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 D ÉNOMBREMENT 

1. DénombrementAnalyse combinatoire est un

synonyme de dénombrement.

Le dénombrement s'emploie à étudier et à dénombrer divers types de groupements que

l'on peut faire à partir d'ensembles finis.

Il est né de l'étude des jeux de hasard et s'est fortement développé sous l'influence du

calcul des probabilités. Il est par ailleurs lié à la théorie des nombres et à la théorie des

graphes.

1.1. Deux principes fondamentaux du dénombrement

Principe des tiroirs

Un exemple simple

Un exemple plus subtil

« i vous dispose! d'une commode avec " tiroirs et que vous deve! ranger # pantalons$

alors au moins un des tiroirs contiendra au moins % pantalons. &

lus généralement$ si vous ave! n « tiroirs & à disposition pour y ranger n+k  « objets &$

alors certains « tiroirs & contiendront plus d'un « objet &.

(ans un village de )** habitants$ peut+on trouver deux personnes qui sont nées le m,me jour -pas forcément de la m,me année /

Ici$ les tiroirs représentent les jours de l'année et les objets les habitants. euls 0##

habitants peuvent avoir des dates de naissance différentes.

1n jette "2 miettes sur une table carrée de 2 m de c3té. 4ontre! qu'il y a toujours au

moins un triangle formé de 0 miettes dont l'aire vaut au plus %** cm%.

1n partage la table en " x " 5 %" carrés de %* cm de c3té6 comme il y a "2 miettes$ il

existe au moins 2 carré qui contient 0 miettes. Le triangle formé par ces 0 miettes a une

aire au plus égale à la moitié de l'aire du carré dans lequel il est inscrit$ soit %** cm%.

Principe de

décomposition

Exemple

i une opération globale peut se décomposer en k  opérations élémentaires successives$

ces derni7res pouvant s'effectuer respectivement de n2$ n%$ ...$ nk   mani7res$ alors

l'opération globale peut se faire de n28n%8...8nk  mani7res différentes.

Les localités  X  et Y  sont reliées par trois routes -a$ b et c et les localités Y  et  Z  par deux

routes -d  et e. 9ombien y a+t+il de trajets de  X  à  Z  en passant par Y  /

Il y a # -5 08% trajets possibles : -a$ d $ -a$ e$ -b$ d $ -b$ e$ -c$ d $ -c$ e.

(idier 4;ller + L9 + %*2" 9ahier robabilités

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% C  HAPITRE  1

1.2. Exercices d'échauffement

Exercice 1.1 < la fin d'une réunion d'anciens él7ves$ tout le monde se serre la main. 'il y a n personnes à la f,te$ combien de poignées de mains sont échangées /

Exercice 1.2 9ombien de diagonales contient un polygone convexe à n  c3tés -une diagonale reliedeux sommets non adjacents /

Exercice 1.3

 Indication

=ésolve! d'abord le probl7me

avec trois couleurs puis

réfléchisse! comment passer à

quatre couleurs.

>ttention aux doublons obtenus

 par rotation ?

Le jeu « @antrix & est composé de tuiles hexagonales sur lesquelles sont dessinés desrubans comme le montre le dessin ci+dessous. An ruban part du milieu d'un c3té pouraller vers le milieu d'un autre c3té. Il y a quatre couleurs en tout$ mais sur chaque tuilene figurent que trois rubans de couleurs différentes.

(e combien de tuiles différentes est composé un jeu complet /

Exercice 1.4* 

Chtea! de ca"te# et $e!%

a&o!"e!%$ par atricB 4artin

CCC.patricB+martin.com

Dous voule! construire un chEteau de cartes avecF

a. un jeu de "% cartes.b.  dix jeux de "% cartes.

9ombien d'étages aura votre chEteau / Le chEteau doit ,tre complet -en forme detriangle. Il est possible que l'on n'utilise pas toutes les cartes.

Exercice 1.5

ar « mot &$ on entend une

suite de lettres$ pas un mot du

dictionnaire.

9ombien de mots différents de G lettres alternant consonne et voyelle peut+on formerFa. si la premi7re lettre est une consonne /b. si la premi7re lettre est une voyelle /

@raite! deux cas : 2 on peut utiliser plusieurs fois la m,me lettre 6% on ne peut pas utiliser plusieurs fois la m,me lettre.

9ahier robabilités (idier 4;ller + L9 + %*2"