BAHAN AJAR

S T A T I S T I K 2

Statistik Induktif ; Teori dan Aplikasi

Oleh :

BIDA SARI, SP, MSi

( NIDN : 0317047302)

Program Studi Akuntansi Fakultas Ekonomi

Universitas Persada Indonesia Y.A.I

JAKARTA

2016

KATA PENGANTAR

Teori dan konsep-konsep Statistik menjadi alat analisis yang penting

dalam ilmu ekonomi dan ilmu-ilmu lainnya. Statistik dapat menyederhanakan

penyajian dan pemahaman masalah-masalah sosial dan ekonomi. Bahan

ajar Statistik 2 ini bertujuan memberikan pengertian bagi mahasiswa tentang

konsep-konsep dasar ilmu Statistik yang dapat diterapkan dalam masalah-

masalah sosial dan ekonomi, terutama terkait dengan bagaimana mengambil

kesimpulan dan membuat keputusan dari masalah tersebut.

Buku bahan ajar ini berisi uraian, contoh-contoh soal dan latihan

mengenai penerapan teori-teori dan konsep-konsep Statistik Induktif dalam

bidang sosial dan ekonomi. Materi disusun berdasarkan Satuan Acara

Perkulihaan (SAP) mata kuliah Statistik 2 meliputi (1) konsep dasar statistika

induktif, (2) konsep, perhitungan dan penerapan probabilitas, (3) pendugaan

interval (estimasi), (4) pengujian Hipotesis dan (5) pengambilan keputusan

dan intepretasi atas output statistik, beserta contoh-contoh praktisnya.

Buku ini disusun sedemikian rupa agar dapat dipahami dengan mudah

dan bermanfaat oleh bukan saja mahasiswa tetapi juga bagi siapa saja yang

akan belajar statistik sebagai dasar pembuatan keputusan.

Akhirnya, penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak

yang telah membantu secara langsung maupun tidak langsung hingga

tersusunnya buku bahan ajar ini. Semoga buku ini dapat bermanfaat dan

kritik serta saran-saran bagi perbaikan ke depannya sangat diharapkan.

Jakarta, Maret 2016

P e n u l I s

DAFTAR ISI

Kata Pengantar........................................................................................................ 2

Daftar Isi................................................................................................................. 3

Pembahasan

BAB I : Probabilitas ...................................................................................... 4

BAB II : Distribusi Probabilitas ..................................................................... 16

BAB III : Distribusi Probabilitas Variabel Diskrit .......................................... 20

BAB IV : Distribusi Probabilitas Variabel Kontinyu ...................................... 25

BAB V : Penarikan Sampel ............................................................................ 30

BAB VI : Estimasi Statistik ............................................................................. 34

BAB VII : Uji Hipotesis .................................................................................... 37

BAB VIII : Uji Hipotesis Chi-square ................................................................. 55

BAB IX : Uji Hipotesis Regresi Tunggal ....................................................... 60

BAB X : Uji Hipotesis Regresi Majemuk ..................................................... 75

Daftar Pustaka...................................................................................................... 80

4 | S t a t i s t i k a 2

PROBABILITAS

I. Definisi dan ruang lingkup statistika induktif

Istilah „statistika‟ (bahasa Inggris: statistics) berbeda dengan „statistik‟

(statistic). Statistika merupakan ilmu yang berkenaan dengan data, sedang statistik

adalah data, informasi, atau hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data atau

kumpulan data yang bisa memberikan gambaran tentang suatu keadaan.

Jadi, Statistika adalah ilmu yang mempelajari statistik, yaitu ilmu yang

mempelajari bagaimana caranya mengumpulkan data, mengolah data, menyajikan

data, menganalisis data, membuat kesimpulan dari hasil analisis data dan mengambil

keputusan berdasarkan hasil kesimpulan. Singkatnya, statistika adalah ilmu yang

berkenaan dengan data. Atau statistika adalah ilmu yang berusaha untuk mencoba

mengolah data untuk mendapatkan manfaat berupa keputusan dalam kehidupan.

Jenis-jenis Statistika :

Ada berbagai macam jenis statistika, dimana jenis statistika ini dapat digolongkan

berdasarkan cara pengolahan data, ruang lingkup penggunaan atau disiplin ilmu yang

menggunakannya, dan bentuk parameternya.

Berdasarkan cara pengolahan data maka statistika dibedakan menjadi:

1. Statistika Deskriptif

Statistika deskriptif atau statistika deduktif adalah bagian dari statistika yang

mempelajari cara pengumpulan data dan penyajian data sehingga mudah

dipahami. Statistika deskriptif hanya berhubungan dengan hal menguraikan atau

memberikan keterangan-keterangan mengenai suatu data atau keadaan atau

fenomena. Statistika deskriptif hanya berfungsi menerangkan keadaan, gejala,

atau persoalan atau bertujuan untuk memperoleh gambaran (deskripsi) tentang

data yang dianalisis.

Statistika Deskriptif mencakup:

a. Distribusi frekuensi serta pengukuran nilai-nilai statistiknya dan grafiknya

b. Angka indeks

c. Time series atau deret waktu

d. Koefisien regresi dan koefisien korelasi sederhana

2. Statistika Inferensi

Statistika inferensi atau statistika induktif adalah bagian dari statistika yang

mempelajari mengenai penafsiran dan penarikan kesimpulan yang berlaku secara

umum dari data yang telah tersedia. Statistika inferensi berhubungan dengan

5 | S t a t i s t i k a 2

pendugaan populasi dan pengujian hipotesis dari suatu data atau keadaan atau

fenomena. Statistika inferensi berfungsi meramalkan dan mengontrol keadaan

atau kejadian. Dari gambaran diatas, dalam statistika inferensia dilakukan suatu

generalisasi atau memperumum dari hal-hal yang bersifat khusus, sehingga

terkadang statistika inferensia sering juga disebut dengan statistika induktif atau

statistika penarikan kesimpulan. Pada statistika inferensia, biasanya dilakukan

pengujian hipotesis dan pendugaan karakteristik populasi, seperti misalnya nilai

rata-rata dan standar deviasi.

Dari penjelasan di atas, ada keterkaitan antara statistika deskriptif dan statistika

inferensia, dimana pada umumnya statistika deskriptif mendahului atau

mengawali tahapan statistika inferensia, karena sebelum dilakukan penarikan

kesimpulan mengenai suatu kondisi yang diteliti, maka datanya harus diuraikan

terlebih dahulu dalam bentuk statistika deskriptif, sehingga diperoleh kesimpulan

yang akurat guna memperoleh manfaat secara maksimal. Jadi, antara statistika

deskriptif dan inferensia dapat diibaratkan sebagai dua sisi mata uang logam yang

tidak dapat dipisahkan satu dari yang lainnya. Statistika inferensia akan bermakna

dan penuh arti jika didahului dengan statistika deskriptif terlebih dahulu.

Statistika induktif / inferensial akan mencakup:

a. Probabilitas

b. Distribusi Teoritis

c. Sampling dan distribusi sampling

d. Estimasi harga parameter

e. Uji hipotesis

f. Analisis regresi untuk prediksi

g. Korelasi dan uji signifikan

II. Pengertian dan prinsip-prinsip probabilitas

Kata probabilitas sering dipertukarkan dengan istilah lain seperti peluang dan

kemungkinan. Seacara umum, probabilitas merupakan peluang bahwa sesuatu akan

terjadi. Secara lengkap, probabilitas didefinisikan sebagai berikut:

6 | S t a t i s t i k a 2

“Probabilitas adalah suatu nilai yang digunakan untuk mengukur tingkat terjadinya

suatu kejadian yang acak atau random event”.

Suatu probabilitas dinyatakan antara 0-1 atau dalam presentase. Probabilitas

dilambangkan dengan huruf P.

Dalam mempelajari probabilitas, ada 3 kata kunci yang diketahui dibawah ini:

a. Percobaan (Experiment) :

Percobaan adalah pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau tindakan yang

mengambil beberapa ukuran.

b. Hasil (Outcome) :

Hasil ialah suatu hasil tertentu dari sebuah percobaan.

c. Peristiwa (Event) :

Peristiwa adalah kumpulan dari satu hasil atau beberapa hasil dari sebuah

percobaan (yang dapat diulangi dan dicatat hasilnya).

Contoh :

Sebuah mata uang logam mempunyai sisi Gambar dan sisi Angka. Jika mata uang

logam tersebut dilemparkan satu kali, maka peluang untuk keluar sisi gambar adalah

½.

Contoh lainnya:

Percobaan / Experiment Pertandingan sepakbola Persita VS PSSI

Hasil Persita Menang

Persita Kalah

Seri – tidak menang dan tidak kalah

Peristiwa Persita Menang

III. Pendekatan perhitungan probabilitas

Ada dua pendekatan dalam menghitung probabilitas yaitu:

1. Pendekatan yang bersifat Objektif, terbagi menjadi 2:

a. Pendekatan Klasik

Pendekatan klasik didasarkan pada sebuah peristiwa yang mempunyai

kesempatan untuk terjadi sama besar (equally likely). Probabilitas suatu

peristiwa kemudan dinyatakan sebagai suatu rasio antara jumlah kemungkinan

hasil dengan total kemungkinan hasil (rasio peristiwa terhadap hasil).

7 | S t a t i s t i k a 2

Contoh:

Seorang direktur berkata bahwa ada 50 barang yang rusak dalam 1.000 barang

yang diproduksi. Jika barang dibungkus dengan rapih, kemudian seorag

customer mengambil satu barang secara acak, berapakah probabilitas bahwa

barang tersebut rusak?

Jawab:

Diketahui:

n = 1.000

x = 50

P(A) =

=

= 0,05 / 5 %

b. Pendekatan Frekuensi Relatif (Empiris)

Pendekatan Frekuensi Relatif ditentukan berdasarkan observasi yaitu dari

pengalaman atau peristiwa-peristiwa yang telah terjadi.

Contoh:

Sebuah studi pengamatan menyatakan bahwa 100 dari 500 lulusan tidak

bekerja sesuai dengan bidang studi utamanya. Berapa probabilitas bahwa

karyawan akan bkeja di bidang yang bukan merupakan studi utamanya?

Jawab:

Probabilitas Empiris = 𝒋𝒖𝒎𝒍𝒂𝒉 𝒑𝒆𝒓𝒊𝒔𝒕𝒊𝒘𝒂 𝒚𝒂𝒏𝒈 𝒕𝒆𝒓𝒋𝒂𝒅𝒊

𝒋𝒖𝒎𝒍𝒂𝒉 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒑𝒆𝒏𝒈𝒂𝒎𝒂𝒕𝒂𝒏

8 | S t a t i s t i k a 2

P(A) =

= 0,2 / 20%

2. Pendekatan Subjektif

Pendekatan subjektif adalah menentukan besarnya probabilitas suatu peristiwa

didasarkan pada penilaian pribadi dan dinyatakan dalam derajat

kepercayaan. Penilaian subjektif diberikan karena terlalu sedikit atau tidak ada

informasi yang diperoleh atau berdasarkan keyakinan. Pendekatan subjektif

menyatakan probabilitas suatu peristiwa terjadi berdasarkan penilaian pribadi

Contoh pendekatan subjektif seperti :

menurut Presiden Saddam Husen Irak pasti akan menang melawan

Amerika,

menurut Presiden Amerika rakyat Irak akan menyambut tentara Amerika

dengan suka cita,

menurut Mentri Keuangan Indonesia periode 1996-1998, Indonesia tidak

akan pernah krisis karena pondasi ekonomi kuat

IV. Hubungan antara peristiwa yang satu dengan yang lain

Dalam mempelajari hukum dasar dan hubungan peristiwa yang satu dnegan yang lain

dalam probabilitas, maka dibahas hukum penjumlahan dan hukum perkalian.

A. Hukum penjumlahan

Hukum penjumlahan menghendaki peristiwa saling lepas (mutually exclusive)

dan kejadian bersama (non mutually exclusive)

Saling meniadakan (mutually exclusive)

Kejadian saling meniadakan yaitu apabila suatu peristiwa terjadi, maka

peristiwa lain tidak dapat terjadi pada saat bersamaan.

Rumus Penjumlahan untuk kejadian-kejadian yang saling meniadakan:

P(A atau B) = P (AÈB) = P(A) + P(B)

Contoh:

9 | S t a t i s t i k a 2

Pada pelemparan 2 mata uang sekaligus, maka akan ada kemungkinan mata uang pertama angka atau gambar dan mata uang yang kedua juga angka atau gambar jadi antara mata uang pertama dan kedua tidak saling mempengaruhi. Maka probabilitasnya adalah P (A atau B) = P (A) + P (B)

= ½ + ½ = 1

Kejadian Bersama (Non Mutually Exclusive)

Peristiwa Non Mutually Exclusive (Joint) yaitu dua peristiwa atau lebih dapat

terjadi bersama-sama (tetapi tidak selalu bersama.

Rumus Penjumlahan untuk kejadian-kejadian yang tidak saling meniadakan:

Dua Kejadian

P(A atau B) = P(A) + P(B) – P(A dan B) atau

P(AÈB) = P(A) + P(B) – P(AÇB).

Tiga Kejadian

P(A atau B atau C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A dan B) – P(A dan C) – P(Bdan C) + P(A dan B dan

C) atau

P(AÈBÈC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AÇB) – P(AÇC) – P(BÇC) + P(AÇBÇC)

Peristiwa terjadinya A dan B merupakan gabungan antara peristiwa A dan

peristiwa B. Akan tetapi karena ada elemen yang sama dalam peristiwa A dan

B, Gabungan peristiwa A dan B perlu dikurangi peristiwa di mana A dan B

memiliki elemen yang sama. Dengan demikian, probabilitas pada keadaan di

mana terdapat elemen yang sama antara peristiwa A dan B maka probabilitas

A atau B adalah probabilitas A ditambah probabilitas B dan dikurangi

probabilitas elemen yang sama dalam peristiwa A dan B.

Peristiwa Pelengkap (Complementary Event)

Apabila peristiwa A dan B saling melengkapi, sehingga jika peristiwa A tidak

terjadi, maka peristiwa B pasti terjadi. peristiwa A dan B dikatakan sebagai

peristiwa komplemen.

Rumus untuk kejadian-kejadian yang saling melengkapi :

P(A)+P(B) = 1 atau P(A) = 1 – P(B)

B. Hukum Perkalian

10 | S t a t i s t i k a 2

Hukum Bebas (independent)

Digunakan apabila ingin menghitung probabilitas suatu kejadian tertentu

tanpa harus menghalangi peristiwa lain terjadi. Peristiwa A terjadi tidak

menghalangi peristiwa B. Perkalian menghendaki peristiwa independen.

Rumus perkalian untuk kejadian Independen:

P(A dan B) = P(AÇB) = P(A) x P(B)

Hukum Bersyarat (Tidak Bebas) / (Conditional Probability)

Digunakan apabila ingin menghitung probabilitas suatu kejadian tertentu

dengan syarat peristiwa lain telah terjadi. Peristiwa B terjadi dengan syarat

peristiwa A telah terjadi.

Hukum perkalian untuk kejadian dependen:

P(A dan B) = P(A x P(B|A) atau P(B dan A) = P(B) x

P(A|B)

Sumber: https://irmasafitri07.wordpress.com/2013/11/04/bab-vii-peluang-probabilitas/

V. Diagram venn

Diagram Venn Hubungan A dengan komplemen A (Ᾱ)

Misalkan S adalah ruang sampel (himpunan dari hasil eksperimen). A adalah

himpunan bagian dari S, dan Ᾱ adalah komplemen dari A atau semua anggota S

yang bukan anggota A. Hubungan tersebut dapat digambarkan seperti gambar

dibawah ini:

S (ruang sampel)

Diagram Venn Interseksi Dua Kejadian )

Interseksi dua kejadian, misalnya A dan B yang sering ditulis dibaca A

interseksi B atau AB, terdiri dari elemen-elemen anggota S yang selain

mempunyai sifat atau ciri-ciri A juga B, artinya selain anggota A juga anggota B.

Diagram Venn :

Ᾱ A

11 | S t a t i s t i k a 2

Diagram Venn Union Dua Kejadian

Union dua kejadian A dan B ditulis (dibaca “A union B”) atau A + B

merupakan himpunan bagian S, yang terdiri dari elemen-elemen anggota S yang

menjadi anggota A saja, B saja, atau menjadi anggota A dan B sekaligus.

Diagram Venn :

Diagram Venn

Notasi (dibaca “A interseksi B interseksi C”) atau sering dinotasikan

ABC, merupakan suatu himpunan bagian S yang terdiri dari elemen-elemen S

yang menjadi anggota A, B, C sekaligus (A, B, dan C terjadi bersama-sama).

12 | S t a t i s t i k a 2

(daerah yang berwarna putih)

Diagram Venn )

Notasi (dibaca “A union B uniob C”), atau sering dinotasikan dengan

A + B + C, terdiri dari elemen-elemen S yang mejadi anggota A atau B atau C atau

AB, AC, BC, atau ABC. Semua kejadian A, B, C, ... dan seterusnya merupakan

himpunan bagian dari himpunan S.

VI. Theorema bayes

Dalam teori probabilitas dan statistika, Pengertian Teorema Bayes adalah

teorema yang digunakan untuk menghitung peluang dalam suatu hipotesis, Teorema

bayes dikenalkan oleh ilmuan yang bernama Bayes yang ingin memastikan

keberadaan Tuhan dengan mencari fakta di dunia yang menunjukan keberadaan

Tuhan. Bayes mencari fakta keberadaan tuhan didunia kemudian mengubahnya

dengan nilai Probabilitas yang akan dibandingkan dengan nilai Probabilitas. teorema

ini juga merupakan dasar dari statistika Bayes yang memiliki penerapan dalam ilmu

ekonomi mikro, sains, teori permain, hukum dan kedokteran.

Teorema Bayes akhirnya dikembangkan dengan berbagai ilmu termasuk untuk

penyelesaian masalah sistem pakar dengan menetukan nilai probabilitas dari hipotesa

pakar dan nilai evidence yang didapatkan fakta yang didapat dari objek yang

diagnosa. Teorama Bayes ini membutuhkan biaya komputasi yang mahal karena

kebutuhan untuk menghitung nilai probabilitas untuk tiap nilai dari perkalian

kartesius. penerapan Teorema Bayes untuk mencari penerapan dinamakan inferens

Bayes

Thomas Bayes, menggambarkan hubungan antara peluang bersyarat dari dua

kejadian A dan B sebagai berikut:

P(A | B) =

=

13 | S t a t i s t i k a 2

Contoh:

Di sebuah negara, diketahui bahwa 2% dari penduduknya menderita sebuah penyakit

langka. 97% dari hasil tes klinik adalah positif bahwa seseorang menderita penyakit

itu. Ketika seseorang yang tidak menderita penyakit itu dites dengan tes yang sama,

9% dari hasil tes memberikan hasil positif yang salah.Jika sembarang orang dari

negara itu mengambil test dan mendapat hasil positif, berapakah peluang bahwa dia

benar-benar menderita penyakit langka itu?

Jawab:

Diketahui:

P (A) = 2%

P (Ā) = 98%

P (B | A) = 97%

P (B | Ā) = 9%

P (B ∩ A) = P (A) × P (B | A) = 2% × 97% = 0,0194

P (B ∩ Ā) = P ( Ā) × P (B | Ā) = 98% × 9% = 0,0882

P (Ƀ ∩ A) = P (A) × P (Ƀ | A) = 2% × 3% = 0,0006

P(Ƀ ∩Ā ) = P (Ā) × P (Ƀ | Ā) = 98% × 91% = 0,8918

Jawab:

P(A | B) = P(B ∩ A) / P(B) =

=

= 0.0194 / 0.0194 + 0.0882

= 0.0194 / 0.1076

P(A | B) = 0.1803

VII. Faktorial, Permutasi, dan Kombinasi

a. Faktorial

Dalam matematika, faktorial dari bilangan asli n adalah hasil perkalian antara

bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan n. Faktorial ditulis

sebagai n! dan disebut n faktorial.

Rumus:

n! = n (n-1) (n-2) (n-3) ...

Contoh :

14 | S t a t i s t i k a 2

Tentukan nilai faktorial dari 7! !

Jawab: 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040

b. Permutasi

Permutasi adalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan

yang berbeda dari urutan yang semula. Sebagai contoh, kata-kata dalam

kalimat sebelumnya dapat disusun kembali sebagai "adalah Permutasi suatu

urutan yang berbeda urutan yang kumpulan semula objek penyusunan kembali

dalam dari." Proses mengembalikan objek-objek tersebut pada urutan yang

baku (sesuai ketentuan) disebut sorting.

Rumus:

Contoh:

c. Kombinasi

Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan

urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu himpunan dengan n unsur

dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk Setiap himpunan

bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k

unsur dari n yang dilambangkan dengan ,

Contoh:

15 | S t a t i s t i k a 2

16 | S t a t i s t i k a 2

DISTRIBUSI PROBABILITAS

I. Definisi dan penyajian distribusi probabilitas

Distribusi probabilitas adalah sebuah daftar dari keseluruhan kemungkinan

hasil suatu percobaan yang disertai dengan probabilitas masing-masing hasil tersebut

dan menunjukkan hasil yang diharapkan dapat terjadi dari suatu percobaan beserta

probabilitas masing-masing hasil tersebut.

II. Fungsi probabilitas

Fungsi distribusi probabilitas adalah untuk menghitung probabilitas setiap

nilai variabel. Variabel acak yang mampu menjalani bilangan bulat adalah Variabel

Acak Diskrit, sedangkan variabel acak yang mampu menjalani bilangan real adalah

Variabel Acak Kontinyu. Misalkan X adalah variabel acak diskrit maka fungsi

kepadatan probabilitas (probability density funcĕon, PDF) dapat didefinisikan sebagai

berikut :

Px (x) = P(X=x)

Dalam membuat suatu fungsi probabilitas untuk variabel acak diskrit harus memnuhi

syarat sebagai berikut :

1. Fungsi distribusi normal tidak boleh negatif

2. O < Px(x) < 1 PDF bernilai 0 sampai 1

3. ∑Px(x) = 1, jumlahan dari semua PDF dari variabel acak diskrit x pada ruangan

sampel adalah 1

III. Devinisi variable random : Diskrit dan kontinyu

Variabel acak dapat didefinisikan sebagai deskripsi numeric dari hasil

percobaan. variabel acak biasanya menghubungkan nilai-nilai numeric dengan setiap

kemungkinan hasil percobaan. Karena nilai-nilai numeric tersebut bisa bersifat diskrit

(hasil hitungan) dan bersifat kontinu (hasil pengukuran). Jadi variabel acak dapat

dikelompokkan menjadi 2 yaitu:

1. Variabel acak diskrit (merupakan bilangan bulat, tidak bisa pecahan)

Variabel acak diskrit hanya dapat mengambil nilai-nilai tertentu yang terpisah,

yang umumnya dihasilkan dari perhitungan suatu objek. Contoh: jika ada 100

karyawan, maka orang yang tidak masuk kerja pada hari senin dapat

mengambil nilai-nilai 0,1,2,3,…,100.

2. Variabel acak kontinu (bisa pecahan)

17 | S t a t i s t i k a 2

Jika mengukur sesuatu seperti lebar ruangan, tinggi badan, atau berat badan

seseorang maka variabel yang dihasilkan adalah variabel acak kontinu dan

hasilnya mungkin akan berbeda-beda tergantung tingkat ketelitian. Contoh:

ada 3 orang yang mengukur jarak dari bogor ke Jakarta dengan jarak yang

bervariasi yaitu 80 km, 80,5 km, dan 80,55 km.

IV. Nilai harapan matematika (Mathematical Expectation)

Nilai harapan adalah rata-rata tertimbang terhadap seluruh kemungkinan hasil

di mana penimbangnya adalah nilai probabilitas yang dihubungkan dengan setiap

hasil (outcome). Nilai harapan diperoleh dengan menyatakan setiap kemungkinan

hasil x dengan probabilitasnya P(X) dan kemudian menjumlahkan hasil perkalian

tersebut. Nilai dari variabel acak diberi simbol x yang dinotasikan dengan E(X)

dirumuskan sebagai berikut:

E(X) = ∑ [Xi . P(Xi)]

= X1 . P(X1) + X2 . P(X2) + …..+ Xn . P(Xn)

Dimana:

Xi = nilai ke-I dari variabel acak X

P(xi) = probabilitas terjadinya Xi

Contoh :

X = banyaknya pesanan barang dalam satuan yang masuk selama 1 minggu. P(X) =

probabilitas terjadinya X = x.

X 0 1 2 3

P(X) 0,125 0,375 0,375 0,125

Hitung rata-rata banyaknya pesanan atau pesanan yang diharapkan!

Jawab :

E(X) = ∑ [Xi . P(Xi)]

= (0) p(0) + (1) p(1) + (2) p(2) + (3) p(3)

= 0 (0,125) + 1 (0,375) + 2 ( 0,375) + 3 (0,125)

= 1,5

Jadi, rata-rata dapat diharapkan bahwa pesanan yang masuk selama 1minggu adalah

sebanyak 1,5 satuan.

18 | S t a t i s t i k a 2

V. Varians dan standar deviasi

Varians (σ2) dari variabel acak diskrit adalah rata-rata tertimbang dari kuadrat

selisih antara setiap kemungkinan hasil dan rata-ratanya di mana penimbangnya

adalah probabilitas dari masing-masing hasil tersebut.

Varians diperoleh dengan mengalikan setiap kemungkinan kuadrat selisih (Xi–

μ)2 dengan probabilitas p(xi) dan kemudian menjumlahkan seluruh hasil perkalian

tersebut. Sehingga varians dinyatakan sebagai berikut.

Varians

σ2 = ∑ [(X- μ )

2 . P(xi)]

dimana :

xi = nilai ke-I dari variabel acak X

p(xi) = probabilitas terjadinya xi

Standar deviasi

σ = √ σ2

= √ ∑ [(X- μ )2 . P(xi)]

SOAL :

1) Variabel x mempunyai table frekuensi sbb:

X P(x) = probabilitas terjadinya X

10 0,20

20 0,15

30 0,10

40 0,30

50 0,25

1,00

Hitunglah :

a) Nilai harapan matematik

b) Varians

c) Standar deviasi

Jawab :

19 | S t a t i s t i k a 2

a) E(X) = ∑ [Xi . P(Xi)]

= 10 ( 0,20) + 20 (0,15) + 30 ( 0,10) + 40 (0,30) + 50 (0,25)

= 2 + 3 + 3 + 12 + 12,5

= 32,5

b) σ2

= ∑ [(X- μ )2

. P(xi)]

= (10-32,5)2.(0,20) + (20-32,5)

2.(0,15) + (30-32,5)

2.(0,10) +

(40-32,5)2.(0,30) + (50-32,5)

2.(0,25)

= 101,25 + 23,4375 + 0,625 + 16,875 + 76,5625

= 218,75

c) σ = √ σ2

= √218,75

= 14,79

2) Jelaskan dan sebutkan fungsi distribusi probabilitas!

Jawab :

Distribusi probabilitas adalah sebuah daftar dari keseluruhan kemungkinan

hasil suatu percobaan yang disertai dengan probabilitas masing-masing hasil

tersebut dan menunjukkan hasil yang diharapkan dapat terjadi dari suatu

percobaan beserta probabilitas masing-masing hasil tersebut. Fungsinya yaitu

untuk menghitung probabilitas setiap nilai variabel

20 | S t a t i s t i k a 2

DISTRIBUSI PROBABILITAS VARIABEL

DISKRIT

I. Karakteristik Variabel Diskrit

a. Distribusi probabilitas variabel acak menggambarkan bagaimana suatu

probabilitas didistribusikan terhadap nilai-nilai dari variabel acak tersebut.

b. Untuk variabel diskrit X, distribusi probabilitas didefinisikan dengan fungsi

probabilitas dan dinotasikan sebagai p(x) = P(X = x ) = probabilitas bahwa

variabel X ( huruf besar ) mengambil nilai x ( huruf kecil).

c. Fungsi probabilitas p(x) menyatakan probabilitas untuk setiap nilai variabel acak

X.

Sebagai gambaran atau ilustrasi dari variabel acak diskrit dan distribusi

probabilitasnya, perhatikan hasil pengamatan atau percobaan dari penjualan mobil

selama 300 hari pada PT. Putra Motor, Jakarta. Data yang dicatat adalah jumlah mobil

yang terjual dalam sehari. Hasil pengamatan dimuat dalam tabel berikut.

Tabel jumlah modal terjual dalam sehari menurut jumlah hari selama 300 hari

Jumlah mobil terjual dalam sehari Jumlah hari

0 54

1 117

2 72

3 42

4 12

5 3

Total 300

Tabel probabilitas jumlah mobil terjual dalam sehari

X p(x)

0

1

2

3

4

5

0,18

0,39

0,24

0,14

0,04

0,01

Total 1,00

21 | S t a t i s t i k a 2

Dalam membuat suatu fungsi probabilitas untuk variabel acak diskrit, kondisi berikut

harus dipenuhi.

1) p(x) ≥ 0 atau 0 ≤ p(x) ≤ 1

2) ∑ p(x) = 1

Distribusi probabilitas variabel acak diskrit juga dapat diberikan dalam bentuk

rumus. Sebagai contoh, berikut diberikan variabel acak X dan distribusi

probabilitasnya.

x p(x)

1

2

3

4

1/10

2/10

3/10

4/10

Distribusi probabilitas diatas dapat di nyatakan dengan rumus sebagai berikut :

p(x) =

, untuk nilai x = 1,2,3, atau 4

Fungsi Probabilitas Kumulatif Variabel Acak diskrit

Fungsi probabilitas kumulatif digunakan untuk menyatakan jumlah dari

seluruh nilai fungsi probabilitas yang lebih kecil atau sama dengan suatu nilai

yang ditetapkan.

Secara matematis, fungsi probabilitas kumulatif dinyatakan sebagai berikut.

F(x) = P(X ≤ x)

Dimana:

F(x) = P(X ≤ x) menyatakan fungsi probabilitas kumulatif pada titik X = x

yang merupakan jumlah dari seluruh nilai fungsi probabilitas untuk nilai X

sama atau kurang dari x.

Contoh Soal :

Diketahui suatu variabel x yang dapat mengambil nilai dari 0,1,2 ( diskrit) dengan

fungsi probabilitas p(x) sebagai berikut :

Carilah distribusi probabilitas!

Penyelesaian :

P(0) =

= 1

= 1 ( 0,3164)

= 0,3164

22 | S t a t i s t i k a 2

P(1) =

= 4

= 4 ( 0,25) ( 0,4218)

= 4 ( 0,10545)

= 0,4218

P(2) =

= 6

= 6 ( 0,0625) ( 0,5625)

= 0,2106

II. Distribusi Binomial : Mean, Variance, & St. Deviasi

a. Mean

np =μ=E(X)

atau )qpC(x =μ=E(X)n

=0x

x-nx

xn

b. Varians

npq=σ

atau μ-)qpC(x=σ

2

n

=0x

2x-nx

xn

22

c. Simpangan Baku

npq=σ

atau μ-)qpC(x=σn

=0x

2x-nx

xn

2∑

Contoh Soal

Peluang rusaknya sebuah bola lampu adalah 0,1. Apabila diambil 400 bola lampu,

berapa diharapkan dijumpai bola lampu yang rusak , berapa variansnya dan

simpangan bakunya.

Jawab :

Diketahui : p = 0,1 n = 400 q = 0,9

a. Mean : 40)1,0)(400( np buah bola lampu.

b. Varians : 36)9,0)(1,0)(400(2 npq

c.Simpangan baku: npq = √36 = 6

23 | S t a t i s t i k a 2

III. Distribusi Poisson : Mean, Variance & St. Deviasi

a) Mean

E(X) = = = n.p

b) Varians

E(X - )2 =

2 = n.p

c) Simpangan Baku

= n . p

Contoh Soal:

Jika x berdistribusi poisson dengan n = 7 dan p= ¼ berapa :

a. Rata-rata x

b. varians x

c. Simpangan baku x

Jawab :

a. E (x) = n.p = 7.1/4 = 7/4

b. varians(x) = n.p = 7.1/4 = 7/4

c. Simpangan Baku (x) = n . p = 7/4 = 0,66

IV. Perbandingan Antara Binomial dan Poisson

Distribusi Binomial Distribusi Poisson

Ciri/ Sifat Setiap percobaan hanya

memiliki dua peristiwa,

seperti ya-tidak, sukses-gagal

dan memakai variabel acak

diskrit.

Probabilitas suatu peristiwa

tetap, tidak berubah untuk

setiap percobaan.

Percobaannya bersifat

independen, artinya peristiwa

dari suatu percobaan tidak

mempengaruhi / dipengaruhi

peristiwa dalam percobaan

lainnya.

Jumlah / banyaknya

percobaan harus tertentu.

Distribusi probabilitas diskrit

Bentuk khusus dari distribusi

binomial dengan p sangat

kecil dan n besar

Biasanya n.p < 5

Distribusi dari peristiwa yang

jarang terjadi.

Banyaknya hasil percobaan

dalam suatu interval waktu /

daerah tertentu tidak

bergantung pada interval

waktu / daerah lain.

Probabilitas terjadinya suatu

peristiwa selama interval

waktu yang singkat / daerah

yang kecil sebanding dengan

panjang interval waktu /

besarnya daerah tersebut.

24 | S t a t i s t i k a 2

Rumus P(X=x) = nCx px

qn-x

!x

eλ=(X)

-λx

Contoh soal distribusi binomial dan poisson

1) Hasil produksi yang di hasilkan suatu pabrik ternyata 20% rusak, di ambil

secara random dari produksi tersebut sebanyak 8 buah untuk di selidiki.

Berapa probabilitasnya dari benda yang diselidiki itu akan terdapat

a. Tidak ada yang rusak

b. 1 rusak

Jawab :

Diketahui :

p = 20% = 0,2

q = 80% = 0,8

n= 8

a. P(0,8) =

= 1 (1)(0,1677)

= 0,1677

b. P(1,8) =

= 8 (0,2)(0,2097)

= 0,33552

2) Menurut data statistik, rata-rata seorang dari 100 petani yang berdiam di desa-

desa di Indonesia akan meminta berlangganan majalah “Cara Bercocok

Tanam”. Penerbit majalah tersebut mengadakan sales promotion dengan jalan

mengirim masing-masing 50 surat untuk berlangganan yang telah dibubuhi

perangko kepada petani yang berdiam di desa-desa tertentu. Berapa

probabilitas penerbit akan menerima kembali surat permintaan berlangganan

sebanyak 5 dari masing-masing desa yang bersangkutan ?

Jawab : n = 50

p = 1/100

= n.p = 50 (1/100) = ½

x = 5

x e- (1/2)5 (e-1/2)

f(x) = = x! 5! (1/32) (e-1/2)

= = (1/3840) (0.6066) = 0.00016 120

25 | S t a t i s t i k a 2

DISTRIBUSI PROBABILITAS VARIABEL

KONTINYU

I. Karakteristik Variabel Kontinyu

Variabel acak adalah suatu fungsi yang memetakan setiap anggota sampel S

ke bilangan Real. Dalam statistika, variabel acak disimbolkan dengan huruf-huruf

kapital misalkan X, Y, Z dll. Variabel acak Kontinyu adalah variabel yang acak yang

mampu menjalani bilangan real. Misalkan X adalah variabel acak Kontinyu maka

fungsi kepadatan probabilitas dapat didefinisikan

fx(x)= P(X=x)

Dengan kata lain, fungsi fx(x) adalah fungsi distribusi probabilitas dari X untuk

variabel acak kontinyu, dari variabel acak kontinyu X harus memenui sifat-sifat:

Distribusi Variabel Acak Kontinu yang biasa digunakan, yaitu ada distribusi normal

dan hampiran distribusi normal terhadap distribusi binomial

II. Distribusi Normal

Distribusi Normal merupakan distribusi probabilitas kontinu yang paling

penting dalam segala bidang statistika. Distribusi ini memiliki karakteristik dari

fungsi kepadatannya yang berbentuk kurva simetris menyerupai suatu lonceng,

sehingga kurva normal disebut kurva berbentuk lonceng atau Distribusi Gaussian.

III. Pembentukan Distribusi Normal

Variabel acak X berdistribusi normal dengan parameter mean dan varian.

26 | S t a t i s t i k a 2

IV. Area di bawah kurva Normal

V. Distribusi Binomial dengan Pendekatan Normal

Jika ukuran sampel n besar dan p tidak dekat dengan 0 atau 1, melainkan nilai

p lebih dekat ke nilai 1/2 , maka dapat diselesaikan dengan pendekatan distribusi

Normal

VI. Keterkaitan distribusi Normal, Binomial, dan Poisson

NORMAL BINOMIAL POISSON

Definisi Distribusi normal

adalah distribusi

yang simetris

Banyaknya X sukses dalam n

pengulangan suatu percobaan

bernoulli disebut sebagai

variabel random Binomial,

sedangkan distribusi

probabilitasnya disebut

distribusi Binomial dan

nilainya dinyatakan sebagai :

b(x,n,p) dimana x = 1, 2, …,

n

Jika suatu percobaan

menghasilkan variabel random X

yang menyatakan banyak-nya

sukses dalam daerah tertentu atau

selama interval waktu tertentu,

percobaan itu disebut percobaan

Poisson.

Jumlah X dari keluaran yang

terjadi selama satu percobaan

Poisson disebut Variabel

random Poisson, dan distribusi

probabilitasnya disebut

distribusi Poisson. Bila x menyatakan banyaknya

sukses yang terjadi , adalah rata-

27 | S t a t i s t i k a 2

rata banyaknya sukses yang

terjadi dalam interval waktu atau

daerah tertentu, dan e = 2,718

Ciri/Sifat 1. Memiliki dua

parameter yaitu µ

dan σ untuk

menentukan

lokasi dan bentuk

distribusi

2. Titik tertingginya

berada pada rata-

rata

3. Standar deviasi σ

menentukan

lebarnya kurva.

Makin kecil σ

bentuk kurva

makin runcing

4. Total luas daerah

dibawah kurva

normal adalah 1

5. Jika jarak dari

masing-masing

nilai X terhadap µ

diukur dengan σ,

maka kira-kira

68%, berjarak 1σ,

95% berjarak 2σ

dan 99% berjarak

3σ

a. Distribusi probabislitas diskrit.

b. Setiap percobaan hanya

mempunyai 2 kemungkinan

hasil : sukses (hasil yang

dikehendaki) dan gagal (hasil

yang tidak dikehendaki).

c. Setiap percobaan bersifat

independen atau dengan

pengembalian.

d. Probabilita sukses setiap

percobaan harus sama,

dinyatakan dengn p. Sedangkan

probabilita gagal dinyatakan

dengan q, serta jumlah p dan q

harus sama dengan satu.

e. Jumlah percobaan, dinyatakan

dengan n, harus tertentu

jumlahnya.

a. Distribusi probabilitas diskrit

b. Bentuk khusus dari distribusi

binomial dengan p sangat kecil

dan n besar

c. Biasanya n.p < 5

Rumus

P( . ) =

Rumus pendekatannya adalah : P ( x ; μ ) = e – μ . μ X X ! Dimana : e = 2.71828 μ = rata – ratakeberhasilan = n . p x = Banyaknya unsur berhasil dalam sampel n = Jumlah / ukuran populasi p = probabilitas kelas sukses

Rata-rata

,......2,1,0,!

);(

xx

exp

x

np np

28 | S t a t i s t i k a 2

Contoh Soal-Jawab masing-masing materi

1. Diketahui: fungsi distribusi normal

X = modal perushaan milyar Rp

X = n (

Ditanya : P(8≤x≤12)

Jawab:

8 – ≤ x – ≤ 12 -

8 – ≤ Z ≤ 12 -

P (-1 ≤ Z ≤ 1) = 0.3413 + 0.3413 = 0.6826 = 68%

2. Dari benda yang dihasilkan suatu mesin ternyata 20% rusak diambil secraa

random dari produksi benda tersebut sebanyak 20 buah untuk yang diselidiki.

Berapa probabilitas dari benda yang diselidiki itu akan terdapat satu rusak.

Dik: p = 20% = 0.2

q = 80% = 0.8

n = 20

Dit: x=1

Jawab:

P(1.20) = 20!

1! (19)!

= 0.0576

3. Diketahui distribusi poisson

p (x) =

X = 0, 1, 2, 3, 4

Varians

Standar Deviasi

√ √ √ √

P( . ) =

npq2

29 | S t a t i s t i k a 2

e = 2.71828

ditanya: p(0) s/d p (4)

jawab:

p(0) =

=

= 0.1353

p(1) =

=

= 0.2706

p(2) =

=

= 0.2706

p(3) =

=

= 0.1804

p(4) =

=

= 0.0902

30 | S t a t i s t i k a 2

PENARIKAN SAMPEL (SAMPLING)

I. Pengertian Populasi dan Sampel

Populasi adalah kumpulan eluruh elemn/objek yang diteliti.

Sampel adalah bagian dari populasi

II. Pengertian Penarikan Sampel (Sampling)

Distribusi Sampling adalah distribusi probabilitas dari suatu statistic (yaitu semua

pengamatan yang mungkin dari statistic untuk sampel dari suatu ukuran sampel yang

diberikan).

Distribusi sampling meliputi:

Distribusi sampling mean (Xbar)

Distribusi penarikan sampel dari Xbar adalah distribusi probabilitas dari seluruh

kemungkinan nilai-nilai dari rata-rata sampel Xbar

Nilai Harapan dari Xbar menyatakan rata-rata dari seluruh kemungkinan nilai-

nilai Xbar. Nilai harapan dari rata-rata disimbolkan dengan E (Xbar)

Cara pengambilan sample:

1. With replacement (dengan pengembalian)

K=

2. Without replacement (tanpa pengembalian)

K=

III. Penarikan Sampel Acak Sederhana

Sampel Acak Sederhana (Populasi Tak Terbatas)

Sebuah sampel acak sederhana dari populasi tak terbatas adalah sampel yang dipilih

sedemikian rupa sehingga kondisi berikut terpenuhi.

i. Setiap elemen yang terpilih berasal dari populasi yang sama

ii. Setiap elemen dipilih secara independen

Sebagai contoh, anggaplah bahwa kita ingin memperkirakan rata-rata waktu tunggu

antara pemesanan makanan dan menerima makanan bagi pelanggan di sebuah rumah

makan selama jam makan siang. Jika kita menganggap bahwa populasinya adalah

seluruh kemungkinan pelanggan yang datang, kita akan sulit untuk menentukan batas

jumlah kemungkinan pengunjung. Untuk memenuhi dua kriteria diatas, maka kita

perlu menentukan batas waktu misalnya antara jam 11.30-13.30, sehingga

populasinya adalah seluruh pelanggan yang datang untuk makan siang. Kondisi kedua

31 | S t a t i s t i k a 2

terpenuhi bahwa pemilihan sampel pelanggan tertentu tidak mempengaruhi pemilihan

pelanggan yang lain.

IV. Karakteristik Distribusi Sampling: mean, nilai harapan, varians, dan standar

deviasi

Distribusi Sampling mean

Bila sampel-sampel random diulang-ulang dengan ukuran n diambil

dari suatu populasi terdistribusi normal dengan rata-rata μ dan standar deviasi

σ, maka distribusi sampling rata-rata sampel akan normal dengan rata-rata μ

dan standar deviasi

Nilai Harapan

Nilai Harapan dari Xbar menyatakan rata-rata dari seluruh

kemungkinan nilai-nilai Xbar. Nilai harapan dari rata-rata disimbolkan dengan

E (X)

E (X) =

Dimana:

E (Xbar) = nilai yang diharapkan dari variabel acak X

= rata-rata populasi

Varians dan standar deviasi dari X

Varians dari X:

Populasi terbatas

=

Populasi tak terbatas

=

Standar deviasi dari Xbar:

Populasi terbatas

=√

(

√ )

nX

32 | S t a t i s t i k a 2

Populasi tak terbatas

Keterangan

= varians dari distribusi pengambilan sampel Xbar

= standar deviasi dari distribusi pengambilan sampel Xbar

= varians populasi

= ukuran deviasi populasi

n = ukuran sampel

N = ukuran populasi

V. Central Limit Theorem

Contoh soal jawab masing-masing materi

1. Ada 5 orang karyawan suatu perusahaan yang ditanya mengenai upah mingguan

yang mereka terima, X= upah mingguan dalam ribuan rupiah.

X1= 5, X2= 3, X3= 4, X4= 6, X5= 7

Suatu sampel acak dengan n=3 diambil dari populasi tersebut dengan

pengambilan sampel tanpa pengembalian. Hitunglah

Jawab:

Pengembalian 3 sampel dari 5 populasi tanpa pengembalian akan menghasilkan

kombinasi

NCn =

5C3 =

=

= 10

Nilai dari populasi

nX

33 | S t a t i s t i k a 2

µ =

= 25/5 = 5

Untuk pengambilan banyaknya sampen n elemen yang diambil dari suatu

populasi dengan N elemen

2. Diketahui N= 5, n= 3

Ditanya banyaknya sampel?

Jawab:

a. Dengan pengembalian

K = = = 125

b. Tanpa pengembalian

NCn =

5C3 =

=

= 10

34 | S t a t i s t i k a 2

ESTIMASI STATISTIK

I. Konsep Estimasi

Merupakan bagian dari statistik inferensi

Estimasi = pendugaan, atau menaksir harga parameter populasi dengan harga-

harga statistik sampelnya.

Misal : suatu populasi yang besar akan diselidiki harga-harga parameternya,

untuk mengetahuinya akan dilakukan pengamatan terhadap unit-unit dalam

sampel yang akan diestimasi meskipun akan menimbulkan ketidak pastian

II. Estimasi Titik dan Estimasi Interval

a. Pendugaan Titik (Estimasi Titik)

Bila nilai parameter dari populasi hanya diduga dengan memakai satu nilai

statistik (topi) dari sampel yang diambil dari populasi tersebut

b. Pendugaan Interval (Estimasi Interval).

Bila nilai parameter dari populasi diduga dengan memakai beberapa nilai

statistik (topi) yang berada dalam suatu interval, misalnya 1 (topi) < < 2

(topi)

III. Confidence level dan Kesalahan Estimasi

Tingkat kepercayaan pada dasarnya menunjukkan tingkat keterpercayaan

sejauhmana statistik sampel dapat mengestimasi dengan benar parameter populasi

dan/atau sejauhmana pengambilan keputusan mengenai hasil uji hipotesis nol diyakini

kebenarannya. Dalam statistika, tingkat kepercayaan nilainya berkisar antara 0 sampai

100% dan dilambangkan oleh 1 – α.

Secara konvensional, para peneliti dalam ilmu-ilmu sosial sering menetapkan

tingkat kepercayaan berkisar antara 95% – 99%. Jika dikatakan tingkat kepercayaan

yang digunakan adalah 95%, ini berarti tingkat kepastian statistik sampel

mengestimasi dengan benar parameter populasi adalah 95%, atau tingkat keyakinan

untuk menolak atau mendukung hipotesis nol dengan benar adalah 95%.

IV. Estimasi : Mean dan beda dua Mean dalam contoh sampel besar dan kecil

A. Mean (n>30)

Interval kepercayaan (1 - ) untuk menduga rata-rata , bila diketahui adalah :

nZX

nZX

2/2/

35 | S t a t i s t i k a 2

Bila tidak diketahui, maka dapat digunakan penduga dari yaitu S

Beda dua Mean

Misalkan diketahui dua populasi masing-masing mempunyai rata-

rata 1 dan 2 , dan distribusinya mendekati normal.

Misalkan variansi dua populasi itu sama yaitu 12 = 2

2 =

2 tetapi

tidak diketahui berapa besarnya.

di mana : derajat kebebasan = n1 + n2 - 2

Simpangan baku gabungan adalah

bila variansi dua populasi itu tidak sama besarnya yaitu 12 2

2

dan kedua variansi tidak diketahui nilainya, maka interval

kepercayaan (1-) untuk beda dua rata-rata (1 - 2) dari dua

populsai tersebut adalah :

di mana derajat kebebasan :

B. Mean (n<30)

Interval kepercayaan (1 - ) untuk menduga rata-rata . dengan sampel kecil, bila

tidak diketahui adalah:

21

,2/2121

21

,2/21

11)(

11)(

nnStXX

nnStXX pp

2

)1()1(

21

2

22

2

11

nn

SnSnS p

2

2

2

1

2

1,2/2121

2

2

2

1

2

1,2/21 )()(

n

S

n

StXX

n

S

n

StXX

11 2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

1

2

1

n

nS

n

nS

n

S

n

S

n

StX

n

StX ,2/,2/

36 | S t a t i s t i k a 2

Beda dua rata-rata

di mana : derajat kebebasan = n1 + n2 - 2

Simpangan baku gabungan adalah

V. Estimasi : Proporsi dan beda dua Proporsi dalam contoh sampel besar dan kecil

Proporsi (n>30)

Interval kepercayaan (1 - ) untuk menduga proporsi P adalah :

Dimana :

Beda dua proporsi

Interval kepercayaan (1 - ) untuk menduga beda dua proporsi ( P1 - P2 ) adalah :

n

pqZpP

n

pqZp 2/2/

N

XP

n

xpP ˆ

21

,2/2121

21

,2/21

11)(

11)(

nnStXX

nnStXX pp

2

)1()1(

21

2

22

2

11

nn

SnSnS p

2

22

1

112/2121

2

22

1

112/21 )()(

n

qp

n

qpZppPP

n

qp

n

qpZpp

37 | S t a t i s t i k a 2

Uji Hipotesis

I. Pengertian Pengujian Hipotesis

Hipotesis berasal dari bahasa Yunani, Hupo berarti Lemah atau kurang atau

di bawah ,Thesis berarti teori, proposisi atau pernyataan yang disajikan sebagai

bukti. Sehingga dapat diartikan sebagai Pernyataan yang masih lemah

kebenarannya dan perlu dibuktikan atau dugaan yang sifatnya masih sementara.

Hipotesis juga dapat diartikan sebagai pernyataan keadaan populasi yang akan

diuji kebenarannya menggunakan data/informasi yang dikumpulkan melalui sampel,

dan dapat dirumuskan berdasarkan teori, dugaan, pengalaman pribadi/orang lain,

kesan umum, kesimpulan yang masih sangat sementara.

Hipotesis statistik adalah pernyataan atau dugaan mengenai keadaan populasi

yang sifatnya masih sementara atau lemah kebenarannya. Hipotesis statistik dapat

berbentuk suatu variabel seperti binomial, poisson, dan normal atau nilai dari suatu

parameter, seperti rata-rata, varians, simpangan baku, dan proporsi. Hipotesis statistic

harus di uji, karena itu harus berbentuk kuantitas untuk dapat di terima atau di tolak.

Hipotesis statistic akan di terima jika hasil pengujian membenarkan pernyataannya

dan akan di tolak jika terjadi penyangkalan dari pernyataannya.

Pengujian Hipotesis adalah suatu prosedur yang dilakukan dengan tujuan

memutuskan apakah menerima atau menolak hipotesis itu. Dalam pengujian hipotesis,

keputusan yang di buat mengandung ketidakpastian, artinya keputusan bias benar atau

salah, sehingga menimbulkan risiko. Besar kecilnya risiko dinyatakan dalam bentuk

probabilitas.Pengujian hipotesis merupakan bagian terpenting dari statistic inferensi

(statistic induktif), karena berdasarkan pengujian tersebut, pembuatan keputusan atau

pemecahan persoalan sebagai dasar penelitian lebih lanjut dapat terselesaikan.

II. Konsep hipotesis

Menurut Kerlinger (1973:18) dan Tuckman (1982:5) mengartikan hipotesis

adalah sebagai dugaan terhadap hubungan antara dua variable atau lebih. Selanjutnya

menurut Sudjana (1992:219) mengartikan hipotesis adalah asumsi atau dugaan

mengenai suatu hal yang dibuat untuk menjelaskan hal itu yang sering dituntut untuk

melakukan pengecekannya.Atas dasar dua definisi diatas, maka dapat disimpulkan

bahwa hipotesis adalah jawaban atau dugaan sementara yang harus diuji lagi

kebenarannya.

38 | S t a t i s t i k a 2

Hipotesis penelitian adalah hipotesis kerja (Hipotesis Alternatif Ha atau H1)

yaitu hipotesis yang dirumuskan untuk menjawab permasalahan dengan menggunakan

teori-teori yang ada hubungannya (relevan) dengan masalah penelitian dan belum

berdasarkan fakta serta dukungan data yang nyata dilapangan. Hipotesis alternatif

(Ha) dirumuskan dengan kalimat positif. Hipotesis nol adalah pernyataan tidak

adanya hubungan, pengaruh, atau perbedaan antara parameter dengan

statistik. Hipotesis Nol (Ho) dirumuskan dengan kalimat negatif). Nilai Hipotesis

Nol (Ho) harus menyatakan dengan pasti nilai parameter.

III. Prosedur Pengujian Hipotesis

Prosedur pengujian hipotesis statistic adalah langkah-langkah yang di

pergunakan dalam menyelesaikan pengujian hipotesis tersebut.Berikut ini langkah-

langkah pengujian hipotesis statistic adalah sebagai berikut.

1. Menentukan Formulasi Hipotesis

Formulasi atau perumusan hipotesis statistic dapat di bedakan atas dua jenis,

yaitu sebagai berikut;

Hipotesis nol / nihil (HO)

Hipotesis nol adalah hipotesis yang dirumuskan sebagai suatu pernyataan yang

akan di uji. Hipotesis nol tidak memiliki perbedaan atau perbedaannya nol

dengan hipotesis sebenarnya.

Hipotesis alternatif/ tandingan (H1 / Ha)

Hipotesis alternatif adalah hipotesis yang di rumuskan sebagai lawan atau

tandingan dari hipotesis nol. Dalam menyusun hipotesis alternatif, timbul 3

keadaan berikut:

o H1 menyatakan bahwa harga parameter lebih besar dari pada harga yang di

hipotesiskan. Pengujian itu disebut pengujian satu sisi atau satu arah, yaitu

pengujian sisi atau arah kanan.

o H1 menyatakan bahwa harga parameter lebih kecil dari pada harga yang di

hipotesiskan. Pengujian itu disebut pengujian satu sisi atau satu arah, yaitu

pengujian sisi atau arah kiri.

39 | S t a t i s t i k a 2

o H1 menyatakan bahwa harga parameter tidak sama dengan harga yang di

hipotesiskan. Pengujian itu disebut pengujian dua sisi atau dua arah, yaitu

pengujian sisi atau arah kanan dan kiri sekaligus.

Secara umum, formulasi hipotesis dapat di tuliskan :

Apabila hipotesis nol (H0) diterima (benar) maka hipotesis alternatif (Ha) di

tolak.Demikian pula sebaliknya, jika hipotesis alternatif (Ha) di terima (benar)

maka hipotesis nol (H0) ditolak.

2. Menentukan Taraf Nyata (α)

Taraf nyata adalah besarnya batas toleransi dalam menerima kesalahan hasil

hipotesis terhadap nilai parameter populasinya.Semakin tinggi taraf nyata yang di

gunakan, semakin tinggi pula penolakan hipotesis nol atau hipotesis yang di uji,

padahal hipotesis nol benar.

Besaran yang sering di gunakan untuk menentukan taraf nyata dinyatakan

dalam %, yaitu: 1% (0,01), 5% (0,05), 10% (0,1), sehingga secara umum taraf

nyata di tuliskan sebagai α0,01,α0,05, α0,1. Besarnya nilai α bergantung pada

keberanian pembuat keputusan yang dalam hal ini berapa besarnya kesalahan

(yang menyebabkan resiko) yang akan di tolerir. Besarnya kesalahan tersebut di

sebut sebagai daerah kritis pengujian (critical region of a test) atau daerah

penolakan ( region of rejection).

Nilai α yang dipakai sebagai taraf nyata di gunakan untuk menentukan nilai

distribusi yang di gunakan pada pengujian, misalnya distribusi normal (Z),

distribusi t, dan distribusi X².Nilai itu sudah di sediakan dalam bentuk tabel di

sebut nilai kritis.

3. Menentukan Kriteria Pengujian

Kriteria Pengujian adalah bentuk pembuatan keputusan dalam menerima atau

menolak hipotesis nol (Ho) dengan cara membandingkan nilai α tabel

distribusinya (nilai kritis) dengan nilai uji statistiknya, sesuai dengan bentuk

40 | S t a t i s t i k a 2

pengujiannya. Yang di maksud dengan bentuk pengujian adalah sisi atau arah

pengujian.

o Penerimaan Ho terjadi jika nilai uji statistiknya lebih kecil atau lebih besar

daripada nilai positif atau negatif dari α tabel. Atau nilai uji statistik berada

di luar nilai kritis.

o Penolakan Ho terjadi jika nilai uji statistiknya lebih besar atau lebih kecil

daripada nilai positif atau negatif dari α tabel. Atau nilai uji statistik berada

di luar nilai kritis.

Dalam bentuk gambar, kriteria pengujian seperti gambar di bawah ini

4. Menentukan Nilai Uji Statistik

Uji statistik merupakan rumus-rumus yang berhubungan dengan distribusi

tertentu dalam pengujian hipotesis.Uji statistik merupakan perhitungan untuk

menduga parameter data sampel yang di ambil secara random dari sebuah

populasi. Misalkan, akan di uji parameter populasi (P), maka yang pertama-tam di

hitung adalah statistik sampel (S).

5. Membuat Kesimpulan

Pembuatan kesimpulan merupakan penetapan keputusan dalam hal

penerimaan atau penolakan hipotesis nol (Ho)yang sesuai dengan kriteria

pengujiaanya. Pembuatan kesimpulan dilakukan setelah membandingkan nilai uji

statistik dengan nilai α tabel atau nilai kritis.

Penerimaan Ho terjadi jika nilai uji statistik berada di luar nilai kritisnya.

Penolakan Ho terjadi jika nilai uji statistik berada di dalam nilai kritisnya.

Kelima langkah pengujian hipotesis tersebut di atas dapat di ringkas seperti berikut.

Langkah 1 : Menentukan formulasi hipotesis nol (H0) dan hipotesis alternatifnya (Ha)

Langkah 2 : Memilih suatu taraf nyata (α) dan menentukan nilai table.

Langkah 3 : Membuat criteria pengujian berupa penerimaan dan penolakan H0.

Langkah 4 : Melakukan uji statistic

Langkah 5 : Membuat kesimpulannya dalam hal penerimaan dan penolakan H0.

41 | S t a t i s t i k a 2

IV. Jenis-Jenis Pengujian Hipotesis

Pengujian hipotesis dapat di bedakan atas beberapa jenis berdasarkan criteria yang

menyertainya.

Berdasarkan Jenis Parameternya

Didasarkan atas jenis parameter yang di gunakan, pengujian hipotesis dapat di

bedakan atas tiga jenis, yaitu sebagai berikut .

a. Pengujian hipotesis tentang rata-rata

Pengujian hipotesis tentang rata-rata adalah pengujian hipotesis mengenai

rata-rata populasi yang di dasarkan atas informasi sampelnya.

Contohnya:

1. Pengujian hipotesis satu rata-rata

2.Pengujian hipotesis beda dua rata-rata

3.Pengujian hipotesis beda tiga rata-rata

b. Pengujian hipotesis tentang proporsi

Pengujian hipotesis tentang proporsi adalah pengujian hipotesis mengenai

proporsi populasi yang di dasarkan atas informasi sampelnya.

Contohnya:

1. Pengujian hipotesis satu proporsi

2.Pengujian hipotesis beda dua proporsi

3.Pengujian hipotesis beda tiga proporsi

c. Pengujian hipotesis tentang varians

Pengujian hipotesis tentang varians adalah pengujian hipotesis mengenai rata-

rata populasi yang di dasarkan atas informasi sampelnya.

Contohnya:

1. Pengujian hipotesis tentang satu varians

2. Pengujian hipotesis tentang kesamaan dua varians

Berdasarkan Jumlah Sampelnya

Didasarkan atas ukuran sampelnya, pengujian hipotesis dapat di bedakan atas dua

jenis, yaitu sebagai berikut.

a. Pengujian hipotesis sampel besar

Pengujian hipotesis sampel besar adalah pengujian hipotesis yang

menggunakan sampel lebih besar dari 30 (n > 30).

b. Pengujian hipotesis sampel kecil

Pengujian hipotesis sampel kecil adalah pengujian hipotesis yang

menggunakan sampel lebih kecil atau sama dengan 30 (n ≤ 30).

42 | S t a t i s t i k a 2

Berdasarkan Jenis Distribusinya

Didasarkan atas jenis distribusi yang digunakan, pengujian hipotesis dapat di

bedakan atas empat jenis, yaitu sebagai berikut.

a. Pengujian hipotesis dengan distribusi Z

Pengujian hipotesis dengan distribusi Z adalah pengujian hipotesis

yang menggunakan distribusi Z sebagai uji statistik. Tabel pengujiannya

disebut tabel normal standard.Hasil uji statistik ini kemudian di bandingkan

dengan nilai dalam tabel untuk menerima atau menolak hipotesis nol (Ho)

yang di kemukakan.

Contohnya :

1. Pengujian hipotesis satu dan beda dua rata-rata sampel besar

2. Pengujian satu dan beda dua proporsi

b. Pengujian hipotesis dengan distribusi t (t-student)

Pengujian hipotesis dengan distribusi t adalah pengujian hipotesis

yang menggunakan distribusi t sebagai uji statistik. Tabel pengujiannya

disebut tabel t-student.Hasil uji statistik ini kemudian di bandingkan dengan

nilai dalam tabel untuk menerima atau menolak hipotesis nol (Ho) yang di

kemukakan.

Contohnya :

1. Pengujian hipotesis satu rata-rata sampel kecil

2. Pengujian hipotesis beda dua rata-rata sampel kecil

c. Pengujian hipotesis dengan distribusi χ2 ( kai kuadrat)

Pengujian hipotesis dengan distribusi χ2 ( kai kuadrat) adalah

pengujian hipotesis yang menggunakan distribusi χ2 sebagai uji statistik. Tabel

pengujiannya disebut tabel χ2.Hasil uji statistik ini kemudian di bandingkan

dengan nilai dalam tabel untuk menerima atau menolak hipotesis nol (Ho) yang

di kemukakan.

Contohnya :

1. Pengujian hipotesis beda tiga proporsi

2. Pengujian Independensi

3. Pengujian hipotesis kompatibilitas

d. Pengujian hipotesis dengan distribusi F (F-ratio)

Pengujian hipotesis dengan distribusi F (F-ratio) adalah pengujian

hipotesis yang menggunakan distribusi F (F-ratio) sebagai uji statistik. Tabel

pengujiannya disebut tabel F. Hasil uji statistik ini kemudian di bandingkan

dengan nilai dalam tabel untuk menerima atau menolak hipotesis nol (Ho) yang

di kemukakan.

Contohnya :

43 | S t a t i s t i k a 2

1. Pengujian hipotesis beda tiga rata-rata

2. Pengujian hipotesis kesamaan dua varians

Berdasarkan Arah atau Bentuk Formulasi Hipotesisnya

Didasarkan atas arah atau bentuk formulasi hipotesisnya, pengujian hipotesis

di bedakan atas 3 jenis, yaitu sebagai berikut.

a. Pengujian hipotesis dua pihak (two tail test)

Pengujian hipotesis dua pihak adalah pengujian hipotesis di mana

hipotesis nol (Ho) berbunyi “sama dengan” dan hipotesis alternatifnya (H1)

berbunyi “tidak sama dengan” (Ho = dan H1 ≠)

b. Pengujian hipotesis pihak kiri atau sisi kiri

Pengujian hipotesis pihak kiri adalah pengujian hipotesis di mana

hipotesis nol (Ho) berbunyi “sama dengan” atau “lebih besar atau sama

dengan” dan hipotesis alternatifnya (H1) berbunyi “lebih kecil” atau “lebih

kecil atau sama dengan” (Ho = atau Ho ≥ dan H1 < atau H1≤ ). Kalimat “lebih

kecil atau sama dengan” sinonim dengan kata “paling sedikit atau paling

kecil”.

c. Pengujian hipotesis pihak kanan atau sisi kanan

Pengujian hipotesis pihak kanan adalah pengujian hipotesis di mana

hipotesis nol (Ho) berbunyi “sama dengan” atau “lebih kecil atau sama

dengan” dan hipotesis alternatifnya (H1) berbunyi “lebih besar” atau “lebih

besar atau sama dengan” (Ho = atau Ho ≤ dan H1 > atau H1 ≥). Kalimat “lebih

besar atau sama dengan” sinonim dengan kata “paling banyak atau paling

besar”.

V. Pengujian Hipotesis Rata-Rata

Pengujian Hipotesis Satu Rata-Rata

a. Sampel besar ( n> 30 )

Untuk pengujian hipotesis satu rata-rata dengan sample besar (n >

30), uji statistiknya menggunakan distribusi Z. Prosedur pengujian

hipotesisnya adalah sebagai berikut.

1. Formulasi hipotesis

a. Ho : µ = µo

H1 : µ > µo

b. Ho : µ = µo

H1 : µ < µo

c. Ho : µ = µo

44 | S t a t i s t i k a 2

H1 : µ ≠ µo

2. Penentuan nilai α (taraf nyata) dan nilai Z table (Zα)

Menentukan nilai α sesuai soal, kemudian nilai Zα atau

Zα/2ditentukan dari tabel.

3. Kriteria Pengujian

a. Untuk Ho : µ = µo dan H1 : µ > µo

o Ho di terima jika Zo ≤ Zα

o Ho di tolak jika Zo > Zα

b. Untuk Ho : µ = µo dan H1 : µ < µo

o Ho di terima jika Zo ≥ - Zα

o Ho di tolak jika Zo < - Zα

c. Untuk Ho : µ = µo dan H1 : µ ≠ µo

o Ho di terima jika - Zα/2 ≤ Zo ≤ Zα/2

o Ho di tolak jika Zo > Zα/2 atau Zo < - Zα/2

4. Uji Statistik

a. Simpangan baku populasi ( σ ) di ketahui :

b. Simpangan baku populasi ( σ ) tidak di ketahui :

5. Kesimpulan

Menyimpulkan tentang penerimaan atau penolakan Ho (sesuai dengan

kriteria pengujiannya).

a) Jika H0 diterima maka H1 di tolak

b) Jika H0 di tolak maka H1 di terima

Contoh Soal :

Suatu pabrik susu merek Good Milk melakukan pengecekan terhadap

produk mereka, apakah rata-rata berat bersih satu kaleng susu bubuk yang di

produksi dan di pasarkan masih tetap 400 gram atau sudah lebih kecil dari itu.

Dari data sebelumnya di ketahui bahwa simpangan baku bersih per kaleng

sama dengan 125 gram. Dari sample 50 kaleng yang di teliti, di peroleh rata-

45 | S t a t i s t i k a 2

rata berat bersih 375 gram. Dapatkah di terima bahwa berat bersih rata-rata

yang di pasarkan tetap 400 gram? Ujilah dengan taraf nyata 5 % !

Penyelesaian :

Diketahui :

n = 50, X = 375, σ = 125, µo = 400

Jawab :

a. Formulasi hipotesisnya :

Ho : µ = 400

H1 : µ < 400

b. Taraf nyata dan nilai tabelnya :

α = 5% = 0,05

Z0,05 = -1,64 (pengujian sisi kiri)

c. Kriteria pengujian :

o Ho di terima jika Zo ≥ - 1,64

o Ho di tolak jika Zo < - 1,64

d. Uji Statistik

e. Kesimpulan

Karena Zo = -1,41 ≥ - Z0,05 = - 1,64 maka Ho di terima. Jadi,

berat bersih rata-rata susu bubuk merek GOOD MILK per kaleng yang

di pasarkan sama dengan 400 gram

b. Sampel Kecil (n ≤ 30)

46 | S t a t i s t i k a 2

Untuk pengujian hipotesis satu rata-rata dengan sampel kecil (n ≤ 30),

uji statistiknya menggunakan distribusi t. Prosedur pengujian hipotesisnya

adalah sebagai berikut.

1. Formulasi hipotesis

a. Ho : µ = µo

H1 : µ > µo

b. Ho : µ = µo

H1 : µ < µo

c. Ho : µ = µo

H1 : µ ≠ µo

2. Penentuan nilai α (taraf nyata) dan nilai t- tabel

Menentukan nilai α sesuai soal, kemudian menentukan derajat

bebas, yaitu db = n – 1, lalu menentukan nilai tα;n-1 atau tα/2;n-

1ditentukan dari tabel.

3. Kriteria Pengujian

a. Untuk Ho : µ = µo dan H1 : µ > µo

o Ho di terima jika to ≤ tα

o Ho di tolak jika to > tα

b. Untuk Ho : µ = µo dan H1 : µ < µo

o Ho di terima jika to ≥ - tα

o Ho di tolak jika to < - tα

c. Untuk Ho : µ = µo dan H1 : µ ≠ µo

o Ho di terima jika - tα/2 ≤ to ≤ tα/2

o Ho di tolak jika to > tα/2 atau to < - tα/2

4. Uji Statistik

a. Simpangan baku populasi ( σ ) di ketahui :

b. Simpangan baku populasi ( σ ) tidak di ketahui :

5. Kesimpulan

Menyimpulkan tentang penerimaan atau penolakan Ho(sesuai

dengan criteria pengujiannya).

a) Jika H0 diterima maka H1 di tolak

47 | S t a t i s t i k a 2

b) Jika H0 di tolak maka H1 di terima

Contoh soal :

Sebuah sample terdiri atas 15 kaleng susu, memiliki isi berat kotor

seperti yang di berikan berikut ini.

( Isi berat kotor dalam kg/kaleng)

1,21 1,21 1,23 1,20 1,21

1,24 1,22 1,24 1,21 1,19

1,19 1,18 1,19 1,23 1,18

Jika di gunakan taraf nyata 1%, dapatkah kita menyakini bahwa

populasi cat dalam kaleng rata-rata memiliki berat kotor 1,2 kg/kaleng ?

(dengan alternatif tidak sama dengan). Berikan evaluasi anda !

Penyelesaian :

Diketahui :

n = 15, α= 1%, µo = 1,2

Jawab:

∑X = 18,13

∑X2 = 21,9189

X = 18,13 / 15

= 1,208

a. Formulasi hipotesisnya :

Ho : µ = 1,2

H1 : µ ≠ 1,2

b. Taraf nyata dan nilai tabelnya :

α = 1% = 0,01

tα/2 = 0,005 dengan db = 15-1 = 14

t0,005;14 = 2,977

c. Kriteria pengujian :

48 | S t a t i s t i k a 2

o Ho di terima apabila : - 2,977 ≤ to ≤ - 2,977

o Ho di tolak : to > 2,977 atau to < - 2,977

d. Uji Statistik

e. Kesimpulan

Karena –t0,005;14 = -2,977 ≤ to = 1,52 ≤ t0,005;14 = - 2,977 maka

Hodi terima. Jadi, populasi susu dalam kaleng secara rata-rata berisi

berat kotor 1,2 kg/kaleng.

Pengujian Hipotesis Beda Dua Rata-Rata

a. Sampel besar ( n> 30 )

Untuk pengujian hipotesis beda dua rata-rata dengan sampel besar (n >

30), uji statistiknya menggunakan distribusi Z. Prosedur pengujian

hipotesisnya adalah sebagai berikut.

1. Formulasi hipotesis

a. Ho : µ = µo

H1 : µ > µo

b. Ho : µ = µo

H1 : µ < µo

c. Ho : µ = µo

H1 : µ ≠ µo

2. Penentuan nilai α (taraf nyata) dan nilai Z tabel (Zα)

Mengambil nilai α sesuai soal, kemudian nilai Zα atau

Zα/2ditentukan dari tabel.

3. Kriteria Pengujian

a. Untuk Ho : µ1 = µ2 dan H1 : µ1 > µ2

o Ho di terima jika Zo ≤ Zα

49 | S t a t i s t i k a 2

o Ho di tolak jika Zo > Zα

b. Untuk Ho : µ1 = µ2 dan H1 : µ1 < µ2

o Ho di terima jika Zo ≥ - Zα

o Ho di tolak jika Zo < - Zα

c. Untuk Ho : µ1 = µ2 dan H1 : µ1 ≠ µ2

o Ho di terima jika - Zα/2 ≤ Zo ≤ Zα/2

o Ho di tolak jika Zo > Zα/2 atau Zo < - Zα/2

4. Uji Statistik

a. Simpangan baku populasi ( σ ) di ketahui :

b. Simpangan baku populasi ( σ ) tidak di ketahui :

5. Kesimpulan

Menyimpulkan tentang penerimaan atau penolakan Ho (sesuai dengan

kriteria pengujiannya).

a) Jika H0 diterima maka H1 di tolak

b) Jika H0 di tolak maka H1 di terima

Contoh Soal :

Seseorang berpendapat bahwa rata-rata jam kerja buruh di daerah A

dan B sama dengan alternatif A lebih besar dari pada B. Untuk itu, di ambil

sample di kedua daerah, masing-masing 100 dan 70 dengan rata-rata dan

simpangan baku 38 dan 9 jam per minggu serta 35 dan 7 jam per minggu.

Ujilah pendapat tersebut dengan taraf nyata 5% ! Untuk Varians/ simpangan

baku kedua populasi sama besar !

Penyelesaian :

Diketahui :

n1 = 100 X1 = 38 s₁ = 9

n2 = 70 X2 = 35 s₂ = 7

50 | S t a t i s t i k a 2

Jawab:

a. Formulasi hipotesisnya :

Ho : µ₁ = µ₂

H1 : µ₁ > µ₂

b. Taraf nyata dan nilai tabelnya :

α = 5% = 0,05

Z0,05 = 1,64 (pengujian sisi kanan)

c. Kriteria pengujian :

o Ho di terima jika Zo ≤ 1,64

o Ho di tolak jika Zo > 1,64

d. Uji Statistik

e. Kesimpulan

Karena Zo = 2,44> Z0,05 = 1,64 maka Ho di tolak. Jadi, rata-rata

jam kerja buruh di daerah A dan daerah B adalah tidak sama.

51 | S t a t i s t i k a 2

b. Sampel kecil ( n ≤ 30 )

Untuk pengujian hipotesis beda dua rata-rata dengan sampel kecil (n ≤

30), uji statistiknya menggunakan distribusi t. Prosedur pengujian hipotesisnya

adalah sebagai berikut.

1. Formulasi hipotesis

a. Ho : µ₁ = µ2

H1 : µ₁ > µ2

b. Ho : µ₁ = µ2

H1 : µ₁ < µ2

c. Ho : µ₁ = µ2

H1 : µ₁ ≠ µ2

2. Penentuan nilai α (taraf nyata) dan nilai t tabel (tα)

Mengambil nilai α sesuai soal, kemudian nilai tα atau

tα/2ditentukan dari tabel.

3. Kriteria Pengujian

a. Untuk Ho : µ1 = µ2 dan H1 : µ1 > µ2

o Ho di terima jika to ≤ tα

o Ho di tolak jika to > tα

b. Untuk Ho : µ1 = µ2 dan H1 : µ1 < µ2

o Ho di terima jika to ≥ tα

o Ho di tolak jika Zo < - tα

c. Untuk Ho : µ1 = µ2 dan H1 : µ1 ≠ µ2

o Ho di terima jika - tα/2 ≤ to ≤ tα/2

o Ho di tolak jika to > tα/2 atau to < - tα/2

4. Uji Statistik

52 | S t a t i s t i k a 2

Keterangan :

d = rata-rata dari nilai d

sd = simpangan baku dari nilai d

n = banyaknya pasangan

db = n-1

5. Kesimpulan

Menyimpulkan tentang penerimaan atau penolakan Ho (sesuai

dengan kriteria pengujiannya).

a) Jika H0 diterima maka H1 di tolak

b) Jika H0 di tolak maka H1 di terima

Contoh Soal :

1. Sebuah perusahan mengadakan pelatihan teknik pemasaran. Sampel sebanyak

12 orang dengan metode biasa dan 10 orang dengan terprogram. Pada akhir

pelatihan di berikan evaluasi dengan materi yang sama. Kelas pertama

mencapai nilai rata-rata 75 dengan simpangan baku 4,5. Ujilah hipotesis kedua

metode pelatihan, dengan alternative keduanya tidak sama! Gunakan taraf

nyata 10%! Asumsikan kedua populasi menghampiri distribusi normal dengan

varians yang sama!

Penyelesaian :

Diketahui :

n1 = 12 X1 = 80 s₁ = 4

n2 = 10 X2 = 75 s₂ = 4,5

Jawab:

a. Formulasi hipotesisnya :

Ho : µ₁ = µ₂

H1 : µ₁ ≠ µ₂

b. Taraf nyata dan nilai tabelnya :

α = 10% = 0,10

= 0,05

db = 12 + 10 – 2 = 20

t0,05;20 = 1,725

c. Kriteria pengujian :

53 | S t a t i s t i k a 2

o Ho di terima apabila -1,725 ≤ t0 ≤ 1,725

o Ho di tolak apabila t0 > 1,725 atau t0 < -1,725

d. Uji Statistik

e. Kesimpulan

Karena t0 = 2,76> t0,05;20 = 1,725 maka Ho di tolak. Jadi, kedua

metode yang digunakan dalam pelatihan tidak sama hasilnya.

2. Untuk mengetahui apakah keanggotaan dalam organisasi mahasiswa memiliki

akibat baik atau buruk terhadap prestasi akademik seseorang, diadakan

penelitian mengenai mutu rata-rata prestasi akademik. Berikut ini data selama

periode 5 tahun.

Tahun

1 2 3 4 5

Anggota

Bukan

Anggota

7,0

7,2

7,0

6,9

7,3

7,5

7,1

7,3

7,4

7,4

Ujilah pada taraf nyata 1% apakah keanggotaan dalam organisasi

mahasiswa berakibat buruk pada prestasi akademiknya dengan asumsi bahwa

populasinya normal !

Penyelesaian :

a. Formulasi hipotesisnya :

Ho : µ₁ = µ₂

H1 : µ₁ < µ₂

54 | S t a t i s t i k a 2

b. Taraf nyata dan nilai tabelnya :

α = 1% = 0,01

= 0,05

db = 5 - 1 = 4

t0,01;4 = -3,747

c. Kriteria pengujian :

o Ho di terima apabila t0 ≥ - 3,747

o Ho di tolak apabila t0 < - 3,747

d. Uji Statistik :

Anggota Bukan Anggota d d2

7,0

7,0

7,3

7,1

7,4

7,2

6,9

7,5

7,3

7,4

-0,2

0,1

-0,2

-0,2

0,0

0,04

0,01

0,04

0,04

0,00

Jumlah -0,5 0,13

e. Kesimpulan

Karena t0 = -1,6> t0,01;4 = -3,747, maka Ho di terima. Jadi,

keanggotaan organisasi bagi mahasiswa tidak membeikan pengaruh

buruk terhadap prestasi akademiknya.

55 | S t a t i s t i k a 2

UJI HIPOTESIS CHI-SQUARES

I. Karakteristik Distribusi Chi-Squares

a. Nilai Chi-Square selalu positif

b. Bentuk Distribusi Chi-Square adalah menjulur positif

c. Distribusi chi square memiliki satu parameter yaitu derajad bebas (db)

d. Nilai-nilai chi square di mulai dari 0 disebelah kiri, sampai nilai-nilai positif tak

terhingga di sebelah kanan

e. Probabilitas nilai chi square di mulai dari sisi sebelah kanan

f. Luas daerah di bawah kurva normal adalah 1. Nilai dari chi square bisa dicari jika

kita memiliki informasi luas daerah disebelah kanan kurva serta derajad bebas.

Misalnya jika luas daerah disebelah kanan adalah 0,1 dan derajad bebas sebanyak

7, maka nilai chi square adalah 12, 017.

g. Rumus yang digunakan untuk uji ini sama dengan rumus umum Uji Kai Kuadrat :

II. Uji Kesesuaian

Pengujian hipotesis kompatibilitas (goodness of fit) merupakan pengujian

hipotesis untuk menentukan apakah suatu himpunan frekuensi yang diharapkan sama

dengan frekuensi yang diperoleh dari suatu distribusi, seperti distribusi binomial,

poisson, normal, atau dari perbandingan lain. Jadi, uji goodness of fit merupakan

pengujian kecocokan atau kebaikan suai antara hasil pengamatan (frekuensi

pengamatan) tertentu dengan frekuensi yang diperoleh berdasarkan nilai harapannya

(frekuensi teoretis).

Langkah-langkah pengujian hipotesis goodness of fit ialah sebagai berikut:

a. Menentukan hipotesis

H0 : frekuensi pengamatan sesuai dengan frekuensi yang diharapkan

H1 : frekuensi pengamatan tidak sesuai dengan frekuensi yang diharapkan

b. Menentukan tingakat signifikansi ( α ) dan nilai χ2 dari table Tingakat signifikansi

(α ) dan nilai χ2 tabel ditentukan dengan derajat bebas (db) = k – N

c. Menentukan kriteria pengujian

H0 diterima apabila χ20 ≤ χ2α (k – N)

H0 ditolak apabila χ20 > χ2α (k – N)

56 | S t a t i s t i k a 2

d. Menentukan nilai uji statistic

e. Membuat kesimpulan

f. Menyimpulkan apakah H0 ditolak atau diterima berdasarkan nilai statistik uji

yang diperoleh

Rumus Uji Kesesuaian:

Contoh Soal

Sebuah perusahaan gas dapat menentukan pola pembayaran berdasarkan

pengalaman-pengalaman sebelumnya bahwa pada akhir musim dingin 80% pelanggan

membayar tagihannya, 10% menunda sampai satu bulan, 6% menunda dua bulan, dan

4% lebih dari dua bulan. Pada akhir musim dingin tahun ini mengecek 400

pelanggannya secara random dan ternyata 287 pelanggan membayar langsung

tagihannya, 49 pelanggan menunda satu bulan, 30 pelanggan menunda dua bulan, dan

34 menunda tagihan lebih dari dua bulan. Apakah data tersebut masih mempunya pola

tertentu (distribusi) yang sama seperti tahun-tahun sebelumnya. Gunakan α sebesar

1%.

57 | S t a t i s t i k a 2

Kesimpulan : pola pembayaran gas tahun ini berbeda dengan tahun-

tahun sebelumnya dengan tingkat keyakinan sebesar 99%.

Setelah diamati lebih seksama tenyata ada kecenderungan bahwa pembayaran

pelanggan tahun ini tertunda lebih lama dibanding dengan pembayaran tahun

sebelumnya.

III. Uji Independensi

Uji kebebasan ini digunakan untuk memeriksa kebebasan atau independensi

dari dua variabel (frekuensi observasi dan frekuensi harapan) sehingga kita dapat

menyimpulkan apakah kedua peubah tersebut saling bebas (tidak berpengaruh)

ataukah keduanya saling bertalian (berpengaruh).

Data untuk menguji kebebasan dua variabel tersebut disajikan dalam bentuk

Tabel Kontingensi atau Tabel Berkemungkinan yang umumnya berukuran r baris x k

kolom. Sebelum melakukan pengujian, terlebih dahulu kita harus mendefinisikan

Hipotesis Awal (H0) dan Hipotesis Alternatif (H1), yaitu:

H0 : variabel-variabel saling bebas

H1 : variabel-variabel tidak saling bebas

Biasanya Tabel Kontingensi berisikan data berupa frekuensi observasi yang

diperoleh dari suatu pengujian. Untuk itu, kita perlu mencari frekuensi ekspektasi

terlebih dahulu sebelum melakukan pengujian.

58 | S t a t i s t i k a 2

Contoh Soal

Suatu percobaan dilakukan untuk mengetahui apakah pendapat penduduk

pemilih di negara bagian Illinois mengenai perubahan pajak baru tidak ada

hubungannya dengan tingkat penghasilannya. Suatu sampel acak 1000 pemilih yang

tercatat di Illinois dikelompokan menurut apakah penghasilan mereka rendah, sedang,

atau tinggi, dan apakah mereka setuju atau tidak terhadap perubahan pajak baru dalam

tabel kontingensi berikut: (gunakan taraf uji 0,05)

Perubahan Pajak Tingkat Pendapatan Total

R (Rendah) M (Menengah) B (Berada)

Setuju 182 213 203 598

Tidak Setuju 154 138 110 402

Total 336 351 313 1000

Jawab :

H0 : pendapat penduduk pemilih di negara bagian Illinois mengenai perubahan pajak baru

dan tingkat penghasilannya saling bebas

H1 : pendapat penduduk pemilih di negara bagian Illinois mengenai perubahan pajak baru

dan tingkat penghasilannya tidak saling bebas

α = 0,05

Daerah kritis X2 > 5,991 dengan derajat kebebasan v =(2-1)(3-1)= 2

Perhitungan X2

Frekuensi harapan untuk:

59 | S t a t i s t i k a 2

60 | S t a t i s t i k a 2

Uji Hipotesis Regresi Tunggal (1 Variabel Bebas)

dan Korelasi

Regresi dan korelasi mempunyai persamaan yaitu keduanya mempelajari hubungan

antar variabel

.

REGRESI

1. Mempelajari bentuk hubungan antar variabel melalui suatu persamaan (RLS,

RLB, Regresi non Linier). Hubungan bisa berupa hubungan sebab akibat

2. Dapat mengukur seberapa besar suatu variabel mempengaruhi variabel lain

3. Dapat digunakan untuk melakukan peramalan nilai suatu variabel berdasarkan

variabel lain

KORELASI

1. Mempelajari keeratan hubungan antar 2 variabel kuantitatif yang bisa dilihat dari

besarnya angka, bukan tandanya

2. Dapat mengetahui arah hubungan yang terjadi (berbanding lurus jika tandanya

positif, dan berbanding terbalik jika tandanya negatif)

3. Nilainya berkisar -1 sampai dengan 1

4. Tidak bisa menyatakan hubungan sebab akibat

Korelasi yang tinggi tidak selalu berarti bahwa suatu variabel

menyebabkan/mempengaruhi variabel yang lain

VARIABEL BEBAS (INDEPENDENT) DAN VARIABEL TAK BEBAS

(DEPENDENT)

- Dependent Variable / Variabel Tak Bebas (Y) : Variabel yang nilainya ditentukan

oleh variabel lain. Diasumsikan bersifat random/stochastic.

- Independent Variable / Variabel Bebas (X) : Variabel yang nilainya ditentukan

secara bebas (variabel yang diduga mempengaruhi variabel tak bebas). Diasumsikan

bersifat fixed/non stochastic.

Syarat:

Y: Berjenis data kuantitatif

X: Berjenis data kuantitatif atau kualitatif/kategorik

Jenis data untuk Y:

- Data observasi

Diperoleh tanpa melakukan kontrol terhadap variabel X -> tidak kuat

menyatakan hubungan sebab-akibat

- Data Eksperimen

Diperoleh dengan melakukan kontrol terhadap variabel X -> dapat

menyatakan hubungan sebab-akibat

61 | S t a t i s t i k a 2

I. KONSEP DASAR

- Pada suatu nilai X tertentu akan terdapat banyak kemungkinan nilai-nilai Y (Y akan

terdistribusi mengikuti suatu fungsi peluang tertentu->diasumsikan berdistribusi

normal) dengan nilai rata-rata E(Y) dan nilai varians tertentu.

- Nilai rata-rata E(Y) diasumsikan berubah secara sistematik mengikuti perubahan

nilai X, yang digambarkan dalam bentuk garis linier

- Nilai varians pada setiap nilai X akan sama

Perhitungan koefisien regresi

Analisis regresi linier sederhana adalah hubungan secara linear antara satu variabel

independen (X) dengan variabel dependen (Y). Analisis ini untuk mengetahui arah

hubungan antara variabel independen dengan variabel dependen apakah positif atau

negatif dan untuk memprediksi nilai dari variabel dependen apabila nilai variabel

independen mengalami kenaikan atau penurunan.. Data yang digunakan biasanya

berskala interval atau rasio.

Rumus regresi linear sederhana sebagi berikut:

Y’ = a + bX

Keterangan:

Y‟ = Variabel dependen (nilai yang diprediksikan)

X = Variabel independen

a = Konstanta (nilai Y‟ apabila X = 0)

b = Koefisien regresi (nilai peningkatan ataupun penurunan)

II. Persamaan Garis Regresi Linier Sederhana

Regresi yang berarti peramalan, penaksiran, atau pendugaan pertama kali

diperkenalkan pada tahun 1877 oleh Sir Francis Galton (1822-1911) sehubungan

dengan penelitiannya terhadap tinggi manusia. Penelitian tersebut membandingkan

antara tinggi anak laki-laki dan tinggi badan ayahnya.

Analisis regresi juga digunakan untuk menentukan bentuk hubungan antar

variabel. Tujuan utama dalam penggunaan analisis itu adalah untuk meramalkan atau

memperkirakan nilai dari satu variabel dalam hubungannya dengan variabel yang lain

yang diketahui melalui persamaan garis regresinya.

62 | S t a t i s t i k a 2

Untuk populasi, persamaan garis regresi linier sederhananya dapat dinyatakan

dalam bentuk:

Keterangan:

rata-rata Y bagi X tertentu.

konstanta atau parameter atau koefisien regresi populasi

Karena populasi jarang diamati secara langsung, maka digunakan persamaan regresi

linier sederhana sampel sebagai penduga persamaan regresi linier sederhana populasi.

Bentuk persamaannya adalah :

Keterangan:

Y = penduga bagi variabel terikat (variabel yang diduga)

X = variabel bebas (variabel yang diketahui)

a,b = penduga parameter A dan B = koefisien regresi sampel

a = intersep (nilai Y, bila X = 0)

b = slop (kemiringan garis regresi)

Persamaan memberikan arti jika variabel X mengeluarkan satu satuan

maka variabel Y akan mengalami peningkatan atau penurunan sebesar 1 b.

Untuk membuat peramalan, penaksiran, atau pendugaan dengan persamaan regresi,

maka nilai dan b harus ditentukan terlebih dahulu. Dengan metode kuadrat terkecil

(least square), nilai dan b dapat ditentukan dengan rumus berikut.

63 | S t a t i s t i k a 2

III. PENDUGAAN DAN PENGUJIAN KOEFISIEN REGRESI

Kesalahan Baku Regresi dan Koefisien Regresi Sederhana

Kesalahan baku atau selisih taksir standar merupakan indeks yang

digunakan untuk mengukur tingkat ketepatan regresi (pendugaan) dan

koefisien regresi (penduga) atau mengukur variasi titik-titik observasi di

sekitar garis regresi. Dengan kesalahan baku, batasan seberapa jauh

melesetnya perkiraan kita dalam meramal data dapat diketahui. Apabila semua

titik observasi berada tepat pada garis regresi maka kesalahan baku akan

bernilai sama dengan nol. Hal itu berarti perkiraan yang kita lakukan terhadap

data sesuai dengan data yang sebenarnya,

Berikut ini rumus-rumus yang secara langsung digunakan untuk

menghitung kesalahan baku regresi dan koefisien regresi.

1. Untuk regresi, kesalahan bakunya dirumuskan:

2. Untuk koefisien regresi (penduga ), kesalahan bakunya dirumuskan:

2. Untuk koefisien regresi (penduga ), kesalahan bakunya dirumuskan:

64 | S t a t i s t i k a 2

Pendugaan Interval Koefisien Regresi (Parameter A dan B)

Pendugaan interval bagi parameter A dan B menggunakan distribusi t dengan

derajat kebebasan (db) = n – 2.

1. Pendugaan interval untuk parameter A

Untuk parameter A, pendugaan intervalnya menggunakan:

Atau dalam bentuk sederhana:

Artinya: dengan interval keyakinan dalam jangka panjang, jika sampel

diulang-ulang, kasus pada interval sampai dengan interval akan berisi A

yang benar.

2. Pendugaan interval untuk parameter B

Untuk parameter B, pendugaan intervalnya dirumuskan:

Atau dalam bentuk sederhana:

Artinya: dengan interval keyakinan dalam jangka panjang, jika sampel

diulang-ulang, kasus pada interval sampai dengan interval akan berisi B

yang benar.

Pengujian Hipotesis Koefisien Regresi (Parameter A dan B)

Pengujian hipotesis bagi parameter A dan B menggunakan uji t,

dengan langkah-langkah pengujian sebagai berikut:

1. Menentukan formula hipotesis

1. Untuk parameter A:

65 | S t a t i s t i k a 2

2. Untuk parameter B:

2. Menentukan taraf nyata ( ) dan nilai t tabel.

Taraf nyata dan nilai t tabel ditentukan dengan derajat bebas (db) = n –

3. Menentukan kriteria pengujian

4. Menentukan nilai uji statistik

1. Untuk parameter A

2. Untuk parameter B

5. Membuat kesimpulan

Menyimpulkan apakah diterima atau ditolak.

Catatan:

1. Dari kedua koefisien regresi A dan B, koefisien regresi B,

yaitu koefisien regresi sebenanya adalah yang lebih penting, karena

dari koefisien ini, ada atau tidak adanya pengaruh X terhadap Y dapat

diketahui.

66 | S t a t i s t i k a 2

2. Khusus untuk koefisien regresi B, pengujian hipotesisnya

dapat juga dirumuskan sebagai berikut:

IV. PERAMALAN (PREDIKSI)

Sebagai penduga memiliki nilai yang mungkin sama atau tidak sama dengan

nilai sebenarnya. Untuk membuat sebagai penduga yang dapat dipercaya, maka

dibuat pendugaan bagi Y dengan menggunakan penduga itu sendiri. Dengan

demikian, sebagai penduga dapat digunakan sebagai peramalan atau prediksi.

Ada tiga bentuk peramalan sehubungan dengan penduga tersebut, yaitu

sebagai berikut.

Peramal Tunggal

Peramalan tunggal atau prediksi titik dirumuskan:

Peramalan Interval Individu

Peramalan interval individu atau prediksi interval bagi Y dirumuskan:

= nilai untuk X = X0

Peramalan Interval Rata-rata

Peramalan interval rata-rata atau prediksi interval bagi E(Y) dirumuskan:

67 | S t a t i s t i k a 2

V. KOEFISIEN KORELASI LINIER SEDERHANA

Pengertian Koefisien Korelasi (KK)

Koefisien korelasi merupakan indeks atau bilangan yang digunakan untuk

mengukur keeratan (kuat, lemah, atau tidak ada) hubungan antarvariabel.

Koefisien korelasi ini memiliki nilai antara -1 dan +1 .

1. Jika KK bernilai positif, maka variabel-variabel berkorelasi positif. Semakin dekat

nilai KK ini ke +1 semakin kuat korelasinya, demikian pula sebaliknya.

2. Jika KK bernilai negatif, maka variabel-variabel berkolerasi negatif. Semakin

dekat nilai KK ini ke -1 semakin kuat korelasinya, demikian pula sebaliknya.

3. Jika KK bernilai 0 (nol), maka variabel-variabel tidak menunjukkan korelasi.

4. Jika KK bernilai +1 atau -1, maka variabel menunjukkan korelasi positif atau

negatif yang sempurna.

Untuk menentukan keeratan hubungan/korelasi antarvariabel tersebut, berikut

ini diberikan nilai-nilai dari KK sebagai patokan>

1. KK = 0, tidak ada korelasi.

2. 0 < KK 0,20, korelasi sangat rendah/lemah sekali.

3. 0,20 < KK 0,40, korelasi rendah/lemah tapi pasti.

4. 0,40 < KK 0,70, korelasi yang cukup berarti/sedang.

5. 0,70 < KK 0,90, korelasi yang tinggi/kuat.

6. 0,90 < KK < 1,00, korelasi sangat tinggi; kuat sekali, dapat diandalkan.

7. KK = 1, korelasi sempurna.

Jenis-jenis Koefisien Korelasi

68 | S t a t i s t i k a 2

Jenis-jenis koefisien korelasi yang sering digunakan adalah koefisien korelasi

Pearson, koefisien korelasi Rank Spearman, koefisien korelasi Konteingensi, dan

koefisien penentu (KP).

Koefisien Korelasi Perason

Koefisien korelasi ini digunakan untuk mengukur keeratan hubungan

antara dua variabel yang datanya berbentuk data interval atau rasio. Disimbolkan

dengan r dan dirumuskan:

Nilai dari koefisien korelasi (r) terletak antara -1 dan +1 .

1. Jika r = +1, terjadi korelasi positif sempurna antara variabel X dan Y.

2. Jika r = -1, terjadi korelasi negatif sempurna antara variabel X dan Y.

3. Jika r = 0, tidak terdapat korelasi antara variabel X dan Y.

4. Jika 0 < r < +1, terjadi korelasi positif antara variabel X dan Y.

5. Jika -1 < r < 0, terjadi korelasi negatif antara variabel X dan Y.

Koefisien Korelasi Rank Spearman

Koefisien korelasi ini digunakan untuk mengukur keeratan hubungan

antara dua variabel yang datanya berbentuk data ordinal (data bertingkat).

Disimbolkan dengan rs dan dirumuskan:

Koefisien Penentu (KP) atau Koefisien Determinasi (R)

Apabila koefisien korelasi dikuadratkan, akan menjadi koefisien penentu

(KP) atau koefisien determinai, yang artinya penyebab perubahan pada variabel Y

yang datang dari variabel X, sebesar kuadrat koefisien korelasinya. Koefisien

penentu ini menjelaskan besarnya pengaruh nilai suatu variabel (variabel X)

terhadap naik/turunnya (variasi) nilai variabel lainnya (variabel Y). Dirumuskan:

69 | S t a t i s t i k a 2

KK = koefisien korelasi

Nilai koefisien penentu ini terletak antara 0 dan +1 . Jika koefisien

korelasinya adalah koefisien korelasi Pearson (r), maka koefisien penentunya

adalah:

Dalam bentuk rumus, koefisien penentu (KP) dituliskan

VI. HUBUNGAN KOEFISIEN KORELASI DENGAN KOEFISIEN REGRESI

Antara koefisien korelasi (r) dan koefisien regresi (b), terdapat hubungan.

Hubungan tersebut dalam bentuk rumus dituliskan:

VII. PENDUGAAN DAN PENGUJIAN HIPOTESIS KOEFISIEN KORELASI

POPULASI ( )

Koefisien korelasi populasi dari variabel X dan Y yang keduanya merupakan

variabel random dan memiliki distribusi bivariat, dirumuskan:

70 | S t a t i s t i k a 2

Dalam prakteknya, koefisien korelasi populasi ( ) tidak diketahui, namun dapat

diduga dengan koefisien korelasi sampel (r). Dengan demikian, r merupakan penduga

dari .

Pendugaan Koefisien Korelasi Populasi

Pendugaan koefisien korelasi populasi (interval keyakinan ) menggunakan

distribusi Z. Pendugaannya dapat dilakukan dengan terlebih dahulu mengubah

koefisien korelasi sampel r menjadi nilai Zr, yang dalam bentuk persamaan

dituliskan:

Dengan melakukan transformasi nilai , maka diperoleh pendugaan

interval bagi koefisien korelasi populasi ( ) dengan tingkat keyakinan .

Selain menggunakan pendugaan interval , interval bagi koefisien

korelasi populasi ( ) dapat pula dibuat dengan menggunakan tabel hubungan

antara Zr dan r.

VIII. Regresi Dan Korelasi Linier Data Berkelompok

Regresi Linier Data Berkelompok

Untuk data yang tersusun dalam distribusi frekuensi bivariabel (data

berkelompok dengan dua veriabel), persamaan regresi linearnya berbentuk:

71 | S t a t i s t i k a 2

Keterangan:

M = rata-rata hitung sementara, biasanya diambil titik tengah dengan frekuensi

terbesar.

ix = interval kelas X

iy = interval kelas Y

fx = frekuensi kelas X

fy = frekuensi kelas Y

Koefisien Korelasi Linier Data Berkelompok

Untuk data yang tersusun dalam distribusi frekuensi bivariabel, koefisien

korelasinya dirumuskan:

Contoh soal:

Fayyadhil Alwi dalam rencana membangun hotelnya melakukan tes

Masuk kepada calon- calon pegawainya. Pegawai yang akan dites

berasal dari tingkat umur yang berbeda-beda. Hasilnya adalah sbb:

No. Umur Nilai Tes

1

2

3

4

23

25

27

29

70

75

80

85

72 | S t a t i s t i k a 2

5

6

7

8

9

10

22

31

24

28

26

20

65

90

70

85

80

6

Soal:

1. Tentukan nilai b1 dan bo !

2. Jika hipotesis penelitian menyatakan bahwa umur calon pegawai

berpengaruh terhadap nilai tes masuk, ujilah hipotesis tersebut !

dengan uji statistik “t”

Jawab :

1. Umur sebagai variable X dan Nilai Tes sebagai variable Y

No. X Y XY X2 Y

2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

23

25

27

29

22

31

24

28

26

20

70

75

80

85

65

90

70

85

80

60

1610

1875

2160

2465

1430

2790

1680

2380

2080

1200

529

625

729

841

484

961

576

784

676

400

4900

5625

6400

7225

4225

8100

4900

7225

6400

3600

255 760 19670 6605 58600

73 | S t a t i s t i k a 2

∑xy = XY –

(X)(Y) = 19670 –

(255)(760) = 290

10 10

∑x2 = X

2 –

(X)2 = 6605 –

(255)2 102,5

10 10

∑y2 = Y

2 –

(Y)2 = 58600 –

(760)2 840

10 10

b1 = ∑xy =

290 = 2,829

∑x2 102,5

bo = Y – b1 . X = 76 – (2,829) ( 290)

bo = 76 – 72,1395 = 3,8605

Sxy = √ ∑y2

– b1.∑xy = √ 840 (2,829)(290)

n – 1 – k 10 – 1 – 1

√ 840 – 820,41

=

15648

8

Sxy = √2,44875 = 1,5648

Sb1 = Sxy √ 1 = (1,5648) √ 1

∑X2 1025

= (1,5648) (0,09877)

= 0,1545

Persamaan Regresi Liniernya adalah sebagai berikut:

Y = bo + b1 . X

Y = 3,8605 + 2,829 X

(0,1545)

1. Ho : ß = 0

H1 : ß ≠ 0

74 | S t a t i s t i k a 2

uji “t”

th = b1 = 2,829 18,4

Sb1 0,1545

Nilai t tabel dgn taraf signifikansi 5% dan derajat kebebasan 8 (10-1-1)

adalah 2,306. Karena th > t tabel maka Ho ditolak dan H1 diterima dan

hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa umur calon pegawai

berpengaruh terhadap nilai tes masuk adalah dapat diterima.

75 | S t a t i s t i k a 2

Uji Hipotesis Regresi Majemuk (2 Variabel Bebas)

I. Menghitung Pesamaan Garis Regresi Linier Ganda

Analisis Regresi Linear Berganda adalah hubungan secara linier antara dua

atau lebih variabel independen (X1, X2,...Xn) dengan variabel dependen (Y).

Analisis ini untuk mengetahui arah hubungan antara variabel independen

dengan variabel dependen apakah masing-masing variabel independen berhubungan

positif atau negatif dan untuk memprediksi nilai dari variabel dependen apabila nilai

variabel independen mengalami kenaikan atau penurunan.

Adapun contoh persamaan regresi linear berganda adalah:

Y = a + b1.X1 + b2.X2

Keterangan:

Y = Variabel Terikat

X1 dan X2 = Variabel Bebas

a = Intersep

b1 dan b2 = konstanta

II. Uji F

Uji F digunakan untuk mengetahui pengaruh variabel bebas secara bersama-

sama (simultan) terhadap variabel terikat. Signifikan berarti hubungan yang terjadi

dapat berlaku untuk populasi.

Penggunaan tingkat signifikansinya beragam, tergantung keinginan peneliti,

yaitu 0,01 (1%) ; 0,05 (5%) dan 0,10 (10%).

Hasil uji F dilihat dalam tabel ANOVA dalam kolom sig. Sebagai contoh, kita

menggunakan taraf signifikansi 5% (0,05), jika nilai probabilitas < 0,05, maka dapat

dikatakan terdapat pengaruh yang signifikan secara bersama-sama antara variabel

bebas terhadap variabel terikat.

Namun, jika nilai signifikansi > 0,05 maka tidak terdapat pengaruh yang

signifikan secara bersama-sama antara variabel bebas terhadap variabel terikat.

76 | S t a t i s t i k a 2

III. Uji T

Uji t digunakan untuk menguji secara parsial masing-masing variabel. Hasil

uji t dapat dilihat pada tabel coefficients pada kolom sig (significance). Jika

probabilitas nilai t atau signifikansi < 0,05, maka dapat dikatakan bahwa terdapat

pengaruh antara variabel bebas terhadap variabel terikat secara parsial.

Namun, jika probabilitas nilai t atau signifikansi > 0,05, maka dapat dikatakan

bahwa tidak terdapat pengaruh yang signifikan antara masing-masing variabel bebas

terhadap variabel terikat.

IV. Koefisien Determinasi (Adjusted R Square)

Uji ini bertujuan untuk menentukan proporsi atau persentase total variasi

dalam variabel terikat yang diterangkan oleh variabel bebas.

Apabila analisis yang digunakan adalah regresi sederhana, maka yang

digunakan adalah nilai R Square. Namun, apabila analisis yang digunakan adalah

regresi bergenda, maka yang digunakan adalah Adjusted R Square.

Hasil perhitungan Adjusted R2 dapat dilihat pada output Model Summary. Pada

kolom Adjusted R2 dapat diketahui berapa persentase yang dapat dijelaskan oleh

variabel-variabel bebas terhadap variabel terikat. Sedangkan sisanya dipengaruhi atau

dijelaskan oleh variabel-variabel lain yang tidak dimasukkan dalam model penelitian.

77 | S t a t i s t i k a 2

Langkah-langkah penyelesaiannya:

o Variabel bebas dan variabel tak bebas

Variabel Bebas : X1 = Harga minyak goreng dan X2 = Pendapatan

konsumen

Variabel Tak Bebas : Y = Permintaan minyak goreng

o Persamaan regresi linear berganda : Y' = a + b1X1 + b2X2

o Menentukan nilai konstanta dan koefisien regresi

Sehingga :

78 | S t a t i s t i k a 2

Khusus untuk parameter b1 data adalah dalam ribuan, sehingga hasil tersebut

harus dibagi dengan 1000, diperoleh b1 = -0,000582 = -0,001.

Jadi persamaan Regresi Linear Berganda dengan dua variabel bebas adalah :

Y' = 12,7753 - 0,001 X1 - 0,488 X2

V. Interpretasi koefisien regresi

Nilai a = 12,7753 artinya jika tidak ada harga minyak goreng dan pendapatan

konsumen, namun permintaan akan minyak goreng sebanyak 12,7753.

Nilai b1 = -0,001 artinya jika harga minyak goreng meningkat satu rupiah maka

akan terjadi penurunan permintaan sebesar 0,001 satuan dimana pendapatan

konsumen dianggap tetap.

Nilai b2 = - 0,488 artinya jika pendapatan konsumen mengalami kenaikan sebesar

satu rupiah maka akan terjadi penurunan permintaan gula sebesar 0,488 satuan

dimana harga gula dianggap tetap.

Menghitung Koefisien Determinasi

Artinya sekitar 94,21% variasi variabel bebas harga minyak goreng X1 dan

pendapatan konsumen X2 dapat menjelaskan variasi variabel tak bebas

permintaan minyak goreng Y.

Menghitung Koefisien Korelasi Berganda

Artinya terjadi hubungan yang sangat kuat antara variabel bebas harga minyak

goreng X1 dan pendapatan konsumen X2 dengan variabel tak bebas

permintaan minyak goreng Y.

Menghitung Nilai Standart Error Estimate

79 | S t a t i s t i k a 2

Jadi standart error persamaan regresi adalah 0,6818, hal ini menunjukkan

penyimpangan data-data terhadap garis persamaan regresi linear berganda

yang terbentuk. Nilainya cukup kecil.

Menghitung Nilai Korelasi Parsial

Dimana :

80 | S t a t i s t i k a 2

DAFTAR PUSTAKA

Budiarto, Eko. 2011. Biostatistika untuk Kedokteran dan Kesehatan Masyarakat. Jakarta :

EGC

Edya, Mudyahardjo. 1984. Metode-metode Riset Sosial. IKIP Bandung.

Hadi, Sutrisno. 1981. Statistik. Yayasan penerbitan fakultas psikologi UGM. Yogyakarta

John, W Bes. 1982. Metodologi Penelitian Pendidikan, Usaha Nasional, Surabaya.

Kartono, Kartini. 1990. Pengantar Metode Riset Sosial. CV Mandar Maju. Bandung.

Supranto, J. 2001. Statistik Teori Dan Aplikasi. Jilid 2. Edisi 7. Jakarta: Erlangga

Supranto, J. 2009. Statistika. Jilid 1. Jakarta: Erlangga

Supranto, J,. 2009. Statistk Jilid 2. Jakarta: Erlangga.

http://magisterakutansi.blogspot.co.id/2012/12/statistik-deskriptif-dan-induktif.html

http://norwitaariany.blogspot.co.id/2011/02/pengertian-statistika.html

http://adiputrasimanjuntak.blogspot.co.id/2015/07/pendekatan-probabilitas-klasik-relatif.html

http://dedenstatistics.blogspot.com/2012/12/variabel-acak- random-

variable.html#wWGO4upYwWmhgetl.99

http://rahmadwijaya.staff.umm.ac.id/files/2010/11/DISTRIBUSI-SAMPLING.pdf

http://antho-765.mhs.narotama.ac.id/2012/05/04/makalah-singkat-mengenai-estimasi-tugas-

mata-kuliah-statistik-bisnis-oleh-bpk-i-putu-artayase-mm/

http://elearning.gunadarma.ac.id/docmodul/statistika_untuk_ekonomi_dan_bisnis/bab10_esti

masi_statistik.pdf

https://statinworld.wordpress.com/category/uji-chi- square-2/

http://statdasleni.blogspot.co.id/2014/11/pengujian-hipotesis- dengan-regresi.html

https://suhartoumm.wordpress.com/2013/12/25/uji-hipotesis- koefisien-korelasi- dan-regresi-

sedrehana/

http://dataolah.blogspot.co.id/2012/08/regresi-berganda- uji-f- uji-t- dan.html