Embed Size (px)
Citation preview
1
BAB I
DISTRIBUSI MULTIVARIAT
1.2 Distribusi Dua Peubah Acak
Kita mulai membicarakan dua peubah acak dengan contoh berikut, sebuah koin dilantunkan tiga kali dan perhatian kita berada dalam pasangan bilangan terurut (banyak M pada dua lantunan pertama , banyak M pada tiga lantunan), di mana M dan B berturut-turut
menyatakan muka dan belakang. Jadi ruang sampelnya adalah S= {c∨c=c i , i=1,2 ,…, 8}, dengan c1=BBB,c2=BBM , c3=BMB , c4=MBB ,c5=BMM , c6=MBM , c7=MMB, c8=MMM
Misalkan X1 dan X2 adalah dua fungsi sehingga X1 (c1 )=X1 ( c2 )=0 , X1 ( c3 )=X 1 (c4 ) =
X1 (c5 )=X1 ( c6 )=1 , X1 ( c7 )=X 1 (c8 )=2 , dan X2 ( c1 )=0 ; X2 (c2 )=X 2 (c3 )=X2 ( c4 )=1
X2 (c5 )=X2 ( c6 )=X 2 (c7 )=2 , dan X2 ( c8 )=3. Sehingga X1 dan X2 merupakan fungsi bernilai
real pada ruang sampel S, yang mana kita mengambil dari ruang sampel ke ruang pasangan
bilangan terurut A={(0,0 ) , (0,1 ) , (1,1 ) , (1,2 ) , (2,2 ) , (2,3 ) }Maka X1 dan X2 adalah dua peubah acak yang ditentukan pada ruang sampel A, dan dalam contoh ini , ruang dari peubah acak ini adalah himpunan dimensi dua A yang diberikan tadi.
Definisi 1Ada percobaan acak dengan ruang sampel S . Perhatikan dua peubah acak X1 dan X2
yang menunjukkan untuk setiap unsur c dari S ada satu dan hanya satu pasangan terurut dari
bilangan X1 (c )=x1 , X2 (c )=x2 . Ruang dari X1 dan X2 adalah himpunan pasangan terurut
A={( x1 , x2 )∨x1=X1 ( c ) , x2=X2 (c ) , c∈S}
Misalkan A merupakan ruang yang dihubungkan dengan dua peubah acak X1 dan X2 dan ambil A sebuah himpunan bagian dari . Seperti dalam kasus satu peubah acak , kita dapat
membicarakan kejadian A, yang kita nyatakan dengan P [ ( X1 , X2 )∈ A ] .Ambil C={c∨c∈Sdan [ X1 (c ) ,X 2 (c ) ]∈ A } dengan S adalah ruang sampel.
Kemudian kita menentukan P {( X1, X2 )∈ A }=P (C ) di mana P adalah fungsi peluang
himpunan untuk himpunan bagian C dari S di sini pula kita dapat menyatakan
P [ ( X1 , X2 )∈ A ] dengan fungsi peluang himpunan PX 1, X2( A ) , atau P ( A )=P [ ( X1 , X2 )∈ A ]
Perhatikan A himpunan bagian A , di mana A={(1,1 ) , (1,2 ) }. Untuk menghitung
P [ ( X1 , X2 )∈ A ]=P ( A ) kita harus memasukkan unsur dari C semua hasil dari S sehingga
peubah acak X1 dan X2mengambil nilai ( x1 , x2 ) yang merupakan unsur A. Sekarang
X1 (c3 )=1 , X2 (c3 )=1.X 2 (c4 )=1 , dan X2 (c4 )=1Juga
X1 (c5 )=1 , X2 (c5 )=1 , X1 (c6 )=1dan X 2 (c6 )=2. Berarti P [ ( X1 , X2 )∈ A ]=P (C ), di mana
C={c3 , c4 , c5 , atau c6 }. Andaikan bahwa fungsi peluang himpunan P (C ) menunjukkan
2
peluang setiap unsur dari S sama dengan 1/8. Penetapan ini tampaknya masuk akal jika
P ( M )=P (B )=12
dan lantunan independen. Sebagai gambaran
P [ {c1 }]=P {MMM }=(12 )(1
2 )( 12 )=1
8. Kemudian P ( A ), yang dapat dituliskan sebagai
P ( X1=1 , X2=1ata u2 ) sama dengan 4/8=1/2. Kita dapat mentabulasikan peluang yang
ditentukan untuk setiap unsur dari A, dengan hasil sebagai berikut.
( x1 , x2 ) (0,0 ) (0,1 ) (1,1 ) (1,2 ) (2,2 ) (2,3 )
P [ ( X1 , X2 )= ( x1 , x2) ] 1/8 1/8 2/8 2/8 1/8 1/8
Tabel ini menggambarkan distribusi peluang atas unsur dari A yaitu ruang peubah acak X1 dan X2. Juga dalam statistik , kita lebih tertarik dalam ruang A dari dua peubah acak sebut X dan Y , dari pada S. Lagipula pengertian dari fungsi densitas peluang (fdp) untuk satu peubah acak X dapat diperluas untuk pengertian dari fdp untuk dua atau lebih peubah acak. Di bawah batasan tertentu pada peluang A dan fungsi f > 0 pada A, dapat kita katakan bahwa dua peubah acak X dan Y adalah diskrit atau kontinu dan mempunyai distribusi dari jenis tersebut, berpadanan dengan fungsi peluang himpunan P ( A ) , A⊂ A dapat dinyatakan sebagai
P ( A )=P [ ( X , Y )∈ A ]=∑∑ f ( x , y )A
atau P ( A )=P [ ( X , Y )∈ A ]=∫A
❑
∫ f ( x , y ) dxdy
Dalam salah satu kasus f disebut fdp dua peubah acak X dan Y. Yang diperlukan P ( A )=1
dalam setiap kasus. Kita dapat memperluas definisi fdpf ( x , y ) ini atas keseluruhan bidang xy dengan nol untuk lainnya.Kita akan melakukan ini secara konsisten terhadap ruang A sampai bosan, pengulangan referensi terhadap ruang A dapat dihilangkan. Sekali ini dilakukan, kita menggantikan
∫A
❑
∫ f ( x , y ) dxdy dan∫−∞
∞
∫−∞
∞
f ( x , y ) dxdy
Hal yang sama , setelah perluasan penentuan fdp jenis diskrit , kita menggantikan
∑A∑ f ( x , y ) dan∑
x∑
y
f ( x , y )
Sesuai dengan perjanjian ini (untuk perluasan definisi fdp), hal itu terlihat bahwa fungsi titik f , apakah dalam satu atau dua peubah pada dasarnya memenuhi persyaratan menjadi fdp, jikadidefinisikan dan tidak negatif untuk semua nilai real dari uraiannya integralnya (untuk peubah acak kontinu) atau jumlahnya (untuk jenis peubah acak diskrit) atas seluruh nilai real dari uraiannya adalah satu.Akhirnya jika fdp dalam satu atau lebih peubah secara eksplisit ditetapkan, kita dapat melihat melalui pemeriksaan apakah peubah acak dari jenis kontinu atau diskrit.Sebagai gambaran:Kelihatannya jelas bahwa fdp
3
f ( x , y )={ 9
4x+ y; x=1,2,3 , …; y=1,2,3 ,…
0; untuk lainnya
adalah fdp peubah acak jenis diskrit X dan Y, dan fdp
f ( x , y )={4 xy e− x2− y2
;0<x<∞ ;0< y<∞0 ;untuk lainnya
adalah fdp dua peubah acak jenis kontinu X dan Y
Contoh 1
Misalkan f ( x , y )={6 x y2 ;0<x<1 ;0< y<10 ;untuk lainnya
adalah fdp dua peubah acak X dan Y yang merupakan jenis kontinu.
P(0<X< 34
,13<Y <2)=∫
1/3
2
∫0
3/4
f ( x , y ) dxdy
= ∫1 /3
1
∫0
3 /4
f ( x , y ) dxdy+∫1
2
∫0
3 /4
0 dxdy
= 3/8 + 0 = 3/8
Perhatikan bahwa peluang ini adalah volume di bawah permukaan f ( x , y )=6 x y2 dan di atas
himpunan segi empat {( x , y )∨0<X< 34
,13<Y <1} dalam bidang xy fungsi peluang himpunan
P(A) , di mana A himpunan dua dimensi . Jika A himpunan tidak terbatas {(u , v )∨u≤ x , v ≤ y } di mana x dan y bilangan real ,kita punyai
P ( A )=P [ ( X , Y )∈ A ]=P [ X ≤ x , Y ≤ y ] Fungsi dari titik ( x , y ) disebut fungsi distribusi dari X dan Y yang dinyatakan oleh
F ( x , y )=P [ X ≤ x ,Y ≤ y ] Jika X dan Y peubah acak jenis kontinu yang mempunyai fdp ( x , y ) , maka
F ( x , y )=∫−∞
x
∫−∞
y
f (u , v ) dudv
Sesuai titik kontinuitas dari ( x , y ) , kita mempunyai
∂2 F ( x , y )∂ x∂ y
=f ( x , y )
Dalam setiap kasus , dapa ditunjukkan bahwa P (a< X ≤ b ,c<Y ≤ d )=F (b ,d )−F (b , c )−F (a , d )+ F (a , c )
untuk semua konstanta real a<b , c<d
Berikut perhatikan satu percobaan dalam hal seseorang memilih secara acak satu titik ( X , Y ) dari bujur sangkar satuan S=A= {(x , y )∨0<x<1,0< y<1} . Andaikan perhatian kita tidak
dalam X atau Y tapi dalam Z = X + Y Sekali model peluang yang cocok telah disetujui, kita akan melihat bagaimana mencari fdp dari Z. Lebih khusus ambil sifat dasar percobaan acak sehingga percobaan itu masuk akal untuk mengandaikan bahwa distribusi atas bujur sangkar satuan adalah seragam. Maka fdp dari X dan Y dapat ditulis
4
f ( x , y )={1;0< x<1,0< y<10 ;untuk lainnya
dan ini menggambarkan model peluang. Sekarang ambil fungsi distribusi Z dinyatakan dengan ( z )=P ( X+Y ≤ z ) .
Maka G ( z )={0; z<0
∫0
z
∫0
z−x
dydx= z2
2;0 ≤ z<1
1−∫z−1
1
∫z− x
1
dydx=1−(2−z )2
2;1≤ z<2
1 ;2≤ z
Karena G ( z ) ada untuk semua nilai z, fdp dari z dapat ditulis sebagai
g ( z )={ z ;0<z<12−z ;1≤ z<2
0 ;untuk lainnya
Ambil f ( x1 , x2 ) merupakan fdp dari dua peubah acak X1 dan X2 . Dari sifat ini untuk
penekanan dan kejelasan kita akan sebut fungsi distribusi satu fdp bersama atau fungsi diatribusi apabila lebih dari satu peubah acak dikandung.Perhatikan kejadian a< X1<b ,a<b. Kejadian ini dapat muncul bila dan hanya bila a< X1<b ,−∞<X2<∞ muncul, yaitu dua kejadian adalah ekuivalen, sehingga mereka mempunyai peluang yang sama.Tetapi peluang kejadian terakhir telah ditetapkan dan diberikan oleh
P [a< X1<b ,−∞< X2<∞ ]=∫a
b
∫−∞
∞
f ( x1 , x2 ) d x2 d x1
untuk kasus kontinu, dan oleh
P [a< X1<b ,−∞< X2<∞ ]= ∑a<x1< b
∑x2
f ( x1 , x2 ) untuk kasus diskrit.Sekarang setiap dari
∫−∞
∞
f ( x1 , x2) d x2dan∑x2
f ( x1 , x2 )
adalah fungsi dari x1 sebut f 1 ( x1 ) dicari melelui penjumlahan (intergrasi) fdp bersama
f ( x1 , x2 ) atas semua x2 untuk x1 tertentu., kita dapat berpikir rekaman dari jumlah ini dalam
“margin” dari bidang x1 x2. Sesuaindengan itu f 1 ( x1 ) disebut fdp marginal dari X1
Dalam cara yang sama
f 2 ( x2 )=∫−∞
∞
f ( x1 , x2 ) d x2 (kasus kontinu)
= ∑x2
f ( x1 , x2 ) (kasus diskrit)
disebut fdp marginal dari X2
5
Contoh 2Perhatikan satu percobaan acak yang terdiri atas penarikan secara acak satu keeping dari satu mangkuk yang mengandung 10 keping dengan ukuran dan bentuk yang sama .Masing-masing kepng mempunyai pasangan terurut dua bilangan pada keeping: satu dengan (1,1), satu dengan (2,1) , dua dengan (3,1), satu dengan (1,2), dua dengan (2,2), dan tiga dengan (3,2). Ambil peubah acak X1 dan X2 ditetapkan berturut-turut sebagai nilai pertama dan kedua dari
pasangan terurut. Jadi fdp bersama f ( x1 , x2 ) dari X1 dan X2 dapat diberikan melalui tabel
berikut dengan f ( x1 , x2 )=0 untuk lainnya.
x2 x1 1 2 f 1 ( x1 ) 1 1/10 1/10 2/10 2 1/10 2/10 3/10 3 2/10 3/10 5/10
f 2 ( x2 ) 4/10 6/10
Peluang bersama telah dijumlahkan dalam setiap baris dan kolom dan jumlah ini dicatat di pinggir untuk memberikan berturut-turut fungsi densitas peluang marginal dari X1 dan X2.
Perhatikan bahwa tidak perlu mempunyai rumus dari f ( x1 , x2 ) untuk melakukan ini.
Contoh 3Misalkan X1 dan X2mempunyai fungsi densitas peluang
f ( x1 , x2 )=x1+x2 ;0<x1<1, 0<x2<1
= 0 ; untuk lainnyaFdp marginal dari X1adalah
f 1 ( x1 )=∫0
1
( x1+x2 ) d x2=x1+12
;0<x1<1
dan fdp marginal dari X1adalah
f 2 ( x2 )=∫0
1
( x1+x2 ) d x1=x2+12
;0<x2<1
Satu peluang seperti P(X1≤12 ) dapat dihitung dari salah satu f 1 ( x1 ) atau f ( x1 , x2 ) karena
∫0
1 /2
∫0
1
f ( x1 , x2 ) d x2 d x1=∫0
1/2
f 1 ( x1) d x1=38
Bagaimanapun untuk mencari P ( X1+X2 ≤ 1 ) kita harus menggunakan fdp f ( x1 , x2 ) sebagai
berikut.
∫0
1
∫0
1− x1
( x1+x2 ) dx2dx1=∫0
1 [ x1 (1−x1 )+(1−x1 )2
2 ] d x1
6
= ∫0
1
( 12−1
2x1
2)d x1=13
Peluang terakhir ini adalah volume di bawah permukaan f ( x1 , x2 )=x1+x2 di atas himpunan
{( x1 , x2 )∨0<x1 ,0< x2, x1+x2 ≤1}
Soal-soal latihan 1.1
1. Misalkan f ( x1 , x2 )=4 x1 x2 , 0<x1<1,0<x2<1,nol untuk lainnya,adalah fdp dari
X1 dan X2. Carilah P(0<X1<12
,14<X2<1) ,P ( X1=X2 ) .P ( X1< X2 ) ,
dan P ( X1 ≤ X2 ).2. Misalkan
A1= {( x , y )∨x ≤2 , y ≤ 4 }, A2= {( x , y )∨x ≤ 2, y ≤1 }, A3= {( x , y )∨x ≤ 0 , y ≤ 4 } , dan A4={( x , y )∨x≤ 0 , y≤ 1}
adalah himpunan bagian ruang A dari dua peubah acak X dan Y , yang merupakan keseluruhan bidang dimensi dua. Jika
P ( A1 )=78
P ( A2 )=48
, P ( A3 )=38
, dan P=28
, carilah P ( A5 ) dengan
A5={( x , y )∨0<x≤ 2,1 ≤ 4 } 3. Misalkan F ( x , y ) merupakan fungsi distribusi dari X dan Y .Tunjukkan bahwa
P (a< X ≤ d , c<Y ≤ d )=F (b , d )−F (b , c )−F (a ,d )+F (a , c ) , untuk semua konstanta real a < b, c < d
4. Diberikan fungsi tidak negatif g ( x )mempunyai sifat bahwa ∫0
∞
g ( x ) dx=1’
Tunjukkan bahwa f ( x1 , x2 )=[2 g(√ x12+x2
2 ) ]/ π √x12+x2
2 , 0<x1<∞ ,0<x2<∞ nol untuk
lainnya . memenuhi syarat menjadi fungsi densitas dai dua peubah acak kontinu X1 dan X2. Petunjuk: Gunakan koordinat polar
5. Misalkan f ( x , y )=e− x− y ,0<x<∞ ,0< y<∞ , nol untuk lainnya, merupakan fungsi
densitas dari X dan Y. Jika Z = X + Y , maka hitunglah a. P (Z ≤ 0 )b. P( Z ≤ 6 )c. P( Z ≤ z )untuk 0<z<∞
d. Apakah ada fungsi densitas dari Z?6. Misalkan X dan Y mempunyai fungsi densitas f ( x , y )=1 ,0<x<1 ,0< y<1, nol untuk
lainnya . Carilah fungsi denasitas dari Z = XY7. Misalkan 13 kartu diambil seara acak dari satu pak kartu. Jika X adalah banyak spades
dalam 13 kartu ini , carilah fdp dari X.Selanjutnya jika Y adalah banyaknya hearts dalam 13 kartu ini, carilah P ( X=2, Y=5 ) . Apakah ada fdp bersama dari X dan Y ?
8. Misalkan peubah acak X dan Y mempunyai fungsi peluang bersama seperti dalam table berikut.
( x , y ) (0,0 ) (0,1 ) (0,2 ) (1,0 ) (1,1 ) (1,2 )
7
f ( x , y ) 2/12 3/12 2/12 2/12 2/12 1/12
dan f ( x , y )=0 untuk lainnya.a. Tulislah peluang-peluang ini dalam susunan tabel baris - kolom ,catatkan fungsi
peluang marginal.b. Berapakah P ( X+ y=1 )?
9. Misalkan X dan Y mempunyai densitas bersama f ( x , y )=15 x2 y .0<x< y<1 dan
samadengan nol untuk lainnya.a. Carilah fungsi densitas marginal masing-masing b. Hitunglah P ( X+Y ≤1 )
1.2 Distribusi Bersyarat dan Ekspektasi
Kita akan membicarakan maksud dari fdp bersyarat . Ambil X1 dan X2menyatakan peubah
acak jenis diskrit yang mempunyai fdp f ( x1 , x2 ) yang positif pada A dan nol untuk lainnya.
Ambil berturut-turut f 1 ( x1 ) dan f 2 ( x2 )menyatakan fungsi densitas peluang marginal dari X1 dan X2.
Ambil A1 merupakan himpunan A1= {( x1 , x2 )∨x1=x1' ,−∞<x2<∞ } x1
' ada sehingga
P ( A1 )=P (X1=x1' )=f 1 (x1
' )>0 ,dan ambil A2 merupakan himpunan
A2= {( x1 , x2 )∨x2=x2' ,−∞<x1<∞ } .
Maka melalui definisi peluang bersyarat kejadian A1 diberikan kejadian A2 adalah
P ( A2∨A1)=P ( A1∩ A2)
P ( A1)=
P (x1=x1' , x2=x2
' )P (x1=x1
' )=
f (x1' , x2
' )f 1 (x '
' )
Yaitu ,jika ( x1 , x2 ) adalah suatu titik sehingga f 1 (x1' )>0, peluang bersyarat bahwa X2=x2
diberikan bahwa X1=x1 adalah f ( x1 , x2 ) / f 1 ( x1 ) tidak negatif dan
∑x2
f ( x1 , x2 )f 1 ( x1 )
= 1f 1 ( x1 )
∑x2
f ( x1 , x2)=f 1 ( x1)f 1 ( x1)
=1
Sekarangkita menetapkansimbol f 2∨1 ( x2∨x1 ) melalui hubungan
f 2∨1 ( x2∨x1 )=f ( x1 , x2 )
f 1 ( x1 ); f 1 ( x1 )>0
dan kita sebut f 2∨1 ( x2∨x1 ) fdp bersyarat dari jenis diskrit dari peubah acak X2 diberikan
bahwa bahwa jenis peubah acak diskrit X1=x1.
Dengan cara yang sama kita menetapkansimbol f 1∨2 ( x1∨x2 ) melalui hubungan
f 1∨2 ( x1∨x2 )=f ( x1 , x2 )
f 2 ( x2 ); f 2 ( x2 )>0
dan kita sebut f 1∨2 ( x1∨x2 ) fdp bersyarat dari jenis diskrit dari peubah acak X1 diberikan
bahwa bahwa jenis peubah acak diskrit X2=x2.
Sekarang ambil X1 dan X2 menyatakan peubah acak jenis kontinu yang mempunyai fdp f ( x1 , x2 ) dan fungsi densitas marginal berturut-turut f 1 ( x1 ) dan f 2 ( x2 ). Kita akan mengguna
8
kan hasil dari pasal terdahulu untuk memotivasi penentuan fdp bersyarat dari jenis peubah
acak kontinu. Apabila f 1 ( x1 )>0 , kita menentukan simbol f 2∨1 ( x2∨x1 ) melalui hubungan
f 2∨1 ( x2∨x1 )=f ( x1 , x2 )
f 1 ( x1 )Dalam hubungan ini x1 terlebih dahulu mempunyai nilai tertentusehingga f 1 ( x1 )>0.Hal itu
jelas bahwa f 2∨1 ( x2∨x1 ) tidak negatif dan bahwa
∫−∞
∞
f 2∨1 ( x2∨x1 ) d x2=∫−∞
∞ f ( x1 , x2 )f 1 ( x1 )
dx2=1
f 1 ( x1 )∫−∞
∞
f ( x1 , x2 ) d x2=f 1 ( x1 )f 1 ( x1 )
=1
Yaitu f 2∨1 ( x2∨x1 ) mempunyai sifat fdp jenis kontinu dari peubah acak X2, diberikan bahwa
jenis peubah acak X1 mempunyai nilai x1 .Bila f 2 ( x2 )>0 , fdp bersyaratdari jenis peubah acak
kontinu X1 , diberikan peubahacakkontinu X2 mempunyai nilai x2 ditetapkan oleh
f 1∨2 ( x1∨x2 )=f ( x1 , x2 )
f 2 ( x2 ); f 2 ( x2 )>0
Karena masing-masing f 2∨1 ( x2∨x1 ) dan f 1∨2 ( x1∨x2 ) adalah fdp peubah acak (apakah jenis
diskrit atau kontinu ), masing-masing mempunyai semua sifat sebagaiman fdp. Berarti kita dapat mnghitung peluang dan ekspektasi matematis .Jika peubah acak jenis kontinu peluang
P (a< X2<b∨X1=x1 )=∫a
b
f 2∨1 ( x2∨x1 ) d x2
disebut “peluang bersyarat bahwa a< X2<b diberikan X1=x1 . Ini juga dapat ditulis dalam
bentuk P (a< X2<b∨x1 ).Hal yang sama peluang bersyarat bahwa c<X 1<d diberikan X2=x2 adalah
P (c<X1<d∨X2=x2 )=∫c
d
f 1∨2 ( x1∨x2 ) d x1
Jika u ( X2 ) adalah fungsi dari X2 , ekspektasi
E [u ( X 2)∨x1 ]=∫−∞
∞
u ( x2 ) f 2∨1 ( x2∨x1 ) d x2
disebut ekspektasi bersyarat dari u ( X2 ) diberikan X1=x1
Khusunya , jika mereka ada, maka E ( X 2∨x1) disebut rataan dan E {[ X2−E ( X2∨x1 ) ]2∨x1} adalah variansi distribusi bersyarat dari X2 diberikan X1=x1 yang ditulis lebih sedehana var
( X 2∨x1) .Hal itu sesuai untuk mengarahkan ini sebagai “rataan bersyarat” dan “variansi
bersyarat” dari X2 diberikan X1=x1. Tentu kita mempunyai
var( X 2∨x1)=E ( X22∨x1)−[ E ( X2∨x1 ) ]2
dari hasil terdahulu. Dengan vara yang sama ekspektasi bersyarat dari` u ( X1 ) diberikan
X2=x2 diberikan oleh
E [u ( X 1)∨x2 ]=∫−∞
∞
u ( x1 ) f 1∨2 ( x1∨x2 ) d x1
Untuk peubah acak jenis diskrit peluang bersyarat menggunakan jumlahan pengganti integral.
9
Contoh 1Misalkan X1 dan X2 mempunyai fdpf ( x1 , x2 )=2; 0<x1<x1<1
maka berturut-turut fungsi densitas peluang marginal adalah
f 1 ( x1 )=∫0
1
2 d x2=2 ( 1−x1 ); 0<x1<1
dan f 2 ( x2 )=∫0
x2
2d x2=2 x2 ;0<x2<1
Fdp bersyarat dari X1 diberikan X2=x2 , 0<x2<1 adalah
f 1∨2 ( x1∨x2 )= 22 x2
= 1x2
;0<x1<x2<1
Disini rataan bersyarat dan variansi bersyarat dari X1 diberikan X2=x2 adalah
E ( X 1∨x2)=∫−∞
∞
x1 f 1∨2 ( x1∨x2) d x1
= ∫0
x2
x1( 1x2
)d x1=x2
2;0<x2<1
dan var ( X1∨x2 )=∫0
x2
(x1−x2
2 )2
( 1x2
)d x1=x2
2
2; 0<x2<1
Akhirnya , kita akan membandingkan nilai dari
P(0<X1<12∨X2=
34 )dan P (0< X1<
12 )
Kita mempunyai
P(0<X1<12∨X2=
34 )=∫
0
1 /2
f 1∨3 /4( x1∨34 )d x1 = ∫
0
1 /243
d x1=23
Tetapi
P(0<X1<12 )=∫
0
1 /2
f 1 ( x1 ) d x1=∫0
1/2
2 (1−x1) d x1=34
Karena E ( X 2∨x1) adalah fungsi dari x1 , maka E ( X 2∨x1) ada dengan distribusi ,rataan ,
variansinya tersendiri.
Contoh 2Misalkan X1 dan X2 mempunyai fdp bersama
f ( x1 , x2 )=6 x2;0<x2<x1<1
Maka fdp marginal dari X1 adalah
f 1 ( x1 )=∫0
x1
6 x2 d x1=3 x12 ,0< x1<1
Fdp bersyarat dari dari X2 diberikan X1=x1 adalah
f 2∨1 ( x2∨x1 )=6 x2
3 x12=
2 x2
x12 ;0<x2< x1<1
Rataan bersyarat dari dari fdp marginal diberikan X1=x1 adalah
10
E ( X 2∨x1)=∫0
x1
x2( 2 x2
x12 )d x2=
23
x1;0<x1<1
Sekarang E ( X 2∨x1)=23
x1 adalah peubah acak sebut Y
Fungsi distribusi dari Y adalah
G ( y )=P (Y ≤ y )=P (X1 ≤3 y2 );0≤ y< 2
3
Dari fdp f 1 ( x1 ) kita peroleh
G ( y )= ∫0
3 y /2
3 x12d xx=
27 y y
8;0 ≤ y< 2
3
Tentu G ( y )=0 jika y<0 , danG ( y )=1,jika y > 2
Fdp,rataan, dan variansi dari Y=2 X1
3 adalah
g ( y )=818
y2 ;0 ≤ y< 23
= 0 ; untuk lainnya
E (Y )=∫0
2 /3
y ( 818
y2)dy=12
dan var(Y )=∫0
2/3
y2( 818
y2)dy− 14= 1
60
Karena fdp marginal dari X2 adalah
f 2 ( x2 )=∫x2
1
6 x2 d x1=6 x2 (1−x2 ) ;0<x2<1
Maka dapat diperoleh bahwa E ( X 2)=12
dan var ( X2 )= 120
Di sini terlihat bahwa
E (Y )=E [ E ( X2∨X1 ) ]=E ( X2 ) dan var (Y )=var [ E ( X2∨X1 ) ] ≤ var [ X2 ¿
Secara umum
E [ E ( X 2∨X1 ) ]=E ( X2 ) dan var [ E ( X2∨X1 ) ] ≤ var X2
Bukti:
E ( X 2)=∫−∞
∞
∫−∞
∞
x2 f ( x1 , x2d x1d x2 ) = ∫−∞
∞ [∫−∞
∞
x2
f ( x1 , x2 )f 1 ( x1 )
d x2] f 1 ( x1 ) d x1
= ∫−∞
∞
E ( X2∨X1 ) f 1 ( x1 ) d x1=E [E ( X2∨X 1) ]
yang merupakan hasil pertama.
Berikutnya, dengan μ2=E ( X2 ) var( X 2)=E [ ( X2−μ2 )2 ]=E [ ( X2−E ( X2∨X1 )+E ( X 2∨X1 )−μ2)
2 ] = E {[ X2−E ( X2∨X1 ) ]2}+E {[ E ( X2∨X 1)−μ2 ]2}
11
+ 2 E {[ X2−E ( X 2∨X1 ) ] [ E ( X 2∨X1 )−μ2 ]}Kita akan tunjukkan suku terakhir pada ruas kanan sama nol,yaitu
2 E {[ X2−E ( X 2∨X1 ) ] [ E ( X 2∨X1 )−μ2 ]}=2∫−∞
∞
∫−∞
∞
[ X2−E ( X2∨X1 ) ] [ E ( X2∨X1 )−μ2 ] d x2 d x1
= 2∫−∞
∞
[ E ( X2∨X 1)−μ2 ] {∫−∞
∞
[ X 2−E ( X2∨X1 ) ]f ( x1 , x2 )
f 1 ( x1 )d x2}f 1 ( x1 ) d x1
=2
∫−∞
∞
[ E ( X2∨X 1)−μ2 ] f 1 ( x1) d x1{∫−∞
∞
x2 f 2∨1 ( x2∨x1) dE ( X2∨X 1) ∫−∞
∞
f 2∨1 ( x2∨x1 ) d x2} = 2∫
−∞
∞
[ E ( X2∨X 1)−μ2 ] f 1 ( x1) d x1 {E ( X2∨X1 )−E ( X 2∨X1 )}=0
Sehingga
var( X 2)=E {[ X2−E ( X2∨X1) ]2}+E {[ E ( X2∨X1 )−μ2 ]2}Suku pertama pada ruas kanan persamaan ini E tidak negatif karena suku pertama ini adalah
nilai harapan dari fungsi yang tidak negatif, sebut[ X 2−E ( X2∨X1 ) ]2. Karena E[E ( X 2∨X1 )=μ2 suku kedua akan menjadi var [ E ( X2∨X1 ) ] . Karenanya kita
mempunyaif
var [ X2 ¿≥ var [ E ( X2∨X1 ) ] Perhatikan bahwa nilai harapan dari X2 dapat dicari dalam dua caraX2 mempunyai fdp
¿∫−∞
∞
∫−∞
∞
x2 f ( x1, x2 d x1d x2 )= ∫−∞
∞
x2 f 2 ( x2) d x2
Contoh 3Misalkan X1 dan X2 mempunyai fdp
f ( x1 , x2 )=8 x1 x2;0<x1<x2<1
Maka E ( X1 X 22)=∫
0
1
∫−∞
∞
x1 x22 f ( x1 , x2) d x1d x2=∫
0
1
∫−∞
∞
8 x12 x2
3 d x1d x2
=∫0
183
x26 d x2=
821
Karena X2 mempunyai fdp
f 2 ( x2 )=4 x23 ;0<x2<1
Maka E ( X 2)=∫0
1
x2 4 x23d x2=
45
Akibatnya E [ X 1 X22+5 X2 ] =7E[ X 1 X2
2 ]+5E ( X 2)=203
.
Soal-soal Latihan 1.2
12
1. Misalkan X dan Y mempunyai fungsi densitas bersama f ( x , y )=x+ y ;0<x<1,0< y<1, sama dengan nol untuk launnya. Carilah rataan bersyarat dan variansi bersyarat dari Y , diberikan X = x
2. Misalkan f 1∨2 ( x∨ y )=c1 x
y2 ;0<x< y ,0< y<1 , f 2 ( y )=c2 y4 , 0< y<1 berturut-turut
menyatakan fungsi densitas bersyarat dari X diberikan Y = y dan fungsi densitas marginal dari YTentukana. Konstanta c1 danc2
b. Fungsi densitas bersama dari X dan Y
c. P( 14< X< 1
2∨Y=5
8 )d. P( 1
4< X< 1
2 )3. Misalkan f ( x1 , x2 )=21 x1
2 x23 ;0<x1<x2<1, dan nol untuk lainnya, merupakan fungsi
densitas bersama dari X1 dan X2
a. Carilah rataan barsyarat dan variansi bersyarat dari X1 diberikan X2=x2
b. Carilah distribusi dari Y=E [ X1∨x2 ]c. Tentukan E [ Y ] dan var [Y ] dan bandingkan ini terhadap E [ X1 ] dan var [ X1 ]
4. Jika X dan Y peubah acak diskrit yang mempunyai fungsi peluang
f ( x , y )= x+2 y18
; ( x , y )=(1,1 ) , (1,2 ) , (2,1 ) , (2,2 )
a. Tentukan rataan bersyarat dan variansi bersyarat dari Y diberikan X = x untuk x = 1 atau 2.
b. Hitung E [ 3 X−2Y ]5. Lima kartu diambil secara acak dan tanpa pengembalian dari satu pak
kartu.Misalkan berturut-turut peubah acak X1 , X2 , dan X3 menyatakan banyak spade , banyak heart, dan banyak diamond yang muncul di antara lima kartu.a. Tentukan fdp bersama dari X1 , X2 , dan X3
b. Carilah fungsi denaitas peluang marginal dari X1 , X2 , dan X2
c. Apakah ada fdp bersyarat bersama dari X2 dan X3 , diberikan X1=3?
6. Ambil X dan Y mempunyai fungsi peluang f ( x , y ) yang dberikan sebagai berikut
( x , y ) (0,0 ) (0,1 ) (1,0 ) (1,1 ) (2,0 ) (2,1 )
f ( x , y ) 1/18 3/18 4/18 3/18 6/18 1/18
a. Carilah f 1 ( x ) dan f 2 ( y )b. Carilah E [ X∨ y ] dan E [ Y∨x ]
Petunjuk: tuliskan peluang dalam susunan segi empat.7. Mari kita memilih secara acak satu titik dari interval (0,1) dan ambil peubah acak X
sama dengan angka yang berpadanan terhadap titik itu.Kemudian pilih satu titik
13
secara acak dari interval (0,x], di mana x adalah nilai percobaan dari X dan peubah acak Y sama dengan angka yang berpadanan dengan titik ini.
a. Buatlah pengandaian tentang fungsi densitas f 1 ( x ) dan fungsi densitas f ( y∨x )b. Hitunglah P ( X+Y ≥1 )c. Carilah rataan bersyarat E [ Y∨x ]
8. Misalkan f ( x ) dan F (x ) berturut-turut menyatakan fungsi densitas dan fungsi
distribusi dari X. Fungsi densitas bersyarat dari X diberikan X>x0 , x0 sattu bilangan
tertentu yang didefinisikan oleh ( x∨X>x0 )=f ( x )
1−F ( x ); x>x0 , dan nol untuk lainnya.
Jenis fungsi densitas ini digunakan dalam masalah waktu hingga mati , diberikan waktu hidup hingga x0.
a. Tunjukkan bahwa f ( x∨X>0 ) adalah fungsi densitas.
b. Ambil f ( x )=e−x ; 0<x<∞ dan nol lainnya. Hitunglah P ( X>2∨X>1 )9. Misalkan X dan Y mempunyai fungsi densitas f ( x , y )=6 (1−x− y );0< x
0< y , X+ y<1 dan nol untuk lainnya. Hitunglah P (2 X+3 Y <1 ) dan
E [ XY +2 X2 ]
1.3 Koefisien korelasi
Misalkan X dan Y mempunyai fdp bersama f ( x , y ) Jika u(x,y) adalah fungsi dari x dan y,
maka E [u(x , y)] , ditetapkan sasaran yerhadap keberadaannya.Keberadaan semua ekspektasi
matematik akan diandaikan dalam pembicaraan ini.Rataan dari X dan Y sebutμ1 dan μ2 dan
variansi dari X dan Y sebut σ 12 danσ 2
2.
Perhatikan ekspektasi matematik
E [ ( X−μ1 ) (Y−μ2) ]=E [ XY −μ1 X−μ2Y +μ1 μ2 ] = E ¿
= E [ XY ]−μ1 μ2
Bilangan ini disebut kovariansi dari X dan Y dan sering dinotasikan sebagai kov( X , Y ) . Jika
masing-masing σ 1dan σ2 positif , bilangan
ρ=E [ ( X−μ1 ) (Y −μ2 ) ]
σ1 σ2
=kov ( X ,Y )
σ1 σ2
disebut koefisien korelasi dari X dan Y.Jika simpangan baku positif , koefisien korelasi dari setiap dua peubah acak ditetapkan menjadi kovariansi dua peubah acak dibagi oleh perkalian simpangan baku dua peubah acak itu.Akan dinyatakan bahwa nilai harapan perkalian dua peubah acak sama dengan perkalian ekspektasi mereka ditambah kovariansi mereka, yaitu
E [ XY ]=μ1 μ2+ ρ σ1 σ2=μ1 μ2+kov ( X ,Y )
Contoh 1Misalkan peubah acak X dan Y mempunyai fdp bersama
f ( x , y )=x+ y ;0<x<1,0< y<1
14
Kita akan menghitung koefisien korelasi dari X dan Y . Apabila dua peubah ada di bawah pertimbangan , kita akan menyatakan koefisien korelasi ρ.
Sekarang μ1=E [ X ]=∫0
1
∫0
1
x ( x+ y ) dxdy= 712
Dan σ 12=E [ X2 ]−μ1
2=∫0
1
∫0
1
x2 ( x+ y )dxdy−( 712 )
2
= 11144
Hal yang sama
μ2=E [ Y ]=∫0
1
∫0
1
y ( x+ y ) dxdy= 712
dan σ 22=E [ y2 ]−μ2
2=∫0
1
∫0
1
y2 ( x+ y )dxdy−( 712 )
2
= 11144
Kovariansi dari X dan Y adalah
E [ XY ]−μ1 μ2=∫0
1
∫0
1
xy (x+ y ) dxdy−( 712 )
2
= −1144
Sesuai dengan itu koefisien korelasi dari X dan Y adalah
ρ =
−1144
√ 11144
11144
=−111
TinjauanUntuk jenis distribusi dua peubah acak tertentu , sebut X dan Y koefisien korelasi ρ terbukti menjadi karakteristik distribusi yang amat berguna.Sayang definisi formal ρ tidak mengung kapkan kenyataan ini . Pada saat ini kita membuat observasi tentang ρ , beberapa darinya akan digali lebih lengkap pada tahap kemudian.Hal itu akan segera terlihat bahwa jika distribusi bersama dari dua peubah acak mempunyai koefisien korelasi (yaitu jika kedua variansi positif ) maka ρ memenuhi −1 ≤ ρ≤ 1. Jika ρ=1 ada garis dengan persamaan y=a+bx , b>0, grafiknya mengandung semua peluang dari distribusi untuk X dan Y Dalam kasus ekstrim ini , kita mempunyai ρ ( y=a+bx )=1.Jika ρ=−1,kita mempunyai keadaan urusan yang sama kecuali b < 0.Ini menganjurkan pertanyaan menarik berikut. Apabila ρ tidak mempunyai nilai satu dari nilai ekstrimnya ada disana garis dalam bidang xy sehingga peluang untuk X dan Y cenderung dipusatkan dalam sebuah berkas di sekitar garis ini. Di bawah pembatasan syarat tertentu ini merupakan kasus kenyataan, dan dibawah persyaratan itu kita dapat melihat ρ sebagai ukuran intensitas pemusatan peluang untuk X dan Y disekitar garis ituBerikut ambil f ( x , y ) menyatakan fdp bersama dari dua peubah acak X dan Y dan ambil f 1 ( x ) menyatakan fdp marginal dari X.
Fdp bersyarat dari Y diberikan X=x adalah
f 2∨1 ( y∨x )= f (x , y )f 1 ( x )
pada titik dengan f 1 ( x )>0 .
Maka rataan bersyarat dari Y diberikan X=x adalah
15
E [ Y∨X ]=∫−∞
∞
y f 2∨1 ( y∨x ) dy=∫−∞
∞
yf ( x , y )f 1 ( x )
dy
bila menghadapi peubah acak jenis kontinu.Rataan bersyarat dari Y diberikan X=x , tentu fungsi dari x sendiri sebut u(x) .Dalam hal yang sama y rataan bersyarat dari X diberikan Y=y menyatakan fungsi dari y sendiri sebut v(y) . Dalam kasus u(x) fungsi linear dari x sebut u ( x )=a+bx, kita katakan rataan bersyarat dari Y adalah linear dalam x. atau Y mempunyai rataan bersyarat linear. Apabila u ( x )=a+bx, konstanta a dan b mempunyai nilai sederhana yang sekarang akan ditentukan
Akan diandaikan bahwa salah satu σ 12dan σ2
2 , variansi X dan Y adalah nol .
Dari
E [ Y∨X ]=¿ ∫−∞
∞
yf ( x , y )f 1 ( x )
dy=a+bx
kita peroleh ∫−∞
∞
yf ( x , y )dy=(a+bx ) f 1 ( x ) (1)
Jika kedua ruas Persamaan (1) diintegrasikan atas x, akan terlihat bahwa
E [ Y ]=[a+bE ( X ) ] atau μ2=a+b μ1 (2)
dengan μ1=E ( X ) dan μ2=¿ E [ Y ] Jika kedua ruas Persamaan (1) pertama dikalikan dengan x dan kemudian diintegrasikan atas x, kita peroleh
E ( XY )=aE ( X )+E ( X2 ) atau ρ σ1 σ2+μ1 μ2=a μ1+b (σ1
2+μ12 ) (3)
dengan ρ σ1 σ2 adalah kovariansi dari X dan Y Solusi persamaan simultan (2) dan (3) , menghasilkan
a=μ2−ρσ2
σ1
μ1 danb=ρσ2
σ1
Sehingga u ( x )=E (Y∨x )=μ2+ ρσ 2
σ 1( x−μ1 )
adalah rataan bersyarat dari Y diberikan X=x , apabila rataan bersyarat dari Y adalah linear dalam x. Jika rataan bersyarat dari X diberikan Y=y adalah linear dalam y rataan bersyarat diberikan oleh
u ( y )=E ( X∨ y )=μ1+ ρσ1
σ2( y−μ2 )
Berikutnya kita akan menyelidiki variansi distribusi bersyarat di bawah pengandaian bahwa rataan bersyarat linear .Variansi bersyarat dari Y diberikan oleh
var(Y∨x )=∫−∞
∞
[ y−μ2− ρσ2
σ1( x−μ1 )]
2
f 2∨1 ( y∨x )dy
16
=1
f 1 ( x ) ∫−∞
∞
[ y−μ2− ρσ2
σ1( x−μ1 )]
2
f ( x , y ) dy (4)
apabila pebah acak jenis kontinu. Variansi ini tidak negatif dan kebanyakan fungsi dari x
sendiri . kemudian jika variansi ini dikalikan dengan f 1 ( x ) dan dintegrasikan pada x hasil
akan dinyatakan menjadi tidak negatif. Hasil ini adalah
∫−∞
∞
∫−∞
∞
[ y−μ2−ρσ2
σ1( x−μ1 )]
2
f ( x , y ) dy
= ∫−∞
∞
∫−∞
∞
( y−μ2 )2−2 ρσ 2
σ 1( x−μ1 ) ( y−μ2 )+ρ2 σ2
2
σ12 ( x−μ1)2 f ( x , y ) dydx
= E [ ( y−μ2 )2 ]−2 ρσ2
σ1
E [ ( x−μ1) ( y−μ2 ) ]+ρ2 σ22
σ12 E [ ( x−μ1)2 ]
= σ 22−2 ρ
σ2
σ1
ρ σ1 σ2+ ρ2 σ22
σ12 σ1
2=σ22−2 ρ2 σ2
2+ ρ2 σ22
= σ 22 (1− ρ2 )≥ 0
Jika variansi ini ada,Persamaan (4) dinyatakan dengan k(X) maka
E [k ( X ) ]=σ22 (1−ρ2) ≥ 0 .
Sesuai dengan itu ρ2 ≤1 atau−1≤ ρ≤ 1
var(Y∨x ) ditinggalkan sebagai latihan untuk membuktikan bahwa −1 ≤ ρ≤ 1 rataan bersyarat linear atau tidak linear.
Andaikan bahwa variansi Persamaan (4) adalah positif tetapi bukan fungsi dari x ,yaitu
variansi konstanta k > 0 . Sekarang jika k dikalikan dengan f 1 ( x ) dan dintegrasikan pada x
hasilnya adalah k, sehingga k = σ 22 (1− ρ2 ).Berarti dalam kasus ini variansi setiap distribusi
bersyarat dari Y, diberikan X = x adalah σ 22 (1− ρ2 ) . Jika ρ=0 variansi setiap distribusi
bersyarat dari Y, diberikan X = x adalah σ 22, variansi distribusi marginal dari Y .Di pihak
lain ,jika ρ2 dekat ke satu variansi setiap distribusi bersyarat dari Y, diberikan X = x relatif kecil dan ada konsentrasi tinggi dari peluang karena distribusi bersyarat ini dekat rataan
E (Y∨x )=μ2+ ρσ 2
σ 1( x−μ1 )
Contoh 2Misalkan peubah acak X dan Y mempunyai rataan bersyarat linear E (Y∨x )=4 x+3 dan
E ( X∨ y )= 116
y−3 . Sesuai dengan rumus umum rataan besyarat linear, kita melihat bahwa
E (Y∨x )=μ2 jika x=μ1 dan E ( X∨ y )=μ1 jika y=μ2. Dalam kasus khusus ini, kita
mempunyai μ2=4 μ1+3 dan μ1=14
μ2−3 sehingga μ1=−15
4dan μ2=−12. Rumus umum untuk
rataan bersyarat linear juga menunjukkan bahwa berturut-turut perkalian koefisien dari X dan
17
Y sama dengan ρ2=4 ( 1
16 )=14
dengan ρ=12
(bukan -1/2), dan σ2
2
σ12 =64. Jadi dari dua rataan
bersyarat linear , kita dapat mencari μ1 , μ2 , ρ , danσ2
σ1 tapi bukan nilai σ 1dan σ 2
Contoh 3Untuk menggambarkan bagaimana koefisien konsentrasi mengukur intensitas konsentrasi peluang untuk X dan Y di sekitar satu garis. Ambil peubah acak ini mempunyai distribusi seragam atas daerah yang digambarkan dalam Gambar 1.1 yaitu fdp bersama dari X dan Y
adalah f ( x , y )= 14 ah
;−a+bx< y<a+bx ;−h<x<h
= 0 ; untuk lainnya
a E (Y∨x )=bx
-h h
-a
Gambar 1.1Di sini kita mengandaikan bahwa b ≥ 0 tetap alasan dapat dimodifikasi untuk ≤ 0 . Hal itu mudah untuk menunjukkan bahwa fdp dari X adalah seragam , namakan
f 1 ( x )= ∫−a+bx
a+ bx1
4 ahdy= 1
2 h;−h<x<h
Berarti fdp bersyarat dari Y diberikan X = x adalah seragam
f 2∨1 ( y∨x )=1/ 4 ah1/2h
= 12a
;−a+bx< y<a+bx
Rataan dan variansi bersyarat adalah
E (Y∨x )=bxdan var (Y ∨x )=a2
3
Dari pernyataan umum untuk karakteristik tersebut kita mengetahui bahwa
b=ρσ2
σ1
dana2
3=σ2
2 (1− ρ2 )
Sebagai tambahan , kita mengetahui bahwa σ 12=h2/3. Jadi kita memecahkan tiga persamaan
ini kita peroleh untuk koefisien korelasi , namakan
ρ=¿ bh
√a2+b2 h2
Mengacu ke Gambar 1.1 kita catat1. Jika a mengambil kecil (besar), pengaruh garis lurus lebih (kurang) kuat dan ρ
mendekati 1 (nol)
18
2. Jika h mengambil besar (kecil), pengaruh garis lurus lebih (kurang) kuat dan ρ mendekati 1 (nol)
3. Jika b mengambil besar (kecil), pengaruh garis lurus lebih (kurang) kuat dan ρ mendekati 1 (nol)
Misalkan f ( x , y ) menyatakan fdp bersama dari dua peubah acak X dan Y .Jika E (e t1 X+t 2Y ) ada
untuk – h1< t1<h1 ,−h2<t 2<h2 , dengan h1 dan h2 positif , itu dinyatakan oleh M ( t1 , t2 ) dan
disebut fungsi pembangkit momen (fpm) distribusi bersama dari X dan Y . Seperti dalam
kasus satu peubah acak , fpm M ( t1 , t2 ) secara lengkap menetapkan distribusi bersama dari X
dan Y dan karenanya distribusi marginal dari X dan Y. Dalam kenyataan fpm M 1 (t 1 ) dari X
adalah
M 1 (t 1 )=E ( et 1 X )=M (t 1 ,0 ) dan fpm M 2 ( t2 ) dari Y adalah
M 2 ( t2 )=E ( e t2 Y )=M ( 0 ,t 2 ) Sebagai tambahan , dalam kasus peubah acak jenis kontinu
∂k+m M (t 1, t2 )∂ t1
k ∂ t2m =∫
−∞
∞
∫−∞
∞
xk ym e t1 X+t2 Y f ( x , y ) dxdy
Sehingga
∂k+m M (t 1, t2 )∂ t1
k ∂ t2m ¿
=E ( X k Y m )Misalnya dalam notasi disederhanakan yang tampak menjadi jelas
μ1=E ( X )=∂ M (0.0 )∂t 1
, μ2=E (Y )=∂ M (0.0 )∂t 2
σ 12=E ( X2 )−μ1
2=∂2 M (0,0 )
∂ t12 −μ1
2
σ 22=E (Y 2 )−μ2
2=∂2 M (0,0 )
∂t 22 −μ2
2 (5)
E [ ( X−μ1 ) (Y−μ2) ]=∂2 M (0,0 )∂ t1 ∂ t2
−μ1 μ2
dan dari sini kita dapat menghitung koefisien korelasi ρ, Itu jelas agak baik, bahwa hasil Persamaan (5) memenuhi. Jika X dan Y adalah peubah acak jenis diskrit. Berarti koefisien korelasi dapat dinitung dengan menggunakan fdp dari distribusi bersama jika fungsi itu dengan mudah tersedia.
Contoh 4Misalkan X dan Y peubah acak jenis kontinu mempunyai fdp bersama
f ( x , y )=e− x ;0<x< y<∞
19
M ( t1 , t2 )=∫0
∞
∫0
∞
exp (t1 x+ t2 y− y ) dydx
= 1
(1−t 1−t 2) (1−t2 )
asalkan t 1+ t2<1dan t 2<1 untuk distribusi ini.Persamaan (5) menjadi
μ1=1 , μ2=2
σ 12=1; σ2
2=2 (6)
E [ ( X−μ1 ) (Y−μ2) ] =1
Periksa hasil Persamaan (6) ditinggalkan sebagai latihan . Jika sebentar lagi kita menerima
hasil ini , koefisien korelasi dari X dan Y adalah ρ= 1
√2 . Selanjutnya berturut-turut fpm dari
distribusi marginal dari X dan Y adalah
M ( t1 ,0 )= 11−t 1
; t 1<1
M ( 0 , t2 )= 1
(1−t2 )2; t 2<1
Tentu berturut-turut fpm ada , itu dari fungsi densitas peluang marginal
f 1 ( x )=∫x
∞
e− y dy=e−x ;0<x<∞
f 2 ( y )=e− y∫0
y
dx= y e− y ;0< y<∞
Soal-soal Latihan 1.3
1. Misalkan peubah acak X dan Y mempunyai densitas bersama
a. f ( x , y )=13
; ( x , y )=(0,0 ) , (1,1 ) , (2,2 ) ;0untuk lainnya
b. f ( x , y )=13
; ( x , y )=(0,2 ) , (1,1 ) , (2,0 ) ;0untuk lainnya
c. f ( x , y )=13
; ( x , y )=(0,0 ) , (1,1 ) , (2,0 ) ;0untuk lainnya
Dalam setiap kasus hitung koefisien korelasi dari X dan Y
2. Misalkan X dan Y mempunyai densitas bersama dinyatakan sebagai berikut
( x , y ) (1,1 ) (1,2 ) (1,3 ) (2,1 ) (2,2 ) (2,3 ) f ( x , y ) 2/15 4/15 3/15 1/15 1/15 4/15
dan f ( x , y ) sma dengan nol untuk lainnya.
a. Carilah rataan μ1 dan μ2 , variansi σ 12dan σ2
2 , dan koefisien korelasi Hitung
20
b. Hitung E [ Y∨X=1 ] , E [ Y∨X=2 ] dan garis μ2+ρ( σ 2
σ 1)( x−μ1 ).
Adakah titik-titik [k , E (Y∨X=k ) ]; k=1,2 terletak pada garis itu?
3. Ambil f ( x , y )=2 ;0<x< y , 0< y<1, nol untuk lainnya, merupakan fungsi densitas bersama dari X dan Y. Tunjukkan bahwa
a. E [ Y∨x ]=1+x2
;0<x<1 , dan E [ X∨ y ]= y2
;0< y<1
b. ρ ( x , y )=12
4. Tunjukkan bahwa variansi dari distribusi dari Y diberikan X = x dalam soal 3 adalah
(1−x )2
12;0<x<1 , danvariansi dari distribusi dari X diberikan Y = y adalah
y2
12 ; 0< y<1
5. Selidiki hasil Persamaan (6) dalam pasal ini.6. Misalkan X dan Y mempunyai fungsi densitas bersama f ( x , y )=¿ 1 ;-x < y < x ,
0 < x < 1, dan nol untuk lainnya.Tunjukkan bahwa grafik E [ Y∨x ] adalah garis lurus,
tetapi grafik E [ X∨ y ] bukan garis lurus7. Jika koefisien korelasi ρ dari X dan Y ada , tunjukkan bhwa −1 ≤ ρ≤ 1
Petunjuk: Perhatikan diskriminan fungsi kuadrat tidak negatif
h ( v )=E {[ ( X−μ1 )+v (Y−μ2 ) ]2} di mana v adalah real dan bukan fungsi dari x maupun y
8. Misalkan ψ (t1 , t2 )=ln M ( t1 ,t 2 ) dimana M ( t1 , t2 ) adalah fpm dari X dan Y.
Tunjukkan bahwa ∂ ψ (0,0 )
∂ ti
;∂2ψ (0,0 )
∂ t i2 i = 1,2 dan
∂2ψ (0,0 )∂t 1 ∂t 2
menghasilkan , rataan,
variansi,dan kovariansi dari dua peubah acak. Gunakan hasil ini untuk mencari ,
rataan, variansi,dan kovariansi dari f ( x , y )=e− y ;0<x< y<∞
1.4 Peubah Acak Independen
Misalkan X1 dan X2 menyatakan peubah acak dari salah satu jenis diskrit atau kontinuyang
mempunyai fdp bersama f ( x1 , x2 ) dan fungsi densitas peluang marginsl berturut-turut
f 1 ( x1 ) dan f 2 ( x2 ) , kita dapat menulis fdp bersama f ( x1 , x2 ) sebagai
f ( x1 , x2 )=f 2∨1 ( x2∨x1) f 1 ( x1 ) Andaikan kita mempunyai satu contoh di mana f 2∨1 ( x2∨x1 ) tidak bergantung pada x1. Maka
fdp marginal dari X2ada untuk peubah acak jenis kontinu.
21
f 2 ( x2 )=∫−∞
∞
f 2∨1 ( x2∨x1 ) f 1 ( x1) d x1
= f 2∨1 ( x2∨x1 ) ∫−∞
∞
f 1 ( x1 ) d x1
= f 2∨1 ( x2∨x1 )
Sesuai dengan itu f 2 ( x2 )=f 2∨1 ( x2∨ x1 ) dan f 1 ( x1 )=f 1∨2 ( x1∨x2 )
Definisi 2
Misalkan pubah acak X1 dan X2 mempunyai fdp bersama f ( x1 , x2 )dan berturut-turut fungsi
densitas peluang f 1 ( x1 ) dan f 2 ( x2 ). Peubah acak X1 dan X2 dikatakan independen jika dan
hanya jika f ( x1 , x2 )=f 1 ( x1 ) f 2 ( x2 )
Peubah acak yang tidak independen disebut dependen.
Tinjauan.
Dua komentar akan dibuat tentang definisi di atas.
Pertama, perkalian dua fungsi positif f 1 ( x1 ) f 2 ( x2 ) berarti fungsi positif pada ruang perkalian
yaitu jika f 1 ( x1 ) dan f 2 ( x2 ) positif dan hanya positif, berturut-turut ruang A1 dan A2, maka
perkalian f 1 ( x1 ) dan f 2 ( x2 ) positif, ruang perkaian A={( x1 , x2 )∨x1∈ A1 , x2∈ A2 }Misalnya jika A1= {x1∨0<x1<1}dan A2={x2∨0< x2<3 }, maka
A={( x1 , x2 )∨0<x1<1,0<x2<1 } Kedua, mengenai identitas (ciri-ciri)
Identitas dalam Definisi 2 akan diinterprestasikan sebagai berikut. Mungkin ada titik tertentu
( x1 , x2 )∈ A sehingga f ( x1 , x2 ) ≠ f 1 ( x1 ) f 2 ( x2 ) Bagaimanapun jika A himpunan titik ( x1 , x2 ) sehingga kesamaan tidak memenuhi, maka P(A) = 0
Contoh 1
Misalkan fdp bersama dari X1 dan X2 adalah f ( x1 , x2 )=x1+x2 ;0<x1<1, 0<x2<1
Akan ditunjukkan bahwa X1 dan X2 dependen. Di sini fungsi densitas marginal adalah
f 1 ( x1 )=∫0
1
f ( x1 , x2 ) d x2=∫0
1
( x1+x2) d x2 = x1+12
; 0<x1<1
dan f 2 ( x2 )=∫0
1
f ( x1 , x2 ) d x1=∫0
1
( x1+x2) d x1 = x2+12
;0<x2<1
Karena f ( x1 , x2 ) ≠ f 1 ( x1 ) f 2 ( x2 ) peubah acak X1 dan X2 dependen.
Teorema 1
22
Misalkan peubah acak X1 dan X2 mempunyai fdp bersama f ( x1 , x2 ).Kemudian X1 dan X2
independen jika dan hanya jika f ( x1 , x2 ) dapat dituliskan sebagai perkalian fungsi dari x1
yang tidak negatif dan dari x2 yang tidak negative ,yaitu
f ( x1 , x2 ) ≡ g ( x1 ) h ( x2) dengan g ( x1 )>0 , x1∈ A1 dan h ( x2 )>0 , x2∈ A2
Bukti
Jika X1 dan X2 independen, maka f ( x1 , x2 )=f 1 ( x1 ) f 2 ( x2 ) di mana f 1 ( x1 ) dan f 2 ( x2 ) beturut-turut
fungsi densitas peluang marginal dari X1 dan X2. Berati syarat f ( x1 , x2 ) ≡ g ( x1 ) h ( x2) dipenuhi.
Sebaliknya , jika f ( x1 , x2 ) ≡ g ( x1 ) h ( x2) , maka peubah acak jenis kontinu X1 dan X2, kita
punyai
f 1 ( x1 )=∫−∞
∞
g ( x1 ) h ( x2 ) d x2=g ( x1 )∫−∞
∞
h ( x2) d x2=c1 g ( x1 )
dan f 2 ( x2 )=∫−∞
∞
g ( x1 ) h ( x2 ) d x1=h ( x2 )∫−∞
∞
g ( x1) d x1=c2 h ( x2 )
di mana c1 danc2 konstanta, bukan fungsi dari x1dan x2
Selanjutnya c1 .c2=1 karena
1=∫−∞
∞
∫−∞
∞
g ( x1 ) h ( x2 ) d x1 d x2=[∫−∞
∞
g ( x1 ) d x1][∫−∞
∞
h ( x2 ) d x2]=c1 . c2
Hasil ini mengakibatkan bahwa f ( x1 , x2 ) ≡ g ( x1 ) h ( x2) ≡ c1 g ( x1) c2 h ( x2 )=f 1 ( x1 ) f 2 ( x2 )
Sesuai dengan itu X1 dan X2 independen
Jika kita meninjau Contoh 1 , kita melihat bahwa fdp bersamaf ( x1 , x2 )=x1+x2 ;0<x1<1, 0<x2<1
tidak dapat dituliskan perkalian fungsi yang tidak negatif dari x1 dan fungsi yang tidak
negatif dari x2 . Seuai dengn itu X1 dan X2 dependen.
Contoh 2Misalkan Misalkan fdp bersama dari X1 dan X2 adalah
f ( x1 , x2 )=8 x1 x2;0<x1<x2<1
Rumus 8 x1 x2 dapat memberi kesan terhadap beberapa X1 dan X2 independen. Bagaimanapun
jika perhatikan ruang ¿ {( x1 , x2 )∨0<x1<x2<1 } , kita melihat bahwa hal itu tidak ada ruang
perkalian. Secara umum, ini akan membuat hal itu jelas , bahwa X1 dan X2 harus dependen
jika ruang densitas peluang positif dari X1 dan X2 dibatasi oleh kurva yang salah satu garis mendatar atau tegak lurus.
Teorema 2Jika X1 dan X2 peubah acak independen dengan berturut-turut fungsi densitas peluang
marginal f 1 ( x1 )dan f 2 ( x2 ), maka
23
P (a< X1<b , c<X2<d )=P ¿
untuk setiap a<b dan c<d, di mana a,b,c, dan d konstanta.Bukti
Dari keindependenan X1 dan X2, fdp bersama dari X1 dan X2 adalah f 1 ( x1 ) f 2 ( x2 ). Sesuai
dengan itu dalam kasus kontinu
P (a< X1<b , c<X2<d )=∫a
b
∫c
d
f ( x1 , x2 ) d x2 d x1
= ∫a
b
f 1 ( x1 ) d x1∫c
d
f 2 ( x2 ) d x2
= P ¿atau dalam kasus diskrit
P (a< X1<b , c<X2<d )= ∑a<X 1<b
∑c<X2<d
f 1 ( x1 ) f 2 ( x2 )
= ∑a<X 1<b
f 1 ( x1 ) ∑c<X2<d
f 2 ( x2 )
= P ¿Sebagaimana adanya diperlihatkan.
Teorema 3Misalkan peubah acak independen X1 dan X2 berturut-turut mempunyai fungsi densitas
peluang marginal f 1 ( x1 )dan f 2 ( x2 ). Nilai harapan perkalian fungsi u ( X1 ) dari X1 sendiri dan
fungsi v ( X2 ) dari X2 sendiri sama dengan perkalian nilai harapan dariu ( X1 ) dan nilai harapan
dariv ( X2 ) ,yaitu
E [u ( X 1) v ( X2 ) ]=E ¿
Bukti
E [u ( X 1) v ( X2 ) ]=∫−∞
∞
∫−∞
∞
u ( x1 ) v ( x2 ) f 1 ( x1 ) f 2 ( x2 ) d x1d x2
= [∫−∞
∞
u ( x1 ) f 1 ( x1 ) d x1][∫−∞
∞
v ( x2 ) f 2 ( x2 ) d x2] = E ¿
atau dalam kasus diskrit
E [u ( X 1) v ( X2 ) ]=∑x1
∑x2
u ( x1 ) v ( x2 ) f 1 ( x1 ) f 2 ( x2 ) = ¿ = E ¿
Sebagaimana ditetapkan dalam teorema.
Contoh 4Misalkan X dan Y dua peubah acak independen dengan berturut-turut rataan μ1 dan μ2,
variansi σ 12dan σ2
2. Kita akan menunjukkan bahea keindependenan dari X dan Y meng
24
akibatkan koefisien korelasi dari X dan Y adalah nol. Ini benar karena kovariansi dari X dan Y sama dengan nol.
E [ ( X−μ1 ) (Y−μ2) ]=E ¿ = 0
Teorema 4
Misalkan X1 dan X2 menyatakan peubah acak yang mempunyai fdp bersama f ( x1 , x2 ) dan
berturut-turut mempunyai fungsi densitas peluang marginal f 1 ( x1 )dan f 2 ( x2 ). Selanjutnya
M ( t1 , t2 ) menyatakan fungsi pembangki momen (fpm) dari distribusi. Kemudian X1 dan X2
independen jika dan hanya jika M ( t1 , t2 )=M (t 1 ,0 ) M (0 , t2 )
Bukti
Jika X1 dan X2 independen , maka
M ( t1 , t2 )=E [et 1 X 1+t 2 X 2 ] = E [e t1 X1 e t2 X 2 ]=E ¿
= M ( t1 ,0 ) M ( 0 ,t 2 ) Jadi keindependenan dari X1 dan X2 mengakibatkan bahwa fpm dari faktor distribusi bersama sama dengan perkalian fungsi pembangkit momen dari distribusi marginal.Berikutnya,andaikan bahwa fpm dari distribusi bersama dari X1 dan X2 diberikan oleh
M ( t1 , t2 )=M (t 1 ,0 ) M (0 , t2 )Sekarang X1 mempunyai fpm tunggal (unik) , yang dalam kasus kontinu diberikan oleh
M ( t1 ,0 )=∫−∞
∞
e t1 x1 f 1 ( x1 ) d x1
Hal yang sama X2 mempunyai fpm tunggal , yang dalam kasus kontinu diberikan oleh
M ( 0 , t2 )=∫−∞
∞
e t2 x2 f 2 ( x2 ) d x2
Jadi kita mempunyai
M ( t1 ,0 ) M ( 0 ,t 2 )=[∫−∞
∞
e t1 x1 f 1 ( x1 ) d x1][∫−∞
∞
e t2 x2 f 2 ( x2) d x2] = ∫
−∞
∞
∫−∞
∞
e t1 x1+t2 x2 f 1 ( x1 ) f 2 ( x2 ) d x1d x2
Kita diberikan bahwa M ( t1 , t2 )=M (t 1 ,0 ) M (0 , t2 ) sehingga
M ( t1 , t2 )=∫−∞
∞
∫−∞
∞
e t1 x1+t2 x2 f 1 ( x1 ) f 2 ( x2 ) d x1d x2
Tetapi M ( t1 , t2 ) adalah fpm dari X1 dan X2 .Berarti juga
M ( t1 , t2 )=∫−∞
∞
∫−∞
∞
e t1 x1+t2 x2 f 1 ( x1 ) f 2 ( x2 ) d x1d x2
Ketunggalan fpm mengakibatkan bahwa dua distribusi peluang yang diuraikan atas f 1 ( x1 ) f 2 ( x2 ) dan f ( x1 , x2 ) adalah sama.
Jadi f ( x1 , x2 )=f 1 ( x1 ) f 2 ( x2 )
25
Yaitu jika M ( t1 , t2 )=M (t 1 ,0 ) M (0 , t2 ), maka X1 dan X2 independen. Ini melengkapi bukti
apabila peubah acak jenis kontinu. Dengan peubah acak jenis diskrit bukti dibuat dengan menggunakan jumlahan pengganti integrasi.
Soal-soal Latihan 1.4
1. Tunjukkan bahwa peubah acak X1 dan X2 dengan fdp bersama
f ( x1 , x2 )=12 x1 x2 (1−x x) ;0<x1<1,0<x2<1 , nol untuk lainnya , adalah independen.
2. Jika peubah acak X1 dan X2 mempunyai fdp ( x1 , x2 )=2e− x1− x2 ; 0<x1<x2 , 0<x2<∞ ,
nol untuk lainnya, tunjukkan bahwa X1 dan X2 depende.
3. Ambil ( x1 , x2 )= 116
;x1=1,2,3,4 dan x2=1,2,3,4 , nol untuk lainnya, merupakan fdp
dari X1 dan X2 .Tunjukkan bahwa X1 dan X2 independen.
4. Carikah P(0<X1<13
, 0< X2<13 ) jika peubah acak X1 dan X2 mempunyai fdp bersama
f ( x1 , x2 )=¿ 4 x1 (1−x2 ) ;0<x1<1,0<x2<1, nol untuk lainnya.
5. Carilah peluang gabungan kejadian a< x1<b ,−∞<x2<∞ dan−∞<x1<∞
c<x2<d jika X1 dan X2 adalah dua peubah independen dengan P(a< X1<b¿=23
dan P(
c<X 2<d¿=58
6. Jika f ( x1 , x2 )=e−x1− x2 ; 0<x1<∞ , 0<x2<∞ , nol untuk lainnya adlah fdp dari peubah
acak X1 dan X2, tunjukkan bahwa X1 dan X2 independen dan bahwa
M ( t1 , t2 )=(1−t 1 )−1 ( 1−t 2)−1; t 1<1 ,t 2<1 . Juga tunjukkan bahwa
E [e t ( X 1+X 2) t<1 ] . Sehubungan dengan itu , carilah rataan dan variansi Y= X1 + X2
7. Ambil peubah acak X1 dan X2 , mempunyai fdp bersama f ( x1 , x2 )=1π
;
( x1−1 )2+( x2+2 )2<1 , nol untuk lainnya.Carilah f 1 ( x1 ) dan f 2 ( x2 ) . Adakah X1 dan X2
independen?8. Ambil X dan Y mempunyai fdp bersama f ( x , y )=3 x ;0< y<x<1 , nol untuk lainnya,
Adakah X dan Y independenika tidak carilah E [ X∨ y ]9. Andaikan seorang laki-laki berangkat untuk bekerja antara jam 8.00 dan jam 8.30, dan
membutuhkan antara 40 dan 50 menit untuk mencapai kantor. Misalkan X menyatakan waktu keberangkatan dan ambil Y menyatakan waktu perjalanan. Jika kita mengandaikan bahwa peubah acak ini independen dan didistribusikan seragam , carilah peluang bahwa ia tiba di kanto sebelum jam 9,00
1.5 Perluasan terhadap Beberapa Peubah Acak
Gagasan tentang dua peubah acak dapat diperluas dengan segera ke n peubah acak . Kita membuat definisi ruang n peubah acak.
26
Definisi 2
Perhatikan percobaan dengan ruang sampel S. Ambil peubah acak X menyatakan terhadap
setiap unsur c∈S. Satu dan hanya satu bilangan real X i (c )=x i ; i=1,2 ,…,n .Ruang peubah
agak ini merupakan himpunan n-tupel terurut
A={( x1 x2 ,… xn )∨x1=X1 (c ) …xn=Xn (c ) , c∈ s=S }.Ambil A himpunan bagian dari A
.Kemudian P {( X1, X2 ,… Xn )∈ A }=P(C) di mana C={c∨c∈S } dan
( X1 (c ) , X2 (c ) , … X n (c ) )∈ A
Juga kita akan membuat perjanjian bahwa P {( X1, X2 , … Xn )∈ A } dapat dinyatakan oleh fungsi
peluang himpunan PX 1, X2 , … X n( A ). Tetaapi jika tidak ada kesalah pahaman , untuk mudahnya
ditulis sebagai P( A) . Kita menyatakan bahwa n peubah acak jenis diskrit atau jenis kontinu
dan mempunyai distribusi yang jenis sesuai seperti fungsi peluang himpunan P ( A ) , A⊂ A dapat dinyatakan sebagai
P ( A )=P {( X1 , X2 , … X n)∈ A }=∑A
…∑ f ( x1 , x2 , …, xn )
dan sebagai P ( A )=¿ P {( X1, X2 , … Xn )∈ A }=∫A
❑
…∫ f ( x1 , x2 , …, xn ) d x1 d x2 …d xn
Sesuai dengan konvensi perluasan definisi fdp, terlihat bahwa fungsi titik f pada hakekatnya memenuhi persyaratan fdp jika
F didefinisikan , dan tidak negatif untuk semua bilangan real dari penjelasannya. Integralnya (untuk peubah acak kontinu) atau jumlahnya (untuk peubah acak diskrit)
atas semua bilangan real sama dengan satu.
Fungsi distribusi dari n peubah acak X1 , X2 , … Xn adalah fungsi titik
F ( x1 , …, xn )=P ( X1≤ x1 , …, Xn ≤ xn)
Contoh 1
Misalkan f ( x , y , z )=e−( x+ y+ z) ;0<x , y , z<∞ merapakan peubah acak X,Y, dan Z. Maka fungsi
distribusi dari X,Y, dan Z diberikan oleh
F ( x , y , z )=P ( X ≤ x ,Y ≤ y , Z ≤ z )
= ∫0
x
∫0
y
∫0
z
e−u− v−w dudvdw
= (1−e−x ) (1−e− y) (1−e−z ) ;0 ≤ x , y , z<∞
= 0 ; untuk lainnya.
Sambil lalu . kecuali ukuran peluang nol , kita mempunyai
27
∂3 F ( x , y , z )∂ x∂ y ∂ z
=¿ f ( x , y , z )
Misalkan X1 , X2 , … Xn adalah peubah acak yang mempunyai fdp bersama f ( x1 , x2 , …, xn ) dan ambil u ( X1 , X2 ,… Xn ) adalah fungi dari peubah ini. Sehingga integral lipat –n
∫−∞
∞
…∫−∞
∞
u ( x1 , x2 , … xn ) f ( x1 , x2 , …, xn ) d x1 d x2 …dxn (1)
ada , jika peubah acak kontinu, atau jumlah lipat – n
∑xn
…∑x1
u ( x1 , x2 , … xn ) f ( x1 , x2 ,…, xn ) (2)
ada , jika peubah acak diskrit.
Integral lipat – n (atau jumlah lipat – n)disebut ekspektasi dinyatakan oleh E[u ( X1 , X2 ,… Xn )¿ dari fungsi u ( X1 , X2 ,… Xn )
Sekarang kita membicarakan uraian tentang marginal dan fungsi drnsitas peluang bersyarat dari sudut pandang n peubah acak. Semua definisi terdahulu dapat langsung diperumumkan terhadap n peubah dalam cara berikut.
Misalkan peubah acak X1 , X2 , … Xn mempunyai fdp bersama ( x1 , x2 , …, xn ) . Jika peubah
acak kontinu ,melalui penjelasan yang sama terhadap kasus dua peubah , kita mempunyai untuk setiap a < b
P (a< X1<b )=∫a
b
f 1 ( x1 ) d x1
di mana f 1 ( x1 ) ditentukan oleh integral lipat – (n-1) f 1 ( x1 )=∫−∞
∞
f ( x1 , x2 ,…, xn ) d x2d x3… dxn
Karena itu f 1 ( x1 ) adalah fdp dari satu peubah acak X1 dan f 1 ( x1 ) disebut fdp marginal dari X1
. Fungsi densitas marginal berturut-turut f 2 ( x2 ) , …, f n ( xn ) dari x2 , … xn adalah integral lipat
satu yang serupa.
Hingga saat ini masing-masing fdp telah menjadi fdp dari satu peubah acak . Hal itu sesuai untuk memperluas terminologi fungsi densitas peluang bersama. Kemudian ambil f ( x1 , x2 , …, xn ) menjadi fdp bersama dari n peubah acak X1 , X2 , … Xn tepat seperti sebelum
nya. Bagaimanapun sekarang , mari kita mengambil suatu grup dari k < n dari n peubah acak ini dan kita peroleh fdp bersama dari mereka.
Fdp bersama ini disebut fdp marginal dari grukhusus k peubah. Misalnya n = 6 ,k = 3 dan kita up khupilih grup X2 , X4 , X5. Maka fdp marginal dari X2 , X4 , X5 adalah fdp bersama dari
grup khusus tiga peubah. Sebut
∫−∞
∞
∫−∞
∞
∫−∞
∞
f ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ) d x1 d x3 d x6 jika peubah acak jenis kontinu
28
Berikutnya kita memperluas definisi fdp bersyarat , jika f 1 ( x1 )>0 .
Simbol f 2 ,… ,n∨1 ( x2 ,…, xn∨x1) =f ( x1 , x2 ,… , xn )
f 1 ( x1 )
dan f 2 ,… ,n∨1 ( x2 ,…, xn∨x1) disebut fdp bersyarat bersama dari X2 ,… Xn diberikan X1=x1
Ekspektasi bersyarat dari u ( X2 , … Xn ) diberikan X1=x1 ada untuk peubah jenis kontinu
diberikan oleh
E [u ( X 2 , … Xn∨x1 ) ]=∫−∞
∞
…∫−∞
∞
u ( x2 , …xn ) f 2 ,… ,n∨1 ( x2 , …, xn∨x1) d x2 ,…dxn
asalkan f 1 ( x1 )>0 dan integral konvergen mutlak.
Jika pubah acak jenis diskrit , ekspektasi bersyarat ada tentu dihitung dengan menggunakan jumlahan pengganti integrasi.
Misalkan X1 , X2 , … Xn mempunyai fdp bersama f ( x1 , x2 , …, xn )dan fungsi densitas peluang
marginal bertur-turut f 1 ( x1 ) , f 2 ( x2) , …, f n ( xn ) .Definisi keindependenan dari X1 dan X2
diperumumkan terhadap saling independen dari X1 , X2 , … Xn sebagai berikut. Peubah acak X1 , X2 , … Xn dikatakan saling independen jika dan hanya jika
f ( x1 , x2 , …, xn )=f 1 ( x1 ) f 2 ( x2) … f n ( xn )
Selanjutnya dari definisi saling independen dari X1 , X2 , … Xn dperoleh bahwa
P (a1< X1<b1 , a2<b2<X 2, …,an< Xn<bn)
¿ P ¿
¿∏i=1
n
P (ai< X i<bi¿)¿
dengan symbol ∏i=1
n
φ (i ) ditetapkan menjadi ∏i=1
n
φ ( i )=φ (1 ) φ (2 ) …φ (n )
Teorema bahwa
E [u ( X 1) v ( X2 ) ]=E ¿
untuk peubah acak independen X1 dan X2 .
Untuk peubah acak saling independen X1 , X2 , … Xn , menjadi
E [u1 ( X1 ) , u2 ( X2 ) , …,un ( Xn ) ]=E [u1 ( X1 )¿E [u2 ( X2 ) ]… E {un ( Xn ) ]
atau E [∏i=1
n
ui ( X i )]=∏i=1
n
E [u i ( X i ) ]
29
Fungsi pembangkit momen untuk distribusi dari peubah acak X1 , X2 , … Xn didefinisikan sebagai berikut. Ambil
E [exp (t 1 X1+ t2 X2+…+t n Xn ) ] ada untuk −hi<t i<hi , i=1,2 …,n , dengan setiap hi adalah positif.
Ekspektasi ini dinyatakan oleh M ( t1 , t2 , …,t n ) dan disebut fpm distribusi bersama dari
X1 , X2 , … Xn (atau secara sederhana pm dari X1 , X2 , … Xn).
Seperti dalam kasus satu dan dua peubah , fpm ini adalah tunggal dan secara tunggal menentukan distribusi bersama n peubah (dan karenanya semua distrusi marginal). Misalnya
fpm distribusi marginal dari X i adalah (0 , …,0 , ti , 0 ,…,0 ) , i=1,2 ,…, n , bahwa distribusi
marginal dari X i dan X j adalah M ( 0 ,…, 0 ,t i ,0 , …, 0 , t j ,0 ,…, 0 ) dan seterusnya.
Syarat perlu dan cukup untuk saling independen dari X1 , X2 , … Xn saling independen adalah
M ( t1 , t2 , …,t n )=∏i=1
n
M (0 ,…, 0 ,t i , 0 ,… ,0 )
Tinjauan
Jika X1 , X2 dan X3 saling independen , peubah acak ini berpasangan independen ( yaitu , X i dan X j , i≠ j dengan i , j=1,2,3 adalah independen
Misalkan X1 , X2 dan X3 mempunyai fdp bersama
f ( x1 , x2 , x3 )=12
; ( x1 , x2, x3 )∈ {(1,0,0 ) , (0,1,0 ) , (1,1,1 ) }
Fdp bersama dari X i dan X j , i≠ j adalah
f ij ( x i , x j )=12
; ( x i , x j )∈ {(0,0 ) , (0,1 ) , (1,0 ) , (1,1 ) }
Fdp dari X i adalah
f i ( x i )=12
; x i=0,1
Secara jelas , jika i≠ j kia mempunyai
f ij ( x i , x j ) ≡ f i ( x i ) f j ( x j )
dan berarti X i dan X j adalah independen
Bagaimanapun
f ( x1 , x2 , x3 ) ≠ f 1 ( x1 ) f 2 ( x2) f 3 ( x3 )
Jadi X1 , X2 dan X3 tidak saling independen.
Contoh 2
30
Misalkan X1 , X2 dan X3 peubah acak saling independen dan ambil masing-masing memunyai
fdp f ( x )=2 x ,0<x<1
Fdp bersama dari X1 , X2 dan X3 adalah
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 )=8x1 x2 x3;0< xi<1 , i=1,2,3
Maka E [5 X1 X22+3 X2 X3
4 ]=∫0
1
∫0
1
∫0
1
[5 x1 x22+3 x2 x3
4 ] 8 x1 x2 x3 d x1 d x2 d x3=2
Misalkan Y mempunyai maksimum dari X1 , X2 dan X3 . Kemudianmisalnya kita mempunyai
P(Y ≤12 )=P(X1≤
12
, X2≤12
, X3 ≤12 )
= ∫0
1 /2
∫0
1/2
∫0
1/2
8 x1 x2 x3 d x1 d x2 d x3 =( 12 )
6
= 164
Dalam cara yang serupa, kita mencari bahwa fungsi distribusi dari Y adalah
G ( y )=P (Y ≤ y )=0 ; y<0
= y6 ;0 ≤ y<1
= 1 ; 1≤ y
Sesuai dengan itu , fdp dari Y adalah
g ( y )=6 y5 ;0< y<1
Soal-soal Latihan 1.5
1. Misalkan X ,Y, Z mempunyai fdp f ( x , y , z )=3 ( x+ y+z )2
, 0<x<1,0< y<1,0<z<1, nol
untuk lainnya.a. Carilah fungsi densitas peluang marginal.
b. Hitung P(0<x< 12
,0< y<12
,0<z<12 ) dan P(0<x< 1
2 )=P(0< y< 12 )=P(0< z< 1
2 )c. Adakah X ,Y, Z saling independen?
d. Hitung E [ X2 YZ+3 X Y 4 Z2 ] e. Tentukan fungsi distribusi dari X ,Y, dan Zf. Carilah distribusi bersyarat dari X dan Y, diberikan Z = z , dan hitung E ( X+Y ∨z )g. Tentukan distribusi bersyarat dari X , diberikan Y = y dan Z = z dan hitung
E ( X∨ y , z )
2. Misalkan f ( x1 , x2 , x3 , )=exp [−( x1+x2+x3 ) ] ,0<x1<∞ , 0<x2<∞ ,0< x3<∞, nol untuk
lainnya, merupakan fdp bersama X1 , X2 , dan X3
a. Hitung P ( X1<X 2< X3 ) dan P ( X1=X2<X3 )b. Tentukan fpm dari X1 , X2 , dan X3 . Adakah peubahacak iniindependen ?
31
3. Misalkan X1 , X2 , X3 ,dan X4 adalah empat peubah acak , masing-masing drngan fdp
f ( x )=3 (1−x )2 , 0<x<1, nol untuk lainnya.Jika Y adalah minimum dari empat peubah
ini , carilah fungsi distribusi dan fdp dari Y
4. Misalkan M ( t1 , t2 , t3 ) adalah fpm dari peubah acak X1 , X2 , dan X3. Tunjukkan bahwa
M ( t1 , t2 , 0 )=M (t 1 ,0,0 ) M (0 , t2 , 0 ) , M (t 1 ,0 , t 3 )=M (t1 , 0,0 ) M ( 0,0 ,t 3 ) ,M (0 , t 2 , t 3 )=M (0 , t2 , 0 ) .M (0,0 , t3 )
tetapi M ( t1 , t2 , t3 ) ≠ M (t 1 ,0,0 ) M (0 , t2 ,0 ) M ( 0,0 ,t 3 ) Berarti X1 , X2 , dan X3 berpasangan
independen tetapi tidak saling independen,
5. Misalkan X1 , X2 , dan X3 adalah tiga peubah acak dengan rataan, variansi, dan koef
isien korelasi, berturut-turut dinyatakan oleh μ1 μ2 , μ3 , σ12 , σ2
2 , σ32 , dan ρ12 , ρ13 , ρ23
Jika E [ X1−μ1∨x2, x3 ]=b2 ( x2−μ2 )+b3 ( x3−μ3 ). dengan b2dan b3 adalah konstanata.
Tentukan b2dan b3 berkenan dengan variansi dan koefisien korelasi
