giải hệ phương trình: x xy y x y Rx xy y x y

2 2

2 27 (1) ( , )

2 2 (2)

+ + = ∈− − = − +

.

ĐS: Ta có: (2) ⇔ x yx y

21

= = − −

.

+ Với x y2= . Thay vào (1) ta được y 1= ± . + Với x y 1= − − . Thay vào (1) ta được y y3; 2= − = . Nghiệm của hệ: (2;1),( 2; 1),(2; 3),( 3;2)− − − − . Baøi 59. (ĐH 2015A) 1. ĐS: Baøi 60. (ĐH 2015B) 1. ĐS: Baøi 61. (ĐH 2015D) 1. ĐS: Baøi 62. (CĐ 2015) 1. ĐS:


Trang 94

ĐỀ THI ĐẠI HỌC Baøi 1. (ĐH 2002A–db1) Giả sử a, b, c, d là 4 số nguyên thay đổi thoả 1 ≤ a b (c, b ∈ N) nên c ≥ b + 1 thành thử:

S = a cb d

+ ≥ bb1 1

50+

+ = b bb

2 5050+ +

Vậy BĐT của đề ra đã được chứng minh.

Dấu “=” xảy ra ⇔ adc b

150

1

= = = +

Để tìm minS, ta đặt b bb

2 5050+ + = b

b1 1

50 50+ + và xét hàm số có biến số liên tục x:

f(x) = xx1 1

50 50+ + (2 ≤ x ≤ 48)

f′(x) = x

x x

2

2 21 1 5050 50

−− = ; f′(x) = 0 x

x

2 502 48

=≤ ≤

⇔ x 5 2=

Bảng biến thiên: 5 2

Chuyển về biểu thức f(b) = b bb

2 5050+ + (2 ≤ b ≤ 48, b ∈ N)

Từ BBT suy ra khi b biến thiên từ 2 đến 7, f(b) giảm rồi chuyển sang tăng khi b biến thiên từ 8 đến 48. Suy ra minf(b) = min[f(7); f(8)].

Ta có f(7) = 49 57 53350 175+

= ; f(8) = 64 58 61 53400 200 175+

= >

Vậy minS = 53175

khi

abcd

17850

= = =

=

Baøi 2. (ĐH 2002B–db1) Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x y 54

+ = .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x y4 1

4+ .

ĐS: Ta có: S = x yx y4 14 4 5

4+ + + − ≥ x y

x y4 12 .4 2 .4 5 5

4+ − = .

Dấu "=" xảy ra ⇔ x y 11;4

= = . Vậy minB = 5.

Phụ lục II. BẤT ĐẲNG THỨC


Trang 95

Baøi 3. (ĐH 2002D–db1) Cho tam giác ABC có diện tích bằng 32

. Gọi a, b, c lần lượt là độ

dài các cạnh BC, CA, AB và ha, hb, hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C. Chứng minh rằng:

a b ca b c h h h

1 1 1 1 1 1 3

+ + + + ≥

ĐS: Áp dụng công thức diện tích tam giác: a b cS ah bh ch1 1 12 2 2

= = = .

⇒ a b ch h ha b c

2S 2S 2S; ;= = = ⇒ a b c

a b ch h h1 1 1 1 ( )

2S+ + = + +

⇒ a b c

a b ca b c h h h a b c1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( )

2S

+ + + + = + + + +

Áp dụng BĐT Cô–si ta có: a b ca b c1 1 1( ) 9

+ + + + ≥

và chú ý S 3

2= , do đó:

a b ca b c h h h

1 1 1 1 1 1 9 33

+ + + + ≥ =

Baøi 4. (ĐH 2003A) Cho x, y, z là 3 số dương và x y z 1+ + ≤ . Chứng minh rằng:

x y zx y z

2 2 22 2 2

1 1 1 82+ + + + + ≥

ĐS: Áp dụng BĐT (B), ta có:

x xxx

22 2 2

21 9(1 9 )

+ + ≥ +

⇒ x xxx

22

1 1 982

+ ≥ +

(1)

Tương tự ta có: y yyy

22

1 1 982

+ ≥ +

(2), z z

zz2

21 1 9

82

+ ≥ +

(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra:

P ≥ x y zx y z

1 1 1 1( ) 982

+ + + + +

= x y z

x y z x y z1 1 1 1 1 80 1 1 1( )

9 982

+ + + + + + + +

≥ x y zx y z x y z

1 2 1 1 1 80 9( ) .3 982

+ + + + + + +

≥ 82 .

Dấu "=" xảy ra ⇔ x y z 13

= = = .

Baøi 5. (ĐH 2005A) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn : x y z1 1 1 4+ + = . Chứng minh rằng:

x+y+z x y z x y z

1 1 1 12 2 2

+ + ≤+ + + +

ĐS: Áp dụng bất đẳng thức x yx y x y1 1 4 ( 0, 0)+ ≥ > >

+, ta có:

x y z x x y z

1 1 1 1 1 12 16

≤ + + + + +

= x y z

1 2 1 116

+ +

(1)

Tương tự: x y z x y z

1 1 1 2 12 16

≤ + + + +

(2), x y z x y z

1 1 1 1 22 16

≤ + + + +

(3)


Trang 96

⇒ P ≤ x y z

1 4 4 416

+ +

= 1. Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z = 3

4.

Baøi 6. (ĐH 2005B) Chứng minh rằng với mọi x ∈ R, ta có:

x x x

x x x12 15 20 3 4 55 4 3

+ + ≥ + +

Khi nào đẳng thức xảy ra? ĐS: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:

x x x x

12 15 12 152 .5 4 5 4

+ ≥

⇒

x x12 155 4

+

≥ 2.3x (1)

Tương tự ta có:

x x

x12 20 2.45 3

+ ≥

(2)

x xx15 20 2.5

4 3

+ ≥

(3)

Cộng (1), (2), (3) và chia 2 vế của bất đẳng thức nhận được cho 2 ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra ⇔ (1), (2), (3) là các đẳng thức ⇔ x = 0. Baøi 7. (ĐH 2005D) Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:

x y y z z xxy yz zx

3 3 3 3 3 31 1 1 3 3+ + + + + ++ + ≥

Khi nào đẳng thức xảy ra? ĐS: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có:

1 + x3 + y3 ≥ 3 x y3 33 1. . = 3xy ⇔ x yxy xy

3 31 3+ +≥ (1)

Tương tự: y zyz yz

3 31 3+ +≥ (2); z x

zx zx

3 31 3+ +≥ (3)

Mặt khác xy yz zx xy yz zx

33 3 3 3 3 33+ + ≥ ⇒

xy yz zx3 3 3 3 3+ + ≥ (4)

Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), (4) ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra ⇔ (1), (2), (3), (4) là các đẳng thức ⇔ x = y = z = 1. Baøi 8. (ĐH 2005A–db1) Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có:

( ) yxx y

291 1 1 256

+ + + ≥

Đẳng thức xảy ra khi nào?

ĐS: Ta có: 1 + x = 1 + x x x x34

34

3 3 3 3+ + ≥

1 + yx

= 1 + y y y yx x x x

34

3 34

3 3 3 3+ + ≥

1 + y

9 = 1 + y y y y

34

3

3 3 3 34+ + ≥ ⇒ y y

2 64

39 31 16

+ ≥


Trang 97

Vậy: ( ) yxx y

291 1 1

+ + +

≥ 256 x y

x y

3 3 64

3 3 3 33. .

3 3 = 256

Baøi 9. (ĐH 2005B–db1) Cho x, y, z là 3 số dương và xyz = 1. Chứng minh rằng:

x y zy z x

2 2 2 31 1 1 2

+ + ≥+ + +

ĐS: Ta có: x y x y xy y

2 21 12 .1 4 1 4

+ ++ ≥ =

+ +; y z y z y

z z

2 21 12 .1 4 1 4

+ ++ ≥ =

+ +

z x z x zx x

2 21 12 .1 4 1 4

+ ++ ≥ =

+ +

Cộng 3 bất đẳng thức trên, vế theo vế, ta có:

x y y z z x x y zy z x

2 2 21 1 11 4 1 4 1 4

+ + ++ + + + + ≥ + + + + +

⇔ x y z x y z x y zy z x

2 2 2 31 1 1 4 4

+ ++ + ≥ − − + + +

+ + + ≥ x y z3( ) 3

4 4+ +

−

≥ 3 3 9 3 3.34 4 4 4 2

− = − = (vì x + y + z ≥ 3 xyz3 = 3)

Vậy: x y zy z x

2 2 2 31 1 1 2

+ + ≥+ + +

.

Baøi 10. (ĐH 2005B–db2) Cho 3 số x, y, z thoả x + y + z = 0. Chứng minh rằng:

x y z2 4 2 4 2 4 3 3+ + + + + ≥

ĐS: Ta có: 2 + 4x = 1 + 1 + 4x ≥ x33 4 ⇒ x x x3 62 4 3 4 3 4+ ≥ =

Tương tự: y y62 4 3 4+ ≥ ; z z62 4 3 4+ ≥

Vậy x y z2 4 2 4 2 4+ + + + + ≥ ( )x y z6 6 63 4 4 4+ + ≥ x y z3 63 3 4 .4 .4

≥ x y z183 3 4 + + = 3 3 .

Baøi 11. (ĐH 2005D–db1) Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn: a b c 34

+ + = . Chứng minh rằng:

a b b c c a3 3 33 3 3 3+ + + + + ≤ Khi nào đẳng thức xảy ra?

ĐS: Ta có: a ba b a b3 3 1 1 1( 3 ).1.1 ( 3 2)3 3

+ + ++ ≤ = + +

b cb c b c3 3 1 1 1( 3 ).1.1 ( 3 2)3 3

+ + ++ ≤ = + +

c ac a c a3 3 1 1 1( 3 ).1.1 ( 3 2)3 3

+ + ++ ≤ = + +

Suy ra: a b b c c a a b c3 3 3 13 3 3 4( ) 63

+ + + + + ≤ + + + ≤ 1 34. 63 4

+

= 3

Dấu "=" xảy ra ⇔ a b c

a b b c c a=1

34

3 3 3

+ + = + = + = +

⇔ a = b = c = 14


Trang 98

Baøi 12. (ĐH 2005D–db2) Chứng minh rằng nếu 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 thì x y y x 14

− ≤ .

Đẳng thức xảy ra khi nào? ĐS: Ta có: 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ x ≥ x2

x y y x 14

− ≤ ⇔ x y y x14

≤ + (1)

Theo BĐT Côsi ta có: 2 2y x yx yx x y1 1 12 .4 4 4

+ ≥ + ≥ = ⇒ x y y x 14

− ≤

Dấu "=" xảy ra ⇔ 2

y x xx x

yyx

20 1 1

11 44

≤ ≤ ≤ = = ⇔ = =

Baøi 13. (ĐH 2006A) Cho 2 số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thay đổi và thoả mãn điều kiện: x y xy x y xy2 2( )+ = + −

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x y3 31 1

+ .

ĐS: Từ giả thiết suy ra: x y xyx y2 21 1 1 1 1

+ = + − .

Đặt ax1

= , by1

= , ta có: a b a b ab2 2+ = + − (1)

A a b a b a ab b a b3 3 2 2 2( )( ) ( )= + = + − + = +

Từ (1) suy ra: a b a b ab2( ) 3+ = + − .

Vì a bab2

2 +

≤

nên a b a b a b2 23( ) ( )4

+ ≥ + − +

⇒ (a + b)2 – 4(a + b) ≤ 0 ⇒ 0 ≤ a + b ≤ 4 Suy ra: A = (a + b)2 ≤ 16

Với x = y = 12

thì A = 16. Vậy giá trị lớn nhất của A là 16.

Baøi 14. (ĐH 2006B) Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A = x y x y y2 2 2 2( 1) ( 1) 2− + + + + + − ĐS: Trong mpOxy, xét hai điểm M x y N x y( 1; ), ( 1; )− − + .

Do OM + ON ≥ MN nên: ( ) ( )x y x y y y2 22 2 2 21 1 4 4 2 1− + + + + ≥ + = +

Do đó: A ≥ 2 y y21 2+ + − = f(y)

• Với y ≤ 2 ⇒ f(y) = 2 y21+ + 2 – y ⇒ f ′(y) = y

y2

2

1+– 1

f ′(y) = 0 ⇔ 2y = y21+ ⇔ yy y2 2

04 1

≥

= + ⇔ y = 1

3

Do đó ta có bảng biến thiên như trên

• Với y ≥ 2 ⇒ f(y) ≥ 2 y21+ ≥ 2 5 > 2 + 3 .


Trang 99

Vậy A ≥ 2 + 3 với mọi số thực x, y.

Khi x = 0 và y = 13

thì A = 2 + 3 . Nên giá trị nhỏ nhất của A là 2 + 3 .

Baøi 15. (ĐH 2006A–db1) Cho x, y là các số thực thoả mãn điều kiện: x xy y2 2 3+ + ≤ .

Chứng minh rằng: x xy y2 24 3 3 3 4 3 3− − ≤ − − ≤ − .

ĐS: Đặt A x xy y B x xy y2 2 2 2, 3= + + = − − .

• Nếu y = 0 thì A x2 3= ≤ ⇒ B x2= . Do đó: B4 3 3 0 3 4 3 3− − ≤ ≤ ≤ < − ⇒ đpcm

• Nếu y ≠ 0. Đặt xty

= . Ta có A x xy y t tB Ax xy y t t

2 2 2

2 2 2( 3 ) 3

1− − − −

= =+ + + +

.

Ta tìm tập giá trị của t tut t

2

231

− −=

+ + ⇔ u t u t u2( 1) ( 1) 3 0− + + + + = .

Vì a u b u1, 1= − = + không đồng thời bằng 0 nên miện giá trị của u là:

∆ ≥ 0 ⇔ u4 3 3 4 3 33 3

− − −≤ ≤

Ta có: B = A.u và 0 ≤ A ≤ 3 ⇒ B4 3 3 4 3 3− − ≤ ≤ − . Baøi 16. (ĐH 2006A–db2) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn: x y z– – –3 3 3 1+ + = . Chứng minh

rằng: 4

33333

933

933

9 zyx

yxz

z

xzy

y

zyx

x ++≥

++

++

+ +++

ĐS: Đặt =3x a , =3y b , =3z c . Ta có a, b, c > 0 và ab bc ca abc+ + = .

BĐT ⇔ 4

222 cbaabc

ccab

bbca

a ++≥

++

++

+

⇔ 42

3

2

3

2

3 cbaabcc

cabcb

babca

a ++≥

++

++

+

⇔ 4))(())(())((

333 cbabcac

cabcb

bcaba

a ++≥

+++

+++

++ (1)

Áp dụng BĐT Cô–si ta có:

)2(43

88))((3

88))((3

33

acabacaba

acabacaba

a=

+⋅

+⋅

++≥

++

++

++

)3(43

88))((3

88))((3

33

babcbabcb

babcbabcb

b=

+⋅

+⋅

++≥

++

++

++

)4(43

88))((3

88))((3

33

cbcacbcac

cbcacbcac

c=

+⋅

+⋅

++≥

++

++

++

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (2), (3), (4) ta suy ra:

4))(())(())((

333 cbabcac

cabcb

bcaba

a ++≥

+++

+++

++

Vậy (1) đúng và ta có điều phải chứng minh. Baøi 17. (ĐH 2006B–db2) Cho hai số dương x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: x y 4+ ≥ . Tìm

giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x yAx y

2 3

23 4 2

4+ +

= + .


Trang 100

ĐS: Ta có: x y y x yAx y21 1 1 92 1 2.3. 2

4 8 8 2 4 2 +

= + + + + + ≥ + + =

.

Dấu "=" xảy ra ⇔

xx x yy

y2

14 21

8

= ⇔ = ==

(thoả x + y ≥ 4). Vậy minA = 92

.

Baøi 18. (ĐH 2007A) Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện xyz 1= . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

x y z y z x z x yPy y z z z z x x x x y y

2 2 2( ) ( ) ( )2 2 2+ + +

= + ++ + +

.

ĐS: Ta có: x y z x y x z x xyz x x2 2 2 3( ) 2 2+ = + ≥ = .

Tương tự: y z x y y z x y z z2 2( ) 2 ; ( ) 2+ ≥ + ≥ .

⇒ P ≥ y yx x z zy y z z z z x x x x y y

22 22 2 2

+ ++ + +

.

Đặt a x x y y b y y z z c z z x x2 , 2 , 2= + = + = + .

⇒ c a b a b c b c ax x y y z z4 2 4 2 4 2, ,9 9 9

+ − + − + −= = = .

Do đó: P ≥ c a b a b c b c ab c a

2 4 2 4 2 4 29

+ − + − + −+ +

= c a bb c a

2 25 6 (5.3 6) 29 9

+ + − ≥ − =

(do c a b c a bb c a b c a

33 . . 3+ + ≥ = )

dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z =1. Vậy minP = 2. Baøi 19. (ĐH 2007B) Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức: x y zP x y zyz zx xy1 1 1

2 2 2

= + + + + + .

ĐS: Ta có: x y z x y zPxyz

2 2 2 2 2 2

2 2 2+ +

= + + + .

Do x y y z z xx y z xy yz zx2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2+ + +

+ + = + + ≥ + +

nên x y zPx y z

2 2 21 1 12 2 2

≥ + + + + +

Xét hàm số: tf tt

2 1( )2

= + với t > 0. Lập bảng biến thiên của f(t), ta suy ra:

f t t3( ) , 02

≥ ∀ > . Suy ra: P ≥ 92

. Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z = 1

Vậy minP = 92

.

Baøi 20. (ĐH 2007D) Cho a b 0≥ > . Chứng minh rằng: b a

a ba b

1 12 22 2

+ ≤ +

.


Trang 101

ĐS: BĐT ⇔ a b b a(1 4 ) (1 4 )+ ≤ + ⇔ a b

a bln(1 4 ) ln(1 4 )+ +

≤ .

Xét hàm số: x

f xx

ln(1 4 )( ) += với x > 0. Ta có:

x x x x

xf x

x24 ln 4 (1 4 ) ln(1 4 )( ) 0

(1 4 )− + +′ = <

+

⇒ f(x) nghịch biến trên khoảng (0; +∞). Do đó với a ≥ b > 0 ta có f(a) ≤ f(b) ⇒ đpcm. Baøi 21. (ĐH 2007A–db2) Cho x, y, z là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

x y zP x y y z z xy z x

3 3 3 3 3 333 32 2 2

4( ) 4( ) 4( ) 2

= + + + + + + + +

.

ĐS: Với x, y ,z > 0, ta chứng minh được: x y x y3 3 34( ) ( )+ ≥ + . Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y.

Tương tự: y z y z z x z x3 3 3 3 3 34( ) ( ) , 4( ) ( )+ ≥ + + ≥ + .

Do đó: x y y z z x x y z xyz3 3 3 3 3 333 3 34( ) 4( ) 4( ) 2( ) 6+ + + + + ≥ + + ≥

Mặt khác: x y z

xyzy z x2 2 2 3

62

+ + ≥

. Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z.

Vậy: P xyzxyz

33

16 12

≥ + ≥

. Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z = 1. Vậy minP = 12.

Baøi 22. (ĐH 2007D–db1) Cho a, b là các số dương thoả mãn ab a b 3+ + = . Chứng minh:

a b ab a bb a a b

2 23 3 31 1 2

+ + ≤ + ++ + +

.

ĐS: Từ giả thiết ⇒ ab a b a b ab a b3 ( ), ( 1)( 1) 1 4= − + + + = + + + = .

BĐT ⇔ a a b ba ba b a b

2 2 3 3 ( 1) 3 ( 1) 3 12 ( 1)( 1)

+ + ++ + ≥ + −

+ + +

⇔ a b a ba b

2 2 123( ) 10 0+ − + − + ≥+

(*)

Đặt x a b= + ⇒ x a b ab x2 2( ) 4 4(3 - )= + ≥ = ⇒ x x2 4 12 0+ − ≥ ⇒ x 2≥ (vì x > 0).

Ta có (*) ⇔ x xx

2 12 4 0− − + ≥ với x ≥ 2.

⇔ x x x2( 2)( 6) 0− + + ≥ với x ≥ 2 (hiển nhiên đúng).

Baøi 23. (ĐH 2008B) Cho hai số thực x, y thay đổi và thoả mãn hệ thức x y2 2 1+ = . Tìm giá trị

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức x xyPxy y

2

22( 6 )

1 2 2+

=+ +

.

ĐS: Ta có: x xyPx y xy y

2

2 2 22( 6 )

2 2+

=+ + +

.

• Nếu y = 0 thì x2 1= ⇒ P = 2.

• Nếu y ≠ 0. Đặt x ty= , khi đó: t tPt t

2

22 12

2 3+

=+ +

⇔ P t P t P2( 2) 2( 6) 3 0− + − + = (1)

– Với P = 2, phương trình (1) có nghiệm t 34

= .

– Với P ≠ 2, phương trình (1) có nghiệm ⇔ P P22 6 36 0∆′ = − − + ≥ ⇔ P6 3− ≤ ≤ .

+ P = 3 khi x y3 1,10 10

= = hoặc x y3 1,10 10

= − = − .


Trang 102

+ P = –6 khi x y3 2,13 13

= = − hoặc x y3 2,13 13

= − = .

Vậy: maxP = 3, minP = –6. Baøi 24. (ĐH 2008D) Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của biểu thức: x y xyPx y2 2

( )(1 )(1 ) (1 )

− −=

+ +.

ĐS: Ta có: [ ]

x y xy x y xyPx y x y xy

2 2 2( )(1 ) ( )(1 ) 1

4(1 ) (1 ) ( ) (1 )

− − + += ≤ ≤

+ + + + + ⇔ P1 1

4 4− ≤ ≤ .

• Khi x = 0, y = 1 thì P 14

= − . • Khi x = 1, y = 0 thì P 14

= .

Vậy: minP = 14

− , maxP = 14

.

Baøi 25. (ĐH 2009A) Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện: x x y z yz( ) 3+ + = , ta có: x y x z x y x z y z y z3 3 3( ) ( ) 3( )( )( ) 5( )+ + + + + + + ≤ + . ĐS: Đặt a x y b x z c y z, ,= + = + = + .

Điều kiện x x y z yz( ) 3+ + = ⇔ c a b ab2 2 2= + − = a b a b a b2 2 23 1( ) ( ) ( )4 4

+ − + = +

⇒ a b c2+ ≤ (1) BĐT ⇔ a b abc c3 3 33 5+ + ≤ ⇔ a b a b ab bc c2 2 3( )( ) 3a 5+ + − + ≤

⇔ a b c abc c2 3( ) 3 5+ + ≤ ⇔ a b c ab c3( ) 3 5+ + ≤

(1) cho ta: a b c c2( ) 2+ ≤ và ab a b c2 233 ( ) 34

≤ + ≤ ⇒ đpcm.

Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = c ⇔ x = y = z. Baøi 26. (ĐH 2009B) Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn x y xy3( ) 4 2+ + ≥ . Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức: A x y x y x y4 4 2 2 2 23( ) 2( ) 1= + + − + + .

ĐS: Từ x y xy3( ) 4 2+ + ≥ với x y xy2( ) 4+ ≥ ⇒ x y x y3 2( ) ( ) 2+ + + ≥ ⇒ x y 1+ ≥ .

A x y x y x y4 4 2 2 2 23( ) 2( ) 1= + + − + + = x y x y x y2 2 2 4 4 2 23 3( ) ( ) 2( ) 12 2

+ + + − + +

≥ x y x y x y2 2 2 2 2 2 2 23 3( ) ( ) 2( ) 12 4

+ + + − + + ⇒ A x y x y2 2 2 2 29 ( ) 2( ) 14

≥ + − + +

Đặt t = x y2 2+ , ta có: x yx y2

2 2 ( ) 12 2

++ ≥ ≥ ⇒ t 1

2≥ . Do đó A t t29 2 1

4≥ − + .

Xét f t t t29( ) 2 14

= − + ; f t t9( ) 2 02

′ = − > , t 12

∀ ≥ ⇒ f t f1;2

1 9min ( )2 16

+∞

= =

.

⇒ A 916

≥ . Dấu "=" xảy ra khi x y 12

= = . Vậy minA = 916

.

Baøi 27. (ĐH 2009D) Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thoả mãn x y 1+ = . Tìm giá

trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức S x y y x xy2 2(4 3 )(4 3 ) 25= + + + .

ĐS: Do x y 1+ = nên S x y x y xy xy2 2 3 316 12( ) 9 25= + + + +

= S x y x y xy x y xy2 2 316 12 ( ) 3 ( ) 34 = + + − + + = x y xy2 216 2 12− +


Trang 103

Xét hàm số: f t t t2( ) 16 2 12= − + trên đoạn 10;4

f t t f t t 1( ) 32 2; ( ) 016

′ ′= − = ⇔ = ; f f f1 191 1 25(0) 12, ,16 16 4 2

= = =

.

⇒ f t f f t f1 10; 0;4 4

1 25 1 191max ( ) ; min ( )4 2 16 16

= = = =

Giá trị lớn nhất của S bằng x y

khi x yxy

125 1 1( ; ) ;12 2 2

4

+ = ⇔ = = .

Giá trị nhỏ nhất của S bằng 19116

khi x y

x yxy

1 2 3 2 3( ; ) ;14 4

16

+ = + − ⇔ = =

hoặc x y 2 3 2 3( ; ) ;4 4

− +=

Baøi 28. (ĐH 2010B) Cho các số thực không âm a, b, c thoả mãn: a b c 1+ + = . Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức M a b b c c a ab bc ca a b c2 2 2 2 2 2 2 2 23( ) 3( ) 2= + + + + + + + + .

ĐS: Ta có: M ab bc ca ab bc ca ab bc ca2( ) 3( ) 2 1 2( )≥ + + + + + + − + + .

Đặt t ab bc ca= + + , ta có: a b ct2( ) 10

3 3+ +

≤ ≤ = .

Xét hàm số: f t t t t2( ) 3 2 1 2= + + − trên 10;2

. Ta có: f t t

t

2( ) 2 31 2

′ = + −−

.

f tt 3

2( ) 2 0(1 2 )

′′ = − ≤−

, dấu "=" chỉ xảy ra tại t = 0 ⇒ f ′(t) nghịch biến.

Xét trên đoạn 10;3

ta có: f t f 1 11( ) 2 3 03 3

′ ≥ = − >

, suy ra f(t) nghịch biến.

Do đó: f(t) ≥ f(0) = 2, t 10;3

∀ ∈

.

Vì thế: M f t t 1( ) 2, 0;3

≥ ≥ ∀ ∈

;

M = 2 khi ab = bc = ca, ab + bc + ca = 0 và a + b + c = 1 ⇔ (a; b; c) là một trong các bộ số (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1).

Do đó: minM = 2.

Baøi 29. (ĐH 2010D) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y x x x x2 24 21 3 10= − + + − − + + . ĐS: Điều kiện: –2 ≤ x ≤ 5. Ta có: x x x x x y2 2( 4 21) ( 3 10) 11 0 0− + + − − + + = + > ⇒ > .

y x x x x x x x x2 ( 3)(7 ) ( 2)(5 ) 2 ( 3)(7 )( 2)(5 )= + − + + − − + − + −

= ( )x x x x2

( 3)(5 ) ( 2)(7 ) 2 2+ − − + − + ≥

Suy ra: y 2≥ . Dấu "=" xảy ra ⇔ x = 13

. Vậy miny = 2 .

Baøi 30. (ĐH 2011A) Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và x ≥ y, x ≥ z. Tìm giá trị nhỏ


Trang 104

nhất của biểu thức: x y zPx y y z z x2 3

= + ++ + +

.

ĐS: Trước hết chứng minh a b ab

1 1 21 1 1

+ ≥+ + +

(*), với a, b > 0 và ab ≥ 1.

Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b hoặc ab = 1. Áp dụng (*) với x, y ∈ [1; 4] và x ≥ y, ta có:

xPz x yx y xy z x y

1 1 1 232 3 1 1 2 1

= + + ≥ ++ + + + +

Dấu "=" xảy ra ⇔ z xy z

= hoặc xy

1= (1)

Đặt [ ]x t ty

, 1;2= ∈ . Khi đó: tPtt

2

22

12 3≥ +

++.

Xét hàm [ ]tf t ttt

2

22( ) , 1;2

12 3= + ∈

++.

Ta có: f t f 34( ) (2)33

≥ = ; dấu "=" xảy ra ⇔ xt x yy

2 4 4, 1= ⇔ = ⇔ = = (2)

⇒ P 3433

≥ . từ (1) và (2) suy ra dấu "=" xảy ra ⇔ x y z4, 1, 2= = = .

Vậy minP = 3433

khi x = 4, y = 1, z = 2.

Baøi 31. (ĐH 2011B) Cho a, b là các số thực dương thoả mãn a b ab a b ab2 22( ) ( )( 2)+ + = + + .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b a bPb a b a

3 3 2 2

3 3 2 24 9

= + − +

.

ĐS: Với a, b > 0 ta có:

a b ab a b ab2 22( ) ( )( 2)+ + = + + ⇔ a b a bb a a b

1 12 1 ( ) 2

+ + = + + +

.

Mà a ba b a ba b a b b a1 1 1 1( ) 2 2 2( ) 2 2 2

+ + + ≥ + + = + +

Suy ra: a b a bb a b a

2 1 2 2 2

+ + ≥ + +

⇒ a bb a

52

+ ≥ .

Đặt a bt tb a

5,2

= + ≥ , suy ra: P t t t t t t3 2 3 24( 3 ) 9( 2) 4 9 12 18= − − − = − − + .

Xét hàm số f t t t t t3 2 5( ) 4 9 12 18,2

= − − + ≥ .

Ta suy ra được f t f5;2

5 23min ( )2 4

+∞

= = −

.

Vậy minP = 234

− ⇔

a bb a

a ba b

52

1 12

+ =

+ = +

⇔ (a; b) = (1; 2) hoặc (a; b) = (2; 1).


Trang 105

Baøi 32. (ĐH 2012A) Cho các số thực x y z, , thoả mãn điều kiện x y z 0+ + = . Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức: x y y z z xP x y z2 2 23 3 3 6 6 6− − −= + + − + + .

ĐS: Trước hết chứng minh t t t3 1, 0 (*)≥ + ∀ ≥ (xét hàm tf t t t( ) 3 1, 0= − − ≥ ).

Áp dụng (*), ta có: x y y z z x x y y z z x3 3 3 3− − −+ + ≥ + − + − + − .

Áp dụng BĐT a b a b+ ≥ + , ta có:

( ) ( )x y y z z x x y y z z x x y y z z x2 2 2 2

− + − + − = − + − + − + − − + − +

+ ( ) ( )y z z x x y z x x y y z− − + − + − − + − ≥ ( )x y y z z x2 2 2

2 − + − + − Do đó:

( )x y y z z x x y y z z x x y z x y z2 2 2 2 2 2 22 6( ) 2( )− + − + − ≥ − + − + − = + + − + +

Mà x y z 0+ + = , suy ra x y y z z x x y z2 2 26( )− + − + − ≥ + + .

Suy ra x y y z z xP x y z2 2 23 3 3 6 6 6 3− − −= + + − + + ≥ . Dấu "=" xảy ra ⇔ x y z 0= = = . Vậy Pmin 3= khi x y z 0= = = .

Baøi 33. (ĐH 2012B) Cho các số thực x y z, , thoả mãn các điều kiện x y z 0+ + = và

x y z2 2 2 1+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x y z5 5 5= + + .

ĐS: Với x y z 0+ + = và x y z2 2 2 1+ + = , ta có:

x y z x y z x y z yz x yz2 2 2 2 20 ( ) 2 ( ) 2 1 2 2= + + = + + + + + = − + , nên yz x2 12

= − .

Mặt khác y z xyz2 2 21

2 2+ −

≤ = , suy ra xx2

2 1 12 2

−− ≤ , do đó x6 6

3 3− ≤ ≤ (*)

Khi đó: P x y z y z y z y z5 2 2 3 3 2 2( )( ) ( )= + + + − +

= x x y z y z yz y z x x2

5 2 2 2 2 1(1 ) ( )( ) ( )2

+ − + + − + + − = x x35 (2 )

4− .

Xét hàm số f x x x3( ) 2= − trên D 6 6;3 3

= −

. Ta có f x x D6( ) ,

9≤ ∀ ∈ .

Suy ra P 5 636

≤ . Dấu "=" xảy ra ⇔ x y z6 6,3 6

= = = − . Vậy P 5 6max36

= .

Baøi 34. (ĐH 2012D) Cho các số thực x y, thoả mãn x y xy2 2( 4) ( 4) 2 32− + − + ≤ . Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức A x y xy x y3 3 3( 1)( 2)= + + − + − .

ĐS: Ta có: x y xy2 2( 4) ( 4) 2 32− + − + ≤ ⇔ x y x y2( ) 8( ) 0+ − + ≤ ⇔ x y0 8≤ + ≤

A x y x y xy x y x y x y3 3 23( ) 3( ) 6 6 ( ) ( ) 3( ) 62

= + − + − + ≥ + − + − + + .

Xét hàm số f t t t t3 23( ) 3 62

= − − + trên đoạn [0;8] , ta có f t 17 5 5min ( )4

−= .

Suy ra A 17 5 54

−≥ . Dấu "=" xảy ra ⇔ x y 1 5

4+

= = . Vậy 17 5 5min A4

−= .

Baøi 35. (ĐH 2013A) Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn điều kiện a c b c c2( )( ) 4+ + = .


Trang 106

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b a bPcb c a c

3 3 2 2

3 332 32

( 3 ) ( 3 )+

= + −+ +

.

ĐS: Đặt a bx y x yc c

, ( 0, 0)= = > > . ĐK bài toán trở thành: xy x y 3+ + = .

Khi đó: x yP x yy x

3 32 2

3 332 32

( 3) ( 3)= + − +

+ +.

Với u v0, 0∀ > > ta có: u vu v u v uv u v u v u v3

3 3 3 3 33 ( )( ) 3 ( ) ( ) ( )4 4

++ = + − + ≥ + − + = .

Do đó: x y x y x y xy x yy x xy x yy x

333 3 2

3 332 32 ( ) 2 3 38 8

3 3 3 3 9( 3) ( 3)

+ − + ++ ≥ + = + + + + ++ +

Thay xy x y 3+ + = ta được: x y x y x y x yx yy x

33 33

3 332 32 ( 1)( 6)8 ( 1)

2( 6)( 3) ( 3)

+ − + ++ ≥ = + − + ++ +

.

Do đó: P x y x y x y x y x y3 2 2 3 2( 1) ( 1) ( ) 2( ) 6≥ + − − + = + − − + + + − .

Đặt t x y t, 0= + > ta được: P t t t3 2( 1) 2 6≥ − − + − .

Ta có: x y tx y xy x y t2 2( )3 ( )

4 4+

= + + ≤ + + = + nên t t( 2)( 6) 0− + ≥ ⇒ t 2≥ .

Xét f t t t t t3 2( ) ( 1) 2 6, 2= − − + − ≥ ⇒ f t 3 2( ) 3 02

′ ≥ − > ⇒ t t f( ) (2) 1 2≥ = − .

Do đó P 1 2≥ − . Khi a b c= = thì P 1 2= − . Do đó Pmin 1 2= − . Baøi 36. (ĐH 2013B) Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Pa b a c b ca b c2 2 2

4 9( ) ( 2 )( 2 )4

= −+ + ++ + +

.

ĐS: Ta có: a b c a b ab ac bca b a c b c a b a b c

2 22 2 24 2 4 4( ) ( 2 )( 2 ) ( ) 2( )

2 2+ + + + + +

+ + + ≤ + = ≤ + + .

Đặt t a b c t2 2 2 4, 2= + + + > ⇒ Pt t24 9

2( 4)≤ −

−. Xét f t t

t t24 9( ) , 2

2( 4)= − >

−.

⇒ f t t( ) 0, 2′ > ∀ > . Dựa vào BBT ⇒ f t t5( ) , 28

≤ ∀ > ⇒ P 58

≤ .

Khi a b c 2= = = ta có P 58

= . Vậy P 5max8

= .

Baøi 37. (ĐH 2013D) Cho x, y là các số thực dương thoả mãn điều kiện xy y 1≤ − . Tìm giá trị

lớn nhất của biểu thức x y x yPx yx xy y2 2

26( )3

+ −= −

+− +.

ĐS: Do x y xy y0, 0, 1> > ≤ − nên x yy y yy y

2

2 21 1 1 1 1 1 10

4 2 4 −

< ≤ = − = − − ≤

.

Đặt xt ty

104

= ⇒ < ≤ . Khi đó t tPtt t2

1 26( 1)3

+ −= −

+− +.


Trang 107

Xét t tf t ttt t2

1 2 1( ) ,06( 1) 43

+ −= − < ≤

+− + ⇒ f t 1 1( ) 0

23′ > − > .

Do đó P f t f 1 5 7( )4 3 30

= ≤ = +

.

Khi x y1 , 22

= = ta có P 5 73 30

= + . Do đó P 5 7max3 30

= + .

Baøi 38. (ĐH 2014A) Cho x, y, z là các số thực không âm thoả mãn điều kiện x y z2 2 2 2+ + = .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x y z yzPx y zx yz x

2

21

1 91+ +

= + −+ + ++ + +

.

ĐS: Ta có: x y z x y z xy xz yz xy xz yz2 2 2 20 ( ) 2 2 2 2(1 )≤ − − = + + − − + = − − +

Nên x yz x x x y z xy xz yz x x y z2 1 ( 1) (1 ) ( 1)+ + + = + + + + − − + ≥ + + +

Suy ra x xx y zx yz x

2

2 11≤

+ + =+ + +.

Mặt khác x y z x y z x y z yz yz x y z2 2 2 2( ) 2 ( ) 2 2 2 2 ( )+ + = + + + + + = + + + ≤

yz x y z yz2 22 2 ( ) 4(1 ) ≤ + + + + = + . Do đó x y z x y zPx y z

2( )1 36

+ + + +≤ −

+ + +.

Đặt t x y z t, 0= + + ≥ ⇒ t x y z x y z xy yz xz2 2 2 2 2( ) ( ) 2 2 2= + + = + + + + + ≤

x y y z z x2 2 2 2 2 22 ( ) ( ) ( ) 6≤ + + + + + + = . Do đó t0 6≤ ≤ .

Xét t tf t tt

2( ) , 0 6

1 36= − ≤ ≤

+. Ta được f t khi t5( ) 0 6

9≤ ≤ ≤ . Do đó P 5

9≤ .

Khi x y z1, 0= = = thì P 59

= . Do đó P 5max9

= .

Baøi 39. (ĐH 2014B) Cho các số thực a, b, c không âm và thoả mãn điều kiện a b c( ) 0+ > .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b cPb c a c a b2( )

= + ++ + +

.

ĐS: Ta có a b c a b c2 ( )+ + ≥ + . Suy ra a ab c a b c

2≥

+ + +.

Tương tự: b ba c a b c

2≥

+ + +.

Do đó a b c a b a b cPa b c a b a b c a b2( ) 2( ) 1 1 32

2( ) 2( ) 2 2 2 + + + +

≥ + = + − ≥ − = + + + + + + .

Khi a b c0, 0= = > thì P 32

= . Do đó P 3min2

= .

Baøi 40. (ĐH 2014D) Cho 2 số thực x, y thoả mãn các điều kiện x y1 2;1 2≤ ≤ ≤ ≤ . Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức x y y xPx yx y y x2 2

2 2 14( 1)3 5 3 5

+ += + +

+ −+ + + +.

ĐS: Do x1 2≤ ≤ nên x x x x2( 1)( 2) 0 2 3− − ≤ ⇔ + ≤ . Tương tự y y2 2 3+ ≤ .

Suy ra x y y x x yPx y y x x y x y x y

2 2 1 13 3 3 3 3 3 4( 1) 1 4( 1)

+ + +≥ + + = +

+ + + + + − + + + −.


Trang 108

Đặt t x y t2 4= + ⇒ ≤ ≤ . Xét tf t tt t

1( ) , 2 41 4( 1)

= + ≤ ≤+ −

. Suy ra f t f 7( ) (3)8

≥ = .

Do đó P 78

≥ . Khi x y1, 2= = thì P 78

= . Vậy P 7min8

= .

Baøi 41. (ĐH 2015A)

ĐS: Baøi 42. (ĐH 2015B)

ĐS: Baøi 43. (ĐH 2015D)

ĐS: Baøi 44. (CĐ 2015)

ĐS:


Trang 109

ĐỀ THI ĐẠI HỌC Baøi 1. (ĐH 2002A–db2) Gọi A, B, C là ba góc của tam giác ABC. Chứng minh rằng để tam

giác ABC đều thì điều kiện cần và đủ là:

A B C A B B C C A2 2 2 1cos cos cos 2 cos cos cos2 2 2 4 2 2 2

− − −+ + − = (*)

ĐS: (*) ⇔ A B B C C AA B C2(3 cos cos cos ) 8 cos cos cos2 2 2− − −

+ + + − =

⇔ A B B C C AA B C2(cos cos cos 1) cos cos cos2 2 2− − −

+ + − =

⇔ A B C A B B C C A8sin sin sin cos cos cos2 2 2 2 2 2

− − −=

⇔ A B C A B B C C A8sin .sin .sin (sin sin )(sin sin )(sin sin )= + + + ⇔ B Csin A sin sin= = (dùng BĐT Cô–si cho vế phải) ⇔ A = B = C. Baøi 2. (ĐH 2002B–db2) Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là BC = a, CA = b, AB = c.

Tính diện tích tam giác ABC, biết rằng: b C b C c Bsin ( .cos .cos ) 20+ = (*).

ĐS: (*) ⇔ R B C B C C B24 sin sin (sin cos sin cos ) 20+ = (dùng định lí hàm số sin)

⇔ R A B C24 sin sin sin 20=

Mà abc RS A B CR R

38 sin sin sin4 4

= = = R A B C22 sin sin sin = 10.

Vậy S = 10 (đvdt). Baøi 3. (ĐH 2003A–db1) Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng:

p p a bc

A B C4 ( ) (1)

2 3 3sin sin sin (2)2 2 2 8

− ≤ −

=

trong đó a b cBC a CA b AB c p, , ,2

+ += = = = .

ĐS: (1) ⇔ a b c b c a b c abc bc

2 2( )( ) ( )1 1+ + + − + −≤ ⇔ ≤ ⇔ bc A

bc2 (1 cos ) 1+

≤

2 1cos4

⇔ ≤ ⇔ A A2 3 3sin sin2 4 2 2

≥ ⇔ ≥ (3) Ado 02 2

π < <

.

Biến đổi vế trái của (2):

A B C A B C B C1sin sin sin sin cos cos2 2 2 2 2 2 2

− += −

≤ A A1 sin 1 sin

2 2 2

−

=

= A A21 1sin sin2 2 2 2

− + = A A A2

21 1 1 1sin sin sin2 2 2 2 2 2 4

− − = − − −

= A2

1 1 1sin8 2 2 2

− −

.

Do (3) suy ra A B C2

1 1 3 1 2 3 3sin sin sin2 2 2 8 2 2 2 8

−≤ − − =

.

Phụ lục III. LƯỢNG GIÁC


Trang 110

Dấu "=" xảy ra ⇔

B CA

A B C

0

0

cos 11202

3 30sin2 2

−= =⇔

= = =

.

Baøi 4. (ĐH 2003D–db1) Tìm các góc A, B, C của tam giác ABC để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất: Q A B C2 2 2sin sin sin= + − .

ĐS: Ta có: Q A B C21 1(1 cos2 ) (1 cos2 ) sin2 2

= − + − −

= A B A B C C C A B2 211 .2 cos( ).cos( ) sin cos cos .cos( )2

− + − − = + −

= C A B A B2

21 1 1cos cos( ) cos ( )2 4 4

+ − − − ≥

Vậy Q 14

≥ − và A B CQ

C A B

0

01 1201cos4 302

= == − ⇔ ⇔ = − = =.

Baøi 5. (ĐH 2003D–db2) Xác định dạng của tam giác ABC, biết rằng: p a A p b B c A B2 2( )sin ( )sin .sin .sin− + − = (1)

trong đó a b cBC a CA b AB c p, , ,2

+ += = = = .

ĐS: (1) ⇔ p a a p b b abc2 2( ) ( )− + − = ⇔ p a a p b bbc ac

( ) ( ) 1− −+ =

⇔ p p a p p ba b pbc ac

( ) ( )− −+ = ⇔ A Ba b p2 2cos cos

2 2+ = (định lí cosin)

⇔ a a B b a b c(1 cos ) (1 cos )+ + + = + + ⇔ a A b B ccos cos+ = ⇔ A B Csin 2 sin 2 2sin+ = ⇔ A B c A B C2sin( ) os( ) 2sin+ − = ⇔ A Bcos( ) 1− = ⇔ A = B. Vậy tam giác ABC cân. Baøi 6. (ĐH 2004A) Cho tam giác ABC không tù, thỏa mãn điều kiện: A B Ccos2 2 2 cos 2 2 cos 3+ + = Tính ba góc của tam giác ABC. ĐS: Gọi M A B Ccos2 2 2 cos 2 2 cos 3= + + −

B C B CA22 cos 1 2 2.2 cos .cos 3.2 2+ −

= − + −

Do A B Csin 0, cos 12 2

−> ≤ nên AM A22 cos 4 2 sin 4.

2≤ + −

Mặt khác tam giác ABC không tù nên A A A2cos 0, cos cos .≥ ≤

Suy ra: A A AM A 22 cos 4 2 sin 4 2 1 2sin 4 2 sin 42 2 2

≤ + − = − + −

A A A2

24sin 4 2 sin 2 2 2 sin 1 0.2 2 2

= − + − = − − ≤

Vậy M 0.≤ Theo giả thiết:


Trang 111

o

o

A AB C AM

B CA

2cos cos900 cos 1

2 451sin

2 2

= − == ⇔ = ⇔ = =

=

Baøi 7. (ĐH 2004B–db2) Cho tam giác ABC thoả mãn A 090≤ và AA B Csin 2sin sin tan2

= .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A

SB

1 sin2

sin

−= .

ĐS:

Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này. [email protected]

mailto:[email protected]

Documents

BAØI TAÄP...thứ ba thì hai đường thẳng ấy song song với nhau. b) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau. c) Nếu tứ giác T là