BAB IIIBAB IIIMetode SimpleksMetode Simpleks

Oleh :Oleh :

Devie Rosa AnamisaDevie Rosa Anamisa

PembahasanPembahasan

Pengertian UmumPengertian Umum Langkah-langkah metode simpleksLangkah-langkah metode simpleks ContohContoh

Pengertian UmumPengertian Umum

Motode simpleks adalah prosedur Motode simpleks adalah prosedur aljabar yang bersifat iteratif, yang aljabar yang bersifat iteratif, yang bergerak selangkah demi selangkah, bergerak selangkah demi selangkah, dimulai dari suatu titik ekstrem pada dimulai dari suatu titik ekstrem pada daerah fisibel (ruang solusi) menuju daerah fisibel (ruang solusi) menuju ke titik ekstrem yang optimum.ke titik ekstrem yang optimum.

Langkah-Langkah dalam Metode Langkah-Langkah dalam Metode SimpleksSimpleks

1.1. Formulasi dalam bentuk standarFormulasi dalam bentuk standar2.2. Konversi pada bentuk standartKonversi pada bentuk standart

Dalam menyelesaikan persoalan programa linier Dalam menyelesaikan persoalan programa linier dengan menggunakan metode simpleks, bentuk dasar dengan menggunakan metode simpleks, bentuk dasar yang digunakan adalah:yang digunakan adalah:

Seluruh pembatas harus berbentuk persamaan (bertanda Seluruh pembatas harus berbentuk persamaan (bertanda =) dengan ruas kanan yang non negatif=) dengan ruas kanan yang non negatif

Seluruh variabel harus merupakan variabel non negatifSeluruh variabel harus merupakan variabel non negatif Fungsi tujuan dapat berupa maksimasi atau minimasiFungsi tujuan dapat berupa maksimasi atau minimasi

Formulasi yag belum standar kedalam bantuk Formulasi yag belum standar kedalam bantuk standar :standar :

a. Pembatas (constraint)a. Pembatas (constraint) Pembatas bentanda ≤ atau ≥ dapat dijadikan suatu Pembatas bentanda ≤ atau ≥ dapat dijadikan suatu

persamaan (bertanda =) dengan menambahkan atau persamaan (bertanda =) dengan menambahkan atau mengurangi dengan suatu variabel slack pada ruas kiri mengurangi dengan suatu variabel slack pada ruas kiri pembatas tersebut.pembatas tersebut. Contoh 1: X1 + 2X2 ≤ 6 maka kita tambahkan slack s1 ≥ 0 Contoh 1: X1 + 2X2 ≤ 6 maka kita tambahkan slack s1 ≥ 0

pada ruas kiri sehingga memperoleh : X1 + 2X2 + s1 = 6pada ruas kiri sehingga memperoleh : X1 + 2X2 + s1 = 6

Contoh 2 : 3x1 + 2x2 – 3x3 ≥ 5 maka harus dikurangkan Contoh 2 : 3x1 + 2x2 – 3x3 ≥ 5 maka harus dikurangkan variabel s2 ≥ 0 pada ruas kiri sehingga diperoleh variabel s2 ≥ 0 pada ruas kiri sehingga diperoleh persamaan: 3x1 + 2x2 – 3x3 – s2 = 5persamaan: 3x1 + 2x2 – 3x3 – s2 = 5

Ruas kanan dari suatu persamaan dapat dijadikan Ruas kanan dari suatu persamaan dapat dijadikan bilangan nonnegatif dengan cara mengalikan kedua bilangan nonnegatif dengan cara mengalikan kedua ruas dengan -1.ruas dengan -1. Contoh : 2x1-3x2-7x3 = -5 secara matematis adalah Contoh : 2x1-3x2-7x3 = -5 secara matematis adalah

sama dengan -2x1+3x2+7x3 = 5sama dengan -2x1+3x2+7x3 = 5 Arah ketidaksamaan dapat berubah apabila kedua ruas Arah ketidaksamaan dapat berubah apabila kedua ruas

dikalikan dengan -1.dikalikan dengan -1. Contoh : 2 < 4 adalah sama dengan -2 > -4 Contoh : 2 < 4 adalah sama dengan -2 > -4 2x1 – x2 ≤ -5 adalah sama dengan -2x1 + x2 ≥ 52x1 – x2 ≤ -5 adalah sama dengan -2x1 + x2 ≥ 5

b. Variabelb. Variabel Suatu variabel YSuatu variabel Yi i yang tidak terbatasyang tidak terbatas dalam tanda dapat dalam tanda dapat

dinyatakan sebagai dua variabel non negatif dengan dinyatakan sebagai dua variabel non negatif dengan menggunakan subtitusi.menggunakan subtitusi.

c. Fungsi Tujuanc. Fungsi Tujuan Walaupun model standar LP dapat berupa Walaupun model standar LP dapat berupa

maksimasi atau minimasi, kadang-kadang maksimasi atau minimasi, kadang-kadang diperlukan perubahan dari satu bentuk ke diperlukan perubahan dari satu bentuk ke bentuk lainnya.bentuk lainnya.

3.3. Menentukan solusi basisMenentukan solusi basis BFS (Solusi Basis Fisibel)BFS (Solusi Basis Fisibel)

Dimana diterapkan X1 = X2 = X3 = 0 sehingga Dimana diterapkan X1 = X2 = X3 = 0 sehingga didapatkan nilai Z, S1, S2, S3 dan S4.didapatkan nilai Z, S1, S2, S3 dan S4.

BV (Basis Variabel)BV (Basis Variabel)Menentukan variabel yang akan dicari nilainya, seperti Menentukan variabel yang akan dicari nilainya, seperti : Z, S1, S2, S3 dan S4: Z, S1, S2, S3 dan S4

NBV (Non Basis Variabel)NBV (Non Basis Variabel)variabel yang dinolkan. Seperti X1, X2, dan X3.variabel yang dinolkan. Seperti X1, X2, dan X3.

4.4. Dari formulasi kanonik diatas bahwa seluruh Dari formulasi kanonik diatas bahwa seluruh NBV mempunyai koefisien yang berharga NBV mempunyai koefisien yang berharga negatif sehingga pada iterasi ini BFS belum negatif sehingga pada iterasi ini BFS belum optimal. Contoh : Z – 60X1 – 30X2 – 20X3 = 0optimal. Contoh : Z – 60X1 – 30X2 – 20X3 = 0

5.5. Menghitung rasio dan melakukan EROMenghitung rasio dan melakukan ERODidapat dari nilai solusi dibagi dengan koefisien Didapat dari nilai solusi dibagi dengan koefisien yang paling negatif Entering variabel(EV).yang paling negatif Entering variabel(EV).contoh : z - 60x1- 30x2 – 20x3 = 0contoh : z - 60x1- 30x2 – 20x3 = 08X1 + 6X2 + X3 + S1 = 48 r = 48/88X1 + 6X2 + X3 + S1 = 48 r = 48/84X1 + 2X2 + 1.5X3 +S2 = 20 r = 20/44X1 + 2X2 + 1.5X3 +S2 = 20 r = 20/42X1 + 1.5X2 + 0.5X3 +S3 = 8 r = 8/22X1 + 1.5X2 + 0.5X3 +S3 = 8 r = 8/2

EV

6.6. Menentukan LV (Leaving Variabel)Menentukan LV (Leaving Variabel)

variabel yang meninggalkan basis, variabel yang meninggalkan basis, yang memiliki yang memiliki rasio yang terkecilrasio yang terkecil dengan EV bernilai 1.dengan EV bernilai 1.

7.7. Iterasi akan berhenti jika X1, X2, X3 Iterasi akan berhenti jika X1, X2, X3 pada fungsi tujuan mencapai nilai pada fungsi tujuan mencapai nilai positif.positif.

ContohContoh

Maksimumkan : Z = Maksimumkan : Z = 60x1+30x2+20X360x1+30x2+20X3

berdasarkan :berdasarkan :

8X1 + 6X2 + X3 ≤ 48 8X1 + 6X2 + X3 ≤ 48

4X1 + 2X2 + 1.5X3 ≤ 204X1 + 2X2 + 1.5X3 ≤ 20

2X1 + 1.5X2 + 0.5X3 ≤ 82X1 + 1.5X2 + 0.5X3 ≤ 8

x2 ≤ 5x2 ≤ 5

X1,x2,x3 ≥ 0X1,x2,x3 ≥ 0

Konversi bentuk standar:Konversi bentuk standar:

maksimumkan : z = maksimumkan : z = 60x1+30X2+20x360x1+30X2+20x3

Berdasarkan :Berdasarkan :

8X1 + 6X2 + X3 + s1= 48 8X1 + 6X2 + X3 + s1= 48

4X1 + 2X2 + 1.5X3 + s2 = 204X1 + 2X2 + 1.5X3 + s2 = 20

2X1 + 1.5X2 + 0.5X3 + s3 = 82X1 + 1.5X2 + 0.5X3 + s3 = 8

x2 + s4 = 5 x2 + s4 = 5

Menentukan BFSMenentukan BFSx1=x2=x3=0x1=x2=x3=0BV = {z,s1,s2,s3,s4}BV = {z,s1,s2,s3,s4}NBV= {x1,x2,x3}NBV= {x1,x2,x3}BFS = Z -60x1 - 30x2 - 20X3 = 0BFS = Z -60x1 - 30x2 - 20X3 = 0 8X1 + 6X2 + X3 + S1 = 48 8X1 + 6X2 + X3 + S1 = 48

4X1 + 2X2 + 1.5X3 + S2 = 204X1 + 2X2 + 1.5X3 + S2 = 20 2X1 + 1.5X2 + 0.5X3 2X1 + 1.5X2 + 0.5X3 + S3 + S3

= 8= 8 x2 +S4 = 5x2 +S4 = 5 .: z= 0 , S1 = 48, S2 = 20 , S3 = 8, S4 = 5.: z= 0 , S1 = 48, S2 = 20 , S3 = 8, S4 = 5

Bentuk TabelBentuk Tabel

Dilihat dari Z maka X1 yang memiliki Dilihat dari Z maka X1 yang memiliki koefisien paling negatifkoefisien paling negatif

Menghitung rasio:Menghitung rasio:

Menentukan LV Menentukan LV rasio terkecil : 4 maka: rasio terkecil : 4 maka:

Rasio terkecil

Baris ke-4 untuk pivotnya : 2/2 = 1Baris ke-4 untuk pivotnya : 2/2 = 1

Nilai basis untuk kolom ke-3:Nilai basis untuk kolom ke-3: Baris 1: -30-(-60*0.75)Baris 1: -30-(-60*0.75) = -30-45 = 15= -30-45 = 15

Baris 2: 6-(8*0.75)Baris 2: 6-(8*0.75) 6 – 6 = 06 – 6 = 0

Baris 3: 2-(4*0.75)Baris 3: 2-(4*0.75) = 2 -3 = -1= 2 -3 = -1

Baris 4:1-(0.0.75)Baris 4:1-(0.0.75) = 1= 1

Nilai basis untuk kolom 4 :Nilai basis untuk kolom 4 :

Baris 1: -20-(-60*0.25)Baris 1: -20-(-60*0.25)

= -20+15= -5= -20+15= -5

Baris 2: 1-(8*0.25)Baris 2: 1-(8*0.25)

= 1 – 2 = -1= 1 – 2 = -1

Baris 3: 1.5-(4*0.25)Baris 3: 1.5-(4*0.25)

=1.5 - 1 = 0.5=1.5 - 1 = 0.5

Baris 4:0-(0*0.25)Baris 4:0-(0*0.25)

= 0= 0

Solusi SementaraSolusi Sementara

Karena nilai z masih terdapat yang Karena nilai z masih terdapat yang bernilai negatif sedangkan fungsi bernilai negatif sedangkan fungsi tujuan adalah tujuan adalah memaksimumkanmemaksimumkan maka dilakukan langkah selanjutnya, maka dilakukan langkah selanjutnya, dan akan berhenti jika dan akan berhenti jika nilai z tidak nilai z tidak terdapat negatifterdapat negatif..

Hasil AkhirHasil Akhir

TugasTugas

Memaksimumkan : Z = 3x1 + 9x2Memaksimumkan : Z = 3x1 + 9x2

Berdasarkan : Berdasarkan :

x1 + 4x2 x1 + 4x2 ≤ 8≤ 8

x1 + 2x2 ≤ 4x1 + 2x2 ≤ 4

x1,x2 ≥ 0x1,x2 ≥ 0 Carilah x1,x2,s1.s2 dan z !Carilah x1,x2,s1.s2 dan z !

Memaksimumkan : Z = 3x1 + 5x2Memaksimumkan : Z = 3x1 + 5x2

Berdasarkan :Berdasarkan :

x1 x1 ≤ 4≤ 4

2x2 ≤ 122x2 ≤ 12

3x1 + 2x2 ≤ 183x1 + 2x2 ≤ 18

x1,x2 ≥ 0x1,x2 ≥ 0 Cari x1, x2 dan z !Cari x1, x2 dan z !

Terima KasihTerima Kasih