BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Anuitas

Anuitas adalah sejumlah pembayaran yang sama besarnya yang

dibayarkan setiap akhir jangka waktu dan terdiri atas bagian bunga dan bagian

angsuran. Bunga anuitas adalah modifikasi dari bunga efektif. Prinsip bunga

anuitas hampir sama dengan bunga efektif yaitu menggunakan perhitungan bunga

yang fair, yaitu bunga dihitung dari sisa pokok yang belum dibayar.

Perbedaan bunga anuitas dengan bunga efektif adalah pada jumlah

angsuran per bulannya. Dalam bunga efektif, angsuran menurun sejalan dengan

berkurangnya bunga; sedang dalam bunga anuitas angsuran dibuat sedemikian

rupa agar sehingga tiap bulannya jumlahnya tetap. Seperti bunga efektif, bunga

anuitas biasanya dipakai pada perhitungan kredit jangka panjang misalnya KPR

atau kredit usaha.

Dalam praktiknya bunga anuitas lebih sering digunakan daripada pertuitas.

Anuitas didefinisikan sebagai barisan pembayaran dengan durasi yang terbatas

. Dalam hal ini kita mempertimbangkan beberapa tipe standard dari anuitas

atau anuitas khusus.

Nilai saat ini (present value) dari anuitas dengan pembayaran tahunan

dari 1 dimulai dari waktu ke 0, dinotasikan dengan dengan

(1.7.1)

Memandang anuitas sebagai dua perpetuitas yang berbeda (yang pertama

dimulai dari waktu ke 0, dan yang kedua dimulai dari waktu ke-n), kita peroleh

(1.7.2)

Hasil ini dapat diverifikasi secara perhitungan langsung dengan

penjumlahan geometri (1.7.1).

Dengan cara yang sama, dari (1.6.2), (1.6.3), dan (1.6.4) diperoleh rumus

(1.7.3)

(1.7.4)

(1.7.5)

Perhatikan bahwa hanya pembaginya yang berubah, bergantung pada mode

pembayaran (langsung/mengangsur) dan frekuensinya. Perhatikan bahwa harus

bilangan bulat pada (1.7.2) dan (1.7.3), dan kelipatan dari pada (1.7.4) dan

(1.7.5).

Akhir atau nilai akumulasi dari anuitas juga merupakan bunga. Hal ini

didefinisikan sebagai nilai akumulasi dari aliran pembayaran pada waktu ke- dan

symbol yang sering digunakan adalah Nilai akhir diperoleh dengan mengalikan

nilai awal dengan faktor akumulasi .

(1.7.6)

(1.7.7)

(1.7.8)

(1.7.9)

Hubungan sederhana lainnya antara nilai awal dan nilai akhir dari anuitas konstan

dapat dengan mudah ditunjukkan:

(1.7.10)

Perhatikan kenaikan angsuran anuitas dengan parameter dan :

Waktu Pembayaran

0

…

…

Kenaikan anuitas tersebut dapat direpresentasikan sebagai kenaikan perpetuitas

dimulai dari waktu ke 0, dikurangi kenaikan identic perpetuitas dimulai dari

waktu ke Sehingga dapat kita tulis

(1.7.11)

Mensubtitusikan (1.6.6) dan (1.6.3) dan menggunakan (1.7.4), diperoleh

persamaan

(1.7.12)

Serupa dengan nilai saat ini dari anuitas langsung yang berkorespondensi

diperoleh

(1.7.13)

Perhatikan bahwa pada persamaan tersebut harus sebagai pengali dari

Kasus khusus yang penting adalah kombinasi dari dan dan

dan dan , dan dan

Persamaan (1.7.12) dan (1.7.13) memfasilitasi evaluasi dari nilai sekarang dan

nilai akhir untuk kombinasi ini.

Anuitas hanya anggap sebagai kenaikan anuitas standard yang diketahui (I).

penurunan anuitas standard (D) adalah sama, tetapi pembayarannya dibuat dalam

urutan terbalik. Jumlah dari kenaikan anuitas standard dan penurunan anuitas

standard yang sesuai selalu berupa anuitas konstan.

Hubungan ini membawa ke nilai sekarang, dan kita peroleh

(1.7.14)

Menggunakan (1.7.12) dan (1.7.14) dan identitas

(1.7.15)

Kita peroleh

(1.7.16)

Turunan langsung dari identitas ini juga menginstruksikan: penurunan angsuran

anuitas dapat diinterpretasikan sebagai perpetuitas konstan dengan kali

pembayaran dari dikurangi deret angsuran perpetuitas yang ditangguhkan,

setiap pembayaran konstan dari dan dimulai dari waktu

2.2 Pelunasan Hutang

Misal S adalah nilai saat waktu 0 dari hutang yang harus dilunasi dengan pembayaran r1, r2,...,rk saat akhir tahun ke k = 1, 2, 3 ... n. Maka S harus menjadi nilai sekarang dari pembayaran :

(1.8.1)

Misal Sk hutang pokok yang belum lunas atau sisa hutang setelah rk dibayarkan. Itu terdiri dari hutang tahun sebelumnya, akumulasi dari satu tahun minus rk :

(1.8.2)

(1.8.3)

Dari (1.8.3) jelas bahwa setiap pembayaran terdiri dari dua komponen yaitu bunga pada hutang dan potongan dari uang pokok.

(1.8.4)

(1.8.5)

Formula retrospeksi (1.8.4) dan formula prospektif (1.8.5) untuk hutang pokok yang belum lunas.

Pembayaran r1, r2, ... rk seharusnya dipilih secara acak, subjek untuk batas (1.8.1).

Misal hutang dari S=1 dapat dibayar ulang dengan pembayaran

(1.8.6)

Pada kasus tersebut, hanya bunga yang dibayarkan untuk n-1 pertama dan seluruh hutang dibayar bersama dengan bunga terakhir di akhir tahun ke-n.

Dari (1.8.1) diperoleh :

(1.8.7)

Merupakan bentuk lain dari persamaan (1.7.3)

Hutang dari S=1 juga dapat dibayar ulang dengan pembayaran konstan dari

(1.8.8)

Sebagai satu alternatif untuk pembayaran ulang kreditor saat waktu 1, ..., n-1 dapat membayar hanya bunga dari S seperti persamaan (1.8.6). tujuan untuk menutup pembayaran ulang terakhir dapat dengan membuat sama deposit dengan simpanan yang terakumulasi dari 1 pada akhir tahun ke-n. Diperoleh bahwa

deposit tahunan harus . Karena total keluaran tahunan harus sama dengan

kedua kasus, kita gunakan lagi persamaan (1.7.10).

Misalkan sekarang kita bayar ulang hutang dari S=n sehingga hutang pokok

menurun secara linier menuju 0. untuk . Dari

persamaan (1.8.3) jelas bahwa . Dengan menggunakan

(1.8.1) kita peroleh satu identitas :

(1.8.9)

Diperoleh :

(1.8.10)

Hasil tersebut merupakan kasus khusus dari persamaan (1.7.16) dengan (m = q = 1)

Pinjaman sendiri biasanya terdiri dari barisan dari pembayaran. Asumsikan total pembayaran dari 1 telah diterima oleh debtor (orang yang berhutang) saat waktu 0, 1, ... n-1. Pada akhir dari setiap tahun bunga dari jumlah yang diterima telah terbayar dan total jumlah yang diterima telah terbayar saat waktu n :

, (1.8.11)

(1.8.12)

Banyak cara dari pembayaran ulang yang dapat diperoleh. Nilai sekarang dari angsuran annuitas dapat diturnkan jika dengan asumsi bahwa bunga dibayar tetap. Versi lain adalah dengan mengasumsikan bahwa bunga terdebitkan m kali setahun dan hutang terbayar lagi q kali setahun pada cicilan yang sama (q faktor dari m)

2.3 Tingkat Internal Keuntungan

Seorang investor membayar harga ,yang memberikan hak dia untuk n

pembayaran di masa mendatang.Pembayaran dinotasikan dengan ,..., dan

pembayaran pada saat ,untuk = 1,..., .Apa yang dimaksud dengan tingkat

internal keuntungan ?

Nilai sekarang dari aliran pembayaran yang akan diterima oleh investor adalah

fungsi dari kuasa bunga .Didefinisikan

(1.9.1)

Misal solusi dari persamaan

(1.9.2)

Tingkat internal keuntungan atau hasil investasi didefinisikan sebagai .

Persamaan (1.9.2) mungkin dipecahkan dengan metode numerik biasa,seperti membagi dua bagian interval atau metode Newton-Raphson.Kita akan memperkenalkan metode yang lebih efisien daripada sebelumnya dan lebih sederhana daripada metode sebelumnya.

Perhatikan fungsi

, (1.9.3)

(dimana menunjukkan jumlah terdiskonto dari pembayaran).Ini

tidak sulit untuk membuktikan bahwa

(1.9.4)

(Ketaksamaan terakhir dapat dibuktikan dengan menafsir sebagai sesuatu

yang varians).Menafsirkan sebagai kemiringan garis potong dan tidak ada

yang sebagai fungsi cembung pada (1.9.4),kita dapat melihat bahwa adalah

fungsi naik dari .Karena,untuk memiliki ketaksamaan

(1.9.5)

diberikan

(1.9.6)

Kita akan membuktikanbahwa

(1.9.7)

Jika salah satu memiliki batas bawah dan batas bawah untuk solusi dari

(1.9.2),batas ini boleh dengan segera dibuktikan di (1.9.7).

Prosesnya mungkin adalah iterasi,hasil dari algoritma berikut: Mulai dengan

sebarang nilai dan hitung nilai dengan rumus berulang

, (1.9.8)

Untuk akan menghasilkan barisan monoton naik dan konvergen ke

.Untuk barisan akan monoton turun menuju .Sebarang nilai positif

mungkin dipilih untuk .

Metode ini akan mengilustrasikan keamanan (permukaan berjumlah Fr.5000,kupon tahunan Fr.300).Anggap bahwa keamanan telah dibeli untuk Fr.5250,untuk sisa waktu berjalan selama 9 tahun.Maka kita mempunyai

Dengan asumsi kita tahu bahwa hasil saat efek serupa terletak di antara 5% dan

5,5%,kita dapat menggunakan (1.9.7) dengan dan untuk

mendapatkan peningkatan batas untuk hasil investasi .Kita akan menetapkan batas

0,051461<t<0,051572,dan memperoleh :

5,2808%<i<5,2925% (1.9.9)

Algoritma didefinisikan dengan rumus (1.9.8) mungkin digunakan untuk memperoleh ketelitian yang lebih besar.Perintah menunjukkan efesiensinya,kita

memiliki pilihan nilai kecil ( ) dan nilai besar (

).Hasilnya dikumpulkan seperti tabel berikut.Solusi dari kedua

kasus pada 4 iterasi.

k

0

1

2

3

4

0,009950

0,050612

0,051503

0,051524

0,051525

0,01

0,051914

0,052853

0,052875

0,052875

0,095310

0,052627

0,051551

0,051525

0,051525

0,1

0,054037

0,052902

0,052876

0,052875

Sebuah kondisi yang cukup untuk keberadaan tingkat internal keuntungan seperti

yang didefinisikan (1.9.2),semua pembayaran positif. Jika beberapa

pembayaran adalah negatif (pada prakteknya ini berarti investor memiliki persediaan modal tambahan),persamaan (1.9.2) ,memiliki beberapa akar.Tingkat internal keuntungan tidak didefinisikan dalam kasus.