06 Momen Lentur

  • View
    467

  • Download
    2

Embed Size (px)

Text of 06 Momen Lentur

16Momen LenturKL2203, Kelas 01S t II 2010/2011 Semester II 2010/2011Momen Lentur Murni (pure bending)2Tegangan akibat Momen Lentur0 : 0x xF dA o = = :z xM M y dA M o = =Deformasi akibat Momen Lentur00xy xzxy xz t t= == =3( )JKy y o p u pu u = = xy yLo ucpu p= = = mccp=m xycc c = Distribusi Teganganakibat Momen Lenturm x x xyEco c o o = = mm00xdAydA ydAc cooo=| | = = |\ . 0c cydA\ .=Garis netral melewati centroid penampang.4Distribusi Teganganakibat Momen Lentur( )2 mmxy dA MydA McMcIooo ===I = momen inersia penampangS = modulus penampang m ; M ISS co = =xMyIo = 5Kelengkungan (curvature)m m1 1Mcc Ec Ec Ic op = = =1 MEI p =p1/p = kelengkunganp = jari-jari kelengkungan (radius of curvature)Contoh 1 Suatu balok kantilever baja berukuran penampang 20 mm 60 mm dikenai momen di ujungnya seperti tergambar. Jika tegangan leleh baja diketahui sebesar 250 MPa tentukan nilaiM20 mm60sebesar 250 MPa, tentukan nilai momen M yang mengakibatkan balok mulai leleh.60 mm6Contoh 1 Gaya dalam momen: pada seluruh balok bekerja momen lentur M. Momen inersia penampang:( )( )334 41 120 6012 1236 10 mmI bh = == MM+ Tegangan:36 10mm = ( )( )46250250 36 103 10N-mm 3 kN-m30mMcIMo = == = =Contoh 2 Tinjau kembali balok kantilever pada Contoh 6.1. Tentukan tegangan tarik dan tekan maksimum akibat momen sebesar3 kN-m yang bekerja di ujung balok, jika penampang balok, j p p gberbentuk T seperti tergambar. Abaikan pengaruh fillet di ujung-ujung penampang.7 Tentukan lokasi centroid: = = = = 3333 210 114 300010 4 2 20 1200 30 40 210 90 50 1800 90 20 1mm , mm , mm Area,A y AA y y3114 10A y3114 1038 mm3000i iiA yyA= = = Momen inersia penampang (terhadap sumbu yang melewati centroid)( )2' x xI I Ad = +( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )3 23 23 4190 20 90 20 50 3812130 40 30 40 20 3812868 10mm= + + + = Tegangan tarik dan tekan maksimum: g g( )( )( )( )m6363 10 2276.0 MPa868 103 10 38131 3 MPaAMcIooo== == =3131.3 MPa868 10Bo= = 8Momen Lentur pada Penampang Kompositxycp= Kompatibilitas:Transformasi Penampang:Penampang Ekivalen Karena formula tegangan akibat momen lentur diturunkan untuk material homogen, maka penampang komposit harus diubah menjadi penampang ekivalen:Distribusi regangan harus sama tinggi penampang harus samaJari-jari kelengkungan harus sama.9Distribusi Tegangan pada Penampang KompositGaris netral tidak melewati centroid penampang komposit.Gaya pada Penampang Ekivalen11 1E ydF dA dA op= = Ey22 2EydF dA op= = 2 1 1211E E y E ydF dA n dAEE yndAp pp= = = 10Penampang Ekivalen Dianggap terdiri atas satu jenis material saja (salah satu material dijadikan material ekivalen, E*) Dibuat dengan mengubah lebar dari masing-masing material: Selanjutnya analisis tegangan akibat momen lentur dilakukan**iiEb bE= Selanjutnya analisis tegangan akibat momen lentur dilakukan seperti untuk penampang homogen, menghasilkan tegangan normal ekivalen, o*. Tegangan yang sebenarnya terjadi pada setiap material adalah:**iEEo o =Penampang EkivalenPenampangkompositPenampangekivalenTeganganekivalen, o*Teganganaktual, o11Contoh 3 Suatu balok kantilever kayu berukuran penampang 75 mm 200 mm diperkuat dengan menambahkan pelat baja setebal 6 mm di sisi atas balok seperti tergambar.2 kN/m3 mJika diketahui modulus elastisitas kayu adalah 12 GPa dan modulus elastisitas baja adalah 200 GPa, tentukan tegangan maksimum yang terjadi pada kayu dan pelat baja akibat beban merata 2 kN/m seperti tergambar.Contoh 3 Akibat beban yang bekerja, momen maksimum akan terjadi di tumpuan yang besarnya: Misalkan penampang diubah menjadi penampang ekivalenMmax( )( )( )max2 3 1.5 9 kN-m M = =2 kN/m3 mmenjadi penampang ekivalen dengan material kayu:( )***12 GPa20075 1250 mm12kbb bE EEb bE= =| |= = = |\ .12 Lokasi centroid penampang ekivalen (dari sisi bawah)( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )1250 6 203 75 200 100134.3 mm1250 6 75 200i iiA yyA+= = =+ Momen inersia penampang ekivalen( )( ) ( )( )( )3 2*11250 6 1250 6 203 134 3 I + ( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )3 26 41250 6 1250 6 203 134.312175 200 75 200 100 134.312103.1 10mmI= + + + = Tegangan ekivalen maksimum, sisi atas:( )( )6*9 10 71.7 ( )( )*66.26 MPa103.1 10Ao= = Tegangan ekivalen maksimum, sisi bawah:( )( )6*69 10 134.311.73 MPa103.1 10Bo= = Tegangan aktual, sisi atas dan bawah baja:( )( )6*69 10 65.75.73 MPa103.1 10Co= = Tegangan ekivalen di batas kayu baja:( )2006 26 104 3 MPa o| | | Distribusi tegangan( )( )baja6.26 104.3 MPa122005.73 95.6 MPa12ACoo= = |\ .| |= = |\ .AC6.265.73104.395.65.73B11.73 11.73o*(MPa)o (MPa)13Contoh 3ABC11 73104.395.65.73max bajamax kayu104.3 MPa (tarik)11.73 MPa (tekan)oo ==B11.73o (MPa)Beton Bertulang (elastis) Kemampuan beton menerima tegangan tarik sangat kecil, sehingga daerah yang mengalami tegangan tarik harus diperkuat dengan menambahkan tulangan b j baja. Agar efektif, tulangan baja diletakkan di sisi tarik terjauh dari garis netral.14Beton Bertulang (elastis) Pada daerah yang mengalami tarik, hanya tulangan yang menerima tegangan tarik, sedangkan bagian beton dianggap tidak bekerja. Dengan demikian, penampang beton bertulang dianggap berupa bagian beton yang mengalami tekan dan tulangan baja yang mengalami tarik. Analisis tegangan akibat momen lentur dilakukan dengan mengganti penampang menjadi penampang ekivalen beton.Beton Bertulang (elastis)scEnE=15( ) ( )NA0021sQxbx nA d x=| | = |\ . Lokasi garis netral: Inersia penampang ekivalen:2102s sbx nA x nA d + =( ) ( )232*bx xI bx nA d x| |= + + |\ .( ) ( )( )3212 23ssI bx nA d xbxnA d x+ + |\ .= + Tegangan pada tulangan baja:*max beton * AMxIo o= = Tegangan tekan maksimum pada beton:g g p g j( )** s sMd xn nIo o= = Catatan: ilustrasi perhitungan di atas dilakukan dengan asumsi momen yang bekerja adalah momen positif. Jika momen yang bekerja adalah momen negatif, formulasi yang dihasilkan akan sama, tetapi bagian beton yang mengalami tekan berada di sisi bawah dan tulangan baja berada di sisi atas.16Kombinasi Momen Lenturdan Gaya Aksial Momen lentur dan gaya aksial sama-sama mengakibatkan tegangan normal pada penampang, sehingga efek dari kedua gaya dalam tersebut dapat digabungkan. Tegangan normal pada suatu titik merupakan penjumlahan dari tegangan normal akibat momen penjumlahan dari tegangan normal akibat momen lentur dan akibat gaya aksial. aksial lenturF MyA Io o oo= += Kombinasi Momen Lenturdan Gaya AksialFAMyIo17Contoh 4 Gambar di samping memperlihatkan satu bagian dari rantai yang menerima beban 160 lb. Tentukan tegangan maksimum tarik dan tekan maksimum pada penampang, serta jarak antara centroid penampangj p p gdengan garis netral. Tegangan akibat gaya aksial:( )( )160 lb160 0.65 =104 lbPM== Gaya dalam pada penampang:160 P( )2160815 psi0.54aPAot= = = Tegangan maksimum akibat momen lentur:( )( )( )4104 0.258475 psi0 5bMcIot= = =( ) 0.564 Tegangan maksimum tarik dan tekan:815 8475 9290 psi ; 815 8475 7660 psim mo o+ = + = = = 18 Lokasi garis netral (di sebelah kanan centroid):( )( )4104815 0 0.024 in.0.564yyt = =Contoh 5 Penampang balok T seperti tergambar menerima gaya aksial tekan P yang bekerja di titik D. Jika tegangan izin tarik material balok adalah 30 MPa, dan tegangan izin tekannya 120 MPa tegangan izin tekannya 120 MPa, tentukan nilai maksimum P yang dapat diterima balok.19 Karakteristik penampang telah dihitung pada Contoh 6.2:2 3 438 mm ; 3000 mm ; 868 10mm y A I = = = Sistem ekivalen gaya aksial sentris + momen lentur:(tekan) P P =( )( )( )( )43428 223.76 103000 868 1028 2215 59 10ABPPPPPPoo= + = = = ( ) 38 10 28(momen negatif) M P P = = Tegangan di sisi atas dan bawah penampang:315.59 103000 868 10BP o Periksa terhadap tegangan izin:443.76 10 30 79.7 kN15.59 10 120 77.0 kNP PP P s s s smax77 kN P=Lentur Tak Simetris(Unsymmetrical Bending) Sampai saat ini, penampang yang dianalisis selalu memiliki sumbu simetri vertikal dan momen lentur bekerja pada bidang sumbu simetri tersebut. S k k diti j k Sekarang akan ditinjau kasus di mana momen tidak bekerja pada bidang sumbu simetri tersebut, atau penampang tidak memiliki sumbu simetri.200xxdAy dA Moo = =garis netral melalui centroiddistribusi tegangan akibat momen lentur0xxyz dA o =0mzydAco =g gvektor momen bekerja padasumbu utama yang melalui centroidcoszM M u =sinyM M u =+yzz yMzMyI Io = +21Contoh 6 Momen lentur sebesar 1600 lb-in. bekerja pada penampang balok kayu berukuran 1.5 in. 3.5 in. pada bidang yang membentuk sudut 30oterhadap bidang vertikal seperti tergambar. Tentukan: Tentukan:tegangan maksimum pada balok,lokasi garis netral. Inersia penampang:1600cos30 1386 lb-in.1600sin30 800 lb-in.ozoyMM= == = Komponen momen pada sumbu utama:( )( )3411 5 3 5 5 359 in I ( )( )( ) ( )341.5 3.5 5.359 in.1211.5 3.5 0.984 in.12zyII= == = Tegangan maksimum:( )( ) ( )( ) 1386 1.75 800 0.751062 psi o +( )( ) ( )( )1062 psi5.359 0.984o = + =22( ) ( ) cos sin0tan 3.143z yzM y M zI IIy z zIu uu + =| |= = | | Persamaan garis netral:yyI | |\ . Sudut o:tan tan 3.143zIIo u = =72.4yoIo =Contoh 7 Momen M0sebesar 1.5 kN-m bekerja pada penampang balok Z seperti tergambar. Diketahui momen inersia dan produk inersia penampang tersebut adalah:6 43.25 10mmyI= 6 46 44.18 10mm2.87 10mmzyzII= = Tentukan nilai tegangan di titik Adan sudut antara garis netraldengan bidang horizontal.23 Inersia utama dan sumbu utama (via lingkaran Mohr)221y z y zv yzI I I II I I+ | |= = + + |( )12 2.87 1t 40 4ou | | |( )( )( )12266 6 46 6 422 23.25 4.18 3.25 4.182.87 102 23.72 2.91 10 6.63 10mm3.72 2.91 10 0.808 10mmv yzuI I |\ .| |+ | | | = + + | |\ .\ .= + = = = = ( )1tan 40.42 4.18 3.25omu= = |\ . Komponen momen pada sumbu utama00sin1500sin 40.4 973 N-mcos1500cos 40.4 1142 N-mu mov moM MM Muu== === = Tegangan di Au A v AAMv M uI Io= cos sin 86 mmsin cos 23.9 mmA A m A mA A m A mu y zv y zu uu u= + == + =( )( ) ( )( )3 36 6973 10 23.9 1142 10 860.808 10 6.63 1013.97 MPau vI I = =24 Garis netraltan tan6.63tan 40.40.80881 9vmuooIIo uo==(lihat Contoh 6.6)81.9oo =Sudut antara garis netral denganbidang horizontal:81.9 40.4mo o| o u = = 41.4o=Beban Aksial Eksentris Dengan memperhatikan hasi