9/28/2009

1

Handout Matematika Teknik I D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 1

BAB III. LIMIT & KEKONTINUAN

- Limit fungsi:

- Limit sepihak

- Limit di satu titik

- Limit tak hingga

- Limit di tak hingga

- Prinsip apit

- Kekontinuan fungsi di satu titik

Handout Matematika Teknik I D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 2

Limit fungsi di satu titik

Konsep limit merupakan dasar dari kalkulus diferensial dan

kalkulus integral.

Prilaku dari grafik fungsi :

Contoh :

→( )4x

8x2xxf

2

−−−= ( ) ( )( )

424

24 ≠+=−

+−= x,xx

xxxf

Handout Matematika Teknik I D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 3

Limit fungsi di satu titik

Gambar grafik

Dari grafik tersebut terlihat, bahwa jika nilai cukup

mendekati 4, maka nilai akan mendekati 6.

x

( )xf

Handout Matematika Teknik I D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 4

Limit fungsi di satu titik

Hal tersebut dapat dilihat pada tabel berikut

Sehingga secara intuisi, limit di satu titik dapat

didefinisikan sebagai berikut :

misal terdefinisi pada interval I yang memuat c, dan

tidak terdefinisi di c, nilai akan mendekati L, bila

mendekati c.

Notasi :

3.5 3.899 3.999 3.9999 4 4.001 4.011 4.1 4.2

5.5 5.899 5.999 5.9999 ..... 6.001 6.011 6.1 6.2

x

( )xf

( )xf

( )xf

x

( )xf

( ) Lxflimcx

=→

9/28/2009

2

Handout Matematika Teknik I D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 5

Limit sepihak

Misalkan adalah fungsi yang terdefinisikan pada suatu

interval buka (a, b), yang memuat titik c, dan tidak

terdefinisi di c, maka :

1. untuk suatu yang cukup dekat dengan c dari kanan,

nilai mendekati L. Notasi disebut

limit kanan

2. untuk suatu yang cukup dekat dengan c dari kiri,

nilai mendekati G,

Notasi disebut limit kiri

ff

x

x

( )xf

( )xf ( ) Lxflimcx

=+→

( ) Gxfcx

=−→

lim

Handout Matematika Teknik I D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 6

Limit sepihak dan limit di satu titik

( ) ( ) ( )xflimLxflimLxflimcxcxcx −+ →→→

==⇔=

Teorema

Contoh

( )x

xxf =

Periksa apakah f(x) memiliki limit di x = 0?

Handout Matematika Teknik I D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 7

Sifat-sifat limit

Misalkan limit dari dua fungsi dan adalah berturut-

turut L dan G, maka :

1.

2.

3. syarat G ≠ 0

4.

( ) ( )[ ] ( ) ( ) GLxgxfxgxf ±=±=± limlimlim

( ) ( )[ ] ( ) ( ) GLxgxfxgxf == limlimlim

( )( )

( )( ) G

L

xg

xf

xg

xf ==lim

limlim

( ) ( ) 0,limlim >== LLxfxf nnn

f g

Handout Matematika Teknik I D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 8

Limit trigonometri

� Dengan menggunakan prinsip apit

1xsin

xlim

0x=

→

1xtan

xlim

0x=

→

1x

xsinlim

0x=

→

1x

xtanlim

0x=

→

( )1

ax

axsinlim

ax=

−−

→

( )1

ax

axtanlim

ax=

−−

→

9/28/2009

3

Handout Matematika Teknik I D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 9

Contoh 1

Hitung

Jawaban :96

)3(cos1lim

23 +++−

−→ xx

xx

)3(cos1

)3(cos1

96

)3(cos1lim

96

)3(cos1lim

2323 ++++

+++−=

+++−

−→−→ x

x

xx

x

xx

xxx

))3(cos1()3()3(

)3(sinlim

2

3 +++++

=−→ xxx

x

x

)3(cos1

1lim

)3(

)3(sinlim

)3(

)3(sinlim

333 ++++

++

=−→−→−→ xx

x

x

xxxx

21

2111 ==

Handout Matematika Teknik I D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 10

Contoh 2

11

11

11

sinlim

0 +−+−

−−→ x

x

x

x

x

x

xx

x −+−=

→

)11(sinlim

0

=−−→ 11

sinlim

0 x

x

x

2−=

Handout Matematika Teknik I D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 11

Contoh 3

22

22

22

)22(

2

)22(tanlim

2 ++++

−+−+

−−+=

→ x

x

x

x

x

x

x

)22()2(

42lim

2 ++−−+=

→ xx

x

x

2

)22(tanlim

2 −−+

→ x

x

x

4

1

)22()2(

2lim

2=

++−−=

→ xx

x

x

Handout Matematika Teknik I D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 12

Latihan

1.

2.

1...

2x

xcoslim

2x

−==−→ ππ

2

1...

x

xcos1lim

20x==−

→

9/28/2009

4

Handout Matematika Teknik I D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 13

Limit tak hingga dan di tak hingga

- Limit tak hingga yaitu untuk suatu yang cukup dekat

ke suatu titik tertentu, nilai membesar tanpa batas

atau mengecil tanpa batas.

Contoh :

- Limit di tak hingga yaitu misal terdefinisi pada

interval (a, +∞), bila untuk suatu yang membesar

tanpa batas atau suatu yang mengecil tanpa batas

pada (-∞, b), nilai mendekati suatu nilai tertentu

misal L, maka

Contoh :

f

f

f

x

x

x

( ) Lxflimx

=±∞→

01 =

∞→ xlimx

∞=−→

20

1

xlim

x

Handout Matematika Teknik I D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 14

Contoh 1

Bila , maka = ?

Jawab :

2525

2−

−−=

x

x)x(f )(lim xf

x ∞→

( )( ) 21

2lim25

52lim

25

5

2=

−

−−=

−−−

∞→∞→x

x

xx xx

x

x

x

Handout Matematika Teknik I D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 15

Contoh 2

Jawab:

( )x

x

x 2

2sin2lim

∞→

( ) ?sinlim 2 =∞→ xx

x

( )=∞→ xx

x 2sinlim( )

2sin2

lim2

2

02==

→x

x

x

Handout Matematika Teknik I D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 16

Contoh 3

Tentukan nilai agar

Jawab :

a 2lim22

=−−

→ ax

ax

ax

1

22

2lim

2)()(

lim2lim22

=→=→

=+→

=−

+−→=−−

→

→→

a

a

axax

axax

ax

ax

ax

axax

9/28/2009

5

Handout Matematika Teknik I D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 17

Prinsip apit

Misalkan , , dan adalah fungsi yang terdefinisi

pada interval I yang memuat c, dan ketiga fungsi tersebut

tidak terdefinisi di titik c, serta berlaku .

Bila , maka

Grafik sebagai berikut

.

f g h

( ) ( ) ( )xhxgxf ≤≤

( ) ( ) Lxhxfcxcx

==→→

limlim ( ) Lxgcx

=→

lim

Handout Matematika Teknik I D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 18

Contoh

Tentukan

Jawab :

xx

xx ≤

≤− 1sin

→ xsinxlim

x

1

0

11

sin1 ≤

≤−x

00

lim1

sinlimlim000

=

≤

≤−→→→

xx

xxxxx

01

sinlim0

=

→→ x

xx

Handout Matematika Teknik I D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 19

Latihan

I. Tentukan nilai limit berikut bila ada

1.

2.

3.

4.

xxxx

−+∞→

3lim 2

1lim

2 +−∞→ x

x

x

21 1

1lim

x

x

x −−

→

( ) ( )213lim

4

2

1 −−−

→ xx

xx

x

Handout Matematika Teknik I D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 20

Latihan

5.

6.

7.

8.

1

1lim

3

2

1 −−

→ x

x

x

)cos1(lim 1xx

x −−∞→

( )xx

x 2sin4lim∞→

x

x

x cos1lim

2

0 −→

9/28/2009

6

Handout Matematika Teknik I D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 21

Latihan

9.

10.

11.

12.

( )2

22sinlim

2 −−+

→ x

x

x

2

11lim

2 −−−

→ x

x

x

x

x

x sinlim

−ππ→

3lim

3 −→ x

x

x

Handout Matematika Teknik I D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 22

Kekontinuan fungsi

Misal terdefinisi pada interval I yang memuat c, dan

dikatakan kontinu di titik , jika dan hanya jika

memenuhi syarat-syarat berikut :

1. terdefinisi di

2. ada

3.

f

f

f

cx =

( )xf cx =

( )xflimcx→

( ) ( )cfxflimcx

=→

Handout Matematika Teknik I D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 23

Contoh 1

Periksa apakah kontinu di

Jawab :

1. terdefinisi

2.

3.

Karena ketiga syarat dipenuhi maka kontinu di

( )

≥+<+=

122

132

x,x

x,xxf 1=x

( ) ( ) 42121 =+=f

( ) 4xflim,2x2lim43xlim1x1x

2

1x=+==+

→→→ +−

( ) ( ) 41lim1

==→

fxfx

f 1=x

Handout Matematika Teknik I D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 24

Contoh 2

Tentukan agar kontinu di

Jawab :

Agar kontinu, ketiga syarat harus dipenuhi

1. terdefinisi

2. →

Diperoleh bahwa

3.

a ( )

≥+<+

=1,13

1,2

xx

xaxxf 1=x

( )xf

( ) 41 =f

413lim2lim11

=+=++− →→

xxaxx

42a =+

2=a

( ) ( ) 4lim11

==→

xffx

9/28/2009

7

Handout Matematika Teknik I D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 25

Latihan

I. Tentukan

1.

2.

3.

Tentukan k agar

2

33lim

2

2

2 −++++

−→ xx

aaxx

x

=−+−

−→ xaax

ax

ax 22)(sinlim

( )

−=

−≠+−

=3,

3,3

92

xk

xx

xxf

( ) ( )xffx 3lim3

−→=−

Handout Matematika Teknik I D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 26

Latihan

II. Tentukan kekontinuan fungsi-fungsi berikut

1. di titik asalnya

2. di

3. Tentukan konstata a,b

( ) x)x(xf 1+=

( )

≤−>+

=2x,1x

2x,1xxf 2

( )

≤+

>−

−+=

13

11

42

x,x

x,x

bxaxxf

2=x