Embed Size (px)
DESCRIPTION
BAB 3 PEMBUKTIAN VALIDITAS KALIMAT LOGIKA. ASUMSI SALAH Perlu pembuktian nilai True untuk semua interpretasi (2 n) Membutuhkan langkah pembuktian yang panjang Akan lebih mudah membuktikan bahwa ada 1 interpretasi yang menyebabkan nilai kalimat salah Tidak valid - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
BAB 3 PEMBUKTIAN VALIDITAS KALIMAT LOGIKA
ASUMSI SALAH
Perlu pembuktian nilai True untuk semua interpretasi (2n)
Membutuhkan langkah pembuktian yang panjang
Akan lebih mudah membuktikan bahwa ada 1 interpretasi yang menyebabkan nilai kalimat salah Tidak valid
• Asumsi salah tidak mungkin terjadi Valid
Contoh Soal 3.1
Buktikan validitas kalimat A : if ((not x) or (not y)) then (not(x and y))
Jawab :
Bentuk kalimat implikasi A : A1 A2 (~ x ~ y) ~ (x y)
Misalkan A diasumsikan salah yang berarti :
Antsenden/premis/hipotesis A1 benar (~ x ~ y) = T
konklusi/konsekuen A2 salah ~ (x y) = F
Ada dua cara pembuktian valid/tidak valid A : (~ x ~ y) ~ (x y)
a.) Dimulai dari konklusi dulu (A2 = F) periksa apakah hipotesisnya (A1 = T) ?
b). Dimulai dari hipotesisnya dulu (A1 = T) periksa apakah konklusinya (A2 = F) ?
a). Konklusi A2 : ~ (x y) = F (x y) = T x = T dan y =T
Periksa hipotesis A1 : (~ x ~ y) = F F = F seharusnya A1 = T
Asumsi A = F tidak pernah terjadi kalimat A valid
b) Hipotesis A1 = (~ x ~ y) = T, ada beberapa kemungkinan :
Hipotesis A1
(~ x ~ y) = T
Akibatnya pada konklusi A2
~ (x y)
Kondisi A2 yang diperoleh dari asumsi salah
Kontradiksi ?
Ya/tidak
x = F dan y = F T F Ya
x = F dan y = T T F Ya
x = T dan y = F T F Ya
Asumsi A = F tidak pernah terjadi kalimat A valid
Contoh Soal 3.2
Buktikan validitas kalimat B : (if x then y) if and only if ((not x) or y)
Jawab :
Bentuk kalimat B biimplikasi B1 B2 (x y) (~x y)
Misalkan B diasumsikan salah, maka ada 2 kemungkinan :a). hipotesis B1 benar (x y) = T dan konklusi B2 salah (~x y) = Fb). hipotesis B1 salah (x y) = F dan konklusi B2 benar (~x y) = T
Hipotesis B1
(x y) = T
Akibatnya pada konklusi B2
(~x y) = F
Kondisi yang diperoleh dari asumsi salah
Kontradiksi ?
Ya/tidak
x = T dan y = T T F Ya
x = F dan y = T T F Ya
x = F dan y = F T F Ya
a1). Dimulai dari hipotesis dulu (x y) = T dan (~x y) = F
Konklusi B2
(~x y) = F
Akibatnya pada hipotesis B1
(x y)
Kondisi yang diperoleh dari asumsi salah
Kontradiksi ?
Ya/tidak
x = T dan y = F F T Ya
a2). Dimulai dari konklusi dulu (x y) = T dan (~x y) = F
b1). Dimulai dari hipotesis dulu (x y) = F dan (~x y) = T
Hipotesis B1
(x y) = F
Akibatnya pada konklusi B2
(~x y) = F
Kondisi B2 yang diperoleh dari asumsi salah
Kontradiksi ?
Ya/tidak
x = T dan y = F F T Ya
b2). Dimulai dari konklusi dulu (x y) = F dan (~x y) = T
Konklusi B2
(~x y) = T
Akibatnya pada hipotesis B1
(x y)
Kondisi B1 yang diperoleh dari asumsi salah
Kontradiksi ?
Ya/tidak
x = F dan y = T T F Ya
x = T dan y = T T F Ya
x = F dan y = T T F Ya
Jadi asumsi B = F tidak pernah terjadi kalimat B valid
Contoh Soal 3.3
Buktikan validitas kalimat C : if (if x then y) then (if (not x) then (not y))
Bentuk kalimat C implikasi C1 C2 (x y) (~x ~ y)
Misalkan C diasumsikan salah yang berarti :
hipotesis C1 benar (x y) = T
konklusi C2 salah (~x ~ y) = F
Hipotesis C1
(x y) = T
Akibatnya pada konklusi C2
(~x ~ y)
Kondisi C2 yang diperoleh dari asumsi salah
Kontradiksi ?
Ya/tidak
x = T dan y = T T F Ya
x = F dan y = T F F Tidak
x = F dan y = F T F Ya
Dimulai dari hipotesis dulu : (x y) = T dan (~x ~ y) = F
Konklusi C2
(~x ~ y) = F
Akibatnya pada hipotesis C1
(x y)
Kondisi C2 yang diperoleh dari asumsi salah
Kontradiksi ?
Ya/tidak
x = F dan y = T T F Ya
Dimulai dari konklusi dulu : (x y) = T dan (~x ~ y) = F
Jadi asumsi C = F dapat terjadi kalimat C tidak valid
POHON SEMANTIK Misalkan suatu kalimat logika A terdiri dari 3 proposisi p, q dan r
Pohon semantik dimulai dengan cabang tertinggi untuk proposisi pertama (p)
Cabang tertinggi ini terdiri cabang kiri (T) dan cabang kanan (F)
Perhatikan cabang kiri No. 2 :
• Bila dengan p = T nilai kebenaran dari A sudah dapat ditentukan (bernilai benar atau salah), maka cabang No. 2 ini tidak bercabang, misalkan nilainya salah
• Bila belum dapat ditentukan, maka cabang ini akan bercabang lagi, yaitu cabang kiri (T) dan cabang kanan (F) untuk proposisi kedua q
p = T p = F
F 3
p = T p = F
2 3
1
p = T p = F
4
3
5
q = T q = F
Perhatikan cabang kiri No. 4 :
• Bila dengan p = T dan q = T nilai kebenaran dari A sudah dapat ditentukan (bernilai benar atau salah), maka cabang No. 4 ini tidak bercabang, misalkan nilainya benar
• Bila belum dapat ditentukan, maka cabang ini akan bercabang lagi, yaitu cabang kiri (T) dan cabang kanan (F) untuk proposisi ketiga r
p = T p = F
T
3
5
q = T q = F
p = T p = F
3
5
q = T q = F
6 7
r = T r = F
• Langkah-langkah tersebut di atas diulangi lagi untuk cabang-cabang lain
• Kalimat logika dikatakan valid bila semua cabangnya bernilai benar, bila ada cabangnya yang bernilai salah, maka kalimat tsb dikatakan tidak valid
• Bila semua cabang bercabang lagi, maka pohon semantiknya menjadi :
p = T
T T
r = T r = F
T T
r = T r = F
T F
r = T r = F
T T
r = T r = F
p = F
q = T q = F q = T q = F
• Metoda pohon semantik dapat lebih efisien dari metoda tabel kebenaran
Contoh Soal 3.4
Tentukan validitas kalimat G : if (if x then y) then (if (not x) then not y)
Jawab :
Bentuk kalimat G implikasi :G1 G2p = T p = F
2 3
1
G : (p q) (~ p ~ q)
Periksa cabang No. 2 :
Bila p = T, maka ~ p = F
G2 : (~ p ~ q) = T apapun nilai q
Bila (~ p ~ q) = T,
maka G = T apapun nilai G1 : (p q)
Nilai G sudah dapat ditentukan, yaitu bernilai T
p = T p = F
T 3
1
Bentuk kalimat G implikasi :G1 G2
G : (p q) (~ p ~ q)
Periksa cabang No. 3 :
Bila p = F, maka G1: (p q) = T apapun nilai q
~ p = T, nilai G2 : (~ p ~ q) tergantung pada nilai q
Bila ~ q = T, maka G2 = T dan bila ~ q = F, maka G2 = F
Bila G2 = T, maka G = T dan bila G2 = F, maka G = F
Jadi nilai G belum sudah dapat ditentukan, cabang No. 3 bercabang lagi
p = T p = F
T
4 5
q = T q = F
Bentuk kalimat G implikasi :G1 G2
G : (p q) (~ p ~ q)
Periksa cabang No. 4 :
Bila p = F dan q = T, maka G1: (p q) = T dan G2 : (~ p ~ q) = F
Akibatnya G : G1 G2 bernilai salah (F)
Periksa cabang No. 5 :
Bila p = F dan q = F, maka G1: (p q) = T dan G2 : (~ p ~ q) = T
Akibatnya G : G1 G2 bernilai benar (T)
p = T p = F
T
F T
q = T q = F
Karena ada cabang yang bernilai salah, maka kalimat G tidak valid
Contoh Soal 3.5
Tentukan validitas kalimat B : [p (q r)] [(p q) r]
Jawab :
Bentuk kalimat B biimplikasi : B1 B2
p = T p = F
2 3
1
No p q r Nilai B1, B2 dan B Langkah berikut
2 T B1 tergantung pada nilai q, r
B belum dapat ditentukan
Bercabang 4 dan 5
3 F B1 = T dan B2 = T apapun nilai q, r B = T
4 T T Bila r = T, maka B1 = T dan B2 = T
Bila r = F, maka B1 = F dan B2 = F
B = T
5 T F B1 = T dan B2 = T apapun nilai r B = T
p = T p = F
T
T
T
Karena semua cabang nilainya benar, maka kalimat B valid
Lebih efisien dari tabel kebenaran
Latihan Soal 3.1
Buktikan validitas kalimat D : if(if(not x) then y) then if(not y) then x) and (x or y)
D : (~ x y) ( (~y x) (x y))
Latihan Soal 3.2
Tentukan validitas kalimat (p q) (~p r) (q r) dengan menggunakan asumsi salah
Latihan Soal 3.3
Tentukan validitas kalimat B : [p (q r)] [(p q) r]
Bentuk kalimat biimplikasi B1 B2
B1 : [p (q r)] B2 : [(p q) r]
No p q r Nilai B1, B2 dan B Langkah berikut
2 T
3 F
Jawab :
p = T p = F
2 3
1
Latihan Soal 3.4
Periksalah validitas kalimat p (p q) dengan menggunakan pohon semantik
Jawab :
Bentuk kalimat OR Eksklusif A = A1 A2 p q p q
T T F
T F T
F T T
F F F
p = T p = F
2 3
1
