BAB - .momen inersia Selanjutn y ak ... atau b eragam sehingga momen inesrsia I merupak an fungsi

  • View
    241

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of BAB - .momen inersia Selanjutn y ak ... atau b eragam sehingga momen inesrsia I merupak an fungsi

BAB

Konsep Dasar

BAB

Solusi Persamaan Fungsi

Polinomial

BAB

Interpolasi dan Aproksimasi

Polinomial

BAB

Metoda Numeris untuk Sistem

Nonlinier

BAB

Metoda Numeris Untuk Masalah

Nilai Awal

BAB

Metoda Numeris Untuk Masalah

Nilai Batas

Suatu fenomena yang umum dibicarakan berkenaan dengan masalahnilai batas ini adalah dalam bidang teknik sipil Salah satu contohnyayaitu deeksi dari suatu balok persegi panjang yang kedua ujungnyatersanggah dengan kuat sehingga tidak mengalami perubahan Persa

S S

0 L

w(x)

x

maan difrensial dari fenomena ini digambarkan sebagai

dw

dx

S

EIw

qx

EIx L

dimana wwx adalah deeksi yang dialami balok pada jarak tertentux sedang L qE S dan I masingmasing menunjukkan panjang balokintensitas beban modulus elastisitas tekanan pada ujung balok danmomen inersia Selanjutnya karena ujung balok tidak mengalami perubahan maka deeksi tidak terjadi pada daerah ini sehingga PD order tersebut memenuhi sarat batas

w wl

BAB METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS

Fokus permasalahan sekarang berkenaan dengan ketebalan balok ituapakah balok itu mempunyai ketebalan yang sama uniform jika initerpenuhi solusi eksak dapat ditelusuri oleh solusi analitik dan EI akanmenjadi konstan Namun pada umumnya ketebalan itu tidak uniformatau beragam sehingga momen inesrsia I merupakan fungsi dari xyaitu I Ix sehingga dibutuhkanlah solusi numeris

Masalah nilai batas dalam hal ini akan direpresentasikan dengan persamaan

difrensial order dua dengan asumsi semua sistem persaamaan difrensial order p

dapat ditransformasikan kedalam order ini Secara umumpersamaan itu adalah

sebagai berikut

y fx y y a x b

ya dan yb

Teorema Bila suatu fungsi f dalam masalah nilai batas

y fx y y a x b ya yb

adalah fungsi kontinyu dalam himpunan

D fx y yja x b y y g

dan fy fy

juga kontinyu dalam D maka jika

fyx y y untuk semua x y y D dan

ada konstanta M denga j fy

x y yj M untuk setiap x y y D

masalah nilai batas diatas dikatakan mempunyai solusi tunggal

Contoh Masalah nilai batas berikut

y exy sin y x y y

BAB METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS

mempunyai

fx y y exy siny

Sekarang

f

yx y y xexy sebab x

dan

jf

yx y yj j cos yj M dimana M

sehingga masalah ini mempunyai solusi tunggal

Metoda Difrensi Terbatas untuk MNB li

nier

Jika fx y y disajikan dalam bentuk

fx y y pxy qxy rx a x b ya yb

maka persamaan difrensial y fx y y disebut MNB linier Selain itu disebut

MNB non linier

Selanjutnya untuk menerapkan metoda ini pertama kali kita pilih N dan

bagi interval a b menjadi bagian kecil grid kedalamN subinterval homogen

dimana xi a ih untuk i N dan h baN Perlu dicatat

bahwa untuk N maka h solusi numeris dengan metoda ini diharapkan

mengaplikasikan N sehingga solusinya benarbenar akurat menginterpolasi

yxi pxiy qxiy rxi a x b ya yb

BAB METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS

Perluas y dalam deret Taylor sampai order akan xi untuk xi dan xi

yxi yxi h yxi hyxi

h

yxi

h

yxi

h

yi

untuk xi xi dan

yxi yxi h yxi hyxi

h

yxi

h

yxi

h

yi

untuk xi xi Dalam hal ini y Cxi xi

Jumlahkan kedua persamaan dan sehingga diperoleh

yxi

hyxi yxi yxi

h

y yi

Dengan teorema nilai tengan diperoleh

yxi

hyxi yxi yxi

h

yi

untuk i xi xi ini disebut dengan rumus Difrensi Terpusat

Selanjutnya dengan mengurangkan kedua persamaan itu diperoleh

yxi

hyxi yxi

h

y

i

untuk i xi xi

Substitusikan dan ini kedalam maka

yxi yxi yxi

h pxi

yxi yxi

h

qxiyxi

rxi h

pxiy

i yi

Metoda difrensi terbatas dengan kesalahan pemenggalan Oh dapat di

sajikan bersama nilai batas ya dan yb yakni

w wN

BAB METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS

wi wi wi

h

pxi

wi wi

h

qxiwi rxi

h

pxi

wi h

qxiwi

h

pxi

wi h

rxi

dimana i N Kombinasi dari dan akan mengarah pada

pembentukan sistem linier

Aw b

dimana A adalah matrik tridiagonal w dan b adalah suatu vektor dengan entri

sebagai berikut

A

hqx hpx

hpx hqx

hpx

hpxN

hpxN hqxN

w

w

w

wN

wN

dan b

hrx

hpx

w

hrx

hrxN

hrxN

hpxN

wN

Algoritma metoda Difrensi Terbatas linier

INPUT a b nilai batas beta dan N

OUTPUT approksimasi wi untuk yxi dimana i N

BAB METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS

Step Set h b aN

x a h

a hqx

b hpx

d hrx hpx

Step For i N

set x a ih

ai hqx

bi hpx

ci hpx

di hrx

Step Set x b h

aN hqx

cN hpx

dN hrx hpx

Step Set l a Step adalah program untuk menyelesaikan sistem

linier tridiagonal

u ba

z dl

Step For I N

set li ai ciui

ui bili

zi di cizili

Step Set lN aN cNuN

zN dN cNzNlN

Step Set w

wN

wN zn

Step For i N set wi zi uiwi

Step For i N set x a ih

OUTPUT xwi

Step STOP Prosedur selesai

Contoh Gunakan algoritma metoda Difrensi Terbatas Untuk menyelesaikan

BAB METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS

masalah nilai batas berikut ini

y

xy

xy

sinlnx

x x y y

dengan N dan h

Penyelesaian Memahami bentuk persamaan linier itu dalam hal ini dapat

ditulis bahwa px x qx

xdan rx sinlnx

x Selanjutnya untuk xi

a ih maka

i x a h

i x a h

i x

i x

sehingga sebagian entri dari matrik A dan vektor w b dapat digambarkan sebagai

berikut

A

q p

p q p

p

p q

BAB METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS

w

w

w

wN

wN

dan b

r

p

r

r

r

p

Dengan menggunakan algoritma diatas diperoleh hasil dalam tabel dibawah

ini

xi wi yxi en

Tabel Data hasil simulasi Difrensi Terbatas Linier

Dibawah ini dapat dilihat visualisasi grak dari metoda Difrensi Terbatas untuk

interval domain x

BAB METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 21

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

o : Solusi eksak

: Solusi numeris

Gambar Interpolasi metoda Difrensi Terbatas

Metoda Difrensi Terbatas untuk MNB non

linier

Secara umum MNB non linier disajikan dalam bentuk

y fx y y a x b ya yb

Teorema MNB diatas dikatakan mempunyai solusi tunggal bila untuk in

terval domain

D fx y yja x b y y g

maka

f fy

dan fy

adalah fungsi kontinyu dalam D

fyx y y untuk sebarang

ada konstanta K dan L dimana

K maxxyyDjf

yx y yj L maxxyyDj

f

yx y yj

Selanjutnya sebagaimana halnya metoda Difrensi Terbatas pertama kali kita

pilih N dan bagi interval a b menjadi bagian kecil grid kedalam N

BAB METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS

subinterval homogen dimana xi a ih untuk i N dan

h baN

Kemudian kita ganti yxi dan yxi pada persamaan non linier

berikut

yxi fxi yxi yxi a x b ya yb

dengan rumus Difrensi Terpusat pada dan maka untuk i N

berlaku

yxi yxi yxi

h f

xi yxi

yxi yxi

h

h

y

i

h

yi

untuk sebarang i i elemen xi xi Demikian juga bila suku kesalahan kita

penggal maka diperoleh bentuk selengkapnya dengan nilai batas sebagai beikut

w wN

wi wi wi

h f

xi wi

wi wih

untuk i N

Sekarang sistem nonlinier N N yang diperoleh dari metoda ini adalah

w w hf

x w

w

h

w w w hf

x w

w wh

wN wN wN hf

xN wN

wN wNh

wN wN hf

xN wN

wNh

mempunyai solusi tunggal sepanjang h L

BAB METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS

Untuk mengaproksimasi solusi terhadap sistem ini akan digunakan metoda

Newton sebagaimana dijelaskan dalam bab dengan hasil berupa barisan bila

ngan fwk wk w

kN g yang diawali dengan memilih nilai awal fw

w

w

N g

Untuk sistem diatas dapat ditentukan Jacobia