Upload
fleet-street
View
223
Download
6
Embed Size (px)
Citation preview
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
1
NĂM HỌC 2010 - 2011
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUẢNG BÌNH
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Đồng Hới, tháng 5 năm 2011
Người thực hiện: Trần Xuân Bang
Tổ Toán
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
2
Phần thứ nhất.
LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Phương trình lượng giác là một trong những đơn vị kiến thức trọng tâm trong toàn bộ nội dung chương trình Toán THPT. Trong các đề thi Tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng, phương trình lượng giác luôn luôn có mặt. Một tập hợp các phương trình lượng giác trong các đề thi Tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng của các trường Đại học trước đây và của Bộ giáo dục và Đào tạo từ 2002 đến nay là một món quà quý cho học sinh ôn luyện thi, cũng là một tài liệu để các thầy cô giáo tâm huyết với nghề nghiệp tham khảo. Với lý do đó tôi đã cố gắng tập hợp, sữa chữa, biên tập "Phương trình lượng giác" hơn một năm nay và đã hoàn thành ở một mức độ nhất định. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC bao gồm: 1. Phương trình lượng giác cơ bản: Với 4 phương trình lương giác cơ bản, mỗi phương trình đều có trình bày cách lấy nghiệm, ví dụ minh họa và các chú ý. 2. Phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc ba đối với một hàm số lượng giác: Với 65 phương trình có lời giải chi tiết. 3. Phương trình asinx + bcosx = c, (a2 + b2 > 0): Với 22 phương trình có lời giải chi tiết. 4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx: Với 13 phương trình có lời giải chi tiết. 5. Phương trình a(sinx - cosx) + bsinxcosx + c = 0: Với 9 phương trình có lời giải chi tiết. 6. Phương trình asin2x + bcos2x + csinxcosx = d: Với 15 phương trình có lời giải chi tiết. 7. Phương trình: asin3x + bcos3x + csin2xcosx + dsinxcos2x + dsinx + ecosx = 0: Với 5 phương trình có lời giải chi tiết. 8. Phương trình a(tanx + cotx) + b(tan2x + cot2x) + c = 0: Với 1 phương trình có lời giải chi tiết. 9. Phương trình a(tanx - cotx) + b(tan2x + cot2x) + c = 0: Với 1 phương trình có lời giải chi tiết. 10. Các phương trình lượng giác khác: 10.1 Biến đổi về tích: Với 80 phương trình có lời giải chi tiết. 10.2 Biến đổi thẳng về phương trình lượng giác cơ bản: Với 20 phương trình có lời giải chi tiết. 10.3. C¸c ph¬ng tr×nh lîng gi¸c kh«ng mÉu mùc: Với 27 phương trình có lời giải chi tiết. 11. Các phương trình lượng giác trong các đề Dự bị thi Tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng từ 2002 đến 2008: Với 42 phương trình có lời giải chi tiết. 12. 26 phương trình lượng giác trong các kỳ thi chính thức Tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng từ 2002 đến 2010.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
3
13. 95 phương trình lượng giác trong bộ đề thi tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng.
Phần thứ hai.
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1. Phương trình lượng giác cơ bản 1.1. cosx = m. 1m : Vô nghiệm(vn)
1m : Gọi T = 1 2 30, , , , 12 2 2
Nếu m T thì chọn sao cho osc m . Khi đó nghiệm của phương trình là: 2x k , ( k ). Nếu m T thì nghiệm của phương trình là: arccos 2x m k , ( k ). VD1.
a) Phương trình cosx = 12
2 ;( )3
x k k .
b) Phương trình 3osx = - 2 ; ( )2 6
c x k k .
c) Phương trình 5 5osx = - arccos - 2 ;( )2 2
c x k k
.
d) Phương trình 10osx = -3
c : vn vì 10 13
.
Chú ý 1:
i) Phương trình osx = 0 ; ( )2
c x k k .
ii) Phương trình osx = 1 2 ;( )c x k k . 3i) Phương trình osx = - 1 2 ;( )c x k k . Chú ý 2: Phương trình osx = cos 2 ;( )c x k k . Tổng quát: Phương trình osu(x) = cosv(x) ( ) ( ) 2 ;( )c u x v x k k . VD2.
a) Phương trình 1os(2x-1) = 0 2 1 ;( )2 2 4 2
c x k x k k .
b) Phương trình 0 0 0 0 0os(x-15 ) = 1 x-15 360 x=15 360 ;( )c k k k . c) Phương trình
0 1 1 1os(x-15 ) = os x- x- arccos 2 ;( )3 12 3 12 3
c c k k
.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
4
d) Phương trình
2
6os 2x- = cos x- 2x- x- 2 ( )4 12 4 12 2
9 3
x kc k k
x k
1.2. sinx = m. 1m : vn
1m : Gọi T = 1 2 30, , , , 12 2 2
Nếu m T thì chọn sao cho sin m . Khi đó nghiệm của phương trình là: 2x k hoặc 2x k ; k . Nếu m T thì nghiệm của phương trình là: arcsin 2x m k hoặc arcsin 2x m k ; k . VD1.
a) Phương trình sinx = 12
26 ( )5 26
x kk
x k
.
b) Phương trình 2
3 3sinx = - ( )42 23
x kk
x k
.
c) Phương trình
5arcsin - 225sinx = - ( ).
2 5arcsin - 22
x k
k
x k
.
d) Phương trình 11sinx = 3
: vn vì 11 13
.
Chú ý 1: i) Phương trình sinx = 0 ;( )x k k .
ii) Phương trình sinx = 1 2 ;( )2
x k k .
3i) Phương trình sinx = - 1 2 ;( )2
x k k .
Chú ý 2:
Phương trình 2
sinx = sin ( )2
x kk
x k
.
Tổng quát: Phương trình ( ) 2
sinu(x) = sinv(x) ( )( ) 2
u x kk
v x k
.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
5
VD2.
a) Phương trình 1sin(2x - 1) = 0 2 1 ;( )2 2
x k x k k .
b) Phương trình 0 0 0 0 0 0sin(x - 15 ) = 1 x - 15 90 360 x=105 360 ;( )k k k . c) Phương trình
0
1x - arcsin 212 31 1 sin(x - 15 ) = sin x -
3 12 3 1x - arcsin 212 3
1x = +arcsin 212 3
( )13 1x = - arcsin 212 3
k
k
kk
k
d) Phương trình
2x - x - 24 12 sin 2x - = sin x -
4 12 2x - x + 24 12
26 ( )4 29 3
k
k
x kk
x k
1.3. tanx = m.
Phương trình có nghiệm với mọi m. Gọi T = 10, , 1, 33
Nếu m T thì chọn sao cho tan m . Khi đó nghiệm của phương trình là: x k , k . Nếu m T thì nghiệm của phương trình là: arctanx m k , k . VD1.
a) Phương trình tan x = 3 ;( )3
x k k .
b) Phương trình tan x = - 13
; ( )6
x k k .
c) Phương trình tan x = 2 arctan 2 ;( )x k k . Chú ý: Phương trình tanx = tan ;( )x k k . Tổng quát: Phương trình tanu(x) = tanv(x) ( ) ( ) ; ( )u x v x k k .
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
6
VD2.
a) Phương trình tan 2x = 3 2 ;( ) ;( )3 6 2
x k k x k k
b) Phương trình tan (x - 450) = - 13
0 0 0 0 045 30 180 15 180 ;( )x k x k k c) Phương trình tan (x - 450) = 2
arctan 2 +arctan 2 ;( )4 4
x k x k k
e) Phương trình tan(2x + 1) = tan600
1tan(2 1) tan 2 1 ;( )3 3 2 6 2
x x k x k k
1.4. cotx = m.
Phương trình có nghiệm với mọi m. Gọi T = 10, , 1, 33
Nếu m T thì chọn sao cho cot m . Khi đó nghiệm của phương trình là: x k , k . Nếu m T thì nghiệm của phương trình là: arcot 2 ;( )x k k VD1.
a) Phương trình cotx = 3 ;( )6
x k k .
b) Phương trình cotx = - 13
; ( )3
x k k .
c) Phương trình cotx = - 2 arcot(-2) ; ( )x k k . Chú ý: Phương trình cotx = cot ; ( )x k k . Tổng quát: Phương trình cotu(x) = cotv(x) ( ) ( ) ;( )u x v x k k . VD2.
a) Phương trình cot2x = 3 2 ;( ) ;( )6 12 2
x k k x k k .
b) Phương trình cot(x - 450) = - 13
0 0 0 0 045 60 180 15 180 ;( )x k x k k . c) Phương trình cot(x - 450) = 5
arcot - 5 +arcot - 5 ; ( )4 4
x k x k k .
e) Phương trình cot(3x - 2) = cot600
2cot(3 2) cot 3 2 ;( )3 3 3 9 3
x x k x k k .
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
7
2. Phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc ba đối với một hàm số lượng giác. Dạng: ( ) 0A x B 2[ ( )] ( ) 0A x B x C . 23[ ( )] ( ) ( ) 0A x B x C x D Trong đó, ( )x là sinu(x), cosu(x), tanu(x), cotu(x). VD1. Giải phương trình cos2x + 2sin2x + sin2x = 0. HD. Phương trình đã cho
2 22cos 1 2sin 2s in2x = 0 1 sin 2 0
2 2 , ( ).2 4
x x x
x k x k k
VD2. Giải phương trình 6 6sin x cos x sin 2x . HD. Phương trình đã cho
2 231 sin 2x sin 2x 3sin 2x 4sin 2x 4 04
1 2x arcsin ksin 2x 2 (vn) 2 3 (k )sin 2x 2 / 3 1 2x arcsin k
2 2 3
VD3. Giải phương trình 2(3 2sin x)cos x (1 cos x) 1
1 sin 2x
.
HD. Điều kiện: sin 2x 1 Phương trình đã cho
2 2 cos x 13cos x sin 2x 1 cos x 1 sin 2x cos x 3cos x 2 0
cos x 2 (vn)
cos x 1 x k2 ; (k )
VD4. Giải phương trình 5cosx cos2x 2sin x 0 . HD. Phương trình đã cho
2 2
sin x 05cos x cos2x 2sin x
5cos x (2 cos 1) 4sin x
2 2 2
sin x 0 sin x 05cosx (2 cos 1) 4(1 cos x) 2 cos x 5cos x 3 0
sin x 0sin x 0
x k2 ; (k )cos x 3 (vn)3cos x 1/ 2
cos x 1/ 2
VD5. Giải phương trình 22
1 1cos x 2 cos x 2 0cos xcos x
.
HD. Ñieàu kieän : 0x cos .
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
8
Phương trình đã cho
2 21 1 1 1cos x 2 2 cos x 2 cos x 2 cosxcos x cos x cos x cos x
1 cos x 0 (1)cos x
1 cos x 2 (2)cos x
.
2(1) 1 cos 0 (vn)x 2 2(2) cos 2cos 1 0 (cos 1) 0 cos 1 2 ; (k )x x x x x k
VD6. Giải phương trình x1x
x1x 2
2
coscos
coscos .
HD. Ñieàu kieän : 0x cos . Phương trình đã cho
2 21 1 1 1cos x 2 cos x cosx cos x 2 0cos x cosx cos x cos x
1cos x 1 (1)cos x
1cos x 2 (2)cos x
.
2(1) cos cos 1 0 (vn)x x 2 2(2) cos 2cos 1 0 (cos 1) 0 cos 1 2 (k )x x x x x k
VD7. Giải phương trình 22
1 1cos x 2 cosx 1cosxcos x
.
HD. Ñieàu kieän : 0x cos . Phương trình đã cho
21 1cos x 2 2 cos x 1cosx cos x
21 1cos x 2 cos x 1 0cosx cos x
01x
1x01x
1x 2 cos
cos]cos
[cos
01xx2 coscos
1 5cos x (vn) 1 52 x arccos k2 ; (k )21 5cos x
2
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
9
VD8. Giải phương trình 22
1 12 cos x 7 cos x 2 0cos xcos x
.
HD. Ñieàu kieän : 0x cos . Phương trình đã cho
2
2
1 12 cos x 2 7 cosx 2 0cos x cos x
1 12 cosx 7 cos x 6 0cos x cos x
1cos x 2 (1)cos x
1 3cos x (2)cos x 2
.
2 cos 1 2(1) cos 2cos 1 0 arccos( 1 2) 2 ; (k )
cos 1 2 (vn)
xx x x k
x
VD9. Giải phương trình 22
1 1sin x sin x 0sin xsin x
.
HD. Ñieàu kieän : 0x sin . Phương trình đã cho
21 1sin x sin x 2 0sin x sin x
1sin x 1 (1)sin x
1sin x 2 (2)sin x
.
2(1) sin sin 1 0 (vn)x x 2 2(2) sin 2sin 1 0 (sin 1) 0 sin 1 2 ; (k )
2x x x x x k
VD10. Giải phương trình 22
1 14 sin x 4 sin x 7 0sin xsin x
.
HD. Ñieàu kieän : 0x sin . Phương trình đã cho
2 21 1 1 14 sin x 2 4 sin x 7 0 4 sin x 4 sin x 15 0sin x sin x sin x sin x
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
10
1 3sin x (1)sin x 2
1 5sin x (2)sin x 2
.
2(1) 2sin 3sin 2 0 (vn)x x
2sin x 2(vn)
(2) 2sin x 5sin x 2 0 1sin x2
x k2
6 (k7x k2 6
)
VD11. Giải phương trình
043x2x2 22 cossin .
HD. Phương trình đã cho 03x214x214 2 )cos()cos(
03x24x2403x244x244 22 coscoscoscos
1cos2x2 2x k2 x k ; (k )
3 63cos2x (vn)2
VD12. Giải phương trình 03xtg4xtg 24
2
2
x ktgx 1tg x 1 4 (k )tg x 3 tgx 3 x k
3
VD13. Tìm nghieäm cuûa phöông trình : 4 4sin x cos x cos2x (1)
thoûa maõn baát phöông trình : 212
1 log (2 x x ) 0 (2)
HD. Phương trình đã cho
4 4 2 21sin x cos x cos2x 1 sin 2x cos2x cos 2x 2 cos2x 1 02
cos2x 1 x k
22
221 212
2
2 x x 0 2 x x 01 log (2 x x ) 0 log (2 x x ) 1 x x 0
1 x 21 x 2
x 11 x 0
x 0
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
11
Nghieäm cuûa (1) thoûa (2) khi 1 k 2
k 01 k 0
. Vaäy x 0 .
VD14. Giải phương trình: 03xx5x212 )cos(sin)sin( . HD. Phương trình đã cho
03xx5xx2 2 )cos(sin)cos(sin
sin x cos x 1 2sin x3 4 2sin x cos x (vn)2
x k2 x k24 4 (k )23 x k2x k2
4 4
VD15. Giải phương trình: 07xx12x215 )cos(sin)sin( . HD. Phương trình đã cho
07xx12xx5 2 )cos(sin)cos(sin
x k24 4
32 x k2sin xsin x cos x 14 44 2 (k )7 7sin x cos x 7 x arcsin k2sin x5 4 5 24 5 2
7x arcsin k24 5 2
.
x k2
x k22
(k )7x arcsin k24 5 2
3 7x arcsin k24 5 2
VD16. Giải phương trình x22x2 24 coscos . HD. Phương trình đã cho
24 2
2
cos 2x 1cos 2x cos 2x 2 0
cos 2x 2(vn)
sin 2 0 2 ; (k )2
kx x k x
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
12
VD17. Giải phương trình 03x4x2 42 sincos . HD. Phương trình đã cho
03x4x21 422 sin)sin( 03x4x4x41 442 sinsinsin
2sin 1 cos 0 ; (k )2
x x x k
VD18. Giải phương trình 2 2cos x cos 2x 1 . HD. Phương trình đã cho
011x4x4x011x2x 242222 coscoscos)cos(cos
2
4 22
cos x 04 cos x 5cos x cos x 0 x k (k )5 2cos x (vn)
4
VD19. Giải phương trình x231x2 4 coscos . HD. Phương trình đã cho
)coscos(cos)cos(cos 1x4x431x21x231x2 244224
52x21
0x
52x2
0x
51x1x
01x6x5 22
2
24
cos
sin
cos
sin
cos
coscoscos
x ksin x 0
(k ) 1 33 x arccos k2cos2x2 55
.
VD20. Giải phương trình 07x213x8 4 cossin . HD. Phương trình đã cho
06x26x807x2113x8 2424 sinsin)sin(sin
4 2 2 2 21 1 14sin x 13sin x 3 0 sin x sin x 3(vn) 2sin x 1 cos2x4 2 2
1cos 2 2 2 ; (k )2 3 6
x x k x k .
VD21. Giải phương trình 2xgxtg 22 cot 2xtg
1xtg 22 (1) .
HD. Ñieàu kieän : 0tgx . (1) 01xtg01xtg2xtg 2224 )(
2tg x 1 tgx 1 x k ; (k )
4
VD22. Giải phương trình (1) cos
2x
1xtg4 24 .
HD. Ñieàu kieän : 0x cos .
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
13
2
4 2 4 22
tg x 1(1) 4tg x 1 tg x 2 4tg x tg x 3 0 3tg x (vn)
4
tgx 1 x k ; (k )4
VD23. Giải phương trình 81xx 88 cossin .
HD. Phương trình đã cho
81xx2xx
81xx 442442424 cossin)cos(sin)(cos)(sin
42 2 4 2 41 1 1 1 1(1 sin 2x) 2(sin x cos x) 1 sin 2x sin 2x 2 sin 2x
2 8 4 2 8
1x2x22x28881x2
81x2
41x21 442442 sinsinsinsinsinsin
24 2
2
sin 2x 1sin 2x 8sin 2x 7 0
sin 2x 7 (vn)
0x2 cos 2 ; (k ). 2 4 2
kx k x
VD24. Giải phương trình cos 4x 6 sin x cos x 1 . HD. Phương trình đã cho
2 sin 2x 01 2sin 2x 3sin 2x 1 0 sin 2x 0 x k
2sin 2x 3 / 2 (vn).
VD25. Giải phương trình
2cos x(2sin x 3 2) 2 cos x 1 1 (1)1 sin 2x
.
HD. Đieàu kieän :sin 2x 1 x k4
.
2 2(1) sin 2x 3 2 cos x 2 cos x 1 1 sin 2x 2 cos x 3 2 cos x 2 0
x k2cos x 2 (vn) 4 x k24cos x 2 / 2 x 2k (loaïi)
4
; ( )k
VD26. Giải phương trình 12 tan x cot 2x 2sin 2x
sin 2x .
HD. Ñieàu kieän :cos x 0
sin 2x 0sin 2x 0
.
Phương trình đã cho
2sin x cos2x 1 sin x sin 2x2 2sin 2x 2 cos2x 2sin 2x 1 0cos x sin 2x sin 2x cos x
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
14
2 2 24sin x cos2x 2(1 cos 2x) 1 0 2(1 cos2x) cos2x 3 cos 2x 0
2 cos2x 1 (loaïi,vì sin 2x 0) 12 cos 2x cos2x 1 0 cos2x
2cos2x 1/ 2
22x 2k x k3 3
; ( )k .
VD27. Giải phương trình 2tan x tan x.tan 3x 2 .
HD. Ñieàu kieän :cos x 0cos3x 0
Phương trình đã cho
2sin xsin 2x 2sin x cosxtan x(tan x tan 3x) 2 2 2
cosx cos x cos3x cosx cosx cos3x2 2 4 2 4 2sin x cos x cos3x cos x 1 4 cos x 3cos x 4 cos x 4 cos x 1 0
2 2 k(2 cos x 1) 0 cos2x 0 2x k x
2 4 2; ( )k
VD28. Giải phương trình 2(sin 2x 3 cos2x) 5 cos 2x2
.
HD. Phương trình đã cho 21 34( sin 2x cos2x) cos 2x 5 0
2 2 2
.
2
cos 2x 5 / 4 (vn)6
4 cos 2x cos 2x 5 06 6
cos 2x 16
72x 2k x k6 12
; ( )k .
VD29. Giải phương trình 0,25 4x xlog sin sin x log sin cos2x 02 2
.
HD. Phương trình đã cho
4 4x xlog sin sin x log sin cos2x2 2
x k21 6s inx2 7x k2
6
; ( )k
VD30. Giải phương trình
2 24sin 2x 6sin x 9 3cos2x 0 (1)
cosx.
HD. Ñieàu kieän : cos x 0 2 2(1) 4(1 cos 2x) 3(1 cos2x) 9 3cos2x 0 2 cos 2x 3cos2x 1 0
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
15
2cos2x 1 1 cos2x 0 2 cos x 0cos2x 1/ 2 cos2x 1/ 2 cos2x 1/ 2
cos x 0 (loaïi)x k ; (k )
3cos2x 1/ 2
VD31. Giải phương trình cos3x 1 3 sin 3x . HD. Phương trình đã cho
2 2 2
1 3 sin3x 0 sin3x 3 / 3
cos 3x 1 2 3 sin3x 3sin 3x 4sin 3x 2 3 sin3x 0
ksin3x 0 3x k x3
; ( )k .
VD32. Giải phương trình 2cotx tan x 4sin 2x (1)
sin 2x
HD. Ñieàu kieän : ksin 2x 0 x2
cosx sin x 2 2 cos2x 2(1) 4sin 2x 4sin 2xsin x cos x sin 2x sin 2x sin 2x
2 2 22 cos2x 4sin 2x 2 cos2x 2(1 cos 2x) 1 2 cos 2x cos2x 1 0
cos2x 1 (loaïi do sin 2x 0)x k ; (k )1 6cos2x
2
VD33. Giải phương trình 25sin x 2 3(1 sin x) tan x (1)
HD. Ñieàu kieän : cos x 0 x k2
2 2
2 2
sin x sin x(1) 5sin x 2 3(1 sin x) 5sin x 2 3(1 sin x)cos x 1 sin x
2
2 23sin x5sin x 2 (5sin x 2)(1 sin x) 3sin x 2sin x 3sin x 2 01 sin x
sin x 2 (vn) x 2k6 (k )1 5s inx x 2k2 6
VD34. Giải phương trình 3cos x cos2x cos3x 1 2sin xsin 2x . HD. Phương trình đã cho
2 3 23t 2t 1 4t 3t 1 4(4 t )t (t cosx)
2 t 0 cosx 0 x k2t 2t 0 (k )2t 1 cosx 1 x 2k
.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
16
VD35. Tìm x thuoäc ñoaïn x 0;2 nghieäm ñuùng phöông trình :
cos3x sin 3x5 sin x cos2x 3 (1)1 2sin 2x
HD. Ñieàu kieän : 1 2sin 2x 0 sin 2x 1/ 2 (2) (1) 5 sin x 2sin xsin 2x cos3x sin3x (cos2x 3)(1 2sin 2x)
5 sin x cos x cos3x cos3x sin 3x (cos2x 3)(1 2sin 2x)
5 sin x sin3x cosx (cos2x 3)(1 2sin 2x)
5cosx 1 2sin 2x (cos2x 3)(1 2sin 2x) 5cosx cos2x 3
2 2 cos x 2 (vn)5cosx 2 cos x 2 2 cos x 5cosx 2 0
cos x 1/ 2 (thoûa ñk (2))
x 2k3
; ( k )
Vì x 0;2 nghieäm cuûa phöông trình laø: x
3,
5x3
.
VD36. Giải phương trình: 1+sin2x = 2(cos4x + sin4x). HD. Phương trình đã cho Ta có: 2(cos4x + sin4x) = 2[(cos2x + sin2x)2 – 2sin2xcos2x]
= 2 211 sin 22
x
= 2 – sin22x
Phương trình đã cho tương đương sin22x + sin2x -1 = 0 Đặt t = sin2x với điều kiện -1 t 1 ta được phương trình:
t2 + t – 1 = 0 t = 1 52
. Giá trị 1 52
< -1 nên bị loại.
Với t = 1 52
ta có phương trình sin2x = 1 52
Phương trình này có nghiệm: x = 1 1 5arcsin2 2
k
, (k )
x = 1 1 5arcsin2 2 2
k
, (k ).
VD37. Giải phương trình sin2x(tanx – 1) = cosx(5sinx – cosx) – 2.
HD. Điều kiện: cosx 0 Chia hai vế của phương trình cho cos2x ta được:
tan2x (tanx – 1) = 5tanx – 1 – 2(1+tan2x) tan3x – tan2x = 5tanx – 3 – 2 tan2x
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
17
tan3x + tan2x – 5tanx + 3 = 0 Đặt t = tanx ta được phương trình.
t3 + t2 – 5t +3 = 0 (t – 1)(t2 + 2t – 3) = 0 1
3tt
Với t = 1, phương trình tanx = 1 có nghiệm 4
x k , k
Với t = -3, phương trình tanx = -3 có nghiệm x = arctan(-3) + k, k
Các giá trị này thỏa mãn điều kiện của phương trình đã cho. Vậy phương trình đã
cho có các nghiệm x = 4
k , x = arctan(-3) + k, k
VD38. Giải phương trình: 3 32 3 1 3 1sin cos sin 2 sin cos3 2 2 3
x x x x x
HD. Phương trình đã cho tương đương
3 32 3 1 3 3 2sin cos 2sin cos sin cos3 2 6
x x x x x x
= 0
3 2 2 3 2 22 2sin 3 sin cos sin cos cos sin cos 3 sin cos 03 3
x x x x x x x x x x
2 22sin 3 sin cos cos (sin cos ) 03
x x x x x x
2 2
sin cos 0 (1)2sin 3 sin cos cos 0 (2)3
x x
x x x x
(1) x = 34 +k, k
(2) sin2x - 3 sinxcosx + 23
cos2x = 0
i) cosx = 0 không thoả mãn phương trình. ii) cosx 0, chia hai vế của phương trình cho cos2x, ta được:
tan2x - 23 tan 03
x
Phương trình đã cho có nghiệm:
x = 3 ,4 6
k x k , x = arctan 2 33
+ k, k .
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
18
VD39. Giải phương trình: 23 4 2sin 2 2 3 2(cotg 1)
sin 2cosx x
xx
.
HD. Đk: 2
x k
Phương trình đã cho tương đương với:
2
2 22
2
43 1 2 3 2sin 2
2(sin cos )3 3 2sin cos
3 2 3 0
tg cotg
tg cotg
tg tg
x xxx xx xx x
x x
33
13 6
tg
tg
x kx
x x k
(k )
So sánh với điều kiện, ta có nghiệm : 6 2
x k ; (k ).
VD40. Giải phương trình 24xos os3
c c x .
HD. Phương trình đã cho 2 2
3 2
2 1 os2x 2 1 1 2x2cos 1 2cos 1 os3.3 2 3 2 2 3
2 2 24cos 4cos 3cos 3 03 3 3
2 2cos 1 323 3 ( ).322 3cos 4 23 63 2
x c x c
x x x
x x x kkk
x x kx k
VD41. Giaûi phöông trình 22cos 4 6 s 1 3cos 2 0
cosx co x x
x
.
HD. ĐK: 2
x k ,
Phương trình đã cho 02cos312cos1(312cos22 2 xxx
kx
kx
x
xxx
6
2
212cos
12cos012cos32cos2 2 ( )k
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
19
2kx thỏa ĐK khi chỉ khi x m
Vậy (1) có 3 họ nghiệm là: ; , ( , )6
x m x k m k .
VD42. Giaûi phöông trình 1cos1
sin2)1cos2(cos1
xxxx .
HD. ĐK : cos 1 2x x k , ( )k Phương trình đã cho
0sin2)sin1(2cos1sin2coscos21 22 xxxxxx
2sin22sin02sin2sin2 2 xxxx (loại)
24
5
24
4sin
22sin
kx
kxx ( )k
VD43. Giaûi phöông trình 23 2 3(1 ).cotcosx cosx x . HD. ĐK : x k , ( )k Phương trình đã
cho xxxx 2
2
sincos)cos1(322cos3
2
2
cos3cos 2 2 3(1 cos )1 cos
xx xx
02coscos6cos1
cos32cos3 22
xxxxx
2)32arccos(
23
32cos
21cos
kx
kx
x
x ( )k
VD44. Giaûi phöông trình 6 6 2sin 2 1x cos x cos x . HD.
412cos
43
2sin431)cos(sincossin3)cos(sin
)(cossincossin
2
22222322
323266
x
xxxxxxx
xxxx
Phương trình đã cho 012cos42cos32cos412cos
43 22 xxxx
231arccos
21
312cos
12cos
kx
kx
x
x ( )k
VD45. Tìm caùc nghieäm treân khoaûng 0; cuûa phöông trình
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
20
sin 3 cos37 4 cos 22sin 2 1
x x cosx xx
HD. ĐK : sinx
212
2125
21
mx
mx ( )k
)cossin1)(cos(sin4)cos(sin3cos3cos4sin4sin33cos3sin 33 xxxxxxxxxxxx
)12sin2)(cos(sin)1cossin4)(cos(sin xxxxxxx
xxx
xx cossin12sin23cos3sin
Phương trình đã cho )sin21(4sin72cos4)coscos(sin7 2 xxxxxx
3sin21sin03sin7sin2 2 xxxx (loại)
26
5
26
21sin
kx
kxx ( )k
Trong khoảng ;0 ta được hai nghiệm của phương trình là: 6
5;6
xx
VD46. Cho phöông trình cos 2 (2 1)sin 1 0 (*)x m x m . a) Giaûi phöông trình khi m = 2.
b) Tìm m ñeå phöông trình (*) coù nghieäm treân khoaûng ; 2 Phương trình đã cho 01sin)12(sin21 2 mxmx
0sin)12(sin2 2 mxmx a) Khi m = 2: Phương trình đã cho 22sin 5sin 2 0x x
1 2in 62
5s nx = 2 26
x ks x
i x k
( )k
b) Tìm m để PT (*) có nghiệm trên khoảng ; 2 : Đặt sinx = t. 012; tx .
Phương trình đã cho tương đương 22 (2 1) 0, [-1; 0)t m t m t 12
t
t m
Vậy ta phải có : 1; 0m
VD47. Giaûi phöông trình 22cos 4 6 s 1 3cos 2 0
cosx co x x
x
.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
21
HD. ĐK: 2
x k ,
Phương trình đã cho 02cos312cos1(312cos22 2 xxx
kx
kx
x
xxx
6
2
212cos
12cos012cos32cos2 2 ( )k
2kx thỏa ĐK khi chỉ khi x m
Vậy (1) có 3 họ nghiệm là: ; , ( , )6
x m x k m k .
VD48. Giaûi phöông trình 1cos1
sin2)1cos2(cos1
xxxx .
HD. ĐK : cos 1 2x x k , ( )k Phương trình đã cho
0sin2)sin1(2cos1sin2coscos21 22 xxxxxx
2sin22sin02sin2sin2 2 xxxx (loại)
24
5
24
4sin
22sin
kx
kxx ( )k
VD49. Giaûi phöông trình 23 2 3(1 ).cotcosx cosx x . HD. ĐK : x k , ( )k Phương trình đã
cho xxxx 2
2
sincos)cos1(322cos3
2
2
cos3cos 2 2 3(1 cos )1 cos
xx xx
02coscos6cos1
cos32cos3 22
xxxxx
2)32arccos(
23
32cos
21cos
kx
kx
x
x ( )k
VD50. Giaûi phöông trình 6 6 2sin 2 1x cos x cos x . HD.
412cos
43
2sin431)cos(sincossin3)cos(sin
)(cossincossin
2
22222322
323266
x
xxxxxxx
xxxx
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
22
Phương trình đã cho 012cos42cos32cos412cos
43 22 xxxx
231arccos
21
312cos
12cos
kx
kx
x
x ( )k
VD51. Tìm caùc nghieäm treân khoaûng 0; cuûa phöông trình :
sin 3 cos37 4 cos 22sin 2 1
x x cosx xx
HD. ĐK : sinx
212
2125
21
mx
mx ( )k
)cossin1)(cos(sin4)cos(sin3cos3cos4sin4sin33cos3sin 33 xxxxxxxxxxxx
)12sin2)(cos(sin)1cossin4)(cos(sin xxxxxxx
xxx
xx cossin12sin23cos3sin
Phương trình đã cho )sin21(4sin72cos4)coscos(sin7 2 xxxxxx
3sin21sin03sin7sin2 2 xxxx (loại)
26
5
26
21sin
kx
kxx ( )k
Trong khoảng ;0 ta được hai nghiệm của phương trình là: 6
5;6
xx
VD52. Cho phöông trình : cos 2 (2 1)sin 1 0 (*)x m x m . a) Giaûi phöông trình khi m = 2.
b) Tìm m ñeå phöông trình (*) coù nghieäm treân khoaûng ; 2 HD. Phương trình đã cho 01sin)12(sin21 2 mxmx
0sin)12(sin2 2 mxmx a) Khi m = 2: Phương trình đã cho 22sin 5sin 2 0x x
1 2in 62
5s nx = 2 26
x ks x
i x k
( )k
b) Tìm m để PT (*) có nghiệm trên khoảng ; 2 : Đặt sinx = t. 012; tx .
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
23
Phương trình đã cho tương đương 22 (2 1) 0, [-1; 0)t m t m t 12
t
t m
Vậy ta phải có : 1; 0m
VD53. Giải phương trình x xx
x x2 cos2 sin 23 cot 3
sin cos
.
HD. Điều kiện xx
sin 0cos 0
x m2
(1).
Phương trình đã cho x x x x xx xx
2
2cos cos2 .cos sin 2 .sin3 3.
sin .cossin
x xx xx
2
2cos cos3 3.
sin .cossin
x x22sin 3sin 1 0 x
x
sin 11sin2
x k loaïi
x k
x k
2 ( )2
265 26
( )k
Vậy phương trình có nghiệm x k x k52 ; 26 6
, ( )k
VD54. Giải phương trình x x23tan 1 3 tan 1 0
HD.
x x kx x x
x k
2tan 1
413 tan 1 3 tan 1 0 tan3 6
VD55. Giải phương trình x x
x
cos2 3cos 2 02sin 3
.
HD.
Điều kiện: x x23 1sin cos2 4
(*)
Phương trình đa cho tương đương:
xx x x x k k
x loaïi2
cos 12 cos 3cos 1 0 cos 1 2 ,( )1cos ( )
2
VD56. Giải phương trình cos2x - cosx - 2 = 0. HD. Phương trình đã cho tương đương:
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
24
22cos cos 3 0cos 1
3cos (vn)2
cos 12 , ( )
x xx
x
xx k k
VD57. Giải phương trình cos 2 3cos 2 0 x x HD. Phương trình đã cho tương đương: 22cos 3cos 1 0x x
cos 1cos 11 cos oscos
32
xx
x cx
2
23
x kk
x k
VD58. Giải phương trình 2 22cos 2 3cos 4 0x x HD. Phương trình đã cho tương đương:
2 2 2cos 2 1
2cos 2 3(2cos x - 1) + 1 = 0 2cos 2 3 os2x + 1 = 0 1cos 22
xx x c
x
2 2
2 23 6
x k x kk
x k x k
.
VD59. Giải phương trình 2sin2x + cosx – 1 = 0. HD. Phương trình đã cho tương đương:
2( 1 – cos2x) + cosx – 1 = 0 –2cos2x + cosx + 1 = 0 cosx = 1 x = k2 ( k )
cosx = – 12
x k
x k
2 232 23
( k )
Nghiệm của phương trình là: x = k2; x k x k2 22 ; 23 3
(k ).
VD60. Giải phương trình 22sin 5cos 1 0x x .
22cos 5cos 3 0x x cos 3
1cos2
x
x
(loaïi)2 2 ( )3
x k k .
VD61. Giaûi phöông trình 22cos 4 6 s 1 3cos 2 0
cosx co x x
x
.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
25
HD. ĐK: 2
x k ,
Phương trình đã cho 02cos312cos1(312cos22 2 xxx
kx
kx
x
xxx
6
2
212cos
12cos012cos32cos2 2 ( )k
2kx thỏa ĐK khi chỉ khi x m
Vậy (1) có 3 họ nghiệm là: ; , ( , )6
x m x k m k .
VD62. Giaûi phöông trình 1cos1
sin2)1cos2(cos1
xxxx .
HD. ĐK : cos 1 2x x k , ( )k Phương trình đã cho
0sin2)sin1(2cos1sin2coscos21 22 xxxxxx
2sin22sin02sin2sin2 2 xxxx (loại)
24
5
24
4sin
22sin
kx
kxx ( )k
VD63. Giaûi phöông trình 23 2 3(1 ).cotcosx cosx x . HD. ĐK : x k , ( )k Phương trình đã
cho xxxx 2
2
sincos)cos1(322cos3
2
2
cos3cos 2 2 3(1 cos )1 cos
xx xx
02coscos6cos1
cos32cos3 22
xxxxx
2)32arccos(
23
32cos
21cos
kx
kx
x
x ( )k
VD64. Giaûi phöông trình 6 6 2sin 2 1x cos x cos x . HD.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
26
412cos
43
2sin431)cos(sincossin3)cos(sin
)(cossincossin
2
22222322
323266
x
xxxxxxx
xxxx
Phương trình đã cho 012cos42cos32cos412cos
43 22 xxxx
231arccos
21
312cos
12cos
kx
kx
x
x ( )k
VD 65. Tìm caùc nghieäm treân khoaûng 0; cuûa phöông trình :
sin 3 cos37 4 cos 22sin 2 1
x x cosx xx
HD. ĐK : sinx
212
2125
21
mx
mx ( )k
)cossin1)(cos(sin4)cos(sin3cos3cos4sin4sin33cos3sin 33 xxxxxxxxxxxx
)12sin2)(cos(sin)1cossin4)(cos(sin xxxxxxx
xxx
xx cossin12sin23cos3sin
Phương trình đã cho )sin21(4sin72cos4)coscos(sin7 2 xxxxxx
3sin21sin03sin7sin2 2 xxxx (loại)
26
5
26
21sin
kx
kxx ( )k
Trong khoảng ;0 ta được hai nghiệm của phương trình là: 6
5;6
xx
VD66. Cho phöông trình cos 2 (2 1)sin 1 0 (*)x m x m . a) Giaûi phöông trình khi m = 2. b) Tìm m ñeå phöông trình (*) coù nghieäm treân khoaûng ; 2 HD. Phương trình đã cho 01sin)12(sin21 2 mxmx
0sin)12(sin2 2 mxmx a) Khi m = 2: Phương trình đã cho 22sin 5sin 2 0x x
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
27
1 2in 62
5s nx = 2 26
x ks x
i x k
( )k
b) Tìm m để PT (*) có nghiệm trên khoảng ; 2 : Đặt sinx = t. 012; tx .
Phương trình đã cho tương đương 22 (2 1) 0, [-1; 0)t m t m t 12
t
t m
Vậy ta phải có : 1; 0m 3. Phương trình asinx + bcosx = c, (a2 + b2 > 0) Chia hai vế cho 2 2a b .
Phương trình đã cho trở thành 2 2 2 2 2 2
s inx cosx = a b ca b a b a b
Đặt 2 2 2 2
os , sinb aca b a b
Phương trình đã cho trở thành: 2 2
os( ) cc xa b
(*)
Phương trình đã cho có nghiệm khi chỉ khi phương trình (*) có nghiệm
2
2 2 22 22 2
1 1c c a b ca ba b
.
Phương trình (*) là một phương trình lượng giác cơ bản.
Chú ý: i) Nếu đặt 2 2 2 2
sin , osb a ca b a b
thì (*) trở thành:
2 2
sin( ) cxa b
ii) Nếu c = 0, có thể đưa phương trình đã cho về t anx ba
.
iii) Có thể đặt 2
2 2 2
2 1 2tan inx , osx , t anx2 1 1 1x t t tt s c
t t t
4i) Có thể biến đổi 2 xcosx = 2cos 1,sin 2 2sin os2 2 2x xx c . Đưa phương
trình về phương trình có vế trái đẳng cấp bậc hai đối với xsin , os2 2x c .
5i) Có thể chia hai vế cho a, nếu a 0: s inx cosx = b ca a
. Đặt tanba
hoặc cotba
.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
28
Cũng có thể chia hai vế cho b, nếu a 0: s inx cosx = a cb b
. Đặt tanab
hoặc
cotab
.
VD1. Giải phương trình 2 22 3 cos 2sin 3 34
x x
HD. Phương trình đã cho
2 23(2cos 1) (s inx - cosx) 3
3 os2x - sin2x = 2 (1)
x
c
Cách 1. 3 1(1) os2x - sin 2 1 os 2x+ 1 ; (k )
2 2 6 12c x c x k
Cách 2. Đặt t = tanx. 2
2 22 2
2
1 23 os2x - sin2x = 2 3 2 3 3 2 2 21 1
1(2 3) 2 2 3 02 3
1t anx = tan122 3
t tc t t tt t
t t t
Cách 3. 2 23(2cos 1) (s inx - cosx) 3x
22 3 cos 2sin cosx 2 3x x osx = 0 sinx= 1c : Không thỏa. Chia 2 vế cho cos2x. Ta có:
2 22 3 2 tan (2 3)(1 tan ) (2 3) an 2 tan 2 3 01t anx = tan
122+ 3
x x t x x
Cách 4.
Đặt sin
33 tan3 os
3c
.
(1) sin os2x - cos sin2x = 2cos sin 2 13 3 3 3
2 23 2 12
c x
x k x l
Cách 5.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
29
Đặt os
63 cot6 sin
6
c
.
(1) os os2x - sin sin2x = 2sin os 2 16 6 6 6
2 26 12
c c c x
x k x k
Cách 6.
Chia hai vế cho 3 : 1 2os2 sin2x = 3 3
c x
Đặt os1 3cot
33 sin3
c
.
2(1) sin os2x - cos sin2x = sin sin 2 13 3 3 33
c x
.
Cách 7.
Chia hai vế cho 3 : 1 2os2 sin2x = 3 3
c x
Đặt sin1 6tan
63 os6
c
.
2(1) os os2x - sin sin2x = os os 2 16 6 6 63
c c c c x
.
VD2. Giải phương trình 2 2(sin x cos x) cos x 3 cos 2x . HD. Phương trình đã cho
22 sin 2x 2 2cos x 3 cos2x 2 2 22 sin 2x ( 2 1)cos2x 3 2 phöông trình voâ nghieäm vì a b c . VD3. Giải phương trình 33sin 3x 3 cos9x 1 4sin 3x . HD. Phương trình đã cho
33sin3x 4sin 3x 3 cos9x 1 sin 9x 3 cos9x 1
2x k1 3 1 1 18 9sin 9x cos9x sin 9x2 2 2 3 2 7 2x k
54 9
( k )
VD4. Giải phương trình 4cosx + 2 3 sinx + cos2x + 3 sin2x + 3 = 0.
HD. Phương trình đã cho
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
30
4cosx + 2 3 sinx + 2cos2x – 1 + 2 3 sinxcosx + 3 = 0 2 3 sinx(cosx+1) + 2(cosx +1)2 = 0
2(cox +1)( 3 sinx + cosx + 1) = 0
cos 1 0
3 sin cos 1 0
x
x x
(2 1)
23
x k
x k
(k )
VD5. Giải phương trình:
2cos3x – sin2x(sinx + cosx) +cos2x(sinx + 2 ) - 2 (sin2x + 1) – 2cosx – sinx = 0
HD. Phương trình đã cho tương đương: 2cos3x – sin2x(sinx + cosx) +cos2x(sinx + 2 ) - 2 (sin2x + 1) – 2cosx – sinx = 0
2 (cos2x – sin2x –1) +sinx(cos2x – sin2x –1) +2cos3x – sin2xcosx –2cosx = 0
(cos2x – sin2x – 1) ( 2 + sinx) + cosx(2cos2x – sin2x – 2) = 0
(cos2x – sin2x – 1) ( 2 + sinx) + cosx(cos2x + 1 – sin2x – 2) = 0
(cos2x – sin2x – 1)(cosx + sinx + 2 ) =0
cos 2 sin 2 1 0
cos sin 2 0
x x
x x
2cos 24 2
cos 14
x
x
2 2
4 4
24
x k
x k
(k ) 4
5 24
x k
x k
x k
(k )
VD6. T×m );0( x tho¶ m·n ph¬ng tr×nh:
cotx - 1 = xxx
x 2sin21sin
tan12cos 2
.
HD.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
31
Điều kiện:
1tan02sin
0cossin02sin
xx
xxx
Phương trình đã cho
xxxxxxx
xxx cossinsin
sincoscos.2cos
sinsincos 2
xxxxxxx
xx cossinsincossincossin
sincos 22
)2sin1(sinsincos xxxx
0)1sincos)(sinsin(cos 2 xxxxx
0)32cos2)(sinsin(cos xxxx
cos 0
2 sin(2 ) 3 (VN)4
x sinx
x
0sincos xx tanx = 1 , ( )4
x k k
Do 4
0;0 xkx .
VD7. Giải phương trình xxxx 2cos34cos26sin32cos4 3 HD. Phương trình đã cho tương đương xxxx 4cos26sin32cos32cos4 3
xxxxxx 4cos6sin236cos
214cos26sin36cos
6cos 6 cos 4 6 4 23 3
30 5
x kx x x x k
x k
( )k
VD 8. ĐK : sin 0sin 2 0
cos 0 2x kx x kx
HD. Phương trình đã cho xxxxxxxx cossin3)3cos(cos2cossin3sin2sin4
1 3 6cos sin cos3 cos cos32 2 3
12 2
x kx x x x x
x k
( )k
Ví dụ 9. Giải phương trình 82cos2sin3cos3sin9 xxxx . HD. Phương trình đã cho 09cos2cos3cossin6sin9 2 xxxxx
0)3)(cos3cos2()cos23(sin3 xxxx
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
32
3osx = (vn)
(2cos 3)(cos 3sin 3) 0 2cos 3sin 3 0
cx x x
x x
sinsinsincoscos103sin
103cos
101
xxxx
2
2cos( ) cos2 2
2
x kx
x k
( )k
trong đó 1 3cos ; sin10 10
VD10. Giải phương trình 32 cos 2 0cos x x sinx . HD. Phương trình đã cho:
0)sin1()1(coscos20sin1cos2cos2 223 xxxxxx 0)sin1()1)(cossin1)(sin1(2 xxxx
0)12sincos2sin2)(sin1(01)cos1)(sin1(2)sin1(
xxxx
xxx
0)cos(sin)cos(sin2)sin1( 2 xxxxx
1 sin 0(1 sin )(sin cos )(sin cos 2) 0 sin cos 0
s nx + cosx + 2 = 0 (vn)
xx x x x x x x
i
2
4
x k
x k
( )k
VD11: Giải phương trình 3 3sin x cos x sinx cosx . HD. Phương trình đã cho tương đương xxxxxx cossin)cossin1)(cos(sin
xxxxxxxx cossin)cos(sincossincossin
0)cossinsin2(cos0)cos(sincossincos2 2 xxxxxxxxx
0)2sin2cos3(cos0)2sin21
22cos12(cos
xxxxxx
cos 03 os2x - sin2x = 0 (vn) 2
xx k
c
, ( )k .
Cách khác: 3 3 2 3
2
sin s inx(sin 1) os osx = 0cosx(- sinxcosx + cos 1) 0 cosx(- sin2x + cos2 3) 0x cos x sinx cosx x c x c
x x
VD12. Giải phương trình 4 4 4(sin ) 3 sin 4 2x cos x x
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
33
HD. Ta có xxxxx 4cos41
43)4cos1(
4112sin
211cossin 244
Phương trình đã cho214sin
234cos
2124sin34cos3 xxxx
2 2 4 2cos 4 cos 4 2
3 3 3 312 2
x kx x k
x k
( )k
VD13. Giải phương trình xxxx sin3cos)cos3(sin3 Phương trình đã cho
xxxxxxxx cos23sin
213cos
213sin
23cos3sin3cos3sin3
3 26 3 4sin 3 sin
56 3 3 224 56 3
x x k x kx x
x kx x k
( )k .
VD14. Giaûi phöông trình cos2x - 3 sin2x = 1 + sin2x. HD. Phương trình đã cho 12sin32cos12sin3sincos 22 xxxxx
3
cos3
2cos212sin
232cos
21
xxx
VD15. Giaûi phöông trình 4sin2x – 3sinxcosx + 3 4 cos2x = 4.
HD. + Xét cosx = 0 thì 1sin 2 x nghiệm đúng phương trình .
Vậy phương trình có nghiệm kx 2
.
+ Xét 0cos x . Chia hai vế PT(2) cho x2cos và thay xx
22 tan1
cos1
, đặt t = tanx :
Ta có kxxtttt 66
tantan33)1(44334 22
Vậy PT (2) có hai họ nghiệm là : kx 2
; ; ( )6
x k k
VD16. Giaûi phöông trình 10cos2x – 5sinxcosx + 3sin2x = 4. HD. Phương trình đã cho
3)2cos1(232sin
25)2cos1(5 xxx
72sin52cos7 xx
VD17. Giải phương trình x x2 32 cos 3 cos2 0
4
HD.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
34
Phương trình đã cho tương đương:
x x
x x x x
31 cos 2 3 cos2 02
1 sin2 3 cos2 0 sin2 3 cos2 1
xsin 2 sin3 6
x k x k
x k x k
2 23 6 4
5 72 2
3 6 12
( )k
VD18. Giải phương trình x xsin3 3 cos3 1 . HD.
Phương trình đã cho tương đương: x x x1 3 1sin3 cos3 sin 3 sin2 2 2 3 6
x k x k
x k x k
23 23 6 6 3
5 7 23 2
3 6 18 3
( )k
VD19. Giải phương trình xx
x
22 3 cos 2sin2 4
12 cos 1
HD.
Điều kiện: x x k1cos 22 3
, ( )k
Phương trình đã cho tương đương:
x x x x x x2 3 cos 1 cos 2 cos 1 sin 3 cos 0 tan 32
x x ktan 33 , ( )k
Đối chiếu điều kiện, ta có nghiệm của pt là: x k4 23
, ( )k .
VD20. Giải phương trình x x23sin2 2cos 2 . HD. Phương trình đã cho tương đương: Pt x x3 sin 2 (1 cos2 ) 2 x x3 sin2 cos2 1
xsin 2 sin6 6
x x3 1 1sin 2 cos22 2 2
x kx k
x kx k
2 26 6
2 2 36 6
( )k .
VD21. Giải phương trình osx + 3 s inx + 1 = 0c
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
35
HD. Phương trình đã cho tương đương: 1 3 1c o s s i n2 2 2
1c o s c o s s in s i n3 3 2
2c o s ( ) c o s ( )3 3
2 ( )3
2
x x
x x
x
x kk
x k
VD22. Giải phương trình sin 2 3 cos 2 2x x . HD. Phương trình đã cho tương đương: 1 3sin 2 cos 2 12 2
x x cos sin 2 sin cos 2 13 3
x x
sin 2 13
x
; ( )12
x k k .
4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx Dạng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0.
Đặt t = sinx + cosx = 2 cos(x - 4 ) 2t và
2 1sin x cos2
tx
Phương trình đã cho trở thành at + b2 12
t + c = 0 bt2 + 2at + 2c - b = 0.
MR: f(sinx + cosx, sinxcosx) = 0.
Đặt t = sinx + cosx = 2 cos(x - 4 ) 2t và
2 1sin x cos2
tx
VD1. Giải phương trình :
sin 2x 2(sin x cosx) 2 0
HD. Đặt
t sin x cosx 2 cos x
4. Đieàu kieän: t 2 .
Phöông trình trôû thaønh :
2 t 1t 2t 2 1 0
t = -1- 2(loai)
Suy ra
x k21cos x x k2 (k )4 4 4 x k22
2
VD2. Giải phương trình 2(sin x cos x) tgx cot gx . HD. Điều kiện: s inx 0,cos 0x . Phương trình đã cho
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
36
sin x cos x2(sin x cos x)cos x s inx
2(sin x cos x)sin x cos x 1
ñaët t sin x cosx 2 cos x4
. Đieàu kieän: t 2 .
Phöông trình trôû thaønh : 3 2t t 2 0 (t 2)(t + 2t +1) = 0 t = 2
Suy ra
cos x 1 x k2 ; (k )
4 4
VD3. Giải phương trình 3 3sin x cos x sin 2x sin x cos x . HD. Phương trình đã cho (sin x cosx)(1 sin x cos x) 2sin x cosx sin x cos x
Đặt
2t 1 t sin x cos x 2 cos x sin x cos x4 2
. Đieàu kieän: t 2 .
Phöông trình trôû thaønh :
3 2 2 t 1
t 2t t 2 0 (t 1)(t + 2t 5) = 0 t = 1t 2(loaïi)
.
Suy ra
x k21cos x x k2 (k )24 4 42 x k2
VD4. Giải phương trình 1 1 10cos x sin x
cos x sin x 3 .
HD. Phương trình đã cho
1 10(sin x cos x) 1sin x cos x 3
Đặt
2t 1 t sin x cos x 2 cos x sin x cos x4 2
.
Đieàu kieän: t 2 . Phöông trình trôû thaønh :
3 2 23t 10t 3t 10 0 (t 2)(3t 4t 5) = 0
t = 2(loaïi)
2 19 2 19 t = cos(x )3 4 3 2
2 19 t = (loaïi)3
2 19 x ar cos k2 ; (k )4 3 2
VD5. Giải phương trình 3(cot gx cos x) 5(tgx sin x) 2
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
37
HD. Ñieàu kieäncos x 0sin x 0
Phương trình đã cho
3(cot gx cos x 1) 5(tgx sin x 1) 0cos x sin x3 cosx 1 5 sin x 1 0sin x cos xcosx sin x cos x sin x sin x sin x cos x cosx3 5 0
sin x sin x
cos x sin x cosx sin x 0 (1)3 5(cos x sin x cos x sin x) 0 3 5sin x cos x (2)
sin x cos x
Đặt
2t 1t sin x cos x 2cos x t 2,sin x cos x4 2
2 t 1 2(1) t 2t 1 0
t 1 2 (loaïi)
1 2 1 2cos(x ) x arccos k2 ; (k )4 42 2
3 5 3 3(2) tan x x arctan k , (k )
sin x cos x 5 5
VD6. Giải phương trình cos2x + cos2x + (5 – 3cosx)(sinx + cosx) – 2 = 0.
HD. Phương trình đã cho 5(sinx + cosx) – 3cosxsinx = 3 Đặt t = sinx + cosx (- 2 t 2 ), phương trình trở thành:
3t2 – 10t + 30 = 0 3( )13
t loai
t
sinx + cosx = 13
sin 24 6
x
Giải ra ta được:
2arcsin 24 6
3 2arcsin 24 6
x k
x k
(k ) .
VD7. Giải phương trình 3 os5x - 2cos3x + sin5x = 0c . HD. Phương trình đã cho
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
38
3 1os5x + sin 5 os3x cos 5x - os3x2 2 6
125x - 3 2 (k ).6
48 4
c x c c
x kx k
x k
VD8. Với những giá trị nào của m thì phương trình sau vô nghiệm: 2sin2x + msin2x = 2m HD. Phương trình đã cho msin2x - cos2x = 2m - 1 (1)
Phương trình (1) vô nghiệm khi chỉ khi 2 20
1 (2 1) 43
mm m
m
Cách 2. Phương trình đã cho 2sin2x + 2msinxcosx - 2m = 0 (2) * cosx = 0 là nghiệm chỉ khi m = 1. * cosx 0 m 1 : (2) 2tan2x + 2mtanx - 2m(1 + tan2x) = 0 (1 - m)tan2x + mtanx - m = 0 (3) Phương trình (3) vô nghiệm khi chỉ khi m2 +4m(1 - m) < 0 4m - 3m2 < 0.
VD9. Giải phương trình sin2x - cos2x = 23
.
HD. Phương trình đã cho 6sin2x - 3coss2x = 7: vn do 62 + (-3)2 = 45 < 49 = 72.
VD10. Giải phương trình xxxx 2cos34cos26sin32cos4 3 HD. Phương trình đã cho tương đương xxxx 4cos26sin32cos32cos4 3
xxxxxx 4cos6sin236cos
214cos26sin36cos
6cos 6 cos 4 6 4 23 3
30 5
x kx x x x k
x k
( )k
VD 11. Giải phương trình 3 18sinxcosx sinx
HD. ĐK : sin 0sin 2 0
cos 0 2x kx x kx
Phương trình đã cho xxxxxxxx cossin3)3cos(cos2cossin3sin2sin4
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
39
1 3 6cos sin cos3 cos cos32 2 3
12 2
x kx x x x x
x k
( )k
VD12. Giải phương trình xxxx sin3cos)cos3(sin3 . HD. Phương trình đã cho
xxxxxxxx cos23sin
213cos
213sin
23cos3sin3cos3sin3
3 26 3 4sin 3 sin
56 3 3 224 56 3
x x k x kx x
x kx x k
( )k
VD13. Giải phương trình 02cos12)sin(cos122sincossin xxxxxx . HD. Phương trình đã cho 012)cos(sin122sincossin xxxxx
sin cos 0 (1)12(sin cos ) sin 2 12 0 (2)
x xx x x
(1) kx 4
, ( )k
(2) xxtttt
tt cossin113
1013122
sin 2 02
kx x , ( )k .
Vậy phương trình có nghiệm là ; , ( )4 2
kx k x k .
5. Phương trình a(sinx - cosx) + bsinxcosx + c = 0.
Đặt t = sinx - cosx = 2 sin(x - 4 ) 2t và
21sin x cos2tx
.
Phương trình đã cho trở thành at + b21
2t + c = 0 bt2 - 2at - 2c - b = 0.
MR. f(sinx - cosx, sinxcosx) = 0.
Đặt t = sinx - cosx = 2 sin(x - 4 ) 2t và
21sin x cos2tx
.
VD1. Cho phương trình s in 2 x 4 ( c o s x s in x ) m a) Giaûi phöông trình treân khi m 4 b) Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình treân coù nghieäm?
HD.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
40
a) Khi m 4 , phöông trình coù daïng : s in2x 4(cos x sin x) 4 (1 sin 2x) 4(cos x sin x) 3 0
2(cos x sin x) 4(cosx sin x) 3 0
cos x sin x 1 x 2k2 cos x 1 (k ) 24cos x sin x 3 (vn) x 2k
b) 2s in2x 4(cos x sin x) m (cos x sin x) 4(cosx sin x) m 1 0 (1)
Ñaët :
21 tt cos x sin x 2 cos x t 2,sin x cos x4 2
.
2(1) t 4t m 1 0 Neáu / 5 m 0 m 5 phöông trình voâ nghieäm Neáu / 5 m 0 m 5 phöông trình coù hai nghieäm
/1
/2
t 2
t 2 2 (loaïi)
Vaäy phöông trình coù nghieäm khi chỉ khi: / / /
12 t 2 2 2 2 2 2 6 4 2 6 4 2
6 4 2 5 m 6 4 2 1 4 2 m 1 4 2 .
VD2. Giải phương trình: 2sin 2 s inx 2cos 02xx
HD. Phương trình đã cho sin 2x sin x cos x 1 0
Đặt
t sin x cosx 2 sin x
4, t 2 , sin2x = 1 - t2.
Phöông trình trôû thaønh :
2 t 0
1 t t 1 0t 1
Suy ra:
cos x 1 x k24 4 (k )3x kcos x 044
VD3. Giải phương trình 2sin3x + cos2x – 3cosx + 2 =0
HD. Phương trình đã cho tương đương 2sin3x + cos2x – 3cosx + 2 = 0 2sinx (1-cos2x) + 2cos2x – 3cosx +1=0 (1 – cosx)[2sinxcosx + 2(sinx – cosx) + 1} = 0
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
41
cos 1 (1)2sin cos 2(sin cos ) 1 0 (2)
xx x x x
(1) x = k2, k
Giải(2), đặt t = sinx – cosx (- 2 t 2 ). Phương trình (2) trở thành:
t2 – 2t – 2 = 0 1 3( )
1 3
t loai
t
Với t = 1 - 3 , giải ra ta được:
2 6arcsin 24 2
5 2 6arcsin 24 2
x k
x k
(k )
Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là:
2
2 6arcsin 24 2
5 2 6arcsin 24 2
x k
x k
x k
(k ).
VD4. Tìm nghiệm của phương trình 1 + cosx + cos2x = sinx + sin2x + sin3x thỏa
mãn điều kiện 32 2
x .
HD. Ta có:
32 2
x
323 6 2 02 603
2 233 22 2 3 32 2
x xx xxx
xx xx
(*)
Phương trình đã cho tương đương 2cos2x + cosx = 2sin2xcosx + 2sinxcosx
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
42
osx = 0 (1)4sinxcosx + (sinx - cosx) = 1 (2)c
(1) 2x k
Với (2): Đặt t = sinx - cosx = 2 sin(x - 4 ) 2t và
21sin x cos2tx
.
(2) trở thành 2(t2 - 1)+ t = 1 2t2 + t - 3 = 0 t = 1
2 24 4 2
3 224 4
x k x k
x kx k
( k )
Với (*) ta có x = 2 .
VD5. Giải phương trình
4sin27cos2sin3sin2sin32cos8 xxxxxx .
HD. Phương trình đã cho 072sin3)sin(cos8sincos xxxxx
sin cos 0 (2)8(cos sin ) 3sin 2 7 0 (3)
x xx x x
(2) kx 4
, ( )k .
(3) : Đặt t = 2 2cos sin ; ( 2) 1 sin 2 sin 2 1 (4)x x t t x x t
(3) 32
322
0483 2
t
t
ttt , thay vào (4):
sin2x =
kx
kx
95arcsin
2
95arcsin
21
95 ( )k .
VD6. Giải phương trình 02cos2sinsin 23 xxx . HD. Phương trình đã cho
0)1cossincos)(sincos1( xxxxx
2
2
01cossincossin1cos
kx
kx
xxxxx
( )k
VD7. Giải phương trình 12cossin)2sincos(sin12cossin 22 xxxxxxx . HD. Phương trình đã cho
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
43
012)cos(sin12cossin0cossin
012)cos(sin12cossincossin
xxxxxx
xxxxxx
2
4
kx
x ( )k .
VD8. Giải phương trình 1)1(sin2sin2coscossinsin 2 xxxxxx . HD. Phương trình đã cho 0)1(sin2sin2)coscos(sin1sin 2 xxxxxx
012sin2cossin1sin
012sin2cossin1sin0)1(sin2sin21sincos1sin1sin
xxxx
xxxxxxxxxx
VD9. Giải phương trình 0sincos2cos)1cos(sin xxxxx . HD. Phương trình đã cho 0sincossincos1cossin 22 xxxxxx
0sincossincossincos1cossin xxxxxxxx 01sincos1cossin)sin(cos xxxxxx
cos sin 0 (1)(sin cos 1)(cos sin ) 1 0 (2)
x xx x x x
(1) kx 4
, ( )k
Giải (2): Đặt t = sinx +cosx ( 2t ) ; 12sin2sin1 22 txxt (3)
(2) 01.12
12
tt 0233 tt 0)2)(1( 2 ttt
12
1
t
tt
thay vào (3) thì sin2x = 0 2kx , ( )k
6. Phương trình asin2x + bcos2x + csinxcosx = d. Cách 1. Hạ bậc. Phương trình tương đương:
1 os2 1 os2 1 sin 2
2 2 2( ) os2 sin 2
c x c xa b c x d
b a c x c x d a b
Cách 2.
Xét cosx = 0, nếu a = d thì x = 2
k là nghiệm.
Chia 2 vế của phương trình cho cosx 0, ta có:
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
44
atan2x + b + ctanx = d(1 + tan2x) VD1. Giải phương trình 2 26sin sin x cos os 2x x c x . HD. Xét cos x = 0 thì sin2x = 1 không thỏa phương trình. Chia hai vế cho cos2x ta có: 6tan2x + tanx - 1 = 2(1 + tan2x)
2t anx 1
44 tan t anx 3 0 ( )3 3t anx arctan4 4
x kx k
x k
VD2. Giải phương trình 2 22sin 3sin x cos 5 os 1x x c x HD. Xét cos x = 0 thì sin2x = 1 không thỏa phương trình. Chia hai vế cho cos2x ta có: 2tan2x -3 tanx + 5 = 1 + tan2x
2tan 3t anx + 4 0 x : vn. VD3. Giải phương trình 6sin2x +sinxcosx - cos2x = 2. HD. Xét cos x = 0 thì sin2x = 1 không thỏa phương trình. Chia hai vế cho cos2x ta có: 6tan2x - tanx - 1 = 2(1 + tan2x)
4tan2x - tanx - 3 = 0 t anx = - 1
4 ( ).3 3tanx = arctan4 4
x kk
x k
VD4. Tìm các nghiệm thuộc đoạn [0; ] của phương trình: 2 24sin 3 3 sin 2 2cos 4x x x . HD. Xét cos x = 0 thì sin2x = 1 không thỏa phương trình. Chia hai vế cho cos2x ta có: 4tan2x + 6 3 tanx - 2 = 4(1 + tan2x)
3 tanx = 1 1t anx = , ( ).63
x k k
VD5. Chứng minh rằng với mọi m, phương trình sau luôn có nghiệm : msin2x - (2m + 1)sinxcosx + (m + 1)cos2x = 0. HD. Xét cos x = 0 thì sin2x = 1 thỏa phương trình chỉ khi m = 0 cosx 0 thì m 0, phương trình tương đương: mtan2x - (2m + 1)tanx + m + 1 = 0 Thấy ngay phương trình này luôn có nghiệm tanx = 1. VD6. Giải phương trình x x x2 23sin 2sin 2 7 cos 0 . HD. Phương trình đã cho x x x x2 23sin 4sin .cos 7cos 0 (*) + Với xcos 0 , ta thấy không thoả PT (*) + Với xcos 0 , chia 2 vế của PT (*) cho x2cos , ta được:
(*) x x23 tan 4 tan 7 0 x
x
tan 17tan3
x k
x k
47arctan3
( )k
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
45
VD7. Giải phương trình x x x2 234sin sin 2 cos 02
.
HD. Phương trình đã cho x x x x2 24sin 3sin .cos cos 0 (*) + Với xcos 0 thì (*) xsin 0 (vô lí) xcos 0 không thoả (*) + Với xcos 0 . Chia 2 vế của (*) cho x2cos , ta được:
(*) x x24 tan 3 tan 1 0 x
x
tan 11tan4
x k
x k
41arctan4
( )k
Vậy PT có nghiệm: x k x k1; arctan
4 4
VD8. Giải phương trình x x x2 25sin 4sin 2 6 cos 2 . HD.
x x x2 25sin 4sin 2 6 cos 2 x x x x2 23sin 8sin .cos 4 cos 0 (1) + Với xcos 0 , ta thấy không thoả (1) + Với xcos 0 , chia 2 vế của (*) cho x2cos , ta được:
(1) x x23 tan 8 tan 4 0 x
x
tan 22tan3
x k
x k
arctan( 2)2arctan3
( )k .
VD9. Giải phương trình 2 24sin 2sin 2 2cos 1x x x HD. Phương trình đã cho tương đương:
2 23sin 4sin cos cos 0x x x x
*) cos 02 x x m không thỏa phương trình.
**) cos 02 x x m .
Phương trình đã cho x x23tan 4 tan 1 0
tan 14 ( )1 1tan arctan3 3
x kxk
x x k
.
VD10. Giải phương trình x x x x2 2sin sin cos 4 cos 1 0 . HD. + Dễ thấy cosx = 0 không thỏa mãn phương trình đã cho + Với cosx 0, ta có: Phương trình đã cho tương đương:
x x22 tan tan 3 0 x kx
x x k
tan 143 3tan arctan2 2
( )k .
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
46
VD11. Giaûi phöông trình cos2x + sinxcosx + 3sin2x = 3 HD. + cosx = 0 thì 1sin 2 x nghiệm đúng phương trình (2).
Vậy (2) có nghiệm kx 2
.
+ 0cos x . Chia hai vế PT(2) cho x2cos và thay xx
22 tan1
cos1
, đặt t = tanx
Ta có : kxxtttt 2arctan2tan2)1(331 22 , ( )k VD12. Giaûi phöông trình cos2x + sinxcosx + 3sin2x = 3 HD. + cosx = 0 thì 1sin 2 x nghiệm đúng phương trình (2).
Vậy (2) có nghiệm kx 2
.
+ 0cos x . Chia hai vế PT(2) cho x2cos , ddawtj tanx = t. Ta có : kxxtttt 2arctan2tan2)1(331 22 , ( )k
VD13. Giaûi phöông trình 4sin2x – 3sinxcosx + 3 4 cos2x = 4.
HD. + Xét cosx = 0 thì 1sin 2 x nghiệm đúng phương trình .
Vậy phương trình có nghiệm kx 2
.
+ Xét 0cos x . Chia hai vế PT(2) cho x2cos và thay xx
22 tan1
cos1
, đặt t =
tanx :
Ta có kxxtttt 66
tantan33)1(44334 22
Vậy PT (2) có hai họ nghiệm là : kx 2
; ; ( )6
x k k
VD14. Giaûi phöông trình cos2x - 3 sin2x = 1 + sin2x. HD. Phương trình đã cho 12sin32cos12sin3sincos 22 xxxxx
3
cos3
2cos212sin
232cos
21
xxx
VD15. Giaûi phöông trình 10cos2x – 5sinxcosx + 3sin2x = 4. HD. Phương trình đã cho
3)2cos1(232sin
25)2cos1(5 xxx
72sin52cos7 xx 7. Phương trình: asin3x + bcos3x + csin2xcosx + dsinxcos2x + dsinx + ecosx = 0. Xét cosx = 0, sinx = 1. Chia hai vế của phương trình cho cos3x, ta có phương trình bậc ba của tanx.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
47
VD1. Giải phương trình 3sin x 2 sin x4
(*) .
HD. Ta coù 2 sin x sin x cos x4
, phương trình đã cho:
3 3 3 312 2 sin x (sin x cosx) sin x (sin x cos x)4 4 2 2
x4xxx2xx22
1 33 sin)cos(sinsin)cos(sin(*)
: coù ta cos cho trình phöôngcuûa veá haiChia . trình phöôngmaõn thoûa khoângcos 0x0x 3 3 2 2(tan 1) 4 tan (1 tan ) (tan 1)(3 tan 1) 0 tan 1
(k )4
x x x x x x
x k
VD2. Giải phương trình xxxx 2coscossintan . Cách 1.
+ ĐK: mx 2
.
Phương trình đã cho xxxx 32 coscossinsin (1). + cosx = 0 không thỏa (1) . + cosx 0, chia hai vế (1) cho cos3x được :
2tan (1 tan ) tan 1 tan 14
x x x x x k , ( )k
Cách 2. Phương trình đã cho xxxxx 3332 cossincos)cos1(sin kxxx
41tan1tan3 , ( )k
VD3. Giải phương trình xxx cossincos3 . Cách 1. + cosx = 0 không thỏa phương trình đã cho. + cosx 0, chia hai vế phương trình đã cho cho cos3x : )tan1()tan1(tan1 2 xxx
32
tan 0tan 2 t anx 0 tan 0
tan 2 0 (vn)x
x x x kx
, ( )k
Cách 2. 0)1cos(sinsin0sinsincossin)1(coscos 22 xxxxxxxxx
sin 0
sin (sin 2 2) 0 sin 0sin 2 2 0 (vn)
xx x x x k
x
, ( )k
VD4. Giải phương trình 0cos2cossincos2sin3 233 xxxxx . Cách 1. + cosx = 0 không thỏa. + cosx 0, chia hai vế phương trình đã cho cho cos3x được :
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
48
0)3(3033)tan1(2tan2tan3 223223 ttttxxx
kx
kx
x
x
t
t
33tan
0tan
3
0 ( )k
Cách 2. Phương trình đã cho 0)cos1(cos2cossinsin3 223 xxxxx 0cos3sin3sin0sincos2)cossin3(sin 222 xxxxxxxx
kx
kx
x
kx
xx
x
33tan0cos3sin
0sin ( )k
VD5. Giải phương trình 3cos4x – 4sin2xcos2x + sin4x = 0. Cách 1. + cosx = 0 thì sinx = 1 không thỏa phương trình. + cosx 0 : Chia hai vế cho cos4x ta có:
4 2 t anx=1
tan 4 tan 3 0tanx=3
x x
Cách 2. Phương trình đã cho 0)sincos(sin)cossin3cos3( 422224 xxxxxx
0)sin(cossin)sin(coscos3 222222 xxxxxx
3tan
02cos0)sincos3(2cos 22
x
xxxx
8. Phương trình a(tanx + cotx) + b(tan2x + cot2x) + c = 0. Đặt t = tanx + cotx 2tan . t anx 1 0, 2x t t , tan2x + cot2x = t2 - 2
VD. Giải phương trình (1) )cot(sin
04gxtgx5xtg2x
2 22
HD. Ñieàu kieän : sin cos 0 sin 2 0 (k )2
kx x x x
2 2(1) 2(1 cot ) 2 tan 5(tan cot ) 4 0x x x x 04gxtgx52gxtgx204gxtgx5xgxtg2 222 )cot(])cot[()cot()cot(
22(tan cot ) 5(tan cot ) 0x x x x (1) Ñaët 2 2 2 2tan cot (tan cot ) tan cot 2t x x t x x x x
2 2tan cot 2x x 42xgxtg2 22 cot
2t
2t2t4t 2 .
2 5(1) 2t 5t 0 t2
hoặc t = 0 (loại)
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
49
Khi 2 25 sin cos 5 12(sin cos ) 5sin cos sin 22 cos sin 2 5
x xt x x x x xx x
1 1x arcsin - k2 5
(k )1 1x arcsin - k
2 2 5
9. Phương trình a(tanx - cotx) + b(tan2x + cot2x) + c = 0 Đặt t = tanx - cotx 2tan .t anx - 1 0,x t Phương trình có nghiệm với mọi t. tan2x + cot2x = t2 + 2. Phương trình đã cho tương đương: at + b(t2 + 2) + c = 0 VD. Giải phương trình 3tan2x + 4tanx - 4cotx + 3cot2x - 13 = 0. HD. Đặt t = tanx - cotx 2tan . t anx - 1 0x t . Phương trình có nghiệm với mọi t. tan2x + cot2x = t2 + 2. Phương trình đã cho tương đương: 4t + 3(t2 + 2) - 13 = 0
3t2 + 4t - 7 = 0 t = 1 hoặc t = - 73
t = 1: 2
1 5 1 5t anx arctan2 2tan t anx - 1 0 (k )
1 5 1 5t anx arctan2 2
x kx
x k
t = 73
:
2
7 85 7 85t anx arctan6 63 tan 7 t anx - 3 0 (k )
7 85 7 85t anx arctan6 6
x kx
x k
10. Các phương trình lượng giác khác: 10.1. BiÕn ®æi vÒ tÝch.
VD1. Giải phương trình: 1 12 2 sin x
4 sin x cosx
.
HD. Điều kiện: s inx 0,cos 0x .
2 sin xsin x cos x 42 2 sin(x ) 2 2 sin x
4 sin x cos x 4 sin x cos x
sin(x ) 0 x k12 sin x 2 0 4 44 sin x cos x 2sin x cos x 1 sin 2x 1
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
50
x k4 x k ; (k )
4x k
4
thỏa điều kiện.
VD2. Giải phương trình cos4x sin x sin 7x cos2x . HD. Phương trình đã cho
cos 4x cos2x sin 7x sin x 2 cos3x cos x 2sin 4x cos3x
3x kcos3x 0 2sin 4x cos x sin 4x sin x
2
x k x k6 3 6 3
24x x k2 x k (k )2 10 5
24x x k2 x k2 6 3
VD3. Giải phương trình s inx 2 cosx cos2x 2sin x cos x 0 . HD. Phương trình đã cho
2s inx 1 2sin x 2 cos x(1 sin x) 0
s inx 1s inx 1
(1 s inx)(2sin x 2 cos x 1) 0 1sin x2(sin x cos x) 14 2 2
x 2k2
1x arcsin 2k (k )4 2 2
3 1x arcsin 2k4 2 2
.
VD4. Giải phương trình 4 6cos x sin x cos2x . HD. Phương trình đã cho
4 6 4 4 6 4cos x sin x cos x sin x sin x sin x 0
4 22
s inx 0sin x(sin x 1) 0 x k
1 sin x 0 (vn); ( )k
VD5. Giải phương trình x 3x x 3x 1cos x.cos .cos sin x.sin .s in2 2 2 2 2
.
HD. Phương trình đã cho
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
51
1 1 1cos x(cosx cos2x) sin x(cos x cos2x)2 2 2
2
2
cos x cos x cos2x sin x cos x sin x cos2x 1cos x cos2x sin x cos2x sin x sin x cos xcos2x(cos x sin x) sin x(sin x cos x) (cos x sin x)(cos2x sin x) 0
2 2(cos x sin x)(1 2sin x sin x) 0 (cosx sin x)(2sin x sin x 1) 0
x k4
tgx 1 x k22sin x 1 (k )
x k21sin x 62 5x k2
6
VD6. Giải phương trình 6 616(sin x cos x 1) 3sin 6x . HD. Phương trình đã cho
2 3316 1 sin 2x 1 3(3sin 2x 4sin 2x)4
3 2 24sin 2x 4sin 2x 3sin 2x 0 sin 2x(4sin 2x 4sin 2x 3) 0
2
sin 2x 0sin 2x(4sin 2x 4sin 2x 3) 0 sin 2x 1/ 2
sin 2x 3 / 2 (vn)
k 5x ,x k ,x k ; (k )2 12 12
VD7. Giải phương trình (1 tgx)(1 sin 2x) 1 tgx (1). HD. Ñieàu kieän :cosx 0
2
2
(cos x sin x)(cosx sin x) cos x sin x(1)cos x cos x
(cos x sin x)(cos x sin x) cos x sin x
2 2
cos x sin x 0 tgx 1x k ,x k ; (k )
4cos2x 1cos x sin x 1
VD8. Giải phương trình 2 2 2 3sin x sin 2x sin 3x2
HD. Phương trình đã cho cos2x cos4x cos6x 0 cos 4x(2 cos2x 1) 0
1 kcos 4x 0 cos2x x ,x k ;2 8 4 3
( )k
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
52
VD9. Giải phương trình
1 12 2cos x4 sin x cos x .
HD. Điều kiện: s inx 0,cos 0x . Phương trình đã cho
2cos x4cosx sin x2 2cos x 2 2cos x
4 sin x cos x 4 sin x cos x
cos x 0 cos x 0cos x 0 4 44sin x cosx 0 sin 2x 0122sin x cos x 1 sin 2x 1sin x cos x
x k2 sin 2x sin 1 04 2
x ksin 2x 0 4
sin 2x 1 2x 2k x k2 4
; ( )k
VD10. Giải phương trình cosx cos2x cos3x cos4x 0 HD. Phương trình đã cho
cos x 05x x 5x4 cos x.cos .cos 0 cos 02 2 2
xcos 02
.
2kx k ,x ,x 2k ;2 5 5
( )k
VD11. Giải phương trình 2 2 2sin x cos 2x cos 3x . HD. Phương trình đã cho
1 cos2x 1 cos 4x 1 cos6x (cos2x cos 4x) (1 cos6x) 02 2 2
22 cos3x cos x 2 cos 3x 0 2 cos3x(cos x cos3x) 0 4 cos3x.cos2x.cos x 0
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
53
kx6 3cos3x 0
kcos2x 0 x (k )4 2
cos x 0x k
2
VD12. Giải phương trình 6 6 8 8sin x cos x 2(sin x cos x) . HD. Phương trình đã cho
6 2 6 2sin x(1 2sin x) cos x(2 cos x 1) 0 6 6 kcos2x(sin x cos x) 0 cos2x 0 x
4 2
; ( )k
VD13. Giải phương trình x28
13xx 266 cossincos .
HD. Phương trình đã cho
x28
13xx 23232 cos)(sin)(cos
x28
13xxxxxx 2224422 cos)cossinsin)(cossin(cos
x213x228x2x28
13x241x2
211x2 22222 cos)sin(coscos)sinsin(cos
06x213x22
0x2x213x2128
0x2x213x228
0x2222 coscos
coscos)cos(
coscossin
cos
cos 2 0
1cos 22
cos 2 6( )
x
x
x vn
, (k )4 2 6
x k x k
VD14. Giải phương trình )cos(sincossin xx2xx 5533 . C1. phương trình đã cho tương đương:
3 5 5 3sin 2sin 2cos cosx x x x 3 2 3 2 3 3
3 3
sin (1 2sin ) cos (2cos 1) sin cos 2 cos cos 2os2 ( os sin ) 0
x x x x x x x xc x c x x
3 3 3
cos2x 0 cos2x 0 cos2x 0x m ,x k
4 2 4tgx 1sin x cos x tg x 1
x m (m )4 2
C2. )cos(sincossin xx2xx 5533 )cos(sin)cos)(sincos(sin xx2xxxx 552233
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
54
3 2 3 2 5 5
3 2 2 3 2 2
sin cos cos sin sin cossin (cos sin ) cos (cos sin )
x x x x x xx x x x x x
xx
0xx0xx0xx0xxxx
22
33
223322
sincossincos
sincossincos)sin)(cossin(cos
2 22 2cos sin 0
cos sin 0 cos 2 0 (k )4 2cos sin
x xx x x x k
x x
VD15. Giải phương trình x3x2x 222 coscossin . HD. Phương trình đã cho
0x61x2x42
x612
x412
x21
)cos()cos(coscoscoscos
0xx2x340x3xx320x32xx32 2 coscoscos)cos(coscoscoscoscoscos 0cos 2 0 , , (k )
2 4 2 6 3cos3 0
xx x k x k x kx
VD16. Giải phương trình 4 41 2(sin cos )x x . HD. Phương trình đã cho
2 4 2 4sin 2sin 2cos cosx x x x 2 2 2 2 2 2
2 2 2
sin (1 2sin ) cos (2cos 1) sin cos 2 cos cos 2
os2 ( os sin ) 0 os 2 0 os2 0 ; (k )4 2
x x x x x x x x
c x c x x c x c x x k
Cách 2. 4 4 2 2 2 2 2
2 2
1 2(sin cos ) 1 2((sin os ) 2sin cos )1 2 sin 2 os 2 0.
x x x c x x xx c x
VD17. Giải phương trình 0x5x33 44 cossin 0x5xx21330x5x133 442422 cos)coscos(cos)cos(
1x22
0x3x212
0x3x4
0xx6x822
2
224
coscos
)cos(cos
coscoscoscos
cos x 0x k , 2x k2 x k , x k ;(k )1 2 3 2 6cos2x
2
VD18. Giải phương trình 3 sin x 2 cos x 2 3 tan x . HD. ĐK: cos 0x . Phương trình đã cho 3tan x cos x 2 cos x 2 3tan x cos x(3 tan x 2) 2 3 tan x . Ñaët : t tan x
22 x arctan k3 tan x 2 0 tan x (k )33cos x 1 cos x 1 x 2k
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
55
VD19. Giải phương trình 34 cos x 3 2 sin2x 8cosx HD. Phương trình đã cho
3 24 cos x 6 2 sin x cos x 8cos x 2 cos x(2 cos x 3 2 sin x 4) 0
2 22 cos x(2sin x 3 2 sin x 2) 0 cos x 0,sin x 2 (vn),sin x2
3x k ,x 2k ,x 2k ;2 4 4
( )k
VD20. Giải phương trình 8 8 6 62(sin x cos x) sin x cos x HD. Phương trình đã cho
8 6 6 82cos x cos x sin x 2sin x 6 2 6 2 6 6cos x(2 cos x 1) sin x(1 2sin x) cos x cos2x sin x cos 2x
6 6 6
x mcos2x 0 cos2x 0 cos2x 0 4 2 x m ; (m )4 2tan x 1sin x cos x tan x 1 x k
4
VD21. Giải phương trình 8 8 10 10 5s in x cos x 2(sin x cos x) cos2x4
.
HD. Phương trình đã cho 10 8 8 8 52 cos x cos x 2sin x sin x cos2x 0
4
8 2 8 2
8 8
5cos x(2 cos x 1) sin x(1 2sin x) cos2x 04
5cos x cos2x sin x cos2x cos2x 04
8 88 8
cos2x 05cos2x cos x sin x 0 54 sin x cos x 1 vo â nghieäm4
kx4 2
, ( k )
VD22. Giải phương trình 32 cos x cos2x sin x 0 . HD. Phương trình đã cho
3 2 22 cos x 2 cos x 1 sin x 0 2 cos x(1 cos x) (1 sin x) 0 (1 sin x)(cos x sin x)(cos x sin x 2) 0 (1 sin x)(cos x sin x) 0
x k2sin x 1 2 (k )tan x 1 x k
4
VD23. Giải phương trình 9sin x 6cosx 3sin2x cos2x 8 .
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
56
HD. Phương trình đã cho 29sin x 6 cos x 6sin x cosx 1 2sin x 8
22sin x 9sin x 7 6 cos x(sin x 1) 0(sin x 1)(2sin x 7) 6 cos x(sin x 1) 0
sin x 1(sin x 1)(2sin x 6 cos x 7) 0
2sin x 6 cos x 7 (vn)
x 2k ; (k )2
VD24. Giải phương trình 4cosx 2 cos2x cos4x 1 . HD. Phương trình đã cho
24 cosx 2 cos2x 1 cos 4x 4 cos x 2 cos2x 2 cos 2x 2 cos x 0
4 cos x 2 cos2x(1 cos2x) 4 cos x 4 cos2x cos xcos2x cos x 1
cos x 0 x k2
2
cos x 1cos x 1cos2x 1 2 cos x 1 1
cos2x cos x 1cos x 1 cos x 1
(vn)cos2x 1 cos2x 1
cos x 1 x 2k ; (k )
VD25. Giải phương trình 2sin x sin x sin x cos x 1 (1) HD. Ñieàu kieän :sin x 0
2 21 1(1) sin x sin x cos x cos x sin x sin x cos x cos x4 4
2 21 1sin x cos x sin x cos x1 1 2 2sin x cos x1 12 2 cos x sin x 1sin x cos x2 2
22 2
cos x 0cos x 0 cos x 0
sin x sin x 1 0sin x cos x sin x 1 sin x
sin x 0cos x sin x 1 cosx sin x 1 cos x 1
cos x 01 5x arcsin k21 5sin x (vì sin x 0) 2
2 x 2kx 2k
(k )
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
57
VD26. Giải phương trình 1 1 1
cos x sin 2x sin 4x .
HD. Ñieàu kieän :sin 4x 0 1 1 1 1 1 1
cos x sin 2x sin 4x cos x 2sin x cos x 2sin x cos x cos2x
22sin x cos2x cos2x 1 0 2sin x cos2x 1 cos2x 2sin x cos2x 2sin x sin x 0 (loaïi)
2kx x 2kcos2x sin x cos x 6 3 2
2
VD27. Giải phương trình 2 2 2sin x cos 2x cos 3x . HD. Phương trình đã cho
1 cos2x 1 cos4x 1 cos6x cos2x cos 4x 1 cos6x 02 2 2
22 cos3x cos x 2 cos 3x 0 2 cos3x(cos x cos3x) 0 4 cos3x cos2x cos x 0
x k6 3
x k (k )4 2
x k2
VD28. Giải phương trình
1 12 2 sin x (1)4 sin x cos x
HD. Ñieàu kieän :cos x 0 ksin 2x 0 xsin x 0 2
sin x cosx 0 tan x 1sin x cos x(1) 2(sin x cos x)sin x cos x sin 2x 1 sin 2x 1
x k n4 x ; (n )4 2
x m4
VD29. Giải phương trình tan x cot x 2(sin 2x cos 2x)
HD. Ñieàu kieän :cos x 0
sin 2x 0sin x 0
sin x cos x tan x cot x 2(sin 2x cos2x) 2(sin 2x cos2x)cosx sin x
1 2(sin 2x cos2x)sin x cos x
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
58
22 2(sin 2x cos2x) 1 sin 2x(sin 2x cos2x) 1 sin 2x sin 2x cos2xsin 2x
2
kxcos2x 0 4 2cos 2x sin 2x cos2x (k )ktg2x 1 x
8 2
VD30. Giải phương trình 4sin 2x 3cos2x 3(4sin x 1) . HD. Phương trình đã cho
28sin x cos x 3(1 2sin x) 12sin x 3
2 2 2
sin x 0sin x(4 cosx 3sin x 6) 0
4 cos x 3sin x 6 (vn vì a b 25 c 36)
x k ; (k )
VD31. Giải phương trình 3tan x cot x 2 cot 2x
HD. Ñieàu kieän :
cos x 0ksin x 0 sin 2x 0 x2
sin 2x 0
3 3
3 3
sin x cos xtan x cot x 2 cot 2x 2 cot 2xcos x sin x
2 cos2x 2 cot 2x cot 2x cot 2xsin 2x
2
cot 2x 0 k2x k x ; (k )2 4 2cot 2x 1 (vn)
VD32. Giải phương trình 3s in x 2 s in x4
(1)
Cách 1. Đặt 4
x t
3 3
2
(1) s in t 2 s in t s in t s in t c o s t4
s in t (1 c o s t ) s in t c o s t c o s t (1 s in t c o s t ) 0c o s t 0 ( 2 )
1 s in t c o s t 0 ( 3 )
(3) 11 sin 2 0 sin 2 22
t t (vn)
(2) 3 ; (k )2 4
t k x k .
Cách 2. Ta coù : 2 sin x sin x cos x4
3 2(1) (sin cos ) 4sin (sin cos )(sin cos ) 4sinx x x x x x x x
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
59
2 2
(sin cos )(1 2sin cos ) 4sincos 3sin 2sin cos 2sin cos 0
x x x x xx x x x x x
02x2x2x2x03x2x1x2x 22 )(cossin)(coscos)cos(sin)sin(cos
cos 2 2 (vn)(cos 2 2)(cos sin ) 0 (k )
tan 1 4x
x x x x kx
Cách 3. 3 3 2 2 3(1) (sin cos ) 4sin sin 3sin cos 3sin cos os 4sinx x x x x x x x c x x
cos 0 s inx 1x : Không thỏa phương trình. Chia hai vế của phương trình cho cosx:
3 2 2
3 2
tan 3 tan 3 tan 1 4 tan (1 tan ) 0
3tan 3 tan t anx 1 0 t anx 1 ; (k )4
x x x x x
x x x k
VD33. Giải phương trình 2tan 2x cot x 8cos x .
HD. Ñieàu kieän :cos2x 0sin x 0
Phương trình đã cho 2sin 2x cos x 8cos x cos2x sin x
.
2
2
sin 2xsin x cos2x cos x 8cos xcos2xsin x
cos x 0cos x 8cos x cos2xsin x
8cos x cos2xsin x 1
cos x 0 cos x 0 cos x 04 cos2xsin 2x 1 2sin 4x 1 sin 4x 1/ 2
k 5 kx k ,x ,x ; (k )2 24 2 24 2
VD34. Giải phương trình 22 tan x cot x 3
sin 2x .
HD. 2sin x cosx 13 (1)cos x sin x sin x cos x
.
Ñieàu kieän : sin x 0
sin x cosx 0cos x 0
2 2 2
2
(1) 2sin x cos x 3 sin x cos x 1 1 sin x 3 sin x cos x 1
sin x 3 sin x cos x
sin x 0 (loaïi)tgx 3 x k
3sin x 3 cos x
; (k )
VD35. Giải phương trình 4 4x xcos sin sin 2x2 2 .
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
60
HD. Phương trình đã cho 2 2x xcos sin sin 2x cos x 2sin x cos x
2 2
cos x 0 5x k ,x 2k ,x 2k ; (k )2 6 6s inx 1/ 2
VD36. Giải phương trình 2(2 sin x 1)(2 sin 2x 1) 3 4 cos x . HD. Phương trình đã cho
22sin xsin 2x 2sin x 2sin 2x 1 3 4(1 sin x)
2 28sin x cos x 2sin x 4sin x cos x 4sin xsin x 04sin x cos x 1 2 cos x 2sin x
sin x 04sin x cos x 2(sin x cos x) 1 0
5 5x k ,x 2k ,x 2k ,x 2k ,x 2k ; (k )6 3 6 3
VD37. Giải phương trình (2 cos x 1)(2 sin x cos x) sin 2x sin x . HD. Phương trình đã cho
(2 cos x 1)(2sin x cosx) 2sin x cos x sin x
12 cos x 1 0 cos x(2 cosx 1)(2sin x cosx) sin x(2 cosx 1) 2sin x cos x 0 tgx 1
x 2k3 (k )
x k4
VD38. Giải phương trình 2 2 2 2sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x . HD. Phương trình đã cho
1 cos6x 1 cos6x 1 cos10x 1 cos12x2 2 2 2
(cos12x cos10x) (cos8x cos6x) 0 cos x(cos11x cos 7x) 0cos xsin 9xsin 2x 0
kxsin 2x 0 2 (k )kcos9x 0 x9
VD39. Tìm x thuoäc ñoaïn [0;14] nghieäm ñuùng phöông trình: cos3x 4 cos2x 3cosx 4 0 . HD. Phương trình đã cho tương đương:
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
61
3 2cos3x 4 cos2x 3cos x 4 0 4cos x 3cosx 4(2 cos x 1) 3cos x 4 0
3 2 24cos x 8cos x 0 4 cos x(cos x 2) 0cos x 0
x k ; (k )2cos x 2(vn)
Vì x 0;14 k 0, k 1, k 2, k 3.
Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø:
3 5 7x ,x ,x ,x .2 2 2 2
VD40. Giải phương trình
2 2 2x xsin tan x cos 0 (1)2 4 2
HD. Ñieàu kieän : cos x 0 x k2
22
2
1 cos x 1 cos x2 21 cosx sin x 1 cos x(1) . tan x 0 . 0
2 2 2 2cos x
2 2
2
2
1 sin x sin x 1 cos x sin x 1 cos x. 0 02 2 2(1 sin x) 21 sin x
sin x (1 cosx)(1 sin x) 0
(1 cos x)(1 cosx) (1 cos x)(1 sin x) 0 (1 cosx)(sin x cos x) 0
x 2kcos x 1 (k )
tgx 1 x k4
VD41. Giải phương trình 2 2 2sin 3x sin 2x s in x 0 . HD. Phương trình đã cho
2 21 cos6x 1 cos2x 1sin 2x 0 (cos2x cos6x) sin 2x 02 2 2
2 2 2 2sin 4x sin 2x sin 2x 0 2sin 2x cos2x sin 2x 0 sin 2x(2 cos2x 1) 0
ksin 2x 0 x2 (k )1cos2x x 2k2 3
.
VD42. Giải phương trình 3sin x sin 2x sin 3x 6 cos x . HD. Phương trình đã cho
2 3 32sin x cos x 3sin x 4sin x 6 cos x
3 2 2tan x 2 tan x 3 tan x 6 0 (tan x 2)(tan x 3) 0x arctan 2 kt anx 2
(k )x kt anx 3
3
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
62
VD43. Xaùc ñònh a ñeå hai phöông trình sau töông ñöông : 2 cosx cos2x 1 cos2x cos3x 24 cos x cos3x a cosx (4 a)(1 cos2x) HD. 2 22 cos x cos2x 1 cos2x cos3x cos3x cos x 2cos x cos3x cos x 2cos x
cosx 0 cos x 1/ 2 24 cos x cos3x acosx (4 a)(1 cos2x)
2 3 24 cos x (4 cos x 3cos x) acos x 2(4 a) cos x 3 24 cos x (4 2a) cos x (a 3)cosx 0 cos x(2 cos x 1)(2 cos x a 3) 0
cos x 01cos x2a 3cos x
2
Hai phöông trình töông ñöông khi chỉ khi:
a 3 12
a 1a 3 1 a 52a 3 a 30
2 a 4a 3 1
2 2
VD44. Giải phương trình 24 cos x cos3x 6 cos x 2(1 cos2x) . HD. Phương trình đã cho
2 3 24 cos x (4 cos x 3cos x) 6 cos x 4 cos x 3 24 cos x 3cos x 0 cos x(4 cos x 3) 0 cos x 0 x k
2
; (k )
VD45. Giải phương trình
3sin x 2 sin x (1)4
.
Ñaët : t x x t4 4
3 3 2(1) sin t 2 sin t sin t sin t cos t sin t(1 cot t) sin t cos t
4
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
63
cost 0 cost 0cos t(1 sin t cos t) 0
sin t cos t 1 sin 2t 2 (vn)
t k x k ; (k )2 4
Cách 2. Ta coù :
2 sin x sin x cos x
4
3 2(1) (sin cos ) 4sin (sin cos )(sin cos ) 4sinx x x x x x x x
2 2
(sin cos )(1 2sin cos ) 4sincos 3sin 2sin cos 2sin cos 0
x x x x xx x x x x x
2 2cos (2sin 1) sin (2cos 3) 0 cos (2 cos 2 ) sin (cos 2 2) 0x x x x x x x x
cos 2 2 (vn)(2 cos 2 )(cos sin ) 0 (k )
tan 1 4x
x x x x kx
Cách 3.
3
3
3
3 2 2 3
1 sin x 2 sin x (s inx cos x) 2 sin x4 2
(s inx cos x) 4 sin xsin x 3 sin x cos x 3 sin x cos x cos x 4 sin x 0 (2)
cosx = 0 s inx 1 : Không thỏa (2) Chia hai vế của phương trình cho cos3x. Ta có phương trình:
3 2 2
3 2
tan x 3 tan x 3 tan x 1 4 t anx(1 tan x) 03tan x 3 tan x tan x 1 0
t anx 1 x k ; (k ).4
VD46. Giải phương trình 6 6 13cos x sin x8
HD. Phương trình đã cho 2cos2x(2 cos 2x 13cos2x 6) 0
kcos2x 0 x4 2cos2x 6 (vn)
x k1cos2x 62
( )k .
VD47. Giải phương trình cos3x - cosx - sinx = 0. HD. cos3x - cosx - sinx = 0 2 2cos ( os 1) s inx 0 cos ( sin ) s inx 0x c x x x .
VD48. Giải phương trình cos2x + 1 + sin2x = 2 sinx + cosx
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
64
HD.
2 2 2
cos2x + 1 + sin2x = 2 sinx + cosx
cos x - sin + (sinx cos ) = 2 sinx + cosx (*)x x
Điều kiện: s inx cos 0 (1)cos s inx 0 (2)
xx
(*) sinx + cosx cosx - sin + sinx cos - 2 = 0
sinx + cosx 0 (3)
cosx - sin + sinx cos - 2 0 (4)
x x
x x
(3) thỏa (1) và tương đương với tanx = - 14
x k , nhưng do (2) nên ta có
24
x k .
(4) cosx-sinx + cosx+sinx = 2 (*)
Mặt khác cosx-sinx + cosx+sinx 2cosx-sinx cosx+sinx) 4cos 4 2x
Nên (*) cosx-sinx = cosx+sinx sinx 0 thỏa (1) và (2) Suy ra x = k .
Vậy, nghiệm của phương trình đã cho: 24
x k , x = k ; ( )k
VD49. Giải phương trình cos2x + 1 - sin2x = 2 sinx - cosx HD. Tương tự VD50. Chú ý 1 - sin2x = (sinx - cosx)2. VD50. Giải phương trình 2cos3x - cos2x + sinx = 0. HD. 2cos3x - cos2x + sinx = 0
3 2 2
2
2cos 2cos 1 s inx = 0 2cos (cos 1) (1 sin ) 02(1 sin )(cos 1) (1 s inx) 0
x x x x xx x
VD51. Giải phương trình 4cosx+ cos4x + 2cos2x + 1 = 0 HD. 4cosx+ cos4x + 2cos2x + 1 = 0 4cosx + 2cos2x + 1 + cos4x = 0 4cosx + 2cos2x + 2cos22x = 0 4cosx + 2cos2x(1 + cos2x) = 0 4cosx + 4cos2x.cos2x = 0 VD52. Giải phương trình 2(tanx - sinx) + 3(cotx - cosx) + 5 = 0. HD. Điều kiện: s inx 0,cos 0x . Phương trình đã cho
2sin 3cos (2sin 3cos ) 5 0cos s inx
x x x xx
2 22sin 3cos (2sin 3cos )sin x cos 5sin cos 0x x x x x x x 2 22sin 3sin cos 3cos 2sin cos (2sin 3cos )sin x cos 0
s inx(2sin 3cos ) cos (2sin 3cos ) (2sin 3cos )sin x cos 0x x x x x x x x x
x x x x x x x x
VD53. Giải phương trình cos3x + sin3x = sinx - cosx.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
65
HD.Phương trình đã cho 3 2 3 2os cos s inx(sin 1) 0 os cos s inxcos 0c x x x c x x x cosx(cos2x - sinx cosx + 1) = 0. Cách khác. Phương trình đã cho tương đương xxxxxx cossin)cossin1)(cos(sin
xxxxxxxx cossin)cos(sincossincossin 0)cossinsin2(cos0)cos(sincossincos2 2 xxxxxxxxx
0)2sin2cos3(cos0)2sin21
22cos12(cos
xxxxxx
cos 03 os2x - sin2x = 0 (vn) 2
xx k
c
, ( )k .
VD54. Giải phương trình 4sin2x - 3cos2x - 6sinx - 8cosx + 3 = 0 HD. 4sin2x - 3cos2x - 6sinx - 8cosx + 3 = 0 28sin cos 3(1 2sin ) 6sin 8cosx x x x x + 3 = 0
28sin cos 6sin 6sin 8cos 0x x x x x sin (6sin 8cos ) (6sin 8cos ) 0x x x x x .
VD55. Giải phương trình: 3tan2x.cot3x + 3 (tan2x – 3cot3x) – 3 = 0 HD. Điều kiện: cos2x 0 và sin3x 0
3tan2xcot3x + 3 (tan2x – 3cot3x) – 3 = 0
3tan2xcot3x + 3 tan2x – 3 3 cot3x – 3 = 0
tan2x (3cot3x + 3 ) - 3 (3cot3x + 3 ) = 0
(3cot3x + 3 ) (tan2x - 3 ) = 0
23 3cot 3 333tan 2 3 3
x kx
x kx
(k )
29 3
6 2
x k
x k
(k )
VD56. Giải phương trình 1 tan 2 sin1 cot
x xx
HD. Điều kiện: cosx 0, sinx 0 và cot x -1.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
66
1 tan cos sin sin2 sin . 2 sin1 cot cos sin cos
x x x xx xx x x x
sin 2 sincos
x xx sinx 12 0
cos x
sin 0
2cos2
x
x
x = 24
k , k
x = - 24
k , k bị loại do điều kiện cot x -1. Vậy nghiệm của của phương
trình đã cho là x = 24
k , k .
VD57. Giải phương trình tan3x – 2tan4x + tan5x = 0 với x (0,2) HD. Điều kiện: cos3x 0, cos4x 0 và cos5x 0.
tan3x -2tan4x + tan5x = 0 sin8 2sin 4 0cos3 cos5 cos 4
x xx x x
2sin 4 cos 4 2sin 4 0cos3 cos5 cos 4
x x xx x x
2sin4x 2cos 4 cos3 cos5 0
cos3 cos 4 cos5x x xx x x
2sin4xsin2x = 0 sin 4 0sin 0
xx
4
44
x k x kx k
x k x k
(k )
Từ giả thiết và điều kiện, nghiệm của phương trình là:
1 2 3 4 53 5 7; ; ; ;
4 4 4 4x x x x x
VD58. Giải phương trình 3cosx - sin2x = 3 cos2x + 3 sinx HD. 3cosx - sin2x = 3 cos2x + 3 sinx
3cosx - 3 sinx = sin2x + 3 cos2x
3 ( 3 cosx - sinx) = sin2x + 3 cos2x
(Loại)
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
67
3 1 1 33 cos s inx sin 2 os22 2 2 2
3 cos sin 2 3 cos 2sin cos6 3 6 6 6
x x c x
x x x x x
VD59. Tìm nghiệm của phương trình 2cos4x - ( 3 - 2)cos2x = sin2x + 3 thuộc [ 0 ; ]. HD. Phương trình đã cho tương đương với 2(cos4x + cos2x) = 3 (cos2x + 1) + sin2x
2cosx = 0 (1)
4 os3xcosx = 2 3 os 2s inxcosx2cos3x = 3 osx + sinx = 0 (2)
c c xc
(1) osx = 0 x = 2
c k
(2) 3x = x - 2
62 os3x = 3 osx + sinx cos3x = cos(x - )6 3 2
6
kc c
x x k
12 ( )
24 2
x kk
kx
vì x 11 130; , , ,2 12 24 24
x x x x .
VD60. Giải phương trình: 3sin 2 cos 3 2 3 os 3 3 os2 8 3 cos s inx 3 3 0x x c x c x x . HD. Phương trình đưa về:
)(4cos1cos
3tan
04cos3cos0sincos3
0)8cos6cos2)(sincos3(
2
2
loaixxx
xxxx
xxxx
, ( )32
x kk
x k
VD61. Giải phương trình 2 sin 2 3sin cos 24
x x x
.
HD. Phương trình đã cho sin 2 cos 2 3sin cos 2x x x x
22sin cos 3sin 2cos cos 3 0x x x x x .
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
68
2cos 3 sin cos 1 2cos 3 0
sin cos 1 2cos 3 0
2cos 3 0 (1)sin cos 1 0 (2)
x x x x
x x x
xx x
(1) 3cos2
x : VN
(2) 21sin cos 1 sin 24 2 2
x kx x x
x k
( k )
VD62. Giải phương trình 2sin 2 4sin 16
x x
.
HD. Phương trình đã cho 3 sin 2 cos 2 4sin 1 0x x x 22 3 sin cos 2sin 4sin 0x x x x .
2 3 cos sin 2 sin 0
sin 0 (1)
3 cos sin 2 0 (2)
x x x
x
x x
(1) sin 0x x k .
(2) 5sin 3 cos 2 sin 1 23 6
x x x x k
.
VD63. Giải phương trình 2 os6x+2cos4x- 3 os2x = sin2x+ 3c c HD. Phương trình đã cho 4cos5xcosx = 2sinxcosx + 2 3 cos2x
os x = 0
2cos5x = sinx + 3 cos
c
x
cos 0
os5x = cos(x - )6
x
c
2
(k )24 2
242 7
x k
kx
kx
VD64. Giải phương trình: 2 22sin 2sin t anx4
x x
HD. Điều kiện : cos 0x (1) 2 2 2 sinx2sin 2sin t anx 1 cos 2 2sin
4 2 cosx x x x
x
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
69
2cos sin 2 .cos 2sin .cos sinxcos sinx sin 2 cos sinx 0
x x x x xx x x
t anx 1sinx cos 4 ,( )sin 2 1 4 22 2
2 4
x kxx k k
x x l x l
VD65. Giải phương trình: )
2sin(2
cossin2sincot
21
xxx
xx .
HD. §iÒu kiÖn: .0cossin,0sin xxx
Phương trình đã cho tương đương 0cos2cossincossin2
sin2cos
xxxxx
xx
02sin)4
sin(cos
0cossin
cos2sin2
cos 2
xxx
xxx
xx
i) .,2
0cos kkxx
ii) 22 2
44sin 2 sin( ) ( )24 2 2
4 34
x kx x kx x k
kxx x k
2 , ( ).
4 3kx k
So sánh ®iÒu kiÖn ta cã nghiÖm cña pt lµ:
kx 2
; 2 , ( ).
4 3kx k
VD66. Giải phương trình 2 21 sin sin cos sin 2cos .2 2 4 2x x xx x
HD.
xsin1x2
cos1xsin2
xcosxsin
2
xsin11 2
012
xcos
2
xsin2.
2
xcos
2
xsinxsin01xsin
2
xcos
2
xsinxsin
012
xsin2
2
xsin21
2
xsinxsin 2
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
70
2
sin x 0x k
x kxsin 1 x k , kx
2 x k4k22 2x x
2sin 2sin 12 2
VD67. Giaûi phöông trình : 0sincos2cos2sin xxxx . HD. Phương trình đã cho 01coscos2)sincossin2( 2 xxxxx
0)1cos)(sin1cos2(0)1)(cos1cos2()1cos2(sin
xxxxxxx
2 21 3 3cos2 2 2
4 4 22 sin( ) 13 24 2
4 4
x k x kx
x k x kx x kx k
23 3
22
x k
x k
( )k
VD68. Giải phương trình 32 cos 2 0cos x x sinx . HD. Phương trình đã cho:
0)sin1()1(coscos20sin1cos2cos2 223 xxxxxx 0)sin1()1)(cossin1)(sin1(2 xxxx
0)12sincos2sin2)(sin1(01)cos1)(sin1(2)sin1(
xxxx
xxx
0)cos(sin)cos(sin2)sin1( 2 xxxxx
1 sin 0(1 sin )(sin cos )(sin cos 2) 0 sin cos 0
s nx + cosx + 2 = 0 (vn)
xx x x x x x x
i
2
4
x k
x k
( )k .
Ví dụ 69. Giải phương trình 82cos2sin3cos3sin9 xxxx . HD. Phương trình đã cho 09cos2cos3cossin6sin9 2 xxxxx
0)3)(cos3cos2()cos23(sin3 xxxx
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
71
3osx = (vn)
(2cos 3)(cos 3sin 3) 0 2cos 3sin 3 0
cx x x
x x
sinsinsincoscos103sin
103cos
101
xxxx
2
2cos( ) cos2 2
2
x kx
x k
( )k
trong đó 1 3cos ; sin10 10
VD70. Giải phương trình xxxxx cossin2coscossin 266 . HD.
)cossincos)(sincos(sincossin 22442266 xxxxxxxx = = xxxx 2244 cossincossin
xxxxxxx 22442222 cossin2sincos)sin(cos2cos Phương trình đã cho
2 2 s inxcosx = 0sin cos sin cos 0
s inxcosx + 1 = 0 sinx = 0cosx = 0 , (k )
2sin2x + 2 = 0 (vn)
x x x x
x k
.
VD71. Giải phương trình xxx2
1 cos21 cot 2sin 2
HD.
ĐK: x x ksin 2 02
, ( )k
Phương trình đã cho tương đương:
x x x x x xx x
x x x x x x
22
cos2 1 cos21 sin 2 cos2 sin2 1 cos2sin 2 sin 2
sin2 1sin2 1 sin 2 cos2 1 0 sin2 cos2 1
x x k x ksin 2 1 2 22 4 , ( )k , (thoả ĐK)
x k x x x
x ksin 2 cos2 1 sin 2 sin
4 44
( x = k không thỏa ĐK)
x k4
(thoả ĐK)
VD72. Giải phương trình x x x34cos 3 2 sin2 8cos . HD.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
72
x x x x x x x
x
x x (*)
3 2
2
4cos 6 2 sin cos 8cos cos 2 cos 3 2 sin 4 0
cos 02sin 3 2 sin 2 0
x x kcos 02
x kx xx kx (vn)
2 22sin 4(*) sin2 32 2sin 2 4
( )k .
VD73. Giải phương trình x x x2cos2 cos (2 tan 1) 0 . HD. Điều kiện cosx 0 (*) Phương trình đã cho tương đương:
xx x x x x
x
22 3 2(1 cos )2 cos 2 cos 1 0 2 cos 3cos cos 2 0
cos
x
x x xx
2cos 1
(cos 1)(2 cos cos 2) 0 1 17cos4
(thoả (*))
x k
x k
21 17arccos 2
4
.
Vậy PT có nghiệm: x k x k1 172 ; arccos 2
4
, ( )k
VD74. Giải phương trình xxx 2costancot . HD.
Điều kiện 02sin0cos0sin
xxx
.
Phương trình đã cho tương đương: 2 2cos sin cos 2
sin cosx x xx x
cos 2 01cos 2 cos 2 sin 2 ,sin 2 22 4 2
xx x x x k k
x
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là24 kx , ( )k
VD75. Giải phương trình: xxxx sin2cos3cos6sin 22 . HD. Phương trình đã cho tương đương: 02cos3sincos3sin0sin2cos6cos3sin 22 xxxxxxxx
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
73
3tan 3sin 3 cos 0
2 ,122sin 2sin 3 cos 2 3 5 2
12
x kxx x
x k kxx x
x k
VD76. Giải phương trình 2 2 13sin 2 cos 8 sin ( 10 )2
x x x .
HD. Phương trình đã cho tương đương: 1 cos 4 1 cos16 cos( 10 )
2 2 21 (cos16 cos 4 ) sin102sin10 (sin 6 1) 0sin10 0sin 6 1
10 (k )
12 3
x x x
x x x
x xx
xkx
kx
VD77. Giải phương trình sin3x = sinx + cosx HD. Phương trình đã cho tương đương:
sinx(1– sin2x) + cosx = 0 cosx(sinxcosx + 1) = 0 cosx = 0 x = /2 + k, ( k
sinxcosx + 1 = 0 sin2x + 2 = 0 vô nghiệm. VD78. Giải phương trình x x x3 3cos sin cos2 . HD. Phương trình đã cho x x x x3 3 2 2cos sin cos sin x x x x x x x x x x2 2(cos sin )(cos cos sin sin ) (cos sin )(cos sin ) x x x x x x(cos sin )(1 sin cos sin cos ) 0 x x x x(cos sin )(1 cos )(sin 1) 0
x x
xx
sin cos 01 cos 0sin 1 0
x k
x k k
x k
42 ( )
22
VD79. Giải phương trình xx
x x
2cos 2(1 sin )sin cos(7 )
.
HD. Phương trình đã cho xx
x x
21 sin 2(1 sin )sin cos
(*)
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
74
Điều kiện: x x x msin cos 04
(1)
(*) x x x(1 sin )(1 3sin 2 cos ) 0 xx x
sin 1 (2)3sin 2 cos 1 (3)
(2) x k22
(thoả (1))
(3) x x3 2 1sin cos13 13 13
x1sin13
(với 2 3sin ; cos13 13
)
x k
x k
1arcsin 213
1arcsin 213
x k
x k
1arcsin 213
1arcsin 213
(thoả (1))
Vậy PT có nghiệm: x k22
.
x k x k1 1arcsin 2 ; arcsin 213 13
(với 2 3sin ; cos13 13
)
VD80. Giải phương trình 2 2 2 2sin sin 2 sin 3 sin 4x x x x HD. Phương trình đã cho tương đương
1 os2x 1 os4x 1 os6x 1 os8x 2 2 2 2
os2x+cos4x=cos6x+cos8x2cos3x.cosx=2cosx.cos7xcosx.sin5x.sin2x=0
2osx=0sin5x=0 (k )
5sin2x=0
2
c c c c
c
x kc
kx
kx
10.2. BiÕn ®æi th¼ng vÒ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c c¬ b¶n.
VD1. Giải phương trình 2 2tan cot 5(tan cot ) 6 0 (1)x x x x
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
75
HD. Ñieàu kieän : sin cos 0 sin 2 0 ; (k )2
kx x x x
2(1) (tan cot ) 2 5(tan cot ) 6 0x x x x 2(tan cot ) 5(tan cot ) 4 0x x x x
tan x cot x 1 (1)tan x cot x 4 (2)
21(1) tan 1 tan tan 1 0 (vn)tan
x x xx
2 2sin cos 1(2) 4 sin cos 4sin cos 2sin 2 1 sin 2cos sin 2
x x x x x x x xx x
7 72x k2 ,2x k2 x k ,x k ; (k )
6 6 12 12
Vaäy nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø : 7 , ; (k )12 12
x k x k
VD2. Giải phương trình sin x cos x sin x cos x 2 .
HD. Bình phöông 2 veá ta ñöôïc kcos2x 1 sin 2x 0 x2
; ( )k .
VD3. Giải phương trình 2(cot 2x cot 3x) tan 2x cot 3x . HD. Ñieàu kieän :sin 2x 0 ; sin3x 0 ; cos2x 0
cos2x cos3x sin 2x cos3x2(cot 2x cot 3x) tan 2x cot 3x 2sin 2x sin3x cos2x sin 3x
232sin x cos x 2sin x(cos2x cos x) 0 sin x 0
sin 2xsin3x sin 3x cos2x sin 2xsin 3x cos2x. Loại do
ñiều kiện sin 2x 0 . Vaäy phöông trình voâ nghieäm. VD4. Giải phương trình 2 22sin tan 2 (1)x x . HD. Ñieàu kieän : 0x cos Cách 1.
x2xxx22xxx21 2222
2
22 cossincossin
cossinsin)(
x2x1x2x2x2x1xx12 22422222 coscoscoscoscoscoscos)cos(
2
4 22
cos x 1 (vn) 22 cos x cos x 1 0 cos x x k ; (k )1 2 4 2cos x2
.
Cách 2. 2
2 2 2 4 22
2 tan(1) tan 2 2 tan tan tan 2 2 tan1 tan
x x x x x xx
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
76
24 2
2
tg x 1tg x tg x 2 0 tgx 1 x k ; (k )
4tg x 2 (vn).
VD5. Giải phương trình 2x43xx4 44 sin)cos(sin . HD. Phương trình đã cho
2x43x22114 2 sin)sin(
2 13 sin 4 2sin 2 2 3 sin 4 cos 4 1 cos(4 )3 2
x x x x x
4 2 (k )
12 2
x k
x k
VD6. Giải phương trình 3 cos4 sin4 2cos3 0x x x HD. Phương trình đã cho tương đương:
3 12 cos4 sin4 2cos3
2 2x x x
cos 4 cos36
x x
4 3 26
4 3 26
x x k
x x k
2
6 ( )2
42 7
x kk
kx
VD7. Giải phương trình 33 os4x + sin4x = 8cos 6cosc x x HD. Phương trình đã cho tương đương:
3 1 2 cos4 sin4 2cos3
2 2
cos 4 cos36
x x x
x x
4 3 2 2
6 62
4 3 26 42 7
x x k x kk
kx x k x
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
77
VD8. Giải phương trình x xtan cot 3 03 6
. Từ đó tìm các nghiệm thuộc
khoảng (0; ) . HD. Phương trình đã cho
x xtan tan 3 03 3
x xtan 3 tan3 3
x x k33 3
x k k( )6 4
Từ x0 suy ra:
k06 4
k 76 4 6 k2 14
3 3 k 1; 2; 3; 4
Vậy các nghiệm thuộc khoảng (0; ) là: x x x x7 5; ; ;12 3 12 6
.
VD9. Giải phương trình 4 4cos x sin x 1
4
HD. Phương trình đã cho 2
2 1 cos 2x1 cos2x 2 1
2 2
2 2(1 cos2x) (1 sin 2x) 1 cos2x sin 2x 1 2 cos 2x 12
1cos 2x x k ,x k ; (k ).
2 2 42
VD10. Giải phương trình sin 5x 15 sin x
.
HD. Điều kiện: s inx 0 . Phương trình đã cho sin 5x 5sin x
sin 5x sin x 4sin x 2 cos3xsin 2x 4sin x4 cos3xsin x cos x 4sin x cos3x cos x 1
2 cos x 3 / 2 (vn)cos 4x cos2x 2 2 cos 2x cos2x 3 0
cos2x 1
21 cos2x 0 2sin x 0 sin x 0 (loaïi) Vaäy phöông trình ñaõ cho voâ nghieäm .
VD11. Giải phương trình 1cos x cos2x cos4x cos8x
16 (*)
HD. Xeùt sinx = 0 thì phöông trình khoâng thoûa.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
78
Vaäy (*) 1sin x cos x cos 2x cos 4x cos8x sin x16
2k 2ksin16x sin x x ,x ; (k ).
15 17 17
VD12. Giải phương trình 21 2 5tan x 02 cos x 2 .
HD. Điều kiện: cos 0x . Phương trình đã cho tương đương:
2 2
1 1 2 5 1 41 0 4 02 cos x 2 cos xcos x cos x
21 12 0 cos x x 2k ; (k ).
cos x 2 3
VD13. Giải phương trình 4 44(sin x cos x) 3 sin 4x 2 . HD. Phương trình đã cho
2 214 1 sin 2x 3 sin 4x 2 2sin 2x 3 sin 4x 22
1 3 1 1cos 4x 3 sin 4x 1 cos 4x sin 4x cos 4x2 2 2 3 2
2 k k4x 2k x ,x ; (k ).
3 3 4 2 12 2
VD14. Giải phương trình 8sinx = 1 3 +
sinx cosx.
HD. Điều kiện: s inx 0,cos 0x . Phương trình đã cho
28sin cos cos 3 s inx 4cosx(1-cos2 ) cos 3 s inx
3cos 4cos cos 2 3 s inx 3cos 2( os3 cos ) 3 s inx
1 3cos 3 s inx 2 os3 cos s inx os3 os3 os2 2 3
x x x x x
x x x x c x x
x c x x c x c x c x
VD15. Giải phương trình cos3xcos3x + sin3xsin3x = 2
4.
Cách 1. Phương trình đã cho
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
79
2 2
2 2
2 2 2 2
2os cos3 cos sin sin 3 sin4
1 1 2os ( os4 os2 ) sin ( os2 os4 )2 2 4
2os4 ( os sin ) os2 ( os sin )2
c x x x x x x
c x c x c x x c x c x
c x c x x c x c x x
3 32 2 2os2 (1 os4 ) 2cos 2 cos 22 2 4
c x c x x x
3
3 2 2cos 2 cos 2 .2 2
x x
Cách 2. 3 3 3 3 3 3
6 6 4 4
4 4 2 2 4 4
2
2
2 2os cos3 sin sin 3 os (4cos 3cos ) sin (3sin 4sin )4 4
24( os sin ) 3( os sin )4
24cos 2 ( os sin sin cos ) 3( os sin )4
1 24cos 2 (1 sin 2 ) 3 os24 4
cos 2 (4 sin 2 ) 3 os2
c x x x x c x x x x x x
c x x c x x
x c x x x x c x x
x x c x
x x c
2 3
242 2 2cos 2 (3 os 2 ) 3 os2 os 2 os2
4 4 2
x
x c x c x c x c x
Cách 3. 3 3
2 2
3
3 3
2 os cos3 sin sin 34
1 1 2( os3 3cos ) os3 (3sin sin 3 )sin 34 4 4os 3 sin 3 3( os3 cos sin 3 sin ) 2
os6 3cos 2 2 4cos 2 3cos 2 3cos 2 2
2 24cos 2 2 cos 2 os24 2
c x x x x
c x x c x x x x
c x x c x x x x
c x x x x x
x x c x
VD16. Giải phương trình cos3xcos3x - sin3xsin3x = 2 3 2
8
HD. Tương tự VD14.
VD17. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 1 2(cos sin )
tan cot 2 cot 1x x
x x x
HD. §iÒu kiÖn:sinx.cosx 0 vµ cotx 1
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
80
Phư¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng
1 2(cos sin )
sin cos 2 cos 1cos sin 2 sin
x xx x xx x x
cosx = 2
2 x = 2
4k
§èi chiÕu ®iÒu kiÖn pt cã 1 hä nghiÖm x = 24
k .
VD18. Giải phương trình cos3 sin 2 3 sin 3 cos 2x x x x . HD. Phương trình đã cho cos3 3 sin 3 3 cos 2 sin 2x x x x
1 3 3 1cos3 sin 3 cos 2 sin 22 2 2 2
x x x x
cos 3 cos 23 6
x x
3 2 2 2
3 6 6 ( )23 2 2
3 6 10 5
x x k x kk
x x k x k
VD19. Giải phương trình: s in 2 c o s 2 c o tc o s s in
x x tg x xx x
HD. Phương trình đã cho xsinxcos
xcosxsin
xcosxsinxsinx2sinxcosx2cos
xcosxsin
xcosxsinxcosxsinxx2cos 22
cos x cos2xs in2x 0
22 cos x cos x 1 0
s in2x 0
1cos x ( cosx 1 : loaïi vì sin x 0)2
2 3
x k , (k ).
VD20. Giải phương trình x x2 2sin 2 cos 3 1 .
HD. Phương trình đã cho x x1 cos 4 1 cos6 12 2
x xcos6 cos 4
x x kx x k
6 4 26 4 2
x k
x k5
x k5
( )k
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
81
10.3. C¸c ph¬ng tr×nh lîng gi¸c kh«ng mÉu mùc.
VD1. Giải phương trình 2 2tan cot 2(tan cot ) 6 (1)x x x x
Cách 1 : Ñieàu kieän : sin cos 0 sin 2 0 (k )2
kx x x x
2(1) (tan cot ) 2 2(tan cot ) 6x x x x 2(tan cot ) 2(tan cot ) 8 0x x x x
tan x cot x 2 (2)tan x cot x 4 (3)
2 21(2) tan 2 tan 2 tan 1 0 (tan 1) 0tan
tan 1 ; (k )4
x x x xx
x x k
2 2sin cos(3) 4 sin cos 4sin coscos sin
1 2sin 2 1 sin 22
x x x x x xx x
x x
2x k2 x k
6 12 (k )7 72x k2 x k6 12
Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø :
k4
x , 7 , ; (k )12 12
x k x k
Cách 2 : Ñaët 2 2 2 2tan cot (tan cot ) tan cot 2 tan cott x x t x x x x x x 2 2tan cot 2x x
42xgxtg2 22 cot
2t
2t2t4t 2
i) 2 tan cot 2 t x x 2 21tan 2 2 tan 1 0 (tan 1) 0
tanx tan x x x
x
tan 1 tan ; (k )4 4
nx x k
ii) 4 tan cot 4 t x x
xx4xx4xx
xx 22 cossin cossin
sincos
cossin
1 2sin 2x 1 sin 2x2
7 72x k2 ,2x k2 x k ,x k ; (k )
6 6 12 12
Vaäy nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø:
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
82
k4
x , 7 , ; (k )12 12
x k x k
VD2. Giải phương trình 22
3 3cot 4(tan cot ) 1 0 (1)cos
x x xx .
HD. Ñieàu kieän : sin cos 0 sin 2 0 (k )2
kx x x x
22
2 2
3(1) 3cot 4(tan cot ) 1 0cos
3(1 tan ) 3cot 4(tan cot ) 1 0
x x xx
x x x x
2 2 23(tan cot ) 4(tan cot ) 2 0 3[(tan cot ) 2] 4(tan cot ) 2 0x x x x x x x x 23(tan cot ) 4(tan cot ) 4 0x x x x (1)
Ñaët : 2 2 2 2tan cot (tan cot ) tan cot 2t x x t x x x x 2xgxtg 22 cot
42xgxtg2 22 cot
2t
2t2t4t 2
2 2(1) 3t 4t 4 0 t 2 t (loaïi)3
Khi : 1x2xx2xxxx
xx2t 22 sincossincossin2
sincos
cossin
2x k2 x k ; (k )
2 4
VD3. Giải phương trình 2(cos4x cos2x) 5 sin3x . HD.
2 2 2 2VT (cos 4x cos2x) (2sin3xsin x) sin 3xsin x 4 . VP 5 sin3x 4 Vaäy phöông trình töông ñöông vôùi heä :
2 2 2 cos x 0sin 3xsin x 1 sin x 1 x k2 ; (k )2sin3x 1sin3x 1 sin3x 1
VD4. Giải phương trình sin x cos x 2(2 sin 3x) . HD.
VT sin x cos x 2 sin x 24
. VP 2(2 sin3x) 2
Vaäy phöông trình töông ñöông vôùi heä :
sin x 1 x k2 (1)4 4
sin3x 1 (2)2 sin 3x 1
Nghiệm (1) không thỏa (2), vaäy phöông trình ñaõ cho voâ nghieäm. VD5. Giải phương trình 1981 1956cos x sin x 1 . HD. Phương trình đã cho
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
83
1981 1956 2 2cos x sin x cos x sin x . Vì 1981 2cos x 1 cos x cos x ; 1956 2sin x 1 sin x sin x
Vaäy 1981 1956cos x sin x 1 . Daáu ñaúng thöùc xaûy ra khi:
1981 2 2 1979
1956 2 2 19542 1954
cos x 0cos x cos x cos x(cos x 1) 0
cos x 1 sin x sin x sin x(sin x 1) 0
sin x(sin x 1) 0
x k mx ; (m )22x k2
Cách 2. Phương trình đã cho 1981 1956 2 2 2 1979 2 1954sin x sin x sin x cos x sin x(1 sin x) cos x(1 cos ) 0
2 1979
2 1954
cos x(1 cos x) 0
sin x(1 sin x) 0
2 1979
sin x 0x k msin x 1 x ; (m )2
2x k2cos x(1 cos x) 0
VD6. Giải phương trình x2xx25 2 cossinsin (1)
HD. 5x25VT 2 sin Daáu baèng xaûy ra sin2x = 0 ; (k )2
kx (1)
2 2sin 2cos 5(sin cos ) 5VP x x x x
Daáu baèng xaûy ra 21tgx
2x
1x
cossin (2)
Nghiệm (1) khoâng thoûa (2) neân phöông trình đã cho voâ nghieäm. VD7. Giải phương trình 4xx3x2x23 cossincossin (1)
HD. 2x21x
23x2
21x2
231 cossincossin)(
cos sin 2x sin cos2x sin sin x cos cos x 26 6 3 3
sin 2x cos x 2 1 sin 2x 1 cos x 2 (*)6 3 6 3
Vì
1 sin 2x 0
6 vaø
1 cos x 03
neân (*)
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
84
sin 2x 1 sin 2x 1 (1)6 6
cos x 1 x k2 (2)3 3
Nghiệm (2) thỏa (1). Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø :
2k3
x ; (k )
VD8. Giải phương trình 1xx2 coscos HD. Phương trình đã cho
2xx31xx321
coscos)cos(cos (1)
Vì 1x3 cos vaø 1x cos neân (1)
3
cos 1cos 1cos 1 2 ; (k ).
cos3 1 4cos 3cos 1xx
x x kx x x
VD9. Giải phương trình 1xx2 2 cos (1)
Vì 1x2 cos vaø 11x 2 neân (1) 2 01 1
0cos 2 1cos 2 1xx
xxx
Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø : x = 0 VD10. Giải phương trình 2xx3 coscos (1) HD. Vì 1x3 cos vaø 1x cos neân (1)
3
cos 1cos 1cos 1 2 ; (k )
cos3 1 4cos 3cos 1xx
x x kx x x
VD11. Giải phương trình 2 2cos x 2 cos x tan x 1 0 HD. Phương trình đã cho
2 2 cos x 1
(cosx 1) tan x 0tan x 0
cos 1cos 1 2 ;(k )
sin 0x
x x kx
VD12. Giải phương trình 2 24sin x 2 3 tan x 3tan x 4 sin x 2 0 HD. Phương trình đã cho 2 24sin x 4sin x 1 3 tan x 2 3 tan x 1 0
2 2
1sin x (1)2(2sin x 1) ( 3 tan x 1) 01tan x (2)3
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
85
x k2
6(1) (k )5x k2 6
theá vaøo (2) ta coù nghieäm
2k6
x thỏa.
Vậy nghiệm của phương trình là:
2k6
x ; ( k ).
VD13. Giải phương trình 2x 2x sin x 2 cos x 2 0 HD. Phương trình đã cho
2 2 2x 2xsin x sin x cos x 2 cos x 1 0 2 2 sin sin
( sin ) (cos 1) 0cos 1 2
2 sin 2 sin 0 00
2
x x x xx x x
x x kk k
xx k
Vaäy nghieäm cuûa phöông trình là: x = 0
VD14. Giải phương trình 2xcos2x 1
2
HD. Phương trình đã cho 2 2
2 x 0x x(1 cos2x) 0 2sin x 0 x 0sin x 02 2
VD15. Tìm caùc giaù trò m ñeå phöông trình sau coù nghieäm . Cho phöông trình : 4 4 6 6 24(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m . HD.
4 4 6 6 2
2 2 2
4(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m1 34 1 sin 2x 4 1 sin 2x sin 2x m2 4
2 24t 3t m (t sin 2x 0 t 1) . Ñaët :
2 / / 3 3 9f(t) 4t 3t f (t) 8t 3; f (t) 0 t f8 8 16
Laäp baûng biến thiên của hàm số f(t) treân ñoaïn 0;1 ta coù : f(0) 0 ; f(1) 1
Vaäy phöông trình coù nghieäm khi : 9 m 116
.
VD16. Cho phöông trình : 2 2cos 4x cos 3x asin x a) Giaûi phöông trình treân khi a 1 b) Xaùc ñònh tham soá a ñeå phöông trình ñaõ cho coù nghieäm x treân khoaûng
0;12
HD.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
86
a) 2 2 2 1 cos6x 1 cos2xcos 4x cos 3x asin x 2 cos 2x 1 a2 2
2 34 cos 2x 2 1 4 cos 2x 3cos2x a(1 cos2x)
3 2 2a(t 1) 4t 4t 3t 3 (t cos2x) a(t 1) (t 1)(4t 3) Khi a 1 phöông trình trôû thaønh :
2 k(t 1) (t 1)(4t 3) t 1 cos2x 1 2x k x 2
b) 2 2 2cos 4x cos 3x asin x a(t 1) (t 1)(4t 3) (*) (t cos 2x) 3 3x 0; 0 x 0 2x cos2x 1 t 1
12 12 6 2 2
2 / 3 3(*) a 4t 3 f(t) f (t) 8t 0 vôùi t ;1 vaø f 0 ; f 1 12 2
Laäp baûng biến thiên của f(t) treân khoaûng 3 ;12
ta thaáy phöông trình coù nghieäm
khi 0 a 1 .
VD17. Giải phương trình 8 8 217sin x cos x cos 2x16
.
HD. Phương trình đã cho 4 4 2 4 4 217(sin x cos x) 2sin x cos x cos 2x
16
22 4 2 21 2 171 sin 2x sin 2x cos 2x (*) . Ñaët : t sin 2x 0 t 1
2 16 16
22 2 2t 1 (loaïi)t 2 17 1(*) 1 t (1 t) 2t t 1 0 sin 2x
t 1/ 22 16 16 2
21 2sin 2x 0 cos 4x 0 4x k x k2 8 4
VD18. Giải phương trình x22tgx31 sin (1) . Ñaët tgxt
3 2 22
4(1) 1 3 3 1 0 ( 1)(3 2 1) 01
1 14
tt t t t t t tt
t tgx x k
VD19. Cho phöông trình :6 6
2 2
cos x sin x 2 m tg2 xcos x sin x
a) Tìm m ñeå phöông trình coù nghieäm.
b) Giaûi phöông trình khi 1m8
HD. Phương trình đã cho
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
87
6 6 6 6
2 2
cos x sin x cos x sin x 2m sin 2x2mtg2x (*)cos2x cos2xcos x sin x
. Ñieàu kieän : cos2x 0
6 6 2 23cos x sin x 2m sin 2x 1 sin 2x 2m sin 2x sin 2x 8m sin 2x 4 0 (1)4
2 22 /
2
t sin 2x ( 1 t 1)4 3t 3t 4(1) 3t 8mt 4 0 8m f(t) f (t) 0, t ( 1;1)
t t
Laäp baûng biến thiên của f(t) treân khoaûng (–1;1) ta coù : f(–1) = –1 ; f(1) = 1 ; f(0)
Vaäy phöông trình coù nghieäm khi : 8m 1 m 1/ 88m 1 m 1/ 8
b) Theo a) khi 1m8
thì phöông trình voâ nghieäm .
VD20. Tìm m ñeå phöông trình sau coù nghiệm: 4 4 6 6 24(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m HD.
Ta coù : 4 4 6 61 1sin x cos x (3 cos 4x) ; sin x cos x (5 3cos4x)4 8
Khi ñoù phöông trình coù daïng : 2 213 cos 4x (5 3cos 4x) sin 4x m 2 cos 4x cos4x 1 2m . Ñaët : t cos 4x t 1
2
Phöông trình coù daïng : 2 / 1f(t) 2t t 1 2m f (t) 4t 1 0 t4
Laäp baûng biến thiên của f(t) treân ñoaïn [-1;1] ta coù : 1 9f( 1) 2 ; f(1) 0 ; f4 8
Suy ra phöông trình coù nghieäm 9 92m 2 2m 18 16
VD21. Cho phöông trình : 5 5 24 cos xsin x sin x cosx sin 4x m (1) . Bieát x laø moät nghieäm cuûa (1). Haõy giaûi phöông trình (1) trong tröôøng hôïp ñoù . HD.
4 4 2 2
2
4sin x cos x(cos x sin x) sin 4x m 2sin 2x cos2x sin 4x msin 4x sin 4x m 0 (1)
Vì x laø nghieäm cuûa phöông trình (*) neân x cuõng laø nghieäm cuûa phöông trình (1). Nghóa laø : sin 4x sin 4 0 vaäy töø (1) m 0
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
88
Vaäy phöông trình trôû thaønh :
2
kxsin 4x 0 4sin 4x sin 4x 0 (k )ksin 4x 1 x
8 4
VD22. Xaùc ñònh a ñeå phöông trình sau coù nghieäm : 6 6sin x cos x a sin 2x
HD.
6 6 2 23sin x cos x a sin 2x 1 sin 2x a sin 2x 4 3sin 2x 4a sin 2x (1)4
Ñaët : t sin 2x 0 t 1 . 2(1) 3t 4at 4 0 (2) Thấy ngay, phöông trình (2) luoân luôn coù hai nghieäm thoûa maõn ñieàu kieän
1 2t 0 t . Nhö vaäy, phöông trình ñaõ cho coù hai nghieäm khi vaø chæ khi phöông trình (2) coù nghieäm thoûa maõn:
22
1 2
2 2
2a 4a 12t t 1 1 4a 12 3 2a3
3a 1a24
4a 12 9 12a 4a
VD23. Giải phương trình 1 3 tan x 2sin 2x (1)
HD. Ñaët : t tan x .
2 3 22
4t (1) 1 3t (1 3t)(1 t ) 4t 3t t t 1 01 t
2(t 1)(3t 2t 1) 0 t 1 x k4
VD24. Giải phương trình tan x 2 cot 2x sin 2x (1) . HD. Ñieàu kieän : sin 2x 0 . Ñaët : t tan x
22 2 2 2
2 2
1 t 2t 1 2t(1) t 2. t 1 tan x 1 sin x cos x2t t1 t 1 t
kcos2x 0 (thoûa maõn ñieàu kieän) x ; (k )
4 2
VD25. Giải phương trình tanx + tan2x + tan3x + cotx +cot2x + cot3x = 6 HD.
Cách 1. Điều kiện 2
x k .
Phương trình đã cho tương đương 2 2
2 2
t anx(1 t anx tan ) cot (1 cot cot ) 6
1 t anx tan 0,1 cot cot 0; t anx 0,cot 0.2
x x x x
x x x x k x
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
89
Theo Cauchy :
2 2 2 2 3 3
3 3
t anx cot 2 (1)tan cot 2 (2) t anx cot tan cot tan cot 6 (4)tan cot 2 (3)
xx x x x x x xx x
Phương trình đã cho tương đương dấu đẳng thức ở (4) xảy ra, khi chỉ khi các dấu
đẳng thức ở (1), (2), (3) đồng thời xảy ra t anx cot 0x ; (k ).4
x k
Cách 2. Đặt t = tanx + cotx. VD26. Giải phương trình 3 2 3 2(1 ) 2(1 )x x x x HD. Do 1 - x2 0 - 1 x 1. Đặt x = cost, 0;t Ptrình đã cho 3 3cos sin 2 sin cost t t t 3(cos sin ) 3sin cos (sin cos ) 2 sin cost t t t t t t t (1)
Đặt sint + cost = X 2 1cos , 2,sin cos
4 22X Xx X t t
.
(1) 2 2
3 1 13 22 2
X XX X 3 22 3 2 0X X X
2( 2)( 2 2 1) 0X X X 2, 2 1X X . Nhưng 2 2, 1 2X X X .
i) X = 2 : sint + cost = 2 21 2x x
21 2x x 2 21 2 2 2
2 0
x x x
x
22 2 2 1 0
2
x x
x
12
x .
ii) X = 1- 2 : sint + cost = 1 - 2 21 1 2x x
21 1 2x x 2 21 2 2 2 2(1 2)
1 2 0
x x x
x
2 (1 2) 1 2 0
1 2
x x
x
1 2 2 2 12
x .
VD27. Giải phương trình 1 1cos3x - 1 cosx - 1 = 1
cos3x cosx
HD. Phương trình đã cho tương đương:
1 - cos3x 1 - cosx = 1
cos3x cosx (1)
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
90
Điều kiện: cos3x > 0, cosx > 0.
(1) cos3x(1 - cos3x) cosx(1 - cosx) = 1 (2)
Ta đã biết rằng a(1 - a) 1 ,4
a . Suy ra: 0 cos3x(1 - cos3x) 14
1cos3x(1 - cos3x) 2
Tương tự 1cosx(1 - cosx) 2
Như thế:
(2)
31 1 1cos3x(1 - cos3x) = cos3x = 4cos x - 3cosx = 2 2 21 1 1cos3x(1 - cos3x) = cosx = cosx = 2 2 2
(vn)
11. CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ DỰ BỊ THI TUYỂN SINH VÀO ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG TỪ 2002 ĐẾN 2008
Năm 2002
Đề 1. Xác định m để phương trình 2(sin4x + cos4x) + cos4x + 2sin2x + m = 0
có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn π0; 2
.
HD. 2(sin4x + cos4x) + cos4x + 2sin2x + m = 0 (1) 2(1 - 2sin2xcos2x) + cos4x + 2sin2x + m = 0 3 + m - 3sin22x + 2sin2x = 0 3t2 - 2t - (m + 3) = 0; t = sin2x (2)
Với 0 0 2 0 12
x x t , nhận mọi giá trị thuộc đoạn
[0;1].
Để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0;2
, điều kiện cần và đủ
là phương trình (2) có í nhất một nghiệm t [0;1] 3t2 - 2t = m + 3 có ít nhất một nghiệm t [0; 1]. Đặt f(t) = 3t2 - 2t (0 t 1) Vẽ dồ thị (C) của hàm y = f(t) (0 t 1).
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
91
f 1 13 3
Từ đồ thị suy ra, để phương trình 3t2 - 2t = m + 3 có ít nhất một nghiệm t [0; 1], điều kiện cần và đủ là
1 103 1 23 3
m m
Đề 2. Giải phương trình 4 4sin x + cos x 1 1 = cotx - 5sin2x 2 8sin2x
HD. Điều kiện: sin2x 0
Phương trình đã cho 2 21 2in cos 1 1os25 2 8x x c x
2 9os 2 5 os2 0
49os2 1( )2 2 2 ;( )1 3 6cos 22
c x c x
c x vnx k x k k
x
Đề 3. Giải phương trình 2
44
(2 - sin 2x)sin3xtan x + 1 = cos x
.
HD. Điều kiện: cos 0 sinx 1 Phương trình sin4x + cos4x = (2 - sin22x) sin3x
2 211 sin 2 2 sin 2 sin 32
x x x
2 22 sin 2 2 sin 2 .2sin 3x x x
sin3x = 12
( thoả mãn điều kiện)
3 2
653 26
x k
x k
218 3 ( )5 218 3
kxk
kx
.
Đề 4. Giải phương trình tanx + cosx - cos2x = sinx(1 + tanx.tan x2
).
HD.
y
1
y = m+3 13
23
13
x
O 1
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
92
Điều kiện:
1cos0cos
02
cos
0cos
xx
xx
Ta có: sin sin
21 tan tan 12 cos cos
2
xxxx xx
xxx
xx
xx
xxxx
cos1
2coscos
2cos
2coscos
2sinsin
2coscos
Phương trình 2 sintan cos coscos
xx x xx
cosx(1 - cosx) = 0. Do điều kiện cosx ≠ 0 nên phương trình cosx = 1
x = 2k, (k ).
Đề 5. Cho phương trình 2sinx + cosx+1sinx-2cosx+3
a (2)(a là tham số)
a) Giải phương trình (2) khi a = 13
.
b) Tìm a để phương trình (2) có nghiệm. HD.
a) a = 13
, ta có: 31
3cos2sin1cossin2
xxxx
Dễ thấy sinx – 2 cosx +3 > 0; x Phương trình đã cho tương đương:
6 sinx + 3 cosx + 3 = sinx – 2 cosx +3 5 sinx + 5 cosx = 0 sinx = - cosx
tgx = -1 x = - , ( )4
k k
b) Tìm a để axxxx
3cos2sin1cossin2
có nghiệm.
phương trình 2 sinx + cosx + 1 = a(sinx – 2cosx + 3) (2 – a)sinx + (2a + 1)2 cosx = 3a – 1.
Để phương trình có nghiệm, điều kiện cần và đủ là: (2 – a)2 + (2a +1)2 (3a – 1)2
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
93
5a2 + 5 9a2 - 6a + 1 4a2 – 6a – 4 0, ’ = 9 + 16 = 25
- 221
a .
Đề 6. Giải phương trình x2cos8
1= sinx
HD.
Điều kiện: cos 0 (1)sin 0 (2)
xx
Với điều kiện đó, phương trình xxxx
2222 cossin4
21sin
cos81
04cos2
4cos12sin21 2
xxx
48 kx (1)
Kết hợp điều kiện: cosx = cos 048
k
( , , )8 4 2
k n k n
1 + 2k ≠ 4 + 8n Điều này luôn đúng vì 1 + 2k là số lẻ, 4 + 8n là số chẵn, vậy điều kiện (1) thoả mãn, điều kiện (2):
sinx = sin
48 k > 0
Tập nghiệm (1) được biểu diễn bởi 8 điểm ngọn trên đường tròn lượng giác, trong đó có 4 điểm thuộc nửa trên của đường tròn thoả mãn điều kiện sinx > 0, vậy tập nghiệm của phương trình là:
x = n28 , x = 3
n28 ,
Hình 23
x 0
y
O 8
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
94
x = n28
5 , x = n28
7 .
Năm 2003 Đề 1. Giải phương trình: 3 - tanx (tanx + 2 sinx) + 6cosx = 0 HD. Điều kiện: cosx 0.
Phương trình 3 - s inxcos x
s inx 2sin x coscos
xx
+ 6cosx = 0
3cos2 x - sin2 x(1+ 2cosx) + 6 cox3x = 0(cosx o) 3cos2 x (1 + 2cosx) - sin2x (1 +2 cosx) = 0 (1 +2cosx) (3cos2x - sin2x) = 0
2
1cos2
14cos4
x
x
cos2x = 14
1 + cos2x = 12
2x = 2 23
k x = 3
k (thoả mãn điều kiện)
Đề 2. Giải phương trình cos2x + cosx (2tan2x - 1) = 2 HD. Điều kiện: cosx 0
Với điều kiện ấy phương trình cos2x + 22sin cos 2
cosx xx
2
2sin2 cos 2 os2 1 2 sincos
x x c x xx
2 12 sin 1 1 coscos
x xx
2(1-cos2x) (1-cosx) = 1(1+cosx)cosx (1+cosx) [2 (1-cosx)2 - cosx] = 0
cos2x= 12
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
95
2
cos 12cos 1 1cos
2 22cos 5cos 23cos 2 (VN)
xx kx
xx kx x
x
Đề 3. Giải phương trình 3cos4x - 8 cos6x + 2cos2x + 3 = 0 HD. Phương trình 3(1 + cos 4x) - 2cos2 x(4cos4 x - 1) = 0 6 cos2 2x - 2cos2 x (2cos2 x + 1) (2cos2x - 1) = 0 6 cos2 2x - 2cos2 x (2cos2 x + 1) . cos2x = 0 cos2x [3cos2x - cos2 x (2cos2 x + 1)] = 0
i) cos2x = 0 2x = 2
k x= 4 2
k
ii) 3 (cos2 - 1) - 2 cos4x - cos2x = 0 -2 cos4x +5cos2x - 3 = 0
cos2 x = 1 hoặc cos2 x = 32
(vn) x= k
Đề 4. Giải phương trình:
22 3 cos 2 sin
2 4 12 cos 1
xx
x
HD.
Điều kiện: cosx 12
.
Với điều kiện đó phương trình:
(2 - 3 ) cos x - 1 os2
c x = 2cos x - 1
3 cos sin 0x x
1 3sin cos 02 2
x x
sin 03 3
x x k
3 (2 1)1 3cos2
x kx n
x
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
96
Đề 5. Giải phương trình 2os cos 1
2 1 sinsin cos
c x xx
x x
HD.
Điều kiện: sinx + cosx = 2 sin 04
x
.
Với điều kiện ấy phương trình tương đương với: (1 - sin2x) (cosx - 1) = 2(sinx + sosx) (1 + sinx0 (1 + sinx) [(1 - sinx)(cosx - 1)- 2(sinx + cosx)]=0
s inx 1 s inx 1(1 cos )(1 s inx) 0 cos 1x x
(thoả mãn điều kiện)
2
42
x kk Z
x k
Đề 6. Giải phương trình 2cos 4cot x t nxsin 2
x xax
HD. Điều kiện: sin2x 0 cos2x 1
Với điều kiện đó phương trình cos s inx os4s inx cos sinx.cos
x c xx x
2os2 os4 2cos 2 os2 1 0c x c x x c x
os2 1:
1os2 , ( )2 3
c x vn
c x x k k
Năm 2004 Đề 1. Giải pt: 4(sin3x + cos3x) = cosx + 3sinx HD. Với cosx = 0: không thỏa mãn pt. Với cosx ≠ 0: chia hai vế cho cos3x ta được: 4tan3x + 4 = 1 + tan2x + 3tanx(1 + tan2x)
tan3x – tan2x -3tanx + 3 = 0 (tanx – 1)(tan2x – 3) = 0
tan 1 4 , ( )tan 3
3
x kxk
x x k
.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
97
Đề 2. Giải phương trình 2 2 cos(x + π4 ) + 1
sinx = 1cosx .
HD.
Đk: ,2
kx k .
Phương trình đã cho tương đương với:
1 12( osx-sinx)+ 0sinx osx
1( osx-sinx)(2+ ) 0sinx.cosx
osx-sinx=0 os(x+ ) 0 4 , ( )41sinx.cosx=- sin 2 12 4
cc
c
c x kck
x x k
Đề 3. Giải phương trình sin4x.sin7x = cos3x.cos6x HD. Phương trình đã cho tương đương
cos3x – cos11x = cos3x + cos9x cos9x + cos11x = 0 2.cos10x.cosx = 0
os10x = 0 20 10 (k )osx = 0
2
kxcc x k
Đề 4. Giải phương trình 2sinx.cos2x + sin2x.cosx = sin4x.cosx HD.
Phương trình đã cho tương đương với: 2sinx.cos2x + sin2x.cosx.(1-2cos2x) = 0 2sinx.(cos2x + cos2x(1 – 2cos2x))=0
s inx = 0 x = k 1+ cos2xcos2x + (1 - 2cos2x) = 0 (*)
2
Giải (*): đặt t = cos2x, pt (*) trở thành: 2t2 – t – 1 = 0 2 21 os2x = 1
21 1 2 2cos2x = 3 32 2
x k x kt c
x k x kt
Vậy nghiệm của pt là (k )3
x k
x k
Đề 5. Giải phương trình sinx + sin2x = 3(cosx + cos2x) HD.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
98
Phương trình đã cho tương đương: sinx - 3 osx = 3 os2x - sin2x
sin(x - ) sin( 2 )3 3
c c
x
2 2x - 2 2 x =3 3 (k )9 32 x 2x - 2 2
3 3
kx k
kx k
Đề 6. Giải phương trình 1 sin 1 cos 1x x HD. Phương trình đã cho tương đương: 2 (s inx + cosx) + 2 1 - (sinx + cosx) + sinxcosx 1 (1)
Đặt sinx + cosx = t, 2t 12,s inxcosx = 2
t
2 2 22
22
1 1 3(1) 1 2 1 0 4 4 2 22 2 2
3 2 4 2 (2)2
t t tt t t
tt t
Nhưng 2 2 22 2 3 3 0t t t t , nên (2) vô nghiệm.
Năm 2005 Đề 1. Tìm nghieäm treân khoûang (0; ) cuûa phöông trình :
2 2 34sin 3 cos 2 1 2cos ( )2 4x x x
HD.
Ta coù 2 2x 34sin 3 cos2x 1 2 cos x2 4
(1)
(1) 32 1 cos x 3 cos2x 1 1 cos 2x2
2 2 cos x 3 cos2x 2 sin 2x 2 cos x 3 cos2x sin 2x . Chia hai veá cho 2:
3 1cos x cos2x sin 2x
2 2
cos 2x cos x6
5 2 7x k a hay x k2 b18 3 6
Do x 0, neân hoï nghieäm (a) chæ choïn k = 0, k =1, hoï nghieäm (b) chæ choïn
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
99
k = 1. Do ñoù ta coù ba nghieäm x thuoäc 0, laø 1 2 35 17 5x ,x ,x18 18 6
Đề 2. Giải phương trình
32 2 cos x 3cosx sin x 0.4
HD. Phương trình đã cho tương đương:
3
2 cos x 3cosx sin x 04
3
3 3 2 2
cosx sin x 3cosx sin x 0
cos x sin x 3cos xsin x 3cosxsin x 3cos x sin x 0 (*)
cosx = 0 sinx = 1: Thỏa phương trình. Do đó x k
2 là nghiệm.
cosx 0: Chia 2 vế (*) cho cos3x:
3 2 2 31 tan x 3tan x 3tan x 3 3tan x tan x tan x 0
tan x 1 x k4
Vậy, nghiêm của phương trình là: x k
2,
x k4
, (k ).
Đề 3. Giaûi phương trình: 2 2 3sin x cos2x cos x tg x 1 2sin x 0
HD.
Ñieàu kieän : cosx 0 x k2
Phương trình đã cho: 2 2 3sin x cos2x sin x cos x 2sin x 0
2sin x cos2x 2sin x cos2x 0
sin x cos2x 1 cos2x cos2x 0
2sin x 1 2sin x 0
22sin x sin x 1 0
1sin x (vì sin x 1 loaïi )2
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
100
x k2
1 6sin x sin (k )52 6 x k26
Đề 4. Giaûi phöông trình
22
cos2x 1tan x 3tan x2 cos x
HD.
Điều kiện: osx 0
cos x+ s inx 02
c
Phương trình đã cho tương đương:
22
22sin xcot x 3tan xcos x
2 31 tan x 0 tan x 1 tan x 1 x k ,(k )
tan x 4
Đề 5. Giaûi phöông trình 3 sin xtg x 22 1 cos x
HD.
Điều kiện: osx 1
s inx 03cos s inx 02
c
x
sin x cosx sin xcot x 2 2
1 cosx sin x 1 cosx
2 2cosx cos x sin x 2sin x 2sin x cos x cos x 1 2sin x cosx 1
2sin x 1 x k2
6 hoặc
5x k26
, (k ).
Đề 6. Giaûi phöông trình sin 2x cos2x 3sin x cos x 2 0 HD. Phương trình đã cho tương đương:
22sin xcosx 1 2sin x 3sin x cosx 2 0 22sin x 2 cos x 3 sin x cosx 1 0
22sin x 2 cosx 3 sin x cosx 1 0 ( 3 )
(phöông trình baäc 2 theo sinx)
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
101
2 22 cosx 3 4 2 cosx 1 2 cosx 1
Vaäy (2)
2 cos x 3 2 cos x 1 1sin x4 2
2 cos x 3 2 cos x 1sin x cos x 14
sin x cosx 11sin x2
2sin x4 2
1sin x2
x k22
x k2 (k )
x k265x k26
.
Caùch 2. (3) (2sinx 1) sinx cosx 1 0
Năm 2006
Đề 1. Giải phương trình cos3xcos3x - sin3xsin3x = 2 3 28
HD.
Pt đã cho tương đương: cos3x4cos3x - sin3x 4sin3x = 2 3 22
cos3x(cos3x + 3cosx) - sin3x (3sinx - sin3x) = 2 3 22
cos23x + sin23x + 3(cos3xcosx - sin3xsinx) = 3 212
cos4x = 22
; ( )16 2
x k k
Đề 2. Giải phương trình: 2sin 2x 4s inx +1 = 06
HD. Phương trình tương đương với:
23 sin 2 os2x + sin4x + 1 = 0 2 2 s inxcosx + 4sinx + 2sin 0x c x s inx( 3 os + sinx + 2) 0c x
s inx = 0
3 osx + sinx + 2 = 0c
x = k
(k )7x= 26
k
Đề 3. Giải phương trình: 2 2 2(2sin x 1) tan 2x 3(2cos x -1) = 0 HD.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
102
ĐK: os2x 0c . Phương trình đã cho tương đương với:
2 2 os2xtan 2 3 os2x = 0 tan 2 06 2
c x c x x k , (k )( thoả điều kiện)
Đề 4. Giải phương trình: cos2x + (1 + 2cosx)(sinx - cosx) = 0 HD. Phương trình đã cho tương với 2 2cos x - sin x + (1 + 2cosx)(sinx - cosx) = 0 (sinx - cosx)(cosx - sinx + 1) = 0
t anx = 1s inx - cosx = 0 41cos x + osx - sinx + 1 = 0
4 2 4 4
x k
c x k
4( )
2
x k
x k k
x k
Đề 5. Giải phương trình: 3 3 2cos x sin x 2sin x 1 HD. Phương trình tương đương (sinx + cosx)(1 - sinxcosx) - cos2x = 0 (sinx + cosx)(1 - sinxcosx - cosx + sinx) = 0 (sinx + cosx)(1 - cosx)(1 + sinx) = 0
4
2
22
x k
x k
x k
(k )
Đề 6. Giải phương trình: 3 24sin x 4sin x 3sin 2x 6cosx 0 HD. Phương trình đã cho 4sin3x + 4sin2x + 3sin2x + 6cosx = 0 4sin2x(sinx + 1)+ 6cosx(sinx + 1) = 0 (sinx + 1)(4sin2x + 6cosx) = 0
2
s inx = -1x= - 2s inx = -1 1 2osx = - (k )
222cos 3 osx - 2 = 0 x = 2osx = 2 (VN) 3
kc
x c kc
Năm 2007
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
103
Đề 1. Giải phương trình : 1 1sin 2x sin x 2cot g2x2sin x sin 2x
HD. Phương trình đã cho tương đương: cos22x cosxcos2x = 2cos2x và sin2x 0
2
cos2x 0
2 cos x cosx 1 0(vn) cos2x = 0
2x k x k ,(k )
2 4 2.
Đề 2. Giải phương trình: 22cos x 2 3sinxcosx 1 3(sinx 3cosx) HD. Phương trình đã cho tương đương: 2 cos 2x 3 sin 2x 3(sin x 3 cos x)
1 3 1 32 2 cos2x sin2x 6 sinx cosx2 2 2 2
2 2 cos 2x 6 cos x3 6
1 cos 2x 3cos x3 6
22 cos x 3cos x6 6
cos x 06
3cos x (loaïi)6 2
k3
2xk26
x , (k ).
Đề 3. Giải phương trình: 2x3cos2
42xcos
42x5sin
HD. Phương trình đã cho tương đương với:
2x3cos2
2x
42sin
42x5sin
2x3cos2
2x
43sin
42x5sin
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
104
3x 3x2 cos x sin 2 cos4 2 2 2
2x3cos2
2x3cos
4xcos2
3xcos 02
2cos x4 2
3x k2 2
3x k24 4
2x k3 3
x k2 (k )2
x k2.
Đề 4. Giải phương trình: gxcottgxxsinx2cos
xcosx2sin
.
Điều kiện: s in2x 0 HD. Phương trình đã cho tương đương:
xsinxcos
xcosxsin
xcosxsinxsinx2sinxcosx2cos
xcosxsinxcosxsin
xcosxsinxx2cos 22
cos x cos2x 22 cos x cos x 1 0
1cos x ( cosx 1 : loaïi vì sin x 0)2
2k3
x , (k ).
Đề 5. Giải phương trình: 1xcos12
xsin22
HD. Phương trình đã cho tương đương:
112
sin12
x2sin2
1sin 2x sin
12 12 2
12
cos6
sin212
sin4
sin12
x2sin
125sin
12cos
12x2sin
52x k2
12 12 k72x k2 12 12
x k
4 kx k
3
Đề 6. Giải phương trình: (1 – tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
105
HD.
Đặt: t = tanx 2t1t2x2sin
. Phương trình (1) trở thành:
2
2 t1 t 1 1 t1 t
2 21 t t 1 (t 1)(1 t )
2t 1 01 t t 1 (1 t )
t 1 t 0 .
Do đó (1) tanx = 0 hoặc tanx = –1
x = k hoặc x = 4
+ k, (k )
Cách khác Phương trình đã cho tương đương: (cosx – sinx)(cosx + sinx)2 = cosx + sinx (hiển nhiên cosx = 0 không là nghiệm) cosx + sinx = 0 hay (cosx – sinx)(cosx + sinx) = 1
tanx = -1 hoặc cos2x = 1 x = 4
+ k hoặc x = k, (k ).
Năm 2008
Đề 1. Giải phương trình: tanx – cotx = 4cos22x HD. Điều kiện: sin x. cos x 0. Phương trình đã cho :
2 2s inx osx 2 os2x4 os 2 4 os 2 0cosx sinx sin2x
c cc x c x
1os2x 2 os2x 0 os2x(1+sin4x)=0sin2x
c c c
c os 2 x =0 4 2x k
sin4x = -1 8 2
x k
So với điều kiện suy ra nghiệm của phương trình đã cho là:
4 2
8 2
x k
x k
( k ).
Đề 2. Giải phương trình: π π 2sin 2x - = sin x - + 4 4 2
.
HD.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
106
Phương trình đã cho sin(2 ) sin sin( )4 4 4
x x
2sin( )cos sin( )4 4
x x x
sin( )(2cos 1) 04
x x
sin( ) 04
(2cos 1) 0
x
x
4
23
x k
x k
4 (k )2
3
x k
x k
Đề 3. Giải phương trình π π 12sin x + - sin 2x - = 3 6 2
.
HD. Phương trình đã cho:
2
2
3 1 1sin 3 cos sin 2 cos 22 2 2
1 1sin 3 cos 3 sin cos (1 2sin )2 2
(sin sin ) ( 3 cos 3 sin cos ) 0
x x x x
x x x x x
x x x x x
(1 sin )(sin 3 cos ) 0
1 sin 0 (1)
sin 3 cos 0 (2)
x x x
x
x x
(1) sin 1 22
(2) sin( ) 0 , ( )3 3
x x k
x x k k
Vậy phương trình đã cho có nghiệm 22
x k ;3
x k , ( )k
Đề 4. Giải phương trình 2 x3sinx + cos2x + sin2x = 4sinxcos2
HD. Phương trình đã cho: 23sin 1 sin sin 2 2sin cos 1x x x x x
22sin sin 1 0x x
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
107
1sin2
sin 1
x
x
26
7 26
22
x k
x k k
x k
Đề 5. Giải phương trình 4 44(sin x + cos x) + cos4x + sin2x = 0 . HD. Phương trình đã cho: 2 2 2 2 2 24(sin os ) 8sin cos 1 2sin 2 + sin2x = 0x c x x x x 24sin 2 + sin2x +5 = 0x
sin 2 1
5sin 24
[ x
x
(loại)
2 22
x k
, ( )4
x k k
Đề 6. Giải phương trình 2
2
tan t anx 2 sintan 1 2 4
x xx
.
HD. Điều kiện: cosx 0. Phương trình đã cho tương đương:
2
2
2(tan t anx) sin costan 1
x x xx
2cos2x(tan2x + tanx) = sinx + cosx 2sin2x + 2sinxcosx = sinx + cosx, cosx 0. (sinx + cosx)(2sinx - 1) = 0, cosx 0.
4
2 ( )65 26
x k
x k k
x k
12. CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ CHÍNH THỨC THI TUYỂN SINH VÀO ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG TỪ 2002 ĐẾN 2010
1. D2002. T×m x thuéc ®o¹n [0; 14] nghiÖm ®óng ph¬ng tr×nh: cos3x - 4cos2x + 3cosx - 4 = 0 2. B2002. Gi¶i ph¬ng tr×nh sin23x - cos24x = sin25x - cos26x 3. A2002. T×m nghiÖm thuéc ®o¹n (0; 2 ) cña ph¬ng tr×nh:
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
108
cos3x + sin3x5 sinx + = cos2x + 3
1 + sin2x
4. D2003. Gi¶i ph¬ng tr×nh 2 2 2x π xsin - tg x - cos = 02 4 2
5. B2003. Gi¶i ph¬ng tr×nh cotgx - tgx + 4sin2x = 2
sin2x
6. A2003. T×m nghiÖm thuéc ®o¹n (0; 2 ) cña ph¬ng tr×nh:
2cos2x 1cotgx - 1 = + sin x - sin2x 1 + tgx 2
7. D2004. Gi¶i ph¬ng tr×nh (2cosx - 1)(2sinx + cosx) = sin2x - sinx 8. B2004. Gi¶i ph¬ng tr×nh 5sinx - 2 = 3(1 - sinx)tg2x
9. D2005. Gi¶i ph¬ng tr×nh 4 4 π π 3cos + sin x + cos x - sin 3x - - = 04 4 2
10. B2005. Gi¶i ph¬ng tr×nh 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 11. A2005. T×m nghiÖm thuéc ®o¹n (0; 2 ) cña ph¬ng tr×nh: cos23x.cos2x - cos2x = 0
12. A2006. Gi¶i ph¬ng tr×nh 6 62 cos x + sin x - sinxcosx
= 02 - 2sinx
13. B2006. Gi¶i ph¬ng tr×nh xctogx + sinx 1 + tgx.tg = 02
14. D2006. Gi¶i ph¬ng tr×nh cos3x + cos2x - cosx - 1 = 0 15. A2007. Gi¶i ph¬ng tr×nh (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x 16. B2007. Gi¶i ph¬ng tr×nh 2sin22x + sin7x - 1 = sinx
17. D2007. Gi¶i ph¬ng tr×nh 2
sin cos 3 cos 22 2x x x
18. A2008. Gi¶i ph¬ng tr×nh 1 1 74sin( )3sin 4sin( )
2
xx x
19. B2008. Gi¶i ph¬ng tr×nh 3 2 2sin 3 osx = sinxcos 3 sin osxx c x xc 20. D2008. Gi¶i ph¬ng tr×nh 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx
21. A2009. Gi¶i ph¬ng tr×nh (1 2sin ) osx 3
(1 + sin2x)(1 - sinx)x c
22. B2009. Gi¶i ph¬ng tr×nh 3s inx + cosxsin2x + 3 os3x = 2(cos4x + sin )c x 23. D2009. Gi¶i ph¬ng tr×nh 3 os5x - 2sin3xcos2x - sinx = 0c
24. A2010. Gi¶i ph¬ng tr×nh (1 s inx + cos2x)sin x +
14 osx1 + tanx 2
c
25. B2010. Gi¶i ph¬ng tr×nh (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x - sinx = 0 26. D2010. Gi¶i ph¬ng tr×nh sin2x - cos2x + 3sinx - cosx - 1 = 0
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
109
13. CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG BỘ ĐỀ THI TUYỂN
SINH VÀO ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG
1. Giải phương trình cosx + 1
cos x + sinx +
1sin x
= 103
§Ò 2
2. Giải phương trình log3(sin2x
- sinx) + 13
log ( cos 2 )2xsin x = 0 §Ò 3
3. T×m c¸c gi¸ trÞ x (0; 2
) tháa ph¬ng tr×nh: sin 3 sin
1 cos 2x x
x
= sin2x + cos2x
§Ò 4
4. Cho pt: (1- a)tg2x - 2
cos x+ 1 + 3a = 0
a) Gi¶i pt khi a = 12
b) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ tham sè a ®Ó pt ®· cho cã h¬n mét nghiÖm (0; 2
)
§Ò 5 5. Gi¶i pt: 2cosx - sin x = 1 §Ò 7
6. Gi¶i vµ biÖn luËn theo k pt: 1
cos x -
1sin x
= k §Ò 8
7. Gi¶i pt: tanx + tan2x + tan3x + cotx + cot2x + cot3x = 6 §Ò 141 8. cos34x = cos3xcos3x + sin3xsin3x §Ò 142
9. T×m nghiÖm x ( - 34
; ) cña pt:
a2sinx - asin2x - a2cosx + acos2x = cosx - sinx Đề 144 10. Cho pt cos2x - (2m + 1)cosx + m + 1 = 0
a) Gi¶i pt khi m = 32
b) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ m ®Ó pt cã nghiÖm (2
; 32
) Đề 9
11. X¸c ®Þnh a ®Ó hai pt sau t¬ng ®¬ng: 2cosxcos2x = 1 + cos2x + cos3x 4cos2x - cos3x = acosx + (4 - a)(1 + cos2x) §Ò 10 12. Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: 4(x3 - 2x + 1)(sinx + 2cosx) 9 3 2 3x x
13. X¸c ®inh a ®Ó pt sau cã nghiÖm: cos6x + sin6x = a sin 2x Đề 11
14. T×m min, max y = 3 sinx + cosx = 2 3
2x
T×m nghiÖm cña pt sin((x+1)y) = sin2xy + sin2(x-1)y biÕt r»ng (x+1)y, xy, (x-1)y lµ sè ®o c¸c gãc cña mét tam gi¸c. 15. Gi¶i pt sin3x + cos3x = 2 - sin4x §Ò 150
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
110
16. Gi¶i hÖ pt: 1sin4
3 tan tan
xcosy
x y
§Ò 12
17. Gi¶i hÖ pt: tan cot 2sin( )
4
tan cot 2sin( )4
x x y
y y x
§Ò 23
18. Cho pt 22
3 3tansin
xx + m(tanx +cotx) - 1 = 0
a) Gi¶i pt khi m = 4 b) T×m m ®Ó pt cã nghiÖm. §Ò 13
19. 2cos2 35x
+ 1 = 3cos45x
§Ò15
20. T×m c¸c nghiÖm x (2
; 3 ) cña pt:
sin(2x + 52
) - 3cos(x - 72
) = 1 + 2sinx §Ò16
21. 2 (2sinx - 1) = 4(sinx -1) - cos(2x + 4
) - sin(2x + 4
) §Ò17
22. 3cosx + 4sinx + 6
3cos 4sin 1x x = 6 §Ò18
23. 8sin2xcosx = 3 1
cos sinx x §Ò 22
24. Gi¶i hÑ pt:
1sin cos sin cos2
32sin 2 sin 22
x x y y
x y
§Ò 32
25. Gi¶i pt: sin sin 2
cos cos 2
x y
x y
§Ò 33
26. Cho hpt: 22(cos 2 cos 2 ) 1 4cos 0
x y mx y m
T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm. T×m nghiÖm ®ã. §Ò 65
27. tgy - tgx - tgxtgy = 1
cos 2 3 cos 2 1y x
§Ò 75
28. Cho pt: msinx + (m+1)cosx = osxm
c
a) gpt khi m = 12
b) Gi¶ sö m lµ gi¸ trÞ lµm cho pt cã nghiÖm. Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
111
sao cho x1+ x2 2
+ k . H·y tÝnh cos2(x1+ x2) §Ò 145
*** Chó ý r»ng: cos2(x1+ x2) = 2
1 22
1 2
1 tan ( )1 tan ( )
x xx x
29. sinx + 2 22 sin 2 sin 3x sinx x §Ò 146
30. Cho pt : 6 6
2 2
cos sin 2 tan 2cos sin
x x m xx x
a) Gi¶i pt khi m = 1/8 b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× pt cã nghÖm §Ò 147
32. tg2x = 1 cos1 sin
xx
§Ò 133
33. cos3xcos3x + sin3xsin3x = 2
4 §Ò 135
34. T×m tæng tÊt c¶ c¸c nghiÖm x[0;40] cña pt: 2cos2x + cot2x = 3
2
sin 1sin
xx
§Ò 136
35. 2sin(3x + 34
) = 21 8sin 2 2xcos x §Ò 25
36. a) sin2(x - ) - sin(3x - ) = sinx b) T×m a ®Ó pt sin2(x - ) - sin(3x - ) = asinx cã nghiÖm x k §Ò 28
37. 1 1 2
cos sin 2 sin 4x x x §Ò 30
38. tan22xtan23xtan5x = tan22x - tan23x + tan5x §Ò 34
39. 2
2
sin cos coscos sin sin
x x yx x y
§Ò 79
40. Cho hÖ: 2
2
sin tantan sin
x m y my m x m
a) Gi¶i hÖ khi m = 1 b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ cã nghiÖm §Ò 87
41. tan2x + tan2y + cot2(x + y) =1 §Ò 99 42. Cho pt : 1 sin 1 sinx x k
a) Gi¶i pt khi k = 2 b) Gi¶i vµ biÖn luËn theo k. §Ò 37
43. T×m t sao cho pt: 2sin 1sin 2
x tx
cã 2 nghiÖm thuéc ®o¹n [0; ] §Ò 38
44. a) 3cosx + cos2x - cos3x + 1 = 2sinxsin2x (1) b) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña tham sèm ®Ó pt(1) t¬ng ®¬ng víi pt sau:
mcos3x + (4 - 8m)sin2x + (7m - 4)cosx + (8m - 4) = 0 §Ò 40 45. cos2x - 3 sin2x - 3 cosx - sinx + 4 = 0
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
112
46. 2 + 2sinx - 2cos2x - 2 sin( x+4
) = 0
47. Cho pt sinx + mcosx = 1 (1) a) Gi¶i pt khi m = - 3 b) T×m m ®Ó pt (1) v« nghiÖm. c) X¸c ®Þnh m ®Ó pt(1) t¬ng ®¬ng víi msinx + cosx = m2
§Ò 42
48. 3(cos 2 cot 2 ) 2sin 2 2cot 2 cos 2 )
x x xx x
§Ò 45
49. cot x = tanx + 1
sin x §Ò 46
50. 2cos (2sin 3 2) 2cos 1
1 sin 2x x x
x
= 1 §Ò 47
51. sin22x - cos28x = sin(17
2
+ 10x) §Ò 48
52. 3sin3x - 3 cos9x = 1 + 4sin33x §Ò 49 53. sin cosx x + 4sin2x = 1 §Ò 51
54. cos 43 x = cos2x §Ò 52
55. Gi¶i vµ biÖn luËn: 2 2
2
a - bcosx 2 a - b tany=sinx 1 + tan y
§Ò 44
56. Cho pt 3cosx + 2 sin x = k
Gi¶i pt khi k = 2, k = 3. §Ò 57
57. T×m sè d¬ng a nhá nhÊt tháa pt: cos( (a2 + 2a - 12
) - sin a2
§Ò 58 58. x2 - 2xsinxy + 1 = 0 §Ò 60 59. cos2x + 1 + sin2x =2 sinx + cosx §Ò 64 60. Víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña m th× pt sau cã nghiÖm: 1 2cos 1 2sinx x m §Ò 66 61. 2cos3x + cos2x + sinx = 0 §Ò 68 62. a) 4cosx - 2cos2x- cos4x = 1 §Ò 69
b) 3tan3x + cot2x = 2tanx + 2
sin 4x §Ò 71
63. a) gpt (cos4x - cos2x)2 = 5 + sin3x b)X¸c ®Þnh a ®Ó pt sau cã nghiÖm:
(cos4x - cos2x)2 = (a2 + 4a + 3)( a2 + 4a + 6) + 7 + sin3x §Ò 74
64. Gi¶i c¸c pt: sin4x + cos4(x + 4
) = 14
(tanx + 14
cotx)n = cosnx + sinnx , n = 2, 3, 4.... §Ò 77
64. a) C¸c sè x, y, z tháa: x + y + z = n
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
113
Chøng minh : cos2x + cos2y + cos2z = 1 + (-1)n.2cosxcosycosz b) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2log3cotx = log2cosx §Ò 78 65. a) cos4x – sin4x = cos sinx x
b) Chøng minh r»ng tån t¹i mét tam gi¸c mµ sè ®o c¸c gãc cña nã nghiệm ®óng ph¬ng tr×nh: (56 - 65sinx)(80 - 64sinx - 65cos2x) §Ò 80
67. 1 + sin 2x sinx - cos 2
x sin2x = 2 2os4 2
xc
§Ò 81
68. X¸c ®Þnh tham sè m sao cho ph¬ng tr×nh sau cã 7 nghiÖm kh¸c nhau thuéc
kho¶ng ( - ;22 ) Đề 82
69. a) cos2x - cos6x + 4(3sinx - 4sin3x + 1) = 0
b) (sin3
2x
+ 1/ sin3
2x
)2 + (cos3
2x
+ 1/ cos3
2x
)2 = 481cos 44
x §Ò 83
70. cos 2sin cos3 1 2sin cos 2x x x x x §Ò 86
71. Cho ph¬ng tr×nh (2sinx -1)(2cos2x + 2sinx + m) = 3 - 4cos2x a. Gi¶i pt khi m = 1. b. T×m m ®Ó pt cã ®óng hai nghiÖm thuéc [0; ] Đề 89
72. sin sin 2 sin 3 3cos cos 2 cos3
x x xx x x
Đề 90
73. 6sinx - 2cos3x = 5sin 4 cos
2cos 2x x
x Đề 93
74. sin4xcos16x = 1 §Ò 91 75. Gi¶i vµ biÖn luËn pt: (m-1)sin2x -2(m+1)cosx+2m-1=0 ĐÒ 95 76. a) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt: y = cos sinx x b) T×m m ®Ó pt sin4x = mtgx cã nghiÖm kh¸c k §Ò 96 77. Cho pt: 6tanx + acot3x = tan2x a) Gpt víi a = 0 b) Gpt víi a = 5 §Ò 97
78. tg2x = 3
3
1- cos x1- sin x
§Ò 100
79. 1) C¸c ®é dµi c¹nh cña tam gi¸c ABC lËp thµnh mét cÊp sè nh©n. chøng minh r»ng tam gi¸c ®ã kh«ng thÓ cã hai gãc lín h¬n 600. 2) Gpt: 2(tanx -sinx) + 3(cotx - cosx) + 5 = 0 §Ò 106
80. 1) Gpt: 2sin x - 2sinx + 2 = 2sinx - 1 2) Tam gi¸c ABC cã c¸c gãc A, B, C theo thø tù l©p thµnh cÊp sè nh©n c«ng
béi b»ng 2. Chøng minh 1 1 1a b c . §Ò 107
81. Gpt: 1 cos 1 cos 4
cosx x sinx
x
§Ò 108
82. Gpt: 10 10 6 6
2 2
sin cos sin cos4 4cos 2 sin 2
x x x xx x
§Ò 109
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
114
83. Gi¶i c¸c pt: 1) 1 cos 4 sin 42sin 2 1 cos 4
x xx x
2) cos3x + sin3x = sinx - cosx §Ò110 84. Gpt: cos 2 1 sin 2 2 sin cosx x x x §Ò 111 85. 6sinx - 2cos3x = 5sin2xcosx §Ò 112 86. sin3x(1 + cotx) + cos3x(1 + tanx) = 2 §Ò 113 87. Cho pt (4 - 6m)sin3x + 3(2m - 1)sinx + 2(m-2)sin2xcosx - (4m - 3)cosx = 0
1) Gpt khi m = 2
2) T×m m ®Ó pt cã ®óng mét nghiÖm thuéc [0; 4
] §ề 114
88. Cho pt: 2cosxcos2xcos3x + m = 7cos2x 1) Gi¶i pt khi m = - 7
2) X¸c ®Þnh m ®Ó pt cã nhiÒu h¬n mét nghiÖm thuéc [38
;8
]
§Ò 115 89. T×m a, b ®Ó hai pt sau t¬ng ®¬ng: asin2x + 2 = 2cosx + a 2 sinx 2sin2x + cos2x + sin2x + b = 2bsinx + cosx + 1 §Ò 117
90. Gi¶i vµ biÖn luËn theo a pt: 2 2 2
2
sin 21 tan cos 2
a x ax x
§Ò 124
91. Gpt: sinx + 3 cosx = 2 cos 2 3 sin 2x x §Ò 127 92. Gi¶i vµ biÖn luËn: cosax + cos 2bx - cos(a+2b)x = 1 §Ò 129
93. Gi¶i pt: sin2x + 14
sin23x = sinxsin23x §Ò 131
94. Gi¶i pt: cos4x - cos2x + 2cos6x = 0 Đề 72
95. Gi¶i pt: 2 27 7
3sin 2 2sinlog log 2sin 2 cosx x
x xx x
Đề 125
Phần thứ ba.
KẾT LUẬN
Với một nỗ lực cá nhân, cùng với hệ thống thông tin mạng mang lại niềm đam mê, tôi đã tự thấy mãn nguyện với công việc của mình. Có thể mở rộng số lượng các Ví dụ bằng cách này hay cách khác, nhưng thời gian đã không cho phép. Trong phạm vi là một sáng kiến kinh nghiệm, tôi nhận thấy, đề tài mình thực hiện có ý nghĩa thực tiễn trong mục tiêu giáo dục và đào tạo bậc học THPT. Không thể tránh khỏi những sai sót, xin được lượng thứ và xin được tỏ lòng biết ơn các ý kiến góp ý chân thành để có thể hoàn thiện hơn. Đồng Hới, tháng 5 năm 2011
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
115
TÀI LIỆU THAM KHẢO: 1. Bộ đề thi TS vào các trường ĐH và Cao đẳng - NXB Giáo dục 1983 2. Đề thi vào các trường Đại học và Cao đẳng - http://Mathscope.org 3. Đề Dự bị thi vào các trường Đại học và Cao đẳng - http://Mathscope.org Mục lục 1. Phương trình lượng giác cơ bản. 2. Phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc ba đối với một hàm số lượng giác. 3. Phương trình asinx + bcosx = c. 4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx 5. Phương trình a(sinx - cosx) + bsinxcosx + c = 0 6. Phương trình asin2x + bcos2x + csinxcosx = d 7. Phương trình: asin3x + bcos3x + csin2xcosx + dsinxcos2x + dsinx + ecosx = 0 8. Phương trình a(tanx + cotx) + b(tan2x + cot2x) + c = 0 9. Phương trình a(tanx - cotx) + b(tan2x + cot2x) + c = 0 10. Các phương trình lượng giác khác: 10.1. BiÕn ®æi vÒ tÝch 10.2. BiÕn ®æi th¼ng vÒ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c c¬ b¶n 10.3. C¸c ph¬ng tr×nh lîng gi¸c kh«ng mÉu mùc Các phương trình lượng giác trong các đề Dự bị thi TS vào ĐH&CĐ từ 2002 đến 2010 12. Các phương trình lượng giác trong các đề chính thức thi TS vào ĐH&CĐ từ 2002 đến 2010 13. Các phương trình lượng giác trong bộ đề thi TS vào Đại học &Cao đẳng
3 7 27 35 39 43 46 47 49 49 74 81 90 107 109