Bai Giang XSTK

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINHTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ThS Nguyễn Đức Phương

XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ

Bản in thứ 3

TP. HCM – Ngày 16 tháng 3 năm 2009

Chương 1

Tập hợp - Giải tích tổ hợp

1.1 Tập hợp

1.1.1 Khái niệm về tập hợp

Khái niệm tập hợp được xem là một khái niệm nguyên thủy không định nghĩa,tương tự như các khái niệm điểm, đường thẳng trong hình học, . . . Tập hợp có thểhiểu tổng quát là một sự tựu tập của một số hữu hạn hay vô hạn các đối tượng nàođó. Các đối tượng này được gọi là các phần tử của tập hợp.

Ta thường dùng các chữ cái in A, B, C, . . . để ký hiệu tập hợp. Nếu a là phần tửcủa tập hợp A ta ký hiệu a ∈ A. Ngược lại nếu a không thuộc tập hợp A ta ký hiệua /∈ A.

Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập hợp rỗng, ký hiệu ∅.

1.1.2 Biểu diễn tập hợp

Có hai cách xác định một tập hợp:

a. Liệt kê các phần tử của nó: Nếu một tập hợp có số phần tử của nó không quánhiều thì ta xác định tập hợp bằng cách viết ra tất cả các phần tử của nó. Chẳng hạntập hợp tất cả các số tự nhiên nhỏ hơn 5 là

A = 0, 1, 2, 3, 4

Nếu một tập hợp quá nhiều phần tử, hoặc có vô số phần tử, ta không thể viết rahết các phần tử của nó thì ta dùng dấu “. . . ”, miễn là không gây sự hiểu lầm. Chẳnghạn tập hợp B là tập các số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 200 là

B = 1, 3, 5, . . . , 197, 199

1.1 Tập hợp 2

b. Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó: Không phải mọi tậphợp đều cần phải liệt kê rành mạch theo thứ tự nào đó. Chúng có thể được mô tảbằng các tính chất đặc trưng mà nhờ chúng có thể xác định một đối tượng nào đó cóthuộc tập hợp này hay không. Chẳng hạn C là tập hợp các số thực lớn hơn 0 và nhỏhơn 1 là

C =x|x ∈ R và 0 < x < 1

1.1.3 Quan hệ giữa các tập hợp

a. Tập hợp con: Cho hai tập hợp A và B. Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộctập hợp B thì ta nói tập hợp A là một tập hợp con của tập hợp B và ký hiệu A ⊂ B

hoặc là B ⊃ A.Ta viết

A ⊂ B ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ B)

Nếu tập hợp A không là tập hợp con của B, ta ký hiệu A 6⊂ B.b. Tập hợp bằng nhau: Cho hai tập hợp A và B. Nếu mỗi phần tử của A đều thuộcB và ngược lại mỗi phần tử của B đều thuộc A thì ta nói hai tập hợp A và B bằngnhau và ký hiệu A = B.

Ta viếtA = B ⇔

(A ⊂ B vàB ⊂ A

)

1.1.4 Các phép toán trên các tập hợp

a. Giao của hai tập hợp: Giao của hai tập hợp A và B đãcho là tập hợp các phần tử đồng thời thuộc cả hai tập hợp nàyvà được ký hiệu là A ∩ B.

A ∩ B

Ta viếtx ∈ A ∩ B ⇔

x ∈ A

x ∈ B

b. Hợp của hai tập hợp: Hợp của hai tập hợp A và B đã cho là tập hợp các phầntử đồng thời thuộc ít nhất một trong hai tập hợp này và được kýhiệu là A ∪ B.

A ∪ B

Ta viếtx ∈ A ∪ B ⇔

[x ∈ A

x ∈ B

1.2 Giải tích tổ hợp 3

c. Hiệu của hai tập hợp: Hiệu của hai tập hợp A và B đã cho (theo thứ tự này) làtập hợp các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B và được kýhiệu là A \ B

A \ B

Ta viếtA \ B =

x|x ∈ A vàx /∈ B

Tính chất 1.1. Từ định nghĩa của các phép giao, hợp, hiệu ta suy ra các tính chấtsau:

a. Tính giao hoánA ∪ B = B ∪ A; A ∩ B = B ∩ A

b. Tính kết hợp(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

do tính chất này mà khi viết hợp hoặc giao của một dãy tập không cần phải đểcác ngoặc đơn.

c. Tính phân phốiA ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

d. Công thức De MorganA ∪ B = A ∩ B

A ∩ B = A ∪ B

1.2 Giải tích tổ hợp

1.2.1 Quy tắc nhân

Giả sử để hoàn thành một công việc thì phải thực hiện k giai đoạn. Giai đoạn thứnhất có n1 cách thực hiện, giai đoạn thứ hai có n2 cách thực hiện,. . . , giai đoạn thứ k

có nk cách thực hiện. Khi đó ta có

n = n1 · n2 · · ·nk

cách hoàn thành công việc.

Ví dụ 1.1. Giả sử để đi từ A đến C ta bắt buộc phải đi qua điểm B. Có 3 đườngkhác nhau đi từ A đến B và có 2 đường khác nhau đi từ B đến C.

A %% //99 B %% 99 C

Vậy có n = 3 · 2 = 6 cách khác nhau để đi từ A đến C.


1.2.2 Tính chất của một nhóm (bộ) k phần tử

a. Nhóm có thứ tự: Khi đổi vị trí các phần tử khác nhau của nhóm này ta nhậnđược nhóm khác.b. Nhóm không thứ tự: Khi đổi vị trí các phần tử khác nhau của nhóm này takhông nhận được nhóm khác.c. Nhóm có lặp: Các phần tử của nhóm có thể có mặt nhiều lần trong nhóm.d. Nhóm không lặp: Các phần tử của nhóm chỉ có mặt một lần trong nhóm.

Ví dụ 1.2. Từ các số 0, 1, 2, 3, 4 lập số có 3 chữ số

a. Các chữ số có lặp

Công việc 1: Chọn chữ số hàng trăm có n1 = 4 cách chọn.Công việc 2: Chọn chữ số hàng chục có n2 = 5 cách chọn.Công việc 3: Chọn chữ số hàng đơn vị có n3 = 5 cách chọn.

Vậy có n = 4 · 5 · 5 = 100 số.b. Các chữ số không lặp

Công việc 1: Chọn chữ số hàng trăm có n = 4 cách chọn.Công việc 2: Chọn chữ số hàng chục có n = 4 cách chọn.Công việc 3: Chọn chữ số hàng đơn vị có n = 3 cách chọn.

Vậy có n = 4 · 4 · 3 = 48 số.

1.2.3 Chỉnh hợp

Từ tập hợp A = 2, 3, 5 ta có thể lặp được 6 số có 2 chữ số khác nhau từ tập A,và đó là các số

23; 32; 25; 52; 35; 53

Để ý rằng mỗi số tạo thành là một nhóm có thứ tự gồm 2 trong 3 số đã cho. Mỗinhóm như vậy được gọi là một chỉnh hợp chập 2 từ 3 phần tử.

Định nghĩa 1.2 (Chỉnh hợp - Nhóm không lặp, có thứ tự). Chỉnh hợp chập k của n

phần tử (k ≤ n) là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử khác nhau chọn từ n phần tửđã cho.

Gọi Akn là số chỉnh hợp chập k của n phần tử, Ak

n chính là số cách chọn nhóm cóthứ tự k phần tử khác nhau từ tập n phần tử

Phần tử thứ 1 có n cách chọn.


Phần tử thứ 2 có n − 1 cách chọn.

· · ·

Phần tử thứ k có n − k + 1 cách chọn.

Theo quy tắc nhân thì ta có

Akn = n · (n − 1) · · · (n − k) =

n!

(n − k)!

cách chọn.

Ví dụ 1.3. Một lớp học tiếng Anh có 12 người tham dự. Hỏi có bao nhiêu cách chọnmột lớp trưởng và một lớp phó.

Giải. Mỗi cách chọn 1 lớp trưởng và 1 lớp phó là một nhóm có 2 phần tử không lặpvà có thứ tự. Nên có

A212 = 12 · 11 = 132

cách chọn thỏa yêu cầu.

1.2.4 Hoán vị

Định nghĩa 1.3. Hoán vị của n phần tử là một nhóm có thứ tự không lặp có đủ n

phần tử đã cho.

Số hoán vị của n phần tử làPn = n!

Người ta quy ước 0! = 1.

Ví dụ 1.4. Mỗi cách xếp 4 học sinh vào một bàn có 4 chỗ ngồi là một hoán vị của 4phần tử. Số cách xếp 4 học sinh vào một bàn có 4 chỗ ngồi là P4 = 4! = 24.

Chú ý. Hoán vị là trường hợp đặc biệt của chỉnh hợp vì Pn = Ann.

1.2.5 Chỉnh hợp lặp

Trong định nghĩa 1.2 ta đòi hỏi mỗi phần tử chỉ được có mặt trong nhóm khôngquá một lần. Nếu bỏ điều kiện đó ta có chỉnh hợp lặp.

Định nghĩa 1.4 (Chỉnh hợp lặp - Nhóm có lặp, có thứ tự). Chỉnh hợp lặp chập k

của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử chọn từ n phần tử đã cho, trongđó mỗi phần tử có thể có mặt 1, 2, . . . , k lần trong nhóm tạo thành.


Gọi Akn là số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử. Ak

n chính là số cách chọn nhómcó thứ tự k phần tử từ tập n phần tử



· · ·Phần tử thứ k có n cách chọn.

Theo quy tắc nhân thì Akn = nk.

Ví dụ 1.5. Từ các số của tập hợp A = 1, 2, 3, ta có thể lập được A53 = 35 số có 5

chữ số.

Chú ý. Vì mỗi phần tử có thể xuất hiện nhiều lần trong một chỉnh hợp lặp nên ở đâyk có thể lớn hơn n.

1.2.6 Tổ hợp

Định nghĩa 1.5 (Tổ hợp - Nhóm không lặp, không có thứ tự). Tổ hợp chập k của n

phần tử (k ≤ n) là một nhóm không phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác nhau chọntừ n phần tử đã cho.

Gọi Ckn là số tổ hợp chập k của n phần tử, Ck

n chính là số cách chọn nhóm khôngcó thứ tự gồm k phần tử khác nhau từ tập hợp n phần tử đã cho.

Từ mỗi tổ hợp chập k ta hoán vị các phần tử sẽ nhận được k! chỉnh hợp có cùngthành phần như tổ hợp đó. Do đó

Ckn =

Akn

k!=

n!

k!(n − k)!

Ví dụ 1.6. Mỗi đề thi gồm 3 câu hỏi lấy trong 25 câu hỏi cho trước, ta lập được

C325 =

25!

3! · 22!= 2300

đề thi. Vì mỗi đề thi là một nhóm có 3 câu hỏi có tính chất không lặp và không cóthứ tự.

Tính chất 1.6. Tổ hợp có các tính chất cơ bản sau:

a. Quy ước 0! = 1.

b. Ckn = Cn−k

n .

c. Ckn = Ck−1

n−1 + Ckn−1.

1.3 Bài tập luyện tập 7

1.2.7 Nhị thức Newton

Công thức nhị thức Newton

(a + b)n =

n∑

k=0

Cknan−kbk

Các hệ số trong công thức nhị thức Newton có thể được xác định từ tam giác Pascal

11 1

1 2 11 3 3 1

. . . . .C0

n C1n · · · · · · Cn−1

n Cnn

Hình 1.1: Tam giác Pascal

Một số hằng đẳng thức đáng nhớ

(a + b)1 =(a1 + b1

)

(a + b)2 =(a2 + 2ab + b2

)

(a + b)3 =(a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

)

1.3 Bài tập luyện tập

Bài tập 1.1. Nếu một người có 6 đôi vớ khác nhau và 4 đôi giày khác nhau. Có baonhiêu cách kết hợp giữa vớ và giày?

Bài tập 1.2. Năm người A, B, C, D và E sẽ phát biểu trong một hội nghị. Có baonhiêu cách sắp xếp để:

a. Người B phát biểu sau người A.b. Người A phát biểu xong thì đến lượt người B.

Bài tập 1.3. Có 6 học sinh được sắp xếp ngồi vào 6 chỗ đã ghi số thứ tự trên 1 bàndài. Tìm số cách xếp:

a. 6 học sinh vào bàn.b. 6 học sinh này vào bàn sao cho 2 học sinh A và B ngồi cạch nhau.c. 6 học sinh này vào bàn sao cho 2 học sinh A và B không ngồi cạnh nhau.


Bài tập 1.4. Một lớp gồm 40 học sinh. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ra 1 bancán sự lớp gồm: 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 1 thủ quỹ. Hỏi giáo viên chủ nhiệm có baonhiêu cách chọn ban cán sự lớp?

Bài tập 1.5. Một hộp có 8 viên bi đỏ, 6 viên bi trắng và 4 viên bi vàng. Người tachọn ra 6 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu:

a. Không yêu cầu gì thêm.b. Phải có 2 viên bi đỏ, 2 viên bi trắng, 2 viên bi vàng.c. Có đúng 2 viên bi vàng.

Bài tập 1.6. Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người trong ngày cần cử 3 người làmnhiệm vụ ở địa điểm A, 2 người ở địa điểm B còn 4 người trực tại đồn. Hỏi có baonhiêu cách phân công?

Bài tập 1.7. Một tổ sản xuất có 12 người, trong đó có 4 nữ, cần chia thành 4 nhómkhác nhau, mỗi nhóm 3 sinh viên. Hãy tìm số cách phân chia sao cho mỗi nhóm cómột nữ

Bài tập 1.8. Xếp 12 hành khách lên 4 toa tàu. Tính số cách xếp:

a. Mỗi toa có 3 hành khách.b. Một toa có 6 hành khách, một toa có 4 hành khách, hai toa còn lại mỗi toa có 1

hành khách.

Chương 2

Biến cố và xác suất của biến cố

2.1 Biến cố và quan hệ giữa các biến cố

2.1.1 Phép thử và biến cố

Trong toán học có những khái niệm không có định nghĩa mà chỉ có thể mô tả chúngbằng những hình ảnh hoặc tư duy trực giác. Chẳng hạn, trong hình học có khái niệmđiểm, đường thẳng, mặt phẳng là những khái niệm không có định nghĩa. Trong xácsuất, khái niệm phép thử là khái niệm cơ bản không có định nghĩa. Ta hiểu phép thửlà việc thực hiện một thí nghiệm hoặc quan sát một hiện tượng nào đó. Phép thử đượcgọi là ngẫu nhiên nếu ta không thể dự báo trước chính xác kết quả nào sẽ xảy ra.

Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử gọi là không gianmẫu, ký hiệu là Ω. Mỗi kết quả của phép thử, ω, (ω ∈ Ω) gọi là một biến cố sơ cấp.Mỗi tập con của không gian mẫu gọi là biến cố. Chúng ta thường dùng các ký hiệu:

ω để ký hiệu biến cố sơ cấp.

Ω để ký hiệu không gian mẫu.

A, B, C, . . . để ký hiệu biến cố.

|A| để ký hiệu số phần tử của biến cố A.

Ví dụ 2.1. Gieo một đồng xu cân đối một lần. Gọi S là kết quả đồng xu “sấp” và N

là kết quả đồng xu “ngửa”. Không gian các biến cố sơ cấp là:

Ω = S, N

và ω1 = N , ω2 = S là hai biến cố sơ cấp. Ta gọi tập con

A = S ⊂ Ω

2.1 Biến cố và quan hệ giữa các biến cố 10

là biến cố “đồng xu là sấp”.

Ví dụ 2.2. Thực hiện phép thử gieo đồng thời 3 đồng xu cân đối và đồng chất, trongtrường hợp này chúng ta có các biến cố sơ cấp sau:

ω1 = (SSS), ω2 = (SSN), ω3 = (SNS), ω4 = (SNN),ω5 = (NNN), ω6 = (NNS), ω7 = (NSN), ω8 = (NSS)

với N ký hiệu đồng xu “ngửa” và S là đồng su “sấp”. Do đó không gian mẫu là

Ω = ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6, ω7, ω8Đặt A là biến cố “có hai đồng xu ngửa” thì

A = ω4, ω5, ω6

2.1.2 Quan hệ giữa các biến cố

a. Quan hệ kéo theo: Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B, ký hiệu A ⊂ B,nếu A xảy ra thì B xảy ra.b. Quan hệ bằng nhau: Hai biến cố A và B được gọi là bằng nhau nếu A ⊂ B vàB ⊂ A, ký hiệu A = B.c. Biến cố chắc chắn: Là biến cố nhất định sẽ xảy ra khi thực hiện phép thử, kýhiệu Ω.d. Biến cố không thể (biến cố rỗng): Là biến cố nhất định không xảy ra khi thựchiện phép thử, ký hiệu ∅.e. Biến cố tổng: Biến cố C = A ∪B = A + B được gọi là tổngcủa hai biến cố A và B, biến cố C xảy ra khi và chỉ khi ít nhấtmột trong hai biến cố A hoặc B xảy ra.

Ω

A + B

Ta viếtC = A ∪ B =

ω : ω ∈ A hoặc ω ∈ B

Ví dụ 2.3. Một xạ thủ bắn hai viên đạn vào một mục tiêu. Gọi Ai là biến cố viênthứ i, (i = 1, 2) xạ thủ bắn trúng mục tiêu. Ta đặt biến cố

C = A1 + A2

là biến cố ít nhất một viên trúng mục tiêu.

Xét họ biến cố Ai, (i = 1, . . . , n), ta đặt biến cố tổng

C = A1 ∪ · · · ∪ An =

n⋃

i=1

Ai

biến cố C xảy ra khi ít nhất một trong n biến cố này xảy ra.

2.2 Xác suất của biến cố 11

f. Biến cố tích: Biến cố C = AB = A∩B được gọi là biến cốtích (hay giao) của hai biến cố A và B, biến cố C xảy ra khi vàchỉ khi cả hai biến cố A và B cùng xảy ra.

Ω

A ∩ B

Ta viếtC = AB = A ∩ B =

ω : ω ∈ A và ω ∈ B

Ví dụ 2.4. Hai người cùng bắn một con thú, mỗi người bắn một viên. Gọi A1 là biếncố người thứ nhất bắn trượt và A2 là biến cố người thứ hai bắn trượt. Biến cố tíchC = A1A2 là biến cố thú không bị trúng đạn.

g. Biến cố xung khắc: Hai biến cố A và B gọi là hai biến cốxung khắc nếu chúng không đồng thời xảy ra trong một phép thử.Do đó hai biến cố A và B xung khắc khi và chỉ khi A ∩ B = ∅.Ví dụ 2.5. Gieo một đồng xu cân đối một lần. Gọi A1 là biếncố đồng xu sấp và A2 là biến cố đồng xu ngửa. Hai biến cố A1 và

Ω

A B

Xung khắcA2 gọi là xung khắc nhau.

h. Biến cố đối lặp (biến cố bù): Biến cố không xảy ra biếncố A được gọi là biến cố đối lặp với biến cố A, ký hiệu A.Ví dụ 2.6. Gieo một con xúc sắc một lần. Gọi A là biến cố sốchấm xuất hiện nhỏ hơn 5, biến cố đối lặp A là biến cố số chấmxuất hiện bằng 6.

Ω

A A

Đối lặpTa viết

A = ω : ω /∈ A

i. Biến cố hiệu: Biến cố C = A \ B được gọi là biến cố hiệucủa hai biến cố A và B, biến cố C xảy ra khi và chỉ khi biến cốA xảy ra và B không xảy ra.

Ω

A \ B

Ta viếtC = A \ B =

ω : ω ∈ A và ω /∈ B

2.2 Xác suất của biến cố

2.2.1 Định nghĩa cổ điển của xác suất

Định nghĩa 2.1. Xét một phép thử đồng khả năng, có không gian các biến cố sơ cấp

Ω = ω1, ω2, . . . , ωn , |Ω| < +∞

A ⊂ Ω là một biến cố. Xác suất xảy ra biến cố A, ký hiệu P (A), và


P (A) =|A||Ω| =

số trường hợp thuận lợi đối với A

số trường hợp có thể(2.1)

với |A| là số phần tử của biến cố A.

Ví dụ 2.7. Gieo một con xúc sắc cân đối. Tính xác suất

a. Xuất hiện mặt 6 chấm.b. Xuất hiện mặt bội của 3.

Giải.

Gọi A : “Xuất hiện mặt 6 chấm”B : “Xuất hiện mặt bội của 3”

Thực hiện phép thử tung 1 con xúc sắc cân đối và đồng chất, ta có không gianmẫu

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 , |Ω| = 6

a. Xác suất xuất hiện mặt 6 chấm.

A = 6 , |A| = 1 vậy P (A) =1

6b. Xác suất xuất hiện mặt bội của 3.

B = 3, 6 , |B| = 2 vậy P (B) =1

3

Ví dụ 2.8. Trong một thùng có 3 quả cầu trắng và 5 quả cầu đen giống nhau về kíchthước. Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ thùng đó, tính xác suất xuất hiện:

a. 2 quả cầu trắng.b. 1 quả cầu trắng và 1 quả cầu đen.

Giải. Thực hện phép thử lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ thùng có 8 quả cầu nên sốtrường hợp có thể là C2

8 = 28.

Gọi A : “Lấy được 2 quả cầu trắng”B : “Lấy được 1 quả cầu trắng và 1 quả cầu đen”

a. Tính xác suất lấy được 2 quả cầu trắng.Có tất cả 3 quả cầu trắng nên số trường hợp thuận lợi đối với A là C2

3 = 3. Xácsuất xảy ra biến cố A là

P (A) =C2

3

C28

=3

28≈ 0, 1071


b. Tính xác suất lấy được 1 quả cầu trắng và 1 quả cầu đen.Chọn 1 quả cầu trắng từ 3 quả cầu trắng trong thùng có C1

3 cách, chọn 1 quả cầu đentừ 5 quả cầu đen trong thùng có C1

5 cách. Theo quy tắc nhân ta có C13 ·C1

5 = 3 ·5 = 15

cách lấy được 1 quả cầu trắng và 1 quả cầu đen, hay số trường hợp thuận lợi đối vớiB là |B| = 15. Vậy

P (B) =15

28≈ 0, 5357

2.2.2 Định nghĩa xác suất theo thống kê

Định nghĩa xác suất theo lối cổ điển của xác suất chỉ áp dụng khi phép thử là đồngkhả năng và không gian các biến cố sơ cấp có hữu hạn phần tử. Tuy nhiên trên thựctế thường gặp những phép thử không có tính chất đó. Để khắc phục hạn chế đó củađịnh nghĩa theo lối cổ điển người ta đưa vào định nghĩa theo lối thống kê.

Định nghĩa 2.2 (Định nghĩa xác suất theo lối thống kê). Thực hiện phép thử n lần.Giả sử biến cố A xuất hiện m lần. Khi đó m gọi là tần số xuất hiện biến cố A và tỷ

sốm

nđược gọi là tần suất xuất hiện biến cố A trong n phép thử.

Thực hiện phép thử vô hạn lần, (n → ∞), tần suất xuất hiện biến cố A dần ∗ vềmột số xác định gọi là xác suất của biến cố A.

P (A) =m

n(2.2)

Trong một dãy dài (tức n lớn) các lần lặp lại một phép thử ngẫu nhiên, tần suấtcủa biến cố A tuy lên xuống bấp bênh, nhưng có xu hướng không thay đổi mấy xungquanh một hằng số nhất định.

Để nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt sấp khi tung một đồng xu, người ta tiếnhành tung đồng xu nhiều lần và thu được kết quả cho ở bảng bên dưới

Người làm

thí nghiệm

Số lần

tung

Số lần được

mặt sấp

Tần suất

f(A)

Buyffon 4.040 2.048 0,5069Pearson 12.000 6.019 0,5016Pearson 24.000 12.012 0,5005

Bảng 2.1: Tính ổn định tần suất

∗Xem thêm mục 6.2


2.2.3 Định nghĩa xác suất theo lối hình học

Định nghĩa xác suất cổ điển có hai hạn chế cơ bản, thứ nhất là phép thử đồng khảnăng và thứ hai là không gian các biến cố sơ cấp có hữu hạn phần tử. Định nghĩa xácsuất theo lối thống kê đã khắc phục được hạn chế thứ nhất. Để khắc phục hạn chếthứ hai người ta đưa vào định nghĩa xác suất theo lối hình hoc.

Định nghĩa 2.3 (Định nghĩa xác suất theo lối hình học). Xét một phép thử đồng khảnăng, không gian các biến cố sơ cấp có vô hạn phần tử và được biểu diễn bởi miền hìnhhọc Ω có độ đo (độ dài, diện tích, thể tích) hữu hạn khác không. Biến cố A ⊂ Ω đượcbiểu diễn bởi miền hình học A. Khi đó xác suất của biến cố A được xác định bởi

P (A) =Độ đo của miền A

Độ đo của miền Ω(2.3)

Ví dụ 2.9 (Bài toán tàu cập bến). Hai tàu thủy cập vào một bến cảng một cách độclập nhau trong vòng một ngày đêm. Biết rằng thời gian đỗ lại cảng để bốc đở hàngcủa tàu thứ nhất là 4 giờ, của tàu thứ hai là 6 giờ. Tìm xácsuất để một trong hai tàu phải chờ cập bến.

6

12

18

24

6 12 18 24

x− y

=−4

x− y

=6

Ω

OHình ví dụ 2.9

Giải.

Gọi x : (giờ) là thời điểm tàu thứ nhất cập bếny : (giờ) là thời điểm tàu thứ hai cập bếnA : “Một trong hai tàu phải chờ để cập bến”

Miền Ω giới hạn bởi

0 ≤ x ≤ 24

0 ≤ y ≤ 24

Nếu tàu 1 cập bến trước thì điều kiện tàu 2 phải chờ là

y − x ≤ 4

Nếu tàu 2 cập bến trước thì điều kiện tàu 1 phải chờ là

x − y ≤ 6

Vậy A xảy ra khi và chỉ khi −4 ≤ x− y ≤ 6, thể hiện miền gạch chéo. Thực hiện tínhtoán ta có

P (A) =Diện tích miền gạch chéo

Diện tích hình vuông=

242 −(

202

2+

182

2

)

242≈ 0, 3715

2.3 Xác suất có điều kiện 15

2.2.4 Định nghĩa theo tiên đề

Xét không gian các biến cố sơ cấp Ω, giọi F là họ các tập con của Ω thỏa các điềukiện sau:

i. Ω ⊂ F .ii. Nếu A, B ∈ F thì A ∈ F , A + B ∈ F , và AB ∈ F .

iii. Nếu Ai ∈ F , i = 1, 2, . . . thì∞⋃i=1

Ai ∈ F ,∞⋂i=1

Ai ∈ F .

Nếu họ F thỏa điều kiện i) và ii) thì F được gọi là đại số, họ F thỏa điều kiện i),ii) và iii) thì F được gọi là σ - đại số.

Định nghĩa 2.4 (Định nghĩa theo tiên đề). Ta gọi xác suất trên (Ω, F ) là một hàmsố P xác định trên F có giá trị trong [0, 1] và thỏa mãn 3 tiên đề sau:

i. P (Ω) = 1.

ii. P (A) > 0, A ∈ F .

iii. Nếu Ai ∈ F , i = 1, 2, . . . , Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j,∞∑i=1

Ai ∈ F thì

P

( ∞∑

i=1

Ai

)=

∞∑

i=1

P (Ai).

Tính chất 2.5 (Tính chất của xác suất). Xác suất của biến cố có các tính chất cơbản sau:

i. 0 ≤ P (A) ≤ 1 với mọi biến cố A.

ii. P (∅) = 0, P (Ω) = 1.

iii. Nếu A ⊂ B thì P (A) ≤ P (B).

iv. P (A) + P(A)

= 1.

2.3 Xác suất có điều kiện

Trong mục này chúng ta đi tìm xác suất của một biến cố A ⊂ Ω khi chúng ta biếtbiến cố B đã xảy ra và khái niệm đôc lập của hai biến cố A và B. Trước hết chúng taxét ví dụ sau:

Ví dụ 2.10. Tung một xúc sắc cân và đối đồng chất một lần. Ta có không gian cácbiến cố sơ cấp là

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6khả năng xảy ra các biến cố sơ cấp là như nhau và P (ωi) = 1/6, (i = 1, . . . , 6).


Gọi A : “Xuất hiện mặt 6 chấm”B : “Xuất hiện mặt lớn hơn 4 chấm”

Chúng ta có P (A) = 1/6. Bây giờ chúng ta giả sử xúc sắc đã được tung và biến cốB đã xảy ra. Điều này có nghĩa là kết quả của phép thử này là 5 hoặc 6, do đó xácsuất xảy ra biến cố A khi biết biến cố B đã xảy ra là 1/2.

Định nghĩa 2.6 (Xác suất có điều kiện). Xác suất của biến cố A với điều kiện biếncố B đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện của biến cố A, ký hiệu P (A|B).

Ví dụ 2.11. Một hộp có 5 viên bi trắng và 3 viên bi đen. Lấy lần lượt ra 2 viên bi(lấy không hoàn lại). Tìm xác suất để lần lấy thứ hai được viên bi trắng biết lần lấythứ nhất đã lấy được viên bi trắng.Giải.

Gọi A : “Lần thứ hai lấy được viên bi trắng”B : “Lần thứ nhất lấy được viên bi trắng”

Bài toán yêu cầu tìm P (A|B). Ta thấy lần thứ nhất đã lấy được viên bi trắng (Bđã xảy ra) nên trong hộp còn 7 viên bi trong đó có 4 viên bi trắng và 3 viên bi đen.Do đó

P (A|B) =C1

4

C17

=4

7≈ 0, 5714

Ví dụ 2.12. Giả sử trong 200 người đàn ông có 100 người hút thuốc và 100 ngườiphụ nữ có 20 người hút thuốc.

Gọi A : “Người được chọn là đàn ông”B : “Người được chọn là phụ nữ”C : “Người được chọn hút thuốc”

Chọn ngẫu nhiên một người và người này là phụ nữ thì xác suất người này hútthuốc sẽ là:

P (C|B) =số phụ nữ hút thuốc

số phụ nữ=

số phụ nữ hút thuốc/300

số phụ nữ/300=

P (BC)

P (B)=

20

100

P (C|B) bằng với xác suất chọn được người phụ nữ hút thuốc chia cho xác suất chọnđược người phụ nữ. Ngược lại chọn ngẫu nhiên một người và người này là đàn ông thìxác suất người này hút thuốc sẽ là

P (C|A) =số đàn ông hút thuốc

số đàn ông=

số đàn ông hút thuốc/300

số đàn ông/300=

P (BC)

P (B)=

100

200


P (C|A) bằng với xác suất chọn được người đàn ông hút thuốc chia cho xác suất chọnđược người đàn ông.

Định lý 2.7 (Công thức xác suất có điều kiện). Cho hai biến cố A và B với P (B) > 0.Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra là

P (A|B) =P (AB)

P (B); P (B) > 0 (2.4)

Chứng minh. Giả sử phép thử đồng khả năng có không gian các biến cố sơ cấp Ω và|Ω| = n trong đó có |A| biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A, |B| biến cố sơ cấpthuận lợi cho biến cố B và |AB| biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố AB

Theo định nghĩa cổ điển của xác suất thì

P (AB) =|AB||Ω| , P (B) =

|B||Ω|

Vì biến cố B đã xảy ra, nên “không gian mẫu” bây giờ là B có số phần tử |B| và sốbiến cố sơ cấp thuận lợi cho A là |AB|. Do đó

P (A|B) =|AB||B| =

P (AB)

P (B)

Ví dụ 2.13. Một bộ bài có 52 lá bài. Chọn ngẫu nhiên một lá từ bộ bài và xem, tínhxác suất lấy được lá bài cơ biết rằng lấy được lá bài màu đỏ.

Giải.

Gọi A : “Lá bài lấy được là lá cơ”B : “Lá bài lấy được là lá đỏ”

Xác suất có điều kiện

P (A|B) =P (AB)

P (B)=

13

26= 0, 5

P (A|B) gọi là xác suất lấy được lá bài cơ biết rằng lá bài lấy được là lá đỏ.

Giả sử P (A|B) = P (A), sự xảy ra biến cố B không làm thay đổi “khả năng” xảyra biến cố A thì khi đó ta nói hai biến cố A và B là độc lập. Công thức xác suất cóđiều kiện trong trường hợp này

P (A|B) =P (AB)

P (B)= P (A) (2.5)

hay P (AB) = P (A) P (B).


Định nghĩa 2.8 (Hai biến cố độc lập). Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu

P (AB) = P (A) P (B) (2.6)

Ví dụ 2.14. Tung một lượt một đồng xu và một xúc sắc cân đối.

Gọi A : “Đồng xu sấp”B : “Số chấm xuất hiện trên mặt xúc sắc lớn hơn 4”

Hỏi hai biến cố A và B có độc lập?

Giải. Không gian các biến cố sơ cấp Ω có |Ω| = 12.

Ký hiệu S, N nếu đồng su xuất hiện mặt sấp hay ngửa và 1, 2, . . . , 6 chỉ số chấmxuất hiện trên mặt xúc sắc. Biến cố A được biểu diễn như sau:

A = S1, S2, S3, S4, S5, S6 ; |A| = 6

và biến cố B

B = S5, S6, N5, N6 ; |B| = 4

ta suy ra đượcAB = S5, S6 ; |AB| = 2

Trước hết ta tínhP (AB) =

|AB||Ω| =

2

12=

1

6(2.7)

và tích xác suấtP (A) P (B) =

6

12· 4

12=

1

6(2.8)

Từ (2.7) và (2.8) ta suy ra hai biến cố A và B độc lập.

Mệnh đề 2.9. Nếu hai biến cố A và B độc lập thì các cặp biến cố A, B; A, B; A, B

là đôc lập

Chứng minh. Chứng minh A và B độc lập, thật vậy vì

P(AB)

= P (A) − P (AB)

= P (A) − P (A) P (B)

= P (A) P [1 − P (B)]

= P (A) P(B)

Các cặp biến cố còn lại chứng minh tương tự.

2.4 Các công thức tính xác suất 19

Định nghĩa 2.10 (Ba biến cố độc lập). Ba biến có A, B và C gọi là độc lập với nhaunếu chúng độc lập từng đôi và P (ABC) = P (A) P (B) P (C) nghĩa là ba biến cố A, B

và C thỏa bốn đẳng thức sau:

P (AB) = P (A) P (B)

P (AC) = P (A) P (C)

P (BC) = P (B) P (C)

P (ABC) = P (A) P (B) P (C)

Định nghĩa 2.11 (n biến cố độc lập). Các biến cố A1, . . . , An gọi là độc lập với nhaunếu các biến cố A1, . . . , An thỏa các đẳng thức nhân sau:

P (AiAj) = P (Ai) P (Aj)

P (AiAjAk) = P (Ai) P (Aj) P (Ak)

P (A1A2 . . . An) = P (A1) P (A2) · · ·P (An)

với mọi tổ hợp chập hai (i, j), chập ba (i, j, k) , . . . của n chỉ số.

2.4 Các công thức tính xác suất

2.4.1 Công thức cộng

a. Cộng hai biến cố: Cho hai biến cố A và B, xác suất ít nhất một trong hai biếncố xảy ra là

P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB) (2.9)

Chứng minh. Công thức này dễ dàng chứng minh bằng dùng biểu đồ Venn

|A| = |A \ B| + |AB||B| = |B \ A| + |AB|

|A + B| = |A \ B| + |B \ A| + |AB|

Từ đó ta có |A + B| = |A| + |B| − |AB| nên suy ra

P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB)

Chú ý. Khi hai biến cố A và B xung khắc nghĩa là AB = ∅ thì

P (A + B) = P (A) + P (B)

Ví dụ 2.15. Một lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 40 sinh viên giỏi toán, 50 sinhviên giỏi văn, 20 sinh viên giỏi cả toán lẫn văn. Sinh viên nào giỏi ít nhất một trong 2môn này sẽ được thưởng. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên trong lớp. Tìm xác suất đểsinh viên đó được thưởng?


Giải.

Gọi T : “Sinh viên được chọn giỏi toán”V : “Sinh viên được chọn giỏi văn”

Thì biến cố A = T + V chính là biến cố sinh viên được chọn giỏi ít nhất một tronghai môn toán và văn. theo công thức cộng (2.9) ta có

P (A) = P (T + V ) = P (T ) + P (V ) − P (TV )

=40

100+

50

100− 20

100=

7

10

b. Cộng ba biến cố: Cho ba biến cố A, C và B, xác suất ít nhất một trong ba biếncố xảy ra là

P (A + B + C) = P (A)+P (B)+P (C)−P (AB)−P (AC)−P (BC)+P (ABC) (2.10)

Chứng minh. Vì tổng các biến cố có tính kết hợp cho nên

P (A + B + C) = P ((A + B) + C)

= P (A + B) + P (C) − P ((A + B) C)

= P (A) + P (B) − P (AB) + P (BC) − P (AC + BC)

= P (A) + P (B) + P (C) − P (AB) − P (AC) − P (BC) + P (ABC)

Chú ý. Khi ba biến cố A, B và C xung khắc nhau từng đôi thì

P (A + B + C) = P (A) + P (B) + P (C)

c. Công thức cộng tổng quát: Cho hệ các biến cố Ai, (i = 1, . . . , n) xác suất ítnhất một trong n biến cố xảy ra là

P (A1 + · · ·+ An) =

n∑

i=1

P (Ai) −∑

i<j

P (AiAj) +∑

i<j<k

P (AiAjAk) + · · ·+

(−1)n−1P (A1A2 . . . An) (2.11)

2.4.2 Công thức nhân xác suất

Định lý 2.12 (Công thức nhân). Cho hai biến cố A và B. Khi biến cố A đã xảy ra,nghĩa là (P (A) > 0) thì

P (AB) = P (A) P (B|A) (2.12)

và khi biến cố B đã xảy ra (nghĩa là P (B) > 0 ) thì

P (AB) = P (B) P (A|B) (2.13)


Chứng minh. Các công thức này được suy ra từ công thức (2.4).

Chú ý. Từ định nghĩa (2.8), khi hai biến cố A và B độc lập thì P (AB) = P (A) P (B).Định lý sau là mở rộng công thức nhân cho họ n biến cố.

Định lý 2.13 (Công thức nhân của họ n biến cố). Cho Ai, (i = 1, . . . , n) là họ n biếncố sao cho P (A1A2 . . . An−1) > 0, khi đó:

P (A1A2 . . . An) = P (A1) P (A2|A1) P (A3|A1A2) . . . P (An|A1A2 . . . An−1) (2.14)

Chứng minh. Định lý (2.13) được chứng minh bằng quy nạp dựa vào định lý (2.12)

2.4.3 Công thức xác suất đầy đủ

Định nghĩa 2.14 (Hệ đầy đủ các biến cố). Hệ các biến cố Ai, (i = 1, . . . , n) gọi làhệ đầy đủ các biến cố nếu thỏa mãn hai điều sau:

i. Chúng xung khắc từng đôi một nghĩa là AiAj = ∅ với mọi (i 6= j)

ii. A1 + · · ·+ An = Ω

Ví dụ 2.16. Một ví dụ đơn giản về hệ đầy đủ các biến cố là hệ gồm hai biến cố A vàA bởi vì A + A = Ω và AA = ∅

Định lý 2.15 (Công thức xác suất đầy đủ ). Cho Ai, (i = 1, . . . , n) là hệ đầy đủ cácbiến cố với P (Ai) > 0, (i = 1, . . . , n). B là một biến cố nào đó thì

P (B) = P (A1) P (B|A1) + P (A2) P (B|A2) + · · · + P (An) P (B|An) (2.15)

Công thức (2.15) gọi là công thức xác suất đầy đủ.

Chứng minh. Bởi vì Ai, (i = 1, 2, . . . , n) là hệ đầy đủ các biến cố cho nên

Ω = A1 + A2 + · · · + An

B là một biến cố và B ⊂ Ω cho nên

B = A1B + A2B + · · · + AnB

ta nhận thấy AiB ∩ AjB = ∅ với mọi (i 6= j) vì Ai, (i = 1, 2, . . . , n) là hệ đầy đủ cácbiến cố. Do đó

P (B) = P (A1B) + P (A2B) + · · ·+ P (AnB)

và theo công thức (2.4) ta suy ra được

P (B) = P (A1) P (B|A1) + P (A2) P (B|A2) + · · ·+ P (An) P (B|An)


Ví dụ 2.17. Một lô sản phẩm gồm hai loại và do hai máy sản xuất ra. Số sản phẩmdo máy I sản xuất là 65% và do nhà máy II sản xuất là 35%. Tỉ lể phế phẩm của máyI là 0, 02 và của máy II là 0, 03. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm, tính xác suất để sảnphẩm chọn được là tốt.

Giải.

Gọi A1 : “Sản phẩm chọn được do máy i”, (i = 1, 2)

B : “Sản phầm chọn được là sản phẩm tốt”

Theo giả thiết P (A1) = 0, 65; P (A2) = 0, 35 và hệ hai biến cố A1 và A2 là hệ đầy đủcác biến cố. Theo công thức xác suất đầy đủ ta có

P (B) = P (A1) P (B|A1) + P (A2) P (B|A2)

= 0, 65 · 0, 98 + 0, 35 · 0, 97 = 0, 9765

2.4.4 Công thức xác suất Bayes

Định lý 2.16 (Công thức xác suất Bayes). Cho Ai, (i = 1, . . . , n) là hệ đầy đủ cácbiến cố với P (Aj) > 0, (j = 1, . . . , n). B là một biến cố nào đó sao cho P (B) > 0.Khi đó với mọi i, (i = 1, . . . , n)

P (Ai|B) =P (Ai) P (B|Ai)

P (B)=

P (Ai) P (B|Ai)n∑

j=1

P (Aj) P (B|Aj)(2.16)

Chứng minh. Theo công thức (2.4) ta có

P (Ai|B) =P (AiB)

P (B)

theo công thức nhân xác suất (2.12) thì

P (AiB) = P (Ai) P (B|Ai)

và cũng từ công thức xác suất đầy đủ (2.15) cho ta

P (B) =n∑

j=1

P (Aj) P (B|Aj)

Từ ba điều trên ta suy ra được công thức Bayes (2.16).

Ví dụ 2.18. Một hộp có 6 bi trắng và 8 bi đen, thực hiện hai lần lấy bi không hoànlại. Lần I lấy 2 bi và lần II lấy 1 bi


a. Tính xác suất lần II lấy được bi trắng.b. Giả sử lần II lấy được bi trắng. Tính xác suất 2 bi lấy lần I là hai bi đen.

Giải.

Gọi A1 : “Hai bi lấy lần I là hai bi trắng”A2 : “Hai bi lấy lần I là hai bi đen”A3 : “Hai bi lấy lần I là một bi đen và một bi trắng”B : “Một bi lấy lần II là bi trắng”

a. Tính xác suất lần II lấy được bi trắng.

Theo giả thiết P (A1) =C2

6

C214

=15

91; P (A2) =

C28

C214

=28

91; P (A3) =

C16 · C1

8

C214

=48

91. Hệ

các biến cố A1, A2 và A3 là hệ đầy đủ các biến cố, theo công thức xác suất đầy đủ tacó

P (B) = P (A1) P (B|A1) + P (A2) P (B|A2) + P (A3) P (B|A3)

=15

91· 4

12+

4

13· 6

12+

48

91· 5

12≈ 0, 4286

với P (B|A1) là xác suất lần 2 lấy được bi trắng biết rằng lần I đã lấy được hai bitrắng. Do lần I đã lấy ra 2 bi trắng nên hộp bây giờ còn 4 bi trắng và 8 bi đen, chonên

P (B|A1) =C1

4

C112

=4

12

Tính tương tự ta được

P (B|A2) =C1

6

C112

=6

12và P (B|A3) =

C15

C112

=5

12

b. Giả sử lần II lấy được một bi trắng, tính xác suất hai bi lấy lần I là hai bi đen.Theo yêu cầu của bài toán ta cần tính P (A2|B), theo công thức xác suất Bayes ta có

P (A2|B) =P (A2) P (B|A2)

P (B)

=

28

91· 6

123

7

=14

39≈ 0, 359.

2.4.5 Cây xác suất

Trong thực tế có những phép thử được thực hiện qua nhiều giai đoạn, cây xác suấtcung cấp cho ta một công cụ thuận lợi cho việc xác định cấu trúc các quan hệ bêntrong của phép thử khi tính xác suất. Cấu trúc của cây được xác định như sau:


a. Vẽ biểu đồ cây xác suất tương ứng với các kết quả của phép thử.b. Gán mỗi nhánh với một xác suất.

Giải.

Gọi A1 : “Hai bi lấy từ hộp I là hai bi trắng”A2 : “Hai bi lấy từ hộp I là hai bi đen”A3 : “Hai bi lấy từ hộp I là một bi đen và một bi trắng”B : “Bốn bi lấy từ hộp II có đúng 3 bi trắng”

Ta có cây xác suất như sau

P (B|A1) =28

55

P (A1) =2

11

P(B|A1

)=

27

55

P (B|A2) =35

99

P (A2) =3

11

P(B|A2

)=

64

99

P (B|A3) =224

495

P (A3) =6

11

P(B|A3

)=

271

495

P (A1) chính là xác suất lấy được 2 bi trắng từ hộp I có 5 bi trắng và 6 bi đen

P (A1) =C2

5C06

C211

=2

11

Xác suất P (B|A1) là xác suất 4 bi lấy lừ hộp II có đúng 3 bi trắng biết rằng trước đóđã bỏ 2 bi trắng từ hộp I sang hộp II, do đó

P (B|A1) =C3

9C13

C412

=28

55

và theo bài tập 2.3 thìP(B|A1

)= 1 − P (B|A1) =

27

55

Xác suất của các biến cố còn lại tính tương tự. Hệ ba biến cố A1, A2 và A3 là hệ đầyđủ.


a. Tính xác suất 4 bi lấy ra từ hộp II có 3 bi trắng. Theo công thức xác suất đầy đủta có

P (B) = P (A1) P (B|A1) + P (A2) P (B|A2) + P (A3) P (B|A3)

=2

11· 28

55+

3

11· 35

99+

6

11· 224

495≈ 0, 4358

b. Giả sử 4 bi lấy ra từ hộp II có 3 bi trắng. Tính xác suất để 2 bi lấy ra từ hộp I có1 bi đen và 1 bi trắng.Áp dụng công thức Bayes ta có

P (A3|B) =P (A3) P (B|A3)

P (B)=

6

11· 224

495791

1815

≈ 0, 5664


Bài tập 2.1. Chứng minh định lý 2.13.

Bài tập 2.2. Chứng minh công thức cộng xác suất (2.11).

Bài tập 2.3. Cho hai biến cố A, B và A là biến cố bù của biến cố A. Chứng minhP (A|B) = 1 − P

(A|B

).

Bài tập 2.4. Cho ba biến cố A, B, C sao cho P (A|C) ≥ P (B|C) và P(A|C

)≥

P(B|C

). Chứng minh P (A) ≥ P (B).

Bài tập 2.5. Cho ba biến cố A, B và C với P (C) > 0, chứng minh

P ([A ∪ B] |C) = P (A|C) + P (B|C) − P (AB|C)

Bài tập 2.6. Cho ba biến cố A, B và C sao cho hai biến cố A và B độc lập: P (ABC) =

0, 04; P (C|AB) = 0, 25 và P (B) = 4P (A). Tính P (A + B).

Bài tập 2.7. Cho ba biến cố A, B và C tùy ý. Chứng minh xác suất có đúng mộtbiến cố xảy ra là

P (A1) + P (A2) + P (A2)

− 2P (A1A2) − 2P (A1A3) − 2P (A2A3)

+ 3P (A1A2A3)

Bài tập 2.8. Có hai hộp đựng bút chì: hộp I có 10 bút màu đỏ và 15 bút màu xanh;hộp có II 8 bút màu đỏ và 9 bút màu xanh. Rút ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một bút,tính xác suất sao cho trong hai bút lấy ra có:


a. Ít nhất một bút màu đỏ.b. Chỉ có một bút màu đỏ.c. Hai bút có màu giống nhau.

Bài tập 2.9. Thang máy của một tòa nhà 7 tầng, xuất phát từ tầng một với 3 ngườikhách. Tính xác suất để:

a. Tất cả cùng ra ở tầng bốn.b. Tất cả cùng ra ở một tầng.c. Mỗi người ra một tầng khác nhau.

Bài tập 2.10. Hai người ném bóng rổ, mỗi người ném 3 quả. Xác suất ném trúng rổcủa họ lần lượt là 0, 7 và 0, 8. Tính xác suất sao cho:

a. Hai người bằng điểm nhau.b. Người thứ nhất hơn điểm người thứ hai.

Bài tập 2.11. Một em bé có ở túi phải 5 viên bi trắng và 3 viên bi đỏ, ở túi trái có6 viên bi trắng và 4 viên bi đỏ. Em đó lấy ngẫu nhiên ở mỗi túi ra 2 viên bi. Tìm xácsuất để 4 viên lấy ra:

a. Cùng màu.b. Có 3 viên bi màu trắng và 1 viên bi màu đỏ.

Bài tập 2.12. Bỏ ngẫu nhiên 3 lá thư vào 3 phong bì đã điền tên và địa chỉ ngườinhận. Tính xác suất để:

a. Cả 3 lá thư đến đúng người nhân.b. Không có lá thư nào đến đúng người nhận.c. Lá thư thứ nhất đến đúng người nhận.d. Có 1 lá thư đến đúng người nhận.

Bài tập 2.13. Bốn sinh viên ôn tập thi học kỳ đến cùng một tầng có 5 phòng học.Giả sử mỗi người vào một phòng bất kỳ. Tìm xác suất để

a. Cả bốn người vào cùng một phòng.b. Bốn người vào bốn phòng khác nhau.

Bài tập 2.14. Một bộ bài có 52 lá bài gồm 4 chất, mỗi chất có 13 quân bài. Từ bộbài rút ngẫu nhiên 6 lá bài. Tính xác suất:

a. Trong 6 lá bài rút ra có con át.


b. Trong 6 lá bài rút ra có đủ đại diện của cả 4 chất.

Bài tập 2.15. Một thủ kho có một chùm chìa khóa gồm 8 chiếc trông giống hệt nhautrong đó chỉ có một chiếc mở được kho. Anh ta thử ngẫu nhiên từng chìa khóa mộtvà chiếc nào được thử thì không thử lại. Tính xác suất anh ta mở được cửa ở lần thửthứ 3.

Bài tập 2.16. Một lớp học có 40 học sinh, trong đó có: 8 học sinh giỏi, 20 học sinhkhá và 12 học sinh trung bình. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh. Tính xác suất để 3 họcsinh được chọn có:

a. Một học sinh trung bình, một học sinh khá và một học sinh giỏi.b. Có ít nhất một học sinh giỏi.

Bài tập 2.17. Một thùng đựng 24 chai bia trong đó có 4 chai bia giả.

a. Lấy ngẫu nhiên từ thùng ra 3 chai. Hãy chỉ ra một hệ đầy đủ các biến cố.b. Lấy hú họa từng chai ra kiểm tra (lấy không hoàn lại) đến khi nào thấy chai bia

giả thì dừng. Tính xác suất để quá trình kiểm tra kết thúc sau lần lấy thứ hai.

Bài tập 2.18. Trong một hộp có 6 bi đen và 4 bi trắng. Rút ngẫu nhiên từ hộp rahai bi. Tính xác suất để được:

a. Hai bi đen.b. Ít nhất một bi đen.c. Bi thứ hai màu đen.

Bài tập 2.19. Hai người hẹn gặp nhau ở một địa điểm xác định vào khoảng từ 7giờ đến 8 giờ. Mỗi người đến điểm hẹn trong khoảng thời gian trên một cách độc lậpvới nhau, chờ trong 20 phút, nếu không thấy người kia sẽ bỏ đi. Tìm xác suất để haingười gặp nhau.

Bài tập 2.20. Một công nhân kỹ thuật đứng 4 máy hoạt động độc lập nhau. Xácsuất để trong khoảng thời gian T các máy không cần người công nhân đến coi lấn lượtlà 0, 8; 0, 9; 0, 85 và 0, 95. Tìm xác suất sao cho trong khoảng thời gian T đó:

a. Không có máy nào cần công nhân đến coi.b. Ít nhất một máy cần công nhân đến coi.

Bài tập 2.21. Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tìm xác suất để:

a. Tổng số nốt xuất hiện trên hai con là 7.b. Tổng số nốt xuất hiện trên hai con là 8.


c. Số nốt xuất hiện trên hai con hơn kém nhau 2.

Bài tập 2.22. Có hai xe chở hàng độc lập về một xí nghiệp, xác suất để hai xe chởhàng về đến xí nghiệp lần lượt là 0, 7 và 0, 6. Tìm xác suất sao cho:

a. Chỉ có một xe chở hàng về tới xí nghiệp.b. Xí nghiệp nhận được hàng.

Bài tập 2.23. Một lô hàng gồm 20 sản phẩm trong đó có 5 phế phẩm. Người ta kiểmtra bằng phương pháp sau: kiểm tra lần lượt 4 sản phẩm (không hoàn lại) nếu có ítnhất 1 trong 4 sản phẩm đó là phế phẩm thì loại lô hàng đó. Tính xác suất để lô hàngđó được nhận.

Bài tập 2.24. Một đợt thi tuyển viên chức có 3 vòng thi: vòng I lấy 80% thí sinh dựthi; vòng II lấy 70% thí sinh đã qua vòng I và vòng III lấy 90% thí sinh đã qua vòngII. Giả sử khả năng trúng tuyển của các thí sinh là như nhau. Tìm xác suất để mộtthí sinh bất kỳ trúng tuyển.

Bài tập 2.25. Một hộp gồm 9 quả bóng, mỗi lần chơi người ta lấy ra 3 quả và khichơi xong lại bỏ vào hộp. Tìm xác suất để sau ba lần lấy bóng ra chơi các bóng đềuđược sử dụng.

Bài tập 2.26. Một hộp gồm có 24 sản phẩm trong đó có 2 sản phẩm loại II. Lấy ngẫunhiên ra từng sản phẩm kiểm tra (lấy không hoàn lại) đến khi nào được sản phẩm loạiII thì dừng lại. Tìm xác suất để quá trình kiểm tra kết thúc sau không quá ba lần lấy.

Bài tập 2.27. Một hộp gồm 4 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh. Hai người lần lượt lấyra từng viên theo phương thức không hoàn lại, người nào lấy được viên bi xanh trướcthì thắng cuộc. Tìm xác suất để người thứ hai thắng cuộc.

Bài tập 2.28. Một hộp đựng 9 quả bóng, mỗi lần chơi người ta lấy ra 3 quả sau khichơi xong người ta trả 2 quả vào hộp. Tìm xác suất để sau ba lần lấy bóng ra chơi tấtcả các quả bóng đều được sử dụng.

Bài tập 2.29. Hai xí nghiệp hoạt động độc lập nhau, khả năng chỉ có một xí nghiệphoàn thành kế hoạch là 0,46. Tìm xác suất hoàn thành kế hoạch của xí nghiệp thứnhất. Biết rằng xác suất hoàn thành kế hoạch của xí nghiệp thứ hai là 0,6.

Bài tập 2.30. Một người say mê sổ số cào, người đó mua liên tiếp từng vé xổ số đếnkhi nào được vé trúng thưởng thì dừng. Tìm xác suất sao cho người đó mua đến véthứ 4 thì dừng biết rằng xác suất trúng thưởng của mỗi lần mua là như nhau và bằng0,01.

Bài tập 2.31. Học kỳ này sinh viên được thi môn lý thuyết xác suất và thống kêtoán 3 lần. Xác suất để một sinh viên thi đỗ ở lần thi thứ nhất là 0,5. Nếu thi trượt


lần thứ nhất thì xác suất thi đỗ lần thứ 2 là 0,7. Còn nếu thi trượt ở cả 2 lần đầu thìxác suất thi đỗ ở lần thứ 3 là 0,9. Tìm xác suất để sinh viên nói trên thi đỗ học kỳnày.

Bài tập 2.32. Một người gọi điện thoại nhưng quên chữ số cuối cùng. Tìm xác suấtđể người đó quay ngẫu nhiên không quá 3 lần thì được số cần gọi.

Bài tập 2.33. Có 3 hộp thuốc: hộp I có 7 ống thuốc tốt 2 ống thuốc xấu; hộp II có4 ống tốt và 1 ống thuốc xấu; hộp III có 3 ống thuốc tốt. Lấy ngẫu nhiên một hộp vàtừ hộp đó rút ngẫu nhiên ra hai ống thuốc.

a. Tìm xác suất để được một ống thuốc tốt và một ống thuốc xấu.b. Khi rút thuốc ống thuốc ra ta thấy hai ống này là hai ống thuốc tốt. Tìm xác

suất để đó là các ống thuốc hộp II.

Bài tập 2.34. Một hộp đựng bi gồm 6 bi trắng và 8 bi đen. Thực hiện hai lần lấy bi,mỗi lần lấy một bi (lấy không hoàn lại). Đặt A1 là biến cố lần 1 lấy được bi trắng vàA2 là biến cố lần 2 lấy được bi trắng.

a. Tính xác suất lần 2 lấy được bi trắng.b. Hai biến cố A1 và A2 có đôc lập nhau không.

Bài tập 2.35. Trên bàn có 5 đồng xu (3 sấp, 2 ngửa). Gieo tiếp lên bàn 2 đồng xu,sau đó khoanh ngẫu nhiên lấy 4 đồng xu.

a. Tính xác suất 4 đồng xu khoanh có đúng 3 đồng xu sấp .b. Giả sử khoanh lấy 4 đồng xu thì được 3 đồng xu xấp. Tính xác suất 2 đồng xu

tung trước đó là 2 đồng xu ngửa.

Bài tập 2.36. Biết rằng một người có nhóm máu AB có thể nhận máu của bất kỳnhóm máu nào. Nếu người đó có nhóm máu còn lại là A, B hoặc O thì chỉ có thể nhậnmáu của người có cùng nhóm máu với mình hoăc nhóm máu O. Cho biết tỉ lệ ngườicó nhóm máu A, B, AB và O tương ứng là 37, 5%; 20, 9%; 7, 9% và 33, 7%. Chọn ngẫunhiên một người cần tiếp máu và một người cho máu. Tính xác suất để sự truyền máuthự hiện được.

Bài tập 2.37. Một địa phương có 45% đàn ông và 55% đàn bà, trong đó 3% tỉ lệ đànông và 2% tỉ lệ đàn bà bị loạn sắc. Chọn ngẫu nhiên một người - trong địa phương đikhám mắt.

a. Tính xác suất để người này bị loạn sắc.b. Nếu người này bị loạn sắc, tính xác suất để người này là đàn ông.


Bài tập 2.38. Một cặp sinh đôi được gọi là thực sự nếu do cùng một trứng sinh ravà trong trường hợp này bao giờ cũng cùng giới tính. Nếu cặp đó do hai trứng sinh rathì xác suất để cặp đó cùng giới tính là 0, 2. Nếu biết một cặp có cùng giới tính thìxác suất để chúng là cặp sinh đôi thực sự sẽ là bao nhiêu, biết rằng xác suất để cặpsinh đôi cùng trứng sinh ra (trên tổng số trẻ sinh đôi) là p.

Bài tập 2.39. Có 6 hộp như nhau đựng cùng một chi tiết máy: trong đó có 2 hộp,mỗi hộp đựng 3 chi tiết xấu và 5 chi tiết tốt do máy I sản xuất; 4 hợp còn lại mỗi hợpđựng 4 chi tiết xấu và 6 chi tiết tốt do máy II sản xuất. Lấy ngẫu nhiên một hợp rồitừ đó lấy ra hai chi tiết máy.

a. Tìm xác suất hai chi tiết máy lấy ra là hai chi tiết tốt.b. Giả sử hai chi tiết máy lấy ra là hai chi tiết tốt. Tính xác suất hai chi tiết này

do máy II sản xuất.

Bài tập 2.40. Một nhà máy sản xuất một chi tiết của máy vi tính có tỷ lệ sản phẩmđạt tiêu chuẩn chất lượng là 85%. Trước khi xuất xưởng người ta dùng một thiết bịkiểm tra để kết luận sản phẩm có đạt yêu cầu chất lượng hay không. Thiết bị này cókhả năng phát hiện đúng sản phẩm đạt tiêu chuẩn với xác suất là 0, 9 và phát hiệnđúng sản phẩm không đạt tiêu chuẩn với xác suất là 0, 95. Tính xác suất để một sảnphẩm được chọn ngẫu nhiên sau khi kiểm tra:

a. Được kết luận là đạt tiêu chuẩn thì lại không đạt tiêu chuẩn.b. Được kết luận đúng với thực chất của nó.c. Được kết luận là đạt tiêu chuẩn.

Chương 3

Biến ngẫu nhiên và phân phối xácsuất của biến ngẫu nhiên

3.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên

Trong chương 2 chúng ta đã đề cặp đến biến cố ngẫu nhiên. Biến cố ngẫu nhiên làđặc trưng định tính của phép thử ngẫu nhiên. Ví dụ, thực hiện phép thử ngẫu nhiênlà tung 2 xúc sắc cân đối và đồng chất, Nếu gọi A là biến cố tổng số chắm xuất hiệntrên hai xúc sắc là 7 thì chúng ta quan tâm đến tính chất của từng kết quả của phépthử sao cho tổng số chấm xuất hiện là 7, các biến cố sơ cấp của A là:

(1, 6); (2, 5); (3, 4); (4, 3); (5, 2); (6, 1)

Ngoài đặc trưng định tính của phép thử ngẫu nhiên còn có đặc trưng định lượng nhờkhái niệm đại lượng ngẫu nhiên. Với ví dụ trên đối với đặc trưng định lượng ta chỉquan tâm đến tổng số chấm là 7 mà ta không quan tâm đến số chấm xuất hiện trêntừng con xúc sắc là bao nhiêu.

Người ta thường dùng các chữ in X, Y, Z, . . . để ký hiệu các biến ngẫu nhiên vàcác chữ thường x, y, z, . . . để chỉ các giá trị của biến ngẫu nhiên. Trong ví dụ sau, mộtphép thử ngẫu nhiên được biểu diễn bởi đặc trưng định tính và định lượng.

Ví dụ 3.1. Bắn 3 viên đạn vào cùng một mục tiêu

Gọi Ai : “Viên thứ i trúng mục tiêu”, (i = 1, 2, 3)

X : Biến ngẫu nhiên số viên trúng mục tiêu

Biến cố có hai viên trúng mục tiêu là

3.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên 32

X = 2︸︷︷︸định lượng

=(A1A2A3); (A1A2A3); (A1, A2, A3)

︸︷︷︸

định tính

Biến ngẫu nhiên X được định nghĩa như là ánh xạ từ không gian các biến cố sơcấp Ω vào R,

X : Ω −→ R

ω 7−→ X = X(ω)

X ∈ I

X

ΩI R

X ∈ I = ω : X(ω) ∈ I = A ⊂ Ω

Hình 3.1: Biến ngẫu nhiên X

Ví dụ 3.2. Thực hiện phép thử gieo đồng thời 3 đồng xu cân đối, trong trường hợpnày chúng ta có các biến cố sơ cấp sau

ω1 = (SSS), ω2 = (SSN), ω3 = (SNN), ω4 = (SNS),ω5 = (NNN), ω6 = (NNS), ω7 = (NSS), ω8 = (NSN).

Nếu gọi biến ngẫu nhiên X là số đồng xu ngửa xuất hiện thì X nhận các giá trị sau

X (ω1) = 0, X (ω2) = 1, X (ω3) = 2, X (ω4) = 1,X (ω5) = 3, X (ω6) = 2, X (ω7) = 1, X (ω8) = 2.

Trong số các biến ngẫu nhiên thường gặp nhất trên thực tế có thể phân thành hailoại: Biến ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu nhiên liên tục.

Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu nó chỉ nhận một số hữu hạn hoặc một sốvô hạn đếm được các giá trị. Ta có thể liệt kê các giá trị của biến ngẫu nhiên rời rạcx1, . . . , xn, . . .

Ta ký hiệu biến ngẫu nhiên X nhận giá trị x là X = x và xác xuất để X nhận giátrị x là P (X = x).

3.2 Phân phối xác suất 33

Ví dụ 3.3. Tung 1 đồng xu cân đối. Gọi X là số chấm xuất hiện thì X có thể nhậncác giá trị 1, 2, 3; 4, 5, 6 và xác suất

P (X = xi) =1

6, xi = 1, 2, . . . , 6

Biến ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếu các giá trị có thể của nó lấp đầy mộtkhoảng trên trục số.

Ví dụ 3.4. Các biến ngẫu nhiên sau là biến ngẫu nhiên liên tục:

• Nhiệt độ không khí ở mỗi thời điểm nào đó.

• Thời gian hoạt động bình thường của một bóng đèn điện tử. . .

3.2 Phân phối xác suất

Định nghĩa 3.1 (Hàm phân phối xác suất). Hàm phân phối xác suất của biến ngẫunhiên X (xác định trên không gian các biến cố sơ cấp Ω) là hàm F (x) được định nghĩa

F (x) = P (X < x) (3.1)

với mọi x ∈ (−∞, +∞).

Tính chất 3.2. Hàm phân phối xác suất F (x) có các tính chất cơ bản sau

i. Hàm phân phối là hàm không giảm.

ii. Liên tục trái, có giới hạn phải tại mọi điểm.

iii. F (−∞) = limx→−∞

F (x) = 0, F (+∞) = limx→+∞

F (x) = 1.

iv. P (x ≤ X < b) = F (b) − F (a) với mọi a, b ∈ R và a ≤ b.

3.2.1 Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị có thể x1, x2, . . . , xn, . . . với xác suấttương ứng là P (X = xi), ta đặt

f(x) =

P (X = x) khi x ∈ x1, . . . , xn, . . .0 khi x /∈ x1, . . . , xn, . . .

gọi là hàm giá trị xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị x, để đơn gia ta gọilà hàm xác suất.


Trong kết quả phép thử ngẫu nhiên, biến ngẫu nhiên rời rạc phải lấy một trongcác giá trị x1, . . . , xn, . . . cho nên hàm phân phối xác suất

F (x) = P (X < x) =∑

xi<x

P (X = xi) =∑

xi<x

f(xi) (3.2)

Tương tự (3.2) ta có

P (X ∈ I) =∑

xi∈I

P (X = xi) =∑

xi∈I

f(xi)

Trường hợp đặc biệt là khi I = (−∞, +∞) thì

P (X ∈ I) = P (−∞ < X < +∞)

=∑

xi

f(xi) = 1

Để mô tả biến ngẫu nhiên X nhận giá trị nào đó với xác suất tương ứng là baonhiên thì người ta dùng bảng phân phối xác suất. Bảng phân phối xác suất có haidòng.

• Dòng thứ nhất là các giá trị có thể của biến ngẫu nhiên X.

• Dòng thứ hai là xác suất biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị tương ứng.

Bảng phân phối có dạng như sau:

X x1 x2 · · · xn · · ·P f(x1) f(x2) · · · f(xn) · · ·

Trong đó f(xi) = P (X = xi) và+∞∑i=1

f(xi) =+∞∑i=1

P (X = xi) = 1.

Ví dụ 3.5. Cho biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất

X 1 2 3 4 5

P 0, 5 0, 1 0, 2 0, 1 0, 1

Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X là

F (x) =∑

xi<x

P (X = xi) =

0 khi x ≤ 1

0, 5 khi 1 < x ≤ 2

0, 6 khi 2 < x ≤ 3

0, 8 khi 3 < x ≤ 4

0, 9 khi 4 < x ≤ 5

1 khi 5 < x


F (x)

x0 1 2 3 4 5 6 7

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Hình 3.2: Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X

Theo tính chất 3.2 ta tính được

P (1 ≤ X < 3, 27) = F (3, 27) − F (1) = 0, 8 − 0 = 0, 8∗

3.2.2 Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục

Ta đã biết biến ngẫu nhiên rời rạc X chỉ nhận một số đếm được các giá trị, bâygiờ ta xét biến ngẫu nhiên X nhận mọi giá trị trong tập số thực I.

Định nghĩa 3.3. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X, hàm số f(x) không âm, xác địnhtrên R và thỏa các tính chất

i.

P (X ∈ I) =

∫

I

f(x)dx, ∀I ⊂ R

ii. ∞∫

−∞

f(x)dx = 1

hàm số f(x) được gọi là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X.

Do định nghĩa 3.1 ta có hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X

F (x) = P (X < x) =

x∫

−∞

f(u)du (3.3)

∗Ta có thể tính trực tiếp từ bảng phân phối xác suất

P (1 ≤ X < 3, 27) = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3)

= 0, 5 + 0, 1 + 0, 2 = 0, 8


Giả sử hàm phân phối xác suất F (x) của biến ngẫu nhiên X khả vi, lấy đạo hàm haivế công thức (3.3) theo x ta được liên hệ giữa hàm mật độ xác suất và hàm phân phốixác suất của biến ngẫu nhiên X

F ′(x) =d

dxF (x) = f(x)

Ví dụ 3.6. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ cho bởi

f(x) =

3

8x2 khi 0 ≤ x ≤ 2

0 nơi khác

Ta tính xác suất

P

(1 < X <

3

2

)=

3/2∫

1

3

8x2dx =

19

64

Về mặt hình học, xác suất trên là phần diện tích gạch chéo ở hình 3.3.

-2 -1 0 1 2 x

0

1

2

Hình 3.3: Hàm mật độ và xác suất

Tính chất 3.4. Nếu biến ngẫu nhiên X là liên tục thì

P (X = a) =

a∫

a

f(x)dx = 0

Từ tính chất 3.4, nếu biến ngẫu nhiên X là liên tục và với mọi a, b ∈ R sao cho a ≤ b

thì

P (b ≤ X < a) = P (b < X < a)

= P (b < X ≤ a)

= P (b ≤ X ≤ a)

= F (b) − F (a)


Ví dụ 3.7. Giả sử biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất

f(x) =

kx3 khi 0 ≤ x ≤ 1

0 nơi khác

với k là hằng số dương. Để f(x) là hàm mật độ xác suất

P (−∞ < X < +∞) =

+∞∫

−∞

f(x)dx = 1

Bời vì f(x) = 0 khi x < 0 và x > 1 cho nên

1∫

0

f(x)dx =

1∫

0

kx3dx =k

4= 1

ta tìm được k = 4. Chúng ta cũng có thể xác định hàm phân phối xác suất bằng cáchlấy tích phân hàm mật độ từ −∞ đến điểm x bất kỳ.

x

f(x)

-2 -1 0 1 2

0

1

2

3

4

x

F (x)

-2 -1 0 1 2 3

0,0

0,5

1,0

Hình 3.4: Hàm mật độ và hàm phân phối của X

• Khi x < 0 thì hàm mật độ xác suất f(x) = 0, hàm phân phối xác suất

F (x) =

x∫

−∞

f(x)dx = 0

3.3 Hàm của một biến ngẫu nhiên 38

• Khi 0 ≤ x ≤ 1 thì hàm mật độ xác suất f(x) = 4x3, hàm phân phối xác suất

F (x) =

x∫

−∞

f(u)du =

0∫

−∞

f(x)dx +

x∫

0

f(u)du

=

x∫

−∞

4u3du = x4

• Khi 1 < x thì hàm mật độ xác suất f(x) = 0, hàm phân phối xác suất

F (x) =

x∫

−∞

f(u)du =

0∫

−∞

f(x)dx +

1∫

0

f(u)du +

x∫

1

f(u)du

=

1∫

0

4u3du = 1

Vậy hàm phân phối xác suất của X là

F (x) =

0 khi x < 0

x4 khi 0 ≤ x ≤ 1

1 khi 1 < x

Hình ?? là đồ thị hàm mật độ và hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X.

3.3 Hàm của một biến ngẫu nhiên

Nếu X là biến ngẫu nhiên đã biết phân phối xác suất thì Y = h(X) cũng là mộtbiến ngẫu nhiên. Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là phân phối của biến ngẫu nhiênY là gì? Bây giờ chúng ta đi khảo sát phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y .

3.3.1 Hàm của biến ngẫu nhiên rời rạc

Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất cho bởi

X x1 x2 · · · xn · · ·P f(x1) f(x2) · · · f(xn) · · ·

thì Y = h(X) cũng là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất


X h(x1) h(x2) · · · h(xn) · · ·P f(x1) f(x2) · · · f(xn) · · ·

Ở đây ta coi các giá trị yi = h(xi), i = 1, 2 . . . khác nhau từng đôi một, nếu trái lạinghĩa là tồn tại cặp xi 6= xj , i 6= j sao cho yi = yj thì ta đồng nhất hai vị trí này vàthay tương ứng xác suất f(xi), f(xj) bởi f(xi) + f(xj).

Ví dụ 3.8. Biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất

X −1 0 1 2

P 0, 1 0, 3 0, 4 0, 2

Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y = X2

X2 0 1 4P 0, 3 0, 5 0, 2

3.3.2 Hàm của biến ngẫu nhiên liên tục

Giả sử biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ là f(x) và biến ngẫu nhiênY = h(X). Với mọi số thực y, hàm phân phốixác suất G(y) của biến ngẫu nhiên Y

được xác định bởi

G(y) = P (Y < y) = P (h(X) < y)

=

∫

x:h(X)<y

f(x)dx

Nếu biến ngẫu nhiên Y cũng là biến ngẫu nhiên liên tục và hàm phân phối xác suấtG(y) khả vi thì hàm mật độ xác suất g(x) của Y sẽ là

g(y) =d

dyG(y) = G′(y)

Ví dụ 3.9. Tìm hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên Y = X2 khi X có phânphối đều trên khoảng (−1, 1) với hàm mật độ xác suất

f(x) =

1

2khi x ∈ (−1, 1)

0 nơi khác

Bởi vì Y = X2 cho nên 0 ≤ Y < 1. Vậy miền giá trị y của biến ngẫu nhiên Y là0 ≤ y < 1.


Hàm phân phối xác suất G(y) của Y

G(y) = P (Y < y) = P(X2 < y

)

= P (−√y < X <

√y)

=

√y∫

−√y

f(x)dx =√

y

Với mọi 0 < y < 1 thì hàm mật độ xác suất g(y) của Y là

g(y) =d

dyG(y) =

1

2√

y

Định lý sau cho ta công thức để xác định trực tiếp hàm mật độ của biến ngẫunhiên Y = h(X) khi y = h(x) khả vi và đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm.

Định lý 3.5. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất f(x) với

P (a < X < b) = 1

Đặt biến ngẫu nhiên Y = h(X), giả sử h(x) là hàm khả vi đơn điệu tăng (hoặc đơnđiệu giảm) với mọi a < x < b. Giả sử a < X < b khi và chỉ khi a′ < Y < b′, và đặtX = h−1(Y ) là hàm số ngược xác định với mọi a′ < Y < b′. Hàm mật độ xác suất củabiến ngẫu nhiên Y có dạng

g(y) =

f (h−1(y))

∣∣∣∣d

dyh−1(y)

∣∣∣∣ khi a′ < y < b′

0 nơi khác(3.4)

Chứng minh. Vì hàm số Y = h(X) là hàm đơn điệu (tăng hoặc giảm) trên a < X < b

cho nên luôn tồn lại hàm số ngược h−1(Y ) xác định trên a′ < Y < b′ cũng là hàm khảvi đơn điệu (tăng hoặc giảm). Bây giờ chúng ta chia ra hai trường hợp như sau

a. Khi Y = h(X) đơn điệu tăng trên a < X < b.Đặt G(y) là hàm phân phối xác suất của Y khi đó

G(y) = P (Y < y) = P (h(X) < y) = P(X < h−1(y)

)= F

(h−1(y)

)

Vì h−1(y) khả vi cho nên hàm mật độ xác suất g(y) của Y được xác định bời quan hệ

g(y) =d

dyG(y) =

d

dyF(h−1(y)

)= f

(h−1(y)

) d

dyh−1(y)

= f(h−1(y)

) ∣∣∣∣d

dyh−1(y)

∣∣∣∣ (3.5)

Bởi vì h−1(y) là hàm khả vi và đơn điệu tăng cho nên dh−1(y)/dy > 0

3.4 Đặc trưng của biến ngẫu nhiên 41

b. Chứng minh tương tự khi Y = h(X) đơn điệu giảm trên a < X < b.

G(y) == P (h(X) > y) = P(X < h−1(y)

)= 1 − F

(h−1(y)

)

Vì h−1(y) khả vi cho nên hàm mật độ g(y) của Y được xác định bời quan hệ

g(y) =d

dyG(y) = −f

(h−1(y)

) d

dyh−1(y)

= f(h−1(y)

) ∣∣∣∣d

dyh−1(y)

∣∣∣∣ (3.6)

Bởi vì h−1(y) là hàm khả vi và đơn điệu giảm cho nên dh−1(y)/dy < 0. Từ (3.5) và(3.6) ta có được điều cần chứng minh.

Ví dụ 3.10. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất cho như sau

f(x) =

3x2 khi 0 < x < 1

0 nơi khác

Chúng ta sẽ xác định hàm mật độ của biến ngẫu nhiên Y = 1−X2. Trong ví dụ này,P (0 < X < 1) = 1 và Y là hàm khả vi, đơn điệu giảm theo biến X với mọi 0 < X < 1.X nhận giá trị trong khoảng (0, 1), cho nên Y sẽ nhận giá trị trong khoảng (0, 1).Hơn nữa, với mọi Y trong khoảng (0, 1), hàm ngược là X =

√1 − Y . Do đó với mọi

0 < y < 1d

dyh−1(x) = − 1

2√

1 − y

Theo biểu thức (3.5), hàm mật độ g(y) của biến ngẫu nhiên Y sẽ là

g(y) = 3(1 − y)1

2√

1 − y=

3

2

√1 − y, 0 < y < 1

và g(y) = 0 với mọi y không thuộc (0, 1) .

3.4 Đặc trưng của biến ngẫu nhiên

3.4.1 Kỳ vọng - Expectation

Định nghĩa 3.6 (Kỳ vọng biến ngẫu nhiên rời rạc). Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạcX có bảng phân phối xác suất

X x1 x2 · · · xn · · ·P f(x1) f(x2) · · · f(xn) · · ·


Kỳ vọng của X, ký hiệu E (X), là một số được định nghĩa

E (X) =+∞∑

i=1

xiP (X = xi)

=+∞∑

i=1

xif(xi) (3.7)

Ví dụ 3.11. Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận hai giá trị 0 và 1 có bảng phân phối xácsuất như sau

X 0 1

P1

2

1

2

thì kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X

E (X) = 0 · 1

2+ 1 · 1

2=

1

2

Ví dụ 3.12. Tung một con xúc sắc cân đối, gọi X là số chấm trên mặt xuất hiện thìbảng phân phối xác suất của X là

X 1 2 3 4 5 6P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Ta có kỳ vọng

E (X) = 1 · 1

6+ 2 · 1

6+ 3 · 1

6+ 4 · 1

6+ 5 · 1

6+ 6 · 1

6=

7

2

Ta thấy rằng biến ngẫu nhiên X có thể không nhận giá trị kỳ vọng.(Bởi vì xúc sắckhông có mặt 7/2 chấm).

Ví dụ 3.13. Tiến hành n phép thử, giả sử X là biến ngẫu nhiên nhận các giá trị cóthể x1, . . . , xk với số lần (tần số) n1, . . . , xk. Giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên X

trong n phép thử là

x =x1n1 + · · ·+ xknk

n=

n1

nx1 + · · ·+ nk

nxk

= f1x1 + · · ·+ fkxk

với fi =ni

n, (i = 1, . . . , k) là tần suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị xi.Theo định

nghĩa xác suất theo thống kê ta có limn→+∞

fi = f(xi). Vì vậy với n lớn

x ≈ f(x1)x1 + · · · + f(xk)xk = E (X)

Do đó có thể nói kỳ vọng của biến ngẫu nhiên chính là giá trị trung bình theo xácsuất của biến ngẫu nhiên. Nó phản ánh giá trị trung tâm của phân phối xác suất.


Định nghĩa 3.7 (Kỳ vọng biến ngẫu nhiên liên tục). Giả sử biến ngẫu nhiên liên tụcX có hàm mật độ xác suất f(x), kỳ vọng của X là

E (X) =

+∞∫

−∞

xf(x)dx (3.8)

Ví dụ 3.14. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ

f(x) =

2x khi 0 < x < 1

0 nơi khác

thì kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X

E (X) =

1∫

0

x(2x)dx =

1∫

0

2x2dx =2

3

Sau đây là một số tính chất của kỳ vọng

Tính chất 3.8 (Tính chất kỳ vọng). Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên bất kỳ vàC ∈ R thì kỳ vọng của biến ngẫu nhiên có các tính chất sau

i. E(C) = C.

ii. E(CX) = CE(X).

iii. E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).

iv. Nếu hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập thì E(XY ) = E(X)E(Y )†.

Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất f(x), kỳ vọng của hàm của biếnngẫu nhiên h(X) có thể được xác định bằng cách: Đặt Y = h(X); xác định hàm mậtđộ xác suất g(y) của Y ; và xác định kỳ vọng theo công thức (3.7) hoặc (3.8). Ví dụ,giả sử Y có phân phối liên tục với hàm mật độ g(y). Thì

E (h(X)) = E (Y ) =

∞∫

−∞

yg(y)dx

Tuy nhiên, để tính kỳ vọng E (h(X)) không cần thiết phải tìm hàm mật độ của biếnngẫu nhiên h(X) mà chúng ta có thể tính E (h(X)) trực tiếp bằng mệnh đề 3.9

Mệnh đề 3.9 (Kỳ vọng của hàm của biến ngẫu nhiên). Cho g là hàm số thực bấtkỳ

†Xem bài tập 4.10


i. Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất cho bởi

X x1 x2 · · · xn · · ·P p1 p2 · · · pn · · ·

kỳ vọng

E (g(X)) =∑

xi

g(xi)pi

ii. Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f(x) thì kỳ vọng

E (g(x)) =

∞∫

−∞

g(x)f(x)dx

Ví dụ 3.15. Biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất cho bởi

X 1 2 3

P 0, 2 0, 5 0, 3

Giá trịE(X2)

= (12)(0, 2) + (22)(0, 5) + (32)(0, 3) = 2, 1

Chính là kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X2.

Ví dụ 3.16. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ

f(x) =

2x khi 0 < x < 1

0 nơi khác

thì

E(X2)

=

1∫

0

(x2)(2x) dx =

1

2

là kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X2.

Chú ý. Người ta thường ký hiệu kỳ vọng là µ, µ = E (X) .

3.4.2 Phương sai

Định nghĩa 3.10 (Phương sai - Variance). Nếu biến ngẫu nhiên X có kỳ vọng E (X)

thì phương sai, ký hiệu Var (X), được định nghĩa

Var (X) = E (X − E (X))2 (3.9)


Ví dụ 3.17. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất

X 1 2 3

P 0, 3 0, 5 0, 2

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X

E (X) = 1 · 0, 3 + 2 · 0, 5 + 3 · 0, 2 = 2, 3

và phương sai

Var (X) = E (X − E (X))2 =

3∑

i=1

(xi − E (X))2 f(xi)

= (1 − 2, 3)2 · 0, 3 + (2 − 2, 3)2 · 0, 5 + (3 − 2, 3)2 · 0, 2 = 2, 01

Ví dụ 3.18. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất

f(x) =

2x khi 0 < x < 1

0 nơi khác

Theo ví dụ 3.14 thì kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X là E (X) =2

3. Phương sai của

biến ngẫu nhiên X là

Var (X) =

1∫

0

(x − 2

3

)2

(2x) dx =1

18

Từ định nghĩa, ta thấy phương sai là giá trị kỳ vọng của bình phương độ lệch củaX so với kỳ vọng (giá trị trung bình) của nó. Nói nôm na, phương sai là “trung bìnhcủa bình phương sai lệch so với kỳ vọng (trung bình)”. Do đó, nó còn được là giá trịtrung bình của bình phương độ lệch. Công thức (3.9) tương đương với

Var (X) ‡ = E(X2)− E (X)2 (3.10)

Tính chất 3.11 (Tính chất phương sai). Cho hai biến ngẫu nhiên X, Y và hằng sốthực C ∈ R, phương sai có các tính chất sau

i. Var (C) = 0.

ii. Var (CX) = C2Var (X).

iii. Nếu X và Y độc lập thì Var (X + Y ) § = Var (X) + Var (Y ).

‡Xem bài tập 3.3§Xem thêm mục 4.7


Chú ý. Người ta thường ký hiệu phương sai là σ2, σ2 = Var (X) .

Đơn vị đo của phương sai bằng bình phương đơn vị đo của biến ngẫu nhiên. Khicần đánh giá mức độ phân tán các giá trị của biến ngẫu nhiên theo đơn vị đo của nó,người ta dùng một đặc trưng mới đó là độ lệch tiêu chuẩn.

Định nghĩa 3.12 (Độ lệch tiêu chuẩn). Độ lệch tiêu chuẩn của biến ngẫu nhiên X

bằng căn bậc hai phương sai của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu

σ =√

Var (X)

Ví dụ 3.19. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất

f(x) =

4

81x3 khi 0 < x < 3

0 nơi khác

Ta có kỳ vọng

E (X) =

3∫

0

x

(4

81x3

)dx = 2, 4

và

E(X2)

=

3∫

0

x2

(4

81x3

)dx = 6

Vậy phương sai

Var (X) = E(X2)− (EX)2 = 6 − (2, 4)2 = 0, 24

và độ lệch tiêu chuẩn σ =√

Var (X) ≈ 0, 4899

3.4.3 Mod

Định nghĩa 3.13 (Mod). Mod của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu Mod(X), là giá trịmà biến biến ngẫu nhiên X nhận được với xác suất lớn nhất.

Từ định nghĩa, nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất

X x1 x2 · · · xn · · ·P p1 p2 · · · pn · · ·

thìMod(X) = xi ⇔ pi = P (X = x1) = max p1, p2 . . .

còn nếu X có phân phối liên tục với hàm mật độ xác suất f(x) thì

Mod(X) = x0 ⇔ x0 = max f(x) , ∀x ∈ R


Ví dụ 3.20. Tìm Mod của biến ngẫu nhiên X có phân phối rời rạc với bảng phânphối xác suất

X 1 2 3 4 5

P 0, 3 0, 25 0, 18 0, 14 0, 13

Thì dễ dàng nhận thấy, Mod(X) = 1.

Ví dụ 3.21. Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất

f(x) =

3

4x(2 − x) khi 0 ≤ x ≤ 2

0 nơi khác

Hàm mật độ xác suất f(x) có đạo hàm

f(x)′ =

3

2(1 − x) khi 0 ≤ x ≤ 2

0 nơi khác

đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm 1, do đó f(x) đạt cực đại tại x0 = 1.Vậy Mod(X) = 1.

3.4.4 Trung vị - Median

Định nghĩa 3.14 (Trung vị). Cho biến ngẫu nhiên X bất kỳ, trung vị của X, ký hiệuMed(X), là giá trị m của biến ngẫu nhiên X sao cho

P (X ≤ m) ≥ 1

2

P (X ≥ m) ≥ 1

2

ta viết Med(X) = m.

Khi X là biến ngẫu nhiên có phân phối liên tục thì phân vị của X, Med(X) chínhlà điểm chia phân phối xác suất thành hai phần bằng nhau nghĩa là

P (X ≥ Med(X)) = P (X ≤ Med(X))

Ví dụ 3.22 (Trung vị phân phối rời rạc). Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảngphân phối xác suất như sau

X 1 2 3 4

P 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4


Trung vị, Med(X) = 3 bởi vì

P (X ≤ 3) = 0, 6 ≥ 1

2

P (X ≥ 3) = 0, 7 ≥ 1

2

Hơn nữa, m = 3 là trung vị duy nhất của biến ngẫu nhiên X.

Ví dụ 3.23 (Trung vị phân phối rời rạc cho trường hợp không duy nhất). Giả sử biếnngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất như sau

X 1 2 3 4

P 0, 1 0, 4 0, 3 0, 2

Ở đây

P (X ≤ 2) =1

2

P (X ≥ 3) =1

2

Do đó, với mọi m, 2 ≤ m ≤ 3 sẽ là trung vị của biến ngẫu nhiên X.

Ví dụ 3.24 (Trung vị phân phối liên tục). Giả sử biến ngẫu nhiên liên tục X có hàmmật độ xác suất cho bởi

f(x) =

4x3 khi 0 < x < 1

0 nơi khác

Trung vị của biến ngẫu nhiên X là Med(X) = m vớim∫

0

4x3dx =

1∫

m

4x3dx =1

2

Vậy trung vị Med(X) =14√

2.

Ví dụ 3.25 (Trung vị phân phối liên tục cho trường hợp không duy nhất). Giả sửbiến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất cho bởi

f(x) =

1

2khi 0 ≤ x ≤ 1

1 khi 2, 5 ≤ x ≤ 3

0 nơi khác

Trường hợp này với mọi m thuộc đoạn 1 ≤ m ≤ 2, 5 thì

P (X ≤ m) = P (X ≥ m) =1

2

Do đó mọi m, 1 ≤ m ≤ 2, 5 là trung vị của biến ngẫu nhiên X.


3.4.5 Hàm đặc trưng

Hàm đặc trưng là một công cụ giải tích rất quan trọng để nghiên cứu các định lýgiới hạn của lý thuyết xác suất. Mục này trình bày một số tính chất cơ bản của hàmđặc trưng, các mối quan hệ giữa hàm phân phối xác suất và hàm đặc trưng và dùngđạo hàm của hàm đặc trưng để tính monen bậc k của biến ngẫu nhiên.

Định nghĩa 3.15 (Hàm đặc trưng). Hàm số

ϕ (t) = E(eitX

)= E (cos tX + i sin tX) , t ∈ R (3.11)

được gọi là hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X.

• Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì hàm đặc trưng

ϕ (t) =

+∞∑

k=1

eitxkP (X = xk)

• Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì hàm đặc trưng

ϕ (t) =

+∞∫

−∞

eitxf(x)dx

Ví dụ 3.26. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân phối Poisson(λ), biến ngẫu

nhiên X nhận giá trị nguyên dương k, (k = 0, 1, . . .) với P (X = k) =λke−k

k!. Tìm hàm

đặc trưng ϕ(t) của X.

Giải. Theo định nghĩa hàm đặc trưng thì

ϕ(t) =

∞∑

k=0

eitkP (X = k) =

∞∑

k=0

eitk λke−λ

k!

=

∞∑

k=0

(λeit)ke−λ

k!= e−λeλeit = eλ(eit−1)

Sau đây là một số tính chất quan trọng của hàm đặc trưng, ta thừa nhận các tínhchất này không chứng minh.

Tính chất 3.16. Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X xác định duy nhất hàm mậtđộ xác suất . Nói cách khác hai biến ngẫu nhiên có chung hàm đặc trưng thì chúng sẽcó chung hàm mật độ.


Tính chất 3.17. Nếu hàm đặc trưng ϕ(t) của biến ngẫu nhiên liên tục X là giới hạncủa dãy hàm ϕn(t) của biến ngẫu nhiên Xn thì hàm phân phối xác suất F (x) của X

là giới hạn của dãy hàm phân phối xác suất Fn(x) tại mọi điểm liên tục của F (x).

Tầm quan trọng của tính chất 3.17 là trong nhiều trường hợp, việc chuyển qua giớihạn ở dãy hàm đặc trưng được thực hiện dễ hơn ở dãy hàm phân phối, do đó thaycho việc tìm giới hạn của dãy hàm phân phối ta tìm giới hạn của dãy hàm đặc trưngtương ứng, theo tính chất 3.16 thì giới hạn đó sẽ xác định duy nhất hàm phân phốigiới hạn cần tìm.

Tính chất 3.18. Hàm đặc trưng của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập bằng tích cáchàm đặc trưng của mỗi thành phần.

Tính chất 3.19. Nếu biến ngẫu nhiên X có momen cấp k hữu hạn và hàm đặc trưnglà ϕ(t) thì

ϕk(0) = inE(Xk)

(3.12)

với ϕk(0) là đạo hàm cấp k của hàm đặc trưng tại t = 0.


Bài tập 3.1. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất cho bởi bảng(3.5)

X −2 −1 0 1 2

P 1/8 2/8 2/8 2/8 1/8

Bảng 3.5:

a. Tìm hàm phân phối xác suất F (x).b. Tính P (−1 ≤ X ≤ 1) và P

(X ≤ −1 hoặc X = 2

).

c. Lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y = X2.

Bài tập 3.2. Biến ngẫu nhiên rời rạc X có hàm xác suất cho bởi

f(x) =2x + 1

25, x = 0, 1, 2, 3, 4

a. Lập bảng phân phối xác suất của X.b. Tính P (2 ≤ X < 4) và P (X > −10).


Bài tập 3.3. Chứng minh công thức tính phương sai (3.10).

Bài tập 3.4. Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f(x) cho như sau

f(x) =

kx(2 − x) khi 1 < x < 2

0 nơi khác

a. Xác định giá trị của k để f(x) là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X. Với k vừatìm được tính kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên X.

b. Tìm hàm phân phối F (x) của biến ngẫu nhiên X.c. Tìm hàm phân phối G(y) của biến ngẫu nhiên Y = X3.

Bài tập 3.5. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ

f(x) =

e−x khi x > 0

0 khi x ≤ 0

a. Tính P (3 ≤ X).b. Tìm giá trị của a sao cho P (X ≤ a) = 0, 1.c. Xác định hàm phân phối và mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên Y =

√X.

Bài tập 3.6. Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ

f(x) =

a exp

(−x

2

)khi x ≥ 0

0 nơi khác

Xác định:

a. Hằng số a.b. Hàm phân phối xác suất F (x)

c. Kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên X.d. Kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên Y = (X/2) − 1.

Bài tập 3.7. Chứng minh rằng không có hằng số k nào để hàm

f(x) =

k

xkhi 0 < x < 1

0 nơi khác

là hàm mật độ xác suất.



f(x) =

1

2x khi 0 < x < 2

0 nơi khác

Tìm hàm phân phối và hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên

a. Y = X(2 − X).b. Y = 4 − X3.c. Y = 3X + 2.

Bài tập 3.9. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất

f(x) =

3

4x(2 − x) khi 0 ≤ x ≤ 2

0 nơi khác

a. Xác định hàm phân phối xác suất F (x) của biến ngẫu nhiên X.b. Tính E(X), Var (X) và trung vị của biến ngẫu nhiên X.c. Đặt Y =

√X, xác định hàm phân phối và hàm mật độ xác suất của biến ngẫu

nhiên Y .

Bài tập 3.10. Tuổi thọ của một loại côn trùng nào đó là một biến ngẫu nhiên liêntục X (đơn vị tháng) có hàm mật độ

f(x) =

kx2(4 − x) khi 0 ≤ x ≤ 4

0 nơi khác

a. Tìm hằng số k.b. Tìm F (x).c. Tìm E (X), Var (X) và Mod(X).d. Tính xác suất để côn trùng chết trước một tháng tuổi.


f(x) =

kx2e−2x khi x ≥ 0

0 nơi khác

a. Tìm hằng số k.b. Tìm hàm phân phối xác suất F (x).c. Tìm E (X), Var (X) và Mod(X).

Chương 4

Véctơ ngẫu nhiên

4.1 Khái niệm véctơ ngẫu nhiên

Từ trước đến giờ ta chỉ xét các biến ngẫu nhiên một chiều, nhưng trong thực tếđể mô tả kết quả của một thí nghiệm cần đồng thời hai hoặc nhiều hơn hai biến ngẫunhiên. Ví dụ, nghiên cứu đặc tính chiều cao và cân nặng của phụ nữ Việt Nam, nghiêncứu nhiệt độ và áp suất trong một thí nghiệm vật lý và nghiên cứu nhiệt độ ở cáctháng trong năm của một vùng nào đó. Trong những trường hợp này, đồng thời haihoặc nhiều hơn hai biến ngẫu nhiên được xét đến. Một bộ có thứ tự gồm hai hoặcnhiều hơn hai biến ngẫu nhiên được gọi là véctơ ngẫu nhiên.

Một bộ có thứ tự n biến ngẫu nhiên (X1, . . . , Xn) gọi là một véctơ ngẫu nhiênn chiều. Trong tài liệu này véctơ ngẫu nhiên hai chiều thường được ký hiệu (X, Y ).Véctơ ngẫu nhiên n chiều là liên tục hay rời rạc nếu các biến ngẫu nhiên thành phầnlà liên tục hay rời rạc.

Ví dụ 4.1. Một nhà máy sản xuất một loại sản phẩm, nếu kích thước của sản phẩmđược đo bằng chiều dài X và chiều rộng Y thì ta có véctơ ngẫu nhiên hai chiều, cònnếu xét thêm cả chiều cao Z nữa thì ta có véctơ ngẫu nhiên ba chiều. Nếu ta chỉquan tâm đến trọng lượng và thể tích của sản phẩm ta cũng được biến ngẫu nhiên haichiều.

4.2 Hàm phân phối của véctơ ngẫu nhiên hai chiều

Định nghĩa 4.1 (Hàm phân phối đồng thời). Hàm phân phối xác suất đồng thời củavéctơ ngẫu nhiên (X, Y ) là hàm hai biến F (x, y) được định nghĩa

F (x, y) = P (X < x, Y < y) với mọi −∞ < x, y < ∞ (4.1)

4.3 Véctơ ngẫu nhiên rời rạc hai chiều 54

Hàm phân phối xác suất đồng thời F (x, y) của véctơ ngẫu nhiên (X, Y ) có các tínhchất cơ bản sau:

Tính chất 4.2. Véctơ ngẫu nhiên (X, Y ) có hàm phân phối đồng thời F (x, y). Hàmphân phối lề của biến ngẫu nhiên X (hay hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X) chobởi

FX(x) = P (X < x) = F (x, +∞) = limy→+∞

F (x, y) (4.2)

Tính chất 4.3. Hàm phân phối lề của biến ngẫu nhiên Y (hay hàm phân phối củabiến ngẫu nhiên Y ) cho bởi

FY (y) = P (Y < y) = F (+∞, y) = limx→+∞

F (x, y) (4.3)

Tính chất 4.4. Nếu cả hai biến x, y dần đến +∞ thì hàm F (x, y) dần đến 1 nghĩalà

limx→+∞y→+∞

F (x, y) = 1 (4.4)

Tính chất 4.5. Nếu có ít nhất một biến dần đến −∞ thì hàm phân phối đồng thờiF (x, y) dần đến không, nghĩa là

limx→−∞

F (x, y) = limy→−∞

F (x, y) = limx→−∞y→−∞

F (x, y) = 0 (4.5)

hay gọn hơnF (−∞, y) = F (x,−∞) = F (−∞,−∞) = 0

Tính chất 4.6. Hàm phân phối đồng thời F (x, y) là hàm không giảm theo từng biếnsố, ngĩa là

F (x1, y) ≤ F (x2, y) khi x1 < x2

F (x, y1) ≤ F (x, y2) khi y1 < y2

4.3 Véctơ ngẫu nhiên rời rạc hai chiều

4.3.1 Phân phối đồng thời

Để mô tả véctơ ngẫu nhiên (X, Y ) nhận giá trị nào đó với xác suất tương ứng làbao nhiêu thì người ta sữ dụng bảng phân phối xác suất 4.1

4.3Véctơ

ngẫunhiên

rờirạchaichiều

55

HH

HH

HHH

XY

y1 y2 · · · yj · · · yn Tổng dòng

x1 f(x1, y1) f(x1, y2) · · · f(x1, yj) · · · f(x1, yn) f(x1, •)x2 f(x2, y1) f(x2, y2) · · · f(x2, yj) · · · f(x2, yn) f(x2, •)...

...... · · · ... · · · ...

...xi f(xi, y1) f(xi, y2) · · · f(xi, yj) · · · f(xi, yn) f(xi, •)...

...... · · · ... · · · ...

...xm f(xm, y1) f(xm, y2) · · · f(xm, yj) · · · f(xm, yn) f(xm, •)

Tổng cột f(•, y1) f(•, y2) · · · f(•, yj) · · · f(•, yn) 1Bảng 4.1: Phân phối xác suất đồng thời của (X, Y )


Ví dụ 4.2. Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị 6, 7 và 8. Biến ngẫu nhiên Y

nhận các giá trị 1, 2, 3, 4. Phân phối đồng thời của véctơ ngẫu nhiên (X, Y ) cho bởibảng 4.2

HH

HH

HH

X

Y1 2 3 4

6 0,1 0 0,1 0,0

7 0,3 0,0 0,1 0,2

8 0,0 0,2 0,0 0,0

Bảng 4.2: Phân phối đồng thời của (X,Y )

Ta sẽ xác định giá trị P (X ≥ 7, Y ≥ 2) và P (X = 6). Bằng cách lấy tổng các hàmgiá trị xác suất f(x, y) tương ứng với X ≥ 7 và Y ≥ 2 chúng ta tính được

P (X ≥ 7, Y ≥ 2) = f(7, 2) + f(7, 3) + f(7, 4)

+f(8, 2) + f(8, 3) + f(8, 4)

= 0, 0 + 0, 1 + 0, 2 + 0, 2 + 0, 0 + 0, 0 = 0, 5

Cộng các giá trị xác suất của dòng đầu tiên ta có

P (X = 6) = f(6, 1) + f(6, 2) + f(6, 3) + f(6, 4)

= 0, 1 + 0, 0 + 0, 1 + 0, 0 = 0, 2

4.3.2 Phân phối lề (Véctơ ngẫu nhiên rời rạc)

Nếu biết được phân phối đồng thời của véctơ ngẫu nhiên (X, Y ) ta cũng sẽ xácđịnh được phân phối của biến ngẫu nhiên X hoặc phân phối của biến ngẫu nhiên Y .Phân phối của X hoặc Y còn được gọi là phân phối lề của X hoặc Y .

Phân phối lề của biến ngẫu nhiên X

fX(xi) = f(xi, •) =n∑

j=1

f(xi, yj)

Bảng phân phối của biến ngẫu nhiên X

X x1 x2 · · · xm

PX fX(x1) fX(x3) · · · fX(xm)


Phân phối lề của biến ngẫu nhiên Y

fY (yj) = f(•, yj) =

m∑

i=1

f(xi, yj)

Bảng phân phối của biến ngẫu nhiên Y

Y y1 y2 · · · yn

PY fY (y1) fY (y2) · · · fY (yn)

Ví dụ 4.3. Tung ba đồng xu cân đối I, II, III, gọi X là số mặt ngửa xuất hiện của2 đồng xu I, II và Y là số mặt ngửa xuất hiện của cả 3 đồng tiền I, II, III. Hãy lậpbảng phân phối xác suất đồng thời của véctơ ngẫu nhiên (X, Y ).Giải. Bảng 4.3 cho chúng ta kết quả của việc tung 3 đồng xu và tính các giá trị củaX và Y tương ứng, trong đó N ký hiệu mặt ngửa xuất hiện còn S là mặt sấp. Ta có 8

I II III X Y

N N N 2 3N N S 2 2

N S N 1 2N S S 1 1S N N 1 2S N S 1 1

S S N 0 1S S S 0 0

Bảng 4.3: Kết quả phép thử

kết quả đồng khả năng của việc tung 3 đồng xu, do đó xác suất

P (X = 2, Y = 3) =1

8, P (X = 2, Y = 2) =

1

8, . . .

Tính tương tự cho các xác suất đồng thời còn lại ta có bảng phân phối đồng thời nhưbảng 4.4

Bảng phân phối của biến ngẫu nhiên X

X 0 1 2PX 2/8 4/8 2/8

Bảng phân phối của biến ngẫu nhiên Y

Y 0 1 2 2PY 1/8 3/8 3/8 1/8

4.4 Véctơ ngẫu nhiên liên tục hai chiều 58

HH

HH

HH

X

Y0 1 2 3 Tổng dòng

0 1/8 1/8 0 0 2/81 0 2/8 2/8 0 4/8

2 0 0 1/8 1/8 2/8

Tổng cột 1/8 3/8 3/8 1/8 1

Bảng 4.4: Xác suất đồng thời

4.4 Véctơ ngẫu nhiên liên tục hai chiều

4.4.1 Phân phối đồng thời

Định nghĩa 4.7 (Hàm mật độ đồng thời). Hàm mật độ xác suất đồng thời của véctơngẫu nhiên (X, Y ), ký hiệu f(x, y), là hàm hai biến thỏa các điều kiện

i. f(x, y) ≥ 0 với mọi −∞ < x, y < +∞.

ii.+∞∫−∞

+∞∫−∞

f(x, y)dxdy = 1.

iii. Với mọi tập I ⊂ R2 thì xác suất

P ((X, Y ) ∈ I) =

∫∫

I

f(x, y)dxdy

Cũng giống như trường hợp biến ngẫu nhiên một chiều, ta có quan hệ giữa hàmphân phối xác suất đồng thời F (x, y) và hàm mật độ xác suất đồng thời f(x, y). Xácđịnh F (x, y) khi đã biết f(x, y)

F (x, y) =

x∫

−∞

y∫

−∞

f(u, v)dudv (4.6)

Và khi F (x, y) khả vi theo x và y, hàm mật độ đồng thời

f(x, y) =∂2

∂x∂yF (x, y) (4.7)

Ví dụ 4.4. Giả sử véctơ ngẫu nhiên (X, Y ) có hàm mật độ đồng thời

f(x, y) =

2

75(2x2y + xy2) với 0 ≤ x ≤ 3 và 1 ≤ y ≤ 2

0 nơi khác


Ví dụ này sẽ minh họa cách tính xác suất đồng thời khi biết hàm mật độ. Giả sử tacần tính xác suất.

P

(1 ≤ X ≤ 2,

4

3≤ Y ≤ 5

3

)=

2∫

1

53∫

43

f(x, y)dxdy

=2

75

2∫

1

53∫

43

(2x2y + xy2

)dy

dx

=2

75

2∫

1

(x2 +

61

81x

)dx =

187

2025

Tiếp theo, chúng ta đi tìm hàm phân phối xác suất đồng thời của véctơ ngẫu nhiên(X, Y ), với mọi x ∈ [0, 3] và y ∈ [1, 2], bởi vì f(x, y) = 0 khi x < 0 hay y < 1,

F (x, y) = P (X < x, Y < y) =

x∫

−∞

y∫

−∞

f(u, v)dv

du

=2

75

x∫

0

y∫

1

(2u2v + uv2

)dv

du

=1

225

(2x3y2 − 2x3 + x2y3 − x2

)

Chú ý. Ở trên chúng ta mới chỉ xét trường hợp x ∈ [0, 3] và y ∈ [1, 2].

4.4.2 Phân phối lề (Véctơ ngẫu nhiên liên tục)

Véctơ ngẫu nhiên liên tục (X, Y ) có hàm phân phối xác suất đồng thời F (x, y),hàm phân phối lề của biến ngẫu nhiên X

FX(x) = P (X < x) = P (X < x,−∞ < Y < +∞)

=

x∫

−∞

+∞∫

−∞

f(u, v)dvdu =

x∫

−∞

fX(u)du (4.8)

Trong đó


fX(u) =

+∞∫

−∞

f(u, v)dv (4.9)

gọi là hàm mật độ lề của biến ngẫu nhiên X. Tương tự chúng ta cũng có hàm phânphối xác suất lề của biến ngẫu nhiên Y

FY (y) = P (Y < y) = P (−∞ < X < +∞, Y < y)

=

y∫

−∞

+∞∫

−∞

f(u, v)dudv =

y∫

−∞

fY (v)dv (4.10)

Trong đó

fY (v) =

+∞∫

−∞

f(u, v)du (4.11)

Gọi là hàm mật độ xác suất lề của biến ngẫu nhiên Y .

Tương tự như biến ngẫu nhiên một chiều, ta có quan hệ giữa hàm mật độ xác suấtlề và hàm phân phối xác suất lề của biến ngẫu nhiên X như sau

FX(x) =

x∫

−∞

fX(u)du và f(x) =d

dxF (x)

Quan hệ giữa hàm mật độ xác suất lề và hàm phân phối xác suất lề của biến ngẫunhiên Y

FY (y) =

y∫

−∞

fY (v)dv và f(y) =d

dyF (y)

Ví dụ 4.5. Cho hai biến ngẫu nhiên X và Y có hàm mật độ xác suất đồng như vídụ 4.4. Hàm mật độ lề fX(x) của biến ngẫu nhiên X tính từ hàm mật độ đồng thờif(x, y), theo công thức (4.9)

fX(x) =

+∞∫

−∞

f(x, y)dy

=

2∫

1

2

75

(2x2y + xy2

)dy =

2

225

(7x + 9x2

)

4.5 Phân phối có điều kiện và sự độc lập 61

Tương tự như cách tìm hàm mật độ lề fX(x) của biến ngẫu nhiên X, hàm mật độlề fY (y) của biến ngẫu nhiên Y

fY (y) =

+∞∫

−∞

f(x, y)dx

=

3∫

0

2

75

(2x2y + xy2

)dx =

3

25

(4y + y2

)

Chúng ta cũng có thể tìm được các hàm mật độ lề từ hàm phân phối xác suất đồngthời f(x, y).

4.5 Phân phối có điều kiện và sự độc lập

Hai khái niệm quan trọng đã được trình bày ở mục 2.6 là xác suất có điều kiện vàsự độc lập của hai biến cố. Bây giờ chúng ta đi tìm hiểu phân phối có điều kiện và sựđộc lập của hai biến ngẫu nhiên X và Y .

Định nghĩa 4.8. Hàm phân phối xác suất có điều kiện của biến ngẫu nhiên X khi Y

nhận giá trị y được định nghĩa

FX (x|y) = P (X < x|Y = y) (4.12)

Khi X là biến ngẫu nhiên rời rạc, hàm xác suất có điều kiện của biến ngẫu nhiênX khi biết Y = y cho bởi

fX(x|y) = P (X = x|Y = y) (4.13)

Sữ dụng công thức xác suất có điều kiện (2.4) chúng ta có

fX(x|y) = P (X = x|Y = y) =P(X = x, Y = y)

P (Y = y)

hay

fX(x|y) =f(x, y)

fY (y), nếu fY (y) > 0 (4.14)

Công thức (4.14) cho chúng ta mối quan hệ giữa hàm xác suất có điều kiện fX(x|y)

và hàm xác suất đồng thời f(x, y). Theo công thức (2.5), hai biến ngẫu nhiên X và Y

là độc lập khi và chỉ khi

4.5 Phân phối có điều kiện và sự độc lập 62

fX(x|y) = fX(x) (4.15)

Khi X và Y độc lập, công thức (4.14) trở thành

f(x, y) = fX(x)fY (y) (4.16)

Vậy hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập khi và chỉ khi hàm xác suất đồng thời bằngtích các hàm xác suất lề của X và Y .

Khi X là biến ngẫu nhiên liên tục, hàm mật độ có điều kiện của biến ngẫu nhiênX khi biết Y = y là đạo hàm của hàm phân phối xác suất có điều kiện của biến ngẫunhiên X khi biết Y = y

fX(x|y) =d

dxFX(x|y) (4.17)

Với F (x|y) được định nghĩa như công thức (4.12), xác suất có điều kiện

P (x1 < X ≤ x2|y1 < Y ≤ y2) =P (x1 < X ≤ x2 ∩ y1 < Y ≤ y2)

P (y1 < Y ≤ y2)(4.18)

f(x, y) là hàm mật độ đồng thời của véctơ ngẫu nhiên (X, Y ),

P (x1 < X ≤ x2|y1 < Y ≤ y2) =

y2∫y1

x2∫x1

f(x, y)dxdy

y2∫y1

+∞∫−∞

f(x, y)dxdy

=

y2∫y1

x2∫x1

f(x, y)dxdy

y2∫y1

fY (y)dy

(4.19)

Cho x1 = −∞, x2 = x, y1 = y và y2 = y + ∆y, và lấy giới hạn ∆y → 0, công thức(4.19) sẽ trở thành

FX(x|y) =

x∫−∞

f(u, y)du

fY (y), với fY (y) 6= 0 (4.20)

Công thức (4.17) trở thành

fX(x|y) =d

dxFX(x|y) =

f(x, y)

fY (y), với fY (y) 6= 0 (4.21)

4.6 Kỳ vọng có điều kiện 63

Hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập khi và chỉ khi

FX(x|y) = FX(x) (4.22)

Lấy đạo hàm hai vế (4.22) theo x ta được

fX(x|y) = fX(x) (4.23)

Thay fX(x|y) trong công thức (4.23) vào công thức (4.21),

f(x, y) = fX(x)fY (y) (4.24)

là điều kiện cần và đủ để biến ngẫu nhiên X và Y độc lập. Lấy tích phân hai vế của(4.24) ta cũng có điều kiện tương đương

F (x, y) = FX(x)FY (y) (4.25)

4.6 Kỳ vọng có điều kiện

Định nghĩa 4.9 (Kỳ vọng có điều kiện). Cho véctơ ngẫu nhiên (X, Y ), kỳ vọng củabiến ngẫu nhiên X với điều kiện Y = y, ký hiệu E (X|Y = y) là hàm số của biến ngẫunhiên Y .

i. Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc, hàm xác suất có điều kiện của X

với Y = y là fX(x, y), kỳ vọng có điều kiện

E (X|Y = y) =∑

x

xP (X = x|Y = y) =∑

x

xfX(x|y) (4.26)

với mọi giá trị y sao cho fY (y) = P (Y = y) 6= 0

ii. Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên liên tục, hàm mật độ xác suất có điều kiệncủa X với Y = y là fX(x|y), kỳ vọng có điều kiện

E (X|Y = y) =

+∞∫

−∞

xfX(x|y)dx (4.27)

với mọi giá trị y sao cho fY (y) 6= 0

4.7 Hiệp phương sai và hệ số tương quan 64

4.7 Hiệp phương sai và hệ số tương quan

4.7.1 Hiệp phương sai - Covariance

Trong chương 3 chúng ta đã biết là đối với hai biến ngẫu nhiên X và Y thì ta luôncó đẳng thức

E (X + Y ) = E (X) + E (Y )

còn đối với phương sai của tổng Var (X + Y ) và kỳ vọng của tích E (XY ) thì nó cótính chất như thê nào? Trong mục này chúng ta sẽ tìm hiểu vấn đề này. Trước hếtchúng ta xét ví dụ

Ví dụ 4.6. Cho hai biến ngẫu nhiên X và Y có hàm mật độ xác suất đồng thời f(x, y)

như ví dụ 4.4. Từ ví dụ 4.5 chúng ta đã xác định được các hàm mật độ lề fX(x) vàfY (y). Chúng ta dễ dàng tính được phương sai của tổng

Var (X + Y ) =939

2000

và tổng các phương sai

Var (X) + Var (Y ) =989

2500+

791

10000=

4747

10000

điều này cho thấy Var (X + Y ) 6= Var (X) + Var (Y ) .

Ta phân tích

Var (X + Y ) = E (X + Y − E [X + Y ])2

= E ([X − E (X)] + [Y − E (Y )])2

= E (X − E[X])2 + E (Y − E[Y ])2

+2E (X − E [X]) (Y − E [Y ])

= Var (X) + Var (Y ) + 2E (X − E [X]) (Y − E [Y ])

do đó phương sai của X + Y bằng với phương sai của X cộng với phương sai của Y

và cộng thêm 2E (X − E [X]) (Y − E [Y ]). Để đánh giá tác động qua lại giữa X và Y ,trước hết chúng ta định nghĩa

Định nghĩa 4.10 (Hiệp phương sai - Covariance). Cho X và Y là hai biến ngẫunhiên, hiệp phương sai giữa X và Y , ký hiệu Cov (X, Y ) được định nghĩa

Cov (X, Y ) = E (X − E [X]) (Y − E [Y ]) (4.28)


Bằng cách biến đổi công thức hiệp phương sai (4.28) chúng ta được công thức kháccủa hiệp phương sai

Cov (X, Y ) = E (XY ) − E (X) E (Y ) ∗ (4.29)

Ví dụ 4.7. Cho hai biến ngẫu nhiên X và Y có hàm mật độ xác suất đồng thời nhưví dụ 4.4. Chúng ta tìm được E (X) = 109/50, E (Y ) = 157/100 và E (XY ) = 171/50.Vậy chúng ta tính được hiệp phương sai

Cov (X, Y ) =171

50− 109

50· 157

100= − 13

5000

Hơn nữa, ví dụ này cũng cho ta biết E (XY ) 6= E (X) E (Y ) .

Nhưng theo bài tập 4.10, khi X và Y độc lập thì

E (XY ) = E (X) E (Y )

ta suy ra hiệp phương sai

Cov(X, Y ) = E (XY ) − E (X) E (Y ) = 0

Tính chất 4.11. Nếu hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập và có phương sai hữu hạnthì

Cov (X, Y ) = 0 (4.30)

và phương sai của X + Y

Var (X + Y ) = Var (X) + Var (Y ) (4.31)

Chú ý. Nếu hai biến ngẫu nhiên X và Y có Cov (X, Y ) = 0 thì ta nói X và Y khôngtương quan, nhưng không thể suy ra được X và Y là độc lập.

Ví dụ 4.8. Giả sử biến ngẫu nhiên X chỉ nhận các giá trị -1, 0 và 1 với xác suất nhưnhau. Biến ngẫu nhiên Y = X2, chúng ta sẽ chỉ ra rằng Cov (X, Y ) = 0 nhưng X vàY không độc lập. Trong ví dụ này rõ ràng X và Y không độc lập bởi vì giá trị củabiến ngẫu nhiên Y xác định dựa vào giá trị của biến ngẫu nhiên X. Tuy nhiên

E (XY ) = E(X3)

= E (X) = 0

Bởi vì E (XY ) = 0 và E (X) E (Y ) = 0 cho nên Cov (X, Y ) = 0.

Tính chất 4.12. Cho hai biến ngẫu nhiên X, Y và a, b, c, d là các hằng số thực

Cov (aX + b, cY + d) = acCov (X, Y ) (4.32)∗Xem bài tập 4.11


Định lý 4.13 (Phương sai của tổng n biến ngẫu nhiên). Nếu X1, . . . , Xn là n biếnngẫu nhiên độc lập sao cho Var (Xi) < +∞ với mọi i = 1, . . . , n thì

Var

(n∑

i=1

Xi

)=

n∑

i=1

Var (Xi) + 2∑∑

i<j

Cov (Xi, Xj) (4.33)

Chứng minh. Với biến ngẫu nhiên Y bất kỳ, Cov(Y, Y ) = Var (Y ). Do đó

Var

(n∑

i=1

Xi

)= Cov

(n∑

i=1

Xi,

n∑

j=1

Xj

)=

n∑

i=1

n∑

j=1

Cov (Xi, Xj)

Chúng ta sẽ tách tổng cuối thành hai tổng: tổng của các i = j và tổng của các i 6= j.Sau đó chúng ta dùng tính chất Cov (Xi, Xj) = Cov (Xj , Xi), ta được

Cov

(n∑

i=1

Xi

)=

n∑

i=1

Var(Xi) +∑∑

i6=j

Cov (Xi, Xj)

=n∑

i=1

Var (Xi) + 2∑∑

i<j

Cov (Xi, Xj)

4.7.2 Hệ số tương quan

Trong phần trước, chúng ta thấy hiệp phương sai giữa các biến ngẫu nhiên là “dấuhiệu” nhận biết sự ảnh hưởng lẫn nhau. Một điểm bất tiện khi dùng hiệp phương sailà bởi vì nó phụ thuộc vào đơn vị đo của biến ngẫu nhiên. Ví dụ hai biến ngẫu nhiêngồm X - chiều cao đo bằng mét và Y - cân nặng đo băng bằng kg của một người. Hiệpphương sai là Cov(X, Y ), còn nếu chiều cao đo bằng cm thì hiệp phương sai giữa 10X

và Y là

Cov (10X, Y ) = E (10XY ) − E (10X)E (Y )

= 10 (E[XY ] − E[X]E[Y ])

= 10Cov (X, Y )

Rõ ràng hiệp phương sai tăng lên 10 lần do việc đổi đơn vị từ m sang cm. Để khácphục nhược điểm này, người ta định nghĩa một hệ số khác gọi là hệ số tương quan

Định nghĩa 4.14 (Hệ số tương quan). Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên. Hệsố tương quan, ký hiệu ρ(X, Y ), được định nghĩa là bằng 0 nếu Var (X) = 0 hoặcVar (Y ) = 0 và

ρ(X, Y ) =Cov (X, Y )√

Var(X)Var(Y )(4.34)


nếu ngược lại.

Từ định nghĩa hệ số tương quan ta có ngay tính chất

Tính chất 4.15. Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên thì hệ số tương quan

−1 ≤ ρ(X, Y ) ≤ 1 (4.35)

Chứng minh. Bởi vì phương sai của một biến ngẫu nhiên luôn dương cho nên

0 ≤ Var

(X√

Var(X)+

Y√Var(Y )

)

= Var

(X√

Var(X)

)+ Var

(Y√

Var(Y )

)

+2Cov

(X√

Var(X),

Y√Var(Y )

)

=Var(X)

Var(X)+

Var(Y )

Var(Y )+

2Cov(X, Y )√Var(X)Var(Y )

= 2 + 2ρ(X, Y )

Chuyển vế ta được ρ(X, Y ) ≥ −1. Chứng minh tương tự bằng cách thay X bằng −X

thì ta cũng được ρ(X, Y ) ≤ 1.


Bài tập 4.1. Véctơ ngẫu nhiên rời rạc (X, Y ) có phân phối đồng thời cho ở bảng 4.5.Xác định phân phối lề của biến ngẫu nhiên X và Y

HH

HH

HH

XY

1 2 3 4

1 16/136 3/136 2/136 13/136

2 5/136 10/136 11/136 8/136

3 9/136 6/136 7/136 12/136

4 4/136 15/136 14/136 1/136

Bảng 4.5:

Bài tập 4.2. Phân phối xác suất đồng thời của véctơ ngẫu nhiên rời rạc (X, Y ) chobởi bảng 4.6


HH

HH

HH

X

Y0 1 2 P (X = x)

-1 . . . . . . . . . 1/2

1 . . . 1/2 . . . 1/2

P (Y = y) 1/6 2/3 1/6 1

Bảng 4.6:

a. Hoàn thành bảng phân phối.b. Xét tính độc lập giữa X và Y .c. Xác định E(XY ), Var(X + Y ) và Var(X − Y ).

Bài tập 4.3. Phân phối lề của các biến ngẫu nhiên X và Y cho như bảng 4.7 Cho

HH

HH

HH

XY

1 2 3 4 5 P (X = x)

1 . . . . . . . . . . . . . . . 5/14

2 . . . . . . . . . . . . . . . 4/14

3 . . . . . . . . . . . . . . . 2/14

4 . . . . . . . . . . . . . . . 2/14

5 . . . . . . . . . . . . . . . 1/14

P (Y = y) 2/14 5/14 4/14 2/14 1/14 1

Bảng 4.7:

biết giá trị xác suất đồng thời P (X = x, Y = y) là 0 hoặc 1/14. Xác định phân phốiđồng thời của véctơ ngẫu nhiên (X, Y ).

Bài tập 4.4. Cho η là một số thực, xác suất đồng thời P (X = x, Y = y) của véctơngẫu nhiên rời rạc (X, Y ) cho bởi bảng 4.8

HH

HH

HH

XY

-1 0 1

4 η − 116

14 − η 0

5 18

316

18

6 η + 116

116

14 − η

Bảng 4.8:

a. Xác định giá trị của η.b. Có giá trị nào để X và Y độc lập.


Bài tập 4.5. Giả sử véctơ ngẫu nhiên (X, Y ) có phân phối xác suất đồng thời

F (x, y) =

1 − e−2x − e−y + e−(2x+y) khi x > 0, y > 0

0 nơi khác

a. Xác định hàm phân phối xác suất lề của các biến ngẫu nhiên X và Y .b. Xác định hàm mật độ xác suất đồng thời của véctơ ngẫu nhiên (X, Y ).c. Xét tính độc lập giữa X và Y .

Bài tập 4.6. Cho véctơ ngẫu nhiên liên tục (X, Y ) với hàm mật độ xác suất đồngthời

f(x, y) =

12

5xy(1 + y) khi 0 ≤ x ≤ 1 và 0 ≤ y ≤ 1

0 nơi khác

a. Tìm xác suất P

(1

4≤ X ≤ 1

2,1

3≤ Y ≤ 2

3

).

b. Xác định hàm phân phối đồng thời F (x, y) của véctơ ngẫu nhiên (X, Y ) khi x, y

thuộc đoạn [0, 1].c. Sữ dụng câu b, tìm hàm phân phối lề FX(x) của biến ngẫu nhiên X khi x thuộc

đoạn [0, 1].d. Xét tính độc lập giữa X và Y .e. Tính xác suất P (X < Y ).

Bài tập 4.7. Hàm mật độ đồng thời của véctơ ngẫu nhiên (X, Y )

f(x, y) =

k(3x2 + 8xy) khi 0 ≤ x ≤ 1 và 0 ≤ y ≤ 2

0 nơi khác

a. Xác định k.b. Tính xác suất P (2X ≤ Y ).c. Tìm hàm phân phối xác suất đồng thời của véctơ ngẫu nhiên (X, Y ).d. Tìm hàm phân phối xác suất lề của X và Y .e. Tìm hàm mật độ xác suất lề của X và Y .f. Tính E(X), E(Y ) và E (X + Y ).g. Tính E(XY ) và ρ(X, Y ).h. Tính E (X2) , E (Y 2) và E ([X + Y ]2).


i. Tính Var(X + Y ), Var(X), Var(Y ) và kiểm tra phát biểu Var(X + Y )) khôngbằng với Var(X) + Var(Y ).

Bài tập 4.8. Véctơ ngẫu nhiên (X, Y ) có hàm mật độ xác suất đồng thời

f(x, y) =

k(x2 + y) khi 0 ≤ y ≤ 1 − x2

0 nơi khác

a. Xác định hằng số k.

b. Tính xác suất P

(0 ≤ X ≤ 1

2

), P (Y ≤ X + 1) và P (Y ≤ X2).

Bài tập 4.9. Cho hàm mật độ đồng thời của véctơ ngẫu nhiên (X, Y )

f(x, y) =

c(x + y2) khi 0 ≤ x ≤ 1 và 0 ≤ y ≤ 1

0 nơi khác

a. Xác định hằng số c.

b. Tìm FX(x|y) và tính P

(X <

1

2

∣∣∣∣Y =1

2

).

Bài tập 4.10. Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập, chứng minh rằng

E(XY ) = E(X)E(Y )

Bài tập 4.11. Chứng minh công thức tính hiệp phương sai (4.29).

Bài tập 4.12. Cho hai biến ngẫu nhiên X và Y so cho

E(X) = 2, E(Y ) = 3, Var(X) = 4

a. Tính E (X2).b. Tính E (−2X2 + Y ).

Bài tập 4.13. Cho hai biến ngẫu nhiên X và Y có hàm mật độ đồng thời

f(x, y) =

2

75(2x2y + xy2) với 0 ≤ x ≤ 3 và 1 ≤ y ≤ 2

0 nơi khác


a. Tìm hàm phân phối xác suất đồng thời của véctơ ngẫu nhiên (X, Y ).b. Tìm hàm phân phối xác suất lề của X và Y .c. Tìm hàm mật độ xác suất lề của X và Y .d. Kiểm tra tính độc lập giữa X và Y .e. Tính E(X), E(Y ) và E (X + Y ).f. Tính E(XY ) và ρ(X, Y ).g. Tính E (X2) , E (Y 2) và E ([X + Y ]2).h. Tính Var(X + Y ), Var(X), Var(Y ) và kiểm tra phát biểu Var(X + Y )) không

bằng với Var(X) + Var(Y ).

Chương 5

Một số phân phối đặc biệt

5.1 Phân phối Bernoulli và nhị thức

Định nghĩa 5.1 (Biến ngẫu nhiên Bernoulli). Thực hiện một phép thử, ta quan tâmđến biến cố A. Nếu biến cố A xảy ra (thành công) thì X nhận giá trị là 1, (X = 1),ngược lại biến ngẫu nhiên X nhận giá trị 0. Phép thử này gọi là phép thử Bernoulli.Giả sử xác suất xảy ra biến cố A là p, 0 ≤ p ≤ 1

P (A) = P (X = 1) = p

vàP(A)

= P (X = 0) = 1 − p = q

Khi đó biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên Bernoulli với tham số p, kýhiệu X ∼ B(1; p).

Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Bernoulli có dạng

X 0 1P q p

Dựa vào bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Bernoulli ta dễ dàng tínhđược E (X) = 1 và Var (X) = pq.

Ví dụ 5.1. Sinh viên A trả lời một bài tập trắc nghiệm có bốn lựa chọn trong đóchỉ có một lựa chọn đúng, giả sử sinh viên này chọn câu trả lời một cách ngẫu nhiên.Chúng ta đặt biến ngẫu nhiên

X =

1 nếu sinh viên A chọn câu trả lời đúng0 nếu sinh viên A chọn câu trả lời sai

5.1 Phân phối Bernoulli và nhị thức 73

Thì khi đó biến ngẫu nhiên X là biến ngẫu nhiên Bernoulli, bảng phân phối xác suấtcủa X Tiếp theo chúng ta xét một ví dụ liên quan đến dãy phép thử Bernoulli.

X 0 1

P 3/4 1/4

Ví dụ 5.2. Một bài thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu hỏi có bốn lựa chọn câutrả lời. Giả sử ở mỗi câu hỏi bạn chọn câu trả lời một cách ngẫu nhiên, câu hỏi đặt raở đây là xác suất để bạn trả lời đúng k, (k = 0, 1, . . . , 10), câu là bao nhiêu?

Ta gọi biến ngẫu nhiên

Xi =

1 nếu trả lời đúng câu i

0 nếu trả lời sai câu i

thì Xi, (i = 1, . . . , 10) là các biến ngẫu nhiên Bernoulli với tham số p = 1/4. Số câubạn trả lời đúng sẽ là

X = X1 + · · · + X10

Rõ ràng X chỉ nhận một trong các giá trị 0, 1, . . . , 10. Trước hết chúng ta xét trườnghợp X = 0 (nghĩa là bạn trả lời không đúng cả 10 câu). Bởi vì việc chọn câu trả lời làở các câu khác nhau nên các biến cố X1 = x1 , . . . , X10 = x10 là độc lập, với xi là0 hoặc 1. Chúng ta tìm

P (X = 0) = P(Trả lời không đúng cả 10 câu

)

= P (X1 = 0, . . . , X10 = 0)

= P (X1 = 0) . . . P (X10 = 0)

=

(3

4

)10

Tiếp theo ta tính xác suất trả lời đúng duy nhất một câu, câu trả lời đúng này sẽ làmột trong 10 câu cho nên

P (X = 0) = P (X1 = 1) P (X2 = 0) P (X3 = 0) · · ·P (X10 = 0)

+ P (X1 = 0) P (X2 = 1) P (X3 = 0) · · ·P (X10 = 0)...

+ P (X1 = 0) P (X2 = 0) P (X3 = 0) · · ·P (X10 = 1)

= 10 ·(

1

4

)1

·(

3

4

)9


Chúng ta có thể suy ra được xác suất trả lời đúng k câu hỏi, (k = 0, 1, . . . , 10), là

P (X = k) = Ck10 ·(

1

4

)k

·(

3

4

)10−k

Trong đó k là số câu trả lời đúng, 10 − k là số câu trả lời sai và Ck10 là số trường hợp

có thể để có k câu trả lời đúng. Cho nên Ck10 là số cách khác nhau để chọn k câu trả

lời đúng từ 10 câu. Như đã tính ở trên ta biết biết số trường hợp để cả 10 câu đều sailà C0

10 = 1 và có C110 = 10 trường hợp để trả lời đúng một câu.

Tổng quát hơn, ta phát biểu mô hình nhị thức như sau.

Định nghĩa 5.2 (Mô hình nhị thức). Thực hiện n phép thử Bernoulli độc lập với xácsuất thành công trong mỗi phép thử là p. Gọi X là số lần thành công (biến cố A xảyra) trong n phép thử thì

X = X1 + · · · + Xn

với Xi, (i = 1, . . . , n), là biến ngẫu nhiên Bernoulli. Khi đó X là biến ngẫu nhiên rờirạc với miền giá trị S = 0, . . . , n và xác suất

P (X = k) = Cknpkqn−k, k ∈ S (5.1)

X được gọi là có phân phối nhị thức với các tham số n, p ký hiệu X ∼ B (n; p).

Ví dụ 5.3. Trong ví dụ 5.2 biến ngẫu nhiên X ∼ B(1/4; 10). Giả sử để đỗ kỳ thi nàythì bạn phải trả lời trúng ích nhất 6 câu. Xác suất bạn thi đỗ sẽ là

P (X ≥ 6) = P (X = 6) + · · ·+ P (X = 10) = 0, 0197

b

b

b

b

b

b

bb b b b

f(k)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,0

0,1

0,2

0,3

F (x)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Hình 5.1: Hàm giá trị xác suất và hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X ∼ B(10; 1/4)


Định lý 5.3 (Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên nhị thức). Nếu X là biến ngẫunhiên có phân phối nhị thức B (n, p) thì

i. E (X) = np.

ii. Var (X) = npq.

iii. np− q ≤ Mod (X) ≤ np− q +1, người ta còn gọi Mod (X) là số lần xuất hiệnchắc nhất.

iv. Với x, h là hai số nguyên nguyên dương thì

P (x ≤ X ≤ x + h) = P (X = x) + P (X = x + 1) + · · · + P (X = x + h) .

Chứng minh.

i. Bởi vì X ∼ B(n; p) cho nên

X = X1 + · · · + Xn

với Xi là các biến ngẫu nhiên Bernoulli, kỳ vọng

E (X) = E (X1) + · · ·+ E (Xn)

= np

ii. Các biến ngẫu nhiên X1, . . . , Xn độc lập nhau cho nên phương sai

Var (X) = Var (X1) + · · ·+ Var (Xn)

= npq

iii. Ta nhận thấy rằng khi k tăng từ 0 đến n, P (X = k) thoạt tiên tăng, sau đó đạtgiá trị lớn nhất rồi giảm dần. Giả sử Mod(X) = k0 thì k0 phải thỏa điều kiện

P (X = k0 − 1) ≤ P (X = k0) ≤ P (X = k0 + 1)

giải điều kiện trên ta đượcnp − q ≤ k0 ≤ np + p

Thay k0 = Mod(X) và p = 1 − q vào ta được

np − q ≤ Mod(X) ≤ np − q + 1 (5.2)

Dĩ nhiên có thể thu được giá trị của Mod(X) bằng cách tính tất cả các giá trịP (X = k), nhưng cách làm thủ công đó tốn rất nhiều thời gian. Vì vậy để đơn giảnkhi muốn tìm Mod(X) chúng ta sữ dụng công thức (5.2).

5.2 Phân phối siêu bội 76

Ví dụ 5.4. Cho biến ngẫu nhiên X ∼ B(9; 1/3), ta tìm kỳ vọng của biến ngẫu nhiênX theo công thức

E (X) = np = 9 · 1

3= 3

và phương saiVar(X) = npq = 9 · 1

3· 2

3= 2

số lần xuất hiện chắc nhất (Mod(X)) thỏa điều kiện

np − q ≤ Mod(X) ≤ np − q + 1

thay số vào ta được2 +

2

3≤ Mod(X) ≤ 3 +

1

3

Mod của biến ngẫu nhiên X ∼ B(9; 1/3) là một số nguyên dương, vậy ta tìm đượcMod(X) = 3.

5.2 Phân phối siêu bội

Trước khi đi vào chi tiết mô hình của biến ngẫu nhiên X có phân phối siêu bội, taxét ví dụ đơn giản như sau:

Ví dụ 5.5. Trong bình có 10 viên bi trong đó có 6 viên bi trắng và 4 viên bi đen. Lấyngẫu nhiên 3 viên bi, nếu gọi X là số viên bi trắng lẫn trong 3 bi lấy ra thì giá trị cóthể của biến ngẫu nhiên X là 0, 1, 2, 3. Xác suất để lấy được 1 bi trắng là

P (X = 1) =C1

6C24

C310

xác suất lấy được k bi trắng sẽ là

P (X = k) =Ck

6C3−k4

C310

trong đó k = 0, 1, 2, 3.

Tổng quát, một tập T gồm có N phần tử, trong đó có NA phần tử có tính chất A

và N −NA phần tử không có tính chất A. Từ tập T ta lấy ngẫu nhiên n phần tử (lấymột lần n phần tử hoặc lấy n lần không hoàn lại mỗi lần một phần tử). Gọi X là sốphần tử có tính chất A lẫn trong n phần tử chọn ra từ tập T . Khi đó X là biến ngẫunhiên rời rạc nhận giá trị k sao cho

0 ≤ k ≤ n

n − (N − NA) ≤ k ≤ NA


Nếu ký hiệu

k1 = max(0, n − N + NA)

k2 = min(NA, n)

Miền giá trị của biến ngẫu nhiên X là tập

S = k ∈ N : k1 ≤ k ≤ k2 (5.3)

và

P (X = k) =Ck

NACn−k

N−NA

CnN

, k ∈ S

Định nghĩa 5.4 (Phân phối siêu bội). Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị nguyên dươngk, (k ∈ S) với xác suất tương ứng

P (X = k) =Ck

NACn−k

N−NA

CnN

, k ∈ S (5.4)

thì ta gọi X có phân phối siêu bội với tham số N, NA, n, ký hiệu X ∼ H(N ; NA; n)

Ví dụ 5.6. Một lớp học có 50 sinh viên trong đó có 30 sinh viên nữ. Cần chọn 10 bạnvào một đội văn nghệ, giả sữ khả năng được chọn của các sinh viên là như nhau. GọiX là số sinh viên nữ được chọn, khi đó X ∼ H(50; 30; 10) và các giá trị có thể của X

là (k = 0, . . . , 10).

Xác suất để số sinh viên nữ được chọn không quá ba là

P (X ≤ 3) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3)

=C0

30C1020

C1050

+C1

30C920

C1050

+C2

30C820

C1050

+C3

30C720

C1050

≈ 0.03648

Xác suất để chọn được ít nhất một sinh viên nữ

P (X > 1) = 1 − P (X < 1)

= 1 − P (X = 0)

= 1 − C030C

1020

C1050

≈ 0.99998

Hàm giá trị xác suất và hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X ∼ H(50; 30; 10) đượcminh họa hình ở hình 5.2.

Định lý 5.5 (Các đặc trưng của phân phối siêu bội). Nếu biến ngẫu nhiên X ∼H(N ; NA; n) thì


b b b

b

b

b

b

b

b

b

b

f(k)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,0

0,1

0,2

0,3

F (x)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Hình 5.2: Hàm giá trị xác suất và hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X ∼ H(50; 30; 10)

i) Kỳ vọng E (X) = np với p =NA

N.

ii) Phương sai Var (X) = npqN − n

N − 1với q = 1 − p.

Ví dụ 5.7. Có một cái hộp chứa 8 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiênkhông hoàn lại 4 quả cầu. Gọi X là số quả cầu trắng lấy được. Tính xác suất

a. Lấy được ít nhất 1 quả cầu trắng.b. Lấy được 2 quả cầu trắng.c. Tính E (X) và Var (X).

Giải. X là số bi trắng lẫn trong 4 bi lấy ra, X ∼ H(11; 8; 4). Theo (5.3), miền giá trịcủa X là tập S = k ∈ N : 1 ≤ k ≤ 4 cho nên

a. P (X ≥ 1) = 1.

b. P (X = 2) =C2

8C23

C411

=14

15.

c. Kỳ vọngE (X) = np = 4 · 8

11=

32

11

và phương sai

Var (X) = npqN − n

N − 1= 4 · 8

11· 3

11· 7

10=

336

605

5.3 Phân phối Poisson 79

5.3 Phân phối Poisson

Định nghĩa 5.6 (Phân phối Poisson). Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trịnguyên dương k, (k = 0, 1, 2, . . .) với xác suất

P (X = k) =λke−λ

k!, k = 0, 1, 2, . . . (5.5)

Thì biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson với tham số λ, ký hiệuX ∼ P (λ).

Ví dụ 5.8. Một nhà máy dệt có số ống sợi bị đứt trong mộ giờ tuân theo phân phốiPoisson với tham số λ = 4. Tìm xác suất để trong 1 giờ máy hoạt động không có quá2 ống sợi bị đứt.

Giải. Gọi X là số ống sợi bị đứt, X ∼ P (λ). Ta cần tìm xác suất

P (X ≤ 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)

=1 · e−4

0!+

4 · e−4

1!+

16 · e−4

2!= 13e−4

Hình 5.3 minh họa hàm giá trị xác suất và hàm mật độ của X ∼ P (4).

b

b

b

b b

b

b

b

b

bb

f(k)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,0

0,1

0,2

0,3

F (x)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Hình 5.3: Hàm giá trị xác suất và hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X ∼ P (4)

Định lý 5.7 (Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên phân phối Poisson). Nếu biến ngẫunhiên X có phân phối Poisson với tham số λ, X ∼ P (λ) thì

i. Hàm đặc trưng ϕ(t) = exp (λ(eit − 1)).

ii. Kỳ vọng E (X) = λ.

iii. Phương sai Var (X) = λ.

5.3 Phân phối Poisson 80

Chứng minh.

i. Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên phân phối Poisson là

ϕ(t) = E(eitX

)=

∞∑

k=0

eitke−λλk

k!

= e−λ∞∑

k=0

(λeit)k

k!= e−λeλeit

= eλ(eit−1)

ii. Xem bài tập 5.1.iii. Xem bài tập 5.1.

Trong thực tế với một số giả thiết thích hợp thì các biến ngẫu nhiên là các quátrình đếm sau:

• Số cuộc gọi đến một tổng đài.

• Số khách hàng đến 1 điểm phục vụ.

• Số xe cộ qua 1 ngã tư.

• Số tai nạn (xe cộ); số các sự cố xảy ra ở một địa điểm. . .

Ví dụ 5.9. Ở một tổng đài điện thoại các cuộc gọi đến một cách ngẫu nhiên, độc lậpvà trung bình có 10 cuộc gọi trong 1 phút. Giả sử số cuộc gọi đến tổng đài trong 1phút có phân phối Poisson tìm xác suất để:

a. Có đúng 5 cuộc gọi đến trong 1 phút.b. Có ít nhất 2 cuộc gọi trong 1 phút.

Giải. Gọi X là số cuộc gọi đến tổng đài trong 1 phút thì X ∼ P (10)

a. Có đúng 5 cuộc gọi đến trong 1 phút.

P (X = 5) =105e−10

5!≈ 0, 0378

b. Không có một cuộc gọi nào trong 1 phút.

P (X ≥ 2) = 1 − P (X < 2)

= 1 − P (X ≤ 1)

= 1 − P (X = 0) − P (X = 1) ≈ 0, 9995

5.4 Phân phối hình học 81

Quy luật Poisson có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực thực tế như kiểm trachất lượng sản phẩm, lý thuyết quản trị dự trữ, lý thuyết sắp hàng, các hệ phục vụđám đông. . .

5.4 Phân phối hình học

Vào ngày thứ bảy, bạn muốn mời một người bạn của bạn đi dạo phố cùng bạn, giảsử thêm là xác suất người được bạn mời đồng ý đi cùng bạn là 0 < p ≤ 1 và quyếtđịnh đi hay không đi cùng bạn của mỗi người là độc lập nhau. Gọi X là số người màbạn đã mời để để tìm được người đầu tiên đồng ý đi cùng bạn, do đó X = 1 nếu ngườiđầu tiên bạn mời đồng ý, X = 2 nghĩa là người đầu tiên được mời không đồng ý vàngười thứ hai đồng ý, . . . , và X = n nghĩa là n − 1 người được mời đầu tiên khôngđồng ý và người thứ n đồng ý. Rõ ràng xác suất người đầu tiên bạn mời đồng ý đicùng bạn là

P (X = 1) = p

Bởi vì quyết định đi hay không đi cùng bạn của mỗi người là độc lập nhau cho nên

P (X = k) = P(k − 1 người đầu tiên không đồng ý, người thứ k đồng ý

)

= (1 − p)k−1 p

Biến ngẫu nhiên X như thế được gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối hình học.

Định nghĩa 5.8 (Phân phối hình học). Biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân phối hìnhhọc với tham số 0 < p ≤ 1, nếu xác suất

P (X = k) = (1 − p)k−1 p, với k = 1, 2, . . . (5.6)

Chúng ta ký hiệu X ∼ G(p).

Định lý 5.9 (Các đặc trưng của phân phối hình học). Biến ngẫu nhiên X ∼ G(p)

i. Hàm đặc trưng ϕ(t) =peit

1 − qeit.

ii. Kỳ vọng E (X) =1

p.

iii. Phương sai Var (X) =1 − p

p2.

Chứng minh.

5.5 Phân phối đều 82

b

b

b

b

b

bbbb b b b b b b b b b b b

f(k)

1 5 10 15 20

0,0

0,1

0,2

0,3

F (x)

1 5 10 15 20

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Hình 5.4: Hàm giá trị xác suất và hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X ∼ G(1/4)

i. Ta thấy q = 1 − p, hàm đặc trưng

ϕ(t) = E(eitX

)=

+∞∑

k=1

eitkqk−1p

= peit+∞∑

0

(qeit)k

=peit

1 − qeit

ii. Kỳ vọng E (X) = ϕ′

(0).iii. Sữ dụng công thức tính phương sai

Var (X) = E(X2)− (E(X))2

trong đó E (X2) = ϕ′′(0)

5.5 Phân phối đều

Định nghĩa 5.10 (Phân phối đều). Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phânphối đều trên đoạn [a; b], ký hiệu X ∼ U [a; b], nếu hàm mật độ xác suất của X códạng

f(x) =

1

b − akhi x ∈ [a, b]

0 nơi khác(5.7)

5.6 Phân phối chuẩn 83

Từ định nghĩa trên ta có được hàm phân phối xác suất của X ∼ U [a; b]

F (x) =

0 khi x < ax − a

b − akhi x ∈ [a, b]

1 khi x > b

5.6 Phân phối chuẩn

Định nghĩa 5.11 (Phân phối chuẩn). Biến ngẫu nhiên lên tục X nhận giá trị trongkhoảng (−∞, +∞) được gọi là có phân phối chuẩn tham số µ, σ nếu hàm mật độ xácsuất có dạng

f(x) =1

σ√

2πexp

(−(x − µ)2

2σ2

)−∞ < x < +∞ (5.8)

trong đó µ, σ là hằng số và σ > 0, −∞ < µ < +∞, ký hiệu X ∼ N (µ; σ2).

Chúng ta sẽ chứng tỏa hàm f(x) không âm (5.8) là hàm một độ bằng cách chỉ rarằng

+∞∫

−∞

f(x)dx = 1 (5.9)

Nếu chúng ta đặt y =(x − µ)

σthì

+∞∫

−∞

f(x)dx =

+∞∫

−∞

1√2π

exp

(−y2

2

)dy

Bây giờ chúng ta đặt

I =

+∞∫

−∞

exp

(−y2

2

)dx (5.10)

Để chứng minh (5.9) ta cần chứng minh I =√

2π. Từ phương trình (5.10) ta có

I2 =

+∞∫

−∞

exp

(−y2

2

)dx

+∞∫

−∞

exp

(−z2

2

)dz

=

+∞∫

−∞

+∞∫

−∞

exp

(−(y2 + z2)

2

)dydz


Bây giờ chúng ta đổi biến sang tọa độ cực bằng cách đặt y = r cos θ và z = r sin θ.

I2 =

2π∫

0

+∞∫

0

exp

(−r2

2

)rdrdθ = 2π (5.11)

Do đó I =√

2π, vậy hàm số (5.8) là hàm mật độ xác suất .

Hàm mật độ chuẩn, f(x), có dạng hình chuông đối xứng qua µ và giá trị cực đại1/σ

√2π tại x = µ.

Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên chuẩn khi cố định µ, thay đổi giá trịcủa σ

(σ = 1, 2 và 3

). Chúng ta xem hình bên dưới, hàm mật độ xác suất của biến

ngẫu nhiên phân phối chuẩn với σ nhỏ sẽ cao, nhọn và tập trung gần µ. Ngược lại khigiá trị của σ lớn hơn thì hàm mật độ phân bố rộng hơn trên trục số.

0.2

0.4

0.6

0.8

1 2 3 4−1−2−3−4 O

σ = 1/2

σ = 1

σ = 2

Hình 5.5: Hàm mật độ µ = 0 và σ = 1/2, 1, 2

Phân phối chuẩn được đưa ra bởi nhà toán học Pháp Abraham de Moivre năm1733. Nó được dùng để tính xấp xỉ biến ngẫu nhiên nhị thức khi n lớn. Kết quả nàyđược Laplace mở rộng gọi là định lý giới hạn trung tâm.

Định lý 5.12 (Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên chuẩn). Nếu X là biến ngẫu nhiêncó phân phối chuẩn tham số µ, σ thì

i. Hàm đặc trưng ϕ(t) = exp(iµt + σ2t2

2

).

ii. E (X) = µ và Var (X) = σ2.

Chứng minh.


i. Theo định nghĩa hàm đặc trưng:

ϕ(t) = E(eitX

)

=1√2π

+∞∫

−∞

exp (itx) exp

(−(x − µ)2

2σ2

)dx

=eiµt

√2π

+∞∫

−∞

exp (itσy) exp

(−y2

2

)dy do đặt y =

x − µ

σ

=eiµt

√2π

+∞∫

−∞

exp

(−(y2 − 2itσy)

2

)dy

=eiµt

√2π

+∞∫

−∞

exp

(−(y − itσ)2

2− t2σ2

2

)dy

= exp

(iµt − σ2t2

2

)1√2π

+∞∫

−∞

exp

(−(y − itσ)2

2

)dy

= exp

(iµt − σ2t2

2

)

ii. Theo công thức đạo hàm của hàm đặc trưng (3.12) ta có

E (X) =ϕ′(0)

i= µ

vàE(X2)

=ϕ′′(0)

i2= σ2 + µ2

ta suy raVar (X) = E

(X2)− (E (X))2 = σ2

Vậy hai tham số µ, σ chính là kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên X.

Nhờ vào định lý sau, nến biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn thì biến ngẫunhiên tuyến tính của X cũng có phân phối chuẩn.

Định lý 5.13. Nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với kỳ vọng µ, phương saiσ2 và nếu Y = aX + b, (a, b là hằng số và a 6= 0), thì Y có phân phối chuẩn với kỳvọng aµ + b và phương sai a2σ2.

Định lý 5.14. Nếu các biến ngẫu nhiên X1, . . . , Xn là độc lập và nếu Xi có phânphối chuẩn với kỳ vọng µi và phương sai σ2

i , (i = 1, 2, . . . , n), thì tổng X1 + · · · + Xn

có phân phối chuẩn với kỳ vọng là µ1 + · · · + µn và phương sai là σ21 + · · · + σ2

n.


Hệ quả 5.15. Nếu các biến ngẫu nhiên X1, . . . , Xn là độc lập và Xi có phân phốichuẩn với kỳ vọng µi và phương sai σ2

i , (i = 1, . . . , n). ai, . . . , an và b là các hằng sốsao cho có ít nhất một ai 6= 0, thì biến ngẫu nhiên a1X1 + · · ·+ anXn + b có phân phốichuẩn với kỳ vọng a1µ1 + · · ·+ anµn và phương sai a2

1σ21 + · · ·+ a2

nσ2n.

Định nghĩa 5.16 (Phân phối chuẩn hóa). Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phânphối chuẩn hóa nếu nó có phân phối chuẩn với tham số µ = 0 và σ2 = 1, ký hiệuX ∼ N (0; 1).

Nếu X ∼ N (0; 1) thì biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất

φ(x) = f(x) =1

σ√

2πexp

(−x2

2

)−∞ < x < +∞ (5.12)

ta đặt

θ(x) = P (X < x) =

x∫

−∞

f(u)du −∞ < x < +∞ (5.13)

Nếu a, b là hai số thực sao cho a < b thì ta có

P (a ≤ X < b) = θ(b) − θ(a) (5.14)

Hàm dưới dấu tích phân vế phải (5.13) không thể đưa về dạng hàm cơ bản. Do đó,xác suất của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn hóa được tính gần đúng thành bảng(xem bảng A.2). Bảng này chỉ tính các giá trị θ(x), x ≥ 0, chúng ta có thể tính θ(x)

dựa vào bảng này nhờ vào tính đối xứng của hàm mật độ chuẩn hóa. Thật vậy, vớimọi x ≥ 0, và nếu X có phân phối chuẩn hóa thì

θ(−x) = P (X < −x)

= P (X > x) do đối xứng= 1 − θ(x) (5.15)

−x xO

P (X > x)P (X < −x)

Hình 5.6: Tính đối xứng của mật độ phân phối chuẩn hóa

5.7 Phân phối Gamma 87

Ví dụ 5.10. Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn hóa. Thì khi đó

P (X < −1) = θ(−1) = 1 − θ(1) = 1 − 0, 8413 = 0, 1587

Theo định lý (5.13), nếu X ∼ N (µ; σ2) thìX − µ

σcó phân phối chuẩn hóa hay

X − µ

σ∼ N (0; 1)

Dựa vào tính chất này ta có thể tính xác suất của biến ngẫu nhiên X ∼ N (µ; σ2).

P (X < b) = P

(X − µ

σ<

b − µ

σ

)

= θ

(b − µ

σ

)(5.16)

Tương tự, với a < b thì

P (a ≤ X < b) = P (X < b) − P (X < a)

= θ

(b − µ

σ

)− θ

(a − µ

σ

)(5.17)

Định nghĩa 5.17 (Phân vị chuẩn hóa). Cho biến ngẫu nhiên X ∼ N (µ; σ2), phânvị chuẩn hóa mức α, ký hiệu xα, là giá trị của biến ngẫu nhiên X thỏa mãn điều kiệnP (X < xα) = α

xαO

α

Hình 5.7: Phân vị chuẩn hóa mức α

Ví dụ 5.11. Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn hóa, thì phân vị chuẩn hóamức α = 0, 975 chính là x0,975 = 1, 96 hay P (X < 1, 96) = 0, 975. Vậy với α cho trướcthì ta sẽ tính được giá trị của xα và ngược lại.

5.7 Phân phối Gamma

Với α dương bất kỳ, đặt Γ(α) là hàm như sau

Γ(α) =

+∞∫

0

xα−1e−xdx (5.18)


tích phân này sẽ hội tụ với mọi α > 0, và Γ(x) được gọi là hàm Gamma.

Tính chất 5.18. Nếu α > 1 thì Γ(α) = (α − 1)Γ(α − 1).

Chứng minh. Chúng ta sữ dụng phương pháp tích phân từng phần cho (5.18). Nếuchúng ta đặt u = eα−1 và dv = e−xdx thì du = (α − 1)xα−2dx và v = −e−x. Do đó

Γ(α) =

+∞∫

0

udv = uv|+∞0 −

+∞∫

0

vdu

= −xα−1e−x∣∣+∞0

+ (α − 1)

+∞∫

0

xα−2e−xdx

= 0 + (α − 1)Γ(α − 1)

Tính chất 5.19. Với mọi số nguyên dương n và 1 ≤ n ta có Γ(n) = (n − 1)!.

Chứng minh. Theo tính chất 5.18, với bất kỳ n ≥ 2 thì

Γ(n) = (n − 1)Γ(n − 1)

= (n − 1)(n − 2) · · ·1Γ(1)

= (n − 1)!Γ(1)

Từ công thức (5.18) ta có

Γ(1) =

+∞∫

0

e−xdx = 1

cho nên Γ(n) = (n − 1)!

Tính chất 5.20. Với mọi số nguyên dương n ta có

Γ

(n +

1

2

)=

(n − 1

2

)(n − 3

2

)· · ·(

1

2

)Γ

(1

2

)(5.19)

trong đó Γ

(1

2

)=

√π.

Chứng minh. Theo tính chất 5.18 thì ta có

Γ

(n +

1

2

)=

(n − 1

2

)(n − 3

2

)· · ·(

1

2

)Γ

(1

2

)


Tiếp theo ta xác định giá trị của Γ(

12

). Từ công thức (5.18) ta có

Γ

(1

2

)=

+∞∫

0

x−1/2e−xdx

Ta đổi biến bằng cách đặt x =1

2y2 thì dx = ydy và

Γ

(1

2

)=

√2

+∞∫

0

exp

(−1

2y2

)dy (5.20)

Theo (5.11) thì+∞∫

−∞

exp

(−1

2y2

)dy =

√2π

cho nên+∞∫

0

exp

(−1

2y2

)dy =

1

2

√2π (5.21)

Thay (5.21) vào (5.20) thì ta có

Γ

(1

2

)=

√π (5.22)

Định nghĩa 5.21 (Phân phối Gamma). Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phốiGamma với tham số α và β

(α > 0 và β > 0

)nếu X có hàm mật độ

f(x) =

βα

Γ(α)xα−1e−βx khi x > 0

0 khi x ≤ 0(5.23)

ký hiệu X ∼ Gamma(α; β).

Tích phân của f(x) trên miền x > 0 bằng 1 bởi vì

+∞∫

0

xα−1e−βxdx =Γ(α)

βα(5.24)

thật vậy, bằng cách đổi biến y = βx và sữ dụng công thức (5.18) thì chúng ta sẽ đượcngay công thức (5.24).


Định lý 5.22 (Các đặc trưng của phân phối Gamma). Nếu biến ngẫu nhiên X cóphân phối Gamma với tham số α và β, X ∼ Gamma(α, β) thì

i. Hàm đặc trưng ϕ(t) =

(β

β − t

)α

với mọi t < β.

ii. E (X) =α

βvà Var (X) =

α

β2.

Chứng minh.

i. Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên có phân phối Gamma

ϕ(t) = E(eitx)

=βα

Γ(α)

+∞∫

0

eitxe−βxxα−1dx

=βα

Γ(α)

+∞∫

0

e−(β−it)xxα−1dx

=

(β

β − it

)α1

Γ(α)

+∞∫

0

e−yyα−1dy(do đặt y = (β − it)x

)

=

(β

β − it

)α

(5.25)

ii. Theo công thức đạo hàm của hàm đặc trưng (3.12) ta có

E (X) =ϕ′(0)

i=

α

β

vàE(X2)

=ϕ′′(0)

i2=

α(α − 1)

β2

ta suy ra Var (X) = E (X2) − (E (X))2 =α

β2

Định lý 5.23. Nếu các biến ngẫu nhiên Xi, . . . , Xn độc lập và Xi ∼ Gamma(αi; β)

(i = 1, . . . , n), thì tổng X1 + · · ·+ Xn có phân phối Gamma với tham số α1 + · · ·+ α2

và β .

Chứng minh. Gọi ϕi(t), (i = 1, . . . , n) là hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên Xi. Theo(5.25) thì

ϕi(t) =

(β

β − it

)αi

với t < β

5.8 Phân phối Chi bình phương 91

Đặt ϕ(t) là hàm đặc trưng của X1 + · · ·+ Xn, theo tính chất (3.18) thì

ϕ(t) =

n∏

i=1

ϕi(t) =

(β

β − it

)α1+···+αn

với t < β

Nhận thấy ϕ(t) là hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên có phân phối Gamma với thamsố α1 + · · · + αn và β. Theo tính chất (3.18) thì tổng X1 + · · · + Xn có phân phốiGamma với tham số α1 + · · ·+ αn và β.

5.8 Phân phối Chi bình phương

Định nghĩa 5.24 (Phân phối Chi bình phương). Cho các biến ngẫu nhiên X1, . . . , Xn

độc lập cùng phân phối chuẩn hóa, (Xi ∼ N (0; 1)). Biến ngẫu nhiên χ2 = X21 +· · ·+X2

n

được gọi là có phân phối Chi bình phương n bậc tự do, ký hiệu χ2 ∼ χ2n.

Với χ2 được định nghĩa như trên, ta đi tìm hàm mật độ của χ2. Trước hết ta cónhận xét P (X2

1 < x) = 0 với x ≤ 0. Nếu z > 0 thì

P(X2

1 < x)

= P(−√

x < X1 <√

x)

= F(√

x)− F

(−√

x)

(5.26)

Trong đó F là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn hóa. Lấy đạohàm (5.26) ta nhận được hàm mật độ của X2

1 là

1√2π

x−1/2 exp(−1

2x)

khi x > 0

0 khi x ≤ 0(5.27)

Theo (5.22) ta có Γ(

(1

2

)=

√π nên X2

1 có phân phối Gamma(

12, 1

2

)

Vì X1, . . . , Xn độc lập và cùng phân phối chuẩn hóa cho nên X21 , . . . , X

2n độc lập

cùng phân phối Gamma(

12, 1

2

), theo định lý (5.23) thì biến ngẫu nhiên χ2 có phân

phối Gamma(

n2, 1

2

), vì vậy hàm mật độ của biến ngẫu nhiên χ2 là

1

2n/2Γ(

n2

)x(n/2)−1 exp(−x

2

)khi x > 0

0 khi x ≤ 0(5.28)

Định lý 5.25 (Các đặc trưng của phân phối Chi bình phương). Nếu biến ngẫu nhiênχ2 ∼ χ2

n thì

i. Hàm đặc trưng ϕ(t) =

(1

1 − 2t

)n/2

với mọi t < 12.

5.8 Phân phối Chi bình phương 92

0.2

0.4

4 8 12O

n = 1

n = 3

n = 6

Hình 5.8: Hàm mật độ Chi bình phương n bậc tự đo

ii. Kỳ vọng E (X) = n.

iii. Phương sai Var (X) = 2n.

Chứng minh. Xem bài tập 5.2.

Định nghĩa 5.26 (Phân vị chi bình phương). Điểm phân vị chi bình phương mức α,n bậc tự do, ký hiệu χ2

α,n là giá trị của biến ngẫu nhiên χ2, (χ2 ∼ χ2n) sao cho

P(χ2 < χ2

α,n

)= α

α

χα,nO

Hình 5.9: Phân vị Chi bình phương mức α, n bậc tự do

Ta sữ dụng bảng xác suất A.3 để tính xác suất hay phân vị của biến ngẫu nhiênχ2 ∼ χ2

n.

Ví dụ 5.12. Cho biết biến ngẫu nhiên χ2 ∼ χ215, tính P (χ2 < 11, 0365) và χ2

0,975;15.Tra bảng A.3 ta tìm được

P(χ2 < 11, 0365

)= 0, 250

vàP(χ2 < 27, 4884

)= 0, 975

cho nên χ20,975;15 = 27, 4884.

5.9 Phân phối Student 93

5.9 Phân phối Student

Định nghĩa 5.27 (Phân phối Student). Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân phốichuẩn hóa, Y là biến ngẫu nhiên độc lập với X và có phân phối Chi bình phương n

bậc tự do. Khi đó biến ngẫu nhiên

T =X√

n√Y

(5.29)

được gọi là có phân phối Student với n bậc tự do, ký hiệu T ∼ Tn.

Bây giờ ta đi tìm hàm mật độ của biến ngẫu nhiên T ∼ Tn. Bởi vì X và Y độc lậpcho nên hàm mật độ đồng thời sẽ là g(x, y) = gX(x)gY (y), với gX(x) và gY (y) lần lượtlà hàm mật độ của các biến ngẫu nhiên X và Y .

g(x, y) =1

2(n+1)/2√

2πΓ(

n2

)y(n/2)−1 exp

(−x2 + y

2

)(5.30)

Chúng ta sẽ đi xác định hàm mật độ đồng thời f(t, w) của T và W . Bằng cách đặtW = Y và T như 5.29, chúng ta có

W = Y

T =X√

n√Y

tương đương

Y = W

X =1√n

T√

W(5.31)

Jacobian của phép đổi biến từ sang X và Y sang T và W là

J =

∣∣∣∣∣∣∣

∂y

∂w

∂y

∂t∂x

∂w

∂x

∂t

∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣

1 0t

2√

nw

√w

n

∣∣∣∣∣∣=

√w

n

Hàm mật độ xác suất đồng thời f(t, w) của T và W thu được từ hàm mật độ đồngthời g(x, y) bằng cách thay x và y ở (5.31) và nhân với J =

√w/n. Ta tìm được f(t, w)

với −∞ < t < +∞ và w > 0 như sau

f(t, w) =1

2(n+1)/2√

2πΓ(

n2

)w(n/2)−1 exp

−1

2

(1 +

t2

n

)w

(5.32)

Từ (5.32) ta xác định hàm mật độ lề fT (t) của biến ngẫu nhiên T

f(t) =

∞∫

0

f(t, w)dw

5.9 Phân phối Student 94

và ta tìm được

fT (t) =Γ(

n+12

)√

nπ Γ(

n2

)(

1 +t2

n

)−(n+1)/2

với −∞ < t < +∞ (5.33)

Do đó, nếu T có phân phối Student với n bậc tự do thì hàm mật độ xác suất của T làfT (t) như (5.33). Đồ thị của hàm mật độ có phân phối student được minh họa ở hình5.10. Giống như phân phối chuẩn hóa, hàm mật độ của biến ngẫu nhiên có phân phối

0.2

0.4

1 2 3 4−1−2−3−4

Hàm mật độ student với n = 1



O

Hình 5.10: Hàm mật độ student

Student đối xứng qua trục tung. Hơn nữa, là khi n càng lớn thì hàm mật độ của T ,T ∼ Tn, càng giống với hàm mật độ chuẩn hóa, bởi vì

χ2 = X21 + · · ·+ X2

n

với Xi, (i = 1, . . . , n), là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối chuẩn hóa.Theo định lý luật số lớn 6.10, thì χ2/n

P−→ 1. Cũng từ định lý 6.7, định lý Slutsky, thìT = X

√n√

χ2

F−→ X. Vậy khi n lớn (trong thống kê thì n ≥ 30) thì phân phối của biến ngẫu

nhiên T ∼ Tn được xấp xỉ bằng phân phối của biến ngẫu nhiên X với X ∼ N (0; 1).

Hình 5.11 minh họa hàm mật độ của biến ngẫu nhiên chuẩn hóa và hàm mật độcủa biến ngẫu nhiên T5.

0.2

0.4

1 2 3 4−1−2−3−4



Hàm mật độ chuẩn N(0, 1)

O

Hình 5.11: So sánh mật độ chuẩn hóa với T5

5.10 Phân phối Fisher 95

Định nghĩa 5.28 (Phân vị Student). Phân vị Student mức α với n bậc tự do, ký hiệutα,n là giá trị của biến ngẫu nhiên T ∼ Tn thỏa mãn P (T < tα,n) = α.

Về mặt hình học, phân vị student được minh họa ở hình 5.12.

O

α

tα,n

Hình 5.12: Phân vị Student mức α, n bậc tự do

Ví dụ 5.13. Cho T ∼ T12. Tính P (T < 1, 989) và vì t0,975;12. Tra bảng A.4

P (T < 1, 989) = 0, 9066

vàP (T < 2, 179) = 0, 9750

cho nên t0,975;12 = 2, 179.

Ta nhận xét rằng, vì hàm mật độ của biến ngẫu nhiên T đối xứng qua trục tungcho nên tα,n = −t1−α,n. Ta sữ dụng bảng xác suất A.4 để tính xác suất hay phân vịcủa biến ngẫu nhiên T ∼ Tn.

5.10 Phân phối Fisher

Định nghĩa 5.29 (phân phối Fisher). Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập,X có phân phối chi bình phương m bậc tự do và Y có phân phối chi bình phương n

bậc tự do. Khi đó biến ngẫu nhiên

Z =X/m

Y/n(5.34)

được gọi là có phân phối Fisher với m và n bậc tự do, ký hiệu Z ∼ Fm,n .

Bây giờ ta đi tìm hàm mật độ của biến ngẫu nhiên Z ∼ Fm,n. Bởi vì X và Y độclập cho nên hàm mật độ xác suất đồng thời sẽ là g(x, y) = gX(x)gY (y), với gX(x),gY (y) lần lượt là hàm mật độ của X và Y . Hàm mật độ xác suất đồng thời

g(x, y) =

1

2(m+n)/2Γ(

m2

)Γ(

n2

)x(m/2)−1y(n/2)−1 exp(−x+y

2

)khi x > 0

0 khi x ≤ 0

5.10 Phân phối Fisher 96

Tiếp theo, chúng ta sẽ đi xác định hàm mật độ đồng thời f(z, w) của Z và W , trướchết ta đặt W = Y và Z như (5.34), chúng ta có

W = Y

Z =nX

mY

tương đương

Y = W

X =m

nZW

(5.35)

Jacobian của phép đổi biến từ X và Y sang T và W là

J =

∣∣∣∣∣∣∣

∂y

∂w

∂y

∂z∂x

∂w

∂x

∂z

∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣1 0

m

nz

m

nw

∣∣∣∣∣ =m

nw

Hàm mật độ xác suất đồng thời f(z, w) của Z và W , với mọi z > 0, w > 0

f(z, w) = c(m

n

)m/2

z(m/2)−1w[(m+n)/2]−1 exp

[−1

2

(m

nx + 1

)w

](5.36)

trong đóc =

1

2(m+n)/2Γ(

m2

)Γ(

n2

)

Hàm mật độ lề fZ(z) của biến ngẫu nhiên Z

fZ(z) =

+∞∫

0

f(z, w)dw

Áp dụng công thức (5.24) để tính tích phân+∞∫

0

w[(m+n)/2]−1 exp

[−1

2

(m

nz + 1

)w

]dw =

Γ[

12(m + n)

][

12

(mnz + 1

)](m+n)/2(5.37)

Vậy hàm mật độ của biến ngẫu nhiên Z có phân phối Fisher m và n bậc tự do là

fZ(z) =Γ[

12(m + n)

]mm/2nn/2

Γ(

m2

)Γ(

n2

) · z(m/2)−1

(mx + n)(m+n)/2

với mọi x > 0 và fZ(z) = 0 khi x ≤ 0.

Định nghĩa 5.30 (Phân vị Fisher). Phân vị Fisher mức α với m và n bậc tự do, kýhiệu xm,n;α là giá trị của biến ngẫu nhiên F ∼ Fm,n thỏa mãn P (F < xm,n;α) = α.

Giá trị phận vị của phân phối Fisher được tính sẵn bảng A.5.

Ví dụ 5.14. Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân phối Fisher với 6 và 12 bậc tựdo.Chúng ta xác định giá trị phân vị x6,15;0,95, tra bảng A.5 ta được x6,15;0,95 = 2, 79.


α

xm,n;αO

Hình 5.13: Phân vị Fisher mức α, m và n bậc tự do


Bài tập 5.1. Sữ dụng đạo hàm hàm đặc trưng chứng minh ii) và iii) định lý 5.7.

Bài tập 5.2. Chứng minh định lý 5.25.

Bài tập 5.3. Biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân phối nhị thức với các tham số n = 10,p = 0, 5

a. Tính P (X > 1).b. Tính E (X), Var (X) và Mod(X).

Bài tập 5.4. Trong một lô hàng có 80 sản phẩm tốt và 20 phế phẩm. Lấy ngẫunhiên ra 10 sản phẩm ra kiểm tra (lấy có hoàn lại). Gọi X là số sản phẩm loại tốt lấyđược.

a. X tuân theo quy luật phân phối gì?b. Tìm kỳ vọng và phương sai của X .c. Tìm số sản phẩm tốt có khả năng lấy được lớn nhất.

Bài tập 5.5. Trong một lô hàng có 80 sản phẩm tốt và 20 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiênra 10 sản phẩm ra kiểm tra (lấy không hoàn lại). Gọi X là số sản phẩm loại tốt lấyđược.

a. X tuân theo quy luật phân phối gì?b. Tìm kỳ vọng và phương sai của X .

Bài tập 5.6. Một bài thi trắc nghiệm gồm có 10 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phươngán trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng. Giả sử mỗi câu trả lời đúng được 4điểm và câu trả lời sai bị trừ 2 điểm. Một sinh viên kém làm bài bằng cách chọn ngẫunhiên một phương án cho mỗi câu hỏi.

a. Tính xác suất để học sinh này được 4 điểm.b. Tính xác suất để học sinh này bị điểm âm.


c. Gọi X là số câu trả lời đúng, tính E (X) và Var (X).d. Tìm số câu sinh viên này có khả năng trả lời đúng lớn nhất.

Bài tập 5.7. Trong trò chơi “bầu cua” có ba con xúc sắc, mỗi con có sáu mặt hìnhlà: bầu, cua, hưu, nai, tôm và gà. Giả sử có hai người, một người chơi và một ngườilàm cái. Nếu mỗi ván người chơi chỉ đặt ở một ô (một trong các hình: bầu, cua, hưu,nai, tôm và gà) sau khi chơi nhiều ván thì người nào sẽ thắng trong trò chơi này. Giảsữ thêm mỗi ván người chơi đặt 1000đ thì trung bình mỗi ván người thắng sẽ thắngbao nhiêu?

Bài tập 5.8. Có ba lọ giống nhau: hai lọ loại I, mỗi lọ có 3 bi trắng và 7 bi đen; mộtlọ loại II có 4 bi trắng và 6 bi đen. Một trò chơi được đặt ra như sau: Mỗi ván, ngườichơi chọn ngẫu nhiên một lọ và lấy ra hai bi từ lọ đó. Nếu lấy được đúng hai bi trắngthì người chơi thắng, ngược lại người chơi thua.

a. Người A chơi trò chơi này, tính xác suất người A thắng ở mỗi ván.b. Giả sử người A chơi 10 ván, tính số ván trung bình người chơi thắng được và số

ván người A thắng tin chắc nhất.c. Người A phải chơi ít nhất bao nhiêu ván để xác suất thắng ít nhất một ván không

dưới 0,99.

Bài tập 5.9. Trong ngày hội thi, mỗi chiến sĩ dự thi sẽ chọn một trong hai khẩu súngvà vối khẩu súng được chọn bắn 100 viên đạn. Nếu có từ 65 viên đạn trở lên trúngmục tiêu thì chiến sĩ này được thưởng. Giả sử với chiến sĩ S, xác suất trúng bia bằngsúng thứ nhất là 60% và bằng súng thứ hai là 58%.

a. Tính xác suất S được thưởng.b. Giả sử S dự thi 10 lần, tính số lần được thưởng tin chắc nhất.c. Chiến sĩ S phải dự thi ít nhất bao nhiêu lần để xác suất có ít nhất một lần được

thưởng không dưới 99%

Bài tập 5.10. Trọng lượng của một con bò là 1 biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩnvới giá trị trung bình 250 kg và độ lệch tiêu chuẩn là 40 kg. Tìm xác suất để 1 con bòchọn ngẫu nhiên có trọng lượng

a. Nặng hơn 300 kg.b. Nhẹ hơn 175 kg.c. Nằm trong khoảng từ 260 kg đến 270 kg.

Bài tập 5.11. Chiều cao của nam giới khi trưởng thành ở một vùng dân cư là biếnngẫu nhiên phân bố chuẩn vớí kỳ vọng µ = 160 cm và độ lệch chuẩn σ = 6 cm. Mộtthanh niên bị coi là lùn nếu có chiều cao nhỏ hơn 155 cm.


a. Tìm tỷ lệ thanh niên lùn ở vùng đó.b. Tìm xác suất để chọn ngẫu nhiên 4 người thì có ít nhất 1 người không bị lùn.

Bài tập 5.12. Trọng lượng sản phẩm X do một máy tự động sản xuất là một biếnngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn với µ = 100 gam và độ lệch chuẩn σ = 100 gam.Sản phẩm được coi là đạt tiêu chuẩn kỹ thuật nếu trọng lượng của nó đạt từ 98 đến102 gam.

a. Tìm tỷ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật của nhà máy.b. Tìm tỷ lệ phế phẩm của nhà máy.

Bài tập 5.13. Cho hai biến ngẫu nhiên độc lập: X ∼ N (3; 4) và χ2 ∼ χ29. Tính

P

(X >

√χ2 + 3

).

Chương 6

Luật số lớn - Định lý giới hạn

Trong chương này sẽ trình bày hai khái niệm quan trọng của lý thuyết xác suấtvà thống kê đó là luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm. Đối với luật số lớn, trongtài liệu này chúng tôi chỉ trình bày luật yếu số lớn. Luật yếu số lớn là một khẳngđịnh trung bình số học của các biến ngẫu nhiên hội tụ theo xác suất. Trong xác suấtvà thống kê chúng ta thường muốn biết phân phối của các biến ngẫu nhiên, mà biếnngẫu nhiên này là hàm số của một số biến ngẫu nhiên khác, ví dụ biến ngẫu nhiênY = g(X1, . . . , Xn). Đáng tiếc là việc tìm chính xác phân phối của biến ngẫu nhiênnày rất khó ngay cả chúng ta biết được phân phối của các biến ngẫu nhiên thànhphần Xi. Cũng có lúc chúng ta muốn biết phân phối của Y nhưng chúng ta chỉ biếtmột phần “thông tin” (kỳ vọng, phương sai) của các biến ngẫu nhiên thành phần Xi.Tuy nhiên khi n lớn chúng ta có thể xấp xỉ phân phối của Y ngay cả khi chúng ta chỉbiết một phần “thông tin” về các biến ngẫu nhiên X1, . . . , Xn nhờ vào định lý giới hạntrung tâm được trình bày ở mục 6.3.

6.1 Hội tụ theo xác suất và phân phối

Định nghĩa 6.1 (Hội tụ theo xác suất). Cho dãy biến ngẫu nhiên Xn và biến ngẫu

nhiên X. Ta nói Xn hội tụ theo xác suất đến X, ký hiệu XnP−→ X, nếu với mọi

ε > 0 thìlim

n→+∞P (|Xn − X| < ε) = 1 (6.1)

Nếu XnP−→ X thì với n lớn chúng ta có Xn ≈ X với xác suất gần 1. Thông thường,

Xn hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên X là hằng số (XnP−→ θ, θ là hằng số)

nghĩa là khi n lớn thì hầu như biến ngẫu nhiên Xn không có sự thay đổi.

Định nghĩa 6.2 (Hội tụ theo phân phối). Cho dãy biến ngẫu nhiên Xn và biến

6.1 Hội tụ theo xác suất và phân phối 101

ngẫu nhiên X. Ta nói Xn hội tụ theo phân phối đến X, ký hiệu XnF−→ X, nếu

limn→+∞

P (Xn < x) = P (X < x) = F (x) (6.2)

tại mọi điểm liên tục của hàm phân phối F (x)

Nếu XnF−→ X thì với n đủ lớn chúng ta có thể xấp xỉ phân phối của Xn bởi phân

phối của X. Vậy hội tụ theo phân phối rất tiện lợi cho việc xấp xỉ phân phối của biếnngẫu nhiên Xn.

Định nghĩa 6.3 (Hội tụ hầu chắc chắn). Cho dãy biến ngẫu nhiên Xn và biến ngẫunhiên X. Ta nói Xn hội tụ hầu chắc chắn đến X, ký hiệu Xn

a.s.−−→ X, nếu Xn 6→ X

với xác suất là không.

Định lý 6.4. Cho dãy biến ngẫu nhiên Xn và biến ngẫu nhiên X.

i) Nếu Xna.s.−−→ X thì Xn

P−→ X.

ii) Nếu XnP−→ X thì tồn tại dãy con nj sao cho Xnj

a.s.−−→ X.

Định lý 6.5. Cho dãy biến ngẫu nhiên Xn, biến ngẫu nhiên X và θ là một hằngsố thực

i) Nếu XnP−→ X thì Xn

F−→ X.

ii) Nếu XnF−→ θ thì Xn

P−→ θ.

Định lý 6.6 (Ánh xạ liên tục). Giả sử g(x) là hàm số liên tục trên R.

i) Nếu XnP−→ X thì g(Xn)

P−→ g(X).

ii) Nếu XnF−→ X thì g(Xn)

F−→ g(X).

Định lý 6.7 (Định lý Slutsky). Giả sử XnF−→ X và Yn

F−→ θ (θ là hằng số). Thì

i) Xn + YnF−→ X + θ.

ii) XnYnF−→ Xθ.

Định lý 6.8 (Bất đẳng thức Markov). Nếu X là biến ngẫu nhiên nhận giá trị khôngâm thì với mọi hằng số dương ε ta có

P (X ≥ ε) ≤ E (X)

ε(6.3)

6.1 Hội tụ theo xác suất và phân phối 102

Chứng minh. X là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ f(x) thì

E (X) =

+∞∫

0

xf(x)dx =

ε∫

0

xf(x)dx +

+∞∫

ε

xf(x)dx

≥+∞∫

ε

xf(x)dx ≥+∞∫

ε

εf(x)dx = εP (X ≥ ε)

Nhân hai vế của bất phương trình với 1/ε thì ta đươc bất đẳng thức 6.3.

Định lý 6.9 (Bất đẳng thức Chebyshev). Nếu X là biến ngẫu nhiên có kỳ vọng là µ

và phương sai σ2 hữu hạn thì với mọi hằng số dương ε bé tùy ý ta có

P (|X − µ| ≥ ε) ≤ Var (X)

ε2(6.4)

hay tương đương

P (|X − µ| < ε) >Var (X)

ε2(6.5)

Chứng minh. Ta thấy (X − µ2) là biến ngẫu nhiên không âm và ε > 0. Sữ dụng bấtđẳng thức Markov với a = ε2 ta được

P[(X − µ)2 ≥ ε2

]≤ E (X − µ)2

ε

Vì (X − µ)2 ≥ ε2 khi và chỉ khi |X − µ| ≥ ε nên

P (|X − µ| ≥ ε) ≤ Var (X)

ε2

Bất đẳng thức Markov và Chebyshev cho ta phương tiện thấy được giới hạn xác suấtkhi kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất chưa biết.

Ví dụ 6.1. Giả sử số phế phẩm của một nhà máy làm ra trong một tuần là một biếnngẫu nhiên với kỳ vọng là µ = 50.

a. Có thể nói gì về xác suất sản phẩm hư tuần này vượt quá 75.b. Nếu phương sai của phế phẩm trong tuần này là σ2 = 25 thì có thể nói gì về xác

suất sản phẩm tuần này sẽ ở giữa 40 và 60.

Giải. a. Theo bất đẳng thức Markov

P (X > 75) ≥ E (X)

75=

50

75=

2

3

6.2 Luật số lớn 103

b. Theo bất đẳng thức Chebyshev

P (|X − 50| ≥ 10) ≤ σ2

102=

25

100=

1

4

Do đóP (40 < X < 60) = P (|X − 50| < 10) > 1 − 1

4=

3

4

6.2 Luật số lớn

Định lý 6.10 (Luật số lớn). Gọi X1, . . . , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập và cùngphân phối xác suất với kỳ vọng µ = E (X) và phương sai σ2 = Var (X) hữu hạn. ĐặtSn = X1 + · · ·+ Xn. Khi đó với mọi ε > 0,

P

(∣∣∣∣Sn

n− µ

∣∣∣∣ ≥ ε

)→ 0 (6.6)

khi n → +∞. Tương dương với

P

(∣∣∣∣Sn

n− µ

∣∣∣∣ < ε

)→ 1 (6.7)

khi n → +∞.

Chứng minh. Bởi vì X1, . . . , Xn là độc lập và cùng phân phối, sữ dụng tính chất 3.11chúng ta có

Var

(Sn

n

)=

σ2

n

và theo tính chất 3.8 của kỳ vọng ta có

E

(Sn

n

)= µ

Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev, với mọi ε > 0,

P

(∣∣∣∣Sn

n− µ

∣∣∣∣ ≥ ε

)≤ σ2

nε2

Cố định ε,

P

(∣∣∣∣Sn

n− µ

∣∣∣∣ ≥ ε

)→ 0

khi n → +∞, hay tương đương với

P

(∣∣∣∣Sn

n− µ

∣∣∣∣ < ε

)→ 1

khi n → +∞

6.3 Định lý giới hạn trung tâm 104

Chú ý. Sn/n là trung bình của các biến ngẫu nhiên Xi, (i = 1, . . . , n), do đó người tathường gọi luật số lớn là luật “trung bình”.

Ví dụ 6.2. Xét n phép thử Bernoulli với xác suất thành công là p. Đặt biến ngẫunhiên Xi,(i = 1, . . . , n), như sau

Xi =

1 nếu thành công0 nếu không thành công

Đặt Sn = X1 + · · · + Xn là số lần thành công trong n phép thử và µ = E (Xi) = p.Theo luật số lớn, với mọi ε > 0

P

(∣∣∣∣Sn

n− p

∣∣∣∣ < ε

)→ 1 (6.8)

khi n → +∞. Giới hạn trên nói lên rằng, khi thực hiện lâp lại phép thử Bernoullinhiều lần chúng ta “tin chắc” rằng số lần thành công trung bình sẽ “gần” với p.

6.3 Định lý giới hạn trung tâm

Một khái niệm quan trọng của lý thuyết xác suất là Định lý giới hạn trung tâm.Định lý này sẽ cho phép ta xấp xỉ phân phối của tổng n biến ngẫu nhiên độc lập vớibiến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Trong tài liệu này chỉ phát biểu cho trường hợptổng n biến ngẫu nhiên độc lập và cùng phân phối.

Định lý 6.11 (Định lý giới hạn trung tâm). Nếu X1, . . . , Xn là các biến ngẫu nhiênđộc lập và cùng phân phối với kỳ vọng µ và phương sai σ2 hữu hạn. Ta đặt

Sn = X1 + · · · + Xn

Sn có kỳ vọng là E (Sn) = nµ và phương sai Var (Sn) = nσ2. Khi n → ∞ thì biếnngẫu nhiên

SnF−→ X, với X ∼ N

(nµ; nσ2

)(6.9)

Hay biến ngẫu nhiên

Zn =Sn − nµ

σ√

n

F−→ Z, với Z ∼ N (0; 1) (6.10)

Nghĩa là khi n lớn thì với mọi x ∈ R

P

(Sn − nµ

σ√

n< x

)≈ P (Z < x) , với Z ∼ N (0; 1) (6.11)


Chứng minh. Ta đặt

Zn =Sn − nµ

σ√

n=

1√n

n∑

i=1

(Xi − µ

σ

)

vàZi =

Xi − µ

σ, i = 1, . . . , n

Các biến ngẫu nhiên Zi, (i = 1, . . . n), là độc lập và có cùng phân phối nên cũng cócùng hàm đặc trưng ϕ(t), ta cũng có hàm đặc trưng của 1√

nZi là ϕ

(t√n

). Từ tính

chất 3.18 thì hàm đặc trưng của Zn là

ϕn(t) =

[ϕ

(t√n

)]n

cũng theo tính chất 3.19 - đạo hàm của hàm đặc trưng thì

ϕ′

(0) = i (Zi) = 0

ϕ′′

(0) = i2(Z2

i

)= −1

Khai triển Taylor của hàm đặc trưng ϕ(t) có dạng

ϕ (t) = ϕ (0) + tϕ′

(0) +t2

2!ϕ

′′

(0) +t3

3!ϕ

′′′

(0) + · · ·

= 1 − t2

2+

t3

3!ϕ

′′′

(0) + · · ·

Ta suy ra

ϕ

(t√n

)= 1 − t2

2n+

t3

3!n3/2ϕ

′′′

(0) + · · ·

Hàm đặc trưng ϕn(t) của biến ngẫu nhiên Zn sẽ là

ϕn (t) =

(1 − t2

2n+

t3

3!n3/2ϕ

′′′

(0) + · · ·)n

=

[1 +

1

n

(−t2

2+

t3

3!n1/2ϕ

′′′

(0) + · · ·)]n

Mà ta cólim

n→∞

(−t2

2+

t3

3!n1/2ϕ

′′′

(0) + · · ·)

= −1

2t2

do đólim

n→∞ϕn (t) = exp

(−1

2t2)

(6.12)

Theo định lý 5.12 thì (6.12) chính là hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên có phân phốichuẩn hóa. Từ tính chất 3.17 thì biến ngẫu nhiên Zn sẽ hội tụ theo phân phối đếnbiến ngẫu nhiên Z ∼ N (0; 1).


Chú ý. Ở công thức (6.9) ta viết

SnF−→ X, với X ∼ N

(nµ; nσ2

)

Nghĩa là khi n lớn phân phối của biến ngẫu nhiên Sn được xấp xỉ bằng phân phốichuẩn N (nµ, nσ2). Để đơn giản ta viết Sn

.∼ N (nµ; nσ2), dấu “ .∼” nghĩa là “xấp xỉphân phối”.

Ví dụ 6.3. Cho X1, . . . , X200 là 200 biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối Bernoullivới p = 0, 3. Biến ngẫu nhiên Xi ∼ B(1; 0, 3) cho nên kỳ vọng E (Xi) = p = 0, 3 vàphương sai Var (Xi) = pq = 0, 3 · 0, 7 = 0, 21.

Ta đặt biến ngẫu nhiên S200 = X1+· · ·+Xn, bởi vì dãy biến ngẫu nhiên X1, . . . , X200

độc lập cho nên kỳ vọngE (S200) = 200 · 0, 3 = 60

và phương saiVar (S200) = 200 · 0, 21 = 42

Theo định lý 6.11 ta có S200.∼ N (60; 42) tương đương với

S′

=S200 − 60√

42

.∼ N (0; 1)

Ta tính xấp xỉ xác suất S200 < 65

P (S200 < 65) ≈ θ

(65 − 60√

42

)≈ θ(0, 77)

≈ 0, 7794

Ví dụ 6.4. Các kỹ sư xây cầu A tin rằng trọng lượng W (đơn vị tấn) cầu có thể chịuđựng, không là hư hại cấu trúc của cầu có phân phối chuẩn với µ = 400 và độ lệchtiêu chuẩn σ = 40. Giả sử trọng lượng của xe tải qua cầu là biến ngẫu nhiên có kỳvọng là 3 và độ lệch tiêu chuẩn 0,3. Hỏi bao nhiêu xe tải trên cầu để xác suất cầu bịhư cấu trúc lớn hơn 0, 1.

Giải. Gọi Pn là xác suất hư hại cấu trúc cầu khi n xe đi qua là

Pn = P (Sn ≥ W )

= P (Sn − W ≥ 0) (6.13)

với Sn = X1 + · · ·+ Xn. Biến ngẫu nhiên Sn có kỳ vọng là 3n và phương sai là 0, 09n.Theo định lý 6.11 thì

Sn.∼ N (3n; 0, 09n)


Biến ngẫu nhiên Sn − W có kỳ vọng

E (Sn − W ) = E (Sn) − E (W ) = 3n − 400

Bởi vì W biến ngẫu nhiên độc lập với các biến ngẫu nhiên Xi, (i = 1, . . . , n) cho nênW cũng độc lập với Sn. Phương sai của Sn − W là

Var (Sn − W ) = Var (Sn) + Var (W ) = 0, 09n + 1600

Theo hệ quả 5.15 thì biến ngẫu nhiên Sn−W.∼ N (3n − 400; 0, 09n + 1600). Bài toán

yêu cầu tìm số xe tải, n, trên cầu để xác suất cầu hư cấu trúc lớn hơn 0, 1 đồng nghĩavới việc tìm n sao cho

Pn = P (Sn − W > 0) > 0, 1

tương đương vớiP (Sn − W < 0) ≤ 0, 9

suy ra

θ

(3n − 400√

0, 09n + 1600

)≤ θ(1, 28)

Do θ(x) là hàm không giảm cho nên

3n − 400√0, 09n + 1600

≤ 1, 28

hay n ≥ 117.

Định lý 6.12 (Định lý giới hạn cho dãy phép thử Bernoulli). Giả sử các biến ngẫunhiên X1, . . . , Xn độc lập và cùng phân phối Bernoulli ∗ với tham số 0 < p < 1.

Ta đặt Sn = X1 + · · ·+ Xn, ta đã biết là Sn ∼ B(n; p) do đó ta có được kỳ vọng vàphương sai của Sn lần lượt là E (Sn) = np, Var (Sn) = npq.

Khi n lớn thì phân phối của biến ngẫu nhiên Sn được xấp xỉ bằng phân phối chuẩnN(np, npq), ký hiệu Sn

.∼ N(np; npq). Xác suất

P (a ≤ Sn < b) = P

(a − np√

npq≤ Sn − np√

npq≤ b − np√

npq

)

≈ θ

(b − np√

npq

)− θ

(a − np√

npq

)(6.14)

và

P (Sn = k) ≈ 1√2πnpq

exp

(−(k − np)2

2npq

)(6.15)

Với θ(x) như công thức (5.13).∗Xem mục 5.1


Nếu chúng ta đặt

x0 =k − np√

npq

thì công thức (6.15) trở thành

P (Sn = k) ≈ 1√npq

· 1√2π

exp

(−1

2x2

0

)

≈ 1√npq

φ(x0) (6.16)

trong đó hàm φ(x0) được xác định như công thức (5.12). Với x0 cho trước, giá trị củaφ được tính sẵn ở bảng (A.1).

Ví dụ 6.5. Một xạ thủ bắn 100 phát vào một mục tiêu, các lần bắn độc lập với nhau.Xác suất bắn trúng mục tiêu của mỗi lần bắn là p = 0, 55. Tính xác suất để số viêntrúng mục tiêu lớn hơn hoặc bằng 50 và nhỏ hơn hoặc bằng 62.

Giải. Gọi S100 là số phát trúng mục tiêu trong 100 phát bắn, ta có S100 ∼ B(100; 0, 55).Kỳ vọng

E (S100) = np = 100 · 0, 55 = 55

và phương saiVar (S100) = npq = 100 · 0, 55 · 0, 45 = 24, 75

Theo định lý 6.12 thì S100.∼ N(55; 24, 75). Suy ra

P (50 ≤ S100 < 62) ≈ θ

(62 − 55√

24, 75

)− θ

(50 − 55√

24, 75

)

≈ θ(1, 4071)− θ(−1, 0050) ≈ 0, 7705

Vậy xác suất để có số viên trúng mục liêu lớn hơn hoặc bằng 50 và nhỏ hơn 62 viênlà 0, 7705.

Ví dụ 6.6. Tung 1 đồng xu cân đối 100 lần, tính xác suất có đúng 45 lần xuất hiệnmặt ngửa.

Giải. Gọi S100 là số lần xuất hiện đồng xu ngửa khi tung đồng xu 100 lần. Ta cóS100 ∼ B(100; 0, 5). Kỳ vọng

E (S100) = np = 100 · 0, 5 = 50

và phương saiVar (S100) = npq = 100 · 0, 5 · 0, 5 = 25

6.4 Định lý xấp xỉ Poisson 109

k

P (X = k)

0.02

0.04

0.06

0.08

35 45 55 65 75

Hình 6.1: Xấp xỉ xác suất P (50 < S100 < 62)

Theo định lý 6.12 thì S100.∼ N(50; 25). Và xác suất

P (S100 = 45) ≈ 1

5φ

(45 − 50

5

)

≈ 1

5φ(−1) ≈ 0, 0484

φ(−1) tra bảng A.1. Vậy xác suất có đúng 45 lần xuất hiện mặt ngửa là 0, 0484.

k

P (X = k)

0.02

0.04

0.06

0.08

35 45 55 65

Hình 6.2: Xấp xỉ xác suất P (S100 = 45)

6.4 Định lý xấp xỉ Poisson

Các biến ngẫu nhiên X1, . . . , Xn độc lập cùng phân phối Bernoulli tham số p,0 < p < 1, chúng ta đã biết Sn = X1 + · · · + Xn có phân phối nhị thức tham số n,

6.4 Định lý xấp xỉ Poisson 110

p, hay Sn ∼ B(n; p). Trong thực tế công thức nhị thức (5.1) chỉ được sữ dụng khi n

tương đối bé. Trong trường hợp n lớn và p không quá gần 0 hay 1 ta dùng công thứcxấp xỉ (6.14) hay (6.15) để tính P (Sn = k) hay P (Sn < k). Trong trường hợp p quágần 0 hay 1 thì việc dùng các công thức đó sẽ dẫn đến sai số đáng kể. Trong trườnghợp n rất lớn và p rất bé thì phân phối của Sn được tính xấp xỉ nhờ lý sau:

Định lý 6.13 (Xấp xỉ Poisson). Nếu biến ngẫu nhiên Sn ∼ B(n; p), và khi n lớn p

gần 0 thì

P (Sn = k) ≈ λke−λ

k!(6.17)

vời λ = np.

Chứng minh. Theo công thức nhị thức (5.1):

P (Sn = k) = Cknpkqn−k =

n(n − 1) · · · (n − k − 1)

k!pkqn−k

Đặt λ = np, suy ra p =λ

n. Do đó,

P (Sn = k) =n(n − 1) · · · (n − k − 1)

k!

(λ

n

)k (1 − λ

n

)n−k

=λk

k!

1

(1 − 1

n

)(1 − 2

n

)· · ·(

1 − k − 1

n

)(1 − λ

n

)n−k

Chuyển qua giới hạn khi n → +∞ ta được

limn→+∞

P (Sn = k) =λk

k!lim

n→+∞

(1 − λ

n

)n−k

=λe−λ

k!

Khi n lớn p gần 0 ta có công thức xấp xỉ

P (Sn = k) ≈ λke−λ

k!

Chú ý trong trường hợp các phép thử Bernoulli có p = P (A) gần 1 thì P(A)

= 1 − p

sẽ gần 0. Do đó để tính xác suất k lần xảy ra A khi thực hiện n phép thử, P (Sn = k)

ta chuyển sang tính xác suất n − k lần xảy ra A trong n phép thử.

Ví dụ 6.7. Một nữ công nhân đứng máy xe sợi gồm 800 ống sợi, xác suất đứt sợi ởmỗi ống trong một giờ là 0,005. Tính xác suất trong vòng 1 giờ có không quá 2 ống bịđứt sợi.


Giải. Gọi S800 là số ống sợi bị đứt trong 1 giờ. Thì X ∼ B(800; 0, 005) nên

P (S800 ≤ 2) = P (S800 = 0) + P (S800 = 1) + P (S800 = 2)

Vì n = 800 lớn và p = 0, 005 nhỏ nên theo công thức (6.17) với λ = np = 4

P (S800 ≤ 2) ≈ 40e−4

0!+

41e−4

1!+

42e−4

2!≈ 0, 3114


Bài tập 6.1. Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục với kỳ vọng µ = 10 và phương saiσ2 = 100/3. Dùng bất đẳng thức Chebyshev tìm cận trên của các xác suất:

a. P (|X − 10| ≥ 2).b. P (|X − 10| ≥ 5).c. P (|X − 10| ≥ 9).

Bài tập 6.2. Cho X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn hóa. Dùng bất đẳng thứcChebyshev, tìm cận trên của các xác suất P (|X| ≥ 1), P (|X| ≥ 2) và P (|X| ≥ 3).

Bài tập 6.3. Cho biến ngẫu nhiên X có kỳ vọng µ 6= 0 và phương sai σ2, biến ngẫunhiên Y được định bởi

Y =

∣∣∣∣X − µ

µ

∣∣∣∣

a. Chứng minh P (Y ≥ a) ≤ σ2

µ2a2∀a > 0.

b. X là biến ngẫu nhiên như bài 6.1, tìm cận trên của các xác suất P (Y ≥ 0, 2),P (X ≥ 0, 5) và P (Y ≥ 2).

Bài tập 6.4. Điểm thi cuối khóa môn xác suất thống kê là biến ngẫu nhiên có miềngiá trị [0, 10] với kỳ vọng 7 và phương sai 1.

a. Tìm cận dưới của xác suất điểm của một sinh viên bất kỳ lớn hơn 5 và nhỏ hơn9.

b. Nếu có 200 sinh viên dự thi, tìm cận dưới của xác suất điểm trung bình của lớplớn hơn 5 và nhỏ hơn 9.

Bài tập 6.5. Đặt S100 là số đồng xu sấp khi tung 1 đồng xu cân đối 100 lần. Dùngđịnh lý giới hạn tính


a. P (S100 < 45).b. P (45 ≤ S100 < 55).c. P (X100 = 49).

Bài tập 6.6. Cho các biến ngẫu nhiên X1, . . . , Xn là n biến ngẫu nhiên độc lập cùngphân phối với kỳ vọng µ, độ lệch tiêu chuẩn σ = 0, 3. Dùng định lý giới hạn trung tâmđể xác định n sao cho

P

(Sn

n< 0, 3

)≥ 0, 95

với Sn = X1 + · · ·+ Xn.

Bài tập 6.7. Một xí nghiệp sản xuất máy tính có xác suất làm ra phế phẩm là 0,02.Chọn ngẫu nhiên 50 máy để kiểm tra, tìm xác suất để:

a. Có đúng 2 phế phẩm.b. Có không quá 2 phế phẩm.

Bài tập 6.8. Xác suất để gặp một hạt thóc lép khi chọn giống là 0,004. Tìm xác suấtđể khi chọn ngẫu nhiên 1000 hạt trong vô số thóc ta gặp:

a. 10 hạt lép.b. Không quá 3 hạt.

Bài tập 6.9. Một con xúc xắc cân đối, đồng chất được gieo 1000 lần. Tìm xác suấtđể tổng số nốt xuất hiện nhỏ hơn 3540.

Bài tập 6.10. Xác suất để một người bị phản ứng từ việc tiêm huyết thanh là 0,001.Tìm xác suất sao cho trong 2000 người:

a. Có đúng 3 người bị phản ứng.b. Có nhiều hơn 2 người bị phản ứng.

Bài tập 6.11. Đặt X1, . . . , X144 là các biến ngẫu nhiên độc lập và cùng phân phốivới kỳ vọng µ = E (Xi) = 2 và phương sai σ2 = Var (Xi) = 4. Dùng định lý giới hạntrung tâm, hãy tính xấp xỉ giá trị xác suất P (X1 + · · ·+ X144 < 350).

Bài tập 6.12. Các biến ngẫu nhiên X1, . . . , X625 là các biến ngẫu nhiên độc lập vàcùng phân phối xác suất, có hàm mật độ xác suất cho bởi

f(x) =

3(1 − x)2 khi 0 ≤ x ≤ 1

0 nơi khác

Dùng định lý giới hạn trung tâm, hãy tính xấp xỉ giá trị xác suất P (X1 + · · · + X625 < 350).

Phụ lục A

Các bảng giá trị xác suất

A.1 Giá trị hàm mật độ chuẩn hóa 114

A.1 Giá trị hàm mật độ chuẩn hóa φ(x) = 1√2π

e−x2

2

x

φ(x)

O

x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,3989 0,3989 0,3989 0,3988 0,3986 0,3984 0,3982 0,3980 0,3977 0,39700,1 0,3970 0,3965 0,3961 0,3956 0,3951 0,3945 0,3939 0,3932 0,3925 0,39110,2 0,3910 0,3902 0,3894 0,3885 0,3876 0,3867 0,3857 0,3847 0,3836 0,38150,3 0,3814 0,3802 0,3790 0,3778 0,3765 0,3752 0,3739 0,3725 0,3712 0,36840,4 0,3683 0,3668 0,3653 0,3637 0,3621 0,3605 0,3589 0,3572 0,3555 0,35220,5 0,3521 0,3503 0,3485 0,3467 0,3448 0,3429 0,3410 0,3391 0,3372 0,3334

0,6 0,3332 0,3312 0,3292 0,3271 0,3251 0,3230 0,3209 0,3187 0,3166 0,31250,7 0,3123 0,3101 0,3079 0,3056 0,3034 0,3011 0,2989 0,2966 0,2943 0,28990,8 0,2897 0,2874 0,2850 0,2827 0,2803 0,2780 0,2756 0,2732 0,2709 0,26630,9 0,2661 0,2637 0,2613 0,2589 0,2565 0,2541 0,2516 0,2492 0,2468 0,24221,0 0,2420 0,2396 0,2371 0,2347 0,2323 0,2299 0,2275 0,2251 0,2227 0,2181

1,1 0,2179 0,2155 0,2131 0,2107 0,2083 0,2059 0,2036 0,2012 0,1989 0,19441,2 0,1942 0,1919 0,1895 0,1872 0,1849 0,1826 0,1804 0,1781 0,1758 0,17161,3 0,1714 0,1691 0,1669 0,1647 0,1626 0,1604 0,1582 0,1561 0,1539 0,14991,4 0,1497 0,1476 0,1456 0,1435 0,1415 0,1394 0,1374 0,1354 0,1334 0,12971,5 0,1295 0,1276 0,1257 0,1238 0,1219 0,1200 0,1182 0,1163 0,1145 0,1111

1,6 0,1109 0,1092 0,1074 0,1057 0,1040 0,1023 0,1006 0,0989 0,0973 0,09421,7 0,0940 0,0925 0,0909 0,0893 0,0878 0,0863 0,0848 0,0833 0,0818 0,07911,8 0,0790 0,0775 0,0761 0,0748 0,0734 0,0721 0,0707 0,0694 0,0681 0,0657

A.1 Giá trị hàm mật độ chuẩn hóa 115

Bảng A.1: Giá trị hàm mật độ chuẩn hóa (tiếp theo)

x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

1,9 0,0656 0,0644 0,0632 0,0620 0,0608 0,0596 0,0584 0,0573 0,0562 0,05412,0 0,0540 0,0529 0,0519 0,0508 0,0498 0,0488 0,0478 0,0468 0,0459 0,0441

2,1 0,0440 0,0431 0,0422 0,0413 0,0404 0,0396 0,0387 0,0379 0,0371 0,03562,2 0,0355 0,0347 0,0339 0,0332 0,0325 0,0317 0,0310 0,0303 0,0297 0,02842,3 0,0283 0,0277 0,0270 0,0264 0,0258 0,0252 0,0246 0,0241 0,0235 0,02242,4 0,0224 0,0219 0,0213 0,0208 0,0203 0,0198 0,0194 0,0189 0,0184 0,01762,5 0,0175 0,0171 0,0167 0,0163 0,0158 0,0154 0,0151 0,0147 0,0143 0,0136

2,6 0,0136 0,0132 0,0129 0,0126 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110 0,01042,7 0,0104 0,0101 0,0099 0,0096 0,0093 0,0091 0,0088 0,0086 0,0084 0,00792,8 0,0079 0,0077 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0067 0,0065 0,0063 0,00602,9 0,0060 0,0058 0,0056 0,0055 0,0053 0,0051 0,0050 0,0048 0,0047 0,00443,0 0,0044 0,0043 0,0042 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036 0,0035 0,0033

3,1 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026 0,0025 0,00243,2 0,0024 0,0023 0,0022 0,0022 0,0021 0,0020 0,0020 0,0019 0,0018 0,00173,3 0,0017 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014 0,0013 0,00123,4 0,0012 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010 0,0010 0,0009 0,00093,5 0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007 0,0007 0,0007 0,0006

3,6 0,0006 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 0,00043,7 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0003 0,0003 0,0003 0,00033,8 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,00023,9 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001

Bảng A.1: Giá trị hàm mật độ chuẩn hóa

A.2 Giá trị hàm phân phối của luật chuẩn hóa 116

A.2 Giá trị hàm phân phối của luật chuẩn hóa, θ(x) =x∫

−∞

1√2π

exp(−1

2u2)du

θ(x)

O x

x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,53590,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,57530,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,61410,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,65170,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,68790,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224

0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,75490,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,78520,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,81330,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,83891,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621

1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,88301,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,90151,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,91771,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,93191,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441

1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,95451,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633

A.2 Giá trị hàm phân phối của luật chuẩn hóa 117

Bảng A.2: Giá trị hàm phân phối của luật chuẩn hóa (tiếp theo)

x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,97061,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,97672,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817

2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,98572,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,98902,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,99162,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,99362,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952

2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,99642,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,99742,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,99812,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,99863,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990

3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,99933,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,99953,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,99973,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,99983,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998

3,6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,99993,7 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,99993,8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,99993,9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

Bảng A.2: Giá trị hàm phân phối của luật chuẩn hóa

A.3 Giá trị phân vị của luật chi bình phương 118

A.3 Giá trị phân vị của luật chi bình phương, (χ2 ∼ χ2n)

αP(χ2 < χ2

α,n

)= α

χ2α,n

O

HH

HH

HHn

α0,005 0,010 0,025 0,050 0,100 0,200 0,250 0,300 0,400

1 0,0000 0,0002 0,0010 0,0039 0,0158 0,0642 0,1015 0,1485 0,27502 0,0100 0,0201 0,0506 0,1026 0,2107 0,4463 0,5754 0,7133 1,02173 0,0717 0,1148 0,2158 0,3518 0,5844 1,0052 1,2125 1,4237 1,86924 0,2070 0,2971 0,4844 0,7107 1,0636 1,6488 1,9226 2,1947 2,75285 0,4117 0,5543 0,8312 1,1455 1,6103 2,3425 2,6746 2,9999 3,6555

6 0,6757 0,8721 1,2373 1,6354 2,2041 3,0701 3,4546 3,8276 4,57027 0,9893 1,2390 1,6899 2,1673 2,8331 3,8223 4,2549 4,6713 5,49328 1,3444 1,6465 2,1797 2,7326 3,4895 4,5936 5,0706 5,5274 6,42269 1,7349 2,0879 2,7004 3,3251 4,1682 5,3801 5,8988 6,3933 7,357010 2,1559 2,5582 3,2470 3,9403 4,8652 6,1791 6,7372 7,2672 8,2955

11 2,6032 3,0535 3,8157 4,5748 5,5778 6,9887 7,5841 8,1479 9,237312 3,0738 3,5706 4,4038 5,2260 6,3038 7,8073 8,4384 9,0343 10,182013 3,5650 4,1069 5,0088 5,8919 7,0415 8,6339 9,2991 9,9257 11,129114 4,0747 4,6604 5,6287 6,5706 7,7895 9,4673 10,1653 10,8215 12,078515 4,6009 5,2293 6,2621 7,2609 8,5468 10,3070 11,0365 11,7212 13,0297

16 5,1422 5,8122 6,9077 7,9616 9,3122 11,1521 11,9122 12,6243 13,982717 5,6972 6,4078 7,5642 8,6718 10,0852 12,0023 12,7919 13,5307 14,937318 6,2648 7,0149 8,2307 9,3905 10,8649 12,8570 13,6753 14,4399 15,893219 6,8440 7,6327 8,9065 10,1170 11,6509 13,7158 14,5620 15,3517 16,850420 7,4338 8,2604 9,5908 10,8508 12,4426 14,5784 15,4518 16,2659 17,8088


Bảng A.3: Giá trị phân vị của luật chi bình phương (tiếp theo)

HH

HH

HHn

α0,005 0,010 0,025 0,050 0,100 0,200 0,250 0,300 0,400

21 8,0337 8,8972 10,2829 11,5913 13,2396 15,4446 16,3444 17,1823 18,768322 8,6427 9,5425 10,9823 12,3380 14,0415 16,3140 17,2396 18,1007 19,728823 9,2604 10,1957 11,6886 13,0905 14,8480 17,1865 18,1373 19,0211 20,690224 9,8862 10,8564 12,4012 13,8484 15,6587 18,0618 19,0373 19,9432 21,652525 10,5197 11,5240 13,1197 14,6114 16,4734 18,9398 19,9393 20,8670 22,6156

26 11,1602 12,1981 13,8439 15,3792 17,2919 19,8202 20,8434 21,7924 23,579427 11,8076 12,8785 14,5734 16,1514 18,1139 20,7030 21,7494 22,7192 24,544028 12,4613 13,5647 15,3079 16,9279 18,9392 21,5880 22,6572 23,6475 25,509329 13,1211 14,2565 16,0471 17,7084 19,7677 22,4751 23,5666 24,5770 26,475130 13,7867 14,9535 16,7908 18,4927 20,5992 23,3641 24,4776 25,5078 27,4416

35 17,1918 18,5089 20,5694 22,4650 24,7967 27,8359 29,0540 30,1782 32,282140 20,7065 22,1643 24,4330 26,5093 29,0505 32,3450 33,6603 34,8719 37,134045 24,3110 25,9013 28,3662 30,6123 33,3504 36,8844 38,2910 39,5847 41,995050 27,9907 29,7067 32,3574 34,7643 37,6886 41,4492 42,9421 44,3133 46,863855 31,7348 33,5705 36,3981 38,9580 42,0596 46,0356 47,6105 49,0554 51,7391

60 35,5345 37,4849 40,4817 43,1880 46,4589 50,6406 52,2938 53,8091 56,620065 39,3831 41,4436 44,6030 47,4496 50,8829 55,2620 56,9903 58,5731 61,505970 43,2752 45,4417 48,7576 51,7393 55,3289 59,8978 61,6983 63,3460 66,396175 47,2060 49,4750 52,9419 56,0541 59,7946 64,5466 66,4168 68,1271 71,290380 51,1719 53,5401 57,1532 60,3915 64,2778 69,2069 71,1445 72,9153 76,187985 55,1696 57,6339 61,3888 64,7494 68,7772 73,8779 75,8807 77,7102 81,088890 59,1963 61,7541 65,6466 69,1260 73,2911 78,5584 80,6247 82,5111 85,992595 63,2496 65,8984 69,9249 73,5198 77,8184 83,2478 85,3757 87,3175 90,8990100 67,3276 70,0649 74,2219 77,9295 82,3581 87,9453 90,1332 92,1289 95,8079



HH

HH

HHn

α0,500 0,600 0,750 0,800 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995

1 0,4549 0,7083 1,3233 1,6424 2,7055 3,8415 5,0239 6,6349 7,87942 1,3863 1,8326 2,7726 3,2189 4,6052 5,9915 7,3778 9,2103 10,59663 2,3660 2,9462 4,1083 4,6416 6,2514 7,8147 9,3484 11,3449 12,83824 3,3567 4,0446 5,3853 5,9886 7,7794 9,4877 11,1433 13,2767 14,86035 4,3515 5,1319 6,6257 7,2893 9,2364 11,0705 12,8325 15,0863 16,7496

6 5,3481 6,2108 7,8408 8,5581 10,6446 12,5916 14,4494 16,8119 18,54767 6,3458 7,2832 9,0371 9,8032 12,0170 14,0671 16,0128 18,4753 20,27778 7,3441 8,3505 10,2189 11,0301 13,3616 15,5073 17,5345 20,0902 21,95509 8,3428 9,4136 11,3888 12,2421 14,6837 16,9190 19,0228 21,6660 23,589410 9,3418 10,4732 12,5489 13,4420 15,9872 18,3070 20,4832 23,2093 25,1882

11 10,3410 11,5298 13,7007 14,6314 17,2750 19,6751 21,9200 24,7250 26,756812 11,3403 12,5838 14,8454 15,8120 18,5493 21,0261 23,3367 26,2170 28,299513 12,3398 13,6356 15,9839 16,9848 19,8119 22,3620 24,7356 27,6882 29,819514 13,3393 14,6853 17,1169 18,1508 21,0641 23,6848 26,1189 29,1412 31,319315 14,3389 15,7332 18,2451 19,3107 22,3071 24,9958 27,4884 30,5779 32,8013

16 15,3385 16,7795 19,3689 20,4651 23,5418 26,2962 28,8454 31,9999 34,267217 16,3382 17,8244 20,4887 21,6146 24,7690 27,5871 30,1910 33,4087 35,718518 17,3379 18,8679 21,6049 22,7595 25,9894 28,8693 31,5264 34,8053 37,156519 18,3377 19,9102 22,7178 23,9004 27,2036 30,1435 32,8523 36,1909 38,582320 19,3374 20,9514 23,8277 25,0375 28,4120 31,4104 34,1696 37,5662 39,9968



HH

HH

HHn

α0,500 0,600 0,750 0,800 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995

21 20,3372 21,9915 24,9348 26,1711 29,6151 32,6706 35,4789 38,9322 41,401122 21,3370 23,0307 26,0393 27,3015 30,8133 33,9244 36,7807 40,2894 42,795723 22,3369 24,0689 27,1413 28,4288 32,0069 35,1725 38,0756 41,6384 44,181324 23,3367 25,1063 28,2412 29,5533 33,1962 36,4150 39,3641 42,9798 45,558525 24,3366 26,1430 29,3389 30,6752 34,3816 37,6525 40,6465 44,3141 46,9279

26 25,3365 27,1789 30,4346 31,7946 35,5632 38,8851 41,9232 45,6417 48,289927 26,3363 28,2141 31,5284 32,9117 36,7412 40,1133 43,1945 46,9629 49,644928 27,3362 29,2486 32,6205 34,0266 37,9159 41,3371 44,4608 48,2782 50,993429 28,3361 30,2825 33,7109 35,1394 39,0875 42,5570 45,7223 49,5879 52,335630 29,3360 31,3159 34,7997 36,2502 40,2560 43,7730 46,9792 50,8922 53,6720

35 34,3356 36,4746 40,2228 41,7780 46,0588 49,8018 53,2033 57,3421 60,274840 39,3353 41,6222 45,6160 47,2685 51,8051 55,7585 59,3417 63,6907 66,766045 44,3351 46,7607 50,9849 52,7288 57,5053 61,6562 65,4102 69,9568 73,166150 49,3349 51,8916 56,3336 58,1638 63,1671 67,5048 71,4202 76,1539 79,490055 54,3348 57,0160 61,6650 63,5772 68,7962 73,3115 77,3805 82,2921 85,7490

60 59,3347 62,1348 66,9815 68,9721 74,3970 79,0819 83,2977 88,3794 91,951765 64,3346 67,2488 72,2848 74,3506 79,9730 84,8206 89,1771 94,4221 98,105170 69,3345 72,3583 77,5767 79,7147 85,5270 90,5312 95,0232 100,425 104,21575 74,3344 77,4640 82,8581 85,0658 91,0615 96,2167 100,839 106,393 110,28680 79,3343 82,5662 88,1303 90,4053 96,5782 101,879 106,629 112,329 116,32185 84,3343 87,6653 93,3939 95,7343 102,079 107,522 112,393 118,236 122,32590 89,3342 92,7614 98,6499 101,054 107,565 113,145 118,136 124,116 128,29995 94,3342 97,8549 103,899 106,364 113,038 118,752 123,858 129,973 134,247100 99,3341 102,946 109,141 111,667 118,498 124,342 129,561 135,807 140,169

Bảng A.3: Giá trị phân vị của luật chi bình phương

A.4

Giá

trịphânvịcủa

luậtStudent

122

A.4 Giá trị phân vị của luật Student (T ∼ Tn)

tα,n

α

O

P (T < tα,n) = α

HH

HH

HHn

α0,930 0,935 0,940 0,945 0,950 0,955 0,960 0,965 0,970 0,975 0,980 0,985 0,990 0,995

1 4,474 4,829 5,242 5,730 6,314 7,026 7,916 9,058 10,579 12,706 15,895 21,205 31,821 63,6572 2,383 2,495 2,620 2,760 2,920 3,104 3,320 3,578 3,896 4,303 4,849 5,643 6,965 9,9253 1,995 2,072 2,156 2,249 2,353 2,471 2,605 2,763 2,951 3,182 3,482 3,896 4,541 5,8414 1,838 1,902 1,971 2,048 2,132 2,226 2,333 2,456 2,601 2,776 2,999 3,298 3,747 4,6045 1,753 1,810 1,873 1,941 2,015 2,098 2,191 2,297 2,422 2,571 2,757 3,003 3,365 4,032

6 1,700 1,754 1,812 1,874 1,943 2,019 2,104 2,201 2,313 2,447 2,612 2,829 3,143 3,7077 1,664 1,715 1,770 1,830 1,895 1,966 2,046 2,136 2,241 2,365 2,517 2,715 2,998 3,4998 1,638 1,687 1,740 1,797 1,860 1,928 2,004 2,090 2,189 2,306 2,449 2,634 2,896 3,3559 1,619 1,666 1,718 1,773 1,833 1,899 1,973 2,055 2,150 2,262 2,398 2,574 2,821 3,25010 1,603 1,650 1,700 1,754 1,812 1,877 1,948 2,028 2,120 2,228 2,359 2,527 2,764 3,169

A.4

Giá

trịphânvịcủa

luậtStudent

123

Bảng A.4: Giá trị phân vị của luật Student (tiếp theo)

HH

HH

HHn

α0,930 0,935 0,940 0,945 0,950 0,955 0,960 0,965 0,970 0,975 0,980 0,985 0,990 0,995

11 1,591 1,636 1,686 1,738 1,796 1,859 1,928 2,007 2,096 2,201 2,328 2,491 2,718 3,10612 1,580 1,626 1,674 1,726 1,782 1,844 1,912 1,989 2,076 2,179 2,303 2,461 2,681 3,05513 1,572 1,616 1,664 1,715 1,771 1,832 1,899 1,974 2,060 2,160 2,282 2,436 2,650 3,01214 1,565 1,609 1,656 1,706 1,761 1,821 1,887 1,962 2,046 2,145 2,264 2,415 2,624 2,97715 1,558 1,602 1,649 1,699 1,753 1,812 1,878 1,951 2,034 2,131 2,249 2,397 2,602 2,947

16 1,553 1,596 1,642 1,692 1,746 1,805 1,869 1,942 2,024 2,120 2,235 2,382 2,583 2,92117 1,548 1,591 1,637 1,686 1,740 1,798 1,862 1,934 2,015 2,110 2,224 2,368 2,567 2,89818 1,544 1,587 1,632 1,681 1,734 1,792 1,855 1,926 2,007 2,101 2,214 2,356 2,552 2,87819 1,540 1,583 1,628 1,677 1,729 1,786 1,850 1,920 2,000 2,093 2,205 2,346 2,539 2,86120 1,537 1,579 1,624 1,672 1,725 1,782 1,844 1,914 1,994 2,086 2,197 2,336 2,528 2,845

21 1,534 1,576 1,621 1,669 1,721 1,777 1,840 1,909 1,988 2,080 2,189 2,328 2,518 2,83122 1,531 1,573 1,618 1,665 1,717 1,773 1,835 1,905 1,983 2,074 2,183 2,320 2,508 2,81923 1,529 1,570 1,615 1,662 1,714 1,770 1,832 1,900 1,978 2,069 2,177 2,313 2,500 2,80724 1,526 1,568 1,612 1,660 1,711 1,767 1,828 1,896 1,974 2,064 2,172 2,307 2,492 2,79725 1,524 1,566 1,610 1,657 1,708 1,764 1,825 1,893 1,970 2,060 2,167 2,301 2,485 2,787

A.4

Giá

trịphânvịcủa

luậtStudent

124

Bảng A.4: Giá trị phân vị của luật Student (tiếp theo)

HH

HH

HHn

α0,930 0,935 0,940 0,945 0,950 0,955 0,960 0,965 0,970 0,975 0,980 0,985 0,990 0,995

26 1,522 1,564 1,608 1,655 1,706 1,761 1,822 1,890 1,967 2,056 2,162 2,296 2,479 2,77927 1,521 1,562 1,606 1,653 1,703 1,758 1,819 1,887 1,963 2,052 2,158 2,291 2,473 2,77128 1,519 1,560 1,604 1,651 1,701 1,756 1,817 1,884 1,960 2,048 2,154 2,286 2,467 2,76329 1,517 1,558 1,602 1,649 1,699 1,754 1,814 1,881 1,957 2,045 2,150 2,282 2,462 2,75630 1,516 1,557 1,600 1,647 1,697 1,752 1,812 1,879 1,955 2,042 2,147 2,278 2,457 2,750

40 1,506 1,546 1,589 1,635 1,684 1,737 1,796 1,862 1,936 2,021 2,123 2,250 2,423 2,70460 1,496 1,535 1,577 1,622 1,671 1,723 1,781 1,845 1,917 2,000 2,099 2,223 2,390 2,66080 1,491 1,530 1,572 1,616 1,664 1,716 1,773 1,836 1,908 1,990 2,088 2,209 2,374 2,639100 1,488 1,527 1,568 1,613 1,660 1,712 1,769 1,832 1,902 1,984 2,081 2,201 2,364 2,6261000 1,477 1,515 1,556 1,600 1,646 1,697 1,752 1,814 1,883 1,962 2,056 2,173 2,330 2,581

Bảng A.4: Giá trị phân vị của luật Student

A.5

Giá

trịphânvịcủa

luậtFisher

125

A.5 Giá trị phân vị của luật Fisher (F ∼ Fm,n)

αP (F < xm,n;α) = α

xm,n;αO

Bảng này tính xm,n,α cho trường hợp α = 0, 95, m là bậc tự do của tử và n là bậc tự do của mẫu.

HH

HH

HHm

n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30 40 60 120 ∞

1 161,45 18,51 10,13 7,71 6,61 5,99 5,59 5,32 5,12 4,96 4,54 4,35 4,17 4,08 4,00 3,92 3,842 199,50 19,00 9,55 6,94 5,79 5,14 4,74 4,46 4,26 4,10 3,68 3,49 3,32 3,23 3,15 3,07 3,003 215,71 19,16 9,28 6,59 5,41 4,76 4,35 4,07 3,86 3,71 3,29 3,10 2,92 2,84 2,76 2,68 2,604 224,58 19,25 9,12 6,39 5,19 4,53 4,12 3,84 3,63 3,48 3,06 2,87 2,69 2,61 2,53 2,45 2,375 230,16 19,30 9,01 6,26 5,05 4,39 3,97 3,69 3,48 3,33 2,90 2,71 2,53 2,45 2,37 2,29 2,21

6 233,99 19,33 8,94 6,16 4,95 4,28 3,87 3,58 3,37 3,22 2,79 2,60 2,42 2,34 2,25 2,18 2,107 236,77 19,35 8,89 6,09 4,88 4,21 3,79 3,50 3,29 3,14 2,71 2,51 2,33 2,25 2,17 2,09 2,018 238,88 19,37 8,85 6,04 4,82 4,15 3,73 3,44 3,23 3,07 2,64 2,45 2,27 2,18 2,10 2,02 1,949 240,54 19,38 8,81 6,00 4,77 4,10 3,68 3,39 3,18 3,02 2,59 2,39 2,21 2,12 2,04 1,96 1,8810 241,88 19,40 8,79 5,96 4,74 4,06 3,64 3,35 3,14 2,98 2,54 2,35 2,16 2,08 1,99 1,91 1,83

A.5

Giá

trịphânvịcủa

luậtFisher

126

Bảng A.5: Giá trị phân vị của luật Fisher (tiếp theo)

HH

HH

HHm

n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30 40 60 120 ∞

11 242,98 19,40 8,76 5,94 4,70 4,03 3,60 3,31 3,10 2,94 2,51 2,31 2,13 2,04 1,95 1,87 1,7912 243,91 19,41 8,74 5,91 4,68 4,00 3,57 3,28 3,07 2,91 2,48 2,28 2,09 2,00 1,92 1,83 1,7513 244,69 19,42 8,73 5,89 4,66 3,98 3,55 3,26 3,05 2,89 2,45 2,25 2,06 1,97 1,89 1,80 1,7214 245,36 19,42 8,71 5,87 4,64 3,96 3,53 3,24 3,03 2,86 2,42 2,22 2,04 1,95 1,86 1,78 1,6915 245,95 19,43 8,70 5,86 4,62 3,94 3,51 3,22 3,01 2,85 2,40 2,20 2,01 1,92 1,84 1,75 1,67

16 246,46 19,43 8,69 5,84 4,60 3,92 3,49 3,20 2,99 2,83 2,38 2,18 1,99 1,90 1,82 1,73 1,6417 246,92 19,44 8,68 5,83 4,59 3,91 3,48 3,19 2,97 2,81 2,37 2,17 1,98 1,89 1,80 1,71 1,6218 247,32 19,44 8,67 5,82 4,58 3,90 3,47 3,17 2,96 2,80 2,35 2,15 1,96 1,87 1,78 1,69 1,6019 247,69 19,44 8,67 5,81 4,57 3,88 3,46 3,16 2,95 2,79 2,34 2,14 1,95 1,85 1,76 1,67 1,5920 248,01 19,45 8,66 5,80 4,56 3,87 3,44 3,15 2,94 2,77 2,33 2,12 1,93 1,84 1,75 1,66 1,57

21 248,31 19,45 8,65 5,79 4,55 3,86 3,43 3,14 2,93 2,76 2,32 2,11 1,92 1,83 1,73 1,64 1,5622 248,58 19,45 8,65 5,79 4,54 3,86 3,43 3,13 2,92 2,75 2,31 2,10 1,91 1,81 1,72 1,63 1,5423 248,83 19,45 8,64 5,78 4,53 3,85 3,42 3,12 2,91 2,75 2,30 2,09 1,90 1,80 1,71 1,62 1,53

A.5

Giá

trịphânvịcủa

luậtFisher

127

Bảng A.5: Giá trị phân vị của luật Fisher (tiếptheo)

HH

HH

HHm

n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30 40 60 120 ∞

24 249,05 19,45 8,64 5,77 4,53 3,84 3,41 3,12 2,90 2,74 2,29 2,08 1,89 1,79 1,70 1,61 1,5225 249,26 19,46 8,63 5,77 4,52 3,83 3,40 3,11 2,89 2,73 2,28 2,07 1,88 1,78 1,69 1,60 1,51

30 250,10 19,46 8,62 5,75 4,50 3,81 3,38 3,08 2,86 2,70 2,25 2,04 1,84 1,74 1,65 1,55 1,4640 251,14 19,47 8,59 5,72 4,46 3,77 3,34 3,04 2,83 2,66 2,20 1,99 1,79 1,69 1,59 1,50 1,3950 251,77 19,48 8,58 5,70 4,44 3,75 3,32 3,02 2,80 2,64 2,18 1,97 1,76 1,66 1,56 1,46 1,3560 252,20 19,48 8,57 5,69 4,43 3,74 3,30 3,01 2,79 2,62 2,16 1,95 1,74 1,64 1,53 1,43 1,3270 252,50 19,48 8,57 5,68 4,42 3,73 3,29 2,99 2,78 2,61 2,15 1,93 1,72 1,62 1,52 1,41 1,29

80 252,72 19,48 8,56 5,67 4,41 3,72 3,29 2,99 2,77 2,60 2,14 1,92 1,71 1,61 1,50 1,39 1,27100 253,04 19,49 8,55 5,66 4,41 3,71 3,27 2,97 2,76 2,59 2,12 1,91 1,70 1,59 1,48 1,37 1,24120 253,25 19,49 8,55 5,66 4,40 3,70 3,27 2,97 2,75 2,58 2,11 1,90 1,68 1,58 1,47 1,35 1,22∞ 254,31 19,50 8,53 5,63 4,37 3,67 3,23 2,93 2,71 2,54 2,07 1,84 1,62 1,51 1,39 1,25 1,01

Bảng A.5: Giá trị phân vị của luật Fisher m, n bậc tự do (m bậctự do của tử, n bậc tự do của mẫu.)

Danh sách hình vẽ

1.1 Tam giác Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.1 Biến ngẫu nhiên X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2 Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3 Hàm mật độ và xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4 Hàm mật độ và hàm phân phối của X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.1 Hàm giá trị xác suất và hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X ∼ B(10; 1/4) . . . . . 73

5.2 Hàm giá trị xác suất và hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X ∼ H(50; 30; 10) . . . . 77

5.3 Hàm giá trị xác suất và hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X ∼ P (4) . . . . . . . . 78

5.4 Hàm giá trị xác suất và hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X ∼ G(1/4) . . . . . . . 81

5.5 Hàm mật độ µ = 0 và σ = 1/2, 1, 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.6 Tính đối xứng của mật độ phân phối chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.7 Phân vị chuẩn hóa mức α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.8 Hàm mật độ Chi bình phương n bậc tự đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.9 Phân vị Chi bình phương mức α, n bậc tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.10 Hàm mật độ student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.11 So sánh mật độ chuẩn hóa với T5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.12 Phân vị Student mức α, n bậc tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.13 Phân vị Fisher mức α, m và n bậc tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.1 Xấp xỉ xác suất P (50 < S100 < 62) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.2 Xấp xỉ xác suất P (S100 = 45) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Danh sách bảng

2.1 Tính ổn định tần suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.1 Phân phối xác suất đồng thời của (X, Y ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2 Phân phối đồng thời của (X, Y ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.3 Kết quả phép thử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.4 Xác suất đồng thời . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

A.1 Giá trị hàm mật độ chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

A.2 Giá trị hàm phân phối của luật chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

A.3 Giá trị phân vị của luật chi bình phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

A.4 Giá trị phân vị của luật Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

A.5 Giá trị phân vị của luật Fisher m, n bậc tự do (m bậc tự do của tử, n bậc tự do củamẫu.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Tài liệu tham khảo

[1] Đinh Văn Gắng. (1999). Lý thuyết xác suất và thống kê toán. NXB Giáo dục.

[2] Tô Anh Dũng. (2007). Lý thuyết xác suất và thống kê toán. NXB ĐHQG TP.HCM.

[3] Nguyễn Bác Văn. (1999). Xác suất và xử lý số liệu thống kê. NXB Giáo dục.

[4] Đặng Hấn. (1986). Xác suất thống kê. NXB Thống kê.

[5] Sheldon M. Ross. (1987). Introduction to probability and statistics for engineers and scientists.A John Wiley & Sons Publication.

[6] F.M. Dekking. (2005). A modern introduction to Probability and Statistics. Springer Publication.

[7] T.T. Song. (2004). Fundamentals of probability and statistics for engineers. A John Wiley &

Sons Publication.

[8] Ronald N. Forthofer. (2007). Biostatistics: Aguide to design, analysis, and discovery. AcademicPress.

[9] Y. Suhov. (2005). Volume I: Basic probability and statistics. Cambridge University Press.

[10] Michaelr. Chernick. (2003). Introductory biostatistics for the health sciences. A John Wiley &

Sons Publication.

[11] E.L. Lehmann. (2005). Testing statistical hypotheses: Third Edition. Springer Publication.

Documents

Bai Giang XSTK