Bai 2 - 3 Phuong Trinh Luong Giac 2011

BÀI TẬP CHỦ ĐIỂM VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Biên soạn: Nguyễn Duy Trương 1

A. TÓM TẮT GIÁO KHOA DẠNG CƠ BẢN VÀ BIẾN ĐỔI VỀ DẠNG CƠ BẢN:

( )2

sinX sin2

X A kA k Z

X A kπ

π π= +⎡

= ⇔ ∈⎢ = − +⎣

( )cos cos 2X A X A k k Zπ= ⇔ = ± + ∈

tan tan A , ,2

X X A k X A k k Zππ π⎛ ⎞= ⇔ = + ≠ + ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

( )cot cot A , ,X X A k X A k k Zπ π= ⇔ = + ≠ ∈

CÁC DẠNG ĐẶC BIỆT:

( )sin 0u u k k Zπ= ⇔ = ∈ ( )cos 02

u u k k Zπ π= ⇔ = + ∈

( )tan 0u u k k Zπ= ⇔ = ∈ ( )cot 02

u u k k Zπ π= ⇔ = + ∈

( )sin 1 22

u u k k Zπ π= ⇔ = + ∈ ( )sin 1 22

u u k k Zπ π= − ⇔ = − + ∈

( )cos 1 2u u k k Zπ= ⇔ = ∈ ( )cos 1 2u u k k Zπ π= − ⇔ = + ∈

( )tan 14

u u k k Zπ π= ⇔ = + ∈ ( )cot 14

u u k k Zπ π= ⇔ = + ∈

( )tan 14

u u k k Zπ π= − ⇔ = − + ∈ ( )cot 14

u u k k Zπ π= − ⇔ = − + ∈

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VẤN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO sinu VÀ cosu.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

a) Dạng rút gọn:

( )sin cos 1a u b u c+ = với 0a ≠ và 0b ≠

b) Điều kiện có nghiệm: (1) có nghiệm 2 2 2.a b c⇔ + ≥



c) Cách giải:

Cách 1: Chia hai vế cho 2 2a b+ ta được:

( )

( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 21 sin cos cos .sin sin .cos

2 sin sin

2

a b c cu u u ua b a b a b a b

u ku k Z

u k

α α

α β πα β

α π β π

⇔ + = ⇔ + =+ + + +

+ = +⎡⇔ + = ⇔ ∈⎢ + = − +⎣

Cách 2: Chia hai vế cho a và đặt tan ba

α = ta được:

( )

( ) ( )

1 sin cos sin tan .cos

2 sin .cos cos .sin cos sin sin

2

b c cu u u ua a a

u kcu u u k Zu ka

α

α β πα α α α β

α π β π

⇔ + = ⇔ + =

+ = +⎡⇔ + = ⇔ + = ⇔ ∈⎢ + = − +⎣

Cách 3: Xét 2u kπ π= + có là nghiệm hay không?

Khi 2u kπ π≠ + thì ta đặt tan2ut = ta được phương trình:

( ) ( ) ( )2

22 2

2 11 . . 2 0 21 1

t ta b c b c t at c bt t

−⇔ + = ⇔ + − + − =

+ +

Giải (2) ta được t. Thay vào chỗ đặt t ta tìm được u.

VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.


a) Dạng:

( )( )( )( )

2

2

2

2

sin sin 0 1

cos cos 0 2

tan tan 0 3

cot cot 0 4

a x b x c

a x b x c

a x b x c

a x b x c

+ + =

+ + =

+ + =

+ + =

b) Cách giải:

Đặt ẩn phụ:

(1) đặt ( )sin 1 1t x t= − ≤ ≤ ; (2) đặt ( )cos 1 1t x t= − ≤ ≤

(3) đặt tant x= (4) đặt cott x=

Ta sẽ được phương trình: ( )2 0 *at bt c+ + =

Giải (*) ta được t. Thay vào cách đặt t ta tìm được .x



Chú ý: Với cách tương tự như trên ta sẽ giải được các phương trình bậc ba, bậc bốn,

…đối với một hàm số nào đó.

VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT (ĐẲNG CẤP) BẬC HAI.


Dạng 1: 2 2.sin sin .cos .cos 0a u b u u c u+ + =

Cách giải 1: Dùng công thức 1sin cos sin 22

u u u= và công thức hạ bậc để đưa phương

trình về dạng: ( )sin 2 cos 2 .b u c a u a c+ − = − −

Cách giải 2: +) Xét: cos 0?u =

+) Khi cos 0,u ≠ chia hai vế phương trình cho 2cos u rồi ta đưa về dạng phương trình bậc hai

theo tanu: 2.tan .tan 0.a u b u c+ + =

Dạng 2: 2 2.sin sin .cos .cosa u b u u c u d+ + =

Cách giải: Thay ( )2 2sin cosd d u u= + rồi đưa về dạng 1.

VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI sinu VÀ cosu.


Dạng 1:

( ) ( )sin cos sin cos 0 1a u u b u u c+ + + =

Cách giải:

Đặt: 2

2sin cos 2 sin 14 sin cos

2

tt u u u tu u

π⎧ ≤⎪⎛ ⎞= + = + ⇒ ⎨⎜ ⎟ −⎝ ⎠ =⎪⎩

.

Thay vào phương trình ta được: ( )2 2 2 0 2bt at c b+ + − = .

Giải (2) ta được t. Thay vào chỗ đặt t ta tìm được u.

Dạng 2:

( ) ( )sin cos sin cos 0 1'a u u b u u c− + + =

Cách giải:



Đặt: 2

2sin cos 2 sin 14 sin cos

2

tt u u u tu u

π⎧ ≤⎪⎛ ⎞= − = − ⇒ ⎨⎜ ⎟ −⎝ ⎠ =⎪⎩

.

Thay vào phương trình ta được: ( )2 2 2 0 2'bt at c b− − − = .

Giải (2’) ta được t. Thay vào chỗ đặt t ta tìm được u.

VẤN ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TÍCH SỐ.


Để giải một phương trình lượng giác ta thường biến đổi chúng về các dạng: Cơ bản, bậc

nhất đối với sinu, cosu; bậc hai đối với một hàm số lượng giác; thuần nhất; đối xứng….

Để đưa được về các dạng trên ta thường biến đổi phương trình về dạng tích A.B.C = 0

trong đó các phương trình A = 0; B = 0; C = 0 là những phương trình đã nói ở trên.

Để biến đổi phương trình về dạng tích ta cần nắm vững các công thức lượng giác, các

hằng đẳng thức, các phương pháp đặt nhân tử chung….

Dưới đây là một vài kĩ thuật nhằm giúp ta phát hiện nhân tử chung một cách nhanh chóng:

Nếu trong phương trình chứa các hàm số:

sin 2 ;sin 3 ; tan ; tan 2 ; tan 3x x x x x thì ta có thể đặt nhân tử chung là sin .x

sin 2 ;cos3 ; tan 2 ;cot 3 ;cotx x x x x thì ta có thể đặt nhân tử chung là cos .x

2 2 2 2cos ;cot ;sin ; tan2 2x x x x thì ta có thể đặt nhân tử chung là 1 cos .x+

2 2 2 2sin ; tan ;sin ; tan2 2x x x x thì ta có thể đặt nhân tử chung là 1 cos .x−

2 2 2 2cos ;cot ;cos ;sin4 2 4 2

x xx x π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

thì ta có thể đặt nhân tử chung là 1 sin .x+

2 2 2 2cos ;cot ;cos ;sin4 2 4 2

x xx x π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

thì ta có thể đặt nhân tử chung là 1 sin .x−

cos 2 ;cot 2 ;1 sin 2 ;1 tan ;1 cot ; tan cotx x x x x x x+ + + + thì ta có thể đặt nhân tử chung là

sin cos .x x+

cos 2 ;cot 2 ;1 sin 2 ;1 tan ;1 cot ; tan cotx x x x x x x− − − − thì ta có thể đặt nhân tử chung là

sin cos .x x−

VẤN ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC HẠ BẬC.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Gặp phương trình lượng giác trong đó sinu và cosu luôn có số



mũ chẵn thì ta có thể dùng công thức hạ bậc để hạ bậc phương trình đưa về phương trình đơn

giản hơn.

Chú ý: Ngoài những phương trình thuộc các dạng thường gặp ở trên, ta còn gặp nhiều bài

toán mà để giải nó cần phải biết vận dụng một cách linh hoạt các phương pháp giải vào

từng bài toán cụ thể.

C. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

VÍ DỤ 1: Giải phương trình sau: 3 3 2cos .cos3 sin .sin 3 .4

x x x x+ =

VÍ DỤ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:

( )2cos 3 9 160 800 1.8

x x xπ⎡ ⎤− + + =⎢ ⎥⎣ ⎦

VÍ DỤ 3: Giải phương trình sau: 6 6sin cos 1 .

4tan tan4 4

x x

x xπ π+

= −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

VÍ DỤ 4: Tìm nghiệm 30;2

x π⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦ của phương trình:

3 23sin 2 4sin 2 2 3 cos 3 2 3x x x− + = +

VÍ DỤ 5: Cho phương trình: ( )cos 2 2 1 cos 2 0.x m x m+ + + =

a) Giải phương trình khi m = 1.

b) Định m để phương trình có nghiệm ( )0; .x π∈

c) Định m để phương trình có nghiệm duy nhất thuộc [ )0;2 .π

VÍ DỤ 6: Giải phương trình: ( )2sin 2 3 6 sin cos 8 0.x x x− + + =

VÍ DỤ 7: Cho phương trình: ( )sin 2 4 cos sin .x x x m+ − =

a) Giải phương trình khi m = 4.

b) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm.

VÍ DỤ 8: Giải phương trình: 1 tan 1 sin 2 .1 tan

x xx

+= +

−

VÍ DỤ 9: Giải phương trình: sin 6 sin8 sin16 sin18 16sin 3 0.x x x x x+ + + + =



VÍ DỤ 10: Giải phương trình: 2

22cos

2tan .1 sin

x

xx

=−

VÍ DỤ 11: Giải phương trình: 2 2 2 2sin sin 2 sin 3 sin 4 2.x x x x+ + + =

VÍ DỤ 12: Giải phương trình: ( ) 32cos13 3 cos5 cos3 8cos cos 4 .x x x x x+ + =

VÍ DỤ 13: Giải phương trình: ( ) ( )3 cot cos 5 tan sin 2 0.x x x x− − − − =

VÍ DỤ 14: Giải phương trình: 2sin sin sin cos 1.x x x x+ + + =

D. BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) 2 2 7sin .cos 4 sin 2 4sin4 2 2

xx x x π⎛ ⎞− = − −⎜ ⎟⎝ ⎠

với 1 3.x − <

b) ( )2 2 22cos 2cos 2 2cos 3 3 cos 4 2sin 2 1 .x x x x x+ + − = +

c) 4 3 sin .cos .cos 2 sin8 .x x x x=

d) ( )8 8 10 10 5sin cos 2 sin cos cos 2 .4

x x x x x+ = + +

Bài 2: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:

a) sin 1 sinx m m x+ + = b) cos 2 1 0m x m− + =

c) 2cos 2 2x m m= + + d) 2tan tan 0m x m x− + =

e) ( ) ( )2 2 2cos cos cos 1 2cos cos .x m x m m x m+ + + = + +

Bài 3: Giải các phương trình sau:

a) 33sin 3 3 cos9 1 4sin 3x x x+ = +

b) 5sin 12cos 13.x x− =


a) 23 sin 2 2cos 2 2 2cos 2x x x− = + b) ( )cos7 sin 5 3 cos5 sin 7x x x x− = −

c) cos 2 3sin 2 2cos3

x x xπ⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

d) ( ) ( )3 1 sin 2 3 1 cos 2 3 1 0.x x− − + + − =

Bài 5: Định m để các phương trình sau có nghiệm:

a) ( )2 1 sin 3 cos3 3 1m x m x m− + = −

b) ( ) ( )22sin cos cos 2 sin 2 .x x m x x− = +



Bài 6: Cho hàm số: sin 2cos 1.sin cos 2

x xyx x+ +

=+ +

CMR: 2 1, .y x R− ≤ ≤ ∀ ∈


a) ( )24sin 3 2 3 1 sin 3 3 0x x+ − − = b) 2 6sin cos cos 4x x x− =

c) ( )4 44 sin cos 5cos 2x x x+ = d) 2cos5 cos cos 4 cos 2 3cos 1x x x x x= + +

e) 2

3 2 3 tan 6 0cos

xx+ − = f) 6 6 213cos sin cos 2

8x x x− =

g) 1 3tan 2sin 2 .x x+ =

Bài 8: Cho phương trình: ( ) ( )2 21 tan 3 1 0 1 .cos

a x ax

− − + + =

a) Giải phương trình (1) khi 1 .2

a =

b) Tìm a để phương trình (1) có nhiều hơn một nghiệm thuộc khoảng 0; .2π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

Bài 9: Cho phương trình: ( ) ( )cos 2 2 1 cos 1 0 1 .x m x m− + + + =

a) Giải phương trình (1) khi 3 .2

m =

b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng 3; .2 2π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Bài 10: Định m để phương trình: ( ) ( )2sin 2 2 sin 3 4 0 1m x m x m+ + − − = có nghiệm

5 ; .6 2

x π π⎡ ⎞∈ − ⎟⎢⎣ ⎠

Bài 11: Định m để phương trình: ( )2 2cos 2 cos 4 0 1x m x m m+ + + = có đúng 2 nghiệm

( )0; .x π∈

Bài 12: Định m để phương trình: 6 6sin cos sin 2x x m x+ = có nghiệm.

Bài 13: Cho phương trình: ( )23cos 2 sin 1 .x x m+ =

a) Giải phương trình khi 2.m =

b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất thuộc ; .4 4π π⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦




a) 2 23cos 4sin cos sin 2 3.x x x x+ − = +

b) 2 2 3 2sin 3 sin cos 2cos .2

x x x x ++ + =


a) 2 25sin 4sin cos cos 4.x x x x− − =

b) 22

12sin sin cos 0.1 tan

x x xx

− + =+

c) 2 24 sin 2sin sin sin 3.2 2

x x x xπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + = + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


a) 3sin 2 sin4

x xπ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 3sin .sin 2 sin 3 6cosx x x x+ =

c) 3 3sin cos cos 2

2cos sinx x xx x+

=−

d) 3 5sin 4 cos6sin 2cos .2cos 2

x xx xx

− =


a) 1sin cos sin cos 2.2

x x x x+ + = −

b) ( )2sin cos cos sin .x x x x+ = −

c) 3 3 31 sin cos sin 2 .2

x x x+ + =


a) 2sin cos 2 cos 14

x x x π⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 1 sin cos 2 tan .1 sin

x x xx

+ += −

+


a) ( )( )1 sin 2 cos sin cos 2 .x x x x− − =

b) cot tan sin cos .x x x x− = +

c) ( ) ( )3 3sin 1 cot cos 1 tan 2 sin cos .x x x x x x+ + + = +


a) 2sin cot 2sin 2 1.x x x+ = +



b) sin cos 2sin 2cos 2.x x x x+ + =

c) sin 2 2 sin 1.4

x x π⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

Bài 21: Cho phương trình: 3 3cos sin .x x m− =

a) Giải phương trình khi 1.m = −

b) Tìm m sao cho phương trình có đúng 2 nghiệm ;0 .4

x π⎡ ⎤∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦


a) ( )2 sin cos 2sin cos 1 0.x x x x m+ + + − =

b) sin cos sin cos .x x m x x− =


a) sin 5 sin 3 sin 0x x x+ + = b) 2 2 2 3sin sin 3 sin 52

x x x+ + =

c) 3 2cos cos 2sin 2 0x x x+ + − = d) 3 3cos sin cos 2 .x x x+ =


a) 2 22cos 2 2cos sin 2x x x− = b) 1 cos cos 2 cos3 0x x x+ + + =

c) ( )2 cos 2 3 cos sinx x x= − d) 2 2 21sin 4 cos 6 sin 10 .2

x x xπ⎛ ⎞− = +⎜ ⎟⎝ ⎠


a) ( )tan 3cot 4 sin 3 cosx x x x− = + b) sin 2 2cos 2 1 sin 4cosx x x x+ = + −

c) 4 43sin 5cos 3 0x x+ − = d) 2 22sin sin 2cos cos cos 2 .x x x x x− = − +


a) 6 6 1sin cos4

x x+ = b) ( )8 88 sin cos 1x x+ =

c) 2 2 2 1sin sin 2 sin 32

x x x− + = d) 2 2 2 3sin sin 2 sin 3 .2

x x x+ + =


a) 4 6cos 2sin cos 2x x x+ =

b) 4 4 2 21sin cos cos sin 2 1 04

x x x x+ − + − =



c) 4 4 4 9sin sin sin .4 4 8

x x xπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


a) ( )6 6 4 4sin cos sin cosx x m x x+ = +

b) 6 6

2 2sin cos 2 tan 2cos sin

x x m xx x+

=−

c) ( ) ( )4 4 6 6 24 sin cos 4 sin cos sin 4 .x x x x x m+ − + − =


a) 22

1 1sin sin 0sinsin

x xxx

+ − − =

b) 22

4 22 cos 5 cos 5 0coscos

x xxx

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

c) 63sin 4cos 63sin 4cos 1

x xx x

+ + =+ +

d) 2

2 .sin 2 09

x xπ− =

e) ( )24 4tan cot 8 tan cot 9.x x x x+ = + −


a) ( )22

1 cot tan cot 2 0cos

x m x xx+ + + − =

b) ( )( )( )sin sin 2 sin 4 sin 6 .x x x x m+ + + =

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nguyeân taéc ñeå thaønh coâng

1. Suy nghó tích cöïc

2. Caûm nhaän say meâ

3. Haønh ñoäng kieân trì

THAØNH COÂNG SEÕ ÑEÁN!

Documents

Bai 2 - 3 Phuong Trinh Luong Giac 2011