Mihai Monea

Steluta Monea

loan $erdeanAdrian Zanoschi

Bacalaureat 201 I

M st-nat-,

M tehnologic

Teme recapitulative

40 de teste, dupd modelu! M.E.N.(10 teste fdrd solutii)

Matematice

Editura Paralela 45

Cuprins

Enunfuri Solulii

Clasa a XI-al. Matrice... 69.........226

2. Determinanii................. 76""""'2273. Aplicalii ale determinantilor in geometrie ...... 81 """"'2274. Inversa unei matrice. Ecua(ii matriceale.. """'84""""'2285. Sisteme de ecualii liniare 89""""'2296. Probleme de sintezi - algebr[.... "95 """"'2307. Limite de frrnc1ii. Asimptote ........99.........233

8. Funclii continue ..'.'.104.........2339. Derivata unei funcfli 109.........234

10. Rolul derivatelor de ordinul I gi de ordinul al Il-lea in studiulfuncfiilor.... LI6..'...'..2351 1. Probleme de sintezl - analizd matematicI. . 120 -..-'.'.'236

Clasa a XII-a1. Legi de compo2i1ie................ .....123.........23g2. Structuri algebrice. Morfisme ....12g.........23g3. Polinoame ................. 133........2394. Probleme de sintezl - algebr[.... 140.........2395. Primitive I$._.......2416. Integrala definit6...... 149.........2427. Aplica{ii ale integralei definite..... t53.........2438. Probleme de sintez[ -analizd,matematicd, ....15g.........244

TESTE PENTRU BACALAUREAT 2018, DUPA MODELUL M.E.N.1. Monnlp DE TEsrE REzoLvATE pENTRU EXAMENUL DEB.tcar,.r.unrAT 2018...... .........:......... 163.........2462. $onrln DE TEsrE pRopusE rENTRU EXAMENuL DEB.rcar,,lunnAr 2018...... ................... 201

Bibliografw .................269

reca p itu lativeTeme

Clasa a lX-at. Mullimi gi elemente de logicd matematici

1.1. ttlotiuni teoretice

l.l.l. Elemente de logici matematiciDefrni{ie: Se numeqte propozifie un enunt despre care gtim care este valoarea sa deadev[r.

Definifie: Se numegte predicat un enunt care depinde de una sau mai multe variabilegi care se transf,ormi in propozilie prin valori date variabilelor.

Variabile Operatie Notatie Citire Valoare de adevirp Negatia -p non p Opus[ propoziliei p.

Prq Conjuncfia p^q pqLq Este adev[rat6 cdnd propoziliile psi c sunt adev[rate.

P,Q Disjunclia pvq psatq Este adev[ratl cirl.d cel pu{in unadintre propozitii este adevdratd,.

1 P,Ql

Implicafia p-+q p implicdq Este fals5 c6rnd p este adeviratd gi

a falsd.

P,Q Echivalenta pQq p echivalentqtq

Este adev6rati cdnd ambele au

aceeaqi valoare de adevlr.

Variabile Operatie Notatie Citire Observatii

p(x) PropozifiauniversalI

Yx, p(x) Pentru orice xareloc p(x).

Demonstrarea valorii de adevdrse face prin calcule cu caractergeneral qi nu prin exemplu. Unexemplu poate fi suficientpentru a demonstra cE aceastiorooozitie este fals6.

5

. Clasa a lX-a

p(x) Propozi{iaexistenfial[

3x, p(x)Existii x astfelincdt are locp(x).

Demonstrarea valorii de adevlrse realizeazi prin determinareaunui exemplu. Acesta poate fichiar ghicit, dar trebuie verificatcd este convenabil.

1.1.2. Tipuri speciale de ralionamentMetoda reducerii la absurd: Pentru a demonstra o implicafie de tipul P + Q, putem

presupnne concluzia p ca fiind falsl gi apoi impreunl cu ipoteza construim unrationament care conduce la contradicfie.Metoda induc{iei matematice: Se aplici pentru propozilii universale de forma

Yn) tto, p@). Se verific[ valoarea de adevlr a propozifiei ob{inute in cazsl n = no, se

presupune ca fiind adevirat[ propozilia obfinuti in cazul n=k ;i se demonstreazd

valoarea de adevir a propoziliei ob(inute pentu n -- k +1.

1.l.3.Mullimigicardinals,

Relatie sau oneratie Notatie Definitie

Incluziunea Ac. B Ac.B <a(V.re A=xe B)

Esalitatea A=B A=BeAc.B si BcAIntersecfia AnB AnB:{xlre Axxe Bl

Reuniunea AvB AvB={rlxe Av xe B}

Diferenla A\B A\B ={xlxe A nxe B}

Produsul cartezian AxB A*A={(o, b)lae Axbe B}

Teoremi: Orice mullime A cur elemente, unde ze N, admite 2' submullimi.

Defini{ie: Pentru o mullime fiiitd A numim cardinalul sdu 9i notlm Card(A)

num[ru] slu de elemente.Proprietiifi: Sunt adevilrate urm[toarele proprietS{i:

Pl. Card (A\:0 dacl9i numai dacdA: A;P2.Dacd A c,B, atunci Card (B - A): Card (B) - Card (A);P3. Card (AwB)=Card (A)+Card(.B)-Card (AaB);P4. Card (Ax B) = Card (A)' Card (B).

1.1.4. Mullimea numeretor reateIR

Defini{ie: Numim modulul unui num[r real x gi notSm lxl distan]a de la originea

axelor lapozigianumSrului pe ax[.Proprietlfle modulului:rt. lxl

> 0, V xe IR; P2. lrl= 0 e x = 0;

6

rr. lxl=lyl= x=!y;

1. Mullimigielemente de logicd matematic6

nl. lxl <c, c)0 <+ xe (-c; c); fS. lxl ) c, c)0 <+ xe (--; -c)u(c; -);*- ,, [x, dac[x>0 . ,-.., lE(r\, dacaE(x)>0n6' lxl=

l-r,au.a r. o qi lE(')l= 1-r,rl, au.a r(r). o' pentru orice expresie

E(-r), xe )R;

n.l*.yl=lrl.lyl, V x,ye lR; rt. lx'l=lrl', V xe 1R, YneZ;

- Iil=ffi, o xe IR,.ye IR.; p10.

llrl-lyll< l*tyl<l,l+l-r,1, vx, ye iR.

Definifie: Numim parte intreagi a numSrului real x gi not6m pr] cel mai mare numdrintreg, mai mic sau egal cu x.Proprietfl{ile pirfii intregi: Pentru orice xe IR., au loc proprieti{ile:Pl. [x]=r(+ xeZ; P2.lx)=keZ (+r€ [k,k+l);P3.lm*xl= m+fxf,Y meZ; P4. x-I<[x]<x<[x]+1.Defini(ie: Numim parte fracfionar[ a num[rului real x gi notim {.r} diferenla dintre

numir gi partea sa intreagl.Proprietl,tile pir,tii frac{ionare: Pentru orice xe IR, au loc propriet[tile:

rt. {x}=0(+ xeZ; tz.{x}e [O,t); P3.{m+x}={x},V meZ.

1.2. Probleme de iniliere11. Determinali num[ru] de submullimi ale mullimii A : ta, b, c, dr.12. Determinali numlrul de submullimi nevide ale mullimii A: {o, b, c, d, e\.13. Reuniunea a doui mulfimi cu cdte 20 de elemente fiecare are 30 de elemente.

Determinati numdrul de elemente comune ale celor doud mulfimi.

14. Stabilili valoarea de adevir apropozitiei: p :(.6+t)' +(..6-r)'. x.

15. Fiepropozitiile p : 2 + 2 :5 qi 4 : I + 2 +3 + ... + 100 : 5050. Precizati valoa-rea de adevdr a propozifiei p, q.

16. Determina1i numerele reale a, b dacd avem egalitatea de intervale:

[a-b;a*bl:[l;71.17. Fie A: {1,2,3,4, 5}. Determina{i numdrul de elemente ale mullimii:

B : {*e R lx : (n - l). (n -2)(n -3) + 4, n e A}.

18. Determinali intersecfia mul{imilor A=(1, 5) 9i B = [:, t t].

19. Ar[ta1i cI numdrul a:2 . [0,(3) + 0,1(6)] este natural.

110. Rezolva{i in IR ecua{ia lx -21: 5.

7

Enunturi.ClasaalX-a

1.3. Probleme de consolidare

Cl. Fie mullimea A: {a, b, c, d}. Determinali numlrul de submullimi ale lui Icare il con(in pe d.

C2. O mullime admite 31 de submullimi nevide. Determina{i num[ru] de elemente

ale acestei mullimi.

C3. Dou[ mullimi cu cAte 2008 elemente fiecare au 1000 de elemente comune.

Determinafi num6rul de elemente ale reuniunii 1or.

c4. Fie mullimea A: {I,2,3, 4\. Determinafi numdrul de submullimi care con(in

simultan pe I gi pe 3.

C5. Considerlm propozi(iile p :2t > 5' ;i q , Jl ,2.Preciza[ivaloarea de adevir

apropoziliei pnq.| .zl 6 .z\.C6. Determinafi elementele mutlimii lx l5x+t )

C7. Determina{i toate valorile reale ale numdrului x dacd2 e (4x - 2;2x + 6).

C8. Elevii unei clase sunt angrena\iftecare intr-o activitate sportivE,12lavolei, iar

25 la fotbaL gtiind c[ 7 dintre ei practici ambele sporturi, determinati numlrul

de elevi ai clasei.

C9. Determinafi cel mai mare num[r natural al mul{imii A\8, dacd,4 : [5, 6] 9i

B: [5, l0].C'10. Oetermina[i cdte elemente intregi con{ine mullimea Av B, :urrde A: (-2, 3) 9i

.B: (0, 5).

Cl 1. Ordonafi crescdtor numerele a:2,010, b:2,0(10) 9i c : 2,(010).

Cl2. Determinali cardinalul multimiil : {*.rlJ=.uI.L lr-3 )

CI3. Fie numirul rational ll : 1, a1a2...an... . Calcula{i P : ar ctz' ...' arc.'9

C14. Fie num6ru1 rational E :2, a1a2...an.... De cflte ori apare cifra 3 printre'6cifrele ob o2, ..., azooc?

C15. Se considerl num[ru] rational ? : O, o1a2.. 'an... . Calcula{i:'15,S: ar * a2* ... * azns.

Cl6. neterminafi cardinalul mullimii (,4 \ B) a Z, :urrrde A : (-3, 4f, iat B : (1, 51,

I

1. Mulfimi 9i elemente de logicd matematicd

C17. Fie numerele o: Jgl - J-n - .6' qi b: $62 + Jrs + Jn. Calculali

media geometricl a numerelor a 9i b.

C18. Rezolva{i in IR ecualia ll -2xl: l, + 41.

Cl9. oemonstrafi cr num[ru] l, - .6l .l, - ..6l este numrr natural.

C20. Rezolvali in Z ecualia llx - Zl=11 .

c21'.calcula{i [T].{+}, unde [x] ri {r} rcprezintd partea irnreasd,respectiv

partea fracfionar[ a num[rului tealx.

C2t . Determinafi parteaintreagl a numdrului o = Jfi .

C23'. Determina{i parteafracfionar[ a numdrului 6=JX +JN .

C2t.Se considerd num[ruI,4 : @ 1f + "[@ -1Y . Demonstra]i cd.4 e N.

C2l..fuatati cdA: -I -* -l -*...*---J-- estenum[rnatural.Jl +,12 J2 + J3 J99 + r/100

C26'.Demonstra( i egalitatea [16. Jrt] = [J4 * Jr], unde [x] reprezintd partea

intreagi a numlrului realx.

C27' .Demonstrafi prin induclie matemati cd cd, oricare ar fr n € N*, are loc egalita-

tea: 1+ 2+3 +...+ n -n(n+l)

C2S.. Demonstrafi prin inducfie matematicf, c6, oricare at fi' n e N*, are loc

egalitatea:11 ln

1.3 ' 3.s ' "' ' (2"-t)(2n +1) 2n+t'

Cn' .Demonstrafi cr numlrut rE + rfr este ira{ional'

C30.. Aritafi c6, pentru orice numdr natural z diferit de zero,

ireductibili.

2n -ltractta

- este' 2n+l

I

EnunturioClasaalX-a

1.4. Teste de verilicare

Testul 1

1. oeterminali elementele mullimri AaB dacd A= (2003, 2015) si n=(2014, 2016) .

2. Calculali suma l-:l+l-sl'2.3. StaUit4i valoarea de adevdr a propoziliei p : Ja+.60 = JA+ .

4. Clrte submu{imi ale mullimii A={2, 3, 4, 5, 6} conlin doar numere impare?

5. ordonali crescdtor numerele o = J-4 - 4, b = Jg -g gi c =.,G-t6.6. Demonstra{i c[ numarut ,q=(2*.6)' *(2-..6)'

"rt. natural.

Testul 2*

1. Determinali cel mai mic numdr intreg al mullimii AnB dacd A=(2f1Q2016) 9i

B=(20t3,2020).

2. Determin a\iparteaintreag[ a numdrului , = fr'+ Jig - Jt.3. Se considerl predicatul p(x),21*1, unde x€N*. Demonstra{i cd propozilia

2x

3 xe N*, p(x)e N este fals[.

4. Comparatinumerele a=S'll qi b=3J1.5_

5. Numdrul rational 1=l,araror...an... . Calcula{i suma q + a2 + a3 + ...+ azot4.

6. Demonstra{i prin induc}ie matematici cd egalitatea 1+2+22 +...+2n -2n+t -l'este adevlratS pentru orice re N.

2. $iruri. Progresii

2.1. Noliuniteoretice

2.1.1. $iruriTerminologie:o Vom nota cu (r, )**. mullimea termenilor girului;

o x,reprezinti al n-lea termen al girului.

Forme de prezentare:o Prin enumerarea termenilor, de exemplu qirul 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, ...;

10

2. $iruri. Progresii

o Prin formula termenului general, de exemplu girul x, ==,n e N';" 3n+4'lx.=2

o Prin formuld de recuren![, de exemplu Ut-, 1r,., =3xn _2.

Ll.2. Progresii aritmeticeDefinilie: Se numeqte progresie aritmeticl un $t de numere cu pnoprietatea cIfiecare termen incep6nd cu al doilea se obqine din precedeaul admrind aceeagi

cantitate constantd numitd rali e.

Propriet[{i: Fie (a,)^*. o progresie aritmeticd cu ratia r. Atunci:

Pl. an*r=a, lr,PentruOricen eN-;P2. a,=ar*@-l)r,Pentruoricen e N*;

P3. a, =%+ra, pentru oriceneN., 2 2 2 ;

P4.Dac[ S,=ar+ a2+...*an, atunci r,-(o'*:')n .

2.1.3. Progresii geometriceDefinifie: Se numeqte progresie geometrici un qir de numere nenule cu proprietatea

cI fiecare termen incepdnd cu al doilea se obfine din precedentul prin inmullirea cu

aceeagi cantitate constant6 n;mitd ralie.Proprieti(i z Fie (b,),.^. o progresie geometricd cu ralia q. Atunci:

Pl. b,*t=b,q, pentru oriceze N-;

P2. b, = brQ"-t , pentru orice n e N* ;

W. 4 =b,-tb,*r, Pentru oricene N-, zl ) 2 ;

P4. Dacd S, = b, + b2 + ...+ b, li q# 1, atunci S, =4 !q-r

2.2. Probleme de iniliere

11. Fie (.r,),.^- *n gir de numere oarecare astfel incdt *,=#, pentru orice

z e N* . Calcula{i x1s.

12. Determinati primul termen al progresiei aritmetice ab az, 13, 17 , 2l , . . . .

13. intr-o progresie aritmetic[ cu ralia 3, avem at = 2 . Calculali as .

14. intr-o progresie aritmetic[ cu ralia 5, avem aB = 70 . Calculali ar.

15. intr-o progresie aritmeticd cu ralia 4, avern a6 = -13 . Calcula(i a,o .

11

EnunturioClasaalX-a

16. intr-o progresie aritneticl cu a, = 7 , ayetrt at = 25. Determinati rafia progresiei.

17 . intr-o progresie geometricl cu ra{ia -1, avem br = 5 . Calc:ulali broro -

18. intr-o progresie geometric[ cu ra{ia 2, avem bt = 56. Calculafi bu .

lg. intr-o progresie geometricl cu ra{ia ), uu"* bt = 64 . Calcrrla\i b., .

I 1 0. intr-o progresie aritmetici, avem ar = 2 $i aro = 98. Calculafi sumal

ar + a2 + a3 + .,.+ azo.

2.3. Probleme de consolidate

Cl. Fie (x,)^*. * gir astfel incdt x,="1, pentru oice neN.. Calcula{i suma

4+ X3+ x5+ x7.

C2. Fie (x, )** un gir astfel incdt xn = 4n -3, pentru orice n e N- . Determinafi al

cdtelea termen al ;irului este numlru] 37.

C3. intr-o progresie aritmet ici- (an),21, a.Yatr a5 : 24 gi ae : 7 6. Calculali a7 .

C4. intr-oprogresie aritmeticd(a,)n t,dYarYta2:'7 Sials: 15. Calculalia2sss.

C5. Fie (a,)o21o progresie aritmetic[ de rafie 2,in care a3l aa: 8' Determina\i av

C6. Stabilifi dac6 numdrul 2007 apar\ine progresiei aritmetice 2,7,12,17 , ... .

C7. Determinati primul termen al unei progresii geometrice 4,b2, 18, 54, 162, ... .

C8. intr-o progresie geometricd" (an)n-1, cu ra{ia negativi, &Yatr, a2: 3 li aq: 147.

Determinafi a3.

C9. Determinafi num[rul real x, gtiind c[ numerele 2, x qi x * 4 sunt in progresie

aritmetic6.

C10. intr-o progresie geometricl (a,)n r, zYerr. ay: 5 qi a5 : 40. Determina[i a1.

Cl1. intr-o progresie geometric[ cu termeni pozitivi, suma primilor doi termeni este

4, iar a urmitorilor doi termeni este 36. Determinafi primul termen al

progresiei.

C12. Demonstra{i c6, oricare ar fr x e IR, numerele x - l, 2x + 3 9i 3x * 7 sunt

termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice.

C13. leterminafi num[rul real pozitiv x, gtiind cd x, 6 Si x - 5 sunt in pro$resie

geometric6.

12

C14. Calcula{i suma | + 4 +7 + l0+ 13 +'.. +28 + 31'

Cl5. Calculafi suma primilor 30 de termeni ai progresiei aritmetice (a,),1, dacd

a+- az: 4 $i q * a3 * a5 * a6: 30.

CI6. Oetermina{i primul termen al progresiei geometrice cu termeni pozitivi b1, 6,

b3,24, ... .

C17. intr-o progresie geometricd (a,)n r, BVeIII dl * az:5 9i a2 * a:- 20. Calcula{i

SU[I& a1 * a2* a3.

CI8. lntr-o progresie aritmetici (an),rr, cu ralia 2, suma primilor 9 termeni este 351'

Determinali primul termen al progresiei.

C19. Numerele reale pozitive a, b, c, d sunt in progresie geometric[. DacL d - a: 7

Si c - b:2, aflali ra{ia Progresiei.

C20. Calculali suma 2 + 22 + 23 + ... + 2e .

C21-. intr-o progresie aritmeticd (an),4, ilvorl a2ss6 :2atoos. Calculali a3'

C2t .intr-o progresie geometricd (an)n21, zyetrt a2ss6: 3 qi a2s1e : 12. Calqtlali 42s03.

Cz}..Calculafi suma primilor 20 de termeni ai progresiei aritmetice (an)n>r, ctt

proprietatea a6 * as * a12 * ars: 30.

c2c. intr-o progresie geometrici (an),r, formatE din numere reale, avem

a 2ss6o2ss7 a2sos : 27 - D etetmina\i a2os7'

C25'. Un triunghi are misurile unghiurilor A, B, C in progresie aritmetic[. Deter-

minafi misura unghiului B.

C26..Se considerb numerele reale nenule a, b. De asemenea, se considerd numerele

x : a2, ! : ab $i z = b2, aflate in progresie aritmeticd in aceasti ordine.

Demonstrafi cd a: b.

C27'.intr-o progresie aritmeticd (an),,-1, suma primilor 10 termeni este 55, iar suma

primilor 12 termeni este 78. Determinali 41.

C28..Se considera num[ru] real s: 1 + 1*1*. *f-. Demonstrafi c6 s e' 2' 22 ' "' ' 22008'

e (1,2).

C29-.Se considerd un gir de numere (r,),.*. definit prin 4 =2 $i x,*r=3x,+2,

pentru otice ne N- ' Demonstra[i c[ xn =3n - 1 pentru orice n e N* '

C30.. Pe o foaie sunt scrise numere naturale din trei in trei in aceastd ordine: 2; 5;8;

ll; 14;. .. . Stabili{i dacl num[ru] 2008 va apdtea pe aceastd foaie'

13